On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras
UDC 512.554 The purpose of this article is to show a close relationship between the generalized central series of Leibniz algebras. Some analogues of the classical group-theoretical theorems by Schur and Baer for Leibniz algebras are proved.
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6739 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512510589796352 |
|---|---|
| author | Pypka, О. О. Пипка , О. О. |
| author_facet | Pypka, О. О. Пипка , О. О. |
| author_sort | Pypka, О. О. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:08Z |
| description | UDC 512.554
The purpose of this article is to show a close relationship between the generalized central series of Leibniz algebras. Some analogues of the classical group-theoretical theorems by Schur and Baer for Leibniz algebras are proved. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i12.6739 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i12.6739
УДК 512.554
О. О. Пипка (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ПРО ДЕЯКI ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКИ МIЖ УЗАГАЛЬНЕНО ЦЕНТРАЛЬНИМИ
РЯДАМИ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА
The purpose of this article is to show a close relationship between the generalized central series of Leibniz algebras. Some
analogues of the classical group-theoretical theorems by Schur and Baer for Leibniz algebras are proved.
Показано тiсний зв’язок мiж узагальнено центральними рядами алгебр Лейбнiца. Доведено деякi аналоги класичних
теоретико-групових теорем Шура та Бера для алгебр Лейбнiца.
1. Вступ. Для вiдтворення повної картини дослiджуваних питань наведемо спочатку деякi
класичнi теоретико-груповi результати. У 1951 р. Б. Нейман [12] довiв так звану теорему
Шура [10]: якщо фактор-група G/\zeta (G) скiнченна, то комутант [G,G] також є скiнченним i\bigm| \bigm| [G,G]
\bigm| \bigm| \leq tt
2+1, де t = | G/\zeta (G)| . Пiзнiше Дж. Вiголд [17] та Б. Верфрiц [16] значно покращили
цю оцiнку. Iснує велика кiлькiсть аналогiв теореми Шура для груп (див., наприклад, оглядову
статтю [5]). Серед них є результати, якi пов’язанi з групами автоморфiзмiв. Нехай G — група,
A — пiдгрупа групи автоморфiзмiв \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G). Покладемо
CG(A) =
\bigl\{
g \in G| \alpha (g) = g для кожного \alpha \in A
\bigr\}
,
[G,A] = \langle [g, \alpha ] = g - 1\alpha (g)| g \in G,\alpha \in A\rangle .
Пiдгрупи CG(A) та [G,A] називають A-центром та A-комутаторною пiдгрупою групи G.
П. Хегартi [6] довiв, що якщо A = \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G), а фактор-група G/CG(A) скiнченна, то пiдгрупа
[G,A] також є скiнченною. В роботi [4] було розглянуто бiльш загальний випадок: \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G) \leq A,
фактор-група A/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G) скiнченна, де \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G) — група внутрiшнiх автоморфiзмiв групи G. Для
цього випадку було доведено аналог теореми Шура: якщо фактор-група G/CG(A) скiнченна,
то пiдгрупа [G,A] також є скiнченною. I навiть бiльше, було знайдено оцiнку для порядку
пiдгрупи [G,A] у термiнах порядкiв | G/CG(A)| та | A/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G)| . Зокрема, якщо A = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G) або
A = \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G), то отримуємо звичайнi теореми Шура та Хегартi.
Вiдомо, що iснує тiсний зв’язок мiж групами та алгебрами Лi. Для алгебр Лi доведено
багато теоретико-групових результатiв i навпаки. Ця тематика не стала винятком. Зокрема,
аналог теореми Шура для алгебр Лi добре вiдомий (див., наприклад, [15]). Е. Л. Стiтцiнгер та
Р. М. Тьорнер довели [14] лiївський аналог теореми Хегартi. Нехай L — алгебра Лi над полем
F, \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L) — алгебра диференцiювань алгебри L. Вiдповiдно до [14] покладемо
H =
\bigcap
\alpha \in Der(L)
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\alpha ), L\ast =
\sum
\alpha \in Der(L)
\mathrm{I}\mathrm{m}(\alpha ).
Таким чином, пiдалгебри H i L\ast є лiївськими аналогами пiдгруп CG
\bigl(
\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)
\bigr)
i
\bigl[
G,\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)
\bigr]
.
