An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra
UDC 517.54 The aim of this work is to weaken the conditions of monogeneity for functions that take values in a given three-dimensional commutative algebra over the field of complex numbers. The monogeneity of the function is understood as a combination of its continuity and the existence of the Gate...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6658 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512491634688000 |
|---|---|
| author | Tkachuk, M. V. Plaksa, S. A. Ткачук, М. В. Плакса, С. А. Плакса, Сергей |
| author_facet | Tkachuk, M. V. Plaksa, S. A. Ткачук, М. В. Плакса, С. А. Плакса, Сергей |
| author_sort | Tkachuk, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:35Z |
| description | UDC 517.54
The aim of this work is to weaken the conditions of monogeneity for functions that take values in a given three-dimensional commutative algebra over the field of complex numbers. The monogeneity of the function is understood as a combination of its continuity and the existence of the Gateaux derivative. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i8.6658 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i8.6658
УДК 517.54
М. В. Ткачук, С. А. Плакса (Iн-т математики НАН України, Київ)
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА – ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ
ФУНКЦIЙ У ТРИВИМIРНIЙ КОМУТАТИВНIЙ АЛГЕБРI
The aim of this work is to weaken the conditions of monogeneity for functions that take values in a given three-dimensional
commutative algebra over the field of complex numbers. The monogeneity of the function is understood as a combination
of its continuity and the existence of the Gâteaux derivative.
Послаблено умови моногенностi функцiй зi значеннями в певнiй тривимiрнiй комутативнiй алгебрi над полем
комплексних чисел. Пiд моногеннiстю мається на увазi неперервнiсть та iснування похiдної Гато.
1. Вступ. В алгебрi комплексних чисел \BbbC функцiя F : \BbbC - \rightarrow \BbbC називається моногенною в точцi
\xi 0 \in \BbbC , якщо iснує скiнченна границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\xi \rightarrow \xi 0
F (\xi ) - F (\xi 0)
\xi - \xi 0
. (1)
При цьому границя (1) називається похiдною функцiї F в точцi \xi 0. Функцiя, яка є моногенною
в усiх точках областi D \subset \BbbC , називається голоморфною в цiй областi (див. [1]).
Встановленню послаблених умов голоморфностi функцiй комплексної змiнної присвячено
роботи [2 – 18].
Наведемо одну з умов Меньшова, яку, зберiгаючи позначення автора, називають умовою
K \prime \prime \prime , а саме, кажуть, що функцiя F (\xi ) задовольняє умову K \prime \prime \prime в точцi \xi 0, якщо iснує границя
(1), де \xi належить об’єднанню двох неколiнеарних променiв з початком у точцi \xi 0.
Д. Є. Меньшов [4 – 6] показав достатнiсть виконання умови K \prime \prime \prime в кожнiй точцi областi
D (за винятком не бiльш нiж зчисленної їх кiлькостi) для конформностi вiдображення F у
випадку, коли F : D \rightarrow \BbbC — неперервна однолиста функцiя. Ю. Ю. Трохимчук [9] зняв умову
однолистостi функцiї F, довiвши при цьому таку теорему.
Теорема Меньшова – Трохимчука. Якщо функцiя F : D \rightarrow \BbbC неперервна в областi D i в
кожнiй її точцi, за винятком не бiльш нiж зчисленної їх кiлькостi, виконується умова K \prime \prime \prime , то
функцiя F голоморфна в областi D.
А. В. Бондар [19, 20] довiв аналог цiєї теореми для функцiй, заданих у багатовимiрному
комплексному просторi \BbbC n. При цьому ним доведено, що для голоморфностi функцiї достатньо
неперервностi цiєї функцiї та iснування i рiвностi похiдної Фреше вздовж 2n спецiально виб-
раних напрямкiв. А. В. Бондар [20] i В. I. Сiрик [21] довели також для функцiй, заданих в \BbbC n,
аналоги iншої теореми Меньшова – Трохимчука, в якiй використовується певна умова збережен-
ня кутiв. О. С. Грецький [22] узагальнив згаданi результати А. В. Бондаря на вiдображення
банахових просторiв.
Метою даної роботи є послаблення умов моногенностi для функцiй, що набувають зна-
чень в однiй iз тривимiрних комутативних алгебр над полем комплексних чисел. При цьому
моногеннiсть функцiї розумiється як поєднання її неперервностi з iснуванням похiдної Гато.
c\bigcirc М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА, 2021
1120 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА – ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 1121
2. Моногеннi функцiї в тривимiрнiй комутативнiй гармонiчнiй алгебрi з двовимiрним
радикалом. Розглянемо тривимiрну комутативну асоцiативну банахову алгебру \BbbA 3 з одини-
цею над полем \BbbC , базисом якої є трiйка
\bigl\{
1, \rho , \rho 2
\bigr\}
, при цьому виконується рiвнiсть \rho 3 = 0.
Визначимо евклiдову норму елемента алгебри рiвнiстю\bigm\| \bigm\| a+ b\rho + c\rho 2
\bigm\| \bigm\| :=
\sqrt{}
| a| 2 + | b| 2 + | c| 2, a, b, c \in \BbbC .
