On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane
UDC 517.968.4 We study a class of two-dimensional integral equations in the plane with monotonic nonlinearity. These equations have a lot of applications in many fields of natural science. For example, such equations arise in the dynamic theory of $p$-adic open-closed strings, in the mathematical th...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6541 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512433211179008 |
|---|---|
| author | Khachatryan , Kh. A. Petrosyan , H. S. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян , А. С. |
| author_facet | Khachatryan , Kh. A. Petrosyan , H. S. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян , А. С. |
| author_sort | Khachatryan , Kh. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:07Z |
| description | UDC 517.968.4
We study a class of two-dimensional integral equations in the plane with monotonic nonlinearity. These equations have a lot of applications in many fields of natural science. For example, such equations arise in the dynamic theory of $p$-adic open-closed strings, in the mathematical theory of spatio-temporal spread of epidemics, in the kinetic theory of gases (the Boltzmann kinetic equation in the framework of various models), in the theory of radiative transfer.
We prove a constructive existence theorem for bounded nontrivial solutions and for solutions with alternating sign. It is shown that obtained results have applications in the theory of $p$-adic open-closed strings and in mathematical biology. The methods used in the proof of the theorem make it possible to investigate a class of two-dimensional integral equations of the Urysohn type in a quadrant of the plane. At the end of the paper, we provide specific examples of applications of these equations to illustrate the obtained results. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i5.6541 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i5.6541
УДК 517.968.4
Х. А. Хачатрян (Єреван. держ. ун-т, Iн-т математики НАН Вiрменiї,
Моск. держ. ун-т iм. М. В. Ломоносова, Росiя),
А. С. Петросян (Нац. аграр. ун-т Вiрменiї, Моск. держ. ун-т iм. М. В. Ломоносова, Росiя)
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ
НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ НА ПЛОЩИНI
ТА РIВНЯННЯ УРИСОНА НА ЧВЕРТI ПЛОЩИНI*
We study a class of two-dimensional integral equations in the plane with monotonic nonlinearity. These equations have a
lot of applications in many fields of natural science. For example, such equations arise in the dynamic theory of p-adic
open-closed strings, in the mathematical theory of spatio-temporal spread of epidemics, in the kinetic theory of gases (the
Boltzmann kinetic equation in the framework of various models), in the theory of radiative transfer.
We prove a constructive existence theorem for bounded nontrivial solutions and for solutions with alternating sign. It
is shown that obtained results have applications in the theory of p-adic open-closed strings and in mathematical biology.
The methods used in the proof of the theorem make it possible to investigate a class of two-dimensional integral equations
of the Urysohn type in a quadrant of the plane. At the end of the paper, we provide specific examples of applications of
these equations to illustrate the obtained results.
Дослiджується один клас двовимiрних iнтегральних рiвнянь на площинi з монотонною нелiнiйнiстю. Багато окре-
мих випадкiв вказаного рiвняння мають застосування в рiзних областях природознавства. Зокрема, такi рiвняння
виникають у динамiчнiй теорiї p-адичних вiдкрито-замкнених струн, у математичнiй теорiї просторово-часового
поширення епiдемiї, в кiнетичнiй теорiї газiв (кiнетичне рiвняння Больцмана у рамках рiзних моделей), у теорiї
перенесення випромiнювання.
Доведено конструктивну теорему iснування обмеженого нетривiального i знакозмiнного розв’язку. Отриманi
результати застосовуються в теорiї p-адичних вiдкрито-замкнених струн i в математичнiй бiологiї. Методи, викорис-
танi при доведеннi теореми, дають можливiсть вивчити клас двовимiрних iнтегральних рiвнянь типу Урисона на
чвертi площини. Отриманi результати проiлюстровано на конкретних прикладах.
1. Вступ i постановка задачi. Розглянемо клас нелiнiйних двовимiрних iнтегральних рiвнянь
на площинi \BbbR 2 :
Q(f(x, y)) = \lambda 1(| x| , | y| )
\int
\BbbR 2
K(x - x\prime , y - y\prime )\lambda 2(| x\prime | , | y\prime | )f(x\prime , y\prime )dx\prime dy\prime ,
(x, y) \in \BbbR 2 := \BbbR \times \BbbR ,
(1)
вiдносно шуканої обмеженої функцiї f(x, y). У рiвняннi (1) ядро K — визначена на \BbbR 2 вимiрна
й обмежена функцiя, що задовольняє такi умови:
I) K(x, y) > 0, (x, y) \in \BbbR 2,
\int
\BbbR 2
K(x, y)dxdy = 1,
II) моменти ядра K до другого порядку включно скiнченнi:
mj :=
\infty \int
0
\infty \int
0
xjK(x, y)dxdy < +\infty , j = 0, 1, 2,
III) K(x, y) = K(y, x), (x, y) \in \BbbR 2
+ := \BbbR + \times \BbbR +, \BbbR + := [0,+\infty ), K( - x, s) = K(x, s),
x \in \BbbR +, s \in \BbbR ,
Пiдтримано грантом Росiйського наукового фонду (проєкт № 19-11-00223).
c\bigcirc Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5 695
696 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
IV) при кожному фiксованому y \in \BbbR + ядро K(x, y) монотонно спадає по x на \BbbR +,
V) для всiх точок площини вигляду A = (x - x\prime , y - y\prime ), B = (x + x\prime , y - y\prime ), C =
= (x+ x\prime , y + y\prime ), D = (x - x\prime , y + y\prime ), x, x\prime , y, y\prime \in \BbbR +, виконується нерiвнiсть
K(A) +K(C) \geq K(B) +K(D).
Функцiї \lambda 1 i \lambda 2 визначенi на множинi \BbbR 2
+ i мають такi властивостi:
1) 0 \leq \lambda 1(u, v) \leq 1, \lambda 2(u, v) \geq 1, (u, v) \in \BbbR 2
+,
2) 1 - \lambda 1 \in L1(\BbbR 2
+), \lambda 2 - 1 \in L1(\BbbR 2
+), \lambda 1 \in C(\BbbR 2
+),
3)
\int \infty
0
u
\int \infty
0
(1 - \lambda 1(u, v))dvdu < +\infty ,
\int \infty
0
(1 - \lambda 1(u, v))dv \in L\infty (\BbbR +).
