The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation
UDC 517.9 We propose a method for construction of exact solutions to nonlinear heat equation which is based on the classic method of separating variables, its generalization, and Lie reduction method. Substitutions that reduce the nonlinear heat equation to ordinary differential equations are consid...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6667 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512493773783040 |
|---|---|
| author | Barannyk, A. F. Barannyk, Т. А. Yuryk, I. I. Barannyk, А. Ф. Barannyk, Т. А. Баранник, А. Ф. Баранник, Т. А. Юрик, І. І. |
| author_facet | Barannyk, A. F. Barannyk, Т. А. Yuryk, I. I. Barannyk, А. Ф. Barannyk, Т. А. Баранник, А. Ф. Баранник, Т. А. Юрик, І. І. |
| author_sort | Barannyk, A. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.9
We propose a method for construction of exact solutions to nonlinear heat equation which is based on the classic method of separating variables, its generalization, and Lie reduction method. Substitutions that reduce the nonlinear heat equation to ordinary differential equations are considered and the classes of exact solutions by means of the generalized separation of variables method are constructed.
 
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.6667 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.6667
УДК 517.9
А. Ф. Баранник (Помор. академiя, Слупськ, Польща),
Т. А. Баранник (Полтав. нац. пед. ун-т),
I. I. Юрик (Нац. ун-т харч. технологiй, Київ)
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ
РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
We propose a method for construction of exact solutions to nonlinear heat equation which is based on the classic method
of separating variables, its generalization, and Lie reduction method. Substitutions that reduce the nonlinear heat equation
to ordinary differential equations are considered and the classes of exact solutions by means of the generalized separation
of variables method are constructed.
Запропоновано метод побудови точних розв’язкiв рiвняння нелiнiйної теплопровiдностi, який базується на класи-
чному методi вiдокремлення змiнних та його узагальненнi i методi редукцiї. Розглянуто пiдстановки, що редукують
рiвняння нелiнiйної теплопровiдностi до звичайних диференцiальних рiвнянь та побудовано класи точних розв’язкiв
з узагальненим вiдокремленням змiнних даного рiвняння.
1. Вступ. Робота присвячена побудовi точних розв’язкiв нелiнiйного рiвняння
\partial u
\partial t
=
\partial
\partial x
\biggl(
F (u)
\partial u
\partial x
\biggr)
, (1.1)
яке зустрiчається в нелiнiйних задачах тепло- i масоперенесення (F — коефiцiєнт теплопровiд-
ностi або дифузiї) i теорiї фiльтрацiї. У роботi [1] проведена групова класифiкацiя рiвнянь (1.1)
i отримано вичерпний перелiк iнварiантних розв’язкiв цього рiвняння. У випадку довiльної
функцiї F (u) iнварiантнi розв’язки рiвняння (1.1), що залежать вiд обох змiнних x i t, ма-
ють вигляд u = \varphi
\bigl(
xt - 1/2
\bigr)
, або u = \varphi (kx + \lambda t) [1]. Максимальна алгебра iнварiантностi
рiвняння (1.1) є бiльш широкою в порiвняннi з випадком довiльної функцiї F (u) лише у двох
випадках: F (u) = a \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u, F (u) = aum.
Ефективним методом побудови точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики є
метод узагальненого вiдокремлення змiнних (див. [2]). Важливi класи розв’язкiв з узагальненим
вiдокремленням змiнних рiвняння (1.1) для F (u) = aum наведенi в [2 – 6]. Частиннi випадки
m = 1, m = - 1, m = - 2, m = - 4/3, m = - 2/3 розглядались вiдповiдно в [7 – 11, 11, 12], а
випадок F (u) = a \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u — в [2, 5, 11].
Метод пошуку функцiї F (u), для яких рiвняння (1.1) має автомодельнi розв’язки вигляду
u = u(z), z = xt - 1/2, 0 \leq x <\infty ,
запропоновано в [13]. Рiвняння (1.1), що допускають розв’язки з узагальненим вiдокремленням
змiнних вигляду
u = u(z), z = \varphi (x) + \psi (t),
описанi в [2, 14]. За останнi роки опублiковано багато статей i ряд монографiй, присвячених
знаходженню точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь з частинними похiдними за допомогою
методу вiдокремлення змiнних (див. [15, 16]).
У данiй статтi запропоновано метод побудови точних розв’язкiв з узагальненим вiдокремлен-
ням змiнних для рiвняння (1.1), який базується на класичному методi вiдокремлення змiнних
та його узагальненнi i методi редукцiї. Для побудови точних розв’язкiв рiвняння (1.1) викори-
стовується пiдстановка
c\bigcirc А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК, 2022
294 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 295
p(x) = w(t)\varphi (u), (1.2)
яка мiстить невiдомi функцiї w(t) i \varphi (u), а також функцiю p(x), яка задовольняє диференцi-
альне рiвняння
(p\prime )2 = apn + bpm, (1.3)
a, b — ненульовi дiйснi числа, а n, m — рацiональнi числа. Невiдомi функцiї w(t) i \varphi (u) визна-
чаються з умови, що пiдстановка (1.2) редукує рiвняння (1.1) до звичайного диференцiального
рiвняння з невiдомою функцiєю w(t). У статтi вивченнi властивостi рiвнянь (1.1), що допу-
скають розв’язки вигляду (1.2), а також сформульовано вичерпнi умови, при яких розв’язки
вигляду (1.2) рiвняння (1.1) виражаються через елементарнi функцiї. Запропонований у данiй
статтi метод побудови точних розв’язкiв є розвитком iдей методу анзацiв [17]. Симетрiйним пiд-
ґрунтям даного методу є той факт, що для пошуку Q-умовних симетрiй нелiнiйного рiвняння у
багатьох випадках на коефiцiєнти таких симетрiй потрiбно накладати додатковi умови [18 – 20].
Вiдмiтимо, що пiдстановка (1.2), де рiвняння (1.3) має вигляд
(p\prime )2 = ap2 + b,
була використана в [17] для побудови точних розв’язкiв нелiнiйного рiвняння теплопровiдностi
ut = (F (u)ux)x +H(u).
Для багатьох нелiнiйних рiвнянь ефективною є також пiдстановка
p(x) = w1(t)\varphi (u) + w2(t), (1.4)
яка мiстить три невiдомi функцiї w1(t), w2(t) i \varphi (u), а також функцiю p(x), яка спiвпадає з
однiєю з таких функцiй: p(x) = x, p(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(kx), k \not = 0. Невiдомi функцiї визначаються з
умови, що пiдстановка (1.4) редукує дослiджуване рiвняння до системи двох звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь з невiдомими функцiями w1(t) i w2(t). Пiдстановка (1.4) була використана
для побудови точних розв’язкiв нелiнiйного рiвняння типу Кортевега – де Фрiза [21], а також
нелiнiйного рiвняння теплопровiдностi [23]. Якщо в (1.4) з функцiєю p(x) = x виконати пере-
становку x\rightarrow t, t\rightarrow x незалежних змiнних x, t, то отримаємо пiдстановку
t = w1(t)\varphi (u) + w2(t),
яка була використана в [22] для побудови точних розв’язкiв нелiнiйного хвильового рiвняння
utt = F (u)uxx + aF \prime (u)u2x.
