Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$
UDC 517.51 We obtain the exact-order estimates for orthoprojection widths and similar approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and Nikol'skii–Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and several varia...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6755 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512514338455552 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:35Z |
| description | UDC 517.51
We obtain the exact-order estimates for orthoprojection widths and similar approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and Nikol'skii–Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and several variables in the norm of the space $B_{1,1}$. In addition, we establish that the sequence of norms of linear operators that realize the orders of the best approximation of the classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}$ in space $B_{1,1}$ using trigonometric polynomials with ``numbers'' of harmonics from step hyperbolic crosses is unbounded in the multidimensional case. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i8.6755 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i8.6755
УДК 517.51
А. С. Романюк, С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ
КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI \bfitB \bfone ,\bfone
We obtain the exact-order estimates for orthoprojection widths and similar approximation characteristics of the Sobolev
classes W \bfitr
p,\bfitalpha and Nikol’skii – Besov classes B\bfitr
p,\theta of periodic functions of one and several variables in the norm of the
space B1,1 . In addition, we establish that the sequence of norms of linear operators that realize the orders of the best
approximation of the classes B\bfitr
1,\theta in space B1,1 using trigonometric polynomials with “numbers” of harmonics from step
hyperbolic crosses is unbounded in the multidimensional case.
Отримано точнi за порядком оцiнки ортопоперечникiв i близьких до них апроксимацiйних характеристик класiв
Соболєва W \bfitr
p,\bfitalpha та класiв Нiкольського – Бєсова B\bfitr
p,\theta перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних у просторi
B1,1. Крiм того, встановлено, що у багатовимiрному випадку послiдовнiсть норм лiнiйних операторiв, якi реалiзують
порядковi значення найкращого наближення класiв B\bfitr
1,\theta у просторi B1,1 за допомогою тригонометричних полiномiв
з „номерами” гармонiк зi схiдчастих гiперболiчних хрестiв, є необмеженою.
1. Вступ. У роботi дослiджуються апроксимацiйнi характеристики класiв Нiкольського – Бєсова
B\bfitr
p,\theta i Соболєва W \bfitr
p,\bfitalpha перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних у просторi B1,1, норма
в якому є не слабшою, нiж L1-норма. Як зазначено в роботах [1, 2], мотивацiєю до розгляду
питань апроксимацiї функцiональних класiв у цьому просторi була та обставина, що деякi з
вiдповiдних питань у просторi L1 дотепер залишаються вiдкритими (див., наприклад, [3, 4]).
Робота складається з трьох частин. У першiй частинi (пп. 2 – 4) наведено всi необхiднi
позначення, означення та допомiжнi твердження. У другiй частинi отримано точнi за поряд-
ком оцiнки ортопоперечникiв, а також схожих за означенням величин класiв B\bfitr
p,\theta та W \bfitr
p,\bfitalpha у
просторi B1,1, для одновимiрного (d = 1) i багатовимiрного (d \geq 2) випадкiв (пп. 5 i 6 вiд-
повiдно). Третю частину роботи, п. 7, присвячено вивченню властивостей лiнiйних операторiв,
якi реалiзують порядок найкращого наближення класiв B\bfitr
1,\theta тригонометричними полiномами з
„номерами” гармонiк зi схiдчастих гiперболiчних хрестiв у просторi B1,1. За результатами про-
ведених дослiджень виявлено, що у багатовимiрному випадку (на противагу одновимiрному)
послiдовнiсть норм таких операторiв є необмеженою.
2. Означення функцiональних класiв. Нехай \BbbR d, d \geq 1, — евклiдiв простiр з елементами
\bfitx = (x1, . . . , xd) i (\bfitx ,\bfity ) = x1y1 + . . . + xdyd. Через Lp(\pi d), \pi d =
\prod d
j=1
[0, 2\pi ], 1 \leq p \leq \infty ,
позначимо простiр функцiй f, якi є 2\pi -перiодичними за кожною змiнною i такi, що
\| f\| p := \| f\| Lp(\pi d) =
\left( (2\pi ) - d
\int
\pi d
\bigm| \bigm| f(\bfitx )\bigm| \bigm| p d\bfitx
\right) 1/p
< \infty , 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty := \| f\| L\infty (\pi d) = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \pi d
\bigm| \bigm| f(\bfitx )\bigm| \bigm| < \infty , p = \infty .
Далi будемо розглядати лише тi функцiї f \in Lp(\pi d), для яких виконано умову
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО, 2021
1102 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1103
2\pi \int
0
f(\bfitx )dxj = 0, j = 1, d.
Множину таких функцiй будемо позначати L0
p(\pi d).
