On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing
UDC 512.554 A subalgebra $S$ of a Leibniz algebra $L$ is called self-idealizing in $L$ if it coincides with its idealizer $\mathrm{I}_{L}(S).$ In this paper we study the structure of Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing.
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6688 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512500150173696 |
|---|---|
| author | Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Subbotin, I. Ya. Курдаченко, Леонид Субботин, Игорь Курдаченко, Л. А. Пипка , О. О. Субботін, І. Я. |
| author_facet | Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Subbotin, I. Ya. Курдаченко, Леонид Субботин, Игорь Курдаченко, Л. А. Пипка , О. О. Субботін, І. Я. |
| author_sort | Kurdachenko, L. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:03:07Z |
| description | UDC 512.554
A subalgebra $S$ of a Leibniz algebra $L$ is called self-idealizing in $L$ if it coincides with its idealizer $\mathrm{I}_{L}(S).$ In this paper we study the structure of Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i6.6688 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i6.6688
УДК 512.554
Л. А. Курдаченко, О. О. Пипка (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара),
I. Я. Субботiн (Нац. ун-т, Лос-Анджелес, США)
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ,
АБО САМОIДЕАЛIЗОВНI
A subalgebra S of a Leibniz algebra L is called self-idealizing in L if it coincides with its idealizer \mathrm{I}L(S). In this paper
we study the structure of Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing.
Пiдалгебру S алгебри Лейбнiца L називатимемо самоiдеалiзовною в L, якщо вона збiгається зi своїм iдеалiзатором
\mathrm{I}L(S). У статтi дослiджується будова алгебр Лейбнiца, пiдалгебри яких або є iдеалами, або самоiдеалiзовнi.
1. Вступ. Нехай L — алгебра над полем F iз двома бiнарними операцiями + i [ , ]. Тодi L
називатимемо лiвою алгеброю Лейбнiца, якщо вона задовольняє лiву тотожнiсть Лейбнiца
[[a, b], c] = [a, [b, c]] - [b, [a, c]]
для всiх a, b, c \in L. Будемо використовувати також iншу форму запису цiєї тотожностi:
[a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]].
Вперше алгебри Лейбнiца з’явилися в статтi А. Блоха [3], в якiй вiн назвав їх D-алгебрами.
Проте у той час вони не викликали значного iнтересу i не отримали належного розвитку. Ци-
ми алгебрами зацiкавилися лише через два десятилiття. Термiн „алгебра Лейбнiца” з’явився в
монографiї Ж.-Л. Лоде [13] та його статтi [14]. У роботi [15] Ж.-Л. Лоде та Т. Пiрашвiлi почали
вивчати властивостi алгебр Лейбнiца. Теорiя алгебр Лейбнiца розвивається дуже iнтенсивно
в багатьох рiзних напрямках дослiджень. Деякi з результатiв цiєї теорiї наведено у моногра-
фiї [1]. Зазначимо, що алгебри Лi є частинним випадком алгебр Лейбнiца. I навпаки, якщо L
— алгебра Лейбнiца, в якiй [a, a] = 0 для кожного елемента a \in L, то вона є алгеброю Лi. Таким
чином, алгебри Лi можна характеризувати як антикомутативнi алгебри Лейбнiца. У зв’язку з
цим на думку спадає паралель з асоцiативними структурами, такими як, наприклад, групи та
асоцiативнi кiльця. Там ми можемо помiтити суттєву вiдмiннiсть мiж абелевими та неабеле-
вими групами, мiж комутативними та некомутативними кiльцями. Вiдмiннiсть мiж алгебрами
Лi та алгебрами Лейбнiца стає помiтною вже при розглядi перших природних типiв алгебр
Лейбнiца. Наприклад, циклiчнi алгебри Лi мають вимiрнiсть 1, проте структура циклiчних
алгебр Лейбнiца є набагато складнiшою [4]. Iнший приклад такого ж характеру: алгебри Лi,
кожна пiдалгебра яких є iдеалом, абелевi, тодi як у випадку алгебр Лейбнiца маємо iншу знач-
но складнiшу картину [8]. Такi ж ситуацiї спостерiгаються при вивченнi iнших типiв алгебр
Лейбнiца (див., наприклад, [7, 10 – 12]).
У цiй статтi термiн „алгебра Лейбнiца” означає лiву алгебру Лейбнiца, яка не є алгеброю Лi.
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, A та K — пiдалгебри алгебри L. Лiвий iдеалi-
затор пiдалгебри A в K визначають за правилом
\mathrm{I}leftK (A) = \{ x \in K| [x, a] \in A для всiх елементiв a \in A\} .
c\bigcirc Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6 811
812 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
Лiвий iдеалiзатор A в K є пiдалгеброю в K. Справдi, нехай x, y \in \mathrm{I}leftK (A), a \in A, \alpha \in F. Тодi
[x - y, a] = [x, a] - [y, a] \in A, [\alpha x, a] = \alpha [x, a] \in A,
[[x, y], a] = [x, [y, a]] - [y, [x, a]] \in A.
За аналогiчним правилом визначають правий iдеалiзатор пiдалгебри A в K :
\mathrm{I}rightK (A) = \{ x \in K| [a, x] \in A для всiх елементiв a \in A\} .
На вiдмiну вiд лiвого iдеалiзатора правий iдеалiзатор A в K вже не обов’язково є пiдалгеброю.
Це iлюструє приклад 1.7 зi статтi [2].
Iдеалiзатор пiдалгебри A в K визначають за правилом
\mathrm{I}K(A) = \{ x \in K| [x, a], [a, x] \in A для всiх елементiв a \in A\} = \mathrm{I}leftK (A) \cap \mathrm{I}rightK (A).
Iдеалiзатор A в K є пiдалгеброю в K. Справдi, нехай x, y \in \mathrm{I}K(A), a \in A, \alpha \in F. Як i
ранiше, можна довести, що x - y, \alpha x \in \mathrm{I}K(A). Бiльше того,
[[x, y], a] = [x, [y, a]] - [y, [x, a]] \in A,
[a, [x, y]] = [[a, x], y] + [x, [a, y]] \in A.
Для довiльної пiдалгебри A алгебри Лейбнiца L маємо такий зростаючий ряд:
A = A0 \leq A1 \leq . . . A\alpha \leq A\alpha +1 \leq . . . A\gamma ,
де A1 = \mathrm{I}L(A), A\alpha +1 = \mathrm{I}L(A\alpha ) для всiх порядкових чисел \alpha , A\lambda =
\bigcup
\mu <\lambda A\mu для всiх
граничних порядкових чисел \lambda й A\gamma = \mathrm{I}L(A\gamma ). Цей ряд називають верхнiм iдеалiзаторним
рядом пiдалгебри A в L. Якщо \gamma = 1, то отримуємо два випадки:
A1 = \mathrm{I}L(A) = L або A1 = \mathrm{I}L(A) = A.
Наступнi типи пiдалгебр вiдповiдають цим двом випадкам: A — iдеал алгебри L, A самоiдеалi-
зовна в L (тобто A = \mathrm{I}L(A)). Тому виникає природне питання: що можна сказати про алгебру
Лейбнiца, у якої кожна пiдалгебра або є iдеалом, або самоiдеалiзовна?
Метою цiєї статтi є детальний опис таких алгебр Лейбнiца.
Першим типом таких алгебр є алгебри Лейбнiца, всi пiдалгебри яких є iдеалами. Опис
таких алгебр наведено у статтi [8].
Алгебру Лейбнiца L називатимемо екстраспецiальною, якщо вона задовольняє такi умови:
(i) центр \zeta (L) алгебри L нетривiальний i має вимiрнiсть 1,
(ii) фактор-алгебра L/\zeta (L) є абелевою.
Екстраспецiальну алгебру E називатимемо сильно екстраспецiальною, якщо
[x, x] \not = 0
для кожного елемента x \not \in \zeta (E).
Алгебра Лейбнiца L, усi пiдалгебри якої є iдеалами, має таку будову: L = E \oplus Z, де Z
— пiдалгебра центра алгебри L, а E — сильно екстраспецiальна алгебра.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ. . . 813
Дослiдження алгебр Лейбнiца, пiдалгебри яких або є iдеалами, або самоiдеалiзовнi, скла-
дається з таких етапiв.
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Тодi L мiстить найбiльший локально нiльпотент-
ний iдеал [9] (наслiдок C1). Цей iдеал називають локально нiльпотентним радикалом алгебри
L i позначають \mathrm{L}\mathrm{n}(L).
На першому етапi дослiджуються алгебри Лейбнiца, у яких локально нiльпотентний ради-
кал абелевий i нециклiчний.
Теорема A. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що локально нiльпотентний радикал A алгебри L абелевий
i нециклiчний. Тодi виконуються такi умови:
(i) A = \zeta left(L);
(ii) L = A\oplus W, де W — пiдалгебра вимiрностi 1, W = Fw, W = \mathrm{I}L(W );
(iii) iснує такий ненульовий елемент \sigma \in F, що [w, a] = \sigma a для кожного елемента a \in A.
I навпаки, якщо алгебра Лейбнiца L задовольняє цi умови, то кожна пiдалгебра алгебри L
або є iдеалом в L, або самоiдеалiзовна в L.
На наступному етапi природно дослiдити випадок, коли локально нiльпотентний радикал
неабелевий i нециклiчний. Тут отримано такi результати.