2. Редукцiя рiвняння (1.1) до звичайних диференцiальних рiвнянь.
Означення 2.1. Будемо говорити, що рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.2), якщо ця
пiдстановка редукує рiвняння (1.1) до звичайного диференцiального рiвняння з невiдомою функ-
цiєю w(t).
З’ясуємо, для яких функцiй F (u) рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.2). Рiвняння (1.1)
зберiгає свiй вигляд вiдносно лiнiйних перетворень \~u = A1u+A2 функцiї u зi сталими A1, A2.
Згiдно [1] два рiвняння (1.1), що переходять одне в одне при такому перетвореннi, називаються
еквiвалентними. Вiдповiдно пiдстановки (1.2) i
p(x) = w(t)\varphi (A1u+A2)
називаємо еквiвалентними. Класифiкацiю пiдстановок (1.2) i вiдповiдних їм рiвнянь (1.1) буде-
мо проводити з точнiстю до еквiвалентностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
296 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
Знаходження розв’язкiв рiвняння (1.3) зводиться до iнтегрування виразу
p - m/2(apn - m + b) - 1/2dp. (2.1)
З вiдомих результатiв, що стосуються iнтегровностi бiномiальних диференцiалiв, випливає, що
бiномiальний диференцiал (2.1) iнтегрується в елементарних функцiях, якщо виконується одна
з таких умов [24]: 1)
- n+ 2
2(m - n)
— цiле число; 2)
- m+ 2
2(m - n)
— цiле число. Отже, у випадку m = 1
бiномiальний диференцiал (2.1) iнтегрується в елементарних функцiях, якщо
n =
k + 1
k
, k \in \BbbZ , k \not = 0.
Наведемо розв’язки рiвняння
(p\prime )2 = ap(k+1)/k + bp. (2.2)
Розв’язавши (2.2) вiдносно p\prime , а далi проiнтегрувавши, знаходимо\int \bigl(
ap(k+1)/k + bp
\bigr) - 1/2
dp = \pm x+ C, (2.3)
C — стала.
Можливi два випадки.
a) \bfitk — парне число. Виконавши в (2.3) пiдстановку
ap - 1/k + b = \theta 2, (2.4)
отримаємо такий розв’язок рiвняння (2.2):
2ka - k/2
\int \bigl(
\theta 2 - b
\bigr) (k - 2)/2
d\theta = \pm x+ C. (2.5)
б) \bfitk — непарне число. Виконавши в (2.3) пiдстановку
a+ bp - 1/k = \theta 2, (2.6)
отримаємо такий розв’язок рiвняння (2.2):
- 2kb( - 1+k)/2
\int \bigl(
\theta 2 - a
\bigr) - (1+k)/2
d\theta = \pm x+ C. (2.7)
Iнтеграл по лiвiй сторонi кожного з розв’язкiв (2.5) i (2.7) є елементарною функцiєю вiд
змiнної \theta . Таким чином, в загальному випадку функцiя p(x), що є розв’язком рiвняння (2.2),
задається неявно за допомогою одного iз спiввiдношень (2.5) i (2.7).
Для визначення невiдомих функцiй \omega (t) i \varphi (u) пiдставимо (1.2) в рiвняння (1.1):
- w
\prime
w
\varphi
\varphi \prime =
1
w2 - n
\biggl(
an
2
\varphi n - 1
\varphi \prime F - a\varphi n\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
a\varphi n
(\varphi \prime )2
F \prime
\biggr)
+
+
1
w2 - m
\biggl(
bm
2
\varphi m - 1
\varphi \prime F - b\varphi m\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
b\varphi m
(\varphi \prime )2
F \prime
\biggr)
. (2.8)
З умови, що (2.8) повинно бути звичайним диференцiальним рiвнянням з невiдомою функцiєю
w = w(t), отримаємо систему
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 297
an
2
\varphi n - 1
\varphi \prime F - a\varphi n\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
a\varphi n
(\varphi \prime )2
F \prime = \lambda 1
\varphi
\varphi \prime , (2.9)
bm
2
\varphi m - 1
\varphi \prime F - b\varphi m\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
b\varphi m
(\varphi \prime )2
F \prime = \lambda 2
\varphi
\varphi \prime , (2.10)
\lambda 1, \lambda 2 \in \BbbR .
Нехай
T = - \varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
1
(\varphi \prime )2
F \prime ,
тодi з рiвняння (2.9)
T =
\lambda 1
a
1
\varphi n - 1\varphi \prime -
n
2
1
\varphi \varphi \prime F. (2.11)
З (2.10) та (2.11) випливає, що
F =
2\lambda 2
b(m - n)
\varphi 2 - m - 2\lambda 1
a(m - n)
\varphi 2 - n. (2.12)
Пiдставивши (2.12) в (2.9), отримаємо рiвняння для визначення функцiї \varphi = \varphi (u):
\sigma 2
\bigl[
- 2\varphi \varphi \prime \prime + (n - 2m+ 4)(\varphi \prime )2
\bigr]
\varphi n - \sigma 1
\bigl[
2\varphi \varphi \prime \prime + ( - m+ 2n - 4)(\varphi \prime )2
\bigr]
\varphi m = 0, (2.13)
де
\sigma 2 =
2\lambda 2
b(m - n)
, \sigma 1 = - 2\lambda 1
a(m - n)
.
Враховуючи (2.9), (2.10), з (2.8) знаходимо рiвняння для визначення функцiї w(t):
- w
\prime
w
=
\lambda 1
w2 - n
+
\lambda 2
w2 - m
. (2.14)
У пiдсумку отримаємо таку теорему:
Теорема 2.1. Якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.2), (1.3) i F \prime (u) \not = 0, то функцiя
F (u) визначається за формулою (2.12), де \varphi є розв’язком рiвняння (2.13), а функцiя w(t) є
розв’язком рiвняння (2.14).
Таким чином, побудова розв’язкiв вигляду (1.2), (1.3) рiвняння (1.1) зводиться до iнте-
грування рiвнянь (1.3), (2.13) i (2.14). Iнтегрування рiвняння (2.13) зводиться за допомогою
пiдстановки \varphi \prime = q(\varphi ) до iнтегрування звичайного диференцiального рiвняння першого по-
рядку в квадратурах. У випадку, коли один з параметрiв \lambda 1, \lambda 2 дорiвнює нулю, рiвняння (2.13)
повнiстю iнтегрується. Нехай, наприклад, \lambda 1 = 0. Рiвняння (2.13) при \lambda 1 = 0 має вигляд
- 2\varphi \varphi \prime \prime + [n - 2m+ 4](\varphi \prime )2 = 0. (2.15)
Проiнтегрувавши рiвняння (2.15), знаходимо
\varphi = (A1u+A2)
2
- n+2m - 2 ,
якщо - n+ 2m - 2 \not = 0;
\varphi = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(A1u+A2),
якщо - n+ 2m - 2 = 0, A1, A2 — сталi, A1 \not = 0. Таким чином, з точнiстю до еквiвалентностi
\varphi = u
2
- n+2m - 2 , (2.16)
якщо - n+ 2m - 2 \not = 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
298 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
\varphi = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u, (2.17)
якщо - n+ 2m - 2 = 0.
