Rejection lemma and almost split sequences
UDC 512.55 We study the behavior of almost split sequences and Auslander – Reiten quivers of an order under rejection of bijective modules as defined in [Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, О квазибассовых порядках, Изв. АН СССР. Сер. мат., 36, 328 – 370 (1972)]. In particular, we establish relations o...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6580 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512452738809856 |
|---|---|
| author | Drozd, Yu. A. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. |
| author_facet | Drozd, Yu. A. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. |
| author_sort | Drozd, Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:03:06Z |
| description |
UDC 512.55
We study the behavior of almost split sequences and Auslander – Reiten quivers of an order under rejection of bijective modules as defined in [Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, О квазибассовых порядках, Изв. АН СССР. Сер. мат., 36, 328 – 370 (1972)]. In particular, we establish relations of stable categories and almost split sequences for an order $A$ and the order $A\prime$ obtained from $A$ by such a rejection. These results are refined for the Gorenstein and Frobenius cases.
|
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i6.6580 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i6.6580
УДК 512.55
Ю. А. Дрозд (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI
We study the behavior of almost split sequences and Auslander – Reiten quivers of an order under rejection of bijective
modules as defined in [Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, О квазибассовых порядках, Изв. АН СССР. Сер. мат., 36,
328 – 370 (1972)]. In particular, we establish relations of stable categories and almost split sequences for an order A and
the order A\prime obtained from A by such a rejection. These results are refined for the Gorenstein and Frobenius cases.
Вивчається поведiнка майже розщеплюваних послiдовностей i сагайдакiв Ауслендера – Райтен порядкiв при вики-
даннi бiєктивних модулiв згiдно з результатами статтi [Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, О квазибассовых порядках,
Изв. АН СССР. Сер. мат., 36, 328 – 370 (1972)]. Зокрема, встановлено зв’язки стабiльних категорiй i майже роз-
щеплюваних послiдовностей порядку A та порядку A\prime , одержаного з A таким викиданням. Цi результати уточнено
для ґоренштейнових i фробенiусових порядкiв.
1. Вступ. Бiєктивнi модулi i „лема про викидання” [6] вiдiграють важливу роль у теорiї по-
рядкiв i ґраток, так само, як ґоренштейновi (тобто самобiєктивнi) порядки (див., наприклад,
[6, 7, 11, 12, 17]). Так само важливу роль вiдiграють майже розщеплюванi послiдовностi та
сагайдаки Ауслендера – Райтен. У цiй статтi ми розглянемо поведiнку майже розщеплюваних
послiдовностей i сагайдакiв Ауслендера – Райтен при викиданнi бiєктивних модулiв. У пунктi 2
ми нагадаємо загальнi факти про порядки, ґратки та двоїстiсть. Нашi розгляди бiльш загальнi,
оскiльки ми не вважаємо базове комутативне кiльце кiльцем дискретної оцiнки, але фактично
всi основнi результати „класичної” теорiї (як у [4]) залишаються правильними. У пунктi 3 ми
вводимо бiєктивнi ґратки та ґоренштейновi порядки i доводимо лему про викидання у бiльш
узагальненiй формi та деякi пов’язанi з нею результати. Зокрема, ми встановлюємо, якi ґратки
стають проєктивними та iн’єктивними пiсля викидання (теорема 3.1). Пункт 4 присвячено бас-
совим порядкам, тобто таким, всi надкiльця яких є ґоренштейновими. Основним результатом
цього пункту є теорема 4.1, яка iстотно узагальнює критерiй бассовостi з роботи [6]. У пун-
ктi 5 ми розглядаємо стабiльнi категорiї та зв’язок стабiльної категорiї порядку A i стабiльної
категорiї порядку A\prime , отриманого викиданням бiєктивного модуля (теорема 5.1). У пунктi 6
вивчаються майже розщеплюванi послiдовностi й встановлюється, як майже розщеплюванi
послiдовностi для порядку A можна описати в термiнах A\prime -модулiв (твердження 6.2 i теоре-
ма 6.1). Насамкiнець, у пунктi 7 ми уточнюємо цi результати у випадку ґоренштейнових та
фробенiусових порядкiв.
Цю статтю присвячено пам’ятi мого друга, колеги й багаторiчного спiвавтора Володи-
мира Кириченка, з яким 50 рокiв тому ми захоплено „лазили по структурi модулiв” i подiляли
радiсть вiд вiдкриття леми про викидання.
2. Порядки, ґратки i двоїстiсть. Далi R позначає повне локальне комутативне нетерове
кiльце без нiльпотентних iдеалiв розмiрностi Крулля 1 з максимальним iдеалом m, полем
лишкiв k = R/m i повним кiльцем часток K. З [3] випливає, що таке кiльце є коен-маколеєвим.
Через R-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} позначимо категорiю скiнченнопороджених R-модулiв, а через R -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} — її повну
пiдкатегорiю, яка складається з R-ґраток, тобто R-модулiв M без скруту, або таких, що
канонiчне вiдображення M \rightarrow K \otimes RM є зануренням. Тодi ми пишемо KM замiсть K \otimes RM
c\bigcirc Ю. А. ДРОЗД, 2021
780 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 781
i ототожнюємо M з 1 \otimes M \subseteq KM. Зауважимо, що в цьому випадку R-ґратки — те саме,
що максимальнi коен-маколеєвi модулi. Оскiльки R повне, у нього є канонiчний модуль [3]
(наслiдок 3.3.8), тобто така R-ґратка \omega R, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}.\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R \omega R = 1 i \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1R(k, \omega R) = k. Функтор
D : M \mapsto \rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(M,\omega R) є точною двоїстiстю у категорiї R -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} [3] (теорема 3.3.10). Це
означає, що, якщо 0 \rightarrow N
\alpha - \rightarrow M
\beta - \rightarrow L \rightarrow 0 — точна послiдовнiсть ґраток, послiдовнiсть
0 \rightarrow DL
D\beta - - \rightarrow DM
D\alpha - - \rightarrow DN \rightarrow 0 також є точною, а природне вiдображення M \rightarrow DDM
є iзоморфiзмом. Оскiльки \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}R(\omega R) \simeq \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}RR \simeq R i \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}K KM \simeq K \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}RM для кожної
ґратки M, то K\omega R \simeq K, i ми ототожнюємо \omega R з його образом у K. Зауважимо також, що
K є прямим добутком полiв: K =
\prod s
i=1
Ki, де Ki — поле часток кiльця R/pi, а pi пробiгає
мiнiмальнi первиннi iдеали кiльця R.
R-порядком, або просто порядком, якщо R фiксоване, називають напiвпервинну R-алгебру
A, яка є R-ґраткою. Нагадаємо, що напiвпервинне — це таке кiльце, яке не має нiльпотентних
iдеалiв. Тодi KA є напiвпростою K -алгеброю. Кажуть, що A — це R-порядок у KA. Ми
позначаємо через Z(A) центр A i називаємо A центральним, якщо природне вiдображення
R \rightarrow Z(A) є iзоморфiзмом. Якщо A зв’язний, тобто не розкладається як кiльце, його центр
локальний, i навпаки. Позначимо через A-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} категорiю скiнченнопороджених R-модулiв, а
через A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} її повну пiдкатегорiю A-ґраток, тобто (лiвих) A-модулiв, якi є R-ґратками. Обме-
ження функтора двоїстостi D на категорiю A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} дає точну двоїстiсть мiж A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} та Aop -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, яку
ми розглядаємо як категорiю правих A-ґраток. Покладемо \omega A = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(A,\omega R). Це A-бiмодуль,
причому для кожної A-ґратки M (лiвої або правої) її двоїста ґратка DM ототожнюється з
\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,\omega A). Скiнченними модулями ми називаємо модулi скiнченної довжини i позначаємо
через \ell A(M) довжину такого модуля, а шириною A-ґратки M — довжину \ell KA(KM) i позна-
чаємо її через \mathrm{w}\mathrm{d}A(M). Легко бачити, що \mathrm{w}\mathrm{d}A(M) — це максимальне число m, таке що M
мiстить пряму суму m ненульових пiдмодулiв, або, що те саме, мiстить ланцюг пiдмодулiв
M = M0 \supset M1 \supset . . . \supset Mm, в якому всi фактори Mi/Mi+1 є ґратками. Ґратки ширини 1
називатимемо L-незвiдними1.
Оскiльки кiльце R є повним, кожна скiнченна R-алгебра (тобто скiнченнопороджена як
R-модуль) є напiвдосконалою [14]. Тому категорiя скiнченнопороджених модулiв над такою ал-
геброю A є категорiєю Крулля – Шмiдта. Зокрема, кожен нерозкладний проєктивний A-модуль
iзоморфний прямому доданку A й iснує бiєкцiя мiж класами iзоморфiзму нерозкладних про-
єктивних модулiв (якi називаються головними A-модулями) i класами iзоморфiзму простих
A-модулiв, яка спiвставляє головному модулю P модуль P/rP, де r = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}A. Для кожного
скiнченнопородженого A-модуля M iснує епiморфiзм \pi : P \rightarrow M, де P є проєктивним, а
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi \subseteq rP. Тут модуль P визначено з точнiстю до iзоморфiзму. Вiн називається проєктивним
накриттям модуля M i позначається PA(M). Iнколи епiморфiзм \pi також називають проєктив-
ним накриттям M, хоча вiн визначений лише з точнiстю до множника, який є автоморфiзмом
P. Очевидно, \pi iндукує iзоморфiзм P/rP \simeq M/rM.
Надкiльцем R-порядку A називається такий R-порядок A\prime , що A \subseteq A\prime \subset KA. Тодi A\prime /A
є скiнченним модулем, а A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} — повною пiдкатегорiєю в A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} . Порядок називається мак-
симальним, якщо вiн не має власних надкiлець. Надкiльце порядку A, яке є максимальним
порядком, називається його максимальним надкiльцем. Так само, надмодулем A-ґратки M
називається така A-ґратка M \prime , що M \subseteq M \prime \subset KM. Якщо A\prime — надкiльце A, а M — A-ґратка,
яка розглядається як пiдмодуль у KM, то визначено A\prime -ґратку A\prime M, яка є надмодулем M.
1 Часто такi ґратки називають незвiдними, але далi це слово буде використано в iншому контекстi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
782 Ю. А. ДРОЗД
Наступний факт є, мабуть, вiдомим. У випадку, коли R — кiльце дискретної оцiнки, його
доведено у [4]. Загальний випадок легко до цього зводиться, хоча нам не вдалося знайти
посилання в лiтературi.
Твердження 2.1. 1. Кожен R-порядок A має максимальне надкiльце.
2. Центр максимального порядку є добутком кiлець дискретної оцiнки.
3. Зв’язний максимальний порядок має, з точнiстю до iзоморфiзму, єдину нерозкладну
ґратку, яка є й L-незвiдною.
4. Навпаки, якщо порядок має єдину нерозкладну ґратку, вiн є зв’язним i максимальним.
Доведення. Можна вважати, що A є зв’язним. Його центр Z(A) є повним i локальним, a
кожне надкiльце A є Z(A)-порядком, тож можна вважати, що Z(A) = R. Тодi Z(KA) = K.
Нехай S — цiле замикання R у K. Оскiльки R повне й локальне, воно є чудовим кiльцем [16],
зокрема, S є скiнченнопородженим R-модулем. Оскiльки воно цiлозамкнене, воно є прямим
добутком кiлець дискретної оцiнки. Кiльце SA є S -порядком i надкiльцем A. Воно розклада-
ється у прямий добуток порядкiв, центри яких є кiльцями дискретної оцiнки. Тодi з теореми 26.5
[4] випливає, що SA, а тому й A, має максимальне надкiльце A\prime i Z(A\prime ) = S. Тепер усi iншi
твердження також випливають iз [4].
Твердження 2.1 доведено.
