Труды М. В. Остроградского по математической физике

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	1952
Main Authors:	Shtokalo, I. Z., Штокало, И. 3.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1952
Online Access:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6597
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Download file:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860512464932700160
author	Shtokalo, I. Z. Штокало, И. 3. Штокало, И. 3.
author_facet	Shtokalo, I. Z. Штокало, И. 3. Штокало, И. 3.
author_sort	Shtokalo, I. Z.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2021-03-23T17:28:47Z
description	.
first_indexed	2026-03-24T03:29:13Z
format	Article
fulltext	1952 УКРАИНСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ т. IV, № I ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Труды М. В. Остроградского по математической физике И. 3. Штокало § 1. Вступление Советская наука сыграла ответственную и важную роль в осущест влении социалистического строительства в СССР, в полном выполнении и перевыполнении Сталинских пятилеток, в победоносном завершении Великой Отечественной войны. Сейчас, в послевоенные годы, советская наука внесла большой вклад в успешное выполнение и перевыполнение первой послевоенной Сталин ской пятилетки восстановления и дальнейшего развития народного хозяй ства. Наша наука призвана сыграть важную роль в осуществлении Сталинского плана построения коммунизма в нашей стране. Советские ученые считают своим почетным долгом оказывать всемерную помощь в создании великих строек коммунизма — гигантских гидроэлектростан ций на Волге, в Средней Азии, на Днепре, а также мощных ороситель ных систем. Наша отечественная наука, в том числе и математика, расцвела во всю свою мощь при советской власти. Великая Октябрьская социалисти ческая революция навсегда разбила цепи, веками сковывавшие угнетен ные ранее народы России, смела все преграды, тормозившие экономиче ское и культурное развитие страны, подняла науку на небывалую высоту и вывела ее на широкий путь расцвета и прогресса. Советская власть создала самые благоприятные условия для развития всех отраслей науки, благодаря чему наши ученые обогатили сокровищницу мировой науки первоклассными открытиями, поставившими советскую научную мысль на передовые позиции мировой науки. Наука в советском государстве не отгораживается от народа, не держит себя вдали от него, а обслуживает народ, отдает ему все свои достижения, все свои завоевания. Это отно сится и к советской математике. Мы имеем теперь в Советском Союзе не одиночек-ученых, как это было в дореволюционной России, а много численные выдающиеся научные коллективы, которые составляют целые школы в различных областях знания и объединяют вокруг себя десятки тысяч талантливых продолжателей своего дела, новых выдающихся уче ных исследователей. Многочисленные научные институты, лабораторий, станции, обсерватории обеспечены самым новым, самым совершенным обо- з рудованием и аппаратурой. К научной деятельности привлекаются широ кие массы новаторов производства, рационализаторов, инициаторов пере довых методов труда. Ряды лауреатов Сталинской премии с каждым годом пополняются новыми представителями науки, промышленности, сельского хозяйства, архитектуры, литературы, искусства, что свидетельствует о широком развитии самой передовой в мире советской науки и куль туры. Наша наука стала всенародной, она служит трудящимся массам, она выполняет свою почетную обязанность и вносит достойный вклад в строительство коммунизма в нашей стране. Важной задачей советских ученых является надлежащее освещение и популяризация среди широких масс выдающихся достижений и пере довой роли нашей отечественной науки, ее руководящего и решающего значения в развитии мировой научной мысли. Следует, наряду с даль нейшими научными исследованиями во всех областях знания, детально изучать историю развития отечественной науки, в частности математики, нужно устанавливать и защищать приоритет отечественных ученых, необ ходимо дать марксистско-ленинский анализ их деятельности. Математика имела своих выдающихся представителей еще в доре волюционной России, однако^ им пришлось преодолевать неимоверные трудности и тяжелые препятствия, создававшиеся царским правитель ством на их пути к вершинам знания. Можно назвать такие имена, как Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, Е. И. Золотарев, А. Н. Коркин, М. В. Остроградский, Г. Ф. Вороной и т. д. Они, как и другие передовые ученые того времени, пронесли бла городное знамя прогрессивной научной мысли сквозь все гонения, пре следования и унижения, которые испытали они в процессе своей научной деятельности в условиях царского гнета. Среди отечественных ученых XIX ст. выдающееся место занимает один из крупнейших математиков Михаил Васильевич Остроградский. Диапазон его научных интересов чрезвычайно разнообразен. Поэтому, чтобы надлежащим образом охватить всю научную деятельность этого выдающегося математика, следовало бы написать отдельную моногра фию с полным анализом его научных результатов в различных областях математических знаний. Труды М. В. Остроградского относятся к анализу бесконечно малых, алгебре, теории чисел, механике, баллистике, мате матической физике, теории упругости и теории вероятностей. Важное значение имеют его отзывы на девять работ различных авторов, пред ставлявшихся на присуждение Демидовской премии. Следует также отметить научно-лопуляризационную деятельность ученого и его боль шую педагогическую и методическую работу, имевшую значительное влияние на развитие математического образования в России. М. В. Остроградский вырос и учился на Украине, любил украинский народ, его обычаи, культуру, дружил с Т. Г. Шевченко и с радостью посещал родные места на Полтавщине. Он также всем своим сердцем любил великий русский народ, его науку, культуру, отдавая все силы и знания делу развития отечественной математической научной мысли 4 и математического образования, работая в Петербургской Академии наук, в институтах и военных школах Петербурга. Выдающиеся научные труды М. В. Остроградского в области меха ники, математической физики, анализа бесконечно малых, вариационного исчисления, алгебраического анализа, а также его блестящая педагоги ческая деятельность имели направляющее влияние на дальнейшее разви тие отечественной математической мысли и содействовали ее высокому творческому подъему в научных трудах последующих исследователей. Блестящая научная деятельность, захватывающие курсовые и публич ные лекции среди студенческой молодежи и научной общественности, в которые он стремился вложить все свое умение, энергию и препода вательский энтузиазм, постоянная высокая требовательность к своим ученикам в вопросах творческого подхода к усвоению математических знаний, большая педагогическая и организационно-методическая работа в институтах и военно-учебных заведениях, которая значительно содей ствовала распространению математических знаний и поднятию военного образования, а этим самым и укреплению мощи русской армии и флота— все это характеризует М. В. Остроградского как выдающегося научного деятеля и педагога, преданного патриота своей Родины. Уместно будет здесь отметить тот факт, что почти все свои научные труды М. В. Остро градский опубликовал в изданиях Российской Академии наук. В своей работе он даже находил время для составления элементарных учебников и математических конспектов для военных училищ. В Львовской библио теке Академии наук УССР найден в 1951 г. экземпляр „Руководства начальной геометрии" М. В. Остроградского для военно-учебных заве дений, изданный в 1855 г. в Петербурге. На заглавном листе этой книги имеется собственноручная надпись А. Н. Коркина, датированная 30 мая 1866 г., о приношении им этой книги львовской общественности. Это сви детельствует о тесных связях русских ученых, и среди них выдающегося математика А. И. Коркина, с львовскими научными организациями. Интересно отметить, что Коркин, для посылки во Львов подарка, оста новил свой выбор на книге