Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces
UDC 517.935 In this paper, using the generalized inversion theory of operators, we establish a criterion for solvability and the general form of solutions of operator equations with control that are not everywhere solvable and of linear boundary-value problems for such operators in Banach spaces.
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6537 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512429624000512 |
|---|---|
| author | Boichuk , О. A. Zhuravliov , V. P. Бойчук , О. A. Журавльов, В. П. |
| author_facet | Boichuk , О. A. Zhuravliov , V. P. Бойчук , О. A. Журавльов, В. П. |
| author_sort | Boichuk , О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:07Z |
| description | UDC 517.935
In this paper, using the generalized inversion theory of operators, we establish a criterion for solvability and the general form of solutions of operator equations with control that are not everywhere solvable and of linear boundary-value problems for such operators in Banach spaces. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i5.6537 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i5.6537
УДК 517.935
О. A. Бойчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
В. П. Журавльов (Полiс. нац. ун-т, Житомир)
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ
У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ
In this paper, using the generalized inversion theory of operators, we establish a criterion for solvability and the general
form of solutions of operator equations with control that are not everywhere solvable and of linear boundary-value problems
for such operators in Banach spaces.
Iз використанням теорiї узагальненого обернення операторiв отримано критерiй розв’язностi i загальний вигляд
розв’язкiв не скрiзь розв’язних операторних рiвнянь з керуванням та лiнiйних крайових задач для них у банахових
просторах.
Дослiдження задач теорiї керування, основи якої було закладено у другiй половинi минулого
столiття (див., наприклад, монографiї [1, 2] та наведену в них бiблiографiю), є актуальним i
сьогоднi.
Для дослiдження значної кiлькостi задач теорiї керування активно використовуються су-
часнi результати з теорiї крайових задач. Наприклад, деякi задачi математичної економiки [3],
задачi по оптимальному переведенню системи з одного стану в iнший [4, 5], задача оптималь-
ного керування з мiнiмальною енергiєю на розв’язках параболiчного рiвняння з розподiленим
керуванням та нелокальними крайовими умовами [6], задача iснування та побудови програмних
керувань у лiнiйних керованих системах [7] та iн.
Розробленi за останнiй час методи дослiдження крайових задач для не скрiзь розв’язних
операторних рiвнянь у банахових просторах [8] можна застосувати до розв’язання не скрiзь
розв’язних операторних рiвнянь з керуванням та крайових задач для них. Цi методи ґрунтуються
на застосуваннi проєкторiв та узагальненого обернення операторiв у банахових просторах.
Iз застосуванням проєкторiв та псевдообернених матриць в евклiдових просторах у [9] отри-
мано умови, при яких нерозв’язну вироджену диференцiальну систему з iмпульсним впливом
можна зробити розв’язною шляхом введення функцiї керування, у [10] знайдено умови iснуван-
ня i побудовано розв’язки iнтегро-диференцiальної системи з керуванням та крайової задачi
для неї.
Постановка задачi. Нехай \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — банаховий простiр обмежених вектор-функцiй z(t),
визначених на скiнченному промiжку \scrI зi значеннями у банаховому просторi \bfB 1,
z(\cdot ) : \scrI \rightarrow \bfB 1 з нормою | | | z| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| z(t)\| B1 , \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) — банаховий простiр обмежених
вектор-функцiй f(t), визначених на тому ж промiжку \scrI зi значеннями у банаховому просторi
\bfB 2 з нормою | | | f | | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| f(t)\| B2 , \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — банаховий простiр обмежених вектор-
функцiй u(t), визначених на тому ж промiжку \scrI зi значеннями у банаховому просторi \bfB 3 з
нормою | | | u| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| u(t)\| B3 , \bfB — банаховий простiр векторiв зi сталими компонентами.
Розглянемо лiнiйну крайову задачу з керуванням
(Lz)(t) = f(t) + (Hu)(t), (1)
\ell z(\cdot ) = \alpha +Gu(\cdot ), (2)
c\bigcirc О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, 2021
602 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ 603
де L : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) i H : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) \rightarrow \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) — лiнiйнi обмеженi оператори,
\ell : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow \bfB i G : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) \rightarrow \bfB — лiнiйнi обмеженi вектор-функцiонали.
Мета цiєї роботи полягає в знаходженнi умов iснування та вигляду загальних розв’язкiв z(t)
рiвняння (1) з керуванням та крайової задачi з керуванням (1), (2), а також загального вигляду
керувань u(t), при яких такi розв’язки iснують.
Розв’язок операторного рiвняння з керуванням у банахових просторах. Нехай опера-
торне рiвняння без керування
(Lz)(t) = f(t) (3)
не має розв’язку при довiльних f(t).
Розглянемо таку задачу: з’ясувати чи iснує керування u(t) таке, щоб операторне рiвнян-
ня (1) з керуванням стало розв’язним. А якщо iснує, то знайти умови iснування, загальний
вигляд розв’язку та загальний вигляд керування.
Далi для скорочення записiв змiнну t не будемо писати.
Нехай оператор L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
є узагальнено-оборотним. Узагальнена обо-
ротнiсть оператора L означає [11], що вiн нормально розв’язний, а його нуль-простiр N(L)
та ядро R(L) доповнювальнi у банахових просторах \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) i \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) вiдповiдно. При
цьому iснують [12] обмеженi проєктори \scrP N(L) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(L), \scrP YL
: \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) \rightarrow YL, де
YL = \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)\ominus R(L), та обмежений узагальнено-обернений оператор L - до оператора L.
Вiдомо [8], що нормально розв’язне операторне рiвняння (1) має розв’язки для тих i лише
тих правих частин, якi задовольняють умову
\scrP YL
[f +Hu] = 0. (4)
Позначивши B = \scrP YL
H, з умови (4) отримаємо операторне рiвняння
Bu = - \scrP YL
f (5)
вiдносно керування u. Таким чином, виконання умови (4) залежить вiд розв’язностi рiвнян-
ня (5).
Керування u(t), якi є розв’язками рiвняння (5), будемо називати допустимими керуваннями
для рiвняння (1) у сенсi [7].