Оскiльки алгебра KA є напiвпростою, кожен скiнченнопороджений KA-модуль вклада-
ється у скiнченнопороджений вiльний модуль. Звiдси легко випливає, що й кожна A-ґратка M
вкладається у вiльний A-модуль. Отже, A-ґратки — це те саме, що пiдмодулi вiльних модулiв.
Твердження 2.2. Нехай I \in A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} . Тодi рiвносильнi такi умови:
(1) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}.\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}A I = 1;
(2) \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1A(M, I) = 0 для всiх M \in A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t};
(3) \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}iA(M, I) = 0 для всiх M \in A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} i всiх i \geq 1;
(4) будь-яка точна послiдовнiсть 0 \rightarrow I \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow 0, де M \in A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, розщеплюється;
(5) I \simeq DP, де P — скiнченнопороджений проєктивний Aop-модуль;
(6) I — прямий доданок \omega mA для деякого m.
Ґратку, яка задовольняє цi умови, назвемо L-iн’єктивною. Якщо L-iн’єктивна ґратка нероз-
кладна, називатимемо її коголовною.
Доведення. (3) \Rightarrow (2) i (2) \leftrightarrow (4) є очевидними.
(2) \Rightarrow (3), оскiльки у проєктивнiй резольвентi
. . .\rightarrow Pn
dn - \rightarrow Pn - 1
dn - 1 - - - \rightarrow . . .\rightarrow P2
d2 - \rightarrow P1
d1 - \rightarrow P0 \rightarrow M \rightarrow 0
модуля M всi модулi Mi = \mathrm{I}\mathrm{m} di є ґратками i \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}iA(M, I) \simeq \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1A(Mi - 1, I) при i > 1.
(4) \Rightarrow (5). За двоїстiстю умова (4) означає, що кожна точна послiдовнiсть 0 \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow
\rightarrow DI \rightarrow 0 розщеплюється. Оскiльки завжди iснує така послiдовнiсть з проєктивним модулем
N, з цього випливає, що P = DI є проєктивним, а I \simeq DP.
(5) \Rightarrow (6). Оскiльки проєктивний модуль P є прямим доданком вiльного модуля Am, модуль
I = DP є прямим доданком D(Am) = \omega mA .
(6) \Rightarrow (2). Нехай M — A-ґратка. Розглянемо точну послiдовнiсть 0 \rightarrow N \rightarrow P \rightarrow M \rightarrow 0 з
проєктивним модулем P. Оскiльки всi цi модулi є ґратками, iндукована послiдовнiсть
0 \rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,\omega A) \rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(P, \omega A) \rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(N,\omega A) \rightarrow 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 783
також є точною, звiдки \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1A(M,\omega A) = 0. Те саме виконується для модуля \omega mA i для його
прямого доданка I.
(3) \leftrightarrow (1). Вiдомо, що
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}.\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} I = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
i | \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}iA(A/L, I) \not = 0 для деякого лiвого iдеалу L
\bigr\}
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
i | \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}i - 1
A (L, I) \not = 0 для деякого лiвого iдеалу L
\bigr\}
.
Оскiльки кожен iдеал є ґраткою, (3) \Rightarrow (1). Навпаки, якщо виконано умову (1) i M є ґраткою,
вкладемо її у проєктивний модуль P. Тодi \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}iA(M, I) = \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}i+1
A (P/M, I) = 0 при i \geq 1, тобто
виконується умова (3).
Твердження 2.2 доведено.
Категорiя A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} стає точною в розумiннi [13], якщо ми будемо вважати точними парами
(конфляцiями) звичайнi короткi точнi послiдовностi, тобто трiйки N
\alpha - \rightarrow M
\beta - \rightarrow L, де \alpha =
= \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\beta i \beta = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\alpha . Отже, в цiй категорiї дефляцiї — це епiморфiзми модулiв, а iнфляцiї —
це мономорфiзми з ядрами без скруту (ми будемо часто користуватися цiєю термiнологiєю).
Ця точна категорiя має достатньо проєктивних i iн’єктивних об’єктiв, а саме, її проєктивними
об’єктами є скiнченнопородженi проєктивнi модулi, а iн’єктивними об’єктами — L-iн’єктивнi
ґратки. Щоб побудувати конфляцiю M \rightarrow I \rightarrow N з L-iн’єктивною I, достатньо дуалiзувати
точну послiдовнiсть 0 \rightarrow L\rightarrow P \rightarrow DM \rightarrow 0 з проєктивним P.
Для ґраток M,N ми писатимемо M \searrow N (вiдповiдно N \nearrow M ), якщо iснує дефляцiя
M r \rightarrow N (вiдповiдно iнфляцiя N \rightarrow M r ) для деякого r. Зокрема, A\searrow M i, дуально, M \nearrow \omega A
для будь-якої ґратки M. Ми писатимемо N\subset +M, якщо N є прямим доданком M r для деякого
r, i M \triangleleft \triangleright N, якщо i M\subset +N, i N\subset +M. Оскiльки A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} — категорiя Крулля – Шмiдта, то запис
N\subset +M для нерозкладної ґратки N означає, що N є прямим доданком M, а M \triangleleft \triangleright N означає,
що M i N мають ту саму множину нерозкладних прямих доданкiв. Зауважимо, що вiдношення
\searrow ,\nearrow i \subset + транзитивнi, а \triangleleft \triangleright є вiдношенням еквiвалентностi.
Означення 2.1. Нехай M — A-ґратка, E = \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}AM i O(M) = \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}EM. Якщо природне
вiдображення A \rightarrow O(M) є iзоморфiзмом, назвемо M строгою A-ґраткою. Очевидно, тодi
M є точним модулем.
Очевидно, O(M) є надкiльцем порядку A/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}AM. За теоремою Бернсайда про щiльнiсть
[8] (теорема 2.6.7) O(M) можна ототожнити з пiдмножиною \{ a \in KA/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}KM | aM \subseteq M\} .
Зокрема, точна A-ґратка M є строгою тодi й тiльки тодi, коли \{ a \in KA | aM \subseteq M\} = A. Якщо
ґратка N точна й M \searrow N або N \nearrow M, то й M точна i O(N) \supseteq O(M).
Твердження 2.3. Для кожної A-ґратки M iснує точна послiдовнiсть
0 \rightarrow O(M) \rightarrow Mn \rightarrow Mm (2.1)
для деяких m,n. Зокрема, M є строгою тодi й тiльки тодi, коли iснує точна послiдовнiсть
0 \rightarrow A
\alpha - \rightarrow Mn \beta - \rightarrow Mm, (2.2)
тобто A\nearrow M.
Доведення. Якщо E = \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}AM, то iснує точна послiдовнiсть E -модулiв Em \rightarrow En \rightarrow
\rightarrow M \rightarrow 0. Застосовуючи функтор \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}E(_ ,M), отримуємо точну послiдовнiсть (2.1). Якщо
M строга, вона збiгається з (2.2). Навпаки, якщо A\nearrow M, то, як зазначено вище, A = O(A) \supseteq
\supseteq O(M), звiдки O(M) = A.
Твердження 2.3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
784 Ю. А. ДРОЗД
Наслiдок 2.1. A-ґратка M є строгою тодi й тiльки тодi, коли iснує точна послiдовнiсть
Mm \rightarrow Mn \rightarrow \omega A \rightarrow 0, (2.3)
тобто M \searrow \omega A.
Ми будемо також використовувати ще одну двоїстiсть, аналогiчну двоїстостi Метлiса [15].
Теорема 2.1. Покладемо TR = K\omega R/\omega R i позначимо \^M = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(M,TR). Функтор M \mapsto \rightarrow
\mapsto \rightarrow \^M iндукує точну двоїстiсть мiж категорiями нетерових i артинових R-модулiв.
Доведення. Крок 1. Позначимо через \gamma M природне вiдображення M \rightarrow \^\^M. Кожен KR-
модуль V є iн’єктивним R-модулем i \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(V,M) = 0 = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(L, V ) для будь-якого нетерова
модуля M i для будь-якого перiодичного R-модуля L. Оскiльки \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}.\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R \omega R = 1, TR також є
iн’єктивним R-модулем. Тому функтор M \mapsto \rightarrow \^M є точним. Якщо R-модуль L перiодичний, то
застосуємо функтор \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(L, _ ) до точної послiдовностi 0 \rightarrow \omega R \rightarrow K\omega R \rightarrow TR \rightarrow 0. В ре-
зультатi отримаємо, що \^L \simeq \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1R(L, \omega R). Зокрема, \^\^R = \^TR \simeq \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1R(TR, \omega R). Застосуємо до тiєї
ж точної послiдовностi функтор \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(_ , \omega R). Це дає R = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(\omega R, \omega R) \simeq \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1R(TR, \omega R) =
= \^TR. Отже, \gamma R i \gamma TR — iзоморфiзми. Звичайний розгляд iз застосуванням точної послiдовностi
Rm \rightarrow Rn \rightarrow M \rightarrow 0 показує, що \gamma M є iзоморфiзмом для кожного нетерова R-модуля M.
Крок 2. Покажемо, що модуль N = \^M є артиновим, якщо M нетерiв. Справдi, якщо
N1 \subset N, то це занурення iндукує сюр’єкцiю M = \^N
\alpha - \rightarrow \^N1, причому \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha \simeq \widehat N/N1. Бiльш
того, якщо N2 \subset N1, то отримуємо сюр’єкцiї M
\alpha - \rightarrow \^N1
\beta - \rightarrow \^N2 такi, що \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\beta \alpha \supset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha . Отже,
кожний спадний ланцюг пiдмодулiв модуля \^M дає зростаючий ланцюг пiдмодулiв у модулi
M. Тому нескiнченних спадних ланцюгiв пiдмодулiв у \^M не iснує. Зокрема, модуль TR = \^R є
артиновим.
Крок 3. Нехай тепер модуль N є артиновим. Вiн мiстить простий пiдмодуль U. Оскiльки
\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}R(U, TR) \not = 0 i TR є iн’єктивним, iснує ненульовий гомоморфiзм \alpha 0 : N \rightarrow TR. Оскiльки
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha 0 також є артиновим, iснує ненульовий гомоморфiзм \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha 0 \rightarrow TR, який продовжується до
гомоморфiзму \alpha \prime : N \rightarrow TR. Нехай \alpha 1 =
\biggl(
\alpha 0
\alpha \prime
\biggr)
: N \rightarrow T 2
R. Тодi \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha 1 \subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha 0. Повторюючи
цю процедуру, отримуємо гомоморфiзми \alpha k : N \rightarrow T kR такi, що \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha k+1 \subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha k, якщо
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha k \not = 0. Оскiльки N є артиновим, на якомусь кроцi отримаємо занурення \beta : N \rightarrow TmR .
Оскiльки \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\beta також артинiв, маємо точну послiдовнiсть 0 \rightarrow N \rightarrow mTR \rightarrow nTR. З того,
що вiдображення \gamma TR є iзоморфiзмом, тепер випливає, що \gamma N також iзоморфiзм. Мiркування,
аналогiчнi кроку 2, показують, що модуль \^N є нетеровим.
Теорему 2.1 доведено.
Очевидно, якщо ми застосуємо цю двоїстiсть до A-модулiв, то отримаємо двоїстiсть мiж
категорiями лiвих (правих) нетерових i правих (лiвих) артинових A-модулiв. Легко бачити,
що при цьому категорiя ґраток вiдображається на категорiю артинових модулiв без скiнченних
фактор-модулiв.
Двоїстiсть M \mapsto \rightarrow \^M тiсно пов’язана з двоїстiстю D.
