Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces
UDC 517.929.2 We study the problem of existence and uniqueness of a bounded solution to a difference equation of the first order with a constant operator coefficient in a Banach space. For the case where the initial condition and input sequence are in some subspaces, necessary and sufficient conditi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6692 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512503219355648 |
|---|---|
| author | Chaikovs'kyi, A. V. Lagoda , O. A. . Чайковський , А. В. Лагода , О. А. |
| author_facet | Chaikovs'kyi, A. V. Lagoda , O. A. . Чайковський , А. В. Лагода , О. А. |
| author_sort | Chaikovs'kyi, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:33Z |
| description | UDC 517.929.2
We study the problem of existence and uniqueness of a bounded solution to a difference equation of the first order with a constant operator coefficient in a Banach space. For the case where the initial condition and input sequence are in some subspaces, necessary and sufficient conditions are obtained. These results are applied to difference equations with a jump of operator coefficient and difference equations of higher orders. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i11.6692 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i11.6692
УДК 517.929.2
А. В. Чайковський, О. А. Лагода (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI IЗ ВХIДНИМИ ДАНИМИ,
ЩО ЛЕЖАТЬ У ПIДПРОСТОРАХ
We study the problem of existence and uniqueness of a bounded solution to a difference equation of the first order with a
constant operator coefficient in a Banach space. For the case where the initial condition and input sequence are in some
subspaces, necessary and sufficient conditions are obtained. These results are applied to difference equations with a jump
of operator coefficient and difference equations of higher orders.
Вивчається питання iснування та єдиностi обмеженого розв’язку рiзницевого рiвняння першого порядку зi сталим
операторним коефiцiєнтом у банаховому просторi. Для випадку, коли початкова умова i вхiдна послiдовнiсть лежать
у деяких пiдпросторах, отримано необхiднi та достатнi умови. Цi результати застосовано до рiзницевих рiвнянь зi
стрибком операторного коефiцiєнта i до рiзницевих рiвнянь старших порядкiв.
1. Вступ. Нехай (X, \| \cdot \| ) — комплексний банахiв простiр, L(X) — простiр лiнiйних неперервних
операторiв у просторi X, I \in L(X) — одиничний оператор. Позначимо через \sigma (A) спектр
оператора A \in L(X). Термiн „пiдпростiр” будемо використовувати для позначення замкненої
лiнiйної пiдмножини X.
Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn+1 = Axn + yn, n \geq 0, (1)
де A \in L(X), \{ yn | n \geq 0\} \subset X — вiдома, а \{ xn | n \geq 0\} \subset X — шукана послiдовнiсть.
Наведемо результати щодо обмежених розв’язкiв рiвняння (1).
Теорема 1 [1, 2]. Рiзницеве рiвняння (1) має єдиний обмежений розв’язок \{ xn | n \geq 0\} \subset X
для довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n \geq 0\} \subset X тодi й лише тодi, коли
\sigma (A) \subset
\bigl\{
z \in \bfC | | z| > 1
\bigr\}
.
Теорема 2 [3]. Рiзницеве рiвняння (1) має обмежений розв’язок \{ xn | n \geq 1\} \subset X для
довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n \geq 0\} \subset X i довiльного x0 \in X тодi й лише тодi,
коли
\sigma (A) \subset
\bigl\{
z \in \bfC | | z| < 1
\bigr\}
.
В цiй роботi ми дослiджуємо питання iснування та єдиностi обмеженого розв’язку рiвнян-
ня (1) у випадку, коли x0 i послiдовнiсть \{ yn | n \geq 0\} лежать у деяких пiдпросторах.
2. Рiвняння без початкової умови. Для оператора A \in L(X) позначимо
W (A) :=
\biggl\{
x \in X | \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Anx\| < +\infty
\biggr\}
.
На просторi X можна ввести вiдношення еквiвалентностi за правилом
x1 \sim x2 \leftrightarrow x1 - x2 \in W (A).
c\bigcirc А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, О. А. ЛАГОДА, 2021
1564 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1565
Клас еквiвалентностi, що мiстить x \in X, ми позначатимемо [x]. Якщо W (A) — пiдпростiр
простору X, то U(A) = X/W (A) — банахiв простiр iз нормою\bigm\| \bigm\| [x]\bigm\| \bigm\|
U(A)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
w\in W (A)
\| x+ w\| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\in [x]
\| z\|
(див. [8], теорема 1.5.3).
Згiдно з означенням
\forall x \in X : \| x\| \geq
\bigm\| \bigm\| [x]\bigm\| \bigm\|
U(A)
, (2)
\forall \varepsilon > 0 \forall [x] \in U(A) \exists x\varepsilon \in [x] : \| x\varepsilon \| \leq (1 + \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| [x]\bigm\| \bigm\|
U(A)
. (3)
Нехай A,B \in L(X). Визначимо оператор \~BA : U(A) \rightarrow U(A) за допомогою рiвностi\bigl(
\~BA[x]
\bigr)
= [Bx], [x] \in U(A).
У випадку A = B ми будемо використовувати позначення \~A := \~AA.
