Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative
UDC 517.9 The investigations of  linear differential-algebraic boundary-value problems are closely connected with numerous applications of the corresponding mathematical models in the theory of nonlinear oscillations, mechanics, biology, radio-engineering, and the theory of stabil...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6707 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512507563606016 |
|---|---|
| author | Boichuk, O. A. Chuiko, S. M. Kuzmina, V. O. Бойчук, О. А. Чуйко, С. М. Кузьміна, В. О. Чуйко, Сергій Михайлович |
| author_facet | Boichuk, O. A. Chuiko, S. M. Kuzmina, V. O. Бойчук, О. А. Чуйко, С. М. Кузьміна, В. О. Чуйко, Сергій Михайлович |
| author_sort | Boichuk, O. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-07T13:45:34Z |
| description |
UDC 517.9
The investigations of  linear differential-algebraic boundary-value problems are closely connected with numerous applications of the corresponding mathematical models in the theory of nonlinear oscillations, mechanics, biology, radio-engineering, and the theory of stability of motion. Thus, the  problem of generalization of the results obtained by  S. Campbell, A. M. Samoilenko and O. A. Boichuk to the case of nonlinear boundary-value problems  unsolved with respect to the derivative seems to be quite urgent.  In particular, this is true for finding  necessary and sufficient conditions for the existence of the required solutions of  nonlinear integrodifferential boundary-value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative.  We establish the conditions for existence and propose a constructive scheme for finding the solutions of a nonlinear integrodifferential boundary-value problem with deviating argument unsolved with respect to the derivative. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i9.6707 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i9.6707
УДК 517.9
О. А. Бойчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
С. М. Чуйко, В. О. Кузьмiна (Донбас. держ. пед. ун-т, Слов’янськ, Донецька обл.)
НЕЛIНIЙНI IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI КРАЙОВI ЗАДАЧI
З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ЩОДО ПОХIДНОЇ
The investigations of linear differential-algebraic boundary-value problems are closely connected with numerous applicati-
ons of the corresponding mathematical models in the theory of nonlinear oscillations, mechanics, biology, radio-engineering,
and the theory of stability of motion. Thus, the problem of generalization of the results obtained by S. Campbell,
A. M. Samoilenko and O. A. Boichuk to the case of nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the
derivative seems to be quite urgent. In particular, this is true for finding necessary and sufficient conditions for the existence
of the required solutions of nonlinear integrodifferential boundary-value problems with deviating argument unsolved with
respect to the derivative. We establish the conditions for existence and propose a constructive scheme for finding the
solutions of a nonlinear integrodifferential boundary-value problem with deviating argument unsolved with respect to the
derivative.
Дослiдження лiнiйних диференцiально-алгебраїчних рiвнянь тiсно пов’язане з численними застосуваннями вiдпо-
вiдних математичних моделей у теорiї нелiнiйних коливань, механiцi, бiологiї, радiотехнiцi та теорiї стiйкостi руху.
Таким чином, актуальною є проблема перенесення результатiв, отриманих у статтях та монографiях S. Campbell,
А. М. Самойленка та О. А. Бойчука, на нелiнiйнi iнтегрально-диференцiальнi крайовi задачi, не розв’язанi щодо
похiдної, зокрема знаходження необхiдних i достатнiх умов iснування розв’язкiв нелiнiйних iнтегро-диференцiаль-
них крайових задач iз вiдхиленням аргументу, не розв’язаних щодо похiдної з вiдхиленням аргументу. Знайдено
конструктивнi умови iснування розв’язкiв нелiнiйної iнтегро-диференцiальної крайової задачi, не розв’язаної щодо
похiдної з вiдхиленням аргументу.
Дослiдження диференцiально-алгебраїчних рiвнянь започатковано в роботах К. Веєрштрасса,
М. М. Лузiна та Ф. Р. Гантмахера. Роботи S. Campbell, Ю. Є. Бояринцева, В. Ф. Чистякова,
А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, В. П. Яковця, О. А. Бойчука, A. Ilchmann та T. Reis
присвячено систематичному дослiдженню диференцiально-алгебраїчних крайових задач. Вод-
ночас дослiдження диференцiально-алгебраїчних крайових задач тiсно пов’язанi з вивченням
лiнiйних крайових задач для звичайних диференцiальних рiвнянь, започаткованим у роботах
А. Пуанкаре, О. М. Ляпунова, М. М. Крилова, М. М. Боголюбова, I. Г. Малкiна, А. Д. Мишкiса,
Є. О. Гребенiкова, Ю. О. Рябова, Ю. О. Митропольського, I. Т. Кiгурадзе, А. М. Самойленка,
М. О. Перестюка та О. А. Бойчука.
1. Постановка задачi. Будемо дослiджувати задачу про побудову розв’язкiв [1]
y(t) \in \BbbC [0, T ], y(t) \in \BbbD 2[0;T ], y\prime (t) \in \BbbL 2[\Delta ;T ]
нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної системи з вiдхиленням аргументу, не розв’язаної щодо
похiдної
A(t)y\prime (t) = B(t)y(t) + C(t)y(h(t)) + \Phi (t)
T\int
\Delta
F (y(s), y(h(s)), y\prime (s), s) ds+ f(t), (1)
пiдпорядкованих крайовiй умовi
\ell y(\cdot ) = \alpha , \alpha \in \BbbR \upsilon . (2)
c\bigcirc О. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, В. О. КУЗЬМIНА, 2022
1170 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
НЕЛIНIЙНI IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ . . . 1171
Розв’язок крайової задачi (1), (2) шукатимемо неперервним у точцi t = \Delta з початковою функ-
цiєю [1 – 3]
y(t) = \varphi (t) \in \BbbC 1[0,\Delta ].
