Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space
UDC 517.9 We investigate boundary value problems for the Lyapunov equation in the Hilbert space in the case where the corresponding problem is defined on an interval that depends on a parameter $\varepsilon$. We obtain necessary and sufficient conditions for the existence of generalized solutions of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6691 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512501172535296 |
|---|---|
| author | Bihun, D. S. Pokutnyi, O. O Panasenko, E. V. Бігун , Д. С. Покутний, О. О. Панасенко , Є. В. Покутний, Александр |
| author_facet | Bihun, D. S. Pokutnyi, O. O Panasenko, E. V. Бігун , Д. С. Покутний, О. О. Панасенко , Є. В. Покутний, Александр |
| author_sort | Bihun, D. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:53Z |
| description | UDC 517.9
We investigate boundary value problems for the Lyapunov equation in the Hilbert space in the case where the corresponding problem is defined on an interval that depends on a parameter $\varepsilon$. We obtain necessary and sufficient conditions for the existence of generalized solutions of the problem. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i7.6691 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i7.6691
УДК 517.9
Д. С. Бiгун, О. О. Покутний (Iн-т математики НАН України, Київ),
Є. В. Панасенко (Запорiз. нац. ун-т)
АВТОНОМНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI
ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА У ПРОСТОРI ГIЛЬБЕРТА*
We investigate boundary-value problems for the Lyapunov equation in the Hilbert space in the case where the corresponding
problem is defined on an interval that depends on a parameter. We obtain necessary and sufficient conditions for the existence
of generalized solutions of the problem.
Дослiджуються крайовi задачi для рiвняння типу Ляпунова у просторi Гiльберта. Розглянуто випадок, коли вiдрi-
зок, на якому розглядається задача, залежить вiд параметра \varepsilon . Отримано необхiднi та достатнi умови iснування
узагальнених розв’язкiв вiдповiдної задачi.
Вступ. Дослiдженню рiвняння Ляпунова та застосуванню його методiв у скiнченновимiрно-
му та нескiнченновимiрному випадках присвячено багато робiт [1 – 13]. Слiд зауважити, що,
як правило, дослiджуються коректнi нерезонанснi задачi, коли iснує єдиний розв’язок, який
неперервно залежить вiд правих частин рiвняння. У данiй статтi дослiджується нерегуляр-
на (резонансна) крайова задача [16] для нелiнiйно збуреного рiвняння Ляпунова у просторi
Гiльберта на вiдрiзку, правий кiнець якого залежить вiд параметра \varepsilon . У загальному випадку
така задача може бути узагальненою нормально розв’язною з оператором у лiнiйнiй частинi,
який може мати незамкнену множину значень [14]. Таку задачу можна дослiдити з допомогою
сильного узагальнено-оберненого оператора [15].
1. Постановка задачi. Розглянемо автономну крайову задачу
\.Z(t, \varepsilon ) = AZ(t, \varepsilon ) - Z(t, \varepsilon )B + \varepsilon R(Z(t, \varepsilon ), \varepsilon ) + \Phi (t), (1)
\ell Z(\cdot , \varepsilon ) = \alpha + \varepsilon J(Z(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon ), (2)
де Z = Z(t, \varepsilon ) — невiдома оператор-функцiя з простору C1 ([a; b(\varepsilon )];\scrL (H1)) \times C(0; \varepsilon 0] для
фiксованого \varepsilon 0 > 0; A, B — лiнiйнi обмеженi оператори (A,B \in \scrL (H1)); \Phi (t) — обмежена
оператор-функцiя зi значеннями у \scrL (H1), \Phi (t) \in C([a; b(\varepsilon )]; \scrL (H1)]); \alpha — елемент гiльбер-
тового простору H2; R(Z(t, \varepsilon ), \varepsilon ) — нелiнiйна за змiнною Z оператор-функцiя, неперервно
диференцiйовна по Z(t, \varepsilon ) в околi породжуючого розв’язку i неперервна по \varepsilon в околi нуля:
R(Z(\cdot , \varepsilon )) \in C1[\| Z - Z0\| \leq q];R(Z, \cdot ) \in C[0; \varepsilon 0]; q й \varepsilon — достатньо малi сталi; \ell — лiнiйний
неперервний оператор: \ell : C1([a; b(\varepsilon )];\scrL (H1)) \rightarrow H2 i J(Z(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon ) — нелiнiйний обмежений
оператор, неперервно диференцiйовний по Z у розумiннi Фреше.
* Виконано за фiнансової пiдтримки Нацiонального фонду дослiджень України (№ 2020.02/0089) та проєкту
SOMPATY (European Union’s 2 Horizon 2020 research and innovation programme under the Marie Sklodowska-Curie
grant No. 873071).
c\bigcirc Д. С. БIГУН, О. О. ПОКУТНИЙ, Є. В. ПАНАСЕНКО, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7 867
868 Д. С. БIГУН, О. О. ПОКУТНИЙ, Є. В. ПАНАСЕНКО
2. Лiнiйна задача. При \varepsilon = 0 отримаємо породжуючу автономну крайову задачу
\.Z0(t) = AZ0(t) - Z0(t)B +\Phi (t), (3)
\ell Z0(\cdot ) = \alpha , (4)
де Z0(t) \in C1 ([a; b\ast ];\scrL (H1)) , b
\ast = b(0). Розглянемо лiнiйний оператор \bfK t
\tau , який переводить
\Phi (t) в оператор-функцiю Kt
\tau [\Phi ] \in C1 ([a; b\ast ];\scrL (H1)) вигляду
\bfK t
\tau [\Phi ] = U(t)U - 1(\tau )\Phi (\tau )V (\tau )V - 1(t),
де U(t), V (t) — еволюцiйнi оператори операторних рiвнянь
\.X(t, \tau ) = AX(t, \tau ), X(\tau , \tau ) = I, X(t) := X(t, 0),
\.Y (t, \tau ) = BY (t, \tau ), Y (\tau , \tau ) = I, Y (t) := Y (t, 0),
вiдповiдно. Очевидно, що V - 1(t) задовольняє операторно-диференцiальне рiвняння
\.Y (t, \tau ) = - Y (t, \tau )B, Y (\tau , \tau ) = I, Y (t) = Y (t, 0).