Твердження 2.4. Нехай 0 \rightarrow M
\alpha - \rightarrow N \rightarrow L \rightarrow 0 — точна послiдовнiсть A-модулiв, в якiй
M,N — ґратки, а L — скiнченний модуль. Iснує точна послiдовнiсть 0 \rightarrow DN
D\alpha - - \rightarrow DM \rightarrow
\rightarrow \^L\rightarrow 0. Зокрема, якщо M — максимальний пiдмодуль в N, то DN є мiнiмальним надмодулем
модуля DM, i навпаки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 785
Доведення. У кроцi 1 попереднього доведення ми встановили, що \^L \simeq \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1A(L, \omega A). За-
уважимо також, що \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(L, \omega A) = 0. Тому результат одержується, якщо до даної точної
послiдовностi застосувати функтор \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(_ , \omega A).
Нехай M — A-ґратка, r = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}A. Оскiльки (DM)r є перетином максимальних пiдмо-
дулiв модуля DM, його двоїстий модуль M r = D((DM)r) є сумою мiнiмальних надмо-
дулiв M. Якщо \pi : P
\pi - \rightarrow DM — проєктивне накриття DM, то двоїстий гомоморфiзм D\pi :
M \rightarrow DP є iнфляцiєю \iota : M \rightarrow I такою, що I є L-iн’єктивною ґраткою, а \iota iндукує iзоморфiзм
Ir/I \rightarrow M r/M. Ми називатимемо I (а iнколи й вiдображення \iota ) L-iн’єктивною оболонкою
модуля M. Ми також розглядатимемо iтерованi надмодулi M r\ast k, поклавши M r\ast 1 = M r i
M r\ast (k+1) = (M r\ast k)r. Очевидно, M r\ast k = D((DM)rk). Оскiльки головний A-модуль P має єди-
ний максимальний пiдмодуль rP, коголовна A-ґратка I має єдиний мiнiмальний надмодуль Ir.
3. Бiєктивнi ґратки та ґоренштейновi порядки. Нехай A — R-порядок, r = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}A. У
цьому пунктi будемо вважати порядок A зв’язним.
Означення 3.1. A-ґратка B називається бiєктивною [6], якщо вона i проєктивна, i L-
iн’єктивна.
Найважливiша властивiть бiєктивних ґраток — це так звана лема про викидання [6] (ле-
ма 2.9).
Лема 3.1. Нехай B — бiєктивна A-ґратка. Або iснує єдине надкiльце A\prime таке, що кожна
A-ґратка M iзоморфна B\prime \oplus M \prime , де M \prime є A\prime -ґраткою, а B\prime \subset +B, або A спадковий i A\subset +B (тодi
M\subset +B для кожної A-ґратки M ).
Кажуть, що A\prime отримується з A викиданням B, i позначають його через A - (B). Очевидно,
якщо B нерозкладна, то A - (B) є мiнiмальним надкiльцем порядку A.
Зауваження 3.1. За двоїстiстю DB також є бiєктивною (правою) A-ґраткою i кожна права
A-ґратка N iзоморфна B\prime \oplus N \prime , де B\prime \subset +DB, а N \prime — права A\prime -ґратка.
Доведення. Якщо M\subset +B, то M проєктивна. Тому якщо M\subset +B для кожної A-ґратки M, то
A є спадковим. Отже, можна вважати, що iснують такi A-ґратки M, що M \not \subset +B. Очевидно, тодi
iснують i точнi ґратки з цiєю властивiстю. Якщо M є строгою A-ґраткою,то A\nearrow M. Оскiльки
B проєктивна, то B \nearrow M, звiдки B\subset +M, оскiльки B є L-iн’єктивною. Нехай A\prime =
\bigcap
M
O(M),
де M пробiгає всi точнi A-ґратки, якi не мають прямих доданкiв B\prime \subset +B. Знайдеться скiнченна
множина таких ґраток M1,M2, . . . ,Mn, що A\prime = O(N), де N =
\bigoplus n
i=1Mi. Якщо N є строгим,
то B\subset +N, що неможливо. Тому A\prime \supset A i кожна точна A-ґратка M без прямих доданкiв B\prime \subset +B є
A\prime -ґраткою. Нехай M — довiльна A-ґратка, яка не має прямих доданкiв B\prime \subset +B, а U1, U2, . . . , Us
— всi попарно неiзоморфнi KA-модулi. Якщо M неточна, то один iз них, нехай U1, не є прямим
доданком KM. Покажемо, що iснує така A-ґратка L \subset U1, що L \not \subset +B. Замiнивши M на M \oplus L
i продовживши цю процедуру, отримаємо точну A-ґратку M \prime без прямих доданкiв B\prime \subset +B, таку
що M є її прямим доданком. Тодi M \prime , а тому й M, є A\prime -ґраткою.
Припустимо, що L\subset +B для кожної A-ґратки L \subset U1. Нехай C — проста компонента
алгебри KA така, що U1 є C -модулем, A1 — проєкцiя A на C. Якщо M — довiльна A1-ґратка,
то вона має ланцюг пiдмодулiв, усi фактори якого — пiдмодулi U1. Отже, вона проєктивна, а A1
спадковий i є прямим множником A. Оскiльки ми вважали A зв’язним, то A1 = A, а KA = C
— проста K -алгебра, тому M\subset +B для кожної A-ґратки.
Лему 3.1 доведено.
Щоб описати будову порядку A - (B), нам потрiбно кiлька простих лем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
786 Ю. А. ДРОЗД
Лема 3.2. 1. Нехай P — головний A-модуль. Якщо всi модулi riP нерозкладнi й проєктивнi,
то A спадковий i кожна нерозкладна A-ґратка iзоморфна деякiй riP.
2. Нехай I — коголовний A-модуль. Якщо всi модулi Ir\ast i нерозкладнi й L-iн’єктивнi, то A
спадковий i кожна нерозкладна A-ґратка iзоморфна деякiй Ir\ast i.
3. Нехай P — головний A-модуль. Якщо rP \simeq P, то порядок A є максимальним, а P —
єдина нерозкладна A-ґратка.
4. Нехай I — коголовний A-модуль. Якщо Ir \simeq I, то порядок A є максимальним, а I —
єдина нерозкладна A-ґратка.
Доведення. 1. З цiєї умови випливає, що ri+1P — єдиний максимальний пiдмодуль у riP.
Тому кожен пiдмодуль P збiгається з деяким riP, тобто є проєктивним i нерозкладним. Тодi
KP — простий KA-модуль, отже, є така проста компонента C алгебри KA, що KP є KA-
модулем. Якщо V — довiльний C -модуль, то вiн є кратним KP. Отже, якщо M \subset V є ґраткою,
вона має ланцюг пiдмодулiв, усi фактори якого — пiдмодулi KP. Звiдси випливає, що M є
проєктивним. Зокрема, проєкцiя A1 порядку A на C є проєктивною, тобто є прямим доданком
A як A-модуля. Очевидно, тодi A1 є прямим множником A, а тому A = A1.
Друге твердження леми є двоїстим до першого.
3. Якщо rP \simeq P, то rkP \simeq P для всiх k, отже, всi вони головнi. Так само, як у пунктi 1,
з цього випливає, що алгебра A є простою, а P — єдина нерозкладна A-ґратка. Зокрема, A —
максимальний порядок.
Четверте твердження двоїсте до третього.
Лему 3.2 доведено.
Лема 3.3. Припустимо, що порядок A не є спадковим. Нехай B — нерозкладна бiєктивна
A-ґратка, A\prime = A - (B). Тодi Br \not \simeq B, rB \not \simeq B, Br є проєктивною, а rB — L-iн’єктивною
A\prime -ґраткою.
Доведення. Br \not \simeq B i rB \not \simeq B за лемою 3.2. Тому вони є A\prime -ґратками i A\prime B = Br. Головний
A-модуль B є прямим доданком A, отже, A \simeq B \oplus M для деякого M. Тодi A\prime = A\prime A \simeq
\simeq A\prime B\oplus A\prime M = Br\oplus A\prime M, отже, Br є проєктивною над A\prime . За двоїстiстю rB є L-iн’єктивною
над A\prime .
Лема 3.4. 1. Нехай P — головний A-модуль, M — його мiнiмальний надмодуль. Тодi M або
є нерозкладним, або розкладається як M1 \oplus M2, де M1,M2 нерозкладнi. У другому випадку
rP = rM1 \oplus rM2 i анi M1, анi M2 не є проєктивним.
2. Нехай I — коголовний A-модуль, M — його максимальний пiдмодуль. Тодi M або є
нерозкладним, або розкладається як M1 \oplus M2, де M1,M2 нерозкладнi. У другому випадку
Ir =M r
1 \oplus M r
2 i анi M1, анi M2 не є L-iн’єктивним.
3. Нехай B — нерозкладна бiєктивна A-ґратка. Її максимальний пiдмодуль та мiнiмаль-
ний надмодуль розкладаються одночасно. Бiльш того, якщо rB є L-iн’єктивним, то Br є
проєктивним, i навпаки.
Доведення. 1. Оскiльки P \supseteq rM \supseteq rP, то \ell A(M/rM) \leq 2, тому M або нерозкладний, або
розкладається як M1 \oplus M2, де M1,M2 нерозкладнi. В останньому випадку \ell A(M1/rM1) = 1,
отже, N = rM1 \oplus M2 \not = P — максимальний пiдмодуль у M, N \cap P = rP i M1/rM1 \simeq
\simeq M/N \simeq P/rP. Оскiльки M1 \not \simeq P, вiн не може бути проєктивним. Те саме стосується M2.
Крiм того, у цьому випадку \ell A(M/rM) = 2, звiдки rP = rM = rM1 \oplus rM2.
Друге твердження леми випливає з першого за двоїстiстю.
3. Згiдно з першим i другим твердженнями леми, якщо Br нерозкладний, таким є й rB,
i навпаки. Припустимо, що rB є L-iн’єктивним. Тодi вiн нерозкладний, отже, B = (rB)r є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 787
єдиним мiнiмальним надмодулем rB. Тому B також є єдиним максимальним пiдмодулем у Br.
Отже, iснує епiморфiзм \pi : P \rightarrow Br, де P є проєктивним. Якщо P \simeq B, то \pi є iзоморфiзмом.
Якщо P \not \simeq B, то вiн є A\prime -модулем, де A\prime = A - (B). За лемою 3.3 Br є проєктивним A\prime -
модулем, а тодi \pi розщеплюється, отже, є iзоморфiзмом. В обох випадках Br є проєктивним
над A. Обернене твердження одержується за двоїстiстю.
Лему 3.4 доведено.
Означення 3.2. Нехай B — бiєктивна B-ґратка.
1. B-ланка — це множина нерозкладних ґраток \{ B1, B2, . . . , Bl\} така, що
Bi\subset +B для всiх i = 1, . . . , l,
Bi = rBi - 1 при i = 2, . . . , l (рiвносильно Bi - 1 = Br
i ),
rBl \not \subset +B i Br
1 \not \subset +B.
2. Для нерозкладної A-ґратки M визначимо M\pm ,B таким чином:
якщо M \not \subset +B, то M\pm ,B =M ;
якщо M \in \{ B1, B2, . . . , Bl\} , де \{ B1, B2, . . . , Bl\} — B-ланка, то M+,B = Br
1 i M - ,B =
= rBl.
Позначимо через \iota BM занурення M - ,B \rightarrow M+,B.
Теорема 3.1. Нехай порядок A не є спадковим, B — бiєктивна A-ґратка, A\prime = A - (B).
Якщо A =
\bigoplus n
i=1 Pi, де Pi нерозкладнi, то A\prime =
\bigoplus n
i=1 P
+,B
i . Зокрема, всi модулi P+,B
i є
проєктивними як A\prime -модулi i кожен головний A\prime -модуль iзоморфний прямому доданку деякого
з P+,B
i .
Зауваження 3.2. За двоїстiстю, якщо \omega A =
\bigoplus n
i=1 Ii, де Ii нерозкладнi, то \omega A\prime =
\bigoplus n
i=1 I
- ,B
i .
Зокрема, всi модулi I - ,B є L-iн’єктивними як A\prime -модулi i кожен коголовний A\prime -модуль iзоморф-
ний прямому доданку деякого з I - ,Bi .