Вiдхилення аргументу визначає неперервна функцiя h(t) : [\Delta , T ] \rightarrow [0,\Delta ]. Тут
A(t), B(t), C(t) \in \BbbC m\times n[0, T ], \Phi (t) \in \BbbC m\times q[0, T ], f(t) \in \BbbC [0, T ]
— неперервнi матрицi; матрицю A(t) припускаємо прямокутною: m \not = n, або ж квадратною,
але виродженою. Крiм того, припустимо, що ранг матрицi A(t) при похiднiй не змiнюється
на вiдрiзку [\Delta , T ]. Нелiнiйну вектор-функцiю F (y(t), y(h(t)), y\prime (t), t) будемо вважати двiчi
неперервно диференцiйовною за розв’язком y(t) крайової задачi (1), (2) та його похiдною y\prime (t)
у малому околi розв’язку
y0(t) \in \BbbC [0, T ], y0(t) \in \BbbD 2[0;T ], y\prime 0(t) \in \BbbL 2[\Delta ;T ], T := (q + 1)\Delta , q \in \BbbN ,
породжуючої нетерової (n \not = p) крайової задачi
A(t)y\prime 0(t) = B(t)y0(t) + C(t)y(h(t)) + f(t), \ell y0(\cdot ) = \alpha (3)
та його похiдної y\prime 0(t), а також неперервною за третiм аргументом на вiдрiзку [\Delta ;T ];
\ell y(\cdot ) : \BbbC [0;T ] \rightarrow \BbbR \upsilon
— лiнiйний обмежений векторний функцiонал, визначений на просторi \BbbC [0;T ] n-вимiрних
неперервних на вiдрiзку [0, T ] вектор-функцiй [1].
Таким чином, сформульована задача узагальнює крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-
диференцiальних рiвнянь типу Фредгольма з виродженим ядром [4, 5], а також крайовi задачi
для систем диференцiально-алгебраїчних рiвнянь [6 – 8].
2. Нелiнiйнi iнтегрально-диференцiальнi крайовi задачi, не розв’язанi щодо похiдної з
вiдхиленням аргументу. Розв’язок породжуючої системи (3) визначає рiвняння
A(t)y\prime 0(t) = B(t)y0(t) + g(t), g(t) := C(t)\varphi (h(t)) + f(t). (4)
Припустимо, що для породжуючої системи (4) виконуються умови теореми у статтi [8, c. 15]. За
цих умов у випадку виродження порядку p для довiльної фiксованої неперервної вектор-функцiї
\nu p(t) диференцiально-алгебраїчна система (4) має розв’язок вигляду
y0(t, c\rho p - 1) = Xp(t)c\rho p - 1 +K
\bigl[
g(s), \nu p(s)
\bigr]
(t), t \in [\Delta ;T ], c\rho p - 1 \in \BbbR \rho p - 1 .
Тут K[g(s), \nu p(s)](t) — узагальнений оператор Грiна задачi Кошi для породжуючої системи (4).
Розв’язок породжуючої системи (4)
y0(t) := K\Delta
\bigl[
f(s), \varphi (s), \nu p(s)
\bigr]
(t), t \in [\Delta ;T ],
неперервно та однозначно продовжує початкову функцiю за умови
PX\ast
p
(\Delta )
\bigl\{
\varphi (\Delta ) - K
\bigl[
g(s), \nu p(s)
\bigr]
(\Delta )
\bigr\}
= 0. (5)
Тут PX\ast
p
(\Delta ) — матриця-ортопроектор,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1172 О. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, В. О. КУЗЬМIНА
K\Delta
\bigl[
f(s), \varphi (s), \nu p(s)
\bigr]
(t) := Xp(t)X
+
p (\Delta )
\bigl\{
\varphi (\Delta ) -
- K
\bigl[
g(s), \nu p(s)
\bigr]
(\Delta )
\bigr\}
+K
\bigl[
g(s), \nu p(s)
\bigr]
(t), t \in [\Delta ;T ].
Як вiдомо, загальний вигляд
\ell y(\cdot ) :=
T\int
0
dW (t) y(t), W (t) \in \BbbV m\times n[0, T ],
лiнiйного функцiонала
\ell y(\cdot ) :=
T\int
0
dW (t) y(t) : \BbbC [0, T ] \rightarrow \BbbR \upsilon
визначає (\upsilon \times n)-вимiрна матриця W (t), елементи якої — функцiї обмеженої на вiдрiзку [0, T ]
варiацiї. Тут iнтеграл — це iнтеграл Рiмана – Стiлтьєса [1]. Отже, лiнiйний обмежений векторний
функцiонал \ell y(\cdot ) зображується у виглядi
\ell y(\cdot ) = \ell 0y(\cdot ) + \ell 1y(\cdot ) : \BbbC [0;T ] \rightarrow \BbbR \upsilon ,
де
\ell 0y(\cdot ) :=
\Delta \int
0
dW (t) y(t) : \BbbC [0;\Delta ] \rightarrow \BbbR \upsilon , \ell 1y(\cdot ) :=
T\int
\Delta
dW (t) y(t) : \BbbC [\Delta ;T ] \rightarrow \BbbR \upsilon
— лiнiйнi обмеженi векторнi функцiонали.
