Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials
UDC 517.586+517.538.3 We investigate the properties of systems of complex variable polynomials represented as the contour integrals with kernel functions analytic at infinity. Conditions for existence of functions associated with these polynomials and sufficient conditions of expansion of analytic f...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6699 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512504902320128 |
|---|---|
| author | Sukhorolsky , M. A. Veselovska , O. V. Dostoina , V. V. Сухорольський, М. А. Веселовська, О. В. Достойна, В. В. |
| author_facet | Sukhorolsky , M. A. Veselovska , O. V. Dostoina , V. V. Сухорольський, М. А. Веселовська, О. В. Достойна, В. В. |
| author_sort | Sukhorolsky , M. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:33Z |
| description | UDC 517.586+517.538.3
We investigate the properties of systems of complex variable polynomials represented as the contour integrals with kernel functions analytic at infinity. Conditions for existence of functions associated with these polynomials and sufficient conditions of expansion of analytic functions into series in these polynomials are established. Expansions of functions into series in classical orthogonal polynomials in a complex domain, integral representations for such polynomials, dependencies of monomials $z^n$ of these polynomials, and other relations can be obtained as the corollaries implied by our results. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i11.6699 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i11.6699
УДК 517.586+517.538.3
М. А. Сухорольський , О. В. Веселовська, В. В. Достойна (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ,
СПОРIДНЕНI З КЛАСИЧНИМИ СИСТЕМАМИ
ОРТОГОНАЛЬНИХ ПОЛIНОМIВ
We investigate the properties of systems of complex variable polynomials represented as the contour integrals with
kernel functions analytic at infinity. Conditions for existence of functions associated with these polynomials and sufficient
conditions of expansion of analytic functions into series in these polynomials are established. Expansions of functions into
series in classical orthogonal polynomials in a complex domain, integral representations for such polynomials, dependencies
of monomials zn of these polynomials, and other relations can be obtained as the corollaries implied by our results.
Дослiджуються властивостi систем полiномiв комплексної змiнної, якi задаються у виглядi контурних iнтегралiв з
ядерними функцiями, аналiтичними в нескiнченно вiддаленiй точцi. Сформульовано умови iснування асоцiйованих
з полiномами функцiй, а також достатнi умови розвинення аналiтичних функцiй у ряди за цими полiномами. З
проведених дослiджень можна отримати розвинення функцiй за системами класичних ортогональних полiномiв
у комплексних областях, iнтегральнi зображення деяких класичних полiномiв, залежностi степенiв комплексної
змiнної вiд цих полiномiв, а також iншi спiввiдношення.
Вступ. Властивостi ортогональних систем полiномiв дiйсної змiнної та розвинення функцiй
у ряди за ними досить ґрунтовно дослiджено в науковiй лiтературi i, зокрема, викладено у
роботах [2, 3, 5]. Значно менше дослiджень стосуються властивостей ортогональних систем
полiномiв комплексної змiнної. Так, у роботi [2] отримано розвинення аналiтичних функцiй
у комплексних областях за системою полiномiв Чебишова першого роду. В роботах [6 – 11]
розглянуто класичнi системи полiномiв комплексної змiнної, побудовано бiортогональнi (на
замкненому контурi комплексної площини) з ними системи функцiй i дослiджено розвинення
аналiтичних функцiй за системами таких полiномiв.
У данiй роботi введено систему полiномiв комплексної змiнної, iнтегральне зображення
яких задається за аналогiчною з полiномами Лежандра формулою [7]
Pn(x) =
1
2\pi i
\int
K
\Bigl(
x\pm it
\sqrt{}
1 - x2
\Bigr) n dt\surd
t2 - 1
,
де
1\surd
t2 - 1
=
\sum \infty
k=0
Ck
2k
22kt2k+1
, | t| > 1, Ck
2k — бiномiальнi коефiцiєнти, K — додатно орiєнто-
ване коло | t| = r, 1 < r < \infty . Дослiджено властивостi таких полiномiв, побудовано системи
функцiй, бiортогональних з ними на замкнених кривих комплексної площини. Знайдено оцiн-
ки для полiномiв i асоцiйованих з ними функцiй та встановлено достатнi умови розвинення
аналiтичних функцiй у ряди за цiєю системою полiномiв у комплексних областях.
1. Полiноми \bfitQ \bfitn (\bfitz ) та їхнi властивостi. Розглянемо систему полiномiв \{ Qn(z)\} \infty n=0 ком-
плексної змiнної z :
Qn(z) = Qn(z, \gamma ) =
1
2\pi i
\int
K
\Bigl(
z + t
\sqrt{}
z2 - 1
\Bigr) n
\gamma (t)dt, (1.1)
де
c\bigcirc М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА, 2021
1516 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1517
\gamma (t) =
\infty \sum
k=0
\gamma 2k
t2k+1
, \gamma 0 = 1, \gamma 2k \not = 0, (1.2)
— довiльна аналiтична в областi | t| > 1 функцiя, K — додатно орiєнтоване коло | t| = r,
1 < r < \infty . Нехай Cm
n — бiномiальнi коефiцiєнти, а \delta nm =
\Biggl\{
0, m \not = n,
1, m = n
— символ Кро-
некера.
Твердження 1.1. Для полiномiв Qn(z) справедливi явнi вирази:
Qn(z) =
[n/2]\sum
j=0
An
j z
n - 2j , n = 0, 1, . . . , (1.3)
де
An
j = An
j (\gamma ) = ( - 1)j
[n/2]\sum
k=j
C2k
n Cj
k\gamma 2k. (1.4)
Доведення. Пiдставляючи у спiввiдношення (1.1) розвинення (1.2) i враховуючи вiдомий
iнтеграл
1
2\pi i
\int
l
dz
(z - a)n
= \delta n1, (1.5)
де l — довiльний замкнений контур, що охоплює точку a i однократно пробiгається в додатному
напрямку, знаходимо
Qn(z) =
n\sum
m=0
Cm
n zn - m
\bigl(
z2 - 1
\bigr) m/2
\infty \sum
k=0
\gamma 2k
1
2\pi i
\int
K
dt
t2k - m+1
=
[n/2]\sum
k=0
C2k
n \gamma 2kz
n - 2k(z2 - 1)k =
=
[n/2]\sum
k=0
C2k
n \gamma 2kz
n - 2k
k\sum
j=0
( - 1)jCj
kz
2k - 2j =
[n/2]\sum
j=0
( - 1)jzn - 2j
[n/2]\sum
k=j
C2k
n Cj
k\gamma 2k,
звiдки, враховуючи (1.4), отримуємо формули (1.3).
