On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras
UDC 517.986.2 We study $C^*$-algebras $\mathcal{O}_{n+m}^{\hat{q}}$ generated by isometries $\{s_i\}_{i=1}^n\cup\{t_j\}_{j=1}^m,$ where isometries from the same collection are orthogonal and isometries from different collections are $q_{i,j}$-commuting.It is shown that if $|q_{i,j}|<1,$ t...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6590 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512459642634240 |
|---|---|
| author | Krutoi , K. A. Крутой , К. А. |
| author_facet | Krutoi , K. A. Крутой , К. А. |
| author_sort | Krutoi , K. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:07Z |
| description | UDC 517.986.2
We study $C^*$-algebras $\mathcal{O}_{n+m}^{\hat{q}}$ generated by isometries $\{s_i\}_{i=1}^n\cup\{t_j\}_{j=1}^m,$ where isometries from the same collection are orthogonal and isometries from different collections are $q_{i,j}$-commuting.It is shown that if $|q_{i,j}|<1,$ then $C^*$-algebra $\mathcal{O}_{n+m}^{\hat{q}}$ is isomorphic to Cuntz -Toeplitz algebra $\mathcal{O}_{n+m}^{0}.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i5.6590 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i5.6590
УДК 517.986.2
К. А. Крутой (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО СТIЙКIСТЬ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР КУНЦА – ТЬОПЛIЦА
We study C\ast -algebras \scrO \^q
n+m generated by isometries \{ si\} ni=1 \cup \{ tj\} mj=1, where isometries from the same collection are
orthogonal and isometries from different collections are qi,j -commuting. It is shown that if | qi,j | < 1, then C\ast -algebra
\scrO \^q
n+m is isomorphic to Cuntz – Toeplitz algebra \scrO 0
n+m.
Вивчаються C\ast -алгебри \scrO \^q
n+m, породженi iзометрiями \{ si\} ni=1\cup \{ tj\} mj=1, де iзометрiї з одного набору ортогональнi,
а iзометрiї з рiзних наборiв qi,j -комутують. Показано, що при | qi,j | < 1 алгебра \scrO \^q
n+m iзоморфна алгебрi Кунца –
Тьоплiца \scrO 0
n+m.
1. Вступ. У роботi [1] було введено клас iнволютивних алгебр, який дозволив з єдиної точки
зору пiдiйти до вивчення рiзних спiввiдношень, якi виникають, зокрема, в моделях матема-
тичної фiзики, — клас алгебр з вiкiвським упорядкуванням. Даний клас алгебр iнтенсивно
дослiджувався у багатьох роботах (див., наприклад, [2, 6]).
Нагадаємо, що алгебра з вiкiвським упорядкуванням — це iнволютивна алгебра з твiрними\bigl\{
aj , a
\ast
j
\bigr\} n
j=1
, в якiй справджуються спiввiдношення вигляду
a\ast i aj = \delta i,j1 +
n\sum
k,l=1
T k,l
i,j ala
\ast
k, i \leq j.
У повнiй тензорнiй алгебрi \scrT (H) =
\bigoplus \infty
k=0H
\otimes k, де H = \BbbC n i \{ ek\} nk=1 — ортонормований
базис для H, набiр коефiцiєнтiв
\bigl\{
T l,j
i,k
\bigr\} n
i,j,k,l=1
задає оператор T за правилом
Tek \otimes el =
n\sum
i,j=1
T l,j
i,kei \otimes ej .
Однiєю з вiдкритих проблем даної теорiї є питання про стiйкiсть класiв обгортуючих C\ast -
алгебр при деформацiї оператора коефiцiєнтiв T. Зокрема, було доведено, що при \| T\| <
\surd
2 -
1 обгортуюча C\ast -алгебра iзоморфна алгебрi Кунца – Тьоплiца \scrO 0
n з вiдповiдною кiлькiстю
твiрних [2].