Теорема B1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що L \not = \mathrm{L}\mathrm{n}(L), а локально нiльпотентний радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L)
неабелевий i нециклiчний. Якщо [\mathrm{L}\mathrm{n}(L),\mathrm{L}\mathrm{n}(L)] \leq \zeta (L), то \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2 i виконуються такi
умови:
(i) K = \mathrm{L}\mathrm{n}(L) — сильно екстраспецiальна пiдалгебра; бiльше того, [x, x] \not = 0 для кожного
елемента x \not \in \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L);
(ii) [K,K] = \zeta (L) = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L);
(iii) L = K + \langle v\rangle , де [v, v] = \eta z для деякого ненульового елемента \eta \in F, [v + \zeta (K), x +
+ \zeta (K)] = x+ \zeta (K) для кожного елемента x \in K \setminus \zeta (K).
Теорема B2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами, або
самоiдеалiзовнi. Припустимо, що локально нiльпотентний радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L) = K \not = L неабелевий
i нециклiчний. Якщо \zeta (L) не мiстить [K,K], то виконуються такi умови:
(i) \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) \not = 2;
(ii) кожна пiдалгебра з K є iдеалом алгебри L;
(iii) \mathrm{L}\mathrm{n}(L) — сильно екстраспецiальна пiдалгебра;
(iv) [K,K] = \zeta (K) = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \langle z\rangle має вимiрнiсть 1;
(v) L = K+ \langle v\rangle , де [v+ \zeta (K), x+ \zeta (K)] = x+ \zeta (K) для кожного елемента x \in K \setminus \zeta (K),
[v, z] = 2z i [v, v] = \nu z для деякого елемента \nu \in F (\nu може бути нульовим).
Останнiм кроком є дослiдження випадку, коли локально нiльпотентний радикал є циклiч-
ним. У цьому випадку його вимiрнiсть дорiвнює 1 або 2. Наступна теорема описує другий
випадок.
Теорема C. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що локально нiльпотентний радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L) циклiчний i має
вимiрнiсть 2. Тодi або L \not = \mathrm{L}\mathrm{n}(L), або \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2 i L має такий базис \{ z, a, v\} , що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
814 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
[z, z] = [z, a] = [a, z] = [z, v] = [v, z] = 0, [a, a] = z, [v, v] = \eta z, [v, a] = a+ \lambda z, [a, v] = a+\mu z,
\eta , \lambda , \mu \in F, а полiном X2 + (\mu + \lambda )X + \eta не має розв’язкiв у полi F.
Випадок, коли вимiрнiсть локально нiльпотентного радикала дорiвнює 1, зводиться до вив-
чення алгебр Лi, абелевi пiдалгебри яких мають вимiрнiсть 1. Цей випадок потребує окремого
розгляду. У зв’язку з цим зазначимо, що нескiнченновимiрна алгебра Лi, власнi пiдалгебри якої
мають вимiрнiсть 1, є у певному сенсi аналогом так званого монстра Тарського з теорiї груп.
Проблема iснування таких алгебр Лi є однiєю з найцiкавiших i найскладнiших нерозв’язаних
задач у загальнiй теорiї алгебр Лi.
2. Алгебри Лейбнiца, пiдалгебри яких або є iдеалами, або самоiдеалiзовнi. Випадок,
коли локально нiльпотентний радикал є абелевим. Кожна алгебра Лейбнiца L мiстить
специфiчний iдеал. Позначимо через \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) пiдпростiр, породжений усiма елементами [a, a],
a \in L. Можна показати, що \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) є iдеалом алгебри L. Його називають ядром Лейбнiца
алгебри L.
Зазначимо, що фактор-алгебра L/\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) є алгеброю Лi. I навпаки, якщо H — такий iдеал
алгебри L, що фактор-алгебра L/H лiєвська, то \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq H.
Лема 2.1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що A та B є такими пiдалгебрами алгебри L, що B —
iдеал в A. Якщо фактор-алгебра A/B нетривiальна i циклiчна, то або \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A/B) = 1, або
A/B = Fa1 \oplus Fa2 i [a1, a1] = a2, [a2, a1] = [a2, a2] = 0, [a1, a2] = \lambda a2, де \lambda \in \{ 0, 1\} .
Доведення. Оскiльки B — iдеал в A, то A \leq \mathrm{I}L(B), тобто B \not = \mathrm{I}L(B), а тому B є iдеалом
алгебри L. Нехай a — такий елемент з A, що A/B = \langle a + B\rangle . Якщо [a, a] \in B, то циклiчна
пiдалгебра \langle a+B\rangle має вимiрнiсть 1. Припустимо тепер, що d = [a, a] \not \in B. Це означає, що ядро
\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(A/B) нетривiальне. Ця пiдалгебра абелева, зокрема кожен її пiдпростiр є пiдалгеброю.
Якщо припустити, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(A/B)) > 1, то \langle d + B\rangle \not = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(A/B). У цьому випадку
циклiчна пiдалгебра \langle d+ B\rangle не може бути самоiдеалiзовною. Тодi \langle d,B\rangle також не може бути
самоiдеалiзовною. Це означає, що \langle d,B\rangle є iдеалом алгебри L. Тодi \langle d+B\rangle — iдеал у фактор-
алгебрi L/B. У цьому випадку [a + B, d + B], [d + B, a + B] \in \langle d + B\rangle . Це означає, що
\langle a+B\rangle = F (a+B)\oplus F (d+B), зокрема \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\langle a+B\rangle ) = 2. Тепер можемо застосувати опис
алгебр Лейбнiца вимiрностi 2 (див., наприклад, [5]).
Лему 2.1 доведено.
Лема 2.2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами, або
самоiдеалiзовнi. Припустимо, що A та B є такими пiдалгебрами алгебри L, що B — iдеал в A,
а фактор-алгебра A/B локально нiльпотентна. Якщо A/B нециклiчна, то кожна пiдалгебра
з A, яка мiстить B, є iдеалом алгебри L. Зокрема, A та B також є iдеалами алгебри L.
Доведення. Оскiльки фактор-алгебра A/B нетривiальна, то, як i в доведеннi леми 2.1,
можна показати, що B є iдеалом алгебри L. Нехай a — такий довiльний елемент з A, що a \not \in B.
Оскiльки A/B нециклiчна, то \langle a+B\rangle \not = A/B. Таким чином, в A можна вибрати такий елемент
b, що b \not \in \langle a,B\rangle . Оскiльки A/B локально нiльпотентна, то \langle a+B, b+B\rangle /B = (\langle a, b\rangle +B)/B
нiльпотентна. Тодi \mathrm{I}(\langle a,b\rangle +B)/B(\langle a+B\rangle /B) \not = \langle a+B\rangle /B [2]. Це означає, що \mathrm{I}A(\langle a,B\rangle ) \not = \langle a,B\rangle ,
тобто \langle a,B\rangle є iдеалом алгебри L.
Нехай
S = \{ V | V — така пiдалгебра з A, що B \leq V i V/B циклiчна\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ. . . 815
Якщо V \in S, то за доведеним вище V є iдеалом алгебри L. Очевидно, пiдалгебри з S
породжують A. Це означає, що A є iдеалом алгебри L.
Лему 2.2 доведено.
Наслiдок 2.1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що A та B є такими пiдалгебрами алгебри L, що B — iдеал
в A, а фактор-алгебра A/B абелева. Якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A/B) > 1, то кожна пiдалгебра з A, яка
мiстить B, є iдеалом алгебри L. Зокрема, A та B також є iдеалами алгебри L.
Наслiдок 2.2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Якщо A є такою абелевою пiдалгеброю алгебри L, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A) > 1, то
кожна пiдалгебра з A є iдеалом алгебри L. Зокрема, A також є iдеалом алгебри L.
Наслiдок 2.3. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що A є локально нiльпотентною пiдалгеброю алгебри L.
Якщо A нециклiчна, то кожна пiдалгебра з A є iдеалом алгебри L. Зокрема, A також є
iдеалом алгебри L.
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, M — непорожня пiдмножина з L, а H
— пiдалгебра алгебри L. Покладемо
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftH (M) = \{ a \in H| [a,M ] = \langle 0\rangle \} ,
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightH (M) = \{ a \in H| [M,a] = \langle 0\rangle \} .
Пiдмножину \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftH (M) називатимемо лiвим анулятором пiдмножини M в H, пiдмножину
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightH (M) — правим анулятором пiдмножини M в H. Перетин
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}H(M) = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftH (M) \cap \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightH (M) = \{ a \in H| [a,M ] = [M,a] = \langle 0\rangle \}
називатимемо анулятором пiдмножини M в H.
Легко показати, що всi цi пiдмножини є пiдалгебрами алгебри L. Бiльше того, якщо M
— лiвий iдеал алгебри L, то нескладно довести, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (M) є iдеалом алгебри L. Також
можна довести, що якщо M — iдеал в L, то \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (M) є лiвим iдеалом алгебри L. Нарештi,
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(M) є iдеалом алгебри L.
Лiвий (вiдповiдно правий) центр \zeta left(L) (вiдповiдно \zeta right(L)) алгебри Лейбнiца L визна-
чають за правилом
\zeta left(L) = \{ x \in L| [x, y] = 0 для кожного елемента y \in L\}
(вiдповiдно
\zeta right(L) = \{ x \in L| [y, x] = 0 для кожного елемента y \in L\} ).
Легко довести, що лiвий центр алгебри L є iдеалом в L. Проте цього не можна сказати у
загальному випадку про правий центр. Бiльше того, \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq \zeta left(L), а тому L/\zeta left(L) є
алгеброю Лi. Правий центр є пiдалгеброю алгебри L. У загальному випадку лiвий i правий
центри рiзнi, i вони навiть можуть мати рiзнi вимiрностi (див. [6]).