Iз спiввiдношень (1.3) одержуємо вирази полiномiв Qn(z) у випадку парних та непарних
значень n:
Q2n(z) =
n\sum
l=0
A2n
n - lz
2l, Q2n+1(z) =
n\sum
l=0
A2n+1
n - l z2l+1. (1.6)
Зауважимо, що за умови \gamma 0 = 1 маємо Q0(z) = 1.
Наведемо деякi властивостi полiномiв Qn(z).
Твердження 1.2. Для полiномiв Qn(z) справджуються формули
Q0(z) - Q0(t) = 0,
Qn(z) - Qn(t)
z - t
=
[(n - 1)/2]\sum
k=0
An
k
n - 2k - 1\sum
m=0
zn - 2k - 1 - mtm, n = 1, 2, . . . .
Доведення. Враховуючи спiввiдношення (1.3), знаходимо рiзницю
Qn(z) - Qn(t) =
[n/2]\sum
k=0
An
k
\Bigl(
zn - 2k - tn - 2k
\Bigr)
= (z - t)
[(n - 1)/2]\sum
k=0
An
k
n - 2k - 1\sum
m=0
zn - 2k - 1 - mtm.
Звiдси отримуємо потрiбнi формули.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1518 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА
Твердження 1.3. Якщо iснує неспадна на вiдрiзку [ - 1; 1] функцiя \nu (\xi ) з обмеженою варi-
ацiєю така, що
\gamma 2k =
1\int
- 1
\xi 2kd\nu (\xi ), k = 0, 1, . . . , (1.7)
то
0 < \gamma 2k \leq 1 (1.8)
i має мiсце iнтегральне зображення полiномiв Qn(z):
Qn(z) =
1\int
- 1
\Bigl(
z + \xi
\sqrt{}
z2 - 1
\Bigr) n
d\nu (\xi ). (1.9)
Доведення. Умовa (1.8) є наслiдком iнтегрального зображення (1.7). Справдi, застосовуючи
теорему про середнє до iнтеграла в (1.7) i враховуючи рiвнiсть
1\int
- 1
d\nu (\xi ) = \gamma 0 = 1, (1.10)
одержуємо \gamma 2k = \xi 2k0
\int 1
- 1
d\nu (\xi ) = \xi 2k0 , де \xi 0 \in [ - 1; 1]. Звiдси випливає (1.8).
Запишемо формулу (1.7) у виглядi
\gamma k =
1\int
- 1
\xi kd\nu (\xi ). (1.11)
Тодi \gamma 2k+1 = 0, k = 0, 1, . . . . Помножимо спiввiдношення (1.11) на t - k - 1 i пiдсумуємо обидвi
частини отриманої рiвностi по k. Враховуючи розвинення (1.2), отримуємо зображення \gamma (t) =
=
\int 1
- 1
d\nu (\xi )
t - \xi
, | t| > 1. Пiдставляючи його у спiввiдношення (1.1) i враховуючи формулу Кошi,
одержуємо зображення (1.9).
Позначимо через DR область, межею якої є елiпс \Gamma R з рiвнянням
z =
1
2
\bigl(
Rei\varphi +R - 1ei\varphi
\bigr)
, R > 1, 0 \leq \varphi < 2\pi . (1.12)
Твердження 1.4. За умов твердження 1.3 для полiномiв Qn(z) справедливими є оцiнки
| Qn(x)| \leq 1, n = 0, 1, . . . , (1.13)
для всiх дiйсних x таких, що | x| \leq 1;
| Qn(z)| \leq Rn, n = 0, 1, . . . , (1.14)
для z \in DR.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1519
Доведення. Враховуючи нерiвнiсть x2 - \xi 2x2 + \xi 2 \leq 1, яка справедлива для всiх x i \xi
таких, що | x| \leq 1, | \xi | \leq 1, та рiвнiсть (1.10), одержуємо
| Qn(x)| \leq
1\int
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| x+ i\xi
\sqrt{}
1 - x2
\bigm| \bigm| \bigm| n d\nu (\xi ) = 1\int
- 1
\bigl(
x2 + \xi 2(1 - x2)
\bigr) n/2
d\nu (\xi ) \leq 1.
Полiном Qn(z) задовольняє умови теореми [3, с.166]: якщо для полiнома Wn(z) n-го
степеня на вiдрiзку [ - 1, 1] виконується нерiвнiсть | Wn(x)| \leq M, де M = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, то для будь-
якого z ззовнi цього вiдрiзка справедливою є оцiнка
| Wn(z)| \leq M(a+ b)n,
де a, b — пiвосi елiпса з фокусами в точках z = \mp 1, який проходить через точку z. Звiдси,
оскiльки пiвосi елiпса \Gamma r, 1 < r \leq R, з рiвнянням (1.12) вiдповiдно дорiвнюють
1
2
\biggl(
r - 1
r
\biggr)
,
1
2
\biggl(
r +
1
r
\biggr)
, одержуємо нерiвнiсть (1.14).
Твердження 1.5. Система степенiв \{ zn\} \infty n=0 однозначно виражається через полiноми
Qn(z), тобто справджуються спiввiдношення
zn =
[n/2]\sum
k=0
\beta n
kQn - 2k(z) (1.15)
або
z2n =
n\sum
k=0
\beta 2n
n - kQ2k(z), z2n+1 =
n\sum
k=0
\beta 2n+1
n - k Q2k+1(z), (1.16)
де \beta n
k — коефiцiєнти, якi визначаються iз системи лiнiйних рiвнянь
n\sum
k=r
A2n
n - k\beta
2k
k - r = \delta nr,
n\sum
k=r
A2n+1
n - k \beta 2k+1
k - r = \delta nr. (1.17)
Доведення. Пiдставляючи спiввiдношення (1.16) в (1.6) та змiнюючи порядок пiдсумову-
вання, для парних i непарних степенiв полiномiв Qn(z) отримуємо такi вирази:
Q2n(z) =
n\sum
k=0
A2n
n - kz
2k =
n\sum
k=0
A2n
n - k
k\sum
r=0
\beta 2k
k - rQ2r(z) =
n\sum
r=0
Q2r(z)
n\sum
k=r
A2n
n - k\beta
2k
k - r,
Q2n+1(z) =
n\sum
k=0
A2n+1
n - k z2k+1 =
n\sum
k=0
A2n+1
n - k
k\sum
r=0
\beta 2k+1
k - r Q2r+1(z) =
n\sum
r=0
Q2r+1(z)
n\sum
k=r
A2n+1
n - k \beta 2k+1
k - r ,
де n = 0, 1, . . . . Звiдси, прирiвнюючи коефiцiєнти бiля однакових степенiв полiномiв, одержу-
ємо систему рiвнянь (1.17), визначенiсть якої забезпечує умова
An
0 =
[n/2]\sum
j=0
C2j
n \gamma 2j \not = 0, (1.18)
що випливає з (1.8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1520 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА
Наслiдок 1.1. Лiнiйнi рiвняння (1.17) можна записати у матричнiй формi\left(
A0
0 0 0 0 . . .
