Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I

UDC 517.9 &nbsp;review of differential-geometric and Lie-algebraic&nbsp;approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable &nbsp;&nbsp;differential systems of ``heavenly'' type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugate t...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2022
Автори:	Hentosh , O. E., Prykarpatskyy , Ya. A., Balinsky , A. A., Prykarpatski , A. K., Гентош, О. Є., Прикарпатський, Я. А., Балiнський, О. А., Прикарпатський, А. К.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6614
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860512479825625088
author	Hentosh , O. E. Prykarpatskyy , Ya. A. Balinsky , A. A. Prykarpatski , A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балiнський, О. А. Прикарпатський, А. К.
author_facet	Hentosh , O. E. Prykarpatskyy , Ya. A. Balinsky , A. A. Prykarpatski , A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балiнський, О. А. Прикарпатський, А. К.
author_sort	Hentosh , O. E.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2022-11-27T13:40:29Z
description	UDC 517.9 &nbsp;review of differential-geometric and Lie-algebraic&nbsp;approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable &nbsp;&nbsp;differential systems of ``heavenly'' type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugate to the loop Lie algebras of vector fields on the tori.&nbsp;&nbsp;These flows are generated by the corresponding orbits of the coadjoint action of the diffeomorphism loop group and satisfy the Lax–Sato-type vector-field compatibility conditions.&nbsp;&nbsp;The corresponding hierarchies of conservation laws and their relationships with Casimir invariants are analyzed.&nbsp;&nbsp;Typical examples of these systems are considered and their complete integrability is established by using the developed Lie-algebraic construction.&nbsp;&nbsp;We describe new generalizations of the integrable dispersion-free systems of ``heavenly'' type for which the corresponding generating elements of orbits have a factorized structure, which allows their extension to the multidimensional case.
doi_str_mv	10.37863/umzh.v74i8.6614
first_indexed	2026-03-24T03:29:27Z
format	Article
fulltext	DOI: 10.37863/umzh.v74i8.6614 УДК 517.9 О. Є. Гентош (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв), Я. А. Прикарпатський1 (Iн-т математики НАН України, Київ, та Унiверситет рiльництва, Кракiв, Польща), О. А. Балiнський (Мат. iн-т Унiверситету Кардiфф, Великобританiя), А. К. Прикарпатський (Iн-т математики Кракiв. ун-ту технологiй, Польща) ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ ТА АСОЦIЙОВАНI IНТЕГРОВНI ГАМIЛЬТОНОВI СИСТЕМИ „НЕБЕСНОГО” ТИПУ. I A review of differential-geometric and Lie-algebraic approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable differential systems of “heavenly” type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugate to the loop Lie algebras of vector fields on the tori. These flows are generated by the corresponding orbits of the coadjoint action of the diffeomorphism loop group and satisfy the Lax – Sato-type vector-field compatibility conditions. The corresponding hierarchies of conservation laws and their relationships with Casimir invariants are analyzed. Typical examples of these systems are considered and their complete integrability is established by using the developed Lie-algebraic construction. We describe new generalizations of the integrable dispersion-free systems of “heavenly” type for which the corresponding generating elements of orbits have a factorized structure, which allows their extension to the multidimensional case. Наведено огляд диференцiально-геометричних i Лi-алгебраїчних пiдходiв до вивчення широкого класу нелiнiйних iнтегровних диференцiальних систем „небесного” типу, асоцiйованих iз гамiльтоновими потоками на спряжених просторах до петельних алгебр Лi векторних полiв на торах. Цi потоки породжуються вiдповiдними орбiтами коприєднаної дiї петельної групи дифеоморфiзмiв i задовольняють векторно-польовi умови сумiсностi типу Лакса – Сато. Проаналiзовано вiдповiднi iєрархiї законiв збереження i їхнiй зв’язок з iнварiантами Казимiра. Розглянуто типовi приклади таких систем i встановлено їхню повну iнтегровнiсть за допомогою розвиненої Лi-алгебраїчної конструкцiї. Описано новi узагальнення iнтегровних бездисперсiйних систем „небесного” типу, для яких вiдпо- вiднi породжуючi елементи орбiт мають факторизовану структуру, що допускає їх розширення на багатовимiрний випадок. 1. Вступ. Вiдомо, що дослiдження iнтегровностi складних математичних моделей сучасно- го природознавства або вiдповiдних їм нелiнiйних диференцiальних рiвнянь та динамiчних систем — це активна область [4, 7, 23] математичних дослiджень з моменту вiдкриття методу оберненого розсiювання та застосування диференцiально-геометричних, алгебро-геометричних та операторно-спектральних методiв [2, 13 – 16, 18, 19, 23] до їх глибокого вивчення. Такi нелi- нiйнi моделi є певним чином унiверсальними, оскiльки вони з’являються у багатьох областях фiзики, таких як фiзика твердого тiла, нелiнiйна оптика, гiдродинамiка, фiзика плазми тощо, серед як теоретичних, так i прикладних дослiджень. Одночасно iнтегровнiсть цих моделей тiсно пов’язана з багатьма напрямками сучасної математики i характеризується багатими i красивими структурами, що стоять за ними. Основним об’єктом даного огляду є iнтегровнi системи багатовимiрних бездисперсiйних динамiчних потокiв та диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, що мають модифiковане зображення типу Лакса – Сато, асоцiйоване з їх прихованою груповою симетрiєю та гамiльтоновою структурою. Такi системи виникають у механiцi, загальнiй теорiї вiдносностi, диференцiальнiй геометрiї, загальнiй теорiї iнтегровних динамiчних систем. Серед них варто згадати рiвняння Боєра – Фiнлi, рiвняння Плєбансько- го „небесного” типу, якi описують клас самодуальних 4-многовидiв, бездисперсiйне рiвняння 1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: yarpry@imath.kiev.ua. c\bigcirc О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, 2022 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1029 1030 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Кадомцева – Петвiашвiлi, вiдоме як рiвняння Хохлова – Заболоцького з нелiнiйної акустики та теорiї структур Ейнштейна – Вейля. Їх iнтегровнiсть дослiджувалась за допомогою рiзних су- часних пiдходiв, зокрема симетрiйного аналiзу, диференцiально-геометричних методiв, технiк бездисперсiйного \=\partial -одягання i факторизацiї, в’язей Вiрасоро, гiдродинамiчних редукцiй i т. п. У цiй статтi наведено огляд певного класу диференцiально-геометричних та Лi-алгебраїчних структур, що характеризують класичнi динамiчнi системи гiдродинамiчного типу, важливi для опису та побудови як їхнiх точних розв’язкiв, так i детального аналiзу властивостей пов’язаних з ними математичних об’єктiв. Першi приклади та вiдповiднi гамiльтоновi структури було розглянуто у роботах [24 – 28], а згодом у статтях [29 – 31, 49, 69 – 72], у яких було детально проаналiзовано багато прикладiв систем бездисперсiйних рiвнянь з частинними похiдними. Цi системи називають системами „небесного” типу, а їхню назву вперше ввiв Є. Плєбанський [32]. Системи „небесного” типу вивчались у багатьох статтях (див. [8 – 12, 20 – 22, 26 – 28, 31 – 42]) з використанням рiзних пiдходiв. Зокрема, у працях [26 – 28, 33 – 41] активно застосовувались та розвивались диференцiально-геометричнi та симплектичнi методи дослiджень. У недавнiх стат- тях [29, 30] було розроблено загальну Лi-алгебраїчну схему для конструювання iнтегровних за Лаксом – Сато диференцiальних систем „небесного” типу, яка ґрунтується на застосуваннi кла- сичної геометричної конструкцiї Адлера – Костанта – Саймза (АКС-теорiї) та пов’язаних з нею R-операторних структур [16 – 18, 24 – 28, 42 – 45] до петельної алгебри Лi \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) векторних полiв на n-вимiрному торi \BbbT n та її голоморфного узагальнення. Згiдно з розвиненою авторами схемою такi диференцiальнi системи виникають з умови комутування гамiльтонових потокiв на регулярних спряжених просторах до згаданих вище алгебр Лi, заданих R-деформованою дужкою Лi – Пуассона та вiдповiдними iнварiантами Казимiра як гамiльтонiанами. Для кожної з цих алгебр Лi умова комутування на орбiтах коприєднаної дiї редукується до зображень Лакса – Сато систем „небесного” типу. У цих працях було також зазначено, що у бiльшостi випадкiв iнтегровнi системи „небесного” типу породжуються елементами регулярного спряже- ного простору до петельної алгебри Лi, що мають спецiальну структуру повного диференцiала або пропорцiйну до нього над кiльцем гладких функцiй на торi. При цьому на просторi модулiв [46, 47] калiбрувальних зв’язностей на \BbbT n для коприєднаних дiй вiдповiдних iнварiантiв Кази- мiра iснує канонiчна симплектична структура, що дозволяє вивчати геометричну природу таких систем за допомогою когомологiчних пiдходiв, запропонованих у роботах [46, 48] для випадку рiманових поверхонь. Крiм того, було встановлено зв’язок побудованих нами гамiльтонових потокiв iз вiдомим у класичнiй механiцi принципом Лагранжа – Даламбера. Зокрема, для n = 1 у статтi [10] було запропоновано узагальнення розробленої в [29, 30] Лi-алгебраїчної схеми на випадок петельної алгебри Лi суперконформних векторних полiв на суперколi \BbbS 1\| N \simeq \BbbS 1 \times \Lambda 1, де \Lambda := \Lambda 0 \oplus \Lambda 1, \Lambda 0 \supset \BbbC , — алгебра Грассмана над полем \BbbC , та отримано новi iнтегровнi за Лаксом – Сато супераналоги деяких вiдомих систем „небесного” типу [30, 49]. Зазначимо також, що у працях [30, 50 – 53] для аналiзу систем „небесного” типу було використано неасоцiативнi та некомутативнi алгебри струмiв на торi \BbbT m, m \in \BbbN , а в працях [26 – 28] було розвинено загальний Лi-алгебраїчний пiдхiд до конструювання бiгамiльтонових систем „небесного” типу з використанням центрального розширення так званої петельної алгебри Лi векторних полiв на колi. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1031 Опишемо коротко структуру статтi. У першому пунктi ми розглядаємо деякi основнi понят- тя та математичнi конструкцiї, якi лежать в основi диференцiально-геометричного пiдходу Лi до вивчення iнтегровних диференцiальних рiвнянь типу Лакса – Сато. У другому пунктi описано асоцiйованi з ними Лi-алгебраїчнi структури на спряженому просторi до алгебри Лi, асоцiйо- ванi структури Лi – Пуассона та сформульовано алгебраїчний критерiй iснування iнтегровних потокiв типу Лакса. Третiй пункт присвячено диференцiально-геометричному аналiзу групи дифеоморфiзмiв тора, побудовi канонiчної структури Лi – Пуассона на спряженому просторi до її алгебри Лi. В четвертому пунктi наведено опис iнтегровних гамiльтонових систем, поро- джених орбiтами коприєднаної дiї петельної групи дифеоморфiзмiв на спряженому просторi до її алгебри Лi. Iнтегровнi багатовимiрнi „небеснi” системи типу Лакса – Сато й асоцiйова- нi з ними конформнi структури, що генерують цi рiвняння, мiстяться у п’ятому та шостому пунктах. Як виявилося, серед них є важливi рiвняння для сучасних дослiджень фiзики, гiдро- динамiки i, зокрема, геометрiї Рiмана, пов’язанi з такими цiкавими конформними структурами на метричних просторах Рiмана, як рiвняння метрики Ейнштейна та Ейнштейна – Вейля, друге рiвняння конформної метрики Плєбанського, рiвняння метрики Дунайського тощо. При цьому деякi з них мали в основi голоморфнi породжуючi елементи в деяких спецiальних пiдобластях комплексної площини, аналiз яких потребував певної модифiкацiї їх теоретичного обґрунту- вання. Окрiм того, загальна диференцiально-геометрична структура породжуючих елементiв, пов’язана з деякими рiвняннями конформних метрик, виявилась iнварiантною щодо просторо- вого вимiру розглянутих просторiв Рiмана, що дало можливiсть аналiтично описати їх у ба- гатовимiрному випадку. Нами проаналiзовано, зокрема, рiвняння метрики Ейнштейна – Вейля, модифiковане рiвняння метрики Ейнштейна – Вейля, систему „небесних” рiвнянь Дунайського, рiвняння першої та другої конформних структур, що генерують вiдповiднi iнтегровнi „небес- нi” рiвняння, обернене перше „небесне” рiвняння Шабата, перше i модифiковане „небесне” рiвняння Плєбанського, як i його багатовимiрне узагальнення, „небесне” рiвняння Хусейна та його багатовимiрне узагальнення, загальне рiвняння Монжа та його багатовимiрне узагаль- нення. Короткий сьомий пункт присвячено побудовi суперконформних аналогiв „небесного” рiвняння Вiзема, а восьмий пункт — дослiдженню геометричних структур, пов’язаних з одно- вимiрною повнiстю iнтегровною гiдродинамiчною системою Чаплигiна, яка виявилася глибоко пов’язаною з диференцiальними системами на торi та вiдповiдно асоцiйованими з ними ор- бiтами групи петельної групи дифеоморфiзмiв. Ця геометрична структура дозволила знайти додатковий взаємозв’язок мiж породжуючими диференцiальними формами на торi та аналi- тично описати нескiнченну iєрархiю нових iнтегровних гiдродинамiчних систем. Цi системи, як було продемонстровано у [3], тiсно пов’язанi з класом цiлком iнтегровних рiвнянь типу Монжа, геометричну структуру яких також нещодавно було глибоко проаналiзовано в [6] за допомогою дещо iншого пiдходу, який базується на властивостях вкладення у многовиди Грас- смана загальних диференцiальних систем, визначених на джет-пiдмноговидах в координатах Плюкера. Цей пiдхiд ставить, зокрема, цiкаву проблему пошуку зв’язкiв мiж рiзними геометрич- ними пiдходами до опису повнiстю iнтегровних бездисперсiйних диференцiальних систем. В останнiх двох пунктах розвивається аналог Лi-алгебраїчної схеми, запропонованої у працях [10, 29, 30], для центральних розширень петельної алгебри Лi векторних полiв на n-вимiрному ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1032 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ торi \BbbT n для довiльного n \in \BbbN , яка є напiвпрямою сумою алгебри Лi векторних полiв на \BbbT n вiдповiдного регулярного спряженого до неї простору та петельної алгебри Лi голоморфних узагальнень векторних полiв на торi \BbbT n. Запропоновану Лi-алгебраїчну схему використано для побудови iнтегровних за Лаксом – Сато модифiкованої та узагальненої „небесних” системи типу Михальова – Павлова у чотиривимiрному просторi та модифiкованої системи Мартiнеса Алонсо – Шабата у чотиривимiрному просторi. 