Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains
UDC 517.54 In this paper, we consider the problem of extreme partition of the complex plane, which is well-known in the geometric theory of functions. We obtain estimates of the maximum value for the product of some powers of inner radii of $n$ disjoint domains in the complex plane with respect to $...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6682 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512497015980032 |
|---|---|
| author | Bakhtin , A. K. Zabolotnii , Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. |
| author_facet | Bakhtin , A. K. Zabolotnii , Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. |
| author_sort | Bakhtin , A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:40Z |
| description | UDC 517.54
In this paper, we consider the problem of extreme partition of the complex plane, which is well-known in the geometric theory of functions. We obtain estimates of the maximum value for the product of some powers of inner radii of $n$ disjoint domains in the complex plane with respect to $n$ arbitrary points of the plane. Estimates found in this paper can be applied to various problems of the geometric theory of functions. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i9.6682 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i9.6682
УДК 517.54
О. К. Бахтiн, Я. В. Заболотний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ
БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ
In this paper, we consider the problem of extreme partition of the complex plane, which is well-known in the geometric
theory of functions. We obtain estimates of the maximum value for the product of some powers of inner radii of n disjoint
domains in the complex plane with respect to n arbitrary points of the plane. Estimates found in this paper can be applied
to various problems of the geometric theory of functions.
Розглядається вiдома проблема геометричної теорiї функцiй про екстремальне розбиття комплексної площини.
Отримано оцiнки максимуму добутку деяких степенiв внутрiшнiх радiусiв n довiльних взаємно неперетинних
областей вiдносно n довiльних точок комплексної площини, одна з яких може бути нескiнченно вiддаленою.
Знайденi оцiнки можуть бути використанi в рiзних задачах геометричної теорiї функцiй.
Вступ. Нехай \BbbN i \BbbR — множини натуральних i дiйсних чисел вiдповiдно, \BbbC — комплексна
площина i \BbbC = \BbbC
\bigcup
\{ \infty \} — розширена комплексна площина, \BbbR + = (0,\infty ).
Нехай функцiя f(z), мероморфна в крузi | z| < 1, однолисто вiдображає круг | z| < 1 на
область B \subset \BbbC так, що f(0) = a, де a \in B.
Означення 1. Величина R(B, a) = | f \prime (0)| називається конформним радiусом областi B в
точцi a.
Означення 2. Функцiєю Грiна gB(z, a) областi B з полюсом у скiнченнiй точцi a \in B
називається дiйсна функцiя, гармонiчна по z в B\setminus a, яка прямує до нуля, коли z прямує до межi
B, i для якої в деякому околi точки a має мiсце асимптотичний розклад
gB(z, a) = - \mathrm{l}\mathrm{n} | z - a| + \gamma + o(1), z \rightarrow a;
якщо ж a = \infty , то
gB(z, a) = \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \gamma + o(1), z \rightarrow a.
Означення 3. Внутрiшнiм радiусом r(B, a) областi B вiдносно точки a називається
величина e\gamma (див., наприклад, [1, с. 13, 14]).
Зазначимо, що для однозв’язних областей внутрiшнiй радiус областi дорiвнює її конформ-
ному радiусу.
В данiй роботi вивчається така проблема.
Проблема 1. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 3, \alpha k, k = 1, n, — деякi додатнi
дiйснi числа, ak, k = 1, n, — деякий набiр точок комплексної площини. Знайти максимум
добутку
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k , (0.1)
де Bk, k = 1, n, — довiльний набiр таких областей, що ak \in Bk, k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j.
c\bigcirc О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9 1155
1156 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Дана проблема належить до так званих екстремальних задач про неперетиннi областi
геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної. Виникнення в теорiї однолистих функцiй
екстремальних задач про неперетиннi областi пов’язане з роботою М. О. Лаврентьєва [2], де
було вперше поставлено i розв’язано задачу про добуток конформних радiусiв двох взаємно не-
перетинних однозв’язних областей, а саме, отримано такий результат: якщо a1 i a2 — скiнченнi
точки, то для будь-якої пари неперетинних однозв’язних областей D1 i D2 такої, що ak \in Dk,
k = 1, 2, виконується нерiвнiсть
R(D1, a1)R(D2, a2) \leq | a1 - a2| 2, (0.2)
де знак рiвностi досягається для пiвплощин Dk i точок ak, симетричних вiдносно їхньої спiль-
ної межi. Пiзнiше Г. М. Голузiн узагальнив задачу М. О. Лаврентьєва на випадок довiльного
скiнченного числа n, n \geq 3, взаємно неперетинних однозв’язних областей Bk, ak \in Bk \subset \BbbC
(\{ ak\} nk=1 — довiльнi фiксованi скiнченнi та рiзнi точки комплексної площини), а при n = 3
отримав точну оцiнку для добутку конформних радiусiв трьох неперетинних областей [3, с. 165]
3\prod
k=1
R(Bk, ak) \leq
64
81
\surd
3
| a2 - a1| | a3 - a1| | a3 - a2| ,
в якiй знак рiвностi досягається, з точнiстю до дробово-лiнiйних перетворень, тiльки для обла-
стей, якi є рiвними кутами, i точок, якi лежать на бiсектрисах цих кутiв на однакових вiдстанях
вiд їхньої спiльної вершини. Для n = 4 Г. В. Кузьмiна в роботi [4] показала, що оцiнка добутку
конформних радiусiв чотирьох неперетинних однозв’язних областей зводиться до проблеми
найменшої ємностi у визначенiй сiм’ї континуумiв, i отримала точну нерiвнiсть
4\prod
k=1
R(Bk, ak) \leq
9
48/3
\left( \prod
1\leq k<l\leq 4
| al - ak|
\right) 2
3
.
Для n \geq 5 повного розв’язку цiєї проблеми на даний час не iснує.
Л. I. Колбiна [5] розглянула дещо iншу задачу, а саме, задачу про максимум J0 виразу
J =
\bigm| \bigm| (f \prime
1(0))
\alpha (f \prime
2(0))
\beta
\bigm| \bigm| , де \alpha > 0 i \beta > 0, функцiї f1 i f2 регулярно i однолисто вiдображають
одиничний круг | z| < 1 на неперетиннi областi B1 i B2 вiдповiдно, причому f1(0) = a1,
f2(0) = a2, a1, a2 — деякi рiзнi точки комплексної площини (iншими словами, задачу про
максимум виразу J = R\alpha (B1, a1)R
\beta (B2, a2), де B1, B2 — неперетиннi однозв’язнi областi,
причому a1 \in B1, a2 \in B2), i встановила, що
J0 =
4\alpha +\beta \alpha \alpha \beta \beta
| \alpha - \beta | \alpha +\beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \surd \alpha -
\surd
\beta \surd
\alpha +
\surd
\beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\surd
\alpha \beta
| al - a2| \alpha +\beta .
Крiм того, в [6] було знайдено максимум I0 виразу
I = R\alpha (B1, a1)R
\beta (B2, a2)R
\beta (B3, a3)
в аналогiчнiй задачi i встановлено, що
I0 = A\alpha ,\beta ,\gamma | a1 - a2| \alpha +\beta - \gamma | a1 - a3| \alpha - \beta +\gamma | a2 - a3| - \alpha +\beta +\gamma ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1157
де
A\alpha ,\beta ,\gamma =
4\alpha +\beta +\gamma \alpha \alpha \beta \beta \gamma \gamma
\bigm| \bigm| 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma ) - \alpha 2 - \beta 2 - \gamma 2
\bigm| \bigm| \surd \alpha \beta +
\surd
\beta \gamma +
\surd
\alpha \gamma - 1
2
(\alpha +\beta +\gamma )\bigm| \bigm| (\surd \alpha +
\surd
\beta )2 - \gamma
\bigm| \bigm| 2\surd \alpha \beta \bigm| \bigm| (\surd \beta +
\surd
\gamma )2 - \alpha
\bigm| \bigm| 2\surd \beta \gamma \bigm| \bigm| (\surd \alpha +
\surd
\gamma )2 - \beta
\bigm| \bigm| 2\surd \alpha \gamma
.
Деякi нерiвностi щодо конформних радiусiв було отримано також в роботi [7].
М. О. Лебедєв у монографiї [8, с. 32, 33] розглянув таку екстремальну задачу про добуток
конформних радiусiв: на площинi w дано n рiзних фiксованих точок ak, k = 1, n, n > 3, та n
додатних дiйсних чисел \gamma k, k = 1, n. Що можна сказати про максимум добутку
n\prod
k=1
R\gamma k (Bk, ak) - \rightarrow \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}, n > 3,
де Bk, k = 1, n, — довiльнi взаємно неперетиннi однозв’язнi областi, такi, що ak \in Bk,
k = 1, n? Однак на даний час цю задачу в загальному випадку не розв’язано, вдалось отримати
її розв’язок лише в часткових випадках. Ця задача є безпосереднiм узагальненням попереднiх
результатiв М. О. Лаврентьєва, Г. М. Голузiна, З. Нехарi, Дж. Дженкiнса.
Крiм того, М. О. Лебедєв отримав такий результат [8, с. 220]: нехай
\bigl\{
fl(z)
\bigr\} n
l=0
— деякий
набiр функцiй, якi конформно i однолисто вiдображають вiдкритий одиничний круг вiдповiдно
на неперетиннi областi \{ Bl\} nl=0 так, що fl(0) = al, де al — деякий набiр фiксованих скiнченних
точок, i \gamma l, l = 0, n, — фiксованi комплекснi числа, такi, що
\sum n
l=0
\gamma l = 0 i
\sum n
l=0
| \gamma l| \not = 0. Тодi
виконується нерiвнiсть
n\prod
l=0
\bigm| \bigm| f \prime
l (0)
\bigm| \bigm| | \gamma l| 2 \leq
\prod
0\leq k<l\leq n
| ak - al| - 2Re (\gamma l\gamma k) . (0.3)
Деякi узагальнення нерiвностi (0.3) для випадку дiйсних \gamma l було запропоновано в роботi [9].
У бiльшостi iз вказаних робiт регулярнi функцiї задовольняли нормуючу умову: точка z = 0
при вiдображеннi цими функцiями переходила в деякi рiзнi, але фiксованi точки ak, k = 1, n,
комплексної площини. В 1968 р. П. М. Тамразов у роботi [10] висунув iдею, яка полягала в
тому, що точкам ak, k = 1, n, можна надавати деяку „свободу”. Внаслiдок цих результатiв
тематика отримала новий поштовх для свого розвитку, зокрема, в роботах [1 – 15].
Згодом данi задачi було узагальнено для випадку багатозв’язних областей i внутрiшнiх радi-
усiв. Найбiльш загальнi результати в задачах про екстремальне розбиття комплексної площини
саме для випадку багатозв’язних областей було отримано в роботi [11]. Екстремальнi задачi
такого типу розглядалися також у роботах [15 – 32].
Однак, не зважаючи на значну кiлькiсть робiт iз даної тематики, багато екстремальних задач,
зокрема згадана вище задача М. О. Лебедєва для випадку багатозв’язних областей i внутрiшнiх
радiусiв, на даний момент не розв’язанi. Актуальною залишається задача отримання якщо не
точних розв’язкiв, то ефективних оцiнок вiдповiдних функцiоналiв.
Зазначимо, що оцiнки добутку внутрiшнiх радiусiв, отриманi в задачах, де полюси вiдповiд-
них квадратичних диференцiалiв зафiксовано, можуть бути застосованi i для задач iз вiльними
полюсами. Щоб проiлюструвати їхнє використання, розглянемо екстремальну задачу, яку було
сформульовано в роботi [1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1158 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Проблема 2. Знайти максимум функцiонала
In(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak), (0.4)
де n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0;n], a0 = 0, | a1| = . . . = | an| = 1, ak \in Bk \in \BbbC , причому Bi
\bigcap
Bj = \varnothing
для 0 \leq i, j \leq n та i \not = j.
Дана проблема вiдноситься до так званих задач iз вiльними полюсами, оскiльки точки ak
для k = 1, n не фiксованi, а лежать на одиничному колi.
1. Основнi результати. Справджуються такi теореми.
Теорема 1.1. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 3, ak, k = 1, n, — деякий набiр
фiксованих точок комплексної площини, \alpha k, k = 1, n, — деякi додатнi дiйснi числа i \lambda :=
:=
\sum n
k=1
\alpha k. Тодi для довiльного набору областей Bk \subset \BbbC , k = 1, n, таких, що ak \in Bk,
k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k \leq (n - 1) -
\lambda
2
n - 1
n - 2
\prod n
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2(\alpha i+\alpha j)
n - 2\Bigl( \prod n
k=1
r(Bk, ak)
\Bigr) \lambda
n - 2
. (1.1)
Наслiдок 1.1. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 3, ak, k = 1, n, — деякий набiр
фiксованих точок комплексної площини, \alpha k, k = 1, n, — деякi додатнi дiйснi числа. Тодi для
довiльного набору областей Bk \subset \BbbC , k = 1, n, таких, що ak \in Bk, k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing ,
i \not = j, виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k+
\sum n
k=1 \alpha k
n - 2 \leq (n - 1) -
\sum n
k=1 \alpha k
2
n - 1
n - 2
n\prod
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2(\alpha i+\alpha j)
n - 2 .
Нехай I0(n) =
\prod n
k=1
r(Bk, ak) i I(n; \{ \alpha k\} nk=1) =
\prod n
k=1
r\alpha k(Bk, ak). Тодi з теореми 1.1
випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1.2. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 3, ak, k = 1, n, — деякий набiр
фiксованих точок комплексної площини, \alpha k, k = 1, n, — деякi додатнi дiйснi числа i \lambda :=
:=
\sum n
k=1
\alpha k. Тодi для довiльного набору областей Bk \subset \BbbC , k = 1, n, таких, що ak \in Bk,
k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, виконується нерiвнiсть
I
\lambda
n - 2
0 (n)I(n; \{ \alpha k\} nk=1) \leq (n - 1) -
\lambda
2
n - 1
n - 2
n\prod
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2(\alpha i+\alpha j)
n - 2 .
Теорема 1.2. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 3, ak, k = 1, n, — деякий набiр
фiксованих точок комплексної площини i \gamma k, k = 1, n, — деякi додатнi дiйснi числа, причому
\gamma k \geq
\sum n
k=1
\gamma k
2n - 2
\forall k = 1, n. Тодi для довiльного набору областей Bk \subset \BbbC , k = 1, n, таких, що
ak \in Bk, k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k \leq (n - 1) -
1
4
\sum n
k=1 \gamma k
n\prod
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2
n - 2
(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k). (1.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1159
Зауважимо, що умова \gamma k \geq
\sum n
k=1
\gamma k
2n - 2
є суттєвою, оскiльки в протилежному випадку при ви-
конаннi всiх iнших умов теореми 1.2 для деяких наборiв областей Bk i точок ak нерiвнiсть (1.2)
може не виконуватись.
Нехай областi Bk, точки ak i числа \gamma k, k = 1, n, такi ж, як i в теоремi 1.2. Введемо
позначення
P
\Bigl(
n; \{ Bk\} nk=1; \{ ak\} nk=1; \{ \gamma k\} nk=1
\Bigr)
:=
\prod n
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k\prod n
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2
n - 2
(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k)
. (1.3)
З теореми 1.2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1.3. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 3, ak, k = 1, n, — деякий набiр
фiксованих точок комплексної площини i \gamma k, k = 1, n, — деякi додатнi дiйснi числа, причому
\gamma k \geq
\sum n
k=1
\gamma k
2n - 2 \forall k = 1, n. Тодi для довiльного набору областей Bk \subset \BbbC , k = 1, n, таких, що
ak \in Bk, k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, виконується нерiвнiсть
P
\bigl(
n; \{ Bk\} nk=1; \{ ak\} nk=1; \{ \gamma k\} nk=1
\bigr)
\leq (n - 1) -
1
4
\sum n
k=1 \gamma k .
Вираз (1.3) має таку важливу властивiсть.
Теорема 1.3. Функцiонал P
\bigl(
n; \{ Bk\} nk=1; \{ ak\} nk=1; \{ \gamma k\} nk=1
\bigr)
iнварiантний щодо конформ-
них автоморфiзмiв комплексної площини.
Зауважимо, що функцiонал P
\Bigl(
n; \{ Bk\} nk=1; \{ ak\} nk=1; \{ \gamma k\} nk=1
\Bigr)
було розглянуто також у стат-
тi [33].
У випадку, коли одна з точок ak є нескiнченно вiддаленою, в нерiвностi (1.2) всi множники,
якi мiстять дану точку, перетворяться на одиницю. Зокрема, справедливою є така теорема.
Теорема 1.4. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 3, ak, k = 1, n, — деякий набiр
фiксованих точок комплексної площини, причому an = \infty , i \gamma k, k = 1, n, — деякi додатнi
дiйснi числа, причому \gamma k \geq
\sum n
k=1
\gamma k
2n - 2
\forall k = 1, n. Тодi для довiльного набору областей Bk \subset \BbbC ,
k = 1, n, таких, що ak \in Bk, k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, виконується нерiвнiсть
\bigl(
r(Bn, an)
\bigr) \gamma n n - 1\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k \leq (n - 1) -
1
4
\sum n
k=1 \gamma k
n - 1\prod
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2
n - 2
(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k).
(1.4)
Оцiнку (1.2) можна застосувати i для оцiнки функцiонала (0.4). Справедливою є така тео-
рема.
Теорема 1.5. Нехай n \in \BbbN , n \geq 3 i 0 < \gamma \leq n. Тодi для довiльного набору точок ak таких,
що a0 = 0, | ak| = 1, k = 1, n, i довiльного набору взаємно неперетинних областей Bk таких,
що ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma +n
4 2n - \gamma
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2(n - \gamma )
n - 1
, (1.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1160 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
якщо n = 2m, m \in \BbbN , або нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma +n
4 2n - \gamma
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2(n - \gamma )
n - 1
, (1.6)
якщо n = 2m+ 1, m \in \BbbN .
Доведення теореми 1.1. Скористаємось iдеєю, запропонованою в роботi [14], яку потiм
було розвинено при доведеннi теореми 1 в роботi [16].
Нехай d(E) — трансфiнiтний дiаметр компактної множини E \subset \BbbC . Зафiксуємо деяке на-
туральне 1 \leq k \leq n, i нехай B(k) =
\biggl\{
z :
1
z - ak
\in B
\biggr\}
. З конформної iнварiантностi функцiї
Грiна випливає рiвнiсть
r(Bk, ak) = r(B
(k)
k ,\infty ).
Водночас внутрiшнiй радiус областi B(k)
k в нескiнченно вiддаленiй точцi, згiдно з означенням 3,
дорiвнює величинi, оберненiй до логарифмiчної ємностi, а отже i до трансфiнiтного дiаметра
областi \BbbC \setminus B(k)
k (див. [3, с. 304]), тобто справджуються такi спiввiдношення:
r(Bk, ak) = r(B
(k)
k ,\infty ) =
1
d
\Bigl(
\BbbC \setminus B(k)
k
\Bigr) \leq 1
d
\left( n\bigcup
p=1
p \not =k
B
(k)
p
\right)
. (1.7)
Далi, згiдно з вiдомою теоремою Пойа [34, с. 28], виконується нерiвнiсть
d(E) \geq
\sqrt{}
\mu E
\pi
,
де \mu E позначає мiру Лебега компактної множини E. Тому в (1.7) отримаємо
r(Bk, ak) \leq
1
d
\left( n\bigcup
p=1
p \not =k
B
(k)
p
\right)
\leq 1\sqrt{} 1
\pi
\mu
\left( n\bigcup
p=1
p \not =k
B
(k)
p
\right)
=
1\sqrt{}
1
\pi
\sum n
p=1
p \not =k
\mu B
(k)
p
. (1.8)
За теоремою про мiнiмiзацiю площi одержимо нерiвнiсть \mu B \geq \pi r2 (B, a) , а тому в (1.8)
1\sqrt{}
1
\pi
\sum n
p=1
p \not =k
\mu B
(k)
p
\leq 1\sqrt{} \sum n
p=1
p\not =k
r2
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) .
За нерiвнiстю Кошi будемо мати
1\sqrt{} \sum n
p=1
p \not =k
r2
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \leq 1
(n - 1)
1
2
\Biggl( \prod n
p=1
p \not =k
r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \Biggr) 1
n - 1
. (1.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1161
Покажемо, що
r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
=
r(Bp, ap)
| ap - ak| 2
, p \not = k. (1.10)
Використовуючи конформну iнварiантнiсть функцiї Грiна, маємо
G
B
(k)
p
(z, a(k)p ) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| z - a
(k)
p
\bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
w - ak
- 1
ap - ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
| w - ak| | ap - ak|
| w - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| w - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ap - ak| | ap - ak + w - ap| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| w - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ap - ak| 2 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + w - ap
ap - ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| w - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ap - ak| 2r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1).
Це означає, що r(Bp, ap) = | ap - ak| 2r
\bigl(
B
(k)
p , a
(k)
p
\bigr)
, звiдки i випливає нерiвнiсть (1.10).
Далi, використовуючи (1.7) i (1.9), отримуємо
r(Bk, ak) \leq
\Biggl( \prod n
p=1
p\not =k
| ap - ak|
\Biggr) 2
n - 1
(n - 1)
1
2
\Biggl( \prod n
p=1
p \not =k
r(Bp, ap)
\Biggr) 1
n - 1
.
Звiдси випливає, що
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k \leq
\Biggl( \prod n
p=1
p\not =k
| ap - ak|
\Biggr) 2\alpha k
n - 1
(n - 1)
\alpha k
2
\Biggl( \prod n
p=1
p \not =k
r(Bp, ap)
\Biggr) \alpha k
n - 1
. (1.11)
Тодi, враховуючи (1.11) i те, що \lambda :=
\sum n
k=1
\alpha k, одержуємо
In(\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n) =
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1162 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
\leq (n - 1) -
\lambda
2
\prod n
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2(\alpha i+\alpha j)
n - 1\Bigl( \prod n
k=1
r(Bk, ak)
\Bigr) \lambda
n - 1
\Biggl(
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k
\Biggr) 1
n - 1
.
З останньої нерiвностi отримуємо
\Biggl(
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k
\Biggr) 1 - 1
n - 1
\leq (n - 1) -
\lambda
2
\prod n
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2(\alpha i+\alpha j)
n - 1\Bigl( \prod n
k=1
r(Bk, ak)
\Bigr) \lambda
n - 1
.
Звiдси, пiдносячи обидвi частини останньої нерiвностi до степеня
n - 1
n - 2
, одержуємо нерiв-
нiсть (1.1).
Теорему 1.1 доведено.
Доведення теореми 1.2. З нерiвностi (1.1) маємо
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k+
\lambda
n - 2 \leq (n - 1) -
\lambda
2
n - 1
n - 2
n\prod
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2(\alpha i+\alpha j)
n - 2 . (1.12)
Позначимо \gamma k = \alpha k +
\lambda
n - 2
, тобто
\gamma 1 = \alpha 1 +
\sum n
k=1
\alpha k
n - 2
,
\gamma 2 = \alpha 2 +
\sum n
k=1
\alpha k
n - 2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\gamma k = \alpha k +
\sum n
k=1
\alpha k
n - 2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\gamma n = \alpha n +
\sum n
k=1
\alpha k
n - 2
.
(1.13)
Додавши всi останнi рiвностi, отримаємо
n\sum
k=1
\gamma k =
2n - 2
n - 2
n\sum
k=1
\alpha k,
звiдки
n\sum
k=1
\alpha k =
n - 2
2n - 2
n\sum
k=1
\gamma k. (1.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1163
Пiдставивши рiвнiсть (1.14) в кожну з рiвностей (1.13), для кожного k = 1, n отримаємо
\gamma k = \alpha k +
\sum n
k=1
\gamma k
2n - 2
,
звiдки
\alpha k = \gamma k -
1
2n - 2
n\sum
k=1
\gamma k.
Звiдси будемо мати
\alpha k +
\lambda
n - 2
= \gamma k,
- \lambda
2
n - 1
n - 2
= - n - 2
2n - 2
n - 1
2(n - 2)
n\sum
k=1
\gamma k = - 1
4
n\sum
k=1
\gamma k,
2(\alpha i + \alpha j)
n - 2
=
2
n - 2
\Biggl(
\gamma i + \gamma j -
1
n - 1
n\sum
k=1
\gamma k
\Biggr)
.
Пiдставивши останнi рiвностi в нерiвнiсть (1.12), отримаємо нерiвнiсть (1.2).
Теорему 1.2 доведено.
Зауваження 1.1. Для кожного натурального n \geq 2 i деяких наборiв додатних чисел \{ \alpha k\}
i \{ \gamma k\} , k = 1, n, функцiонал In(\alpha k) =
\prod n
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k будемо називати спряженим до
функцiонала In(\gamma k) =
\prod n
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k , якщо для них виконуються рiвностi \gamma k = \alpha k +
+
1
n - 2
\sum n
k=1
\alpha k i \alpha k = \gamma k -
1
2n - 2
\sum n
k=1
\gamma k. Таким чином, ми оцiнюємо функцiонал In(\gamma k)
за допомогою спряженого функцiонала.
Зауваження 1.2. Рiвностi (1.13) можна розглядати як систему n рiвнянь з невiдомими \{ \alpha k\}
для k = 1, n, задану матричним рiвнянням
AX = B, (1.15)
де
A =
\left(
n - 1
n - 2
1
n - 2
. . .
1
n - 2
1
n - 2
n - 1
n - 2
. . .
1
n - 2
. . . . . . . . . . . .
1
n - 2
1
n - 2
. . .
n - 1
n - 2
\right)
,
X =
\left(
\alpha 1
\alpha 2
...
\alpha n
\right) , B =
\left(
\gamma 1
\gamma 2
...
\gamma n
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1164 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Знайшовши обернену матрицю A - 1 i помноживши її на обидвi частини рiвностi (1.15),
отримаємо матрицю X.
Справедливими є такi твердження.
Наслiдок 1.4. Нехай \{ ak\} 3k=1 i \{ Bk\} 3k=1 — деякi набори вiдповiдно точок i областей ком-
плексної площини, причому ak \in Bk \subset \BbbC . Тодi виконується нерiвнiсть
3\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2 -
3
4 | a2 - a1| | a3 - a1| | a3 - a2| .
Для доведення цього наслiдку достатньо покласти \gamma 1 = \gamma 2 = \gamma 3 = 1 в нерiвностi (1.2).
Оскiльки 2 -
3
4 \approx 0,5946, а
64
81
\surd
3
\leq 0,4562, то наша оцiнка не набагато поступається точнiй
оцiнцi Г. М. Голузiна [3, с. 165].
Наслiдок 1.5. Нехай \{ ak\} 3k=1 i \{ Bk\} 3k=1 — деякi набори вiдповiдно точок i областей ком-
плексної площини, причому ak \in Bk \subset \BbbC , i \gamma k, k = 1, 3, — деякi додатнi дiйснi числа, причому
\gamma k \geq
\sum 3
k=1
\gamma k
4
\forall k = 1, 3. Тодi виконується нерiвнiсть
3\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k \leq 2 -
\sum 3
k=1 \gamma k
4 | a1 - a2| \alpha +\beta - \gamma | a1 - a3| \alpha - \beta +\gamma | a2 - a3| - \alpha +\beta +\gamma .
Зауваження 1.3. Оцiнка, встановлена в теоремi 1.2, для багатьох окремих випадкiв точнiша
за оцiнку, отриману в теоремi 1 [8, с. 220]. Розглянемо, наприклад, таку конфiгурацiю: a3 = 0,
ak = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
2\pi i
3
k
\biggr)
, k = 0, 2, i \gamma k = 1, k = 0, 3. Тодi за нерiвнiстю (1.2) отримаємо
3\prod
k=0
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k \leq 1
3
\Bigl(
(
\surd
3)3
\Bigr) 2
3
= 1.
Покладаючи в нерiвностi (0.3) \gamma 0 = \gamma 1 = 1, \gamma 2 = \gamma 3 = - 1, одержуємо
3\prod
k=0
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k \leq
\bigl( \surd
3
\bigr) 2\bigl( \surd
3
\bigr) 2\bigl( \surd
3
\bigr) - 2
= 3.
Таким чином, для вказаної конфiгурацiї наша оцiнка є точнiшою.
Доведення теореми 1.3. Нехай областi Bk, точки ak i числа \gamma k, k = 1, n, такi ж, як i в
теоремi 1.2. Нехай
w = f(z) =
az + b
cz + d
(1.16)
— деякий конформний автоморфiзм комплексної площини i B\ast
k = f(Bk), a\ast k = f(ak) для
довiльного k = 1, n.
Для довiльного k функцiя Грiна для областi Bk i точки ak має вигляд
GBk
(z, ak) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ak|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r(Bk, ak) + o(1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1165
Водночас отримуємо
GB\ast
k
(w, a\ast k) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| w - a\ast k|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r(B\ast
k, a
\ast
k) + o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| az + b
cz + d
- aak + b
cak + d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r(B\ast
k, a
\ast
k) + o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
| cz + d| | cak + d|
| (az + b)(cak + d) - (cz + d)(aak + b)|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r(B\ast
k, a
\ast
k) + o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ak|
+ \mathrm{l}\mathrm{n}
| cak + d| 2
| ad - bc|
r(B\ast
k, a
\ast
k) + o(1).
Тому, використовуючи конформну iнварiантнiсть функцiї Грiна, маємо
r(B\ast
k, a
\ast
k) = r(Bk, ak)
| ad - bc|
| cak + d| 2
.
Звiдси знаходимо
n\prod
k=1
(r(B\ast
k, a
\ast
k))
\gamma k =
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k | ad - bc|
\sum n
k=1 \gamma k\prod n
k=1
| cak + d| 2\gamma k
. (1.17)
Водночас
| a\ast i - a\ast j | =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| aai + b
cai + d
- aaj + b
caj + d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (ad - bc)(ai - aj)
(cai + d)(caj + d)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Тому отримуємо
n\prod
i,j=1,i<j
| a\ast i - a\ast j |
2
n - 2(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k) =
=
n\prod
i,j=1,i<j
| ai - aj |
2
n - 2
(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k)\times
\times | ad - bc|
2
n - 2
\Bigl(
(n - 1)
\sum n
k=1 \gamma k -
n(n - 1)
2(n - 1)
\sum n
k=1 \gamma k
\Bigr)
\times
\times
n\prod
k=1
(cak + d) -
2
n - 2
\bigl(
(n - 1)\gamma k -
\sum n
p=1, p\not =k \gamma p -
\sum n
k=1 \gamma k
\bigr)
=
=
n\prod
i,j=1,i<j
| ai - aj |
2
n - 2(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k) | ad - bc|
\sum n
k=1 \gamma k
n\prod
k=1
(cak + d) - 2\gamma k .
Враховуючи останню рiвнiсть i рiвнiсть (1.17), маємо
P
\bigl(
n; \{ B\ast
k\} nk=1; \{ a\ast k\} nk=1; \{ \gamma k\} nk=1
\bigr)
=
\prod n
k=1
(r(B\ast
k, a
\ast
k))
\gamma k\prod n
i,j=1,i<j
| a\ast j - a\ast i |
2
n - 2
(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1166 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
=
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k | ad - bc|
\sum n
k=1 \gamma k\prod n
k=1
| cak + d| 2\gamma k
\times
\times
n\prod
i,j=1,i<j
| ai - aj | -
2
n - 2(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k)
\prod n
k=1
(cak + d)2\gamma k
| ad - bc|
\sum n
k=1 \gamma k
=
=
\prod n
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \gamma k\prod n
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2
n - 2
(\gamma i+\gamma j - 1
n - 1
\sum n
k=1 \gamma k)
=
= P
\Bigl(
n; \{ Bk\} nk=1; \{ ak\} nk=1; \{ \gamma k\} nk=1
\Bigr)
.
Теорему 1.3 доведено.
Доведення теореми 1.4. Правильною є лема, аналогiчна теоремi 1.1.
Лема 1.1. Нехай n — деяке натуральне число, n > 2, \alpha k, k = 1, n, — деякi додатнi дiйснi
числа. Позначимо \lambda :=
\sum n
k=1
\alpha k. Тодi виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k \leq (n - 1) -
\lambda
2
n - 1
n - 2
\prod n - 1
i,j=1,i<j
| aj - ai|
2(\alpha i+\alpha j)
n - 2\Bigl( \prod n
k=1
r(Bk, ak)
\Bigr) \lambda
n - 2
, (1.18)
де Bk, k = 1, n, — деякий набiр областей, а ak, k = 1, n, — деякий набiр областей точок
комплексної площини, таких, що ak \in Bk, k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, причому an = \infty .
Як i в теоремi 1.2, зафiксуємо деяке натуральне k таке, що 1 \leq k \leq n - 1. Провiвши
аналогiчнi перетворення, як i в (1.9), отримаємо
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
1
2
\left( n\prod
p=1
p \not =k
r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \right)
- 1
n - 1
. (1.19)
Доведемо, що r
\bigl(
B
(k)
n , a
(k)
n
\bigr)
= r
\bigl(
B
(k)
n , 0
\bigr)
= r(Bn,\infty ). Використовуючи конформну iнварi-
антнiсть функцiї Грiна для вiдображення w =
1
z - ak
i враховуючи, що a
(k)
n = 0, маємо
GBn(z,\infty ) = G
B
(k)
n
(w, 0) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| w|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
z - ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) = \mathrm{l}\mathrm{n} | z - ak| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - ak
z
\bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1).
Звiдси випливає рiвнiсть r
\bigl(
B
(k)
n , 0
\bigr)
= r(Bn,\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1167
Для 1 \leq p \leq n - 1, p \not = k, провiвши перетворення, як i в доведеннi теореми 1.2, отримаємо
рiвнiсть r
\bigl(
B
(k)
p , a
(k)
p
\bigr)
=
r(Bp, ap)
| ap - ak| 2
.
Таким чином, з (1.19) для 1 \leq k \leq n - 1 одержуємо
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
1
2
\left( n - 1\prod
p=1
p \not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
\left( n\prod
p=1
p \not =k
r(Bp, ap)
\right)
- 1
n - 1
.
Звiдси знаходимо
\bigl(
r(Bk, ak)
\bigr) \alpha k \leq (n - 1) -
\alpha k
2
\left( n - 1\prod
p=1
p \not =k
| ap - ak|
\right)
2\alpha k
n - 1
\left( n\prod
p=1
p \not =k
r(Bp, ap)
\right)
- \alpha k
n - 1
. (1.20)
Якщо ж k = n, то з (1.19) отримуємо
r(Bn,\infty ) \leq (n - 1) -
1
2
\left( n - 1\prod
p=1
r(Bp, ap)
\right) - 1
n - 1
,
(r(Bn,\infty ))\alpha k \leq (n - 1) -
\alpha n
2
\left( n - 1\prod
p=1
r(Bp, ap)
\right) -
\alpha n
n - 1
.
(1.21)
Перемножаючи для k = 1, n нерiвностi (1.20) i (1.21), отримуємо нерiвнiсть (1.18).
Далi, позначивши \gamma k = \alpha k +
\lambda
n - 2
i провiвши перетворення, аналогiчнi проведеним у
доведеннi теореми 1.2, отримаємо нерiвнiсть (1.4).
Доведення теореми 1.5. Застосуємо нерiвнiсть (1.2) для n+1 областi для функцiонала (0.4),
взявши \gamma 0 = \gamma i \gamma k = 1 для k = 1, n. Отримаємо нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma +n
4
\prod
1\leq i<j\leq n
| aj - ai|
2
n - 1
(1 - \gamma
n
). (1.22)
Нехай, для конкретностi,
0 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 < . . . < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an < 2\pi .
Позначимо
\alpha 1 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1), \alpha 2 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a3 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2), . . . , \alpha n :=
1
\pi
(2\pi - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an).
Звiдси \prod
1\leq i<j\leq n
| aj - ai| =
\prod
1\leq i<j\leq n
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha i + . . .+ \alpha j - 1)
2
. (1.23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1168 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Врахувавши, що
\sum n
k=1
\alpha k = 2, i використавши дослiдження добутку, записаного в правiй
частинi нерiвностi (1.23), переконаємося, що максимум даного виразу досягається тодi, коли
всi \alpha k рiвнi мiж собою, а тому для n = 2m отримаємо
\prod
1\leq i<j\leq n
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha i + . . .+ \alpha j - 1)
2
\biggr)
\leq 2
n2 - n
2
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) n
.
Пiдставивши отриману нерiвнiсть в (1.22), будемо мати
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma +n
4
\Biggl(
2
n2 - n
2
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) n\Biggr) 2(n - \gamma )
n(n - 1)
=
= n - \gamma +n
4 2n - \gamma
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2(n - \gamma )
n - 1
,
що й доводить нерiвнiсть (1.5).
Якщо ж n = 2m+ 1, то
\prod
1\leq p<k\leq n
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha p + . . .+ \alpha k - 1)
2
\biggr)
\leq 2
n2 - n
2
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) n
.
Далi, пiдставивши отриману нерiвнiсть в (1.22), одержимо
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma +n
4
\Biggl(
2
n2 - n
2
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) n\Biggr) 2(n - \gamma )
n(n - 1)
=
= n - \gamma +n
4 2n - \gamma
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2(n - \gamma )
n - 1
,
що й доводить нерiвнiсть (1.6).
Теорему 1.5 доведено.
Лiтература
1. В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного, Успехи
мат. наук, 49, № 1(295), 3 – 76 (1994).
2. М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений, Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР, 5, 159 – 245 (1934).
3. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, Москва (1966).
4. Г. В. Кузьмина, К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегающих областей, Зап. науч.
сем. ЛОМИ, 131 – 145 (1980).
5. Л. И. Колбина, Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении, Докл. АН СССР, сер. мат.,
84, № 5, 865 – 868 (1952).
6. Л. И. Колбина, Конформное отображение единичного круга на неналегающие области, Вестн. Ленинград.
ун-та, 5, 37 – 43 (1955).
7. Z. Nehari, Some inequalities in the theory of functions, Trans. Amer. Math. Soc., 75, № 2, 256 – 286 (1953).
8. Н. А. Лебедев, Принцип площадей в теории однолистных функций, Наука, Москва (1975).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ДЕЯКИХ СТЕПЕНIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1169
9. Л. Л. Громова, Некоторые приложения принципа площадей, Вестн. Ленинград. гос. ун-та, № 7, 31 – 40 (1968).
10. П. М. Тамразов, Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов, Изв.
АН СССР, сер. мат., 32, № 5, 1033 – 1043 (1968).
11. В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного
переменного, Дальнаука ДВО РАН, Владивосток (2009).
12. В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении, Зап. науч. сем.
Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР, 168, 48 – 66 (1988).
13. Л. В. Ковалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности, Дальневост.
мат. сб., 2, 96 – 98 (1996).
14. Л. В. Ковалев, О трех непересекающихся областях, Дальневост. мат. журн., 1, № 1, 3 – 7 (2000).
15. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе, Працi Iн-ту математики НАН України, 73 (2008).
16. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей, Укр. мат. журн.,
71, № 7, 996 – 1002 (2019).
17. А. К. Бахтин, Оценки внутренних радиусов для взаимно непересекающихся областей, Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН України, 14, № 1, 25 – 33 (2017).
18. A. K. Bakhtin, Separating transformation and extremal problems on nonoverlapping simply connected domains,
J. Math. Sci., 234, № 1, 1 – 13 (2018).
19. A. K. Bakhtin, Extremal decomposition of the complex plane with restrictions for free poles, J. Math. Sci., 231, № 1,
1 – 15 (2018).
20. О. К. Бахтiн, I. Я. Дворак, Я. В. Заболотний, Оцiнки добутку внутрiшнiх радiусiв п’яти взаємно неперетинних
областей, Укр. мат. журн., 69, № 2, 261 – 267 (2017).
21. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Экстремальное разбиение комплексной плоскости со свободными полюсами, Укр.
мат. вiсн., 16, № 3, 307 – 328 (2019).
22. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Экстремальное разбиение комплексной плоскости со свободными полюсами, II,
Укр. мат. вiсн., 16, № 4, 477 – 495 (2019).
23. A. K. Bakhtin, L. V. Vyhivska, Problem on extremal decomposition of the complex plane with free poles, J. Math.
Sci., 248, № 2, 145 – 165 (2020).
24. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Разделяющие преобразования и задачи о неналегающих областях, Зб. праць Iн-ту
математики НАН України, 273 – 284 (2006).
25. A. K. Bakhtin, L. V. Vygivska, I. V. Denega, Inequalities for the internal radii of non-overlapping domains, J. Math.
Sci., 220, № 5, 584 – 590 (2017).
26. О. К. Бахтiн, Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з вiльними полюсами, Укр. мат. журн.,
71, № 10, 1299 – 1320 (2019).
27. О. К. Бахтiн, I. В. Денега, Оцiнки максимуму добуткiв внутрiшнiх радiусiв областей, що взаємно не перети-
наються, Укр. мат. журн., 72, № 2, 173 – 183 (2020).
28. О. К. Бахтiн, Л. В. Вигiвська, I. В. Денега, Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з вiльними
полюсами на колi, Укр. мат. журн., 72, № 12, 1599 – 1620 (2020).
29. A. L. Targonskii, An extremal problem for the nonoverlapping domains, J. Math. Sci., 227, № 1, 98 – 104 (2017).
30. A. L. Targonskii, About one extremal problem for the projections of points on a unit circle, J. Math. Sci., 241, № 1,
90 – 100 (2019).
31. Я. В. Заболотний, Проблема В. М. Дубiнiна для симетричних багатозв’язних областей, Укр. мат. журн., 72,
№ 11, 1502 – 1509 (2020).
32. О. К. Бахтiн, Я. В. Заболотний, Оцiнки добуткiв внутрiшнiх радiусiв багатозв’язних областей, Укр. мат. журн.,
73, № 1, 9 – 22 (2021).
33. С. И. Федоров, О максимуме одного конформного инварианта в задаче о неналегающих областях, Зап. науч.
сем. ЛОМИ, 112, 172 – 183 (1981).
34. Г. Полиа, Г. Сеге, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, Москва (1962).
Одержано 13.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-6682 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:43Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/d1b30f83e8913f01d641ae7a5283c6bb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66822025-03-31T08:46:40Z Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains Оценки произведений некоторых степеней внутренних радиусов многосвязных областей Оцінки добутків деяких степенів внутрішніх радіусів багатозв'язних областей Bakhtin , A. K. Zabolotnii , Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. внутрішній радіус області, неперетинні області, квадратичний диференціал, функція Гріна inner radius of domain, non-overlapping domains, quadratic differential, Green's function UDC 517.54 In this paper, we consider the problem of extreme partition of the complex plane, which is well-known in the geometric theory of functions. We obtain estimates of the maximum value for the product of some powers of inner radii of $n$ disjoint domains in the complex plane with respect to $n$ arbitrary points of the plane. Estimates found in this paper can be applied to various problems of the geometric theory of functions. В работе рассматривается известная проблема геометрической теориифункций об экстремальном разбиении комплексной плоскости и в даннойпроблеме получено оценки максимума произведения некоторых степенейвнутренних радиусов $n$ произвольных взаимно неналегающих областейотносительно $n$ произвольных точек комплексной плоскости, одна изкоторых может быть бесконечно удаленной. Оценки, найдены в даннойработе, могут быть применены в разных задачах геометрической теориифункций. УДК 517.54 Розглядається відома проблема геометричної теорії функцій про екстремальне розбиття комплексної площини. Отримано оцінки максимуму добутку деяких степенів внутрішніх радіусів $n$ довільних взаємно неперетинних областей відносно $n$ довільних точок комплексної площини, одна з яких може бути нескінченно віддаленою. Знайдені оцінки можуть бути використані в різних задачах геометричної теорії функцій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-09-16 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6682 10.37863/umzh.v73i9.6682 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 9 (2021); 1155 - 1169 Український математичний журнал; Том 73 № 9 (2021); 1155 - 1169 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6682/9102 Copyright (c) 2021 Ярослав Володимирович Заболотний, Олександр Бахтін |
| spellingShingle | Bakhtin , A. K. Zabolotnii , Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains |
| title | Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains |
| title_alt | Оценки произведений некоторых степеней внутренних радиусов многосвязных областей Оцінки добутків деяких степенів внутрішніх радіусів багатозв'язних областей |
| title_full | Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains |
| title_fullStr | Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains |
| title_full_unstemmed | Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains |
| title_short | Estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains |
| title_sort | estimates of products of some powers of inner radii for multiconnected domains |
| topic_facet | внутрішній радіус області неперетинні області квадратичний диференціал функція Гріна inner radius of domain non-overlapping domains quadratic differential Green's function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6682 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak estimatesofproductsofsomepowersofinnerradiiformulticonnecteddomains AT zabolotniiyav estimatesofproductsofsomepowersofinnerradiiformulticonnecteddomains AT bahtínok estimatesofproductsofsomepowersofinnerradiiformulticonnecteddomains AT zabolotnijâv estimatesofproductsofsomepowersofinnerradiiformulticonnecteddomains AT bakhtinak ocenkiproizvedenijnekotoryhstepenejvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT zabolotniiyav ocenkiproizvedenijnekotoryhstepenejvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT bahtínok ocenkiproizvedenijnekotoryhstepenejvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT zabolotnijâv ocenkiproizvedenijnekotoryhstepenejvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT bakhtinak ocínkidobutkívdeâkihstepenívvnutríšníhradíusívbagatozv039âznihoblastej AT zabolotniiyav ocínkidobutkívdeâkihstepenívvnutríšníhradíusívbagatozv039âznihoblastej AT bahtínok ocínkidobutkívdeâkihstepenívvnutríšníhradíusívbagatozv039âznihoblastej AT zabolotnijâv ocínkidobutkívdeâkihstepenívvnutríšníhradíusívbagatozv039âznihoblastej |