Центр \zeta (L) алгебри L визначають за правилом
\zeta (L) = \{ x \in L| [x, y] = [y, x] = 0 для кожного елемента y \in L\} .
Центр є iдеалом алгебри L.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
816 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Лiнiйне перетворення f алгебри L називатимемо
диференцiюванням, якщо
f([a, b]) = [f(a), b] + [a, f(b)]
для всiх a, b \in L. Позначимо через \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}F (L) множину всiх лiнiйних перетворень алгебри L.
Тодi \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}F (L) — асоцiативна алгебра вiдносно операцiй + i \circ . Як завжди, \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}F (L) є алгеброю
Лi вiдносно операцiй + i [ , ], де [f, g] = f \circ g - g \circ f для всiх f, g \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}F (L). Можна
показати, що пiдмножина \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L) усiх диференцiювань алгебри L є пiдалгеброю лiєвської
алгебри \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}F (L) (див., наприклад, [5]).
Лема 2.3. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, A — абелевий iдеал алгебри L. Якщо
кожна пiдалгебра з A є iдеалом алгебри L, то для кожного елемента x \in L iснують такi
елементи \lambda x, \rho x \in F, що [x, a] = \lambda xa та [a, x] = \rho xa для кожного елемента a \in A.
Доведення. Якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A) = 1, то все очевидно. Припустимо, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A) > 1. Оскiльки
iдеал A абелевий, то пiдпростiр Fa є пiдалгеброю в A для кожного елемента a \in A. Таким
чином, циклiчна пiдалгебра \langle a\rangle = Fa є iдеалом алгебри L. Якщо x \in L, то [x, a] = \alpha a
(вiдповiдно [a, x] = \beta a) для деяких елементiв \alpha , \beta \in F. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A) > 1, то ми можемо
вибрати такий елемент c \in A, що a та c лiнiйно незалежнi. Аналогiчними мiркуваннями для
елемента c отримуємо, що [x, c] = \gamma c (вiдповiдно [c, x] = \sigma c) для деяких елементiв \gamma , \sigma \in F.
Тодi
[x, a - c] = [x, a] - [x, c] = \alpha a - \gamma c (вiдповiдно [a - c, x] = [a, x] - [c, x] = \beta a - \sigma c).
З iншого боку, a - c \in A, тому F (a - c) є iдеалом алгебри L. Отже,
[x, a - c] = \eta (a - c) = \eta a - \eta c (вiдповiдно [a - c, x] = \mu (a - c) = \mu a - \mu c)
для деяких \eta , \mu \in F. Це означає, що \alpha a - \gamma c = \eta a - \eta c (вiдповiдно \beta a - \sigma c = \mu a - \mu c). Таким
чином, \alpha = \eta = \gamma (вiдповiдно \beta = \mu = \sigma ).
Iнакше кажучи, для кожного елемента x \in L iснують такi елементи \lambda x, \rho x \in F, що [x, a] =
= \lambda xa та [a, x] = \rho xa для кожного a \in A.
Лему 2.3 доведено.
Лема 2.4. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi, A — максимальний абелевий iдеал алгебри L, який мiстить \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L).
Припустимо, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A) > 1. Тодi виконуються такi умови:
(i) A = \zeta left(L);
(ii) L/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A) має вимiрнiсть 1;
(iii) для кожного x \in L iснує такий елемент \sigma x \in F, що [x, a] = \sigma xa для кожного a \in A;
(iv) кожна пiдалгебра з \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A) є iдеалом алгебри L.
Доведення. Для елемента x \in L розглянемо вiдображення \mathrm{l}x : A \rightarrow A, визначене за таким
правилом: \mathrm{l}x(a) = [x, a] для кожного елемента a \in A. Тодi вiдображення \mathrm{l}x є диференцiюван-
ням iдеалу A, а множина \{ \mathrm{l}x| x \in L\} — пiдалгеброю алгебри \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(A) всiх диференцiювань
iдеалу A (див., наприклад, [5]).
За наслiдком 2.2 кожна пiдалгебра з A є iдеалом алгебри L. Тодi з леми 2.3 випливає, що
для кожного елемента x \in L iснують такi елементи \sigma x, \rho x \in F, що [x, a] = \sigma xa та [a, x] = \rho xa
для кожного елемента a \in A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ. . . 817
Оскiльки \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq \zeta left(L), то A мiстить такий елемент a0, що [a0, x] = 0 для кожного
елемента x \in L. Це означає, що [a, x] = 0 для кожного елемента a \in A. Оскiльки це викону-
ється для кожного елемента x \in L, то A \leq \zeta left(L). З того, що \zeta left(L) — абелевий iдеал алгебри
L i A — максимальний абелевий iдеал алгебри L, випливає, що A = \zeta left(L).
Розглянемо вiдображення \delta : L \rightarrow F, визначене за таким правилом: \delta (x) = \sigma x для кожного
елемента x \in L. Для елементiв x, y \in L маємо
\sigma x+ya = [x+ y, a] = [x, a] + [y, a] = \sigma xa+ \sigma ya = (\sigma x + \sigma y)a,
\sigma \beta xa = [\beta x, a] = \beta [x, a] = \beta (\sigma xa) = (\beta \sigma x)a,
звiдки випливає, що \sigma x+y = \sigma x + \sigma y i \sigma \beta x = \beta \sigma x для всiх x, y \in L, \beta \in F. Це означає, що
вiдображення \delta лiнiйне. Бiльше того,
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\delta ) = \{ x \in L| \delta (x) = \sigma x = 0\} .
Тобто [x, a] = 0 для кожного елемента x \in A. Iнакше кажучи, \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\delta ) \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (A). Обернене
включення є очевидним, тому \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\delta ) = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (A). Як було зазначено, \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (A) є двосто-
роннiм iдеалом алгебри L, тому фактор-алгебра L/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (A) iзоморфна до F. Зокрема, вона
має вимiрнiсть 1.
З рiвностi A = \zeta left(L) випливає, що L = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (A). Таким чином, \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (A) =
= \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A).
Нехай z \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A). Якщо z \in A, то, як зазначено вище, пiдалгебра \langle z\rangle є iдеалом алгебри
L. Припустимо, що z \not \in A. За лемою 2.1 циклiчна пiдалгебра \langle a\rangle має вимiрнiсть, не бiльшу за
2. Якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\langle z\rangle ) = 1, то \langle z\rangle = Fz i \langle z\rangle \cap A = \langle 0\rangle . Тодi для кожного ненульового елемента
a \in A отримуємо [a, z] = [z, a] = 0. Це означає, що a \in \mathrm{I}L(\langle z\rangle ), зокрема \mathrm{I}L(\langle z\rangle ) \not = \langle z\rangle .
У такому випадку \langle z\rangle є iдеалом алгебри L. Припустимо тепер, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\langle z\rangle ) = 2. Якщо
покласти v = [z, z], то v \in A. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A) > 1, можна вибрати такий елемент d \in A,
що Fv \cap Fd = \langle 0\rangle . Тодi Fd \cap \langle z\rangle = \langle 0\rangle . Отже, знову отримуємо [d, z] = [z, d] = 0. Це означає,
що d \in \mathrm{I}L(\langle z\rangle ), тому \mathrm{I}L(\langle z\rangle ) \not = \langle z\rangle . Iнакше кажучи, \langle z\rangle є iдеалом алгебри L. Таким чином,
кожна циклiчна пiдалгебра з \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A) є iдеалом алгебри L. Це означає, що кожна пiдалгебра
з \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A) — iдеал алгебри L.
Лему 2.4 доведено.
Наслiдок 2.4. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L)) > 1. Тодi фактор-алгебра L/\mathrm{L}\mathrm{n}(L) має
вимiрнiсть, не бiльшу за 1, а кожна пiдалгебра з \mathrm{L}\mathrm{n}(L) є iдеалом алгебри L.
Доведення. Нехай A — максимальний абелевий iдеал з L, який мiстить \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L). За ле-
мою 2.4 кожна пiдалгебра з \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A) є iдеалом алгебри L. Тодi анулятор \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A) нiльпотент-
ний [8], тому
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(A) \leq \mathrm{L}\mathrm{n}(L).
За лемою 2.4 фактор-алгебра L/\mathrm{L}\mathrm{n}(L) має вимiрнiсть, не бiльшу за 1, а кожна пiдалгебра з
\mathrm{L}\mathrm{n}(L) є iдеалом алгебри L.
Доведення теореми A. З того факту, що ядро \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) абелеве, випливає, що \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq A.
Локально нiльпотентний радикал A нециклiчний, тому \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (A) > 1. Оскiльки A — макси-
мальний локально нiльпотентний iдеал, то A є максимальним абелевим iдеалом алгебри L. За
лемою 2.4 кожна пiдалгебра з A є iдеалом алгебри L, а фактор-алгебра L/A має вимiрнiсть,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
818 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
не бiльшу за 1. Припустимо, що L \not = A. Виберемо такий елемент v, що L = A\oplus Fv. Лема 2.4
показує, що A = \zeta left(L). Також з леми 2.4 випливає, що iснує такий елемент \sigma \in F, що
[v, a] = \sigma a для кожного елемента a \in A. Оскiльки A \not = L, то \sigma \not = 0. Нехай b — довiльний
елемент з A. Як зазначено вище, пiдалгебра Fb є iдеалом алгебри L. Якщо d — довiльний
елемент з Fb, то d = \lambda b для деякого \lambda \in F. Тодi
d = \lambda (\sigma - 1\sigma )b = \lambda \sigma - 1(\sigma b) = \lambda \sigma - 1[v, b] = [v, \lambda \sigma - 1b] \in [v, Fb].