2. Алгебри Лi, асоцiйованi структури Пуассона та iснування iнтегровних потокiв ти- пу Лакса. Нехай ( \~\scrG ; [\cdot , \cdot ]) — алгебра Лi над полем \BbbC i \~\scrG \ast — природний спряжений простiр. Розглянемо деякий тензорний елемент r \in \~\scrG \otimes \~\scrG \simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}( \~\scrG \ast ; \~\scrG ) з розбиттям на симетричну та антисиметричну частини у виглядi r = k \oplus \sigma , де симетричний тензор k \in \~\scrG \otimes \~\scrG є невирод- женим. Це дозволяє ввести на алгебрi Лi \~\scrG невироджену симетричну бiлiнiйну форму (\cdot \| \cdot ) : \~\scrG \otimes \~\scrG \rightarrow \BbbC за допомогою виразу (a\| b) := k - 1(ab) для будь-яких a, b \in \~\scrG . Композицiя вiдобра- жень R := \sigma \circ k - 1 : \~\scrG \rightarrow \~\scrG , яка дiє за правилом \~\scrG k - 1 \rightarrow \~\scrG \ast \sigma \rightarrow \~\scrG , визначає на алгебрi Лi \~\scrG R-операторну структуру [a, b]R := [Ra, b] + [a,Rb] для будь-яких a, b \in \~\scrG . Наступна теорема дозволяє ввести пуассонову структуру [42, 48, 54, 55] на спряженому просторi до \~\scrG . Теорема 2.1. Для довiльних \alpha , \beta \in \~\scrG \ast введемо дужку \{ \alpha , \beta \} := ad\ast r\alpha \beta - ad\ast r\beta \alpha . (2.1) Дужка (2.1) є пуассоновою тодi й лише тодi, коли R-операторна структура на алгебрi Лi \~\scrG задає на \~\scrG структуру Лi, тобто для будь-яких a, b \in \~\scrG має мiсце рiвнiсть Янга – Бакстера [Ra,Rb] - R[a, b]R = - [a, b]. За допомогою цiєї теореми можна побудувати гамiльтоновi потоки лаксового типу на спря- женому просторi \~\scrG \ast у випадку, коли iснує функцiонал Tr(\cdot ) типу Кiллiнга, який породжує на \~\scrG симетричний та ad-iнварiантний добуток Tr(ab) := (a\| b), (a\| [b, c]) = (([a, b]\| , c) для будь-яких a, b i c \in \~\scrG . Тодi гамiльтоновий потiк для довiльного елемента a \in \~\scrG має стандартну форму Лакса da/dt = [\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(h), a], де елементу \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(h) \in \~\scrG вiдповiдає певний функцiонал h \in \scrD ( \~\scrG ). Щодо петельної алгебри Лi \~\scrG := \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) на торi \BbbT n вiдомо, що функцiонал Tr-типу на \~\scrG не iснує, а тому доводиться вивчати гамiльтоновi потоки на спряженому просторi пе- тель \~\scrG \ast \simeq \~\Lambda 1(\BbbT n) мероморфних диференцiальних форм на торi \BbbT n та отримувати iнтегровнi бездисперсiйнi рiвняння як умови сумiсностi для вiдповiдних векторних полiв, породжених iн- варiантами Казимiра на \~\scrG \ast . Така процедура є складнiшою, нiж стандартна, i в нiй використано бiльше геометричних iнструментiв та властивостей структури коприєднаних орбiт для елемен- тiв, якi породжують iєрархiю iнтегровних гамiльтонових потокiв. Зокрема, виникає потреба дослiджувати редукцiйнi властивостi цiєї iєрархiї, якi б гарантували iснування нетривiальних iнварiантiв Казимiра на цих коприєднаних орбiтах. Застосування згаданих вище iдей до центральних розширень алгебр Лi дозволяє побудувати новi класи комутуючих гамiльтонових потокiв на розширеному спряженому просторi \=\scrG \ast := := \~\scrG \ast \oplus \BbbC . Цi гамiльтоновi потоки породжуються елементами (\~a \ltimes \~l;\alpha ) \in \=\scrG \ast i побудованими iнварiантами Казимiра на орбiтах у \~\scrG \ast . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1033 У бiльшостi випадкiв породжуючi елементи можна отримати як спецiально факторизо- ванi диференцiальнi об’єкти, геометрична природа яких все ще є маловивченою. На основi Лi-алгебраїчного пiдходу встановлено, що вiдповiдна умова комутування побудованих факто- ризованих гамiльтонових потокiв є умовою сумiсностi для системи трьох лiнiйних векторно- польових рiвнянь типу Лакса – Сато. Як приклади, що демонструють цi математичнi структури, ми отримаємо узагальнення бездисперсiйних систем Михальова – Павлова та Мартiнеса Алон- со – Шабата, для яких породжуючi елементи мають спецiальну факторизовану структуру, яка дозволяє розширити їх до багатовимiрного випадку. 3. Група дифеоморфiзмiв \bfD \bfi ff(\BbbT \bfitn ) та асоцiйованi диференцiально-геометричнi струк- тури. Розглянемо n-вимiрний тор \BbbT n i точки X \in \BbbT n як змiннi Лагранжа для конфiгурацiї \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n). Многовид \BbbT n, визначений як цiльовий простiр конфiгурацiї \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), нази- вається просторовим або конфiгурацiєю Ейлера, а його точки називаються просторовими або точками Ейлера, якi будемо позначати малими лiтерами x \in \BbbT n. Тодi будь-яка однопарамет- рична конфiгурацiя \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) є залежною вiд часу t \in \BbbR сiм’єю дифеоморфiзмiв [56 – 60], яка записується у виглядi \BbbT n \ni x = \eta (X, t) := \eta t(X) \in \BbbT n для довiльної початкової конфiгурацiї X \in \BbbT n i деяких вiдображень \eta t \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), t \in \BbbR . З метою вивчення потокiв на просторi лагранжевих конфiгурацiй \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) щодо часової змiнної t \in \BbbR , породжених групою дифеоморфiзмiв \eta t \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), t \in \BbbR , опишемо структуру дотичного T\eta t(\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) та кодотичного T \ast \eta t(\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) просторiв до групи дифеоморфiзмiв \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) у точках \eta t \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) для будь-яких t \in \BbbR . Опишемо спочатку дотичний простiр T\eta t(\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) до многовиду групи дифеоморфiзмiв \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) у точцi \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), використавши для цього конструкцiю, розроблену ранiше у роботах [56, 57, 61]. Зокрема, розглянемо лагранжеву конфiгурацiю \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) i визначимо дотичний простiр T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) для \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) як набiр векторiв \xi \eta := d\eta \tau /d\tau \| \tau =0, де \BbbR \ni \tau \mapsto \rightarrow \eta \tau \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), \eta \tau \| \tau =0 = \eta , — гладка крива на \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) i для довiльної точки X \in \BbbT n має мiсце рiвнiсть \xi \eta (X) = d\eta \tau (X)/d\tau \| \tau =0. Останнє спiввiдношення означає, що вектори \xi \eta (X) \in T\eta (X)(\BbbT n), X \in \BbbT n, задають векторне поле \xi : \BbbT n \rightarrow T (\BbbT n) на \BbbT n для будь-якої \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n). Тобто дотичний простiр T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) збiгається з множиною векторних полiв на \BbbT n : T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) \simeq \{ \xi \eta \in \Gamma (T (\BbbT n)) : \xi \eta (X) \in T\xi (X)(\BbbT n)\} . Аналогiчно, кодотичний простiр T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) утворюють усi лiнiйнi функцiонали на \BbbT n над \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) : T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) = \{ \alpha \eta \in \Lambda 1(\BbbT n)\otimes \Lambda 3(\BbbT n) : \alpha \eta (X) \in T \ast \eta (X)(\BbbT n)\otimes \| \Lambda 3(\BbbT n)\| \} щодо звичайної невиродженої згортки (\cdot \| \cdot )c на T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) \times T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)): якщо \alpha \eta \in \in T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), \xi \eta \in T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), де \alpha \eta \| X = \langle \alpha \eta (X)\| dx\rangle \otimes d3X, \xi \eta \| X = \langle \xi \eta (X)\| \partial /\partial x\rangle , то ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1034 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ (\alpha \eta \| \xi \eta )c := \int \BbbT n \langle \alpha \eta (X)\| \xi \eta (X)\rangle d3X. Ця конструкцiя дозволяє ототожнити кодотичне розшарування T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) для фiксованої лагранжевої конфiгурацiї \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) з дотичним простором T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), оскiльки дотич- ний простiр T (\BbbT n) надiлено природною внутрiшньою метрикою \langle \cdot \| \cdot \rangle у точцi \eta (X) \in \BbbT n, яка дозволяє ототожнити простори T (\BbbT n) та T \ast (\BbbT n) за допомогою вiдповiдного метрично- го iзоморфiзму \sharp : T \ast (\BbbT n) \rightarrow T (\BbbT n). Можна побудувати розширення цього iзоморфiзму на T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) для \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) таким чином: для будь-яких елементiв \alpha \eta , \beta \eta \in T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), \alpha \eta \| X = \langle \alpha \eta (X)\| dx\rangle \otimes d3X i \beta \eta \| X = \langle \beta \eta (X)\| dx\rangle \otimes d3X \in T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) задамо метрику (\alpha \eta \| \beta \eta ) := \int \BbbT n \langle \alpha \sharp \eta (X)\| \beta \sharp \eta (X)\rangle d3X, де, за означенням, \alpha \sharp \eta (X) := \sharp \langle \alpha \eta (X)\| dx\rangle , \beta \sharp \eta (X) := \sharp \langle \beta \eta (X)\| dx\rangle \in T\eta (X)(\BbbT n) для будь-якого X \in \BbbT n. За допомогою описаної вище конструкцiї можна побудувати гладкi функцiонали на кодотич- ному розшаруваннi T \ast (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), якi є iнварiантними щодо коприєднаної дiї групи дифеомор- фiзмiв \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n). Крiм того, кодотичне розшарування T \ast (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) a priori надiлене канонiчною симплектичною структурою [42, 43, 45, 56, 57, 60, 62 – 65], яка є еквiвалентною до дужки глад- ких функцiоналiв на T \ast (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), що дозволяє вивчати вiдповiднi гамiльтоновi потоки, їх прихованi симетрiї та iнтегровнiсть. Далi будемо розглядати кодотичне розшарування T \ast (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) як гладкий многовид з кано- нiчною симплектичною структурою [56, 62], яка є еквiвалентною до канонiчної дужки Пауссона на просторi гладких функцiоналiв, заданих на цьому многовидi. Оскiльки кодотичний простiр T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) для \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), змiщений за допомогою R\eta - 1 -дiї до простору T \ast Id(\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), Id \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), є дифеоморфним до спряженого простору \mathrm{D}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n) алгебри Лi \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) \simeq \Gamma (T (\BbbT n)) векторних полiв на \BbbT n (це показав С. Лi ще у 1887 р. (див., наприклад, [60, 66 – 68])), то ця канонiчна дужка Пуассона на T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) перетворюється у класичну дужку Лi – Пуассона на спряженому