Лема 1. Нехай A,B \in L(X) — оператори, що комутують. Тодi:
1) означення оператора \~BA коректне (не залежить вiд елемента з класу еквiвалентностi
[x]);
2) оператор \~BA лiнiйний;
3) оператор \~BA обмежений i \| \~BA\| \leq \| B\| ;
4) \sigma ( \~BA) \subset \sigma (B);
5) \sigma ( \~A) \cap \{ z \in \bfC | | z| > 1\} = \sigma (A) \cap \{ z \in \bfC | | z| > 1\} .
Доведення. 1. Згiдно з означенням множини W (A) i комутативнiстю BW (A) \subset W (A).
Тому якщо [x] \in U(A) i x1 \in [x], то
Bx1 - Bx = B(x1 - x) \in BW (A) \subset W (A)
i Bx1 \in [Bx].
2. Це наслiдок лiнiйностi оператора B.
3. Для довiльних [x] \in U(A) i \varepsilon > 0, використовуючи (2), (3), маємо
\| \~BA[x]\| U(A) = \| \~BA[x\varepsilon ]\| U(A) = \| [Bx\varepsilon ]\| U(A) \leq \| Bx\varepsilon \| \leq
\leq \| B\| \| x\varepsilon \| \leq (1 + \varepsilon )\| B\| \| [x]\| U(A).
Оскiльки \varepsilon > 0 є довiльним, ми отримуємо потрiбну оцiнку.
4. Нехай z \in \bfC , z \not \in \sigma (B), C \in L(U(A)) дiє за формулою
C[x] =
\bigl[
(B - zI) - 1x
\bigr]
, [x] \in U(A).
Оскiльки (B - zI) - 1 комутує з A, властивостi 1 – 3 справджуються для оператора C. Крiм того,\Bigl(
\~BA - zIU(A)
\Bigr)
C[x] =
\bigl[
(B - zI)(B - zI) - 1x
\bigr]
= [x], x \in U(A),
C
\Bigl(
\~BA - zIU(A)
\Bigr)
[x] =
\bigl[
(B - zI) - 1(B - zI)x
\bigr]
= [x], x \in U(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1566 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, О. А. ЛАГОДА
Звiдси z \not \in \sigma ( \~B) i C = ( \~B - zIU(A))
- 1.
5. Нехай
z \in \bfC , | z| > 1, z \not \in \sigma ( \~A),
i y \in X — довiльний елемент. Тодi iснує єдиний [x] \in U(A) такий, що
( \~A - zIU(A))[x] = [y].
Позначимо
w := (A - zI)x - y \in W (A),
v := -
\infty \sum
k=0
z - k - 1Akw.
Цей ряд абсолютно збiжний, оскiльки за означенням множини W (A) послiдовнiсть \{ Anw | n \geq
\geq 1\} обмежена i | z| > 1. Легко перевiрити, що (A - zI)v = w. Згiдно з означенням w маємо
(A - zI)(x - v) = y. Оскiльки y \in X — довiльний елемент, то (A - zI) — сюр’єкцiя.
Якщо (A - zI)x = \vec{}0 для деякого x \in X, то
Anx = znx, n \geq 1.
Якщо x \not = \vec{}0, то x \not \in W (A). Але
\~A[x] = z[x],
тому z \in \sigma ( \~A). Ця суперечнiсть показує, що (A - zI) — iн’єкцiя.
Ми довели, що (A - zI) — бiєкцiя, тому за теоремою Банаха має неперервний обернений,
отже, z \not \in \sigma (A).
Наведенi мiркування свiдчать, що
\sigma (A) \cap \{ z \in \bfC | | z| > 1\} \subset \sigma ( \~A) \cap \{ z \in \bfC | | z| > 1\} .
Використання включення з пункту 4 завершує доведення.
Зауваження 1. Нерiвнiсть \| \~A\| U(A) \leq \| A\| може перетворюватися на рiвнiсть
\bigl(
наприклад,
якщо W (A) — тривiальний пiдпростiр, що справджується у випадку \sigma (A) \subset \{ z \in \bfC | | z| > 1\}
\bigr)
або на строгу нерiвнiсть
\bigl(
наприклад, якщо W (A) = X , що справджується у випадку \sigma (A) \subset
\subset \{ z \in \bfC | | z| < 1\}
\bigr)
.
Означення 1. Позначимо через V (X) клас усiх операторiв B \in L(X), що задовольняють
такi умови:
1) W (B) — пiдпростiр,
2) для довiльного x \in X з обмеженостi послiдовностi
\bigl\{
[Bnx] | n \geq 1
\bigr\}
в U(B) випливає
обмеженiсть послiдовностi \{ Bnx | n \geq 1\} в X.
Зауваження 2. Нехай X — гiльбертiв простiр, B \in L(X), P — проєктор на пiдпростiр
W (B) i оператори P i B комутують. Тодi умова 2 означення 1 справджується. Справдi,
\forall x \in X : \| Bnx\| 2 = \| BnPx\| 2 +
\bigm\| \bigm\| Bn(I - P )x
\bigm\| \bigm\| 2 =
= \| BnPx\| 2 + \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
w\in W (B)
\Bigl( \bigm\| \bigm\| (I - P )Bnx
\bigm\| \bigm\| 2 + \| w\| 2
\Bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1567
= \| BnPx\| 2 + \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
w\in W (B)
\bigm\| \bigm\| Bn(I - P )x+ w
\bigm\| \bigm\| 2 =
= \| BnPx\| 2 +
\bigm\| \bigm\| [Bn(I - P )x]
\bigm\| \bigm\| 2
U(B)
= \| BnPx\| 2 +
\bigm\| \bigm\| [Bnx]
\bigm\| \bigm\| 2
U(B)
, n \geq 1.