Отже, внаслiдок (2.12) у випадку \lambda 1 = 0
F =
2\lambda 2
b(m - n)
u
2(2 - m)
- n+2m - 2 , (2.18)
якщо - n+ 2m - 2 \not = 0;
F =
2\lambda 2
b(m - n)
(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u)2 - m, (2.19)
якщо - n+ 2m - 2 = 0, а рiвняння (1.1) має вигляд
ut =
2\lambda 2
b(m - n)
\varphi 2 - muxx +
2(2 - m)\lambda 2
b(m - n)
\varphi 1 - m\varphi \prime (ux)
2, (2.20)
де \varphi визначається за формулами (2.16) та (2.17).
Рiвняння (2.20) залежить вiд параметра \sigma 2 =
2\lambda 2
b(m - n)
, який може приймати довiльнi
значення, вiдмiннi вiд нуля.
Теорема 2.2. Рiвняння (2.20) пiдстановкою v = \varphi (u) зводиться до вигляду
vt =
2\lambda 2
b(m - n)
v2 - mvxx -
n\lambda 2
b(m - n)
v1 - m(vx)
2. (2.21)
Розв’язком рiвняння (2.14) при \lambda 1 = 0 i m \not = 2 є функцiя
w =
\bigl[
- \lambda 2(2 - m)t+ C1
\bigr] 1
2 - m . (2.22)
У пiдсумку отримуємо такi розв’язки рiвнянь (2.20) та (2.21):
u
2
- n+2m - 2 = v =
\bigl[
- \lambda 2(2 - m)t+ C1
\bigr] 1
m - 2 p(x), (2.23)
якщо - n+ 2m - 2 \not = 0, m \not = 2;
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u = v =
\bigl[
- \lambda 2(2 - m)t+ C1
\bigr] 1
m - 2 p(x), (2.24)
якщо - n+ 2m - 2 = 0, p(x) є розв’язком рiвняння (1.3).
Наведемо приклади точних розв’язкiв вигляду (1.2), (1.3) для окремих частинних випадкiв
рiвняння (2.20).
I. Нехай
(p\prime )2 = ap4 + b. (2.25)
Рiвняння (2.20) має вигляд
ut =
\bigl(
\sigma 2u
- 2/3ux
\bigr)
x
, \sigma 2 = - \lambda 2
2b
. (2.26)
Згiдно з (2.23) рiвняння (2.26) має розв’язки вигляду
u - 1/3 = p(x)(4\sigma 2bt+ C1)
- 1/2,
C1 — стала, де p(x) задовольняє рiвняння (2.25). Точнi розв’язки рiвняння (2.25) можна вира-
зити через елiптичнi функцiї Якобi; широкi класи таких розв’язкiв наведенi в [25].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 299
II. Нехай
(p\prime )2 = ap3 + b. (2.27)
У цьому випадку рiвняння (2.20) має вигляд
ut =
\bigl(
\sigma 2u
- 4/5ux
\bigr)
x
, \sigma 2 = - 2\lambda 2
3b
. (2.28)
Згiдно з (2.23) рiвняння (2.28) має розв’язки виду
u - 2/5 = p(x)(3\sigma 2bt+ C1)
- 1/2,
де p(x) задовольняє рiвняння (2.27). Якщо, наприклад, a = 4, то розв’язком рiвняння (2.27) є
елiптичною функцiєю Веєрштрасса \wp (x, 0, b), а тому рiвняння (2.28) має розв’язок
u - 2/5 = \wp (x, 0, b)(3\sigma 2bt+ C1)
- 1/2.
III. Нехай
(p\prime )2 = ap2 + b. (2.29)
Рiвняння (2.20) має вигляд
ut =
\bigl(
\sigma 2u
- 1ux
\bigr)
x
, \sigma 2 = - \lambda 2
b
. (2.30)
Рiвняння (2.29) має такi розв’язки:
1\circ ) якщо a > 0, b > 0, то
p(x) = \varepsilon
\sqrt{}
b
a
\mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
a(x+ C2)
\bigr)
;
2\circ ) якщо a > 0, b < 0, то
p(x) = \varepsilon
\sqrt{}
- b
a
\mathrm{c}\mathrm{h}
\bigl( \surd
a(x+ C2)
\bigr)
;
3\circ ) якщо a < 0, b > 0, то
p(x) = \varepsilon
\sqrt{}
- b
a
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl( \surd
- a(x+ C2)
\bigr)
;
\varepsilon = \pm 1, C2 — стала.
Використавши (2.23), знаходимо такi розв’язки рiвняння (2.30) [8]:
1) u = \mathrm{s}\mathrm{h} - 2(C3(x+ C2))
\bigl(
2\sigma 2C
2
3 t+ C1
\bigr)
,
2) u = \mathrm{c}\mathrm{h} - 2(C3(x+ C2))
\bigl(
- 2\sigma 2C
2
3 t+ C1
\bigr)
,
3) u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} - 2(C3(x+ C2))
\bigl(
2\sigma 2C
2
3 t+ C1
\bigr)
,
де C1, C2, C3 — довiльнi сталi.
Побудуємо iншi класи точних розв’язкiв рiвняння (2.30), використавши пiдстановку
p(x) = w1(t)u
- 1 + w2(t), (2.31)
де p(x) задовольняє рiвняння (2.29). Пiдстановка (2.31) редукує рiвняння (2.30) до системи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
300 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
w1w
\prime
1 - (w\prime
1)
2 - \sigma 22ab = 0, (2.32)
w2 =
1
\sigma 2a
w\prime
1. (2.33)
Розв’язки рiвняння (2.32) знаходяться в результатi iнтегрування рiвняння
(w\prime
1)
2 = Cw2
1 - \sigma 22ab, (2.34)
C — довiльна стала. Проiнтегрувавши рiвняння (2.34), знаходимо внаслiдок (2.31) та (2.33) такi
розв’язки рiвняння (2.30)
4) u - 1 = - C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{s}\mathrm{h}[C4(x+ C1)]
\mathrm{c}\mathrm{h}[C3(t+ C2)]
- C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{t}\mathrm{h}[C3(t+ C2)],
5) u - 1 = - C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{c}\mathrm{h}[C4(x+ C1)]
\mathrm{s}\mathrm{h}[C3(t+ C2)]
- C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}[C3(t+ C2)],
6) u - 1 = - C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[C4(x+ C1)]
\mathrm{s}\mathrm{h}[C3(t+ C2)]
+
C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}[C3(t+ C2)],
7) u - 1 = - C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[C4(x+ C1)]
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[C3(t+ C2)]
- C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{t}\mathrm{g}[C3(t+ C2)],
8) u - 1 = - C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{c}\mathrm{h}[C4(x+ C1)]
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[C3(t+ C2)]
+
C3
\sigma 2C2
4
\mathrm{t}\mathrm{g}[C3(t+ C2)],
9) u - 1 = - 1
\sigma 2C2
3 (t+ C2)
(\varepsilon \mathrm{c}\mathrm{h}[C3(x+ C1)] + 1), \varepsilon \pm 1,
10) u - 1 =
1
\sigma 2C2
3 (t+ C2)
(\varepsilon \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[C3(x+ C1)] + 1), \varepsilon \pm 1,
де C1, C2, C3, C4 — довiльнi сталi, C3 \not = 0, C4 \not = 0. Розв’язки 9), 10) повторюють розв’язки 1) –
3). Вiдмiтимо також, що список всiх вiдомих розв’язкiв рiвняння (2.30), який включає, зокрема,
розв’язки 1) – 8), наведено в [2, 26].