Алгебра \BbbA 3 має єдиний максимальний iдеал \scrI := \{ \lambda 1\rho + \lambda 2\rho
2 : \lambda 1, \lambda 2 \in \BbbC \} , який є також її
радикалом.
Оскiльки ядром лiнiйного вiдображення f : \BbbA 3 \rightarrow \BbbC , що визначається рiвнiстю
f
\bigl(
a+ b\rho + c\rho 2
\bigr)
= a, (2)
є максимальний iдеал \scrI , то f є неперервним мультиплiкативним функцiоналом (див. [23,
с. 135]).
Зафiксуємо спочатку дiйсний тривимiрний пiдпростiр
E3 := \{ \zeta = xe1 + ye2 + ze3 : x, y, z \in \BbbR \} \subset \BbbA 3,
де e1, e2, e3 — лiнiйно незалежнi вектори над полем дiйсних чисел \BbbR , проте, взагалi кажучи, не
утворюють базис алгебри \BbbA 3. На вибiр пiдпростору E3 накладемо лише одну вимогу: образом
E3 при вiдображеннi f є вся комплексна площина (див. [24, 25]).
Важливими з точки зору застосувань прикладами таких пiдпросторiв є пiдпростори, побудо-
ванi на гармонiчних базисах \{ e1, e2, e3\} алгебри \BbbA 3, що задовольняють рiвнiсть e21+e22+e23 = 0
(див. [26, 27]). Iснування гармонiчних базисiв у комутативнiй алгебрi є iстотною передумовою
побудови розв’язкiв тривимiрного рiвняння Лапласа у виглядi компонент розкладу диференцi-
йовних функцiй за векторами базису (див. [26, 28, 29]).
Вiдомо, що iснують рiзнi типи диференцiйовностi вiдображень в лiнiйних нормованих
просторах. Насамперед, використовуються сильна диференцiйовнiсть за Фреше i слабка ди-
ференцiйовнiсть за Гато (див., наприклад, [23]), при цьому вiдповiднi похiднi Фреше i Гато
визначаються як лiнiйнi оператори. Для функцiї, заданої в областi скiнченновимiрної комута-
тивної асоцiативної алгебри, Г. Шефферс [30] розглядав похiдну, яка розумiється як функцiя,
визначена в тiй самiй областi. Узагальнюючи такий пiдхiд на випадок довiльної комутатив-
ної банахової алгебри, Е. Р. Лорх [31] увiв сильну похiдну функцiї, яка також розумiється як
функцiя, визначена в тiй же областi, що i сама функцiя.
Функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 називається диференцiйовною за Лорхом в областi \Omega \subset E3, якщо для
кожної точки \zeta \in \Omega iснує елемент алгебри \Phi \prime
L(\zeta ) \in \BbbA 3 такий, що для кожного \varepsilon > 0 iснує таке
\delta > 0, що для всiх h \in E3, для яких \| h\| < \delta , виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \Phi (\zeta + h) - \Phi (\zeta ) - h\Phi \prime
L(\zeta )
\bigm\| \bigm\| \leq \| h\| \varepsilon . (3)
Похiдна Лорха \Phi \prime
L(\zeta ) є функцiєю змiнної \zeta , тобто \Phi \prime
L : \Omega \rightarrow \BbbA 3. При цьому вiдображення
B\zeta : E3 \rightarrow \BbbA 3, задане рiвнiстю B\zeta h = h\Phi \prime
L(\zeta ), є обмеженим лiнiйним оператором.
Отже, функцiя \Phi , диференцiйовна за Лорхом в областi \Omega , має похiдну Фреше B\zeta в кожнiй
точцi \zeta \in \Omega . Обернене твердження загалом не є правильним (див. приклад у монографiї
[23, с. 116]).
Використовуючи диференцiал Гато, I. П. Мельниченко [29] запропонував розглядати похiд-
ну Гато також як функцiю, визначену в тiй же областi, що i сама функцiя.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1122 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
Якщо для функцiї \Phi : \Omega - \rightarrow \BbbA 3, заданої в областi \Omega \subset E3, у кожнiй точцi \zeta \in \Omega iснує
елемент алгебри \Phi \prime
G(\zeta ) \in \BbbA 3 такий, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
(\Phi (\zeta + \delta h) - \Phi (\zeta )) \delta - 1 = h\Phi \prime
G(\zeta ) \forall h \in E3, (4)
то функцiю \Phi \prime
G : \Omega - \rightarrow \BbbA 3 будемо називати похiдною Гато функцiї \Phi .
Очевидно, що з iснування сильної похiдної Лорха \Phi \prime
L(\zeta ) випливає iснування слабкої похiд-
ної Гато \Phi \prime
G(\zeta ) i рiвнiсть \Phi \prime
L(\zeta ) = \Phi \prime
G(\zeta ), проте з iснування похiдної Фреше B\zeta не випливає
iснування похiдної \Phi \prime
G(\zeta ), що демонструє згаданий вище приклад з монографiї [23, с. 116].
Розглянемо тепер поняття моногенної функцiї.
Функцiю \Phi : \Omega - \rightarrow \BbbA 3 називаємо моногенною в областi \Omega \subset E3, якщо \Phi є неперервною i
має похiдну Гато в кожнiй точцi областi \Omega (див. [27, 32, 33]).