Гiпотеза 1 [2]. Обгортуючi C\ast -алгебри алгебр з вiкiвським упорядкуванням, оператор ко-
ефiцiєнтiв яких за нормою менший за одиницю, iзоморфнi алгебрi Кунца – Тьоплiца \scrO 0
n з
вiдповiдною кiлькiстю твiрних.
На даний час вiдомо всього кiлька прикладiв класiв алгебр, в яких ця гiпотеза справедлива
для всiх T, \| T\| < 1.
В роботах [3, 5] вивчались алгебри вигляду
\scrO \^q
n
\sim = C\ast (\{ si\} ni=1) ,
s\ast i sj = \delta i,j1 + (1 - \delta i,j)(qi,j)sjs
\ast
i , | qi,j | < 1, i \leq j.
Кожнiй алгебрi такого вигляду можна природним чином поставити у вiдповiднiсть зважений
граф. Вершинам графа будуть вiдповiдати елементи \{ si\} ni=1. Якщо для двох вершин, що вiдпо-
вiдають елементам si, sj , i < j, коефiцiєнт qi,j \not = 0, то iснує ребро, що з’єднує цi вершини з ва-
гою qi,j . У протилежному випадку ребро не iснує. Гiпотеза 1 справедлива для алгебр, що вiдпо-
c\bigcirc К. А. КРУТОЙ, 2021
674 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО СТIЙКIСТЬ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР КУНЦА – ТЬОПЛIЦА 675
s1 s2
s1 s2
s3 s4
s5 s6
s1 s2
s3 s4
s5 s6
а б в
Рис. 1
вiдають таким графам: зваженому графу на двох вершинах [3] (див. рис. 1, а), повному дводоль-
ному графу з однаковими вагами [4] (приклад графа на шести вершинах зображено на рис. 1, б).
У данiй статтi ми узагальнимо результат [4] на випадок довiльних дводольних графiв,
де ваги — довiльнi комплекснi числа, за модулем меншi за одиницю (приклад такого графа
зображено на рисунку 1, в), а саме, доведемо, що вiдповiднi обгортуючi C\ast -алгебри iзоморфнi
алгебрi Кунца – Тьоплiца з вiдповiдною кiлькiстю твiрних.
2. Основний результат. У цьому пунктi ми покажемо, що якщо граф \scrO \^q
n+m дводольний,
то \scrO \^q
n+m
\sim = \scrO 0
n+m.
Лема 1. Нехай граф алгебри \scrA = \scrO \^q
n+m дводольний та iзометрiї \{ si\} ni=1 лежать в однiй
долi. Тодi для довiльного x \in \scrA , k \in \{ 1, . . . ,m\} маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
i=1
qi,ksixs
\ast
i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < \| x\| .
Доведення. Оскiльки iзометрiї \{ si\} ni=1 лежать в однiй долi вiдповiдного графа, то їхнi
образи ортогональнi. Тодi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
i=1
qi,ksixs
\ast
i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,...,n
| qi,k|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
i=1
sixs
\ast
i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| <
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
i=1
sixs
\ast
i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Доведення того, що \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
i=1
sixs
\ast
i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \| x\| ,
в точностi повторює доведення леми 2 в роботi [4].
Теорема 1. Якщо граф дводольний, то вiдповiдна цьому графу C\ast -алгебра \scrA = \scrO \^q
n+m
iзоморфна алгебрi Кунца – Тьоплiца \scrO 0
n+m.