A2
1 A2
0 0 0 . . .
A4
2 A4
1 A4
0 0 . . .
A6
3 A6
2 A6
1 A6
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right)
\left(
\beta 0
0 0 0 0 . . .
\beta 2
1 \beta 2
0 0 0 . . .
\beta 4
2 \beta 4
1 \beta 4
0 0 . . .
\beta 6
3 \beta 6
2 \beta 6
1 \beta 6
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right) =
=
\left(
1 0 0 0 . . .
0 1 0 0 . . .
0 0 1 0 . . .
0 0 0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right) ,
\left(
A1
0 0 0 0 . . .
A3
1 A3
0 0 0 . . .
A5
2 A5
1 A5
0 0 . . .
A7
3 A7
2 A7
1 A7
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right)
\left(
\beta 0
0 0 0 0 . . .
\beta 2
1 \beta 2
0 0 0 . . .
\beta 4
2 \beta 4
1 \beta 4
0 0 . . .
\beta 6
3 \beta 6
2 \beta 6
1 \beta 6
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right) =
=
\left(
1 0 0 0 . . .
0 1 0 0 . . .
0 0 1 0 . . .
0 0 0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right)
i їхнi розв’язки одержати у виглядi визначникiв. Зокрема, для елементiв першого стовпця
матрицi [\beta 2n
n ] знаходимо
\beta 0
0 =
1
A0
0
, \beta 2
1 = - A2
1
A0
0A
2
0
, \beta 4
2 = - 1
A0
0A
2
0A
4
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A4
1 A4
2
A2
0 A2
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
\beta 2n
n =
( - 1)n\prod n
k=0
A2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
A2n
1 A2n
2 . . . A2n
n - 1 A2n
n
A2n - 2
0 A2n - 2
1 . . . A2n - 2
n - 2 A2n - 2
n - 1
0 A2n - 4
0 . . . A2n - 4
n - 3 A2n - 4
n - 2
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . A2
0 A2
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, n = 3, 4, . . . ,
де A0
0 = 1.
Позначимо через ER простiр однозначних аналiтичних у крузi | z| < R, 0 < R \leq \infty , функ-
цiй комплексної змiнної.
Твердження 1.6. Система полiномiв \{ Qn(z)\} \infty n=0 за виконання умов (1.18) незалежна i
повна у просторi ER.
Доведення. За умов (1.18) коефiцiєнти при найстарших степенях полiномiв (1.3) вiдмiннi
вiд нуля i степенi zn однозначно виражаються через цi полiноми. Тому система \{ Qn(z)\} \infty n=0
незалежна i повна у просторi ER [1, с. 137].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1521
2. Асоцiйованi системи функцiй. Розглянемо функцiю f(z) \in ER. Її можна зобразити
рядом Тейлора
f(z) =
\infty \sum
n=0
f (n)(0)
n!
zn. (2.1)
Знайдемо формальне розвинення функцiї f(z) за полiномами Qn(z). Пiдставляючи вирази
степенiв (1.16) у розклад (2.1) i змiнюючи порядок пiдсумовування, одержуємо
f(z) \thicksim
\infty \sum
n=0
f (2n)(0)
(2n)!
n\sum
k=0
\beta 2n
n - kQ2k(z) +
\infty \sum
n=0
f (2n+1)(0)
(2n+ 1)!
n\sum
k=0
\beta 2n+1
n - k Q2k+1(z) =
=
\infty \sum
k=0
\Biggl( \infty \sum
n=k
\beta 2n
n - k
f (2n)(0)
(2n)!
\Biggr)
Q2k(z) +
\infty \sum
k=0
\Biggl( \infty \sum
n=k
\beta 2n+1
n - k
f (2n+1)(0)
(2n+ 1)!
\Biggr)
Q2k+1(z) =
=
\infty \sum
k=0
\Biggl( \infty \sum
l=0
\beta 2l+2k
l
f (2l+2k)(0)
(2l + 2k)!
\Biggr)
Q2k(z) +
\infty \sum
k=0
\Biggl( \infty \sum
l=0
\beta 2l+2k+1
l
f (2l+2k+1)(0)
(2l + 2k + 1)!
\Biggr)
Q2k+1(z) =
=
\infty \sum
m=0
\Biggl( \infty \sum
l=0
\beta 2l+m
l
f (2l+m)(0)
(2l +m)!
\Biggr)
Qm(z). (2.2)
Позначимо
Lm(f) =
\infty \sum
l=0
\beta 2l+m
l
f (2l+m)(0)
(2l +m)!
. (2.3)
Тодi формулу (2.2) можна записати у виглядi
f(z) \thicksim
\infty \sum
m=0
Lm(f)Qm(z). (2.4)
Введемо функцiї \omega n(z), асоцiйованi з полiномами Qn(z) (див. [1, с. 120]):
\omega n(z) =
\infty \sum
j=0
\beta 2j+n
j
1
z2j+n+1
, n = 0, 1, . . . , (2.5)
або
\omega 2n(z) =
\infty \sum
j=0
\beta
2(j+n)
j
1
z2(n+j)+1
=
\infty \sum
k=n
\beta 2k
k - n
1
z2k+1
,
\omega 2n+1(z) =
\infty \sum
j=0
\beta
2(j+n)+1
j
1
z2(j+n)+2
=
\infty \sum
k=n
\beta 2k+1
k - n
1
z2k+2
.