Доведення. Будемо писати P \prime
i замiсть P+,B
i . Очевидно, можна вважати, що B =
\bigoplus m
j=1Bi,
де всi Bi нерозкладнi й неiзоморфнi. Скористаємось iндукцiєю по m. Нехай m = 1, тобто B
нерозкладний. За лемою 3.3, Br \not \simeq B, отже, B\prime = Br є A\prime -ґраткою i A\prime B = B\prime . Якщо P —
головний модуль i P \not \simeq B, то P \prime = P i є A\prime -ґраткою, тобто A\prime P = P. Отже, A\prime = A\prime A =
=
\bigoplus n
i=1 P
\prime
i .
Припустимо, що теорема правильна для m - 1 доданка. Якщо Br
i \subset +B для всiх i, то Br\ast k
1 \subset +B
для всiх k, а тодi A є спадковим за лемою 3.2, що суперечить умовi. Отже, можна вважати,
що Br
1 \not \subset +B. Позначимо A1 = A - (B1), r1 = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}A1. Тодi A - (B) = A -
1 (B
\prime ), де B\prime =
\bigoplus m
i=2Bi.
Якщо rB1 = B2\subset +B, то B1 — єдиний мiнiмальний надмодуль B2. Оскiльки Br
1 — єдиний
мiнiмальний надмодуль B1 i B1 не є A1-ґраткою, з цього випливає, що Br1
2 = Br
1. Отже,
M+,B = M+,B\prime
для кожної A1-ґратки M. Якщо Pi \simeq B1 при i \leq r i Pi \not \simeq B1 при i > r, то
A1 = A - (B1) = (
\bigoplus r
i=1 P
\prime
i ) \oplus (
\bigoplus n
i=r+1 Pi). Бiльш того, P \prime
i
+,B\prime
= P \prime
i при i \leq r i P+,B\prime
i = P \prime
i
при i > r. За припущенням iндукцiї A - (B) =
\bigoplus n
i=1 P
\prime
i .
Теорему 3.1 доведено.
Введемо клас порядкiв, який вiдiграє важливу роль у цих розглядах i взагалi в теорiї поряд-
кiв i ґраток. Наступний результат є безпосереднiм наслiдком тверджень 2.2, 2.3 i наслiдку 2.1.
Твердження 3.1. Нехай A є R-порядком. Тодi рiвносильнi таки умови:
(1) A є L-iн’єктивним як лiва A-ґратка;
(2) A є L-iн’єктивним як права A-ґратка;
(3) A\subset +M для кожної строгої A-ґратки M ;
(4) \omega A\subset +M для кожної строгої A-ґратки M ;
(5) якщо M є строгою A-ґраткою, то M \searrow N для кожної A-ґратки N ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
788 Ю. А. ДРОЗД
(6) якщо M є строгою A-ґраткою, то N \nearrow M для кожної A-ґратки N ;
(7) кожна проєктивна A-ґратка є L-iн’єктивною;
(8) кожна L-iн’єктивна A-ґратка є проєктивною.
Якщо цi умови виконано, A називається ґоренштейновим порядком [6].
Очевидно, кожен спадковий порядок є ґоренштейновим. Якщо A не є спадковим, позна-
чаємо через A - порядок A - (A). Вiн отримується з A викиданням усiх бiєктивних (або, що
в цьому випадку те саме, проєктивних) модулiв. Для ґоренштейнових порядкiв теорему 3.1
можна iстотно спростити завдяки наступному результату.
Лема 3.5. Нехай A — неспадковий ґоренштейнiв порядок, B — головний A-модуль. Тодi
анi Br, анi rB не є проєктивною (або, що те саме, L-iн’єктивною).
Доведення. Припустимо, що P = Br є проєктивним, а тому й бiєктивним. За лемою 3.4 вiн
нерозкладний, а тому rP = B. Нехай N = P r. Тодi rN \supseteq rP = B. Якщо rN = B, то Br \supseteq N,
що неможливо. Отже, rN = P, а тому N/rN — простий модуль. Тому iснує сюр’єкцiя P \prime \rightarrow N,
де P \prime є головним модулем, а тодi й сюр’єкцiя rP \prime \rightarrow P. Отже, P є прямим доданком rP \prime . За
лемою 3.4 rP \prime \simeq P, звiдки P \prime \simeq N, а тодi N = Br\ast 2 також є бiєктивним. Продовжуючи цей
розгляд, бачимо, що всi ґратки Br\ast k є бiєктивними. За лемою 3.2 A є спадковим, що суперечить
умовi. Тому Br не може бути проєктивним. Твердження про rB одержуємо за двоїстiстю.
Лему 3.5 доведено.
Наслiдок 3.1. Нехай A — неспадковий ґоренштейнiв порядок, A =
\bigoplus n
i=1 Pi, де Pi нероз-
кладнi, P \prime
i = P r
i , а B — бiєктивна A-ґратка. Припустимо, що Pi\subset +B при i \leq k i Pi \not \subset +B при
i > k. Тодi A - (B) = (
\bigoplus k
i=1 P
\prime
i ) \oplus (
\bigoplus n
i=k+1 Pi). Бiльш того, rPi i P r
i є A - (B)-ґратками для
всiх i. Зокрема, A - =
\bigoplus k
i=1 P
\prime
i , а r i Ar є A - -ґратками (i лiвими, i правими).
Доведення безпосередньо випливає з теореми 3.1 i леми 3.5.
Для ґоренштейнових порядкiв справедливим є твердження, обернене до леми 3.1.
Твердження 3.2. Якщо A ґоренштейнiв, то кожне його мiнiмальне надкiльце має вигляд
A - (B), де B є нерозкладною бiєктивною A-ґраткою.
Доведення. Якщо кожна проєктивна (або, що те саме, бiєктивна) A-ґратка є насправдi A\prime -
ґраткою, то A\prime = A. Отже, iснує нерозкладна бiєктивна A-ґратка B, яка не є A\prime -ґраткою. Тодi
A\prime \supseteq A - (B). Оскiльки A\prime мiнiмальне, A\prime = A - (B).
4. Бассовi порядки. Нагадаємо, що порядок A називається бассовим [9], якщо всi його
надкiльця (включаючи A) ґоренштейновi. З результатiв попереднього пункту випливає такий
критерiй [6] (теорема 3.1).
Твердження 4.1. Наступнi умови рiвносильнi:
(1) A — бассiв порядок,
(2) M \searrow O(M) для кожної A-ґратки M,
(3) якщо M \searrow N для деяких A-ґраток M,N, то N \nearrow M,
(4) якщо N \nearrow M для деяких A-ґраток M,N, то M \searrow N.
Отже, якщо порядок є Морiта-еквiвалентним до бассова порядку, то вiн також є бассовим.
Приклад 4.1. 1. Кожен спадковий порядок є бассовим.
2. Якщо кожен iдеал A має два твiрних, то A є бассовим. Це випливає з [18] у випадку, коли
R є кiльцем дискретної оцiнки. У загальному випадку доведення залишається таким самим.
3. Нехай \Delta — максимальний порядок у тiлi, d = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Delta , B(k,\Delta ) — пiдкiльце \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(2,\Delta ), яке
складається з таких матриць (aij), що a12 \in dk. Це бассiв порядок (спадковий, якщо k = 1).
Ми писатимемо символiчно B(k,\Delta ) =
\biggl(
\Delta dk
\Delta \Delta
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 789
У [9] встановлено, що кожен зв’язний бассiв порядок є або спадковим, або Морiта-еквiвален-
тним до локального порядку, кожен iдеал якого має два твiрних, або Морiта-еквiвалентним
до деякого порядку B(k,\Delta ). Ми отримаємо цей опис як наслiдок наступної теореми, яка
узагальнює теорему 3.3 [6].
Теорема 4.1. Нехай A — зв’язний немаксимальний порядок, P — нерозкладна бiєктивна
A-ґратка i A1 = A - (P ). Якщо P r \simeq rP, то мають мiсце такi твердження:
(1) Iснують ланцюги надмодулiв P = P0 \subset P1 \subset P2 \subset . . . \subset Pm i надкiлець A = A0 \subset
\subset A1 \subset A2 \subset . . . \subset Am такi, що для кожного 0 \leq i < m:
(a) Pi+1 = P ri
i \simeq riPi, де ri = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}Pi;
(b) Pi є нерозкладною бiєктивною Ai-ґраткою, яка не є проєктивною над Ai - 1 (а отже,
й над A), якщо i \not = 0;
(c) Ai є немаксимальним i Ai+1 = A -
i (Pi).
(2) Якщо цей ланцюг має найбiльшу довжину, то Am є спадковим порядком, має щонай-
бiльше двi неiзоморфнi нерозкладнi ґратки, а кожна нерозкладна A-ґратка iзоморфна або до
Pi при деякому 0 \leq i < m, або до прямого доданка Pm.
(3) A є Морiта-еквiвалентним або до локального бассова порядку E = (\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A P )
op, або
до бассова порядку B(k,\Delta ) для деяких k i \Delta .
Умова P r \simeq rP виконується, якщо P r не має L-iн’єктивних над A прямих доданкiв, але є
L-iн’єктивною як A1-ґратка, або за двоїстiстю, якщо rP не має проєктивних над A прямих
доданкiв, але є проєктивною над A1.
Зауважимо, що, згiдно з лемою 3.5, P r не може мати L-iн’єктивних доданкiв, якщо A є
ґоренштейновим.
Доведення. Насамперед доведемо останнє твердження. З теореми 3.1 випливає, що L-
iн’єктивна ґратка над A1 є або L-iн’єктивною над A, або прямим доданком rP. Якщо P r не
має L-iн’єктивних доданкiв над A, але є L-iн’єктивним над A1, то кожний прямий доданок P r
є iзоморфним прямому доданку rP. За лемою 3.4 або P r i rP нерозкладнi, або P r = L1 \oplus L2 i
rP = rL1 \oplus rL2, де L1, L2, rL1, rL2 нерозкладнi. З цього випливає, що P r \simeq rP.
Нехай P1 = P r \simeq rP. Оскiльки A не максимальний, P1 \not \simeq P за лемою 3.2. Тому ланцюги
надмодулiв i надкiлець, якi мають властивостi (a) – (c), iснують: наприклад, P = P0 \subset P1 = P r
i A = A0 \subset A1 = A - (P ). Оскiльки не iснує нескiнченних ланцюгiв надкiлець, розглянемо
найдовший ланцюг iз цiєю властивiстю. З леми 3.3 i теореми 3.1 випливає, що:
Pi є бiєктивною Ai-ґраткою, але не є проєктивною над Ai - 1 (а отже, й над A), якщо i \not = 0;
якщо i < m, то кожна нерозкладна A-ґратка або iзоморфна одному з модулiв P0, P1, . . . , Pi,
або є Ai+1-модулем;
кожний головний Ai-модуль або є проєктивним над A, або iзоморфний прямому доданку
Pi (а отже, iзоморфний Pi, якщо i < m).