Доведення. Оскiльки граф алгебри \scrA дводольний, то твiрнi можна розбити на двi множини:
\scrA \sim = C\ast \bigl( \{ si\} ni=1 \cup \{ tj\} mj=1
\bigr)
,
де iзометрiї \{ si\} ni=1, \{ tj\} mj=1 задовольняють спiввiдношення
s\ast ksl = 0, k \not = l,
t\ast ktl = 0, k \not = l,
t\ast ksl = qk,lslt
\ast
k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
676 К. А. КРУТОЙ
Нехай P — проєкцiя на перетин ядер
\bigl\{
s\ast i
\bigr\} n
i=1
. Оскiльки \{ si\} ni=1 ортогональнi, то проєкцiя має
вигляд P = 1 -
\sum n
k=1
sks
\ast
k. Розглянемо полярний розклад для елемента Pti :
Pti = \^tici, i \in \{ 1, . . . ,m\} ,
де \^ti — часткова iзометрiя i ci = | Pti| . Тодi
c2i = t\ast iPti = t\ast i
\Biggl(
1 -
n\sum
k=1
sks
\ast
k
\Biggr)
ti = 1 -
n\sum
k=1
| qk,i| 2sks\ast k \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
k
\bigl(
1 - | qk,i| 2
\bigr)
1 > 0,
тобто ci є строго додатним i, як наслiдок, оборотним, при цьому \^ti — iзометрiя. Ми отримали
iзометрiї
\bigl\{
\^ti
\bigr\} m
i=1
, якi задовольняють спiввiдношення
\^t\ast i \^tj = 0, i \not = j,
\^t\ast i sj = 0.
Побудуємо гомоморфiзм \phi : \scrO 0
n+m \rightarrow \scrA таким чином.
Нехай \{ uj\} nj=1 \cup \{ wi\} mi=1 — твiрнi в \scrO 0
n+m,
u\ast juj = w\ast
iwi = 1, i \in \{ 1, . . . ,m\} , j \in \{ 1, . . . , n\} ,
u\ast juk = w\ast
iwl = 0, j \not = k, i \not = l,
u\ast jwl = 0, j \in \{ 1, . . . , n\} , i \in \{ 1, . . . ,m\} .
Задамо
\phi (ui) = si, 1 \leq i \leq n,
\phi (wj) = Ptjc
- 1
j = \^tj , 1 \leq j \leq m.
Наша мета — показати, що \phi — iзоморфiзм.
Покладемо Q = 1 - P =
\sum n
j=1
sjs
\ast
j i запишемо полярний розклад для P \^ti :
ti = \^tici +Qti.
Зауважимо, що
Qti =
n\sum
k=1
sks
\ast
kti =
n\sum
k=1
qk,isktis
\ast
k.
Нехай лiнiйне вiдображення \psi i задано таким чином:
\psi i(x) =
n\sum
k=1
qk,iskxs
\ast
k.
Тодi вираз для \^ti можна записати, використавши \psi i :
ti = \^tici + \psi i(ti).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
ПРО СТIЙКIСТЬ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР КУНЦА – ТЬОПЛIЦА 677
Позначимо через \psi (j)
i j -ту iтерацiю вiдображення \psi i, тобто \psi (j+1)
i = \psi
(j)
i \circ \psi i. Iтеруючи вираз
для ti, маємо
ti =
l - 1\sum
k=0
\psi
(k)
i (\^tici) + \psi
(l)
i (ti), l \in \BbbN .
З леми 1 випливає, що \| \psi i\| < 1, тодi
\bigm\| \bigm\| \psi (l)
i (ti)
\bigm\| \bigm\| \leq \| \psi i\| l \rightarrow 0, l \rightarrow \infty , i ti належить C\ast -алгебрi,
породженiй \{ si\} ni=1 \cup
\bigl\{
\^ti
\bigr\}
, тобто в C\ast -алгебрi \scrA маємо
ti =
\infty \sum
k=0
\psi
(k)
i (\^tici).
Лема 2. Вiдображення \^\phi : \scrA \rightarrow \scrO 0
n+m, яке задається формулами
\^\phi (si) = ui, i \in \{ 1, . . . , n\} ,
\^\phi (tj) =
+\infty \sum
k=0
\^\psi
(k)
j (wjdj), j \in \{ 1, . . . ,m\} ,
є гомоморфiзмом, де
\^\psi i(x) =
n\sum
k=1
qk,iukxu
\ast
k, i \in \{ 1, . . . ,m\} ,
di = \^\phi (ci) =
\sqrt{} 1 -
n\sum
k=1
qk,iuku
\ast
k, i \in \{ 1, . . . ,m\} .