(2.6)
Якщо iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
2j
\sqrt{}
\beta 2j+n
j = \beta < \infty (2.7)
для фiксованого значення n, то ряди в (2.5) збiгаються i зображають аналiтичнi в областi
| z| > \beta функцiї. Тодi коефiцiєнти Lm(f) можна записати в iнтегральнiй формi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1522 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА
Lm(f) =
1
2\pi i
\int
K
f(z)\omega m(z)dz, (2.8)
де K — додатно орiєнтоване коло | z| = R, R > \beta .
Означення 2.1. Систему асоцiйованих функцiй \{ \omega k(z)\} \infty k=0 називають бiортогональною
iз системою полiномiв \{ Vn(z)\} \infty n=0, якщо справджуються умови
1
2\pi i
\int
\Gamma
Vn(z)\omega k(z)dz = \delta nk,
де \Gamma — додатно орiєнтований замкнений контур, що охоплює особливi точки функцiї \omega k(z).
Теорема 2.1. Системи функцiй \{ Qn(z), \omega n(z)\} \infty n=0 за виконання умов (1.18) i (2.7) є бi-
ортогональними вздовж довiльного кусково-гладкого замкненого контура \Gamma , що охоплює круг
| z| \leq \beta , тобто виконуються рiвностi
1
2\pi i
\int
\Gamma
Qn(z)\omega m(z)dz = \delta nm. (2.9)
Доведення. Спочатку розглянемо випадок парних значень iндексiв у рiвностi (2.9). Врахо-
вуючи спiввiдношення (1.6), (1.17), (2.6) i вiдомий iнтеграл (1.5), отримуємо
1
2\pi i
\int
\Gamma
Q2n(z)\omega 2m(z)dz =
n\sum
l=0
A2n
n - l
\infty \sum
k=m
\beta 2k
k - m
1
2\pi i
\int
\Gamma
dz
z2(k - l)+1
=
n\sum
k=m
A2n
n - k\beta
2k
k - m = \delta nm.
Аналогiчно
1
2\pi i
\int
\Gamma
Q2n+1(z)\omega 2m+1(z)dz =
n\sum
l=0
A2n+1
n - l
\infty \sum
k=m
\beta 2k+1
k - m
1
2\pi i
\int
\Gamma
dz
z2(k - l)+1
=
n\sum
k=m
A2n+1
n - k \beta 2k+1
k - m = \delta nm.
Твердження 2.1. Якщо система полiномiв \{ Qn(x)\} \infty n=0 ортогональна на вiдрiзку [ - 1; 1] з
вагою \alpha (x) \geq 0, \alpha ( - x) = \alpha (x) i, вiдповiдно, iснує неспадна функцiя u(x) з обмеженою варiа-
цiєю така, що du(x) = \alpha (x)dx,
1\int
- 1
du(x) = 1, (2.10)
1
\| Qn\| 2
1\int
- 1
Qn(x)Qm(x)du(x) = \delta nm, (2.11)
то асоцiйованi функцiї аналiтичнi ззовнi вiдрiзка [ - 1; 1] i задаються в iнтегральнiй формi
\omega n(z) =
1
\| Qn\| 2
1\int
- 1
Qn(x)du(x)
z - x
, n = 0, 1, . . . , (2.12)
де \| Qn\| =
\sqrt{} \int 1
- 1
Q2
n(x)du(x) — норма полiнома Qn(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1523
Доведення. Запишемо для полiнома Qn(x) iнтегральну формулу Кошi
Qn(x) =
1
2\pi i
\int
\Gamma
Qn(z)dz
z - x
,
де \Gamma — замкнений контур, який є межею областi, що мiстить вiдрiзок [ - 1; 1]. Пiдставляючи її
в (2.11) i змiнюючи порядок iнтегрування, одержуємо
\int
\Gamma
\left( 1
2\pi i
1\int
- 1
Qn(x)du(x)
z - x
\right) Qn(z)dz = \| Qn\| 2.
Звiдси з урахуванням рiвностей (2.9) маємо зображення (2.12).
Аналiтичнiсть функцiй \omega n(z) ззовнi вiдрiзка [ - 1; 1] випливає з теореми Кошi. Згiдно з цим
ряд в (2.5) збiгається в областi | z| > 1 i, вiдповiдно, \beta = 1 у формулi (2.7).
Твердження 2.2. За умов твердження 2.1 справедливими є формули
\beta 2n
n =
1\int
- 1
x2ndu(x), (2.13)
\| Qn\| 2 = An
0
[n/2]\sum
l=0
An
l \beta
2(n - l)
n - l , (2.14)
\beta 2j+n
j =
1
\| Qn\| 2
[n/2]\sum
l=0
An
l \beta
2(n+j - l)
n+j - l . (2.15)
Доведення. Формулу (2.13) одержуємо з iнтегрального зображення (2.12) функцiї \omega 0(z) з
урахуванням її ряду (2.5) i розвинення
1
z - x
=
\infty \sum
k=0
xk
zk+1
, | z| > 1. (2.16)
Рiвнiсть (2.14) випливає з формули для норми полiнома Qn(x) з використанням спiввiдно-
шень (1.3), (2.13) та умови
1\int
- 1
xkQn(x)du(x) = 0, 0 \leq k < n. (2.17)
Справдi,
\| Qn\| 2 =
1\int
- 1
Q2
n(x)du(x) =
[n/2]\sum
k=0
An
k
1\int
- 1
Qn(x)x
n - 2kdu(x) =
= An
0
1\int
- 1
Qn(x)x
ndu(x) = An
0
[n/2]\sum
k=0
An
k
1\int
- 1
x2(n - k)du(x) = An
0
[n/2]\sum
k=0
An
k\beta
2(n - k)
n - k .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1524 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА
Якщо у формулу (2.12) пiдставити розвинення (2.16) i врахувати умову (2.17), то матимемо
\omega 2n(z) =
1
\| Q2n\| 2
\infty \sum
k=n
1
z2k+1
1\int
- 1
x2kQ2n(x)du(x), (2.18)
\omega 2n+1(z) =
1
\| Q2n+1\| 2
\infty \sum
k=n
1
z2k+2
1\int
- 1
x2k+1Q2n+1(x)du(x). (2.19)
Звiдси, використовуючи явнi вирази полiномiв Q2n(x) та формулу (2.13), знаходимо
\omega 2n(z) =
1
\| Q2n\| 2
\infty \sum
k=n
1
z2k+1
n\sum
m=0
A2n
n - m
1\int
- 1
x2(m+k)du(x) =
=
1
\| Q2n\| 2
\infty \sum
k=n
1
z2k+1
n\sum
m=0
A2n
n - m\beta
2(m+k)
m+k =
1
\| Q2n\| 2
\infty \sum
j=0
1
z2(n+j)+1
n\sum
m=0
A2n
n - m\beta
2(m+n+j)
m+n+j =
=
1
\| Q2n\| 2
\infty \sum
j=0
1
z2(j+n)+1
n\sum
l=0
A2n
l \beta
2(2n+j - l)
2n+j - l . (2.20)
Аналогiчно
\omega 2n+1(z) =
1
\| Q2n+1\| 2
\infty \sum
j=0
1
z2(j+n+1)
n\sum
l=0
A2n+1
l \beta
2(2n+j - l+1)
2n+j - l+1 . (2.21)
Збiжнiсть отриманих рядiв є наслiдком обмеженостi їхнiх коефiцiєнтiв
1\int
- 1
xkQn(x)du(x).
