Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges
UDC 517.9 We found periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d = 1, 2, 3)$ equations of motion for three equal negative point charges in the field of four equal positive point charges fixed at the vertices of a rectangle. These systems possess an equilibrium configuration. The periodic sol...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6550 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512435376488448 |
|---|---|
| author | Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. |
| author_facet | Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. |
| author_sort | Skrypnik, W. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:08Z |
| description | UDC 517.9
We found periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d = 1, 2, 3)$ equations of motion for three equal negative point charges in the field of four equal positive point charges fixed at the vertices of a rectangle. These systems possess an equilibrium configuration. The periodic solutions are obtained with the help of the Lyapunov central theorem.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i12.6550 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i12.6550
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА
ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ
У ПОЛI ФIКСОВАНИХ ЧОТИРЬОХ РIВНИХ ПОЗИТИВНИХ ЗАРЯДIВ
We found periodic solutions of the Coulomb d-dimensional (d = 1, 2, 3) equations of motion for three equal negative
point charges in the field of four equal positive point charges fixed at the vertices of a rectangle. These systems possess an
equilibrium configuration. The periodic solutions are obtained with the help of the Lyapunov central theorem.
Знайдено перiодичнi розв’язки d-вимiрних (d = 1, 2, 3) рiвнянь руху Кулона трьох негативних точкових однакових
зарядiв у полi чотирьох однакових позитивних зарядiв, зафiксованих у вершинах прямокутника. Цi системи мають
рiвноважний стан. Перiодичнi розв’язки отримано за допомогою центральної теореми Ляпунова.
1. Вступ. У цiй статтi знайдено рiвновагу у системi Кулона трьох негативних однакових зарядiв
- e0 < 0 в полi чотирьох однакових позитивних зарядiв e\prime > 0, зафiксованих у вершинах
прямокутника зi сторонами 2a, 2b. Це дає змогу знайти у нiй перiодичнi розв’язки лiнiйного,
площинного та просторового рiвнянь руху Кулона. Ранiше автором були знайденi перiодичнi та
квазiперiодичнi розв’язки рiвнянь руху Кулона двох та трьох негативних однакових зарядiв у
полi двох однакових позитивних зарядiв [1 – 4]. Перiодичнi розв’язки було знайдено в системах
двох негативних однакових зарядiв у полi чотирьох та шiстьох однакових позитивних зарядiв [5,
6], а також в системi трьох негативних однакових зарядiв у полi шiстьох однакових позитивних
зарядiв [7].
Вказанi результати було отримано так само, як i у цiй статтi, завдяки тому, що для симетрич-
ної матрицi U0 частинних других похiдних потенцiальної енергiї у рiвновазi було знайдено
в явному виглядi власнi значення, серед яких були додатнi, що породжують перiодичнi чи
квазiперiодичнi розв’язки. Iснування перiодичних розв’язкiв випливає з центральної теореми
Ляпунова [5 – 9], якщо немає нульових та вироджених власних значень U0. При цьому потен-
цiальна енергiя повинна бути дiйсною аналiтичною функцiєю в околi рiвноваги. Саме такою є
кулонiвська потенцiальна енергiя.
Iснування квазiперiодичних розв’язкiв було доведено у випадку наявностi нульового влас-
ного значення U0 за допомогою методу небесної механiки вилучення вузла [8] та центральної
теореми Ляпунова [8 – 12]. При цьому враховувалось, що нульове власне значення є наслiдком
обертальної iнварiантностi системи. Площинна та просторова системи в цiй статтi не мають
обертальної iнварiантностi, а також нульового власного значення U0.
Виникає питання: чи можливо довести iснування перiодичних розв’язкiв у кулонiвських
системах, коли немає рiвноваги? В статтi [13] дано ствердну вiдповiдь на це питання, тоб-
то доведено їхнє iснування у нейтральнiй системi n однакових негативних зарядiв у полi n
однакових позитивних зарядiв. Метод доведення цього результату ґрунтується на узагальненнi
методу мажорант Зiгеля [14], що застосовувався ним для знаходження розв’язкiв задачi трьох
тiл небесної механiки.
c\bigcirc В. I. СКРИПНИК, 2021
1698 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1699
Центральна теорема Ляпунова стосується гамiльтонових систем, рiвновага яких збiгається
з початком координат, i формулюється так.
Теорема 1.1. Нехай n-вимiрна гамiльтонова система визначається дiйсним аналiтичним
гамiльтонiаном, розклад Тейлора якого збiгається абсолютно та рiвномiрно в околi початку
координат i починається з квадратичних доданкiв. Нехай також \lambda 1, . . . , \lambda 2n — власнi значення
матрицi, що визначає лiнiйну частину гамiльтонового векторного поля, такi що \lambda s, s =
= 1, . . . , k, є уявними i нерезонансними: \lambda j \not = n\prime \lambda s, s = 1, . . . , k, j = 1, . . . , 2n, j \not = s, де n\prime
— довiльне цiле число. Тодi рiвняння Гамiльтона допуcкає iснування k перiодичних розв’язкiв,
таких що кожен iз них залежить вiд дiйсного параметра cj для деякого j = 1, . . . , k. Цi
розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), . . . , \tau k(ck) є дiйсними аналiтичними функцiями цих параметрiв
в околi нуля й \tau j(0) =
2\pi
| \lambda j |
.
Рiвняння руху d-вимiрної системи N точкових зарядiв з масами mj , j = 1, . . . , N, є рiвнян-
ням руху електромеханiчної системи частинок з потенцiальною енергiєю U, заданою парним
кулонiвським потенцiалом, i має вигляд
mj
d2xj
dt2
= -
\partial U(x(N))
\partial xj
, j = 1, . . . , N,
x(N) = (x1, . . . , xN ) \in \BbbR dN , xj =
\bigl(
x1j , . . . , x
d
j
\bigr)
.
(1.1)
Вiдомо [15], що для (1.1) з mj = m власнi значення з теореми 1.1 збiгаються з \lambda j =
= \pm
\sqrt{}
- m - 1\sigma j , j = 1, . . . , dN, де \sigma j — власнi значення U0. Таким чином, iснування перiодич-
них розв’язкiв (1.1) можна отримати з теореми 1.1, що ми i зробимо в цiй статтi.
