On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups
UDC 512.542 Let $\mathbb T$ be a subset of the set of all natural numbers satisfying the condition \begin{gather}\text{if}\,\, t\in\mathbb{T},\,\, \text{then}\,\, \mathbb{T}\,\, \text{contains all natural divisors of}\quad t.\tag{A}\end{gather} Recall that a subgroup $H$ is called a {\it $\mat...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6673 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512496047095808 |
|---|---|
| author | Monakhov, V. S. Trofimuk, A. A. Монахов, В. С. Трофімук, О. О. Трофимчук, Александр |
| author_facet | Monakhov, V. S. Trofimuk, A. A. Монахов, В. С. Трофімук, О. О. Трофимчук, Александр |
| author_sort | Monakhov, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-07T13:45:40Z |
| description |
UDC 512.542
Let $\mathbb T$ be a subset of the set of all natural numbers satisfying the condition \begin{gather}\text{if}\,\, t\in\mathbb{T},\,\, \text{then}\,\, \mathbb{T}\,\, \text{contains all natural divisors of}\quad t.\tag{A}\end{gather} Recall that a subgroup $H$ is called a {\it $\mathbb T$-subnormal} in $G$ if either $H=G,$ or there is a chain of subgroups $H=H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}| \in \mathbb T$ for all $i.$ Let $X$ be a normal subgroup of a group $G$ and let $\Bbb T$ be a set of natural numbers satisfying condition (A). We introduce the following definition: A subgroup $H$ of the group $G$ is called a {\it $\mathbb TX$-subnormal} subgroup if $H$ is $\mathbb T$-subnormal in $HX.$ Moreover, we study factorizable groups $G = AB$ with $\mathbb TX$-subnormal factors $A$ and $B$. Under certain additional restrictions imposed on $A,$ $B,$ $\mathbb T,$ and $X,$ we obtain new sufficient conditions for the partial solubility and supersolubility of the analyzed groups $G$. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i10.6673 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i10.6673
УДК 512.542
В. С. Монахов (Гомел. ун-т iм. Ф. Скорини, Бiлорусь),
О. О. Трофiмук1 (Брест. держ. ун-т iм. О. С. Пушкiна, Бiлорусь)
СКIНЧЕННI ГРУПИ,
ФАКТОРИЗОВНI \BbbT \bfitX -СУБНОРМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ
Let \BbbT be a subset of the set of all natural numbers satisfying the condition
if t \in \BbbT , then \BbbT contains all natural divisors of t. (A)
Recall that a subgroup H is called a \BbbT -subnormal in G if either H = G, or there is a chain of subgroups H = H0 \leq
\leq H1 \leq . . . \leq Hn = G such that | Hi : Hi - 1| \in \BbbT for all i. Let X be a normal subgroup of a group G and let \BbbT
be a set of natural numbers satisfying condition (A). We introduce the following definition: A subgroup H of the group
G is called a \BbbT X -subnormal subgroup if H is \BbbT -subnormal in HX. Moreover, we study factorizable groups G = AB
with \BbbT X -subnormal factors A and B . Under certain additional restrictions imposed on A, B, \BbbT , and X, we obtain new
sufficient conditions for the partial solubility and supersolubility of the analyzed groups G.
Нехай \BbbT — деяка пiдмножина множини натуральних чисел, що задовольняє умову
якщо t \in \BbbT , то \BbbT мiстить усi натуральнi дiльники числа t. (A)
Нагадаємо, що пiдгрупа H називається \BbbT -субнормальною пiдгрупою групи G, якщо або H = G, або iснує ланцюжок
пiдгруп H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Hn = G такий, що | Hi : Hi - 1| \in \BbbT для всiх i. Нехай X — нормальна пiдгрупа
групи G i \BbbT — деяка множина натуральних чисел, що задовольняє умову (A). У цiй роботi введено таке означення:
пiдгрупа H групи G називається \BbbT X -субнормальною пiдгрупою, якщо H \BbbT -субнормальна в HX. Крiм того,
вивчається факторизовна група G = AB з \BbbT X -субнормальними спiвмножниками A i B. За додаткових обмежень
на A, B, \BbbT i X отримано новi ознаки часткової розв’язностi та надрозв’язностi групи G.
Вступ. Будемо розглядати лише скiнченнi групи. Термiнологiя, що використовується, вiдпо-
вiдає [1]. Запис Y \leq X означає, що Y — пiдгрупа групи X. Нехай \BbbN i \BbbP — множини всiх
натуральних i всiх простих чисел вiдповiдно. Скрiзь у цiй статтi будемо вважати, що \BbbT —
пiдмножина множини \BbbN , яка задовольняє умову
якщо t \in \BbbT , то \BbbT мiстить усi натуральнi дiльники числа t. (1)
Пiдгрупа H називається \BbbT -субнормальною пiдгрупою групи G, якщо або H = G, або iснує
ланцюжок пiдгруп
H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Hn = G
такий, що | Hi : Hi - 1| \in \BbbT для всiх i. Цей ланцюжок пiдгруп називають \BbbT -субнормальним
i використовують позначення H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n}G. При \BbbT = \BbbP одержуємо поняття \BbbP -субнормальностi,
вперше введене у [2].