За допомогою цього оператора можна зобразити загальний розв’язок рiвняння (3) у виглядi
Z(t) = \bfK t
0[M ] +
t\int
0
\bfK t
\tau [\Phi ]d\tau , (5)
де довiльний оператор M належить \scrL (H1). Пiдставивши (5) у крайову умову (4), отримаємо
операторне рiвняння вiдносно оператора M :
\bfL M = \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau , (6)
де оператор \bfL дiє за правилом \bfL M = \ell \bfK \cdot
0[M ] : \scrL (H1) \rightarrow H2. Припустимо, що оператор \bfL
є узагальнено-оборотним. Тодi, як показано в [14], вiн є нормально розв’язним та iснують
обмеженi проєктори \scrP N(\bfL ) : \scrL (H1) \rightarrow N(\bfL ) та \scrP Y : H2 \rightarrow Y, якi iндукують розбиття \scrL (H1) i
H2 у прямi топологiчнi суми замкнених пiдпросторiв
\scrL (H1) = N(\bfL )\oplus X,
H2 = Y \oplus R(\bfL ).
Внаслiдок нормальної розв’язностi оператора \bfL рiвняння (6) є розв’язним [18] тодi i тiльки
тодi, коли його права частина задовольняє умову
\scrP N(\bfL \ast )
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau
\right] = 0. (7)
Тут \scrP N(\bfL \ast ) — проєктор на ядро оператора \bfL \ast , спряженого до оператора \bfL . Ця умова гарантує
належнiсть правої частини рiвняння (6) множинi значень оператора \bfL .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
АВТОНОМНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА . . . 869
При виконаннi умови розв’язностi (7) операторне рiвняння (6) має множину розв’язкiв
вигляду
M = \bfL -
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau
\right] + \scrP N(\bfL )C,
де C — довiльний лiнiйний обмежений оператор (C \in \scrL (H1)), \scrP N(\bfL ) — проєктор на ядро
оператора \bfL . Пiдставивши оператор M у зображення (5), отримаємо загальний розв’язок задачi
(3), (4) у виглядi
Z0(t, C) = \bfK t
0[\scrP N(\bfL )C] + (G[\Phi , \alpha ])(t), (8)
де узагальнений оператор Грiна визначається так:
(G[\Phi , \alpha ])(t) =
t\int
0
\bfK t
\tau [\Phi ]d\tau - \bfK t
0
\left[ \bfL - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau
\right] +\bfK t
0[\bfL
- \alpha ].
Таким чином, отримали таку теорему.
Теорема 1. Нехай оператор \bfL є узагальнено-оборотним. Kрайова задача (3), (4) має
розв’язки тодi й тiльки тодi, коли виконується умова (7). За виконання умови (7) розв’язки
крайової задачi (3), (4) мають вигляд (8).
Покажемо, що цю задачу можна зробити розв’язною й у випадку, коли множина значень
оператора \bfL не є замкненою.
Нехай задано лiнiйний обмежений оператор \bfL , що дiє з простору Банаха \scrL (H1) у простiр
Гiльберта H2. Далi будемо вважати, що простiр N(\bfL ) доповнювальний, тобто мають мiсце
розклади у прямi суми пiдпросторiв
\scrL (H1) = N(\bfL )\oplus X, H2 = R(\bfL )\oplus Y (9)
i вiдповiднi розклади одиницi
I\scrL (H1) = PN(\bfL ) + PX , IH2 = P
R(\bfL )
+ PY ,
де PN(\bfL ), PX , P
R(\bfL )
, PY — проєктори на вiдповiднi пiдпростори. Зауважимо, що другий розклад
простору H2 = R(\bfL ) \oplus Y у (9) завжди iснує. За аналогiєю з означенням [15, 19] допустимої
пари введемо означення узагальненого \bfL -допустимого пiдпростору.
Означення 1. Нехай \bfL : \scrL (H1) \rightarrow H2 — лiнiйний обмежений оператор, що дiє з простору
Банаха \scrL (H1) у простiр Банаха H2, а пiдпростiр X \subset \scrL (H1) такий, що виконується умова (9).
Тодi пiдпростiр X будемо називати узагальненим \bfL -допустимим пiдпростором.
Розглянемо звужений оператор LX : X \rightarrow R(\bfL ), LXM = \bfL M, M \in X (вiн буде лi-
нiйним, неперервним та iн’єктивним). Поповнимо простiр X за нормою \| M\| = \| LXM\| H2
i розширимо оператор LX на поповнений простiр X за неперервнiстю. Розширений опера-
тор будемо позначати LX . Тодi, як i у випадку гiльбертових просторiв [15], оператор LX :
X \rightarrow R(\bfL ) буде здiйснювати гомеоморфiзм мiж просторами X i R(\bfL ). Будемо позначати через
\scrL (H1) = X \oplus N(\bfL ) розширений вихiдний простiр.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
870 Д. С. БIГУН, О. О. ПОКУТНИЙ, Є. В. ПАНАСЕНКО
Означення 2. Нехай \bfL належить \scrL (\scrL (H1), H2), a X — узагальнений \bfL -допустимий пiд-
простiр. Тодi вiдображення
\bfL -
X : H2 \rightarrow \scrL (H1),
\bfL -
Xy = L
- 1
X y1, y = y1 + y2, y1 \in R(\bfL ), y2 \in Y,
називатимемо сильним X -узагальнено-оберненим до \bfL .