Припустимо, що для породжуючої крайової задачi (4) з прямокутною, або ж квадратною,
але виродженою матрицею A(t) сталого рангу, виконуються вимоги теореми у статтi [8, c. 15].
Породжуюча крайова задача (3) розв’язна тодi й лише тодi, коли
\ell 0 \varphi (\cdot ) + \ell 1K\Delta
\bigl[
f(s), \varphi (s), \nu p(s)
\bigr]
(\cdot ) = \alpha .
При цьому породжуюча крайова задача (3) має єдиний розв’язок
y0(t) = G[f(s), \varphi (s);\alpha ](t), t \in [\Delta ;T ],
який неперервно та однозначно продовжує початкову функцiю i зображується за допомогою
узагальненого оператора Грiна [8]
G[f(s), \varphi (s);\alpha ](t) := K\Delta
\bigl[
f(s), \varphi (s), \nu p(s)
\bigr]
(t), t \in [\Delta ;T ].
Таким чином, доведено таке твердження.
Лема. У випадку виродження порядку p для довiльної фiксованої неперервної вектор-
функцiї \nu p(t) диференцiально-алгебраїчна система (3) розв’язна тодi й лише тодi, коли
\ell 0 \varphi (\cdot ) + \ell 1K\Delta
\bigl[
f(s), \varphi (s), \nu p(s)
\bigr]
(\cdot ) = \alpha . (6)
У випадку (5), (6) породжуюча крайова задача (3) має єдиний розв’язок
y0(t) = G[f(s), \varphi (s);\alpha ](t), t \in [\Delta ;T ],
який неперервно та однозначно продовжує початкову функцiю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
НЕЛIНIЙНI IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ . . . 1173
Для фiксованої неперервної функцiї \nu p(t) розв’язок нелiнiйної крайової задачi (1), (2) шу-
каємо у виглядi
y(t) = y0(t) + x(t).
Тут PQ\ast — матриця-ортопроектор:
\BbbR \upsilon \rightarrow \BbbN (Q\ast ), Q := \ell 1Xp(\cdot ) \in \BbbR \upsilon \times \rho p - 1 .
Для знаходження вiдхилення
x(t) \in \BbbC [0, T ], x(t) \in \BbbD 2[0;T ], x\prime (t) \in \BbbL 2[\Delta ;T ],
вiд породжуючого розв’язку y0(t) отримуємо крайову задачу
A(t)x\prime (t) = B(t)x(t) + \Phi (t)
T\int
\Delta
F (y(s), y(h(s)), y\prime (s), s) ds, \ell y(\cdot ) = 0. (7)
Вiдхилення
x(t, u, v) = Xp(t)u+\Psi (t)v
вiд породжуючого розв’язку y0(t) визначають невiдомi сталi
v :=
T\int
\Delta
F (y(s), y(h(s)), y\prime (s), s) ds \in \BbbR q, u \in \BbbR n,
i матриця
\Psi (t) := K\Delta
\bigl[
f(s), \varphi (s), \nu p(s)
\bigr]
(t) \in \BbbD 2
n\times q[\Delta ;T ].
Шуканий розв’язок y(t) виродженої iнтегрально-диференцiальної системи (1) задовольняє кра-
йову умову (2) у випадку
Qv +Ru = 0, R := \ell \Psi (\cdot ) \in \BbbR \upsilon \times q. (8)
Позначимо через P0 \in \BbbR \rho p - 1\times \omega 0 матрицю, утворену з \omega 0 лiнiйно незалежних стовпцiв орто-
проектора PQ, а через P1 \in \BbbR q\times \omega 1 матрицю, утворену з \omega 1 лiнiйно незалежних стовпцiв
ортопроектора PR :
PR : \BbbR q \rightarrow \BbbN (R).
Умову (2) задовольняють вектори
u(c0) = P0 c0, v(c1) = P1 c1, c0 \in \BbbR \omega 0 , c1 \in \BbbR \omega 1 .
Для знаходження вектора
\v c :=
\Biggl(
c0
c1
\Biggr)
\in \BbbR \omega 0+\omega 1 ,
необхiдного для визначення невiдомих u(c0) i v(c1), отримуємо рiвняння
\psi (\v c) = 0, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1174 О. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, В. О. КУЗЬМIНА
де
\psi (\v c) := v(c1) -
T\int
\Delta
F
\bigl(
y(s, \v c), y(h(s), \v c), y\prime (s, \v c), s
\bigr)
dt
— нелiнiйна вектор-функцiя:
\psi (\v c) : \BbbR \omega 0+\omega 1 \rightarrow \BbbR \rho p - 1 .
Якщо для рiвняння (9) справджуються умови [9, 10], знаходимо невiдомi u(c0) i v(c1).
Таким чином, доведено таку теорему.