просторi \scrG \ast [57, 60, 62, 64, 66, 67]. Крiм того, орбiти групи дифеоморфiзмiв \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) на T \ast (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) вiдображаються у коприєднанi орбiти на спряженому просторi \scrG \ast , породженi вiдповiдними елементами алгебри Лi \scrG . Наступна лема дозволяє побудувати цю дужку Лi – Пуассона. Лема 3.1. Алгебра Лi \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) \simeq \Gamma (T (\BbbT n)) задається комутаторним спiввiдношенням [a1, a2] = \langle a1\| \nabla \rangle a2 - \langle a2\| \nabla \rangle a1 (3.1) для будь-яких векторних полiв a1, a2 \in \Gamma (T (\BbbT n)) на многовидi \BbbT n. Доведення. Комутацiйне спiввiдношення (3.1) випливає з означення групової операцiї мно- ження (\varphi 1,t \circ \varphi 2,t)(X) = \varphi 2,t(\varphi 1,t(X)) для будь-яких групових дифеоморфiзмiв \varphi 1,t, \varphi 2,t \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), t \in \BbbR , i X \in \BbbT n при умовi, що aj(X) := d\varphi j,t(X)/dt\| t=0 i \varphi j,t\| t=0 = Id \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), j = 1, 2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1035 Щоб знайти дужку Пуассона на кодотичному просторi T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) для будь-якого \eta \in \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), розглянемо кодотичний простiр T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) \simeq \mathrm{D}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n), тобто спряжений прос- тiр до дотичного простору T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) лiвоiнварiантних векторних полiв \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) для будь- якої \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), та канонiчну симплектичну структуру на T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) у виглядi \omega (2)(\mu , \eta ) := := \delta \alpha (\mu , \eta ). При цьому a priori визначено канонiчну форму Лiувiлля \alpha (\mu , \eta ) := := (\mu \| \delta \eta )c \in \Lambda 1 (\mu ,\eta )(T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n))) у точцi (\mu , \eta ) \in T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) на дотичному просторi T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) \simeq \Gamma (T (M)) правоiнварiантних векторних полiв на торi \BbbT n. Знайшовши вiдповiд- ну дужку Пуассона для гладких функцiй (\mu \| a)c, (\mu \| b)c \in C\infty (T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n));\BbbR ) на T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) \simeq \mathrm{D}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n), \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), можна сформулювати таку теорему. Теорема 3.1. Дужка Лi – Пуассона на спряженому просторi T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) \simeq \mathrm{d}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n), \eta \in M, задається виразом \{ f, g\} (\mu ) = (\mu \| [\delta g(\mu )/\delta \mu , \delta f(\mu )/\delta \mu ])c (3.2) для будь-яких гладких функцiоналiв f, g \in C\infty (\scrG \ast ;\BbbR ). Доведення. Використовуючи означення [56, 62] дужки Пуассона для гладких функцiй (\mu \| a)c, (\mu \| b)c \in C\infty (T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n));\BbbR ) на симплектичному просторi T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)), знаходимо \{ \mu (a), \mu (b)\} := \delta \alpha (Xa, Xb) = = Xa(\alpha \| Xb)c - Xb(\alpha \| Xa)c - (\alpha \| [Xa, Xb])c, (3.3) де Xa := \delta (\mu \| a)c/\delta \mu = a \in \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n), Xb := \delta (\mu \| b)c/\delta \mu = b \in \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n). Оскiльки внаслiдок правої iнварiантностi векторних полiв Xa, Xb \in T\eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) Xa(\alpha \| Xb)c = 0 i Xb(\alpha \| Xa)c = 0, дужка Пуассона (3.3) перетворюється на \{ (\mu \| a)c, (\mu \| b)c\} = - (\alpha \| [Xa, Xb])c = = (\mu \| [b, a])c = (\mu \| [\delta (\mu \| b)c/\delta \mu , \delta (\mu \| a)c/\delta \mu ])c для всiх (\mu , \eta ) \in T \ast \eta (\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)) \simeq \mathrm{D}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n), \eta \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n), i будь-яких a, b \in \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n). Дужку Пуассона (3.3) легко узагальнити до \{ f, g\} (\mu ) = (\mu \| [\delta g(\mu )/\delta \mu , \delta f(\mu )/\delta \mu ])c для будь-яких гладких функцiоналiв f, g \in C\infty (\scrG \ast ;\BbbR ), що завершує доведення. За допомогою дужки Лi – Пуассона (3.2) можна побудувати гамiльтоновi потоки на спряже- ному просторi \mathrm{d}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n) у виглядi \partial l/\partial t = - ad\ast \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}h(l)l для будь-якого елемента l \in \mathrm{d}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n), t \in \BbbR . Тут, за означенням, d d\varepsilon h(l + \varepsilon m)\| \varepsilon =0 := (m\| \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}h(l))c для деякої гладкої гамiльтонової функцiї h \in C\infty (\mathrm{D}\mathrm{i}ff\ast (\BbbT n);\BbbR ). Якщо система має, крiм функцiї Гамiльтона, достатню кiлькiсть додаткових глобальних iнварiантiв, то можна сподiватись, що процедура редукування приведе до її цiлком iнтегровної диференцiальної форми. 4. Векторнi поля на торi та їхнi Лi-алгебраїчнi властивостi. Розглянемо групу Лi \~G :=\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) петель, тобто [47] множину гладких вiдображень \{ \BbbC 1 \supset \BbbS 1 - \rightarrow G := \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\} , голоморфно продовжених, вiдповiдно, з кола \BbbS 1 \subset \BbbC 1 на множину \BbbD 1 + внутрiшнiх точок кола \BbbS 1 i на множину \BbbD 1 - його зовнiшнiх точок \lambda \in \BbbC \setminus \BbbD 1 +. Вiдповiдна алгебра Лi допускає розщеплення ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1036 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ \~\scrG := \~\scrG + \oplus \~\scrG - , де \~\scrG + := \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)+ \subset \Gamma (\BbbD 1 +\times \BbbT n;T (\BbbD 1 +\times \BbbT n)) — пiдалгебра Лi, що складається з векторних полiв на многовидi \BbbS 1 \times \BbbT n, вiдповiдно голоморфно розширених на диск \BbbD 1 +, \~\scrG - :=\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) - \subset \Gamma (\BbbD 1 - \times \BbbT n;T (\BbbD 1 - \times \BbbT n)) — пiдалгебра Лi, що мiстить векторнi поля на мно- говидi \BbbC \times \BbbT n, вiдповiдно голоморфнi на множинi \BbbD 1 - . Спряжений простiр \~\scrG \ast := \~\scrG \ast + \oplus \~\scrG \ast - , де простiр \~\scrG \ast + \subset \Gamma (\BbbD 1 +\times \BbbT n;T \ast (\BbbD 1 +\times \BbbT n)) мiстить диференцiальнi форми на многовидi \BbbS 1\times \BbbT n, го- ломорфно продовженi на множину \BbbC \setminus \BbbD 1 +, а спряжений простiр \~\scrG \ast - \subset \Gamma (\BbbD 1 - \times \BbbT n;T \ast (\BbbD 1 - \times \BbbT n)) мiстить диференцiальнi форми на многовидi \BbbS 1\times \BbbT n, голоморфно продовженi на множину \BbbD 1 +, так що простiр \~\scrG \ast + є дуальним до \~\scrG +, а простiр \~\scrG \ast - — дуальним до \~\scrG - щодо такої конволюцiї на добутку \~\scrG \ast \times \~\scrG : (\~l\| \~a) := \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\lambda \int \BbbT n \langle l, a\rangle dx (4.1) для будь-якого векторного поля \~a := \biggl\langle a(\mathrm{x}), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle \in \~\scrG i диференцiальної форми \~l := \langle l(\mathrm{x}), d\mathrm{x}\rangle \in \in \~\scrG \ast на \BbbC \times \BbbT n, залежної вiд координати \mathrm{x} := (\lambda ;x) \in \BbbC \times \BbbT n. Тут \langle \cdot , \cdot \rangle — звичайний скаляр- ний добуток на евклiдовому просторi \BbbE n+1 i \partial \partial \mathrm{x} := \biggl( \partial \partial \lambda , \partial \partial x1 , \partial \partial x2 , . . . , \partial \partial xn \biggr) \top — звичайний вектор градiєнта. Розщеплення алгебри Лi \~\scrG на пряму суму \~\scrG = \~\scrG + \oplus \~\scrG - , (4.2) приводить, вiдповiдно, до розбиття на пряму суму \~\scrG \ast = \~\scrG \ast + \oplus \~\scrG \ast - щодо конволюцiї (4.1). Якщо визначити множину гладких iнварiантних функцiоналiв Казимiра h : \~\scrG \ast \rightarrow \BbbR на спряженому просторi \~\scrG \ast за допомогою дiї коспряженої алгебри Лi \~\scrG ad\ast \nabla h(\~l) \~l = 0 (4.3) на генеруючий (так званий „seed”) елемент \~l \in \~\scrG \ast , то можна в явний спосiб сконструювати широкий клас багатовимiрних цiлком iнтегровних бездисперсiйних (так званих „небесних”) комутуючих мiж собою нелiнiйних гамiльтонових систем за допомогою класичної [26 – 28, 30] схеми Адлера – Костанта – Саймза: d\~l/dt := - ad\ast \nabla h+(\~l) \~l (4.4) для всiх h \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), \nabla h(\~l) := \nabla h+(\~l) \oplus \nabla h - (\~l) \in \~\scrG + \oplus \~\scrG - на вiдповiдному функцiонально- му многовидi. I навiть бiльше, комутуючi потоки (4.4) можна представити як сумiснi системи векторно-польових рiвнянь типу Лакса – Сато [30] на функцiональному многовидi породжую- чого елемента C2(\BbbC \times \BbbT n;\BbbC ), якi генерують повну множину перших iнтегралiв на ньому. 5. Лi-алгебраїчнi структури та iнтегровнi системи Гамiльтона. Розглянемо визначену вище алгебру Лi петель \~\scrG . Елементи цiєї алгебри можна записати як a(x;\lambda ) := \biggl\langle a(x;\lambda ), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle = n\sum j=1 aj(x;\lambda ) \partial \partial xj + a0(x;\lambda ) \partial \partial \lambda \in \~\scrG ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1037 для деяких голоморфних по \lambda \in \BbbD 1 \pm векторiв a(x;\lambda ) \in \BbbE \times \BbbE n для всiх x \in \BbbT n, де \partial \partial \mathrm{x} := := \biggl( \partial \partial \lambda , \partial \partial x1 , \partial \partial x2 , . . . , \partial \partial xn \biggr) \top — узагальнений вектор градiєнта щодо змiнної \mathrm{x} := (\lambda , x) \in \in \BbbC \times \BbbT n. Алгебра Лi \~\scrG як пряма сума пiдалгебр (4.2) дозволяє ввести класичну \scrR -структуру [\~a,\~b]\scrR := [\scrR \~a,\~b] + [\~a,\scrR \~b] для будь-яких \~a,\~b \in \~\scrG , де \scrR := (P+ - P - )/2 i P\pm \~\scrG := \~\scrG \pm \subset \~\scrG . Простiр \~\scrG \ast \simeq \~\Lambda 1(\BbbC \times \BbbT n), спряжений до алгебри \~\scrG вiдповiдно голоморфних векторних полiв на \BbbC \times \BbbT n, є функцiонально ототожненим iз \~\scrG щодо метрики (4.1). Тепер для довiльних f, g \in \mathrm{D}( \~\scrG \ast ) можна визначити двi дужки Лi – Пуассона \{ f, g\} := (\~l, [\nabla f(\~l),\nabla g(\~l)]) i \{ f, g\} \scrR := (\~l, [\nabla f(\~l),\nabla g(\~l)]\scrR ), (5.1) де для будь-якого „seed”-елемента \=l \in \~\scrG \ast градiєнтний вектор \nabla f(\~l) i \nabla g(\~l) \in \~\scrG обчислюється щодо метрики (4.1). Припустимо, що гладка функцiя \gamma \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) є iнварiантом Казимiра, тобто ad\ast \nabla \gamma (\~l) \~l = 0 (5.2) для вибраного „seed”-елемента \~l \in \~\scrG \ast . Коприєднане вiдображення ad\ast \nabla f(\~l) : \~\scrG \ast \rightarrow \~\scrG \ast для будь- яких f \in \mathrm{D}( \~\scrG \ast ) можна записати як ad\ast \nabla f(\~l) (\~l) = \biggl\langle \partial \partial \mathrm{x} , \circ \nabla f(l) \biggr\rangle \=l + n\sum j=1 \biggl\langle \biggl\langle l, \partial \partial \mathrm{x} \nabla f(l) \biggr\rangle , d\mathrm{x} \biggr\rangle , де, за визначенням, \nabla f(\~l) := \biggl\langle \nabla f(l), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle . Тодi для функцiї Казимiра \gamma \in \mathrm{D}( \~\scrG \ast ) умова (5.2) стає еквiвалентною рiвнянню l \biggl\langle \partial \partial \mathrm{x} ,\nabla \gamma (l) \biggr\rangle + \biggl\langle \nabla \gamma (l), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle l + \biggl\langle l, \biggl( \partial \partial \mathrm{x} \nabla \gamma (l) \biggr) \biggr\rangle = 0, (5.3) яке потрiбно розв’язати у випадку застосувань аналiтично. У випадку, коли елемент \~l \in \~\scrG \ast є сингулярним при \| \lambda \| \rightarrow \infty , можна розглянути загальний асимптотичний розклад \nabla \gamma := \nabla \gamma (p) \sim \lambda p \sum j\in \BbbZ + \nabla \gamma (p)j \lambda - j (5.4) для вiдповiдно вибраного p \in \BbbZ +, пiдставити (5.4) у рiвняння (5.3) i розв’язати його рекурентно. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1038 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Нехай h(y), h(t) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) буде функцiєю Казимiра, для якої генератори гамiльтонового век- торного поля \nabla h(y)+ (l) := (\nabla \gamma (py)(l))\| +, \nabla h(t)+ (l) := ( \nabla h(pt)(l))\| + (5.5) вiдповiдно визначенi для певних цiлих величин py, pt \in \BbbZ +. Цi два iнварiанти породжують такi комутуючi гамiльтоновi потоки: \partial l/\partial t = - \biggl\langle \partial \partial \mathrm{x} , \circ \nabla h(t)+ (l) \biggr\rangle l - \biggl\langle l, \biggl( \partial \partial \mathrm{x} \nabla h(t)+ (l) \biggr) \biggr\rangle (5.6) i \partial l/\partial y = - \biggl\langle \partial \partial \mathrm{x} , \circ \nabla h(y)+ (l) \biggr\rangle l - \biggl\langle l, \biggl( \partial \partial \mathrm{x} \nabla h(y)+ (l) \biggr) \biggr\rangle (5.7) щодо дужки Лi – Пуассона (5.1), де y, t \in \BbbR — вiдповiднi еволюцiйнi параметри. Оскiльки iнва- рiанти h(y), h(t) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) комутують щодо дужки (5.1), то потоки (5.6), (5.7) також комутують, завдяки чому вiдповiднi генератори гамiльтонових векторних полiв \nabla h(t)+ (\~l) := \biggl\langle \nabla h(t)+ (l), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle , \nabla h(y)+ (\~l) := \biggl\langle \nabla h(y)+ (l), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle (5.8) задовольняють умову сумiсностi Лакса \partial \partial y \nabla h(t)+ (\~l) - \partial \partial t \nabla h(y)+ (\~l) = [\nabla h(t)+ (\~l),\nabla h(y)+ (\~l)] (5.9) для всiх y, t \in \BbbR . З iншого боку, умова (5.9) еквiвалентна умовi сумiсностi двох лiнiйних рiвнянь \biggl( \partial \partial t +\nabla h(t)+ (\~l) \biggr) \psi = 0, \biggl( \partial \partial y +\nabla h(y)+ (\~l) \biggr) \psi = 0 (5.10) для функцiї \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT n;\BbbC ) для всiх y, t \in \BbbR i будь-яких \lambda \in \BbbC . Наведенi вище мiркування можна сформулювати як основне технiчне твердження. Твердження 5.1. Нехай „seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast i h(y), h(t) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) є функцiями Казимi- ра щодо метрики (\cdot \| \cdot ) на петельнiй алгебрi Лi \~\scrG i природної коприєднаної дiї на петельнiй коалгебрi \~\scrG \ast . Тодi динамiчнi системи \partial \~l/\partial y = - ad\ast \nabla h (y) + (\~l) \~l, \partial \~l/\partial t = - ad\ast \nabla h (t) + (\~l) \~l є комутуючими векторними гамiльтоновими полями для всiх \lambda \in \BbbC та y, t \in \BbbR . I навiть бiльше, умова сумiсностi цих потокiв еквiвалентна зображенням (5.10), де \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT n;\BbbC ) i векторнi поля \nabla h(t)+ (\~l) та \nabla h(y)+ (\~l) \in \~\scrG задано виразами (5.8) i (5.5). Зауваження 5.1. Як було вже згадано, розклад (5.4) буде ефективним, якщо вибраний по- роджуючий елемент \~l \in \~\scrG \ast сингулярний при \| \lambda \| \rightarrow \infty . У випадку, коли вiн сингулярний при \| \lambda \| \rightarrow 0, вираз (5.4) набере вигляду \nabla \gamma (p)(l) \sim \lambda - p \sum j\in \BbbZ + \nabla \gamma (p)j (l)\lambda j ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1039 для вiдповiдно вибраних цiлих величин p \in \BbbZ + i редукованих градiєнтiв функцiї Казимiра, якi заданi генераторами гамiльтонових векторних полiв \nabla h(y) - (l) := \lambda (\lambda - py - 1\nabla \gamma (py)(l)) - , \nabla h(t) - (l) := \lambda (\lambda - pt - 1\nabla \gamma (pt)(l)) - для вiдповiдно вибраних додатних цiлих py, pt \in \BbbZ +, а вiдповiднi потоки Гамiльтона запису- ються як \partial \~l/\partial t = ad\ast \nabla h (t) - (\~l) \~l, \partial \~l/\partial y = ad\ast \nabla h (y) - (\~l) \~l. 6. Iнтегровнi багатовимiрнi „небеснi” системи типу Лакса – Сато та асоцiйованi рiв- няння конформних структур. 6.1. Рiвняння для метрик Ейнштейна – Вейля. Визначимо \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 1)\ast i вiзьмемо „seed”-елемент \~l = (ux\lambda - 2uxvx - uy)dx+ \bigl( \lambda 2 - vx\lambda + vy + v2x \bigr) d\lambda , який генерує щодо метрики (4.1) градiєнт iнварiантiв Казимiра h(pt), h(py) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) у виглядi \nabla h(pt)(l) \sim \lambda 2(0, 1)\top + ( - ux, vx)\top \lambda + (uy, u - vy) \top +O(\lambda - 1), \nabla h(py)(l) \sim \lambda (0, 1)\top + ( - ux, vx)\top + (uy, - vy)\top \lambda - 1 +O(\lambda - 2) при \| \lambda \| \rightarrow \infty для pt = 2, py = 1. Для градiєнтiв функцiй Казимiра h(t), h(y) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), визначених рiвнянням (5.5), можна отримати вiдповiднi генератори гамiльтонових векторних полiв (5.8) i (5.5) на коалгебрi \~\scrG \ast у виглядi A\nabla h (t) + = \biggl\langle \nabla h(t)+ (l), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle = (\lambda 2 + \lambda vx + u - vy) \partial \partial x + ( - \lambda ux + uy) \partial \partial \lambda , A\nabla h (y) + = \biggl\langle \nabla h(y)+ (l), \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle = (\lambda + vx) \partial \partial x - ux \partial \partial \lambda , (6.1) якi задовольняють умову сумiсностi (5.9), еквiвалентну iнтегровним рiвнянням Ейнштейна – Вейля [36] uxt + uyy + (uux)x + vxuxy - vyuxx = 0, vxt + vyy + uvxx + vxvxy - vyvxx = 0. (6.2) Вiдомо [33], що iнварiантна редукцiя (6.2) при v = 0 приводить до вiдомого бездисперсiй- ного рiвняння Кадомцева – Петвiашвiлi (ut + uux)x + uyy = 0, (6.3) для якого редуковане зображення (5.10) випливає з (6.1) i подане у виглядi векторних полiв A\nabla h (t) + = (\lambda 2 + u) \partial \partial x + ( - \lambda ux + uy) \partial \partial \lambda , A\nabla h (y) + = \lambda \partial \partial x - ux \partial \partial \lambda , (6.4) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1040 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ якi задовольняють умову сумiсностi (5.9), еквiвалентну рiвнянню (6.3). Як частковий результат з (5.10) i (6.4) знаходимо, що умова сумiсностi векторних полiв \partial \psi \partial t + (\lambda 2 + u) \partial \psi \partial x + ( - \lambda ux + uy) \partial \psi \partial \lambda = 0 \partial \psi \partial y + \lambda \partial \psi \partial x - ux \partial \psi \partial \lambda = 0 задовольняється для \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT n;\BbbC ) i будь-яких y, t \in \BbbR , (x, \lambda ) \in \BbbT 1 \BbbC . 6.2. Модифiкованi рiвняння метрик Ейнштейна – Вейля. Цi рiвняння виведенi в [20] i мають вигляд uxt = uyy + uxuy + u2xwx + uuxy + uxywx + uxxa, wxt = uwxy + uywx + wxwxy + awxx - ay, де ax := uxwx - wxy. У цьому випадку вiзьмемо \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbC \times \BbbT n) i виберемо „seed”-елемент \~l \in \~\scrG у виглядi \~l = [\lambda 2ux + (2uxwx + uy + 3uux)\lambda + 2ux\partial - 1 x uxwx + 2ux\partial - 1 x uy + + 3uxwx 2 + 2uywx + 6uuxwx + 2uuy + 3u2ux - 2aux]dx + + [\lambda 2 + (wx + 3u)\lambda + 2\partial - 1 x uxwx + 2\partial - 1 x uy + wx 2 + 3uwx + 3u2 - a]d\lambda . Вiн генерує два iнварiанти Казимiра щодо метрики (4.1) \gamma (j) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), j = 1, 2, градiєнти яких \nabla \gamma (2)(l) \sim \lambda 2[(ux, - 1)\top + (uux + uy, - u+ wx) \top \lambda - 1 + + (0, uwx - a)\top \lambda - 2] +O(\lambda - 1), \nabla \gamma (1)(l) \sim \lambda [(ux, - 1)\top + (0, wx) \top \lambda - 1] +O(\lambda - 1) при \| \lambda \| \rightarrow \infty для py = 1, pt = 2. Вiдповiднi градiєнти функцiй Казимiра h(t), h(y) \in \mathrm{I}(\scrG \ast ), визначенi (5.5), генерують гамiльтоновi векторнi поля \nabla h(y)+ := \nabla \gamma (1)(l)\| + = (ux\lambda , - \lambda + wx) \top , \nabla h(t)+ = \nabla \gamma (2)(l)\| + = (ux\lambda 2 + (uux + uy)\lambda , - \lambda 2 + (wx - u)\lambda + uwx - a)\top . (6.5) З (6.5) отримуємо узгоджену систему лiнiйних рiвнянь Лакса \partial \psi \partial y + ( - \lambda + wx) \partial \psi \partial x + ux\lambda \partial \psi \partial \lambda = 0, \partial \psi \partial t + ( - \lambda 2 + ( wx - u)\lambda + uwx - a) \partial \psi \partial x + (ux\lambda 2 + (uux + uy)\lambda ) \partial \psi \partial \lambda = 0, яка задовольняється для \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT n;\BbbC ) i будь-яких y, t \in \BbbR , (\lambda , x) \in \BbbC \times \BbbT n. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1041 6.3. Система „небесних” рiвнянь Дунайського. Цi рiвняння, запропонованi у [35], узагаль- нюють вiдповiдне антисамодуальне рiвняння вакууму Ейнштейна, яке має зв’язок з метрикою Плєбанського i вiдомим другим „небесним” рiвнянням Плєбанського [8, 32]. Щоб вивчити iнтегровнiсть рiвнянь Дунайського ux1t + uyx2 + ux1x1ux2x2 - u2x1x2 - v = 0, vx1t + vx2y + ux1x1vx2x2 - 2ux1x2vx1x2 = 0, (6.6) де (u, v) \in C\infty (\BbbR 2 \times \BbbT 2;\BbbR 2), (y, t;x1, x2) \in \BbbR 2 \times \BbbT 2, визначимо \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbC \times \BbbT 2)\ast i вiзьмемо в якостi „seed”-елемента \=l \in \~\scrG \ast \~l = (\lambda + vx1 - ux1x1 + ux1x2)dx1 + (\lambda + vx2 + ux2x2 - ux1x2)dx2 + (\lambda - x1 - x2)d\lambda . Щодо метрики (4.1) градiєнти двох функцiонально незалежних iнварiантiв Казимiра h(py), h(py) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) при \| \lambda \| \rightarrow \infty можна знайти в асимптотичнiй формi \nabla h(py) (l) \sim \lambda (1, 0, 0)\top + ( - ux1x2 , ux1x1 , - vx1) \top +O(\lambda - 1), \nabla h(pt) (l) \sim \lambda (0, - 1, 0)\top + (ux2x2 , - ux1x2 , vx2) \top +O(\lambda - 1) (6.7) для pt = 1 = py. Обчислюючи генератори гамiльтонових векторних полiв \nabla h(y)+ := \nabla h(py) (l)\| + = (\lambda - ux1x2 , ux1x1 , - vx1) \top , \nabla h(t)+ := \nabla h(pt) (l)\| + = (ux2x2 , - \lambda - ux1x2 , vx2) \top , якi випливають з градiєнтiв функцiй Казимiра (6.7), отримуємо векторнi поля A\nabla h (t) + = \biggl\langle \nabla h(t)+ , \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle = ux2x2 \partial \partial x1 - (\lambda + ux1x2) \partial \partial x2 + vx2 \partial \partial \lambda , A\nabla h (y) + = \biggl\langle \nabla h(y)+ , \partial \partial \mathrm{x} \biggr\rangle = (\lambda - ux1x2) \partial \partial x1 + ux1x1 \partial \partial x2 - vx1 \partial \partial \lambda . Векторнi поля (6.8) задовольняють умову сумiсностi Лакса (5.9), яка еквiвалентна узгодженим спiввiдношенням для векторних полiв \partial \psi \partial t + ux2x2 \partial \psi \partial x1 - (\lambda + ux1x2) \partial \psi \partial x2 + vx2 \partial \psi \partial \lambda = 0, \partial \psi \partial y + (\lambda - ux1x2) \partial \psi \partial x1 + ux1x1 \partial \psi \partial x2 - vx1 \partial \psi \partial \lambda = 0, (6.8) що задовольняються для \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT 2;\BbbC ), будь-яких (y, t) \in \BbbR 2 i всiх (\lambda ;x1, x2) \in \in \BbbC \times \BbbT 2. Як зазначено в [34], рiвняння Дунайського (6.6) узагальнюють обидва бездисперсiйнi рiвняння Кадомцева – Петвiашвiлi i друге рiвняння Плєбанського також є iнтегровною за Лаксом системою Гамiльтона. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1042 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ 6.4. Перше генеруюче рiвняння конформної структури: \bfitu \bfity \bfitt + \bfitu \bfitx \bfitt \bfitu \bfity - \bfitu \bfitt \bfitu \bfitx \bfity = \bfzero . „Seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 1 \BbbC ) \ast у виглядi \~l = [u - 2 t (1 - \lambda )\lambda - 1 + u - 2 y \lambda (\lambda - 1) - 1]dx, де u \in C2(\BbbR 2 \times \BbbT 1;\BbbR ), x \in \BbbT 1, \lambda \in \BbbC \setminus \{ 0, 1\} i d позначає повний диференцiал, генерує два незалежнi функцiонали Казимiра \gamma (1) i \gamma (2) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), градiєнти яких мають такi асимптотичнi розклади: \nabla \gamma (1)(l) \sim uy +O(\mu 2) при \| \mu \| \rightarrow 0, \mu := \lambda - 1 i \nabla \gamma (2)(l) \sim ut +O(\lambda 2) при \| \lambda \| \rightarrow 0. Умова комутативностi [X(y), X(t)] = 0 (6.9) векторних полiв X(y) := \partial /\partial y +\nabla h(y)(\~l), X(t) := \partial /\partial t+\nabla h(t)(\~l), (6.10) де \nabla h(y)(\~l) := - (\mu - 1\nabla \gamma (1)(\~l))\| - = - uy \lambda - 1 \partial \partial x , \nabla h(t)(\~l) := - (\lambda - 1\nabla \gamma (2)(\~l))\| - = - ut \lambda \partial \partial x , приводить до „небесних” рiвнянь uyt + uxtuy - uxyut = 0. Їхнє зображення Лакса – Сато є умовою сумiсностi для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку \partial \psi \partial y - uy \lambda - 1 \partial \psi \partial x = 0, \partial \psi \partial t - ut \lambda \partial \psi \partial x = 0, де \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbT 1 \BbbC ;\BbbC ). 