Нехай B \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
— узагальнено-оборотний, а отже нормально роз-
в’язний, оператор. Тодi iснують [12] обмеженi проєктори \scrP N(B) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) \rightarrow N(B),
\scrP YB
: \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) \rightarrow YB, де YB = \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) \ominus R(B), та обмежений узагальнено-обернений
оператор B - .
Операторне рiвняння (5) має розв’язок тодi i лише тодi, коли виконується умова
\scrP YB
\scrP YL
f = 0, (6)
при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв
u = \scrP N(B)\^u - B - \scrP YL
f, (7)
де \^u — довiльний елемент банахового простору \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3).
Таким чином, для u з (7) умова розв’язностi (4) операторного рiвняння (1) буде виконува-
тись, i воно буде мати сiм’ю розв’язкiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
604 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
z = \scrP N(L)\^z + L - (f +Hu), (8)
де \^z — довiльний елемент банахового простору \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1).
Пiдставивши у (8) керування u (7), отримаємо загальний розв’язок рiвняння (1)
z = \scrP N(L)\^z + L -
\Bigl\{
f +H(\scrP N(B)\^u - B - \scrP YL
f)
\Bigr\}
=
= \scrP N(L)\^z + L - H\scrP N(B)\^u+ L - f - L - HB - \scrP YL
f =
=
\bigl[
\scrP N(L), L
- H\scrP N(B)
\bigr] \Biggl[ \^z
\^u
\Biggr]
+ L -
\Bigl(
Il\infty (\scrI ,B2) - HB - \scrP YL
\Bigr)
f.
Для скорочення записiв позначимо
X1 = \scrP N(L), X2 = L - H\scrP N(B), \widetilde H = Il\infty (\scrI ,B2) - HB - \scrP YL
.
Теорема 1. Нехай лiнiйнi оператори L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
i B \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
, а операторне рiвняння без керування (3) не має розв’язку при довiльних f \in
\in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2).
Тодi операторне рiвняння з керуванням (1) розв’язне для тих i лише тих f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2),
якi задовольняють умову (6), при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв
z =
\bigl[
X1, X2
\bigr] \Biggl[ \^z
\^u
\Biggr]
+ L - \widetilde Hf, (9)
де \^z \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), \^u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльнi елементи банахових просторiв \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) i
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) вiдповiдно.
При цьому воно має сiм’ю допустимих керувань
u = \scrP N(B)\^u - B - \scrP YL
f. (10)
Зауваження 1. Якщо \scrP N(B) = 0, то операторне рiвняння (5) буде n-нормальним [13]
(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B = 0). У цьому випадку при виконаннi умови (6) воно буде мати єдиний розв’язок
u = - B - 1
l \scrP YL
f, (11)
де B - 1
l — лiвий обернений оператор [14] до оператора B.
Тодi операторне рiвняння (1) буде мати сiм’ю розв’язкiв
z = X1\^z + L - \widetilde Hf,
де \widetilde H = Il\infty (\scrI ,B2) - HB - 1
l \scrP YL
.
При цьому єдине допустиме керування буде мати вигляд (11).
Зауваження 2. Якщо \scrP N(B) = 0 i \scrP N(L) = 0, то операторнi рiвняння (1) i (5) будуть n-
нормальними [13] (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L = 0, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B = 0). У цьому випадку при виконаннi умови (6)
рiвняння (1) буде мати єдиний розв’язок
z = L - 1
l
\widetilde Hf
при єдиному допустимому керуванню (11).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ 605
Зауваження 3. Якщо \scrP YB
= 0, то операторне рiвняння (5) буде d-нормальним [13] (d =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}YB = 0). У цьому випадку умова (6) буде завжди виконуватись, а рiвняння буде мати
сiм’ю розв’язкiв
u = \scrP N(B)\^u - B - 1
r \scrP YL
f,
де \^u — довiльний елемент банахового простору \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), B
- 1
r — правий обернений опера-
тор [14] до оператора B.
Тодi операторне рiвняння (1) буде скрiзь розв’язним i матиме сiм’ю розв’язкiв (9), де \widetilde H =
= Il\infty (\scrI ,B2) - HB - 1
r \scrP YL
.
Розв’язок крайової задачi з керуванням у банаховому просторi. Пiдставимо загаль-
ний розв’язок (9) операторного рiвняння (1) i вiдповiдне допустиме керування (10) у крайову
умову (2). В результатi отримаємо
\ell z(\cdot ) =
\Bigl[
\ell X1, \ell X2
\Bigr] \Biggl[ \^z
\^u
\Biggr]
+ \ell L - \widetilde Hf =
= \alpha +G
\Bigl[
\scrP N(B)\^u(\cdot ) - B - \scrP YL
f
\Bigr]
.
Позначивши
Q1 = \ell X1, Q1 : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow \bfB ,
Q2 = \ell X2 - G\scrP N(B), Q2 : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) \rightarrow \bfB ,
пiсля перетворень одержимо
\Bigl[
Q1, Q2
\Bigr] \Biggl[ \^z
\^u
\Biggr]
= \alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f. (12)
Далi постає питання про розв’язнiсть та зображення загального розв’язку рiвняння (12) з
операторною матрицею
\bigl[
Q1, Q2
\bigr]
.
Нехай оператори Q1 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB ) i \widehat Q2 = \scrP YQ1
Q2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),\bfB ) — узагальне-
но-оборотнi. Тодi iснують обмеженi проєктори \scrP N(Q1) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(Q1), \scrP YQ1
: \bfB \rightarrow
\rightarrow \bfB \ominus R(Q1), \scrP
N( \widehat Q2)
: \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) \rightarrow N( \widehat Q2) i \scrP Y \widehat Q2
: \bfB \rightarrow \bfB \ominus R( \widehat Q2) [12], а також обме-
женi узагальнено-оберненi оператори Q -
1 ,
\widehat Q -
2 [8]. У цьому випадку операторна матриця
Q =
\bigl[
Q1, Q2
\bigr]
є узагальнено-оборотною [15, с. 545].
