Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms
UDC 512.54We give a classification of Chernikov 2-groups with Kleinian top and totally reducible bottom.
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6552 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512437125513216 |
|---|---|
| author | Drozd, Yu. A. Plakosh, А. І. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. Плакош , А. І. |
| author_facet | Drozd, Yu. A. Plakosh, А. І. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. Плакош , А. І. |
| author_sort | Drozd, Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:53Z |
| description | UDC 512.54We give a classification of Chernikov 2-groups with Kleinian top and totally reducible bottom. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i7.6552 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.37863/umzh.v73i7.6552
УДК 512.54
Ю. А. Дрозд, А. I. Плакош (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЧЕРНIКОВСЬКI \bftwo -ГРУПИ З КЛЯЙНIВСЬКОЮ ВЕРХIВКОЮ
I ЦIЛКОМ ЗВIДНОЮ БАЗОЮ
We give a classification of Chernikov 2-groups with Kleinian top and totally reducible bottom.
Наведено класифiкацiю чернiковських 2-груп з кляйнiвською верхiвкою i цiлком звiдною базою.
1. Вступ. Нагадаємо, що чернiковською групою називається група, яка мiстить нормальну пiд-
групу скiнченного iндексу, що є прямим добутком скiнченного числа квазiциклiчних груп (або
груп типу (p\infty )). Вiдомо [6], що такою є будь-яка локально розв ’язна група з умовою мiнiмаль-
ностi, а також будь-яка локально скiнченна p-група з умовою мiнiмальностi. Властивостi таких
груп вивчалися багатьма авторами, але питання про їхню класифiкацiю вперше було розглянуто
в роботах [2, 3]. У цих роботах було встановлено зв’язок чернiковських груп iз зображення-
ми та когомологiями скiнченних груп. Для p-груп цей зв’язок має такий вигляд. Нехай R :
H \rightarrow \mathrm{G}\mathrm{L}(r,\BbbZ p) — зображення скiнченної p-групи H над кiльцем \BbbZ p цiлих p-адичних чисел.
Оскiльки \BbbZ p \simeq \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(p\infty ), зображення R визначає групу M = (p\infty )r як модуль над груповим
кiльцем \BbbZ pH (ми казатимемо також H -модуль). Тому можна розглядати розширення групи
H за допомогою H -модуля M, якi класифiкуються класами когомологiй H2(H,M). Отже,
пара (M, \delta ), де \delta \in H2(G,M), визначає деяку чернiковську p-групу G й усi чернiковськi
p-групи отримуються таким способом. Групу H ми назвемо верхiвкою, а модуль M — базою
чернiковської p-групи G. У роботах [2, 3] показано, що пари (M, \delta ) i (M \prime , \delta \prime ) визначають
iзоморфнi групи тодi i тiльки тодi, коли вони одержуються одна з одної автоморфiзмами групи
H i H -модуля M. Цей результат є основою для класифiкацiї чернiковських p-груп.
Втiм, вже класифiкацiя p-адичних зображень даної p-групи, як правило, є дуже складною
задачею, яка розв’язана лише для циклiчних груп порядкiв p i p2, а також, при p = 2, для
четверної групи Кляйна та циклiчної групи порядку 8. Бiльш того, вiдомо, що для iнших p-
груп ця задача є дикою, тобто мiстить у собi задачу класифiкацiї довiльних наборiв матриць з
точнiстю до спряженостi.
Для циклiчних груп порядкiв p i p2 класифiкацiю пар (M, \delta ) i p-груп з такою верхiвкою
наведено в роботi [3]. Когомологiї модулiв, якi одержуються з p-адичних зображень групи
Кляйна, обчислено в роботi [8]. Цi групи швидко збiльшуються зi збiльшенням розмiрностi
зображень, що вносить значнi труднощi у класифiкацiю пар. У данiй роботi ми розглянемо
найпростiший випадок, коли зображення R є цiлком звiдним, тобто розкладається у пряму
суму незвiдних зображень. Для цього випадку ми одержимо повну класифiкацiю вiдповiдних
чернiковських груп.
c\bigcirc Ю. А. ДРОЗД, А. I. ПЛАКОШ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7 1005
1006 Ю. А. ДРОЗД, А. I. ПЛАКОШ
2. Когомологiї. Отже, нехай H = \langle a, b | a2 = b2 = 1, ab = ba \rangle — четверна група Кляйна.