Це означає, що [v, Fb] = Fb. Оскiльки це виконується для кожної одновимiрної пiдалгебри з
A, то A = [v,A].
Нехай x — довiльний елемент алгебри L. З того факту, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/A) = 1, випливає, що
фактор-алгебра L/A абелева. Це означає, що [v, x] = c \in A. За доведеним вище A мiстить
такий елемент u, що c = [v, u]. Тодi [v, x] = [v, u], а тому [v, x - u] = 0. Це означає, що
x - u \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (v), тобто x \in A+\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (v). Оскiльки x — довiльний елемент з L, то
L = A+\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (v).
Нехай a \in A \cap \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (v) i a \not = 0. Тодi [v, a] = 0. З iншого боку, [v, a] = \sigma a, де \sigma не-
нульове. Отримали суперечнiсть. Це доводить, що A \cap \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (v) = \langle 0\rangle . Якщо покласти
W = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (v), то L = A\oplus W. З iзоморфiзму W \sim = L/A випливає, що пiдалгебра W абелева
i має вимiрнiсть 1, тобто W = Fw. Також w = \lambda v + a1 для деякого елемента \lambda \in F i a1 \in A.
Оскiльки w \not \in A, то \lambda \not = 0. Замiнюючи w на \lambda - 1w, можемо припустити, що w = v + a2. Тодi
[w, a] = [v, a] = \sigma a для кожного елемента a \in A.
Якщо припустити, що \mathrm{I}L(W ) \not = W, то пiдалгебра W є iдеалом. Але у цьому випадку алгебра
L абелева, що неможливо. Ця суперечнiсть показує, що пiдалгебра W самоiдеалiзовна.
I навпаки, нехай тепер L — алгебра Лейбнiца, яка задовольняє всi перелiченi умови. З умов
(i) та (iii) випливає, що кожна циклiчна пiдалгебра з A є iдеалом алгебри L. Це означає, що
кожна пiдалгебра з A є iдеалом алгебри L.
Нехай S — довiльна пiдалгебра алгебри L. Якщо A мiстить S, то за доведеним вище S є
iдеалом алгебри L. Тому припустимо, що A не мiстить S. Тодi S мiстить елемент \mu w + e, де
0 \not = \mu \in F i e \in A. Маємо L = A + S. Якщо припустити, що \mathrm{I}L(S) \not = S, то можемо вибрати
такий елемент a \in A, що [S, a] \leq S i a \not \in S. Тодi
[\mu w + e, a] = \mu [w, a] = \mu \sigma a \in S.
Оскiльки \mu \sigma \not = 0, то a \in S, що неможливо. Ця суперечнiсть показує, що \mathrm{I}L(S) = S.
Теорему А доведено.
3. Алгебри Лейбнiца, пiдалгебри яких або є iдеалами, або самоiдеалiзовнi. Випадок,
коли локально нiльпотентний радикал є неабелевим.
Лема 3.1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, f — диференцiювання алгебри L.
Тодi f(\zeta left(L)) \leq \zeta left(L), f(\zeta right(L)) \leq \zeta right(L) i f(\zeta (L)) \leq \zeta (L).
Доведення. Нехай x — довiльний елемент алгебри L i z \in \zeta left(L). Тодi [z, x] = 0. Оскiльки
диференцiювання є лiнiйним вiдображенням, то f([z, x]) = 0. З iншого боку,
0 = f(0) = f([z, x]) = [f(z), x] + [z, f(x)] = [f(z), x],
тобто f(z) \in \zeta left(L). Нехай z \in \zeta right(L). Тодi [x, z] = 0 та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ. . . 819
0 = f(0) = f([x, z]) = [f(x), z] + [x, f(z)] = [x, f(z)],
тобто f(z) \in \zeta right(L). Поєднуючи два результати, отримуємо, що f(\zeta (L)) \leq \zeta (L).
Лему 3.1 доведено.
Лема 3.2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, де \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) \not = 2, L = Fa1 \oplus Fa2 й
[a1, a1] = a2, [a1, a2] = [a2, a1] = [a2, a2] = 0. Лiнiйне вiдображення f є диференцiюванням
алгебри L тодi й тiльки тодi, коли f(a1) = \alpha a1 + \beta a2 для деяких елементiв \alpha , \beta \in F i
f(a2) = 2\alpha a2.
Доведення. З рiвностi \zeta (L) = Fa2 та леми 3.1 випливає, що f(a2) = \gamma a2 для деякого
елемента \gamma \in F. Тодi
\gamma a2 = f(a2) = f([a1, a1]) = [f(a1), a1] + [a1, f(a1)] =
= [\alpha a1 + \beta a2, a1] + [a1, \alpha a1 + \beta a2] = \alpha [a1, a1] + \alpha [a1, a1] = 2\alpha a2.
Це означає, що f(a2) = 2\alpha a2.
Нехай f(a1) = \alpha a1 + \beta a2, x, y — довiльнi елементи алгебри L. Тодi x = \lambda a1 + \mu a2,
y = \sigma a1 + \rho a2, звiдки випливає, що
[x, y] = [\lambda a1 + \mu a2, \sigma a1 + \rho a2] = \lambda \sigma [a1, a1] + \lambda \rho [a1, a2] + \mu \sigma [a2, a1] + \mu \rho [a2, a2] =
= \lambda \sigma a2,
f(x) = f(\lambda a1 + \mu a2) = \lambda f(a1) + \mu f(a2) = \lambda (\alpha a1 + \beta a)2) + \mu (2\alpha a2) =
= \lambda \alpha a1 + \lambda \beta a2 + 2\mu \alpha a2 = \lambda \alpha a1 + (\lambda \beta + 2\mu \alpha )a2,
f(y) = f(\sigma a1 + \rho a2) = \sigma f(a1) + \rho f(a2) = \sigma (\alpha a1 + \beta a2) + \rho (2\alpha a2) =
= \sigma \alpha a1 + \sigma \beta a2) + 2\rho \alpha a2 = \sigma \alpha a1 + (\sigma \beta + 2\rho \alpha )a2,
2\alpha \lambda \sigma a2 = \lambda \sigma f(a2) = f(\lambda \sigma a2) = f([x, y]) = [f(x), y] + [x, f(y)] =
= [\lambda \alpha a1 + (\lambda \beta + 2\mu \alpha )a2, \sigma a1 + \rho a2] + [\lambda a1 + \mu a2, \sigma \alpha a1 + (\sigma \beta + 2\rho \alpha )a2] =
= \lambda \alpha \sigma [a1, a1] + \lambda \sigma \alpha [a1, a1] = 2\alpha \lambda \sigma a2.
Таким чином, кожне лiнiйне перетворення f алгебри L, яке задовольняє умови f(a1) = \alpha a1 +
+ \beta a2 i f(a2) = 2\alpha a2, є диференцiюванням алгебри L.
Лему 3.2 доведено.
Використовуючи аналогiчнi мiркування, можна довести таке твердження.
Лема 3.3. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, де \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2, L = Fa1 \oplus Fa2 й
[a1, a1] = a2, [a1, a2] = [a2, a1] = [a2, a2] = 0. Лiнiйне вiдображення f є диференцiюванням
алгебри L тодi й тiльки тодi, коли f(a2) = 0.
Наслiдок 3.1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, де \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2, L = Fa1 \oplus Fa2
й [a1, a1] = a2, [a1, a2] = [a2, a1] = [a2, a2] = 0. Тодi алгебра диференцiювань алгебри L
iзоморфна пiдалгебрi матриць з M2(F ), якi мають вигляд \alpha E11 + \beta E21, \alpha , \beta \in F. Зокрема,
вона абелева i має вимiрнiсть 2.
Доведення. Якщо f є диференцiюванням алгебри L, то за лемою 3.3 f(a1) = \alpha a1 + \beta a2
i f(a2) = 0 для деяких елементiв \alpha , \beta \in F. Таким чином, матриця вiдображення f у базисi
\{ a1, a2\} є такою: \alpha E11 + \beta E21, \alpha , \beta \in F. I навпаки, якщо лiнiйне вiдображення f має у
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
820 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
базисi \{ a1, a2\} таку матрицю, то f є диференцiюванням алгебри L. Це означає, що алгебра
диференцiювань алгебри L iзоморфна пiдалгебрi матриць, якi мають вигляд \alpha E11 + \beta E21,
\alpha , \beta \in F.
Лема 3.4. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами, або
самоiдеалiзовнi. Припустимо, що A є iдеалом алгебри L, а фактор-алгебра B/A — нетривi-
альною пiдалгеброю з L/A. Якщо S/A є такою пiдалгеброю з L/A, що S/A \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L/A(B/A)
i S/A не мiстить B/A, то S є iдеалом алгебри L.
Доведення. Виберемо у фактор-алгебрi B/A такий елемент zA, що zA \not \in S/A. Оскiльки
S/A \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L/A(B/A), то [zA, S/A] = [S/A, zA] = \langle 0\rangle . Це означає, що [z, S], [S, z] \leq A \leq S.
Вибiр елемента z вказує на те, що z \not \in S. Iнакше кажучи, \mathrm{I}L(S) \not = S, звiдки випливає, що S є
iдеалом алгебри L.
Лему 3.4 доведено.