6.5. Друге генеруюче рiвняння конформної структури: \bfitu \bfitx \bfitt + \bfitu \bfitx \bfitu \bfity \bfity - \bfitu \bfity \bfitu \bfitx \bfity = \bfzero . Для „seed”-елемента \~l \in \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbC \times \BbbT 1)\ast у формi \~l = [u2x + 2u2x(uy + \alpha )\lambda - 1 + u2x(3u 2 y + 4\alpha uy + \beta )\lambda - 2]dx, де u \in C2(\BbbT 1 \times \BbbR 2;\BbbR ), x \in \BbbT 1, \lambda \in \BbbC \setminus \{ 0\} i \alpha , \beta \in \BbbR , iснує один незалежний функцiонал Казимiра \gamma (1) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) з таким асимптотичним розкладом при \| \lambda \| \rightarrow 0 його функцiонального градiєнта: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1043 \nabla \gamma (1)(l) \sim c0u - 1 x + ( - c0uy + c1)u - 1 x \lambda + ( - c1uy + c2)u - 1 x \lambda 2 +O(\lambda 3), де cr \in \BbbR , r = 1, 2. Якщо припустити, що c0 = 1, c1 = 0 i c2 = 0, отримаємо два функцiонально незалежнi градiєнтнi елементи \nabla h(y)(\~l) := - (\lambda - 1\nabla \gamma (1)(\~l))\| - = - 1 \lambda ux \partial \partial x , \nabla h(t)(\~l) := (\lambda - 2\nabla \gamma (1)(\~l))\| - = \biggl( 1 \lambda 2ux - uy \lambda ux \biggr) \partial \partial x . Вiдповiдна умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до „небесних” рiвнянь uxt + uxuyy - uyuxy = 0, лiнеаризоване зображення Лакса – Сато яких задане системою рiвнянь першого порядку \partial \psi \partial y - 1 \lambda ux \partial \psi \partial x = 0, \partial \psi \partial t + \biggl( 1 \lambda 2ux - uy \lambda ux \biggr) \partial \psi \partial x = 0 на лiнiйнi векторнi поля з функцiєю \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT 1;\BbbC ). 6.6. Iнверсне перше редуковане „небесне” рiвняння Шабата. „Seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast = =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 1 \BbbC ) \ast у виглядi \~l = (a0u - 2 y u2x(\lambda + 1) - 1 + a1u 2 x + a1u 2 x\lambda )dx, де u \in C2(\BbbT 1\times \BbbR 2;\BbbR ), x \in \BbbT 1, \lambda \in \BbbC \setminus \{ - 1\} , i a0, a1 \in \BbbR , генерує два незалежнi функцiонали Казимiра \gamma (1) i \gamma (2) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), градiєнти яких мають такий асимптотичний розклад: \nabla \gamma (1)(l) \sim uyu - 1 x - uyu - 1 x \mu +O(\mu 2) при \| \mu \| \rightarrow 0, \mu := \lambda + 1 i \nabla \gamma (2)(l) \sim u - 1 x +O(\lambda - 2) при \| \lambda \| \rightarrow \infty . Якщо покласти \nabla h(y)(\~l) := (\mu - 1\nabla \gamma (1)(\~l))\| - = - \lambda \lambda + 1 uy ux \partial \partial x , \nabla h(t)(\~l) := (\lambda \nabla \gamma (2)(\~l))\| + = \lambda ux \partial \partial x , то умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до „небесного” рiвняння uxy + uyutx - utyux = 0, яке можна отримати в результатi одночасної замiни незалежних змiнних \BbbR \ni x \rightarrow t \in \BbbR , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1044 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ \BbbR \ni y \rightarrow \in \BbbR i \BbbR \ni t \rightarrow y \in \BbbR у першому редукованому „небесному” рiвняннi Шабата. Вiдповiдне зображення Лакса – Сато задано умовою сумiсностi для рiвнянь першого порядку на векторнi поля \partial \psi \partial y - \lambda \lambda + 1 uy ux \partial \psi \partial x = 0, \partial \psi \partial t + \lambda ux \partial \psi \partial x = 0, де \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT n;\BbbC ). 6.7. Перше рiвняння Плєбанського та його узагальнення. „Seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast = =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbC \times \BbbT 2)\ast у виглядi \~l = \lambda - 1(uyx1dx1 + uyx2dx2) + (utx1dx1 + utx2dx2) = \lambda - 1duy + dut, (6.11) де u \in C2(\BbbT 2 \times \BbbR 2;\BbbR ), (x1, x2) \in \BbbT 2, \lambda \in \BbbC \setminus \{ 0\} i d позначає повний диференцiал, гене- рує два незалежнi функцiонали Казимiра \gamma (1) i \gamma (2) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), градiєнти яких мають такий асимптотичний розклад: \nabla \gamma (1)(l) \sim ( - uyx2 , uyx1 , ) \top +O(\lambda ), \nabla \gamma (2)(l) \sim ( - utx2 , utx1) \top +O(\lambda ) (6.12) при \| \lambda \| \rightarrow 0. Умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10), де \nabla h(y)(\~l) := (\lambda - 1\nabla \gamma (1)(\~l)) \bigm\| \bigm\| - = - uyx2 \lambda \partial \partial x1 + uyx1 \lambda \partial \partial x2 , \nabla h(t)(\~l) := (\lambda - 1\nabla \gamma (2)(\~l)) \bigm\| \bigm\| - = - utx2 \lambda \partial \partial x1 + utx1 \lambda \partial \partial x2 , приводить до першого рiвняння Плєбанського [5] uyx1utx2 - uyx2utx1 = 1. Його зображення Лакса – Сато приводить до умови сумiсностi диференцiальних рiвнянь з час- тинними похiдними першого порядку \partial \psi \partial y - uyx2 \lambda \partial \psi \partial x1 + uyx1 \lambda \partial \psi \partial x2 = 0, \partial \psi \partial t - utx2 \lambda \partial \psi \partial x1 + utx1 \lambda \partial \psi \partial x2 = 0, де \psi \in C\infty (\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT 2;\BbbC ). Взявши до уваги той факт, що визначальна умова для iнварiантiв Казимiра симетрична й еквiвалентна системi неоднорiдних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку на ковекторну функцiю l = (l1, l2) \top , вiдповiдний „seed”-елемент можна також вибрати в iншому виглядi. I навiть бiльше, форма (6.11) iнварiантна щодо просторової розмiрностi тора \BbbT n, що дає можливiсть описати вiдповiднi узагальненi конформнi метричнi рiвняння довiльної розмiрностi. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1045 Зокрема, легко зауважити, що асимптотичнi розклади (6.12) мають також мiсце для таких iнварiантних „seed”-елементiв: \~l = \lambda - 1duy + dut. Описану вище Лi-алгебраїчну схему можна узагальнити на будь-яку розмiрнiсть n = 2k, де k \in \BbbN , i n > 2. В цьому випадку маємо 2k незалежних функцiоналiв Казимiра \gamma (j) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), де \~\scrG \ast = \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 2k)\ast , j = 1, 2k, з такими асимптотичними розкладами їхнiх градiєнтiв: \nabla \gamma (1)(l) \sim \Bigl( - uyx2 , uyx1 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 \Bigr) \top +O(\lambda ), \nabla \gamma (2)(l) \sim \Bigl( - utx2 , utx1 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 \Bigr) \top +O(\lambda ), \nabla \gamma (3)(l) \sim \Bigl( 0, 0, - uyx4 , uyx3 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 \Bigr) \top +O(\lambda ), \nabla \gamma (4)(l) \sim \Bigl( 0, 0, - utx4 , utx3 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 \Bigr) \top +O(\lambda ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \nabla \gamma (2k - 1)(l) \sim \Bigl( 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 , - uyx2k , uyx2k - 1 \Bigr) \top +O(\lambda ), \nabla \gamma (2k)(l) \sim \Bigl( 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 , - utx2k , utx2k - 1 \Bigr) \top +O(\lambda ). Якщо прийняти, що \nabla h(y)(\~l) := \Bigl( \lambda - 1 \Bigl( \nabla \gamma (1)(\~l) + . . .+\nabla \gamma (2k - 1)(\~l) \Bigr) \Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| - = = - k\sum m=1 \biggl( uyx2m \lambda \partial \partial x2m - 1 - uyx2m - 1 \lambda \partial \partial x2m \biggr) , \nabla h(t)(\~l) := \Bigl( \lambda - 1 \Bigl( \nabla \gamma (2)(\~l) + . . .+\nabla \gamma (2k)(\~l) \Bigr) \Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| - = = - k\sum m=1 \biggl( utx2m \lambda \partial \partial x2m - 1 - utx2m - 1 \lambda \partial \partial x2m \biggr) , то умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до таких багатовимiрних ана- логiв першого „небесного” рiвняння Плєбанського: k\sum m=1 (uyx2m - 1utx2m - uyx2mutx2m - 1) = 1. 6.8. Модифiковане „небесне” рiвняння Плєбанського та його узагальнення. Для „seed”- елемента \~l \in \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 2)\ast у виглядi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1046 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ \~l = (\lambda - 1ux1y + ux1x1 - ux1x2 + \lambda )dx1 + + (\lambda - 1ux2y + ux1x2 - ux2x2 + \lambda )dx2 = = d(\lambda - 1uy + ux1 - ux2 + \lambda x1 + \lambda x2), (6.13) де d\lambda = 0, u \in C2(\BbbT 2 \times \BbbR 2;\BbbR ), (x1, x2) \in \BbbT 2, \lambda \in \BbbC \setminus \{ 0\} , iснують два незалежнi функцiонали Казимiра \gamma (1) i \gamma (2) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) з такими асимптотичними розкладами градiєнтiв: \nabla \gamma (1)(l) \sim (uyx2 , - uyx1) \top +O(\lambda ) при \| \lambda \| \rightarrow 0 i \nabla \gamma (2)(l) \sim (0, - 1)\top + ( - ux2x2 , ux1x2) \top \lambda - 1 +O(\lambda - 2) при \| \lambda \| \rightarrow \infty . У випадку, коли \nabla h(y)(\~l) := (\lambda - 1\nabla \gamma (1)(\~l))\| - = uyx2 \lambda \partial \partial x1 - uyx1 \lambda \partial \partial x2 , \nabla h(t)(\~l) := (\lambda \nabla \gamma (2)(\~l))\| + = - ux2x2 \partial \partial x1 + (ux1x2 - \lambda ) \partial \partial x2 , умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до модифiкованого „небесного” рiвняння Плєбанського [5] uyt - uyx1ux2x2 + uyx2ux1x2 = 0 (6.14) iз зображенням Лакса – Сато, заданим диференцiальними рiвняннями з частинними похiдними першого порядку \partial \psi \partial y - uyx2 \lambda \partial \psi \partial x1 + uyx1 \lambda \partial \psi \partial x2 = 0, \partial \psi \partial t - ux2x2 \partial \psi \partial x1 + (ux1x2 - \lambda ) \partial \psi \partial x2 = 0 для функцiй \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbT 2 \BbbC ;\BbbC ). Диференцiально-геометрична форма „seed”-елемента (6.13) є також iнварiантом щодо роз- мiрностi по вiдношенню до додаткових просторових змiнних на торi \BbbT n, n > 2. Це приводить до природної проблеми знаходження вiдповiдних багатовимiрних узагальнень модифiкованого „небесного” рiвняння Плєбанського (6.14). Якщо „seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 2k)\ast вибрано у виглядi (6.13), де u \in C2(\BbbT 2k \times \BbbR 2;\BbbR ), то маємо такий асимптотичний розклад для градiєнтiв 2k \in \BbbN незалежних функцiоналiв Кази- мiра \gamma (j) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), де \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 2k)\ast , j = 1, 2k: \nabla \gamma (1)(l) \sim \Bigl( - uyx2 , uyx1 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 \Bigr) \top +O(\lambda ), \nabla \gamma (3)(l) \sim \Bigl( 0, 0, - uyx4 , uyx3 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 \Bigr) \top +O(\lambda ), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \nabla \gamma (2k - 1)(l) \sim \Bigl( 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 , - uyx2k , uyx2k - 1 \Bigr) \top +O(\lambda ) при \| \lambda \| \rightarrow 0 i \nabla \gamma (2)(l) \sim \Bigl( 0, - 1, 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 \Bigr) \top + \Bigl( - ux2x2 , ux1x2 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 \Bigr) \top \lambda - 1 +O(\lambda - 2), \nabla \gamma (4)(l) \sim \Bigl( 0, 0, - ux4x2 , ux3x2 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 \Bigr) \top \lambda - 1 +O(\lambda - 2), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \nabla \gamma (2k)(l) \sim \Bigl( 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 , - ux2kx2 , ux2k - 1x2 \Bigr) \top \lambda - 1 +O(\lambda - 2) при \| \lambda \| \rightarrow \infty . У випадку, коли \nabla h(y)(\~l) := - (\lambda - 1 \Bigl( \nabla \gamma (1)(\~l) + . . .+\nabla \gamma (2k - 1)(\~l)) \Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| - = = k\sum m=1 \biggl( uyx2m \lambda \partial \partial x2m - 1 - uyx2m - 1 \lambda \partial \partial x2m \biggr) , \nabla h(t)(\~l) := \Bigl( \lambda \Bigl( \nabla \gamma (2)(\~l) + . . .+\nabla \gamma (2k)(\~l) \Bigr) \Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| + = = - ux2x2 \partial \partial x1 + (ux1x2 - \lambda ) \partial \partial x2 - k\sum m=2 \biggl( ux2mx2 \partial \partial x2m - 1 - ux2m - 1x2 \partial \partial x2m \biggr) , умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до таких багатовимiрних аналогiв модифiкованого „небесного” рiвняння Плєбанського: uyt - k\sum m=1 (uyx2mux2x2m - 1 - uyx2m - 1ux2x2m) = 0. 