Вивченню груп, у яких деякi пiдгрупи (холловi пiдгрупи, примарнi циклiчнi пiдгрупи,
нормалiзатори силовських пiдгруп, 2-максимальнi пiдгрупи) \BbbT -субнормальнi, а також груп,
якi факторизуються двома \BbbT -субнормальними пiдгрупами, присвячено роботи [2 – 9].
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: alexander.trofimuk@gmail.com.
c\bigcirc В. С. МОНАХОВ, О. О. ТРОФIМУК 2022
1356 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
СКIНЧЕННI ГРУПИ, ФАКТОРИЗОВНI \BbbT X -СУБНОРМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 1357
У роботi [10] введено таке означення: пiдгрупа H групи G називається F (G)-субнормаль-
ною пiдгрупою, якщо H субнормальна в HF (G). Тут F (G) — пiдгрупа Фiттiнга групи G.
Зауважимо, що будь-яка пiдгрупа, що мiстить F (G), є F (G)-субнормальною. Кожна субнор-
мальна пiдгрупа групи G також F (G)-субнормальна. Зворотне не є правильним, у будь-якiй
простiй неабелевiй групi G кожна нетривiальна пiдгрупа F (G)-субнормальна, але не субнор-
мальна. Групи, що факторизуються F (G)-субнормальними пiдгрупами, вивчалися в низцi робiт
(див. бiблiографiю в [10, 11]).
Уведемо таке означення, що розвиває наведенi вище конструкцiї.
Означення. Нехай X — нормальна пiдгрупа групи G i \BbbT — деяка множина натураль-
них чисел, що задовольняє умову (1). Пiдгрупа H групи G називається \BbbT X -субнормальною
пiдгрупою, якщо H \BbbT -субнормальна в HX.
Кожна \BbbT -субнормальна пiдгрупа буде \BbbT X -субнормальною для будь-якої нормальної в групi
G пiдгрупи X (див. лему 6, п. 6).
Приклад . У групi G = E72 \rtimes SL(2, 3) (\mathrm{I}\mathrm{d}\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p} = [1176, 214]) [12] пiдгрупа H = Z3,
вибрана з максимальної пiдгрупи SL(2, 3), \BbbP -субнормальна в надрозв’язнiй пiдгрупi HF (G) =
= Z7 \times (Z7 \rtimes Z3), але не \BbbP -субнормальна в G.
Цей приклад показує, що \BbbT X -субнормальна пiдгрупа може бути не \BbbT -субнормальною.
У цiй роботi вивчається факторизовна група G = AB з \BbbT X -субнормальними спiвмнож-
никами A i B. За додаткових обмежень на A, B, \BbbT i X отримано новi ознаки часткової
розв’язностi та надрозв’язностi групи G.
1. Допомiжнi результати. Через G\prime , Z(G), F (G) i \Phi (G) позначимо комутант, центр,
пiдгрупи Фiттiнга i Фраттiнi групи G вiдповiдно; Op(G) i Op\prime (G) — найбiльшi нормальнi в
G p- i p\prime -пiдгрупи вiдповiдно; \pi (G) — множина всiх простих дiльникiв порядку групи G.
Елементарну абелеву групу порядку pt i циклiчну групу порядку m позначимо Ept i Zm
вiдповiдно, а A\rtimes B — напiвпрямий добуток нормальної пiдгрупи A i пiдгрупи B.
Нехай \frakF — формацiя, G — група. Перетин усiх нормальних пiдгруп групи G, фактор-групи
за якими належать \frakF , позначимо через G\frakF i назвемо \frakF -корадикалом групи G. Формацiї всiх
розв’язних, p-розв’язних i надрозв’язних груп позначимо через S, pS i U вiдповiдно.
Групу G називаємо примiтивною, якщо в G iснує максимальна пiдгрупа M iз одиничним
ядром \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}GM = \cap x\in GM
x = 1. У цьому випадку пiдгрупу M називаємо примiтиватором
групи G.
Лема 1. Нехай \frakF — насичена формацiя i G — група. Припустимо, що G /\in \frakF , але G/N \in \frakF
для всiх N \lhd G, N \not = 1. Тодi G — примiтивна група.
Лема 2 ([1], теореми 4.40 – 4.42). Нехай G — розв’язна неодинична примiтивна група з
примiтиватором M. Тодi справедливi такi твердження:
1) \Phi (G) = 1;
2) F (G) = CG(F (G)) = Op(G) i F (G) — елементарна абелева пiдгрупа порядку pn для
деякого простого p i натурального n;
3) G має єдину мiнiмальну нормальну пiдгрупу, яка збiгається з F (G);
4) G = F (G)\rtimes M i Op(M) = 1.