Хоча з iснування похiдної Гато \Phi \prime
G(\zeta ) не випливає iснування похiдної Лорха \Phi \prime
L(\zeta ), проте
моногеннi функцiї \Phi : \Omega - \rightarrow \BbbA 3 в областi \Omega \subset E3 є диференцiйовними за Лорхом у цiй
областi. Це випливає iз зображення моногенних функцiй \Phi (\zeta ), \zeta \in \Omega , через голоморфнi функцiї
комплексної змiнної f(\zeta ), встановленого в роботi [27].
У роботi [34] послабено одну з умов моногенностi, а саме, показано, що за умови iснування
похiдної Гато функцiї \Phi : \Omega - \rightarrow \BbbA 3 в усiх точках областi \Omega \subset E3 неперервнiсть функцiї \Phi
можна замiнити її локальною обмеженiстю в областi \Omega .
3. Аналог теореми Меньшова – Трохимчука для моногенних функцiй в областях прос-
тору \bfitE 3 . Введемо деякi позначення. Перетином радикала алгебри \BbbA 3 з лiнiйним простором E3
є множина необоротних елементiв, що належать E3. Цiєю множиною є деяка пряма L := \{ c l :
c \in \BbbR \} , де через l \in E3 позначено напрямний вектор прямої L. Прообразом довiльної точки
\xi \in \BbbC в E3 при вiдображеннi f є пряма L\zeta := \{ \zeta + c l : c \in \BbbR \} , де \zeta — деякий елемент iз E3
такий, що \xi = f(\zeta ). Очевидно, що пряма L\zeta паралельна прямiй L.
Зазначимо, що тут i далi до об’єктiв з E3 застосовуються геометричнi поняття (пара-
лельнiсть, опуклiсть в напрямку прямої тощо), якi, строго кажучи, мають сенс по вiдношен-
ню до конгруентних прообразiв цих об’єктiв у \BbbR 3 при взаємно однозначнiй вiдповiдностi
\zeta = xe1 + ye2 + ze3 мiж елементами \zeta \in E3 i точками (x, y, z) \in \BbbR 3.
Нехай область \Omega \subset E3 є опуклою в напрямку прямої L (область називається опуклою в
напрямку прямої, якщо вона мiстить кожен вiдрiзок, який з’єднує двi точки областi i паралель-
ний цiй прямiй). При цьому перетини областi \Omega з усiма прямими L\zeta , де \zeta \in \Omega , є зв’язними
внаслiдок опуклостi областi \Omega в напрямку прямої L.
Розглянемо такий гiперкомплексний аналог умови Меньшова K \prime \prime \prime в алгебрi \BbbA 3 для функцiй
\Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3, визначених в областi \Omega \subset E3.
Означення 1. Будемо говорити, що функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3
в точцi
\zeta \in \Omega , якщо iснує елемент \Phi \ast (\zeta ) \in \BbbA 3 такий, що рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
(\Phi (\zeta + \delta h) - \Phi (\zeta )) \delta - 1 = h\Phi \ast (\zeta ) (5)
виконується для трьох векторiв h, а саме, векторiв h1, h2 i h3 = l або h3 = - l, що утворю-
ють базис у просторi E3.
Зауважимо, що у випадку, коли функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3
в рiзних
точках областi \Omega \subset E3, набiр векторiв h1, h2, h3 може бути рiзним у рiзних точках цiєї областi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА – ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 1123
Лема 1. Нехай область \Omega \subset E3 є опуклою в напрямку прямої L i неперервна в \Omega функцiя
\Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 має вигляд \Phi (\zeta ) = \rho 2\Phi 2(\zeta ), де \Phi 2(\zeta ) \in \BbbC , i задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3
в усiх
точках \zeta \in \Omega , крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок. Тодi \Phi 2(\zeta ) = F2(f(\zeta )), де
F2 : D \rightarrow \BbbC — голоморфна функцiя в областi D, яка є образом областi \Omega при вiдображеннi f.
Доведення. Нехай \zeta \in \Omega — довiльна точка, в якiй функцiя \Phi задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3 .
Запишемо рiвнiсть (5) для функцiї \Phi (\zeta ) = \rho 2\Phi 2(\zeta ):
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
\rho 2 (\Phi 2(\zeta + \delta h) - \Phi 2(\zeta )) \delta
- 1 = h\Phi \ast (\zeta ) (6)
i зазначимо, що вона виконується при h \in \{ h1, h2, h3\} .