Лема 3.5. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами, або
самоiдеалiзовнi. Припустимо, що локально нiльпотентний радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L) = K \not = L неабелевий
i нециклiчний. Тодi кожна пiдалгебра з K є iдеалом алгебри L. Якщо [K,K] \leq \zeta (L), то K є
сильно екстраспецiальною алгеброю, [K,K] = \zeta (K) = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq \zeta (L).
Доведення. За наслiдком 2.3 кожна пiдалгебра з K є iдеалом алгебри L. Оскiльки радикал
K неабелевий, то K = E \oplus Z, де Z — пiдалгебра центра K, а E — сильно екстраспецiальна
алгебра. Оскiльки радикал K неабелевий, то пiдалгебра E нетривiальна. Виберемо в E такий
елемент y, що z = [y, y] \not = 0. Нехай Y — пiдалгебра, породжена елементом y. Тодi Y = Fy\oplus Fz
i [z, y] = [y, z] = 0. З огляду на попереднi зауваження отримуємо, що Y є iдеалом алгебри
L. Оскiльки [K,K] = [E,E] має вимiрнiсть 1, то з того факту, що z \in [E,E], випливає, що
Fz = [K,K], тобто z \in \zeta (L).
Припустимо, що пiдалгебра Z нетривiальна, i розглянемо пiдалгебру \langle z\rangle \oplus Z. Тодi вона
i кожна її пiдалгебра є iдеалами алгебри L. З леми 2.3 випливає, що Z \leq \zeta (L). Розглянемо
фактор-алгебру L/\langle z\rangle . Її iдеал K/\langle z\rangle абелевий, а також очевидно, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (K/\langle z\rangle ) > 1. За
лемою 2.2 кожна пiдалгебра з K/\langle z\rangle є iдеалом в L/\langle z\rangle . Використовуючи той факт, що фактор
(\langle z\rangle \oplus Z)/\langle z\rangle є центральним в L, i лему 2.3, отримуємо, що фактор K/\langle z\rangle є центральним
в L/\langle z\rangle . Оскiльки L \not = K, то можна вибрати такий елемент v, що v \not \in K. За лемою 2.1
пiдалгебра V = \langle v\rangle має вимiрнiсть 1 або 2. Припустимо, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (V ) = 1. Тодi V \cap K = \langle 0\rangle ,
зокрема z \not \in V, але z \in \mathrm{I}L(V ). Це означає, що V – iдеал алгебри L. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (V ) = 1,
то пiдалгебра V абелева. Але у цьому випадку \mathrm{L}\mathrm{n}(L) = K мiстить V, що неможливо. Нехай
тепер \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (V ) = 2. Якщо [V, V ]\cap K = \langle 0\rangle , то знову отримуємо, що z \not \in [V, V ] i z \in \mathrm{I}L([V, V ]).
Отже, [V, V ] є iдеалом алгебри L. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F ([V, V ]) = 1, то пiдалгебра [V, V ] абелева.
Але у цьому випадку \mathrm{L}\mathrm{n}(L) = K мiстить [V, V ], що суперечить умовi [V, V ]\cap K = \langle 0\rangle . Отже,
[V, V ] \cap K \not = \langle 0\rangle . Якщо \langle 0\rangle \not = [V, V ] \cap \langle z\rangle , то оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F ([V, V ]) = 1, [V, V ] = \langle z\rangle . Отже,
\langle 0\rangle = V/\langle z\rangle \cap K/\langle z\rangle . Оскiльки фактор K/\langle z\rangle є центральним в L/\langle z\rangle , то \mathrm{I}L(V ) \not = V, тобто V
— iдеал алгебри L. З того факту, що [V, V ] = \langle z\rangle \leq \zeta (L), випливає нiльпотентнiсть пiдалгебри
V. Але у цьому випадку знову K повинно мiстити V, що неможливо. Ця суперечнiсть показує,
що \langle 0\rangle = [V, V ] \cap \langle z\rangle . Тодi V \cap \langle z\rangle = \langle 0\rangle . У цьому випадку z \not \in V, але z \in \mathrm{I}L(V ). Це означає,
що V — iдеал алгебри L. З iншого боку,
([V, V ] + \langle z\rangle )/\langle z\rangle \leq K/\langle z\rangle \leq \zeta (L/\langle z\rangle ).
Тобто фактор-алгебра (V + \langle z\rangle )/\langle z\rangle нiльпотентна. Включення \langle z\rangle \leq \zeta (L) показує, що V + \langle z\rangle
також нiльпотентна. Зокрема, сама пiдалгебра V є нiльпотентною. Але у цьому випадку знову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ. . . 821
отримуємо, що K повинно мiстити V. Ця суперечнiсть доводить рiвнiсть Z = \langle 0\rangle , звiдки
випливає, що K = E — сильно екстраспецiальна алгебра Лейбнiца.
Припустимо тепер, що \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \not = \langle z\rangle . Оскiльки \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) — абелевий iдеал, то K мiстить
\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L). Тодi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L)) > 1, тобто \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) повинен мiстити елемент u \not \in \langle z\rangle . Оскiльки
ядро \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) абелеве, то [u, u] = 0. З iншого боку, K є сильно екстраспецiальною алгеброю
Лейбнiца, а тому [u, u] \not = 0. Ця суперечнiсть показує, що \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \langle z\rangle .
Лему 3.5 доведено.
Наслiдок 3.2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами, або
самоiдеалiзовнi. Припустимо, що локально нiльпотентний радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L) = K \not = L неабелевий
i нециклiчний. Якщо [K,K] \leq \zeta (L), то \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2.
Доведення. За лемою 3.5 K є сильно екстраспецiальною алгеброю, [K,K] = \zeta (K) =
= \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L). Оскiльки радикал K неабелевий, то пiдалгебра E нетривiальна. Виберемо в E
такий елемент y, що z = [y, y] \not = 0. Нехай Y — пiдалгебра, породжена елементом y. Тодi
Y = Fy \oplus Fz i [z, y] = [y, z] = 0. За нашими умовами Y є iдеалом алгебри L. Як i в лемi 3.5,
можна показати, що \langle z\rangle = [K,K], тому z \in \zeta (L).
Для елемента x \in L розглянемо вiдображення \mathrm{l}x : Y \rightarrow Y, визначене за таким прави-
лом: \mathrm{l}x(a) = [x, a] для кожного елемента a \in Y. Тодi вiдображення \mathrm{l}x є диференцiюванням
пiдалгебри Y.
Припустимо тепер, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) \not = 2. Згiдно з лемою 3.2 i тим фактом, що \mathrm{l}x(z) = 0,
отримуємо, що \mathrm{l}x(y) = \beta z для деякого елемента \beta \in F. Iнакше кажучи, [x, y] \in \langle z\rangle для всiх
елементiв x \in L. Це означає, що
Y/\langle z\rangle \leq \zeta right(L/\langle z\rangle ).
За лемою 3.5 \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \langle z\rangle . Це означає, що L/\langle z\rangle — алгебра Лi. Тодi \zeta right(L/\langle z\rangle ) = \zeta (L/\langle z\rangle ),
тобто Y/\langle z\rangle \leq \zeta (L/\langle z\rangle ). З леми 2.2 випливає, що кожна пiдалгебра з K/\langle z\rangle є iдеалом в L/\langle z\rangle .
Застосовуючи лему 2.3, отримуємо, що фактор K/\langle z\rangle є центральним в L/\langle z\rangle . Оскiльки L/\langle z\rangle
— алгебра Лi, то кожна циклiчна пiдалгебра X/\langle z\rangle з L/\langle z\rangle має вимiрнiсть 1. Це означає, що
або K/\langle z\rangle мiстить X/\langle z\rangle , або K/\langle z\rangle \cap X/\langle z\rangle = \langle 0\rangle . У першому випадку лема 3.5 показує,
що X — iдеал алгебри L. У другому випадку лема 3.4 показує, що X — iдеал алгебри L.
Отже, кожна циклiчна пiдалгебра з L/\langle z\rangle є iдеалом в L/\langle z\rangle . Оскiльки L/\langle z\rangle є алгеброю Лi, то
фактор-алгебра L/\langle z\rangle абелева. Це означає, що L нiльпотентна, що суперечить умовi L \not = K.
Ця суперечнiсть показує, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2.
Доведення теореми B1. За наслiдком 3.2 \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2. Позначимо через K локально
нiльпотентний радикал алгебри L. Згiдно з лемою 3.5 кожна пiдалгебра з K є iдеалом алгебри
L, а K — сильно екстраспецiальною алгеброю. Виберемо в K такий елемент y, що z = [y, y] \not =
\not = 0. Якщо Y — пiдалгебра, породжена елементом y, то Y = Fy \oplus Fz i [z, y] = [y, z] = 0. Як
зазначено ранiше, Y є iдеалом алгебри L. Також з леми 3.5 випливає, що Z = Fz = \langle z\rangle =
= [K,K] = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq \zeta (L). Це означає, що фактор-алгебра L/Z неабелева (в iншому випадку
алгебра L була б нiльпотентною, що суперечило б умовi \mathrm{L}\mathrm{n}(L) \not = L). З рiвностi Z = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L)
випливає, що L/Z — алгебра Лi.
Припустимо, що L мiстить такий елемент w \not \in Z, що [w,w] = 0. Тодi \langle w\rangle = Fw i
\langle w\rangle \cap Z = \langle 0\rangle . Iз включення Z \leq \zeta (L) випливає, що z \in \mathrm{I}L(\langle w\rangle ), зокрема \mathrm{I}L(\langle w\rangle ) \not = \langle w\rangle . Це
означає, що \langle w\rangle — iдеал алгебри L. Оскiльки пiдалгебра \langle w\rangle абелева, то \langle w\rangle \leq \mathrm{L}\mathrm{n}(L). З iншого
боку, як вже зазначалося, L є сильно екстраспецiальною алгеброю. Ми отримали суперечнiсть.