Теорема. Припустимо, що для породжуючої крайової задачi (4) виконуються умови на-
веденої вище леми. За цих умов для довiльної фiксованої неперервної вектор-функцiї \nu p(t)
породжуюча крайова задача (3) має єдиний розв’язок
y0(t) = G[f(s), \varphi (s);\alpha ](t), t \in [\Delta ;T ],
який неперервно та однозначно продовжує початкову функцiю. Шуканий розв’язок
y(t) = y0(t) + x(t), x(t) = X(t)v +\Psi (t)u, u(c0) = P0 c0, v(c1) = P1 c1
нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi (1), (2), не розв’язаної щодо похiдної,
визначає вектор \v c, який задовольняє нелiнiйне рiвняння (9). Припустимо, що для рiвняння (9)
виконуються такi умови:
1) нелiнiйна вектор-функцiя \psi (\v c), двiчi неперервно диференцiйовна по \v c в областi \Omega \subseteq
\subseteq \BbbR \omega 0+\omega 1 , в околi точки \v c0 має корiнь \v c;
2) в околi нульового наближення \v c0 \in \Omega \subseteq \BbbR \omega 0+\omega 1 виконуються нерiвностi\bigm\| \bigm\| J+
k
\bigm\| \bigm\| \leq \sigma 1(k),
\bigm\| \bigm\| d2\psi (\xi k ; \v c - \v ck)
\bigm\| \bigm\| \leq \sigma 2(k) \| \v c - \v ck\| ;
3) iснує стала
\theta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbN
\biggl\{
\sigma 1(k)\sigma 2(k)
2
\biggr\}
.
Тодi за умови
PJ\ast
k
= 0, Jk := \psi \prime (\v ck) \in \BbbR \rho p - 1\times (\omega 0+\omega 1),
для знаходження вектора \v c застосовна iтерацiйна схема
\v ck+1 = \v ck - J+
k \varphi (\v ck), k \in \BbbN , (10)
до того ж швидкiсть збiжностi послiдовностi наближень до розв’язку рiвняння (9) квадратич-
на. За умови x(\Delta ) = 0 знайдений розв’язок нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної крайової
задачi (1), (2), не розв’язаної щодо похiдної, неперервно та однозначно продовжує початкову
функцiю.
Доведена теорема узагальнює результати [4] на випадок диференцiально-алгебраїчної го-
ловної частини системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь типу Фредгольма з виродженим
ядром, а також результати [5] на випадок виродженої нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної
крайової задачi, не розв’язаної щодо похiдної. Крiм того, доведена теорема узагальнює резуль-
тати [11, 12] на випадок нелiнiйної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
НЕЛIНIЙНI IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ . . . 1175
Приклад 1. Умови доведеної теореми справджуються у випадку перiодичної крайової за-
дачi для рiвняння
A(t)y\prime (t) = B(t)y(t) + C(t)y(h(t)) + \Phi (t)
2\pi \int
\pi
F (y(s), y(h(s)), y\prime (s), s) ds+ f(t), (11)
де, зокрема,
A(t) :=
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t 0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\right) , B(t) :=
\left(
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\right) ,
C(t) :=
\left(
0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 0
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 0
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\right) , f(t) :=
\left(
0
1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
0
1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\right) .
Крiм того,
\Phi (t) :=
\left(
0 0 0
1 1 1
0 0 0
1 1 1
\right) , M(t) :=
\left(
0 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 0
3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t 0 0
0 0 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\right) .
Вiдхилення аргументу визначає неперервна функцiя
h(t) := t - \pi : [\pi , 2\pi ] \rightarrow [0, \pi ], F
\bigl(
y(t), y\prime (t), t
\bigr)
:=M(t) y(t) (y\prime (t))\ast y(t).
Розв’язок перiодичної крайової задачi для рiвняння (11) шукатимемо неперервним у точцi t = \pi
з початковою функцiєю
y(t) = \varphi (t) :=
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t 0 0
\bigr) \ast \in \BbbC 1[0, \pi ].
Оскiльки
PA\ast (t) =
1
4
\left(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - 1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t 1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t - 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - 1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t - 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t 1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t
\right) \not = 0,
породжуюча система для рiвняння (11) вироджена, а матриця A(t) має сталий ранг. Для поро-
джуючої системи для рiвняння (11) виконуються умови теореми у статтi [8, c. 15], до того ж
має мiсце виродження першого порядку: p = 1. Породжуюча система (4) для рiвняння (11) має
розв’язок
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1176 О. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, В. О. КУЗЬМIНА
y(t, c3) = X1(t) c3 +K
\bigl[
g(s)
\bigr]
(t), t \in [\pi ; 2\pi ], c3 \in \BbbR 3,
який не залежить вiд вектор-функцiї \nu 1(t). Тут
X1(t) =
\left(
1 0 t
0 0 1
e - t - 1 e - t 1 - e - t - t
\right) ,
а також
K
\bigl[
g(s)
\bigr]
(t) =
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - 1
0
1 - e - t
\right)
— узагальнений оператор Грiна задачi Кошi для породжуючої диференцiально-алгебраїчної
системи у випадку рiвняння (11). Умови (5) i (6) при цьому виконано, тому породжуюча крайова
задача для рiвняння (11) має єдиний розв’язок
y0(t) = G[f(s), \varphi (s);\alpha ](t) =
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
0
0
\right) , t \in [\pi ; 2\pi ],
який неперервно та однозначно продовжує початкову функцiю. Оскiльки
Q =
\left(
0 0 - 2\pi
0 0 0
1 - e - 2\pi 1 - e - 2\pi e - 2\pi - 1 + 2\pi
\right) , R = (e - 2\pi - 1)
\left(
0 0 0
0 0 0
1 1 1
\right) ,
отримуємо матрицi
P0 =
\left(
1
- 1
0
\right) , P1 =
\left(
2 - 1
- 1 2
- 1 - 1
\right) .