Рiвняння (1), окрiм теоретичного iнтересу, має застосування в рiзних напрямках природознав-
ства. Зокрема, численнi окремi випадки рiвняння (1) виникають у теорiї p-адичних вiдкрито-
замкнених струн, у математичнiй теорiї географiчного (просторово-часового) поширення епi-
демiї, в газовiй динамiцi (у кiнетичних рiвняннях Больцмана у рамках рiзних моделей), у теорiї
перенесення випромiнювання (див. [1 – 8]). У одновимiрному випадку, коли \lambda 1 \equiv 1, при рiзних
обмеженнях на Q, \lambda 2 i K рiвняння (1) досить детально дослiджено в роботах [3, 9 – 12]. Дво-
вимiрний випадок рiвняння (1) було вивчено в роботi [13] лише при \lambda 1 = \lambda 2 \equiv 1, з ядром
K(x, y) = K0(x)K1(y), де K0 i K1 задовольняють одновимiрну умову консервативностi, є
парними iстотно обмеженими i монотонно спадними функцiями на додатнiй частинi числової
осi.
Щодо нелiнiйностi Q (див. рисунок) припустимо виконання таких умов:
A) функцiя Q визначена на вiдрiзку [ - \xi , \xi ], де \xi — перший додатний корiнь рiвняння
Q(u) = (1 +M)u, а число M визначається спiввiдношенням
M := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,y)\in \BbbR 2
K(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(\lambda 2(x, y) - 1)dxdy, (2)
B) Q \uparrow на вiдрiзку [ - \xi , \xi ], Q \in C[ - \xi , \xi ],
C) Q — непарна функцiя на [ - \xi , \xi ],
D) Q строго опукла донизу на вiдрiзку [0, \xi ] i рiвняння Q(u) =
u
4
має додатний розв’язок
\xi 0, \xi 0 < \xi .
У цiй статтi за умов I – V, 1 – 3 i A – D ми доведемо конструктивну теорему iснування обмеже-
ного нетривiального i знакозмiнного розв’язку. За допомогою методiв, розроблених у доведеннi
основного результату, вдається також дослiдити клас нелiнiйних iнтегральних рiвнянь типу
Урисона
\varphi (x, y) =
\infty \int
0
\infty \int
0
U(x, x\prime , y, y\prime , \varphi (x\prime , y\prime ))dx\prime dy\prime , (x, y) \in \BbbR 2
+, (3)
припускаючи при цьому, що для вiдповiдного нелiнiйного iнтегрального оператора Урисона
мiнорантою в сенсi М. О. Красносельського є нелiнiйний оператор вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 697
(A\varphi )(x, y) =
\lambda 1(x, y)
1 +M
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))\times
\times g((1 +M)\varphi (x\prime , y\prime ))dx\prime dy\prime , (x, y) \in \BbbR 2
+, (4)
де число M задано згiдно з формулою (2), точки A,B,C i D визначено в умовi V, а g —
функцiя, обернена до функцiї Q на вiдрiзку [ - \xi , \xi ]. Насамкiнець наведено конкретнi приклади
вказаного рiвняння, що мають застосування в теорiї p-адичних вiдкрито-замкнених струн i в
математичнiй теорiї просторово-часового поширення епiдемiї.
2. Позначення i допомiжнi факти. 2.1. Про одновимiрнi консервативнi рiвняння Воль-
терра з рiзницевими ядрами. Розглянемо клас iнтегральних рiвнянь Вольтерра з рiзницевим
ядром на пiвосi
\psi (x) = g(x) +
\infty \int
x
T (t - x)\psi (t)dt, x \in \BbbR +, (5)
вiдносно шуканої функцiї \psi (x). Вiльний член g(x) задовольняє умови
g(x) \geq 0, g(x) \not \equiv 0, x \in \BbbR +, mj(g) :=
\infty \int
0
xjg(x)dx < +\infty , j = 0, 1, (6)
а ядро T — визначена на множинi \BbbR + вимiрна й iстотно обмежена функцiя з властивiстю
консервативностi:
T (x) > 0, x \in \BbbR +,
\infty \int
0
T (x)dx = 1. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
698 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
Згiдно з результатами роботи [14] рiвняння (5) має додатний сумовний розв’язок \psi . З умов, що
накладаються на ядро K, випливає, що функцiї
g(x) = 4
\infty \int
0
\infty \int
2x
K(t, \tau )dtd\tau , x \in \BbbR +, (8)
T (x) = 4
\infty \int
0
K(x, \tau )d\tau , x \in \BbbR +, (9)
задовольняють вiдповiдно умови (6) i (7). Отже, рiвняння (5) з вiльним членом (8) i з ядром (9)
має додатний сумовний розв’язок.
Зауважимо, що функцiя g має додатковi властивостi
g \in L\infty (\BbbR +), g(x) \downarrow по x на \BbbR +, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
g(x) = 0. (10)
Нескладно переконатися, що розв’язок \psi рiвняння (5) наслiдує властивостi (10) вiльного члена
g, тобто
\psi \in L\infty (\BbbR +), \psi (x) \downarrow по x на \BbbR +,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\psi (x) = 0.
2.2. Про одне допомiжне двовимiрне iнтегральне рiвняння типу Вольтерра. Розглянемо
двовимiрне iнтегральне рiвняння на \BbbR 2
+ :
\rho (x, y) = G(x, y) +
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )\rho (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (x, y) \in \BbbR 2
+, (11)
в якому вiльний член G(x, y) i ядро W (x, x\prime , y, y\prime ) мають вигляд
G(x, y) := g(x) + g(y) - 4
\infty \int
2x
\infty \int
2y
K(t, \tau )d\tau dt, (x, y) \in \BbbR 2
+, (12)
W (x, x\prime , y, y\prime ) = 4(K(A) +K(C) - K(B) - K(D)), x, x\prime , y, y\prime \in \BbbR +. (13)
Введемо послiдовнi наближення
\rho n+1(x, y) = G(x, y) +
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )\rho n(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime ,
\rho 0(x, y) = G(x, y), n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+.
(14)
Зазначимо, що
G(x, y) \geq 0, (x, y) \in \BbbR 2
+. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 699
Iндукцiєю по n доведемо, що
\rho n \uparrow по n.
Нерiвнiсть \rho 1(x, y) \geq \rho 0(x, y), (x, y) \in \BbbR 2
+, безпосередньо випливає з (15) i умови V. При-
пускаючи, що \rho n(x, y) \geq \rho n - 1(x, y) при деякому натуральному n, i знову враховуючи (15) i
умову V, iз (14) отримуємо \rho n+1(x, y) \geq \rho n(x, y).