Справдi, враховуючи оцiнку (1.13) i рiвнiсть (2.10), маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
- 1
xmQn(x)du(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
1\int
- 1
| x| k| Qn(x)| du(x) \leq
1\int
- 1
du(x) = 1. (2.22)
Об’єднуючи вирази (2.20), (2.21) для \omega 2n(z) i \omega 2n+1(z), знаходимо
\omega m(z) =
1
\| Qm\| 2
\infty \sum
j=0
1
z2j+m+1
[m/2]\sum
m=0
Am
l \beta
2(m+j - l)
m+j - l , m = 1, 2, . . . . (2.23)
Прирiвнюючи коефiцiєнти бiля степенiв змiнної z у виразах (2.5) i (2.23), отримуємо (2.15).
Твердження 2.3. Якщо виконуються умови твердження 2.1, то для асоцiйованих функцiй
\omega n(z) справедливими є оцiнки
| \omega n(z)| \leq
1
\| Qn\| 2Rn - 1
0 (R2
0 - 1)
, n = 0, 1, . . . , (2.24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1525
для | z| \geq R0, R0 > 1;
| \omega n(z)| \leq
4
\| Qn\| 2Rn - 3(R2 - 1)2
, n = 0, 1, . . . , (2.25)
для z \in \Gamma R, де \Gamma R — елiпс з рiвнянням (1.12) i R > 1.
Доведення. На пiдставi оцiнки (2.22) iз спiввiдношень (2.18), (2.19) знаходимо
| \omega 2m(z)| \leq 1
\| Q2m\| 2
\infty \sum
k=m
1
| z| 2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
- 1
x2kQ2m(x)du(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
\| Q2m\| 2
\infty \sum
l=0
1
| z| 2m+2l+1
=
1
\| Q2m\| 2
1
| z| 2m - 1(| z| 2 - 1)
,
| \omega 2m+1(z)| \leq
1
\| Q2m+1\| 2
\infty \sum
k=m
1
| z| 2k+2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
- 1
x2k+1Q2m+1(x)du(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
\| Q2m+1\| 2
\infty \sum
j=0
1
| z| 2m+2j+2
=
1
\| Q2m+1\| 2
1
| z| 2m(| z| 2 - 1)
.
Звiдси, оскiльки | z| \geq R0, отримуємо нерiвнiсть (2.24).
Вiдомо [2, с.149], що
1
z - x
=
4p
p2 - 1
\infty \sum 0
n=0
Tn(x)
pn
, (2.26)
де Tn(x) — полiноми Чебишова першого роду,
p = z +
\sqrt{}
z2 - 1,
\infty \sum 0
n=0
anTn(x) =
\infty \sum
n=0
\varepsilon 0nanTn(x) =
a0
2
T0(x) + a1T1(x) + . . .+ anTn(x) + . . . ,
\varepsilon 0n =
\left\{
1
2
, n = 0,
1, n > 0.
Пiдставляючи розвинення (2.26) у спiввiдношення (2.12) i враховуючи рiвнiсть
1\int
- 1
Qm(x)Tn(x)du(x) = 0, n < m,
одержуємо
\omega m(z) =
4p
\| Qm\| 2(p2 - 1)
\infty \sum 0
n=m
1
pn
1\int
- 1
Qm(x)Tn(x)du(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1526 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА
або
\omega 2m(z) =
4p
\| Q2m\| 2(p2 - 1)
\infty \sum 0
n=m
1
p2n
1\int
- 1
Q2m(x)T2n(x)du(x),
\omega 2m+1(z) =
4p
\| Q2m+1\| 2(p2 - 1)
\infty \sum
n=m
1
p2n+1
1\int
- 1
Q2m+1(x)T2n+1(x)du(x).
Оцiнимо останнi два вирази. Використовуючи нерiвнiсть [2, с. 46] | Tn(x)| \leq 1, n = 0, 1, . . . ,
справедливу для дiйсних x таких, що | x| \leq 1, оцiнку (1.13) i рiвнiсть (2.10), маємо
| \omega 2m(z)| = 4| p|
\| Q2m\| 2| p2 - 1|
\infty \sum 0
n=m
1
| p| 2n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
- 1
Q2m(x)T2n(x)du(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 4| p|
\| Q2m\| 2| p2 - 1|
\infty \sum
n=m
1
| p| 2n
=
4
\| Q2m\| 2| p| 2m - 3| p2 - 1| (| p| 2 - 1)
\leq 4
\| Q2m\| 2| p| 2m - 3(| p| 2 - 1)2
,
| \omega 2m+1(z)| =
4| p|
\| Q2m+1\| 2| p2 - 1|
\infty \sum
n=m
1
| p| 2n+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
- 1
Q2m+1(x)T2n+1(x)du(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 4| p|
\| Q2m+1\| 2| p2 - 1|
\infty \sum
n=m
1
| p| 2n+1
\leq 4
\| Q2m+1\| 2| p| 2m - 2| p2 - 1| (| p| 2 - 1)
\leq
\leq 4
\| Q2m+1\| 2| p| 2m - 2(| p| 2 - 1)2
.
Оскiльки z \in \Gamma R, то p = z +
\surd
z2 - 1 = Rei\varphi , де \varphi \in [0; 2\pi ), | p| = R, i ми одержуємо
оцiнку (2.25).