Вона має чотири незвiднi p-адичнi зображення, в яких r = 1, a \mapsto \rightarrow u1, b \mapsto \rightarrow v1, де u, v \in \{ +, - \} .
Їм вiдповiдають чотири модулi Luv, u, v \in \{ +, - \} , у яких адитивна група — квазiциклiчна група
(2\infty ). Когомологiї цих модулiв обчислено у [5] у термiнах резольвенти \BbbP , побудованої в [7], в
якiй \BbbP n — модуль однорiдних многочленiв вiд x, y степеня n над груповим кiльцем \bfitR = \BbbZ G, а
d
\bigl(
xiyj
\bigr)
= C1x
i - 1yj + ( - 1)iC2x
iyj - 1,
де
C1 =
\left\{ a+ ( - 1)i, якщо i > 0,
0, якщо i = 0;
C2 =
\left\{ b+ ( - 1)j , якщо j > 0,
0, якщо j = 0.
Нагадаємо цей результат.
Твердження 2.1. 1. H2(H,L++) \simeq \BbbZ /2; її ненульовий елемент — клас когомологiй коциклу
\gamma , в якому \gamma (x2) = \gamma (y2) = 0, \gamma (xy) = \varepsilon , де \varepsilon — елемент порядку 2 групи (2\infty ).
2. H2(H,Luv) \simeq (\BbbZ /2)2, якщо (u, v) \not = (+,+), її елементи — класи коциклiв \gamma , в яких
\gamma (xy) = 0, а \gamma (x2) i \gamma (y2) — або 0, або \varepsilon .
Для опису чернiковських груп нам потрiбно знати вiдповiднi коцикли в термiнах стандарт-
ної резольвенти [1]. Такий «переклад» наведено в [7]. У застосуваннi до групи Кляйна вiн дає
такi ненульовi стандартнi коцикли \gamma :
для модуля L++ : \gamma [a, a] = \gamma [b, b] = \gamma [a, b] = 0, \gamma [b, a] = \varepsilon ;
для модуля L+ - :
\gamma + -
1 [a, a] = \gamma + -
1 [a, b] = \gamma + -
1 [b, a] = 0, \gamma + -
1 [b, b] = \varepsilon ,
\gamma + -
2 [b, b] = \gamma + -
2 [a, b] = \gamma + -
2 [b, a] = 0, \gamma + -
2 [a, a] = \varepsilon ,
\gamma + -
3 = \gamma + -
1 + \gamma + -
2 ;
для модуля L - + :
\gamma - +
1 [b, b] = \gamma - +
1 [a, b] = \gamma - +
1 [b, a] = 0, \gamma - +
1 [a, a] = \varepsilon ,
\gamma - +
2 [a, a] = \gamma - +
2 [a, b] = \gamma - +
2 [b, a] = 0, \gamma - +
2 [b, b] = \varepsilon ,
\gamma - +
3 = \gamma - +
1 + \gamma - +
2 ;
для модуля L - - :
\gamma - -
1 [b, b] = \gamma - -
1 [a, b] = \gamma - -
1 [b, a] = 0, \gamma - -
1 [a, a] = \varepsilon ,
\gamma - -
2 [a, b] = \gamma - -
2 [b, a] = 0, \gamma - -
2 [a, a] = \gamma - -
2 [b, b] = \varepsilon ,
\gamma - -
3 = \gamma - -
1 + \gamma - -
2 .
Нумерацiю коциклiв \gamma uvi пiдiбрано так, що при автоморфiзмi \sigma групи H такому, що L\sigma
uv =
Lu\prime v\prime , коцикл \gamma uvk переходить у \gamma u
\prime v\prime
k (у випадку + — з точнiстю до кограницi).
Якщо M =
\bigoplus
u,v muvLuv, то H2(H,M) =
\bigoplus
u,v muvH
2(H,Luv). Отже, елементи цiєї групи
можна ототожнити з четвiрками векторiв \bfh uv, \bfh uv = (huv1 , huv2 , . . . , huvmuv
), де huvi \in H2(H,Luv).