Тепер доведемо, що
\rho n(x, y) \leq \psi (x) + \psi (y), n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+. (16)
Оцiнка (16) при n = 0 безпосередньо випливає з простого ланцюжка нерiвностей
\rho 0(x, y) = G(x, y) \leq g(x) + g(y) \leq \psi (x) + \psi (y), (x, y) \in \BbbR 2
+. (17)
Припустимо, що (16) виконується при деякому натуральному n. Тодi з огляду на (17), (15),
умову V i просту нерiвнiсть
W (x, x\prime , y, y\prime ) \leq 4K(x - x\prime , y - y\prime ), x, x\prime , y, y\prime \in \BbbR +,
iз (14) отримуємо
\rho n+1(x, y) \leq G(x, y) +
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )(\psi (x\prime ) + \psi (y\prime ))dy\prime dx\prime \leq
\leq g(x) + g(y) + 4
\infty \int
x
\infty \int
y
K(x - x\prime , y - y\prime )(\psi (x\prime ) + \psi (y\prime ))dy\prime dx\prime =
= g(x) + g(y) +
\infty \int
x
T (x\prime - x)\psi (x\prime )dx\prime +
\infty \int
y
T (y\prime - y)\psi (y\prime )dy\prime = \psi (x) + \psi (y).
Можна також довести, що кожен елемент послiдовностi \{ \rho n(x, y)\} \infty n=0 є неперервною функцiєю
за сукупнiстю своїх аргументiв на множинi \BbbR 2
+. У справедливостi останнього твердження
можна переконатися з використанням методу математичної iндукцiї i вiдомого факту про те,
що згортка обмеженої i сумовної функцiй є неперервною функцiєю (див. [15]).
Отже, на основi вищевикладеного можна стверджувати, що послiдовнiсть неперервних на
\BbbR 2
+ функцiй \{ \rho n(x, y)\} \infty n=0 має поточкову границю при n\rightarrow \infty :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\rho n(x, y) = \rho (x, y),
причому гранична функцiя задовольняє нерiвнiсть
G(x, y) \leq \rho (x, y) \leq \psi (x) + \psi (y), (x, y) \in \BbbR 2
+.
Згiдно з граничною теоремою Б. Левi (див. [16]) \rho (x, y) є розв’язком рiвняння (11).
Разом iз рiвнянням (11) розглянемо спецiальне неоднорiдне двовимiрне iнтегральне рiвнян-
ня типу Вольтерра
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
700 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
B(x, y) = 1 - \lambda 1(x, y) + \lambda 1(x, y)
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )B(x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (x, y) \in \BbbR 2
+, (18)
вiдносно шуканої функцiї B(x, y). Позначимо через \~\psi (x) невiд’ємний нетривiальний сумовний
i обмежений на \BbbR + розв’язок одновимiрного рiвняння Вольтерра
\~\psi (x) = \~g(x) +
\infty \int
x
T (t - x) \~\psi (t)dt, x \in \BbbR +,
де
\~g(x) :=
\infty \int
0
(1 - \lambda 1(x, y))dy, x \in \BbbR +, (19)
а ядро T задається за допомогою формули (9). Згiдно з умовами 1 – 3 функцiя \~g задовольняє
умови (6) i \~g \in L\infty (\BbbR +).
Розглянемо простi iтерацiї
Bn+1(x, y) = 1 - \lambda 1(x, y) + \lambda 1(x, y)
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )Bn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime ,
B0(x, y) \equiv 0, n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+.
(20)
Iндукцiєю, з урахуванням властивостей функцiй \lambda 1 i K , нескладно переконатися, що
Bn(x, y) \uparrow по n. (21)
Нижче переконаємося, що для кожного n \in \BbbN \cup \{ 0\} має мiсце оцiнка зверху
\infty \int
0
Bn(x, y)dy \leq \~\psi (x), x \in \BbbR +, n = 0, 1, 2, . . . . (22)
Нерiвнiсть (22) при n = 0 є очевидною. Припустимо, що (22) виконується при деякому n \in \BbbN .
Тодi, враховуючи нерiвнiсть
W (x, x\prime , y, y\prime ) \leq 4K(x - x\prime , y - y\prime ), x, x\prime , y, y\prime \in \BbbR +,
i позначення (19), з (20) одержуємо
\infty \int
0
Bn+1(x, y)dy \leq \~g(x) + 4
\infty \int
0
\infty \int
x
\infty \int
y
K(x - x\prime , y - y\prime )Bn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime dy =
= \~g(x) + 4
\infty \int
x
\infty \int
0
\infty \int
y
K(x - x\prime , y - y\prime )Bn(x
\prime , y\prime )dy\prime dydx\prime =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 701
= \~g(x) + 4
\infty \int
x
\infty \int
0
\left( y\prime \int
0
K(x - x\prime , y - y\prime )dy
\right) Bn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime \leq
\leq \~g(x) + 4
\infty \int
x
\infty \int
0
\left( \infty \int
0
K(x - x\prime , \tau )d\tau
\right) Bn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime =
= \~g(x) + 4
\infty \int
0
\infty \int
x
\infty \int
0
K(x - x\prime , \tau )d\tau Bn(x
\prime , y\prime )dx\prime dy\prime =
= \~g(x) +
\infty \int
0
\infty \int
x
T (x\prime - x)Bn(x
\prime , y\prime )dx\prime dy\prime =
= \~g(x) +
\infty \int
x
T (x\prime - x)
\infty \int
0
Bn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime \leq \~g(x) +
\infty \int
x
T (x\prime - x) \~\psi (x\prime )dx\prime = \~\psi (x).
Iндукцiєю по n також можна довести, що для будь-якого n \in \BbbN \cup \{ 0\} Bn(x, y) є вимiрною
на \BbbR 2
+. Отже, на пiдставi доведеного i теореми Б. Левi отримуємо, що послiдовнiсть функцiй
\{ Bn(x, y)\} \infty n=0 при кожному фiксованому x \in \BbbR + майже скрiзь на \BbbR + (по y) має границю при
n\rightarrow \infty :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
Bn(x, y) = B(x, y),
причому гранична функцiя задовольняє рiвняння (18). Iз (21) i (22) випливає також, що
B(x, y) \geq 1 - \lambda 1(x, y), (x, y) \in \BbbR 2
+,
\infty \int
0
B(x, y)dy \leq \~\psi (x), x \in \BbbR +.
2.3. Основна лема. Розглянемо лiнiйне iнтегральне рiвняння бiльш загального вигляду
p(x, y) = G(x, y)\lambda 1(x, y) + 1 - \lambda 1(x, y)+
+\lambda 1(x, y)
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )p(x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (x, y) \in \BbbR 2
+ (23)
вiдносно шуканої функцiї p(x, y), де функцiї G i W задаються згiдно з формулами (12) i (13)
вiдповiдно. Введемо послiдовнi наближення
pn+1(x, y) = G(x, y)\lambda 1(x, y) + 1 - \lambda 1(x, y)+
+\lambda 1(x, y)
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )pn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime ,
p0(x, y) = G(x, y)\lambda 1(x, y) + 1 - \lambda 1(x, y), n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
702 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
Iндукцiєю легко можна довести, що
pn(x, y) \uparrow по n,
pn(x, y) \leq 1, n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+,
pn(x, y) \leq \rho (x, y) +B(x, y), n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+.
