Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind
We study a modified Cauchy problem for the degenerated hyperbolic equation of the second kind. First, we find the representations of the general solution of the analyzed equation for $\alpha \leq 1.$ Then, by using these representations, we formulate modified Cauchy problems for all real values of $...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/656 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507080610283520 |
|---|---|
| author | Urinov, A. K. Okboev, A. B. Уринов, А. К. Окбоев, А. Б. Урінов, А. К. Окбоєв, А. Б. |
| author_facet | Urinov, A. K. Okboev, A. B. Уринов, А. К. Окбоев, А. Б. Урінов, А. К. Окбоєв, А. Б. |
| author_sort | Urinov, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-29T12:11:35Z |
| description | We study a modified Cauchy problem for the degenerated hyperbolic equation of the second kind. First, we find the representations of the general solution of the analyzed equation for $\alpha \leq 1.$ Then, by using these representations, we formulate modified Cauchy problems for all real values of $\alpha$ and deduce the formulas for the solution of the analyzed problems. Further, it is shown that the obtained solutions indeed satisfy the investigated equation and the initial conditions.
 
  |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.955
А. К. Уринов, А. Б. Окбоев (Ферган. гос. ун-т, Узбекистан)
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
We study a modified Cauchy problem for the degenerated hyperbolic equation of the second kind. First, we find the
representations of the general solution of the analyzed equation for \alpha \leq 1. Then, by using these representations, we
formulate modified Cauchy problems for all real values of \alpha and deduce the formulas for the solution of the analyzed
problems. Further, it is shown that the obtained solutions indeed satisfy the investigated equation and the initial conditions.
Дослiджено видозмiнену задачу Кошi для вироджуваного гiперболiчного рiвняння другого роду. При цьому спочатку
знайдено зображення загального розв’язку розглядуваного рiвняння при \alpha \leq 1. Потiм за допомогою цих зображень
загального розв’язку рiвняння для всiх дiйсних \alpha сформульовано видозмiненi задачi Кошi й отримано формули для
розв’язку поставлених задач. Отриманi формули обґрунтовано, тобто доведено, що вони задовольняють рiвняння i
початковi умови.
1. Введение. Известно, что вырождающиеся уравнения занимают центральное место в тео-
рии дифференциальных уравнений в частных производных и имеют многочисленные прило-
жения в различных разделах науки. Например, вырождающиеся гиперболические уравнения
встречаются при решении многих вопросов газовой динамики [1, 2], теории бесконечно ма-
лых изгибаний поверхностей вращения [3], безмоментной теории оболочек [3], компьютерной
томографии [4] и др. При изучении вырождающихся гиперболических уравнений одной из
важных проблем является начальная задача, т. е. задача Коши. Особенностью вырождающихся
гиперболических уравнений является то, что для них не всегда имеет место корректность за-
дачи Коши с начальными данными на линии параболического вырождения. Например, задача
Коши в обычной постановке может оказаться неразрешимой, если гиперболическое уравнение
вырождается вдоль линии, являющейся одновременно характеристикой, т. е. если уравнение
является вырождающимся второго рода. В справедливости этого утверждения, например, для
уравнения uxx - yuyy - (1/2)uy = 0, y > 0, легко убедиться с помощью его общего решения
[5, с. 50 – 52] u (x, y) = \varphi
\bigl(
x+ 2
\surd
y
\bigr)
+ \psi
\bigl(
x - 2
\surd
y
\bigr)
, где \varphi (x), \psi (x) \in C2 — произвольные
функции. Поэтому в таких случаях естественно рассмотреть „видоизмененную” задачу Ко-
ши, т. е. задачу с начальными условиями в видоизмененной форме. Один из вариантов таких
задач был предложен А. В. Бицадзе в [5, с. 50 – 52], согласно которому для уравнения, приве-
денного выше, корректно поставленной будет начальная задача с условиями u(x, 0) = \tau (x),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow 0
\surd
yuy(x, y) = \nu (x).
Постановке и исследованию начальных задач для общего линейного вырождающегося ги-
перболического уравнения второго рода
ynuyy - uxx + auy + bux + cu = f, y > 0, (1)
где a, b, c, f — заданные функции переменных x и y, и его частным случаям посвящено много
работ (см., например, [6 – 10]). В частности, в работе [6] при рассмотрении уравнения (1) при
0 < n < 1, a \equiv b \equiv c \equiv f \equiv 0 в характеристическом треугольнике D, опирающемся на отрезок
[0, 1] оси абцисс, доказано, что задача Коши с начальными условиями
u(x, 0) = \tau (x), 0 \leq x \leq 1; uy (x, 0) = \nu (x), 0 < x < 1, (2)
c\bigcirc А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ, 2020
100 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 101
однозначно разрешима, и найдена формула решения этой задачи. Существует единственное
решение задачи Коши {(1), (2)} и в том случае, когда 0 < n < 1, а функции a, b, c, f и их
производные по x непрерывны в D [7, с. 44] (теорема 1). Это утверждение в случае a \equiv b \equiv
\equiv f \equiv 0, c \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 0 методом Римана доказано в работе [8]. Далее, если 1 \leq n < 2 и
функции a, b, c, f удовлетворяют условиям, указанным выше, и условиям
n - 1 < \beta (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
y1 - na(x, y) < 1, \beta (x) \in C3, \gamma (x, y) = \beta (x) - y1 - na = O (\varepsilon ) , \varepsilon > 0,
то для уравнения (1) корректно поставленной будет начальная задача со следующими началь-
ными условиями на линии y = 0 [7, с. 45] (теорема 3):
u(x, 0) = \tau (x), 0 \leq x \leq 1; \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
y\beta (x)uy = \nu 1(x), 0 < x < 1.
В работе [9] (теорема 1) при n = 1 и определенных условиях на коэффициенты a, b, c,
свободный член f уравнения (1) и заданные функции \tau (x) и \nu 1(x) доказано, что в области
D существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям в
виде
u(x, 0) = \tau (x), 0 \leq x \leq 1; \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
H - 1
y (\partial /\partial y)[u - \Phi (x, y)] = \nu 2(x), 0 < x < 1, (3)
где H = H(x, y) =
\int y
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{ \int T
t
a (x, z) z - 1dz
\biggr\}
dt, \Phi (x, y) — известная функция, опреде-
ляемая с помощью некоторых рекуррентных соотношений и функций a, b, c, f, \tau , \nu 2, а T
— высота характеристического треугольника D. В этой же работе аналогичное утверждение
доказано и в том случае, когда в уравнении (1) 1 < n < 2 [9] (теоремы 2 и 3). Проблема
правильной постановки начальной задачи с данными на линии вырождения типа для более
общего, чем (1), гиперболического уравнения второго рода изучена в работе [10].
Исходя из того, что функция \Phi (x, y) , содержащаяся во втором начальном условии из
(3), зависит от функций a, b, c, можно сделать вывод о том, что коэффициенты уравнения
(1) существенно влияют на корректность постановки начальной задачи для этого уравнения
с условиями на линии параболического вырождения y = 0. Это утверждение относительно
гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка отмечено А. В. Бицадзе в рабо-
те [11].
