On a property of the Nevanlinna characteristic
UDC 517.53We prove the existience of entire functions $f$ of an arbitrary lower order $\lambda\ge 0$ and the order $\rho=\lambda+1$ such that \begin{equation*}\underset{r \to +\infty}{\overline{\lim}}T(r + 1, f)/T(r, f) > 1.\end{equation*}Obtained results show that the condition $\rho - \...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6627 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512480395001856 |
|---|---|
| author | Zabolotskyy, M. V. Zabolotskyy , T. M. Заболоцький, М. В. Заболоцький, Т. М. |
| author_facet | Zabolotskyy, M. V. Zabolotskyy , T. M. Заболоцький, М. В. Заболоцький, Т. М. |
| author_sort | Zabolotskyy, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:35Z |
| description | UDC 517.53We prove the existience of entire functions $f$ of an arbitrary lower order $\lambda\ge 0$ and the order $\rho=\lambda+1$ such that \begin{equation*}\underset{r \to +\infty}{\overline{\lim}}T(r + 1, f)/T(r, f) > 1.\end{equation*}Obtained results show that the condition $\rho - \lambda < 1$ of Valiron's theorem can not be improved. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i8.6627 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.37863/umzh.v73i8.6627
УДК 517.53
М. В. Заболоцький, Т. М. Заболоцький (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛIННИ
We prove the existience of entire functions f of an arbitrary lower order \lambda \geq 0 and the order \rho = \lambda + 1 such that
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
T (r + 1, f)/T (r, f) > 1.
Obtained results show that the condition \rho - \lambda < 1 of Valiron’s theorem can not be improved.
Доведено iснування цiлих функцiй f довiльного нижнього порядку \lambda \geq 0 i порядку \rho = \lambda + 1, для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
T (r + 1, f)/T (r, f) > 1.
Отриманi результати свiдчать про непокращуванiсть умови \rho - \lambda < 1 однiєї теореми Валiрона.
1. Вступ. Нехай \alpha — визначена невiд’ємна на [0,+\infty ) функцiя. Число
\rho [\alpha ] = \rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}+ \alpha (r)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
(1)
називається порядком функцiї \alpha . Якщо в (1) замiнити верхню границю на нижню, то отримаємо
нижнiй порядок \lambda [\alpha ]. За умови 0 < \rho < +\infty число
\sigma [f ] = \sigma = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\alpha (r)
r\rho
називається величиною типу \alpha . Кажемо, що функцiя \alpha має мiнiмальний тип, якщо \sigma = 0,
нормальний, якщо 0 < \sigma < +\infty , i максимальний, якщо \sigma = +\infty .
Нехай f = f1/f2 — мероморфна в \BbbC (далi мероморфна) функцiя, f1 i f2 — цiлi функцiї,
T (r, f) — неванлiннова характеристика f (див., наприклад, [1, с. 24 – 27]). Порядок, нижнiй
порядок, тип i величину типу мероморфної функцiї f визначаємо як вiдповiднi величини
функцiї T (r, f).
У цiй статтi розглядається одна властивiсть неванлiннової характеристики T (r, f).
Теорема А [2, с. 271]. Нехай f — мероморфна функцiя порядку \rho i нижнього порядку \lambda .
Якщо \rho - \lambda < 1, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
T (r + 1, f)
T (r, f)
= 1. (2)
Виникає природне питання: наскiльки умова \rho - \lambda < 1 в теоремi А є непокращуваною i чи
не можна її замiнити на \rho - \lambda \leq 1?
Iз мiркувань [1, с. 208, 209] випливає iстиннiсть такого твердження.
c\bigcirc М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Т. М. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, 2021
1140 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛIННИ 1141
Теорема Б. Нехай f — мероморфна функцiя, \gamma \geq 0. Якщо:
а) T (r, f)/r\gamma \rightarrow +\infty i T (r, f) = O(r\gamma +1), r \rightarrow +\infty ,
або
б) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty (r, f)/r\gamma > 0 i T (r, f) = o(r\gamma +1), r \rightarrow +\infty ,
то виконується (2).
Легко бачити, що за умов теореми Б нижнiй порядок f може дорiвнювати \gamma , порядок —
\gamma +1, а її тип є нормальним (див. п. а)) або мiнiмальним (див. п. б)), тобто твердження теореми
А правильне за умови \rho [f ] - \lambda [f ] = 1. З iншого боку, в данiй статтi буде показано, що (2) може
не виконуватись за умови \rho - \lambda = 1 навiть для цiлих функцiй.