Результати цiєї статтi, як i попереднiх, можуть бути використанi в теорiї плазми та квантових
моделей iонiзованих молекул у наближеннi Борна – Оппенгеймера, в якому нерухомi позитивнi
та рiвнi негативнi заряди асоцiюються вiдповiдно з важкими ядрами та легкими електронами.
Дана стаття органiзована таким чином. У другому, третьому та четвертому пунктах знайдено
перiодичнi розв’язки вiдповiдно в лiнiйних, площинних та просторових системах. Отриманi
результати сформульовано у виглядi теорем наприкiнцi цих пунктiв.
2. Лiнiйна динамiка Кулона. Ми розглядаємо динамiку на (координатнiй) прямiй трьох
однакових негативних зарядiв - e0 < 0 в полi чотирьох однакових позитивних зарядiв e\prime > 0,
зафiксованих у вершинах прямокутника зi сторонами 2a, 2b, який симетрично розташований
на площинi щодо двох координатних осей (див. наступний пункт).
Потенцiальна енергiя цiєї системи визначається таким чином:
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
-
- 2e0e
\prime
3\sum
j=1
\Biggl[ \biggl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\biggr) - 1
+
\biggl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\biggr) - 1
\Biggr]
, xj \in \BbbR . (2.1)
Рiвноважнi рiвняння мають вигляд
\partial
\partial xj
U(x(3)) = 0, j = 1, 2, 3. Пiдставимо рiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1700 В. I. СКРИПНИК
\partial
\partial x1
| x1 - x2| - k = - k
x1 - x2
| x1 - x2| k+2
,
\partial
\partial x1
\Bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\Bigr) - k
= - k
x1 - a\Bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\Bigr) k+2
в цi рiвняння при k = 1. Отже,
\partial
\partial xj
U(x(3)) = - e20
3\sum
j \not =k,k=1
xj - xk
| xj - xk| 3
+ 2e0e
\prime
\Biggl[
xj - a\bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\bigr) 3 +
xj + a\bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\bigr) 3
\Biggr]
.
В результатi отримуємо з цiєї рiвностi для j = 1, 2 рiвноважне спiввiдношення для рiвноваги
x0, x1 = x01 = - a, x2 = x02 = 0, x3 = x03 = a:
e20
(2a)2
+
e20
a2
=
2e\prime (2a)e0\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 , 5e0
(2a)3
=
2e\prime \bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 .
Рiвнiсть
\partial
\partial x2
U(x(3)) = 0 є правильною, оскiльки
\bigm| \bigm| x02 - x01
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| x03 - x02
\bigm| \bigm| , x01 = - x03, x
0
2 = 0.
Тепер необхiдно знайти матрицю U0 других частинних похiдних потенцiальної енергiї в
рiвновазi. Iз рiвностi
\partial U(x(3))
\partial xl\partial xj
=
\partial U(x(3))
\partial xj\partial xl
= - 2e20| xj - xl| - 3
видно, що недiагональнi елементи матрицi U0 задано таким чином:
U0
1,3 = U0
3,1 = - e20
4a3
= - u\prime , U0
1,2 = U0
2,1 = U0
2,3 = U0
3,2 = - 8u\prime .
З рiвностi
\partial 2
\partial x2j
U(x(2)) =
3\sum
j \not =k,k=1
2e20
| xj - xk| 3
+
+2e0e
\prime
\Biggl[
1\bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\bigr) 3 - 3(xj - a)2\bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\bigr) 5+
+
1\bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\bigr) 3 - 3(xj + a)2\bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\bigr) 5
\Biggr]
випливає, що її дiагональнi елементи мають вигляд
U0
1,1 = U0
3,3 =
9e20
4a3
+ 2e0e
\prime
\Biggl[
b - 3 +
1\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 - 3(2a)2\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 5
\Biggr]
,
U0
2,2 =
16e20
4a3
+ 2e0e
\prime
\biggl[
2
(
\surd
a2 + b2)3
- 6a2
(
\surd
a2 + b2)5
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1701
З рiвноважного спiввiдношення випливає, що\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 1
3 1
2a
=
1\sqrt{}
(2a)2 + b2
, 2a = (1 - \eta ) -
1
2
\surd
\eta b, \eta =
\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 2
3
< 1. (2.2)
Як наслiдок отримуємо
a2 + b2 = a2[4(\eta - 1 - 1) + 1] = a2\eta - 1(4 - 3\eta ),
2e0e
\prime b - 3 = 5(2a) - 3e20(1 - \eta ) -
3
2 =
5u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 ,
2e0e
\prime \bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 = 2e0e
\prime 5e0
2e\prime
\biggl(
1
2a
\biggr) 3
=
5u\prime
2
,
6e0e
\prime (2a)2\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 5 = 6e0e
\prime
\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 5
3
(2a) - 3 =
15u\prime
2
\eta .
Цi рiвностi дозволяють записати дiагональнi елементи матрицi U0 у простому виглядi в термi-
нах u\prime i \eta :
U0
1,1 = U0
3,3 = u\prime v, v =
23
2
+
5
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 15
2
\eta ,
U0
2,2 = u\prime g = 16u\prime + 4e0e
\prime a - 3\eta
3
2 (4 - 3\eta ) -
3
2 - 12e0e
\prime a - 3\eta
5
2 (4 - 3\eta ) -
5
2 =
= u\prime
\biggl[
16 + 40(4 - 3\eta ) -
3
2 - 120\eta (4 - 3\eta ) -
5
2
\biggr]
= u\prime
\bigl[
16 + 40(4 - 3\eta ) -
5
2 (4 - 3\eta - 3\eta )
\bigr]
,
g = 8
\bigl[
2 + 10(4 - 3\eta ) -
5
2 (2 - 3\eta )
\bigr]
.