Известно, что очень часто корректно поставленная задача подсказывается его общим ре-
шением. Поэтому во многих случаях, с целью изучения правильной постановки задач для
гиперболических уравнений, сначала находится представление общего решения данного урав-
нения. Например, в работе [9] при рассмотрении уравнения
yuyy - uxx + \alpha uy = 0, y > 0, (4)
вытекающего из (1) при n = 1, a(x, y) = \alpha = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, b(x, y) \equiv c(x, y) \equiv f(x, y) \equiv 0, при
всех значениях \alpha \leq 1 приведено его общее решение, но методика получения этой формулы
не изложена. В работе [12] методом сферических средних найдено общее решение уравнения
uxx - utt - (k/t)ut = 0, t > 0, которого преобразуется в (4) путем замены t = 2
\surd
y. Общее
решение уравнения (4) при \alpha = - n+ 1/2, n \in N, в работе [13] найдено с помощью решения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
102 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу. Из найденных в этих работах представлений общего
решения уравнения (4), в частности, когда \alpha — нецелое число меньше единицы, следует, что
видоизмененная задача Коши для уравнения (4) с начальными условиями вида (3) однозначно
разрешима, если H - 1
y = y\alpha , а \Phi (x, y) — известная функция вида
\Phi (x, y) =
n+1\sum
k=0
Nk (n, \delta ) y
k
1\int
0
\Bigl[
\tau (2k)(t) + \tau (2k) (t1)
\Bigr]
[z(1 - z)]k+\delta dz,
где
Nk(n, \delta ) = 23kCk
n+1
\Biggl[
\Gamma (\delta + k + 1)
k - 1\prod
s=0
(1 + 2s+ 2\delta - 2n)
\Biggr] - 1
,
\delta = \alpha + n - 1/2, t = x - 2
\surd
y(1 - 2z), t1 = x+ 2
\surd
y(1 - 2z).
При этом решение видоизмененной задачи Коши записывается в виде
u(x, y) = \Phi (x, y) + y1 - \alpha
1\int
0
[\nu (t) + \nu (t1)] [z(1 - z)]n - \delta dz.
В работе [14] эта формула приведена к виду, удобному при исследовании краевых задач для
уравнения (4). Задача нахождения общего решения одного гиперболического уравнения с вы-
рождением типа и порядка, а также правильная постановка начальных и краевых задач для
этого уравнения изучены в работе [15].
В настоящей работе рассматривается уравнение
L\alpha ,\lambda (u) \equiv uxx + y uyy + \alpha uy - \lambda 2 u = 0, y < 0, (5)
в конечной односвязной области D, ограниченной его характеристиками OB : x - 2
\surd
- y = 0,
AB : x+2
\surd
- y = 1 и OA : y = 0, где \alpha и \lambda — заданные действительные числа. Найдены фор-
мулы, связывающие решения уравнения L\alpha ,\lambda (u) = 0 с решениями уравнений L2 - \alpha ,\lambda (u) = 0,
L\alpha - n,\lambda (u) = 0 и L2 - \alpha - n,\lambda (u) = 0, n \in N. С помощью найденных формул при всех значениях
\alpha \leq 1 построено представление общего решения уравнения (5), для всех \alpha \in R сформу-
лированы видоизмененные задачи Коши с начальными условиями на линии параболического
вырождения y = 0, найдены в явном виде решения поставленных задач и доказано, что най-
денные решения действительно удовлетворяют уравнению и начальным условиям.
2. Свойства решений уравнения (5) и вспомогательные формулы. Введем в рассмот-
рение новую функцию w(x, y), положив
u(x, y) = ( - y)1 - \alpha w(x, y). (6)
Тогда уравнение (5) сведется к виду
wxx + ywyy + (2 - \alpha )wy - \lambda 2w = 0. (7)
Обозначим через Z(\alpha , \lambda ) любое решение уравнения L\alpha ,\lambda (u) = 0. Тогда в силу равенств
(5) – (7) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 103
Z(\alpha , \lambda ) = ( - y)1 - \alpha Z(2 - \alpha , \lambda ). (8)
Отсюда следует, что если известно решение уравнения (5) при \alpha < 1, то его решение при
\alpha > 1 определяется равенством (8).
Пусть Z(\alpha , \lambda ) — любое решение уравнения L\alpha ,\lambda (u) = 0. Тогда Z(\alpha +1, \lambda ) = (\partial /\partial y)Z(\alpha , \lambda )
представляет собой решение уравнения L\alpha +1,\lambda (u) = 0 и, вообще,
Z(\alpha + n, \lambda ) = (\partial n/\partial yn)Z(\alpha , \lambda ) (9)
является решением уравнения L\alpha +n,\lambda (u) = 0.
Далее, в силу (8) формулу (9) можно записать в виде
( - y)1 - \alpha - nZ(2 - \alpha - n, \lambda ) = (\partial n/\partial yn ) [( - y)1 - \alpha Z(2 - \alpha , \lambda )]. (10)
Выполняя здесь замену 2 - \alpha на \alpha , получаем
Z(\alpha - n, \lambda ) = ( - y)1 - \alpha +n (\partial n/\partial yn ) [( - y)\alpha - 1Z(\alpha , \lambda )]. (11)
Учитывая равенство (8), из (10) находим
Z(2 - \alpha - n, \lambda ) = ( - y)\alpha +n - 1 (\partial n/\partial yn)Z(\alpha , \lambda ). (12)
Равенства (11), (12) и доказываемая ниже лемма существенно используются при построении
и обосновании общего решения уравнения (5) при \alpha < 0.
Лемма 1. Если \psi (z) \in C2[0, 1] и \gamma > - 1, то справедливо равенство
\partial
\partial y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz =
=
4
\gamma + 1
1\int
0
\bigl[
(\lambda 2 - d2/dt2 )\psi (t)
\bigr] \bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma +1 \=J\gamma +1(\sigma )dz, (13)
а если \psi (z) \in C1[0, 1] и \gamma > 0, то имеет место равенство
\partial
\partial y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz =
\gamma
4y
1\int
0
\psi (t)[z(1 - z)]\gamma - 1 \=J\gamma - 1(\sigma )dz -
- 1 + 2\gamma
2y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz, (14)
где t = x+2
\surd
- y(2z - 1), \sigma = 4\lambda
\sqrt{}
- yz(1 - z), \=J\delta (z) = \Gamma (\delta +1)(z/2) - \delta J\delta (z), J\delta (z) — функция
Бесселя первого рода, \Gamma (\delta ) — гамма-функция Эйлера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
104 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
Доказательство. Сначала докажем равенство (13). С этой целью его левую часть запишем
в виде
\partial
\partial y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz = I1 + I2, (15)
где
I1 =
1\int
0
[(\partial /\partial y)\psi (t)]
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz, I2 =
1\int
0
\psi (t)(\partial /\partial y)
\bigl\{ \bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )
\bigr\}
dz.
Вычислим I1 :
I1 =
1\int
0
\psi \prime (t)
\partial t
\partial y
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz =
1\int
0
\psi \prime (t) (1 - 2z) ( - y) - 1/2\bigl[ z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz =
= ( - y) - \gamma - 3/22 - 3\gamma - 3\lambda - 2\gamma - 2\Gamma (\gamma + 1)
1\int
0
\psi \prime (t)
\partial
\partial z
\bigl[
\sigma \gamma +1 J\gamma +1(\sigma )
\bigr]
dz.