Отже, послiдовнiсть функцiй \{ pn(x, y)\} \infty n=0 має поточкову границю при n \rightarrow \infty :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty pn(x, y) = p(x, y), причому p(x, y) задовольняє рiвняння (23) (згiдно з теоремою Б. Ле-
вi) i виконуються нерiвностi
p(x, y) \leq 1, (x, y) \in \BbbR 2
+, (24)
0 \leq G(x, y)\lambda 1(x, y) + 1 - \lambda 1(x, y) \leq p(x, y) \leq \rho (x, y) +B(x, y), (x, y) \in \BbbR 2
+. (25)
Таким чином, згiдно з властивостями функцiй \rho i B з (25) випливає, що
\infty \int
0
(p(x, y) - \psi (x))dy \leq
\infty \int
0
\psi (y)dy +
\infty \int
0
B(x, y)dy \leq
\infty \int
0
\psi (y)dy + \~\psi (x), x \in \BbbR +. (26)
З iншого боку, безпосередньою перевiркою можна переконатися, що рiвнiсть p\ast (x, y) \equiv 1
задовольняє рiвняння (23).
На пiдставi (24) i (26) функцiя
\Phi (x, y) := 1 - p(x, y) \geq 0, (x, y) \in \BbbR 2
+,
i
\Phi (x, y) \not \equiv 0, (x, y) \in \BbbR 2
+,
причому очевидно, що \Phi (x, y) = 1 - p(x, y) є розв’язком однорiдного рiвняння
\Phi (x, y) = \lambda 1(x, y)
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )\Phi (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (x, y) \in \BbbR 2
+. (27)
Iз (24) – (26) безпосередньо випливає, що
0 \leq \Phi (x, y) \leq 1, (x, y) \in \BbbR 2
+, (28)
\infty \int
0
(1 - \Phi (x, y) - \psi (x))dy \leq
\infty \int
0
\psi (y)dy + \~\psi (x), x \in \BbbR +. (29)
Отже, ми довели таку лему.
Лема (основна). За умов I – V, 1 – 3 лiнiйне однорiдне рiвняння (27) має нетривiальний
невiд’ємний обмежений розв’язок \Phi (x, y), причому цей розв’язок має додатковi властивос-
тi (28), (29).
Доведена лема вiдiграє iстотну роль в дослiдженнi основного рiвняння (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 703
3. Про розв’язнiсть рiвняння (1). 3.1. Зведення рiвняння (1) до нелiнiйного iнтегрально-
го рiвняння на чвертi площини. Безпосередньою перевiркою можна переконатися, що якщо
\varphi (x, y) є невiд’ємним нетривiальним неперервним i обмеженим розв’язком нелiнiйного iнтег-
рального рiвняння
Q(F (x, y)) =
= \lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))\lambda 2(x
\prime , y\prime )F (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (30)
(x, y) \in \BbbR 2
+,
то функцiя
f(x, y) :=
\left\{
F (x, y), x \geq 0, y \geq 0,
- F ( - x, y), x < 0, y > 0,
- F (x, - y), x > 0, y < 0,
F ( - x, - y), x < 0, y < 0,
(31)
буде знакозмiнним нетривiальним неперервним i обмеженим розв’язком основного рiвняння (1).
Бiльш того, якщо f(x, y) є нетривiальним неперервним знакозмiнним i обмеженим розв’язком
рiвняння (1), причому
f(x, y) \geq 0 при xy \geq 0
i
f(x, y) < 0 при xy < 0,
то F (x, y) = f(x, y) при x > 0, y > 0 буде невiд’ємним обмеженим i неперервним розв’язком
рiвняння (30).
3.2. Послiдовнi наближення для нелiнiйного рiвняння (30). Розглянемо послiдовнi набли-
ження для iнтегрального рiвняння (30):
Q(Fn+1(x, y)) =
= \lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))\lambda 2(x
\prime , y\prime )Fn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (32)
F0(x, y) = \xi , n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+,
де число \xi визначається з умови A.
Iндукцiєю доведемо, що
Fn(x, y) \leq Fn - 1(x, y), n = 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+, (33)
Fn \in C(\BbbR 2
+), n = 0, 1, 2, . . . , (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
704 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
Fn(x, y) \geq \xi 0\Phi (x, y), n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+, (35)
де \xi 0 — точка перетину прямої y =
u
4
i графiка функцiї y = Q(u).
Неперервнiсть нульового наближення безпосередньо випливає з означення, а нерiвнiсть
F0(x, y) \geq \xi 0\Phi (x, y) отримується з (28) i умови \xi > \xi 0.
Доведемо, що
F1(x, y) \leq F0(x, y)
i
F1(x, y) \geq \xi 0\Phi (x, y), (x, y) \in \BbbR 2
+.
Справдi, враховуючи очевидну нерiвнiсть K(C) \leq K(B) +K(D) й умови V, 1, 2, з (27) i (32)
одержуємо
Q(F1(x, y)) = \xi \lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))\lambda 2(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime \leq
\leq \xi
\infty \int
0
\infty \int
0
K(x - x\prime , y - y\prime )\lambda 2(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime =
= \xi
\infty \int
0
\infty \int
0
K(x - x\prime , y - y\prime )(\lambda 2(x
\prime , y\prime ) - 1)dy\prime dx\prime + \xi
\infty \int
0
\infty \int
0
K(x - x\prime , y - y\prime )dy\prime dx\prime \leq
\leq \xi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,y)\in \BbbR 2
K(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(\lambda 2(x
\prime , y\prime ) - 1)dy\prime dx\prime + \xi =
= \xi (M + 1) = Q(\xi ) = Q(F0(x, y)),
Q(F1(x, y)) \geq \xi 0\lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))\lambda 2(x
\prime , y\prime )\Phi (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime \geq
\geq \xi 0\lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))\Phi (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime \geq
\geq \xi 0
\lambda 1(x, y)
4
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )\Phi (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime =
\xi 0
4
\Phi (x, y) \geq Q(\xi 0\Phi (x, y)).
Iз отриманих нерiвностей внаслiдок монотонностi функцiї Q випливає, що
F1(x, y) \leq F0(x, y),
F1(x, y) \geq \xi 0\Phi (x, y), (x, y) \in \BbbR 2
+.