Безпосередньо з означення сильного X -узагальнено-оберненого оператора випливають такi
властивостi:
1) \bfL \bfL -
X\bfL = \bfL ,
2) \bfL -
X\bfL \bfL -
X = \bfL -
X на X
(або з замiною \bfL на LX ),
3) LX\bfL -
XLX = LX ,
4) \bfL -
XLX\bfL -
X = \bfL -
X на X.
Аналогiв властивостей 3 та 4 з означення псевдооберненого оператора у загальному випадку
немає.
Розглянемо тепер рiвняння (6) у просторах Банаха \scrL (H1) i H2, яке запишемо у виглядi
\bfL M = y, (10)
де
y = \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau
— елемент простору H2, \bfL — такий лiнiйний обмежений оператор, що пiдпростiр X є уза-
гальненим \bfL -допустимим. Вiдомо [21], що у загальному випадку розв’язок такого рiвняння
може iснувати не для всiх правих частин i може бути не єдиним. Якщо розв’язок не iснує у
звичайному сенсi, то часто знаходять такий оператор M = M \in \scrL (H1), який мiнiмiзує норму
нев’язки \| \bfL M - y\| H2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}M\in \scrL (H1) \| \bfL M - y\| H2 . Його називають квазiрозв’язком [21, 22]. Для
iснування такого розв’язку умова замкненостi множини значень оператора \bfL є суттєвою, але у
загальному випадку така варiацiйна задача може не мати розв’язку.
Запропонуємо означення розв’язкiв для рiвняння (10), щоб можна було гарантувати їхнє
iснування у тому чи iншому сенсi.
Використавши побудовану вище конструкцiю, розширимо вихiдний простiр \scrL (H1) й опе-
ратор \bfL , заданий на ньому, таким чином, щоб варiацiйна задача на розширеному просторi
завжди мала розв’язки у певному сенсi. Вiдображення, яке буде встановлювати вiдповiднiсть
мiж розв’язками та правими частинами, у загальному випадку виявляється багатозначним.
Означення узагальнених розв’язкiв. Для рiвняння (10) будемо видiляти три типи розв’язкiв.
1. Класичнi розв’язки.
Розглянемо випадок, коли оператор \bfL нормально розв’язний. Тодi, як вiдомо [21], не-
однорiднiсть y \in R(\bfL ) у рiвняннi (10) належить образу оператора тодi й тiльки тодi, коли
PN(\bfL \ast )y = 0. У цьому випадку iснує узагальнено-обернений оператор \bfL - , за допомогою якого
множина розв’язкiв рiвняння (10) у просторi Банаха має вигляд
M = \bfL - y + PN(\bfL )C \forall C \in \scrL (H1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
АВТОНОМНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА . . . 871
2. Сильнi узагальненi розв’язки.
Розглянемо випадок, коли множина значень оператора \bfL не є замкненою. Оскiльки опе-
ратор \bfL має узагальнений \bfL -допустимий пiдпростiр, то для простору \scrL (H1) справджується
розклад (9).
Тодi ми можемо говорити про сильний узагальнений розв’язок рiвняння (10). Оскiльки
оператор LX здiйснює гомеоморфiзм мiж просторами X i R(\bfL ), то iснує L
- 1
X i коректним буде
таке означення.
Означення 3. Елемент L
- 1
X y будемо називати сильним узагальненим розв’язком рiвнян-
ня (10), якщо y належить R(\bfL ).
Тодi множина всiх сильних узагальнених розв’язкiв рiвняння (10) буде мати вигляд
M = \bfL -
Xy + PN(\bfL )C \forall C \in \scrL (H1),
а оператор \bfL -
Xy := L
- 1
X y1, де y = y1 + y2, y1 \in R(\bfL ), y2 \in Y.
3. Узагальненi квазiрозв’язки.
Розглянемо випадок, коли y не належить R(\bfL ). Для елемента y це рiвносильно виконанню
умови PN(\bfL \ast )y \not = 0. У цьому випадку сильнi узагальненi розв’язки не iснують, але iснують такi
елементи з X, що є розв’язками варiацiйної задачi \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \| \bfL M - y\| H2 , де \bfL = \bfL XPX i iнфiмум
береться по всiх елементах (операторах) M \in \scrL (H1). Тут PX — проєктор на X. Цi елементи i
будемо називати узагальненими квазiрозв’язками.
Означення 4. Довiльний елемент з множини
\{ \bfL -
Xy + PN(\bfL )C\} C\in \scrL (H1)
будемо називати узагальненим квазiрозв’язком рiвняння (10).
Зауваження 1. Якщо R(\bfL ) = R(\bfL ), то узагальненi квазiрозв’язки збiгаються зi звичайни-
ми квазiрозв’язками.
Зауваження 2. Оператор \bfL -
Xy з наведеного вище означення може мати не найменшу норму
на вiдповiдному просторi, на вiдмiну вiд L
+
y.
Виходячи з цього, повну теорему розв’язностi крайової задачi можна сформулювати таким
чином.