Вона показує, що L задовольняє умову (i).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
822 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
Оскiльки радикал K нециклiчний, то K \not = Y. Це означає, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (K/Z) > 1. Нехай
A = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (Y ). Оскiльки Y — iдеал алгебри L, то A також є iдеалом в L. Iз включення
Z \leq \zeta (L) випливає, що Z \leq A. Очевидно, що y \not \in A, тому A\cap Y = Z. Це означає, що перетин
Y/Z \cap A/Z тривiальний. Нехай a — такий довiльний елемент з A, що a \not \in Z. Тодi a \not \in Y i
[a, y] = [y, a] = 0. Це означає, що \mathrm{I}L(\langle a\rangle ) \not = \langle a\rangle , i тому \langle a\rangle є iдеалом алгебри L. Оскiльки
[a, a] \in Z, то пiдалгебра \langle a\rangle нiльпотентна, тому \langle a\rangle \leq \mathrm{L}\mathrm{n}(L). Отже, A \leq \mathrm{L}\mathrm{n}(L). Згiдно з
твердженням 3.2 роботи [6] та наслiдком 3.1 \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/A) \leq 2. Тодi
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/(A+ Y )) \leq 1.
Оскiльки (A+ Y ) \leq \mathrm{L}\mathrm{n}(L) i L \not = \mathrm{L}\mathrm{n}(L), отримуємо, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/\mathrm{L}\mathrm{n}(L)) = 1.
Виберемо такий елемент u, що u \not \in K. Тодi L = K \oplus Fu. З наслiдку 2.1 випливає, що кожна
пiдалгебра з K, яка мiстить Z, є iдеалом алгебри L. За лемою 2.3 iснує такий елемент \alpha \in F,
що [a + Z, u + Z] = \alpha (a + Z) для кожного елемента a \in K. Зазначимо, що \alpha \not = 0. Тодi
[a, u] = \alpha a + za для деякого елемента za \in Z. Нехай a, b — такi елементи з K, що a, b \not \in Z.
Оскiльки [a, b] \in Z, то [[a, b], v] = 0. Тодi
0 = [[a, b], u] = [a, [b, u]] - [b, [a, u]] = [a, \alpha b+ zb] - [b, \alpha a+ za] =
= \alpha [a, b] - \alpha [b, a] = \alpha ([a, b] - [b, a]).
Оскiльки \alpha \not = 0, то [a, b] = [b, a].
За лемою 3.2 [u, y] = \lambda y + \mu z. Використовуючи той факт, що кожна пiдалгебра з K/Z є
iдеалом в L/Z, та лему 2.3, отримуємо, що [u + Z, a + Z] = \lambda a + Z для кожного елемента
a \in K \setminus Z. Оскiльки u \not \in K, то \lambda \not = 0. Тодi покладемо v = \lambda - 1u, звiдки отримаємо, що
[v + Z, a+ Z] = a+ Z для кожного елемента a \in K \setminus Z.
Розглянемо тепер циклiчну пiдалгебру \langle v\rangle . За лемою 2.1 або \langle v\rangle = Fv, або \langle v\rangle = Fv \oplus
\oplus F [v, v]. У першому випадку \langle v\rangle \cap \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \langle 0\rangle . Включення \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq \zeta (L) показує, що
z \in \mathrm{I}L(\langle v\rangle ). Тодi \langle v\rangle повинно бути iдеалом алгебри L. У цьому випадку \langle v\rangle \cap K = \langle 0\rangle . Але тодi
v \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(K), що неможливо. Ця суперечнiсть показує, що [v, v] = \eta z для деякого ненульового
елемента \eta \in F.
Теорему B1 доведено.
Звернемо увагу на деякi деталi будови локально нiльпотентного радикала \mathrm{L}\mathrm{n}(L).
Нехай \{ y + Z,w\lambda + Z| \lambda \in \Lambda \} — базис фактор-алгебри K/Z. Покладемо a1 = y. Оскiльки
K/Z абелева, то [w\lambda , a1] = \xi \lambda z для деякого елемента \xi \lambda \in F, \lambda \in \Lambda . Якщо \xi \lambda = 0, то
покладемо u\lambda = w\lambda , а якщо \xi \lambda \not = 0, то покладемо u\lambda = \xi \lambda a1 - w\lambda . Тодi
[u\lambda , a1] = [\xi \lambda a1 - w\lambda , a1] = \xi \lambda [a1, a1] - [w\lambda , a1] = \xi \lambda z - \xi \lambda z = 0.
З рiвностi [u\lambda , a1] = [a1, u\lambda ] випливає, що [a1, u\lambda ] = 0. Очевидно, що елементи \{ a1 + Z, u\lambda +
+ Z| \lambda \in \Lambda \} утворюють базис фактор-алгебри K/Z. Нехай U1/Z — пiдпростiр iз K/Z, який
породжений елементами \{ u\lambda + Z| \lambda \in \Lambda \} . З абелевостi K/Z випливає, що U1 є пiдалгеброю
в K i [U1, a1] = [a1, U1] = \langle 0\rangle .
Використовуючи аналогiчнi мiркування та трансфiнiтну iндукцiю, можемо побудувати та-
кий базис \{ a\mu + Z| \mu \in M\} , що [a\mu , a\nu ] = [a\nu , a\mu ] = 0 для всiх \mu , \nu \in M, \mu \not = \nu . Бiльше того,
[v, a\mu ] = a\mu + \gamma \mu z для всiх \mu \in M.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ. . . 823
Доведення теореми B2. За наслiдком 2.3 кожна пiдалгебра з K є iдеалом алгебри L.
Оскiльки локально нiльпотентний радикал K неабелевий, то K = E \oplus Z, Z є пiдалгеброю
центра K, а E — сильно екстраспецiальною алгеброю. Оскiльки радикал K неабелевий, то
пiдалгебра E нетривiальна. Виберемо в E такий елемент y, що z = [y, y] \not = 0. Нехай Y
— пiдалгебра, породжена елементом y. Тодi Y = Fy \oplus Fz та [z, y] = [y, z] = 0. За нашими
умовами пiдалгебра Y є iдеалом алгебри L. Оскiльки [K,K] = [E,E] має вимiрнiсть 1 i
z \in [E,E], то Fz = [K,K]. Це означає, що z \in \zeta (K).
Для елемента x \in L розглянемо вiдображення \mathrm{l}x : Y \rightarrow Y, визначене за таким правилом:
\mathrm{l}x(a) = [x, a] для кожного елемента a \in Y. Тодi вiдображення \mathrm{l}x є диференцiюванням iдеалу
Y. Оскiльки z \not \in \zeta (L), то за лемами 3.2 i 3.3 отримуємо, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) \not = 2. Бiльше того, лема 3.2
показує, що iснує такий елемент u \in A, що [u, y] = \alpha y + \beta z, [u, z] = 2\alpha z i \alpha \not = 0. Покладемо
v = \alpha - 1u, тодi [v, y] = y + \gamma z, [v, z] = 2z, де \gamma = \alpha - 1\beta .
Припустимо, що пiдалгебра Z нетривiальна, i розглянемо \langle z\rangle \oplus Z. За доведеним ця пiдал-
гебра i всi її пiдалгебри є iдеалами алгебри L. Тодi з леми 2.3 випливає, що [v, w] = 2w для
кожного елемента w \in Z. Розглянемо тепер фактор-алгебру L/\langle z\rangle . Її iдеал K/\langle z\rangle абелевий i
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (K/\langle z\rangle ) > 1. Оскiльки Z \not = \langle z\rangle , то iснує такий елемент w \in Z, що \langle w\rangle \cap Y = \langle 0\rangle . З
леми 2.2 випливає, що кожна пiдалгебра з K/\langle z\rangle є iдеалом в L/\langle z\rangle . Тодi
[v + \langle z\rangle , y + \langle z\rangle ] = [v, y] + \langle z\rangle = y + \langle z\rangle .
На пiдставi леми 2.3 отримуємо, що [v + \langle z\rangle , w + \langle z\rangle ] = w + \langle z\rangle . З iншого боку,
[v + \langle z\rangle , w + \langle z\rangle ] = [v, w] + \langle z\rangle = 2w + \langle z\rangle .
Ми отримали суперечнiсть, яка доводить рiвнiсть Z = \langle 0\rangle , звiдки випливає, що K = E є
сильно екстраспецiальною алгеброю.
Припустимо тепер, що \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \not = \langle z\rangle . Оскiльки ядро \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) є абелевим iдеалом, то K
мiстить \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L). Тодi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L)) > 1, тому \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) повинно мiстити елемент u \not \in \langle z\rangle .
Оскiльки ядро \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) абелеве, то [u, u] = 0. З iншого боку, K — сильно екстраспецiальна
алгебра Лейбнiца i тому [u, u] \not = 0. Ця суперечнiсть показує, що \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \langle z\rangle .
Оскiльки \langle z\rangle — iдеал вимiрностi 1, то L/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (\langle z\rangle ) \sim = F i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}
left
L (\langle z\rangle ) = 1. З
того факту, що v \not \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (\langle z\rangle ), випливає, що L = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (\langle z\rangle ) + \langle v\rangle . Оскiльки лiвий центр
алгебри L мiстить ядро Лейбнiца, то L = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (\langle z\rangle ), тобто
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(\langle z\rangle ) = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (\langle z\rangle ) \cap \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}rightL (\langle z\rangle ) = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (\langle z\rangle ) \cap L = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (\langle z\rangle ).