Наслiдком узагальненої оборотностi операторної матрицi Q є нормальна розв’язнiсть опе-
раторного рiвняння (12). Тодi iснують обмеженi проєктори \scrP N(Q) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \times \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) \rightarrow
\rightarrow N(Q), \scrP YQ
: \bfB \rightarrow YQ й обмежений узагальнено-обернений оператор Q - : \bfB \rightarrow \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1)\times
\times \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) до оператора Q.
За С. Г. Крейном [13] нормально розв’язне рiвняння (12) може бути однозначно розв’язним
(\scrP N(Q) \equiv 0), скрiзь розв’язним (\scrP YQ
\equiv 0), неоднозначно i не скрiзь розв’язним (\scrP N(B0) \not = 0,
\scrP YQ
\not = 0).
Розглянемо найбiльш загальний випадок, коли рiвняння (12) неоднозначно i не скрiзь
розв’язне, тобто \scrP N(Q) \not = 0,\scrP YQ
\not = 0. Оскiльки оператор Q нормально розв’язний, то, ви-
користовуючи теорему 3 з [15, c. 545] про розв’язнiсть рiвняння з операторною матрицею,
переконуємося, що рiвняння (12) має розв’язок тодi i лише тодi, коли виконується умова [8]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
606 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
\scrP YQ
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr\}
= 0,
при виконаннi якої рiвняння (12) має сiм’ю розв’язкiв\Biggl[
\^z
\^u
\Biggr]
= \scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
- Q -
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr\}
, (13)
де
\scrP YQ
= \scrP Y \widehat Q2
\scrP YQ1
, \scrP N(Q) =
\Biggl[
\scrP N(Q1) - Q -
1 Q2\scrP N( \widehat Q2)
0 \scrP
N( \widehat Q2)
\Biggr]
, (14)
Q - =
\Biggl[
Q -
1 - Q -
1 Q2
\widehat Q -
2 \scrP YQ1\widehat Q -
2 \scrP YQ1
\Biggr]
(15)
— узагальнено-обернений оператор до оператора Q, \=z \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \=u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльнi
елементи.
Позначивши для скорочення записiв
\widetilde Q -
1 = Q -
1 - Q -
1 Q2
\widehat Q -
2 \scrP YQ1
, \widetilde Q -
2 = \widehat Q -
2 \scrP YQ1
, (16)
розв’язок (13) запишемо у виглядi\Biggl[
\^z
\^u
\Biggr]
= \scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
-
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr\}
. (17)
Пiдставивши (17) у (9), будемо мати
z =
\Bigl[
X1, X2
\Bigr] \Biggl\{
\scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
-
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \Bigl[
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr] \Biggr\}
+ L - \widetilde Hf.
Пiсля перетворень отримаємо загальний розв’язок крайової задачi з керуванням (1), (2) у виглядi
z =
\Bigl[
X1, X2
\Bigr]
\scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
+
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 - X2
\widetilde Q -
2
\Bigr)
\alpha -
-
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 +X2
\widetilde Q -
2
\Bigr) \bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f + L - \widetilde Hf,
де \=z \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) \=u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльнi елементи.
Врахувавши (14), iз рiвняння (17), яке буде мати вигляд\Biggl[
\^z
\^u
\Biggr]
=
\Biggl[
\scrP N(Q1) - Q -
1 Q2\scrP N( \widehat Q2)
0 \scrP
N( \widehat Q2)
\Biggr] \Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
-
-
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ 607
знайдемо елемент \^u:
\^u = \scrP
N( \widehat Q2)
\=u+ \widetilde Q -
2
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr\}
. (18)
Пiдставивши \^u з (18) у (7), отримаємо сiм’ю допустимих керувань для крайової зада-
чi (1), (2):
u = \scrP N(B)
\Bigl[
\scrP
N( \widehat Q2)
\=u+ \widetilde Q -
2
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr\} \Bigr]
- B - \scrP YL
f =
= \scrP N(B)\scrP N( \widehat Q2)
\=u+ \scrP N(B)
\widetilde Q -
2 \alpha - \scrP N(B)
\widetilde Q -
2
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f - B - \scrP YL
f,
де \=u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльний елемент.
Теорема 2. Нехай лiнiйнi оператори L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
i B \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
.
Тодi якщо оператори Q1 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB ) i \widehat Q2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),\bfB ), то крайова задача
з керуванням (1), (2) розв’язна для тих i лише тих f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) й \alpha \in \bfB , якi задовольняють
систему умов
\scrP YB
\scrP YL
f = 0,
\scrP Y \widehat Q2
\scrP YQ1
\Bigl[
\alpha -
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f
\Bigr]
= 0,
(19)
при виконаннi яких вона має сiм’ю розв’язкiв
z =
\Bigl[
X1, X2
\Bigr]
\scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
+
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 +X2
\widetilde Q -
2
\Bigr)
\alpha +
+L - \widetilde Hf -
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 +X2
\widetilde Q -
2
\Bigr) \bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f,
де \=z \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), \=u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльнi елементи.
При цьому вона має сiм’ю допустимих керувань
u = \scrP N(B)\scrP N( \widehat Q2)
\=u+ \scrP N(B)
\widetilde Q -
2 \alpha -
- \scrP N(B)
\widetilde Q -
2
\bigl(
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\bigr)
f - B - \scrP YL
f.
Зауваження 4. Якщо \scrP N(Q) = 0, то крайова задача (1), (2) буде n-нормальною [13]
(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}Q = 0). З формули (14) випливає, що цей випадок можливий, якщо \scrP N(Q1) = 0 i
\scrP
N( \widehat Q2)
= 0. Тодi при виконаннi системи умов (19) крайова задача (1), (2) має єдиний розв’язок
z =
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 +X2
\widetilde Q -
2
\Bigr)
\alpha + L - \widetilde Hf -
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 +X2
\widetilde Q -
2
\Bigr) \Bigl[
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr]
f.