Теорема 2. Нехай оператор \bfL має узагальнений \bfL -допустимий пiдпростiр X. Тодi:
11) крайова задача (3), (4) має сильнi узагальненi розв’язки тодi й тiльки тодi, коли викону-
ється умова (7); якщо \alpha - \ell
\int \cdot
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau \in R(\bfL ), то розв’язки будуть звичайними класичними;
12) за виконання умови розв’язностi (6) множина сильних узагальнених розв’язкiв має
вигляд (8), де узагальнений оператор Грiна визначається таким чином:
(G[\Phi , \alpha ])(t) =
t\int
0
\bfK t
\tau [\Phi ]d\tau - \bfK t
0
\left[ \bfL -
X\ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau
\right] +\bfK t
0[\bfL
-
X\alpha ]; (11)
21) крайова задача (3), (4) має сильнi узагальненi квазiрозв’язки тодi й тiльки тодi, коли
виконується умова
\scrP N(\bfL \ast )
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ]d\tau
\right] \not = 0; (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
872 Д. С. БIГУН, О. О. ПОКУТНИЙ, Є. В. ПАНАСЕНКО
22) за виконання умови розв’язностi (12) множина сильних узагальнених розв’язкiв має
вигляд (8), де узагальнений оператор Грiна визначається за формулою (11).
3. Нелiнiйна задача. Знайдемо необхiдну умову iснування розв’язкiв Z(t, \varepsilon ) крайової
задачi (1), (2), якi при \varepsilon = 0 перетворюються в породжуючий розв’язок Z0(t, C) вигляду (8).
На вiдмiну вiд неавтономних крайових задач [20, 21] правий кiнець b(\varepsilon ) вiдрiзка [a; b(\varepsilon )],
на якому шукається розв’язок задачi (1), (2), є невiдомим, i його потрiбно визначити у процесi
побудови розв’язку. Виконаємо замiну змiнної [20, с. 209]
t = a+ (\tau - a)(1 + \varepsilon \beta (\varepsilon )), b(\varepsilon ) = b\ast + \varepsilon (b\ast - a)\beta (\varepsilon ), \beta (0) = \beta \ast .
В результатi отримаємо нелiнiйну автономну крайову задачу з невiдомою оператор-функцiєю
Z = Z(\tau , \varepsilon ), яка визначена на вiдрiзку [a; b\ast ] фiксованої довжини, з простору C1 ([a; b\ast ];\scrL (H1))\times
\times C(0; \varepsilon 0] для фiксованого \varepsilon 0 > 0:
\.Z(\tau , \varepsilon ) = AZ(\tau , \varepsilon ) - Z(\tau , \varepsilon )B +\Phi +
+ \varepsilon
\biggl(
\beta (\varepsilon )
\Bigl(
AZ(\tau , \varepsilon ) - Z(\tau , \varepsilon )B +\Phi
\Bigr)
+ (1 + \varepsilon \beta (\varepsilon ))R(Z(\tau , \varepsilon ), \varepsilon )
\biggr)
, (13)
\ell Z(\cdot , \varepsilon ) = \alpha + \varepsilon J(Z(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon ). (14)
Виконаємо у крайовiй задачi (13), (14) замiну змiнних
Z(\tau , \varepsilon ) = Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ).
Розв’язок Z(\tau , \varepsilon ) = Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ) будемо шукати в околi розв’язку породжуючої задачi
(3), (4). Врахувавши, що Z0(\tau , C
0) є розв’язком крайової задачi (3), (4), отримаємо таку крайову
задачу:
\.Y (\tau , \varepsilon ) = AY (\tau , \varepsilon ) - Y (\tau , \varepsilon )B+
+ \varepsilon
\biggl(
\beta (\varepsilon )
\Bigl(
A(Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon )) - (Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ))B +\Phi
\Bigr)
+
+(1 + \varepsilon \beta (\varepsilon ))R
\Bigl(
Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr) \biggr)
, (15)
\ell Y (\cdot , \varepsilon ) = \varepsilon J
\Bigl(
Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr)
, (16)
на фiксованому вiдрiзку [a; b\ast ]. Застосувавши теорему 2 [17] до задачi (15), (16), одержимо
необхiдну умову iснування розв’язкiв задачi (1), (2):
\scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
J(Z0(\cdot , C0), 0) - \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
\tau
\biggl[
\beta \ast
\biggl(
AZ0(\tau , C
0) - Z0(\tau , C
0)B +\Phi
\biggr)
+
+R
\Bigl(
Z0(\tau , C
0), 0
\Bigr) \biggr]
d\tau
\Biggr]
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
АВТОНОМНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА . . . 873
Позначивши F0(\tau , C
0) = \beta \ast \bigl[ AZ0(\tau , C
0) - Z0(\tau , C
0)B + \Phi
\bigr]
+ R
\Bigl(
Z0(\tau , C
0), 0
\Bigr)
, отримаємо
операторне рiвняння вiдносно оператора C0 \in \scrL (H1):
\scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
J(Z0(\cdot , C0), 0) - \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
\tau
\biggl[
F0(\tau , C
0)
\biggr]
d\tau
\Biggr]
= 0. (17)
Теорема 3 (необхiдна умова). Нехай автономна крайова задача (13), (14) має розв’язок
Z(\tau , \varepsilon ) \in C1 ([a; b\ast ];\scrL (H1))\times C(0; \varepsilon 0], який при \varepsilon = 0 обертається у породжуючий розв’язок
Z0(\tau , 0) = Z0(\tau , C
0) задачi (3), (4). Тодi оператор C0 \in \scrL (H1) задовольняє операторне рiвнян-
ня (17). Це рiвняння будемо називати рiвнянням для породжуючих операторiв крайової задачi
(1), (2).