6.9. „Небесне” рiвняння Хусейна та його узагальнення. „Seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 2)\ast у виглядi \~l = d(uy + iut) \lambda - i + d(uy - iut) \lambda + i = 2(\lambda duy - dut) \lambda 2 + 1 , (6.15) де i2 = - 1, d\lambda = 0, u \in C2(\BbbT 2 \times \BbbR 2;\BbbR ), (x1, x2) \in \BbbT 2, \lambda \in \BbbC \setminus \{ - i; i\} , генерує два незалежнi функцiонали Казимiра \gamma (1) i \gamma (2) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) з такими асимптотичними розкладами градiєнтiв: \nabla \gamma (1)(l) \sim 1 2 ( - uyx2 - iutx2 , uyx1 + iutx1) \top +O(\mu ), \mu := \lambda - i, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1048 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ при \| \mu \| \rightarrow 0 i \nabla \gamma (2)(l) \sim 1 2 ( - uyx2 + iutx2 , uyx1 - iutx1) \top +O(\xi ), \xi := \lambda + i, при \| \xi \| \rightarrow 0. У випадку, коли \nabla h(y)(\~l) := (\mu - 1\nabla \gamma (1)(\~l) + \xi - 1\nabla \gamma (2)(\~l))\| - = = 1 2\mu \biggl( ( - uyx2 - iutx2) \partial \partial x1 + (uyx1 + iutx1) \partial \partial x2 \biggr) + + 1 2\xi \biggl( ( - uyx2 + iutx2) \partial \partial x1 + (uyx1 - iutx1) \partial \partial x2 \biggr) = = utx2 - \lambda uyx2 \lambda 2 + 1 \partial \partial x1 + \lambda uyx1 - utx1 \lambda 2 + 1 \partial \partial x2 , \nabla h(t)(\~l) := ( - \mu - 1i\nabla \gamma (1)(\~l) + \xi - 1i\nabla \gamma (2)(\~l))\| - = = 1 2\mu \biggl( ( - utx2 + iuyx2) \partial \partial x1 + (utx1 - iuyx1) \partial \partial x2 \biggr) + + 1 2\xi \biggl( - (utx2 + iuyx2) \partial \partial x1 + (utx1 + iuyx1) \partial \partial x2 \biggr) = = - uyx2 + \lambda utx2 \lambda 2 + 1 \partial \partial x1 + uyx1 + \lambda utx1 \lambda 2 + 1 \partial \partial x2 , умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до „небесного” рiвняння Хусей- на [5] uyy + utt + uyx1utx2 - uyx2utx1 = 0 (6.16) iз зображенням Лакса – Сато, заданим диференцiальними рiвняннями з частинними похiдними першого порядку \partial \psi \partial y + utx2 - \lambda uyx2 \lambda 2 + 1 \partial \psi \partial x1 + \lambda uyx1 - utx1 \lambda 2 + 1 \partial \psi \partial x2 = 0, \partial \psi \partial t - uyx2 + \lambda utx2 \lambda 2 + 1 \partial \psi \partial x1 + uyx1 + \lambda utx1 \lambda 2 + 1 \partial \psi \partial x2 = 0, де \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbT 2 \BbbC ;\BbbC ). Диференцiально-геометрична форма „seed”-елемента (6.15) також iнварiантна щодо роз- мiру додаткових просторових змiнних тора \BbbT n, n > 2, що вiдкриває проблему знаходження вiдповiдних багатовимiрних узагальнень „небесного” рiвняння Хусейна (6.16). Якщо „seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 2k)\ast вибрано у виглядi (6.15), де u \in C2(\BbbT 2k \times \BbbR 2;\BbbR ), то отримуємо такi асимптотичнi розклади для градiєнтiв 2k \in \BbbN незалежних функцiоналiв Казимiра \gamma (j) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), де \~\scrG \ast =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 2k)\ast , j = 1, 2k: \nabla \gamma (1)(l) \sim 1 2 \Bigl( - uyx2 - iutx2 , uyx1 + iutx1 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 \Bigr) \top +O(\mu ), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1049 \nabla \gamma (3)(l) \sim 1 2 \Bigl( 0, 0, - uyx4 - iutx4 , uyx3 + iutx3 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 \Bigr) \top +O(\mu ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \nabla \gamma (2k - 1)(l) \sim 1 2 \Bigl( 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 , - uyx2k - iutx2k , uyx2k - 1 + iutx2k - 1 \Bigr) \top +O(\mu ) при \| \mu \| \rightarrow 0 i \nabla \gamma (2)(l) \sim 1 2 \Bigl( - uyx2 + iutx2 , uyx1 - iutx1 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 \Bigr) \top +O(\xi ), \nabla \gamma (4)(l) \sim 1 2 \Bigl( 0, 0, - uyx4 + iutx4 , uyx3 - iutx3 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 \Bigr) \top +O(\xi ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \nabla \gamma (2k)(l) \sim 1 2 \Bigl( 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 , - uyx2k + iutx2k , uyx2k - 1 - iutx2k - 1 \Bigr) \top +O(\xi ) при \| \xi \| \rightarrow 0. У випадку, коли \nabla h(y)(\~l) := k\sum m=1 (\mu - 1\nabla \gamma (2m - 1)(\~l) + \xi - 1\nabla \gamma (2m)(\~l)) \bigm\| \bigm\| - = = k\sum m=1 \biggl( utx2m - \lambda uyx2m \lambda 2 + 1 \partial \partial x2m - 1 + \lambda uyx2m - 1 - utx2m - 1 \lambda 2 + 1 \partial \partial x2m \biggr) , \nabla h(t)(\~l) := k\sum m=1 i( - \mu - 1\nabla \gamma (2m - 1)(\~l) + \xi - 1\nabla \gamma (2m)(\~l)) \bigm\| \bigm\| - = = k\sum m=1 \biggl( - uyx2m + \lambda utx2m \lambda 2 + 1 \partial \partial x2m - 1 + uyx2m - 1 + \lambda utx2m - 1 \lambda 2 + 1 \partial \partial x2m \biggr) , умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до багатовимiрних аналогiв „не- бесного” рiвняння Хусейна uyy + utt + k\sum m=1 (uyx2m - 1utx2m - uyx2mux2x2m - 1) = 0. 6.10. Загальне „небесне” рiвняння Монжа та його узагальнення. „Seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast = =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbC \times \BbbT 4)\ast , взятий у виглядi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1050 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ \~l = duy + \lambda - 1(dx1 + dx2), де u \in C2(\BbbT 4\times \BbbR 2;\BbbR ), (x1, x2, x3, x4) \in \BbbT 4, \lambda \in \BbbC \setminus \{ 0\} , генерує чотири незалежнi функцiонали Казимiра \gamma (1), \gamma (2), \gamma (3) i \gamma (4) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), градiєнти яких мають такi асимптотичнi розклади: \nabla \gamma (1)(l) \sim (0, 1, 0, 0)\top + + ( - uyx2 - (\partial x2 - \partial x1) - 1uyx2x1 , (\partial x2 - \partial x1) - 1uyx2x1 , 0, 0) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (2)(l) \sim (1, 0, 0, 0)\top + + (\partial x1 - \partial x2) - 1uyx1x2 , - uyx1 - (\partial x1 - \partial x2) - 1uyx1x2 , 0, 0) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (3)(l) \sim (0, 0, - uyx4 , uyx3) \top +O(\lambda 2), \nabla \gamma (4)(l) \sim (0, 0, - utx4 , utx3) \top + (uyx3utx4 - uyx4utx3 , 0, uyx4utx1 - uyx1utx4 , uyx1utx3 - uyx3utx1) \top \lambda +O(\lambda 2) при \| \lambda \| \rightarrow 0. У випадку, коли \nabla h(y)(\~l) := (\lambda - 1(\nabla \gamma (1)(\~l) +\nabla \gamma (3)(\~l)))\| - = = 0 \partial \partial x1 + 1 \lambda \partial \partial x2 - uyx4 \lambda \partial \partial x3 + uyx3 \lambda \partial \partial x4 , \nabla h(t)(\~l) := (\lambda - 1( - \nabla \gamma (2)(\~l) +\nabla \gamma (4)(\~l)))\| - = = - 1 \lambda \partial \partial x1 + 0 \partial \partial x2 - utx4 \lambda \partial \partial x3 + utx3 \lambda \partial \partial x4 , умова комутативностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до загального „небесного” рiв- няння Монжа [6] uyx1 + utx2 + uyx3utx4 - uyx4utx3 = 0 iз зображенням Лакса – Сато, заданим диференцiальними рiвняннями з частинними похiдними першого порядку \partial \psi \partial y + 1 \lambda \partial \psi \partial x2 - uyx4 \lambda \partial \psi \partial x3 + uyx3 \lambda \partial \psi \partial x4 = 0, \partial \psi \partial t - 1 \lambda \partial \psi \partial x1 - utx4 \lambda \partial \psi \partial x3 + utx3 \lambda \partial \psi \partial x4 = 0, де \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbC \times \BbbT n;\BbbC ) i \lambda \in \BbbC \setminus \{ 0\} . Беручи до уваги той факт, що умова на iнварiанти Казимiра еквiвалентна системi однорiд- них лiнiйних диференцiальних рiвнянь на ковекторну функцiю l = (l1, l2, l3, l4) \intercal , вiдповiдний „seed”-елемент можна вибрати в iншiй формi. Наприклад, якщо вираз \~l = dut + \lambda - 1(dx1 + dx2) розглянути як „seed”-елемент, то вiн генерує чотири незалежнi функцiонали Казимiра \gamma (1), \gamma (2), \gamma (3) i \gamma (4) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), градiєнти яких мають такi асимптотичнi розклади: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1051 \nabla \gamma (1)(l) \sim (0, 1, 0, 0)\top + + ( - utx2 - (\partial x2 - \partial x1) - 1utx2x1 , (\partial x2 - \partial x1) - 1utx2x1 , 0, 0) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (2)(l) \sim (1, 0, 0, 0)\top + + ((\partial x1 - \partial x2) - 1utx1x2 , - utx1 - (\partial x1 - \partial x2) - 1utx1x2 , 0, 0) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (3)(l) \sim (0, 0, - utx4 , utx3) \top + (0, utx3uyx4 - utx4uyx3 , utx4uyx2 - utx2uyx4 , utx2uyx3 - utx3uyx2) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (4)(l) \sim (0, 0, - uyx4 , uyx3) \top +O(\lambda 2) при \| \lambda \| \rightarrow 0. Якщо „seed”-елемент має вигляд \~l = duy + dut + \lambda - 1(dx1 + dx2), (6.17) то асимптотичнi розклади для градiєнтiв чотирьох незалежних функцiоналiв Казимiра \gamma (1), \gamma (2), \gamma (3) i \gamma (4) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ) можна записати як \nabla \gamma (1)(l) \sim (0, 1, 0, 0)\top + ( - (uyx2 + utx2) - - (\partial x2 - \partial x1) - 1(uyx2x1 + utx2x1), (\partial x2 - \partial x1) - 1(uyx2x1 + utx2x1), 0, 0) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (2)(l) \sim (1, 0, 0, 0)\top + ((\partial x1 - \partial x2) - 1(uyx1x2 + utx1x2), - (uyx1 + utx1) - (\partial x1 - \partial x2) - 1(uyx1x2 + utx1x2), 0, 0) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (3)(l) \sim (0, 0, - uyx4 , uyx3) \top + (0, utx3uyx4 - utx4uyx3 , utx4uyx2 - utx2uyx4 , utx2uyx3 - utx3uyx2) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (4)(l) \sim (0, 0, - utx4 , utx3) \top + (uyx3utx4 - uyx4utx3 , 0, uyx4utx1 - uyx1utx4 , uyx1utx3 - uyx3utx1) \top \lambda +O(\lambda 2) при \| \lambda \| \rightarrow 0. Описана вище схема узагальнюється для всiх n = 2k, де k \in \BbbN i n > 2. У цьому випадку маємо 2k незалежних функцiоналiв Казимiра \gamma (j) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ), де \~\scrG \ast = \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbC \times \BbbT 2k)\ast , j = 1, 2k, а асимптотичнi розклади їхнiх градiєнтiв задаються такими виразами: \nabla \gamma (1)(l) \sim (0, 1, 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 )\top + ( - (uyx2 + utx2) - - (\partial x2 - \partial x1) - 1(uyx2x1 + utx2x1), (\partial x2 - \partial x1) - 1(uyx2x1 + utx2x1), 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 )\top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (2)(l) \sim (1, 0, 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 2 )\top + ((\partial x1 - \partial x2) - 1(uyx1x2 + utx1x2), - (uyx1 + utx1) - (\partial x1 - \partial x2) - 1(uyx1x2 + utx1x2), 0, 0) \top \lambda +O(\lambda 2), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1052 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ \nabla \gamma (3)(l) \sim (0, 0, - uyx4 , uyx3 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 )\top + (0, utx3uyx4 - utx4uyx3 , utx4uyx2 - utx2uyx4 , utx2uyx3 - utx3uyx2 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 )\top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (4)(l) \sim (0, 0, - utx4 , utx3 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 )\top + (uyx3utx4 - uyx4utx3 , 0, uyx4utx1 - uyx1utx4 , uyx1utx3 - uyx3utx1 , 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 )\top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (2k - 1)(l) \sim (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 , 0, 0, - uyx2k , uyx2k - 1 )\top + + (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 , 0, utx2k - 1 uyx2k - utx2k uyx2k - 1 , utx2k uyx2 - utx2uyx2k , utx2uyx2k - 1 - utx2k - 1 uyx2) \top \lambda +O(\lambda 2), \nabla \gamma (2k)(l) \sim (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 , 0, 0, - utx2k , utx2k - 1 )\top + + (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{} 2k - 4 , uyx2k - 1 utx2k - uyx2k utx2k - 1 , 0, uyx2k utx1 - uyx1utx2k , uyx1utx2k - 1 - uyx2k - 1 utx1) \top \lambda +O(\lambda 2), якщо „seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast вибрано як (6.17). Якщо \nabla h(y)(\~l) := (\lambda - 1(\nabla \gamma (1)(\~l) +\nabla \gamma (3)(\~l) + . . .+\nabla \gamma (2k - 1)(\~l)))\| - = = 0 \partial \partial x1 + 1 \lambda \partial \partial x2 - uyx4 \lambda \partial \partial x3 + uyx3 \lambda \partial \partial x4 + . . . . . . - uyx2k \lambda \partial \partial x2k - 1 + uyx2k - 1 \lambda \partial \partial x2k = = 0 \partial \partial x1 + 1 \lambda \partial \partial x2 - k\sum j=2 \biggl( uyx2j \lambda \partial \partial x2j - 1 - uyx2j - 1 \lambda \partial \partial x2j \biggr) , \nabla h(t)(\~l) := (\lambda - 1( - \nabla \gamma (2)(\~l) +\nabla \gamma (4)(\~l) + . . .+\nabla \gamma (2k)(\~l)))\| - = = - 1 \lambda \partial \partial x1 + 0 \partial \partial x2 - utx4 \lambda \partial \partial x3 + utx3 \lambda \partial \partial x4 + . . . . . . - utx2k \lambda \partial \partial x2k - 1 + utx2k - 1 \lambda \partial \partial x2k = = - 1 \lambda \partial \partial x1 + 0 \partial \partial x2 - k\sum j=2 \biggl( utx2k \lambda \partial \partial x2k - 1 - utx2k - 1 \lambda \partial \partial x2k \biggr) , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1053 то умова сумiсностi (6.9) векторних полiв (6.10) приводить до таких багатовимiрних аналогiв загального рiвняння Монжа: uyx1 + utx2 + k\sum j=2 (uyx2j - 1utx2j - uyx2jutx2j - 1) = 0. 