Теорема 2.2. За виконання умов тверджень 1.3 i 2.1, а також оцiнки
\| Qn\| 2 \geq
M(b)
(n+ 1)b
, (2.27)
де b — фiксоване число, 1 < b < \infty , справедливим є розвинення
1
t - z
=
\infty \sum
n=0
Qn(z)\omega n(t), (2.28)
яке рiвномiрно збiгається для всiх t \in D\infty
\rho i z \in D0
r , де \rho , r — такi числа, що 1 < r < \infty ,
\rho > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, r\} ; D\infty
\rho — замкнена область з межею \Gamma \rho , що мiстить нескiнченно вiддалену
точку; D0
r — замкнена область з межею \Gamma r, що мiстить нульову точку.
Доведення. Пiдставимо у праву частину формули (2.28) вирази асоцiйованих функцiй (2.6),
якi за умов твердження 2.1 збiгаються в областi | t| > 1, i змiнимо порядок пiдсумовування. Тодi
\infty \sum
n=0
Qn(z)\omega n(t) =
\infty \sum
n=0
Q2n(z)\omega 2n(t) +
\infty \sum
n=0
Q2n+1(z)\omega 2n+1(t) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1527
=
\infty \sum
n=0
Q2n(z)
\infty \sum
k=n
\beta 2k
k - n
1
t2k+1
+
\infty \sum
n=0
Q2n+1(z)
\infty \sum
k=n
\beta 2k+1
k - n
1
t2k+2
=
=
\infty \sum
k=0
1
t2k+1
k\sum
n=0
\beta 2k
k - nQ2n(z) +
\infty \sum
k=0
1
t2k+2
k\sum
n=0
\beta 2k+1
k - n+1Q2n+1(z).
Враховуючи в останнiх виразах спiввiдношення (1.16) i умови | t| > 1, | z| < | t| , знаходимо
\infty \sum
n=0
Qn(z)\omega n(t) =
\infty \sum
k=0
z2k
t2k+1
+
\infty \sum
k=0
z2k+1
t2k+2
=
\infty \sum
j=0
zj
tj+1
=
1
t
1
1 - z
t
=
1
t - z
.
Покажемо, що ряд у спiввiдношеннi (2.28) рiвномiрно збiжний для t \in D\infty
\rho i z \in D0
r . Для
асоцiйованих функцiй в областi D\infty
\rho виконується нерiвнiсть
| \omega n(z)| \leq
M0(n+ 1)b
\rho n
, M0 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, (2.29)
яка випливає з оцiнок (2.25), (2.27). На пiдставi нерiвностi (2.29) i оцiнки (1.14), яка справедлива
за умов твердження 1.3, знаходимо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
n=0
Qn(z)\omega n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\infty \sum
n=0
| Qn(z)| | \omega n(t)| \leq M0
\infty \sum
n=0
(n+ 1)b
\biggl(
r
\rho
\biggr) n
.
Оскiльки \rho > r, одержаний ряд збiгається i, вiдповiдно, ряд в (2.28) збiгається рiвномiрно у
зазначених областях.
Твердження 2.4. Якщо виконуються умови твердження 2.1, то коефiцiєнти функцiї (1.2)
визначаються за формулою
\gamma 2n =
( - 1)n\prod n
k=1
R2k
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
R2n
n - 1 R2n
n - 2 . . . R2n
1 R2n
0
R2n - 2
n - 1 R2n - 2
n - 2 . . . R2n - 2
1 R2n - 2
0
0 R2n - 4
n - 2 . . . R2n - 4
1 R2n - 4
0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . R2
1 R2
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, (2.30)
де R2n
m = C2m
2n
\sum m
k=0
( - 1)kCk
m\beta
2(n - k)
n - k .
Доведення. Розглянемо спiввiдношення ортогональностi
\int 1
- 1
Q2n(x)Q2m(x)du(x) = 0, де
0 \leq m \leq n - 1. Вважаємо, що m = 0, а iндекс n пробiгає значення 1, 2, . . . . Тодi лiву частину
цього спiввiдношення з урахуванням формул (1.6), (2.13) i (1.4) записуємо у виглядi
1\int
- 1
Q2n(x)du(x) =
n\sum
k=0
A2n
n - k
1\int
- 1
x2kdu(x) =
n\sum
k=0
A2n
n - k\beta
2k
k =
=
n\sum
k=0
n\sum
m=n - k
( - 1)n - kC2m
2n Cn - k
m \beta 2k
k \gamma 2m =
n\sum
m=0
\gamma 2mC2m
2n
n\sum
k=n - m
( - 1)n - kCn - k
m \beta 2k
k =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1528 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА
=
n\sum
m=0
\gamma 2mC2m
2n
m\sum
l=0
( - 1)lC l
m\beta
2(n - l)
n - l =
n\sum
m=0
R2n
m \gamma 2m.
Для визначення величин \gamma 2n одержимо систему рiвнянь \gamma 0 = 1,
\sum n
m=0
R2n
m \gamma 2m = 0, де
n = 1, 2, . . . , або в матричному виглядi\left(
1 0 0 . . . 0
R2
0 R2
1 0 . . . 0
R4
0 R4
1 R4
2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
R2n
0 R2n
1 R2n
2 . . . R2n
n
\right)
\left(
\gamma 0
\gamma 2
\gamma 4
. . .
\gamma 2n
\right) =
\left(
1
0
0
. . .
0
\right) .
Розв’язок цiєї системи рiвнянь зображується у виглядi (2.30).
3. Розвинення функцiй за побудованою системою полiномiв.
Теорема 3.1. Нехай виконуються умови теореми 2.2, f(z) — функцiя комплексної змiнної ,
однозначна й аналiтична у вiдкритiй областi D0
R, межею якої є елiпс \Gamma R, 1 < R \leq \infty , а
також обмежена на \Gamma R, тобто
| f(z)| \leq M, (3.1)
де M = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Тодi ряд
f(z) =
\infty \sum
n=0
Ln(f)Qn(z), (3.2)
де Ln(f) визначенi спiввiдношенням (2.3), рiвномiрно збiгається в замкненiй областi D0
r , обме-
женiй елiпсом \Gamma r, 1 \leq r < R.