З основного результату статтi [14] випливає, що якщо фактор-алгебра L/H має скiнченну
вимiрнiсть, то пiдалгебра L\ast також є скiнченновимiрною.
c\bigcirc О. О. ПИПКА, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12 1691
1692 О. О. ПИПКА
Розглянемо тепер (лiвi) алгебри Лейбнiца. Нехай L — алгебра над полем F iз бiнарни-
ми операцiями + i [ , ]. Тодi L називатимемо лiвою алгеброю Лейбнiца, якщо
\bigl[
[x, y], z
\bigr]
=
=
\bigl[
x, [y, z]
\bigr]
-
\bigl[
y, [x, z]
\bigr]
для всiх x, y, z \in L [2, 11]. Зазначимо, що кожна алгебра Лi L є
алгеброю Лейбнiца. I навiть бiльше, алгебри Лi можна охарактеризувати, як алгебри Лейбнiца,
в яких [x, x] = 0 для кожного x \in L.
Одним iз напрямкiв розвитку теорiї алгебр Лейбнiца є пошук аналогiчних результатiв з
теорiї алгебр Лi. Водночас мiж цими типами алгебр iснує суттєва вiдмiннiсть (див., наприклад,
оглядовi статтi [3, 7, 9]). Наведемо деякi необхiднi означення. Лiвий (вiдповiдно, правий) центр
\zeta l(L) (вiдповiдно, \zeta r(L)) алгебри Лейбнiца L визначають за правилом \zeta l(L) = \{ x \in L| [x, y] =
= 0 для кожного y \in L\}
\bigl(
вiдповiдно, \zeta r(L) =
\bigl\{
x \in L| [y, x] = 0для кожного y \in L
\bigr\} \bigr)
. Лiвий
центр є iдеалом алгебри L, але це не так для правого центра. Вiн є лише пiдалгеброю алгебри
L, i в загальному випадку лiвий i правий центри рiзнi. I навiть бiльше, вони можуть мати рiзнi
вимiрностi (див. приклад 2.1 у [8]). Центр \zeta (L) алгебри L — перетин лiвого i правого центрiв,
тобто
\zeta (L) =
\bigl\{
x \in L| [x, y] = 0 = [y, x] для кожного y \in L
\bigr\}
.
Очевидно, що \zeta (L) є iдеалом алгебри L. Отже, можна розглядати фактор-алгебру L/\zeta (L).
У роботi [8] доведено таку модифiкацiю аналога теореми Шура: якщо L є алгеброю Лей-
бнiца над полем F, а ковимiрностi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
\zeta l(L)
\bigr)
= l та \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\zeta
r(L)) = r скiнченнi, то
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F ([L,L]) \leq l(l + r). У зв’язку з цим виникає природне питання. Припустимо, що ли-
ше ковимiрнiсть \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\zeta
l(L)) скiнченна. Чи буде тодi вимiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F ([L,L]) скiнченною?
Приклад 3.1 з [8] дає негативну вiдповiдь на це питання. Проте маємо прямий аналог тео-
реми Шура для алгебр Лейбнiца: якщо L є алгеброю Лейбнiца над полем F, а ковимiрнiсть
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
\zeta (L)
\bigr)
= d скiнченна, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
[L,L]
\bigr)
\leq d2 [8].
З огляду на всi попереднi аргументи природно розглянути аналоги результатiв статтi [4]
для алгебр Лейбнiца. Спочатку визначимо аналоги A-центра та A-комутаторної пiдгрупи для
алгебр Лейбнiца. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, D — пiдалгебра алгебри \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L).
Покладемо
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(D) =
\bigcap
\alpha \in D
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\alpha ), [L,D] =
\sum
\alpha \in D
\mathrm{I}\mathrm{m}(\alpha ).
Нехай a \in L. Розглянемо вiдображення \mathrm{l}a : L \rightarrow L, визначене за правилом \mathrm{l}a(x) = [a, x].
Вiдомо, що \mathrm{l}a є диференцiюванням алгебри L, а множина \mathrm{A}\mathrm{d}l(L) = \{ \mathrm{l}a| a \in L\} — iдеалом
алгебри \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L) (див., наприклад, [7]).
Припустимо, що \mathrm{A}\mathrm{d}l(L) \leq D. Тодi \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(D) \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(\mathrm{A}\mathrm{d}
l(L)) = \zeta r(L). Отже,
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(D) \cap \zeta l(L) \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(\mathrm{A}\mathrm{d}
l(L)) \cap \zeta l(L) = \zeta r(L) \cap \zeta l(L) = \zeta (L).