прославившегося отечественного математика М. В. Остроградского. § 2. Краткий обзор трудов М. В. Остроградского в области механики М. В. Остроградский принадлежит к числу тех математиков, кото рые сочетают глубокие теоретические исследования с решением сугубо практических задач. Он был прекрасным знатоком и творческим иссле дователем как в теоретических областях математики, так и в различных важных ее приложениях. Количество научных трудов М. В. Остроград ского в этих отраслях математики почти одинаково. Поэтому неудиви тельно, что на тридцатом году жизни он был избран ординарным акаде миком по прикладной математике, а двадцать четыре года спустя он получил в Академии наук кафедру ординарного академика по теорети ческой математике. В своей научной деятельности М. В. Остроградский всегда стремился 5 к решению математических вопросов в наиболее общем виде, что, хотя и весьма усложняло трудность исследований, ио зато давало возмож ность широкого охвата рассматриваемых задач. Способы и методы, при помощи которых он решал различные математические и механические задачи, отличаются необыкновенной глубиною, острым проникновением в самую сущность вопроса, тонким анализом, широким обобщением и простым, умелым изложением. Прежде, чем перейти к анализу научных результатов М. В. Остро градского в области математической физики, будет уместным и полезным остановиться вкратце на его работах в области механики, ибо, говоря о его трудах по вопросам математической физики, мы не можем не ска зать о нем, как о первоклассном механике, и не отметить исключитель ного мастерства, тонкости и общности его научных исследований в обла сти механики. Около одной трети работ великого математика принадле жит к области механики. Среди этих работ имеется два прекрасных курса небесной и аналитической механики, представляющих собой само стоятельный научный интерес. Особенно важную роль сыграли его лек ции по аналитической механике, в которых дана оригинальная трактовка системы законов Ньютона. М. В. Остроградский заложил крепкий фун дамент отечественной механики и прикладной математики, прославленных блестящими именами первоклассных исследователей. Методологические взгляды М. В. Остроградского, изложенные им в лекциях по механике, характеризуют его как ученого с передовым мировоззрением, для которого материя существует независимо от созна ния человека и доходит до этого сознания через соответствующие органы восприятия, на которые действуют отдельные предметы. Правда, его формулировки по этому вопросу не всегда четки и отработаны, однако, признание им материальной сущности мира выступает весьма явственно. М. В. Остроградский в своих научных исследованиях дал прекрасный образец действенной взаимосвязи теоретических изысканий с решением практических задач. Это направление научной деятельности, которое ведет свое начало от великого русского ученого М. В. Ломоносова, было далее продолжено и блестяще развито последующими выдающимися отечественными математиками. Научная деятельность М. В. Остроградского развилась в то время, когда идеи аналитической механики, созданной незадолго перед этим, привлекали математиков и механиков интересной новизной, обобщающим характером подхода к решению задач и вместе с тем ожидали дальней шего творческого развития, дополнения, обогащения, усовершенствования и обобщения. Это и было в значительной степени осуществлено М. В. Остро- градским в его лекциях, мемуарах, заметках и работах по механике, написанных им в разные периоды его научной деятельности. Большая часть этих исследований относится к аналитической механике, т. е. к той отрасли математических знаний, в основу которой положены общие методы, всегда интересовавшие и привлекавшие ученого. В своих рабо тах в указанной области М. В. Остроградокий решил целый ряд фунда ментальных задач, обогативших отечественную механику первоклассными результатами и определивших во многих вопросах направление дальней ших исследований в области механики в России. Особенная заслуга М. В. Остроградского как механика состоит в создании им обобщающих теорем по принципу возможных перемеще ний и в обобщении принципа наименьшего действия. В трудах первого направления им дано существенное обобщение принципа воз можных перемещений на случай неудерживающих или односто ронних связей, которые к тому же могут зависеть от времени, и на случай импульсивных сил. Среди его работ этого круга идей следует отметить мемуар 1834 г. .„Общий взгляд на момент силы", в котором развита мысль о распространении метода перемещений на системы с неудерживающими связями при условии, что полный момент сил равен нулю или же является отрицательным Г В трудах второго из указанных направлений исследований в области механики, М. В. Остроградским внесен блестящий вклад в развитие аналитической динамики. Автор этих трудов дал существенное обобщение так называемого принципа Гамиль тона, относящегося к консервативным системам, на случай неконсерва тивных динамических систем, в связи с чем этот обобщенный принцип должен быть связан с именем Остроградского. Исключительно большое значение имеют работы М. В. Остроград ского по теории канонических уравнений механики. Здесь особенно сле дует отметить его мемуары, относящиеся к 1848 г., а именно: 1) „Об интегралах общих уравнений динамики" и 2) „О диференциальных урав нениях в проблеме изопериметров", в которых рассмотрены вопросы интегрирования диференциальных уравнений механики, а также уравне ний более общего характера. В первой из указанных работ он разрабо тал обобщенную теорию канонических уравнений динамики на случай существования между точками системы связей, могущих зависеть также от времени. Он вывел для рассматриваемого им случая диференциаль- ные уравнения движения в канонической форме и целый ряд теорем, относящихся к функции, заменяющей Гамильтоновскую главную функ цию. Во второй из указанных работ М. В. Остроградский обобщил полу ченные им результаты на случай изопериметрической задачи, достигнув благодаря этому наибольшей общности в рассматриваемом цикле вопросов. В этом мемуаре М. В. Остроградский намного опередил Якоби и вполне заслуженно завоевал приоритет в обобщении результатов, отно сящихся к исключительно важным вопросам. Его работа об изоперимет рах охватывает собой, как частные случаи, результаты Лагранжа, Пуас сона, Гамильтона и Якоби по интегрированию диференциальных уравне ний динамики. На содержании этого наибольшего по объему мемуара следует остановиться несколько подробнее. В нем приведены к канони ческой форме диференциальные уравнения, которые получаются путем приравнивания нулю вариации интеграла от функции любого числа неизвестных функций, зависящих от одной независимой переменной, 1 Момент здесь надо понимать, в соответствии с терминологией того времени, как работу силы (на возможных перемещениях). 7 и их производных до любого порядка. В связи с этим, определяется част ное диференциальное уравнение, которому удовлетворяет характеристи ческая функция, заменяющая собой главную функцию, после чего выра жаются через ее частные производные по переменным и произвольным постоянным, интегралы системы. Вместе с тем, автор мемуара исправ ляет ошибку, допущенную Лагранжем при выводе уравнения динамики, исходя из принципа наименьшего действия, состоящую в том, что Лагранж рассматривал как независимые — вариации, связанные урав нениями. В конце своего мемуара М. В. Остроградский дает применение метода изменения произвольных постоянных к изопериметрическим дифе- ренциальным уравнениям. Следует отметить, что ему принадлежит со здание самой общей теории изменения произвольных постоянных приме нительно к составлению диференциальных уравнений возмущенного движения. Отметим в конце нашего краткого обзора трудов М. В. Остроград ского в области механики его разработку общей теории удара. В работе, написанной им в 1854 г. и носящей название „,Мемуар об общей теории удара", распространен метод возможных перемещений на исследования в области теории удара, а также впервые дан общий способ нахождения изменения