Доведення. За формулою (2.8) знайдемо коефiцiєнти ряду (3.2), коли контур iнтегрування —
елiпс \Gamma R з рiвнянням (1.12), i оцiнимо їх з урахуванням нерiвностей (2.25), (2.27) i (3.1):
| Ln(f)| \leq
1
2\pi
\int
\Gamma R
| f(z)| | \omega n(z)| | dz| \leq
2M
\pi \| Qn\| 2Rn - 3(R2 - 1)2
\int
\Gamma R
dz \leq
\leq 2M(n+ 1)b
\pi Rn - 3(R2 - 1)2M(b)
\int
\Gamma R
dz.
Оскiльки елiпс \Gamma R має пiвосi a =
1
2
\biggl(
R+
1
R
\biggr)
i b =
1
2
\biggl(
R - 1
R
\biggr)
, то
\int
\Gamma R
dz = 4
\pi /2\int
0
\sqrt{}
a2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \varphi + b2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \varphi d\varphi = 2
\pi /2\int
0
\sqrt{}
R2 +
1
R2
- 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\varphi d\varphi \leq
\leq 2
\pi /2\int
0
\biggl(
R+
1
R
\biggr)
d\varphi =
\pi (R2 + 1)
R
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1529
| Ln(f)| \leq
B(n+ 1)b
Rn
,
де B =
2MR2
(R - 1)2M(b)
.
Тепер для ряду (3.2) в областi D0
r з урахуванням оцiнки (1.14) знаходимо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
n=0
Ln(f)Qn(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\infty \sum
n=0
| Ln(f)| | Qn(z)| \leq B
\infty \sum
n=0
(n+ 1)b
\Bigl( r
R
\Bigr) n
.
Останнiй ряд збiгається при r < R , тому ряд (3.2) рiвномiрно збiгається в зазначенiй областi.
Приклад 3.1. Розкладемо функцiю f(z) =
1
a - z
в ряд за полiномами Qn(z).
Iз спiввiдношення (2.28) одержуємо
1
a - z
=
\infty \sum
n=0
\omega n(a)Qn(z), | z| < | a| ,
де \omega n(a) визначенi спiввiдношенням (2.5).
Приклад 3.2. Розкладемо функцiю f(z) =
a
a2 - z2
в ряд за полiномами Qn(z).
Згiдно з (1.3) отримуємо
Qn(z) = ( - 1)nQn(z). (3.3)
Використовуючи рiвнiсть
1
a2 - z2
=
1
2a
\biggl(
1
a - z
+
1
a+ z
\biggr)
,
спiввiдношення (3.3) i приклад 3.1, знаходимо
a
a2 - z2
=
1
2
\Biggl( \infty \sum
n=0
\omega n(a)Qn(z) +
\infty \sum
n=0
\omega n(a)Qn( - z)
\Biggr)
=
=
1
2
\infty \sum
n=0
(1 + ( - 1)n)\omega n(a)Qn(z).
В останнiй сумi залишаться доданки для n = 2k, тому
a
a2 - z2
=
\infty \sum
k=0
\omega 2k(a)Q2k(z), | z| < | a| .
Приклад 3.3. Розкладемо функцiю
z
a2 - z2
в ряд за полiномами Qn(z).
Використовуючи рiвнiсть
z
a2 - z2
=
a+ z - a
a2 - z2
=
1
a - z
- a
a2 - z2
,
приклади 3.1 i 3.2, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1530 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, В. В. ДОСТОЙНА
z
a2 - z2
=
\infty \sum
n=0
\omega n(a)Qn(z) -
1
2
\infty \sum
n=0
(1 + ( - 1)n)\omega n(a)Qn(z) =
=
1
2
\infty \sum
n=0
(1 - ( - 1)n)\omega n(a)Qn(z).
В останнiй сумi залишаться доданки для n = 2k + 1, тому
a
a2 - z2
=
\infty \sum
k=0
\omega 2k+1(a)Q2k+1(z), | z| < | a| .
Висновки. Методи розвинення функцiй у степеневi ряди та ряди за ортогональними по-
лiномами й iншими ортогональними функцiями однiєї чи кiлькох змiнних широко використо-
вують при вивченнi математичних моделей у фундаментальних i прикладних науках. Не менш
перспективним є метод розвинення функцiй за бiортогональними системами функцiй у комп-
лексних областях. За певних умов для будь-якої незалежної i повної системи функцiй можна
побудувати вiдповiдну систему асоцiйованих функцiй i конструювати ряди за нею. Вiдшукан-
ня коефiцiєнтiв рядiв ґрунтується на властивостi бiортогональностi, i вони виражаються через
похiднi функцiй, що розкладаються в цi ряди.
У данiй роботi побудовано асоцiйованi функцiї, бiортогональнi на замкнених кривих ком-
плексної площини з полiномами, якi задаються у виглядi контурних iнтегралiв з ядерними
функцiями, аналiтичними в нескiнченно вiддаленiй точцi. Встановлено умови, за яких аналi-
тичнi функцiї можна розвинути в ряди за цiєю системою полiномiв.
З проведених дослiджень можна одержати як окремий випадок результати щодо розвинень
функцiй за системами класичних ортогональних полiномiв у комплексних областях. Напри-
клад, система похiдних вiд полiномiв Чебишова Qn(z) =
1
(n+ 1)2
d
dz
Tn+1(z) i система полi-
номiв Лежандра Pn(z) зображуються у виглядi (1.9), якщо вiдповiдно вибрати \nu 1(x) =
x
2
i
\nu 2(x) =
1
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x, | x| \leq 1. Функцiї \gamma i(t), i = 1, 2, з формули (1.1) є такими:
\gamma 1(t) =
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
t+ 1
t - 1
=
\infty \sum
k=0
1
2k + 1
1
t2k+1
, \gamma 2(t) =
1\surd
t2 - 1
=
\infty \sum
k=0
Ck
2k
22k
1
t2k+1
, | t| > 1.
Вiдповiднi ваговi функцiї ui(x), i = 1, 2, й асоцiйованi функцiї нульового порядку мають вигляд
du1(x) =
2
\pi
\sqrt{}
1 - x2dx, du2(x) =
1
2
dx, | x| \leq 1,
\omega 01(z) =
2
z +
\surd
z2 - 1
=
\infty \sum
k=0
Ck
2k
22k(k + 1)
1
z2k+1
,
\omega 02(z) =
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
z + 1
z - 1
=
\infty \sum
k=0
1
2k + 1
1
z2k+1
, | z| > 1.