2. Основнi результати та допомiжне твердження. Сформулюємо двi теореми, якi пока-
зують непокращуванiсть умови теореми А, а отже, i теореми Б.
Теорема 1. Iснує цiла функцiя f довiльного нижнього порядку \lambda > 0, порядку \rho = \lambda + 1 i
нормального типу, для якої не виконується (2).
Теорема 2. Iснує цiла функцiя f, \lambda [f ] = 0, \rho [f ] = 1, для якої не виконується (2).
Зауваження 1. З умов а) теореми Б випливає, що функцiя f з теореми 1 повинна задоволь-
няти спiввiдношення \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty T (r, f)/r\lambda < +\infty , а функцiя f з теореми 2 — мати максимальний
тип.
Зауваження 2. В [1, с. 201, 202] розглянуто приклад мероморфної функцiї f максимального
типу першого порядку, для якої, як неважко показати, не виконується умова (2).
При побудовi прикладiв функцiй f ми iстотно використовуємо такий результат.
Теорема В [3]. Нехай \Phi — неспадна опукла вiдносно логарифма на [1,+\infty ) функцiя,
\Phi (r)/ \mathrm{l}\mathrm{n} r \rightarrow +\infty , r \rightarrow +\infty . Тодi iснує цiла функцiя f така, що
T (r, f) \sim \Phi (r), r \rightarrow +\infty .
3. Доведення теореми 1. Завдяки теоремi В, щоб показати непокращуванiсть умови \rho - \lambda <
< 1 в теоремi А, достатньо побудувати неспадну опуклу вiдносно логарифма на [1,+\infty )
функцiю \phi таку, що \rho [\phi ] - \lambda [\phi ] = 1 i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty \phi (r + 1)/\phi (r)>1.
1. Розглянемо спочатку випадок \lambda > 1. Нехай (rn) — така послiдовнiсть додатних чисел,
що r1 = \lambda + 1, rn+1/r
\lambda /(\lambda - 1)
n > 2. Покладемо r\ast 0 = 1 i для n \in \BbbN
\phi (r)
\left\{ r\lambda , якщо r\ast n - 1 \leq r \leq rn,
r\lambda n(r - rn + 1), якщо rn \leq r \leq r\ast n,
де r\ast n \in
\Bigl[
(r\lambda n/\lambda )
1/(\lambda - 1), r
\lambda /(\lambda - 1)
n
\Bigr]
така, що
\phi (r\ast n) = (r\ast n)
\lambda , (3)
\phi (r) > r\lambda , r \in (rn, r
\ast
n), (4)
\phi (rn) < \lambda (r\ast n)
\lambda - 1. (5)
Покажемо iснування такої точки r\ast n. Для функцiї
g(r) = r\lambda - r\lambda n(r - rn + 1), r \geq rn,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1142 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Т. М. ЗАБОЛОЦЬКИЙ
маємо g\prime (r) = \lambda r\lambda - 1 - r\lambda n = 0 при r = \~rn =
\biggl(
r\lambda n
\lambda
\biggr) 1/\lambda - 1
, g\prime (r) < 0 на (rn, \~rn), g
\prime (r) > 0 на
(\~rn,+\infty ).
Оскiльки g(rn) = 0, g(r
\lambda /(\lambda - 1)
n ) = r\lambda +1
n - r\lambda n > 0, то iснує r\ast n \in (\~rn, r
\lambda /(\lambda - 1)
n ) така, що
g(r\ast n) = 0, g(r) < 0 на (rn, r
\ast
n), g
\prime (r\ast n) > 0, тобто виконуються умови (3) – (5).
Враховуючи, що
r\phi \prime (r) = \lambda r\lambda зростає на [r\ast n - 1, rn],
r\phi \prime (r) = rr\lambda n зростає на [rn, r
\ast
n],
rn\phi
\prime (rn - 0) = \lambda r\lambda n \leq r\lambda +1
n = rn\phi
\prime (rn + 0),
r\ast n\phi
\prime (r\ast n - 0) = r\ast nr
\lambda
n \leq \lambda (r\ast n)
\lambda = r\ast n\phi
\prime (r\ast n + 0) (див. (5)),
отримуємо опуклiсть вiдносно логарифма на [1,+\infty ) функцiї \phi .