Розглянемо бiльш детально рiвняння (1.3). Виконавши пiдстановку p1 = ps, отримаємо
рiвняння
(p\prime 1)
2 = a1p
n1
1 + b1p
m1
1 , (2.35)
де
a1 = s2b, b1 = s2b, (2.36)
n1 =
2s - 2 + n
s
, m1 =
2s - 2 +m
s
. (2.37)
У випадку s = 2 - m маємо m1 = 1, а у випадку s =
2 - m
2
маємо m1 = 0. З рiвностi
- n+2m - 2 = 0 випливає рiвнiсть - n1+2m1 - 2 = 0. Якщо - n+2m - 2 \not = 0, то внаслiдок (2.36)
та (2.37) маємо
2(2 - m)
- n+ 2m - 2
=
2(2 - m1)
- n1 + 2m1 - 2
,
F =
2\lambda 2
b(m - n)
u
2(2 - m)
- n+2m - 2 =
2\~\lambda 2
b1(m1 - n1)
u
2(2 - m)
- n1+2m1 - 2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 301
де \~\lambda 2 =
n - m
n1 - m1
\lambda 2. Таким чином, якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.2), (1.3), то
воно допускає пiдстановку p1(x) = w1(t)\varphi 1(u), де p1(x) є розв’язком рiвняння (2.35).
Теорема 2.3. Нехай рiвняння (1.3) пiдстановкою p1 = ps переводиться в рiвняння (2.35).
Тодi рiвняння (2.21) пiдстановкою
v = \~v1/s = \~v
2 - m1
2 - m (2.38)
зводиться до рiвняння
\~vt =
2\~\lambda 2
b1(m1 - n1)
\~v2 - m1\~vxx -
n1\~\lambda 2
b1(m1 - n1)
\~v1 - m1(\~vx)
2, (2.39)
де \~\lambda 2 =
2 - m
2 - m1
\lambda 2.
Згiдно теореми для знаходження розв’язкiв вигляду (1.2), (1.3) рiвняння (2.21) достатньо
розглянути випадок m = 1 (або m = 0). Побудуємо у цьому зв’язку розв’язки вигляду (1.2)
рiвняння (2.21), якщо - n+ 2m - 2 = 0. Таке рiвняння має вигляд
vt =
2\lambda 2
(2 - m)b
v2 - mvxx +
(2 - 2m)\lambda 2
(2 - m)b
v1 - m(vx)
2, (2.40)
i пiдстановкою
v = \~v
1
2 - m (2.41)
зводиться до рiвняння
\~vt =
2\~\lambda 2
b1
\~v\~vxx, (2.42)
де
\~\lambda 2 = (2 - m)\lambda 2, b1 = (2 - m)2b, a1 = (2 - m)2a. (2.43)
Розв’язком рiвняння (2.42) є функцiя
\~v = p1(x)w
- 1
1 (t), (2.44)
де
(p1)
2 = a1 + b1p, w\prime
1 = - \~\lambda 2. (2.45)
Iнтегруючи рiвняння (2.45), знаходимо
p1(x) =
b1
4
(x+ C2)
2 - a1
b1
,
w1 = - \~\lambda 2t+ C1,
C1, C2 — сталi. Таким чином, функцiя
\~v = ( - \~\lambda 2t+ C1)
- 1
\biggl[
b1
4
(x+ C2)
2 - a1
b1
\biggr]
є розв’язок рiвняння (2.42). Використовуючи спiввiдношення (2.41), (2.43), отримаємо розв’язок
рiвняння (2.40):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
302 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
v = \~v
1
2 - m =
\bigl[
- (2 - m)\lambda 2t+ C1
\bigr] - 1
2 - m
\biggl[
(2 - m)2
4
b(x+ C2)
2 - a
b
\biggr] 1
2 - m
. (2.46)
Поклавши в (2.46) v = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u, знаходимо розв’язок рiвняння (2.20) у випадку
F =
2\lambda 2
(2 - m)b
(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u)2 - m, m \not = 2.
Ввiвши позначення
2\lambda 2
(2 - m)b
= \sigma ,
(2 - m)b
2
= C3, \lambda = 2 - m, сiм’ю розв’язкiв (2.46) можна
записати у виглядi
v = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u = ( - \sigma \lambda C3t+ C1)
- 1/\lambda
\biggl[
1
2
\lambda C3(x+ C2)
2 + C4
\biggr] 1/\lambda
,
де C1, C2, C3, C4 — довiльнi сталi [2].
3. Точнi розв’язки рiвняння (1.1). В пунктi 2 показано, що побудова розв’язкiв вигля-
ду (1.2), (1.3) рiвняння (1.1) зводиться до iнтегрування рiвнянь (1.3), (2.13) i (2.14). У випадку,
коли один з параметрiв \lambda 1, \lambda 2 дорiвнює нулю, наприклад, \lambda 1 = 0, розв’язки рiвняння (1.1)
отримуються з розв’язкiв рiвняння (2.21) за допомогою пiдстановки v = \varphi (u), де \varphi є розв’язком
рiвняння (2.13) для \lambda 1 = 0 i виражається за формулами (2.16) та (2.17). Проiнтегруємо рiвнян-
ня (2.13) при \lambda 1 \not = 0, \lambda 2 \not = 0.
Теорема 3.1. Нехай у рiвняння (2.13) \lambda 1 \not = 0, \lambda 2 \not = 0, а m, n є довiльними рацiональними
числами, що задовольняють одну з таких умов:
1\circ )
- n+ 2
2(m - n)
— цiле число;
2\circ )
- m+ 2
2(m - n)
— цiле число.
Тодi рiвняння (2.13) iнтегрується в елементарних функцiях i його розв’язками є такi функ-
цiї :
I. Якщо m i n задовольняють умову 1\circ ), то
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1
\bigl(
\theta 21 + \sigma 2
\bigr) n - 2
2(m - n) d\theta 1, (3.1)
\theta 21 = - \sigma 2 - \sigma 1\varphi
m - n;
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1
\bigl(
\theta 21 - \sigma 2
\bigr) n - 2
2(m - n) d\theta 1, (3.2)
\theta 21 = \sigma 2 + \sigma 1\varphi
m - n.
II. Якщо m, n задовольняють умову 2\circ ), то
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1
\bigl(
\theta 21 + \sigma 1
\bigr) m - 2
2(n - m) d\theta 1, (3.3)
\theta 21 = - \sigma 2\varphi n - m - \sigma 1;
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1
\bigl(
\theta 21 - \sigma 1
\bigr) m - 2
2(n - m) d\theta 1, (3.4)
\theta 21 = \sigma 2\varphi
n - m + \sigma 1.