Отсюда, интегрируя по частям, получаем
I1 = - ( - y) - \gamma - 3/22 - 3\gamma - 3\lambda - 2\gamma - 2\Gamma (\gamma + 1)
1\int
0
\psi \prime \prime (t)
\partial t
\partial z
\sigma \gamma +1 J\gamma +1(\sigma )dz =
= - 4
\gamma + 1
1\int
0
\psi \prime \prime (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma +1 \=J\gamma +1(\sigma )dz. (16)
Теперь вычислим I2 :
I2 =
1\int
0
\psi (t)
\partial
\partial y
\{ [z(1 - z)]\gamma \=J\gamma (\sigma )\} dz =
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \partial
\partial y
\bigl[
\=J\gamma (\sigma )
\bigr]
dz.
Отсюда, применяя формулу [16] (\partial /\partial \sigma ) \=J\gamma (\sigma ) = - [\sigma /(2\gamma + 2)] \=J\gamma +1(\sigma ), находим
I2 =
4\lambda 2
\gamma + 1
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma +1 \=J\gamma +1(\sigma )dz. (17)
Подставляя (16) и (17) в (15), получаем формулу (13).
Теперь докажем равенство (14). Как показано выше,
I1 =
1\int
0
\psi \prime (t) (1 - 2z) ( - y) - 1/2\bigl[ z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 105
Отсюда, вводя \psi \prime (t) под знаком дифференциала и интегрируя по частям, имеем
I1 =
1
4y
1\int
0
\psi (t)
\partial
\partial z
\{ (1 - 2z)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )\} dz =
= - 1
2y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz +
\gamma
4y
1\int
0
\psi (t)(1 - 2z)2
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma - 1 \=J\gamma (\sigma )dz+
+
\lambda
4( - y)1/2(\gamma + 1)
1\int
0
\psi (t)(1 - 2z)2
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma - 1/2
\sigma \=J\gamma +1(\sigma )dz = I11 + I12 + I13.
Принимая во внимание равенство (1 - 2z)2 = 1 - 4z(1 - z), записываем интегралы I12 и I13
следующим образом:
I12 =
\gamma
4y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma - 1 \=J\gamma (\sigma )dz -
\gamma
y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz,
I13 =
- 4\lambda 2
\gamma + 1
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma +1 \=J\gamma +1(\sigma )dz +
\lambda 2
\gamma + 1
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma +1(\sigma )dz.
Следовательно,
I1 = I11 + I12 + I13 = - 1
2y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz+
+
\gamma
4y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma - 1 \=J\gamma (\sigma )dz -
\gamma
y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz -
- 4\lambda 2
\gamma + 1
1\int
0
\psi (t)[z(1 - z)]\gamma +1 \=J\gamma +1(\sigma )dz +
\lambda 2
\gamma + 1
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma +1(\sigma )dz. (18)
На основании равенств (17), (18) имеем
I1 + I2 = - 1 + 2\gamma
2y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz+
+
\gamma
4y
1\int
0
\psi (t)[t(1 - t)]\gamma - 1 \bigl\{ \=J\gamma (\sigma ) +
4\lambda 2yz(1 - z)
\gamma (\gamma + 1)
\=J\gamma +1(\sigma )
\bigr\}
dz.
Отсюда, учитывая обозначение \sigma = 4\lambda
\sqrt{}
- yz(1 - z) и легко проверяемое равенство \=J\gamma (\sigma ) -
-
\bigl[
\sigma 2/[4\gamma (\gamma + 1)]
\bigr]
\=J\gamma +1(\sigma ) = \=J\gamma - 1(\sigma ), получаем равенство (14).
Лемма 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
106 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
3. Построение общего решения уравнения (5) при \bfitalpha \leq \bfone . Очевидно, что представле-
ние общего решения уравнения (5) существенно зависит от местонахождения параметра \alpha на
числовой оси. Если число \alpha \in ( - \infty , 1) , то оно имеет один из следующих видов: \alpha = - n,
\alpha = - n+ 1/2, где n = 0, 1, 2, . . . , и \alpha = - n+ \alpha 0, \alpha = 2 - n - \alpha 0, где n \in N, \alpha 0 \in (1/2, 1) .
Числа, имеющие последних два вида, можно объединить в одно: \alpha = 1 - ( - 1)m - n+( - 1)m\alpha 0,
где m = 0, 1, а n = 0, 1, 2, . . . при m = 0 и n = 1, 2, . . . при m = 1.
Теперь, полагая \alpha < 1, переходим к построению общего решения уравнения (5).
Прежде всего отметим, что из формул (3.7) и (3.23) работы [16] и формулы (36) работы [17,
с. 137], которые представляют собой общие решения уравнения uxx - uss - (2\beta /s)us - \lambda 2u = 0,
s > 0 при \beta > 0, \beta = 1/2 и \beta = 0 соответственно, следует, что общие решения уравнения (5)
при \alpha = \alpha 0 \in (1/2, 1), \alpha = 1 и \alpha = 1/2 имеют вид
u\alpha 0(x, y) =
1\int
0
\psi 0(t) \=J\beta 0 - 1(\sigma )\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta 0
dz + ( - y)1 - \alpha 0
1\int
0
\varphi 0(t) \=J - \beta 0(\sigma )\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \beta 0
dz, (19)
u1(x, y) =
1\int
0
\psi 0(t)\sqrt{}
z(1 - z)
\Biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
\=J - 1/2(\sigma ) -
-
\infty \sum
l=1
( - 1)l(\sigma /2)2l
l! (1/2)l
l\sum
j=1
2
2j - 1
\Biggr\}
dz +
1\int
0
\varphi 0(t) \=J - 1/2(\sigma )\sqrt{}
z(1 - z)
dz, (20)
u1/2(x, y) =
\surd
- y
\left[ \partial
\partial y
\surd
- y
1\int
0
\psi 0(t)J0(\sigma )dz +
1\int
0
\varphi 0(t)J0(\sigma )dz
\right] , (21)
где \beta 0 = \alpha 0 - 1/2, t = x+2
\surd
- y(2z - 1), \sigma = 4\lambda
\sqrt{}
- yz(1 - z), а \varphi 0(t) и \psi 0(t) — произвольные
функции из класса C2 в (19) и (20), а в (21) \varphi 0(t) \in C2, \psi 0(t) \in C3.
1. Пусть \alpha = 1 - ( - 1)m - n+( - 1)m\alpha 0, где n = 0, 1, 2, . . . при m = 0 и n \in N при m = 1,
а \alpha 0 \in (1/2, 1). Для построения общего решения уравнения (5) в этом случае используем
функции (19) и предположим, что \varphi 0(t), \psi 0(t) — достаточно гладкие функции.