Знайдемо достатню умову iснування розв’язкiв Z(t, \varepsilon ) крайової задачi (1), (2). Припустимо,
що необхiдну умову поставленої задачi виконано. Розв’язок крайової задачi (15), (16) має вигляд
Y (\tau , \varepsilon ) = \bfK \tau
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
+ Y (1)(\tau , \varepsilon ), (18)
де
Y (1)(\tau , \varepsilon ) = \varepsilon \bfK t
0
\Bigl[
\bfL - J
\Bigl(
Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr) \Bigr]
+
+ \varepsilon G1
\biggl\{
\beta (\varepsilon )
\Bigl[
A(Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon )) - (Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ))B +\Phi
\Bigr]
+
+
\bigl(
1 + \varepsilon \beta (\varepsilon )
\bigr)
R
\Bigl(
Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr) \biggr\}
(\tau ),
G1\{ F\} (t) =
b\ast \int
a
\bfK t
\tau [F ]d\tau - \bfK t
0
\left[ \bfL - \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
\tau [F ]d\tau
\right] .
Видiлимо в оператор-функцiї R(Z0 + Y, \varepsilon ) i операторi J(Z0 + Y, \varepsilon ) лiнiйну частину по Y i
члени нульового порядку по \varepsilon :
R
\Bigl(
Z0(\tau , C
0) + Y (\tau , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr)
= R
\Bigl(
Z0(\tau , C
0), 0
\Bigr)
+A1(\tau )Y + \varphi 1(Y, \varepsilon ), (19)
J
\Bigl(
Z0(\cdot , C0) + Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr)
= J
\Bigl(
Z0(\cdot , C0), 0
\Bigr)
+ \ell 1Y (\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
, (20)
де
A1(\tau ) =
\partial
\partial Z
R(Z, 0)
\bigm| \bigm| \bigm|
Z=Z0(\tau ,C0)
, \varphi 1(0, 0) = 0,
\partial \varphi 1(0, 0)
\partial Y
= 0,
причому \ell 1Y (\cdot , \varepsilon ) — лiнiйна частина, а J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
— нелiнiйна по Y частина оператора
J
\Bigl(
Z0(\cdot , C0) + Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr)
, J(0, 0) = 0,
\partial J(0, 0)
\partial Y
= 0.
Перетворимо неоднорiднiсть системи (15), використавши розклад (19):
\beta
\Bigl[
A(Z0 + Y ) - (Z0 + Y )B +\Phi
\Bigr]
+ (1 + \varepsilon \beta )R
\bigl(
Z0 + Y, \varepsilon
\bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
874 Д. С. БIГУН, О. О. ПОКУТНИЙ, Є. В. ПАНАСЕНКО
= \beta AZ0 + \beta AY - \beta Z0B - \beta Y B + \beta \Phi +R
\bigl(
Z0, 0
\bigr)
+A1(\tau )Y + \varphi 1(Y, \varepsilon ) + \varepsilon \beta R
\bigl(
Z, \varepsilon
\bigr)
=
= \beta \ast AZ0 + \beta AZ0 + \beta \ast AY + \beta AY - \beta \ast Z0B - \beta Z0B - \beta \ast Y B -
- \beta Y B + \beta \ast \Phi - \beta \ast \Phi + \beta \Phi +
+R
\bigl(
Z0, 0
\bigr)
+A1(\tau )Y + \varphi 1(Y, \varepsilon ) + \varepsilon \beta R
\bigl(
Z, \varepsilon
\bigr)
=
= F0(\tau , C
0) + \beta \ast AY +A1(\tau )Y - \beta \ast A\bfK \tau
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
- A1(\tau )\bfK
\tau
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
+
+\beta \ast A\bfK \tau
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
+A1(\tau )\bfK
\tau
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
- \beta \ast Y B + \beta \ast \bfK \tau
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
B -
- \beta \ast \bfK \tau
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
B + \beta AZ0 - \beta Z0B - \beta \Phi + \beta AY - \beta Y B + \varphi 1(Y, \varepsilon ) + \varepsilon \beta R
\bigl(
Z, \varepsilon
\bigr)
=
= F0(\tau , C
0) +A1[c](\tau ) +
\bigl[
\beta \ast A+A1(\tau )
\bigr]
Y (1)(\tau , \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(\tau , \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon ),
де
A1[\cdot ](\tau ) =
\bigl\{ \bigl[
\beta \ast A+A1(\tau )
\bigr]
\bfK \tau
0
\bigl[
PN(\bfL )\cdot
\bigr]
- \beta \ast \bfK \tau
0
\bigl[
PN(\bfL )\cdot
\bigr]
B,AZ0 - Z0B +\Phi
\bigr\}
— блочний оператор; c =
\biggl(
C0
\beta
\biggr)
, \beta = \beta - \beta \ast \in \BbbR 1 , а оператор R1(Y, \varepsilon ) має вигляд
R1(Y, \varepsilon ) = \beta AY - \beta Y B + \varepsilon \beta R
\bigl(
Z0 + Y, \varepsilon
\bigr)
+ \varphi 1(Y, \varepsilon ).
Таким чином, приходимо до задачi побудови розв’язку Y (\tau , \varepsilon ):
Y (\tau , \varepsilon ) \in C1
\bigl(
[a; b\ast ];\scrL (H1)
\bigr)
\times C(0; \varepsilon 0], \tau \in [a; b\ast ], \varepsilon \in [0; \varepsilon 0], Y (\tau , 0) = 0,
диференцiального рiвняння
dY (\tau , \varepsilon )
d\tau
= AY (\tau , \varepsilon ) - Y (\tau , \varepsilon )B + \varepsilon
\bigl\{
F0(\tau , C
0) +A1[c](\tau )+
+
\bigl[
\beta \ast A+A1(\tau )
\bigr]
Y (1)(\tau , \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(\tau , \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\bigr\}
, (21)
яке задовольняє крайову умову
\ell Y (\cdot , \varepsilon ) = \varepsilon J
\Bigl(
Z0(\cdot , C0) + Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr)
. (22)
Умова розв’язностi крайової задачi (15), (16), а отже i задачi (21), (22), у нових позначеннях
набирає вигляду
\scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
J
\Bigl(
Z0(\cdot , C0), 0
\Bigr)
+ \ell 1Y (\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[
F0(s, C
0) +A1[c](s) +
\bigl[
\beta \ast A+A1(\tau )
\bigr]
Y (1)(s, \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(s, \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
= 0.