Автоморфiзми модуля M дiють окремо на кожний доданок muvLuv, тобто такий автоморфiзм
задається четвiркою обертовних матриць Suv з цiлими p-адичними коефiцiєнтами. При дiї
цього автоморфiзму вектор когомологiй \bfh uv переходить у \bfh uvSuv. Якщо (u, v) = (+,+), легко
бачити, що при \bfh ++ \not = 0 iснує автоморфiзм модуля muvLuv, який переводить цей вектор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ЧЕРНIКОВСЬКI 2-ГРУПИ З КЛЯЙНIВСЬКОЮ ВЕРХIВКОЮ I ЦIЛКОМ ЗВIДНОЮ БАЗОЮ 1007
у вектор \bfe ++ = (\gamma ++, 0, . . . , 0) . Якщо ж (u, v) \not = (+,+), так само перевiряється, що або
\bfh uv = 0, або \bfh uv можна перевести у вектор \bfe uvk = (\gamma uvk , 0, . . . , 0) , k \in \{ 1, 2, 3\} , або його можна
перевести у вектор \bfe uv12 = (\gamma uv1 , \gamma uv2 , 0, . . . , 0) . (В усiх випадках це вектори довжини muv.)
Отже, пара (M, \delta ), де \delta \in H2(H,M), з точнiстю до автоморфiзму модуля M задається
набором \sansH = \{ muv,\bfh uv | u, v \in \{ +, - \} \} , в якому \bfh ++ \in \{ 0, \bfe ++\} , а \bfh uv \in \{ 0, \bfe uvk |
k \in \{ 1, 2, 3, 12\} \} при (u, v) \not = (+,+).
Автоморфiзми групи H переставляють модулi Luv з (u, v) \not = (+,+) i залишають на мiсцi
модуль L++. При цьому в наборi \sansH , який задає пару (M, \delta ), лише переставляються iндекси uv.
Для вибору канонiчних представникiв уведемо такi порядок на множинi iндексiв uv, множинi
векторiв \{ 0, \bfe ++, \bfe uvk \} i множинi наборiв \sansH :
++ < + - < - + < - - ;
0 < \bfe ++, 0 < \bfe uvk < \bfe uvl , якщо k < l i \bfe uv3 < \bfe uv12 ;
\sansH < \sansH \prime , де \sansH \prime = \{ m\prime
uv,\bfh uv\} \not = \sansH , причому
якщо uv — найменший за цим порядком номер, для якого muv \not = m\prime
uv, то muv < m\prime
uv ;
якщо muv = m\prime
uv для всiх uv, а uv — перший за порядком номер, для якого \bfh uv \not = \bfh \prime
uv,
то \bfh uv < \bfh \prime
uv.
Означення 2.1. Набiр \sansH = \{ muv,\bfh uv | u, v \in \{ +, - \} \} назвемо канонiчним, якщо \sansH \leq \sansH \prime
для будь-якого набору \sansH \prime , який одержується з нього перестановкою iндексiв uv з (u, v) \not =
\not = (0, 0).
Iз попереднiх розглядiв випливає такий результат.
Теорема 2.1. Кожна пара (M, \delta ) еквiвалентна єдинiй парi, яка задається канонiчним на-
бором.
3. Чернiковськi групи. Згiдно з результатами [3] i теоремою 2.1, чернiковська група з
кляйнiвською верхiвкою H i цiлком розкладною базою M iзоморфна групi, яка вiдповiдає парi,
що задається канонiчним набором \sansH , причому цей набiр визначено однозначно. Нагадаємо, що
група G, яка вiдповiдає парi (M, \delta ), як множина збiгається з декартовим добутком M \times H, а
операцiя задається правилом
(x, h)(y, g) = (x+ hy + \delta (h, g), hg).
Пари (x, 1) утворюють пiдгрупу, iзоморфну M, i ми ототожнюємо їх з елементами x \in M.
Позначимо \=a = (0, a), \=b = (0, b). Група G породжується пiдгрупою M та елементами \=a,\=b.
Нам вiдомо, що M — нормальна пiдгрупа, i знаємо, як комутують її елементи з \=a та \=b (це
визначається дiєю H на M ). Отже, щоб визначити групу G, потрiбно знати елементи \alpha = \=a2,
\beta = \=b2 i \eta = [\=a,\=b], якi є елементами пiдгрупи M. Вони визначаються коциклом \delta .
Означення 3.1. Нехай пара (M, \delta ) задається набором \sansH = \{ muv,\bfh uv | u, v \in \{ +, - \} \} .