Пiдставимо h = h1 у рiвнiсть (6) i з урахуванням того, що h1 є оборотним елементом
алгебри \BbbA 3, отримаємо
\Phi \ast (\zeta ) = \rho 2 h - 1
1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
(\Phi 2(\zeta + \delta h1) - \Phi 2(\zeta )) \delta
- 1 =: \rho 2\Psi (\zeta ). (7)
Пiсля пiдстановки виразу (7) для \Phi \ast у рiвнiсть (6) вона набере вигляду
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
\rho 2 (\Phi 2(\zeta + \delta h) - \Phi 2(\zeta )) \delta
- 1 = h\rho 2\Psi (\zeta ). (8)
Тепер пiсля пiдстановки у (8) значення h = h3 отримаємо нуль у правiй частинi рiвностi (8),
оскiльки h3 \in \scrI . Звiдси випливає, що звуження функцiї \Phi 2 на перетин областi \Omega з прямою L\zeta в
усiх точках, крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок цього перетину, має рiвну нулю одну з
одностороннiх (взагалi кажучи, рiзних у рiзних точках) похiдних уздовж прямої L\zeta . При цьому
перетин областi \Omega з прямою L\zeta є зв’язним внаслiдок опуклостi областi \Omega в напрямку прямої
L. Тодi за теоремою 9 з монографiї [10, с. 103] функцiя \Phi 2 є сталою на перетинi областi \Omega з
прямою L\zeta . Звiдси випливає, що функцiю \Phi 2 можна записати у виглядi \Phi 2(\zeta ) = F2(f(\zeta )), де
F2 : D \rightarrow \BbbC — деяка неперервна в областi D функцiя.
Доведемо, що функцiя F2 голоморфна в областi D.
Спочатку зауважимо, що наслiдком означення (2) функцiонала f є рiвнiсть
\rho 2 h\Psi (\zeta ) = \rho 2 f(h)f(\Psi (\zeta )).
Тому, позначаючи \xi := f(\zeta ), записуємо рiвнiсть (8) у виглядi
\rho 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
(F2(\xi + \delta f(h)) - F2(\xi )) \delta
- 1 = \rho 2 f(h)f(\Psi (\zeta )). (9)
Оскiльки вирази бiля \rho 2 в обох частинах рiвностi (9) набувають комплексних значень, то з
єдиностi розкладу елемента алгебри за базисом випливає рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
(F2(\xi + \delta f(h)) - F2(\xi )) \delta
- 1 = f(h)f(\Psi (\zeta )),
яка виконується при h \in \{ h1, h2\} . Звiдси випливають рiвностi
f(\Psi (\zeta )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
(F2(\xi + \delta t1) - F2(\xi )) (\delta t1)
- 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
(F2(\xi + \delta t2) - F2(\xi )) (\delta t2)
- 1,
де t1 := f(h1), t2 := f(h2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1124 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
Отже, в кожнiй точцi \xi областi D, за винятком не бiльш нiж зчисленної їх кiлькостi, iснують
похiднi функцiї F2 вздовж двох неколiнеарних променiв iз початком у точцi \xi i цi похiднi рiвнi.
Це означає, що неперервна функцiя F2 задовольняє умову Меньшова K \prime \prime \prime у точцi \xi . Тодi з
теореми Меньшова – Трохимчука випливає голоморфнiсть функцiї F2 в областi D.
Лему 1 доведено.
Кожен елемент a + b\rho + c\rho 2, a, b, c \in \BbbC , за умови a \not = 0 має обернений елемент, розклад
якого за базисом
\bigl\{
1, \rho , \rho 2
\bigr\}
визначається рiвнiстю
\bigl(
a+ b\rho + c\rho 2
\bigr) - 1
=
1
a
- b
a2
\rho +
\biggl(
b2
a3
- c
a2
\biggr)
\rho 2.
Тодi
\bigl(
t - a - b\rho - c\rho 2
\bigr) - 1
=
1
t - a
+
b
(t - a)2
\rho +
\biggl(
c
(t - a)2
+
b2
(t - a)3
\biggr)
\rho 2. (10)
Використовуючи цей розклад, легко записати розклад за базисом
\bigl\{
1, \rho , \rho 2
\bigr\}
головного продов-
ження голоморфної функцiї F : D \rightarrow \BbbC в область \Pi := \{ \zeta \in E3 : f(\zeta ) \in D\} , яка, очевидно, є
нескiнченним цилiндром, твiрнi якого паралельнi прямiй L:
1
2\pi i
\int
\gamma
F (t)(t - \zeta ) - 1 dt = F (f(\zeta )) + (b1x+ b2y + b3z)F
\prime (f(\zeta )) \rho +
+
\biggl(
(c1x+ c2y + c3z)F
\prime (f(\zeta )) +
(b1x+ b2y + b3z)
2
2
F \prime \prime (f(\zeta ))
\biggr)
\rho 2 (11)
\forall \zeta = xe1 + ye2 + ze3 \in \Pi ,
де i — уявна комплексна одиниця, замкнена жорданова спрямлювана крива \gamma лежить в областi
D i охоплює точку f(\zeta ) = a1x+ a2y + a3z, а комплекснi сталi ak, bk, ck при k = 1, 2, 3 — це
коефiцiєнти з розкладiв елементiв e1, e2, e3 за базисом \{ 1, \rho , \rho 2\} :
e1 = a1 + b1\rho + c1\rho
2,
e2 = a2 + b2\rho + c2\rho
2,
e3 = a3 + b3\rho + c3\rho
2.
Розклад (11) узагальнює аналогiчний розклад, отриманий в теоремi 1.7 з [26] при додатковому
припущеннi, що e1 = 1.