скоростей точек системы при ударе о неупругую связь. Автор изучает удар систем, предполагая, что возникшие в момент удара связи сохраняются также и после удара. Благодаря указанным исследованиям М. В. Остроградского, разработан общий способ решения вопроса теории удара. В своих трудах в области механики М. В. Остроградский показал высокое мастерство, глубину проникновения в сложные механические явления и исключительное умение производить обобщающие исследова ния в изучаемых им вопросах. § 3. Рассмотрение трудов М. В. Остроградского по математической физике Перейдем к рассмотрению трудов М. В. Остроградского в области математической физики, что составляет основную часть/ данной статьи. Сначала остановимся на некоторых общих вопросах развития исследо ваний по математической физике, а затем проанализируем работы М. В. Остроградского в этой области. Математическая физика в современном ее понимании начала разви ваться в конце XVIII и в начале XIX ст., когда была создана стройная теория притяжения, восходящая в своих основах к выдающимся резуль татам Ньютона. Математическая физика углубила свое содержание, когда была воздвигнута аналитическая механика, которая в своих по строениях развивала общие методы, математическая физика поднялась на высшую ступень, когда были составлены общие уравнения колебаний светового эфира и создана математическая теория света. Круг исследова ний в математической физике значительно расширился, когда были под вергнуты анализу вопросы колебаний и равновесия упругих тел, матема- 8 тическая физика обогатила свое содержание, когда были изучены и математически обоснованы явления теплоты. Математический анализ в то время был уже достаточно мощным, чтобы передать в распоряжение молодой тогда математической физики необходимый для ее дальнейшего развития математический аппарат. В свою очередь математическая физика, обогащаясь исследуемым материалом, выдвигала свои требова ния, которые содействовали возникновению новых идей и новых изыска ний в области математического анализа. Как известно, на западе математическая физика развивалась в усло виях, когда механика была там разбита на две резко разграниченные и обособленные отрасли — теоретическую и прикладную. Первую из них буржуазия направляла на обслуживание и обосновывание идеалисти ческого мировоззрения с целью укрепления капиталистической системы, вторую же буржуазия использовывала в узко утилитарных целях, пере чеканивая научные результаты в золото для своего еще большего обога щения. Следует отметить, что, наряду с указанными направлениями в механике, на западе начинали развиваться также исследования, бази ровавшиеся на стихийно-материалистических взглядах, а отдельные, наи более передовые и прогрессивные ученые поднимались даже до уровня сознательного материалистического мировоззрения. Однако, богатевшая и все более наглевшая буржуазия старалась всеми находящимися в ее распоряжении средствами сковывать и вытравливать эти пере довые стремления прогрессивных деятелей, воздвигала всевозможные препятствия в развитии и распространении передовых идей, при бегая к грубым, насильственным мерам подавления передовой творче ской мысли. Такое положение механики не могло не отразиться на направлении развития математической физики. Последняя, под влиянием теоретиче ской механики, развивалась на западе в направлении абстрагирований и формалистической математизации физических явлений, что особенно- усилилось позже, в период кризиса физики, когда буржуазные исследова тели, вследствие незнания законов материалистической диалектики, не смогли правильно оценить и понять сущность новых физических явлений и поэтому не были в состоянии подняться до уровня возросших требова ний в развитии физики. Иным путем шло развитие механики в России. Не взирая на жесто кий гнет царского самодержавия, передовые, прогрессивные взгляды ученых тогдашней России, вследствие особых исторических и социально- экономических условий, обладали настолько крепкой, преодолевающей и целеустремленной силой, что победоносно пробивались сквозь тяжелый полицейский заслон царского самодержавия и завоевывали доминирую щие позиции в отечественной науке. В частности, в области физико-мате матических наук подавляющее большинство выдающихся ученых России было под влиянием прогрессивной русской философии и (развивало свои научные исследования на основе действенной взаимосвязи теории и прак тики. Поэтому механика в России не испытала размежевывающего расщеп ления на две разобщенные отрасли, как это было на западе, а ее теоре- 9 тическая часть органически связывалась с прикладной. Механика в Рос сии, благодаря выдающимся исследованиям М. В. Остроградского и его последователей, получила взаимосочетающую направленность в развитии теоретических и прикладных исследований, что оказало благоприятное влияние на обогащение содержания и на весь процесс творческого роста научных изысканий в области механики. В таких условиях развития меха ники зародилась у нас математическая физика. Естественно, что эти усло вия не могли не сказаться на развитии новой отрасли математических исследований. Весьма благотворную, целеустремляющую роль сыграли здесь работы М. В. Остроградского. Исследования по математической физике начали все больше и больше развиваться, причем теоретические изыскания связывались с решением практических задач. Работы Остро- градского в области математической физики нельзя рассматривать в отрыве от его работ в других областях, например, в области математи ческого анализа, механики, теории упругости, баллистики и т. д., ибо в некоторых из последних им получены результаты, имевшие значительное влияние на решение тех или иных вопросов математической физики. По этому в данной статье мы подвергаем анализу также некоторые исследо вания, не относящиеся в строгом смысле к области математической физики. Характеризуя в общем работы М. В. Остроградского по математи ческой физике, следует сказать, что они отличаются решением важных и новых по тому времени задач, выдвижением новых идей и построе нием новых методов исследования. Эти работы отличаются также стро гостью и точностью изложения, глубиной творческого замысла, свиде тельствующих о том, что автор их стоял на передовых позициях матемаг гической науки. Из основных мемуаров и статей М. В. Остроградского в области математической физики можно назвать следующие: 1. „О распространении волн в цилиндрическом бассейне". Доклад на эту тему был сделан автором в ноябре 1826 г., мемуар же был опубли кован лишь в 1832 г. 2. „Решение проблемы о распространении волн на поверхности жидкости, наполняющей сосуд, имеющий вид цилиндрического сектора". Доклад был прочитан в сентябре 1829 г. Материал напечатан в изданиях Петербургской Академии наук. 3. „О теории теплоты". Работа представлена в Петербургскую Ака демию наук в ноябре 1828 г. и опубликована в 1831 г. 4. „Вторая статья о теории теплоты". Статья представлена в Акаде мию наук в июле 1829 г., напечатана в изданиях Академии наук в 1831 г. 5. „О распространении теплоты в призме с основанием равнобедрен ного прямоугольного треугольника". Работа эта не была опублико вана. Результатам, полученным М. В. Остроградским в данном иссле довании, посвящен целый раздел в книге Ляме „Аналитическая теория теплоты". 