Таким чином, матрицю U0 визначено так:
U0 = u\prime U \prime
1, U \prime
1 =
\left(
v - 8 - 1
- 8 g - 8
- 1 - 8 v
\right) = - 2U\ast 1 + (v + 1)I,
U\ast (g1) = U\ast 1 = 2 - 1
\left(
1 8 1
8 2g1 8
1 8 1
\right) , 2g1 = - g + v + 1,
де I — одинична матриця, U\ast 1 має однаковi перший i третiй рядки, а отже, \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}U\ast 1 = 0. Це
дозволяє знайти коренi характеристичних полiномiв p\ast 1 i p\prime 1 вiдповiдно матриць U\ast 1 i U \prime
1 за
допомогою формули
p\ast (\lambda , q) = \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\lambda I - U\ast (q)) =
\bigl[
\lambda 2 - (q + 1)\lambda + q - 32
\bigr]
\lambda .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1702 В. I. СКРИПНИК
Щоб довести цю рiвнiсть, необхiдно вiдняти третiй рядок - U\ast (q) + \lambda I вiд першого. При
цьому детермiнант не змiниться:\left(
\lambda - 2 - 1 - 4 2 - 1
- 4 \lambda - q - 4
- 2 - 1 - 4 \lambda - 2 - 1
\right) \rightarrow
\left(
\lambda 0 - \lambda
- 4 \lambda - q - 4
- 2 - 1 - 4 \lambda - 2 - 1
\right) .
Пiсля цього розкладемо детермiнант останньої матрицi за елементами першого рядка:
p\ast (\lambda , q) = \lambda
\bigl[
(\lambda - q)(\lambda - 2 - 1) - 16 - 16 - 2 - 1(\lambda - q)
\bigr]
= \lambda
\bigl[
(\lambda - q)(\lambda - 1) - 32
\bigr]
.
Коренi p\ast (q) визначено так:
2\lambda = q + 1\pm
\sqrt{}
(q - 1)2 + 128, \lambda = 0.
В результатi коренi p\prime 1 матрицi U \prime
1 мають вигляд
p\prime 1(\lambda ) = - 23p\ast
\biggl(
- \lambda
2
+
v + 1
2
, g1
\biggr)
,
\lambda = v - g1 \pm
\sqrt{}
(g1 - 1)2 + 128, \lambda = v + 1 = \zeta \prime 1.
Нехай \zeta \prime 2, \zeta
\prime
3 збiгаються з коренями, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня:
\zeta \prime 2 =
g + v - 1
2
+
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128,
\zeta \prime 3 =
g + v - 1
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128.
Тодi
\zeta \prime 1 > 0, \zeta \prime 3 < \zeta \prime 2, \eta \leq 2
3
\rightarrow \zeta \prime 2 > 0.
При цьому ми врахували, що g \geq 16, якщо 0 < \eta \leq 3 - 1 \cdot 2.
Тепер покажемо, що \zeta \prime 3 > 0, якщо 0 < \eta \leq 3 - 1. Очевидно, що
\zeta \prime 3 >
g + v - 1
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
-
\surd
128 =
=
g + v - 1
2
-
\biggl(
g - v + 1
2
\biggr)
-
\surd
128 = v - 1 -
\surd
128.
Нехай 0 \leq \eta \leq 1
6
. Тодi
v - 1 >
23
2
+
5
2
- 5
4
- 1 >
23
2
>
\surd
128 \rightarrow \zeta \prime 3 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1703
Нехай
1
6
\leq \eta \leq 1
4
. Тодi
v - 1 >
23
2
+
5
2
(1 - 6 - 1) -
3
2 - 15
8
- 1,
5
2
(1 - 6 - 1) -
3
2 =
5
2
6
\surd
6
5
\surd
5
=
3
\surd
6\surd
5
> 3 \rightarrow v - 1 >
23
2
>
\surd
128 \rightarrow \zeta \prime 3 > 0.
Нехай
1
4
\leq \eta \leq 1
3
. Тодi
\surd
3 <
7
4
i
v - 1 >
23
2
+
5
2
(1 - 4 - 1) -
3
2 - 5
2
- 1,
5
2
(1 - 4 - 1) -
3
2 =
5
2
8
3
\surd
3
> 5
16
21
=
80
21
\rightarrow v - 1 >
23
2
+
80
21
- 7
2
>
23
2
,
тобто \zeta \prime 3 > 0.
Твердження 2.1. Якщо 0 < \eta \leq 1
3
, то немає резонансу по \zeta \prime 2 i квадратичного резонансу
по \zeta \prime 1, тобто \zeta \prime s\zeta
\prime - 1
1 \not = k2, s = 2, 3, де k — цiле число.
Доведення. З нерiвностей
g \geq 8
\biggl(
2 +
10
32
\biggr)
= 16 +
5
2
, v \leq 23
2
+
5
2
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
< 12 + 5
\biggl(
27
32
\biggr) 1
2
< 17, g - v > 1,
випливає, що \zeta \prime 2 > g > v + 1 = \zeta \prime 1 > 0, тобто
\zeta \prime 1
\zeta \prime 2
< 1 i \zeta \prime 1 \not = \zeta \prime 2. Тут ми використали нерiвнiсть
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128 \geq g - v + 1
2
.
Далi,
v + 16 > g,
оскiльки
g < 8
\bigl(
2 + 3 -
5
2 \cdot 20
\bigr)
= 8
\biggl(
2 +
20
9
\surd
3
\biggr)
< 8
\biggl(
2 +
4
3
\biggr)
< 27,
v \geq 23
2
+
5
2
- 5
2
= 11
1
2
.
Тут враховано, що
5
3
<
\surd
3. З
\biggl(
v - g - 1
2
\biggr) 2
= 4 - 1(v - g + 16)2 - 17
2
(v - g + 16) +
172
4
< 4 - 1(v - g + 16)2 + 73 \rightarrow
\rightarrow
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128 < 2 - 1(v - g + 16) + 15 \rightarrow \zeta \prime 2 < \zeta \prime 1 + 22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1704 В. I. СКРИПНИК
випливає, що
v >
19
3
\rightarrow \zeta \prime 1 >
22
3
\rightarrow \zeta \prime 2
\zeta \prime 1
< 1 +
22
\zeta \prime 1
< 4.
Крiм того,
\zeta \prime 3 - \zeta \prime 1 =
g - v - 3
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128.
Оскiльки g > v, отримуємо
\zeta \prime 3 - \zeta \prime 1 <
g - v - 3
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
< - 2
i
\zeta \prime 3
\zeta \prime 1
< 1, \zeta \prime 1 \not = \zeta \prime 3.
Твердження доведено.