З урахуванням операторного рiвняння (17) вiдносно оператора C0 \in \scrL (H1) i зображення (18)
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
АВТОНОМНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА . . . 875
\scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1\bfK
\cdot
0
\bigl[
PN(\bfL )C
0
\bigr]
+ \ell 1Y
(1)(\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[
A1[c](s) +
\bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y (1)(s, \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(s, \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
= 0,
звiдки
\scrP N(\bfL \ast )
\left[ \ell 1\bfK \cdot
0
\bigl[
PN(\bfL )C0
\bigr]
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[
A1
\biggl[ \biggl(
C0
\beta
\biggr) \biggr]
(s)
\biggr]
ds
\right] =
= - \scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1Y
(1)(\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[ \bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y (1)(s, \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(s, \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
.
В результатi отримуємо операторне рiвняння
B0C
0 = G0, (23)
де
B0C = \scrP N(\bfL \ast )
\left[ \ell 1\bfK \cdot
0
\bigl[
PN(\bfL )C
\bigr]
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[
A1
\biggl[ \biggl(
C
\beta
\biggr) \biggr]
(s)
\biggr]
ds
\right] ,
G0 = - \scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1Y
(1)(\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[ \bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y (1)(s, \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(s, \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
.
Для розв’язностi рiвняння (23) необхiдно i достатньо, щоб
\scrP N(B\ast
0 )
\scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1Y
(1)(\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[ \bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y (1)(s, \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(s, \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
= 0,
або \scrP N(B\ast
0 )
\scrP N(\bfL \ast ) = 0.
Таким чином, для побудови розв’язку Y (\tau , \varepsilon ) \in C1
\bigl(
[a; b\ast ];\scrL (H1)
\bigr)
\times C(0; \varepsilon 0], Y (\tau , 0) = 0,
крайової задачi (21), (22) отримуємо операторну систему
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
876 Д. С. БIГУН, О. О. ПОКУТНИЙ, Є. В. ПАНАСЕНКО
Y (\tau , \varepsilon ) = \bfK \tau
0 [\scrP N(\bfL )C
0] + Y (1)(\tau , \varepsilon ),
C0 = - B -
0 \scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1Y
(1)(\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[ \bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y (1)(s, \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(s, \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
+ \scrP N(B)C0,
Y (1)(\tau , \varepsilon ) = \varepsilon \bfK t
0
\bigl[
\bfL - J
\bigl(
Z0 + Y, \varepsilon
\bigr) \bigr]
+ \varepsilon G1
\biggl\{
F0(s, C
0) +A1[c](s)+
+
\bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y (1)(s, \varepsilon ) - \beta \ast Y (1)(s, \varepsilon )B +R1(Y, \varepsilon )
\biggr\}
(\tau ),
(24)
де
G1\{ F\} (t) =
b\ast \int
a
\bfK t
\tau [F ]d\tau - \bfK t
0
\left[ \bfL - \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
\tau [F ]d\tau
\right] , c =
\biggl(
C0
\beta
\biggr)
.
Операторна система (24) належить до класу систем, для розв’язку яких застосовується
збiжний для всiх \varepsilon \in [0; \varepsilon \ast ] метод простих iтерацiй, причому величину \varepsilon \ast можна оцiнити знизу
за допомогою мажоруючих рiвнянь Ляпунова.
Перше наближення Y1(\tau , \varepsilon ) системи (24) природно шукати як розв’язок крайової задачi
dY1(\tau , \varepsilon )
d\tau
= AY1(\tau , \varepsilon ) - Y1(\tau , \varepsilon )B + \varepsilon F0(\tau , C
0),
\ell Y1(\cdot , \varepsilon ) = \varepsilon J
\bigl(
Z0(\cdot , C0), 0
\bigr)
,
у виглядi
Y1(\tau , \varepsilon ) = \bfK \tau
0 [\scrP N(\bfL )C0] + Y
(1)
1 (\tau , \varepsilon ), C0 = 0,
Y
(1)
1 (\tau , \varepsilon ) = \varepsilon \bfK t
0
\bigl[
\bfL - J
\bigl(
Z0, 0
\bigr) \bigr]
+ \varepsilon G1
\bigl\{
F0(s, C
0)
\bigr\}
(\tau ).
Друге наближення Y2(\tau , \varepsilon ) шукаємо як розв’язок крайової задачi
dY2(\tau , \varepsilon )
d\tau
= AY2(\tau , \varepsilon ) - Y2(\tau , \varepsilon )B + \varepsilon
\Bigl\{
F0(\tau , C
0) +A1[c](\tau )+
+
\bigl[
\beta \ast A+A1(\tau )
\bigr]
Y
(1)
1 (\tau , \varepsilon ) - \beta \ast Y
(1)
1 (\tau , \varepsilon )B +R1(Y1, \varepsilon )
\Bigr\}
,
\ell Y2(\cdot , \varepsilon ) = \varepsilon J
\bigl(
Z0(\cdot , C0) + Y1(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
,
у виглядi
Y2(\tau , \varepsilon ) = \bfK \tau
0 [\scrP N(\bfL )C1] + Y
(1)
2 (\tau , \varepsilon ),
Y
(1)
2 (\tau , \varepsilon ) = \varepsilon \bfK t
0
\bigl[
\bfL - J
\bigl(
Z0 + Y1, \varepsilon
\bigr) \bigr]
+ \varepsilon G1
\biggl\{
F0(s, C
0) +A1[c](s)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
АВТОНОМНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА . . . 877
+
\bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y
(1)
1 (s, \varepsilon ) - \beta \ast Y
(1)
1 (s, \varepsilon )B +R1(Y1, \varepsilon )
\biggr\}
(\tau ).