Лема 2. Нехай область \Omega \subset E3 є опуклою в напрямку прямої L, функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 є
неперервною в \Omega i задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3
в усiх точках \zeta \in \Omega , крiм не бiльш нiж зчисленної
множини точок. Тодi при всiх \zeta \in \Omega має мiсце зображення
\Phi (\zeta ) =
1
2\pi i
\int
\gamma
\bigl(
F0(\xi ) + F1(\xi )\rho + F2(\xi ) \rho
2
\bigr)
(\xi - \zeta ) - 1 d\xi , (12)
де F0, F1, F2 — деякi функцiї, голоморфнi в областi D, яка є образом областi \Omega при
вiдображеннi f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА – ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 1125
Доведення. При \zeta \in \Omega розглянемо розклад \Phi (\zeta ) за базисом
\bigl\{
1, \rho , \rho 2
\bigr\}
:
\Phi (\zeta ) = \Phi 0(\zeta ) + \Phi 1(\zeta )\rho +\Phi 2(\zeta )\rho
2.
Функцiя \rho 2\Phi (\zeta ) = \rho 2\Phi 0(\zeta ) є неперервною в \Omega i задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3
в усiх точках \zeta \in \Omega ,
крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок. Тодi з леми 1 випливає, що \Phi 0(\zeta ) = F0(f(\zeta )),
де F0 — голоморфна функцiя в областi D, яка є образом областi \Omega при вiдображеннi f.
Як випливає з рiвностi (11), першi компоненти в розкладах за базисом
\bigl\{
1, \rho , \rho 2
\bigr\}
функцiй
\Phi (\zeta ) i
1
2\pi i
\int
\gamma
F0(\xi )(\xi - \zeta ) - 1 d\xi збiгаються в областi \Omega . Тому справджується рiвнiсть
\Phi (\zeta ) - 1
2\pi i
\int
\gamma
F0(\xi )(\xi - \zeta ) - 1 d\xi = \Phi 11(\zeta ) \rho +\Phi 12(\zeta ) \rho
2 \forall \zeta \in \Omega , (13)
де \Phi 11, \Phi 12 — деякi комплекснозначнi неперервнi в \Omega функцiї.
Тодi функцiя \rho
\bigl(
\Phi 11(\zeta )\rho +\Phi 12(\zeta )\rho
2
\bigr)
= \rho 2\Phi 11(\zeta ) є неперервною в \Omega i задовольняє умову
K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3
в усiх точках \zeta \in \Omega , крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок.
Отже, за лемою 1 маємо \Phi 11(\zeta ) = F1(f(\zeta )), де F1 — голоморфна функцiя в областi D.
Далi, як i при доведеннi рiвностi (13), отримуємо
\Phi 11(\zeta ) \rho +\Phi 12(\zeta ) \rho
2 - \rho
1
2\pi i
\int
\gamma
F1(\xi )(\xi - \zeta ) - 1 d\xi = \Phi 22(\zeta ) \rho
2 \forall \zeta \in \Omega , (14)
де \Phi 22 — деяка комплекснозначна неперервна в \Omega функцiя.
Як наслiдок рiвностей (13), (14) маємо рiвнiсть
\Phi (\zeta ) - 1
2\pi i
\int
\gamma
F0(\xi )(\xi - \zeta ) - 1 d\xi - \rho
1
2\pi i
\int
\gamma
F1(\xi )(\xi - \zeta ) - 1 d\xi = \Phi 22(\zeta )\rho
2 \forall \zeta \in \Omega . (15)
Тепер, з огляду на лему 1, приходимо до рiвностi \Phi 22(\zeta ) = F2(f(\zeta )), де F2 — голоморфна
функцiя в областi D. Тому справедливими є також рiвностi
\rho 2\Phi 22(\zeta ) = \rho 2 F2(f(\zeta )) = \rho 2
1
2\pi i
\int
\gamma
F2(\xi )(\xi - \zeta ) - 1 d\xi \forall \zeta \in \Omega . (16)
Нарештi, як наслiдок рiвностей (15), (16), отримуємо зображення (12).
Лему 2 доведено.
Основним результатом пункту 3 є таке твердження.
Теорема 1. Нехай область \Omega \subset E3 є опуклою в напрямку прямої L, функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 є
неперервною в \Omega i задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,E3
в усiх точках \zeta \in \Omega , крiм не бiльш нiж зчисленної
множини точок. Тодi:
1) функцiя \Phi є моногенною в областi \Omega ;
2) функцiя \Phi продовжується до функцiї, моногенної в областi \Pi ; таке продовження єдине
i задається рiвнiстю (12) при всiх \zeta \in \Pi ;
3) моногенне продовження (12) функцiї \Phi є диференцiйовним за Лорхом в областi \Pi .
Усi твердження теореми 1 є очевидними наслiдками зображення (12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1126 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
4. Узагальнення на iншi розмiрностi областi визначення функцiй. Узагальнимо отри-
манi результати на дiйсний пiдпростiр Ek алгебри \BbbA 3 довiльної розмiрностi 2 \leq k \leq 6, на
вибiр якого накладемо лише одну вимогу: образом Ek при вiдображеннi f є вся комплексна
площина.
Для цього сформулюємо аналог умови Меньшова K \prime \prime \prime для функцiй \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3, визначених
в областi \Omega \subset Ek. Зазначимо, що перетином простору Ek з радикалом \scrI алгебри \BbbA 3 є площина
розмiрностi k - 2 , яку позначимо LEk
. Зокрема, LE3 — це пряма L, визначена в п. 3, i
LE2 = \{ 0\} .