При цьому вона має єдине допустиме керування
u = \scrP N(B)
\widetilde Q -
2 \alpha - \scrP N(B)
\widetilde Q -
2
\Bigl[
\ell L - \widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr]
f - B - \scrP YL
f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
608 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
Особливi випадки крайових задач iз керуванням. Далi розглянемо два особливих ви-
падки: 1) операторне рiвняння (1) скрiзь розв’язне (\scrP YL
= 0) i 2) операторне рiвняння (1)
однозначно розв’язне (\scrP N(L) = 0).
1. Нехай оператор L є узагальнено-оборотним i \scrP YL
= 0. Тодi операторне рiвняння (1)
d-нормальне (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}YL = 0), скрiзь розв’язне. Тому умови (4) i (6) будуть завжди виконуватись.
У цьому випадку оператор H можна покласти рiвним нулю, оскiльки керування u не
впливає на розв’язнiсть рiвняння (1). Але воно може вплинути на розв’язнiсть крайової за-
дачi (1), (2).
Оскiльки \scrP YL
= 0, то оператор B = \scrP YL
H \equiv 0. Це означає, що \scrP N(B) = Il\infty (\scrI ,B3). Тодi
з формули (7) випливає, що керування u(t) = \^u(t), де \^u(t) — довiльний елемент банахового
простору \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3).
У цьому випадку рiвняння (1) буде мати сiм’ю розв’язкiв
z = \scrP N(L)\^z + L - 1
r
\Bigl[
f +H\^u
\Bigr]
=
\Bigl[
X1, X2
\Bigr] \Biggl[ \^z
\^u
\Biggr]
+ L - 1
r f, (20)
де X1 = \scrP N(L), X2 = L - 1
r H, \^z \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) i \^u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльнi елементи, L - 1
r —
правий обернений оператор до оператора L, конструкцiю якого наведено у [14].
Пiдставивши розв’язок (20) у крайову умову (2), отримаємо операторне рiвняння вiднос-
но \^z, \^u:
\ell z =
\Bigl[
\ell X1, \ell X2
\Bigr] \Biggl[ \^z
\^u
\Biggr]
+ \ell L - 1
r f = \alpha +G\^u(\cdot ). (21)
З рiвняння (21) одержимо
Q
\Biggl[
\^z
\^u
\Biggr]
= \alpha - \ell L - 1
r f, (22)
де Q =
\bigl[
Q1, Q2
\bigr]
,
Q1 = \ell \scrP N(L), Q2 = \ell L - 1
r H - G. (23)
Нехай оператори Q1 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB ) i \widehat Q2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),\bfB ) узагальнено-оборотнi, а
отже, операторне рiвняння (22) є нормально розв’язним.
Рiвняння (22) розв’язне для тих i лише тих правих частин, якi задовольняють умову [8]
\scrP YQ
\bigl\{
\alpha - \ell L - 1
r f
\bigr\}
= 0, (24)
при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв\Biggl[
\^z
\^u
\Biggr]
= \scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
- Q - \bigl\{ \alpha - \ell L - 1
r f
\bigr\}
, (25)
де \scrP N(Q), \scrP YQ
, Q - визначенi рiвностями (14), (15).
Пiдставивши (25) у (20), отримаємо
z =
\bigl[
X1, X2
\bigr] \Biggl\{
\scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
-
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \Bigl(
\alpha - \ell L - 1
r f
\Bigr) \Biggr\}
+ L - 1
r f,
де \widetilde Q -
1 i \widetilde Q -
2 визначенi рiвностями (16).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ 609
Пiсля перетворень отримаємо загальний розв’язок крайової задачi (1), (2) у виглядi
z =
\Bigl[
X1, X2
\Bigr]
\scrP N(Q)
\Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
-
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 +X2
\widetilde Q -
2
\Bigr)
\alpha +
\Bigl(
X1
\widetilde Q -
1 +X2
\widetilde Q -
2
\Bigr)
\ell L - 1
r f + L - 1
r f. (26)
З рiвняння (25), яке з урахуванням (14) i (15) набере вигляду\Biggl[
\^z
\^u
\Biggr]
=
\Biggl[
\scrP N(Q1) - Q -
1 Q2\scrP N( \widehat Q2)
0 \scrP
N( \widehat Q2)
\Biggr] \Biggl[
\=z
\=u
\Biggr]
-
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \bigl\{
\alpha - \ell L - 1
r f
\bigr\}
, (27)
знайдемо загальний вигляд керування u, при якому крайова задача (1), (2) буде розв’язною:
u = \scrP
N( \widehat Q2)
\=u - \widehat Q2
\bigl[
\alpha - \ell L - 1
r f
\bigr]
, (28)
де \=u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльний елемент.
Теорема 3. Нехай лiнiйний оператор L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
є d-номальним (d =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}YL = 0).
Тодi якщо оператори Q1 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB ) i Q2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),\bfB ) (23) узагальнено-
оборотнi, то крайова задача з керуванням (1), (2) розв’язна для тих i лише тих f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
й \alpha \in \bfB , якi задовольняють умову
\scrP Y \widehat Q2
\scrP YQ1
\bigl[
\alpha - \ell L - 1
r f
\bigr]
= 0,
при виконаннi якої вона має сiм’ю розв’язкiв (26).
При цьому вона має сiм’ю допустимих керувань (28).
2. Нехай оператор L є узагальнено-оборотним i \scrP N(L) = 0. Тодi операторне рiвняння (1)
n-нормальне (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(L) = 0), однозначно розв’язне i при виконаннi умови
\scrP YL
[f +Hu] = 0 (29)
має єдиний розв’язок
z = L - 1
l [f +Hu], (30)
де L - 1
l — лiвий обернений оператор до оператора L, конструкцiю якого наведено у [14].
З умови (29) знайдемо керування u, при якому операторне рiвняння (1) буде мати розв’язок.
З (29) отримаємо операторне рiвняння
Bu = - \scrP YL
f, (31)
де B = \scrP YL
H.
Нехай оператор B \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
є узагальнено-оборотним.