Порядок зарядiв на прямiй зберiгається завдяки необмеженому вiдштовхуванню мiж ними,
i тому ми можемо замiнити потенцiал | xj - xk| - 1 на дiйсну аналiтичну функцiю (xj - xk)
- 1
в околi рiвноваги.
З того, що власнi значення U0 рiвнi: \zeta j = u\prime \zeta \prime j , i з центральної теореми Ляпунова випливає
така теорема.
Теорема 2.1. Нехай \eta =
\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 2
3
\leq 1
3
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 1, N = 3,
m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (2.1) має рiвновагу x01 = - a, x02 = 0, x03 = a > 0 i
два перiодичних розв’язки, кожен з яких залежить вiд дiйсного параметра cj при j = 1, 2. Цi
розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2) є дiйсними аналiтичними функцiями цих параметрiв в
околi нуля й \tau j(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \sqrt{}
\zeta j
\bigr) - 1
.
3. Площинна динамiка. У цьому пунктi розглядаємо динамiку на площинi трьох однакових
негативних зарядiв - e0 < 0 в полi чотирьох однакових позитивних зарядiв e\prime > 0, зафiксованих
у вершинах прямокутника bj , 1 \leq j \leq 4, bj =
\bigl(
b1j , b
2
j
\bigr)
\in \BbbR 2, зi сторонами 2a, 2b, який
симетрично розташований на площинi щодо двох координатних осей, тобто
b1 = (a, b), b2 = (a, - b), b3 = ( - a, b), b4 = ( - a, - b).
Потенцiальна енергiя динамiки визначається таким чином:
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
- e0e
\prime
3\sum
j=1
4\sum
k=1
| xj - bk| - 1, (3.1)
де
xj = (x1j , x
2
j ) \in \BbbR 2, | x| 2 = (x1j )
2 + (x2j )
2, ej = - e0 < 0.
Рiвновага x0j , j = 1, 2, 3, задається так: x11 = x011 = - a, x12 = x012 = 0, x13 = x013 = a,
x\alpha j = x0\alpha j = 0, \alpha = 2. Частиннi похiднi потенцiальної енергiї U визначено таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1705
\partial
\partial x\alpha j
U(x(3)) = - e20
3\sum
k=1,k \not =j
x\alpha j - x\alpha k
| xj - xk| 3
+ e0e
\prime
4\sum
k=1
x\alpha j - b\alpha k
| xj - bk| 3
. (3.2)
Це приводить до рiвноважного спiввiдношення мiж e0, e\prime , a, b, такого, як у попередньому
пунктi. Прирiвнюючи до нуля правi частини цих рiвностей при j = 1, 3 (результат той самий)
i беручи до уваги рiвнiсть x011 - x013 = - 2a, отримуємо
| x03 - b1| 2 = | x03 - b2| 2 = b2, | x03 - b3| 2 = | x03 - b4| 2 = (2a)2 + b2,
| x01 - b1| 2 = | x01 - b2| 2 = (2a)2 + b2, | x01 - b3| 2 = | x01 - b4| 2 = b2,
| x02 - bj | 2 = a2 + b2, j = 1, 2, 3,
i
4\sum
k=1
x011 - b1k
| x01 - bk| 3
= - 4a\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 ,
4\sum
k=1
x021 - b2k
| x01 - bk| 3
= -
4\sum
k=1
b2k
| x01 - bk| 3
= 0.
Права частина формули (3.2) є нулем для \alpha = 2 й j = 2, тому що
\bigm| \bigm| x02 - x01
\bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| x03 - x02
\bigm| \bigm| ,
x011 = - x013 , x02 = 0. Рiвноважнi спiввiдношення мають вигляд
e20
(2a)2
+
e20
a2
=
2e\prime (2a)e0\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 , 5e0
(2a)3
=
2e\prime \bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 .
Другi частиннi похiднi потенцiальної енергiї (3.1) визначаються таким чином:
\partial U(x(3))
\partial x\alpha j \partial x
\beta
k
=
\partial U(x(3))
\partial x\beta k\partial x
\alpha
j
= e20
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
- 3
\bigl(
x\alpha j - x\alpha k
\bigr) \bigl(
x\beta j - x\beta k
\bigr)
| xj - xk| 5
\Biggr]
, \alpha , \beta = 1, 2, j \not = k,
i
\partial 2U(x(3))
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
= e20
3\sum
k=1,k \not =j
\Biggl[
-
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
+ 3
\bigl(
x\alpha j - x\alpha k
\bigr) \bigl(
x\beta j - x\beta k
\bigr)
| xj - xk| 5
\Biggr]
+
+ e0 e
\prime
4\sum
k=1
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - bk| 3
- 3
\bigl(
x\alpha j - b\alpha k
\bigr) \bigl(
x\beta j - b\beta k
\bigr)
| xj - bk| 5
\Biggr]
.
Нехай \eta , u\prime — такi, як i в попередньому пунктi. Тодi справджуються рiвностi
e20
3\sum
k=1,k \not =j
1\bigm| \bigm| x0j - x0k
\bigm| \bigm| 3 = e20
\bigl[
((2a) - 3 + a - 3)(1 - \delta j,2) + 2a - 3\delta j,2
\bigr]
=
=
9u\prime
2
\bigl[
(1 - \delta j,2) + 8u\prime \delta j,2
\bigr]
, j = 1, 2, 3, (3.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1706 В. I. СКРИПНИК
e0e
\prime
4\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta
| x0j - bk| 3
= \delta \alpha ,\beta 2e0e
\prime \bigl( b - 3 + ((2a)2 + b2) -
3
2
\bigr)
=
= 5\delta \alpha ,\beta
\biggl[
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 +
u\prime
2
\biggr]
, j = 1, 3,
e0e
\prime
4\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta
| x02 - bk| 3
= \delta \alpha ,\beta \cdot 4e0e\prime (a2 + b2) -
3
2 = \delta \alpha ,\beta \cdot 40u\prime (4 - 3\eta ) -
3
2 . (3.4)
Нехай
Tj(\alpha , \beta ) =
4\sum
k=1
\bigl(
x\alpha j - b\alpha k
\bigr) \bigl(
x\beta j - b\beta k
\bigr)
| xj - bk| 5
.