Припустимо тепер, що твердження (33) – (35) справедливi при деякому натуральному n. Тодi,
записуючи iтерацiї (32) у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 705
Q(Fn+1(x, y)) =
= \lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))(\lambda 2(x
\prime , y\prime ) - 1)Fn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime +
+\lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))Fn(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (36)
F0(x, y) = \xi , n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+,
i при цьому враховуючи неперервнiсть функцiї \lambda 1 на \BbbR 2
+, а також той факт, що згортка обмеже-
ної й сумовної функцiй є неперервною функцiєю, з (36) отримуємо, що функцiя Q(Fn+1(x, y))
є неперервною на \BbbR 2
+.
Тепер доведемо, що
\xi 0\Phi (x, y) \leq Fn+1(x, y) \leq Fn(x, y), (x, y) \in \BbbR 2
+. (37)
Враховуючи умови V, 1, 2, (27) й iндукцiйне припущення, з (32) одержуємо
Q(Fn+1(x, y)) \geq \xi 0
\lambda 1(x, y)
4
\infty \int
x
\infty \int
y
W (x, x\prime , y, y\prime )\Phi (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime =
=
\xi 0
4
\Phi (x, y) \geq Q(\xi 0\Phi (x, y))
i
Q(Fn+1(x, y)) \leq
\leq \lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))\lambda 2(x
\prime , y\prime )Fn - 1(x
\prime , y\prime )dy\prime dx\prime = Q(Fn(x, y)).
Внаслiдок монотонностi Q з отриманих оцiнок приходимо до (37).
Оскiльки Fn+1(x, y) задовольняє нерiвнiсть (37), то внаслiдок умови B i неперервностi
Q(Fn+1(x, y)) на \BbbR 2
+ випливає, що функцiя Fn+1(x, y) неперервна на \BbbR 2
+.
Отже, на пiдставi властивостей (33) – (35) можемо стверджувати, що послiдовнiсть непе-
рервних функцiй \{ Fn(x, y)\} \infty n=0 має поточкову границю при n\rightarrow \infty :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
Fn(x, y) = F (x, y),
причому гранична функцiя F (x, y) за теоремою Б. Левi, внаслiдок монотонностi i неперервностi
Q, задовольняє рiвняння (30).
Iз (32), (33) i (35) випливає також, що
\xi 0\Phi (x, y) \leq F (x, y) \leq \xi , (x, y) \in \BbbR 2
+. (38)
Оскiльки згортка сумовної й обмеженої функцiй є неперервною функцiєю, то, записуючи рiв-
няння (32) у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
706 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
Q(F (x, y)) =
= \lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))(\lambda 2(x
\prime , y\prime ) - 1)F (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime +
+\lambda 1(x, y)
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))F (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime , (x, y) \in \BbbR 2
+,
i враховуючи неперервнiсть функцiй \lambda 1 i Q, а також монотоннiсть функцiї Q, робимо висновок,
що \varphi належить C(\BbbR 2
+).
Отже, на основi викладених фактiв у п. 3 можемо сформулювати основний результат цiєї
статтi.
Теорема 1. За умов A – D, I – V i 1 – 3 рiвняння (1) має нетривiальний знакозмiнний непе-
рервний i обмежений на \BbbR 2
+ розв’язок, що задається формулою (31), де F (x, y) є невiд’ємним
неперервним нетривiальним обмеженим розв’язком рiвняння (30) i задовольняє подвiйну нерiв-
нiсть (38).
Зауваження 1. Легко переконатися, що в окремому випадку, коли ядро K(x, y) допускає
зображення
K(x, y) = K0(x)K0(y), (x, y) \in \BbbR 2,
де
0 \leq K0 \in L1(\BbbR ) \cap M(\BbbR ),
\infty \int
0
tjK0(t)dt < +\infty , j = 0, 1, 2,
\infty \int
- \infty
K0(t)dt = 1,
K0( - t) = K0(t), t \geq 0, K0 \downarrow на \BbbR +,
умови I – V виконуються автоматично.
Зауваження 2. Доведену теорему легко можна поширити на вiдповiднi багатовимiрнi iнте-
гральнi рiвняння.
4. Обмежений розв’язок двовимiрного iнтегрального рiвняння Урисона на чвертi пло-
щини. 4.1. Постановка задачi. Теорема iснування. Розглянемо нелiнiйне iнтегральне рiв-
няння Урисона вигляду (3) вiдносно шуканої вимiрної й обмеженої функцiї \varphi (x, y). У рiвняннi
(3) U(x, x\prime , y, y\prime , z) — визначена на множинi \BbbR 5
+ := \BbbR +\times \BbbR +\times \BbbR +\times \BbbR +\times \BbbR + функцiя з такими
властивостями:
a) U(x, x\prime , y, y\prime , z) задовольняє умову Каратеодорi за аргументом z на множинi \Sigma := \BbbR 4
+ \times
\times [0, \xi ] (\xi — єдиний додатний корiнь рiвняння Q(u) = (1 +M)u), тобто при кожному фiк-
сованому z \in [0, \xi ] функцiя U вимiрна за сукупнiстю аргументiв (x, x\prime , y, y\prime ) на множинi
\BbbR 4
+ := \BbbR + \times \BbbR + \times \BbbR + \times \BbbR + i майже для всiх (x, x\prime , y, y\prime ) \in \BbbR 4
+ функцiя U неперервна по z на
вiдрiзку [0, \xi ],
b) для будь-якої вимiрної функцiї \varphi (x, y) такої, що 0 \leq \varphi (x, y) \leq \xi (x, y) \in \BbbR 2
+, функцiя\int \infty
0
\int \infty
0
U(x, x\prime , y, y\prime , \varphi (x\prime , y\prime ))dy\prime dx\prime вимiрна по (x, y) на \BbbR 2
+,
c) при кожному фiксованому (x, x\prime , y, y\prime ) \in \BbbR 4
+ функцiя U(x, x\prime , y, y\prime , z) монотонно зростає
по z на вiдрiзку [0, \xi ],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 707
d) U(x, x\prime , y, y\prime , z) \geq \lambda 1(x, y)
1 +M
(K(A)K(C) - K(B) - K(D))g((1 +M)z)(x, x\prime , y, y\prime , z) \in \Sigma ,
де g — функцiя, обернена до функцiї Q на вiдрiзку [0, \xi ], а число M задається згiдно з формулою
(2),
e)
\int \infty
0
\int \infty
0
U(x, x\prime , y, y\prime , \xi )dy\prime dx\prime \leq \xi , (x, y) \in \BbbR 2
+.
У цьому пунктi з використанням методiв доведення теореми 1 встановимо iснування не-
вiд’ємного нетривiального й обмеженого розв’язку рiвняння (3).
Справедлива така теорема.
Теорема 2. За умов a) – e) рiвняння (3) має невiд’ємний нетривiальний вимiрний i обмеже-
ний на \BbbR 2
+ розв’язок.