Пусть m = 0. Тогда \alpha = - n + \alpha 0 \in (1/2 - n, 1 - n) , n \in N. Если учесть это, то общее
решение уравнения (5), согласно равенству (11) и формуле (19), определяется равенством
u(x, y) = ( - y)1 - \alpha 0+n \partial
n
\partial yn
\bigl[
( - y)\alpha 0 - 1u\alpha 0
\bigr]
= ( - y)1 - a0+n \partial
n
\partial yn
\bigl[
( - y)\alpha 0 - 1v1 + v2
\bigr]
, (22)
где
v1 =
1\int
0
\psi 0(t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \beta 0 - 1 \=J\beta 0 - 1(\sigma )dz, v2 =
1\int
0
\varphi 0(t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta 0 \=J - \beta 0(\sigma )dz.
С помощью формулы (13) легко убедиться, что
\partial k
\partial yk
v1 =
4k
(\beta 0)k
1\int
0
\Psi k (\psi 0, \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+\beta 0 - 1 \=Jk+\beta 0 - 1(\sigma )dz, (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 107
\partial n
\partial yn
v2 =
4n
(1 - \beta 0)n
1\int
0
\Psi n (\varphi 0, \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n - \beta 0 \=Jn - \beta 0(\sigma )dz, (24)
где (a)k — символ Похгаммера, т. е. (a)0 = 0 и (a)k = a (a+ 1) (a+ 2) . . . (a+ k - 1) =
= \Gamma (a+ k) /\Gamma (a) при k \in N, \Psi k (\varphi , \lambda ) =
\bigl(
\lambda 2 - d2/dt2
\bigr) k
\varphi (t), k = 0, 1, 2, . . . .
Далее, применяя формулу Лейбница и учитывая равенство (23), находим
\partial n
\partial yn
\Bigl[
( - y)\alpha 0 - 1v1
\Bigr]
=
n\sum
k=0
Ck
n(1 - \alpha 0)n - k( - y)
\alpha 0 - 1 - n+k \partial
k
\partial yk
v1 =
=
n\sum
k=0
Ck
n(1 - \alpha 0)n - k( - y)
\alpha 0 - 1 - n+k 4k
(\beta 0)k
1\int
0
\Psi k (\psi 0, \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+\beta 0 - 1 \=Jk+\beta 0 - 1(\sigma )dz, (25)
где Ck
n — биномиальный коэффициент.
Введя обозначение \beta = \alpha - 1/2 = - n + \beta 0, нетрудно убедиться, что (1 - \alpha 0)n - k =
= ( - 1)k\Gamma [1/2 - \beta ] / \{ \Gamma [1/2 - \beta 0] (\beta + 1/2)k\} . Подставляя это значение (1 - \alpha 0)n - k в (25), а
(24) и (25) в равенство (22) и вводя обозначения
[4n/(1 - \beta 0)n] \Psi n (\varphi 0, \lambda ) = \varphi (t), \{ \Gamma [1/2 - \beta ] /\Gamma [1/2 - \beta 0]\} \psi 0(t) = \psi (t),
получаем представление общего решения уравнения (5):
u(x, y) =
n\sum
k=0
(4y)kCk
n
(\beta + 1/2)k(\beta + n)k
1\int
0
\Psi k(\psi , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n+k+\beta - 1 \=Jn+k+\beta - 1(\sigma )dz+
+( - y)1 - \alpha
1\int
0
\varphi (t)[z(1 - z)] - \beta \=J - \beta (\sigma )dz. (26)
Пусть теперь m = 1. Тогда \alpha = 2 - n - \alpha 0 \in (1 - n, 3/2 - n) , n \in N. Если учесть это, то
общее решение уравнения (5), согласно равенству (12) и формуле (19), определяется формулой
u(x, y) = ( - y)\alpha 0+n - 1 \partial
n
\partial yn
\Bigl[
v1(x, y) + ( - y)1 - \alpha 0v2(x, y)
\Bigr]
.
Отсюда, применяя метод, использованный в случае m = 0, также получаем формулу (26),
только в этом случае \beta = \alpha - (1/2) = 1 - n - \beta 0,
\varphi (t) = [4n/(\beta 0)n] \Psi n (\psi 0, \lambda ) , \psi (t) = \{ \Gamma [1/2 - \beta ] /\Gamma (\beta 0 - 1/2)\} \varphi 0(t).
2. Пусть \alpha = - n + 1/2, n = 0, 1, 2, . . . . В этом случае воспользуемся формулой (21).
Предполагая, что \varphi 0(t) и \psi 0(t) — достаточно гладкие функции, и полагая в формуле (11)
\alpha = 1/2, применяем полученную формулу к равенству (21):
u(x, y) = ( - y)n+1/2 (\partial n/\partial yn)
\Bigl[
( - y) - 1/2u1/2(x, y)
\Bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
108 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
Теперь, используя формулу Лейбница и равенство (13), после некоторых преобразований по-
лучаем представление общего решения уравнения (5) при \alpha = - n+ 1/2:
u(x, y) =
n+1\sum
k=0
Ck
n+1(4y)
k
k!( - n+ 1/2)k
1\int
0
\Psi k(\psi , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k \=Jk(\sigma )dz+
+( - y)n+1/2
1\int
0
\varphi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n \=Jn(\sigma )dz, (27)
где \varphi (t) = (4n/n!) \Psi (\varphi 0, \lambda ), \psi (t) = - [\Gamma (n+ 1/2) /2
\surd
\pi ]\psi 0(t).
3. Пусть \alpha = - n, n = 0, 1, 2, . . . . Общее решение уравнения (5) в этом случае можно
получить из общего решения уравнения L\alpha 0 - n - 1,\lambda (u) = 0, которое в силу (26) имеет вид
u(x, y) =
n+1\sum
k=0
(4y)kCk
n+1
(\beta + 1/2)k (\beta + n+ 1)k
1\int
0
\Psi k(\psi , \lambda )[z(1 - z)]n+k+\beta \=Jn+k+\beta (\sigma )dz+
+( - y)n+2 - \alpha 0
1\int
0
\varphi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma )dz, (28)
где \beta = \alpha 0 - n - 3/2, \alpha 0 \in (1/2, 1).
Поскольку \alpha 0 \in (1/2, 1) и \varphi (t) — произвольная функция, то, полагая \alpha 0 = 1 - \varepsilon , \varphi (t) =
= \omega (t) -
\Bigl[
( - 4)n+1\Psi n+1(\psi , \lambda )/(\beta + 1/2)n+1(\beta + n+ 1)n+1
\Bigr]
и учитывая равенства \beta = \alpha 0 -
- n - 3/2, ( - n - \varepsilon )n+1 = - \varepsilon ( - n - \varepsilon )n, решение (28) можно записать в виде
u(x, y) =
n\sum
k=0
(4y)kCk
n+1
( - n - \varepsilon )k(1/2 - \varepsilon )k
1\int
0
\Psi k(\psi , \lambda )[z(1 - z)]k - \varepsilon - 1/2 \=Jk - \varepsilon - 1/2(\sigma )dz+
+
(4y)n+1
( - n - \varepsilon )n(1/2 - \varepsilon )n+1
1\int
0
\Psi n+1(\psi , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n+1/2
G\varepsilon (z, y, \lambda ) dz+
+( - y)n+1+\varepsilon
1\int
0
\omega (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n+\varepsilon +1/2 \=Jn+\varepsilon +1/2(\sigma )dz, (29)
где \varepsilon > 0 — достаточно малое число, \omega (t) — произвольная достаточно гладкая функция, а
G\lambda
\varepsilon (z, y) =
1
\varepsilon
\bigl\{
[( - y)z(1 - z)]\varepsilon \=Jn+\varepsilon +1/2(\sigma ) - [z(1 - z)] - \varepsilon \=Jn - \varepsilon +1/2(\sigma )
\bigr\}
.