Означення 2. Будемо говорити, що функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,Ek
в точцi
\zeta \in \Omega \subset Ek, якщо iснує елемент \Phi \ast (\zeta ) \in \BbbA 3 такий, що рiвнiсть (5) виконується для k рiзних
векторiв, а саме, двох векторiв h1, h2, що мають неколiнеарнi образи при вiдображеннi f, i
k - 2 векторiв h3, . . . , hk, що утворюють базис у просторi LEk
.
Зауважимо, що у випадку, коли функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,Ek
в рiзних
точках областi \Omega \subset Ek, набiр векторiв h1, h2, . . . , hk може бути рiзним у рiзних точках цiєї
областi.
Наступне твердження є узагальненням леми 1.
Лема 3. Нехай область \Omega \subset Ek має зв’язнi перетини площинами L\zeta
Ek
:= \{ \zeta +\tau : \tau \in LEk
\} ,
де \zeta \in \Omega , паралельними площинi LEk
, i неперервна в \Omega функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 має вигляд
\Phi (\zeta ) = \rho 2\Phi 2(\zeta ), де \Phi 2(\zeta ) \in \BbbC , i задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,Ek
в усiх точках \zeta \in \Omega , крiм не бiльш
нiж зчисленної множини точок. Тодi \Phi 2(\zeta ) = F2(f(\zeta )), де F2 : D \rightarrow \BbbC — голоморфна функцiя
в областi D, яка є образом областi \Omega при вiдображеннi f.
Доведення. Нехай \zeta \in \Omega — довiльна точка, в якiй функцiя \Phi задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,Ek
.
Як i при доведеннi леми 1, отримуємо рiвнiсть (8), яка виконується при h \in \{ h1, h2, . . . , hk\} .
Тепер при пiдстановцi в рiвнiсть (8) значень h = h3, . . . , hk отримуємо нуль у правiй частинi
цiєї рiвностi.
Звiдси випливає, що похiднi функцiї \Phi 2 вздовж напрямкiв h3, . . . , hk (якi, взагалi кажучи,
є рiзними в рiзних точках) дорiвнюють нулю скрiзь на множинi L\zeta
Ek
\cap \Omega , крiм не бiльш нiж
зчисленної множини точок. При цьому множина L\zeta
Ek
\cap \Omega є зв’язною. Тодi за теоремою 9 з
монографiї [10, с. 103] функцiя \Phi 2 є сталою на множинi L\zeta
Ek
\cap \Omega .
Звiдси випливає, що функцiю \Phi 2 можна зобразити у виглядi \Phi 2(\zeta ) = F2(f(\zeta )), де
F2 : D \rightarrow \BbbC — деяка неперервна в областi D функцiя.
Доведення голоморфностi функцiї F2 в областi D аналогiчне доведенню голоморфностi
функцiї F2 в лемi 1.
Лему 3 доведено.
Зауважимо, що у випадку k = 2 в лемi 3 виконується рiвнiсть L\zeta
E2
= \{ \zeta \} , i тому умова про
зв’язнiсть перетинiв L\zeta
E2
\cap \Omega при \zeta \in \Omega , очевидно, виконується автоматично.
Наступне твердження є узагальненням теореми 1 на випадок функцiй, визначених в облас-
тях дiйсного пiдпростору Ek алгебри \BbbA 3 довiльної розмiрностi 2 \leq k \leq 6.
Теорема 2. Нехай область \Omega \subset Ek має зв’язнi перетини площинами L\zeta
Ek
, де \zeta \in \Omega ,
паралельними площинi LEk
, i неперервна в \Omega функцiя \Phi : \Omega \rightarrow \BbbA 3 задовольняє умову K \prime \prime \prime
\BbbA 3,Ek
в
усiх точках \zeta \in \Omega , крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок. Тодi:
1) функцiя \Phi є моногенною в областi \Omega ;
2) функцiя \Phi продовжується до функцiї, моногенної в областi \Pi := \{ \zeta \in Ek : f(\zeta ) \in D\} ;
таке продовження єдине i задається рiвнiстю (12) при всiх \zeta \in \Pi ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА – ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 1127
3) моногенне продовження (12) функцiї \Phi є диференцiйовним за Лорхом в областi \Pi .
Доведення. Використовуючи рiвнiсть (10), отримуємо розклад за базисом \{ 1, \rho , \rho 2\} голов-
ного продовження довiльної голоморфної функцiї F : D \rightarrow \BbbC в область \Pi :
1
2\pi i
\int
\gamma
F (t)(t - \zeta ) - 1 dt = F (f(\zeta )) + (b1x1 + b2x2 + . . .+ bkxk)F
\prime (f(\zeta )) \rho +
+
\biggl(
(c1x1 + c2x2 + . . .+ ckxk)F
\prime (f(\zeta )) +
(b1x1 + b2x2 + . . .+ bkxk)
2
2
F \prime \prime (f(\zeta ))
\biggr)
\rho 2
\forall \zeta = x1e1 + x2e2 + . . .+ xkek \in \Pi ,
де замкнена жорданова спрямлювана крива \gamma лежить в областi D i охоплює точку f(\zeta ) =
= a1x1 + a2x2 + . . .+ akxk, а комплекснi сталi aj , bj , cj при j = 1, 2, . . . , k — це коефiцiєнти
з розкладiв елементiв e1, e2, . . . , ek за базисом
\bigl\{
1, \rho , \rho 2
\bigr\}
:
e1 = a1 + b1\rho + c1\rho
2,
e2 = a2 + b2\rho + c2\rho
2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ek = ak + bk\rho + ck\rho
2.