Iнтегральнi вирази класичних полiномiв, залежностi степенiв змiнної z вiд них та iншi
спiввiдношення можна одержати безпосередньо з наведених у роботi формул.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
СИСТЕМИ ПОЛIНОМIВ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМIННОЇ . . . 1531
Розвинення аналiтичних функцiй за бiортогональними системами полiномiв у комплекснiй
площинi є основою методик розв’язування крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними
з полiномiальними коефiцiєнтами.
Лiтература
1. А. И. Маркушевич, Избранные главы теории аналитических функций, Наука, Москва (1976).
2. С. Пашковский, Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева, Наука, Москва (1983).
3. Г. Полиа, Г. Сегё, Задачи и теоремы из анализа, ч. 1, Наука, Москва (1978).
4. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Элементарные функции, Наука, Москва
(1981).
5. Г. Сеге, Ортогональные многочлены, Физматгиз, Москва (1962).
6. М. А. Сухорольський, Розвинення функцiй за системою полiномiв, бiортогональних на замкненому контурi з
системою регулярних у нескiнченно вiддаленiй точцi функцiй, Укр. мат. журн., 62, № 2, 238 – 254 (2010).
7. М. А. Сухорольський, Наближення функцiй полiномами Лежандра в комплекснiй площинi, Вiсн. Нац. ун-ту
„Львiв. полiтехнiка”, № 643, 3 – 14 (2009).
8. М. А. Сухорольський, В. В. Достойна, Розклад аналiтичних в крузi функцiй в комплекснiй областi за системою
похiдних многочленiв Лежандра, Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”, № 687, 105 – 121 (2010).
9. М. А. Сухорольський, В. В. Достойна, О. В. Веселовська, Многочлени, спорiдненi з многочленами Чебишова,
Прикл. проблеми механiки i математики, 15, 35 – 41 (2017).
10. М. А. Сухорольський, В. В. Достойна, О. В. Веселовська, Система функцiй, бiортогональна з многочленами,
спорiдненими з многочленами Чебишова, Вiсн. Київ. нац. yн-ту iм. Т. Шевченка. Математика, механiка, № 1,
53 – 59 (2018).
11. O. V. Veselovska, V. V. Dostoina, A system of functions biorthogonal with the derivatives of Chebyshev second-kind
polynomials of a complex variable, J. Math. Sci., 249, № 5, 785 – 803 (2020).
Одержано 20.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6699 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:51Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/56/b9390151bb160fa48bb5e99a14a24756.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-66992025-03-31T08:46:33Z Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials Системи поліномів комплексної змінної, споріднені з класичними системами ортогональних поліномів Sukhorolsky , M. A. Veselovska , O. V. Dostoina , V. V. Сухорольський, М. А. Веселовська, О. В. Достойна, В. В. ортогональні поліноми біортогональні системи функцій асоційована функція UDC 517.586+517.538.3 We investigate the properties of systems of complex variable polynomials represented as the contour integrals with kernel functions analytic at infinity. Conditions for existence of functions associated with these polynomials and sufficient conditions of expansion of analytic functions into series in these polynomials are established. Expansions of functions into series in classical orthogonal polynomials in a complex domain, integral representations for such polynomials, dependencies of monomials $z^n$ of these polynomials, and other relations can be obtained as the corollaries implied by our results. УДК 517.586+517.538.3Досліджуються властивості систем поліномів комплексної змінної, які задаються у вигляді контурних інтегралів з ядерними функціями, аналітичними в нескінченно віддаленій точці. Сформульовано умови існування асоційованих з поліномами функцій, а також достатні умови розвинення аналітичних функцій у ряди за цими поліномами. З проведених досліджень можна отримати розвинення функцій за системами класичних ортогональних поліномів у комплексних областях, інтегральні зображення деяких класичних поліномів, залежності степенів комплексної змінної від цих поліномів, а також інші співвідношення. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-11-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6699 10.37863/umzh.v73i11.6699 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 11 (2021); 1516 - 1531 Український математичний журнал; Том 73 № 11 (2021); 1516 - 1531 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6699/9150 Copyright (c) 2021 Михайло Сухорольський, Вероніка Достойна |
| spellingShingle | Sukhorolsky , M. A. Veselovska , O. V. Dostoina , V. V. Сухорольський, М. А. Веселовська, О. В. Достойна, В. В. Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials |
| title | Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials |
| title_alt | Системи поліномів комплексної змінної, споріднені з класичними системами ортогональних поліномів |
| title_full | Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials |
| title_fullStr | Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials |
| title_full_unstemmed | Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials |
| title_short | Systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials |
| title_sort | systems of complex variable polynomials related to classical systems of orthogonal polynomials |
| topic_facet | ортогональні поліноми біортогональні системи функцій асоційована функція |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6699 |
| work_keys_str_mv | AT sukhorolskyma systemsofcomplexvariablepolynomialsrelatedtoclassicalsystemsoforthogonalpolynomials AT veselovskaov systemsofcomplexvariablepolynomialsrelatedtoclassicalsystemsoforthogonalpolynomials AT dostoinavv systemsofcomplexvariablepolynomialsrelatedtoclassicalsystemsoforthogonalpolynomials AT suhorolʹsʹkijma systemsofcomplexvariablepolynomialsrelatedtoclassicalsystemsoforthogonalpolynomials AT veselovsʹkaov systemsofcomplexvariablepolynomialsrelatedtoclassicalsystemsoforthogonalpolynomials AT dostojnavv systemsofcomplexvariablepolynomialsrelatedtoclassicalsystemsoforthogonalpolynomials AT sukhorolskyma sistemipolínomívkompleksnoízmínnoísporídnenízklasičnimisistemamiortogonalʹnihpolínomív AT veselovskaov sistemipolínomívkompleksnoízmínnoísporídnenízklasičnimisistemamiortogonalʹnihpolínomív AT dostoinavv sistemipolínomívkompleksnoízmínnoísporídnenízklasičnimisistemamiortogonalʹnihpolínomív AT suhorolʹsʹkijma sistemipolínomívkompleksnoízmínnoísporídnenízklasičnimisistemamiortogonalʹnihpolínomív AT veselovsʹkaov sistemipolínomívkompleksnoízmínnoísporídnenízklasičnimisistemamiortogonalʹnihpolínomív AT dostojnavv sistemipolínomívkompleksnoízmínnoísporídnenízklasičnimisistemamiortogonalʹnihpolínomív |