Зокрема, \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(D) \cap \zeta l(L) є iдеалом в L.
Говоритимемо, що \mathrm{A}L(D) = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}L(D)\cap \zeta l(L) є D-центром алгебри L. Зазначимо, що якщо
\mathrm{A}L(D) \leq \zeta (L) i D = \mathrm{A}\mathrm{d}l(L), то D-центр є звичайним центром алгебри L. Говоритимемо,
що [L,D] є D-похiдною пiдалгеброю алгебри L. Якщо D = \mathrm{A}\mathrm{d}l(L), то [L,D] =
\bigl[
L,\mathrm{A}\mathrm{d}l(L)
\bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПРО ДЕЯКI ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКИ МIЖ УЗАГАЛЬНЕНО ЦЕНТРАЛЬНИМИ РЯДАМИ . . . 1693
Нехай x \in [L,\mathrm{A}\mathrm{d}l(L)], тодi x = [y, \mathrm{l}a] = \mathrm{l}a(y) = [a, y] для всiх a, y \in L. Це означає, що у цьому
випадку D-похiдна пiдалгебра [L,D] є звичайною похiдною пiдалгеброю [L,L] алгебри L.
Першим основним результатом цiєї статтi є така теорема.
Теорема А. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, D — така пiдалгебра алгебри
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L), що \mathrm{A}\mathrm{d}l(L) \leq D, а вимiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (D/\mathrm{A}\mathrm{d}l(L)) = k скiнченна. Якщо вимiрнiсть
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
L/\mathrm{A}L(D)
\bigr)
= t скiнченна, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
[L,D]
\bigr)
\leq t(k + t).
У статтi [1] Р. Бер узагальнив теорему Шура таким чином. Вiн довiв, що якщо фактор-
група G/\zeta k(G) скiнченна, тодi скiнченною є й пiдгрупа \gamma k+1(G). Тут через \zeta k(G) позначено
k-й член верхнього центрального ряду групи G, а через \gamma k+1(G) — (k + 1)-й член нижнього
центрального ряду групи G. Автоморфний аналог цього результату було доведено в роботi [4].
Я. Н. Стюарт [13] довiв, що якщо L — така алгебра Лi, що фактор-алгебра L/\zeta k(L) скiнченно-
вимiрна, то \gamma k+1(L) також є скiнченновимiрною пiдалгеброю. I навiть бiльше, знайдено верхню
оцiнку для вимiрностi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\gamma k+1(L)) [8]. У цiй же статтi було доведено аналог теореми Бера
для алгебр Лейбнiца.
Починаючи з \mathrm{A}L(D) та [L,D], де \mathrm{A}\mathrm{d}l(L) \leq D, можна побудувати верхнiй i нижнiй D-
центральнi ряди алгебри Лейбнiца L. Нехай \zeta 1(L,D) = \mathrm{A}L(D). Це дає можливiсть визначити
зростаючий ряд iдеалiв \zeta \nu (L,D) алгебри L, де \zeta \nu +1(L,D)/\zeta \nu (L,D) = \zeta 1(L/\zeta \nu (L,D), D). Як
завжди, якщо \lambda є граничним порядковим числом, то \zeta \lambda (L,D) =
\bigcup
\mu <\lambda \zeta \mu (L,D). Останнiй член
\zeta \infty (L,D) = \zeta \delta (L,D) цього ряду називатимемо верхнiм D-гiперцентром алгебри L, а число
\delta — верхньою D-центральною довжиною алгебри L, яку позначатимемо \mathrm{z}\mathrm{l}(L,D).
Нижнiй D-центральний ряд алгебри L — це спадний ряд
L = \gamma 1(L,D) \geq \gamma 2(L,D) \geq . . . \geq \gamma \nu (L,D) \geq \gamma \nu +1(L,D) \geq . . . ,
де \gamma 2(L,D) = [L,D], а для кожного порядкового числа \nu покладемо \gamma \nu +1(L,D) = [\gamma \nu (L,D), D].
Нехай для граничного порядкового числа \lambda \gamma \lambda (L,D) =
\bigcap
\mu <\lambda \gamma \mu (L,D).