Елементи групи M = muvLuv ми розглядаємо як вектори довжини muv з коефiцiєнтами з
групи (p\infty ). Через \bfitvarepsilon uvi позначимо вектор з muvLuv, в якому на i-му мiсцi стоїть \varepsilon , а iншi
координати є нулями. Визначимо елементи \alpha uv, \beta uv, \eta uv таким чином:
якщо \bfh uv = 0, то \alpha uv = \beta uv = \eta uv = 0;
якщо \bfh ++ = \bfe ++, то \alpha ++ = \beta ++ = 0, \eta ++ = \bfitvarepsilon ++
1 ;
якщо \bfh + - = \bfe + -
1 , то \alpha + - = \bfitvarepsilon + -
1 , \beta + - = 0, \eta + - = 0;
якщо \bfh + - = \bfe + -
2 , то \beta + - = \bfitvarepsilon + -
1 , \alpha + - = 0, \eta + - = 0;
якщо \bfh + - = \bfe + -
3 , то \alpha + - = \beta + - = \bfitvarepsilon + -
1 , \eta + - = 0;
якщо \bfh + - = \bfe + -
12 , то \alpha + - = \bfitvarepsilon + -
1 , \beta + - = \bfitvarepsilon + -
2 , \eta + - = 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
1008 Ю. А. ДРОЗД, А. I. ПЛАКОШ
якщо \bfh - + = \bfe - +
1 , то \beta - + = \bfitvarepsilon - +
1 , \alpha - + = 0, \eta - + = 0;
якщо \bfh - + = \bfe - +
2 , то \alpha - + = \bfitvarepsilon - +
1 , \beta - + = 0, \eta - + = 0;
якщо \bfh - + = \bfe - +
3 , то \alpha - + = \beta - + = \bfitvarepsilon - +
1 , \eta - + = 0;
якщо \bfh - + = \bfe - +
12 , то \alpha - + = \bfitvarepsilon - +
2 , \beta - + = \bfitvarepsilon - +
1 , \eta - + = 0;
якщо \bfh - - = \bfe - -
1 , то \alpha - - = \bfitvarepsilon - -
1 , \beta - - = 0, \eta - - = 0;
якщо \bfh - - = \bfe - -
2 , то \alpha - - = \beta - - = \bfitvarepsilon - -
1 , \eta - - = 0;
якщо \bfh - - = \bfe - -
3 , то \beta - - = \bfitvarepsilon - -
1 , \alpha - - = 0, \eta - - = 0;
якщо \bfh - - = \bfe + -
12 , то \alpha - - = \bfitvarepsilon - -
1 + \bfitvarepsilon - -
2 , \beta - - = \bfitvarepsilon - -
2 , \eta - - = 0.
Покладемо
\alpha (\sansH ) = \alpha ++ + \alpha + - + \alpha - + + \alpha - - ,
\beta (\sansH ) = \beta ++ + \beta + - + \beta - + + \beta - - ,
\eta (\sansH ) = \eta ++ + \eta + - + \eta - + + \eta - - .
Попереднi розгляди дають повний опис чернiковських груп iз кляйнiвською верхiвкою i
цiлком розкладною базою.
Теорема 3.1. Для кожного набору \sansH = \{ muv,\bfh uv | u, v \in \{ +, - \} \} визначимо групу G(\sansH )
як таку, що породжується групою M =
\bigoplus
uv muvLuv та елементами \=a, \=b такими, що
\=ax\=a - 1 = ax i \=bx\=b - 1 = bx для всiх x \in M, \=a2 = \alpha (\sansH ), \=b = \beta (\sansH ) i [\=a,\=b] = \eta (\sansH ).
1. Група G(\sansH ) є чернiковською групою з кляйнiвською верхiвкою i цiлком розкладною базою.
2. Кожна чернiковська група G з кляйнiвською верхiвкою i цiлком розкладною базою iзо-
морфна деякiй групi G(\sansH ), де \sansH — канонiчний набiр, визначений однозначно групою G.
Лiтература
1. К. С. Браун, Когомологiї груп, Наука, Москва (1987).
2. П. М. Гудивок, Ф. Г. Ващук, В. С. Дроботенко, p-Группы Черникова и целочисленные p-адические представ-
ления конечных групп, Укр. мат. журн., 44, № 6, 742 – 753 (1992).