З умови розв’язностi системи для другого наближення отримуємо рiвняння вiдносно опе-
ратора C1 :
B0C1 = - \scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1Y
(1)
1 (\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y1(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[ \bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y
(1)
1 (s, \varepsilon ) - \beta \ast Y
(1)
1 (s, \varepsilon )B +R1(Y1, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
,
розв’язок якого має вигляд
C1 = - B -
0 \scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1Y
(1)
1 (\cdot , \varepsilon ) + J1
\bigl(
Y1(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[ \bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y
(1)
1 (s, \varepsilon ) - \beta \ast Y
(1)
1 (s, \varepsilon )B +R1(Y1, \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
+ \scrP N(B)C1.
Продовжуючи обчислення далi, приходимо до висновку, що розв’язок операторної систе-
ми (24) можна знайти за допомогою iтерацiйного процесу
Ck = - B -
0 \scrP N(\bfL \ast )
\Biggl[
\ell 1Y
(1)
k (\cdot , \varepsilon ) + J1
\Bigl(
Yk(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\Bigr)
-
- \ell
b\ast \int
a
\bfK \cdot
s
\biggl[ \bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y
(1)
k (s, \varepsilon ) - \beta \ast Y
(1)
k (s, \varepsilon )B +R1(Yk(s, \varepsilon ), \varepsilon )
\biggr]
ds
\Biggr]
+ \scrP N(B)Ck,
Y
(1)
k+1(\tau , \varepsilon ) = \varepsilon \bfK t
0
\biggl[
\bfL - J
\bigl(
Z0(\cdot , C0) + Yk(\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr) \biggr]
+ \varepsilon G1
\Biggl\{
F0(s, C
0)+
+A1
\biggl[ \biggl(
Ck
\beta
\biggr) \biggr]
(s) +
\bigl[
\beta \ast A+A1(s)
\bigr]
Y
(1)
k (s, \varepsilon ) - \beta \ast Y
(1)
k (s, \varepsilon )B +R1(Yk(s, \varepsilon ), \varepsilon )
\Biggr\}
(\tau ), (25)
Yk+1(\tau , \varepsilon ) = \bfK \tau
0 [\scrP N(\bfL )Ck] + Y
(1)
k+1(\tau , \varepsilon ),
Y0(\tau , \varepsilon ) = Y
(1)
0 (\tau , \varepsilon ) = 0, k = 0, 1, 2, 3, . . . .
Теорема 4 (достатня умова). Для кожного оператора C0 — кореня операторного рiв-
няння (17) при умовi, що оператор B0 є узагальнено-оборотним оператором i виконано умову
\scrP N(B\ast
0 )
\scrP N(\bfL \ast ) = 0, крайова задача (15), (16) має розв’язок Y (\tau , \varepsilon ) \in C1 ([a; b\ast ];\scrL (H1)) \times
\times C(0; \varepsilon 0], Y (\tau , 0) = 0. Цей розв’язок можна визначити з операторної системи (24) за допо-
могою iтерацiйного процесу (25), збiжного при \varepsilon \in [0; \varepsilon \ast ].
Крайова задача (13), (14) має розв’язок Z(\tau , \varepsilon ) \in C1 ([a; b\ast ];\scrL (H1)) \times C(0; \varepsilon 0], Z(\tau , 0) =
= Z(\tau , C0), який можна знайти за допомогою iтерацiйного процесу (25) i формули
Zk(\tau , \varepsilon ) = Z0(\tau , C
0) + Yk(\tau , \varepsilon ), k = 0, 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
878 Д. С. БIГУН, О. О. ПОКУТНИЙ, Є. В. ПАНАСЕНКО
Лiтература
1. D. Dragicevic, C. Preda, Lyapunov theorems for exponential dichotomies in Hilbert spaces, Int. J. Math., 27, № 4,
Article 1650033 (2016), 13 p.
2. Vu Ngoc Phat, Tran Tin Kiet, On the Lyapunov equation in Banach spaces and applications to control problems, Int.
J. Math. and Math. Sci., 29, № 3, 155 – 166 (2000).
3. C. Preda, P. Preda, Lyapunov operator inequalities for exponential stability of Banach space semigroups of operators,
Appl. Math. Lett., 25, 401 – 403 (2012).
4. M. Gil’, Solution estimates for the discrete Lyapunov equation in a Hilbert space and applications to difference
equations, Axioms, 8, № 1 (2019), 22 p.
5. L. Jodar, An algorithm for solving generalized algebraic Lyapunov equations in Hilbert space, applications to
boundary value problems, Proc. Edinburgh Math. Soc., 31, 99 – 105 (1988).
6. Y. Latushkin, S. Montgomery-Smith, Lyapunov theorems for Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 31, № 1, 44 – 49
(1994).
7. P. Gahinet, M. Sorine, A. J. Laub, C. Kenney, Stability margins and Lyapunov equations for linear operators in
Hilbert space, Proc. 29th Conf. Decision and Control, 2638 – 2639 (1990).
8. K. M. Przyluski, The Lyapunov equation and the problem of stability for linear bounded discrete-time systems in
Hilbert space, Appl. Math. and Optim., 6, 97 – 112 (1980).
9. R. P. Ivanov, I. L. Raykov, Parametric Lyapunov function method for solving nonlinear systems in Hilbert spaces,
Numer. Funct. Anal. and Optim., 17, 893 – 901 (1996).