Другим основним результатом статтi є така теорема.
Теорема Б. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, D — така пiдалгебра алгебри
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L), що \mathrm{A}\mathrm{d}l(L) \leq D, а вимiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (D/\mathrm{A}\mathrm{d}l(L)) = k скiнченна. Нехай Z — верхнiй
D-гiперцентр алгебри L. Припустимо, що верхня D-центральна довжина \mathrm{z}\mathrm{l}(L,D) = m i
вимiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/Z) = t скiнченна. Тодi пiдалгебра \gamma m+1(L,D) скiнченновимiрна й iснує
така функцiя f, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\gamma m+1(L,D)) \leq f(k,m, t).
2. Доведення теореми A. Оскiльки \mathrm{A}\mathrm{d}l(L) \leq D, то \mathrm{A}L(D) \leq \zeta (L), звiдки випливає, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/\zeta (L)) \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
L/\mathrm{A}L(D)
\bigr)
= t.
Тодi похiдна пiдалгебра K = [L,L] скiнченновимiрна й \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F ([L,L]) \leq t2 [8].
Покладемо Lab = L/K. Для кожного \alpha \in D визначимо вiдображення \alpha ab : Lab \rightarrow Lab за
таким правилом: \alpha ab(x+K) = \alpha (x) +K для кожного x \in L. Нехай x, y \in L, \lambda \in F. Оскiльки
\alpha ab
\bigl(
(x+K) + (y +K)
\bigr)
= \alpha ab
\bigl(
(x+ y) +K
\bigr)
= \alpha (x+ y) +K =
= \alpha (x) + \alpha (y) +K = (\alpha (x) +K) + (\alpha (y) +K) = \alpha ab(x+K) + \alpha ab(y +K)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1694 О. О. ПИПКА
\alpha ab(\lambda (x+K)) = \alpha ab(\lambda x+K) = \alpha (\lambda x) +K = \lambda \alpha (x) +K =
= \lambda (\alpha (x) +K) = \lambda \alpha ab(x+K),
то \alpha ab є ендоморфiзмом алгебри Lab.
Нехай знову x, y \in L. Тодi
\alpha ab
\bigl(
[x+K, y +K]
\bigr)
= \alpha ab
\bigl(
[x, y] +K
\bigr)
=
= \alpha
\bigl(
[x, y]
\bigr)
+K = [\alpha (x), y] + [x, \alpha (y)] +K =
=
\bigl(
[\alpha (x), y] +K
\bigr)
+
\bigl(
[x, \alpha (y)] +K
\bigr)
=
= [\alpha (x) +K, y +K] + [x+K,\alpha (y) +K] =
=
\bigl[
\alpha ab(x+K), y +K
\bigr]
+
\bigl[
x+K,\alpha ab(y +K)
\bigr]
,
тобто \alpha ab \in \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(Lab).
Нехай \alpha \in D. Розглянемо вiдображення d(\alpha ) : Lab \rightarrow Lab, визначене за правилом d(\alpha )(x) =
= [x, \alpha ab] = \alpha ab(x), x \in Lab. Тодi
d(\alpha )(x+ y) = [x+ y, \alpha ab] = \alpha ab(x+ y) =
= \alpha ab(x) + \alpha ab(y) = [x, \alpha ab] + [y, \alpha ab] = d(\alpha )(x) + d(\alpha )(y),
d(\alpha )(\lambda x) = [\lambda x, \alpha ab] = \alpha ab(\lambda x) = \lambda \alpha ab(x) = \lambda [x, \alpha ab] = \lambda d(\alpha )(x).
Iнакше кажучи, d(\alpha ) є ендоморфiзмом алгебри Lab.
I навiть бiльше, \mathrm{I}\mathrm{m}
\bigl(
d(\alpha )
\bigr)
= [Lab, \alpha ab], \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(d(\alpha )) \geq \mathrm{A}Lab
(\alpha ab), звiдки випливає, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\Bigl(
Lab/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
d(\alpha )
\bigr) \bigr)
\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (Lab/\mathrm{A}Lab
(\alpha ab)). Отже,
[Lab, \alpha ab] = \mathrm{I}\mathrm{m}
\bigl(
d(\alpha )
\bigr) \sim = Lab/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
d(\alpha )
\bigr)
.