Наведемо означення функцiональних класiв B\bfitr
p,\theta , якi дослiджуються в роботi. При цьому
нам буде зручно користуватись їхнiми означеннями у термiнах так званого декомпозицiйного
нормування (див. зауваження 2.1 у [5]).
Нехай Vl(t), t \in \BbbR , l \in \BbbN , позначає ядро Валле Пуссена вигляду
Vl(t) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2l - 1\sum
k=l+1
\biggl(
1 - k - l
l
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt.
Кожному вектору \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, поставимо у вiдповiднiсть полiном
A\bfits (\bfitx ) =
d\prod
j=1
\bigl(
V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)
\bigr)
i для f \in L0
p(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , покладемо
A\bfits (f) := A\bfits (f,\bfitx ) = (f \ast A\bfits )(\bfitx ),
де \ast — операцiя згортки. Тодi при 1 \leq p \leq \infty , \bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, з точнiстю до
абсолютних сталих класи B\bfitr
p,\theta можна означити таким чином:
B\bfitr
p,\theta =
\left\{ f : \| f\| B\bfitr
p,\theta
=
\left( \sum
\bfits \in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\theta
\bigm\| \bigm\| A\bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \theta
p
\right) 1
\theta
\leq 1
\right\} , 1 \leq \theta < \infty ,
B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p =
\Bigl\{
f : \| f\| B\bfitr
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )
\bigm\| \bigm\| A\bfits (f)
\bigm\| \bigm\|
p
\leq 1
\Bigr\}
.
Зазначимо, що у випадку 1 < p < \infty класи B\bfitr
p,\theta можна означити у термiнах двiйкових „блокiв”
ряду Фур’є функцiї f \in L0
p(\pi d).
Для векторiв \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, i \bfitk = (k1, . . . , kd), kj \in \BbbZ , j = 1, d,
покладемо
\rho (\bfits ) =
\Bigl\{
\bfitk : \bfitk = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\Bigr\}
i для f \in L0
p(\pi d) позначимо
\delta \bfits (f) := \delta \bfits (f,\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ),
де \widehat f(\bfitk ) = \int
\pi d
f(\bfitt )e - i(\bfitk ,\bfitt )d\bfitt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Нехай p \in (1,\infty ) i \bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тодi з точнiстю до абсолютних сталих
класи B\bfitr
p,\theta можна означити таким чином (див., наприклад, [5, 6]):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1104 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
B\bfitr
p,\theta =
\left\{ f : \| f\| B\bfitr
p,\theta
=
\left( \sum
s\in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\theta
\bigm\| \bigm\| \delta \bfits (f)\bigm\| \bigm\| \theta p
\right) 1
\theta
\leq 1
\right\} , 1 \leq \theta < \infty ,
B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p =
\Biggl\{
f : \| f\| B\bfitr
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )
\bigm\| \bigm\| \delta \bfits (f)\bigm\| \bigm\| p \leq 1
\Biggr\}
.
Нагадаємо означення класiв W \bfitr
p,\bfitalpha , якi також дослiджуються в роботi.
Нехай F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) — багатовимiрнi аналоги ядер Бернуллi, тобто
F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) = 2d
\sum
\bfitk
d\prod
j=1
k
- rj
j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
kjxj -
\alpha j\pi
2
\Bigr)
, rj > 0, \alpha j \in \BbbR ,
i пiдсумовування проводиться за векторами \bfitk = (k1, . . . , kd), для яких kj > 0, j = 1, d. Тодi
через W \bfitr
p,\bfitalpha позначимо клас функцiй f вигляду
f(\bfitx ) = \varphi (\bfitx ) \ast F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
\varphi (\bfity )F\bfitr (\bfitx - \bfity ,\bfitalpha )d\bfity ,
\varphi \in Lp(\pi d), \| \varphi \| p \leq 1.
З iсторiєю дослiдження класiв W \bfitr
p,\bfitalpha , H\bfitr
p i B\bfitr
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , можна ознайомитись у
монографiях [3, 4, 7, 8] i роботах [5, 6, 9, 10]. Нагадаємо лише, що для введених класiв
справджуються такi вкладення:
B\bfitr
p,p \subset W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,2, 1 < p \leq 2,
B\bfitr
p,2 \subset W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,p, 2 \leq p < \infty ,
W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p , 1 \leq p \leq \infty .
Зокрема, при \theta = p = 2
W \bfitr
2,\bfitalpha \subset B\bfitr
2,2 \subset W \bfitr
2,\bfitalpha .