Операторне рiвняння (31) має розв’язок тодi i лише тодi, коли виконується умова
\scrP YB
\scrP YL
f = 0, (32)
при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв
u = \scrP N(B)\^u - B - \scrP YL
f, (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
610 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
де \^u — довiльний елемент банахового простору \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), B - — обмежений узагальнено-
оборотний оператор до оператора B.
Пiдставивши (33) у (30), отримаємо загальний розв’язок операторного рiвняння (1) у виглядi
z = L - 1
l
\Bigl[
f +H
\Bigl(
\scrP N(B)\^u - B - \scrP YL
f
\Bigr) \Bigr]
= X2\^u+ L - 1
l
\widetilde Hf, (34)
де X2 = L - 1
l H\scrP N(B)
\widetilde H = Il\infty (\scrI ,B2) - HB - \scrP YL
.
Пiдставивши розв’язок (34) та керування (33) у крайову умову (2), одержимо операторне
рiвняння вiдносно \^u:
\ell z(\cdot ) = \ell X2\^u(\cdot ) + \ell L - 1
l
\widetilde Hf = \alpha +G
\Bigl[
\scrP N(B)\^u(\cdot ) - B - \scrP YL
f
\Bigr]
.
Пiсля перетворень отримаємо операторне рiвняння
Q2\^u = \alpha -
\Bigl[
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr]
f, (35)
де Q2 = \ell X2 - G\scrP N(B).
Нехай оператор Q2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),\bfB ) є узагальнено-оборотним, а отже, операторне рiв-
няння (35) нормально розв’язне.
Рiвняння (35) розв’язне для тих i лише тих правих частин, якi задовольняють умову [8]
\scrP YQ2
\Bigl[
\alpha -
\Bigl(
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr)
f
\Bigr]
= 0,
при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв
\^u = \scrP N(Q2)\=u+Q -
2 \alpha - Q -
2
\Bigl[
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr]
f, (36)
де \=u — довiльний елемент банахового простору \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3).
Пiдставивши (36) у (34), одержимо
z = X2
\Bigl\{
\scrP N(Q2)\=u+Q -
2
\Bigl[
\alpha -
\Bigl(
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr)
f
\Bigr] \Bigr\}
+ L - 1
l
\widetilde Hf.
Пiсля перетворень отримаємо загальний розв’язок крайової задачi (1), (2) у виглядi
z = X2\scrP N(Q2)\=u+X2Q
-
2 \alpha - X2Q
-
2
\Bigl[
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr]
f + L - 1
l
\widetilde Hf, (37)
де \=u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльний елемент.
Теорема 4. Нехай L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
— узагальнено-оборотний n-нормальний
(n = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(L) = 0) оператор, а B \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
.
Тодi якщо оператор Q2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),\bfB ) узагальнено-оборотний, то крайова задача з
керуванням (1), (2) розв’язна для тих i лише тих f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) й \alpha \in \bfB , якi задовольняють
систему умов
\scrP YB
\scrP YL
f = 0,
\scrP YQ2
\Bigl[
\alpha -
\Bigl(
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr)
f
\Bigr]
= 0,
(38)
при виконаннi яких вона має сiм’ю розв’язкiв (37).
При цьому вона має сiм’ю допустимих керувань (36).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ 611
Цiкавими є ще два „крайнiх” випадки, коли в рамках п. 2 (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(L) = 0) операторне
рiвняння (31) буде n-нормальним (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B = 0) або d-нормальним (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}YB = 0).
Нехай \scrP N(B) = 0, тодi операторне рiвняння (31) буде n-нормальним (n = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B = 0).
У цьому випадку при виконаннi умови (32) воно буде мати єдиний розв’язок
u = - B - 1
l \scrP YL
f, (39)
де B - 1
l — лiвий обернений оператор [14] до оператора B. При цьому операторне рiвняння (1)
теж буде мати єдиний розв’язок
z = L - 1
l
\Bigl[
f - HB - 1
l \scrP YL
f
\Bigr]
= L - 1
l
\widetilde Hf. (40)
Пiдставивши розв’язок (40) i керування (39) у крайову умову (2), отримаємо жорстку умову
на параметри крайової задачi
\ell L - 1
r
\widetilde Hf = \alpha - GB - 1
l \scrP YL
f,
або \Bigl[
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - 1
l \scrP YL
\Bigr]
f = \alpha .
Для цього випадку теорему 4 можна сформулювати таким чином.
Теорема 5. Нехай L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
i B \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
— узагаль-
нено-оборотнi n-нормальнi (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(L) = 0), (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(B) = 0) оператори.
Тодi крайова задача з керуванням (1), (2) розв’язна для тих i лише тих f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) й
\alpha \in \bfB , якi задовольняють систему умов
\scrP YB
\scrP YL
f = 0,
\alpha -
\Bigl(
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - \scrP YL
\Bigr)
f = 0,
при виконаннi яких вона має єдиний розв’язок
z = L - 1
l
\widetilde Hf
i єдине допустиме керування
u = - B - 1
l \scrP YL
f.
Нехай \scrP YB
= 0. Тодi операторне рiвняння (31) буде скрiзь розв’язним d-нормальним
(d = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}YB = 0). У цьому випадку умова розв’язностi (32) буде завжди виконуватись
i операторне рiвняння (31) буде мати сiм’ю розв’язкiв
u = \scrP N(B)\^u+B - 1
r \scrP YL
f,
де \^u — довiльний елемент банахового простору \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), B
- 1
r — обмежений правий обернений
оператор [14] до оператора B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
612 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
Теорема 6. Нехай L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
— узагальнено-оборотний n-нормальний
(n = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(L) = 0) оператор, а B \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
— узагальнено-оборотний
d-нормальний (d = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}YB = 0) оператор.
Тодi якщо оператор Q2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 3),\bfB ) узагальнено-оборотний, то крайова задача з
керуванням (1), (2) розв’язна для тих i лише тих f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) й \alpha \in \bfB , якi задовольняють
умову
\scrP YQ2
\Bigl[
\alpha -
\Bigl(
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - 1
r \scrP YL
\Bigr)
f
\Bigr]
= 0,
при виконаннi якої вона має сiм’ю розв’язкiв
z = X2\scrP N(Q2)\=u+X2Q
-
2 \alpha - X2Q
-
2
\Bigl[
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - 1
r \scrP YL
\Bigr]
f + L - 1
l
\widetilde Hf,
де \=u \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 3) — довiльний елемент.