Очевидно, что выражение G\lambda
\varepsilon (z, y) при \varepsilon \rightarrow 0 представляет собой неопределенность ви-
да
0
0
. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, применим правило Лопиталя. Тогда,
принимая во внимание равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 109
d
dx
ax = ax \mathrm{l}\mathrm{n} a, a > 0;
\Gamma \prime (m+ a+ 1)
\Gamma (m+ a+ 1)
- \Gamma \prime (a+ 1)
\Gamma (a+ 1)
=
m\sum
j=1
1
a+ j
,
находим
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
G\lambda
\varepsilon (z, y) = 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
\=Jn+1/2(\sigma ) -
-
\infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(n+ 3/2)m
m\sum
j=1
2
n+ j + 1/2
. (30)
Теперь, переходя к пределу при \varepsilon \rightarrow 0 в формуле (29) и учитывая равенство (30), получаем
представление общего решения уравнения L - n,\lambda (u) = 0:
u(x, y) =
n\sum
k=0
(4y)kCk
n+1
( - n)k(1/2)k
1\int
0
\Psi k (\psi , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k - 1/2 \=Jk - (1/2)(\sigma )dz+
+
2(4y)n+1
( - n)n(1/2)n+1
1\int
0
\Psi n+1(\psi , \lambda )[z(1 - z)]n+1/2
\Biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
\=Jn+1/2(\sigma ) -
-
\infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(n+ 3/2)m
m\sum
j=1
1
n+ j + 1/2
\Biggr\}
dz+
+( - y)n+1
1\int
0
\omega (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n+1/2 \=Jn+1/2(\sigma )dz. (31)
Ответ на вопрос о том, при каких условиях на произвольные функции \varphi (t) и \psi (t) функция
u(x, y), определяемая формулами (26), (27) и (31), действительно удовлетворяет уравнению (5),
содержится в теоремах, доказываемых в следующем пункте.
4. Видоизмененная задача Коши и обоснование решения. 1. Пусть \alpha = 1 - ( - 1)m -
- n + ( - 1)m\alpha 0, где n = 0, 1, 2, . . . при m = 0 и n \in N при m = 1, а \alpha 0 \in (1/2, 1). В этом
случае будет однозначно разрешимой видоизмененная задача Коши об определении функции
u(x, y) \in C(D)\cap C2(D), удовлетворяющей в области D уравнению (5) и начальным условиям
u(x, 0) = \tau (x), x \in [0, 1]; \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow - 0
( - y)\alpha (\partial /\partial y)[u - A -
\alpha (\tau , \lambda )] = \nu (x), x \in (0, 1), (32)
где \tau (x) и \nu (x) — заданные функции, а A -
\alpha (\tau , \lambda ) — оператор вида
A -
\alpha (\tau , \lambda ) =
n\sum
k=0
\gamma 1(4y)
kCk
n
(\beta + 1/2)k (\beta + n)k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz. (33)
Для нахождения решения этой задачи воспользуемся представлением (26) общего решения
уравнения (5). На основании условия (32) из формулы (26) следует, что \psi (x) = \gamma 1 \tau (x), \varphi (x) =
= - \gamma 2 \nu (x), где \gamma 1 = \Gamma (2n+ 2\beta )\Gamma - 2(n+ \beta ), \gamma 2 = \Gamma (2 - 2\beta )(1 - \alpha ) - 1\Gamma - 2(1 - \beta ). Подставляя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
110 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
найденные \psi (x) и \varphi (x) в (26), получаем решение задачи \{ (5), (32)\} в виде
u(x, y) = A -
\alpha (\tau , \lambda ) - \gamma 2( - y)1 - \alpha
1\int
0
\nu (t)[z(1 - z)] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz. (34)
Теорема 1. Если \tau (x) \in C2(n+1)[0, 1] и \nu (x) \in C2[0, 1], то функция u(x, y), определяемая
формулой (34), является единственным решением задачи \{ (5), (32)\} .
Доказательство. Сначала докажем, что функция, определяемая формулой (34), удовлетво-
ряет уравнению (5). С этой целью функцию (34) запишем в виде
u(x, y) = \gamma 1v3(x, y) - \gamma 2v4(x, y), (35)
где
v3(x, y) =
n\sum
k=0
ykAn,k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz,
v4(x, y) = ( - y)1 - \alpha
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma )dz, An,k = 4kCk
n[(\beta + 1/2)k (\beta + n)k]
- 1.
Сначала рассмотрим функцию v3(x, y) и вычислим ее производные. Согласно формуле (13)
имеем
\partial
\partial y
v3 =
n\sum
k=0
k yk - 1An,k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz+
+
n\sum
k=0
4ykAn,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz.
Для вычисления
\bigl(
\partial 2/\partial y2
\bigr)
v3(x, y) используем сначала формулу (13), а затем (14):
\partial 2
\partial y2
v3 =
n\sum
k=0
k(k - 1)yk - 2An,k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz+
+2
n\sum
k=0
4k yk - 1An,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz+
+
n\sum
k=0
yk - 1An,k
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz -
- 2
n\sum
k=0
(1 + 2k + 2n+ 2\beta ) yk - 1An,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 111
Очевидно, что
\partial 2
\partial x2
v3 =
n\sum
k=0
ykAn,k
1\int
0
\Psi k(\tau
\prime \prime , \lambda )[z(1 - z)] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz.
Подставляя найденные v3xx, v3y, v3yy в уравнение (5), получаем
L\alpha ,\lambda (v3) \equiv v3xx + y v3yy + \alpha v3y - \lambda 2 v3 =
8\sum
j=1
fj ,
где
f1 =
n\sum
k=0
ykAn,k
1\int
0
\Psi k(\tau
\prime \prime , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz,
f2 =
n\sum
k=0
k(k - 1)yk - 1An,k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz,
f3 = 2
n\sum
k=0
4k ykAn,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz,
f4 =
n\sum
k=0
ykAn,k
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz,
f5 = - 2
n\sum
k=0
(1 + 2k + 2n+ 2\beta ) ykAn,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz,
f6 =
n\sum
k=0
k (\beta + 1/2)yk - 1An,k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz,
f7 =
n\sum
k=0
4(\beta + 1/2)ykAn,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz,
f8 = - \lambda 2
n\sum
k=0
ykAn,k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz.
Используя легко проверяемое равенство \Psi k+1(\tau , \lambda ) = \lambda 2\Psi k(\tau , \lambda ) - \Psi k(\tau
\prime \prime , \lambda ), нетрудно убе-
диться, что f1 + f4 + f8 = 0. Выполняя несложные вычисления, имеем
f2 + f6 =
n\sum
k=0
k (k + \beta - 1/2)yk - 1An,k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta - 1 \=Jk+n+\beta - 1 (\sigma )dz =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
112 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
=
n - 1\sum
k=0
(k + 1) (k + \beta + 1/2)ykAn,k+1
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma ) dz =
=
n - 1\sum
k=0
4(n - k)ykAn,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz,
f3 + f5 + f7 =
n\sum
k=0
4(k - n)ykAn,k
k + n+ \beta
1\int
0
\Psi k+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k+n+\beta \=Jk+n+\beta (\sigma )dz.