Лема 3 ([13], лема 4). Нехай G — p-надрозв’язна група, P — силовська p-пiдгрупа в G,
H — p\prime -холлова пiдгрупа в G. Якщо Op\prime (G) = 1, то:
1) пiдгрупа P нормальна в G i F (G) = P ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1358 В. С. МОНАХОВ, О. О. ТРОФIМУК
2) якщо \Phi (G) = 1, то P = P1 \times P2 \times . . .\times Pt, де Pi — нормальна в G пiдгрупа простого
порядку для кожного i; зокрема, пiдгрупа P елементарна абелева;
3) пiдгрупа H абелева експоненти, що дiлить p - 1;
4) група G надрозв’язна.
Лема 4. Нехай \frakF i \frakH — формацiї , G — група i S = GS. Тодi справедливi такi твердження:
1) якщо \frakH \subseteq \frakF , то G\frakF \leq G\frakH ;
2) якщо Y \leq X \leq G i \frakF — спадкова формацiя, то Y \frakF \leq X\frakF ;
3) (S)S = S; зокрема, S\prime = S\frakN = SU = S;
4) якщо H \leq G, то (HS)S = S.
Доведення. 1. Оскiльки G/G\frakH \in \frakH \subseteq \frakF , то G\frakF \leq G\frakH .
2. Оскiльки X\frakF нормальна в X, то Y X\frakF — пiдгрупа групи X, i
Y/Y \cap X\frakF \simeq Y X\frakF /X\frakF \in \frakF ,
тому що \frakF — спадкова формацiя. Отже,
Y \frakF \leq Y \cap X\frakF \leq X\frakF .
3. За п. 2 (S)S \leq GS = S. Оскiльки S/SS \in S i
(G/SS)/(S/SS) \simeq G/S \in S,
то G/SS \in S. Тому S \leq SS i (S)S = S.
Оскiльки \frakA \subset \frakN \subset U \subset S, то за п. 1
S = S \leq SU \leq S\frakN \leq S\prime \leq S.
4. За п. 2 (HS)S \leq GS = S i SS \leq (HS)S. Оскiльки за п. 3 SS = S, то (HS)S = S.
Лема 5. Нехай G — група i S = GpS. Тодi справедливi такi твердження:
1) (S)pS = S; зокрема, S\prime = S\frakN = SU = S;
2) якщо H \leq G, то (HS)pS = S.
Доведення. Обидва твердження перевiряються, як i в пп. 3, 4 леми 4.
Лема 6. Нехай H — пiдгрупа групи G, N — нормальна в G пiдгрупа, \BbbT i \BbbS — множини
натуральних чисел, що задовольняють умову (1), такi, що \BbbT \subseteq \BbbS . Тодi справедливi такi
твердження:
1) якщо N \leq H i H/N \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G/N, то H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G;
2) якщо H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G, то (H \cap N) \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} N, HN/N \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G/N i HN \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G;
3) якщо H \leq K \leq G, H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} K, K \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G, то H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G;
4) якщо H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G, то Hg \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G для будь-якого g \in G;
5) якщо H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G, то H \BbbS \mathrm{s}\mathrm{n} G;
6) якщо H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} G, то H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} HN.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
СКIНЧЕННI ГРУПИ, ФАКТОРИЗОВНI \BbbT X -СУБНОРМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 1359
Доведення. Твердження 1 – 4 вiдомi [4] (лема 1). Твердження 5 випливає з означення.
Доведемо твердження 6. Оскiльки H \BbbT -субнормальна в G, то iснує ланцюжок
H < H1 < . . . < Hj < Hj+1 < . . . < Hn = G, | Hj+1 : Hj | \in \BbbT .
Розглянемо такий ланцюжок:
H \leq HN \cap H1 \leq . . . \leq HN \cap Hj \leq HN \cap Hj+1 \leq . . . \leq HN.
За тотожнiстю Дедекiнда HN \cap Hj = H(N \cap Hj), тому
| HN \cap Hj+1 : HN \cap Hj | =
| H| | N \cap Hj+1|
| H \cap N |
:
| H| | N \cap Hj |
| H \cap N |
=
| N \cap Hj+1|
| N \cap Hj |
.
Оскiльки N \cap Hj+1 нормальна в Hj+1, то
Hj \leq (N \cap Hj+1)Hj \leq Hj+1,
i
| (N \cap Hj+1)Hj : Hj | \in \BbbT , | N \cap Hj+1 : N \cap Hj | \in \BbbT ,
тому що | Hj+1 : Hj | \in \BbbT i \BbbT мiстить усi дiльники чисел iз \BbbT . Отже, H \BbbT \mathrm{s}\mathrm{n} HN.
Лема 7 ([14], лема 2.16). Нехай \frakF — насичена формацiя, що мiстить формацiю U, i G —
група з нормальною пiдгрупою E такою, що G/E \in \frakF . Якщо E циклiчна, то G \in \frakF .