Перiодичний розв’язок рiвняння (11)
y(t) = y0(t, cr) + x(t), x(t) = X(t)v +\Psi (t)u, u(c0) = P0 c0, v(c1) = P1 c1,
не розв’язаного щодо похiдної, визначає вектор \v c, який задовольняє нелiнiйне рiвняння
\psi (\v c) :=
\left(
2 c2 - c3
- 4 c1 - c2 + 2 c3
- c2 - c3 - \pi c21
\right) = 0.
Для отриманого рiвняння справджуються умови [9, 10], тому для знаходження сталої \v c засто-
совна iтерацiйна схема (10). Справдi, за умови
\v c0 := -
\bigl(
1, 27 1, 7 3, 4
\bigr) \ast
, \| \varphi ( \v c0)\| \infty \approx 0, 02,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
НЕЛIНIЙНI IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ . . . 1177
на першому кроцi отримуємо PJ\ast
0
= 0, при цьому
\v c1 \approx
\left(
- 1, 27 325
- 1, 69 766
- 3, 39 533
\right) , \| \psi ( \v c1)\| \infty \approx 0, 0000 331 388.
На другому кроцi одержуємо PJ\ast
1
= 0, при цьому
\v c2 \approx
\left(
- 1, 273 239 544 789 068
- 1, 697 652 726 385 424
- 3, 395 305 452 770 848
\right) , \| \psi ( \v c2)\| \infty \approx 2, 15 622\times 10 - 10.
На третьому кроцi знаходимо PJ\ast
2
= 0, при цьому
\v c3 \approx
\left(
- 1, 273 239 544 735 162
- 1, 697 652 726 313 550
- 3, 395 305 452 627 100
\right) , \| \psi ( \v c3)\| \infty \approx 8, 88 178\times 10 - 16.
Оскiльки умову x(\Delta ) = 0 не виконано, перiодичний розв’язок рiвняння (11) однозначно про-
довжує початкову функцiю з розривом у точцi \pi . Водночас для рiвняння (9) у випадку рiвняння
(11) iснує тривiальний розв’язок \v c = 0, для якого умову (12) виконано. При цьому перiодична
крайова задача для рiвняння (11) має єдиний розв’язок
y(t) =
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
0
0
\right) , t \in [\pi ; 2\pi ],
який неперервно продовжує початкову функцiю.
3. Лiнiйнi iнтегрально-диференцiальнi крайовi задачi, не розв’язанi щодо похiдної з
вiдхиленням аргументу. Далi будемо вважати вектор-функцiю F (y(t), y(h(t)), y\prime (t), t) лiнiй-
ною за розв’язком y(t), y(h(t)) крайової задачi (1), (2) та його похiдною y\prime (t). Тому має мiсце
розклад
F (y0(t) + x(t), y(h(t)) + x(h(t)), y\prime 0(t) + x\prime (t), t) = F (y0(t), y0(h(t)), y
\prime
0(t), t)+
+\scrA 1(t)x(t) +\scrA 2(t)x(h(t)) +\scrA 3(t)x
\prime (t),
де
\scrA 1(t) :=
\partial F (y0(t) + x(t), y(h(t)) + x(h(t)), y\prime 0(t) + x\prime (t), t)
\partial x(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y(t) = y0(t)
y(h(t)) = y0(h(t))
y\prime (t) = y\prime 0(t)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1178 О. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, В. О. КУЗЬМIНА
\scrA 2(t) :=
\partial F (y0(t) + x(t), y(h(t)) + x(h(t)), y\prime 0(t) + x\prime (t), t)
\partial x(h(t))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y(t) = y0(t)
y(h(t)) = y0(h(t))
y\prime (t) = y\prime 0(t)
,
\scrA 3(t) :=
\partial F (y0(t) + x(t), y(h(t)) + x(h(t)), y\prime 0(t) + x\prime (t), t)
\partial x\prime (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y(t) = y0(t)
y(h(t)) = y0(h(t))
y\prime (t) = y\prime 0(t)
— неперервнi (q \times n)-вимiрнi матрицi. Нехай (q \times (\omega 0 + \omega 1))-вимiрна матриця
\scrQ := -
\Biggl\{ T\int
\Delta
\bigl[
\scrA 1(t)Xp(t) +\scrA 2(t)Xp(h(t)) +\scrA 3(t)X
\prime
p(t)
\bigr]
P0 dt;
T\int
\Delta
\bigl[
\scrA 1(t)\Psi (t) +\scrA 2(t)\Psi (h(t)) +\scrA 3(t)\Psi
\prime (t)
\bigr]
P1 dt - P1
\Biggr\}
i вектор
b :=
T\int
\Delta
F
\bigl(
y0(t), y0(h(t)), y
\prime
0(t), t
\bigr)
dt \in \BbbR q.
Для знаходження вектора \v c для фiксованої функцiї \nu p(t) \in \BbbL 2[a; b] отримуємо рiвняння
\scrQ \v c = b,
у випадку P\scrQ \ast \not = 0 розв’язне за умови
P\scrQ \ast b = 0 (12)
у виглядi
\v c = \scrQ +b+ P\scrQ \rho c\rho , c\rho \in \BbbR \rho .