У формулах (3.1) – (3.4) A1, A2 — сталi, A1 \not = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 303
Доведення. Виконавши в рiвняннi (2.13) пiдстановку \varphi \prime = q(\varphi ) i проiнтегрувавши, знахо-
димо
\varphi \prime = \~A1\varphi
m - 2n+4
2
\bigm| \bigm| - \sigma 2\varphi n - m - \sigma 1
\bigm| \bigm| 3/2 , (3.5)
\~A1 — стала, \~A1 \not = 0.
Якщо
2 - n
2(m - n)
— цiле число i - \sigma 2\varphi n - m - \sigma 1 \geq 0, то пiдстановка \theta 21 = - \sigma 2 - \sigma 1\varphi
m - n
переводить рiвняння (3.5) в рiвняння
\theta 21
\bigl(
\theta 21 + \sigma 2
\bigr) n - 2
2(m - n) d\theta 1 = A1du,
де
A1 =
m - n
2
( - \sigma 1)
- n+2m - 2
2(m - n) \~A1.
Проiнтегрувавши це рiвняння, знаходимо
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1
\bigl(
\theta 21 + \sigma 2
\bigr) n - 2
2(m - n) d\theta 1,
A1, A2 — сталi, A \not = 0.
Якщо
2 - n
2(m - n)
— цiле число i \sigma 2 + \sigma 1\varphi
m - n \geq 0, то використавши пiдстановку, \theta 21 = \sigma 2 +
+ \sigma 1\varphi
m - n \geq 0, знаходимо такий розв’язок рiвняння (2.13):
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1
\bigl(
\theta 21 - \sigma 2
\bigr) n - 2
2(m - n) d\theta 1,
A1, A2 — сталi, A \not = 0.
Якщо
2 - m
2(m - n)
— цiле число i - \sigma 2\varphi n - m - \sigma 1 \geq 0, то використовуємо пiдстановку \theta 21 =
= - \sigma 2\varphi n - m - \sigma 1, а у випадку - \sigma 2\varphi n - m - \sigma 1 \leq 0 — пiдстановку \theta 21 = \sigma 2\varphi
n - m + \sigma 1.
Теорему доведено.
Внаслiдок теореми 2.1 рiвняння (1.1), що допускає пiдстановку (1.2), (1.3), має вигляд
ut =
\biggl[
2\lambda 2
b(m - n)
\varphi 2 - m - 2\lambda 1
a(m - n)
\varphi 2 - n
\biggr]
uxx +
+
\biggl[
2(2 - m)\lambda 2
b(m - n)
\varphi 1 - m - 2(2 - n)\lambda 1
a(m - n)
\varphi 1 - n
\biggr]
\varphi \prime (ux)
2, (3.6)
де \varphi є розв’язком рiвняння (2.13) i визначається однiєю з формул (3.1) – (3.4).
Теорема 3.2. Рiвняння (3.6) пiдстановкою v = \varphi (u) зводиться до вигляду
vt =
\biggl[
2\lambda 2
b(m - n)
v2 - m - 2\lambda 1
a(m - n)
v2 - n
\biggr]
vxx -
- n\lambda 2
b(m - n)
v1 - m(vx)
2 +
m\lambda 1
a(m - n)
v1 - n(vx)
2. (3.7)
Оскiльки рiвняння (3.6) допускає пiдстановку (1.2), (1.3), то з теореми 3.2 випливає, що
розв’язком рiвняння (3.7) є функцiя v = p(x)w - 1(t), де p(x) є розв’язком рiвняння (1.3), а
w(t) — розв’язком рiвняння (2.14).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
304 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
Розглянемо два приклади побудови точних розв’язкiв рiвнянь (3.6) та (3.7).
III. Нехай рiвняння (1.3) має вигляд
(p\prime )2 = ap3/2 + bp. (3.8)
Використовуючи (3.6), знаходимо рiвняння (1.1), що допускає пiдстановку (1.2), (3.8):
ut =
\biggl(
- 4\lambda 2
b
\varphi +
4\lambda 1
a
\varphi 1/2
\biggr)
uxx +
\biggl(
- 4\lambda 2
b
+
2\lambda 1
a
\varphi - 1/2
\biggr)
\varphi \prime (ux)
2, (3.9)
де \varphi є розв’язком рiвняння (2.13) для значень n = 3/2, m = 1. Рiвняння (3.9) пiдстановкою
v = \varphi (u) зводиться до вигляду
vt =
\biggl(
- 4\lambda 2
b
v +
4\lambda 1
a
v1/2
\biggr)
vxx +
\biggl(
3\lambda 2
b
- 2\lambda 1
a
v - 1/2
\biggr)
(vx)
2. (3.10)
Рiвняння (3.9), (3.10) залежать вiд двох параметрiв
\sigma 1 =
4\lambda 1
a
, \sigma 2 = - 4\lambda 2
b
, (3.11)
якi приймають довiльнi значення, одночасно не рiвнi нулю. Умова p(x) \geq 0 накладає обмеження
на параметри a, b.
Можливi такi випадки.
1) Випадок \sigma 1 = 0. У цьому випадку \lambda 1 = 0 i внаслiдок (2.16) з точнiстю до еквiвалентностi
\varphi = u - 4/3. (3.12)
Таким чином, рiвняння (3.9) має вигляд
ut =
\bigl(
\sigma 2u
- 4/3ux
\bigr)
x
. (3.13)
Розв’язком рiвняння (3.8) є функцiя
p1/2(x) =
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
, (3.14)
C2 — стала.
Рiвняння (2.14) для визначення функцiї w(t) у випадку \lambda 1 = 0, m = 1 має вигляд w\prime = - \lambda 2
i його розв’язком є w = - \lambda 2t + C1, C1 — стала. Використовуючи формулу (2.23), знаходимо
розв’язок рiвняння (3.13):
u - 4/3 = ( - \lambda 2t+ C1)
- 1
\biggl[
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
.
Поклавши v = u - 4/3, отримаємо розв’язок рiвняння
vt = \sigma 2vvxx -
3
4
\sigma 2(vx)
2. (3.15)
Оскiльки \lambda 2 = - 1
4
\sigma 2b, то розв’язки рiвнянь (3.13) i (3.15) записуються так:
u - 4/3 = v =
\biggl(
1
4
\sigma 2bt+ C1
\biggr) - 1\biggl[ a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
. (3.16)
У розв’язках (3.16) a, b, C1, C2 розглядаються як сталi, a \not = 0, b \not = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 305
2) Випадок \sigma 2 = 0. У цьому випадку \lambda 2 = 0 i з точнiстю до еквiвалентностi
\varphi = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u. (3.17)
Таким чином, рiвняння (3.9) має вигляд
ut = (\sigma 1(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(u/2))ux)x. (3.18)
Розв’язком рiвняння (2.14) для значень \sigma 2 = 0, n = 3/2 є функцiя
w1/2(x) = - 1
8
\sigma 1at+ C1, (3.19)
C1 — стала.