4.2. Доведення теореми 2. Розглянемо для рiвняння (3) спецiальнi iтерацiї
\varphi n+1(x, y) =
\infty \int
0
\infty \int
0
U(x, x\prime , y, y\prime , \varphi n(x
\prime , y\prime ))dy\prime dx\prime ,
\varphi 0(x, y) =
Q(F (x, y))
1 +M
, n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+,
(39)
де F (x, y) — неперервний невiд’ємний нетривiальний i обмежений розв’язок рiвняння (4).
Iндукцiєю по n нескладно довести, що
\varphi n(x, y) \uparrow по n, (40)
\varphi n(x, y) \leq \xi , n = 0, 1, 2, . . . , (x, y) \in \BbbR 2
+. (41)
Cправдi, враховуючи (38), монотоннiсть функцiї Q й умову B, маємо
\varphi 0(x, y) =
Q(F (x, y))
1 +M
\leq Q(\xi )
1 +M
= \xi .
На пiдставi (30) i умов c), d) з (39) отримуємо
\varphi 1(x, y) \geq
\lambda 1(x, y)
1 +M
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))g
\biggl(
(1 +M)
Q(F (x\prime , y\prime ))
1 +M
\biggr)
dy\prime dx\prime =
=
\lambda 1(x, y)
1 +M
\infty \int
0
\infty \int
0
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))F (x\prime , y\prime )dy\prime dx\prime =
Q(F (x, y))
1 +M
= \varphi 0(x, y).
Припускаючи, що \varphi n(x, y) \geq \varphi n - 1(x, y) i \varphi n(x, y) \leq \xi при деякому n \in \BbbN , i використовуючи
монотоннiсть функцiї U по z на вiдрiзку [0, \xi ], з (39) одержуємо
\varphi n+1(x, y) \geq
\infty \int
0
\infty \int
0
U(x, x\prime , y, y\prime , \varphi n - 1(x
\prime , y\prime ))dy\prime dx\prime = \varphi n(x, y),
\varphi n+1(x, y) \leq
\infty \int
0
\infty \int
0
U(x, x\prime , y, y\prime , \xi )dy\prime dx\prime \leq \xi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
708 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
Нижче переконаємося, що кожна функцiя з послiдовностi \{ \varphi n(x, y)\} \infty n=0 є вимiрною по (x, y)
на \BbbR 2
+.
Вимiрнiсть нульового наближення безпосередньо випливає з неперервностi функцiї
Q(F (x, y)) на \BbbR 2
+. Припустимо, що при деякому n \in \BbbN функцiя \varphi n(x, y) вимiрна по (x, y)
на \BbbR 2
+. Тодi, враховуючи умову b), з (39) отримуємо, що \varphi n+1(x, y) також вимiрна по (x, y)
на \BbbR 2
+.
Таким чином, з (40) i (41) випливає, що послiдовнiсть вимiрних функцiй \{ \varphi n(x, y)\} \infty n=0 має
поточкову границю при n\rightarrow \infty :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\varphi n(x, y) = \varphi (x, y),
причому гранична функцiя також вимiрна по (x, y) \in \BbbR 2
+ i подвiйнiй нерiвностi
Q(F (x, y))
1 +M
\leq \varphi (x, y) \leq \xi , (x, y) \in \BbbR 2
+.
З урахуванням умови a) за теоремою Б. Левi i теоремою М. О. Красносельського (див. [17])
гранична функцiя \varphi (x, y) задовольняє рiвняння (3).
Теорему 2 доведено.
Зауваження 3. Теорема 2 узагальнює i доповнює теорему 6 iз роботи [12] i теорему 1 iз
роботи [18].
Зауваження 4. На завершення цього пункту наведемо кiлька прикладiв ядра Урисона U,
для якого виконуються всi умови теореми 2:
u1) U(x, x\prime , y, y\prime , z) =
\lambda 1(x, y)
1 +M
(K(A)+K(C) - K(B) - K(D))g((1+M)z), (x, x\prime , y, y\prime , z) \in
\in \Sigma ,
u2) U(x, x\prime , y, y\prime , z) =
\lambda 1(x, y)
1 +M
(K(A) +K(C) - K(B) - K(D))g((1 +M)z) +K(C)g0(z),
(x, x\prime , y, y\prime , z) \in \Sigma , де g0(z) — неперервна i монотонно зростаюча функцiя на вiдрiзку [0, \xi ],
причому g0(0) = 0, g0(\xi ) = \xi ,
u3) U(x, x\prime , y, y\prime , z) =
\lambda 1(x, y)
1 +M
K(A)g((1 +M)z) +K(C)g0(z), (x, x
\prime , y, y\prime , z) \in \Sigma .
Наведемо також приклади функцiй g i g0 :
g1) g(z) = z
1
n , n > 1, n \in \BbbN , z \in \BbbR +,
\~g1) g0(z) =
zp
\xi p - 1
, p > 1, p \in \BbbN , z \in \BbbR +, \xi > 0,
g2) g(z) =
z
1
n + \gamma (1 - e - z)
2
, n \in \BbbN , n > 1, \gamma > 1, \gamma \in \BbbR , z \in \BbbR +,
\~g2) g0(z) =
\sqrt{}
e
z
\xi
- 1
\xi
\surd
z\xi , z \in \BbbR +, \xi > 0.
5. Застосування i приклади. 5.1. Застосування в теорiї \bfitp -адичних вiдкрито-замкнених
струн. У теорiї p-адичних вiдкрито-замкнених струн виникають такi нелiнiйнi iнтегральнi
рiвняння на множинi \BbbR :
hp(x)\mu
p(p - 1)
2 (x) =
1\surd
\pi
\infty \int
- \infty
e - (x - t)2h(t)dt, x \in \BbbR , (42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 709
вiдносно шуканої функцiї h. У рiвняннi (42) h i \mu — тахiоннi поля для вiдкритих i замкнених
струн (див. [2, 3]), а число p \equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4). Тут функцiя \mu — парний розв’язок крайової задачi
\mu p
2
(x) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
- \infty
e - 2(x - t)2\mu (t)dt, x \in \BbbR , (43)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \pm \infty
\mu (x) = 1, (44)
кратностi нулiв \sigma k, k = 1, 2, . . . ,m, функцiй \mu p
2
(x) задовольняють умову
\sigma k <
2p2
p - 1
i \mu (x) має таку властивiсть:
\mu -
p - 1
2 - 1 \in L1(\BbbR +).