Якщо x \in \mathrm{A}L(\alpha ), то \alpha ab(x+K) = \alpha (x)+K = K, тобто x+K \in \mathrm{A}Lab
(\alpha ab). Таким чином,\bigl(
\mathrm{A}L(\alpha ) +K
\bigr)
/K \leq \mathrm{A}Lab
(\alpha ab). Iз включення \mathrm{A}L(D) \leq \mathrm{A}L(\alpha ) випливає, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
L/\mathrm{A}L(\alpha )
\bigr)
\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
L/\mathrm{A}L(D)
\bigr)
= t.
Отже, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
Lab/\mathrm{A}Lab
(\alpha ab)
\bigr)
\leq t, а тому \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
[Lab, \alpha ab]
\bigr)
\leq t для кожного \alpha \in D.
Нехай B = \{ \alpha 1, . . . , \alpha k\} — базис фактор-алгебри D/\mathrm{A}\mathrm{d}l(L), \beta \in \mathrm{A}\mathrm{d}l(L)+\alpha . Тодi \beta = \mathrm{l}z+\alpha
для деякого z \in L. Для довiльного елемента y \in L маємо
[y, \beta ] = \beta (y) = (\mathrm{l}z + \alpha )(y) = \mathrm{l}z(y) + \alpha (y) = [z, y] + [y, \alpha ].
Це означає, що
[y, \beta ] +K = [z, y] + [y, \alpha ] +K = ([z, y] +K) +
\bigl(
[y, \alpha ] +K
\bigr)
= [z +K, y +K] +
\bigl(
[y, \alpha ] +K
\bigr)
.
Оскiльки фактор-алгебра L/K абелева, то [z +K, y +K] = 0, тобто [y, \beta ] +K = [y, \alpha ] +K. З
iншого боку,
[x+K,\alpha ab] = \alpha ab(x+K) = \alpha (x) +K = [x, \alpha ] +K,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПРО ДЕЯКI ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКИ МIЖ УЗАГАЛЬНЕНО ЦЕНТРАЛЬНИМИ РЯДАМИ . . . 1695
звiдки випливає, що [Lab, \alpha ab] =
\bigl(
[L,\alpha ] +K
\bigr)
/K.
Очевидно, що [L,D] = \langle [L, \beta ]| \beta \in D\rangle = \langle [L, \beta ]| \beta \in \mathrm{A}\mathrm{d}l(L) + \alpha j , 1 \leq j \leq k\rangle , а тому\bigl(
[L,D] +K
\bigr)
/K =
\sum
\beta \in Adl(L)+\alpha j
1\leq j\leq k
([L, \beta ] +K)/K =
=
\sum
1\leq j\leq k
\bigl(
[L,\alpha j ] +K
\bigr)
/K =
\sum
1\leq j\leq k
[Lab, (\alpha j)ab].
Це означає, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
([L,D] +K)/K
\bigr)
\leq tk, звiдки випливає, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
[L,D]
\bigr)
\leq tk + t2 = t(k + t).
Теорему А доведено.
Якщо D = \mathrm{A}\mathrm{d}l(L), то \mathrm{A}L(D) = \zeta (L), [L,D] = [L,L], i як наслiдок отримуємо прямий
аналог теореми Шура для алгебр Лейбнiца.
Наслiдок 2.1 [8]. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Якщо фактор-алгебра L/\zeta (L)
має скiнченну вимiрнiсть t, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F ([L,L]) \leq t2.
Зокрема, якщо L є алгеброю Лi, то отримуємо прямий аналог теореми Шура для алгебр Лi.
Наслiдок 2.2 [15]. Нехай L — алгебра Лi над полем F. Якщо фактор-алгебра L/\zeta (L) має
скiнченну вимiрнiсть t, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F ([L,L]) \leq t(t+ 1)/2.
Повторюючи майже дослiвно доведення теореми 1 з роботи [14], можна переконатися, що
якщо вимiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/\mathrm{A}L(\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L))) скiнченна, то алгебра \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L) також скiнченновимiрна.
Таким чином, якщо D = \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L), то отримуємо такий прямий аналог теореми Хегартi для
алгебр Лейбнiца.
Наслiдок 2.3. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Якщо фактор-алгебра
L/\mathrm{A}L
\bigl(
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L)
\bigr)
має скiнченну вимiрнiсть t, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
[L,\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L)]
\bigr)
\leq t(t+ 1).