Наступна лема має самостiйний iнтерес.
Лема 8. Нехай \frakH — спадкова насичена формацiя така, що U \subseteq \frakH . Якщо A — пiдгрупа
групи G, A \in \frakH i A \BbbP -субнормальна в G, то AF (G) \in \frakH .
Доведення. Скористаємось iндукцiєю за порядком групи. Нехай F = F (G). Припустимо,
що AF < G. Пiдгрупа A \BbbP -субнормальна в AF за лемою 6, п. 6. За iндукцiєю AF (AF ) \in \frakH .
Оскiльки формацiя \frakH спадкова i F \leq F (AF ), то AF \in \frakH . Тому далi вважаємо, що AF = G.
Нехай N — нормальна пiдгрупа в G, N \not = 1. Оскiльки AN/N \BbbP -субнормальна в G/N i
AN/N \in \frakH , то за iндукцiєю (AN/N)F (G/N) \in \frakH . Далi, позаяк F (G)N/N \leq F (G/N), то
G/N = AF (G)/N = (AN/N)F (G)N/N \leq (AN/N)F (G/N) \in \frakH .
Тому G/N \in \frakH . Отже, \Phi (G) = 1 i F — єдина мiнiмальна нормальна пiдгрупа. Пiдгру-
па F абелева, тому A — максимальна пiдгрупа в G. За умовою A \BbbP \mathrm{s}\mathrm{n} G, отже, | F | =
= | G : A| \in \BbbP . За лемою 7 G \in \frakH .
2. Спiвмножники надрозв’язнi i \BbbP \bfitF (\bfitG )-субнормальнi. Згiдно з теоремою Хупперта
надрозв’язну групу можна визначити як групу, в якiй усi максимальнi пiдгрупи мають простi
iндекси. Тому в надрозв’язнiй групi всi пiдгрупи \BbbP -субнормальнi.
У [10] доведено, що група G = AB, факторизована двома нiльпотентними F (G)-субнор-
мальними пiдгрупами A i B, є нiльпотентною [10] (теорема 1). Коротке доведення цього
результату отримано в [15] (теорема 3.3). Якщо F (G)-субнормальнiсть замiнити на \BbbP F (G)-
субнормальнiсть, то група може бути не нiльпотентною навiть тодi, коли спiвмножники A i B
мають простi порядки. Прикладом є симетрична група степеня 3.
Група, факторизована двома надрозв’язними F (G)-субнормальними пiдгрупами, може бути
нерозв’язною. Прикладом слугує будь-яка проста група, факторизована надрозв’язними пiдгру-
пами, наприклад PSL(2, 7). Але за додаткових умов можна отримувати надрозв’язнiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1360 В. С. МОНАХОВ, О. О. ТРОФIМУК
Теорема 1. Нехай \frakF — спадкова насичена формацiя така, що U \subseteq \frakF . Нехай A i B —
\BbbP F (G)-субнормальнi пiдгрупи групи G i G = AB. Якщо A,B \in \frakF , то G \in \frakF у кожному з
таких випадкiв:
1) комутант G\prime нiльпотентний;
2) група G метанiльпотентна i (| G : A| , | G : B| ) = 1;
3) одна з пiдгруп A або B нiльпотентна i субнормальна в G.
Доведення. Розглянемо пiдгрупу K = AF (G). Оскiльки A — \BbbP F (G)-субнормальна
пiдгрупа групи G, то A \BbbP -субнормальна в K. За лемою 8 K \in \frakF . Аналогiчно, пiдгрупа
H = BF (G) \in \frakF .
1. Оскiльки комутант G\prime нiльпотентний, то G\prime \leq F (G) i G/F (G) абелева. Тому пiдгрупи
K/F (G) i H/F (G) нормальнi в G/F (G). Таким чином, G = AB = (AF (G))(BF (G)) =
= KH — добуток нормальних пiдгруп K i H. Згiдно з теоремою B з [11] G \in \frakF .
2. Оскiльки група метанiльпотентна, то G/F (G) нiльпотентна. Тому пiдгрупи K/F (G) i
H/F (G) субнормальнi в G/F (G). Таким чином, G = KH — добуток субнормальних \frakF -пiдгруп
K i H. Очевидно, що (| G : H| , | G : K = | )1. За лемою 5.1 з [11] G \in \frakF .
3. Нехай пiдгрупа A субнормальна в G i нiльпотентна. Тодi AG \leq F (G) i G = AB \leq
\leq BF (G) = H \in \frakF .
Теорему доведено.
Оскiльки кожна F (G)-субнормальна пiдгрупа \BbbP F (G)-субнормальна, то з теореми 1 при
\frakF = U отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок ([10], теорема 2). Нехай A i B — надрозв’язнi F (G)-субнормальнi пiдгрупи групи
G i G = AB. Тодi група G надрозв’язна в кожному з таких випадкiв:
1) комутант G\prime нiльпотентний;
2) група G метанiльпотентна i (| G : A| , | G : B| ) = 1;
3) одна з пiдгруп A або B нормальна в G i нiльпотентна.