Доведення. Справдi, ряд
\sum +\infty
k=0
\^\psi
(k)
j (wjdj) збiгається, тому що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+\infty \sum
k=0
\^\psi
(k)
j (x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
+\infty \sum
k=0
\bigm\| \bigm\| \^\psi j
\bigm\| \bigm\| k =
1
1 -
\bigm\| \bigm\| \^\psi j
\bigm\| \bigm\| ,
а норма \^\psi j менша за одиницю за лемою 1, оскiльки iзометрiї \{ ui\} ni=1 лежать в однiй долi.
Зауважимо, що
u\ast l
\^\psi
(k)
j (wjdj) = u\ast l
n\sum
i=1
qi,jui \^\psi
(k - 1)
j (wjdj)u
\ast
i =
= ql,j \^\psi
(k - 1)
j (wjdj)u
\ast
l \forall l \in \{ 1, . . . , n\} \forall j \in \{ 1, . . . ,m\} ,
тодi
\^\phi (sl)
\ast \^\phi (tj) = u\ast l
\^\phi (tj) =
+\infty \sum
k=0
u\ast l
\^\psi
(k)
j (wjdj) =
= ql,j
+\infty \sum
k=1
\^\psi
(k - 1)
j (wjdj)u
\ast
l = ql,j \^\phi (tj)u
\ast
l = ql,j \^\phi (tj)\^\phi (sl)
\ast .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
678 К. А. КРУТОЙ
Також
\^\psi
(k)
j (wjdj)
\ast \^\psi
(l)
i (widi) =
n\sum
l=1
\=ql,jql,iul \^\psi
(k - 1)
j (wjdj)
\ast \^\psi
(l - 1)
i (widi)u
\ast
l ,
w\ast
i
\^\psi
(k)
j (wjdj) = \^\psi
(k)
j (wjdj)
\ast wi = 0 \forall j \in \{ 1, . . . , n\} \forall i \in \{ 1, . . . ,m\} , i \not = j,
тодi
\^\phi (tk)
\ast \^\phi (tl) = 0, k \not = l.
Отже, для
\bigl\{
\^\phi (si)
\bigr\} n
i=1
,
\bigl\{
\^\phi (tj)
\bigr\} m
j=1
справджуються спiввiдношення твiрних алгебри Кунца –
Тьоплiца \scrO 0
n+m, тому \^\phi задає гомоморфiзм iз \scrA в \scrO 0
n+m.
Лему 2 доведено.
Для доведення теореми залишилося показати, що \phi \circ \^\phi = \mathrm{i}\mathrm{d}\scrA i \^\phi \circ \phi = \mathrm{i}\mathrm{d}\scrO 0
n+m
. Справдi,
\phi \circ \^\phi (si) = si,
\^\phi \circ \phi (ui) = ui,
\phi \circ \^\phi (tj) = \phi
\Biggl(
+\infty \sum
k=0
\^\psi
(k)
j (wjdj)
\Biggr)
=
+\infty \sum
k=0
\phi
\Bigl(
\^\psi
(k)
j (wjdj)
\Bigr)
=
=
+\infty \sum
k=0
\psi
(k)
j (\phi (wjdj)) =
+\infty \sum
k=0
\psi
(k)
j (Ptj) = tj ,
\^\phi \circ \phi (wj) = \^\phi
\Bigl(
Ptjc
- 1
j
\Bigr)
= \^\phi (P )
+\infty \sum
k=0
\^\psi
(k)
j (wjdj)d
- 1
j =
= \^\phi (P ) \^\psi
(0)
j (wjdj)d
- 1
j =
\Biggl(
1 -
n\sum
i=1
uiu
\ast
i
\Biggr)
wj = wj
\forall i \in \{ 1, . . . , n\} \forall j \in \{ 1, . . . ,m\} .
Таким чином, ми довели, що \phi — iзоморфiзм.
Теорему 2 доведено.
Автор вдячний Василю Львовичу Островському за кориснi обговорення i сприяння при
пiдготовцi цiєї статтi.