Из полученных равенств следует, что
\sum 8
j=1
fj = 0.
Теперь докажем, что функция v4(x, y) также удовлетворяет уравнению (5). Для этого вы-
числим нужные производные:
\partial
\partial y
v4 = - (1 - \alpha )( - y) - \alpha
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz+
+
4( - y)1 - \alpha
1 - \beta
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta \=J1 - \beta (\sigma ) dz,
\partial 2
\partial y2
v4 = - \alpha (1 - \alpha )( - y) - \alpha - 1
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz -
- 8(1 - \alpha )( - y) - \alpha
1 - \beta
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta \=J1 - \beta (\sigma ) dz -
- ( - y) - \alpha
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz+
+
2(3 - 2\beta )( - y) - \alpha
1 - \beta
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta \=J1 - \beta (\sigma ) dz,
\partial 2
\partial x2
v4 = ( - y)1 - \alpha
1\int
0
\nu \prime \prime (t)[z(1 - z)] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz.
Подставляя найденные v4xx, v4y, v4yy в уравнение (5), находим
L\alpha ,\lambda (v4) \equiv v4xx + y v4yy + \alpha v4y - \lambda 2 v4 =
8\sum
j=1
gj .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 113
Здесь
g1 = ( - y)1 - \alpha
1\int
0
\nu \prime \prime (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz,
g2 = \alpha (1 - \alpha )( - y) - \alpha
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz,
g3 =
8[1/2 - \beta ]( - y)1 - \alpha
1 - \beta
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta \=J1 - \beta (\sigma ) dz,
g4 = ( - y)1 - \alpha
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz,
g5 = - 2(3 - 2\beta )( - y)1 - \alpha
1 - \beta
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta \=J1 - \beta (\sigma ) dz,
g6 = - \alpha (1 - \alpha )( - y) - \alpha
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz,
g7 =
4(\beta + 1/2)( - y)1 - \alpha
1 - \beta
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta \=J1 - \beta (\sigma ) dz,
g8 = - \lambda 2( - y)1 - \alpha
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz.
Используя равенство \Psi 1(\nu , \lambda ) = \lambda 2\nu (t) - \nu \prime \prime (t), легко убедиться, что
g1 + g4 + g8 = ( - y)1 - \alpha
\left\{
1\int
0
\nu \prime \prime (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz+
+
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz - \lambda 2
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] - \beta \=J - \beta (\sigma ) dz
\right\} = 0.
Очевидно, что g2 + g6 = 0, g3 + g5 + g7 = 0. Следовательно,
\sum 8
j=1
gj = 0.
Из доказанного выше в силу равенства (35) следует, что функция u(x, y), определяемая
равенством (34), удовлетворяет уравнению (5).
Теперь проверим удовлетворение функции (34) первому из условий (32). Для этого, соглас-
но равенству (35), вычислим u(x, 0) = \gamma 1v3(x, 0) - \gamma 2v4(x, 0). Легко видеть, что v3(x, 0) =
= (1/\gamma 1)\tau (x), v4(x, 0) = 0, x \in [0, 1], следовательно, u(x, 0) = \tau (x), x \in [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
114 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
Проверим выполнение второго из условий (32). Для этого, принимая во внимание равенство
u(x, y) - A -
\alpha (\tau , \lambda ) = - \gamma 2v4(x, y), вычисляем следующий предел:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow - 0
( - y)\alpha (\partial /\partial y)[u - A -
\alpha (\tau , \lambda )] = - \gamma 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow - 0
( - y)\alpha v4y(x, y) =
= (1 - \alpha )\gamma 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow - 0
1\int
0
\nu (t) \=J - \beta (\sigma )\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \beta dz+
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow - 0
4y\gamma 2
1 - \beta
1\int
0
\Psi 1(\nu , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] 1 - \beta \=J1 - \beta (\sigma ) dz = \nu (x), x \in (0, 1).
Единственность решения (34) следует из процесса его получения.
Теорема 1 доказана.
2. Пусть \alpha = - n + (1/2), n = 0, 1, 2, . . . . В этом случае будет однозначно разрешимой
видоизмененная задача Коши с начальными условиями
u(x, 0) = \tau (x), x \in [0, 1],
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow - 0
( - y) - n+1/2(\partial /\partial y)
\bigl[
u(x, y) - A -
- n+1/2(\tau , \lambda )
\bigr]
= \nu (x), x \in (0, 1),
(36)
где \tau (x) и \nu (x) — заданные функции, а A -
- n+1/2(\tau , \lambda ) — оператор вида
A -
- n+1/2(\tau , \lambda ) =
n+1\sum
k=0
Ck
n+1(4y)
k
k!( - n+ 1/2)k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k \=Jk(\sigma )dz. (37)
В этом случае воспользуемся представлением (27) общего решения уравнения
L - n+1/2,\lambda (u) = 0. Тогда, согласно условию (36), из (27) следует, что
\psi (x) = \tau (x), \varphi (x) = - \gamma 3\nu (x), \gamma 3 = 2 (2n)!/(n!)2.
Подставляя эти значения функций \varphi (x) и \psi (x) в формулу (27), получаем решение зада-
чи \{ (5), (36)\} при \alpha = - n+ 1/2:
u(x, y) = A -
- n+1/2(\tau , \lambda ) - \gamma 3( - y)n+1/2
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n \=Jn(\sigma )dz. (38)
Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Если \tau (x) \in C2(n+2)[0, 1] и \nu (x) \in C2[0, 1], то функция u(x, y), определяемая
формулой (38), является единственным решением уравнения L - n+1/2,\lambda (u) = 0, удовлетворяю-
щим условиям (36).
3. Пусть \alpha = - n, n = 0, 1, 2, . . . . В этом случае будет однозначно разрешимой видоизме-
ненная задача Коши с начальными условиями
u(x, 0) = \tau (x), x \in [0, 1]; \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow - 0
( - y) - n \partial
\partial y
\bigl[
u(x, y) - A -
- n(\tau , \lambda )
\bigr]
= \nu (x), x \in (0, 1), (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 115
где \tau (x) и \nu (x) — заданные функции, а A -
- n(\tau , \lambda ) — оператор вида
A -
- n(\tau , \lambda ) =
1
\pi
n\sum
k=0
(4y)kCk
n+1
( - n)k(1/2)k
1\int
0
\Psi k(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] k - 1/2 \=Jk - 1/2(\sigma )dz+
+
2(4y)n+1
\pi ( - n)n(1/2)n+1
1\int
0
\Psi n+1(\tau , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n+1/2
\Biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
\=Jn+1/2(\sigma ) -
-
\infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(n+ 3/2)m
m\sum
j=1
1
n+ j + 1/2
\Biggr\}
dz. (40)
При этом воспользуемся представлением (31) общего решения уравнения L - n,\lambda (u) = 0. В силу
начальных условий (39) из (31) следует, что
\psi (x) =
1
\pi
\tau (x), \omega (x) = - \gamma 4\nu (x), \gamma 4 = \Gamma (2n+ 3)/
\bigl[
(n+ 1)\Gamma 2(n+ 3/2)
\bigr]
.