Зауваження . Кожна пiдгрупа надрозв’язної групи \BbbP -субнормальна. Тому при X = G\frakF ,
\frakF \subseteq U, справедливим є твердження: якщо пiдгрупа H групи G є \BbbP G\frakF -субнормальною, то H
\BbbP -субнормальна у G. Отже, результати робiт [5 – 9] можна поширити на факторизовнi групи з
\BbbP G\frakF -субнормальними спiвмножниками.
У статтi [2] дослiджували \mathrm{w}-надрозв’язнi групи — групи з \BbbP -субнормальними силовськи-
ми пiдгрупами. Зокрема, встановлено, що клас \mathrm{w}U усiх \mathrm{w}-надрозв’язних груп є спадковою
насиченою формацiєю, кожна метанiльпотентна i кожна бiпримарна \mathrm{w}-надрозв’язна група є
надрозв’язною [2] (теореми 2.7 i 2.13).
У роботi [16] вивчали групи, що мають три надрозв’язнi пiдгрупи з попарно взаємно прос-
тими iндексами: такi групи належать формацiї \frakN 3. Цей результат уточнює така теорема.
Теорема 2. Нехай A, B i C — надрозв’язнi пiдгрупи групи G попарно взаємно простих
iндексiв i G = AB = AC = BC. Тодi група G \in \frakN \frakA 2 \cap \mathrm{w}U. Крiм того, якщо пiдгрупи A, B,
C \BbbP F (G)-субнормальнi в G, то G надрозв’язна.
Доведення. За теоремою Вiландта [17] група G розв’язна. Якщо N — неодинична нор-
мальна в G пiдгрупа, то пiдгрупи AN/N \simeq A/A\cap N, BN/N i CN/N — надрозв’язнi пiдгрупи
взаємно простих iндексiв у G/N. Фактор-група G/N \in \frakN \frakA 2 за iндукцiєю. Оскiльки формацiя
\frakN \frakA 2 насичена, то за лемою 1 група G примiтивна. Тому можна застосувати лему 2. Збережемо
для G позначення цiєї леми. Зокрема, F (G) = N — єдина мiнiмальна нормальна в G пiдгрупа,
CG(N) = N. Нехай p найбiльше з \pi (G). За теоремою 1 з [18] група G p-замкнена. Тому
F (G) = N = Gp.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
СКIНЧЕННI ГРУПИ, ФАКТОРИЗОВНI \BbbT X -СУБНОРМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 1361
Якщо p дiлить | G : A| , то, згiдно з умовою, p не дiлить iндекси | G : B| i | G : C| . Тому
F (G) \leq B \cap C. Оскiльки CG(F (G)) = F (G), то Op\prime (B) = 1 = Op\prime (C). За лемою 3 p\prime -холловi
пiдгрупи Bp\prime , Cp\prime пiдгруп B i C є абелевими. Таким чином, G/F = (B/F )(C/F ) \simeq Bp\prime Cp\prime i
G/F \in \frakA 2. Тому G \in \frakN \frakA 2.
Нехай r i q, r \not = q, — довiльнi простi числа з \pi (G). Очевидно, що серед пiдгруп A, B,
C можна вибрати таку, що r i q не дiлять її iндексу. Не втрачаючи загальностi, вважатимемо,
що iндекс пiдгрупи A не дiлиться на r i q. Тодi \{ r, q\} -холлова пiдгрупа в A надрозв’язна i є
\{ r, q\} -холловою пiдгрупою групи G. Тому в G всi бiпримарнi холловi пiдгрупи надрозв’язнi i
згiдно з теоремою B (1) [3] група G \in \mathrm{w}U. Таким чином, включення G \in \frakN \frakA 2 \cap \mathrm{w}U доведено.
Нехай пiдгрупи A, B, C \BbbP F (G)-субнормальнi в G. Застосуємо iндукцiю по | G : A| + | G :
B| +| G : C| . Якщо AF (G) < G, то AF (G) є надрозв’язною за лемою 8 i \BbbP F (G)-субнормальною
в G. Крiм того, пiдгрупи AF (G), B i C мають попарно взаємно простi iндекси. За iндукцiєю
група G надрозв’язна. Тому можна вважати, що F (G) \leq A \cap B \cap C. За наслiдком С.4 з [11]
група G надрозв’язна.