Оскiльки для функцiї G(r) = r\lambda +1 - \phi (r) маємо G(rn) = r\lambda +1
n - r\lambda n > 0, G\prime (r) = (\lambda +
+ 1)r\lambda - r\lambda n > 0 для r \in [rn, r
\ast
n], то \phi (r) \leq r\lambda +1 для r \in [rn, r
\ast
n].
З вигляду функцiї \phi та (4) отримуємо, що r\lambda \leq \phi (r) \leq r\lambda +1, r \in [1,+\infty ), тобто порядок \phi
не перевищує \lambda + 1, а нижнiй порядок не менший за \lambda . Позаяк
\rho [\phi ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (r)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (2rn)
\mathrm{l}\mathrm{n}(2rn)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}(r\lambda +1
n + r\lambda n)
\mathrm{l}\mathrm{n}(rn)
= \lambda + 1,
\lambda [\phi ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (r)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (rn)
\mathrm{l}\mathrm{n} rn
= \lambda ,
маємо \rho [\phi ] = \lambda + 1, \lambda [\phi ] = \lambda i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\phi (r + 1)
\phi (r)
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\phi (rn + 1)
\phi (rn)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
2r\lambda n
r\lambda n
= 2,
що i потрiбно було показати.
2. У випадку 0 < \lambda \leq 1 послiдовнiсть додатних чисел вибираємо так, щоб r1 = (4/\lambda )2/\lambda ,
rn+1/r
8/\lambda
n > 2. Приймемо r\ast 0 = 1, \^rn = r2n
\surd
rn i для n \in \BbbN
\phi (r) =
\left\{
r\lambda , якщо r\ast n - 1 \leq r \leq rn,
\phi (rn)(r - rn + 1), якщо rn \leq r \leq \^rn,
\phi (\^rn)
\Biggl( \biggl(
r - \lambda \^rn
2
\biggr) \lambda /2
+ 1 -
\biggl(
\^rn - \lambda \^rn
2
\biggr) \lambda /2
\Biggr)
, якщо \^rn \leq r \leq r\ast n,
де r\ast n \in (\^rn, r
8/\lambda
n ) така, що
\phi (r\ast n) = (r\ast n)
\lambda , (6)
\phi (r) > r\lambda , r \in (\^rn, r
\ast
n), (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛIННИ 1143
\phi (\^rn)
1
2
\biggl(
r\ast n - \lambda \^rn
2
\biggr) 1 - \lambda /2
< (r\ast n)
\lambda - 1. (8)
Покажемо iснування точки r\ast n. Для функцiї
g(r) = r\lambda - \phi (r) = r\lambda - \phi (\^rn)
\Biggl( \biggl(
r - \lambda \^rn
2
\biggr) \lambda /2
+ 1 -
\biggl(
\^rn - \lambda \^rn
2
\biggr) \lambda /2
\Biggr)
, r \geq \^rn,
маємо g\prime (r) =
\lambda
r1 - \lambda
\Biggl(
1 - \phi (\^rn)/2
r\lambda /2
\biggl(
1 - \lambda \^rn
2r
\biggr) \lambda /2 - 1
\Biggr)
=
\lambda
r1 - \lambda
\alpha (r), де \alpha (r) зростає до 1 при
r \rightarrow +\infty ,
\alpha (\^rn) = 1 -
r
5/2+\lambda
n
\biggl(
1 - rn - 1
r2n
\surd
rn
\biggr)
2
\biggl(
1 - \lambda
2
\biggr) 1 - \lambda /2
r
5\lambda /4
n
< 1 - r
5/2 - \lambda /4
n
4
< 0,
\alpha
\bigl(
r2+5/\lambda
n
\bigr)
> 1 - r
5/2+\lambda
n 21 - \lambda /2
2r
\lambda /2(2+5/\lambda )
n
= 1 - 1
2\lambda /2
> 0.
Отже, iснує \~rn \in
\bigl(
\^rn, r
2+5/\lambda
n
\bigr)
таке, що g\prime (\~rn) = 0, g\prime (r) < 0 на (\^rn, \~rn), g\prime (r) > 0 для
r > \~rn.