Подставляя эти значения функций \psi (x) и \omega (x) в (31), получаем решение задачи \{ (5), (39)\}
при \alpha = - n:
u(x, y) = A -
n (\tau , \lambda ) - \gamma 4( - y)n+1
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n+1/2 \=Jn+1/2(\sigma )dz. (41)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если \tau (x) \in C2(n+1)[0, 1] и \nu (x) \in C2[0, 1], то функция u(x, y), определяемая
формулой (41), является единственным решением уравнения L - n,\lambda (u) = 0, удовлетворяющим
условиям (39).
Доказательство. Введем обозначения
v5(x, y) = A -
- n(\tau , \lambda ), v6(x, y) = ( - y)n+1
1\int
0
\nu (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] n+1/2 \=Jn+1/2(\sigma )dz,
где A -
- n(\tau , \lambda ) — функция, определяемая равенством (40).
Если в функции v4(x, y), введенной в доказательстве теоремы 1, положим \alpha = - n и учтем
равенство \beta = \alpha - 1/2, то получим функцию v6(x, y). Тогда, согласно теореме 1, v6(x, y)
удовлетворяет уравнению L - n,\lambda (u) = 0.
Утверждение о том, что функция v5(x, y) удовлетворяет уравнению L - n,\lambda (u) = 0, доказы-
вается непосредственной проверкой. При этом используется следующая лемма.
Лемма 2. Если \psi (z) \in C2[0, 1] и \gamma > - 1, то справедливо равенство
\partial
\partial y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \left\{ \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
\=J\gamma (\sigma ) -
\infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(\gamma + 1)m
m\sum
j=1
1
\gamma + j
\right\} dz =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
116 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
=
1
2y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \=J\gamma (\sigma )dz+
+
4
(\gamma + 1)2
1\int
0
\Psi 1(\psi , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma +1 \bigl\{
(\gamma + 1) \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
- 1
\bigr\}
\=J\gamma +1(\sigma )dz -
- 4
\gamma + 1
1\int
0
\Psi 1(\psi , \lambda )
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma +1
\infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(\gamma + 2)m
m\sum
j=1
1
\gamma + 1 + j
dz,
а если \psi (z) \in C[0, 1] и \gamma > 0, то имеет место равенство
\partial
\partial y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \left\{ \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
\=J\gamma (\sigma ) -
\infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(\gamma + 1)m
m\sum
j=1
1
\gamma + j
\right\} dz =
=
1
4y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma - 1 \bigl\{
\gamma \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
+ 1
\bigr\}
\=J\gamma - 1(\sigma )dz -
- 1
2y
1\int
0
\psi (t)[z(1 - z)]\gamma
\bigl\{
(1 + 2\gamma ) \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
+ 1
\bigr\}
\=J\gamma (\sigma )dz -
- \gamma
4y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma - 1
\infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(\gamma )m
m\sum
j=1
1
\gamma - 1 + j
dz -
- 1 + 2\gamma
2y
1\int
0
\psi (t)
\bigl[
z(1 - z)
\bigr] \gamma \infty \sum
m=1
( - 1)m(\sigma /2)2m
m!(\gamma + 1)m
m\sum
j=1
1
\gamma + j
dz.
Из изложенного выше следует утверждение теоремы 3.
4. Пусть \alpha = 1. Тогда, как видно из представления (20) общего решения уравнения (5),
вблизи окрестности линии y = 0 его решение может быть и неограниченным, и ограниченным.
В случае, когда ищется неограниченное при y \rightarrow 0 решение уравнения (5), будет однозначно
разрешимой видоизмененная задача Коши с условиями
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
u(x, y)
\mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
- y
= \tau (x), x \in [0, 1] , (42)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
( - y) \mathrm{l}\mathrm{n}2
\surd
- y \partial
\partial y
\biggl\{
u(x, y) - A -
1 (\tau , \lambda )
\mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
- y
\biggr\}
= \nu (x), x \in (0, 1), (43)
где \tau (x) и \nu (x) — заданные функции, а
A -
1 (\tau , \lambda ) =
1
\pi
1\int
0
\tau (t)\sqrt{}
z(1 - z)
\left\{ \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl[ \surd
- yz(1 - z)
\bigr]
\=J - 1/2(\sigma ) -
\infty \sum
l=1
( - 1)l\sigma 2l
(2l)!
l\sum
j=1
2
2j - 1
\right\} dz.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ . . . 117
Удовлетворяя функцию (20) условиям (42) и (43), легко убедиться, что решение этой задачи
имеет вид
u(x, y) = A -
1 (\tau , \lambda ) +
1
2\pi
1\int
0
\nu (t) \=J - 1/2(\sigma )\sqrt{}
z(1 - z)
dz. (44)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если \tau (x), \nu (x) \in C[0, 1]\cap C2(0, 1), то функция u(x, y), определяемая форму-
лой (44), является единственным решением уравнения L1,\lambda (u) = 0, удовлетворяющим началь-
ным условиям (42), (43).
Если требуется ограниченное при y \rightarrow 0 решение уравнения L1,\lambda (u) = 0, то будет пра-
вильно поставленной задача с одним начальным условием вида
u(x, 0) = T (x), x \in [0, 1], (45)
где T (x) \in C[0, 1] \cap C2(0, 1) — заданная функция. Из (20), согласно (45), следует, что решение
этой задачи определяется формулой
u(x, y) =
1
\pi
1\int
0
T (t) \=J - 1/2(\sigma )\sqrt{}
z(1 - z)
dz.
5. Пусть \alpha > 1. В этом случае общее решение уравнения (5), согласно (8), определяется
равенством
u\alpha (x, y) = ( - y)1 - \alpha u2 - \alpha (x, y), 2 - \alpha < 1, (46)
где u2 - \alpha (x, y) — функция, определяемая одним из равенств (26), (27), (31), в которых \alpha замене-
но на 2 - \alpha . Подставляя выражения для функции u2 - \alpha (x, y) в равенство (46), легко убедиться,
что решение уравнения (5) при \alpha > 1 может оказаться и неограниченным, и ограниченным
вблизи линии y = 0. В случае, когда ищется неограниченное при y \rightarrow 0 решение, однозначно
разрешимой будет задача с начальными условиями
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
( - y)\alpha - 1u\alpha (x, y) = \tau (x), x \in [0, 1],
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
( - y)2 - \alpha \partial
\partial y
\Bigl[
( - y)\alpha - 1u\alpha (x, y) - \~A\alpha (\tau , \lambda )
\Bigr]
= \nu (x), x \in (0, 1),
где \tau (x) и \nu (x) — заданные функции, а \~A\alpha (\tau , \lambda ) — функция, определяемая одним из равенств
(33), (37), (40), в которых \alpha заменено на 2 - \alpha . В случае, когда ищется ограниченное при y \rightarrow 0
решение, достаточно будет задать одно начальное условие вида (45).
Отметим, что единственность решения начальных задач, изученных в этом пункте, можно
доказать и методом, примененным в работе [9].
