Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space
UDC 514.764 We find possible values of  curvature of the Grassmann manifold along the  planes tangential to the Grassmann image of a two-dimensional nonisotropic surface with flat normal connection in the four-dimensional Minkowski space. It is shown that if th...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6743 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865793584346693632 |
|---|---|
| author | Stegantseva, P. Grechneva, M. Стеганцева, Полина Стєганцева, Поліна Гречнєва, Марина |
| author_facet | Stegantseva, P. Grechneva, M. Стеганцева, Полина Стєганцева, Поліна Гречнєва, Марина |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Поліна Стєганцева",
"institution": "Запорізький національний університет"
},
{
"author": "Марина Гречнєва",
"institution": "Запорізький національний університет"
}
] |
| author_sort | Stegantseva, P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:22Z |
| description | UDC 514.764
We find possible values of  curvature of the Grassmann manifold along the  planes tangential to the Grassmann image of a two-dimensional nonisotropic surface with flat normal connection in the four-dimensional Minkowski space. It is shown that if the surface with  flat normal connection is time-like, then the analyzed curvature may take values from the set $[0,1].$ However, if the surface with flat normal connection is space-like, then this curvature may take values from $(-\infty,-1]$ in the case of a space-like Grassmann image or the values from $[0,\infty)$ in the case of a time-like Grassmann image. The existence of two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and constant curvature of their Grassmann image is proved for all values of curvature from the obtained sets. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v74i4.6743 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:29:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i4.6743
УДК 514.764
Полiна Стєганцева, Марина Гречнєва1 (Запорiзький нацiональний унiверситет)
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI
З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ
I НЕВИРОДЖЕНИМ ГРАССМАНОВИМ ОБРАЗОМ СТАЛОЇ КРИВИНИ
У ПРОСТОРI МIНКОВСЬКОГО
We find possible values of curvature of the Grassmann manifold along the planes tangential to the Grassmann image of a
two-dimensional nonisotropic surface with flat normal connection in the four-dimensional Minkowski space. It is shown
that if the surface with flat normal connection is time-like, then the analyzed curvature may take values from the set [0, 1].
However, if the surface with flat normal connection is space-like, then this curvature may take values from ( - \infty , - 1] in
the case of a space-like Grassmann image or the values from [0,\infty ) in the case of a time-like Grassmann image. The
existence of two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and constant curvature of their Grassmann
image is proved for all values of curvature from the obtained sets.
Знайдено значення, яких може набувати кривина грассманового многовиду вздовж площин, дотичних до грассма-
нового образу двовимiрної неiзотропної поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю у чотиривимiрному просторi
Мiнковського. Показано, що у випадку часоподiбної поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю кривина набуває
значень з множини [0, 1]. Якщо ж поверхня з плоскою нормальною зв’язнiстю є просторовоподiбною, то значення
цiєї кривини належать множинi ( - \infty , - 1] у випадку просторовоподiбного грассманового образу i є невiд’ємними
у випадку часоподiбного грассманового образу. Доведено iснування двовимiрних неiзотропних поверхонь з плос-
кою нормальною зв’язнiстю та сталою кривиною їх грассманового образу для всiх значень кривини зi знайдених
множин.
1. Вступ. Диференцiальну геометрiю грассманових многовидiв та їх пiдмноговидiв викладено,
наприклад, у монографiях Ю. А. Амiнова [1] i О. А. Борисенка [3]. Важливою геометричною
характеристикою пiдмноговидiв в евклiдових та неевклiдових просторах є їх грассмановий
образ, який є узагальненням гауссового сферичного образу поверхнi. Використання поняття
грассманового образу поверхнi розширює коло задач i є одним iз методiв вивчення диферен-
цiальної геометрiї поверхнi. Дослiдження поверхонь евклiдового простору та їх грассманових
образiв сприяли розв’язанню рiзноманiтних задач:
визначенню обмежень на значення кривини грассманового многовиду вздовж площин, до-
тичних до грассманового образу поверхнi (кривини грассманового образу поверхнi);
видiленню класiв поверхонь, якi визначають тi чи iншi значення кривини грассманового
образу;
доведенню можливостi iзометричного занурення поверхнi iз заданими властивостями її
грассманового образу у багатовимiрнi простори або, iнакше, доведенню iснування поверхнi iз
заданими властивостями її грассманового образу
та iнших.
Аналогiчнi задачi ставились i розв’язувались для поверхонь у неевклiдових просторах. Для
першої з цих задач вiдомi такi результати.
Ю. Вонг у [12] встановив, що секцiйна кривина K(\sigma ) грассманового многовиду G(2, 4)
евклiдового простору R4 набуває значень з вiдрiзка [0, 2]. В роботi [8] зазначено, а в робо-
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: grechnevamarina@gmail.com.
c\bigcirc ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4 533
534 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
тi [9] доведено, що кривина грассманового образу неiзотропної поверхнi псевдоевклiдового
простору може набувати будь-яких дiйсних значень. Роботу [5] присвячено знаходженню екс-
тремальних значень кривини грассманового образу та поверхонь, якi вiдповiдають цим зна-
ченням.
Розв’язанню другої задачi присвячено роботи [4, 11], в яких дослiджувались поверхнi евклi-
дового простору, для яких кривина грассманового образу набуває вiдповiдно максимального та
мiнiмального значень. Максимальне значення вiдповiдає класу мiнiмальних поверхонь, елiпс
нормальної кривини яких є колом. Мiнiмальне значення видiляє клас поверхонь з плоскою
нормальною зв’язнiстю i плоскою iндукованою метрикою. Роботи [6, 10] також присвячено
дослiдженню властивостей поверхонь з плоскою нормальною зв’язнiстю.
Питання занурення пiдмноговидiв у рiзнi рiмановi та псевдорiмановi простори розглядалось
рiзними видатними геометрами. Згадаємо тут лише роботу [2] про занурення евклiдової пло-
щини у чотиривимiрний евклiдiв простiр. Автор роботи пропонує два пiдходи до розв’язання
цiєї задачi. При одному з цих пiдходiв задача занурення поверхнi розв’язується за допомогою її
грассманового образу й еквiвалентна задачi вiдновлення поверхнi за її грассмановим образом.
Результати розв’язання аналогiчних задач для поверхонь простору Мiнковського залежать вiд
типу їх грассманового образу.
Цю статтю присвячено розв’язанню другої та третьої з вказаних задач, а саме висвiтленню
таких питань: яких значень може набувати кривина грассманового образу двовимiрної поверхнi
з плоскою нормальною зв’язнiстю у чотиривимiрному просторi Мiнковського в залежностi вiд
типу поверхнi та типу її грассманового образу; для яких значень k iснують поверхнi з плоскою
нормальною зв’язнiстю i грассмановим образом сталої кривини k.
2. Основнi поняття та конструкцiї. Многовидом Грассмана G(l, l + p) (грассмановим
многовидом) називається множина l-площин (l+ p)-вимiрного евклiдового простору Rl+p, що
проходять через початок координат.
У просторi Мiнковського 1R4 (з метрикою ds2 = - dx21+ dx22+ dx23+ dx24) множину двови-
мiрних площин, що проходять через фiксовану точку O, за аналогiєю з евклiдовим простором,
називають грассмановим многовидом. Будемо його позначати PG(2, 4). У просторi 1R4 кожна
iз цих площин є площиною певного типу: просторовоподiбною (ортонормований базис напрям-
них векторiв складається з двох просторовоподiбних векторiв), часоподiбною (ортонормований
базис напрямних векторiв складається з часоподiбного та просторовоподiбного векторiв) або
iзотропною (ортонормований базис напрямних векторiв складається з iзотропного та просторо-
воподiбного векторiв), а многовид PG(2, 4) є диз’юнктним об’єднанням трьох пiдмноговидiв:
SPG(2, 4), TPG(2, 4) та IsPG(2, 4).
При стандартному плюккеровому вкладеннi [1] грассманового многовиду PG(2, 4) метри-
ка простору 1R4 породжує в просторi бiвекторiв метрику простору 3R6 — шестивимiрного
псевдоевклiдового простору iндексу 3. Ранiше було показано, що пiдмноговиди просторово-
подiбних SPG(2, 4) та часоподiбних TPG(2, 4) площин грассманового многовиду PG(2, 4)
є псевдорiмановими чотиривимiрними многовидами цього простору, а дотичний простiр до
кожного з цих многовидiв має метрику сигнатури ( - - ++) [9].
Нехай V 2 — двовимiрна поверхня класу Ck, k \geq 1, у просторi 1R4. Поверхня простору 1R4
називається просторовоподiбною (часоподiбною, iзотропною), якщо дотична до неї площина
в кожнiй точцi є просторовоподiбною (часоподiбною, iзотропною). Будемо розглядати такi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 535
двовимiрнi поверхнi простору 1R4 або такi областi на цих поверхнях, у яких тип дотичної
площини в кожнiй точцi один i той самий.