При цьому вона має сiм’ю допустимих керувань
\^u = \scrP N(Q2)\=u+Q -
2 \alpha - Q -
2
\Bigl[
\ell L - 1
l
\widetilde H +GB - 1
r \scrP YL
\Bigr]
f.
Розв’язок нетерового операторного рiвняння з керуванням у евклiдових просторах. У
випадку, коли крайова задача з керуванням розглядається в евклiдовому просторi, отриманi
результати для банахових просторiв можна уточнити та конкретизувати.
Розглянемо крайову задачу з керуванням
(Lz)(t) = f(t) + (Hu)(t), (41)
\ell z(\cdot ) = \alpha +Gu(\cdot ), (42)
де L : \bfL 2(\scrI ,\bfR n) \rightarrow \bfL 2(\scrI ,\bfR m), H : \bfL 2(\scrI ,\bfR n1) \rightarrow \bfL 2(\scrI ,\bfR m) — лiнiйнi обмеженi нетеро-
вi оператори, якi дiють у просторах сумовних iз квадратом функцiй, f(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfR m),
\ell : \bfL 2(\scrI ,\bfR n) \rightarrow \bfR m1 , G : \bfL 2(\scrI ,\bfR n1) \rightarrow \bfR m1 — лiнiйнi обмеженi вектор-функцiонали, \alpha \in
\in \bfR m1 .
Оскiльки простори \bfL 2(\scrI ,\bfR n) i \bfL 2(\scrI ,\bfR m) є гiльбертовими, то в них до нетерового опе-
ратора L iснує єдиний псевдообернений оператор L+, а також iснують ортопроєктори PN(L) :
\bfL 2(\scrI ,\bfR n) \rightarrow N(L) i PN(L\ast ) : \bfL 2(\scrI ,\bfR m) \rightarrow N(L\ast ) на нуль-простори N(L) i N(L\ast ). Для
побудови ортопроєкторiв можна використати формулу (2.2.14) [8, c. 61].
Розв’язок та керування будемо шукати у класi функцiй z \in \bfL 2(\scrI ,\bfR m), u \in \bfL 2(\scrI ,\bfR n1).
Позначимо через Xp = PNp(L) (n \times p)-вимiрну матрицю, яку складено з p лiнiйно не-
залежних стовпцiв матрицi-ортопроєктора PN(L), де p = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L < \infty , а через PNq(L\ast )
(q\times m)-вимiрну матрицю, яку складено з q лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроєктора
PN(L\ast ), де q = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L\ast < \infty . Оскiльки оператор L нетеровий, то p \not = q.
Використавши теорему 4.5.1 [8, c. 140] про розв’язнiсть нетерового операторного рiвняння,
переконаємося, що рiвняння (1) розв’язне для тих i лише тих f(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfR m), якi задоволь-
няють q лiнiйно незалежних умов
PNq(L\ast )[f +Hu] = 0, (43)
i при цьому має p-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
z = Xpcp + L+[f +Hu], (44)
де cp — довiльний вектор евклiдового простору \bfR p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ 613
З (43) отримаємо рiвняння
Bu = - PNq(L\ast )f, (45)
де B = PNq(L\ast )H.
Нехай оператор B : \bfL 2(\scrI ,\bfR n1) \rightarrow \bfL 2(\scrI ,\bfR q) нетеровий. Тодi для нього iснує єдиний псевдо-
обернений оператор B+, а також iснують ортопроєктори PN(B) : \bfL 2(\scrI ,\bfR n1) \rightarrow N(B) i PN(B\ast ) :
\bfL 2(\scrI ,\bfR q) \rightarrow N(B\ast ) на нуль-простори N(B) i N(B\ast ) вiдповiдно.
Позначимо через Uk = PNk(B) (n1 \times k)-вимiрну матрицю, яку складено з k лiнiйно неза-
лежних базисних векторiв нуль-простору N(B) оператора B, де k = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B < \infty , а через
PNs(B\ast ) (s \times q)-вимiрну матрицю, яку складено з s лiнiйно незалежних базисних векторiв
нуль-простору N(B\ast ), \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}N(B\ast ) = s < \infty , k \not = s.
Рiвняння (45) розв’язне для тих i лише тих f \in \bfL 2(\scrI ,\bfR m), якi задовольняють s лiнiйно
незалежних умов
PNs(B\ast )PNq(L\ast )f = 0, (46)
i при цьому має k-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
u = Ukck - B+PNq(L\ast )f, (47)
де ck — довiльний вектор евклiдового простору \bfR k.
Пiдставивши (47) у (44), отримаємо
z =
\bigl[
Xp, \widetilde Uk
\bigr] \Biggl[ cp
ck
\Biggr]
+ L+ \widetilde Hf, (48)
де \widetilde Uk = L+HUk, \widetilde H = IL2(\scrI ,Rm) - HB+PNq(L\ast ).
Тодi справедливою є така теорема.
Теорема 7. Нехай лiнiйнi оператори L i B нетеровi i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L = p, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B = k.
Тодi операторне рiвняння з керуванням (1) розв’язне для тих i лише тих f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2),
якi задовольняють умову (46), при виконаннi якої воно має (cp + ck)-параметричну сiм’ю
розв’язкiв (48).
При цьому воно має ck -параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних допустимих керувань (47).
Крайовi задачi з керуванням в евклiдових просторах. Пiдставимо розв’язок (48) у крайо-
ву умову (42). В результатi отримаємо алгебраїчне рiвняння вiдносно довiльних сталих cp \in \bfR p
i ck \in \bfR k : \bigl[
Q1, Q2
\bigr] \Biggl[ cp
ck
\Biggr]
= \alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f, (49)
де Q =
\bigl[
Q1, Q2
\bigr]
—
\bigl(
m\times (p+k)
\bigr)
-вимiрна стала матриця, Q1 = \ell Xp(\cdot ) — (m\times p)-вимiрна стала
матриця, а Q2 = \ell Uk(\cdot ) - GUk(\cdot ) — (m\times k)-вимiрна стала матриця.