Якщо i < m, то Pi - 1 \not = riPi, оскiльки Pi - 1 не є Ai-ґраткою, але riPi \supseteq ri - 1Pi - 1. Якщо
riPi = ri - 1Pi - 1 \simeq Pi, то Ai є максимальним, що суперечить умовi. Отже, riPi\cap Pi - 1 = ri - 1Pi - 1
i riPi + Pi - 1 = Pi, звiдки
Pi/riPi \simeq Pi - 1/ri - 1Pi - 1 \simeq Pi - 2/ri - 2Pi - 2 \simeq . . . \simeq P/rP. (4.1)
Оскiльки riPi \simeq Pi+1 i ri - 1Pi - 1 \simeq Pi, також маємо, що
Pi+1/Pi \simeq Pi/Pi - 1 \simeq Pi - 1/Pi - 2 \simeq . . . \simeq P1/P. (4.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
790 Ю. А. ДРОЗД
Припустимо спочатку, що Pm розкладається: Pm = L1 \oplus L2, де L1 i L2 нерозкладнi й непро-
єктивнi над Am - 1 (а отже, й над A) за лемою 3.4. Оскiльки ri - 1Pm = ri - 1L1 \oplus ri - 1L2 \simeq
\simeq L1 \oplus L2 i ri - 1L1, ri - 1L2 є нерозкладними, або ri - 1L1 \simeq L1 i ri - 1L2 \simeq L2, або ri - 1L1 \simeq L2
i ri - 1L2 \simeq L1. В обох випадках всi пiдмодулi модулiв L1 i L2 проєктивнi й iзоморфнi або
до L1, або до L2. Тому всi нерозкладнi Am-ґратки iзоморфнi або L1, або L2, Am спадковий
i P0, P1, . . . , Pm - 1, L1, L2 — це всi нерозкладнi A-ґратки. Отже, A0, A1, . . . , Am - 1 — це всi
неспадковi надкiльця A, а тому A бассовий. P — єдиний головний A-модуль, тому A є Морiта-
еквiвалентним до локального бассова порядку E = \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A P.
Нехай тепер Pm є нерозкладним. Зауважимо, що Pm - 1 \supseteq ri - 1Pm \supseteq ri - 1Pm - 1. Припустимо,
що Pm є проєктивним як Am - 1-модуль. Тодi ri - 1Pm = Pm - 1. Навпаки, якщо ri - 1Pm = Pm - 1,
тобто \ell Am - 1(Pm/ri - 1Pm) = 1, то iснує епiморфiзм \varphi : P \prime \rightarrow Pm, де P \prime — головний Am - 1-
модуль. Якщо P \prime = Pm - 1, то \varphi є iзоморфiзмом, оскiльки \mathrm{w}\mathrm{d}(Pm - 1) = \mathrm{w}\mathrm{d}(Pm). Iнакше, P \prime
є Am-модулем, а тодi P \prime \simeq Pm, оскiльки Pm також є проєктивним над Am. Отже, Pm є
проєктивним над Am - 1, а тому й над A. Оскiльки rm - 1Pm \simeq Pm - 1 i rm - 1Pm - 1 \simeq Pm, з
леми 3.2 випливає, що Am - 1 є спадковим i Pm - 1 та Pm — це всi його нерозкладнi модулi.
Покладемо \Delta = \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A Pm, d = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Delta . Це максимальний порядок i також \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A Pm - 1 \simeq \Delta [4].
Оскiльки Pm \not \simeq P, фактор-модулi Pm/Pm - 1 i P/rP неiзоморфнi. З iзоморфiзмiв (4.1) та (4.2)
випливає, що для кожного i < m Pi - 1 є єдиним максимальним пiдмодулем у Pi таким, що
Pi/Pi - 1 \simeq Pm/Pm - 1. Тому \varphi (Pi - 1) \subseteq Pi - 1 для кожного ендоморфiзму \varphi \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A Pi, отже,
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A Pi \simeq \Delta для всiх i. Зокрема, \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A P \simeq \Delta . Оскiльки P i Pm — це всi головнi A-модулi, A
є Морiта-еквiвалентним до кiльця \~A =
\bigl(
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A(P \oplus Pm)
\bigr) op
. Оскiльки кожен \Delta -iдеал (правий
чи лiвий) збiгається з dk для деякого k,
\~A \simeq
\biggl(
\Delta dk
dl \Delta
\biggr)
\simeq
\biggl(
\Delta dk+l
\Delta \Delta
\biggr)
= B(k + l,\Delta )
для деяких k, l.
Нехай тепер Pm є нерозкладним i непроєктивним над Am - 1. Тодi rm - 1Pm = rm - 1Pm - 1 i
Pm \supset rmPm \supseteq rm - 1Pm - 1. Якщо rmPm = rm - 1Pm - 1 \simeq Pm, то Am — максимальний порядок
i Pm — єдина нерозкладна Am-ґратка. Тому P0, P1, . . . , Pm — це всi нерозкладнi A-ґратки,
A0, A1, . . . , Am — всi надкiльця A i A є бассовим. Бiльш того, P — єдиний головний A-модуль,
отже, A є Морiта-еквiвалентним до E = \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A P.
Якщо ж Pm є нерозкладним, непроєктивним над Am - 1 i Pm - 1 \not = rmPm \not = ri - 1Pi - 1, то
rmPm є мiнiмальним надмодулем rm - 1Pm - 1 \simeq Pm. Тому rmPm \simeq P rm
m . Отже, якщо ми покла-
демо Pm+1 = P rm
m , Am+1 = A -
m(Pm), то отримаємо довшi ланцюги надкiлець i надмодулiв, якi
задовольняють умови (a) – (c), що неможливо.
Теорему 4.1 доведено.
Наслiдок 4.1 ([6], теорема 3.3). Нехай A — зв’язний ґоренштейнiв порядок. Якщо хоча б
одне з його мiнiмальних надкiлець також є ґоренштейновим, то A — бассiв порядок, причому
вiн є або спадковим, або Морiта-еквiвалентним до локального бассова порядку, або Морiта-
еквiвалентним до порядку B(k,\Delta ) для деяких k i \Delta .
Доведення випливає з теореми 4.1, леми 3.5 i твердженням 3.2.
Наслiдок 4.2 ([6], твердження 3.7). Нехай A — локальний ґоренштейнiв порядок, A\prime =
= A - (A) — його мiнiмальне надкiльце. Якщо A\prime не є локальним, то воно є спадковим, а
A — бассовим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 791
Доведення. За твердженням 3.2 A\prime = A - (A). Якщо A\prime не є локальним, то A\prime = P1 \oplus P2,
де обидва модулi Pi — головнi A\prime -модулi, а rPi — коголовнi A\prime -ґратки. Зокрема, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}A\prime = r.
Нехай P \prime
1 — мiнiмальний надмодуль P1, а M — максимальний пiдмодуль у P \prime
1. Тодi M = P1,
iнакше, M \cap P1 = rP1, тобто M є мiнiмальним надмодулем rP1, що неможливо, оскiльки
P1 — єдиний мiнiмальний надмодуль rP1. Отже, P1 — єдиний максимальний пiдмодуль у P \prime
1,
тому iснує епiморфiзм \varphi : P \rightarrow P \prime
1 ддя деякого головного A\prime -модуля P. Якщо P = P1, то \varphi
є iзоморфiзмом. Якщо P = P2, то \varphi iндукує епiморфiзм \varphi \prime : rP2 \rightarrow rP \prime
1 = P1. Оскiльки rP2
нерозкладний, \varphi \prime є iзоморфiзмом, а тому таким є й \varphi . Отже, або P \prime
1 \simeq P1, або P \prime
1 \simeq P2. Так
само, якщо P \prime
2 — мiнiмальний надмодуль P2, то або P \prime
2 \simeq P1, або P \prime
2 \simeq P2. Тепер з леми 3.2
випливає, що A\prime спадковий, а A бассiв.
Наслiдок 4.2 доведено.
5. Стабiльнi категорiї.
Означення 5.1. 1. Нехай \scrC — адитивна категорiя, S — деяка множина її морфiзмiв.
Позначимо через \langle S\rangle iдеал у \scrC , породжений S, тобто такий, що складається з морфiзмiв
форми
\sum k
i=1
\alpha i\sigma i\beta i, де \sigma i \in S. Фактор-категорiю \scrC /\langle S\rangle позначимо \scrC S. Її об’єкти — тi
самi, що й у \scrC , а множина морфiзмiв з M до N — це \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}S
\scrC (M,N) = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\scrC (M,N)/S(M,N),
де S(M,N) = \langle S\rangle \cap \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\scrC (M,N).
2. Категорiю A-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\langle 1A\rangle позначають A-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}, а її множини морфiзмiв — \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N).
Очевидно, вона збiгається з A-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frakP , де \frakP = \{ 1P1 , 1P2 , . . . , 1Pn\} , а P1, P2, . . . , Pn — пов-
ний список неiзоморфних головних A-модулiв. Якщо A є порядком, то повна пiдкатегорiя в
A-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\langle 1A\rangle , яка складається з A-ґраток, збiгається з A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\langle 1A\rangle i позначається A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}. Ми
називаємо її стабiльною категорiєю порядку A.
3. Аналогiчно, категорiю A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\langle 1\omega A
\rangle позначають A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, а її множини морфiзмiв —
\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N). Вона збiгається з A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\frakI , де \frakI = \{ 1I1 , 1I2 , . . . , 1In\} , а I1, I2, . . . , In — пов-
ний список неiзоморфних коголовних A-ґраток. Ми називаємо її костабiльною категорiєю
порядку A.
Двоїстiсть D iндукує двоїстiсть мiж категорiями A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} та Aop -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}. Якщо A ґоренштейнiв,
то стабiльна й костабiльна категорiї збiгаються.
Ми побачимо, що всi R-модулi \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N) i \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N) є скiнченними. Бiльш того,
можна оцiнити їхнi анулятори.
Лема 5.1. Нехай A0 — спадкове (наприклад, максимальне) надкiльце порядку A, c =
= \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(A0/A). Тодi c2\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N) = c2\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N) = 0 для будь-яких A-ґраток.
Доведення. Нехай M i N — A-ґратки, \lambda , \mu \in c. Розглянемо A0M \subset KM. Тодi \lambda A0M \subseteq M.
Оскiльки A0 спадковий, A0M є проєктивним A0-модулем. Тому A0M є прямим доданком
вiльного A0-модуля F \prime , який можна ототожнити з A0F, де F — деякий вiльний A-модуль.
Кожен гомоморфiзм f : M \rightarrow N продовжується до гомоморфiзму A0M \rightarrow A0N, а тому й до
гомоморфiзму g : F \prime \rightarrow A0N. Бiльш того, F \supseteq \lambda F \prime \supseteq \lambda M i \mathrm{I}\mathrm{m}(\mu g) \subseteq \mu A0N \subseteq N. Тому
гомоморфiзм \lambda \mu f можна розглядати як композицiю
M
\lambda - - \rightarrow \lambda M \lhook \rightarrow F
\mu g| F - - - \rightarrow N.
Отже, гомоморфiзм \lambda \mu f пропускається через проєктивний модуль i його образ у \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N)
нульовий. За двоїстiстю те саме є правильним i для \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N).
Лему 5.1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
792 Ю. А. ДРОЗД
На стабiльних категорiях визначено два важливих функтори. Нехай \pi : P \rightarrow M — проєктив-
не накриття скiнченнопородженого A-модуля M, \Omega M = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi . Зауважимо, що \Omega M завжди
є A-ґраткою, ненульовою, якщо M не є проєктивним. Якщо M є непроєктивною ґраткою,
то \Omega M не є L-iн’єктивною (iнакше, \pi розщеплюється). Якщо \pi \prime : P \prime \rightarrow M \prime — проєктивне
накриття M \prime , то будь-який гомоморфiзм \alpha : M \rightarrow M \prime пiднiмається до гомоморфiзму P \rightarrow P \prime ,
а тому iндукує гомоморфiзм \gamma : \Omega M \rightarrow \Omega M \prime . Якщо \gamma \prime походить з iншого пiдйому \alpha , то легко
перевiрити, що \gamma - \gamma \prime пропускається через P. Тому клас \gamma у стабiльнiй категорiї A-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} або
A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} однозначно визначений i \Omega можна розглядати як ендофунктор на стабiльнiй категорiї.
Якщо скористатися L-iн’єктивними оболонками, то отримаємо аналогiчний функтор \Omega \prime на ко-
стабiльнiй категорiї A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}. Якщо A ґоренштейновий, то проєктивне накриття M одночасно
є L-iн’єктивною оболонкою \Omega M, тому \Omega \prime є квазiоберненим до функтора \Omega i обидва вони є
автоморфiзмами стабiльної категорiї.