Оскiльки Px \in W (B), послiдовнiсть
\bigl\{
\| BnPx\| | n \geq 1
\bigr\}
обмежена. З цього випливає
умова 2.
Теорема 3. Нехай A \in V (X), M — пiдпростiр в X (можливо, тривiальний). Рiзницеве
рiвняння (1) має для довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n \geq 0\} \subset X єдиний обмежений
розв’язок \{ xn | n \geq 0\} \subset X такий, що x0 \in M тодi й лише тодi, коли справджуються такi
умови:
1) \forall [x] \in U(A) \exists !m \in M : m \in [x];
2) \sigma (A) \cap \{ z \in \bfC | | z| = 1\} = \varnothing .
Зауваження 3. У частковому випадку M = X ця теорема стає еквiвалентною теоремi 1.
Перевiримо це безпосередньо.
Друга умова теореми 3 — це частина умови в теоремi 1. Якщо вона справджується, то
простiр за теоремою Рiсса про спектральний розклад [5] можна розкласти у пряму суму двох
пiдпросторiв, в яких спектр A розташований всерединi i зовнi одиничного кола вiдповiдно.
Перша умова теореми 3 означає, що W (A) = \{ \vec{}0\} . Це еквiвалентно умовi, що перший
пiдпростiр у спектральному розкладi тривiальний. Це означає, що весь спектр A в X лежить
зовнi одиничного кола.
Для доведення теореми нам знадобляться кiлька лем.
Лема 2. Нехай A \in V (X), M — пiдпростiр простору X (можливо, тривiальний) i рiз-
ницеве рiвняння (1) має для довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n \geq 0\} \subset X єдиний
обмежений розв’язок \{ xn | n \geq 0\} \subset X такий, що x0 \in M. Тодi
\sigma ( \~A) \subset \{ z \in \bfC | | z| > 1\} .
Доведення. Розглянемо рiзницеве рiвняння
[xn+1] = \~A[xn] + [yn], n \geq 0, (4)
у просторi U(A).
Для довiльної обмеженої послiдовностi
\bigl\{
[yn] : n \geq 0
\bigr\}
\subset U(A), використовуючи (3), можна
вибрати вiдповiднi елементи yn, n \geq 0, так, щоб
\| yn\| \leq 2
\bigm\| \bigm\| [yn]\bigm\| \bigm\| U(A)
, n \geq 0.
Тодi послiдовнiсть \{ yn : n \geq 0\} обмежена у просторi X. Тому iснує єдиний обмежений
розв’язок \{ xn | n \geq 0\} рiвняння (1), що задовольняє умову x0 \in M. Оскiльки з оцiн-
ки (2) випливає, що \| [xn]\| \leq \| xn\| , n \geq 1, послiдовнiсть
\bigl\{
[xn] | n \geq 1
\bigr\}
обмежена в U(A) i
[xn+1] = [Axn + yn] = \~A[xn] + [yn], n \geq 0.
Для доведення єдиностi обмеженого розв’язку рiвняння (4) припустимо вiд супротивного,
що x0 \not \in W (A) i послiдовнiсть
\bigl\{
[Anx0] | n \geq 1
\bigr\}
обмежена. Оскiльки A \in V (X), за другою
умовою означення послiдовнiсть \{ Anx0 | n \geq 1\} обмежена. Тому x0 \in W (A). Суперечнiсть.
За теоремою 2 маємо \sigma ( \~A) \subset \{ z \in \bfC | | z| > 1\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1568 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, О. А. ЛАГОДА
Лема 3. Якщо A \in V (X) i
\sigma ( \~A) \subset
\bigl\{
z \in \bfC | | z| > 1
\bigr\}
,
то
\sigma (A) \cap \{ z \in \bfC | | z| = 1\} = \varnothing .
Доведення. 1. Оскiльки спектр — замкнена множина, то для деякого \varepsilon \in (0, 1) справджу-
ється включення
\sigma ( \~A) \subset \{ z \in \bfC | | z| > 1 + \varepsilon \} . (5)
Згiдно з останньою властивiстю в лемi 1
\sigma (A) \subset \{ z \in \bfC | | z| \leq 1\} \cup \{ z \in \bfC | | z| > 1 + \varepsilon \} .
Використовуючи спектральний розклад Рiсса [5], отримуємо пiдпростiр X+, в якому для
звуження A+ оператора A маємо
\sigma (A+) \subset \{ z \in \bfC | | z| > 1 + \varepsilon \} ,
i пiдпростiр X - , де для звуження A - оператора A
\sigma (A - ) \subset \{ z \in \bfC | | z| \leq 1\} .