Зокрема, якщо L є алгеброю Лi, то отримуємо такий прямий аналог теореми Хегартi для
алгебр Лi.
Наслiдок 2.4 [14]. Нехай L — алгебра Лi над полем F. Якщо фактор-алгебра L/\mathrm{A}L
\bigl(
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L)
\bigr)
має скiнченну вимiрнiсть t, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
[L,\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(L)]
\bigr)
\leq t(t+ 1)/2.
3. Доведення теореми Б. Розглянемо верхнiй D-центральний ряд алгебри L:
\langle 0\rangle = Z0 \leq Z1 \leq . . . \leq Zm - 1 \leq Zm = Z.
Скористаємося iндукцiєю по m. Якщо m = 1, то Z1 = \mathrm{A}L(D), \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (L/Z1) = t, i з теореми A
випливає, що пiдалгебра [L,D] = \gamma 2(L,D) скiнченновимiрна, а її вимiрнiсть не перевищує
t(k + t).
Припустимо, що результат правильний для деякого m - 1, i нехай L — алгебра Лейбнiца,
яка задовольняє умови теореми при \mathrm{z}\mathrm{l}(L,D) = m. Покладемо U = L/Z1. Для кожного \alpha \in D
визначимо вiдображення \alpha U : U \rightarrow U за правилом
\alpha U (x+ Z1) = \alpha (x) + Z1
для кожного x \in L. Оскiльки
\alpha U
\bigl(
(x+ Z1) + (y + Z1)
\bigr)
= \alpha U (x+ Z1) + \alpha U (y + Z1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1696 О. О. ПИПКА
i
\alpha U (\lambda (x+ Z1)) = \lambda \alpha U (x+ Z1),
то \alpha U є ендоморфiзмом алгебри U. I навiть бiльше,
\alpha U
\bigl(
[x+ Z1, y + Z1]
\bigr)
=
\bigl[
\alpha U (x+ Z1), y + Z1
\bigr]
+
\bigl[
x+ Z1, \alpha U (y + Z1)
\bigr]
.
Отже, \alpha U \in \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(U).
Розглянемо вiдображення \eta : D \rightarrow \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(U), визначене за правилом \eta (\alpha ) = \alpha U . Очевидно,
що \eta є гомоморфiзмом. Нехай \alpha \in \mathrm{A}\mathrm{d}l(L), тобто \alpha = \mathrm{l}a для деякого a \in L. Тодi \eta (\alpha ) = \alpha U =
= (\mathrm{l}a)U i
(\mathrm{l}a)U (x+ Z1) = \mathrm{l}a(x) + Z1 = [a, x] + Z1 = [a+ Z1, x+ Z1] = \mathrm{l}a+Z1(x+ Z1),
звiдки випливає, що \eta
\bigl(
\mathrm{A}\mathrm{d}l(L)
\bigr)
= \mathrm{A}\mathrm{d}l(U). Це означає, що \mathrm{A}\mathrm{d}l(U) = \eta
\bigl(
\mathrm{A}\mathrm{d}l(L)
\bigr)
\leq \eta (D), а
вимiрнiсть \eta (D)/\mathrm{A}\mathrm{d}l(U) скiнченна i не перевищує k. I навiть бiльше, ряд
\langle 0\rangle = Z1/Z1 \leq Z2/Z1 \leq . . . \leq Zm - 1/Z1 \leq Zm/Z1
є верхнiм D-центральним рядом L/Z1. Оскiльки \mathrm{z}\mathrm{l}
\bigl(
L/Z1, \eta (D)
\bigr)
= m - 1, то за iндуктивним
припущенням пiдалгебра \gamma m
\bigl(
L/Z1, \eta (D)
\bigr)
скiнченновимiрна й iснує така функцiя \beta (k,m - 1, t),
що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\Bigl(
\gamma m
\bigl(
L/Z1, \eta (D)
\bigr) \Bigr)
\leq \beta (k,m - 1, t).
Маємо \gamma m(L/Z1, D) =
\bigl(
\gamma m(L,D) + Z1
\bigr)
/Z1. Нехай
K/Z1 = \gamma m
\bigl(
L/Z1, \eta (D)
\bigr)
= \gamma m(L/Z1, D).
Зауважимо, що фактор-алгебра K/Z1 скiнченновимiрна i
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (K/Z1) \leq \beta (k,m - 1, t) = r.
Отже, можемо застосувати теорему A до K. Отримуємо, що пiдалгебра [K,D] скiнченнови-
мiрна i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
[K,D]
\bigr)
\leq r(k + r). Нарештi, оскiльки
\gamma m+1(L,D) =
\bigl[
\gamma m(L,D), D
\bigr]
\leq [K,D],
то пiдалгебра \gamma m+1(L,D) скiнченновимiрна, а її вимiрнiсть не перевищує
r(k + r) = \beta (k,m, t).
Теорему Б доведено.
Функцiя \beta (k,m, t) визначена за правилом \beta (k, 1, t) = t(k + t), а в загальному випадку
\beta (k,m+ 1, t) = \beta (k,m, t)
\bigl(
k + \beta (k,m, t)
\bigr)
.
Якщо D = \mathrm{A}\mathrm{d}l(L), то \zeta k(L,D) = \zeta k(L), \gamma k(L,D) = \gamma k(L), i як наслiдок отримуємо такий
прямий аналог теореми Бера для алгебр Лейбнiца.
Наслiдок 3.1 [8]. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Якщо фактор-алгебра L/\zeta k(L)
має скiнченну вимiрнiсть t, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F (\gamma k+1(L)) \leq 2k - 1tk+1.
Насамкiнець, якщо L є алгеброю Лi, то отримуємо такий прямий аналог теореми Бера для
алгебр Лi.
Наслiдок 3.2 [8, 13]. Нехай L — алгебра Лi над полем F. Якщо L/\zeta k(L) має скiнченну
вимiрнiсть t, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F
\bigl(
\gamma k+1(L)
\bigr)
\leq tk(t+ 1)/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ПРО ДЕЯКI ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКИ МIЖ УЗАГАЛЬНЕНО ЦЕНТРАЛЬНИМИ РЯДАМИ . . . 1697
Лiтература
1. R. Baer, Endlichkeitskriterien für Kommutatorgruppen, Math. Ann., 124, 161 – 177 (1952);
DOI:10.1007/BF01343558.
2. A. Blokh, On a generalization of the concept of Lie algebra, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 165, № 3, 471 – 473 (1965)
(in Russian).
3. V. A. Chupordia, A. A. Pypka, N. N. Semko, V. S. Yashchuk, Leibniz algebras: a brief review of current results,
Carpathian Math. Publ., 11, № 2, 250 – 257 (2019); DOI:10.15330/cmp.11.2.250-257.
4. M. R. Dixon, L. A. Kurdachenko, A. A. Pypka, On some variants of theorems of Schur and Baer, Milan J. Math.,
82, № 2, 233 – 241 (2014); DOI:10.1007/s00032-014-0215-9.
5. M. R. Dixon, L. A. Kurdachenko, A. A. Pypka, The theorems of Schur and Baer: a survey, Int. J. Group Theory, 4,
№ 1, 21 – 32 (2015); DOI:10.22108/ IJGT.2015.7376.
6. P. Hegarty, The absolute centre of a group, J. Algebra, 169, 929 – 935 (1994); DOI:10.1006/jabr.1994.1318.
7. V. V. Kirichenko, L. A. Kurdachenko, A. A. Pypka, I. Ya. Subbotin, Some aspects of Leibniz algebra theory, Algebra
and Discrete Math., 24, № 1, 1 – 33 (2017).
8. L. A. Kurdachenko, J. Otal, A. A. Pypka, Relationships between the factors of the canonical central series of Leibniz
algebras, Eur. J. Math., 2, № 2, 565 – 577 (2016); DOI:10.1007/s40879-016-0093-5.
9. L. A. Kurdachenko, N. N. Semko, I. Ya. Subbotin, Applying group theory philosophy to Leibniz algebras: some new
developments, Adv. Group Theory and Appl., 9, 71 – 121 (2020); DOI:10.32037/agta-2020-004.
10. L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, A brief history of an important classical theorem, Adv. Group Theory and Appl.,
2, 121 – 124 (2016); DOI:10.4399/97888548970148.
11. J.-L. Loday, Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbras de Leibniz, Enseign. Math., 39, 269 – 293
(1993).
12. B. H. Neumann, Groups with finite classes of conjugate elements, Proc. London Math. Soc. (3), 1, № 1, 178 – 187
(1951); DOI:10.1112/plms/s3-1.1.178.
13. I. N. Stewart, Verbal and marginal properties of non-associative algebras, Proc. London Math. Soc. (3), 28, № 1,
129 – 140 (1974); DOI:10.1112/plms/s3-28.1.129.
14. E. Stitzinger, R. Turner, Concerning derivations of Lie algebras, Linear and Multilinear Algebra, 45, № 4, 329 – 331
(1999); DOI:10.1080/03081089908818596.
15. M. R. Vaughan-Lee, Metabelian BFC p-groups, J. London Math. Soc. (2), 5, № 4, 673 – 680 (1972);
DOI:10.1112/jlms/s2 – 5.4.673.
16. B. A. F. Wehrfritz, Schur’s theorem and Wiegold’s bound, J. Algebra, 504, 440 – 444 (2018);
DOI:10.1016/j.jalgebra.2018.02.023.
17. J. Wiegold, Multiplicators and groups with finite central factor-groups, Math. Z., 89, № 4, 345 – 347 (1965);
DOI:10.1007/BF01112166.
Одержано 11.05.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6739 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:56Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b1/d7760a284f520f4ed3a099abd0c0f7b1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-67392025-03-31T08:46:08Z On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras О некоторых взаимосвязях между обобщенно центральными рядами алгебр Лейбница Про деякі взаємозв’язки між узагальнено центральними рядами алгебр Лейбніца Pypka, О. О. Пипка , О. О. алгебра Лейбніца, алгебра Лі, теорема Шура, теорема Бера, теорема Хегарті, D-центр, D-похідна підалгебра, верхній (нижній) D-центральний ряд Leibniz algebra, Lie algebra, Schur's theorem, Baer's theorem, Hegarty's theorem, D-center, D-derived subalgebra, upper (lower) D-central series UDC 512.554 The purpose of this article is to show a close relationship between the generalized central series of Leibniz algebras. Some analogues of the classical group-theoretical theorems by Schur and Baer for Leibniz algebras are proved. Целью статьи является показать тесную связь между обобщенно центральными рядами алгебр Лейбница. Доказаны некоторые аналоги классических теоретико-групповых теорем Шура и Бэра для алгебр Лейбница. УДК 512.554 Показано тiсний зв’язок мiж узагальнено центральними рядами алгебр Лейбнiца. Доведено деякi аналоги класичних теоретико-групових теорем Шура та Бера для алгебр Лейбнiца. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-12-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6739 10.37863/umzh.v73i12.6739 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 12 (2021); 1691 - 1697 Український математичний журнал; Том 73 № 12 (2021); 1691 - 1697 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6739/9164 Copyright (c) 2021 Oleksandr Pypka |
| spellingShingle | Pypka, О. О. Пипка , О. О. On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras |
| title | On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras |
| title_alt | О некоторых взаимосвязях между обобщенно центральными рядами алгебр Лейбница Про деякі взаємозв’язки між узагальнено центральними рядами алгебр Лейбніца |
| title_full | On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras |
| title_fullStr | On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras |
| title_full_unstemmed | On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras |
| title_short | On some relationships between the generalized central series of Leibniz algebras |
| title_sort | on some relationships between the generalized central series of leibniz algebras |
| topic_facet | алгебра Лейбніца алгебра Лі теорема Шура теорема Бера теорема Хегарті D-центр D-похідна підалгебра верхній (нижній) D-центральний ряд Leibniz algebra Lie algebra Schur's theorem Baer's theorem Hegarty's theorem D-center D-derived subalgebra upper (lower) D-central series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6739 |
| work_keys_str_mv | AT pypkaoo onsomerelationshipsbetweenthegeneralizedcentralseriesofleibnizalgebras AT pipkaoo onsomerelationshipsbetweenthegeneralizedcentralseriesofleibnizalgebras AT pypkaoo onekotoryhvzaimosvâzâhmežduobobŝennocentralʹnymirâdamialgebrlejbnica AT pipkaoo onekotoryhvzaimosvâzâhmežduobobŝennocentralʹnymirâdamialgebrlejbnica AT pypkaoo prodeâkívzaêmozvâzkimížuzagalʹnenocentralʹnimirâdamialgebrlejbníca AT pipkaoo prodeâkívzaêmozvâzkimížuzagalʹnenocentralʹnimirâdamialgebrlejbníca |