3. Спiвмножники розв’язнi i \BbbT \bfitX -субнормальнi. Нагадаємо позначення деяких конкрет-
них значень множини \BbbT . Для фiксованих чисел t \in \BbbN i r \in \BbbP покладемо
\BbbP t = \{ pk | p \in \BbbP , k \in \{ 0\} \cup \BbbN , k \leq t\} ,
\BbbP t
r = \{ pk | p \in \BbbP \setminus \{ r\} , k \in \{ 0\} \cup \BbbN \} \cup \{ rk | k \in \{ 0\} \cup \BbbN , k \leq t\} ,
\BbbP \infty = \{ pk | p \in \BbbP , k \in \{ 0\} \cup \BbbN \} ,
\BbbL = \{ 2, 4\} \cup \{ 2n - 1 | n \in \BbbN \} .
Нам знадобляться вiдомi результати про факторизовнi групи з \BbbT -субнормальними спiвмнож-
никами.
Лема 9. 1. Нехай A i B — \BbbP 2-субнормальнi пiдгрупи групи G i G = AB. Якщо A i B
розв’язнi, то G також розв’язна [6] (теорема 1).
2. Нехай A i B — \BbbL -субнормальнi пiдгрупи групи G i G = AB. Якщо A i B розв’язнi, то
G також розв’язна [7] (теорема 1).
3. Нехай A i B — \BbbP \infty -субнормальнi пiдгрупи групи G i G = AB. Припустимо, що r \in
\in \pi (G) \setminus \{ 2, 3, 7\} . Якщо A i B r-розв’язнi, то G r-розв’язна [7] (теорема 2).
4. Нехай A i B — \BbbP 2
2-субнормальнi пiдгрупи групи G i G = AB. Якщо A i B r-розв’язнi,
то G r-розв’язна для будь-якого r \in \pi (G) [7] (теорема 3).
У наступнiй теоремi розглядається група, яка факторизується \BbbT X -субнормальними пiдгру-
пами при X = GS i X = GpS.
Теорема 3. Нехай A i B — \BbbT X -субнормальнi пiдгрупи групи G i G = AB.
1. Нехай X = GS, \BbbT = \BbbP 2 або \BbbT = \BbbL . Якщо A i B — розв’язнi пiдгрупи, то група G
також розв’язна.
2. Нехай X = GrS. Якщо A i B — r-розв’язнi пiдгрупи, то група G r-розв’язна в кожному
з таких випадкiв:
2.1) \BbbT = \BbbP \infty i r \in \pi (G) \setminus \{ 2, 3, 7\} ;
2.2) \BbbT = \BbbP 2
2 i r \in \pi (G).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1362 В. С. МОНАХОВ, О. О. ТРОФIМУК
Доведення. 1. Якщо AX = G = BX, то A i B \BbbT -субнормальнi в G i за лемою 9 (пп. 1,
2) група G розв’язна. Нехай AX < G. Застосуємо iндукцiю за порядком групи G. За умовою
пiдгрупа B \BbbT -субнормальна в BX, тому iснує ланцюжок пiдгруп
B \leq B1 \leq . . . \leq Bm \leq BX, | Bi+1 : Bi| \in \BbbT .
Оскiльки G = AB = (AX)Bi = (AX)Bi+1, то
| AX| | Bi|
| AX \cap Bi|
=
| AX| | Bi+1|
| AX \cap Bi+1|
,
| AX \cap Bi+1 : AX \cap Bi| = | Bi+1 : Bi| \in \BbbT .
За лемою 4 (п. 4) (AX)S = X, тому
AX \cap B \leq AX \cap B1 \leq . . . \leq AX \cap Bm \leq AX \cap BX =
= (AX \cap B)X = (AX \cap B)(AX)S
i AX \cap B \BbbT -субнормальна в (AX \cap B)(AX)S. За тотожнiстю Дедекiнда
AX = AX \cap G = AX \cap AB = A(AX \cap B).
За умовою A \BbbT -субнормальна в AX = A(AX)S i AX \cap B \BbbT -субнормальна в (AX \cap B)(AX)S
згiдно з доведеним. Оскiльки A i AX \cap B — розв’язнi пiдгрупи, то AX розв’язна за iндукцiєю.
Оскiльки X \leq AX, то G розв’язна.
2. Якщо AX = G = BX, то A i B \BbbT -субнормальнi в G i за лемою 9 (пп. 3, 4) група G
r-розв’язна. Нехай AX < G. За лемою 5 (AX)pS = X.
Застосовуючи iндукцiю за порядком групи G i повторюючи мiркування, як i при доведеннi
п. 1, отримуємо, що група G r-розв’язна в кожному з таких випадкiв: \BbbT = \BbbP \infty i r \in \pi (G) \setminus
\{ 2, 3, 7\} , \BbbT = \BbbP 2
2 i r \in \pi (G).
Лiтература
1. В. С. Монахов, Введение в теорию конечных групп и их классов, Вышэйш. шк., Минск (2006).
2. А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, В. Н. Тютянов, О конечных группах сверхразрешимого типа, Сиб. мат. журн.,
51, № 6, 1270 – 1281 (2010).