Нехай тепер P1
\psi - \rightarrow P0
\varphi - \rightarrow M \rightarrow 0 є мiнiмальним проєктивним представленням скiнченно-
породженого A-модуля M, тобто такою точною послiдовнiстю, в якiй модулi P0, P1 проєктивнi,
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \subseteq rP0 i \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi \subseteq rP1. Застосуємо до цiєї послiдовностi функтор \vee = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(_ , A). В
результатi отримаємо точну послiдовнiсть правих модулiв
0 \rightarrow M\vee \varphi \vee
- - \rightarrow P\vee
0
\psi \vee
- - \rightarrow P\vee
1 \rightarrow \mathrm{t}\mathrm{r}M \rightarrow 0, (5.1)
де \mathrm{t}\mathrm{r}M = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\psi \vee . Знов-таки, неважко переконатися, що насправдi ми отримуємо функтор \mathrm{t}\mathrm{r} :
(A-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d})op \rightarrow Aop-\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}. Оскiльки природне вiдображення P \rightarrow P\vee \vee є iзоморфiзмом для
кожного скiнченнопородженого проєктивного модуля P, iснує iзоморфiзм функторiв \bfone A-mod \simeq
\simeq \mathrm{t}\mathrm{r}2 . Зауважимо, що навiть якщо M є ґраткою, \mathrm{t}\mathrm{r}M може такою не бути.
Iснує природний гомоморфiзм M\vee \otimes AN \rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N), який вiдображає u v у гомомор-
фiзм x \mapsto \rightarrow u(x)v. Легко бачити [2], що його образ збiгається з \frakP (M,N). З точної послiдовностi
(5.1) випливає, що \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}A1 (\mathrm{t}\mathrm{r}M,N) \simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N).
Розглянемо поведiнку категорiй A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} та A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} при викиданнi бiєктивних ґраток.
Лема 5.2. Припустимо, що порядок A не є максимальним. Нехай B — нерозкладна бiєк-
тивна A-ґратка, A\prime = A - (B), M,N — деякi A\prime -ґратки.
1. Обмеження \gamma + : \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(B
r,M) \rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(B,M) i \gamma - : \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M, rB) \rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,B)
є бiєктивними вiдображеннями.
2. Гомоморфiзм \alpha : M \rightarrow N пропускається через B тодi й тiльки тодi, коли вiн пропу-
скається через занурення rB \rightarrow Br.
Доведення. 1. Оскiльки B/rB є скiнченним модулем, вiдображення \gamma - iн’єктивне. Оскiль-
ки M не мiстить B як прямий доданок, \mathrm{I}\mathrm{m}\alpha \subseteq rB для кожного \alpha : M \rightarrow B. Тому \gamma - бiєктивне.
Твердження вiдносно \gamma + є двоїстим.
Друге твердження леми є очевидним наслiдком першого.
Теорема 5.1. Нехай A — неспадковий порядок, B — бiєктивна A-ґратка, P1, P2, . . . , Pn
— повний список неiзоморфних головних A-модулiв, I1, I2, . . . , In — повний список неiзо-
морфних коголовних A-ґраток i A\prime = A - (B). Покладемо \frakP B =
\bigl\{
\iota BPi
| 1 \leq i \leq n
\bigr\}
i \frakI B =
=
\bigl\{
\iota BIi | 1 \leq i \leq n
\bigr\}
. Тодi A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \simeq A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\frakP B , а A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \simeq A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\frakI B .
Насправдi це означає, що при визначеннi A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} (вiдповiдно A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}) можна замiнити A на
A\prime i для кожної B-ланки B1, B2, . . . , Bl замiнити у \frakP (вiдповiдно у \frakI ) всi вiдображення 1Bi ,
1 \leq i \leq l, зануреннями rBl \rightarrow Br
1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 793
Доведення. Якщо B нерозкладна, то це випливає з леми 5.2. Загальний випадок отриму-
ється iндукцiєю за кiлькiстю неiзоморфних нерозкладних прямих доданкiв ґратки B iз засто-
суванням теореми 3.1.
Наслiдок 5.1. Нехай A — неспадковий ґоренштейнiв порядок, P1, P2, . . . , Pn — повний
список неiзоморфних головних A-модулiв, \iota i — занурення rPi \rightarrow P r
i , A
\prime = A - (A). Тодi
A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \simeq A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\frakP
\prime
, де \frakP \prime = \{ \iota 1, \iota 2, . . . , \iota n\} .
Доведення випливає з теореми 5.1 i леми 3.5.
6. Майже розщеплюванi послiдовностi. Нагадаємо деякi означення та результати (див. [2]).
Нехай A — порядок, \alpha : N \rightarrow M i \beta : M \rightarrow N — гомоморфiзми A-ґраток, де M — нерозкладна.
Означення 6.1. 1. Гомоморфiзм \alpha називається майже розщеплюваним справа, якщо ви-
конуються такi умови:
(a) \alpha — нерозщеплюваний епiморфiзм;
(b) кожний гомоморфiзм \xi : X \rightarrow M, який не є розщеплюваним епiморфiзмом, пропуска-
ється через \alpha ;
(c) якщо \varphi : N \rightarrow N є таким, що \alpha \varphi = \alpha , то \varphi є iзоморфiзмом.
Зауважимо, що якщо виконуються умови (a) i (b), то або виконується також умова (c),
або N = N0 \oplus N1, де N0 \subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha , а обмеження \alpha на N1 є майже розщеплюваним справа.
2. Гомоморфiзм \beta називається майже розщеплюваним злiва, якщо виконуються такi умови:
(a) \beta — нерозщеплювана iнфляцiя;
(b) кожний гомоморфiзм \xi : X \rightarrow M, який не є розщеплюваним мономорфiзмом, пропуска-
ється через \beta ;
(c) якщо \varphi : N \rightarrow N є таким, що \varphi \beta = \beta , то \varphi є iзоморфiзмом.
Зауважимо, що якщо виконуються умови (a) i (b), то або виконується також умова (c),
або N = N0 \oplus N1, де \mathrm{I}\mathrm{m}\beta \subset N1, а \beta є майже розщеплюваним злiва, якщо його розглядати як
гомоморфiзм M \rightarrow N1.
3. Нерозщеплювана точна послiдовнiсть A-ґраток \varepsilon : 0 \rightarrow L
\beta - \rightarrow N
\alpha - \rightarrow M \rightarrow 0, де M i
L нерозкладнi, називається майже розщеплюваною послiдовнiстю, якщо виконуються такi
умови:
(a) \alpha є майже розщеплюваним справа;
(b) \beta є майже розщеплюваним злiва;
(c) для кожного гомоморфiзму \xi : X \rightarrow M, який не є розщеплюваним епiморфiзмом, точна
послiдовнiсть \varepsilon \xi є розщеплюваною;
(d) для кожного гомоморфiзму \eta : L \rightarrow X, який не є розщеплюваним мономорфiзмом,
точна послiдовнiсть \eta \varepsilon є розщеплюваною.
Тут \varepsilon \xi (вiдповiдно \eta \varepsilon ) — це пiдйом точної послiдовностi \varepsilon вздовж \xi (вiдповiдно спуск \varepsilon
вздовж \eta ).
Очевидно, якщо майже розщеплюваний справа (або злiва) морфiзм iснує, то вiн є єдиним
з точнiстю до автоморфiзму модуля N. Так само, якщо майже розщеплювана послiдовнiсть
з фiксованим членом M (або L) iснує, то вона є єдиною з точнiстю до iзоморфiзму члена
L (вiдповiдно M ). Насправдi, у категорiї A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} така послiдовнiсть iснує для кожної непро-
єктивної нерозкладної ґратки M, так само, як i для кожної нерозкладної ґратки L, яка не є
L-iн’єктивною. Доведення цього факту дослiвно повторює доведення твердження 1.1 [1]. Ми
лише нагадаємо основнi кроки.
Функтор \tau A = D\Omega \mathrm{t}\mathrm{r} : A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \rightarrow A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} називається трансляцiєю Ауслендера – Райтен. Так
само, як у [1] (твердження 1.1), доводиться, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
794 Ю. А. ДРОЗД
\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1A(N, \tau AM) \simeq \widehat \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,N).
Нехай M — нерозкладна непроєктивна A-ґратка. Тодi кiльце \Lambda = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,M) є локальним.
За двоїстiстю \widehat \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,M) має єдиний мiнiмальний \Lambda -пiдмодуль U. Якщо u — ненульовий
елемент з U, то u(\lambda ) = 0 для кожного необоротного елемента \lambda \in \Lambda . Якщо \xi : X \rightarrow M
не є розщеплюваним епiморфiзмом, то \xi \varphi не є оборотним для кожного \varphi : M \rightarrow X, звiдки
(u\xi )\varphi = u(\xi \varphi ) = 0, тобто u\xi = 0. Тодi те саме виконується для вiдповiдного розширення
\varepsilon \in \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1A(M, \tau AM), отже,
\varepsilon : 0 \rightarrow \tau AM
\beta - \rightarrow E
\alpha - \rightarrow M \rightarrow 0 (6.1)
є майже розщеплюваною послiдовнiстю. Зауважимо, що якщо 0 \rightarrow L\rightarrow N \rightarrow M \rightarrow 0 є майже
розщеплюваною послiдовнiстю, то такою ж є i двоїста послiдовнiсть 0 \rightarrow DM \rightarrow DN \rightarrow
\rightarrow DL\rightarrow 0. Тому якщо L = \tau AM, то DM \simeq \tau ADL i M \simeq D\tau ADL \simeq \Omega \mathrm{t}\mathrm{r}DL. Отже, функтор
\tau A має квазiобернений \tau - 1
A = \Omega \mathrm{t}\mathrm{r}D : A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \rightarrow A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}.
Нехай M =
\bigoplus
jMj i N =
\bigoplus
iNi, де Mj i Ni — нерозкладнi A-ґратки. Через \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}A(M,N)
позначимо множину таких гомоморфiзмiв \varphi : M \rightarrow N, що жодна компонента \varphi ij : Mj \rightarrow Ni
не є iзоморфiзмом. Очевидно, отримуємо iдеал категорiї A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, який називається її радика-
лом. Можна розглядати його степенi \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}nA, n \in \BbbN , i \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}\infty A =
\bigcap \infty
n=1
\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}nA . Гомоморфiзми з
\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}A(M,N) \setminus \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}2A(M,N) називаються незвiдними. Фактор-модуль
NVM = \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}A(M,N)/\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}2A(M,N)
є скiнченновимiрним векторним простором над полем лишкiв k. Зокрема, якщо ґратка M
нерозкладна, то FM = MVM є тiлом, а для кожної ґратки N i NVM , i MVN є скiнченновимiр-
ними векторними просторами над FM (вiдповiдно правим i лiвим). Нехай A-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} — множина
класiв iзоморфiзму нерозкладних A-ґраток. Набiр \{ FM , NVM | M,N \in A-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\} назвемо АР-
типом порядку A i позначимо його \mathrm{A}\mathrm{R}A. Вiн насправдi є типом у розумiннi [5], оскiльки всi
FM є тiлами, а NVM є FN -FM -бiмодулем. Якщо поле лишкiв k є алгебраїчно замкненим, то
FM = k для кожної нерозкладної ґратки M. Цей тип звичайно подається як сагайдак, вершини
якого — це ґратки M \in A-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}, причому з вершини M до вершини N йде dNM стрiлок, де
dNM = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}k(NVM ). Вiн називається сагайдаком Ауслендера – Райтен порядку A. Очевидно,
АР-тип порядку Aop -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} — це (F op
M ,MVN ). Зокрема, у сагайдаку Ауслендера – Райтен потрiбно
просто перевернути всi стрiлки.