Далi вважаємо, що координати вектора \bfitr = (r1, . . . , rd) в означених класах впорядковано
так, що 0 < r1 = r2 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . . \leq rd, а також \bfitgamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d) — вектор iз
координатами \gamma j =
rj
r1
, j = 1, d, i \bfitgamma \prime = (\gamma \prime 1, . . . , \gamma
\prime
d), де \gamma \prime j = \gamma j при j = 1, \nu i 1 < \gamma \prime j < \gamma j при
j = \nu + 1, d.
Отриманi результати будемо формулювати у термiнах порядкових спiввiдношень. Для додат-
них величин a i b використовується запис a \asymp b, який означає, що iснують такi додатнi сталi
C1, C2, якi не залежать вiд одного iстотного параметра у величинах a i b, що C1a \leq b (пишемо
a \ll b) i C2a \geq b (пишемо a \gg b). Всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi зустрiчаються в роботi, можуть
залежати лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в якiй оцiнюється
похибка наближення, та розмiрностi простору \BbbR d. У деяких випадках цю залежнiсть будемо
вказувати в явному виглядi, а в iнших вона буде зрозумiлою iз контексту. Якщо \frakN — деяка
скiнченна множина, то через | \frakN | будемо позначати кiлькiсть її елементiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1105
Тепер наведемо означення норми \| \cdot \| B1,1 у пiдпросторах B1,1 функцiй f \in L1. Для триго-
нометричних полiномiв t за кратною тригонометричною системою \{ ei(\bfitk ,\bfitx )\} \bfitk \in \BbbZ d норма \| t\| B1,1
визначається за формулою
\| t\| B1,1 :=
\sum
\bfits
\| A\bfits (t)\| 1.
Аналогiчно визначається норма \| f\| B1,1 для будь-якої функцiї f \in L1 такої, що ряд\sum
\bfits
\| A\bfits (f)\| 1 збiгається. Зазначимо, що для f \in B1,1 виконується спiввiдношення
\| f\| 1 \ll \| f\| B1,1 . (1)
3. Апроксимацiйнi характеристики. Нехай \{ ui\} Mi=1 — ортонормована у просторi L2(\pi d)
система функцiй ui \in L\infty (\pi d), i = 1,M. Кожнiй функцiї f \in Lq(\pi d), 1 \leq q \leq \infty , по-
ставимо у вiдповiднiсть апроксимацiйний агрегат вигляду
\sum M
i=1
(f, ui)ui, тобто ортогональ-
ну проєкцiю функцiї f на пiдпростiр, породжений системою функцiй \{ ui\} Mi=1. Тут i далi
(f, ui) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfitx )ui(\bfitx )d\bfitx . Якщо F \subset Lq(\pi d), то величина
d\bot M
\bigl(
F,Lq
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ ui\} Mi=1\subset L\infty (\pi d)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
M\sum
i=1
(f, ui)ui
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
(2)
називається ортопоперечником (Фур’є-поперечником) класу F у просторi Lq(\pi d). Поперечник
d\bot M
\bigl(
F,Lq
\bigr)
увiв В. М. Темляков [11]. Крiм того, В. М. Темляков [7] розглянув близьку до
Фур’є-поперечника величину dB
M
\bigl(
F,Lq
\bigr)
, яка визначається за формулою
dBM
\bigl(
F,Lq
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in LM (B)q
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F\cap \scrD (G)
\| f - Gf\| q. (3)
Тут LM (B)q позначає множину лiнiйних операторiв, що пiдпорядкованi таким умовам:
а) область визначення \scrD (G) цих операторiв мiстить усi тригонометричнi полiноми, а
область їхнiх значень мiститься у пiдпросторi розмiрностi M простору Lq ;
б) iснує таке число B \geq 1, що для всiх векторiв \bfitk = (k1, . . . , kd) виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| Gei(\bfitk ,\bfitx )
\bigm\| \bigm\|
2
\leq B.
Зазначимо, що до LM (1)2 належать оператори ортогонального проєктування на пiдпростори
простору L2 розмiрностi M, а також оператори, якi задаються на ортонормованiй системi
функцiй за допомогою мультиплiкатора, який визначається такою послiдовнiстю \{ \lambda l\} , що | \lambda l| \leq
\leq 1 для всiх l. Легко бачити, що згiдно з означеннями (2), (3) справджується спiввiдношення
dBM
\bigl(
F,Lq
\bigr)
\leq d\bot M
\bigl(
F,Lq
\bigr)
. (4)
Зрозумiло, що таке спiввiдношення має мiсце i у просторi B1,1, тобто
dBM
\bigl(
F,B1,1
\bigr)
\leq d\bot M
\bigl(
F,B1,1
\bigr)
. (5)
Величини (2), (3) для рiзноманiтних функцiональних класiв F як у просторах Лебега Lq(\pi d),
1 \leq q \leq \infty , так i в iнших функцiональних просторах дослiджувались у роботах [11 – 28]. З
детальною бiблiографiєю можна ознайомитися у монографiях [3, 4, 7, 8].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1106 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
У деяких випадках при встановленнi оцiнок знизу величин dBM
\bigl(
Br
p,\theta , B1,1
\bigr)
будемо вико-
ристовувати оцiнки колмогоровських поперечникiв цих класiв, i тому нагадаємо означення
вiдповiдної апроксимацiйної характеристики.