3. V. S. Monakhov, V. N. Kniahina, Finite group with \BbbP -subnormal subgroups, Ric. Mat., 62, № 2, 307 – 323 (2013).
4. V. S. Monakhov, V. N. Kniahina, Finite groups with given indices of 2-maximal subgroups, J. Algebra and Appl., 15,
№ 7, Article 1650123 (2016).
5. А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, В. Н. Тютянов, О произведениях \BbbP -субнормальных подгрупп в конечных
группах, Сиб. мат. журн., 53, № 1, 59 – 67 (2012).
6. В. Н. Княгина, В. С. Монахов, Конечные факторизуемые группы с разрешимыми \BbbP 2 -субнормальными под-
группами, Сиб. мат. журн., 54, № 1, 77 – 85 (2013).
7. В. Н. Тютянов, В. Н. Княгина, Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными
вложениями, Укр. мат. журн., 55, № 10, 1431 – 1435 (2014).
8. V. S. Monakhov, A. A. Trofimuk, On the residual of a factorized group with widely supersoluble factors, Commun.
Algebra, 48, № 12, 5290 – 5295 (2020).
9. V. S. Monakhov, A. A. Trofimuk, On the supersoluble residual of a product of supersoluble subgroups, Adv. Group
Theory and Appl., 9, 1 – 20 (2020).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
СКIНЧЕННI ГРУПИ, ФАКТОРИЗОВНI \BbbT X -СУБНОРМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 1363
10. В. И. Мурашко, А. Ф. Васильев, О произведениях частично субнормальных подгрупп конечных групп, Весн.
ВДУ, 70, № 4, 24 – 27 (2012).
11. А. Ф. Васильев, В. И. Мурашко, Формации и произведения F (G)-субнормальных подгрупп конечных разреши-
мых групп, Мат. заметки, 107, № 3, 376 – 390 (2020).
12. The GAP group: GAP — groups, algorithms, and programming. Ver. GAP 4.11.0 [Electronic resource]: A system for
computational discrete algebra, Mode of access: https://www.gap-system.org, Date of Access: 29.02.2020.
13. В. С. Монахов, И. К. Чирик, О p-сверхразрешимом корадикале произведения нормальных p-сверхразрешимых
подгрупп, Тр. Ин-та математики, 23, № 2, 88 – 96 (2015).
14. A. N. Skiba, On weakly s-permutable subgroups of finite groups, J. Algebra, 315, 192 – 209 (2007).
15. В. С. Монахов, И. К. Чирик, Конечные группы, факторизуемые субнормальными сверхразрешимыми подгруп-
пами, Проблемы физики, математики и техники, 28, № 3, 40 – 46 (2016).
16. А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, К. Л. Парфенков, Конечные группы с тремя заданными подгруппами, Сиб.
мат. журн., 59, № 1, 65 – 77 (2018).
17. H. Wielandt, Über die Normalstruktur mehrfach faktorisierter Gruppen, J. Austr. Math. Soc., 1, 143 – 146 (1959).
18. H. Kegel, Zur Struktur mehrfach faktorisierter endlicher Gruppen, Math. Z., 87, 42 – 48 (1965).
Одержано 05.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-6673 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:42Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/1280294ac87da4b413e04c0c4576c30c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66732023-01-07T13:45:40Z On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups Конечные группы, факторизуемые $\mathbb TX$-субнормальными подгруппами Скінченні групи, факторизовні $\mathbb TX$-субнормальними підгрупами Monakhov, V. S. Trofimuk, A. A. Монахов, В. С. Трофімук, О. О. Трофимчук, Александр СКIНЧЕННI ГРУПИ ? UDC 512.542 Let $\mathbb T$ be a subset of the set of all natural numbers satisfying the condition \begin{gather}\text{if}\,\, t\in\mathbb{T},\,\, \text{then}\,\, \mathbb{T}\,\, \text{contains all natural divisors of}\quad t.\tag{A}\end{gather} Recall that a subgroup $H$ is called a {\it $\mathbb T$-subnormal} in $G$ if either $H=G,$ or there is a chain of subgroups $H=H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}| \in \mathbb T$ for all $i.$ Let $X$ be a normal subgroup of a group $G$ and let $\Bbb T$ be a set of natural numbers satisfying condition (A). We introduce the following definition: A subgroup $H$ of the group $G$ is called a {\it $\mathbb TX$-subnormal} subgroup if $H$ is $\mathbb T$-subnormal in $HX.