Якщо x \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(\langle z\rangle ), то за лемою 3.2 [x, y] \in \langle z\rangle . Тодi з леми 3.4 випливає, що \langle x\rangle
— iдеал алгебри L. З рiвностi \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \langle z\rangle випливає, що фактор-алгебра L/\langle z\rangle є алгеброю
Лi. Це означає, що [x + \langle z\rangle , x + \langle z\rangle ] = \langle z\rangle , тобто або \langle x\rangle = Fx, або \langle x\rangle = Fx + Fz. У
другому випадку [x, x] \in \langle z\rangle . З рiвностi [x, z] = 0 випливає, що пiдалгебра \langle x\rangle нiльпотентна.
Оскiльки ця пiдалгебра є iдеалом, то \mathrm{L}\mathrm{n}(L) = K мiстить \langle x\rangle . Отже, \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(\langle z\rangle ) \leq K, а оскiльки
z \in \zeta (K), то K = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(\langle z\rangle ). Це означає, що L = K + \langle v\rangle .
Вище вже доведено, що [v, x] = x+\xi xz для кожного x \in K \setminus \langle z\rangle i деякого \xi x \in F. Оскiльки
L/\langle z\rangle — алгебра Лi, то [v, v] \in \langle z\rangle , тобто [v, v] = \nu z для деякого \nu \in F i [v, z] = 2z.
Теорему B2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
824 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
Приклад 3.1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2 i L породжується
такими елементами a, b, v, що
[a, a] = z, [b, b] = \sigma z, [v, v] = \eta z,
[z, z] = [z, a] = [a, z] = [z, b] = [b, z] = [z, d] = [d, z] = 0,
[a, b] = [b, a] = 0, [a, v] = a, [v, a] = a+ z,
[b, v] = b, [v, b] = b+ z.
Бiльше того, полiноми X2 + \sigma та X2 + \eta не мають коренiв в F. Можна перевiрити, що L
— алгебра Лейбнiца, пiдалгебри якої або є iдеалами, або самоiдеалiзовнi.
Говоритимемо, що поле F є 2-замкненим, якщо полiном X2 + \alpha \in F [X] має корiнь у полi
F для кожного ненульового елемента \alpha \in F. Це означає, що мультиплiкативна група \mathrm{U}(F )
поля F є 2-подiльною. Зокрема, кожне скiнченне поле F характеристики 2 є 2-замкненим.
Справдi, | F | = 2n для деякого натурального n, тому число | \mathrm{U}(F )| = 2n - 1 є непарним. Це
означає, що мультиплiкативна група \mathrm{U}(F ) є 2-подiльною. Як наслiдок отримуємо, що кожне
локально скiнченне поле F характеристики 2 є 2-замкненим.
Наслiдок 3.3. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеалами,
або самоiдеалiзовнi. Припустимо, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2, локально нiльпотентний радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L)
неабелевий i L \not = \mathrm{L}\mathrm{n}(L). Якщо поле F є 2-замкненим, то радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L) циклiчний.
Доведення. Позначимо через K локально нiльпотентний радикал алгебри L i припустимо,
що K нециклiчний. За лемою 3.5 кожна пiдалгебра з K є iдеалом алгебри L, а K — сильно
екстраспецiальною алгеброю. Виберемо в K такий елемент y, що z = [y, y] \not = 0. Нехай Y
— пiдалгебра, породжена елементом y. Тодi Y = Fy \oplus Fz i [z, y] = [y, z] = 0. За доведеним
вище Y є iдеалом алгебри L. З леми 3.5 також випливає, що Z = Fz = \langle z\rangle = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq
\leq \zeta (L). Оскiльки радикал K нециклiчний, то K \not = Y. Використовуючи мiркування з доведення
теореми B1, можемо знайти такий елемент a \in K, що a \not \in Z, [a, y] = [y, a] = 0. Тодi [a, a] = \gamma z
для деякого елемента \gamma \in F. Нехай b = \lambda a+ \mu y, \lambda , \mu \in F. Тодi
[b, b] = [\lambda a+ \mu y, \lambda a+ \mu y] = \lambda 2[a, a] + \lambda \mu [a, y] + \mu \lambda [y, a] + \mu 2[y, y] =
= \lambda 2\gamma z + \mu 2z = (\lambda 2\gamma + \mu 2)z.
Оскiльки поле F є 2-замкненим, то iснує такий елемент \sigma \in F, що \sigma 2 = \gamma . Покладемо \lambda = 1,
\mu = \sigma . Тодi a+ \sigma y \not \in Z i [a+ \sigma y, a+ \sigma y] = (\gamma + \sigma 2)z = (\gamma + \gamma )z = 0. Таким чином, отримали
суперечнiсть iз тим фактом, що K є сильно екстраспецiальною алгеброю. Ця суперечнiсть
показує, що радикал K повинен бути циклiчним.
Наступним природним кроком є розгляд випадку, коли локально нiльпотентний радикал є
циклiчним. З леми 2.1 випливає, що у цьому випадку вiн має вимiрнiсть 1 або 2.
Доведення теореми C. Позначимо через K локально нiльпотентний радикал алгебри L. За
лемою 2.1 K має такий базис \{ a, z\} , що [a, a] = z, [z, a] = [a, z] = 0.
Для елемента x \in L розглянемо вiдображення \mathrm{l}x : K \rightarrow K, визначене за таким правилом:
\mathrm{l}x(y) = [x, y] для кожного елемента y \in K. Тодi вiдображення \mathrm{l}x є диференцiюванням радикала
K. За лемами 3.2 i 3.3 \mathrm{l}x(z) = 0. Iнакше кажучи, [x, z] = 0 для всiх елементiв x \in L. Це означає,
що z \in \zeta right(L). З iншого боку, z \in \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L), а оскiльки \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq \zeta left(L), то z \in \zeta left(L).
Отже, z \in \zeta (L). Зазначимо, що ядро \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) абелеве, тому \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq K. Оскiльки Z = \langle z\rangle
— максимальна абелева пiдалгебра з K, то Z = \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО АЛГЕБРИ ЛЕЙБНIЦА, ПIДАЛГЕБРИ ЯКИХ АБО Є IДЕАЛАМИ. . . 825
Нехай A = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (K). Оскiльки K — iдеал алгебри L, то A також є iдеалом в L. З рiвностi
Z = \zeta (K) випливає, що Z \leq A. Очевидно, що a \not \in A, тому A \cap K = Z. Припустимо, що K
не мiстить A. Тодi фактор-алгебра A/Z нетривiальна, а перетин K/Z \cap A/Z є тривiальним.
Нехай d — такий довiльний елемент з A, що d \not \in Z. Тодi d \not \in K й [a, d] = [d, a] = 0. Це означає,
що \mathrm{I}L(\langle d\rangle ) \not = \langle d\rangle , i тому \langle d\rangle повинно бути iдеалом алгебри L. Оскiльки [d, d] \in \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = Z,
то пiдалгебра \langle d\rangle нiльпотентна, тобто \langle d\rangle \leq K. Ми отримали суперечнiсть, яка доводить, що
A \leq K.
Припустимо, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) \not = 2. Лема 3.2 показує, що у цьому випадку алгебра диференцi-
ювань радикала K має вимiрнiсть 1. На пiдставi твердження 3.2 зi статтi [6] отримуємо, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/A) \leq 1. З рiвностi A = Z випливає, що L = K.
Припустимо тепер, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2. За твердженням 3.2 зi статтi [6] iз наслiдку 3.1 i
рiвностi A = Z випливає, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/Z) \leq 2. Якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/Z) = 1, то L = K, а якщо
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/Z) = 2, то L/Z є алгеброю Лi вимiрностi 2. Оскiльки L \not = K, то можна вибрати
такий елемент v \not \in K, що [a+Z, v+Z] = [v+Z, a+Z] = a+Z. Це означає, що [v, a] = a+\lambda z,
[a, v] = a+ \mu z для деяких елементiв \lambda , \mu \in F.
Нарештi, розглянемо циклiчну пiдалгебру \langle v\rangle . За лемою 2.1 або \langle v\rangle = Fv, або \langle v\rangle =
= Fv \oplus F [v, v]. У першому випадку \langle v\rangle \cap \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \langle 0\rangle . Рiвнiсть \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = \zeta (L) показує,
що z \in \mathrm{I}L(\langle v\rangle ). Тодi \langle v\rangle повинно бути iдеалом алгебри L. У цьому випадку \langle v\rangle \cap K = \langle 0\rangle .
Але тодi v \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(K), i ми отримали суперечнiсть, яка показує, що [v, v] = \eta z для деякого
ненульового елемента \eta \in F.
Нехай b = \sigma a+ \tau v, \sigma , \tau \in F. Тодi
[b, b] = [\sigma a+ \tau v, \sigma a+ \tau v] = \sigma 2[a, a] + \sigma \tau [a, v] + \tau \sigma [v, a] + \tau 2[v, v] =
= \sigma 2z + \sigma \tau (a+ \mu z) + \tau \sigma (a+ \lambda z) + \tau 2\eta z =
= \sigma 2z + \sigma \tau a+ \sigma \tau \mu z + \tau \sigma a+ \tau \sigma \lambda z + \tau 2\eta z =
= (\sigma 2 + \sigma \tau \mu + \tau \sigma \lambda + \tau 2\eta )z = \tau 2(\sigma 2\tau - 2 + \sigma \tau - 1(\mu + \lambda ) + \eta )z.