Покладемо f(x) := h(x)\mu
p - 1
2 (x). Тодi внаслiдок (43) i (44) вiдносно f приходимо до граничної
задачi
fp(x) =
1\surd
\pi
\infty \int
- \infty
e - (x - t)2\mu -
p - 1
2 (t)f(t)dt, x \in \BbbR , (45)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \pm \infty
f(x) = \pm 1. (46)
Виходячи з властивостей функцiї \mu , легко можна перевiрити, що \lambda 2 := \mu -
p - 1
2 (x) задовольняє
умови 1 – 3 для функцiї \lambda 2 при n = 1. Очевидно, що ядро K(x) =
1\surd
\pi
e - x2
має властивостi
I – V.
З отриманих результатiв випливає, що рiвняння (45) має нетривiальний знакозмiнний обме-
жений i неперервний розв’язок. Використовуючи результати роботи [3], можна довести також,
що цей розв’язок має граничнi спiввiдношення (46) i є єдиним у певному класi непарних
обмежених функцiй, що мають границю \pm 1 вiдповiдно на \pm \infty .
5.2. Застосування в математичнiй теорiї просторово-часового поширення епiдемiї. У
математичнiй теорiї географiчного поширення епiдемiї зустрiчаються нелiнiйнi багатовимiрнi
iнтегральнi рiвняння вигляду (див. [5, 6])
u(t, x) = \lambda 1(x)
\infty \int
0
H(\tau )
\int
\BbbR 2
g(u(t - \tau , y))\lambda 2(y)K(x - y)dyd\tau ,
t \in ( - \infty , T ], x = (x1, x2) \in \BbbR 2,
(47)
щодо шуканої функцiї u(t, x), де
g(u) =
\Biggl\{
S0(1 - e - u), u \geq 0,
S0(e
u - 1), u < 0,
S0 \gg 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
710 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
У рiвняннi (47) H задовольняє умови
H(\tau ) > 0, \tau \in \BbbR +, H \in L1(\BbbR +) \cap CM (\BbbR +),
\infty \int
0
H(\tau )d\tau = 1,
де CM (\BbbR +) — простiр неперервних i обмежених функцiй на множинi \BbbR +, а ядро K має
властивостi I – IV. Функцiї \lambda 1 i \lambda 2 задовольняють умови 1 – 3.
Безпосередньою перевiркою можна переконатися, що якщо ядро K має також властивiсть
V, Q = g - 1 задовольняє умови A – D, то функцiя u(t, x) = u(t, x1, x2) = Q(f(x1, x2)) є стацiо-
нарним розв’язком рiвняння (47), де f — обмежений i знакозмiнний розв’язок iнтегрального
рiвняння
Q(f(x1, x2)) = \lambda 1(x1, x2)
\int
\BbbR 2
K(x1 - y1, x2 - y2)\lambda 2(y1, y2)f(y1, y2)dy1dy2, (x1, x2) \in \BbbR 2,
з нелiнiйнiстю
Q(u) =
\left\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
S0
S0 - u
, u \in [0, S0),
- \mathrm{l}\mathrm{n}
S0
S0 + u
, u \in ( - S0, 0].
Слiд зазначити, що функцiя
S(t, x1, x2) = S0e
- u(t,x1,x2)
описує щiльнiсть сприйнятливих осiб у момент часу t в точцi x = (x1, x2) \in \BbbR 2, а ядро
A(\tau , x, y) := H(\tau )\lambda 1(x)\lambda 2(y)K(x - y)
має iмовiрнiсний сенс: A(\tau , x, y)d\tau dy є ймовiрнiстю того, що сприйнятлива людина в точцi x
отримує iнфекцiю вiд iнфiкованих осiб, що знаходяться в областi (y, y+dy) i зараженi у момент
часу з iнтервалу (\tau - d\tau , \tau ).
5.3. Приклади функцiй \bfitQ , \bfitlambda \bfone , \bfitlambda \bftwo i \bfitK . Насамкiнець наведемо кiлька прикладiв функцiй
Q,\lambda 1, \lambda 2 i K, що задовольняють умови теореми 1.
Приклади функцiї \bfitQ :
1) Q(u) = up, p > 2 — непарне число,
2) Q(u) = aup + (1 - a)u, p > 2 — непарне число, a \in
\biggl(
3
4
, 1
\biggr]
— довiльний параметр,
3) Q(u) =
\left\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
S0
S0 - u
, u \in [0, S0),
- \mathrm{l}\mathrm{n}
S0
S0 + u
, u \in ( - S0, u),
S0 \geq 5.
Приклади функцiй \bfitlambda \bfone i \bfitlambda \bftwo :
1) \lambda 1(x, y) = 1 - e - (x+y), (x, y) \in \BbbR 2
+,
2) \lambda 1(x, y) = 1 - \varepsilon e - (x2+y2), (x, y) \in \BbbR 2
+, \varepsilon \in [0, 1] — довiльний параметр,
3) \lambda 2(x, y) = 1 + e - (x+y) 1
\surd
xy
, x, y > 0,
4) \lambda 2(x, y) = 1 + e - (x2+y2) 1
x\alpha y\beta
, \alpha , \beta \in (0, 1), x, y > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 711
Приклади ядра \bfitK :
K(x, y) =
1
\pi
e - (x2+y2), (x, y) \in \BbbR 2,
K(x, y) =
\int b
a
e - (| x| +| y| )sd\sigma (s), (x, y) \in \BbbR 2, де \sigma (s) — монотонно неспадна функцiя на
iнтервалi [a, b), 0 < a < b \leq \infty , причому
b\int
a
1
s2
d\sigma (s) =
1
4
.
Нескладно переконатися, що наведенi вище приклади функцiй Q, \lambda 1, \lambda 2 i K задовольняють
усi умови теореми 1.
Лiтература
1. В. С. Владимиров, Я. И. Волович, О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны, Теор. и
мат. физика, 138, № 3, 355 – 368 (2004).
2. В. С. Владимиров, О нелинейных уравнениях p-адических открытых, замкнутых и открыто-замкнутых
струн, Теор. и мат. физика, 149, № 3, 354 – 367 (2006).
3. Х. А. Хачатрян, О разрешимости некоторых классов нелинейных сингулярных краевых задач, возникающих в
теории p-адических открыто-замкнутых струн, Теор. и мат. физика, 200, № 1, 106 – 117 (2019).
4. I. Ya. Arefeva, B. G. Dragovic, I. V. Volovich, Open and closed p-adic strings and quadratic extensions of number
fields, Phys. Lett. B, 212, № 3, 283 – 291 (1988).
5. O. Diekmann, Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection, J. Math. Biology, 6, № 2,
109 – 130 (1978).
6. А. Г. Сергеев, Х. А. Хачатрян, О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений в задаче
распространения эпидемии, Тр. Моск. мат. о-ва, 80, № 1, 113 – 131 (2019).