Припустимо, що T 0
j (\alpha , \beta ) також є рiвноважним значенням Tj(\alpha , \beta ). Доведемо рiвностi
T 0
j (\alpha , \beta ) = \delta \alpha ,\beta
\Bigl[
8a2((2a)2 + b2) -
5
2 \delta \alpha ,1 + 2b2(b - 5 + ((2a)2 + b2) -
5
2 )\delta \alpha ,2
\Bigr]
, j = 1, 3, (3.5)
T 0
2 (\alpha , \beta ) = 4(a2 + b2) -
5
2 \delta \alpha ,\beta
\bigl(
a2\delta \alpha ,1 + b2\delta \alpha ,2
\bigr)
, (3.6)
використавши формули
T 0
3 (1, 2) = -
\Bigl[
b - 5((a - b11)b
2
1 + (a - b12)b
2
2) + ((2a)2 + b2) -
5
2 ((a - b13)b
2
3 + (a - b14)b
2
4)
\Bigr]
= 0,
T 0
1 (1, 2) = -
\Bigl[
((2a)2 + b2) -
5
2
\bigl(
( - a - b11)b
2
1 + ( - a - b12)b
2
2
\bigr)
+
+b - 5
\bigl(
( - a - b13)b
2
3 + ( - a - b14)b
2
4
\bigr) \Bigr]
= 0,
T 0
3 (1, 1) = b - 5
\bigl[
(a - b11)
2 + (a - b12)
2
\bigr]
+ ((2a)2 + b2) -
5
2
\bigl[
(a - b13)
2 + (a - b14)
2
\bigr]
=
= 8a2((2a)2 + b2) -
5
2 ,
T 0
1 (1, 1) = ((2a)2 + b2) -
5
2
\bigl[
( - a - b11)
2 + ( - a - b12)
2
\bigr]
+ b - 3
\bigl[
( - a - b13)
2 + ( - a - b14)
2
\bigr]
=
= 8a2((2a)2 + b2) -
5
2 ,
T 0
j (2, 2) =
4\sum
k=1
(b2k)
2
| x0j - bk| 5
, j = 1, 3, T 0
1 (2, 2) = T 0
3 (2, 2) = 2b2
\bigl[
b - 5 + ((2a)2 + b2) -
5
2
\bigr]
,
T 0
2 (\alpha , \beta ) =
4\sum
k=1
b\alpha k b
\beta
k
| x02 - bk| 5
= (a2 + b2) -
5
2
4\sum
k=1
b\alpha k b
\beta
k = 4(a2 + b2) -
5
2 \delta \alpha ,\beta
\bigl(
a2\delta \alpha ,1 + b2\delta \alpha ,2
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1707
Отже, рiвностi (3.5), (3.6) є правильними. Беручи до уваги (3.3) – (3.5) i
e20
3\sum
k=1,k \not =j
\bigl(
x0\alpha j - x0\alpha k
\bigr) \bigl(
x0\beta j - x0\beta k
\bigr) \bigm| \bigm| x0j - x0k
\bigm| \bigm| 5 = e20(a
- 3 + (2a) - 3)\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 =
9u\prime
2
\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1, j = 1, 3,
отримуємо
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
3,\alpha ;3,\beta = u\prime \delta \alpha ,\beta (v
\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast ),
де
v\prime =
5
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 2, u\prime u\prime \ast +
27u\prime
2
= 6e0e
\prime \cdot 4a2((2a)2 + b2) -
5
2 ,
u\prime u\prime \prime \ast = 6e0e
\prime b2(b - 5 + ((2a)2 + b2) -
5
2 ),
u\prime \ast =
15
2
\eta - 27
2
, u\prime \prime \ast =
15
2
\bigl[
1 - \eta + (1 - \eta ) -
3
2
\bigr]
.
При цьому ми застосували рiвноважне спiввiдношення, (2.2) i рiвностi
u\prime u\prime \ast +
27u\prime
2
= 6e0e
\prime (2a)2((2a)2 + b2) -
5
2 =
= 6e0e
\prime (2a)2
\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 5
3
\biggl(
1
2a
\biggr) 5
=
15u\prime
2
\eta ,
u\prime \ast =
15
2
\eta - 27
2
, 6e0e
\prime b - 3 =
15u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 ,
6e0e
\prime b2((2a)2 + b2) -
5
2 = 6e0e
\prime (2a)2(1 - \eta )\eta - 1
\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 5
3
\biggl(
1
2a
\biggr) 5
=
15u\prime
2
(1 - \eta ).
Iз рiвностi
e20
3\sum
k=1,k \not =2
\bigl(
x0\alpha 2 - x0\alpha k
\bigr) \bigl(
x0\beta 2 - x0\beta k
\bigr) \bigm| \bigm| x02 - x0k
\bigm| \bigm| 5 = e202a
- 3\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 = 8u\prime \delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1
i (3.4), (3.6) одержуємо
U0
2,\alpha ;2,\beta = u\prime \delta \alpha ,\beta (v1 - u1\delta \alpha ,1 - \delta \alpha ,2u
\prime
1),
де
v1 = - 8 + 40(4 - 3\eta ) -
3
2 ,
u\prime u1 = 12e0e
\prime (a2 + b2) -
5
2a2, u1 = 120\eta (4 - 3\eta ) -
5
2 - 24,
u\prime u\prime 1 = 12e0e
\prime (a2 + b2) -
5
2 b2, u\prime 1 = 480(1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 .
При цьому ми скористались рiвностями
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1708 В. I. СКРИПНИК
2a = (1 - \eta ) -
1
2
\surd
\eta b, a2 + b2 = a2\eta - 1(4 - 3\eta ),
e0e
\prime (a2 + b2) -
5
2a2 = e0e
\prime a - 3\eta
5
2 (4 - 3\eta ) -
5
2 = 10u\prime \eta (4 - 3\eta ) -
5
2 ,
e0e
\prime (a2 + b2) -
5
2 b2 = e0e
\prime a - 3\eta
3
2 (1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 (2a)2 = 40u\prime (1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 .