Якщо ґратка M нерозкладна i непроєктивна, то з означення майже розщеплюваної послiдов-
ностi видно, що кожен гомоморфiзм з \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}A(N,M), як i кожен гомоморфiзм з \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}A(\tau AM,N),
пропускається через член E послiдовностi (6.1). Отже, якщо E =
\bigoplus r
i=1Ei, де всi Ei нерозклад-
нi, то MVN = 0 = NV\tau AM , якщо N \not \simeq Ei для всiх 1 \leq i \leq r, а MVEi i EiV\tau AM всi ненульовi.
Зокрема, у сагайдаку Ауслендера – Райтен стрiлки йдуть лише з кожного Ei до M i з \tau AM до
кожного Ei. Зауважимо також, що якщо \alpha i — компоненти гомоморфiзму \alpha , а \beta i — компоненти
гомоморфiзму \beta з послiдовностi (6.1), то
\sum r
i=1
\alpha i\beta i = 0.
Якщо модуль P головний, то образ кожного гомоморфiзму N \rightarrow P, який не є розщеплю-
ваним епiморфiзмом, мiститься в rP. Отже, якщо rP =
\bigoplus r
i=1Ei, де всi Ei нерозкладнi, то
у АР-типi серед просторiв PVN ненульовими є лише PVEi . За двоїстiстю, якщо ґратка I є
коголовною, а Ir =
\bigoplus r
i=1Ei з нерозкладними Ei, то серед просторiв NVI ненульовими є лише
EiVI .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 795
Якщо ґратки M i N не є проєктивними, то кожен гомоморфiзм з \frakP (M,N) належить
\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}2A(M,N). Тому можна розглядати стабiльний АР-тип (або стабiльний сагайдак Аусленде-
ра – Райтен) \mathrm{A}\mathrm{R}A, що є частиною \mathrm{A}\mathrm{R}A, в якiй M,N пробiгають лише неголовнi нерозкладнi
ґратки. Дуально визначається костабiльний АР-тип (або костабiльний сагайдак Ауслендера –
Райтен) \mathrm{A}\mathrm{R}A, в якому M,N пробiгають нерозкладнi ґратки, якi не є коголовними. Функтор
\tau A iндукує трансляцiю Ауслендера – Райтен ARA
\sim \rightarrow ARA. Знов-таки, у ґоренштейновому
випадку стабiльнi й костабiльнi типи чи сагайдаки збiгаються.
Ми будемо використовувати наступний результат про незвiднi морфiзми мiж нерозкладними
ґратками. Найiмовiрнiше, вiн є вiдомим, але нам не вдалося знайти його в лiтературi.
Твердження 6.1. Нехай M,N — нерозкладнi ґратки, \alpha : N \rightarrow M — незвiдний морфiзм. Є
двi можливостi:
1) \alpha — мономорфiзм, а його образ є прямим доданком деякого максимального пiдмодуля M ;
2) \alpha — епiморфiзм N на прямий доданок деякого фактор-модуля N/L, де L — така
L-незвiдна пiдґратка в N, що N/L є ґраткою.
Доведення. Нехай M \prime = \mathrm{I}\mathrm{m}\alpha , \iota — занурення M \prime \rightarrow M, а \pi — проєкцiя N \rightarrow M \prime . Якщо
M \prime =
\bigoplus m
i=1Mi, де Mi нерозкладнi, нехай \iota i i \pi i — компоненти \iota i \pi вiдносно цього розкладу.
Тодi \alpha =
\sum m
i=1
\iota i\pi i. Оскiльки \alpha незвiдний, принаймнi один iз морфiзмiв \iota i чи \pi i повинен
бути оборотним. Припустимо, що один з \iota i оборотний. Тодi m = 1 i \alpha є епiморфiзмом. Нехай
L — така незвiдна ненульова пiдґратка в \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha , що \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha /L, а тому й N/L також є ґраткою
(якщо \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha L-незвiдне, то L = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\alpha ). Тодi \alpha = \xi \eta , де \eta — епiморфiзм N \rightarrow N/L, а \xi :
N/L \rightarrow M. Якщо \xi = \alpha \gamma , то \alpha = \alpha \gamma \eta . Оскiльки \alpha незвiдний, а N нерозкладна, \gamma \eta повинен
бути iзоморфiзмом, що неможливо. Отже, \xi не пропускається через \alpha , а тому є розщеплюваним
епiморфiзмом, тобто визначає M як прямий доданок N/L i маємо випадок 2.
Якщо ж оборотним є деякий з \pi i, то також m = 1 i \alpha є мономорфiзмом. Якщо M \prime
— максимальний пiдмодуль у M, який мiстить \mathrm{I}\mathrm{m}\alpha , то \alpha пропускається через занурення
\mathrm{I}\mathrm{m}\alpha \rightarrow M \prime . Тому останнє повинно розщеплюватись i маємо випадок 1.
Твердження 6.1 доведено.
Ми вивчимо поведiнку цих конструкцiй при викиданнi бiєктивних ґраток. Насамперед до-
ведено таке твердження.
Твердження 6.2. Нехай B — бiєктивна A-ґратка, A\prime = A - (B), M,N,L — деякi A\prime -
ґратки.
1. Якщо \alpha : N \rightarrow M майже розщеплюваний справа в A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, то вiн є таким i в A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}.
2. Якщо \beta : M \rightarrow N майже розщеплюваний злiва в A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, то вiн є таким i в A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}.
3. Якщо 0 \rightarrow L \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow 0 — майже розщеплювана послiдовнiсть у A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, то вона
є такою i в A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}.
Доведення. 1. Нехай X — деяка A-ґратка, \xi \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(X,M) не є розщеплюваним епiмор-
фiзмом. Якщо X \not \subset +B, вона є A\prime -ґраткою, тому \xi пропускається через \alpha . Якщо ж X\subset +B, то
вона проєктивна, а тому, знов-таки, \xi пропускається через \alpha .
Друге твердження є правильним за двоїстiстю.
Третє твердження випливає з першого або другого.
Наступна теорема описує мiсце нових проєктивних модулiв над порядком A - (B) у майже
розщеплюваних послiдовностях категорiї A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} . Аналогiчний результат наведено в роботi [17].
Теорема 6.1. Нехай B — нерозкладна бiєктивна A-ґратка, A\prime = A - (B). Припустимо, що
Br не є проєктивною над A (рiвносильно, rB не є L-iн’єктивною над A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
796 Ю. А. ДРОЗД
1. Якщо Br розкладається: Br = M1 \oplus M2, то iснують майже розщеплюванi послiдов-
ностi
0 \rightarrow rM1 \rightarrow B \rightarrow M2 \rightarrow 0,
0 \rightarrow rM2 \rightarrow B \rightarrow M1 \rightarrow 0.
Зокрема, \tau AM1 = rM2 i \tau AM2 = rM1.
2. Якщо Br нерозкладна, то Br має максимальний пiдмодуль X \not = B й iснує майже
розщеплювана послiдовнiсть
0 \rightarrow rB \rightarrow B \oplus X
\alpha - \rightarrow Br \rightarrow 0. (6.2)
Зокрема, \tau ABr = rB.
Доведення. Ґратка Br є проєктивною, а rB — L-iн’єктивною над A\prime за лемою 3.3. Нехай
M — прямий доданок Br, N = \tau AM i 0 \rightarrow N \rightarrow E \rightarrow M \rightarrow 0 — майже розщеплювана послi-
довнiсть у A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} . Якщо N не є L-iн’єктивною як A\prime -ґратка, то в A\prime -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} є майже розщеплювана
послiдовнiсть 0 \rightarrow N \rightarrow E\prime \rightarrow M \prime \rightarrow 0. За твердженням 6.2 вона також є майже розщеплюва-
ною в A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} . Звiдси випливає, що M \prime \simeq M, що неможливо, оскiльки M проєктивна над A\prime .
Отже, \tau AM є L-iн’єктивною як A\prime -ґратка, але не як A-ґратка. Тодi вона є прямим доданком
rB. Зокрема, якщо Br нерозкладна, то \tau ABr = rB.
Оскiльки iснує незвiдний морфiзм B \rightarrow M, B має бути прямим доданком E, тобто E =
= B \oplus X. Якщо Br = M1 \oplus M2, то iснує точна послiдовнiсть 0 \rightarrow rM1 \rightarrow B \rightarrow M2 \rightarrow 0, i
оскiльки KB \simeq KM1 \oplus KM2, то X = 0. Якщо ж Br нерозкладна, то KX \simeq KB. Тому з
твердження 6.1 випливає, що в майже розщеплюванiй послiдовностi (6.2) обмеження \alpha на X
є iзоморфiзмом на максимальний пiдмодуль у Br, який не може збiгатися з B.
Зауваження 6.1. 1. Можливо, що у випадку 1 M1 \simeq M2, а у випадку 2 X \simeq B. Якщо ж
X \not \simeq B, то вона є A\prime -ґраткою i X = r\prime Br, де r\prime = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}A\prime . Якщо ж X \simeq B, то r\prime Br = rBr.
2. За лемою 3.5 умова „Br не є проєктивною” завжди виконується, якщо A є зв’язним,
ґоренштейновим i неспадковим.
7. Ґоренштейнiв i фробенiусiв випадки. Якщо порядок A є ґоренштейновим, то функ-
тор \vee : M \mapsto \rightarrow M\vee = \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}A(M,A) є точною двоїстiстю A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \rightarrow Aop -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} . Комбiнуючи
його з двоїстiстю D : Aop -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \rightarrow A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}, отримуємо еквiвалентнiсть Накаями \scrN = D \vee :
A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \rightarrow A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} . Вона вiдображає проєктивнi модулi у проєктивнi, тому її можна також роз-
глядати як функтор на стабiльнiй категорiї A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t} \rightarrow A -\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}. Наступний результат є аналогом
твердження IV.3.6 [2].
Твердження 7.1. Якщо порядок A є ґоренштейновим, то функтори \tau A, \Omega \scrN i \scrN \Omega iзо-
морфнi.
Доведення. Нехай M — непроєктивна A-ґратка. Розглянемо точну послiдовнiсть
0 \rightarrow N
\alpha - \rightarrow P1
\beta - \rightarrow P0
\gamma - \rightarrow M \rightarrow 0,
де P1
\beta - \rightarrow P0
\gamma - \rightarrow M \rightarrow 0 — мiнiмальне проєктивне зображення M. Вона дає точну послiдовнiсть
0 \rightarrow M\vee \gamma \vee - \rightarrow P\vee
0
\beta \vee
- - \rightarrow P\vee
1
\alpha \vee
- - \rightarrow N\vee \rightarrow 0.
Отже, N\vee \simeq \mathrm{t}\mathrm{r}M i \Omega \mathrm{t}\mathrm{r}M \simeq \mathrm{I}\mathrm{m}\beta \vee . Тепер точна послiдовнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ЛЕМА ПРО ВИКИДАННЯ I МАЙЖЕ РОЗЩЕПЛЮВАНI ПОСЛIДОВНОСТI 797
0 \rightarrow D(\mathrm{I}\mathrm{m}\beta \vee ) \rightarrow P\vee \vee
0 \rightarrow DM\vee \rightarrow 0
показує, що \tau AM \simeq D(\mathrm{I}\mathrm{m}\beta \vee ) \simeq \Omega \scrN M. Очевидно, ця конструкцiя є функторiальною по M,
тому встановлює iзоморфiзм \tau A \simeq \Omega \scrN . Оскiльки \scrN точний i переводить проєктивнi модулi в
проєктивнi, вiн комутує з \Omega , тобто \Omega \scrN \simeq \scrN \Omega .
Твердження 7.1 доведено.
Нехай A \simeq
\bigoplus s
i=1 P
mi
i , де P1, P2, . . . , Ps — усi попарно неiзоморфнi головнi лiвi A-модулi.