3. П. М. Гудивок, И. В. Шапочка, О p-группах Черникова, Укр. мат. журн., 51, № 3, 291 – 304 (1999).
4. А. Картан, С. Эйленберг, Гомологическая алгебра, Изд-во иностр. лит., Москва (1960).
5. A. I. Плакош, I. B. Шапочка, Про когомологiї четверної групи Клейна, Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту, 30, № 1,
95 – 102 (2017).
6. С. Н. Черников, Группы с заданными свойствами системы подгрупп, Наука, Москва (1980).
7. Yu. Drozd, A. Plakosh, Cohomologies of finite Abelian groups, Algebra and Discrete Math., 24, № 1, 144 – 157
(2017).
8. Yu. Drozd, A. Plakosh, Cohomologies of the Kleinian 4-group, Arch. Math., 115, № 2, 139 – 145 (2020).
Одержано 01.02.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-6552 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:46Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/75/9e202cb5a532af2ba9e6b9a3df383d75.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65522025-03-31T08:47:53Z Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms Черниковские 2-группы с клейновской верхушкой и вполне приводимыми базами Чернiковськi 2-групи з кляйнiвською верхiвкою i цiлком звiдною базою Drozd, Yu. A. Plakosh, А. І. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. Плакош , А. І. черніківські групи, когомології, четверна група Кляйна Chernikov groups cohomologies Kleinian 4-group UDC 512.54We give a classification of Chernikov 2-groups with Kleinian top and totally reducible bottom. Даётся описание черниковских&nbsp;2-групп з клейновской верхушкой и вполне приводимыми базами. УДК 512.54Наведено класифiкацiю чернiковських 2-груп з кляйнiвською верхiвкою i цiлком звiдною базою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-07-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6552 10.37863/umzh.v73i7.6552 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 7 (2021); 1005 - 1008 Український математичний журнал; Том 73 № 7 (2021); 1005 - 1008 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6552/9074 Copyright (c) 2021 Юрій Анатолійович Дрозд |
| spellingShingle | Drozd, Yu. A. Plakosh, А. І. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. Плакош , А. І. Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms |
| title | Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms |
| title_alt | Черниковские 2-группы с клейновской верхушкой и вполне приводимыми базами Чернiковськi 2-групи з кляйнiвською верхiвкою i цiлком звiдною базою |
| title_full | Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms |
| title_fullStr | Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms |
| title_full_unstemmed | Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms |
| title_short | Chernikov 2-groups with the Kleinian top and totally reducible bottoms |
| title_sort | chernikov 2-groups with the kleinian top and totally reducible bottoms |
| topic_facet | черніківські групи когомології четверна група Кляйна Chernikov groups cohomologies Kleinian 4-group |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6552 |
| work_keys_str_mv | AT drozdyua chernikov2groupswiththekleiniantopandtotallyreduciblebottoms AT plakoshaí chernikov2groupswiththekleiniantopandtotallyreduciblebottoms AT drozdyua chernikov2groupswiththekleiniantopandtotallyreduciblebottoms AT drozdûa chernikov2groupswiththekleiniantopandtotallyreduciblebottoms AT plakošaí chernikov2groupswiththekleiniantopandtotallyreduciblebottoms AT drozdyua černikovskie2gruppysklejnovskojverhuškojivpolneprivodimymibazami AT plakoshaí černikovskie2gruppysklejnovskojverhuškojivpolneprivodimymibazami AT drozdyua černikovskie2gruppysklejnovskojverhuškojivpolneprivodimymibazami AT drozdûa černikovskie2gruppysklejnovskojverhuškojivpolneprivodimymibazami AT plakošaí černikovskie2gruppysklejnovskojverhuškojivpolneprivodimymibazami AT drozdyua černikovsʹki2grupizklâjnivsʹkoûverhivkoûicilkomzvidnoûbazoû AT plakoshaí černikovsʹki2grupizklâjnivsʹkoûverhivkoûicilkomzvidnoûbazoû AT drozdyua černikovsʹki2grupizklâjnivsʹkoûverhivkoûicilkomzvidnoûbazoû AT drozdûa černikovsʹki2grupizklâjnivsʹkoûverhivkoûicilkomzvidnoûbazoû AT plakošaí černikovsʹki2grupizklâjnivsʹkoûverhivkoûicilkomzvidnoûbazoû |