$ Moreover, we study factorizable groups $G = AB$ with $\mathbb TX$-subnormal factors $A$ and $B$. Under certain additional restrictions imposed on $A,$ $B,$ $\mathbb T,$ and $X,$ we obtain new sufficient conditions for the partial solubility and supersolubility of the analyzed groups $G$. Пусть $\mathbb T$~--- некоторое подмножество множества натуральных чисел, удовлетворяющее требованию:{\sl если $t\in\mathbb T$, то $\mathbb T$ содержит все натуральные делителичисла~$t$}~(1). Напомним, что подгруппа $H$ называется {\it$\mathbb T$\nobreakdash-\hspace{0pt}субнормальнойподгруппой} группы $G$, если либо $H=G$, либо существует цепочка подгрупп$H=H_0\le H_1\le \ldots \le H_n=G$такая, что $|H_i:H_{i-1}|\in \mathbb T$ для всех $i$. Пусть $X$~--- нормальная подгруппа группы~$G$ и~$\Bbb T$~--- некоторое множество натуральных чисел, удовлетворяющее требованию~(1). В настоящей работе введено следующее определение: подгруппа~$H$ группы~$G$называется {\it $\mathbb TX$-субнормальной} подгруппой, если $H$$\mathbb T$-субнормальна в~$HX$. Кроме того, в данной статье изучается факторизуемая группа~$G=AB$с $\mathbb TX$-субнормальными сомножителями~$A$ и~$B$.При дополнительных ограничениях на~$A$, $B$, $\mathbb T$ и~$X$получены новые признаки частичной разрешимости исверхразрешимости группы~$G$. УДК 512.542 Нехай $\mathbb T$ – деяка підмножина множини натуральних чисел, що задовольняє умову \begin{gather}\text{якщо}\,\, t\in\mathbb{T},\,\, \text{то}\,\, \mathbb{T}\,\, \text{містить усі натуральні дільники числа}\,\, t. \tag{A}\label{A}\end{gather} Нагадаємо, що підгрупа $H$ називається {\it $\mathbb T$-субнормальною підгрупою} групи $G,$ якщо або $H=G,$ або існує ланцюжок підгруп $H=H_0\le H_1\le \ldots \le H_n=G$ такий, що $|H_i\colon H_{i-1}|\in \mathbb T$ для всіх $i.$ Нехай $X$ – нормальна підгрупа групи $G$ і $\mathbb T$ – деяка множина натуральних чисел, що задовольняє умову A). У цій роботі введено таке означення: підгрупа $H$ групи $G$ називається {\it $\mathbb TX$-субнормальною} підгрупою, якщо $H$ $\mathbb T$-субнормальна в $HX.$ Крім того, вивчається факторизовна група $G=AB$ з $\mathbb TX$-субнормальними співмножниками $A$ і $B.$ За додаткових обмежень на $A,$ $B,$ $\mathbb T$ і $X$ отримано нові ознаки часткової розв'язності та надрозв'язності групи $G.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-11-27 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6673 10.37863/umzh.v74i10.6673 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 10 (2022); 1356 - 1363 Український математичний журнал; Том 74 № 10 (2022); 1356 - 1363 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6673/9323 Copyright (c) 2022 Олександр Трофімчук |
| spellingShingle | Monakhov, V. S. Trofimuk, A. A. Монахов, В. С. Трофімук, О. О. Трофимчук, Александр On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups |
| title | On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups |
| title_alt | Конечные группы, факторизуемые $\mathbb TX$-субнормальными подгруппами Скінченні групи, факторизовні $\mathbb TX$-субнормальними підгрупами |
| title_full | On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups |
| title_fullStr | On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups |
| title_full_unstemmed | On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups |
| title_short | On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups |
| title_sort | on finite factorized groups with $\mathbb tx$-subnormal subgroups |
| topic_facet | СКIНЧЕННI ГРУПИ ? |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6673 |
| work_keys_str_mv | AT monakhovvs onfinitefactorizedgroupswithmathbbtxsubnormalsubgroups AT trofimukaa onfinitefactorizedgroupswithmathbbtxsubnormalsubgroups AT monahovvs onfinitefactorizedgroupswithmathbbtxsubnormalsubgroups AT trofímukoo onfinitefactorizedgroupswithmathbbtxsubnormalsubgroups AT trofimčukaleksandr onfinitefactorizedgroupswithmathbbtxsubnormalsubgroups AT monakhovvs konečnyegruppyfaktorizuemyemathbbtxsubnormalʹnymipodgruppami AT trofimukaa konečnyegruppyfaktorizuemyemathbbtxsubnormalʹnymipodgruppami AT monahovvs konečnyegruppyfaktorizuemyemathbbtxsubnormalʹnymipodgruppami AT trofímukoo konečnyegruppyfaktorizuemyemathbbtxsubnormalʹnymipodgruppami AT trofimčukaleksandr konečnyegruppyfaktorizuemyemathbbtxsubnormalʹnymipodgruppami AT monakhovvs skínčennígrupifaktorizovnímathbbtxsubnormalʹnimipídgrupami AT trofimukaa skínčennígrupifaktorizovnímathbbtxsubnormalʹnimipídgrupami AT monahovvs skínčennígrupifaktorizovnímathbbtxsubnormalʹnimipídgrupami AT trofímukoo skínčennígrupifaktorizovnímathbbtxsubnormalʹnimipídgrupami AT trofimčukaleksandr skínčennígrupifaktorizovnímathbbtxsubnormalʹnimipídgrupami |