Нехай X — нормований простiр iз нормою \| \cdot \| X , \frakL M (X ) — сукупнiсть пiдпросторiв у
просторi X розмiрностi, що не перевищує M, i W — центрально-симетрична множина в X .
Величина
dM
\bigl(
W,X
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM\in \frakL M (X )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in W
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in LM
\| w - u\| X
називається колмогоровським M -поперечником множини W у просторi X .
Поперечник dM
\bigl(
W,X
\bigr)
увiв у 1936 р. А. М. Колмогоров [29]. Зауважимо, що означенi
вище апроксимацiйнi характеристики у просторах X = Lq(\pi d), 1 \leq q \leq \infty , або X = B1,1
пов’язанi мiж собою спiввiдношеннями
dM
\bigl(
F,X
\bigr)
\leq dBM
\bigl(
F,X
\bigr)
\leq d\bot M
\bigl(
F,X
\bigr)
. (6)
4. Допомiжнi твердження. Попередньо зазначимо, що в допомiжних твердженнях, якi на-
ведено нижче, а також в одержаних результатах \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M означає логарифм числа M за основою 2.
Теорема А. Нехай d \geq 1, 1 < p \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi
d\bot M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , L1
\bigr)
\asymp dBM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , L1
\bigr)
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1+( 1
p\ast -
1
\theta
)+ , (7)
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} , p\ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 2, p\} .
Теорема Б. Нехай d \geq 1, 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi
dBM
\bigl(
B\bfitr
1,\theta , L1
\bigr)
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (8)
Оцiнки (7), (8) при 1 \leq \theta < \infty одержано в [20], а при \theta = \infty — у [14].
Теорема В [1]. Нехай 1 \leq p, \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi
dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta .
Для формулювання наступного твердження нам знадобляться деякi позначення.
Нехай Q\bfitgamma
n =
\bigcup
(\bfits ,\bfitgamma )\leq n
\rho (\bfits ), n \in \BbbN . Множину Q\bfitgamma
n називають схiдчастим гiперболiчним хрес-
том.
Покладемо
T (Q\bfitgamma
n) =
\Bigl\{
t : t(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in Q\bfitgamma
n
c\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ), c\bfitk \in \BbbC ,\bfitx \in \BbbR d
\Bigr\}
.
Для нормованого функцiонального простору Y з нормою \| \cdot \| Y i f \in Y позначимо через
EQ\bfitgamma
n
\bigl(
f
\bigr)
Y
:= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in T (Q\bfitgamma
n)
\| f - t\| Y
величину найкращого наближення функцiї f у просторi Y за допомогою полiномiв, що нале-
жать множинi T (Q\gamma
n). Якщо F \subset Y — деякий функцiональний клас, то покладемо
EQ\bfitgamma
n
\bigl(
F
\bigr)
Y
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
EQ\bfitgamma
n
\bigl(
f
\bigr)
Y
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1107
У випадку \bfitgamma = (1, . . . , 1) \in \BbbN d будемо писати T (Qn) замiсть T (Q\bfitgamma
n) i вiдповiдно EQn
\bigl(
F
\bigr)
Y
замiсть EQ\bfitgamma
n
\bigl(
F
\bigr)
Y
.
Для величин EQn
\bigl(
B\bfitr
p,\theta
\bigr)
B1,1
, \bfitr = (r1, . . . , r1) \in \BbbR d
+, як наслiдок оцiнки колмогоровського
поперечника dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
, M \asymp 2nnd - 1 [1], можна сформулювати таке твердження.
Теорема Г. Нехай d \geq 1, 1 \leq p, \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi
EQn
\bigl(
B\bfitr
p,\theta
\bigr)
B1,1
\asymp 2 - nr1n(d - 1)(1 - 1
\theta
).
Наступнi твердження є аналогами теорем Б, В i Г для класiв W \bfitr
p,\bfitalpha .