6. „Об уравнении распространения тепла внутри жидкости". Доклад прочитан М. В. Остроградским в Петербургской Академии наук в 1836 г., работа опубликована в изданиях Академии наук в 1838 г. 10 7. „,О диференциальном уравнении в частных производных распро странения теплоты внутри жидкости44. Работа сдана в Академию наук в 1829 г., напечатана в 1830 г. 8. „О движении жидкости". Работа представлена в Академию наук в 1844 г. и опубликована в изданиях Академии наук в следующем году. 9. „Об одном особом случае равновесия несжимаемых жидкостей44. Доклад о результатах, содержащихся в данной работе, сделан в 1836 г. Статья напечатана в мемуарах Академии наук в 1838 г. 10. „Об интеграле, встречающемся в теории притяжения сфероидов44. Доклад прочитан на научном заседании в Петербургской Академии наук в 1828 г., опубликован в 1831 г. 11. „О нескольких формулах, относящихся к взаимному притяжению сферы и сфероида44. Статья напечатана в изданиях Академии наук в 1838 г. 12. „О взаимном намагничивании разобщенных брусков44. Работа сдана в Академию наук в апреле 1^39 г. и опубликована в этом же году. 13. „О взаимном намагничивании разобщенных брусков44. Вторая статья М. В. Остроградского на эту тему была (Представлена в Академию наук в мае 1839 г. и напечатана в изданиях Академии наук в этом же году. 14. „О телах, все моменты инерции которых равны44. Статья пред ставлена для публикации в Петербургскую Академию наук в мае 1842 г. 15. „О равновесии упругого слоя44. Работа сдана для помещения в изданиях Академии наук в 1832 г., напечатана в 1833 г. 16. „Об интегрировании диференциальных уравнений в частных про изводных малых колебаний упругих сред44. Работа представлена для напечатания в мемуарах Академии наук в 1829 г. и опубликована в 1831 г. 17. „Мемуар об интегрировании диференциальных уравнений в част ных производных малых колебаний упругих тел44. Мемуар сдан для публикации в 1832 г., вышел в свет в 1833 г. В докладе, сделанном в 1901 г. в Полтаве на заседании, посвящен ном столетию со дня рождения М. В. Остроградского, В. А. Стеклов сказал, что ему известно 12 работ великого математика, относящихся к области математической физики. Как видно из выше помещенного списка, таких работ насчитывается несколько больше. Остановимся на их рассмотрении. Первый научный труд М. В. Остроградского относился именно к математической физике. Это было исследование вопроса распростра нения волн в жидкости, наполняющей цилиндрический бассейн. Вопрос о распространении волн на поверхности жидкости был тогда новым и ему в своих исследованиях уделяли значительное внимание выдающиеся математики и механики того времени, как (например, Лаплас, который впервые эту задачу подверг математической обработке, Лагранж, рас сматривавший этот вопрос в своей „Аналитической механике44, Пуассон и Коши, посвятившие изучению данного явления ряд своих мемуаров. Важность этой задачи видна хотя бы из того, что в 1816 г. была объяв- 1! лена премия за ее решение. Молодому Остроградскому удалось найти решение для случая, когда жидкость наполняет бассейн, имеющий форму круглого цилиндра. В своей работе автор с большим мастерством выводит общие выражения для скоростей тяжелой жидкости, исходя из начального вида свободной поверхности и начальных значений скоро стей. Этот первый труд М. В. Остроградского произвел большое впечат ление на выдающихся математиков того времени. Тремя годами позже М. В. Остроградский, будучи уже адъюнктом по прикладной математике в Петербургской Академии наук, 16 сен тября 1829 г. на научном заседании'^ Академии наук сделал доклад о своем новом исследовании по вопросу распространения волн в жидко сти. На этот раз решение задачи относилось к случаю, когда жидкость находится в бассейне, имеющем форму цилиндрического сектора. Инте ресно отметить, что в процессе исследования автор пользуется делением окружности на 400 угловых единиц. После вывода основных формул, дающих решение поставленной задачи, он указывает, что в случае, когда угол раствора сектора обращается в полный, полученные в данной работе результаты переходят в выведенные им ранее, имея в виду пер вый мемуар по этому циклу вопросов. В 1828 г. М. В. Остроградский начал изучать явления распростра нения теплоты в телах, в результате чего им написано несколько работ, а именно: две статьи о теории тепла, одна работа о распространении тепла в призме с основанием равнобедренного прямоугольного треуголь ника и две статьи, относящиеся к распространению теплоты внутри жидкости. 5 ноября 1828 г. М. В. Остроградский в Петербурге, прибли зительно за полтора месяца до его избрания адъюнктом по прикладной математике, представил на научное заседание Академии наук работу под заглавием „О теории теп лоты“. В июле 1829 г., будучи уже адъюнк том Академии наук, он представил вторую работу под тем же загла вием. Чтобы оценить должным образом выдающееся значение этих работ, остановимся вкратце на истории развития исследований различных авто ров в рассматриваемой области. После составления Фурье диференциального уравнения распростра нения тепла в твердом теле> необходимо было указать способы опреде ления искомой температуры тела, в соответствии с условиями задачи. Решение этой задачи в общем виде встречало большие затруднения, которые не удавалось преодолеть методами, бывшими в то время в рас поряжении математики. Для преодоления возникших затруднений требо валось создание новых, более мощных способов исследования. Поэтому вполне понятно, что первые попытки были обращены к простым случаям. Так, например, Фурье, а также Пуассон исследовали отдельные случаи охлаждения, а именно охлаждение шара, цилиндра, куба и прямоуголь ного параллелепипеда. Рассматривая отдельные задачи, Коши применял при решении их один и тот же метод, не делая при этом соответствую щих обобщений. Такое обобщение впервые было осуществлено М. В. Остро- градским в его работах по теории тепла. В своих исследованиях он раз- 12 работал метод во всей общности, что явилось блестящим достижением в решении этой сложной задачи по теории тепла. В более поздних иссле дованиях в этом цикле вопросов различные авторы в значительной мере лишь повторяли формулировки М. В. Остроградского. В указанных мемуарах М. В. Остроградского по теории тепла начер нена целая программа решения общей задачи охлаждения любого твер дого тела, ограниченного поверхностью без особых точек и линий. Эти мемуары рисуют их автора как математика, мастерски сочетающего глубокие теоретические исследования с исключительно важными прило жениями их. Идеи, изложенные М. В. Остроградским в его трудах по теории теплоты, послужили мощным толчком в развитии дальнейших изысканий не только относительно указанной проблемы, но и для мате матической физики в целом. Наряду с решением поставленных проблем М. В. Остроградский выдвинул в процессе своих исследований целый ряд общих задач анализа, ставших предметом изучения и решения многих выдающихся математиков на протяжении почти целого столетия. Доста точно сказать, что часть задач, возникающих в связи со строгим обосно ванием некоторых выдвинутых в работах М. В. Остроградского вопросов, хотя бы взять для примера в общей постановке проблему так называемой полноты собственных функций, трудно поддается исследованию даже при применении средств современного анализа. В начале своего первого мемуара по теории теплоты М. В. Остро градский четко формулирует постановку так называемых, говоря совре менной терминологией, смешанных задач математической физики. О пра вильности и важности этих формулировок говорит, хотя бы* то, что, не смотря на их стодвадцатитрехлетнюю давность, они фактически сохраня ются и по сей день в современных руководствах по математической физике. Далее он формулирует основную и общую идею разложения искомого решения в ряд по некоторым специальным функциям. Эта идея конкретизируется на примере смешанной задачи относительно урав нения теплопроводности, к которому приступает автор мемуара после вывода своей знаменитой формулы, связывающей интеграл, взятый по объему, с интегралом, распространенным по поверхности, ограничиваю щей этот объем, и некоторых общих соотношений, вытекающих из нее. При рассмотрении уравнения теплопроводности автор принимает темпе ратуру внешней среды, окружающей исследуемое тело, равной нулю. По сути дела, М. В. Остро гр адский для случая уравнения с постоян ными коэфициентами, применительно к произвольной области, выдвигает идею разложения искомого решения в ряд по ортогональным, а именно собственным функциям, которые соответствуют точкам спектра введен- -ного им параметра. Такой взгляд представляет собой самый общий под ход, даже с современной точки зрения, к подобного типа задачам. Даль нейшее развитие математических исследований различных авторов под твердило все богатство замысла М. В. Остроградского