Литература
1. Л. Берс, Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, Изд-во иностр. лит., Москва
(1961).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
118 А. К. УРИНОВ, А. Б. ОКБОЕВ
2. Ф. И. Франкль, О задачах Чаплыгина для смешанных до - и сверхзвуковых течений, Изв. АН СССР. Сер. мат.,
9, № 2, 121 – 142 (1945).
3. И. Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, Москва (1959).
4. F. Natterer, The mathematics of Computerized Tomography, SIAM (1986).
5. А. В. Бицадзе, Уравнение смешанного типа, Изд-во АН СССР, Москва (1959).
6. И. Л. Кароль, К теории уравнений смешанного типа, Докл. АН СССР, 88, № 3, 397 – 400 (1953).
7. М. М. Смирнов, Вырождающиеся гиперболические уравнения, Вышэйш. шк., Минск (1977).
8. Ф. Ф. Евдокимов, Задача Коши для уравнения uxx - ( - y)muyy - \lambda 2u = 0, Дифференц. уравнения, Вып. 12,
45 – 50 (1978).
9. С. А. Терсенов, К теории гиперболических уравнений с данными на линии вырождения типа, Сиб. мат. журн.,
2, № 6, 913 – 935 (1961).
10. С. А. Терсенов, О задаче Коши с данными на линии вырождения типа для гиперболического уравнения,
Дифференц. уравнения, 2, № 4, 125 – 130 (1966).
11. А. В. Бицадзе, К теории одного класса уравнений смешанного типа, Некоторые проблемы математики и
механики, Ленинград (1970), с. 112 – 119.
12. С. А. Терсенов, Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе, Наука, Новосибирск (1973).
13. Ю. М. Крикунов, Видоизмененная задача Трикоми для уравнения uxx + yuyy + ( - n+1/2)uy = 0, Изв. вузов.
Математика, № 9(208), 21 – 28 (1979).
14. Н. К. Мамадалиев, О представлении решения видоизменной задачи Коши, Сиб. мат. журн., 41, № 5, 1087 – 1097
(2000).
15. В. А. Елеев, О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося
гиперболического уравнения, Дифференц. уравнения, 12, № 1, 46 – 58 (1976).
16. М. Б. Капилевич, Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа, Мат. сб., 30(72), № 1,
11 – 38 (1952).
17. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, Наука, Москва (1966).
Получено 26.05.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-656 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:38Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ca/62452fc1e849c4a49d272d000603c8ca.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-6562020-01-29T12:11:35Z Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind Видоизмененная задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения второго рода Видозмiнена задача Кошi для вироджуваного гiперболiчного рiвняння другого роду Urinov, A. K. Okboev, A. B. Уринов, А. К. Окбоев, А. Б. Урінов, А. К. Окбоєв, А. Б. Задача Кошi Cauchy problem hyperbolic equation We study a modified Cauchy problem for the degenerated hyperbolic equation of the second kind. First, we find the representations of the general solution of the analyzed equation for $\alpha \leq 1.$ Then, by using these representations, we formulate modified Cauchy problems for all real values of $\alpha$ and deduce the formulas for the solution of the analyzed problems. Further, it is shown that the obtained solutions indeed satisfy the investigated equation and the initial conditions. &nbsp; &nbsp; Дослiджено видозмiнену задачу Кошi для вироджуваного гiперболiчного рiвняння другого роду. При цьому спочаткузнайдено зображення загального розв’язку розглядуваного рiвняння при $\alpha \leq 1.$ Потiм за допомогою цих зображеньзагального розв’язку рiвняння для всiх дiйсних $\alpha$ сформульовано видозмiненi задачi Кошi й отримано формули длярозв’язку поставлених задач. Отриманi формули обґрунтовано, тобто доведено, що вони задовольняють рiвняння iпочатковi умови. Дослiджено видозмiнену задачу Кошi для вироджуваного гiперболiчного рiвняння другого роду. При цьому спочатку знайдено зображення загального розв’язку розглядуваного рiвняння при $\alpha \leq 1.$ Потiм за допомогою цих зображень загального розв’язку рiвняння для всiх дiйсних $\alpha$ сформульовано видозмiненi задачi Кошi й отримано формули для розв’язку поставлених задач. Отриманi формули обґрунтовано, тобто доведено, що вони задовольняють рiвняння iпочатковi умови. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-01-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/656 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 1 (2020); 100-118 Український математичний журнал; Том 72 № 1 (2020); 100-118 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/656/1542 |
| spellingShingle | Urinov, A. K. Okboev, A. B. Уринов, А. К. Окбоев, А. Б. Урінов, А. К. Окбоєв, А. Б. Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind |
| title | Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind |
| title_alt | Видоизмененная задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения второго рода Видозмiнена задача Кошi для вироджуваного гiперболiчного рiвняння другого роду |
| title_full | Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind |
| title_fullStr | Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind |
| title_full_unstemmed | Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind |
| title_short | Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind |
| title_sort | modified cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind |
| topic_facet | Задача Кошi Cauchy problem hyperbolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/656 |
| work_keys_str_mv | AT urinovak modifiedcauchyproblemforonedegeneratedhyperbolicequationofthesecondkind AT okboevab modifiedcauchyproblemforonedegeneratedhyperbolicequationofthesecondkind AT urinovak modifiedcauchyproblemforonedegeneratedhyperbolicequationofthesecondkind AT okboevab modifiedcauchyproblemforonedegeneratedhyperbolicequationofthesecondkind AT urínovak modifiedcauchyproblemforonedegeneratedhyperbolicequationofthesecondkind AT okboêvab modifiedcauchyproblemforonedegeneratedhyperbolicequationofthesecondkind AT urinovak vidoizmenennaâzadačakošidlâodnogovyroždaûŝegosâgiperboličeskogouravneniâvtorogoroda AT okboevab vidoizmenennaâzadačakošidlâodnogovyroždaûŝegosâgiperboličeskogouravneniâvtorogoroda AT urinovak vidoizmenennaâzadačakošidlâodnogovyroždaûŝegosâgiperboličeskogouravneniâvtorogoroda AT okboevab vidoizmenennaâzadačakošidlâodnogovyroždaûŝegosâgiperboličeskogouravneniâvtorogoroda AT urínovak vidoizmenennaâzadačakošidlâodnogovyroždaûŝegosâgiperboličeskogouravneniâvtorogoroda AT okboêvab vidoizmenennaâzadačakošidlâodnogovyroždaûŝegosâgiperboličeskogouravneniâvtorogoroda AT urinovak vidozminenazadačakošidlâvirodžuvanogogiperboličnogorivnânnâdrugogorodu AT okboevab vidozminenazadačakošidlâvirodžuvanogogiperboličnogorivnânnâdrugogorodu AT urinovak vidozminenazadačakošidlâvirodžuvanogogiperboličnogorivnânnâdrugogorodu AT okboevab vidozminenazadačakošidlâvirodžuvanogogiperboličnogorivnânnâdrugogorodu AT urínovak vidozminenazadačakošidlâvirodžuvanogogiperboličnogorivnânnâdrugogorodu AT okboêvab vidozminenazadačakošidlâvirodžuvanogogiperboličnogorivnânnâdrugogorodu |