Лiтература
1. P. E. T. Jorgensen, L. M. Schmitt, R. F. Werner, Positive representations of general commutation relations allowing
Wick ordering, J. Funct. Anal., 134, № 1, 33 – 99 (1995).
2. P. E. T. Jorgensen, L. M. Schmitt, R. F. Werner, q-Canonical commutation relations and stability of the Cuntz algebra,
Pacif. J. Math., 165, № 1, 131 – 151 (1994).
3. P. E. T. Jorgensen, D. P. Proskurin, Y. S. Samoilenko, On C\ast -algebras generated by pairs of q-commuting isometries,
J. Phys. A, 38, № 12, 2669 – 2680 (2005).
4. A. Kuzmin, V. Ostrovskyi, D. Proskurin, R. Yakymiv, On q-tensor product of Cuntz algebras, Preprint (2019).
5. A. Kuzmin, N. Pochekai, Faithfulness of the Fock representation of the C\ast -algebra generated by qij -commuting
isometries, J. Operator Theory, 80, № 1, 77 – 93 (2018).
6. K. Dykema, A. Nica, On the Fock representation of the q-commutation relations, J. reine and angew. Math., 440,
201 – 212 (1993).
Одержано 23.02.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-6590 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:08Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e1/6e6457b4badd1b798ab77f7a387b99e1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65902025-03-31T08:48:07Z On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras Про стійкість деформацій алгебр Кунца–Тьопліца Krutoi , K. A. Крутой , К. А. С*-алгебри алгебра Кунца-Тепліца алгебри з віківським впорядкуванням C*-algebras Cuntz-Toeplitz algebra algebras allowing Wick ordering UDC 517.986.2 We study $C^*$-algebras $\mathcal{O}_{n+m}^{\hat{q}}$ generated by isometries $\{s_i\}_{i=1}^n\cup\{t_j\}_{j=1}^m,$ where isometries from the same collection are orthogonal and isometries from different collections are $q_{i,j}$-commuting.It is shown that if $|q_{i,j}|&lt;1,$ then $C^*$-algebra $\mathcal{O}_{n+m}^{\hat{q}}$ is isomorphic to Cuntz -Toeplitz algebra $\mathcal{O}_{n+m}^{0}.$ УДК 517.986.2 Вивчаються $C^*$-алгебри$\mathcal{O}_{n+m}^{\hat{q}},$ породжені ізометріями$\{s_i\}_{i=1}^n\cup\{t_j\}_{j=1}^m,$ де ізометрії з одного набору ортогональні, а ізометрії з різних наборів $q_{i,j}$-комутують.Показано, що при $|q_{i,j}|&lt;1$ алгебра $\mathcal{O}_{n+m}^{\hat{q}}$ ізоморфна алгебрі Кунца - Тьопліца $\mathcal{O}_{n+m}^{0}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-05-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6590 10.37863/umzh.v73i5.6590 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 5 (2021); 674 - 678 Український математичний журнал; Том 73 № 5 (2021); 674 - 678 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6590/9018 Copyright (c) 2021 Kostyantyn Krutoy |
| spellingShingle | Krutoi , K. A. Крутой , К. А. On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras |
| title | On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras |
| title_alt | On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras Про стійкість деформацій алгебр Кунца–Тьопліца |
| title_full | On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras |
| title_fullStr | On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras |
| title_full_unstemmed | On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras |
| title_short | On stability of deformations of Cuntz – Toeplitz algebras |
| title_sort | on stability of deformations of cuntz – toeplitz algebras |
| topic_facet | С*-алгебри алгебра Кунца-Тепліца алгебри з віківським впорядкуванням C*-algebras Cuntz-Toeplitz algebra algebras allowing Wick ordering |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6590 |
| work_keys_str_mv | AT krutoika onstabilityofdeformationsofcuntztoeplitzalgebras AT krutojka onstabilityofdeformationsofcuntztoeplitzalgebras AT krutoika prostíjkístʹdeformacíjalgebrkuncatʹoplíca AT krutojka prostíjkístʹdeformacíjalgebrkuncatʹoplíca |