и, вместе с гем, выявило те громадные затруднения, которые возникают в связи с такой постановкой задачи. Можно вполне уверенно утверждать, что исследо вания в указанной области таких выдающихся математиков, как Коши, 13 Пуанкаре, Стеклова и Гильберта, исходили в своей основе из глубоких идей, изложенных в указанном мемуаре М. В. ОстроградскогО'. Их работы в этих вопросах были направлены на то, чтобы в той или иной мере обосновать общую концепцию спектрального разложения, которая, без условно, всецело принадлежит М. В. Остроградскому. Доказав свою известную формулу: где и является функцией от переменных х, у, z, удовлетворяющей неко торому диференциальному уравнению, М. В. Остроградский формулирует задачу сходимости этого ряда к функции /(х, у, г), чем выражает так называемый метод Фурье в самом общем виде, причем значительно раньше, чем это сделали Ляме и Дюгамель. Таким образом, проблема полноты собственных функций, которая в такой общей постановке остается для исследования и на сегодняшний день, принадлежит М. В. Остроградскому и должна быть связана с его именем. Доказывая ее для случая тригонометрических рядов, он на много лет раньше Римана установил принцип локализации, хорошо известный сейчас в тео рии тригонометрических рядов. Данное при этом Остроградским доказа тельство сходимости тригонометрических рядов было впоследствии им детальнее развито в его замечательном курсе небесной механики. Как заметил В. А. Стеклов, М. В. Остроградский еще в 1828 г. выдвинул в указанной работе ряд задач математического анализа, к строгому обо снованию которых впоследствии приступил Пуанкаре в своем известном мемуаре по уравнениям математической физики. Во второй работе по теории теплоты, представленной М. В. Остро- градским в Академию наук через восемь месяцев после первого мему- ара по данному вопросу, автор поместил продолжение предыдущего исследования, причем здесь при рассмотрении уравнения теплопровод ности он, в отличие от случая, изученного в первом мемуаре, считает температуру внешней сре/хы, окружающей исследуемое тело, функцией пространственных координат, а также времени. Он показывает, как можно свести задачу для последнего случая к задаче для первого случая. Решение задачи М. В. Остроградский находит в виде суммы двух функ ций, из которых роль одной состоит в сведении граничных условий к однородным, а для второй функции уравнение теплопроводности содер жит свободный член. Автор мемуара остроумно решает для уравнения теплопроводности рассматриваемого им вида смешанную задачу мате матической физики, а также показывает, как нужно подобрать функцию, дающую возможность свести граничные условия к однородным. Построе ния, создаваемые им в процессе исследований, представляют большой интерес и являются достаточно строгими; однако следует сказать, что в тех местах, где речь идет о сходимости соответствующих рядов и о пол ноте собственных функций, автор работы не вышел за рамки взглядов 14 того времени, что является вполне понятным, ибо подобного рода вопросы в общей постановке не всегда поддаются решению даже при совре менном состоянии математики, когда в распоряжении .исследова телей имеется столь мощный аппарат, как, например, функциональный анализ. Труды М. В. Остроградского по теории теплопроводности являются блестящим вкладом в математическую физику. Нами уже отмечалось, что обобщение так называемого метода Фурье, относящегося к определению коэфициеитов в рядах, представляющих решение задачи, принадлежит М. В. Остроградскому, в связи % с чем название обобщенного метода должно быть связано с его именем. При решении различных вопросов теплопроводности надо уметь найти систему собственных функций, каждая из которых должна удов летворять граничным условиям. Решение задачи находится путем разло жения в ряд по собственным функциям, а затем определения неизвестных коэфициеитов, исходя из начальных условий. Руководствуясь таким под ходом, можно сравнительно легко решить задачу об охлаждении призмы с квадратным основанием. Относительная легкость решения задачи в случае прямоугольного параллелепипеда объясняется тем, что урав нение каждой грани получается весьма просто путем приравнивания постоянной величине одной из трех координат. Затруднения значительно усложняются в случае, когда поверхность тела представляет собой иной многогранник. Так, например, задача об охлаждении треугольной призмы уже представляла серьезные трудности и долго не поддавалась усилиям математиков — предшественников и современников М. В. Остроград ского. Остроградскому принадлежит заслуга решения одной из этих задач. Здесь мы переходим к следующей его работе, относящейся к рас пространению тепла в призме с основанием в виде равнобедренного пря моугольного треугольника. Этот случай усложнялся тем, что правая часть уравнения одной из граней представлена линейной функцией двух из координат. М. В. Остроградский первый преодолел трудности, связанные с указанным обстоятельством, и решил задачу охлаждения призмы с основанием, имеющим вид равнобедренного прямоугольного треуголь ника. К сожалению, этой работы в опубликованном виде мы не имеем и даже не сохранились соответствующие материалы в рукописном архив ном фонде. О решении указанной задачи М. В. Остроградским мы знаем на основании упоминания в трудах известного математика и механика Г. Ляме, состоявшего в то время профессором Петербургского института путей сообщения. В своей работе „О распространении тепла в много граннике", доложенной в Петербургской Академии наук в 1829 г., Ляме указал, что затруднения, стоявшие перед ним в решении задачи, были впервые преодолены М. В. Остроградским и, приводя в одном из разде лов своей работы формулу, указывает, что заслуга в ее выводе принад лежит Остроградскому. В 1861 г. Г. Ляме издал свой известный трактат „Аналитическая теория тепла", в котором посвятил М. В. Остроград скому целый раздел, указывая, что рассмотренная в этом разделе задача была впервые решена Остроградским. Отмеченный случай помещен 15 в трактате Ляме на страницах 120—128 в параграфах 70—73 под общим заглавием .„Треугольная призма В своей работе по этому вопросу М. В. Остроградский заметил некоторые соотношения симметрии в задаче об охлаждении квадратной призмы, в зависимости от начальных условий задачи, и получил решение задачи об охлаждении призмы с основанием в виде равнобедренного прямоугольного треугольника при условии, что оба ее основания и две боковые грани имеют нулевую температуру, а грань, образованная соответствующим диагональным сечением в квад ратной призме, не пропускает тепла. Эти интересные и ценные резуль таты имели значительное влияние на развитие дальнейших исследований по теплопроводности тел, и следует лишь пожалеть о том, что публика ция работы не осуществлена и что даже не сохранился рукописный оригинал, который дал бы возможность восстановить полное ее содер жание. К циклу вопросов, относящихся к распространению теплоты, при надлежит работа М. В. Остроградского: „Об уравнении распространения тепла внутри жидкости44, доложенная в Петербургской Академии наук .8 апреля 1836 г. и напечатанная в изданиях Академии наук в 1838 г. После исследования вопросов об охлаждении твердых тел он перешел к решению еще более сложной задачи, а именно о распространении теп лоты в жидкостях. Решение этой проблемы полностью принадлежит М. В. Остроградскому, который вывел основное уравнение, обосновал его и дал надлежащую теорию рассматриваемого явления. Этими вопро сами в то время занимались также Фурье, Пуассон и другие видные математики, однако^1 им не удалось решить эту задачу в общем виде. Следует заметить, что Фурье долго исследовал вопросы распростра нения теплоты в жидкостях и, как он выразился, они показались ему исключительно сложными и трудно поддающимися анализу. В 1820 г. Фурье сделал доклад на заседании Парижской Академии наук о своих результатах в этой области, среди которых было указано выведенное им уравнение. Обоснование уравнения он считал настолько сложным делом, что предложил Лапласу и Пуассону испробовать силы в