7. C. Cercignani, The Boltzmann equation and its applications, Springer-Verlag, New York (1988).
8. Н. Б. Енгибарян, Об одной задаче нелинейного переноса излучения, Астрофизика, 2, № 1, 31 – 36 (1966).
9. Х. А. Хачатрян, О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн, Тр. Моск. мат. о-ва,
79, № 1, 117 – 132 (2018).
10. Х. А. Хачатрян, Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального
уравнения свертки с монотонной нелинейностью, Изв. РАН. Сер. мат., 84, № 4, 198 – 207 (2020).
11. С. М. Андриан, А. К. Кроян, Х. А. Хачатрян, О разрешимости одного класса нелинейных интегральных
уравнений в p-адической теории струн, Уфим. мат. журн., 10, № 4, 12 – 23 (2018).
12. Х. А. Хачатрян, О разрешимости нелинейных граничных задач для сингулярных интегральных уравнений типа
свертки, Тр. Моск. мат. о-ва, 81, № 1, 3 – 40 (2020).
13. Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, М. О. Аветисян, Вопросы разрешимости одного класса нелинейных ин-
тегральных уравнений типа свертки в \BbbR n , Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 24, № 3, 247 – 262
(2018).
14. Л. Г. Арабаджян, Н. Б. Енгибарян, Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения, Итоги
науки и техники. Сер. Мат. анализ, 22, 175 – 244 (1984).
15. У. Рудин, Функциональный анализ, Мир, Москва (1975).
16. А. Н. Колмогоров, В. С. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, V-е изд., Наука,
Москва (1981).
17. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко и др., Интегральные операторы в пространствах суммируемых
функций, Наука, Москва (1966).
18. Х. А. Хачатрян, О разрешимости одного класса двумерных интегральных уравнений Урысона на четверти
плоскости, Мат. тр., 20, № 2, 193 – 205 (2017).
Одержано 23.01.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-6541 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:42Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ff/e25334478d2848061af2b2a8e4adb4ff.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65412025-03-31T08:48:07Z On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane Про обмежені розв’язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь на площині та рівняння Урисона на чверті площини Про обмежені розв’язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь на площині та рівняння Урисона на чверті площини Khachatryan , Kh. A. Petrosyan , H. S. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян , А. С. уравнение Вольтерра, последовательные приближения, монотонность, уравнение Урысона, нечетность, сходимость UDC 517.968.4 We study a class of two-dimensional integral equations in the plane with monotonic nonlinearity. These equations have a lot of applications in many fields of natural science. For example, such equations arise in the dynamic theory of $p$-adic open-closed strings, in the mathematical theory of spatio-temporal spread of epidemics, in the kinetic theory of gases (the Boltzmann kinetic equation in the framework of various models), in the theory of radiative transfer. We prove a constructive existence theorem for bounded nontrivial solutions and for solutions with alternating sign. It is shown that obtained results have applications in the theory of $p$-adic open-closed strings and in mathematical biology. The methods used in the proof of the theorem make it possible to investigate a class of two-dimensional integral equations of the Urysohn type in a quadrant of the plane. At the end of the paper, we provide specific examples of applications of these equations to illustrate the obtained results. &nbsp; . &nbsp; УДК 517.968.4 Досліджується один клас двовимірних інтегральних рівнянь на площині з монотонною нелінійністю. Багато окремих випадків вказаного рівняння мають застосування в різних областях природознавства. Зокрема, такі рівняння виникають у динамічній теорії $p$-адичних відкрито-замкнених струн, у математичній теорії просторово-часового поширення епідемії, в кінетичній теорії газів (кінетичне рівняння Больцмана у рамках різних моделей), у теорії перенесення випромінювання. Доведено конструктивну теорему існування обмеженого нетривіального і знакозмінного розв'язку. Отримані результати застосовуються в теорії $p$-адичних відкрито-замкнених струн і в математичній біології. Методи, використані при доведенні теореми, дають можливість вивчити клас двовимірних інтегральних рівнянь типу Урисона на чверті площини. Отримані результати проілюстровано на конкретних прикладах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-05-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6541 10.37863/umzh.v73i5.6541 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 5 (2021); 695 - 711 Український математичний журнал; Том 73 № 5 (2021); 695 - 711 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6541/9020 Copyright (c) 2021 Khachatur Khachatryan, Русский Русский |
| spellingShingle | Khachatryan , Kh. A. Petrosyan , H. S. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян , А. С. On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane |
| title | On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane |
| title_alt | Про обмежені розв’язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь на площині та рівняння Урисона на чверті площини Про обмежені розв’язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь на площині та рівняння Урисона на чверті площини |
| title_full | On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane |
| title_fullStr | On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane |
| title_full_unstemmed | On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane |
| title_short | On bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the Urysohn equation in a quadrant of the plane |
| title_sort | on bounded solutions of a class of nonlinear integral equations on the plane and the urysohn equation in a quadrant of the plane |
| topic_facet | уравнение Вольтерра последовательные приближения монотонность уравнение Урысона нечетность сходимость |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6541 |
| work_keys_str_mv | AT khachatryankha onboundedsolutionsofaclassofnonlinearintegralequationsontheplaneandtheurysohnequationinaquadrantoftheplane AT petrosyanhs onboundedsolutionsofaclassofnonlinearintegralequationsontheplaneandtheurysohnequationinaquadrantoftheplane AT hačatrânha onboundedsolutionsofaclassofnonlinearintegralequationsontheplaneandtheurysohnequationinaquadrantoftheplane AT petrosânas onboundedsolutionsofaclassofnonlinearintegralequationsontheplaneandtheurysohnequationinaquadrantoftheplane AT hačatrânha onboundedsolutionsofaclassofnonlinearintegralequationsontheplaneandtheurysohnequationinaquadrantoftheplane AT petrosânas onboundedsolutionsofaclassofnonlinearintegralequationsontheplaneandtheurysohnequationinaquadrantoftheplane AT khachatryankha proobmeženírozvâzkiodnogoklasunelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹnaploŝinítarívnânnâurisonanačvertíploŝini AT petrosyanhs proobmeženírozvâzkiodnogoklasunelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹnaploŝinítarívnânnâurisonanačvertíploŝini AT hačatrânha proobmeženírozvâzkiodnogoklasunelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹnaploŝinítarívnânnâurisonanačvertíploŝini AT petrosânas proobmeženírozvâzkiodnogoklasunelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹnaploŝinítarívnânnâurisonanačvertíploŝini AT hačatrânha proobmeženírozvâzkiodnogoklasunelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹnaploŝinítarívnânnâurisonanačvertíploŝini AT petrosânas proobmeženírozvâzkiodnogoklasunelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹnaploŝinítarívnânnâurisonanačvertíploŝini |