2. Доведемо, що
W (A) \cap X+ = \{ \vec{}0\} . (6)
Якщо x \in W (A)\cap X+, то \{ Anx | n \geq 1\} — обмежена послiдовнiсть. Оскiльки \| A - n
+ \| \rightarrow 0,
n \rightarrow \infty , то x = A - n
+ Anx \rightarrow \vec{}0, n \rightarrow \infty , а це означає, що x = \vec{}0.
3. Доведемо, що W (A) = X - .
Використовуючи спектральний розклад, маємо оцiнку
\exists C1 > 0 \forall n \geq 1 : \| An
- \| \leq C1
\Bigl(
1 +
\varepsilon
3
\Bigr) n
.
З умови леми випливає, що у просторi U(A) оператор \~A має обмежений обернений \~A - 1 i
\exists C2 > 0 \forall n \geq 1 : \| \~A - n\| \leq C2
\Bigl(
1 +
\varepsilon
2
\Bigr) - n
.
Оскiльки згiдно з (2) i двома останнiми оцiнками для довiльного x \in X - \bigm\| \bigm\| [x]\bigm\| \bigm\|
U(A)
=
\bigm\| \bigm\| \~A - n \~An[x]
\bigm\| \bigm\|
U(A)
=
\bigm\| \bigm\| \~A - n[Anx]
\bigm\| \bigm\|
U(A)
\leq \| \~A - n\|
\bigm\| \bigm\| [Anx]
\bigm\| \bigm\|
U(A)
\leq
\leq \| \~A - n\| \| Anx\| = \| \~A - n\| \| An
- x\| \leq \| \~A - n\| \| An
- \| \| x\| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty ,
то x \in W (A). Таким чином, X - \subset W (A).
Навпаки, для довiльного x \in W (A) ми можемо записати розклад x = x - +x+, де x+ \in X+,
x - \in X - . Вiдповiдно до доведеного вище x - \in W (A). Тому x+ = x - x - \in W (A). За
властивiстю (6) x+ = \vec{}0 i остаточно x = x - \in X - .
4. Доведемо, що
\sigma (A - ) \subset \{ z \in \bfC | | z| < 1\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1569
Для довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n \geq 0\} \subset X - рiзницеве рiвняння (1) має
єдиний обмежений розв’язок \{ xn | n \geq 0\} \subset X, для якого x0 \in M. Але \{ x - n = P - xn : n \geq 0\} —
також обмежений розв’язок, i якщо ми замiнимо x - 0 на довiльний елемент w \in W (A) = X - ,
розв’язок
\{ x - n +An(w - x - 0 ) : n \geq 0\}
буде обмеженим. Таким чином, в X - рiзницеве рiвняння (1) має обмежений розв’язок для
довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n \geq 0\} \subset X - i довiльного x0 \in X - . За теоремою 1
\sigma (A - ) \subset \{ z \in \bfC | | z| < 1\} .
5. За властивостями спектрального розкладу Рiсса \sigma (A) = \sigma (A - ) \cup \sigma (A+), звiдки
\sigma (A) \cap \{ z \in \bfC | | z| = 1\} = \varnothing .
Доведення теореми 3. Необхiднiсть. Нехай рiзницеве рiвняння (1) має для довiльної обме-
женої послiдовностi \{ yn | n \geq 0\} \subset X єдиний обмежений розв’язок \{ xn | n \geq 0\} \subset X такий,
що x0 \in M.
1. Якщо yn = \vec{}0, n \geq 0, то розв’язок має вигляд
xn = Anx0, n \geq 1.
За припущенням iснує єдине x0 \in M, для якого \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 0 \| Anx0\| < +\infty (очевидно, x0 = \vec{}0).
Тому
M \cap W (A) = \{ \vec{}0\} .
Звiдси випливає єдинiсть елемента m в першiй умовi, якщо вiн iснує.
2. Для довiльного [x] \in U(A) обмежена послiдовнiсть (x,\vec{}0,\vec{}0,\vec{}0, . . .) є розв’язком рiвнян-
ня (1), де
y0 = - Ax, yn = \vec{}0, n \geq 1.
Але за припущенням те ж рiвняння має обмежений розв’язок з x0 = m \in M. Рiзниця цих двох
розв’язкiв — це розв’язок однорiдного рiвняння, що має вигляд \{ An(x - m) | n \geq 1\} . Оскiльки
цей розв’язок обмежений, то x - m \in W (A), а тому m \in [x].
Першу умову перевiрено.
3. За лемою 2 маємо \sigma ( \~A) \subset \{ z \in \bfC | | z| > 1\} . За лемою 3 отримуємо другу умову.
Достатнiсть. Нехай умови 1, 2 справджуються. Внаслiдок другої умови ми можемо викорис-
тати спектральний розклад Рiсса простору X у пряму суму просторiв X - i X+ з вiдповiдними
проєкторами P - , P+ i звуженнями операторного коефiцiєнта A - , A+. Тодi
\sigma (A - ) \subset \{ z \in \bfC | | z| < 1\} , \sigma (A+) \subset \{ z \in \bfC | | z| > 1\} .
Нехай \{ yn | n \geq 0\} \subset X — обмежена послiдовнiсть. Позначимо y - n = P - yn, y+n = P+yn,
n \geq 1.