Оскiльки
g(\^rn) = (\^rn)
\lambda - \phi (\^rn) = (\^rn)
\lambda - r\lambda n\^rn
\biggl(
1 - rn - 1
r2n
\surd
rn
\biggr)
< \^rn
\biggl(
1
(\^rn)1 - \lambda
- r\lambda n
2
\biggr)
< 0,
g(r8/\lambda n ) > r8n - \phi (\^rn)r
4
n
\Biggl(
1 - \lambda \^rn
2r
8/\lambda
n
\Biggr) \lambda /2
> r8n - r\lambda +6.5
n
\biggl(
1 - rn - 1
r2n
\surd
rn
\biggr)
> 0,
то iснує r\ast n \in (\~rn, r
8/\lambda
n ) таке, що g(r\ast n) = 0, g(r) < 0 на (\^rn, r
\ast
n), g
\prime (r\ast n) > 0, тобто виконуються
умови (6) – (8).
Враховуючи, що
r\phi \prime (r) = \lambda r\lambda зростає на [r\ast n - 1, rn],
r\phi \prime (r) = rr\lambda n зростає на [rn, \^rn],
rn\phi
\prime (rn - 0) = \lambda r\lambda n \leq r\lambda +1
n = rn\phi
\prime (rn + 0),
r\phi \prime (r) =
\lambda
2
\phi (\^rn)
r\biggl(
r - \lambda \^rn
2
\biggr) 1 - \lambda /2
зростає на [\^rn, r
\ast
n],
оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1144 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Т. М. ЗАБОЛОЦЬКИЙ\left( r\biggl(
r - \lambda \^rn
2
\biggr) 1 - \lambda /2
\right)
\prime
=
\lambda
2 (r - \^rn)\biggl(
r - \lambda \^rn
2
\biggr) 2 - \lambda /2
\geq 0;
\^rn\phi
\prime (\^rn - 0) = \^rnr
\lambda
n \leq \^rn
\lambda
2
r\lambda n(\^rn - rn + 1)
1\biggl(
\^rn - \lambda \^rn
2
\biggr) 1 - \lambda /2
= \^rn\phi
\prime (\^rn + 0),
оскiльки
\lambda
2
(\^rn)
\lambda /2
\biggl(
1 - rn - 1
r2n
\surd
rn
\biggr)
(1 - \lambda /2)1 - \lambda /2
\geq \lambda
4
(\^rn)
\lambda /2 > 1,
i
r\ast n\phi
\prime (r\ast n - 0) = r\ast n
\phi (\^rn)\lambda
2
\biggl(
r\ast n - \lambda \^rn
2
\biggr) 1 - \lambda /2
\leq (r\ast n)
\lambda \lambda = r\ast n\phi
\prime (r\ast n + 0) (див. (8)),
отримуємо опуклiсть вiдносно логарифма на [1,+\infty ) функцiї \phi .
Для функцiї G(r) = r\lambda +1 - \phi (r) маємо G(rn) = r\lambda +1
n - r\lambda n > 0, G\prime (r) = (\lambda + 1)r\lambda -
- r\lambda n > 0 на [rn, \^rn], G\prime (r) = (\lambda + 1)r\lambda - \lambda \phi (\^rn)
2
\biggl(
r - \lambda \^rn
2
\biggr) 1 - \lambda /2
\geq G\prime (\^rn) = (\lambda + 1)(\^rn)
\lambda -
- \lambda
2
r\lambda n
\^rn
\biggl(
1 - rn - 1
\^rn
\biggr)
(\^rn - \lambda
2 \^rn)
1 - \lambda /2
> (\lambda + 1)(\^rn)
\lambda - \lambda (\^rn)
\lambda /2r\lambda n = (\lambda + 1)r
5\lambda /2
n - \lambda r
9\lambda /4
n > 0 на [\^rn, r
\ast
n].
Отже, G(r) > 0, тобто \phi (r) < r\lambda +1 при r \in [rn, r
\ast
n]. З вигляду функцiї \phi та (7) отримуємо
r\lambda \leq \phi (r) \leq r\lambda +1, r \in [1,+\infty ). (9)
Далi,
\rho [\phi ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (r)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (2rn)
\mathrm{l}\mathrm{n}(2rn)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}(r\lambda +1
n - r\lambda n)
\mathrm{l}\mathrm{n}(rn)
= \lambda + 1,
\lambda [\phi ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (r)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (rn)
\mathrm{l}\mathrm{n} rn
= \lambda .