доказательстве указанного им уравнения. Пуассон действительно занялся этой задачей и в 1829 г., уже после представления М. В. Остроградским вывода своего уравнения, дал собственное доказательство, причем вид его уравнения отличался от уравнения М. В. Остроградского. Однако позже в своей работе по аналитической механике Пуассон отказался от своего урав нения и принял уравнение, выведенное Остроградским. Доказательство Фурье все это время оставалось неизвестным для других математиков и лишь после смерти Фурье была опубликована его работа с подробным обоснованием выведенного им уравнения распространения тепла в жидкости. М. В. Остроградский, познакомившись с этой работой Фурье, не был удовлетворен ею. Фурье при выводе своего уравнения упрощал задачу, считая жидкость несжимаемой, ее плотность зависящей лишь от температуры, а удельную теплоемкость постоянной. Решение, предложенное Пуассоном, М. В. Остроградского также не удовле- 16 творяло, т. к. Пуассон не учитывал расширения жидкости, в связи с не равномерным нагревом движущейся массы. Остроградский пришел к заключению, что и другие существовавшие тогда доказательства яв ляются неправильными. В 1836 г. он полностью решил вопрос, исправив неточности в своем предыдущем доказательстве, осуществленном в 1829 г., и дал исключительно глубокое и строгое обоснование своего уравнения. Таким образом, он впервые решил проблему, над которой работало немало выдающихся математиков того времени. В начале своего мемуара „,Об уравнении распространения тепла внутри жидкости" М. В. Остроградский приводит краткую историю вопроса, после чего переходит к изложению своих результатов, содержа щих решение указанной задачи. Он исходит из поверхностного интеграла где /С представляет собой коэфи- циент теплопроводности, 6 — температура, s — элемент поверхности и 2, /і, у являются углами, образованными внешней нормалью элемента s с осями координат. Он исходит, таким образом, из интеграла, выражаю щего количество тепла, получаемого объемом, ограниченным заданной поверхностью, за время dt, а дальше, используя свою формулу, перехо дит от указанного интеграла к интегралу по объему. В результате последующих рассуждений, отличающихся глубокой продуманностью и базирующихся на реальных основах рассматриваемого явления, М. В. Остроградский выводит общее уравнение, из которого, как частные случаи, получаются уравнения Фурье ^(Пуассона и его же предыдущее уравнение. Основное уравнение Остроградского теплопроводности внутри жидкости (А* — теплоемкость) решает поставленную задачу в самом общем виде и свидетельствует о блестящем вкладе, внесенном М. В. Остроградским в решение важной и сложной проблемы. Мемуар, содержание которого здесь описывается, имеет выдающееся значение не только по своим результатам, но также по методу, разрабо танному автором при решении данной задачи. В самом деле, еще и до сего времени при решении подобных задач иногда употребляется способ рассмотрения элементарных параллелепипедов, между темг как Остро градский уже в то время выделял при исследовании тела некоторый произвольный объем, для которого составлял соответствующее интеграль ное уравнение, считая, что оно должно быть справедливым для любого объема, выделенного из данного тела, после чего приравнивал подинтег ральную функцию нулю и, таким образом, приходил к искомому резуль тату. Этот метод дает новый, действенный подход к решению таких задач, он предоставляет в наше распоряжение очень удобный, строгий и, вместе 2. Украинский математ. журнал, Т. IV, № 1. 17 с тем, простой способ, общепринятый теперь как эффективное, мощное средство в различных математических исследованиях. В создании ука занного метода М. В. Остроградский на 40—50 лет опередил Кирхгоффа и Неймана, в связи с чем этот метод должен быть назван именем Остро градского. В дополнение к сказанному отметим, что работа М. В. Остро градского, представленная им в 1829 г., где было помешено перво начально выведенное им уравнение, носит название .„О диференциалыюм уравнении в частных производных распространения тепла внутри жидко сти". Результат, полученный им в этой работе, вытекает как частный случай из его общего уравнения, при предположении несжимаемости жидкости. Перейдем теперь к трудам NY В. Остроградского, посвященным вопросам равновесия и движения жидкостей. Среди этих работ, в первую очередь, следует отметить его мемуар „Об особом случае равновесия, несжимаемых жидкостей", написанный в 1836 г. и опубликованный в изданиях Академии наук в 1838 г. В начале этого мемуара автор его останавливается на некоторых определениях и формулировках и, среди них, на весьма интересном опре делении механики, указывая, что последняя различает тела лишь с точки зрения их массы, положения и возможных перемещений. Можно привести также его формулировку равновесия тел, заключающуюся в следующем: „Чтобы система была в равновесии, работа сил на всех возможных перемещениях должна быть отрицательной или равной нулю". В оригинале М. В. Остроградского употреблено, вместо термина— работа, слово — момент, что встречалось в то время и у других авторов. Он глубоко проник в понимание общности принципа равновесия систем и во все тонкости, связанные с этим вопросом. В указанном мемуаре М. В. Остроградский впервые нашел условие связывающее возможные перемещения всякой точки несжимаемой жидко сти. При этом он использовал свой действенный метод рассмотрения произвольного объема, взятого в исследуемой жидкости, в отличие от принятого тогда способа выделения элементарных параллелепипедов. Применяя свою формулу перехода от интеграла, распространенного по поверхности, к интегралу, взятому по объему, ограниченному этой поверх ностью, автор работы со всей изящностью и строгостью получил извест ные теперь классические условия равновесия несжимаемой жидкости. Он пишет: „Таким образом, для равновесия однородной жидкой массы, свободной от внешнего давления, необходимо, чтобы выражение Xdx-\-Ydy-\-Zdz представляло собой полный диференциал и чтобы равно действующая сил X, Y, Z была нормальной к поверхности в каждом эле менте поверхности, и, вместе с тем, чтобы она была направлена внутрь жидкости". В конце мемуара М. В. Остроградский приводит так назы ваемый им особый случай, когда второе из указанных условий не вы полняется, несмотря на то, что равновесие имеет место. Это, как отмечает 18 он, случай сферического слоя, находящегося под действием центральных сил притяжения. В небольшой статье „О движении жидкости", напечатанной в изда ниях Академии наук в 1845 г., М. В. Остроградский рассматривает поверхностные условия жидкости, в связи с условием неразрывности для движущейся жидкости Перейдем к вопросам, относящимся к теории притяжения, которые рассматриваются в работах М. В. Остроградского. В связи с этгм: вспомним в первую очередь его мемуар „Об интеграле, встречающемся* в теории притяжения сфероидов". Результаты, содержащиеся в этом' мемуаре, были доложены Остроградским на заседании Академии наук в 1828 г., в бытность его адъюнктом Академии наук, мемуар же опубли кован в 1831 г. В указанной работе М. В. Остроградский излагает свой вывод уравнения Пуассона, найденный им независимо от доказательства Пуассона, которое ему стало известно значительно позже. В процессе исследований автор мемуара выводит величину диференциального пара метра для Ньютоновского потенциала в случае нахождения точки внутри тела, а также на его поверхности. Здесь же рассматривается и случай особой точки поверхности. В своей работе М. В. Остроградский эффек* тивно использует известный метод исследования кратных интегралов, когда подинтегральная функция обращается в бесконечность. Чтобы должным образом оценить значение данного мемуара, обратимся вкратце к истории вопроса. В конце XVIII века было введено в теорию притяжения понятие потенциальной функции. Тогда же Лапласом было замечено, что для сил, действующих по закону Ньютона, эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных. Пуассон, исследуя это уравнение, показал в 1813 г., что оно оправдывает себя лишь в случае, когда притягиваемая точка лежит вне притягивающих ее масс. Для слу чая, когда точка лежит внутри притягивающего объема, должно суще ствовать другое уравнение, которое он и вывел. М. В. Остроградский, независимо от Пуассона, вывел это же уравнение, вследствие чего оно должно связываться также с именем Остроградского. Об ориги нальном методе, примененном впервые автором рассматриваемого нами мемуара, упоминается также в работах других выдающихся математиков того времени. Остановимся еще на двух работах М. В. О стр о гр адского, посвящен ных вопросу о взаимном намагничивании. Речь идет о его статьях, сдан ных для публикации 5 апреля и 12 мая 1839 г. и напечатанных в этом же году под одним заглавием .