Тодi, спираючись на лему 3, як i при доведеннi леми 2, отримуємо iнтегральне зображення (12)
функцiї \Phi , з якого випливають усi твердження теореми 2.
Теорему 2 доведено.
Частину результатiв роботи анонсовано в препринтi [35].
Лiтература
1. E. Goursat, Cours d’analyse mathematique, vol. 2, Gauthier-Villars, Paris (1910).
2. H. Bohr, Über streckentreue und konforme Abbildung, Math. Z., 1, 403 – 420 (1918).
3. H. Rademacher, Über streckentreue und winkeltreue Abbildung, Math. Z., 4, 131 – 138 (1919).
4. D. Menchov, Sur les differentielles totales des fonctions univalentes, Math. Ann., 105, 75 – 85 (1931).
5. D. Menchov, Sur les fonctions monogenes, Bull. Soc. Math. France, 59, 141 – 182 (1931).
6. D. Menchov, Les conditions de monogeneite, Act. Sci. Ind., № 329 (1936).
7. В. С. Федоров, О моногенных функциях, Мат. сб., 42, № 4, 485 – 500 (1935).
8. Г. П. Толстов, О криволинейном и повторном интеграле, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 35, 3 – 101 (1950).
9. Ю. Ю. Трохимчук, Непрерывные отображения и условия моногенности, Физматиз, Москва (1963).
10. Ю. Ю. Трохимчук, Дифференцирование, внутренние отображения и критерии аналитичности, Працi Iн-т
математики НАН України, 70 (2007).
11. Г. Х. Синдаловский, О дифференцируемости и аналитичности однолистных отображений, Докл. АН СССР,
249, № 6, 1325 – 1327 (1979).
12. Г. Х. Синдаловский, Об условиях Коши – Римана в классе функций с суммируемым модулем и некоторых
граничных свойствах аналитических функций, Мат. сб., 128(170), № 3(11), 364 – 382 (1985).
13. Д. С. Теляковский, Обобщение одной теоремы Меньшова о моногенных функциях, Изв. АН СССР, сер. мат.,
53, № 4, 886 – 896 (1989).
14. Д. С. Теляковский, О голоморфности функций, которые задают отображения, сохраняющие углы, Мат.
заметки, 56, № 5, 149 – 154 (1994).
15. Д. С. Теляковский, Об ослаблении условия асимптотической моногенности, Мат. заметки, 60, № 6, 902 – 911
(1996).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1128 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
16. Д. С. Теляковский, Обобщение теоремы Меньшова о функциях, удовлетворяющих условию K\prime \prime , Мат. заметки,
76, № 4, 578 – 591 (2004).
17. Е. П. Долженко, Работы Д. Е. Меньшова по теории аналитических функций и современное состояние теории
моногенности, Успехи мат. наук, 47, № 5, 67 – 96 (1992).
18. М. Т. Бродович, Об отображениях пространственной области, сохраняющих углы и растяжения вдоль
системы лучей, Сиб. мат. журн., 38, № 2, 260 – 262 (1997).
19. А. В. Бондарь, Многомерное обобщение одной теоремы Д. Е. Меньшова, Укр. мат. журн., 30, № 4, 435 – 443
(1978).
20. А. В. Бондарь, Локальные геометрические характеристики голоморфных отображений, Наук. думка, Киев
(1992).
21. В. И. Сирык, Некоторые критерии голоморфности непрерывных отображений, Укр. мат. журн., 37, № 6,
751 – 756 (1985).
22. О. С. Грецький, Про \BbbC -диференцiйовнiсть вiдображень банахових просторiв, Укр. мат. журн., 46, № 10,
1336 – 1342 (1994).
23. E. Hille, R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., Providence, R. I. (1957).
24. S. A. Plaksa, R. P. Pukhtaievych, Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commutative algebra, An.
Ştiinţ. Univ. “Ovidius” Constanţa, Ser. Mat., 22, № 1, 221 – 235 (2014).
25. V. Shpakivskyi, Constructive description of monogenic functions in a finite-dimensional commutative associative
algebra, Adv. Pure and Appl. Math., 7, № 1, 63 – 75 (2016).
26. И. П. Мельниченко, С. А. Плакса, Коммутативные алгебры и пространственные поля, Працi Iн-т математики
НАН України, 71 (2008).
27. S. A. Plaksa, V. S. Shpakovskii, Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third
rank, Ukr. Math. J., 62, № 8, 1251 – 1266 (2011).
28. P. W. Ketchum, Analytic functions of hypercomplex variables, Trans. Amer. Math. Soc., 30, 641 – 667 (1928).
29. I. P. Mel’nichenko, The representation of harmonic mappings by monogenic functions, Ukr. Math. J., 27, № 5,
499 – 505 (1975).