7. Супераналоги „небесного” рiвняння Вiзема. Припустимо, що елемент \~l \in \~\scrG \ast , де \~\scrG := := \~\mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 1\| N ) = \~\mathrm{d}\mathrm{i}ff+(\BbbT 1\| N )\oplus \~\mathrm{d}\mathrm{i}ff_(\BbbT 1\| N ) є алгеброю Лi петель суперконформних дифеоморфiз- мiв групи \~\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT 1\| N ) векторних полiв на (1, 1)\| N -вимiрному суперторi \BbbT (1,1)\| N := \BbbC \times \BbbT 1\times \Lambda N 1 (див. [10]), вкладеною в скiнченновимiрну алгебру Грассмана \Lambda := \Lambda 0\oplus \Lambda 1 над \BbbC , \Lambda 0 \supset \BbbR , що приводить до таких асимптотичних розкладiв для градiєнтiв iнварiантiв Казимiра h(1), h(2) \in \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ): \nabla h(1)(l) \sim wy +O(\lambda ) (7.1) при \| \lambda \| \rightarrow 0 i \nabla h(2)(l) \sim 1 - wx\lambda - 1 +O(\lambda - 2) (7.2) при \| \lambda \| \rightarrow \infty . Тодi умова сумiсностi потокiв Гамiльтона d\~l/dy = ad\ast \nabla h (y) - (\~l) \~l, \nabla h(y) - (l) = - (\lambda - 1\nabla h1(l)) - = - wy\lambda - 1, d\~l/dt = - ad\ast \nabla h (t) + (\~l) \~l, \nabla h(t)+ (l) = - (\lambda \nabla h(2)(l))+ = - \lambda + wx, (7.3) приводить до рiвнянь „небесного” типу wyt = wxwyx - wywxx - 1 2 N\sum i=1 (D\vargamma i wx)(D\vargamma i wy), (7.4) де w \in C2(\BbbR 2\times \BbbT (1,1)\| N ; \Lambda 0) i D\vargamma i := \partial /\partial \vargamma i+\vargamma i\partial /\partial x, i = 1, N, — суперпохiднi по вiдношенню до антикомутативних змiнних \vargamma i \in \Lambda 1, i = 1, N. Це рiвняння можна розглядати як суперузагальнення „небесного” рiвняння Вiзема [11, 12, 30] для довiльного N \in \BbbN . Умова сумiсностi для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку \psi y + 1 \lambda \Biggl( wy\psi x + 1 2 N\sum i=1 (D\vargamma i wy)(D\vargamma i \psi ) \Biggr) = 0, \psi t + ( - \lambda + wx)\psi x + 1 2 N\sum i=1 (D\vargamma i wx)(D\vargamma i \psi ) = 0, де \psi \in C2(\BbbR 2 \times \BbbT (1,1)\| N ; \Lambda 0) i \lambda \in \BbbC \setminus \{ 0\} , приводить до вiдповiдного зображення Лакса – Сато рiвняння „небесного” типу (7.4). I навiть бiльше, пiсля нескладних обчислень отримуємо з рiвняння на iнварiант Казимiра вiдповiдний „seed”-елемент \~l := ldx \in \~\scrG \ast , який можна записати у такiй формi для довiльного N \in \BbbN : ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1054 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ l = Ca - 4 - N 2 , a := \nabla h(l). Тут скалярна функцiя C = C(x;\vargamma ) задовольняє лiнiйне однорiдне диференцiальне рiвняння Cx = \langle DC,Q\rangle , Q = (Q1, . . . , QN ), Qi = ( - 1)N 2 (D\vargamma i \mathrm{l}\mathrm{n} a), у суперпросторi \BbbR 2N - 1\| 2N - 1 \simeq \simeq \Lambda 2N - 1 0 \times \Lambda 2N - 1 1 . I навiть бiльше, C \in C\infty (\BbbT (1,1)\| N ; \Lambda 1), якщо N — непарне натуральне число, i C \in C\infty (\BbbT (1,1)\| N ; \Lambda 0), якщо N — парне цiле число. У випадку N = 1 маємо l = C1(\partial - 1 x D\theta 1a - 1 2 )a - 3 2 , де C1 \in \BbbR — деяка дiйсна стала. Якщо N = 1 i C1 = 1, то вiдповiдний „seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast , пов’язаний з асимптотичними розкладами (7.1) i (7.2), можна зредукувати до \~l = [\lambda - 1(\partial - 1 x D\theta 1w - 1 2 y )w - 3 2 y + \xi x/2 + \theta 1(2ux + \lambda )]dx, де w := u+ \theta 1\xi , u \in C\infty (\BbbR 2 \times \BbbS 1; \Lambda 0) i \xi \in C\infty (\BbbR 2 \times \BbbS 1; \Lambda 1). 8. Гамiльтоновi потоки, асоцiйованi з гiдродинамiчними системами Чаплигiна. Розгля- немо [1, 17, 23] гiдродинамiчну систему Чаплигiна ut = - uux - kvxv - 3, vt = - (uv)x, (8.1) де k \in \BbbR — сталий параметр, (u, v) \in M \subset C\infty (\BbbR /2\pi \BbbZ ;\BbbR 2) — 2\pi -перiодичнi динамiчнi змiннi на функцiональному многовидi M щодо еволюцiйного параметра t \in \BbbR . Щоб описати геометричну структуру системи (8.1), визначимо алгебру Лi петель \~\scrG :=\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 1) на многовидi \BbbC \times \BbbT 1 i виберемо „seed”-елемент \~l \in \~\scrG \ast у виглядi \~l = \biggl[ \biggl( 1 8 \alpha x + uux \biggr) \lambda + 1 2 ux\lambda 3 \biggr] dx+ \biggl[ 3 8 (\alpha + 4u2) + 5 2 u\lambda 2 + \lambda 4 \biggr] d\lambda , де позначено \alpha := kv - 2 + u2, i знайдемо асимптотичнi розклади для деяких функцiоналiв Казимiра h(y), h(t) i h(s) \in \mathrm{I}( \~\scrG \ast ): \nabla h(t)(l) := \nabla h(2)(l), \nabla h(y)(l) := \nabla h(4)(l), \nabla h(s)(l) := \nabla h(6)(l), де \nabla h(2)(l) = \biggl( - 2 0 \biggr) \lambda 2 + \biggl( 0 ux \biggr) \lambda 1 + \biggl( u 0 \biggr) \lambda 9 +O(\lambda - 1), \nabla h(4)(l) = \biggl( - 8 0 \biggr) \lambda 4 + \biggl( 0 4ux \biggr) \lambda 3 + \biggl( - 4u 0 \biggr) \lambda 2 + + \biggl( 0 \alpha x \biggr) \lambda 1 + \biggl( \alpha 0 \biggr) \lambda 0 +O(\lambda - 1) i ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1055 \nabla h(6)(l) = \biggl( - 2 0 \biggr) \lambda 6 + \biggl( 0 ux \biggr) \lambda 5 + \biggl( - 3u 0 \biggr) \lambda 4 + + \biggl( 0 \alpha x/4 + uux \biggr) \lambda 3 + \biggl( - \alpha /4 - 1/2u2 0 \biggr) \lambda 2 + + \biggl( 0 - (u\alpha )x/8 \biggr) \lambda 1 + \biggl( u\alpha /8 0 \biggr) \lambda 0 +O(\lambda - 1) при \lambda \rightarrow \infty . Вiдповiднi генератори Лакса – Сато векторних полiв задаються виразами \nabla h(t)+ (l) := ( \nabla h(2)(l))\| + = \biggl( - 2 0 \biggr) \lambda 2 + \biggl( 0 ux \biggr) \lambda 1 + \biggl( u 0 \biggr) \lambda 0, (8.2) \nabla h(y)+ (l) := (\nabla h(4)(l))\| + = = \biggl( - 8 0 \biggr) \lambda 4 + \biggl( 0 4ux \biggr) \lambda 3 + \biggl( - 4u 0 \biggr) \lambda 2 + \biggl( 0 \alpha x \biggr) \lambda 1 + \biggl( \alpha 0 \biggr) \lambda 0 i \nabla h(s)+ (l) := (\nabla h(6)(l))\| + = \biggl( - 2 0 \biggr) \lambda 6 + \biggl( 0 ux \biggr) \lambda 5 + + \biggl( - 3u 0 \biggr) \lambda 4 + \biggl( 0 \alpha x/4 + uux \biggr) \lambda 3+ + \biggl( - \alpha /4 - 1/2u2 0 \biggr) \lambda 2 + \biggl( 0 - (u\alpha )x/8 \biggr) \lambda 1 + \biggl( u\alpha /8 0 \biggr) \lambda 0 (8.3) при \lambda \rightarrow \infty . Використовуючи вирази (8.2) i (8.3), можна отримати такi еволюцiйнi потоки: \partial \~l/\partial t = - ad\ast \nabla h (t) + (\~l) \~l \sim ut = - (u2 - kv - 2)x vt = - (uv)x \Biggr\} (8.4) щодо еволюцiйного параметра t \in \BbbR , якi еквiвалентнi гiдродинамiчнiй системi (8.1), \partial \~l/\partial y = - ad\ast \nabla h (y) + (\~l) \~l \sim uy = - [uv(u2 + kv - 2)]x vy = - [(u2 + kv - 2)v]x \Biggr\} (8.5) щодо еволюцiйного параметра y \in \BbbR i \partial \~l/\partial s = - ad\ast \nabla h (s) + (\~l) \~l \sim us = - \bigl( - 3\alpha 2 + 4u4 \bigr) x /12 vs = - [(u2 + kv - 2)uv]x/3 \Biggr\} (8.6) щодо еволюцiйного параметра s \in \BbbR . Всi цi потоки є комутуючi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1056 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ [\partial /\partial t+\nabla h(t)+ (l), \partial /\partial y +\nabla h(y)+ (l)] = 0, [\partial /\partial t+\nabla h(t)+ (l), \partial /\partial s+\nabla h(s)+ (l)] = 0, [\partial /\partial s+\nabla h(s)+ (l), \partial /\partial y +\nabla h(y)+ (l)] = 0 одне з одним векторнi поля типу Лакса – Сато на многовидi \BbbC \times \BbbT 1 для всiх параметрiв t, y i s \in \BbbR i приводять до трьох нових сумiсних систем iнтегровних „небесних” бездисперсiйних диференцiальних рiвнянь. Отриманий результат можна сформулювати у виглядi такої теореми. Теорема 8.1. Гiдродинамiчна система Чаплигiна (8.4) еквiвалентна повнiстю iнтегровнiй системi Гамiльтона (8.6) на спряженому просторi \~\scrG \ast до алгебри Лi петель \~\scrG \simeq \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT 1) векторних полiв на многовидi \BbbC \times \BbbT 1. Пов’язанi функцiонали Казимiра на \~\scrG \ast генерують не- скiнченну iєрархiю комутуючих одне з одним додаткових гамiльтонових систем типу (8.5) i (8.6) та векторних полiв типу Лакса – Сато на \BbbC \times \BbbT 1, а це приводить до нових дисперсiйних „небесних” рiвнянь. Як показано в [3], гiдродинамiчна система Чаплигiна (8.4) тiсно пов’язана з класом повнiс- тю iнтегровних рiвнянь типу Монжа, геометрична структура яких була проаналiзована в [6] за допомогою iншого пiдходу — за допомогою властивостей вкладення многовиду Грассма- на загальних диференцiальних рiвнянь, визначених на джет-пiдмноговидах. Останнє зводить проблему знаходження зв’язку мiж рiзними геометричними пiдходами до опису повнiстю iнте- гровних бездисперсiйних диференцiальних систем. Насамкiнець зазначимо, що Лi-алгебраїчну схему Овсiєнка [26, 27] можна узагальнити, якщо розглянути дещо ширший клас iнтегровних „небесних” рiвнянь, записаних у виглядi узгоджених гамiльтонових потокiв на напiвпростому добутку алгебри Лi \~\scrG голоморфних ве- кторних полiв на торi \BbbC \times \BbbT n iз її регулярним спряженим простором \~\scrG \ast , який доповнений коциклом Маурера – Картана. Саме ця конструкцiя є предметом розгляду у другiй частинi цiєї статтi. Лiтература 1. M. Arik, F. Neyzi, Y. Nutku, P. J. Olver, J. Verosky, Multi-Hamiltonian structure of the Born – Infeld equation, J. Math. Phys., 30 (1988). 2. N. N. Bogoliubov, Yu. A. Mitropolski, A. M. Samoilenko, Accelerated convergence method in non-linear mechanics (in Russian), Naukova Dumka, Kyiv (1969). 3. J. C. Brunelli, M. Gürses, K. Zheltukhin, On the integrability of a class of Monge – Ampère equations, arXiv:hep- th/9906233v1 29 Jun 1999. 4. A. Das, Integrable models, World Sci. (1989). 5. B. Doubrov, E. V. Ferapontov, On the integrability of symplectic Monge – Ampère equations, J. Geom. Phys., 60, № 10, 1604 – 1616 (2010); arXiv:0910.3407v2 [math.DG] 13 Apr 2010. 6. B. Doubrov, E. V. Ferapontov, B. Kruglikov, V. S. Novikov, On a class of integrable systems of Monge – Ampère type, arXiv:1701.02270v1 [nlin.SI] 9 Jan 2017. 7. P. G. Drazin, R. S. Johnson, Solitons: an introduction, Cambridge Univ. Press (1989). 8. E. Ferapontov, B. S. Kruglikov, Dispersionless integrable systems in 3D and Einstein – Weyl geometry, J. Different. Geom., 97, 215 – 254 (2014). 9. E. V. Ferapontov, J. Moss, Linearly degenerate PDEs and quadratic line complexes, arXiv:1204.2777v1 [math.DG] 12 Apr 2012. 10. O. E. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, The Lax – Sato integrable heavenly equations on functional supermanifolds and their Lie-algebraic structure, European J. Math. (2018). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1057 11. M. Manas, E. Medina, L. Martinez-Alonso, On the Whitham hierarchy: dressing scheme, string equations and additional symmetries, J. Phys. A: Math. and Gen., 39, 2349 – 2381 (2006). 12. O. I. Morozov, A two-component generalization of the integrable rd-Dym equation, SIGMA, 8, Article 051 (2012). 13. L. P. Nizhnik, The inverse scattering problems for the hyperbolic equations and their applications to non-linear integrable equations, Rep. Math. Phys., 26, № 2, 261 – 283 (1988). 14. L. P. Nizhnik, Inverse scattering problem for he wave equation and its application, Parameter Identification and Inverse Problems in Hydrology, Geology and Ecology, Kluwer Acad. Publ. (1996), p. 233 – 238. 15. L. P. Nizhnik, M. D. Pochynaiko, The integration of a spatially two-dimensional Schrödinger equation by the inverse problem method, Func. Anal. and Appl., 16, № 1, 80 – 82 (1982) (in Russian). 16. S. P. Novikov, S. V. Manakov, L. P. Pitaevskii, V. E. Zakharov, Theory of solitons. The inverse scattering method, Springer (1984). 17. P. J. Olver, Y. Nutku, Hamiltonian structures for systems of hyperbolic conservation laws, J. Math. Phys., 29 (1988). 18. D. Blackmore, A. K. Prykarpatsky, Y. A. Prykarpatsky, A. M. Samoilenko, Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I, Ukr. Math. J., 70, № 12, 1913 – 1952 (2019). 19. D. Blackmore, A. K. Prykarpatsky, Y. A. Prykarpatsky, A. M. Samoilenko, Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II, Ukr. Math. J., 71, № 2, 345 – 361 (2019). 20. B. Szablikowski, Hierarchies of Manakov – Santini type by means of Rota – Baxter and other identities, SIGMA, 12, Article 022 (2016). 21. M. B. Sheftel, D. Yazıcı, Bi-Hamiltonian representation, symmetries and integrals of mixed heavenly and Husain systems, arXiv:0904.3981v4 [math-ph] 4 May 2010. 22. M. B. Sheftel, D. Yazıcı, Evolutionary Hirota type (2+1)-dimensional equations: Lax pairs, recursion operators and bi-Hamiltonian structures, SIGMA, 14, Article 017 (2018); arXiv:1712.01549v1 [math-ph] 5 Dec 2017. 23. L. A. Takhtajan, L. D. Faddeev, Hamiltonian approach in soliton theory, Springer, Berlin, Heidelberg (1987). 24. П. П. Кулиш, Аналог уравнения Кортевега – де Фриза для суперконформной алгебры, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 155, 142 – 148 (1986). 25. В. Г. Михалев, О гамильтоновом формализме иерархий типа Кортевега – де Фриза, Функц. анализ и его прил., 26, № 2, 79 – 82 (1992). 26. V. Ovsienko, C. Roger, Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear integrable systems in dimension 2 + 1, Commun. Math. Phys., 273, № 2, 357 – 378 (2007). 27. V. Ovsienko, Bi-Hamiltonian nature of the equation utx = uxyuy - uyyux, Adv. Pure and Appl. Math., 1, № 1, 7 – 10 (2008); arXiv:0802.1818v1 (2008). 28. A. Sergyeyev, B. M. Szablikowski, Central extensions of cotangent universal hierarchy: (2 + 1)-dimensional bi- Hamiltonian systems, Phys. Lett. A, 372, № 47, 7016 – 7023 (2008). 29. A. K. Prykarpatski, O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, The differential-geometric and algebraic aspects of the Lax – Sato theory, Mathematics, 5, № 4, MDPI, Basel, Switzerland (2017). 