„О взаимном намагничивании разобщенных брусков". В первой из указанных статей М. В. Остроградский решает задачу, поставленную физиком Б. С. Якоби, о намагничивании железных брусков.. Задача состоит в следующем:1 даны железные бруски, расположенные по прямой линии, с сохранением равных расстояний между каждыми двумя смежными брусками. Крайние из брусков намагничиваются. Бла годаря индукции намагничиваются и внутренние бруски. Ставится вопрос о нахождении состояния намагничивания для каждого из брусков в от ії? дельности. М. В. Остроградский, решая эту задачу, показывает, что дело •сводится к вычислению сумм некоторых степенных рядов. Однако такой метод решения указанной задачи не удовлетворяет автора работы и он далее сводит решение данной задачи к системе уравнений в конечных разностях. Такой подход весьма изящно и, вместе с тем, просто приводит к цели. Он получает общую формулу, дающую ответ на поставленный в задаче вопрос. Во второй одноименной статье автор ставит более общую задачу, а именно: в расположении, указанном в первой задаче, намагничиваются не крайние бруски, а один из внутренних. Требуется определить состоя ние намагничивания каждого из остальных брусков. М. В. Остроградский показывает, что метод, разработанный им в его предыдущей статье, также легко приводит к решению задачи и во втором случае. Эти две статьи свидетельствуют, что диапазон научных интересов М. В. Остро гр адского был чрезвычайно широк и что его внимание при влекали самые разнообразные вопросы математической физики. Он мастерски создавал наиболее общие и удобные подходы для решения рассматриваемых им задач и использовал в своих исследованиях дей ственный математический аппарат, который он зачастую сам строил применительно к задачам, подлежавшим решению. Заслуживает внимания работа М. В. Остроградского, относящаяся к решению некоторых механических вопросов в задачах математической физики. Мы имеем в виду его исследование, поданное для публикации 13 мая 1842 г. и опубликованное в этом же году „О телах, которых все моменты инерции равны44. Известно, что Лаплас в своей обширной работе по небесной механике установил условие, характеризующее одно родные тела, имеющие одинаковые моменты инерции. М. В. Остроград ский показывает в своем исследовании, что это условие распространяется также на гетерогенные тела, составленные из слоев равной поверхност ной плотности. Он получает свой результат, привлекая для осуществле ния исследования весьма тонкий математический анализ. Ему удалось даже, исходя из поставленной задачи, получить уравнение поверхности искомых тел. Как выведенные результаты, так и сам процесс исследова ний привлекли тогда, а также и сейчас продолжают привлекать к себе внимание многих математиков и механиков. Наряду с указанными задачами М. В. Остроградский уделил значи тельное внимание постановке и решению задач, относящихся к различ ным вопросам теории упругости. Среди работ в этой области следует отметить его мемуар ;,,Об интегрировании диференциальных уравнений в частных производных малых колебаний упругих сред44. Этот мемуар был представлен в Академию наук в 1829 г. и опубликован в ее изда ниях в 1831 г. Подобного рода исследования интересовали как автора данного мемуара, так и других выдающихся математиков не только с точки зрения прикладных вопросов, но также с точки зрения развития соответствующих разделов анализа. После того, как был найден общий метод интегрирования одного уравнения любого порядка с одной иско мой функцией, зависящей от любого числа переменных, и после того, 20 как были выведены уравнения движения упругих тел, представленных совокупностью трех уравнений с тремя неизвестными функциями, воз никла необходимость распространить метод, разработанный для одного уравнения, на этот более общий случай. Такая задача была решена Остроградским, Пуассоном и Коши, причем Остроградскому принадлежит первенство. Пуассон и Коши получили свои результаты после того, как Остроградский уже опубликовал свой мемуар. Об этом говорит Пуассон в своей работе, напечатанной несколько позже. В своем мемуаре М. В. Остроградский решил так называемую задачу Коши для динамических уравнений теории упругости. Следует отметить, что уравнения, рассматриваемые в мемуаре, с современной точки зрения требуют корректировки, ибо они овязаны со старой теорией Навье—Пуассона, в соответствии с которой считалось, что коэфициенты Ляме z, // для упругого изотропного тела равны между собой. Впослед ствии это положение, как известно, было исправлено. Метод, которым пользовался Остроградский, является весьма общим и полностью может быть перенесен на системы диференциальных урав нений с постоянными коэфициентами. Хотя рассуждения, приводимые автором работы, согласно с тогдашними математическими позициями, не удовлетворяют сейчас всем требованиям строгости, так как, например, Остроградский не исследует сходимости интегралов, которыми представ ляется решение задачи, однако, окончательный результат правилен. Это свидетельствует о том, что у Остроградского имелось глубокое понимание как вопросов физики, так и математических основ рассматриваемых им явлений. Заслуживают особого внимания две последние страницы мему ара. Получив решение поставленной задачи, М. В. Остроградский иссле дует случай, когда начальные данные равны везде нулю, за исключе нием некоторого объема. Простое рассуждение дает ему возможность, выявить, что для уравнений теории упругости в трехмерном пространстве* имеет место так называемый принцип Гюйгенса. Известно, что строгая трактовка этих вопросов начала интересовать математиков значительно, позже и что эти вопросы нашли свое блестящее завершение в выдаю щихся работах академика И. Г. Петровского, — имеем в виду его заме чательное исследование: „О диффузии волн и лакунах для системы ги перболических уравнений" (Известия АН СССР, серия матем., № 8, 1944; Матем. об. 17 (51), 1945 г.). В 1833 г. М. В. Остроградский опубликовал самый обширный из своих мемуаров по математической физике „Об интегрировании диферен- циального уравнения в частных производных малых колебаний упругих тел", в котором он получил общие выражения для упругих смещений при колебаниях тела, удовлетворяющих уравнениям упругости. Задача решается с помощью кратных интегралов и теоремы Фурье в самом об щем виде, при произвольно заданных начальных условиях. В этом мемуаре он показал себя блестящим знатоком математической теории упругости и тонким исследователем в вопросах применения анализа к решению актуальных прикладных задач. Здесь далеко продвинуты вперед его пре дыдущие исследования по теории упругости. 