30. G. Scheffers, Verallgemeinerung der Grundlagen der gewöhnlich complexen Funktionen, I, II, Ber. Verh. Sachs.
Akad. Wiss. Leipzig Math.-Phys. Kl., 45, 828 – 848 (1893); 46, 120 – 134 (1894).
31. E. R. Lorch, The theory of analytic function in normed abelian vector rings, Trans. Amer. Math. Soc., 54, 414 – 425
(1943).
32. S. A. Plaksa, Commutative algebras associated with classic equations of mathematical physics, Adv. Appl. Anal.,
Trends Math., 177 – 223 (2012).
33. S. A. Plaksa, Monogenic functions in commutative algebras associated with classical equations of mathematical
physics, J. Math. Sci., 242, № 3, 432 – 456 (2019).
34. S. A. Plaksa, On differentiable and monogenic functions in a harmonic algebra, Зб. праць Iн-ту математики НАН
України, 14, № 1, 210 – 221 (2017).
35. М. В. Ткачук, С. А. Плакса, Аналог теореми Меньшова – Трохимчука для моногенних функцiй в тривимiрнiй
комутативнiй алгебрi, e-print: arXiv:2006.12492v1 [math.CA], 2020.
Одержано 02.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-6658 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:38Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/24/b0c580a61bf7d0ff26f44f677e9e3624.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66582025-03-31T08:47:35Z An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra Аналог теоремы Меньшова-Трохимчука для моногенных функций в трехмерной коммутативной алгебре Аналог теореми Меньшова – Трохимчука для моногенних функцій у тривимірній комутативній алгебрі Tkachuk, M. V. Plaksa, S. A. Ткачук, М. В. Плакса, С. А. Плакса, Сергей . UDC 517.54 The aim of this work is to weaken the conditions of monogeneity for functions that take values in a given three-dimensional commutative algebra over the field of complex numbers. The monogeneity of the function is understood as a combination of its continuity and the existence of the Gateaux derivative. Цель статьи - ослабление условий моногенности функций со значениями в некоторой коммутативной алгебре над полем комплексных чисел.Под моногенностью понимается непрерывность и существование производной Гато. УДК 517.54 Послаблено умови моногенності функцій зі значеннями в певній тривимірній комутативній алгебрі над полем комплексних чисел.Під моногенністю мається на увазі неперервність та існування похідної Гато. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6658 10.37863/umzh.v73i8.6658 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 8 (2021); 1120 - 1128 Український математичний журнал; Том 73 № 8 (2021); 1120 - 1128 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6658/9098 Copyright (c) 2021 Максим Ткачук, Сергій Плакса |
| spellingShingle | Tkachuk, M. V. Plaksa, S. A. Ткачук, М. В. Плакса, С. А. Плакса, Сергей An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra |
| title | An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra |
| title_alt | Аналог теоремы Меньшова-Трохимчука для моногенных функций в трехмерной коммутативной алгебре Аналог теореми Меньшова – Трохимчука для моногенних функцій у тривимірній комутативній алгебрі |
| title_full | An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra |
| title_fullStr | An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra |
| title_full_unstemmed | An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra |
| title_short | An analog of the Men’shov – Trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra |
| title_sort | analog of the men’shov – trokhimchuk theorem for monogenic functions in a three-dimensional commutative algebra |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6658 |
| work_keys_str_mv | AT tkachukmv ananalogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT plaksasa ananalogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT tkačukmv ananalogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT plaksasa ananalogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT plaksasergej ananalogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT tkachukmv analogteoremymenʹšovatrohimčukadlâmonogennyhfunkcijvtrehmernojkommutativnojalgebre AT plaksasa analogteoremymenʹšovatrohimčukadlâmonogennyhfunkcijvtrehmernojkommutativnojalgebre AT tkačukmv analogteoremymenʹšovatrohimčukadlâmonogennyhfunkcijvtrehmernojkommutativnojalgebre AT plaksasa analogteoremymenʹšovatrohimčukadlâmonogennyhfunkcijvtrehmernojkommutativnojalgebre AT plaksasergej analogteoremymenʹšovatrohimčukadlâmonogennyhfunkcijvtrehmernojkommutativnojalgebre AT tkachukmv analogteoremimenʹšovatrohimčukadlâmonogennihfunkcíjutrivimírníjkomutativníjalgebrí AT plaksasa analogteoremimenʹšovatrohimčukadlâmonogennihfunkcíjutrivimírníjkomutativníjalgebrí AT tkačukmv analogteoremimenʹšovatrohimčukadlâmonogennihfunkcíjutrivimírníjkomutativníjalgebrí AT plaksasa analogteoremimenʹšovatrohimčukadlâmonogennihfunkcíjutrivimírníjkomutativníjalgebrí AT plaksasergej analogteoremimenʹšovatrohimčukadlâmonogennihfunkcíjutrivimírníjkomutativníjalgebrí AT tkachukmv analogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT plaksasa analogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT tkačukmv analogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT plaksasa analogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra AT plaksasergej analogofthemenshovtrokhimchuktheoremformonogenicfunctionsinathreedimensionalcommutativealgebra |