Тодi також A \simeq
\bigoplus s
i=1(P
\vee
i )
mi як правий A-модуль, DA \simeq
\bigoplus s
i=1(DP
\vee
i )
mi як лiвий A-модуль
i DP\vee
1 , DP
\vee
2 , . . . , DP
\vee
s — всi попарно неiзоморфнi коголовнi лiвi A-модулi. Отже, A є ґо-
ренштейновим тодi й тiльки тодi, коли iснує перестановка \nu така, що Pi \simeq DP\vee
\nu i для всiх
i = 1, 2, . . . , s. Перестановка \nu називається перестановкою Накаями.
Означення 7.1. Порядок A називається фробенiусовим, якщо A \simeq DA як лiвий A-модуль,
i симетричним, якщо A \simeq DA як A-бiмодуль.
Очевидно, це означення є лiво/право симетричним i A є фробенiусовим тодi й тiльки тодi,
коли вiн є ґоренштейновим i mi = m\nu i для всiх i = 1, 2, . . . , s, де \nu — перестановка Накаями.
Означення 7.2. Нехай M — лiвий A-модуль, \sigma — автоморфiзм A. Позначимо через \sigma M
лiвий A-модуль, який збiгається з M як група, але для кожного a \in A i x \in M добуток ax
у \sigma M дорiвнює добутку \sigma (a)x у M. Аналогiчно визначається N\sigma для правого A-модуля N i
\rho M\sigma для A-бiмодуля M, де \rho також є автоморфiзмом A. Якщо \rho або \sigma є тотожним, ми
вiдкидаємо його й пишемо вiдповiдно M\sigma або \rho M.
Легко бачити, що вiдображення x \mapsto \rightarrow \rho - 1(x) i x \mapsto \rightarrow \sigma - 1(x) є iзоморфiзмами A-бiмодулiв
вiдповiдно \rho A\sigma \simeq A\rho
- 1\sigma i \rho A\sigma \simeq \sigma - 1\rho A.
Твердження 7.2. A є фробенiусовим тодi й тiльки тодi, коли iснує автоморфiзм \sigma \in
\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}A такий, що DA \simeq A\sigma як A-бiмодуль. Бiльш того, iснує оборотний елемент s \in KA
такий, що \sigma (a) = s - 1as для всiх a \in A.
Доведення. Очевидно, якщо такий автоморфiзм iснує, то A є фробенiусовим. Припустимо,
що A є фробенiусовим i \varphi : A
\sim \rightarrow \Delta — iзоморфiзм лiвих A-модулiв, де \Delta = DA. Вiн iндукує
iзоморфiзм лiвих KA-модулiв K\varphi : KA
\sim \rightarrow K\Delta . Оскiльки KA напiвпроста, вона є симетрич-
ною як K -алгебра [4] (9.8), тобто iснує iзоморфiзм KA-бiмодулiв \theta : KA
\sim \rightarrow K\Delta . Композицiя
\theta - 1\cdot K\varphi є автоморфiзмом KA як лiвого KA-модуля. Тому iснує оборотний елемент s \in KA
такий, що \theta - 1K\varphi (x) = xs для кожного x \in KA. Зокрема, \varphi (x) = \theta (xs) для кожного x \in A,
звiдки \Delta = \theta (As). З цього випливає, що As = \theta - 1(\Delta ) — двостороннiй A-модуль, тобто
sA \subseteq As i sAs - 1 \subseteq A. Отже, sAs - 1 = A i s - 1As = A. Бiльш того,
\varphi (xa) = \theta (xas) = \theta (xss - 1as) = \theta (xs)s - 1as = \varphi (x)s - 1as.
Таким чином, \varphi — iзоморфiзм A-бiмодулiв A\sigma
\sim \rightarrow \Delta , де \sigma (a) = s - 1as.
Твердження 7.2 доведено.
Можна перевiрити, що елемент s визначено з точнiстю до множника вигляду q\lambda , де q i \lambda
— оборотнi елементи вiдповiдно з A i з центра KA.
Наслiдок 7.1. Нехай A — фробенiусiв порядок, \sigma \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}A — автоморфiзм з тверджен-
ня 7.2, \scrN — еквiвалентнiсть Накаями. Iснують такi функторiальнi iзоморфiзми:
DM \simeq (M\vee )\sigma для кожної лiвої A-ґратки M i DN \simeq \sigma - 1
(N\vee ) для кожної правої A-ґрат-
ки N ;
\scrN M \simeq \sigma - 1
M i \tau AM \simeq \Omega (\sigma
- 1
M) \simeq \sigma - 1
(\Omega M) для кожної лiвої A-ґратки M.
Зокрема, якщо A симетричний, то \scrN \simeq \mathrm{I}\mathrm{d} i \tau A \simeq \Omega .
Доведення є очевидним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
798 Ю. А. ДРОЗД
Наслiдок 7.2. Нехай A ґоренштейнiв, r = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}A, P1, P2, . . . , Ps — повний список неiзо-
морфних головних A-модулiв, \omega i = DP\vee
i (тодi \omega 1, . . . , \omega s — повний список неiзоморфних
коголовних модулiв). Покладемо A\prime = A - (A), P \prime
i = P r
i i \omega \prime
i = r\omega i. Тодi \tau AP \prime
i \simeq \omega \prime
\nu i, де \nu —
перестановка Накаями.
Доведення випливає з теореми 6.1.
Наслiдок 7.3. Нехай G — скiнченна група, A — блок її групового кiльця \BbbZ pG. Це симетрич-
ний \BbbZ p-порядок. Покладемо A\prime = A - (A). Тодi для кожної непроєктивної A-ґратки M (або,
що те саме, для кожної A\prime -ґратки M )
\^Hn(G,M) \simeq \^Hn+1(G, \tau AM) \simeq \^Hn - 1(G, \tau - 1
A M).
Доведення випливає з наслiдку 7.1 i твердження 6.2.
Зауважимо, що \tau AM = \tau A\prime M, якщо M не є проєктивною над A\prime . Iнакше \tau AM визначається
наслiдком 7.2. У деяких випадках будову АР-типу ARA\prime можна ефективно обчислити. Тодi
це дає значення когомологiй. Приклад, коли G є четверною групою Кляйна, мiститься в ро-
ботi [10].
Лiтература
1. M. Auslander, I. Reiten, Almost split sequences for Cohen – Macaulay modules, Math. Ann., 277, 345 – 349 (1987).
2. M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge Univ. Press (1997).
3. W. Bruns, J. Herzog, Cohen – Macaulay rings, Cambridge Univ. Press (1993).
4. Ch. W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory, Vol. 1, John Wiley & Sons (1981).
5. V. Dlab, C. M. Ringel, Indecomposable representations of graphs and algebras, Mem. Amer. Math. Soc., 173 (1976).
6. Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, О квазибассовых порядках, Изв. АН СССР. Сер. мат., 36, 328 – 370 (1972).
7. Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, Примарные порядки с конечным числом неразложимых представлений, Изв.
АН СССР. Сер. мат., 37, 715 – 736 (1973).
8. Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, Конечномерные алгебры, Вища шк., Киев (1994).
9. Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, А. В. Ройтер, О наследственных и бассовых порядках, Изв. АН СССР. Сер.
мат., 31, 1415 – 1436 (1967).
10. Yu. Drozd, A. Plakosh, Cohomologies of the Kleinian 4-group, Arch. Math., 115, 139 – 145 (2020).
11. H. Hijikata, K. Nishida, Bass orders in non semisimple algebras, J. Math. Kyoto Univ., 34, 797 – 837 (1994).
12. H. Hijikata, K. Nishida, Primary orders of finite representation type, J. Algebra, 192, 592 – 640 (1997).
13. B. Keller, Derived categories and their use, Handbook Algebra, vol. 1, 671 – 701 (1996).
14. T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings, Springer (1991).
15. E. Matlis, Injective modules over Noetherian rings, Pacif. J. Math., 8, 511 – 528 (1958).
16. H. Matsumura, Commutative algebra, The Benjamin/Cummings Publ. Co. (1980).
17. К. W. Roggenkamp, Gorenstein orders of finite representation type and bijective lattices, Lect. Notes Math., 1178,
243 – 270 (1986).
18. А. В. Ройтер, Аналог одной теоремы Басса для модулей представлений некоммутативных порядков, Докл.
АН СССР, 168, 1261 – 1264 (1966).
Одержано 14.02.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6580 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:01Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e4/a32be7f02eba16904f99d745c3bce0e4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65802022-03-26T11:03:06Z Rejection lemma and almost split sequences Лемма о выбрасывании и почти расщепляемые последовательности Лема про викидання i майже розщеплюванi послiдовностi Drozd, Yu. A. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. порядки, ґратки, бієктивні ґратки, майже розщеплювані послідовності, сагайдаки Ауслендера-Райтен, стабільні категорії lattices orders bijective lattices almost split sequences Auslander-Reiten quivers stable categories UDC 512.55 We study the behavior of almost split sequences and Auslander – Reiten quivers of an order under rejection of bijective modules as defined in [Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, О квазибассовых порядках, Изв. АН СССР. Сер. мат., 36, 328 – 370 (1972)]. In particular, we establish relations of stable categories and almost split sequences for an order $A$ and the order $A\prime$ obtained from $A$ by such a rejection. These results are refined for the Gorenstein and Frobenius cases. Изучается поведение почти расщепляемых последовательностей и колчанов Ауслендера-Райтен при выбрасывании биективных модулей, В частности, устанавливаются связи стабильных категорий и почти расщепляемых последовательностей порядка A и порядка&nbsp; УДК 512.55Вивчається поведiнка майже розщеплюваних послiдовностей i сагайдакiв Ауслендера – Райтен порядкiв при викиданнi бiєктивних модулiв згiдно з резульаттами статтi [Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, О квазибассовых порядках, Изв. АН СССР. Сер. мат., 36, 328 – 370 (1972)]. Зокрема, встановлюються зв’язки стабiльних категорiй i майже розщеплюваних послiдовностей порядку $A$ та порядку $A\prime $, одержаного з A таким викиданням. Цi результати уточнено для ґоренштейнових i фробенiусових порядкiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-06-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6580 10.37863/umzh.v73i6.6580 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 6 (2021); 780 - 798 Український математичний журнал; Том 73 № 6 (2021); 780 - 798 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6580/9026 Copyright (c) 2021 Ю. А. Дрозд |
| spellingShingle | Drozd, Yu. A. Drozd, Yu. A. Дрозд, Ю. А. Rejection lemma and almost split sequences |
| title | Rejection lemma and almost split sequences |
| title_alt | Лемма о выбрасывании и почти расщепляемые последовательности Лема про викидання i майже розщеплюванi послiдовностi |
| title_full | Rejection lemma and almost split sequences |
| title_fullStr | Rejection lemma and almost split sequences |
| title_full_unstemmed | Rejection lemma and almost split sequences |
| title_short | Rejection lemma and almost split sequences |
| title_sort | rejection lemma and almost split sequences |
| topic_facet | порядки ґратки бієктивні ґратки майже розщеплювані послідовності сагайдаки Ауслендера-Райтен стабільні категорії lattices orders bijective lattices almost split sequences Auslander-Reiten quivers stable categories |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6580 |
| work_keys_str_mv | AT drozdyua rejectionlemmaandalmostsplitsequences AT drozdyua rejectionlemmaandalmostsplitsequences AT drozdûa rejectionlemmaandalmostsplitsequences AT drozdyua lemmaovybrasyvaniiipočtirasŝeplâemyeposledovatelʹnosti AT drozdyua lemmaovybrasyvaniiipočtirasŝeplâemyeposledovatelʹnosti AT drozdûa lemmaovybrasyvaniiipočtirasŝeplâemyeposledovatelʹnosti AT drozdyua lemaprovikidannâimajžerozŝeplûvaniposlidovnosti AT drozdyua lemaprovikidannâimajžerozŝeplûvaniposlidovnosti AT drozdûa lemaprovikidannâimajžerozŝeplûvaniposlidovnosti |