2! § 4. Некоторые замечания относительно исследований М. В. Остроградского в области вариационного исчисления, в связи с его работами по математической физике В связи с рассмотрением трудов М. В. Остроградского по вопросам математической физики нельзя не остановиться на его исследованиях пр вариационному исчислению. О применении им вариационных принципов в механике мы уже кратко отмечали в соответствующем месте данной работы, здесь же мы проанализируем его мемуар, написанный в 1834 г., „О вычислении вариаций многократных интегралов", До появления этой работы вариационное исчисление в том виде, в каком оно вышло из рук Эйлера и Лагранжа, давало ответ лишь на вопрос о нахождении вариа ции простого интеграла, вычисление же вариации кратных интегралов и даже двойного интеграла представляло тогда значительные затрудне ния. В работах некоторых математиков были предприняты попытки дать частичный ответ на этот вопрос, однако^коренного сдвига в решении данной задачи не было. М. В. Остроградский решил полностью эту задачу. Он вывел вариацию кратных интегралов, а также дал ее преобразование к виду, удобному для различных приложений. В этом же мемуаре он получил общее выражение для вариации частной производной функции, зависящей от любого числа независимых переменных, а также для вариа ции сложного выражения, содержащего эту функцию и ее частные про изводные любого порядка. Выводы М. В. Остроградского отличаются исключительной простотой, сочетающейся с нужной общностью. В ука занной работе Остроградский вывел также две свои формулы, имеющие важное значение при решении многих задач математической физики. Обе формулы должны, безусловно, носить имя Остроградского. Одна из этих формул относится к преобразованию и-кратного интеграла в (п—1)-крат- ный, а вторая служит для диференцирования кратного интеграла по параметру. § 5. Работы М. В. Остроградского по вопросам баллистики Говоря об исследованиях М. В. Остроградского в области матема- тйческой обработки физических явлений, нельзя не отметить его работ по баллистике. Как известно, в юношеские годы Остроградский страстно стрёмилс^ определиться на военную службу. Став выдающимся мате- матикомуОстроградский не потерял интереса к военному делу и в конце тридцатых и начале сороковых годов XIX ст. он занялся вопросами внешней баллистики, написав три мемуара в этой области, чем внес важный вклад в дело укрепления мощи русской армии. Первые теоре тические исследования и экспериментальные проверки по вопросам бал листики были произведены им по заданию военного ведомства и отно сились к теории стрельбы регулированными снарядами. Работы М. В. Остро гр адского в области баллистики имеют такие названия: к „Заметки о движении сферического снаряда в среде, оказывающей сопротивление", 2. „Мемуар о движении сферического снаряда в воз- 22 духе", 3. „Таблицы для облегчения вычисления траектории, описываемой телом в среде, оказывающей сопротивление". В первых двух мемуарах Остроградский изучает движение центра тяжести и вращение сфериче ского снаряда, геометрический центр которого не совпадает с центром тяжести. Он выводит диференциальные уравнения задачи, в которых участвуют коэфициенты, зависящие от сопротивления воздуха. Эти коэфициенты, по мысли автора, должны быть определены путем экспе риментальных исследований. Формулы, полученные Остроградским, имеют достаточно общий вид, и соответствующие формулы Пуассона являются лишь их частным случаем, а именно при эксцентричности сна ряда, равной нулю. В третьей из работ М. В. Остроградского по вопро сам баллистики разработаны таблицы, относящиеся к функции часто встречающейся в задачах баллистики и играющей в них важную роль. В конце 1842 г. М. В. Остроградский сделал в Академии наук доклад на тему „О влиянии выстрела на лафет пушки". Исследования в области баллистики привели Остроградского к оценке остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена. Его заинтересован ность баллистикой не ограничивалась исследованиями в этой области. Он также в течение некоторого времени читал лекции по вопросам бал листики в Артиллерийской академии. § 6. Заключение Наш краткий обзор научных трудов М. В. Остроградского в области математической физики и в смежных областях ни в коей мере не претен дует на полноту и исчерпанность. Он является лишь весьма сжатым очерком основных исследований выдающегося отечественного математика в рассматриваемых нами вопросах. Мы считаем, что исследованиям М. В. Остроградского должна быть посвящена отдельная монография, в которой был бы дан полный анализ его работ и исчерпывающее пред ставление о тех блестящих достижениях, какие более века тому назад получил знаменитый ученый, научная деятельность которого сыграла направляющую роль в дальнейшем развитии отечественной математики. Его заслугой является то, что, продолжая славные традиции М. В. Ломо носова, он закрепил целеустремляющее направление в исследованиях наших отечественных математиков, состоящее во взаимном сочетании глубокой математической теории и важных практических приложений. В своих многочисленных выдающихся работах он многими своими резуль татами значительно опередил иностранных математиков, работавших в этих же областях исследований. Он всегда глубоко проникал в рас сматриваемые явления, с большим математическим умением находил характерную сущность задачи, мастерски применял математический аппа рат, создавая новые построения, новые методы и способы для достижения 23 поставленной цели. При решении задач он не довольствовался рассмотре нием отдельных частных случаев, а его всегда привлекало наиболее общее решение рассматриваемых проблем. Весьма яркую оценку научной деятельности М. В. Остроградского дал гениальный русский математик П. Л. Чебышев в письме к акаде мику П. М. Фуссу, в котором, говоря о своем первом мемуаре относи тельно одного класса определенных кратных интегралов, связанного с задачей интегрирования уравнений математической физики, он писал: „Когда я занимался интегральным исчислением перед экзаменом на степень магистра философии, то проблема, решение которой я даю в моем мемуаре, возникла у меня сама собою и я попытался ее решить, хотя и знал, что М. В. Остроградский уже занимался этим вопросом. Я не могу соперничать с этим знаменитым геометром в тонкости анализа, но проблема сама по себе достаточно интересна, чтобы вызвать, может быть, некоторое снисхождение по отношению к недостаткам метода и вы ражения". Вся научная и педагогическая деятельность М. В. Остроград ского заслуживает самого широкого освещения перед общественностью к чести и славе нашей отечественной науки. М. В. Остроградский является выдающимся представителем передо вой научной мысли. Наша отечественная наука развилась и расцвела во всю свою мощь и силу лишь при Советской власти, благодаря неустан ным заботам о науке нашей славной большевистской партии, нашего вождя и учителя, великого корифея науки — любимого и родного товарища Сталина. Получена 26 октября 1951 г. Львов
id	umjimathkievua-article-6597
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus
last_indexed	2026-03-24T03:29:13Z
publishDate	1952
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/b3/c671ddf77a96d7c3933fba7aae0884b3.pdf
spelling	umjimathkievua-article-65972021-03-23T17:28:47Z Труды М. В. Остроградского по математической физике Труды М. В. Остроградского по математической физике Труды М. В. Остроградского по математической физике Shtokalo, I. Z. Штокало, И. 3. Штокало, И. 3. . . . Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1952-01-10 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6597 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 4 No. 1 (1952); 3-24 Український математичний журнал; Том 4 № 1 (1952); 3-24 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6597/8957 Copyright (c) 1952 И. 3. Штокало
spellingShingle	Shtokalo, I. Z. Штокало, И. 3. Штокало, И. 3. Труды М. В. Остроградского по математической физике
title	Труды М. В. Остроградского по математической физике
title_alt	Труды М. В. Остроградского по математической физике Труды М. В. Остроградского по математической физике
title_full	Труды М. В. Остроградского по математической физике
title_fullStr	Труды М. В. Остроградского по математической физике
title_full_unstemmed	Труды М. В. Остроградского по математической физике
title_short	Труды М. В. Остроградского по математической физике
title_sort	труды м. в. остроградского по математической физике
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6597
work_keys_str_mv	AT shtokaloiz trudymvostrogradskogopomatematičeskojfizike AT štokaloi3 trudymvostrogradskogopomatematičeskojfizike AT štokaloi3 trudymvostrogradskogopomatematičeskojfizike

Труды М. В. Остроградского по математической физике

Institution

Similar Items