Поставимо у вiдповiднiсть кожнiй точцi поверхнi V 2 площину, яка проходить через фiксо-
вану точку O простору 1R4 i паралельна нормальнiй площинi в цiй точцi. Цим встановлюється
вiдображення поверхнi V 2 в грассмановий многовид PG(2, 4). Грассмановим образом поверх-
нi V 2 називають образ зазначеного вiдображення. Грассмановий образ просторовоподiбної
(часоподiбної) двовимiрної поверхнi простору 1R4 є двовимiрним пiдмноговидом многовиду
часоподiбних (просторовоподiбних) площин. Iндукована метрика грассманового образу може
бути знаковизначеною, знаконевизначеною або виродженою, а отже грассмановий образ може
бути двовимiрною просторовоподiбною, часоподiбною або iзотропною поверхнею. Iснують по-
верхнi, у яких грассмановий образ може вироджуватися в лiнiю. В цiй статтi будемо розглядати
лише невироджений грассмановий образ i позначати його символом \Gamma 2.
Якщо регулярну неiзотропну поверхню V 2 класу Ck, k \geq 2, в 1R4 задавати векторним
рiвнянням \=r = \=r(u1, u2), то вектори \=ri =
\partial \=r
\partial ui
будуть дотичними до поверхнi i в кожнiй
точцi x \in V 2 однозначно визначається двовимiрна нормальна площина Nx. Якщо поверхня
просторовоподiбна, то нормальна площина в кожнiй точцi до цiєї поверхнi буде часоподiбною;
якщо ж поверхня часоподiбна, то — просторовоподiбною.
Будемо вважати, що в точцi x \in V 2 вектори \=r1, \=r2 ортогональнi. Виберемо в нормальнiй
площинi Nx лiнiйно незалежнi одиничнi вектори \=\xi 1 i \=\xi 2 так, щоб четвiрка векторiв \=r1, \=r2, \=\xi 1,
\=\xi 2 була ортогональною в 1R4. За допомогою кожного базисного вектора нормальної площини
визначимо другу квадратичну форму
IIk = Lk
ijdu
iduj , i, j, k = 1, 2,
де i, j — iндекси пiдсумовування, Lk
ij = (\=\xi k, \=rij), (, ) — скалярний добуток векторiв.
Геометрiя поверхнi V 2 визначає геометрiю грассманового образу. Поверхню \Gamma 2 будемо за-
давати радiусом-вектором \=p = \=p(u1, u2), де бiвектор \=p = [\=\xi 1, \=\xi 2] i координати u1, u2 перенесенi
з V 2 грассмановим вiдображенням. Дотичнi вектори до грассманового образу \Gamma 2 поверхнi
V 2 \subset 1 R4 можна записати таким чином [9]:
\=pui = - L1
ikg
kl[\=rl, \=\xi 2] - L2
ikg
kl[\=\xi 1, \=rl], l = 1, 2. (1)
Тодi метрична форма грассманового образу теж виражається через коефiцiєнти першої й других
квадратичних форм поверхнi. Метрику грассманового образу просторовоподiбної поверхнi,
нормальна площина до якої визначається часоподiбним \=\xi 1 i просторовоподiбним \=\xi 2 векторами,
записуємо у виглядi
dp2 = (L1
ikL
1
jl - L2
ikL
2
jl)g
klduiduj , (2)
а часоподiбної поверхнi — у виглядi
dp2 = (L1
ikL
1
jl + L2
ikL
2
jl)g
klduiduj . (3)
Кожен двовимiрний пiдпростiр чотиривимiрного дотичного простору многовиду TPG(2, 4)
(або SPG(2, 4)) будемо визначати бiвектором \=\sigma = (\sigma 12, \sigma 13, \sigma 14, \sigma 23, \sigma 24, \sigma 34), координати яко-
го можна розглядати як координати точки деякого шестивимiрного простору. Псевдорiманова
метрика грассманових многовидiв породжує в цьому шестивимiрному просторi метрику сигна-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
536 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
тури (+ - - - - +). Тодi вираз (\sigma 12)2 - (\sigma 13)2 - (\sigma 14)2 - (\sigma 23)2 - (\sigma 24)2 +(\sigma 34)2 є скалярним
квадратом бiвектора \=\sigma .
Серед усiх цих двовимiрних просторiв розглянемо тi, якi є дотичними до грассманового
образу поверхнi V 2. Формула (1) дає координати напрямних векторiв \=X =
\partial \=p
\partial u1
i \=Y =
\partial \=p
\partial u2
цих
просторiв.
Нехай V 2 — часоподiбна поверхня. Ортонормований базис \=e1, \=e2, \=e3, \=e4 простору 1R4
можна вибрати таким чином, щоб \=e1 =
\=r1\surd
- g11
, \=e2 =
\=r2\surd
g22
, \=e3 = \=\xi 1, \=e4 = \=\xi 2 (як i для
двовимiрної поверхнi евклiдового простору R4 [1, с. 316]). Тодi координати векторiв \=X та \=Y
можна записати у виглядi
\=X =
\partial \=p
\partial u1
=
\biggl(
L2
11\surd
- g11
, - L1
11\surd
- g11
,
L2
12\surd
g22
, - L1
12\surd
g22
\biggr)
,
\=Y =
\partial \=p
\partial u2
=
\biggl(
L2
12\surd
- g11
, - L1
12\surd
- g11
,
L2
22\surd
g22
, - L1
22\surd
g22
\biggr)
.
Координати бiвектора \=\sigma = [ \=X, \=Y ] будуть мати вигляд
\sigma 12 =
L1
11L
2
12 - L1
12L
2
11
- g11
, \sigma 13 =
L2
11L
2
22 - (L2
12)
2
\surd
- g11g22
, \sigma 14 =
L1
12L
2
12 - L1
22L
2
11\surd
- g11g22
,
\sigma 23 =
L1
12L
2
12 - L1
11L
2
22\surd
- g11g22
, \sigma 24 =
L1
11L
1
22 - (L1
12)
2
\surd
- g11g22
, \sigma 34 =
L1
12L
2
22 - L1
22L
2
12
g22
.
У випадку просторовоподiбної поверхнi ортонормований базис \=e1, \=e2, \=e3, \=e4 виберемо так,
щоб \=e3 =
1
\surd
g11
\=r1, \=e4 =
1
\surd
g22
\=r2 та \=e1 = \=\xi 1, \=e2 = \=\xi 2. Тодi
\=X =
\partial \=p
\partial u1
=
\biggl(
- L2
11\surd
g11
, - L2
12\surd
g22
,
L1
11\surd
g11
,
L1
12\surd
g22
\biggr)
,
\=Y =
\partial \=p
\partial u2
=
\biggl(
- L2
12\surd
g11
, - L2
22\surd
g22
,
L1
21\surd
g11
,
L1
22\surd
g22
\biggr)
,
а бiвектор \=\sigma буде мати координати
\sigma 12 =
L2
11L
2
22 - (L2
12)
2
\surd
g11g22
, \sigma 13 =
L1
11L
2
12 - L1
12L
2
11
g11
, \sigma 14 =
L1
12L
2
12 - L1
22L
2
11\surd
g11g22
,
\sigma 23 =
L1
11L
2
22 - L1
12L
2
12\surd
g11g22
, \sigma 24 =
L1
12L
2
22 - L1
22L
2
12
g22
, \sigma 34 =
L1
11L
1
22 - (L1
12)
2
\surd
g11g22
.
(4)
3. Поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю. Пiдмноговидами з плоскою нормальною
зв’язнiстю в просторах сталої кривини прийнято називати пiдмноговиди з нульовим тензором
скруту [1, 7]. Залишимо це означення без змiн для пiдмноговидiв простору Мiнковського. В
роботi [1, с. 105] доведено, що пiдмноговид V n має плоску нормальну зв’язнiсть i попарно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 537
рiзнi головнi кривини в евклiдовому просторi тодi й лише тодi, коли на ньому iснує n головних
напрямкiв. У випадку поверхнi простору Мiнковського аналогiчним чином можна довести
такий факт: поверхня V 2 у просторi Мiнковського має плоску нормальну зв’язнiсть тодi й
лише тодi, коли на нiй iснують два головних напрямки. З цього критерiю випливає важлива
властивiсть таких поверхонь — iснування параметризацiї, щодо якої першу та обидвi другi
квадратичнi форми можна одночасно звести до дiагонального вигляду при будь-якому виборi
нормальних векторiв [10].
Поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю та їх грассмановi образи у просторi Мiнков-
ського мають ще додатковi властивостi.
Твердження 1. Якщо часоподiбна поверхня V 2 \subset 1R4 має плоску нормальну зв’язнiсть i
невироджений грассмановий образ, то вiн буде часоподiбною поверхнею.
Доведення. Матриця метричної форми (3) для грассманового образу поверхнi з плоскою
нормальною зв’язнiстю має вигляд\Biggl( \bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr)
g11 0
0
\bigl(
(L1
22)
2 + (L2
22)
2
\bigr)
g22
\Biggr)
,
а дотичнi площини до грассманового образу визначаються векторами
\=X =
\biggl(
L2
11\surd
- g11
, - L1
11\surd
- g11
, 0, 0
\biggr)
, \=Y =
\biggl(
0, 0,
L2
22\surd
g22
, - L1
22\surd
g22
\biggr)
.
Для часоподiбної поверхнi добуток g11g22 < 0. З лiнiйної незалежностi векторiв \=X i \=Y ,
яка рiвносильна умовi невиродженостi грассманового образу, випливає, що (L1
11)
2 + (L2
11)
2
i (L1
22)
2 + (L2
22)
2 вiдмiннi вiд нуля, а отже їх добуток додатний. Тому детермiнант матрицi
метричної форми вiд’ємний, що й потрiбно було довести.