Пiдставивши (3.14), (3.17), (3.19) у формулу (1.2), знаходимо розв’язок рiвняння (3.18):
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u =
\biggl(
- 1
8
\sigma 1at+ C1
\biggr) - 2 \biggl[ a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
, (3.20)
C2 — стала. Поклавши в (3.20) v = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u, отримаємо розв’язок рiвняння
vt = \sigma 1v
1/2vxx -
1
2
\sigma 1v
- 1/2(vx)
2.
У розв’язку (3.20) a, b, C1, C2 розглядаються як сталi.
3) Випадок \sigma 1 \not = 0, \sigma 2 \not = 0. Для рiвняння (3.10) пiдстановка (1.2) має вигляд
v =
\biggl[
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
w - 1, (3.21)
де w(t) є розв’язком рiвняння
w\prime = - \lambda 1w1/2 - \lambda 2, (3.22)
i задається неявно за допомогою спiввiдношення
2
\lambda 1
w1/2 - 2\lambda 2
\lambda 21
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \lambda 1w1/2 + \lambda 2
\bigm| \bigm| + C1 = - t, (3.23)
C1 — стала.
Виразивши в (3.23) параметри \lambda 1, \lambda 2 через параметри \sigma 1, \sigma 2, a, b згiдно формул (3.11),
отримаємо спiввiдношення
8
\sigma 1a
w1/2 +
8\sigma 2b
\sigma 21a
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 14\sigma 1aw1/2 - 1
4
\sigma 2b
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + C1 = - t, (3.24)
в якому a, b, C1 розглядаються як сталi, a \not = 0, b \not = 0. Таким чином, рiвняння (3.10) має
розв’язок (3.21), де функцiя w(t) задається неявно за допомогою спiввiдношення (3.24).
Для побудови розв’язкiв вiдповiдного рiвняння (3.9) необхiдно визначити функцiю \varphi (u),
яка задовольняє рiвняння (2.13) для значень n = 3/2, m = 1:
\sigma 2
\biggl[
- 2\varphi \varphi \prime \prime +
7
2
(\varphi \prime )2
\biggr]
\varphi 3/2 - \sigma 1
\bigl[
2\varphi \varphi \prime \prime - 2(\varphi \prime )2
\bigr]
\varphi = 0. (3.25)
Згiдно теореми 3.1 (випадок II при n = 3/2, m = 1) рiвняння (3.25) має з точнiстю до
еквiвалентностi такi розв’язки:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
306 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
1\circ ) якщо \theta 21 = \sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 < 0, \sigma 2 > 0, то
u =
\bigl(
\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
( - \sigma 1)1/2
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl[
(\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1)
1/2
( - \sigma 1)1/2
\Biggr]
; (3.26)
2\circ ) якщо \theta 21 = - \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 > 0, \sigma 2 < 0, то
u =
\bigl(
- \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
\sigma
1/2
1
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl[
( - \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1)
1/2
\sigma
1/2
1
\Biggr]
; (3.27)
3\circ ) якщо \theta 21 = \sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 > 0, то
u = 2
\bigl(
\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
\sigma
1/2
1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (\sigma 2\varphi 1/2 + \sigma 1)
1/2 - \sigma
1/2
1
(\sigma 2\varphi 1/2 + \sigma 1)1/2 + \sigma
1/2
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ; (3.28)
4\circ ) якщо \theta 21 = - \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 < 0, то
u = 2
\bigl(
- \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
( - \sigma 1)1/2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ( - \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1)
1/2 - ( - \sigma 1)1/2
( - \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1)1/2 + ( - \sigma 1)1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (3.29)
Таким чином, якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.2), (3.8), то воно має вигляд
ut =
\bigl(
\sigma 1\varphi
1/2 + \sigma 2\varphi
\bigr)
uxx +
\biggl(
1
2
\sigma 1\varphi
- 1/2 + \sigma 2
\biggr)
\varphi \prime (ux)
2, (3.30)
де \varphi є розв’язком рiвняння (3.25) i задається неявно за допомогою одного iз спiввiдно-
шень (3.26) – (3.29). Точнi розв’язки рiвняння (3.30) отримуються з вiдповiдних спiввiдно-
шень (3.26) – (3.29), якщо в них функцiю \varphi (u) замiнити на функцiю
h(t, x) =
\biggl[
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
w - 1, (3.31)
де функцiя w(t) задається неявно за допомогою спiввiдношення (3.24).
Так, якщо функцiя \varphi визначається за допомогою спiввiдношення (3.26), то вiдповiдно рiв-
няння (3.30) має розв’язок
u =
\bigl(
\sigma 2h
1/2 + \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
( - \sigma 1)1/2
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl[
(\sigma 2h
1/2 + \sigma 1)
1/2
( - \sigma 1)1/2
\Biggr]
,
де h(t, x) задається формулою (3.31), а допустимi значення параметрiв \sigma 1, \sigma 2 задовольняють
нерiвностi \sigma 1 < 0, \sigma 2 > 0.
IV. Нехай
(p\prime )2 = ap1/2 + bp. (3.32)
Рiвняння (1.1), що допускає пiдстановку (1.2), (3.32), має вигляд
ut =
\biggl(
4\lambda 2
b
\varphi - 4\lambda 1
a
\varphi 3/2
\biggr)
uxx +
\biggl(
4\lambda 2
b
- 6\lambda 1
a
\varphi 1/2
\biggr)
\varphi \prime (ux)
2, (3.33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 307
де \varphi є розв’язком рiвняння (2.13) для значень n = 1/2, m = 1. Рiвняння (3.33) пiдстановкою
v = \varphi (u) зводиться до рiвняння
vt =
\biggl(
4\lambda 2
b
v - 4\lambda 1
a
v3/2
\biggr)
vxx -
\lambda 2
b
(vx)
2 +
2\lambda 1
a
v1/2(vx)
2. (3.34)
Рiвняння (3.33) i (3.34) залежать вiд двох параметрiв
\sigma 1 = - 4\lambda 1
a
, \sigma 1 =
4\lambda 2
b
, (3.35)
якi можуть приймати довiльнi значення, одночасно не рiвнi нулю.
Розглянемо два випадки:
1) Випадок \sigma 1 = 0. У цьому випадку \lambda 1 = 0 i згiдно з (2.16) з точнiстю до еквiвалентностi
\varphi = u - 4. (3.36)
Таким чином, рiвняння (3.33) має вигляд
ut =
\bigl(
\sigma 2u
- 4ux
\bigr)
x
. (3.37)
Розв’язками рiвняння (3.32) є функцiї
2(ap - 1/2 + b)1/2
bp - 1/2
- 2a
( - b)3/2
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl[
(ap - 1/2 + b)1/2
( - b)1/2
\Biggr]
= \pm x+ C2, (3.38)
C2 — стала, якщо a > 0, b < 0;
2(ap - 1/2 + b)1/2
bp - 1/2
- a
b3/2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (ap - 1/2 + b)1/2 + b1/2
(ap - 1/2 + b)1/2 - b1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \pm x+ C2, (3.39)
C2 — стала, якщо b > 0.