Рiвняння
x - n+1 = A - x
-
n + y - n , n \geq 0, (7)
згiдно з теоремою 2, має обмежений розв’язок \{ x - n (w) | n \geq 1\} \subset X - для довiльного x - 0 =
= w \in X - .
Рiвняння
x+n+1 = A+x
+
n + y+n , n \geq 0, (8)
за теоремою 1 має єдиний обмежений розв’язок \{ x+n | n \geq 0\} \subset X+.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1570 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, О. А. ЛАГОДА
Тому для довiльного w \in X - послiдовнiсть
xn = x - n (w) + x+n , n \geq 0, (9)
є обмеженим розв’язком рiвняння (1).
Навпаки, нехай \{ xn | n \geq 0\} \subset X — довiльний обмежений розв’язок рiвняння (1). Якщо
застосувати оператори P - , P+ до рiвняння (1), то побачимо, що послiдовнiсть \{ x - n = P - xn |
n \geq 0\} \subset X - є розв’язком рiвняння (7), а послiдовнiсть \{ x+n = P+xn | n \geq 0\} \subset X+ —
розв’язком рiвняння (8) (вiн єдиний, як зазначено вище). Таким чином, довiльний обмежений
розв’язок рiвняння (1) має вигляд (9).
Спектральнi властивостi операторiв A - i A+ показують, що X - = W (A). Таким чином,
U(A) =
\bigl\{
[x] | z \in [x] \leftrightarrow P+x = P+z
\bigr\}
.
Тодi для [x+0 ] \in U(A) за першою умовою iснує єдине m \in M таке, що m \in [x+0 ], чи, що те
саме, P+m = x+0 . Тому iснує єдине m \in M, для якого x0 = m є початковою умовою для
розв’язку (9).
Iснування i єдинiсть розв’язку доведено.
Приклад 1. Нехай
X = l\infty =
\bigl\{
\{ xn \in \bfC | n \geq 1\} | \| x\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
| xn| < +\infty
\bigr\}
,
A,B \in L(X), (Ax)n =
\left\{ 0,5xn, якщо n парне,
2xn, якщо n непарне,
(Bx)n =
\left\{ xn, якщо n парне,
2xn, якщо n непарне.
Ми маємо
W (A) = W (B) = \{ x \in X | x2n - 1 = 0, n\in \bfN \} ,
[x] \in U(A) = U(B) \leftrightarrow [x] = \{ z \in X | z2n - 1 = x2n - 1, n\in \bfN \} .
Якщо деяка послiдовнiсть
\bigl\{
[Anx] | n \geq 1
\bigr\}
\subset U(A) обмежена, то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
2n \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\in N
| x2m - 1| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\bigm\| \bigm\| [Anx]
\bigm\| \bigm\| < +\infty .
Для послiдовностi
\bigl\{
[Bnx] | n \geq 1
\bigr\}
\subset U(B) мiркування аналогiчнi. В обох випадках x2m - 1 = 0,
m\in \bfN . Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Anx\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
0,5n \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\in N
| x2m| < +\infty
або
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Bnx\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\in N
| x2m| < +\infty
вiдповiдно. Тому A,B \in V (X). Оскiльки \sigma (B) = \{ 1, 2\} , друга умова теореми не справджується
для оператора B i умова єдиностi обмеженого розв’язку порушується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1571
Оскiльки \sigma (A) = \{ 0,5; 2\} , друга умова теореми справджується для оператора A.
Якщо M = M1 = \{ x \in X | x2n = x2n - 1, n\in \bfN \} , то
\forall [x] \in U(A) \exists !m \in M1 : m \in [x], m2n = m2n - 1 = x2n - 1, n\in \bfN ,
перша умова теореми виконується i твердження про iснування та єдинiсть розв’язку справджу-
ється.
Якщо ж M = M2 = \{ x \in X | x2n - 1 = 0, n\in \bfN \} , то для нульового елемента множини
U(A) маємо M2 \subset [\vec{}0], тому перша умова теореми порушується i твердження про iснування i
єдинiсть розв’язку не справджується.
3. Рiвняння з початковою умовою.
Теорема 4. Нехай M — пiдпростiр простору X (можливо, тривiальний). Рiзницеве рiв-
няння (1) має обмежений розв’язок \{ xn | n \geq 1\} \subset X для довiльної обмеженої послiдовностi
\{ yn | n \geq 0\} \subset X i довiльного елемента x0 \in M тодi й лише тодi, коли
\sigma (A) \subset \{ z \in \bfC | | z| < 1\} .
Доведення. Легко перевiрити за iндукцiєю, що розв’язок рiвняння (1) має вигляд
xn = Anx0 +An - 1y0 +An - 2y1 + . . .+ yn - 1, n \geq 1.
Необхiднiсть. Нехай для довiльного x0 \in M i довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n \geq
\geq 0\} \subset X розв’язок \{ xn | n \geq 1\} \subset X є обмеженим.
1. Нехай yn = \vec{}0, n \geq 0, i x0 \in M — довiльний елемент. У цьому випадку розв’язок має
вигляд
xn = Anx0, n \geq 1.