Як було показано ранiше, рiвняння з операторною матрицею (49) має розв’язок тодi i лише
тодi, коли виконується умова [8]
PN(Q\ast )
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr\}
= 0,
при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
614 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ\Biggl[
cp
ck
\Biggr]
= \scrP N(Q)
\Biggl[
\=cp
\=ck
\Biggr]
+Q - \alpha - Q - \bigl( \ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f, (50)
де PN(Q\ast ) = P
N( \widehat Q\ast
2)
PN(Q\ast
1)
— (m\times m)-вимiрна матриця-ортопроєктор,
\scrP N(Q) =
\Biggl[
PN(Q1) - Q+
1 Q2PN( \widehat Q2)
0 P
N( \widehat Q2)
\Biggr]
(51)
—
\bigl(
(p+ k)\times (p+ k)
\bigr)
-вимiрна матриця-проєктор,
Q - =
\Biggl[
Q+
1 - Q+
1 Q2
\widehat Q+
2 PN(Q\ast
1)\widehat Q+
2 PN(Q\ast
1)
\Biggr]
(52)
— ((p+k)\times m)-вимiрна узагальнено-обернена матриця до матрицi Q [15, c. 545], \=cp \in \bfR p, \=ck \in
\in \bfR k — довiльнi вектори. Зауважимо, що у формулi (51) проєктор \scrP N(Q) не є ортопроєктором,
а у формулi (52) матриця Q - узагальнено-обернена (не псевдообернена).
Позначивши \widetilde Q -
1 = Q+
1 - Q+
1 Q2
\widehat Q+
2 PN(Q\ast
1)
, \widetilde Q -
2 = \widehat Q+
2 PN(Q\ast
1)
i врахувавши (51), запишемо розв’язок (50) у виглядi\Biggl[
cp
ck
\Biggr]
=
\Biggl[
PN(Q1) - Q+
1 Q2PN( \widehat Q2)
0 P
N( \widehat Q2)
\Biggr] \Biggl[
\=cp
\=ck
\Biggr]
+
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr\}
.
Нехай \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q1 = d1, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} \widehat Q2 = d2. Позначимо через PN\mu (Q1) (p \times \mu )-вимiрну матрицю,
яку складено з \mu = p - d1 лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-ортопроєктора PN(Q1), через
P
N\nu ( \widehat Q2)
(k \times \nu )-вимiрну матрицю, яку складено з \nu = k - d2 лiнiйно незалежних стовпцiв
матрицi-ортопроєктора P
N( \widehat Q2)
, а через PN\lambda (Q\ast ) (\lambda \times m)-вимiрну матрицю, яку складено з
\lambda = m - \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроєктора PN(Q\ast ).
Тодi алгебраїчне рiвняння (49) має розв’язки для тих i лише тих \alpha i f, якi задовольняють
\lambda лiнiйно незалежних умов [8]
PN\lambda (Q\ast )
\Bigl[
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr]
= 0,
при виконаннi яких воно має (\mu + \nu )-параметричну сiм’ю розв’язкiв\Biggl[
cp
ck
\Biggr]
=
\Biggl[
PN\mu (Q1) - Q+
1 Q2PN\nu ( \widehat Q2)
0 P
N\nu ( \widehat Q2)
\Biggr] \Biggl[
c\mu
c\nu
\Biggr]
+
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr\}
, (53)
де c\mu — довiльний вектор з евклiдового простору R\mu , c\nu — довiльний вектор з евклiдового
простору R\nu .
Пiдставивши (53) у (48), отримаємо загальний розв’язок крайової задачi (41), (42):
z =
\bigl[
Xp, \widetilde Uk
\bigr] \Biggl[ \Biggl[ PN\mu (Q1) - Q+
1 Q2PN\nu ( \widehat Q2)
0 P
N\nu ( \widehat Q2)
\Biggr] \Biggl[
c\mu
c\nu
\Biggr]
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
КРАЙОВI ЗАДАЧI З КЕРУВАННЯМ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ 615
+
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr\} \Biggr]
+ L+ \widetilde Hf.
Пiсля перетворень одержимо
z =
\Bigl[
X\mu , \widetilde U\nu
\Bigr] \Biggl[ c\mu
c\nu
\Biggr]
+ (Xp
\widetilde Q -
1 + \widetilde Uk
\widetilde Q -
2 )\alpha +
+L+ \widetilde Hf - (Xp
\widetilde Q -
1 + \widetilde Uk
\widetilde Q -
2 )
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f,
де X\mu = XpPN\mu (Q1) — (n\times \mu )-вимiрна матриця, а \widetilde Uk =
\bigl[
- XpQ
+
1 Q2 + \widetilde Uk
\bigr]
P
N\nu ( \widehat Q2)
— (k\times \nu )-
вимiрна матриця.
З рiвняння (53) знайдемо елемент ck :
ck = P
N\nu ( \widehat Q2)
c\nu + \widetilde Q -
2
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr\}
. (54)
Пiдставивши ck з (54) у (47), отримаємо \nu -параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних допустимих
керувань для крайової задачi (41), (42):
u = U\nu c\nu + Uk
\widetilde Q -
2
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr\}
- B+PNq(L\ast )f,
де U\nu = UkPN\nu , c\nu \in \bfR \nu — довiльний вектор.
Таким чином, для крайової задачi (41), (42), яка розглядається в евклiдовому просторi,
справджується така теорема.
Теорема 8. Нехай L : \bfL 2(\scrI ,\bfR n) \rightarrow \bfL 2(\scrI ,\bfR m), H : \bfL 2(\scrI ,\bfR n1) \rightarrow \bfL 2(\scrI ,\bfR m) i
G : \bfL 2(\scrI ,\bfR n1) \rightarrow \bfL 2(\scrI ,\bfR m) — лiнiйнi обмеженi нетеровi оператори, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q1 = d1, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} \widehat Q2 =
= d2.