Враховуючи (9), маємо \rho [\phi ] = \lambda + 1, \lambda [\phi ] = \lambda . Нарештi,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\phi (r + 1)/\phi (r) \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\phi (rn + 1)/\phi (rn) = 2 > 1,
що повнiстю доводить теорему 1.
4. Доведення теореми 2. Завдяки результату роботи [3], як i при доведеннi теореми 1, нам
достатньо побудувати неспадну опуклу вiдносно логарифма на [1,+\infty ) функцiю \phi таку, що
\lambda [\phi ] = 0, \rho [\phi ] = 1, \phi (r) \not = O(r) при r \rightarrow +\infty i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty \phi (r + 1)/\phi (r) > 1. Нехай (rn) —
послiдовнiсть таких додатних чисел, що r1 = e2, rn+1/r
2rn ln rn
n > 2, \^rn = 2rn - 1. Покладемо
r\ast 0 = 1 i для n \in \BbbN
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛIННИ 1145
\phi (r) =
\left\{
\mathrm{l}\mathrm{n}2 r, якщо r\ast n - 1 \leq r \leq rn,
\phi (rn)(r - rn + 1), якщо rn \leq r \leq \^rn,
\phi (\^rn)(1 + 2 \mathrm{l}\mathrm{n}(r/\^rn)), якщо \^rn \leq r \leq r\ast n,
де r\ast n \in
\bigl(
rrn ln rn
n , r2rn ln rn
n
\bigr)
така, що
\phi (r\ast n) = \mathrm{l}\mathrm{n}2 r\ast n, (10)
\phi (r) > \mathrm{l}\mathrm{n}2 r, r \in (\^rn, r
\ast
n), (11)
\phi (\^rn) < \mathrm{l}\mathrm{n} r\ast n. (12)
Покажемо iснування такої точки r\ast n. Для функцiї
g(r) = \mathrm{l}\mathrm{n}2 r - \phi (r) = \mathrm{l}\mathrm{n}2 r - rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn(1 + 2 \mathrm{l}\mathrm{n}(r/\^rn), r \geq \^rn,
маємо
rg\prime (r) = 2 \mathrm{l}\mathrm{n} r - 2rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn = 0 при r = \~rn = rrn ln rn
n ,
g\prime (r) < 0 на (\^rn, \~rn),
g\prime (r) > 0 на (\~rn,+\infty ).
Оскiльки g(\^rn) = \mathrm{l}\mathrm{n}2 \^rn - rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn < 0, g(r2rn ln rn
n ) = rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn(2 \mathrm{l}\mathrm{n} \^rn - 1) > 0, то iснує
точка r\ast n \in (\~rn, \~r
2
n) така, що g(r\ast n) = 0, g(r) < 0 на (\^rn, r
\ast
n), g
\prime (r\ast n) > 0, тобто виконуються
умови (10) – (12).
Далi,
r\phi \prime (r) =
\left\{
2 \mathrm{l}\mathrm{n} r на [r\ast n - 1, rn],
r \mathrm{l}\mathrm{n}2 rn на [rn, \^rn],
2\phi (\^rn) на [\^rn, r
\ast
n],
rn\phi
\prime (rn - 0) = 2 \mathrm{l}\mathrm{n} rn \leq rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn = rn\phi
\prime (rn + 0),
\^rn\phi
\prime (\^rn - 0) = \^rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn \leq 2rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn = \^rn\phi
\prime (\^rn + 0),
r\ast n\phi
\prime (r\ast n - 0) = 2\phi (\^rn) \leq 2 \mathrm{l}\mathrm{n} r\ast n = r\ast n\phi
\prime (r\ast n + 0) (див. (12)).
Звiдси видно, що \phi — опукла вiдносно логарифма на [1,+\infty ) функцiя.
Покажемо, що
\mathrm{l}\mathrm{n}2 r \leq \phi (r) \leq 2r \mathrm{l}\mathrm{n}2 r, r \in [1,+\infty ). (13)
Для функцiї G(r) = 2r \mathrm{l}\mathrm{n}2 r - \phi (r) маємо G(rn) > 0, G\prime (r) = 2 \mathrm{l}\mathrm{n}2 r + 4 \mathrm{l}\mathrm{n} r - \mathrm{l}\mathrm{n}2 rn > 0
на [rn, \^rn], G
\prime (r) = 2 \mathrm{l}\mathrm{n}2 r+ 4 \mathrm{l}\mathrm{n} r - 2\phi (\^rn)/r \geq G\prime (\^rn) > 0 на [\^rn, r
\ast
n], а отже, G(r) > 0, тобто
\phi (r) < 2r \mathrm{l}\mathrm{n}2 r на [rn, r
\ast
n].