Оскiльки цей розв’язок обмежений, то
\forall x0 \in M : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Anx0\| < +\infty . (10)
2. Нехай yn = y0, n \geq 1, i x0 \in M, y0 \in X — довiльнi елементи. В цьому випадку розв’язок
має вигляд
xn = Anx0 +An - 1y0 +An - 2y0 + . . .+ y0, n \geq 1.
Оскiльки розв’язок обмежений i умова (10) справджується, то
\forall y0 \in X : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| An - 1y0 +An - 2y0 + . . .+ y0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| < +\infty . (11)
3. Нехай
yn = An - 1y0 +An - 2y0 + . . .+ y0, n \geq 1,
i x0 \in M, y0 \in X — довiльнi елементи. Наведена послiдовнiсть є обмеженою внаслiдок
умови (11). За iндукцiєю можна показати, що розв’язок має вигляд
xn = Anx0 + nAn - 1y0 + (n - 1)An - 2y0 + . . .+ y0, n \geq 1.
Оскiльки розв’язок обмежений i справджується умова (10), то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1572 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, О. А. ЛАГОДА
\forall y0 \in X : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| nAn - 1y0 + (n - 1)An - 2y0 + . . .+ y0\| < +\infty .
Використовуючи аналогiчнi мiркування, можна показати, що
\forall y0 \in X : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| n2An - 1y0 + (n - 1)2An - 2y0 + . . .+ y0\| < +\infty ,
а тому за допомогою тотожностi
n2An - 1y0 = (n2An - 1y0 + (n - 1)2An - 2y0 + . . .+ y0) - ((n - 1)2An - 2y0 + . . .+ y0)
отримуємо
\forall y0 \in X : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| n2An - 1y0\| < +\infty .
Використовуючи теорему Банаха – Штейнгауза, маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| n2An - 1\| < +\infty . (12)
З цiєї оцiнки для довiльного z \in \bfC , | z| \geq 1, випливають збiжнiсть ряду
\infty \sum
n=0
\| z - nAn\|
та iснування оператора (A - zI) - 1 \in L(X).
Отже, умова
\sigma (A) \subset \{ z \in \bfC | | z| < 1\} (13)
справджується.
Достатнiсть. Нехай умова (13) справджується. З неї випливає, що спектральний радiус
оператора A менший за 1, тому
\exists C > 0 \exists \varepsilon \in (0, 1) \forall n\in \bfN : \| An\| \leq C(1 - \varepsilon )n.
Тепер ми можемо оцiнити розв’язок:
\| xn\| \leq \| Anx0\| + \| An - 1y0\| + \| An - 2y1\| + . . .+ \| yn - 1\| \leq
\leq L
\bigl(
\| An\| + \| An - 1\| + . . .+ \| A0\|
\bigr)
\leq
\leq CL
\bigl(
1 + (1 - \varepsilon ) + (1 - \varepsilon )2 + . . .
\bigr)
=
CL
\varepsilon
, n \geq 1,
де L := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| x0\| , \| yn\| | n \geq 1
\bigr\}
.
4. Вiдома послiдовнiсть iз пiдпростору.
Теорема 5. Нехай M1,M2 — пiдпростори простору X (можливо, тривiальнi). Рiзницеве
рiвняння (1) має обмежений розв’язок \{ xn | n \geq 1\} \subset X для довiльної послiдовностi \{ yn | n \geq
\geq 0\} \subset M2 i довiльного елемента x0 \in M1 тодi й лише тодi, коли:
1) \forall x \in M1 : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 \| Anx\| < +\infty ;
2) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 n
2\| An\| L(M2,X) < +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1573
Доведення. Повторимо мiркування з доведення теореми 4 з необхiдними змiнами.
Необхiднiсть. 1. Покладемо yn = \vec{}0, n \geq 0, тодi
\forall x0 \in M1 : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Anx0\| < +\infty . (14)
2. Нехай yn = y0, n \geq 1, i x0 \in M1, y0 \in M2 — довiльнi елементи. Використовуючи (14),
маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| An - 1y0 +An - 2y0 + . . .+ y0\| < +\infty .
Як i в доведеннi теореми 4, отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| n2An - 1\| L(M2,X) < +\infty .
Достатнiсть. З другої умови випливає, що ряд
\infty \sum
n=1
\| An\| L(M2,X)
збiжний до деякого C \geq 0. Тому маємо оцiнку
\| xn\| \leq \| Anx0\| + \| An - 1y0\| + \| An - 2y1\| + . . .+ \| yn - 1\| \leq
\leq \| Anx0\| +
\bigl(
\| An - 1\| L(M2,X) + . . .+ \| A0\| L(M2,X)
\bigr)
\| y0\| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 0
\| Akx0\| + C \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 0
\| yk\| , n \geq 1.
Зауваження 4. Якщо M2 = X, то друга умова еквiвалентна такiй:
\sigma (A) \subset
\bigl\{
z \in \bfC | | z| < 1
\bigr\}
.
Справдi, з цiєї умови випливає збiжнiсть ряду
\infty \sum
k=0
Akz - k, | z| \geq 1,
отже, (A - zI) - 1 iснує для | z| \geq 1.