Тут P\scrQ : \BbbR (\omega 0+\omega 1) \rightarrow \BbbN (\scrQ ) — ортопроектор матрицi \scrQ ; матриця P\scrQ \rho \in \BbbR n\times \rho утворена з \rho
лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-ортопроектора P\scrQ . Позначимо матрицi
\scrP 0 :=
\bigl(
I\omega 0 O
\bigr)
\in \BbbR \omega 0\times (\omega 0+\omega 1), \scrP 1 :=
\bigl(
O I\omega 1
\bigr)
\in \BbbR \omega 1\times (\omega 0+\omega 1).
Таким чином, побудовано розв’язок
y(t) \in \BbbD 2[\Delta ;T ], y\prime (t) \in \BbbL 2[\Delta ;T ],
крайової задачi (1), (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
НЕЛIНIЙНI IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ . . . 1179
y(t, c\rho ) = y0(t) +W (t)c\rho + V (t), t \in [\Delta ;T ], c\rho \in \BbbR \rho ,
де
W (t) := U(t)P\scrQ \rho , V (t) := U(t)\scrQ +b, U(t) := Xp(t)P0 \scrP 0 +\Psi (t)P1 \scrP 1.
Знайдений розв’язок крайової задачi (1), (2) неперервно продовжує початкову функцiю за умови
PW \ast (\Delta )V (\Delta ) = 0, (13)
де PW \ast (\Delta ) — матриця-ортопроектор:
PW \ast (\Delta ) : \BbbR \rho \rightarrow \BbbN (W \ast (\Delta )).
Таким чином, побудовано шуканий розв’язок крайової задачi (1), (2), який неперервно продов-
жує початкову функцiю
y(t, cr) =W (t)PW (\Delta )rcr - W (t)W+(\Delta )V (\Delta ) + V (t), t \in [\Delta ;T ], cr \in \BbbR r.
Тут PW (\Delta ) — матриця-ортопроектор:
PW (\Delta ) : \BbbR n \rightarrow \BbbN (W (\Delta )).
Матрицю PW (\Delta )r \in \BbbR n\times r утворено з r лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-ортопроектора
PW (\Delta ). Позначимо матрицю
Wr(t) :=W (t)PW (\Delta )r .
Таким чином, доведено таке твердження.
Наслiдок. Припустимо, що для породжуючої крайової задачi (4) виконуються умови на-
веденої вище леми. За цих умов для довiльної фiксованої неперервної вектор-функцiї \nu p(t)
породжуюча крайова задача (3) має єдиний розв’язок
y0(t) = G[f(s), \varphi (s);\alpha ](t), t \in [\Delta ;T ],
який неперервно та однозначно продовжує початкову функцiю. При цьому за умов (12), (13)
для довiльної фiксованої неперервної вектор-функцiї \nu p(t) крайова задача (1), (2) має розв’язок
y(t, cr) =Wr(t)cr +G[\Phi (s), \varphi (s);\alpha ](t), t \in [\Delta ;T ], cr \in \BbbR r,
який неперервно продовжує початкову функцiю i зображується за допомогою узагальненого
оператора Грiна крайової задачi (1), (2)
G[\Phi (s), \varphi (s);\alpha ](t) := V (t) - W (t)W+(\Delta )V (\Delta ), t \in [\Delta ;T ].
Доведений наслiдок узагальнює результати [4] на випадок диференцiально-алгебраїчної
головної частини системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь типу Фредгольма з виродженим
ядром, а також результати [5] на випадок виродженої нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної
крайової задачi, не розв’язаної щодо похiдної. Крiм того, доведена теорема узагальнює резуль-
тати [11, 12] на випадок диференцiально-алгебраїчної крайової задачi, яка мiстить iнтегральну
неоднорiднiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1180 О. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, В. О. КУЗЬМIНА
Приклад 2. Умови доведеного наслiдку справджуються у випадку перiодичної крайової
задачi для рiвняння
A(t)y\prime (t) = B(t)y(t) + C(t)y(h(t)) + \Phi (t)
2\pi \int
\pi
F
\bigl(
y(s), y(h(s)), y\prime (s), s
\bigr)
ds+ f(t), (14)
де матрицi A(t), B(t), C(t), \Phi (t), функцiя h(t), початкова функцiя \varphi (t) та неоднорiднiсть f(t)
наведено у прикладi 1, а лiнiйна функцiя
F
\bigl(
y(t), y\prime (t), t
\bigr)
:= g(t) +M0(t) y(t) +M1(t) y
\prime (t)
зображується таким чином:
g(t) :=
\left( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\right) , M0(t) :=
\left( 0 1 1
1 0 0
0 0 0
\right) , M1(t) :=
\left( 0 0 0
1 0 0
0 1 1
\right) .
Оскiльки PA\ast (t) \not = 0, породжуюча система для рiвняння (14) вироджена, матриця A(t) має
сталiй ранг. Для породжуючої системи для рiвняння (14) виконуються умови теореми у статтi
[8, c. 15], до того ж має мiсце виродження першого порядку: p = 1. Породжуюча система (4)
для рiвняння (14) має розв’язок
y(t, c3) = X1(t) c3 +K
\bigl[
g(s)
\bigr]
(t), t \in [\pi ; 2\pi ], c3 \in \BbbR 3,
який не залежить вiд вектор-функцiї \nu 1(t). Матриця X1(t), а також узагальнений оператор
Грiна задачi Кошi для породжуючої диференцiально-алгебраїчної системи у випадку рiвняння
(11) наведено у прикладi 1. Умови (5) i (6) при цьому виконано, тому породжуюча крайова
задача для рiвняння (11) має єдиний розв’язок
y0(t) = G[f(s), \varphi (s);\alpha ](t) =
\left( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
0
0
\right) , t \in [\pi ; 2\pi ],
який неперервно та однозначно продовжує початкову функцiю. Перiодичний розв’язок рiвнян-
ня (11)
y(t) = y0(t, cr) + x(t), x(t) = X(t)v +\Psi (t)u, u(c0) = P0 c0, v(c1) = P1 c1,
не розв’язаного щодо похiдної, визначає вектор \v c, який задовольняє лiнiйне рiвняння \scrQ c = 0.