Ми також маємо
e20
\bigl(
x0\alpha 2 - x0\alpha k
\bigr) \bigl(
x0\beta 2 - x0\beta k
\bigr) \bigm| \bigm| x02 - x0k
\bigm| \bigm| 5 = e20
x0\alpha k x0\beta k
a5
= e20a
- 3\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 = 4u\prime \delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1, k = 1, 3,
e20
(x0\alpha 1 - x0\alpha 3 )(x0\beta 1 - x0\beta 3 )
| x01 - x03| 5
= e20(2a)
- 3\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1,
1
| x01 - x02| 3
=
1
| x02 - x03| 3
= a - 3,
1
| x01 - x03| 3
= (2a) - 3.
Цi рiвностi приводять до спiввiдношень
U0
1,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1),
U0
2,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta = U0
1,\alpha ;2,\beta = 4u\prime \delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1).
Тепер ми визначаємо двi тривимiрнi матрицi U0
\alpha , \alpha = 1, 2, за правилом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k
i перенумеровуємо iндекси координат таким чином:
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (3, 1) = 3, (1, 2) = 4, (2, 2) = 5, (3, 2) = 6,
до того ж перший i другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми й верхнiми iндексами
координат. Звiдси отримуємо
U0 = U0
1 \oplus U0
2 .
Елементи симетричної матрицi U0
1 мають вигляд
U0
1;1,1 = U0
1,1;1,1 = U0
1;3,3 = U0
3,1;3,1 = u\prime (v\prime - u\prime \ast ), U0
1;2,2 = U0
2,1;2,1 = u\prime (v1 - u1),
U0
1;2,1 = U0
1;1,2 = U0
1,1;2,1 = - 8u\prime , U0
1;3,1 = U0
1;1,3 = U0
1,1;3,1 = - u\prime ,
U0
1;3,2 = U0
1;2,3 = U0
1,1;3,1 = - 8u\prime ,
а елементи симетричної матрицi U0
2 —
U0
2;1,1 = U0
1,2;1,2 = U0
2;3,3 = U0
3,2;3,2 = u\prime (v\prime - u\prime \prime \ast ) = - u\prime u\prime \prime +
u\prime
2
,
U0
2;2,2 = U0
2,2;2,2 = u\prime (v1 - u\prime 1) = u\prime g\prime ,
U0
2;2,1 = U0
2;1,2 = U0
1,2;2,2 = 4u\prime , U0
2;3,1 = U0
2;1,3 = U0
1,2;3,2 =
u\prime
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1709
U0
2;3,2 = U0
2;2,3 = U0
2,2;3,2 = 4u\prime .
Параметри цих матриць обчислюються за формулами
u\prime v\prime - u\prime \ast =
5u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 2u\prime - 15u\prime
2
\eta +
27u\prime
2
= u\prime v,
u\prime (v1 - u1) = - 8u\prime + 40u\prime (4 - 3\eta ) -
3
2 - 120u\prime \eta (4 - 3\eta ) -
5
2 + 24u\prime = u\prime g,
де v, g визначено у другому пунктi,
- u\prime \prime u\prime = u\prime v\prime - u\prime u\prime \prime \ast -
u\prime
2
= u\prime
\biggl\{
5
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 2 - 15
2
\bigl[
1 - \eta + (1 - \eta ) -
3
2
\bigr] \biggr\}
- u\prime
2
,
u\prime \prime = 10 - 15\eta
2
+ 5(1 - \eta ) -
3
2 , u\prime \prime > 0,
u\prime g\prime = u\prime (v1 - u\prime 1) = - 8u\prime + 40u\prime (4 - 3\eta ) -
3
2 - 480u\prime (1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 =
= u\prime
\bigl\{
- 8 + 40(4 - 3\eta ) -
5
2 [4 - 3\eta - 12(1 - \eta )]
\bigr\}
,
g\prime = - 8
\bigl[
1 + 5(4 - 3\eta ) -
5
2 (8 - 9\eta )
\bigr]
.
В результатi отримуємо
U0
1 = u\prime
\left(
v - 8 - 1
- 8 g - 8
- 1 - 8 v
\right) = u\prime U \prime
1, U \prime
1 = - 2U\ast (g1) + (v + 1)I, 2g1 = - g + v + 1,
U0
2 = u\prime 2 - 1
\left(
- 2u\prime \prime + 1 8 1
8 2g\prime 8
1 8 - 2u\prime \prime + 1
\right) = u\prime U \prime
2, U \prime
2 = U\ast (g2) - u\prime \prime I, g2 = g\prime + u\prime \prime ,
де матриця U\ast визначена у другому пунктi, в якому ми знайшли її власнi значення як коренi
p\ast (q). Тепер легко знайти власнi значення матрицi U \prime
2 як коренi полiнома p\prime 2 :
p\prime 2(\lambda ) = p\ast (\lambda + u\prime \prime , g2).
Маємо
2\lambda = g2 - 2u\prime \prime + 1\pm
\sqrt{}
(g2 - 1)2 + 128, \lambda = - u\prime \prime = \zeta \prime 4 < 0.
Нехай \zeta \prime 5, \zeta
\prime
6 збiгаються з коренями, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня.
Тодi
2\zeta \prime 5 = g\prime - u\prime \prime + 1 +
\sqrt{}
(g\prime + u\prime \prime - 1)2 + 128,
2\zeta \prime 6 = g\prime - u\prime \prime + 1 -
\sqrt{}
(g\prime + u\prime \prime - 1)2 + 128.
Якщо 0 < \eta \leq 1
3
, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1710 В. I. СКРИПНИК
(1 - \eta ) -
3
2 \leq (1 - 3 - 1) -
3
2 =
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
<
\biggl(
28
7
\biggr) 1
2
= 2.
В результатi отримуємо
12 < u\prime \prime \leq 20, - g\prime > 8,
\zeta \prime 5 < 0, якщо g\prime < 0, i\bigl(
| g\prime | - u\prime \prime + 1
\bigr) 2
+ 128 <
\bigl(
| g\prime | + u\prime \prime - 1
\bigr) 2
, 4(u\prime \prime - 1)| g\prime | > 128.
Це справедливо, якщо 0 < \eta \leq 1
3
. У цьому випадку \zeta \prime 6 < \zeta \prime 5 < 0.
Твердження 3.1. Якщо 0 < \eta \leq 1
3
, то немає резонансу по \zeta 2 = u\prime \zeta \prime 2 i квадратичного
резонансу по \zeta 1 = u\prime \zeta \prime 1, тобто \zeta \prime s\zeta
\prime - 1
1 \not = k2, s = 2, 3, де k — цiле число, для власних значень
U0 площинної системи Кулона.