5. Застосування до рiвнянь зi стрибком операторного коефiцiєнта. Розглянемо рiзницеве
рiвняння зi стрибком операторного коефiцiєнта
xn+1 =
\left\{ B1xn + yn, n < 0,
B2xn + yn, n \geq 0,
(15)
де B1, B2 \in L(X), \{ yn | n\in \bfZ \} \subset X — вiдома обмежена послiдовнiсть. Рiвняння такого вигляду
вивчались у роботах [6, 7]. Ми отримаємо iншу умову iснування та єдиностi обмеженого
розв’язку рiвняння (15).
Теорема 6. Нехай B1, B2 \in L(X), iснують B - 1
1 \in L(X) i B - 1
1 , B2 \in V (X). Рiвняння (15)
має для довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn | n\in \bfZ \} єдиний обмежений розв’язок тодi й
лише тодi, коли справджуються такi умови:
1) \forall [x] \in U(B - 1
1 ) \forall [z] \in U(B2) \exists !m \in X : m \in [x] \cap [z];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1574 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, О. А. ЛАГОДА
2) \sigma (B1) \cap \{ z \in \bfC | | z| = 1\} = \varnothing ;
3) \sigma (B2) \cap \{ z \in \bfC | | z| = 1\} = \varnothing .
Доведення. Запишемо першу частину рiвняння (15) у виглядi
B - 1
1 xn+1 = xn +B - 1
1 yn, n < 0.
Якщо позначити un = x - n, n \geq 0, i vn = - B - 1
1 y - n - 1, n \geq 0, то отримаємо еквiвалентне
рiвняння
un+1 = B - 1
1 un + vn, n \geq 0.
Розглядаючи це рiвняння разом з другою частиною рiвняння (15), можемо записати їх, як
рiвняння у банаховому просторi X2 з нормою \| (x(1), x(2))\| = \| x(1)\| + \| x(2)\| :
zn+1 = Azn + wn, n \geq 0,
де A =
\biggl(
B - 1
1 O
O B2
\biggr)
i z0 \in M =
\biggl\{ \biggl(
x
x
\biggr)
| x \in X
\biggr\}
(остання умова є необхiдною, оскiльки
елемент u0 = x0 використовується в обох частинах рiвняння).
Тепер ми можемо застосувати теорему 3. Друга умова цiєї теореми еквiвалентна умовам 2,
3 теореми 6 завдяки блочнiй структурi оператора A.
Крiм того,
W (A) = \{ (x(1), x(2)) | \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| (B - 1
1 )nx(1)\| < +\infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Bn
2 x
(2)\| < +\infty \} = W (B - 1
1 )\times W (B2),
тому
U(A) = U(B - 1
1 )\times U(B2).
Перша умова теореми 3 набирає вигляду
\forall [z] \in U(A) \exists !(m,m) \in M : (m,m) \in [z],
або, що те саме,
\forall [x]\times [z] \in U(B - 1
1 )\times U(B2) \exists !m \in X : m \in [x] \cap [z].
6. Застосування до рiвнянь з двома операторними коефiцiєнтами.
Теорема 7. Нехай B1, B2 \in L(X), M — пiдпростори простору X. Рiзницеве рiвняння
xn+1 = B1xn +B2xn - 1 + yn, n \geq 0,
має обмежений розв’язок для довiльної обмеженої послiдовностi \{ yn : n \geq 0\} i довiльних
елементiв x0, x1 \in M тодi й лише тодi, коли:
1) \forall x \in M : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 \| Cnx\| < +\infty , де \{ Cn | n \geq 1\} — послiдовнiсть, що рекурсивно
визначається рiвнянням Cn = B2Cn - 2 + B1Cn - 1, n \geq 2, i початковими умовами C0 = I,
C1 = O;
2) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 n
2\| Dn\| < +\infty , де \{ Dn | n \geq 1\} — послiдовнiсть, що рекурсивно визначається
рiвнянням Dn = B2Dn - 2 +B1Dn - 1, n \geq 2, i початковими умовами D0 = O, D1 = I.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1575
Доведення. Запишемо це рiвняння у виглядi\Biggl(
xn
xn+1
\Biggr)
=
\Biggl(
O I
B2 B1
\Biggr) \Biggl(
\vec{}0
yn
\Biggr)
, n \geq 1.
Тодi можна використати теорему 5 у випадку M2 =
\biggl\{ \biggl(
0
x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| x \in X
\biggr\}
, M1 = M2. Тут
A =
\Biggl(
O I
B2 B1
\Biggr)
.
Використовуючи iндукцiю, легко переконатися, що
An =
\Biggl(
Cn Dn
Cn+1 Dn+1
\Biggr)
, n \geq 1.
Перша умова теореми 5 набирає вигляду
\forall x \in M : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Cnx\| < +\infty
i
\forall x \in M : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Dnx\| < +\infty ,
а друга є такою:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
n2\| Dn\| < +\infty .
Ми отримали умови 1, 2 теореми 6.
Зауваження 5. 1. Якщо в теоремi 6 оператори B1, B2 комутують, то наведенi в твердженнi
послiдовностi можна записати, як Cn =
\sum n
k=0
cnkB
n - 2k
1 Bk
2 , Dn = B2Cn, n \geq 1, де Pn(x) =
=
\sum n
k=0
cnkx
k — полiноми Фiбоначчi.