Якщо припустити, що полiном X2 + (\mu + \lambda )X + \eta має корiнь \gamma в F, то, поклавши \tau = 1
i \sigma = \gamma , отримаємо, що [b, b] = 0, i тому \langle b\rangle = Fb. Очевидно, що b \not \in K. Як i ранiше,
z \in \mathrm{I}L(\langle b\rangle ), тому \langle b\rangle повинно бути iдеалом. Оскiльки пiдалгебра \langle b\rangle абелева, вона мiститься
у локально нiльпотентному радикалi алгебри L, що неможливо. Ця суперечнiсть показує, що
полiном X2 + (\mu + \lambda )X + \eta не має коренiв у полi F.
Теорему C доведено.
Наведемо приклад алгебри Лейбнiца, яка задовольняє умови теореми C.
Приклад 3.2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, де \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(F ) = 2, а поле F не є
2-замкненим. Виберемо в F такий елемент \eta , що полiном X2 + \eta не має коренiв у полi F.
Нехай L — векторний простiр над полем F, а \{ z, a, v\} — базис L. Визначимо операцiю [ , ]
таким чином:
[z, z] = [z, a] = [a, z] = [z, v] = [v, z] = 0, [a, a] = z, [v, v] = \eta z, [v, a] = [a, v] = a.
Можна перевiрити, що L є алгеброю Лейбнiца, всi пiдалгебри якої або є iдеалами, або само-
iдеалiзовнi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
826 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, I. Я. СУББОТIН
Твердження 3.1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, пiдалгебри якої або є iдеала-
ми, або самоiдеалiзовнi. Якщо локально нiльпотентний радикал \mathrm{L}\mathrm{n}(L) має вимiрнiсть 1, то
фактор-алгебра L/\mathrm{L}\mathrm{n}(L) не мiстить абелевих пiдалгебр вимiрностi 2.
Доведення. Позначимо через K локально нiльпотентний радикал алгебри L. Оскiльки ядро
\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) — абелевий iдеал, то \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) \leq K. Це означає, що \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}(L) = K, тому L/K є алгеброю
Лi. Нехай A = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}leftL (K). Оскiльки K — iдеал алгебри L, то A також є iдеалом в L. З того
факту, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (K) = 1, випливає, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/A) = 1.
Припустимо супротивне, нехай U/K — абелева пiдалгебра з L/K i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (U/K) > 1. Тодi з
наслiдку 2.1 випливає, що кожна пiдалгебра з U, яка мiстить K, є iдеалом алгебри L. Рiвнiсть
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/A) = 1 показує, що U \cap A > K. Оскiльки фактор-алгебра (U \cap A)/K абелева, то iдеал
U \cap A є нiльпотентним. Тодi U \cap A \leq K, що неможливо. Ця суперечнiсть показує, що кожна
абелева пiдалгебра з L/K має вимiрнiсть 1.
Твердження 3.1 доведено.
Таким чином, ми бачимо, що вивчення алгебр Лейбнiца, пiдалгебри яких або є iдеалами, або
самоiдеалiзовнi, зводиться до вивчення алгебр Лi, абелевi пiдалгебри яких мають вимiрнiсть 1.
Цей випадок вимагає окремого розгляду.
Лiтература
1. S. A. Ayupov, B. A. Omirov, I. S. Rakhimov, Leibniz algebras: structure and classification, CRC Press, Taylor &
Francis Group, Boca Raton, FL, USA (2020).
2. D. W. Barnes, Some theorems on Leibniz algebras, Commun. Algebra, 39, № 7, 2463 – 2472 (2011); DOI:
10.1080/00927872.2010.489529.
3. A. Blokh, A generalization of the concept of a Lie algebra, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 165, № 3, 471 – 473 (1965) (in
Russian).
4. V. A. Chupordia, L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, On some „minimal” Leibniz algebras, J. Algebra and Appl.,
16, № 5, Article 1750082 (2017); DOI: 10.1142/S0219498817500827.
5. V. V. Kirichenko, L. A. Kurdachenko, A. A. Pypka, I. Ya. Subbotin, Some aspects of Leibniz algebra theory, Algebra
and Discrete Math., 24, № 1, 1 – 33 (2017).
6. L. A. Kurdachenko, J. Otal, A. A. Pypka, Relationships between factors of canonical central series of Leibniz
algebras, Eur. J. Math., 2, 565 – 577 (2016); DOI: 10.1007/s40879-016-0093-5.
7. L. A. Kurdachenko, J. Otal, I. Ya. Subbotin, On some properties of the upper central series in Leibniz algebras,
Comment. Math. Univ. Carolin., 60, № 2, 161 – 175 (2019); DOI: 10.14712/1213-7243.2019.009.
8. L. A. Kurdachenko, N. N. Semko, I. Ya. Subbotin, The Leibniz algebras whose subalgebras are ideals, Open Math.,
15, 92 – 100 (2017); DOI: 10.1515/math-2017-0010.
9. L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, N. N. Semko, From groups to Leibniz algebras: common approaches, parallel
results, Adv. Group Theory and Appl., 5, 1 – 31 (2018); DOI: 10.4399/97888255161421.
10. L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, N. N. Semko, On the anticommutativity in Leibniz algebras, Algebra and
Discrete Math., 26, № 1, 97 – 109 (2018).
11. L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, V. S. Yashchuk, Leibniz algebras whose subideals are ideals, J. Algebra and
Appl., 17, № 8, Article 1850151 (2018); DOI: 10.1142/S0219498818501517.
12. L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, V. S. Yashchuk, Some antipodes of ideals in Leibniz algebras, J. Algebra and
Appl., 19, № 6, Article 2050113 (2020); DOI: 10.1142/S0219498820501133.
13. J. L. Loday, Cyclic homology, Grundlehren Math. Wiss., 301, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1992); DOI:
10.1007/978-3-662-21739-9.
14. J. L. Loday, Une version non commutative des algébres de Lie: les algébres de Leibniz, Enseign. Math., 39, 269 – 293
(1993) (in French).
15. J. L. Loday, T. Pirashvili, Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology, Math. Ann., 296,
№ 1, 139 – 158 (1993); DOI: 10.1007/BF01445099.
Одержано 15.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6688 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:46Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ad/5e0f061be5a6d8ca472c6cf2e16667ad.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66882022-03-26T11:03:07Z On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing Об алгебрах Лейбница, подалгебры которых или являются идеалами, или самоидеализируемы Про алгебри Лейбніца, підалгебри яких або є ідеалами, або самоідеалізовні Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Subbotin, I. Ya. Курдаченко, Леонид Субботин, Игорь Курдаченко, Л. А. Пипка , О. О. Субботін, І. Я. . UDC 512.554 A subalgebra $S$ of a Leibniz algebra $L$ is called self-idealizing in $L$ if it coincides with its idealizer $\mathrm{I}_{L}(S).$ In this paper we study the structure of Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing. Подалгебру $S$ алгебры Лейбница $L$ будем называть самоидеализируемой в $L$, если она совпадает со своим идеализатором $\mathrm{I}_{L}(S)$. В статье исследуется строение алгебр Лейбница, подалгебры которых или являются идеалами, или самоидеализируемы. УДК 512.554 Підалгебру $S$ алгебри Лейбніца $L$ називатимемо самоідеалізовною в $L,$ якщо вона збігається зі своїм ідеалізатором $\mathrm{I}_{L}(S).$ У статті досліджується будова алгебр Лейбніца, підалгебри яких або є ідеалами, або самоідеалізовні. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-06-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6688 10.37863/umzh.v73i6.6688 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 6 (2021); 811 - 826 Український математичний журнал; Том 73 № 6 (2021); 811 - 826 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6688/9028 Copyright (c) 2021 Oleksandr Pypka |
| spellingShingle | Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Subbotin, I. Ya. Курдаченко, Леонид Субботин, Игорь Курдаченко, Л. А. Пипка , О. О. Субботін, І. Я. On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing |
| title | On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing |
| title_alt | Об алгебрах Лейбница, подалгебры которых или являются идеалами, или самоидеализируемы Про алгебри Лейбніца, підалгебри яких або є ідеалами, або самоідеалізовні |
| title_full | On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing |
| title_fullStr | On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing |
| title_full_unstemmed | On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing |
| title_short | On Leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing |
| title_sort | on leibniz algebras whose subalgebras are either ideals or self-idealizing |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6688 |
| work_keys_str_mv | AT kurdachenkola onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT pypkaoo onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT subbotiniya onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT kurdačenkoleonid onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT subbotinigorʹ onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT kurdačenkola onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT pipkaoo onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT subbotíníâ onleibnizalgebraswhosesubalgebrasareeitheridealsorselfidealizing AT kurdachenkola obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT pypkaoo obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT subbotiniya obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT kurdačenkoleonid obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT subbotinigorʹ obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT kurdačenkola obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT pipkaoo obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT subbotíníâ obalgebrahlejbnicapodalgebrykotoryhiliâvlâûtsâidealamiilisamoidealiziruemy AT kurdachenkola proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní AT pypkaoo proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní AT subbotiniya proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní AT kurdačenkoleonid proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní AT subbotinigorʹ proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní AT kurdačenkola proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní AT pipkaoo proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní AT subbotíníâ proalgebrilejbnícapídalgebriâkihaboêídealamiabosamoídealízovní |