Це твердження та центральна теорема Ляпунова доводять таку теорему.
Теорема 3.1. Нехай \eta =
\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 2
3
\leq 1
3
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 2, N = 3,
m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (3.1) має рiвновагу x011 = - a, x012 = 0, x013 = a > 0,
x02j = 0, j = 1, 2, 3, i два перiодичних розв’язки, кожен з яких залежить вiд дiйсного параметра
cj при j = 1, 2. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2) є дiйсними аналiтичними функцiями
цих параметрiв в околi нуля й \tau j(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \sqrt{}
\zeta j
\bigr) - 1
.
4. Просторова динамiка Кулона. У цьому пунктi ми розглядаємо динамiку у просторi \BbbR 3
трьох однакових негативних зарядiв - e0 < 0 в полi чотирьох однакових позитивних зарядiв
e\prime > 0, зафiксованих у вершинах прямокутника bj , 1 \leq j \leq 4, bj =
\bigl(
b1j , b
2
j , 0
\bigr)
\in \BbbR 3, зi
сторонами 2a, 2b, який симетрично розташований на площинi щодо двох перших координатних
осей, тобто
b1 = (a, b, 0), b2 = (a, - b, 0), b3 = ( - a, b, 0), b4 = ( - a, - b, 0).
Потенцiальна енергiя визначається таким чином:
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
- e0e
\prime
3\sum
j=1
4\sum
k=1
| xj - bk| - 1, (4.1)
де
| x| 2 = (x1j )
2 + (x2j )
2 + (x3j )
2, ej = - e0 < 0.
Неважко бачити, повторюючи розрахунки з попереднього пункту, що елементи матрицi других
частинних похiдних потенцiальної енергiї у рiвновазi x11 = x011 = - a, x12 = x012 = 0, x13 =
= x013 = a, x\alpha j = x0\alpha j = 0, \alpha = 2, 3, мають для \alpha , \beta = 1, 2, 3 такий вигляд:
U0
1,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1),
U0
2,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta = U0
1,\alpha ;2,\beta = 4u\prime \delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1711
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
3,\alpha ;3,\beta = u\prime \delta \alpha ,\beta (v
\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast ),
U0
2,\alpha ;2,\beta = u\prime \delta \alpha ,\beta (v1 - u1\delta \alpha ,1 - \delta \alpha ,2u
\prime
1).
Тепер ми визначимо три тривимiрнi матрицi U0
\alpha , \alpha = 1, 2, 3, за правилом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k
i перенумеруємо iндекси координат таким чином:
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (3, 1) = 3, (1, 2) = 4, (2, 2) = 5, (3, 2) = 6,
(1, 3) = 7, (2, 3) = 8, (3, 3) = 9,
де перший i другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми й верхнiми iндексами
координат. Звiдси отримуємо
U0 = U0
1 \oplus U0
2 \oplus U0
3 .
Елементи симетричних матриць U0
1 , U
0
2 визначено у попередньому пунктi, а
U0
3;1,3 = U0
3;3,1 = U0
1,3;3,3 = U0
3,3;1,3 =
u\prime
2
,
U0
3;1,2 = U0
3;2,1 = U0
3;2,3 = U0
3;3,2 = U0
2,3;3,3 = U0
3,3;2,3 = U0
2,3;1,3 = U0
1,3;2,3 = 4u\prime ,
U0
3;1,1 = U0
1,3;1,3 = U0
3;3,3 = U0
3,3;3,3 = u\prime v\prime , U0
3;2,2 = U0
2,3;2,3 = u\prime v1.
Матриця U0
3 виражається також через U\ast :
U0
3 = u\prime \cdot 2 - 1
\left(
2v\prime 8 1
8 2v1 8
1 8 2v\prime
\right) = u\prime U \prime
3, U \prime
3 = U\ast (g3) + (v\prime - 1)I, g3 = v1 - v\prime + 1.
Коренi p\prime 3 матрицi U \prime
3 мають вигляд
p\prime 3(\lambda ) = p\ast (\lambda + 1 - v\prime , g3),
2\lambda = g3 - 2(1 - v\prime ) + 1\pm
\sqrt{}
(g3 - 1)2 + 128, \lambda = v\prime - 1 = \zeta \prime 7.
Нехай \zeta \prime 8, \zeta
\prime
9 збiгаються з коренями, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня.
Тодi
2\zeta \prime 8 = v1 + v\prime - 1 +
\sqrt{}
(v1 - v\prime )2 + 128,
2\zeta \prime 9 = v1 + v\prime - 1 -
\sqrt{}
(v1 - v\prime )2 + 128.
Нагадаємо, що
v1 = - 8 + 40(4 - 3\eta ) -
3
2 , v\prime =
5
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1712 В. I. СКРИПНИК
Припустимо, що 0 < \eta \leq 1
3
. Тодi
(1 - \eta ) -
3
2 \leq (1 - 3 - 1) -
3
2 =
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
<
\biggl(
28
7
\biggr) 1
2
= 2,
1
8
< (4 - 3\eta ) -
3
2 \leq 3 -
3
2 = (27) -
1
2 .
Цi нерiвностi доводять, що
1
2
\leq v\prime \leq 3, - 8 + 5 < v1 < - 8 +
40\surd
27
< 0,
- 6 < v1 - v\prime < - 1
2
, - 5
2
< v1 + v\prime < 3 \rightarrow \zeta \prime 9 < 0,\sqrt{}
(v1 - v\prime )2 + 128 <
\surd
164 < 13, 2\zeta \prime 8 < 15.
В результатi отримуємо
- 7
2
+ 11 < \zeta \prime 8 < \zeta \prime 1 < \zeta \prime 2, \zeta \prime 7 < \zeta \prime 1 < \zeta \prime 2,
тому що \zeta \prime 2 > \zeta 1 > 11.
Отже, ми встановили таке твердження.
Твердження 4.1. Якщо 0 < \eta \leq 1
3
, то немає резонансу по \zeta 2 = u\prime \zeta \prime 2 i квадратичного
резонансу по \zeta 1 = u\prime \zeta \prime 1, тобто \zeta \prime s\zeta
\prime - 1
1 \not = k2, s = 2, 3, де k — цiле число, для власних значень
U0 просторової системи Кулона. При цьому \zeta \prime 7 \not = 0, якщо
\eta \not = 1 -
\biggl(
5
6
\biggr) 2
3
.