Тодi неоднорiдна крайова задача (41), (42) має розв’язки для тих i лише тих \alpha \in \bfR m1 i
f(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfR n1), якi задовольняють систему s+ \lambda умов
PNs(B\ast )PNq(L\ast )f = 0,
PN\lambda (Q\ast )
\Bigl[
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr]
= 0,
при виконаннi яких вона має сiм’ю \mu + \nu лiнiйно незалежних розв’язкiв
z =
\Bigl[
X\mu , \widetilde U\nu
\Bigr] \Biggl[ c\mu
c\nu
\Biggr]
+
\bigl[
Xp
\widetilde Q -
1 + \widetilde Uk
\widetilde Q -
2
\bigr]
\alpha +
+L+ \widetilde Hf -
\bigl[
Xp
\widetilde Q -
1 + \widetilde Uk
\widetilde Q -
2
\bigr] \bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f.
При цьому крайова задача (41), (42) має \nu -параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних керувань
u = U\nu c\nu + Uk
\widetilde Q -
2
\Bigl\{
\alpha -
\bigl(
\ell L+ \widetilde H +GB+PNq(L\ast )
\bigr)
f
\Bigr\}
- B+PNq(L\ast )f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
616 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
Лiтература
1. Н. Н. Красовский, Теория управления движением, Наука, Москва (1968).
2. Р. Э. Калман, П. Л. Фалб, М. А. Арбиб, Очерки по математической теории систем, Едиториал УРСС, Москва
(2004).
3. Н. Н. Данилов, Курс математической экономики, СО РАН, Новосибирск (2002).
4. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление, Физматлит, Москва (2005).
5. D. E. Kirk, Optimal control theory: an introduction, Dover Publ., New York (2004).
6. О. А. Капустян, О. К. Мазур, Розв’язнiсть задачi оптимального керування з мiнiмальною енергiєю для однiєї
параболiчної крайової задачi з нелокальними крайовими умовами, Журн. обчислюв. та прикл. математики, 120,
№ 3, 6 – 10 (2015).
7. В. И. Зубов, Построение программных движений в линейных управляемых системах, Дифференц. уравнения,
6, № 4, 632 – 633 (1970).
8. А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко, Нормально разрешимые краевые задачи, Наук. думка, Киев
(2019).
9. О. А. Бойчук, Є. С. Войтушенко, Л. М. Шегда, Нетерова iмпульсна задача з керуванням, Нелiнiйнi коливання,
19, № 3, 362 – 366 (2016).
10. I. А. Бондар, Умови керування для не завжди розв’язних iнтегро-диференцiальних рiвнянь з виродженим ядром
та крайових задач для них, Буков. мат. журн., 4, № 1-2, 13 – 17 (2016).
11. И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник, Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов, Штиин-
ца, Кишинев (1973).
12. М. М. Попов, Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха, Математика
сьогоднi’07, вип. 13, 78 – 116 (2007).
13. С. Г. Крейн, Линейные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва (1971).
14. В. Ф. Журавлев, Критерий разрешимости и представление решений линейных n- (d)-нормальных оператор-
ных уравнений в банаховом пространстве, Укр. мат. журн., 62, № 2, 167 – 182 (2010).
15. V. F. Zhuravlev, N. P. Fomin, P. N. Zabrodskiy, Conditions of solvability and representation of the solutions of
equations with operator matrices, Ukr. Math. J., 71, № 4, 537 – 552 (2019).
Одержано 20.01.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-6537 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:39Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d0/7b14a355322612d19509650869b1cdd0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65372025-03-31T08:48:07Z Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces Крайові задачі з керуванням для операторних рівнянь у банахових просторах Boichuk , О. A. Zhuravliov , V. P. Бойчук , О. A. Журавльов, В. П. . UDC 517.935 In this paper, using the generalized inversion theory of operators, we establish a criterion for solvability and the general form of solutions of operator equations with control that are not everywhere solvable and of linear boundary-value problems for such operators in Banach spaces. В работе с использованием теории обобщенного обращенияоператоров получен критерий разрешимости и общий вид решений невезде разрешимых операторных уравнений с управлением и линейныхкраевых задач для них в банаховых пространствах. УДК 517.935 Із використанням теорії узагальненого обернення операторів отримано критерій розв'язності і загальний вигляд розв'язків не скрізь розв'язних операторних рівнянь з керуванням та лінійних крайових задач для них у банахових просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-05-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6537 10.37863/umzh.v73i5.6537 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 5 (2021); 602 - 616 Український математичний журнал; Том 73 № 5 (2021); 602 - 616 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6537/9013 Copyright (c) 2021 Валерій Пилипович Журавльов |
| spellingShingle | Boichuk , О. A. Zhuravliov , V. P. Бойчук , О. A. Журавльов, В. П. Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces |
| title | Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces |
| title_alt | Крайові задачі з керуванням для операторних рівнянь у банахових просторах |
| title_full | Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces |
| title_fullStr | Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces |
| title_short | Boundary-value problems with control for operator equations in Banach spaces |
| title_sort | boundary-value problems with control for operator equations in banach spaces |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6537 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa boundaryvalueproblemswithcontrolforoperatorequationsinbanachspaces AT zhuravliovvp boundaryvalueproblemswithcontrolforoperatorequationsinbanachspaces AT bojčukoa boundaryvalueproblemswithcontrolforoperatorequationsinbanachspaces AT žuravlʹovvp boundaryvalueproblemswithcontrolforoperatorequationsinbanachspaces AT boichukoa krajovízadačízkeruvannâmdlâoperatornihrívnânʹubanahovihprostorah AT zhuravliovvp krajovízadačízkeruvannâmdlâoperatornihrívnânʹubanahovihprostorah AT bojčukoa krajovízadačízkeruvannâmdlâoperatornihrívnânʹubanahovihprostorah AT žuravlʹovvp krajovízadačízkeruvannâmdlâoperatornihrívnânʹubanahovihprostorah |