30. O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Dispersionless completely integrable heavenly type Hamiltonian flows and their differential-geometric structure, Symmetry, Integrability and Geom.: Methods and Appl., 15, Article 079 (2019); https: doi.org/10.3842/SIGMA.2019.079. 31. O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Lie-algebraic structure of Lax – Sato integrable heavenly equations and the Lagrange – d’Alembert principle, 120, Article 208 (2017); https://doi.org/ 10.1016/j.geomphys.2017.06.003. 32. J. F. Plebański, Some solutions of complex Einstein equations, J. Math. Phys., 16, № 12, 2395 – 2402 (1975). 33. S. V. Manakov, P. M. Santini, Inverse scattering problem for vector fields and the Cauchy problem for the heavenly equation, Phys. Lett. A, 359, № 6, 613 – 619 (2006). 34. L. V. Bogdanov, V. S. Dryuma, S. V. Manakov, Dunajski generalization of the second heavenly equation: dressing method and the hierarchy, J. Phys. A: Math. Theor., 40, № 48, 14383 – 14393 (2007). 35. M. Dunajski, Anti-self-dual four-manifolds with a parallel real spinor, Proc. Roy. Soc. A, 458, 1205 – 1222 (2002). 36. M. Dunajski, L. J. Mason, P. Tod, Einstein – Weyl geometry, the dKP equation and twistor theory, J. Geom. Phys., 37, № 1-2, 63 – 93 (2001). 37. M. P. Pavlov, Integrable hydrodynamic chains, J. Math. Phys., 44, № 9, 4134 – 4156 (2003). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1058 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ 38. W. K. Schief, Self-dual Einstein spaces via a permutability theorem for the Tzitzeica equation, Phys. Lett. A, 223, № 1-2, 55 – 62 (1996). 39. W. K. Schief, Self-dual Einstein spaces and a discrete Tzitzeica equation. A permutability theorem link, Symmetries and Integrability of Difference Equations, London Math. Soc., Lect. Notes Ser., 255, 137 – 148 (1999). 40. K. Takasaki, T. Takebe, \mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{i}ff(2) Toda equation – hierarchy, tau function and symmetries, Lett. Math. Phys., 23, № 3, 205 – 214 (1991). 41. K. Takasaki, T. Takebe, Integrable hierarchies and dispersionless limit, Rev. Math. Phys., 7, № 5, P. 743 – 808 (1995). 42. А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский, Интегрируемые системы: теоретико-групповой подход, Ин-т компьютер. исслед., Москва, Ижевск (2003). 43. M. Blaszak, Classical R-matrices on Poisson algebras and related dispersionless systems, Phys. Lett. A, 297, № 3-4, 191 – 195 (2002). 44. M. Blaszak, B. M. Szablikowski, Classical R-matrix theory of dispersionless systems: II. (2 + 1) dimension theory, J. Phys. A: Math. and Gen., 35, № 48, 10345 – 10364 (2002). 45. D. Blackmore, A. K. Prykarpatsky, V. Hr. Samoylenko, Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: spectral and symplectic integrability analysis, World Sci., Hackensack (2011). 46. A. Alekseev, A. Z. Malkin, Symplectic structure of the moduli space of flat connection on a Riemann surface, Comm. Math. Phys., 169, № 1, 99 – 119 (1995). 47. A. Pressley, G. Segal, Loop groups, Clarendon Press, London (1988). 48. M. Audin, Lectures on gauge theory and integrable systems, Gauge Theory and Symplectic Geometry, Kluwer (1997), p. 1 – 48. 49. O. Hentosh, Ya. Prykarpatsky, The Lax – Sato integrable heavenly equations on functional supermanifolds and their Lie-algebraic structure, European J. Math. (2019); https://doi.org/10.1007/s40879-019-00329-4. 50. I. A. B. Strachan, B. M. Szablikowski, Novikov algebras and a classification of multicomponent Camassa – Holm equations, Stud. Appl. Math., 133, 84 – 117 (2014). 51. O. D. Artemovych, A. A. Balinsky, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Reduced pre-Lie algebraic structures, the weak and weakly deformed Balinsky – Novikov type symmetry algebras and related Hamiltonian operators, Symmetry, 10, Article 601 (2018). 52. O. D. Artemovych, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Examples of Lie and Balinsky – Novikov algebras related to Hamiltonian operators, Top. Algebra and Appl., 6, № 1, 43 – 52 (2018). 53. O. D. Artemovych, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Poisson brackets, Novikov – Leibniz structures and integrable Riemann hydrodynamic systems, J. Nonlinear Math. Phys., 24, № 1, 41 – 72 (2017). 54. D. Blackmore, Y. Prykarpatsky, J. Golenia, A. Prykarpatski, Hidden symmetries of Lax integrable nonlinear systems, Appl. Math., 4, 95 – 116 (2013). 55. М. А. Семенов-Тян-Шанский, Что такое классическая r-матрица?, Функц. анализ и его прил., 17, № 4, 17 – 33 (1983). 56. R. Abraham, J. Marsden, Foundations of mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley Publ. Co., Inc., Redwood City, CA (1978). 57. V. I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Grad. Texts Math., vol. 60, Springer, New York (1978). 58. V. I. Arnold, B. A. Khesin, Topological methods in hydrodynamics, Appl. Math. Sci., vol. 125, Springer-Verlag, New York (1998). 59. T. Kambe, Geometric theory of fluid flows and dynamical systems, Fluid Dyn. Res., 30, 331 – 378 (2002). 60. J. Marsden, T. Ratiu, A. Weinstein, Reduction and Hamiltoninan structures on duals of semidirect product Lie algebras, Contemp. Math., 28, 55 – 100 (1984). 61. D. Holm, J. Marsden, T. Ratiu, A. Weinstein, Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria, Phys. Rep., 123, № 1-2, 1 – 116 (1985). 62. V. I. Arnold, Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l’hydrodynamique des fluides parfaits, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 16, № 1, 319 – 361 (1966). 63. D. Holm, B. Kupershmidt, Poisson structures of superfluids, Phys. Lett. A, 91, 425 – 430 (1982). 64. E. A. Kuznetsov, A. V. Mikhailov, On the topological meaning of canonical Clebsch variables, Phys. Lett. A, 77, № 1, 37 – 38 (1980). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1059 65. B. A. Kupershmidt, T. Ratiu, Canonical maps between semidirect products with applications to elasticity and superfluids, Commun. Math. Phys., 90, 235 – 250 (1983). 66. A. Weinstein, Sophus Lie and symplectic geometry, Expo. Math., 1, 95 – 96 (1983). 67. A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. Different. Geom., 18, № 3, 523 – 557 (1983). 68. J. Marsden, A. Weinstein, Reduction of symplectic manifolds with symmetry, Rep. Math. Phys., 5, № 1, 121 – 130 (1974). 69. Л. В. Богданов, Интерполирующие дифференциальные редукции многомерных интегрируемых иерархий, Теор. и мат. физика, 167, № 3, 705 – 713 (2011). 70. L. V. Bogdanov, B. G. Konopelchenko, On the heavenly equation and its reductions, J. Phys. A: Math. and Gen., 39, 11793 – 11802 (2006). 71. L. V. Bogdanov, M. V. Pavlov, Linearly degenerate hierarchies of quasiclassical SDYM type, J. Math. Phys., 58, № 9 (2017). 72. Л. Мартинес Алонсо, А. Б. Шабат, Гидродинамические редукции и решения универсальной иерархии, Теор. и мат. физика, 140, № 2, 216 – 229 (2004). Одержано 04.03.21 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
id	umjimathkievua-article-6614
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-03-24T03:29:27Z
publishDate	2022
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/5b/bff8932d171afea799c6185e27a6765b.pdf
spelling	umjimathkievua-article-66142022-11-27T13:40:29Z Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I Геометричні структури на орбітах петельних груп дифеоморфізмів та асоційовані інтегровні гамільтонові системи ,,небесного” типу. І Hentosh , O. E. Prykarpatskyy , Ya. A. Balinsky , A. A. Prykarpatski , A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балiнський, О. А. Прикарпатський, А. К. . UDC 517.9 &nbsp;review of differential-geometric and Lie-algebraic&nbsp;approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable &nbsp;&nbsp;differential systems of ``heavenly'' type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugate to the loop Lie algebras of vector fields on the tori.&nbsp;&nbsp;These flows are generated by the corresponding orbits of the coadjoint action of the diffeomorphism loop group and satisfy the Lax–Sato-type vector-field compatibility conditions.&nbsp;&nbsp;The corresponding hierarchies of conservation laws and their relationships with Casimir invariants are analyzed.&nbsp;&nbsp;Typical examples of these systems are considered and their complete integrability is established by using the developed Lie-algebraic construction.&nbsp;&nbsp;We describe new generalizations of the integrable dispersion-free systems of ``heavenly'' type for which the corresponding generating elements of orbits have a factorized structure, which allows their extension to the multidimensional case. Дается обзор дифференциально-геометрических и Ли-алгебраических подходов к изучению широкого класса нелинейных интегрируемых дифференциальных систем "небесного" типа, ассоциированных с гамильтоновыми потоками на сопряженных пространствах к петельным алгебрам Ли векторных на торах. Эти потоки порождаются соответствующими орбитами коприсоединенного действия петельной группы диффеоморфизмов и удовлетворяют векторно-полевым условиям совместимости типа Лакса-Сато. Анализируются соответсвующие иерархии законов сохранения и их связь с инвариантами Казимира.Рассматриваются типичные примеры таких систем и устанавливается их полная интегрируемость с помощью развитой Ли-алгебраической конструкции. Описаны новые обобщения интегрируемых бездисперсионных систем "небесного" типа, для которых соответствующие порождающие елементы орбит владеют факторизированной структурой, допускающей их расширение на многомерный случай. УДК 517.9Наведено огляд диференцiально-геометричних i Лi-алгебраїчних пiдходiв до вивчення широкого класу нелiнiйних iнтегровних диференцiальних систем „небесного” типу, асоцiйованих iз гамiльтоновими потоками на спряжених просторах до петельних алгебр Лi векторних полiв на торах. Цi потоки породжуються вiдповiдними орбiтами коприєднаної дiї петельної групи дифеоморфiзмiв i задовольняють векторно-польовi умови сумiсностi типу Лакса – Сато. Проаналiзовано вiдповiднi iєрархiї законiв збереження i їхнiй зв’язок з iнварiантами Казимiра. Розглянуто типовi приклади таких систем i встановлено їхню повну iнтегровнiсть за допомогою розвиненої Лi-алгебраїчної конструкцiї. Описано новi узагальнення iнтегровних бездисперсiйних систем „небесного” типу, для яких вiдповiднi породжуючi елементи орбiт мають факторизовану структуру, що допускає їх розширення на багатовимiрний випадок. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-10-04 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6614 10.37863/umzh.v74i8.6614 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 8 (2022); 1029 - 1059 Український математичний журнал; Том 74 № 8 (2022); 1029 - 1059 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6614/9285 Copyright (c) 2022 Ярема Прикарпатський
spellingShingle	Hentosh , O. E. Prykarpatskyy , Ya. A. Balinsky , A. A. Prykarpatski , A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балiнський, О. А. Прикарпатський, А. К. Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I
title	Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I
title_alt	Геометричні структури на орбітах петельних груп дифеоморфізмів та асоційовані інтегровні гамільтонові системи ,,небесного” типу. І
title_full	Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I
title_fullStr	Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I
title_full_unstemmed	Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I
title_short	Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I
title_sort	geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. i
topic_facet	.
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6614
work_keys_str_mv	AT hentoshoe geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT prykarpatskyyyaa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT balinskyaa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT prykarpatskiak geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT gentošoê geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT prikarpatsʹkijâa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT balinsʹkijoa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT prikarpatsʹkijak geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsi AT hentoshoe geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí AT prykarpatskyyyaa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí AT balinskyaa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí AT prykarpatskiak geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí AT gentošoê geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí AT prikarpatsʹkijâa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí AT balinsʹkijoa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí AT prikarpatsʹkijak geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogotipuí

Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” Hamiltonian systems. I

Репозитарії

Схожі ресурси