Рiвняння (2.14) для визначення функцiї w(t) у випадку \lambda 1 = 0, m = 1 має вигляд w\prime = - \lambda 2
i його розв’язком є функцiя w = - \lambda 2t + C1, C1 — стала. Використовуючи формулу (2.23),
знаходимо розв’язок рiвняння (3.36):
u - 4 = ( - \lambda 2t+ C1)
- 1p(x), (3.40)
де p(x) задається неявно одним iз спiввiдношень (3.38), (3.39). Поклавши в (3.40) v = u - 4,
отримаємо розв’язок рiвняння:
vt = \sigma 2vvxx -
1
4
\sigma 2(vx)
2. (3.41)
Оскiльки \lambda 2 = 1
4\sigma 2b то розв’язок (3.40) запишеться так:
u - 4 =
\biggl(
- 1
4
\sigma 2bt+ C1
\biggr) - 1
p(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
308 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
2) Випадок \sigma 1 \not = 0, \sigma 2 \not = 0. Для рiвняння (3.34) пiдстановка (1.2) має вигляд
v = p(x)w - 1, (3.42)
де p(x) є розв’язок рiвняння (3.32) i визначається за допомогою одного iз спiввiдношень (3.38),
(3.39), а w(t) є розв’язок рiвняння
w\prime = - \lambda 1w - 1/2 - \lambda 2
i задається неявно за допомогою спiввiдношення
1
\lambda 2
w - 2\lambda 1
\lambda 22
w1/2 +
2\lambda 21
\lambda 32
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \lambda 1 + \lambda 2w
1/2
\bigm| \bigm| + C1 = - t. (3.43)
Виразивши в (3.43) параметри \lambda 1, \lambda 2 через параметри \sigma 1, \sigma 2 згiдно формул (3.35) отримаємо
спiввiдношення
4
\sigma 2b
w +
8\sigma 1a
\sigma 22b
2
w1/2 +
8\sigma 21a
2
\sigma 32b
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1
4
\sigma 1a+
1
4
\sigma 2bw
1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + C1 = - t, (3.44)
в якому a, b, C1 розглядаються як сталi, a \not = 0, b \not = 0. Таким чином, рiвняння (3.34) має
розв’язок (3.42), де функцiя w(t) задається неявно за допомогою спiввiдношення (3.44).
Для побудови розв’язкiв рiвняння (3.33) необхiдно визначити функцiю \varphi (u), яка задоволь-
няє рiвняння (2.13) для значень n = 1/2, m = 1:
\sigma 2
\biggl[
- 2\varphi \varphi \prime \prime +
5
2
(\varphi \prime )2
\biggr]
\varphi 1/2 - \sigma 1
\bigl[
2\varphi \varphi \prime \prime - 4(\varphi \prime )2
\bigr]
\varphi = 0. (3.45)
Згiдно теореми 3.1 (випадок II при n = 1/2, m = 1) рiвняння (3.45) має з точнiстю до
еквiвалентностi такi розв’язки:
1\circ ) якщо \theta 21 = - \sigma 2\varphi - 1/2 - \sigma 1 \geq 0, то
u =
\bigl(
- \sigma 2\varphi - 1/2 - \sigma 1
\bigr) 1/2 - \sigma 1
( - \sigma 2\varphi - 1/2 - \sigma 1)1/2
; (3.46)
2\circ ) якщо \theta 21 = \sigma 2\varphi
- 1/2 + \sigma 1 \geq 0, то
u =
\bigl(
\sigma 2\varphi
- 1/2 + \sigma 1
\bigr) 1/2
+
\sigma 1
(\sigma 2\varphi - 1/2 + \sigma 1)1/2
. (3.47)
Таким чином, якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.2), (3.32), то воно має вигляд
u =
\bigl(
\sigma 2\varphi + \sigma 1\varphi
3/2
\bigr)
uxx +
\biggl(
\sigma 2 +
3
2
\sigma 1\varphi
1/2
\biggr)
\varphi \prime (ux)
2, (3.48)
де \varphi є розв’язком рiвняння (3.45) i задається неявно за допомогою одного iз спiввiдно-
шень (3.46), (3.47). Точнi розв’язки рiвняння (3.48) отримуються з вiдповiдних спiввiдно-
шень (3.46), (3.47), якщо в них функцiю \varphi (u) замiнити на функцiю
h(t, x) = p(x)w - 1,
де функцiя w(t) задається неявно за допомогою спiввiдношення (3.44), а функцiя p(x) задається
неявно за допомогою одного iз спiввiдношень (3.38), (3.39).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ . . . 309
4. Висновки. Ми описали рiвняння теплопровiдностi (1.1), що допускають розв’язки ви-
гляду (1.2). Такi рiвняння мають вигляд
ut =
\bigl[ \bigl(
\sigma 2\varphi
2 - m + \sigma 1\varphi
2 - n
\bigr)
ux
\bigr]
x
, (4.1)
де \sigma 1, \sigma 2 — параметри, а \varphi — розв’язок диференцiального рiвняння (2.13). У випадку \sigma 1 \not = 0,
\sigma 2 \not = 0 загальний розв’язок рiвняння (2.13) виражається через елементарнi функцiї, якщо
вiдповiдний бiномiальний диференцiал
p - m/2(apn - m + b) - 1/2dp
iнтегрується в елементарних функцiях.
Таким чином, пiдстановка (1.2) суттєво розширює клас рiвнянь (1.1), для яких можна по-
будувати точнi розв’язки.
Якщо в рiвняннi (4.1) один з параметрiв \sigma 1, \sigma 2 дорiвнює нулю, наприклад \sigma 1 = 0, то отри-
муємо рiвняння (2.20). Крiм розв’язкiв вигляду (1.2) рiвняння (2.20) має iнварiантнi розв’язки
[1]. Для побудови iнших розв’язкiв рiвняння (2.20) можна використати рiвняння (2.21). Так,
вiдповiдне рiвняння (2.21) у випадку m = 1 має розв’язки з узагальненим вiдокремленням
змiнних [2, 21]:
v = \mu 2(t)x
2 + \mu 1(t)x+ \mu 0(t),
v = \mu 2(t)x
2 + \mu 1(t)x
2
2 - n , n \not = 2,
що дозволяє за допомогою пiдстановки v = \varphi (u) знаходити розв’язки рiвняння (2.20), вiдмiннi
вiд iнварiантних розв’язкiв i розв’язкiв вигляду (1.2).
Вiдмiтимо, що пiдстановка (1.2) є ефективною також для побудови точних розв’язкiв нелi-
нiйного рiвняння теплопровiдностi
ut = (F (u)ux)x +H(u). (4.2)
Має мiсце така теорема:
Теорема 4.1. Якщо рiвняння (4.2) допускає пiдстановку (1.2) i n \not = 2, m \not = 2, то функцiя
F (u) визначається за формулою (2.12),
H(u) = \lambda 3
\varphi
\varphi \prime , \lambda 3 \in \BbbR ,
де \varphi є розв’язком рiвняння (2.13), а функцiя w = w(t) задовольняє рiвняння
w\prime
w
+ \lambda 1w
n - 2 + \lambda 2w
m - 2 + \lambda 3 = 0.
Лiтература
1. Л. В. Овсянников, Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности, Докл. АН СССР, 125, № 3,
492 – 495 (1959).