Це твердження та центральна теорема Ляпунова доводять таку теорему.
Теорема 4.1. Нехай \eta =
\biggl(
5e0
2e\prime
\biggr) 2
3
\leq 1
3
i \eta \not = 1 -
\biggl(
5
6
\biggr) 2
3
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для
d = 3, N = 3, m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (4.1) має рiвновагу x011 = - a, x012 = 0,
x013 = a > 0, x0\alpha j = 0, j = 1, 2, 3, \alpha = 2, 3, i два перiодичних розв’язки, кожен з яких залежить
вiд дiйсного параметра cj при j = 1, 2. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2) є дiйсними
аналiтичними функцiями цих параметрiв в околi нуля й \tau j(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \sqrt{}
\zeta j
\bigr) - 1
.
Лiтература
1. W. Skrypnik, Periodic and bounded solutions of the Coulomb equation of motion of two and three point charges with
equilibrium on line, Ukr. Math. J., 66, № 5, 668 – 682 (2014).
2. W. Skrypnik, Coulomb planar dynamics of two and three equal negative charges in field of fixed two equal positive
charges, Ukr. Math. J., 68, № 11, 1528 – 1539 (2016).
3. W. Skrypnik, Coulomb dynamics near equilibrium of two equal negative charges in the field of fixed two equal
positive charges, Ukr. Math. J., 68, № 9, 1273 – 1285 (2016).
4. W. Skrypnik, Coulomb dynamics of three equal negative charges in field of fixed two equal positive charges, J. Geom.
and Phys., 127, 101 – 111 (2018).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ У ПОЛI . . . 1713
5. В. Скрипник, Перiодична кулонiвська динамiка двох рiвних вiд’ємних зарядiв у полi фiксованих чотирьох рiвних
додатних зарядiв, Укр. мат. журн., 72, № 10, 1432 – 1442 (2020).
6. В. Скрипник, Перiодична кулонiвська динамiка двох рiвних вiд’ємних зарядiв у полi фiксованих шiстьох рiвних
додатних зарядiв, Укр. мат. журн., 72, № 12, 1682 – 1696 (2020).
7. W. Skrypnik, Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of equal positive charges fixed in
octagon vertices, Adv. Math. Phys., 2020, Article ID 35467136 (2020), 12 p.; https://doi.org/10.1155/2020/3547136.
8. A. Lyapunov, General problem of stability of motion, Moscow (1950); English translation: Internat. J. Control, 55,
№ 3, 521 – 790 (1992).
9. M. S. Berger, Nonlinearity and functional analysis, Lect. Nonlinear Problems in Math. Analysis, Acad. Press, New
York etc. (1977).
10. J. Marsden, M. McCracken, The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York (1976).
11. C. Siegel, J. Moser, Lectures on celestial mechanics, Springer-Verlag, Berlin etc. (1971).
12. В. Немыцкий, В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, Москва, Ленинград (1947).
13. W. Skrypnik, Coulomb planar periodic motion of n equal charges n the field of n equal positive charges
fixed at a line and constant magnetic field, Adv. Math. Phys., 2018, Article ID 2548074 (2018), 10 p.;
https://doi.org/10.1155/2548074.
14. C. Siegel, Über eine periodische Lösung in ebenen Drei Körper Problem, Math. Nachr., 4, 28 – 35 (1950 – 1951).
15. W. Skrypnik, Mechanical systems with singular equilibria and Coulomb dynamics of three charges, Ukr. Math. J.,
70, № 4, 519 – 533 (2018).
Одержано 31.01.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6550 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:44Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/88/411d3db3a6b7c25ee09148116decbd88.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65502025-03-31T08:46:08Z Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges Періодична кулонівська динаміка трьох рівних негативних зарядів у полі фіксованих чотирьох рівних позитивних зарядів Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. . UDC 517.9 We found periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d = 1, 2, 3)$ equations of motion for three equal negative point charges in the field of four equal positive point charges fixed at the vertices of a rectangle. These systems possess an equilibrium configuration. The periodic solutions are obtained with the help of the Lyapunov central theorem. &nbsp; УДК 517.9 Знайдено періодичні розв'язки $d$-вимірних $(d = 1, 2, 3)$ рівнянь руху Кулона трьох негативних точкових однакових зарядів у полі чотирьох однакових позитивних зарядів, зафіксованих у вершинах прямокутника. Ці системи мають рівноважний стан. Періодичні розв'язки отримано за допомогою центральної теореми Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-12-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6550 10.37863/umzh.v73i12.6550 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 12 (2021); 1698 - 1713 Український математичний журнал; Том 73 № 12 (2021); 1698 - 1713 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6550/9165 Copyright (c) 2021 Volodymyr Skrypnyk |
| spellingShingle | Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges |
| title | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges |
| title_alt | Періодична кулонівська динаміка трьох рівних негативних зарядів у полі фіксованих чотирьох рівних позитивних зарядів |
| title_full | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges |
| title_fullStr | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges |
| title_full_unstemmed | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges |
| title_short | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges |
| title_sort | periodic coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of fixed four equal positive charges |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6550 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikwi periodiccoulombdynamicsofthreeequalnegativechargesinthefieldoffixedfourequalpositivecharges AT skrypnikvolodymyr periodiccoulombdynamicsofthreeequalnegativechargesinthefieldoffixedfourequalpositivecharges AT skripnikví periodiccoulombdynamicsofthreeequalnegativechargesinthefieldoffixedfourequalpositivecharges AT skrypnikwi períodičnakulonívsʹkadinamíkatrʹohrívnihnegativnihzarâdívupolífíksovanihčotirʹohrívnihpozitivnihzarâdív AT skrypnikvolodymyr períodičnakulonívsʹkadinamíkatrʹohrívnihnegativnihzarâdívupolífíksovanihčotirʹohrívnihpozitivnihzarâdív AT skripnikví períodičnakulonívsʹkadinamíkatrʹohrívnihnegativnihzarâdívupolífíksovanihčotirʹohrívnihpozitivnihzarâdív |