Тут
\scrQ =
\left( \pi 2 - 1
- \pi - 1 2
0 - 1 - 1
\right) .
Матрицi P0, P1 наведено у прикладi 1. Внаслiдок однорiдностi останнє рiвняння розв’язне у
виглядi
\v c = P\scrQ \rho c\rho , c\rho \in \BbbR 1,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
НЕЛIНIЙНI IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ . . . 1181
P\scrQ \rho = \pi
\left( 3
- \pi
\pi
\right)
— матриця, утворена з \rho = 1 лiнiйно незалежних стовпцiв ортопроектора P\scrQ . Оскiльки умову
(12) виконано, перiодична крайова задача для рiвняння (14) має єдиний розв’язок
y(t) =
\left( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
0
0
\right) , t \in [\pi ; 2\pi ],
який неперервно продовжує початкову функцiю
Зазначимо, що у випадку нерозв’язностi нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної крайової
задачi (1), (2) її можна регуляризувати аналогiчно [13, 14]. Крiм того, запропоновану у статтi
схему дослiдження нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi (1), (2) можна по-
ширити на iнтегрально-диференцiальнi крайовi задачi з запiзненням бiльш загального вигляду
[1, 2, 15, 16], а також використати при дослiдженнi нелiнiйної iнтегрально-диференцiальної
крайової задачi (1), (2) з матрицею при похiднiй змiнного рангу [17].
Лiтература
1. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2th ed.,
De Gruyter, Berlin, Boston (2016).
2. Н. В. Азбелев, Н. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных
уравнений, Наука, Москва (1991).
3. С. М. Чуйко, О разрешимости линейной матричной краевой задачи, Известия вузов. Математика, № 4, 86 – 97
(2018).
4. А. М. Самойленко, О. A. Бойчук, С. А. Кривошея, Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-диференцiальних
рiвнянь типу Фредгольма з виродженим ядром, Укр. мат. журн., 48, № 11, 1576 – 1579 (1996).
5. С. М. Чуйко, О. В. Чуйко, В. О. Кузьмiна, Невиродженi лiнiйнi iнтегрально-диференцiальнi крайовi задачi, не
розв’язанi вiдносно похiдної, Буков. мат. журн., 8, № 2, 127 – 138 (2020).
6. S. L. Campbell, Singular systems of differential equations, Pitman Adv. Publ. Program, San Francisco etc. (1980).
7. В. Ф. Чистяков, Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром, Наука, Новосибирск (1996).
8. С. М. Чуйко, К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи, Укр. мат.
вiсн., 14, № 1, 16 – 32 (2017).
9. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, Москва (1977).
10. С. М. Чуйко, Про узагальнення теореми Ньютона – Канторовича у банаховому просторi, Доп. НАН України,
№ 6, 22 – 31 (2018).
11. A. A. Boichuk, A. A. Pokutnyi, V. F. Chistyakov, Application of perturbation theory to the solvability analysis of
differential algebraic equations, Comput. Math. and Math. Phys., 53, № 6, 777 – 788 (2013).
12. С. М. Чуйко, О разрешимости дифференциально-алгебраической краевой задачи, Мат. труды, 23, № 1, 187 – 206
(2020).
13. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, Москва (1986).
14. С. М. Чуйко, О регуляризации матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи, Укр. мат. вiсн.,
13, № 1, 76 – 90 (2016).
15. Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Уравнения с запаздывающим аргументом, Дифференц. уравнения, 18, № 12,
2027 – 2050 (1982).
16. С. М. Чуйко, О решении линейной нетеровой краевой задачи для дифференциально-алгебраической системы с
сосредоточенным запаздыванием методом наименьших квадратов, Укр. мат. вестн., 16, № 4, 503 – 513 (2019).
17. С. М. Чуйко, Диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi у випадку матрицi при похiднiй змiнного рангу, Укр.
мат. вiсн., 18, № 3, 303 – 318 (2021).
Одержано 25.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-6707 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:53Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9d/bb9c6ee079ef5c93ad0d4f4d61c1e89d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-67072023-01-07T13:45:34Z Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative Нелінійні інтегрально-диференціальні крайові задачі з відхиленням аргументу, не розв'язані щодо похідної Boichuk, O. A. Chuiko, S. M. Kuzmina, V. O. Бойчук, О. А. Чуйко, С. М. Кузьміна, В. О. Чуйко, Сергій Михайлович Диференціально-алгебраїчні системи, інтегро-диференціальні крайові задачі, відхилення аргументу Differential-algebraic equations, integro-differential boundary value problem, delay UDC 517.9 The investigations of  linear differential-algebraic boundary-value problems are closely connected with numerous applications of the corresponding mathematical models in the theory of nonlinear oscillations, mechanics, biology, radio-engineering, and the theory of stability of motion. Thus, the  problem of generalization of the results obtained by  S. Campbell, A. M. Samoilenko and O. A. Boichuk to the case of nonlinear boundary-value problems  unsolved with respect to the derivative seems to be quite urgent.  In particular, this is true for finding  necessary and sufficient conditions for the existence of the required solutions of  nonlinear integrodifferential boundary-value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative.  We establish the conditions for existence and propose a constructive scheme for finding the solutions of a nonlinear integrodifferential boundary-value problem with deviating argument unsolved with respect to the derivative. Исследование линейных дифференциально-алгебраических уравнений тесно связано с многочисленными приложениями соответствующих математических моделей в теории нелинейных колебаний, механике, биологии, радиотехнике и теории устойчивости движения. Таким образом, актуальна проблема переноса результатов, полученных в статьях и монографиях S. Campbell, А.М. Самойленко и А.А. Бойчука на нелинейные интегрально-дифференциальные краевые задачи, не разрешенные относительно производной, в частности, нахождение необходимых и достаточных условий существования решений нелинейных интегро-дифференциальных краевых задач с отклонением аргумента, не разрешенных относительно производной. В статье найдены конструктивные условия существования решений нелинейной интегро-дифференциальной краевой задачи, не разрешенной относительно производной с отклонением аргумента. УДК 517.9 Дослідження лінійних диференціально-алгебраїчних рівнянь тісно пов'язане з численними застосуваннями відповідних математичних моделей у теорії нелінійних коливань, механіці, біології, радіотехніці та теорії стійкості руху. Таким чином, актуальною є проблема перенесення результатів, отриманих у статтях та монографіях S. Campbell, А. М. Самойленка та О. А. Бойчука, на нелінійні інтегрально-диференціальні крайові задачі, не розв'язані щодо похідної, зокрема знаходження необхідних і достатніх умов існування розв'язків нелінійних інтегро-диференціальних крайових задач із відхиленням аргументу, не розв'язаних щодо похідної з відхиленням аргументу.   Знайдено конструктивні умови існування розв'язків нелінійної інтегро-диференціальної крайової задачі, не розв'язаної щодо похідної з відхиленням аргументу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-11-08 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6707 10.37863/umzh.v74i9.6707 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 9 (2022); 1170 - 1181 Український математичний журнал; Том 74 № 9 (2022); 1170 - 1181 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6707/9295 Copyright (c) 2022 Сергій Михайлович Чуйко |
| spellingShingle | Boichuk, O. A. Chuiko, S. M. Kuzmina, V. O. Бойчук, О. А. Чуйко, С. М. Кузьміна, В. О. Чуйко, Сергій Михайлович Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative |
| title | Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative |
| title_alt | Нелінійні інтегрально-диференціальні крайові задачі з відхиленням аргументу, не розв'язані щодо похідної |
| title_full | Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative |
| title_fullStr | Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative |
| title_full_unstemmed | Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative |
| title_short | Nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative |
| title_sort | nonlinear integrodifferential boundary value problems with deviating argument unsolved with respect to the derivative |
| topic_facet | Диференціально-алгебраїчні системи інтегро-диференціальні крайові задачі відхилення аргументу Differential-algebraic equations integro-differential boundary value problem delay |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6707 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa nonlinearintegrodifferentialboundaryvalueproblemswithdeviatingargumentunsolvedwithrespecttothederivative AT chuikosm nonlinearintegrodifferentialboundaryvalueproblemswithdeviatingargumentunsolvedwithrespecttothederivative AT kuzminavo nonlinearintegrodifferentialboundaryvalueproblemswithdeviatingargumentunsolvedwithrespecttothederivative AT bojčukoa nonlinearintegrodifferentialboundaryvalueproblemswithdeviatingargumentunsolvedwithrespecttothederivative AT čujkosm nonlinearintegrodifferentialboundaryvalueproblemswithdeviatingargumentunsolvedwithrespecttothederivative AT kuzʹmínavo nonlinearintegrodifferentialboundaryvalueproblemswithdeviatingargumentunsolvedwithrespecttothederivative AT čujkosergíjmihajlovič nonlinearintegrodifferentialboundaryvalueproblemswithdeviatingargumentunsolvedwithrespecttothederivative AT boichukoa nelíníjnííntegralʹnodiferencíalʹníkrajovízadačízvídhilennâmargumentunerozv039âzaníŝodopohídnoí AT chuikosm nelíníjnííntegralʹnodiferencíalʹníkrajovízadačízvídhilennâmargumentunerozv039âzaníŝodopohídnoí AT kuzminavo nelíníjnííntegralʹnodiferencíalʹníkrajovízadačízvídhilennâmargumentunerozv039âzaníŝodopohídnoí AT bojčukoa nelíníjnííntegralʹnodiferencíalʹníkrajovízadačízvídhilennâmargumentunerozv039âzaníŝodopohídnoí AT čujkosm nelíníjnííntegralʹnodiferencíalʹníkrajovízadačízvídhilennâmargumentunerozv039âzaníŝodopohídnoí AT kuzʹmínavo nelíníjnííntegralʹnodiferencíalʹníkrajovízadačízvídhilennâmargumentunerozv039âzaníŝodopohídnoí AT čujkosergíjmihajlovič nelíníjnííntegralʹnodiferencíalʹníkrajovízadačízvídhilennâmargumentunerozv039âzaníŝodopohídnoí |