Зауваження. У випадку просторовоподiбної поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю
детермiнант метричної форми (2) буде дорiвнювати
\bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
(L1
22)
2 - (L2
22)
2
\bigr)
g11g22,
де g11g22 > 0. Грассманiв образ \Gamma 2 буде просторовоподiбною поверхнею, якщо множники
(L1
11)
2 - (L2
11)
2 та (L1
22)
2 - (L2
22)
2 одного знака; часоподiбною, якщо рiзних знакiв; iзотропною,
якщо лише один iз множникiв дорiвнює нулю.
Розглянемо поверхнi, що є гiперповерхнями тривимiрних пiдпросторiв простору Мiнков-
ського. Виберемо одну з нормалей перпендикулярно простору, якому належить поверхня. Нага-
даємо, що коефiцiєнти скруту знаходяться за формулами \mu \sigma \alpha /i = (\=n\sigma i , \=n\alpha ) [1, с. 95]. Очевидно,
що при такому виборi нормалей коефiцiєнти скруту будуть дорiвнювати нулю, а тензор скруту
також буде нульовим. Отже, такi поверхнi мають плоску нормальну зв’язнiсть. Вiдмiтимо ще
одну їхню властивiсть.
Твердження 2. Якщо гiперповерхня V 2 деякого тривимiрного пiдпростору має невиро-
джений грассмановий образ, то його тип збiгається з типом поверхнi.
Доведення. У випадку часоподiбної поверхнi доведення випливає з твердження 1. Наведемо
доведення для просторовоподiбної поверхнi.
Нехай V 2 \subset 1 R4 — просторовоподiбна гiперповерхня тривимiрного пiдпростору. Вибере-
мо \=n2 перпендикулярно простору, якому належить поверхня, тодi друга квадратична форма
поверхнi щодо цiєї нормалi буде дорiвнювати нулю.
Координати (4) бiвектора \=\sigma будуть мати вигляд \sigma 12 = 0, \sigma 13 = 0, \sigma 14 = 0, \sigma 23 = 0, \sigma 24 = 0,
\sigma 34 =
L1
11L
1
22 - (L1
12)
2
\surd
g11g22
, а скалярний квадрат бiвектора \=\sigma
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
538 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
(\sigma 12)2 - (\sigma 13)2 - (\sigma 14)2 - (\sigma 23)2 - (\sigma 24)2 + (\sigma 34)2 =
\biggl(
L1
11L
1
22 - (L1
12)
2
\surd
g11g22
\biggr) 2
.
Бiвектор \=\sigma визначає дотичну площину до грассманового образу, а його скалярний квадрат є
додатним. Отже, \Gamma 2 є просторовоподiбною поверхнею.
Нагадаємо, що секцiйна кривина K(\sigma ) грассманового многовиду G(2, 4) евклiдового про-
стору R4 набуває значень з вiдрiзка [0, 2]. В роботi [9] доведено таку теорему.
Теорема 1. Секцiйна кривина \=K(\sigma ) грассманових пiдмноговидiв SPG(2, 4) i TPG(2, 4)
многовиду PG(2, 4) може набувати будь-яких дiйсних значень.
Секцiйна кривина грассманових пiдмноговидiв псевдоевклiдових просторiв обчислюється
за формулою
K(\sigma ) =
\=Rabcd\sigma
ab\sigma cd
(macmbd - mabmcd)\sigma ab\sigma cd
,
де \=Rabcd — тензор кривини пiдмноговиду, mpq — метричний тензор грассманового многовиду
[8]. У розгорнутому виглядi для пiдмноговиду SPG(2, 4) маємо
K(\sigma ) =
( - \sigma 12 + \sigma 34)2 - (\sigma 13 + \sigma 24)2
(\sigma 12)2 - (\sigma 13)2 - (\sigma 14)2 - (\sigma 23)2 - (\sigma 24)2 + (\sigma 34)2
, (5)
а для пiдмноговиду TPG(2, 4)
K(\sigma ) =
- ( - \sigma 12 + \sigma 34)2 + (\sigma 13 + \sigma 24)2
(\sigma 12)2 - (\sigma 13)2 - (\sigma 14)2 - (\sigma 23)2 - (\sigma 24)2 + (\sigma 34)2
. (6)
З’ясуємо, яких значень набуває секцiйна кривина грассманових пiдмноговидiв вздовж пло-
щин, дотичних до грассманового образу поверхонь (або просто кривина грассманового образу
поверхонь) з плоскою нормальною зв’язнiстю.
Теорема 2. Нехай V 2 \subset 1 R4 — регулярна поверхня з плоскою нормальною зв’язнiстю i
невиродженим грассмановим образом \Gamma 2. Тодi якщо:
1) V 2 часоподiбна, то K набуває значень з вiдрiзка [0, 1];
2) V 2 просторовоподiбна i \Gamma 2 просторовоподiбний, то K набуває значень з ( - \infty , - 1];
3) V 2 просторовоподiбна i \Gamma 2 часоподiбний, то K набуває значень з [0,+\infty ).
Доведення. 1. У вiдповiдностi з твердженням 1 часоподiбна поверхня з плоскою нормаль-
ною зв’язнiстю має часоподiбний грассмановий образ \Gamma 2 \subset S PG(2, 4). Оскiльки ненульовi
координати бiвектора \=\sigma мають вигляд
\sigma 13 =
L2
11L
2
22\surd
- g11g22
, \sigma 14 =
- L1
22L
2
11\surd
- g11g22
, \sigma 23 =
- L1
11L
2
22\surd
- g11g22
, \sigma 24 =
L1
11L
1
22\surd
- g11g22
,
то за формулою (5)
K(\sigma ) =
(L2
11L
2
22 + L1
11L
1
22)
2\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
22L
2
11
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
11L
2
22
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
11L
1
22
\bigr) 2 . (7)
Очевидно, що \=K(\sigma ) \geq 0. Припустимо, що K(\sigma ) > 1. Тодi з (7) отримаємо нерiвнiсть\bigl(
L1
22L
2
11 - L1
11L
2
22
\bigr) 2
< 0, яка є хибною. Отже, K(\sigma ) \leq 1. Остаточно, K \in [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 539
2. Для просторовоподiбної поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю секцiйна кривина
(див. формули (4) i (6))
K(\sigma ) = -
\bigl(
L2
11L
2
22 - L1
22L
1
11
\bigr) 2\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2 - \bigl( L1
22L
2
11
\bigr) 2 - \bigl( L1
11L
2
22
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
11L
1
22
\bigr) 2 . (8)
За умовою теореми грассмановий образ є просторовоподiбною поверхнею, тобто вираз у зна-
меннику додатний, тому K(\sigma ) < 0. З припущення, що K(\sigma ) > - 1, отримаємо нерiвнiсть\bigl(
L1
22L
2
11 - L1
11L
2
22
\bigr) 2
< 0, яка є хибною. Отже, секцiйна кривина може набувати значень з
множини ( - \infty , - 1].
3. Оскiльки за умовою теореми грассмановий образ є часоподiбною поверхнею, то вираз
у знаменнику формули (8) вiд’ємний, тому в цьому випадку K(\sigma ) \geq 0. Отже, для значень,
яких може набувати секцiйна кривина грассманового многовиду TPG(2, 4) вздовж площин,
дотичних до часоподiбного грассманового образу просторовоподiбної поверхнi з плоскою нор-
мальною зв’язнiстю, отримаємо пiвiнтервал [0,+\infty ).
Теорему доведено.
4. Формулювання та доведення результату. В пунктi 3 знайдено промiжки, яким може
належати кривина грассманового образу поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю простору
Мiнковського. Поставимо задачу дослiдження поверхонь з плоскою нормальною зв’язнiстю, у
яких грассмановий образ має сталу кривину. По-перше, чи iснують такi поверхнi, а по-друге,
для яких значень кривини зi знайдених промiжкiв iснують поверхнi з плоскою нормальною
зв’язнiстю i сталою кривиною їх грассманового образу.
Теорема 3. Для кожного k \in [0, 1] у просторi Мiнковського iснує двовимiрна часоподiбна
поверхня V 2 класу Cn, n \geq 3, з плоскою нормальною зв’язнiстю, невироджений грассмано-
вий образ якої має сталу кривину k. Для кожного k \in ( - \infty , - 1] у просторi Мiнковського
iснує двовимiрна просторовоподiбна поверхня V 2 класу Cn, n \geq 3, з плоскою нормальною
зв’язнiстю i невиродженим просторовоподiбним грассмановим образом, який має сталу кри-
вину k. Для кожного k \in [0,\infty ) у просторi Мiнковского iснує двовимiрна просторовоподiбна
поверхня V 2 класу Cn, n \geq 3, з плоскою нормальною зв’язнiстю i невиродженим часоподiбним
грассмановим образом, який має сталу кривину k.
Доведення. Iснування поверхнi з плоскою нормальною зв’язнiстю i сталою кривиною грас-
сманового образу буде випливати з iснування розв’язку системи рiвнянь Гаусса – Кодаццi – Рiччi,
доповненої умовою сталостi кривини грассманового образу. Розглянемо її для кожного типу
поверхнi.
а) Система рiвнянь Гаусса – Кодаццi – Рiччi для часоподiбної поверхнi має вигляд
R\beta ijk = \Sigma (L\sigma
ikL
\sigma
j\beta - L\sigma
ijL
\sigma
k\beta ),
L\rho
ij,k - L\rho
ik,j = L\sigma
ij\mu \sigma \rho /k - L\sigma
ik\mu \sigma \rho /j ,
\mu \rho \sigma /i,k - \mu \rho \sigma /k,i +\Sigma (\mu \sigma \alpha /i\mu \alpha \rho /k - \mu \sigma \alpha /k\mu \alpha \rho /i) + (L\sigma
klL
\rho
ji - L\sigma
ilL
\rho
jk)g
lj = 0,
\mu \sigma \alpha /i = (\=n\sigma i , \=n\alpha ) — коефiцiєнти скруту.
Цю систему рiвнянь отримано аналогiчно [1, с. 97] з урахуванням метрики простору Мiн-
ковського.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
540 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
За координатнi лiнiї поверхнi виберемо лiнiї кривини. Це рiвносильно умовi g12 = L1
12 =
L2
12 = 0 для довiльного нормального оснащення поверхнi, тобто матриця других квадратичних
форм набирає вигляду A =
\biggl(
L1
11 L1
22
L2
11 L2
22
\biggr)
. Виберемо базис нормалей поверхнi, який паралельно
переноситься в нормальному розшаруваннi. Тодi всi коефiцiєнти скруту в формулах Гаусса –
Кодаццi – Рiччi дорiвнюють нулю i формули Гаусса – Кодаццi набирають вигляду
L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22 = Kg,
\partial 2L
1
11 = L1
11\Gamma
1
12 - L1
22\Gamma
2
11,
\partial 2L
2
11 = L2
11\Gamma
1
12 - L2
22\Gamma
2
11, (9)
\partial 1L
1
22 = L1
22\Gamma
2
12 - L1
11\Gamma
1
22,
\partial 1L
2
22 = L2
22\Gamma
2
12 - L2
11\Gamma
1
22,
де K — гауссова кривина, g — визначник матрицi метричної форми, \Gamma 2
11 = - \partial 2g11
2g22
, \Gamma 1
12 =
\partial 2g11
2g11
, \Gamma 2
12 =
\partial 1g22
2g22
, \Gamma 1
22 = - \partial 1g22
2g11
— символи Крiстоффеля поверхнi V 2, \partial i =
\partial
\partial ui
.
Рiвняння Рiччi справджуються тотожно, а для кривини грассманового образу маємо форму-
лу (7).
Умови \partial 1K = \partial 2K = 0 сталостi кривини грассманового образу пiсля перетворень набира-
ють вигляду
\partial 1K = B
\Bigl[ \bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 1L
1
22 - L1
22\partial 1L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 + (L2
22)
2
\bigr)
(L1
11\partial 1L
2
11 - L2
11\partial 1L
1
11)
\Bigr]
= 0,
\partial 2K = B
\Bigl[ \bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 2L
1
22 - L1
22\partial 2L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 + (L2
22)
2
\bigr) \bigl(
L1
11\partial 2L
2
11 - L2
11\partial 2L
1
11
\bigr) \Bigr]
= 0,
B =
2(L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22)
\bigl(
L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22
\bigr) \bigl( \bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
22L
2
11
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
11L
2
22
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
11L
1
22
\bigr) 2\bigr) 2 .
Отже, потрiбно розглянути три випадки:
1) L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22 = 0,
2) L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 541
3)
\bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 1L
1
22 - L1
22\partial 1L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 + (L2
22)
2
\bigr)
(L1
11\partial 1L
2
11 - L2
11\partial 1L
1
11) = 0,
(10)\bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 2L
1
22 - L1
22\partial 2L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 + (L2
22)
2
\bigr) \bigl(
L1
11\partial 2L
2
11 - L2
11\partial 2L
1
11
\bigr)
= 0.
Розглянемо перший випадок: L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22 = 0. З рiвняння Гаусcа випливає, що K =
0. Формулу (7) запишемо у виглядi K(\sigma ) =
(L2
11L
2
22 + L1
11L
1
22)
2
(L2
11L
2
22 + L1
11L
1
22)
2 +
\bigl(
L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22
\bigr) 2 . Тодi
K = 0, оскiльки з невиродженостi грассманового образу випливає, що L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 \not = 0,
а ця умова означає, що точкова корозмiрнiсть поверхнi дорiвнює 2. Умова K = 0 означає, що
метрика поверхнi є плоскою. Можна змiнити масштаб на координатних лiнiях так, щоб у нових
координатах (\=u1, \=u2) (далi позначатимемо їх (u1, u2), як i старi координати) перша квадратична
форма мала вигляд ds2 = - (du1)2 + (du2)2, звiдки отримаємо \partial 2g11 = 0, \partial 1g22 = 0. Рiвняння
Кодаццi будуть мати вигляд
\partial 2L
1
11 = 0, \partial 2L
2
11 = 0,
\partial 1L
1
22 = 0, \partial 1L
2
22 = 0.
Тодi робимо висновок, що L1
11 = L1
11(u
1), L2
11 = L2
11(u
1), L1
22 = L1
22(u
2), L2
22 = L2
22(u
2).
Цi функцiї можна вибрати такими довiльними (вiд вiдповiдних параметрiв) класу Cn, n \geq 1,
функцiями, якi б задовольняли умову L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22 = 0, за винятком трьох випадкiв:
L1
11 = L2
11 = 0, L1
22 = L2
22 = 0 i L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 = 0. У цих випадках грассмановий образ
вироджений.
До розглянутого класу вiдноситься часоподiбна поверхня r =
\biggl(
a \mathrm{s}\mathrm{h}
u1
a
, a \mathrm{c}\mathrm{h}
u1
a
, b \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
u2
b
,
b \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
u2
b
\biggr)
. Одиничними нормалями до неї будуть n1 =
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{h}
u1
a
, \mathrm{c}\mathrm{h}
u1
a
, 0, 0
\biggr)
та n2 =
\biggl(
0, 0, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
u2
b
,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
u2
b
\biggr)
. Тодi її перша та другi квадратичнi форми мають вигляд
ds2 = - (du1)2 + (du2)2,
II1 =
1
a
(du1)2, II2 = - 1
b
(du2)2.
Для цiєї поверхнi K = 0, K = 0. Аналог такої поверхнi в евклiдовому просторi називається
тором Клiффорда. У просторi Мiнковського можемо використовувати назву часоподiбний тор
Клiффорда.
Навпаки, якщо часоподiбна поверхня точкової корозмiрностi 2 має нульову внутрiшню кри-
вину i невироджений грассмановий образ, то кривина грассманового образу стала i дорiвнює 0.
Розглянемо другий випадок: L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 = 0. В цьому випадку \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}A = 1 або,
iнакше, точкова корозмiрнiсть поверхнi дорiвнює одиницi. Цi умови визначають гiперповерхню
деякого тривимiрного псевдоевклiдового пiдпростору простору Мiнковського. Можемо вибрати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
542 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
базис простору Мiнковського так, щоб цей тривимiрний простiр був координатним. Тодi одна
з других квадратичних форм дорiвнює нулю. Нехай для визначеностi L1
11 = L1
22 = 0. Кривина
грасcманового образу за формулою (7) K =
\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2 = 1, якщо L2
11L
2
22 \not = 0. У протилежному
випадку ця кривина не визначена. При L2
11L
2
22 \not = 0 з рiвняння Гаусса випливає, що K \not = 0.
Навпаки, якщо будь-яка часоподiбна гiперповерхня тривимiрного пiдпростору простору
Мiнковського має внутрiшню кривину K \not = 0 i невироджений грассмановий образ, то кривина
грассманового образу стала i дорiвнює 1.
Приклад. Для часоподiбної гiперповерхнi \=r = (\mathrm{s}\mathrm{h}u1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{c}\mathrm{h}u1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u2, 0) перша та
другi квадратичнi форми, що вiдповiдають нормалям \=n1 = (\mathrm{s}\mathrm{h}u1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{c}\mathrm{h}u1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u2, 0),
\=n2 = (0, 0, 0, 1), мають вигляд
ds2 = - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 u2(du1)2 + (du2)2,
II1 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 u2(du1)2 - (du2)2, II2 \equiv 0.
Тодi K = 1, K = 1.
Розглянемо третiй випадок. Якщо L1
11 = L1
22 = 0 (або L2
11 = L2
22 = 0), то матимемо
випадок гiперповерхнi тривимiрного пiдпростору, який вже розглянуто. При L1
11 = L2
11 = 0
(або L1
22 = L2
22 = 0) граcсмановий образ поверхнi вироджений. Якщо лише один з коефiцiєнтiв
L2
11, L
2
22, наприклад L2
11, дорiвнює 0, то з системи (10) отримаємо
L2
22\partial 1L
1
22 - L1
22\partial 1L
2
22 = 0,
L2
22\partial 2L
1
22 - L1
22\partial 2L
2
22 = 0.
Останню систему можна записати у виглядi
\partial 1
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
= 0,
\partial 2
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
= 0.
Це можливо, коли вiдношення
L1
22
L2
22
є константою. Позначивши її символом \varphi , одержимо другi
квадратичнi форми у виглядi II1 = L1
11(du
1)2+\varphi L2
22(du
2)2, II2 = L2
22(du
2)2. Рiвняння Гауcса
в цьому випадку має вигляд Kg = \varphi L1
11L
2
22. Розглянемо рiвняння Кодаццi. Друге рiвняння має
вигляд L2
22\Gamma
2
11 = 0, звiдки g11 = g11(u
1). Тодi з першого рiвняння отримаємо L1
11 = L1
11(u
1). З
третього та четвертого рiвнянь випливає, що \Gamma 1
22 = 0. Тодi g22 = g22(u
2). Пiсля масштабування
на координатних лiнiях одержимо метрику вигляду ds2 = - (du1)2 + (du2)2, звiдки K = 0, що
неможливо в цьому випадку. Залишилось розглянути випадок L2
11L
2
22 \not = 0 (або L1
11L
1
22 \not = 0).
Систему (10) перетворимо до еквiвалентного вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 543
(L2
22)
2
\bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr)
\partial 1
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
= (L2
11)
2
\bigl(
(L1
22)
2 + (L2
22)
2
\bigr)
\partial 1
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
,
(L2
22)
2
\bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr)
\partial 2
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
= (L2
11)
2
\bigl(
(L1
22)
2 + (L2
22)
2
\bigr)
\partial 2
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
.
Пiсля дiлення обох частин рiвнянь на
\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2
матимемо
\partial 1
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
1 +
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr) 2 =
\partial 1
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
1 +
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr) 2 ,
\partial 2
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
1 +
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr) 2 =
\partial 2
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
1 +
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr) 2 .
Отже,
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
= \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
+ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\varphi (u2),
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
= \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
+ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\psi (u1).
Звiдси випливає, що \varphi (u2) = \psi (u1) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 0. Якщо ця константа дорiвнює нулю, то
приходимо до розглянутого вище другого випадку. Позначимо її символом
1
\varphi
. Тодi
L1
11
L2
11
=
L1
22
L2
22
+
1
\varphi
1 - L1
22
\varphi L2
22
=
\varphi L1
22 + L2
22
\varphi L2
22 - L1
22
або L1
22(L
1
11 + \varphi L2
11) = L2
22(\varphi L
1
11 - L2
11). Можемо записати пропорцiю
L1
22
\varphi L1
11 - L2
11
=
L2
22
L1
11 + \varphi L2
11
= k(u1, u2), де k(u1, u2) — довiльна функцiя параметрiв u1, u2. Отже, L1
22 =
k(u1, u2)(\varphi L1
11 - L2
11), L
2
22 = k(u1, u2)(L1
11 + \varphi L2
11). Легко переконатись у справедливостi рiв-
ностi (L1
22)
2 + (L2
22)
2 = k2(u1, u2)(\varphi 2 + 1)
\bigl(
(L1
11)
2 + (L2
11)
2
\bigr)
. Виходячи з цiєї рiвностi, можемо
шукати L1
11, L
2
11, L
1
22, L
2
22 у виглядi
L1
11 = f(u1, u2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta (u1, u2), L2
11 = f(u1, u2) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta (u1, u2),
L1
22 = k(u1, u2)f(u1, u2)
\sqrt{}
\varphi 2 + 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \xi (u1, u2),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
544 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
L2
22 = k(u1, u2)f(u1, u2)
\sqrt{}
\varphi 2 + 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \xi (u1, u2).
Для зручностi не будемо далi писати, вiд яких змiнних залежать функцiї. Пiдставивши цi вирази
у рiвнiсть L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22 = \varphi
\bigl(
L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22
\bigr)
, отримаємо
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\xi - \theta ) = \varphi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi - \theta ). (11)
Значення кривини грассманового образу для таких коефiцiєнтiв других квадратичних форм
K = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\xi - \theta ), а умови сталостi цiєї кривини набирають вигляду \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\xi - \theta ) = 0, або
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi - \theta ) = 0, або \xi - \theta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Першi два випадки суперечать рiвностi (11), тодi в третьому випадку потрiбно розглядати
константу, вiдмiнну вiд 0 та
\pi
2
. Це означає, що ми не одержимо iнших поверхонь з K = 0 або
K = 1, крiм тих, якi вже отримано вище. Отже, розглядатимемо випадок, коли рiзниця \xi - \theta є
вiдмiнною вiд 0 та
\pi
2
константою. Позначимо \xi - \theta = c. Тодi
L1
11 = f \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta , L2
11 = f \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta ,
L1
22 = kf
\sqrt{}
\varphi 2 + 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta + c), L2
22 = kf
\sqrt{}
\varphi 2 + 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta + c).
Рiвнiсть (11) набирає вигляду
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c = \varphi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c. (12)
Розглянемо першi два рiвняння Кодаццi:
\partial 2(f \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta ) = \Gamma 1
12f \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta - \Gamma 2
11kf
\sqrt{}
1 + \varphi 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta + c),
\partial 2(f \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta ) = \Gamma 1
12f \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta - \Gamma 2
11kf
\sqrt{}
1 + \varphi 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta + c).
Вiднявши вiд першого рiвняння, помноженого на \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta + c), друге рiвняння, помножене на
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta + c), отримаємо
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c\partial 2f - f \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c\partial 2\theta = f \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c\Gamma 1
12.
Врахувавши (12), матимемо
\partial 2f
f
- \varphi \partial 2\theta =
\partial 2g11
2g11
.
Зiнтегрувавши це рiвняння, одержимо g11 = - f2e - 2\varphi \theta \alpha (u1), \alpha (u1) > 0.
Будемо шукати будь-який частинний розв’язок системи (9), тому можна вважати, що \alpha (u1) =
1. Аналогiчно з третього та четвертого рiвнянь Кодаццi знайдемо g22 = f2k2e2\varphi \theta \beta (u2), \beta (u2) >
0. Так само розглянемо \beta (u2) = 1. Можемо знайти вигляд символiв Крiстоффеля
\Gamma 2
11 =
\partial 2f - \varphi f\partial 2\theta
fk2
e - 4\varphi \theta , \Gamma 1
12 =
\partial 2f - \varphi f\partial 2\theta
f
.
Тепер можемо все знайдене пiдставити в перше рiвняння Кодаццi й отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 545
\partial 2f
f
= (\varphi - ke4\varphi \theta )\partial 2\theta .
Оскiльки нас цiкавить будь-який частинний розв’язок системи (9), покладемо k(u1, u2) =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Зiнтегрувавши останнє рiвняння, одержимо f = e
\varphi \theta - ke4\varphi \theta
4\varphi .
Будемо шукати розв’язок системи (9), в якому \theta є функцiєю вiд u2. Зауважимо, що при
цьому грассмановий образ поверхнi залишається невиродженим. Умова \theta = \theta (u2) забезпечує
тотожне виконання третього та четвертого рiвнянь Кодаццi.
Нарештi розглянемо рiвняння Гаусса. Оскiльки ми маємо явнi вирази для коефiцiєнтiв
метрики, то гауссову кривину шуканої поверхнi можемо обчислити за формулою K =
R1212
g
.
Тодi рiвняння Гаусса має вигляд R1212 = kf2\varphi , i в цьому випадку
R1212 = - 1
2
(\partial 22g11 + \partial 11g22) + g11
\bigl(
(\Gamma 1
12)
2 - \Gamma 1
11\Gamma
1
22
\bigr)
+ g22
\bigl(
(\Gamma 2
12)
2 - \Gamma 2
11\Gamma
2
22
\bigr)
. (13)
Попереднiми обчисленнями знаходимо
g11 = - e -
ke4\varphi \theta
2\varphi , g22 = k2e
4\varphi \theta - ke4\varphi \theta
2\varphi ,
\Gamma 1
12 = - ke4\varphi \theta \partial 2\theta , \Gamma 1
22 = \Gamma 2
12 = 0, \Gamma 2
11 = - 1
k
\partial 2\theta , \Gamma 2
22 = (2\varphi - ke4\varphi \theta )\partial 2\theta .
Отже, рiвняння Гаусса набирає вигляду
1
\varphi
e2\varphi \theta \partial 22\theta + 2e2\varphi \theta (\partial 2\theta )
2 + 1 = 0,
є звичайним диференцiальним рiвнянням i має розв’язок
e2\varphi \theta = 2\varphi
\Bigl(
- \varphi
2
(u2)2 + C1u
2 + C2
\Bigr)
.
Ми показали, що система (9) сумiсна, i знайшли один з її розв’язкiв. З цього випливає
висновок про iснування двовимiрної часоподiбної поверхнi V 2 класу Cn, n \geq 3, з плоскою
нормальною зв’язнiстю у просторi Мiнковського з невиродженим грассмановим образом сталої
кривини, причому K = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 c, K \in (0, 1). Наприклад, при c =
\pi
4
отримаємо K =
1
2
.
б) Система рiвнянь Гаусса – Кодаццi – Рiччi двовимiрної просторовоподiбної поверхнi має
вигляд
R1212 = - L1
11L
1
22 + (L1
12)
2 + L2
11L
2
22 - (L2
12)
2,
L\rho
ij,k - L\rho
ik,j = L\sigma
ij\mu \sigma \rho /k - L\sigma
ik\mu \sigma \rho /j ,
\mu 1\sigma /i,k - \mu 1\sigma /k,i +\Sigma (\mu \sigma \alpha /i\mu \alpha 1/k - \mu \sigma \alpha /k\mu \alpha 1/i) +
\bigl(
L\sigma
klL
1
ji - L\sigma
ilL
1
jk
\bigr)
glj = 0,
\mu 2\sigma /i,k - \mu 2\sigma /k,i +\Sigma (\mu \sigma \alpha /i\mu \alpha 2/k - \mu \sigma \alpha /k\mu \alpha 2/i) +
\bigl(
- L\sigma
klL
2
ji + L\sigma
ilL
2
jk
\bigr)
glj = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
546 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
Якщо за координатнi лiнiї вибрати лiнiї кривини просторовоподiбної поверхнi з плоскою
нормальною зв’язнiстю, а базисом нормалей вибрати такий, який паралельно переноситься
в нормальному розшаруваннi, то рiвняння Гаусса буде мати вигляд Kg = - L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22,
рiвняння Кодаццi збiгатимуться з такими ж для часоподiбної поверхнi, а кривина грассманового
образу обчислюватиметься за формулою (8).
Умови сталостi кривини грассманового образу набирають вигляду
\partial 1K = B
\Bigl[ \bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 1L
1
22 - L1
22\partial 1L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 - (L2
22)
2
\bigr) \bigl(
L1
11\partial 1L
2
11 - L2
11\partial 1L
1
11
\bigr) \Bigr]
= 0,
\partial 2K = B
\Bigl[ \bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 2L
1
22 - L1
22\partial 2L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 - (L2
22)
2
\bigr) \bigl(
L1
11\partial 2L
2
11 - L2
11\partial 2L
1
11
\bigr) \Bigr]
= 0,
B =
- 2
\bigl(
- L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22
\bigr) \bigl(
L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22
\bigr)
(
\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2 - \bigl( L1
22L
2
11
\bigr) 2 - \bigl( L1
11L
2
22
\bigr) 2
+
\bigl(
L1
11L
1
22
\bigr) 2
)2
.
Наслiдком цiєї системи є три випадки:
1) - L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22 = 0,
2) L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 = 0,
3)
\bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 1L
1
22 - L1
22\partial 1L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 - (L2
22)
2
\bigr) \bigl(
L1
11\partial 1L
2
11 - L2
11\partial 1L
1
11
\bigr)
= 0,
(14)\bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
L2
22\partial 2L
1
22 - L1
22\partial 2L
2
22
\bigr)
+
\bigl(
(L1
22)
2 - (L2
22)
2
\bigr) \bigl(
L1
11\partial 2L
2
11 - L2
11\partial 2L
1
11
\bigr)
= 0.
У першому випадку з - L1
11L
1
22+L
2
11L
2
22 = 0 випливає, що K = 0, звiдки метрика поверхнi
ds2 = (du1)2 + (du2)2. Формулу (8) запишемо у виглядi
K(\sigma ) = -
\bigl(
L2
11L
2
22 - L1
11L
1
22
\bigr) 2\bigl(
L2
11L
2
22 - L1
11L
1
22
\bigr) 2 - \bigl( L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22
\bigr) 2 .
Тодi K = 0, оскiльки ми розглядаємо поверхнi з невиродженим грасcмановим образом i, отже,
L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 \not = 0, тобто точкова корозмiрнiсть поверхнi дорiвнює 2. Далi мiркування такi
ж самi, як i у випадку часоподiбної поверхнi. Обмеження на вибiр функцiй L1
11 = L1
11(u
1),
L2
11 = L2
11(u
1), L1
22 = L1
22(u
2), L2
22 = L2
22(u
2) в цьому випадку повиннi задовольняти умову
- L1
11L
1
22 + L2
11L
2
22 = 0, за винятком трьох випадкiв: L1
11 = \pm L2
11, L
1
22 = \pm L2
22 i L1
11L
2
22 -
L2
11L
1
22 = 0. У цих випадках грассмановий образ вироджений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 547
Прикладом просторовоподiбної поверхнi цього класу є поверхня r =
\biggl(
a \mathrm{c}\mathrm{h}
u1
a
, a \mathrm{s}\mathrm{h}
u1
a
,
b \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
u2
b
, b \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
u2
b
\biggr)
. Одиничними нормалями до неї будуть вектори
n1 =
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{h}
u1
a
, \mathrm{s}\mathrm{h}
u1
a
, 0, 0
\biggr)
та n2 =
\biggl(
0, 0, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
u2
b
, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
u2
b
\biggr)
.
Перша та другi квадратичнi форми цiєї поверхнi мають вигляд
ds2 = (du1)2 + (du2)2,
II1 = - 1
a
(du1)2, II2 = - 1
b
(du2)2.
Гауссова та секцiйна кривини цiєї поверхнi дорiвнюють нулю. Природно її називати просто-
ровоподiбним тором Клiффорда.
У другому випадку з L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 = 0 випливає, що \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}A = 1, або, iнакше, точкова
корозмiрнiсть поверхнi дорiвнює одиницi. Маємо випадок гiперповерхнi деякого тривимiрного
евклiдового (або псевдоевклiдового) пiдпростору простору Мiнковського. Будемо вважати цей
тривимiрний пiдпростiр координатним. Тодi одна з других квадратичних форм дорiвнює нулю.
Нехай для визначеностi L1
11 = L1
22 = 0, тодi за формулою (8) K = -
\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2\bigl(
L2
11L
2
22
\bigr) 2 = - 1, якщо
L2
11L
2
22 \not = 0. У протилежному випадку ця кривина не визначена. При L2
11L
2
22 \not = 0 з рiвняння
Гаусса випливає, що K \not = 0.
Навпаки, якщо будь-яка просторовоподiбна гiперповерхня тривимiрного пiдпростору про-
стору Мiнковського має внутрiшню кривину K \not = 0 i невироджений грассмановий образ, то
кривина грассманового образу стала i дорiвнює - 1.
Приклад. Для просторовоподiбної гiперповерхнi \=r = (0, u1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, u1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u2, \mathrm{l}\mathrm{n}u1) перша
квадратична форма має вигляд
ds2 = (1 +
1
(u1)2
)(du1)2 + (u1)2(du2)2,
а другi квадратичнi форми щодо нормалей \=n1 = (1, 0, 0, 0), \=n2 =
1\sqrt{}
1 + (u1)2
(0, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u2,
- u1) такi:
II1 \equiv 0, II2 =
1\sqrt{}
1 + (u1)2
\biggl(
1
u1
(du1)2 - u1(du2)2
\biggr)
,
K = - 1
(1 + (u1)2)2
, K = - 1.
Розглянемо третiй випадок. Якщо L1
11 = \pm L2
11 або L1
22 = \pm L2
22, то граcсмановий образ
поверхнi вироджений. Умова L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22 = 0 приводить до другого випадку. Як i у
випадку часоподiбної поверхнi, доводиться суперечливiсть умови рiвностi нулю лише одного
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
548 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
з коефiцiєнтiв L2
11, L
2
22 (або L1
11, L
1
22). Зупинимось на загальному випадку, коли L2
11L
2
22 \not = 0
(або L1
11L
1
22 \not = 0). Систему (14) перетворимо до еквiвалентного вигляду
\partial 1
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr) 2
- 1
=
\partial 1
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr) 2
- 1
,
\partial 2
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr)
\biggl(
L1
11
L2
11
\biggr) 2
- 1
=
\partial 2
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr)
\biggl(
L1
22
L2
22
\biggr) 2
- 1
,
(15)
звiдки випливає
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| L1
11 - L2
11
L1
11 + L2
11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| L1
22 - L2
22
L1
22 + L2
22
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
де \varphi — довiльна додатна константа, що не дорiвнює 1. Якщо \varphi = 1, то приходимо до другого
випадку. Якщо грассмановий образ є просторовоподiбною поверхнею, то згiдно з зауваженням
до твердження 1
\bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
(L1
22)
2 - (L2
22)
2
\bigr)
> 0. Тодi
L1
22 - L2
22
L1
22 + L2
22
=
\varphi (L1
11 - L2
11)
L1
11 + L2
11
.
Запишемо цю пропорцiю в iншому виглядi та введемо коефiцiєнт пропорцiйностi — функцiю
k(u1, u2):
L1
22 - L2
22
\varphi (L1
11 - L2
11)
=
L1
22 + L2
22
L1
11 + L2
11
= k(u1, u2). (16)
Звiдси випливає спiввiдношення (L1
22)
2 - (L2
22)
2 = k2(u1, u2)\varphi
\bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr)
. Виходячи з
цiєї рiвностi, можемо шукати L1
11, L
2
11, L
1
22, L
2
22 у виглядi
L1
11 = f(u1, u2) \mathrm{c}\mathrm{h} \theta (u1, u2), L2
11 = f(u1, u2) \mathrm{s}\mathrm{h} \theta (u1, u2),
L1
22 = k(u1, u2)f(u1, u2)
\surd
\varphi \mathrm{c}\mathrm{h} \xi (u1, u2), L2
22 = k(u1, u2)f(u1, u2)
\surd
\varphi \mathrm{s}\mathrm{h} \xi (u1, u2).
Наслiдком (16) є також рiвнiсть L1
11L
1
22 - L2
11L
2
22 =
1 + \varphi
1 - \varphi
\bigl(
L1
11L
2
22 - L2
11L
1
22
\bigr)
. Умовою її
виконання є вимога
\mathrm{c}\mathrm{h}(\xi - \theta ) =
1 + \varphi
1 - \varphi
\mathrm{s}\mathrm{h}(\xi - \theta ). (17)
Значення кривини грассманового образу для таких коефiцiєнтiв других квадратичних форм
K = - \mathrm{c}\mathrm{h}2(\xi - \theta ), а умови сталостi цiєї кривини набирають вигляду \mathrm{c}\mathrm{h}(\xi - \theta ) = 0, або
\mathrm{s}\mathrm{h}(\xi - \theta ) = 0, або \xi - \theta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Оскiльки перший випадок неможливий, а другий випадок
суперечить рiвностi (17), то у третьому випадку потрiбно розглядати константу, вiдмiнну вiд
нуля. Це означає, що ми не одержимо iнших поверхонь з K = - 1, крiм тих, якi вже отримано
вище. Отже, розглядатимемо випадок, коли рiзниця \xi - \theta є вiдмiнною вiд нуля константою.
Позначимо \xi - \theta = c. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 549
L1
11 = f \mathrm{c}\mathrm{h} \theta , L2
11 = f \mathrm{s}\mathrm{h} \theta ,
L1
22 = kf
\surd
\varphi \mathrm{c}\mathrm{h}(\theta + c), L2
22 = kf
\surd
\varphi \mathrm{s}\mathrm{h}(\theta + c).
Рiвнiсть (17) набирає вигляду
\mathrm{c}\mathrm{h} c =
1 + \varphi
1 - \varphi
\mathrm{s}\mathrm{h} c. (18)
З першого та другого рiвнянь Кодаццi з урахуванням (18) отримуємо g11 = f2e
- 2 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
\alpha (u1),
\alpha (u1) > 0. Аналогiчно з третього та четвертого рiвнянь Кодаццi знаходимо g22 =
f2k2e
2 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
\beta (u2), \beta (u2) > 0. Нехай \alpha (u1) = 1, \beta (u2) = 1.
Можемо знайти вигляд символiв Крiстоффеля
\Gamma 2
11 = -
\partial 2f - 1 + \varphi
1 - \varphi
f\partial 2\theta
fk2
e
- 4 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
, \Gamma 1
12 =
\partial 2f - 1 + \varphi
1 - \varphi
f\partial 2\theta
f
.
Тепер все знайдене пiдставимо в перше рiвняння Кодаццi й отримаємо
\partial 2f
f
=
\biggl(
1 + \varphi
1 - \varphi
+
2k
1 - \varphi
e
4 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
\biggr)
\partial 2\theta .
Оскiльки нас цiкавить будь-який частинний розв’язок системи Гаусса – Кодаццi – Рiччi про-
сторовоподiбної поверхнi, можна покласти k(u1, u2) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Розв’язок останнього рiвняння
має вигляд f = e
1+\varphi
1 - \varphi
\theta + k
2(1+\varphi )
e
4
1+\varphi
1 - \varphi \theta
. Знайдемо розв’язок системи Гаусса – Кодаццi – Рiччi як
функцiю \theta , що залежить вiд змiнної u2. При цьому грассмановий образ поверхнi буде неви-
родженим. За такої умови третє та четверте рiвняння Кодаццi виконуються тотожно. Рiвняння
Гаусса набирає вигляду R1212 = kf2
1 + \varphi
2
, де R1212 має вигляд (13),
g11 = e
k
1+\varphi
e
4
1+\varphi
1 - \varphi \theta
, g22 = k2e
k
1+\varphi
e
4
1+\varphi
1 - \varphi \theta
+4 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
, \Gamma 1
12 =
2k
1 - \varphi
e
4 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
\partial 2\theta ,
\Gamma 1
22 = \Gamma 2
12 = 0, \Gamma 2
11 = - 1
(1 - \varphi )k
\partial 2\theta , \Gamma 2
22 =
\biggl(
2
1 + \varphi
1 - \varphi
+
2k
1 - \varphi
e
4 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
\biggr)
\partial 2\theta .
Остаточний вигляд рiвняння Гаусса є таким:
4
1 - \varphi 2
e
2 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
\partial 22\theta +
8
(1 - \varphi )2
e
2 1+\varphi
1 - \varphi
\theta
(\partial 2\theta )
2 + 1 = 0,
а його розв’язок має вигляд e2
1+\varphi
1 - \varphi
\theta
=
4
(1 - \varphi )2
\biggl(
C1 -
(1 - \varphi 2)2
16
(u2 + C2)
2
\biggr)
.
Таким чином, система рiвнянь Гаусса – Кодаццi – Рiччi для просторовоподiбної поверхнi
сумiсна, звiдки випливає iснування двовимiрної просторовоподiбної поверхнi V 2 класу Cn,
n \geq 3, з плоскою нормальною зв’язнiстю у просторi Мiнковського з невиродженим про-
сторовоподiбним грассмановим образом сталої кривини. Ця кривина дорiвнює K = - \mathrm{c}\mathrm{h}2 c,
K \in ( - \infty , - 1). Наприклад, при c = 1 отримуємо K \approx - 1,54.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
550 ПОЛIНА СТЄГАНЦЕВА, МАРИНА ГРЕЧНЄВА
Якщо ж грассмановий образ є часоподiбною поверхнею, то згiдно з зауваженням до твер-
дження 1
\bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr) \bigl(
(L1
22)
2 - (L2
22)
2
\bigr)
< 0. Тодi з системи (15) випливає
L1
22 - L2
22
L1
22 + L2
22
=
- \varphi (L
1
11 - L2
11)
L1
11 + L2
11
. Запишемо цю пропорцiю в iншому виглядi та введемо коефiцiєнт пропорцiй-
ностi — функцiю k(u1, u2):
- L1
22 - L2
22
\varphi (L1
11 - L2
11)
=
L1
22 + L2
22
L1
11 + L2
11
= k(u1, u2). (19)
Звiдси випливає спiввiдношення (L1
22)
2 - (L2
22)
2 = - k2(u1, u2)\varphi
\bigl(
(L1
11)
2 - (L2
11)
2
\bigr)
. Виходячи з
цiєї рiвностi, можемо шукати L1
11, L
2
11, L
1
22, L
2
22 у виглядi
L1
11 = f(u1, u2) \mathrm{s}\mathrm{h} \theta (u1, u2), L2
11 = f(u1, u2) \mathrm{c}\mathrm{h} \theta (u1, u2),
L1
22 = k(u1, u2)f(u1, u2)
\surd
\varphi \mathrm{c}\mathrm{h} \xi (u1, u2), L2
22 = k(u1, u2)f(u1, u2)
\surd
\varphi \mathrm{s}\mathrm{h} \xi (u1, u2).
Наслiдком (19) є також рiвнiсть L2
11L
1
22 - L1
11L
2
22 =
1 + \varphi
1 - \varphi
\bigl(
L2
11L
2
22 - L1
11L
1
22
\bigr)
. Умовою її вико-
нання є вимога
\mathrm{c}\mathrm{h}(\xi - \theta ) =
1 + \varphi
1 - \varphi
\mathrm{s}\mathrm{h}(\xi - \theta ).
Значення кривини грассманового образу для таких коефiцiєнтiв других квадратичних форм
K = \mathrm{s}\mathrm{h}2(\xi - \theta ).
Обчислення, аналогiчнi тим, якi були проведенi вище для просторовоподiбної поверхнi з
просторовоподiбним грассмановим образом, приводять до рiвняння Гаусса для просторовопо-
дiбної поверхнi з часоподiбним грассмановим образом у виглядi
4
1 - \varphi 2
e
2 1 - \varphi
1+\varphi
\theta
\partial 22\theta +
8
(1 + \varphi )2
e
2 1 - \varphi
1+\varphi
\theta
(\partial 2\theta )
2 + 1 = 0.
Отже, iснує двовимiрна просторовоподiбна поверхня V 2 класу Cn, n \geq 3, з плоскою нормаль-
ною зв’язнiстю у просторi Мiнковського з невиродженим часоподiбним грассмановим образом
сталої кривини. Ця кривина K = \mathrm{s}\mathrm{h}2 c, K \in (0,\infty ).
Теорему доведено.
З доведення випливають такi висновки:
1) неiзотропними поверхнями з плоскою нормальною зв’язнiстю, невироджений грассма-
новий образ яких має сталу кривину K = 0, можуть бути лише поверхнi зi сталою нульовою
гауссовою кривиною та точковою корозмiрнiстю 2;
2) часоподiбними (просторовоподiбними) поверхнями з плоскою нормальною зв’язнiстю,
невироджений грассмановий образ яких має сталу кривину K = 1
\bigl(
K = - 1
\bigr)
, можуть бути
лише гiперповерхнi тривимiрних пiдпросторiв з ненульовою внутрiшньою кривиною.
Конфлiкт iнтересiв. Автори заявляють, що вони не мають потенцiйного конфлiкту iнтере-
сiв щодо дослiдження у цiй статтi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ДВОВИМIРНI НЕIЗОТРОПНI ПОВЕРХНI З ПЛОСКОЮ НОРМАЛЬНОЮ ЗВ’ЯЗНIСТЮ . . . 551
Фiнансування. Автори заявляють, що пiд час пiдготовки цього рукопису не було отримано
коштiв, грантiв чи iншої пiдтримки.
Авторськi внески. Усi автори внесли рiвний внесок у роботу.
Лiтература
1. Ю. А. Аминов, Геометрия подмногообразий, Наук. думка, Киев (2002).
2. Ю. А. Аминов, О погружении евклидовой плоскости в E4 с нулевым гауссовым кручением, Мат. физика,
анализ, геометрия, 1, № 3/4, 380 – 391 (1994).
3. А. А. Борисенко, Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий, Экзамен, Москва (2003).
4. А. А. Борисенко, Ю. А. Николаевский, О поверхностях с максимальной кривизной грассманова образа, Мат.
заметки, 48, № 3, 12 – 19 (1990).
5. М. А. Гречнева, П. Г. Стеганцева, О поверхностях со стационарными значениями секционной кривизны
грассманова образа, Proc. Int. Geom. Centre, 9, № 2, 42 – 48 (2016).
6. В. Т. Лисица, Многомерные поверхности с плоской нормальной связностью с постоянной кривизной грассма-
нова образа, Изв. вузов. Математика, 5, 47 – 51 (2004).
7. Ю. Г. Лумисте, А. В. Чекмазян, Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными
полями в пространстве постоянной кривизны, Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом., № 12, 3 – 30 (1981).
8. И. Маазикас, К римановой геометрии грассмановых многообразий неизотропных подпространств псевдоев-
клидова пространства, Уч. зап. Тартус. ун-та, 342, 76 – 82 (1974).
9. П. Г. Стеганцева, М. А. Гречнева, Грассманов образ неизотропной поверхности псевдоевклидова пространс-
тва, Изв. вузов. Математика, № 2, 65 – 75 (2017).
10. В. Т. Фоменко, Двумерные поверхности с плоской нормальной связностью в пространстве постоянной кри-
визны, несущие геодезические постоянной кривизны, Мат. заметки, 68, № 4, 579 – 586 (2000).
11. Y. Muto, The Gauss map of submanifolds in a Euclidean space, J. Math. Soc. Japan, 30, № 1, 85 – 100 (1978).
12. Y. C. Wong, Sectional curvatures of Grassmann manifolds, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 60, № 1, 75 – 79 (1968).
Одержано 13.05.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-6743 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:29:57Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/43/e2d158da8769b8e484552e9986b23143.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-67432024-06-19T00:35:22Z Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space Существование поверхностей с плоской нормальной связностью и постоянной кривизной их грассманова образа в пространстве Минковского Двовимірні неізотропні поверхні з плоскою нормальною зв’язністю і невиродженим грассмановим образом сталої кривини у просторі Мінковського Stegantseva, P. Grechneva, M. Стеганцева, Полина Стєганцева, Поліна Гречнєва, Марина surface with a flat normal connection, Minkowski space, Grassmann image Поверхні з плоскою нормальною зв'язністю, грассмановий образ, простір Мінковського UDC 514.764 We find possible values of&nbsp; curvature of the Grassmann manifold along the&nbsp; planes tangential to the Grassmann image of a two-dimensional nonisotropic surface with flat normal connection in the four-dimensional Minkowski space.&nbsp;It is shown that if the surface with&nbsp; flat normal connection is time-like, then the analyzed curvature may take values from the set $[0,1].$&nbsp;However, if the surface with flat normal connection is space-like, then this curvature may take values from $(-\infty,-1]$ in the case of a space-like Grassmann image or the values from $[0,\infty)$ in the case of a time-like Grassmann image.&nbsp;The existence of two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and constant curvature of their Grassmann image is proved&nbsp;for all values of curvature from the obtained sets. В работе найдены значения, которые может принимать кривизна грассманова многообразия вдоль площадок, касательных к грассманову образу двумерной поверхности с плоской нормальной связностью в четырехмерном пространстве Минковского. Показано, что в случае времениподобной поверхности с плоской нормальной связностью и постоянной кривизной её грассманова образа, эта кривизна принимает значения из множества $[0,1]$. Если же поверхность с плоской нормальной связностью является пространственноподобной и имеет постоянную кривизну грассманового образа, то значения этой кривизны принадлежат множеству $(-\infty,-1]$ в случае пространственноподобного грассманова образа и являются неотрицательными в случае времениподобного грассманова образа. Доказано существование поверхности для каждого значения из соответственных промежутков. УДК 514.764 Знайдено значення, яких може набувати кривина грассманового многовиду вздовж площин, дотичних до грассманового образу двовимірної неізотропної поверхні з плоскою нормальною зв’язністю у чотиривимірному просторі Мінковського.&nbsp;Показано, що у випадку часоподібної поверхні з плоскою нормальною зв’язністю кривина набуває значень з множини $[0,1].$ Якщо ж поверхня з плоскою нормальною зв’язністю є просторовоподібною, то значення цієї кривини належать множині $(-\infty,-1]$ у випадку просторовоподібного грассманового образу і є невід'ємними у випадку часоподібного грассманового образу.&nbsp;Доведено існування двовимірних неізотропних поверхонь з плос\-кою нормальною зв’язністю та сталою кривиною їх грассманового образу для всіх значень кривини зі знайдених множин. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6743 10.3842/umzh.v74i4.6743 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 4 (2024); 533 - 551 Український математичний журнал; Том 76 № 4 (2024); 533 - 551 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6743/9915 Copyright (c) 2024 Марина Гречнєва, Поліна Стєганцева |
| spellingShingle | Stegantseva, P. Grechneva, M. Стеганцева, Полина Стєганцева, Поліна Гречнєва, Марина Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space |
| title | Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space |
| title_alt | Существование поверхностей с плоской нормальной связностью и постоянной кривизной их грассманова образа в пространстве Минковского Двовимірні неізотропні поверхні з плоскою нормальною зв’язністю і невиродженим грассмановим образом сталої кривини у просторі Мінковського |
| title_full | Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space |
| title_fullStr | Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space |
| title_full_unstemmed | Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space |
| title_short | Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space |
| title_sort | two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate grassmann image of constant curvature in the minkowski space |
| topic_facet | surface with a flat normal connection, Minkowski space, Grassmann image Поверхні з плоскою нормальною зв'язністю грассмановий образ простір Мінковського |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6743 |
| work_keys_str_mv | AT stegantsevap twodimensionalnonisotropicsurfaceswithflatnormalconnectionandanondegenerategrassmannimageofconstantcurvatureintheminkowskispace AT grechnevam twodimensionalnonisotropicsurfaceswithflatnormalconnectionandanondegenerategrassmannimageofconstantcurvatureintheminkowskispace AT stegancevapolina twodimensionalnonisotropicsurfaceswithflatnormalconnectionandanondegenerategrassmannimageofconstantcurvatureintheminkowskispace AT stêgancevapolína twodimensionalnonisotropicsurfaceswithflatnormalconnectionandanondegenerategrassmannimageofconstantcurvatureintheminkowskispace AT grečnêvamarina twodimensionalnonisotropicsurfaceswithflatnormalconnectionandanondegenerategrassmannimageofconstantcurvatureintheminkowskispace AT stegantsevap suŝestvovaniepoverhnostejsploskojnormalʹnojsvâznostʹûipostoânnojkriviznojihgrassmanovaobrazavprostranstveminkovskogo AT grechnevam suŝestvovaniepoverhnostejsploskojnormalʹnojsvâznostʹûipostoânnojkriviznojihgrassmanovaobrazavprostranstveminkovskogo AT stegancevapolina suŝestvovaniepoverhnostejsploskojnormalʹnojsvâznostʹûipostoânnojkriviznojihgrassmanovaobrazavprostranstveminkovskogo AT stêgancevapolína suŝestvovaniepoverhnostejsploskojnormalʹnojsvâznostʹûipostoânnojkriviznojihgrassmanovaobrazavprostranstveminkovskogo AT grečnêvamarina suŝestvovaniepoverhnostejsploskojnormalʹnojsvâznostʹûipostoânnojkriviznojihgrassmanovaobrazavprostranstveminkovskogo AT stegantsevap dvovimírníneízotropnípoverhnízploskoûnormalʹnoûzvâznístûínevirodženimgrassmanovimobrazomstaloíkriviniuprostorímínkovsʹkogo AT grechnevam dvovimírníneízotropnípoverhnízploskoûnormalʹnoûzvâznístûínevirodženimgrassmanovimobrazomstaloíkriviniuprostorímínkovsʹkogo AT stegancevapolina dvovimírníneízotropnípoverhnízploskoûnormalʹnoûzvâznístûínevirodženimgrassmanovimobrazomstaloíkriviniuprostorímínkovsʹkogo AT stêgancevapolína dvovimírníneízotropnípoverhnízploskoûnormalʹnoûzvâznístûínevirodženimgrassmanovimobrazomstaloíkriviniuprostorímínkovsʹkogo AT grečnêvamarina dvovimírníneízotropnípoverhnízploskoûnormalʹnoûzvâznístûínevirodženimgrassmanovimobrazomstaloíkriviniuprostorímínkovsʹkogo |