10. A. Polyakov, On homogeneous Lyapunov function theorem for evolution equations, IFAC 2020 — Int. Federation
Automatic Control, 21st World Congress (July 2020, Berlin / Virtual, Germany).
11. A. Pazy, On the applicability of Lyapunov’s theorem in Hilbert space, SIAM J. Math. Anal., 3, № 2, 291 – 294 (1972).
12. M. Gil’, Stability of linear equations with differentiable operators in a Hilbert space, IMA J. Math. Control and
Inform., 1 – 8 (2018).
13. С. М. Чуйко, О решении матричных уравнений Ляпунова, Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту iм. В. Н. Каразiна. Матема-
тика, прикл. математика i механiка, № 1120, 85 – 94 (2014).
14. С. Г. Крейн, Линейные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва (1971).
15. А. А. Бойчук, А. А. Покутный, Теория возмущений операторных уравнений в пространствах Фреше и
Гильберта, Укр. мат. журн., 67, № 9, 1181 – 1188 (2015).
16. Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, Умова бiфуркацiї розв’язкiв рiвняння Ляпунова у просторi Гiльберта,
Нелiнiйнi коливання, 20, № 3, 373 – 390 (2017).
17. Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, Нелiнiйнi крайовi задачi для рiвняння Ляпунова у просторi Lp , Нелiнiйнi
коливання, 21, № 4, 523 – 536 (2018).
18. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, Москва (1980).
19. E. Deutch, Semi-inverses, reflexive semi-inverses, and pseudoinverses of an arbitrary linear transformation, Linear
Algebra and Appl., 4, 313 – 322 (1971).
20. А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко, Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые
задачи, Ин-т математики НАН Украины, Киев (1995).
21. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, De
Gruyter, Berlin (2016).
22. A. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, Москва (1979).
Одержано 16.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-6691 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:47Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cb/dd413e962375ba0f33eaaf8925233fcb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66912025-03-31T08:47:53Z Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space Автономні нелінійні крайові задачі для рівняння Ляпунова у просторі Гільберта Bihun, D. S. Pokutnyi, O. O Panasenko, E. V. Бігун , Д. С. Покутний, О. О. Панасенко , Є. В. Покутний, Александр . . UDC 517.9 We investigate boundary value problems for the Lyapunov equation in the Hilbert space in the case where the corresponding problem is defined on an interval that depends on a parameter $\varepsilon$. We obtain necessary and sufficient conditions for the existence of generalized solutions of the problem. Работа посвящена исследованию краевых задач для уравнения типа Ляпунова в пространстве Гильберта. Рассмотрен случай, когда отрезок на котором рассматривается задача зависит от параметра $\varepsilon$. Получены необходимые и достаточные условия существования обобщенных решений соответствующей задачи. УДК 517.9 Дослiджуються крайовi задачi для рiвняння типу Ляпунова у просторi Гiльберта. Розглянуто випадок, коли вiдрiзок, на якому розглядається задача, залежить вiд параметра $\varepsilon$. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування узагальнених розв’язкiв вiдповiдної задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-07-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6691 10.37863/umzh.v73i7.6691 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 7 (2021); 867 - 878 Український математичний журнал; Том 73 № 7 (2021); 867 - 878 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6691/9061 Copyright (c) 2021 О. О. Покутний, Є. В. Панасенко , Д. С. Бігун |
| spellingShingle | Bihun, D. S. Pokutnyi, O. O Panasenko, E. V. Бігун , Д. С. Покутний, О. О. Панасенко , Є. В. Покутний, Александр Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space |
| title | Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space |
| title_alt | Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space Автономні нелінійні крайові задачі для рівняння Ляпунова у просторі Гільберта |
| title_full | Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space |
| title_fullStr | Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space |
| title_full_unstemmed | Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space |
| title_short | Autonomous nonlinear boundary-value problems for the Lyapunov equation in Hilbert space |
| title_sort | autonomous nonlinear boundary-value problems for the lyapunov equation in hilbert space |
| topic_facet | . . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6691 |
| work_keys_str_mv | AT bihunds autonomousnonlinearboundaryvalueproblemsforthelyapunovequationinhilbertspace AT pokutnyioo autonomousnonlinearboundaryvalueproblemsforthelyapunovequationinhilbertspace AT panasenkoev autonomousnonlinearboundaryvalueproblemsforthelyapunovequationinhilbertspace AT bígunds autonomousnonlinearboundaryvalueproblemsforthelyapunovequationinhilbertspace AT pokutnijoo autonomousnonlinearboundaryvalueproblemsforthelyapunovequationinhilbertspace AT panasenkoêv autonomousnonlinearboundaryvalueproblemsforthelyapunovequationinhilbertspace AT pokutnijaleksandr autonomousnonlinearboundaryvalueproblemsforthelyapunovequationinhilbertspace AT bihunds avtonomnínelíníjníkrajovízadačídlârívnânnâlâpunovauprostorígílʹberta AT pokutnyioo avtonomnínelíníjníkrajovízadačídlârívnânnâlâpunovauprostorígílʹberta AT panasenkoev avtonomnínelíníjníkrajovízadačídlârívnânnâlâpunovauprostorígílʹberta AT bígunds avtonomnínelíníjníkrajovízadačídlârívnânnâlâpunovauprostorígílʹberta AT pokutnijoo avtonomnínelíníjníkrajovízadačídlârívnânnâlâpunovauprostorígílʹberta AT panasenkoêv avtonomnínelíníjníkrajovízadačídlârívnânnâlâpunovauprostorígílʹberta AT pokutnijaleksandr avtonomnínelíníjníkrajovízadačídlârívnânnâlâpunovauprostorígílʹberta |