2. A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, Handbook of nonlinear partial differential equations, Chapman & Hall/CRC, Boca
Raton, FL (2012).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
310 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
3. Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец, К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от
температуры, Сборник, посв. 70-летию А. Ф. Йоффе, Москва, Изв. АН СССР, 61 – 71 (1950).
4. Г. И. Баренблат, О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде, Прикл.
математика и механика, 16, № 1, 67 – 78 (1952).
5. А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов, Режимы с обострением в задачах для
квазилинейных параболических уравнений, Наука, Москва (1987).
6. Г. А. Рудых, Э. И. Семенов, О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с
источником (стоком), Журн. вычисл. математики и мат. физики, 38, № 6, 971 – 977 (1998).
7. D. Zwillinger, Handbook of differential equations, Academic Press, San Diego, Boston (1989).
8. С. Н. Аристов, Периодические и локализованные точные решения уравнения ht = \bigtriangleup \mathrm{l}\mathrm{n}h, Прикл. механика и
тех. физика, 40, № 1, 22 – 26 (1999).
9. G. W. Bluman, S. Kumei, On the remarkable nonlinear diffusion equation [a(u+b) - 2ux]x - ut = 0, J. Math. Phys.,
21, № 5, 1019 – 1023 (1980).
10. Н. Х. Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, Наука, Москва (1983).
11. N. H. Ibragimov (ed.), CRC Handbook of the Lie group to differential equations, Vol. 1, Symmetries, Exact Solutions
and Conservation Laws, Boca Raton, CRC Press (1994).
12. И. Ш. Ахатов, Р. К. Газизов, Н. Х. Ибрагимов, Нелокальные симметрии. Эвристический подход, Соврем.
пробл. математики, 34, Москва, Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР, 3 – 83 (1989).
13. G. R. Philip, General method of exact solutions of the concentration-dependent diffusion equation, Australian J.
Phys., 13, № 1, 13 – 20 (1960).
14. P. W. Doyle, P. Vassiliou, Separation of variables for the 1-dimensional nonlinear diffusion equation, Int. J. Non-linear
Mech., 33, № 2, 315 – 326 (1998).
15. A. D. Polyanin, A. I. Zhurov, Separation of variables in PDEs using nonlinear transformations: applications to
reaction-diffusion type equations, Appl. Math. Lett., 100, 106055, 7 p. (2020).
16. A. D. Polyanin, Functional separable solutions of nonlinear convection-diffusion equations with variable coefficients,
Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 73, 379 – 390 (2019).
17. W. Fushchych, Ansatz’95, J. Nonlinear Math. Phys., 2, № 3-4, 216 – 235 (1995).
18. R. Z. Zhdanov, V. I. Lahno, Conditional symmetry of a porous medium equation, Phys. D, 122, 178 – 186 (1998).
19. M. Kunzinger, R. O. Popovych, Singular reduction operators in two dimensions, J. Phys. A, 41, 505201, 24 pp.
(2008); arXiv:0808.3577.
20. V. M. Boyko, M. Kunzinger, R. O. Popovych, Singular reduction modules of differential equations, J. Math. Phys.,
57, 101503, 34 pp. (2016), arXiv:1201.3223.
21. A. F. Barannyk, T. A. Barannyk, I. I. Yuryk, Separation of variables for nonlinear equations of hyperbolic and
Korteweg – de Vries type, Rep. Math. Phys., 68, № 1, 92 – 105 (2011).
22. A. F. Barannyk, T. A. Barannyk, I. I. Yuryk, Generalized separation of variables for nonlinear equation utt =
= F (u)uxx + aF \prime (u)u2
x , Rep. Math. Phys., 71, № 1, 1 – 13 (2013).
23. A. F. Barannyk, T. A. Barannyk, I. I. Yuryk, A Method for the construction of exact solutions to the nonlinear heat
equation ut = (F (u)ux)x +G(u)ux +H(u), Ukr. Math. J., 71, № 11, 1443 – 1454 (2019).
24. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Физматгиз, Москва (1959).
25. A. G. Nikitin, T. A. Barannyk, Solitary wave and other solutions for nonlinear heat equations, Cent. Eur. J. Math.,
2, № 5, 840 – 858 (2004).
26. R. O. Popovych, O. O. Vaneeva, N. M. Ivanova, Potential nonclassical symmetries and solutions of fast diffusion
equation, Phys. Lett. A, 362, 166 – 173 (2007); arXiv:math-ph/0506067.
Одержано 01.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6667 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:40Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/05/162f4246dc6ee6c463f52f65487f2905.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66672025-03-31T08:44:52Z The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation Точні розв'язки з узагальненим відокремленням змінних рівняння нелінійної теплопровідності Barannyk, A. F. Barannyk, Т. А. Yuryk, I. I. Barannyk, А. Ф. Barannyk, Т. А. Баранник, А. Ф. Баранник, Т. А. Юрик, І. І. нелінійне рівняння теплопровідності узагальненне відокремлення змінних точні розв'язки nonlinear heat equations generalized separation of variables exact solutions UDC 517.9 We propose a method for construction of exact solutions to nonlinear heat equation which is based on the classic method of separating variables, its generalization, and Lie reduction method. Substitutions that reduce the nonlinear heat equation to ordinary differential equations are considered and the classes of exact solutions by means of the generalized separation of variables method are constructed. &nbsp; &nbsp; УДК 517.9 Запропоновано метод побудови точних розв'язків рівняння нелінійної теплопровідності, який базується на класичному методі відокремлення змінних та його узагальненні і методі редукції. Розглянуто підстановки, що редукують рівняння нелінійної теплопровідності до звичайних диференціальних рівнянь та побудовано класи точних розв'язків з узагальненим відокремленням змінних даного рівняння. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6667 10.37863/umzh.v74i3.6667 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 294-310 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 294-310 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6667/9198 Copyright (c) 2022 Іван Іванович Юрик |
| spellingShingle | Barannyk, A. F. Barannyk, Т. А. Yuryk, I. I. Barannyk, А. Ф. Barannyk, Т. А. Баранник, А. Ф. Баранник, Т. А. Юрик, І. І. The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation |
| title | The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation |
| title_alt | Точні розв'язки з узагальненим відокремленням змінних рівняння нелінійної теплопровідності |
| title_full | The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation |
| title_fullStr | The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation |
| title_full_unstemmed | The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation |
| title_short | The exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation |
| title_sort | exact solutions with generalized separation of variables of the nonlinear heat equation |
| topic_facet | нелінійне рівняння теплопровідності узагальненне відокремлення змінних точні розв'язки nonlinear heat equations generalized separation of variables exact solutions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6667 |
| work_keys_str_mv | AT barannykaf theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannykta theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT yurykii theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannykaf theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannykta theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannikaf theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannikta theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT ûrikíí theexactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannykaf točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT barannykta točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT yurykii točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT barannykaf točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT barannykta točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT barannikaf točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT barannikta točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT ûrikíí točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídností AT barannykaf exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannykta exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT yurykii exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannykaf exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannykta exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannikaf exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT barannikta exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation AT ûrikíí exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesofthenonlinearheatequation |