Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces
UDC 517.927 We investigate the most general class of linear one-dimensional boundary value problems whose solutions range over a given Sobolev – Slobodetsky space. We find necessary and sufficient conditions for the unique solvability of such problems and prove a criterion of continuity of their sol...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6684 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512499456016384 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Михайлець, В. А. Скоробогач, Т. Б. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Михайлець, В. А. Скоробогач, Т. Б. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:53Z |
| description | UDC 517.927
We investigate the most general class of linear one-dimensional boundary value problems whose solutions range over a given Sobolev – Slobodetsky space. We find necessary and sufficient conditions for the unique solvability of such problems and prove a criterion of continuity of their solutions with respect to a parameter in this space. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i7.6684 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i7.6684
УДК 517.927
В. А. Михайлець (Iн-т математики НАН України, Київ),
Т. Б. Скоробогач (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ФРЕДГОЛЬМОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI
В ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА – СЛОБОДЕЦЬКОГО
We investigate the most general class of linear one-dimensional boundary value problems whose solutions range over a
given Sobolev – Slobodetsky space. We find necessary and sufficient conditions for the unique solvability of such problems
and prove a criterion of continuity of their solutions with respect to a parameter in this space.
Дослiджено найбiльш широкий клас одновимiрних лiнiйних крайових задач, розв’язки яких пробiгають заданий
простiр Соболєва – Слободецького. Знайдено необхiднi i достатнi умови однозначної розв’язностi таких задач. До-
ведено критерiй неперервностi їхнiх розв’язкiв за параметром у цьому просторi.
1. Вступ. У теорiї диференцiальних рiвнянь важливим є питання про умови, за яких можна
виконувати граничний перехiд за параметром у розв’язках рiвнянь. Щодо розв’язкiв задачi
Кошi для нелiнiйних диференцiальних систем такi умови знайдено у роботах I. I. Гiхмана [1],
М. О. Красносельського i С. Г. Крейна [2], Я. Курцвейля i З. Ворела [3], А. М. Самойленка [4].
У лiнiйному випадку бiльш повнi й точнi результати отримали А. Ю. Лєвiн [5, 6], З. Опял [7],
В. Т. Рейд [8] i Нгуен Тхе Хоан [9].
Для крайових задач це питання є набагато складнiшим з огляду на велике рiзноманiття
крайових умов. Його вивчали I. Т. Кiгурадзе [10, 11] i М. Ашордiя [12] стосовно широкого класу
лiнiйних крайових задач для систем m \geq 1 диференцiальних рiвнянь першого порядку. Їхнi
розв’язки є абсолютно неперервними вектор-функцiями на вiдрiзку [a, b] дiйсної осi, а крайовi
умови задано у виглядi By = q, де B — довiльний неперервний лiнiйний оператор на парi
банахових просторiв C([a, b],\BbbR m) i \BbbR m, y — розв’язок, а q \in \BbbR m. У вказаних роботах знайдено
достатнi умови, за яких розв’язки таких крайових задач неперервно залежать вiд параметра за
супремум-нормою, що задає рiвномiрну збiжнiсть на [a, b]. Цi результати були узагальненi i
суттєво уточненi для систем диференцiальних рiвнянь довiльних порядкiв, розв’язки яких є
комплекснозначними функцiями (див. роботи [13, 14] i наведену в них бiблiографiю).
Втiм останнiм часом у дослiдженнях виникають й iншi класи лiнiйних крайових задач. У
роботах [15 – 20] введено i дослiджено максимально широкi класи лiнiйних крайових задач для
систем звичайних диференцiальних рiвнянь, розв’язки яких пробiгають заданий нормований
функцiональний простiр — простiр Соболєва цiлого порядку або простiр n разiв неперервно
диференцiйовних функцiй. Доведено, що цi задачi фредгольмовi з нульовим iндексом, i знайде-
но необхiднi та достатнi умови їх коректної розв’язностi та неперервностi за параметром їхнiх
розв’язкiв у вказаних функцiональних просторах.
Мета цiєї статтi — дослiдити подiбнi класи крайових задач для нормованих функцiональних
просторiв Соболєва – Слободецького W s
p дробового порядку s, де 1 \leq p < \infty . У п. 2 наве-
дено необхiднi вiдомостi про простори Соболєва – Слободецького, а в п. 3 — деякi допомiжнi
результати, якi можуть становити самостiйний iнтерес. Oсновнi результати мiстяться в пп. 4 – 6.
c\bigcirc В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, Т. Б. СКОРОБОГАЧ, 2021
920 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ФРЕДГОЛЬМОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI В ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА – СЛОБОДЕЦЬКОГО 921
2. Простори Соболєва – Слободецького. У роботi довiльно вибрано скiнченний iнтервал
(a, b) дiйсної осi, дiйсне число p \in [1,\infty ), натуральне число m i дробове число s \in (0,\infty ) \setminus \BbbN .
Як звичайно, пишемо s = [s] + \{ s\} , де [s] — цiла частина числа s, а \{ s\} — його дробова
частина.
Використовуємо комплекснi простори Соболєва – Слободецького W s
p := W s
p ((a, b),\BbbC ),
(W s
p )
m := W s
p ((a, b),\BbbC m) i (W s
p )
m\times m := W s
p ((a, b),\BbbC m\times m), якi складаються вiдповiдно iз
скалярних функцiй, вектор-функцiй i квадратних матриць-функцiй, заданих на iнтервалi (a, b).
Нагадаємо (див., наприклад, [22], розд. 4, § 1, або [23], п. 4.5.1, зауваження 2), що лiнiйний
простiр W s
p складається з усiх функцiй f \in W
[s]
p , якi задовольняють умову
ls,p(f) :=
b\int
a
b\int
a
| f ([s])(x) - f ([s])(y)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy < +\infty .
Тут i далi W [s]
p := W
[s]
p ((a, b),\BbbC ) — комплексний простiр Соболєва цiлого порядку [s], заданий
на (a, b), а \| \cdot \| [s],p — норма у цьому просторi. Зокрема, W 0
p = Lp := Lp((a, b),\BbbC ) — простiр
Лебега з нормою \| \cdot \| p := \| \cdot \| 0,p. Крiм того, f ([s]) — похiдна порядку [s] функцiї f \in W
[s]
p .
Ця похiдна iснує у майже всiх (вiдносно мiри Лебега) точках iнтервалу (a, b). Простiр W s
p
надiлений нормою
\| f\| s,p := \| f\| p + (ls,p(f))
1/p
та є повним (тобто банаховим) вiдносно неї. Цей простiр є банаховою алгеброю вiдносно опе-
рацiї множення функцiй тодi i тiльки тодi, коли s > 1/p (див., наприклад, [21], теорема 2.8.3).
З означення простору Соболєва – Слободецького i норми у ньому випливає, що
\| f\| s+1,p \leq \| f\| p + \| f \prime \| s,p \leq 2\| f\| s+1,p,
W s+1
p =
\bigl\{
f \in W 1
p : f \prime \in W s
p
\bigr\}
.
Якщо 0 \leq s0 < s1, то виконується неперервне вкладення W s1
p \subset W s0
p .
Позначимо через M(W s
p ) комплексний лiнiйний простiр усiх функцiй \varphi : (a, b) \rightarrow \BbbC таких,
що f \in W s
p \Rightarrow \varphi f \in W s
p . Функцiї класу M(W s
p ) називають (поточковими) мультиплiкаторами
у просторi W s
p . Лiнiйний оператор множення на функцiю \varphi \in M(W s
p ) є заданим на всьому
просторi W s
p i замкненим у ньому. Тому на пiдставi теореми про замкнений графiк цей оператор
обмежений на W s
p , тобто
\| \varphi \| M ;s,p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
\| \varphi f\| s,p
\| f\| s,p
: f \in W s
p , f \not = 0
\biggr\}
< \infty .
Простiр M(W s
p ) надiлений нормою \| \cdot \| M,s,p та є повним вiдносно неї.
Лема 1. Нехай 0 < s < 1. Тодi W 1
p \subset M(W s
p ), причому iснує таке число c > 0, що
\| \varphi \| M ;s,p \leq c \| \varphi \| 1,p для довiльного \varphi \in M(W s
p ). (1)
Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли p > 1. Нехай \varphi \in W 1
p . Оскiльки W 1
p —
банахова алгебра, то знайдеться таке число c1 > 0, що \| \varphi f\| 1,p \leq c1\| f\| 1,p для довiльного
f \in W 1
p . Зауважимо, що \varphi \in W 1
p \subset W 1
1 \subset C[a, b]. Отже, \| \varphi f\| p \leq c2\| f\| p для будь-якого
f \in Lp, де c2 — супремум-норма функцiї \varphi на вiдрiзку [a, b]. Таким чином, оператор множення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
922 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
на функцiю \varphi є обмеженим на кожному з просторiв W 1
p i Lp. Простiр W s
p , де 0 < s < 1, є
результатом дiйсної iнтерполяцiї мiж W 1
p i Lp (див., наприклад, [23], теорема 4.3.1/1). Тому цей
оператор обмежений i на W s
p , тобто \varphi \in M(W s
p ). Отже, W 1
p \subset M(W s
p ) у розглянутому випадку.
Якщо p = 1, це вкладення виконується згiдно з наслiдком 3.3.1 [21]. Нерiвнiсть (1) випливає
тепер з повноти просторiв W 1
p , M(W s
p ) i узгодженостi норм у них (остання справджується,
оскiльки цi простори неперервно вкладенi в W s
p ).
Лему 1 доведено.
3. Теорема про гомеоморфiзми. Позначимо через Y (\cdot ) \in (AC[a, b])m\times m єдиний розв’язок
матричної задачi Кошi
Y \prime (t) +A(t)Y (t) = 0 для м.в. t \in (a, b), (2)
Y (a) = Im, (3)
де коефiцiєнт A(\cdot ) \in
\bigl(
W s
p
\bigr) m\times m
. Тут Im — одинична матриця порядку m, а (AC[a, b])m\times m —
комплексний простiр усiх (m\times m)-матриць-функцiй, елементи яких є абсолютно неперервними
скалярними функцiями на вiдрiзку [a, b]. Похiдна матрицi-функцiї класу (AC[a, b])m\times m озна-
чена у майже всiх (м.в.) точках цього вiдрiзка. Як вiдомо, числова матриця Y (t) невироджена
у кожнiй точцi t \in [a, b].
Розглянемо питання про однозначну розв’язнiсть задачi (2), (3) у просторi (W s+1
p )m\times m.
Введемо метричний простiр матриць-функцiй
(\scrY s+1
p ) :=
\bigl\{
Y (\cdot ) \in (W s+1
p )m\times m : Y (a) = Im, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t) \not = 0
\bigr\}
,
надiлений метрикою
ds+1
p (Y,Z) := \| Y (\cdot ) - Z(\cdot )\| s+1,p.
Теорема 1. Нелiнiйне вiдображення \gamma : A \mapsto \rightarrow Y, де A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m, а Y (\cdot ) \in
\in (AC[a, b])m\times m — розв’язок задачi Кошi (2), (3), є гомеоморфiзмом банахового простору
(W s
p )
m\times m на метричний простiр (\scrY s+1
p ).
Доведення теореми розiб’ємо на три кроки.
Крок 1. Покажемо, що \gamma — бiєкцiя мiж множинами (W s
p )
m\times m i (\scrY s+1
p ). Спочатку доведемо
iндукцiєю за цiлим [s] \geq 0, що
A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m =\Rightarrow Y (\cdot ) \in (W s+1
p )m\times m. (4)
Обґрунтуємо цю iмплiкацiю у випадку, коли [s] = 0. Якщо A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m, то Y \prime (\cdot ) =
= - A(\cdot )Y (\cdot ) \in (Lp)
m\times m, оскiльки всi елементи матрицi-функцiї Y (\cdot ) обмеженi на [a, b]. Отже,
Y (\cdot ) \in (W 1
p )
m\times m i тому Y \prime (\cdot ) = - A(\cdot )Y (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m за лемою 1. Звiдси Y (\cdot ) \in (W s+1
p )m\times m,
тобто ми довели (4) у вказаному випадку.
Припустимо тепер, що iмплiкацiя (4) iстинна для деякого цiлого числа [s] = k \geq 0. До-
ведемо її у випадку, коли [s] = k + 1. Якщо справджується включення A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m \subset
\subset (W s - 1
p )m\times m, то Y (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m за iндуктивним припущенням, бо [s - 1] = k. Отже,
матриця-функцiя Y \prime (\cdot ) = - A(\cdot )Y (\cdot ) належить до (W s
p )
m\times m, оскiльки W s
p — алгебра у розгля-
нутому випадку. Звiдси Y (\cdot ) \in (W s+1
p )m\times m, тобто ми довели (4) у випадку, коли [s] = k + 1.
Таким чином, згiдно з принципом математичної iндукцiї iмплiкацiя (4) iстинна для будь-якого
цiлого числа [s] \geq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ФРЕДГОЛЬМОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI В ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА – СЛОБОДЕЦЬКОГО 923
Отже, вiдображення \gamma дiє на парi просторiв (W s
p )
m\times m i (\scrY s+1
p ). Воно iн’єктивне, оскiльки
A(\cdot ) = - Y \prime (\cdot )Y - 1(\cdot ). Покажемо, що воно i сюр’єктивне. Для довiльно вибраної матрицi-
функцiї Y (\cdot ) \in (\scrY s+1
p ) покладемо A(\cdot ) := - Y \prime (\cdot )Y - 1(\cdot ). Оскiльки Y \prime (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m i Y - 1(\cdot ) \in
\in (W s+1
p )m\times m, то Y \prime (\cdot )Y - 1(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m. Цей висновок робимо на пiдставi леми 1, якщо
0 < s < 1, або з огляду на те, що простiр (W s
p )
m\times m — банахова алгебра, якщо s > 1/p. Отже,
A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m. Оскiльки Y (\cdot ) — розв’язок задачi Кошi (2), (3), то \gamma (A(\cdot )) = Y (\cdot ). Ми довели
сюр’єктивнiсть вiдображення
\gamma : (W s
p )
m\times m \rightarrow (\scrY s+1
p ). (5)
Таким чином, воно є бiєкцiєю.
Крок 2. Покажемо, що вiдображення (5) неперервне. Розглянемо параметризованi числом
\varepsilon \in [0, \varepsilon 0] матричнi задачi Кошi вигляду
Y \prime (t; \varepsilon ) = - A(t; \varepsilon )Y (t; \varepsilon ) для м.в. t \in (a, b), (6)
Y (a; \varepsilon ) = Im, (7)
де A(\cdot ; \varepsilon ) \in (W s
p )
m\times m. Усi границi розглядаємо при \varepsilon \rightarrow 0 + . Припустимо, що
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0. (8)
Потрiбно довести, що тодi (єдинi) розв’язки задач (6), (7) задовольняють умову
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| s+1,p \rightarrow 0. (9)
Розглянемо спочатку випадок, коли [s] = 0. Оскiльки
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| p \rightarrow 0
згiдно з нашим припущенням, то
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| 1,p \rightarrow 0 (10)
на пiдставi теореми 2.1 [18]. Крiм того,
\| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| s,p = \| A(\cdot ; \varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)Y (\cdot ; 0)\| s,p \leq
\leq \| A(\cdot ; \varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; \varepsilon )Y (\cdot ; 0)\| s,p + \| A(\cdot ; \varepsilon )Y (\cdot ; 0) - A(\cdot ; 0)Y (\cdot ; 0)\| s,p \leq
\leq c \| A(\cdot ; \varepsilon )\| s,p \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| 1,p + c \| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| s,p \| Y (\cdot ; 0)\| 1,p \rightarrow 0
на пiдставi леми 1, припущення (8) i властивостi (10). Отже,
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| s+1,p \leq \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| p + \| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0.
Розглянемо тепер випадок, коли [s] \geq 1. У цьому випадку з умови (8) випливає спiввiдно-
шення
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| [s],p \rightarrow 0, (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
924 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
а з нього — властивiсть
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| s,p \leq \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| [s+1],p \rightarrow 0
на пiдставi теореми 2.1 [18]. Тому
\| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| s,p = \| A(\cdot ; \varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)Y (\cdot ; 0)\| s,p \leq
\leq \| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| s,p \| Y (\cdot ; \varepsilon )\| s,p + \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| s,p \| A(\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0,
оскiльки s > 1. Отже,
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| s+1,p \leq \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| p + \| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0.
Ми довели неперервнiсть вiдображення (5).
Крок 3. Доведемо неперервнiсть оберненого вiдображення. Припустимо, що виконується
спiввiдношення (9). Тодi
\| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0.
Крiм того,
\| Y - 1(\cdot ; \varepsilon ) - Y - 1(\cdot ; 0)\| s+1,p \rightarrow 0,
оскiльки (W s+1
p )m\times m — банахова алгебра. Отже,
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| s,p = \| Y \prime (\cdot ; \varepsilon )Y - 1(\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)Y - 1(\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0.
Ми довели неперервнiсть вiдображення, оберненого до (5).
Теорему 1 доведено.
4. Фредгольмовiсть i розв’язнiсть крайових задач. Розглянемо таку лiнiйну крайову
задачу для системи m диференцiальних рiвнянь першого порядку:
y\prime (t) +A(t)y(t) = f(t), t \in (a, b), (12)
By = c. (13)
Тут довiльно вибрано матрицю-функцiю A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m, вектор-функцiю f(\cdot ) \in (W s
p )
m,
вектор c \in \BbbC m i лiнiйний неперервний оператор
B : (W s+1
p )m \rightarrow \BbbC m.
Розв’язок y(\cdot ) цiєї задачi розглядається у класi (W s+1
p )m. Якщо s > 1/p, то кожна функцiя
з цього класу неперервно диференцiйовна на [a, b], i тому рiвняння (12) задане на всьому
iнтервалi (a, b). Якщо 0 < s \leq 1/p, то вона абсолютно неперервна на [a, b], й тому рiвняння
(12) задане у майже всiх точках цього iнтервалу.
Запишемо крайову задачу (12), (13) у виглядi операторного рiвняння
(L,B)y = (f, c),
де Ly := y\prime +Ay для довiльної вектор-функцiї y \in (W s+1
p )m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ФРЕДГОЛЬМОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI В ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА – СЛОБОДЕЦЬКОГО 925
Теорема 2. Лiнiйне вiдображення y \mapsto \rightarrow (L,B)y є обмеженим оператором на парi банахо-
вих просторiв
(L,B) : (W s+1
p )m \rightarrow (W s
p )
m \times \BbbC m. (14)
Цей оператор фредгольмiв з iндексом нуль.
Доведення. Обмеженiсть диференцiального оператора L на парi просторiв (W s+1
p )m i
(W s
p )
m випливає з їхнього означення, а також з леми 1, якщо 0 < s \leq 1/p, або з того фак-
ту, що W s
p — банахова алгебра, якщо s > 1/p. Крiм того, оператор B обмежений на парi
просторiв (W s+1
p )m i \BbbC m за умовою крайової задачi. Доведемо фредгольмовiсть обмеженого
оператора (14).
Вiдображення C : y \mapsto \rightarrow y(a) є обмеженим оператором на парi просторiв (W s+1
p )m i \BbbC m.
Задача Кошi (L,C)y = (f, c) має єдиний розв’язок y \in (AC[a, b])m для будь-яких f \in (W s
p )
m
i c \in \BbbC m. Як i на першому кроцi доведення теореми 1, обґрунтовується, що y \in (W s+1
p )m.
Отже, лiнiйний обмежений оператор
(L,C) : (W s+1
p )m \rightarrow (W s
p )
m \times \BbbC m (15)
є бiєкцiєю. Тому вiн оборотний за теоремою Банаха про обернений оператор.
Оператор (14) є сумою оборотного оператора (15) i скiнченновимiрного оператора (0, B -
- C). Тому перший оператор фредгольмiв з iндексом нуль на пiдставi теореми Нiкольського
[24] (§ 21.5).
Теорему 2 доведено.
Сформулюємо критерiй оборотностi оператора (14), тобто умови коректної розв’язностi
(за Адамаром) крайової задачi (12), (13) у просторi (W s+1
p )m. Нехай Y (\cdot ) — матрицант ди-
ференцiального рiвняння (12), тобто Y (\cdot ) — єдиний розв’язок матричної задачi Кошi (2), (3).
Покладемо
[BY ] :=
\left( B
\left( y1,1(\cdot )
...
ym,1(\cdot )
\right) . . . B
\left( y1,m(\cdot )
...
ym,m(\cdot )
\right)
\right) ,
де Y (t) = (yij(t))
m
i,j=1. Таким чином, стовпцi числової (m \times m)-матрицi [BY ] є результатом
дiї оператора B на вiдповiднi стовпцi матрицi-функцiї Y (\cdot ). Безпосередньо перевiряється, що
B(Y q) = [BY ]q для довiльного q \in \BbbC m. (16)
Теорема 3. Оператор (14) оборотний тодi i лише тодi, коли матриця [BY ] невироджена.
Доведення. Позначимо через N ядро оператора (14). За теоремою 2 оборотнiсть цього
оператора еквiвалентна рiвностi N = \{ 0\} . Згiдно з (16) включення y(\cdot ) \in N рiвносильне тому,
що y(\cdot ) = Y (\cdot )q i [BY ]q = 0 для деякого q \in \BbbC m. Отже, N = \{ 0\} тодi i лише тодi, коли
матриця [BY ] невироджена.
Теорему 3 доведено.
5. Крайовi задачi з параметром. Розглянемо параметризованi числом \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) крайовi
задачi
y\prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )y(t; \varepsilon ) = f(t; \varepsilon ), t \in (a, b), (17)
B(\varepsilon )y(\cdot ; \varepsilon ) = c(\varepsilon ), (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
926 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
де задано A(\cdot ; \varepsilon ) \in (W s
p )
m\times m, f(\cdot ; \varepsilon ) \in (W s
p )
m, c(\varepsilon ) \in \BbbC m i лiнiйний неперервний оператор
B(\varepsilon ) : (W s+1
p )m \rightarrow \BbbC m.
Розв’язок y(\cdot ; \varepsilon ) розглядається у класi (W s+1
p )m. Як i ранiше, Y (\cdot ; \varepsilon ) — розв’язок матричної
задачi Кошi (6), (7).
Крайову задачу, яка вiдповiдає значенню \varepsilon = 0, вважаємо граничною для сiм’ї задач (17),
(18). Усi границi розглядаємо при \varepsilon \rightarrow 0+, якщо не вказано iнше.
Зробимо таке припущення.
Припущення (0). Гранична однорiдна крайова задача має лише тривiальний розв’язок.
З цього припущення i теореми 2 випливає, що неоднорiдна гранична крайова задача має
єдиний розв’язок y(\cdot ; 0) \in (W s+1
p )m для будь-яких правих частин f(\cdot ; 0) \in (W s
p )
m i c(0) \in \BbbC m.
Теорема 4. Нехай крайовi задачi (17), (18) задовольняють такi умови:
1) \| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0,
2) B(\varepsilon )y \rightarrow B(0)y для довiльного y \in (W s+1
p )m.
Тодi обмежений оператор
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) : (W s+1
p )m \rightarrow (W s
p )
m \times \BbbC m (19)
є оборотним для достатньо малих \varepsilon > 0.
Якщо, крiм цього,
3) \| f(\cdot ; \varepsilon ) - f(\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0, c(\varepsilon ) \rightarrow c(0),
то розв’язок y(\cdot , \varepsilon ) задовольняє граничне спiввiдношення
\| y(\cdot , \varepsilon ) - y(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0. (20)
Попередньо доведемо кiлька допомiжних тверджень.
Лема 2. Нехай виконуються умови 1, 2 теореми 4. Тодi оператор (19) є оборотним для
достатньо малих \varepsilon > 0.
Доведення. З умови 1 на пiдставi теореми 1 випливає, що
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| s+1,p \rightarrow 0. (21)
Тому за умовою 2 виконується така збiжнiсть числових матриць:
[B(\varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon )] \rightarrow [B(0)Y (\cdot , 0)] . (22)
Тут гранична матриця невироджена на пiдставi припущення (0) i теореми 3. Отже, i матри-
ця [B(\varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon )] невироджена для достатньо малих \varepsilon \geq 0. Звiдси за теоремою 3 випливає
оборотнiсть оператора (19) для цих \varepsilon .
Лему 2 доведено.
Розглянемо поряд iз задачею (17), (18) такi крайовi задачi:
v\prime (t; \varepsilon ) = - A(t; \varepsilon )v(t; \varepsilon ), B(\varepsilon )v(\cdot ; \varepsilon ) = c(\varepsilon ), (23)
x\prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )x(t; \varepsilon ) = f(t; \varepsilon ), x(a; \varepsilon ) = 0, (24)
w\prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )w(t; \varepsilon ) = f(t; \varepsilon ), B(\varepsilon )w(\cdot ; \varepsilon ) = 0. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ФРЕДГОЛЬМОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI В ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА – СЛОБОДЕЦЬКОГО 927
Як зазначалося, задача Кошi (24) має єдиний розв’язок x(\cdot ; \varepsilon ) \in (W s+1
p )m.
Згiдно з лемою 2 крайовi задачi (23) i (25) мають для достатньо малих \varepsilon \geq 0 єдинi розв’язки
v(\cdot ; \varepsilon ) i w(\cdot ; \varepsilon ) iз класу (W s+1
p )m. Звiсно,
y(\cdot ; \varepsilon ) = v(\cdot ; \varepsilon ) + w(\cdot ; \varepsilon ) (26)
для цих \varepsilon . Тому для доведення теореми 4 достатньо показати, що за умов 1 – 3 виконуються
граничнi спiввiдношення
\| v(\cdot ; \varepsilon ) - v(\cdot ; 0)\| s+1,p \rightarrow 0, (27)
\| w(\cdot ; \varepsilon ) - w(\cdot ; 0)\| s+1,p \rightarrow 0. (28)
Лема 3. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 4. Тодi розв’язок крайової задачi (23) має
граничну властивiсть (27).
Доведення. Цей розв’язок має двi властивостi: v(\cdot ; \varepsilon ) = Y (\cdot ; \varepsilon )\widetilde c(\varepsilon ) для деякого вектора\widetilde c(\varepsilon ) \in \BbbC m i [B(\varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon )]\widetilde c(\varepsilon ) = c(\varepsilon ) з огляду на формулу (16). Тому на пiдставi властивостi
(22) i умови 3 маємо збiжнiсть
\widetilde c(\varepsilon ) = [B(\varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon )] - 1c(\varepsilon ) \rightarrow [B(0)Y (\cdot ; 0)] - 1c(0) = \widetilde c(0).
Звiдси та з (21) випливає спiввiдношення (27).
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 4. Тодi розв’язок задачi Кошi (24) має
граничну властивiсть
\| x(\cdot ; \varepsilon ) - x(\cdot ; 0)\| s+1,p \rightarrow 0. (29)
Доведення. Як вiдомо, розв’язок задачi Кошi зображується у виглядi
x(t; \varepsilon ) = Y - 1(t; \varepsilon )
t\int
a
Y (s; \varepsilon )f(s; \varepsilon )ds.
З властивостi (21) i умови 3 випливає спiввiдношення
\| Y (\cdot ; \varepsilon )f(\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)f(\cdot ; 0)\| s,p \rightarrow 0. (30)
Тут ми скористалися лемою 1, якщо 0 < s \leq 1/p, або тим фактом, що W s
p — банахова алгебра,
коли s > 1/p. Звiдси випливає формула (29), якщо знову скористатися (21).
Лему 4 доведено.
Лема 5. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 4. Тодi розв’язок крайової задачi (25) має
граничну властивiсть (28).
Доведення. Вектор-функцiя u(\cdot ; \varepsilon ) = x(\cdot ; \varepsilon ) - w(\cdot ; \varepsilon ) є розв’язком крайової задачi вигляду
(23):
u\prime (t; \varepsilon ) = - A(t; \varepsilon )u(t; \varepsilon ), B(\varepsilon )u(\cdot ; \varepsilon ) = \widetilde c(\varepsilon ), (31)
де покладаємо \widetilde c(\varepsilon ) := B(\varepsilon )x(\cdot ; \varepsilon ). Зауважимо, що \widetilde c(\varepsilon ) \rightarrow \widetilde c(0) на пiдставi властивостi 2 i леми
4. Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
928 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
\| u(\cdot ; \varepsilon ) - u(\cdot ; 0)\| s+1,p \rightarrow 0 (32)
згiдно з лемою 3. Властивiсть (28) випливає з рiвностi w(\cdot ; \varepsilon ) = x(\cdot ; \varepsilon ) - u(\cdot ; \varepsilon ) та формул (29)
i (32).
Лему 5 доведено.
Теорема 4 є безпосереднiм наслiдком рiвностi (26) i лем 3, 5.
Зазначимо, що в умовах теореми 4 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) збiгається до оператора
(L(0), B(0)) у сильнiй операторнiй топологiї, але, взагалi кажучи, не за нормою операторiв.
Отже, теорема 4 не є наслiдком вiдомої теореми про мале збурення оборотного оператора. У
випадку, коли p > 1, цю теорему доведено у роботi Є. Гнип [25].
6. Критерiй неперервностi розв’язкiв за параметром.
Означення 1. Говоримо, що розв’язок крайової задачi (17), (18) неперервно залежить вiд
параметра \varepsilon при \varepsilon = 0, якщо виконуються такi умови:
1) iснує додатне число \varepsilon 1 < \varepsilon 0 таке, що для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 1) i будь-яких правих частин
f(\cdot , \varepsilon ) \in (W s
p )
m i c(\varepsilon ) \in \BbbC m ця задача має єдиний розв’язок y(\cdot , \varepsilon ) \in (W s+1
p )m;
2) збiжнiсть правих частин f(\cdot , \varepsilon ) \rightarrow f(\cdot , 0) в (W s
p )
m та c(\varepsilon ) \rightarrow c(0) в \BbbC rm обумовлює
збiжнiсть розв’язкiв
y(\cdot , \varepsilon ) \rightarrow y(\cdot , 0) в (W s+1
p )m. (33)
Теорема 5. Розв’язок крайової задачi (17), (18) неперервно залежить вiд параметра \varepsilon при
\varepsilon = 0 тодi i тiльки тодi, коли вона задовольняє припущення (0) та умови 1, 2 теореми 4.
Доведення. Достатнiсть доведено в теоремi 4. Доведемо необхiднiсть. Припустимо, що
задача (17), (18) задовольняє означення 1. Тодi виконується умова (0). Залишилося показати,
що задача задовольняє умови 1, 2. Доведення розiб’ємо на три кроки.
Крок 1. Доведемо, що ця задача задовольняє умову 1. За умовою 1 означення обмежений
оператор
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) : (W s+1
p )m \rightarrow (W s
p )
m \times \BbbC m (34)
оборотний для будь якого \varepsilon \in [0, \varepsilon 1). Для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 1) розглянемо матричну крайову
задачу
Y \prime (t, \varepsilon ) +A(t, \varepsilon )Y (t, \varepsilon ) = 0 \cdot Im, t \in [a, b], (35)
[BY (\cdot , \varepsilon )] = Im. (36)
Вона є сукупнiстю m крайових задач (17), (18), у яких правi частини не залежать вiд \varepsilon . Тому, за
припущенням, вона має єдиний розв’язок Y (\cdot , \varepsilon ) \in (W s+1
p )m\times m, i вiн задовольняє умову (21).
Зауважимо, що матриця Y (t, \varepsilon )0 невироджена для довiльного t \in [a, b], бо у протилежному
випадку стовпцi-функцiї матрицi Y (\cdot , \varepsilon ) будуть лiнiйно залежними, що суперечитиме умовi
[BY (\cdot , \varepsilon )] = Im. Тому
A(\cdot , \varepsilon ) = - Y \prime (\cdot , \varepsilon )(Y (\cdot , \varepsilon )) - 1 \rightarrow - Y \prime (\cdot , 0)(Y (\cdot , 0)) - 1 = A(\cdot , 0)
у просторi (W s+1
p )m\times m, тобто умова 1 виконується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ФРЕДГОЛЬМОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI В ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА – СЛОБОДЕЦЬКОГО 929
Крок 2. Покажемо, що \| B(\varepsilon )\| = O(1) при \varepsilon \rightarrow 0+, де \| \cdot \| — норма обмеженого оператора
B(\varepsilon ) : (W s+1
p )m \rightarrow \BbbC m. Припустимо супротивне: iснує числова послiдовнiсть (\varepsilon (k))\infty k=1 \subset
\subset (0, \varepsilon 1) така, що \varepsilon (k) \rightarrow 0 i 0 < \| B(\varepsilon (k))\| \rightarrow \infty . Для кожного номера k виберемо функцiю
xk \in (W s+1
p )m, пiдпорядковану умовам
\| xk\| s+1,p = 1 i \| B(\varepsilon (k))xk\| \BbbC m \geq 1
2
\| B(\varepsilon (k))\| .
Покладемо
y(\cdot , \varepsilon (k)) := \| B(\varepsilon (k))\| - 1xk, f(\cdot , \varepsilon (k)) := L(\varepsilon (k)) y(\cdot , \varepsilon (k)), c(\varepsilon (k)) := B(\varepsilon (k)) y(\cdot , \varepsilon (k)).
Оскiльки y(\cdot , \varepsilon (k)) \rightarrow 0 у просторi (W s+1
p )m, то f(\cdot , \varepsilon (k)) \rightarrow 0 в (W s
p )
m, бо за доведеним на
першому кроцi матриця-функцiя A(\cdot , \varepsilon ) задовольняє умову 1. Оскiльки 1/2 \leq \| c(\varepsilon (k))\| \BbbC m \leq 1,
то, перейшовши до пiдпослiдовностi чисел \varepsilon (k), можна вважати, що c(\varepsilon (k)) \rightarrow c(0) при k \rightarrow \infty ,
де c(0) — деякий ненульовий вектор у просторi \BbbC m. Таким чином, для кожного номера k
вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon (k)) \in (Wn+1
p )m є єдиним розв’язком крайової задачi
L(\varepsilon (k)) y(t, \varepsilon (k)) = f(t, \varepsilon (k)), t \in [a, b],
B(\varepsilon (k)) y(\cdot , \varepsilon (k)) = c(\varepsilon (k)).
Тут f(\cdot , \varepsilon (k)) \rightarrow 0 в (Wn+1
p )m i c(\varepsilon (k)) \rightarrow c(0) \not = 0 при k \rightarrow \infty . Тому на пiдставi умови 2
означення y(\cdot , \varepsilon (k)) \rightarrow y(\cdot , 0) у просторi (Wn+1
p )m, де y(\cdot , 0) — єдиний розв’язок граничної
крайової задачi
L(0)y(t, 0) = 0, t \in [a, b],
B(0)y(\cdot , 0) = c(0).
Але y(\cdot , \varepsilon (k)) \rightarrow 0 у тому ж просторi. Тому y(\cdot , 0) \equiv 0, що суперечить крайовiй умовi. Отже,
зроблене припущення є хибним, тобто \| B(\varepsilon )\| = O(1) при \varepsilon \rightarrow 0 + .
Крок 3. Покажемо, що задача (17), (18) задовольняє умову 2. За доведеним у кроках 1, 2
iснують числа \gamma \prime > 0 i \varepsilon \prime \in (0, \varepsilon 1) такi, що \| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon ))\| \leq \gamma \prime для будь-якого \varepsilon \in [0, \varepsilon \prime ).
Тут \| \cdot \| — норма обмеженого оператора пари просторiв (Wn+1
p )m i (Wn
p )
m \times \BbbC m. Виберемо
довiльно функцiю y \in (Wn+1
p )m i покладемо f(\cdot , \varepsilon ) := L(\varepsilon )y i c(\varepsilon ) := B(\varepsilon )y для кожного
\varepsilon \in [0, \varepsilon 0). Тодi\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )y - B(0)y
\bigm\| \bigm\|
\BbbC m \leq
\bigm\| \bigm\| (f(\cdot , \varepsilon ), c(\varepsilon )) - (f(\cdot , 0), c(0))
\bigm\| \bigm\|
(W s
p )
m\times \BbbC m \leq
\leq \gamma \prime
\bigm\| \bigm\| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1
\bigl(
(f(\cdot , \varepsilon ), c(\varepsilon )) - (f(\cdot , 0), c(0))
\bigr) \bigm\| \bigm\|
s+1,p
=
= \gamma \prime
\bigm\| \bigm\| (L(0), B(0)) - 1(f(\cdot , 0), c(0)) - (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1(f(\cdot , 0), c(0))
\bigm\| \bigm\|
s+1,p
\rightarrow 0
за умовою 2 означення. Таким чином, крайова задача (17), (18) задовольняє умову 2.
Теорему 5 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
930 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
Лiтература
1. И. И. Гихман, По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова, Укр. мат. журн., № 4, 215 – 219 (1952).
2. М. А. Красносельский, С. Г. Крейн, О принципе усреднения в нелинейной механике, Успехи мат. наук, 3, № 10,
147 – 153 (1955).
3. Я. Курцвейль, З. Ворель, О непрерывной зависимости решений линейных уравнений от параметра, Чехосл.
мат. журн., 7, № 4, 568 – 583 (1957).
4. А. М. Самойленко, Об одном случае непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от
параметра, Укр. мат. журн., 14, № 3, 289 – 298 (1962).
5. А. Ю. Левин, Предельный переход для несингулярных систем \.X = An(t)X , Докл. АН СССР, 176, № 4,
774 – 777 (1967).
6. А. Ю. Левин, Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения, Вестн. Ярослав.
ун-та, № 5, 105 – 132 (1973).
7. Z. Opial, Continuous parameter dependence in linear systems of differential equations, J. Different. Equat., 3, № 4,
571 – 579 (1967).
8. W. T. Reid, Some limit theorems for ordinary differential systems, J. Different. Equat., 3, № 3, 423 – 439 (1967).
9. Нгуен Тхе Хоан, О зависимости от параметра решений линейной системы дифференциальных уравнений,
Дифференц. уравнения, 29, № 6, 970 – 975 (1993).
10. И. Т. Кигурадзе, Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений,
Изд-во Тбил. ун-та, Тбилиси (1975).
11. И. Т. Кигурадзе, Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Итоги науки и
техники. Совр. пробл. математики. Новейшие достижения, 30, 3 – 103 (1987).
12. M. Ashordia, Criteria of correctness of linear boundary value problems for systems of generalized ordinary differential
equations, Czechословак Math. J., 46, № 3, 385 – 404 (1996).
13. В. А. Михайлец, О. Б. Пелехата, Н. В. Рева, О теореме Кигурадзе для линейных краевых задач, Доп. НАН
України, № 12, 8 – 13 (2017).
14. V. A. Mikhailets, O. B. Pelekhata, N. V. Reva, Limit theorems for the solutions of boundary-value problems, Ukr.
Math. J., 70, № 2, 243 – 251 (2018).
15. E. Hnyp, V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces, Electron. J. Different. Equat., № 81, 1 – 13 (2017).
16. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, V. Soldatov, Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems, Electron. J. Qual. Theory Different. Equat., № 87, 1 – 16 (2016).
17. E. V. Gnyp, T. I. Kodlyuk, V. A. Mikhailets, Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces,
Ukr. Math. J., 67, № 5, 658 – 667 (2015).
18. T. Kodlyuk, V. Mikhailets, Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev
spaces, J. Math. Sci., 190, № 4, 589 – 599 (2013).
19. O. M. Atlasiuk, V. A. Mikhailets, Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev spaces, Ukr. Math.
J., 70, № 10, 1526 – 1537 (2019).
20. O. M. Atlasiuk, V. A. Mikhailets, Fredholm one-dimensional boundary-value problems with parameter in Sobolev
spaces, Ukr. Math. J., 70, № 11, 1677 – 1687 (2019).
21. В. Г. Мазья, Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций, Изд-во Ленингр. ун-та, Ленин-
град (1986).
22. Л. Д. Кудрявцев, С. М. Никольский, Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы
вложения, Совр. проблемы математики. Фундам. направления, 26, 5 – 157 (1988).
23. Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир,
Москва (1980).
24. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, Москва (1980).
25. E. V. Gnip, Continuity with respect to the parameter of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in
Slobodetskii spaces, Ukr. Math. J., 68, № 6, 849 – 861 (2016).
Одержано 10.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-6684 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:45Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/79/467e8def039a0a0f1b5edb01fa025179.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66842025-03-31T08:47:53Z Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces Фредгольмові крайові задачі в просторах Соболєва – Слободецького Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Михайлець, В. А. Скоробогач, Т. Б. . UDC 517.927 We investigate the most general class of linear one-dimensional boundary value problems whose solutions range over a given Sobolev – Slobodetsky space. We find necessary and sufficient conditions for the unique solvability of such problems and prove a criterion of continuity of their solutions with respect to a parameter in this space. УДК 517.927Дослiджено найбiльш широкий клас одновимiрних лiнiйних крайових задач, розв’язки яких пробiгають заданий простiр Соболєва-Слободецького. Знайдено необхiднi i достатнi умови однозначної розв’язностi таких задач. Доведено критерiй неперервностi їх розв’язкiв за параметром у цьому просторi.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-07-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6684 10.37863/umzh.v73i7.6684 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 7 (2021); 920 - 930 Український математичний журнал; Том 73 № 7 (2021); 920 - 930 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6684/9066 Copyright (c) 2021 Володимир Андрійович Михайлець, Тетяна Скоробогач |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Mikhailets, V. A. Skorobohach , T. B. Михайлець, В. А. Скоробогач, Т. Б. Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces |
| title | Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces |
| title_alt | Фредгольмові крайові задачі в просторах Соболєва – Слободецького |
| title_full | Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces |
| title_fullStr | Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces |
| title_full_unstemmed | Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces |
| title_short | Fredholm boundary-value problem in Sobolev – Slobodetsky spaces |
| title_sort | fredholm boundary-value problem in sobolev – slobodetsky spaces |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6684 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva fredholmboundaryvalueprobleminsobolevslobodetskyspaces AT skorobohachtb fredholmboundaryvalueprobleminsobolevslobodetskyspaces AT mikhailetsva fredholmboundaryvalueprobleminsobolevslobodetskyspaces AT skorobohachtb fredholmboundaryvalueprobleminsobolevslobodetskyspaces AT mihajlecʹva fredholmboundaryvalueprobleminsobolevslobodetskyspaces AT skorobogačtb fredholmboundaryvalueprobleminsobolevslobodetskyspaces AT mikhailetsva fredgolʹmovíkrajovízadačívprostorahsobolêvaslobodecʹkogo AT skorobohachtb fredgolʹmovíkrajovízadačívprostorahsobolêvaslobodecʹkogo AT mikhailetsva fredgolʹmovíkrajovízadačívprostorahsobolêvaslobodecʹkogo AT skorobohachtb fredgolʹmovíkrajovízadačívprostorahsobolêvaslobodecʹkogo AT mihajlecʹva fredgolʹmovíkrajovízadačívprostorahsobolêvaslobodecʹkogo AT skorobogačtb fredgolʹmovíkrajovízadačívprostorahsobolêvaslobodecʹkogo |