2. Аналоги теореми 6 можуть бути сформульованi для iнших рiзницевих рiвнянь на напiвосi.
Лiтература
1. I. V. Gaishun, Stability of two-parameter discrete systems with commuting operators, Different. Equat., 32, № 2, 219 –
227 (1996).
2. М. Ф. Городнiй, О. А. Лагода, Обмеженiсть розв’язкiв двопараметричного рiзницевого рiвняння у банаховому
просторi, Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка. Сер. фiз.-мат. науки, № 3, 94 – 98 (1999).
3. Ю. В. Томiлов, Асимптотична поведiнка однiєї рекурентної послiдовностi в банаховому просторi, Асимпто-
тичне iнтегрування нелiнiйних рiвнянь, 146 – 153 (1992).
4. D. Henry, Geometric theory of semilinear parabolic equations, Springer, Berlin (1981).
5. F. Riesz, B. Szokefalvi-Nagy, Functional analysis, Dover Publ., New York (1990).
6. I. В. Гончар, Про обмеженi розв’язки рiзницевого рiвняння зi стрибком операторного коефiцiєнта, Вiсн. Київ.
нац. ун-ту iм. Т. Шевченка. Сер. фiз.-мат. науки, № 2, 25 – 28 (2016).
7. М. Ф. Городнiй, I. В. Гончар, Про обмеженi розв’язки рiзницевого рiвняння зi змiнним операторним коефiцiєн-
том, Доп. НАН України, № 12, 12 – 16 (2016).
8. R. V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras, vol. I, Elementary Theory, Amer.
Math. Soc. (1997).
Одержано 17.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6692 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:49Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f2/8a9ac8727ee13db29ea2b2a64207d7f2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66922025-03-31T08:46:33Z Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces Обмежені розв’язки різницевих рівнянь у банаховому просторі із вхідними даними, що лежать у підпросторах Chaikovs'kyi, A. V. Lagoda , O. A. . Чайковський , А. В. Лагода , О. А. Різницеве рівняння, обмежений розв'язок, банахів простір, підпростір Difference equation, bounded solution, Banach space, subspace UDC 517.929.2 We study the problem of existence and uniqueness of a bounded solution to a difference equation of the first order with a constant operator coefficient in a Banach space. For the case where the initial condition and input sequence are in some subspaces, necessary and sufficient conditions are obtained. These results are applied to difference equations with a jump of operator coefficient and difference equations of higher orders. УДК 517.929.2 Вивчається питання iснування та єдиностi обмеженого розв’язку рiзницевого рiвняння першого порядку зi сталим операторним коефiцiєнтом у банаховому просторi. Для випадку, коли початкова умова i вхiдна послiдовнiсть лежать у деяких пiдпросторах, отримано необхiднi та достатнi умови. Цi результати застосовано до рiзницевих рiвнянь зi стрибком операторного коефiцiєнта i до рiзницевих рiвнянь старших порядкiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-11-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6692 10.37863/umzh.v73i11.6692 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 11 (2021); 1564 - 1575 Український математичний журнал; Том 73 № 11 (2021); 1564 - 1575 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6692/9153 Copyright (c) 2021 Andriy Chaikovs'kyi |
| spellingShingle | Chaikovs'kyi, A. V. Lagoda , O. A. . Чайковський , А. В. Лагода , О. А. Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces |
| title | Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces |
| title_alt | Обмежені розв’язки різницевих рівнянь у банаховому просторі із вхідними даними, що лежать у підпросторах |
| title_full | Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces |
| title_fullStr | Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces |
| title_full_unstemmed | Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces |
| title_short | Bounded solutions of a difference equation in Banach space with input data in subspaces |
| title_sort | bounded solutions of a difference equation in banach space with input data in subspaces |
| topic_facet | Різницеве рівняння обмежений розв'язок банахів простір підпростір Difference equation bounded solution Banach space subspace |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6692 |
| work_keys_str_mv | AT chaikovs039kyiav boundedsolutionsofadifferenceequationinbanachspacewithinputdatainsubspaces AT lagodaoa boundedsolutionsofadifferenceequationinbanachspacewithinputdatainsubspaces AT boundedsolutionsofadifferenceequationinbanachspacewithinputdatainsubspaces AT čajkovsʹkijav boundedsolutionsofadifferenceequationinbanachspacewithinputdatainsubspaces AT lagodaoa boundedsolutionsofadifferenceequationinbanachspacewithinputdatainsubspaces AT chaikovs039kyiav obmeženírozvâzkiríznicevihrívnânʹubanahovomuprostoríízvhídnimidanimiŝoležatʹupídprostorah AT lagodaoa obmeženírozvâzkiríznicevihrívnânʹubanahovomuprostoríízvhídnimidanimiŝoležatʹupídprostorah AT obmeženírozvâzkiríznicevihrívnânʹubanahovomuprostoríízvhídnimidanimiŝoležatʹupídprostorah AT čajkovsʹkijav obmeženírozvâzkiríznicevihrívnânʹubanahovomuprostoríízvhídnimidanimiŝoležatʹupídprostorah AT lagodaoa obmeženírozvâzkiríznicevihrívnânʹubanahovomuprostoríízvhídnimidanimiŝoležatʹupídprostorah |