З вигляду \phi та (11) отримуємо (13), а отже, \lambda [\phi ] = 0, \rho [\phi ] \leq 1. Оскiльки
\rho [\phi ] \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\phi (\^rn)
\mathrm{l}\mathrm{n} \^rn
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}(rn \mathrm{l}\mathrm{n}
2 rn)
\mathrm{l}\mathrm{n}(2rn - 1)
= 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1146 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Т. М. ЗАБОЛОЦЬКИЙ
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\phi (r + 1)
\phi (r)
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\phi (rn + 1)
\phi (rn)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
2 \mathrm{l}\mathrm{n}2 rn
\mathrm{l}\mathrm{n}2 rn
= 2,
то \rho [\phi ] = 1.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. А. А. Гольдберг, И. В. Островский, Распределение значений мероморфных функций, Москва, Наука (1970).
2. R. Nevanlinna, Analytic function, Springer-Verlag, New York (1970).
3. J. Clunie, On integral functions having prescribed asymptotic growth, Can. J. Math., 17, № 3, 396 – 404 (1965).
Одержано 16.03.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-6627 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:27Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ad/31813e72ac894d24c9a61ed1f40ee9ad.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66272025-03-31T08:47:35Z On a property of the Nevanlinna characteristic Про одну властивість характеристики Неванлінни Zabolotskyy, M. V. Zabolotskyy , T. M. Заболоцький, М. В. Заболоцький, Т. М. мероморфна функція, нижній порядок, порядок, неванліннова характеристика. UDC 517.53We prove the existience of entire functions $f$ of an arbitrary lower order $\lambda\ge 0$ and the order $\rho=\lambda+1$ such that \begin{equation*}\underset{r \to +\infty}{\overline{\lim}}T(r + 1, f)/T(r, f) &gt; 1.\end{equation*}Obtained results show that the condition $\rho - \lambda &lt; 1$ of Valiron's theorem can not be improved. УДК 517.53 Доведено існування цілих функцій $f$ довільного нижнього порядку $\lambda\ge 0$ і порядку $\rho=\lambda+1,$ для яких\begin{equation*}\underset{r \to +\infty}{\overline{\lim}}T(r + 1, f)/T(r, f) &gt; 1.\end{equation*}Отримані результати свідчать про непокращуваність умови $\rho - \lambda &lt; 1$ однієї теореми Валірона. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6627 10.37863/umzh.v73i8.6627 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 8 (2021); 1140 - 1146 Український математичний журнал; Том 73 № 8 (2021); 1140 - 1146 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6627/9100 Copyright (c) 2021 Микола Заболоцький, Тарас Заболоцький |
| spellingShingle | Zabolotskyy, M. V. Zabolotskyy , T. M. Заболоцький, М. В. Заболоцький, Т. М. On a property of the Nevanlinna characteristic |
| title | On a property of the Nevanlinna characteristic |
| title_alt | Про одну властивість характеристики Неванлінни |
| title_full | On a property of the Nevanlinna characteristic |
| title_fullStr | On a property of the Nevanlinna characteristic |
| title_full_unstemmed | On a property of the Nevanlinna characteristic |
| title_short | On a property of the Nevanlinna characteristic |
| title_sort | on a property of the nevanlinna characteristic |
| topic_facet | мероморфна функція нижній порядок порядок неванліннова характеристика. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6627 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskyymv onapropertyofthenevanlinnacharacteristic AT zabolotskyytm onapropertyofthenevanlinnacharacteristic AT zabolocʹkijmv onapropertyofthenevanlinnacharacteristic AT zabolocʹkijtm onapropertyofthenevanlinnacharacteristic AT zabolotskyymv proodnuvlastivístʹharakteristikinevanlínni AT zabolotskyytm proodnuvlastivístʹharakteristikinevanlínni AT zabolocʹkijmv proodnuvlastivístʹharakteristikinevanlínni AT zabolocʹkijtm proodnuvlastivístʹharakteristikinevanlínni |