Теорема Д [1]. Нехай d \geq 1, 1 < p < \infty , r1 > 0. Тодi при \bfitalpha \in \BbbR d справедливою є оцiнка
dM
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 .
Теорема Е. Нехай d \geq 1, 1 < p < \infty , \bfitr = (r1, . . . , r1) \in \BbbR d
+. Тодi при \bfitalpha \in \BbbR d
EQn
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
B1,1
\asymp 2 - nr1n
d - 1
2 . (9)
Оцiнка зверху в (9) є наслiдком теореми Г при \theta = 2, а вiдповiдна оцiнка знизу випливає з
теореми Д при M \asymp 2nnd - 1 i \nu = d.
Теорема Ж [14]. Нехай d \geq 1, r1 > 0. Тодi при \bfitalpha \in \BbbR d
dBM
\bigl(
W \bfitr
1,\bfitalpha , L1
\bigr)
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1.
Лема А [7, c. 11]. Справджується оцiнка\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n
2 - \beta (\bfits ,\bfitgamma ) \asymp 2 - \beta nn\nu - 1, \beta > 0.
Лема Б [7] (гл. 1, §2). Для будь-якого \eta > 0 знайдеться така стала C(\eta ) > 0, що для
довiльного полiнома t \in T (Qn) виконується нерiвнiсть\sum
\bfitk \in Qn
| \widehat t(\bfitk )| \leq C(\eta )n\eta 2n\| t\| 1.
5. Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй однiєї змiнної. Одер-
жанi у цьому пунктi результати стосуються оцiнок величин d\bot M
\bigl(
F,B1,1
\bigr)
i dBM
\bigl(
F,B1,1
\bigr)
, де F —
класи Br1
p,\theta або W r1
p,\alpha .
Справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Нехай d = 1, 1 < p \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i r1 > 0. Тодi виконуються спiввiдно-
шення
d\bot M
\bigl(
Br1
p,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp dBM
\bigl(
Br1
p,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (10)
Доведення. Попередньо зауважимо, що згiдно зi спiввiдношенням (6) для доведення (10)
достатньо встановити оцiнку зверху для ортопоперечника d\bot M
\bigl(
Br1
p,\theta , B1,1
\bigr)
, 1 < p < \infty , а знизу —
для величини dBM
\bigl(
Br1
p,\theta , B1,1
\bigr)
.
Крiм того, оскiльки Br1
\infty ,\theta \subset Br1
p,\theta \subset Hr1
p , 1 < p < \infty , оцiнку зверху достатньо отримати
для ортопоперечника d\bot M
\bigl(
Hr1
p , B1,1
\bigr)
. Отже, нехай M \in \BbbN , M \geq 4, i f \in Hr1
p , 1 < p < \infty .
Розглянемо наближення функцiї f за допомогою полiномiв tn(f) вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1108 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
tn(f) =
n\sum
s=1
\delta s(f),
де число n \in \BbbN пов’язане з M спiввiдношенням 2n+1 \leq M \leq 2n+2. Тодi згiдно з означенням
норми у просторi B1,1, беручи до уваги властивiсть згортки, одержуємо
\| f - tn(f)\| B1,1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=n+1
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B1,1
=
\sum
s\in \BbbN
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
\infty \sum
s\prime =n+1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq
\infty \sum
s=n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\infty \sum
s=n
\| As\| 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
= J1. (11)
Для продовження оцiнки величини J1 зазначимо, що згiдно зi спiввiдношенням \| V2s\| 1 \leq C3
(див., наприклад, [8], гл. 1, § 1) маємо
\| As\| 1 = \| V2s - V2s - 1\| 1 \leq \| V2s\| 1 + \| V2s - 1\| 1 \leq C4. (12)
Крiм того, беручи до уваги, що (див., наприклад, [8], гл. 1, § 3)
\| \delta s\prime (f)\| p \ll 2 - s\prime r1 , s\prime \in \BbbN ,
можемо записати \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
s+1\sum
s\prime =s - 1
\| \delta s\prime (f)\| p \ll
s+1\sum
s\prime =s - 1
2 - s\prime r1 \ll 2 - sr1 . (13)
Отже, з (11) iз урахуванням (12), (13) випливає, що
J1 \ll
\infty \sum
s=n
2 - sr1 \ll 2 - nr1 ,
i з огляду на спiввiдношення мiж числами M i n приходимо до оцiнок
dBM
\bigl(
Br1
p,\theta , B1,1
\bigr)
\leq d\bot M
\bigl(
Br1
p,\theta , B1,1
\bigr)
\ll M - r1 .
Оцiнка знизу величини dBM
\bigl(
Br1
p,\theta , B1,1
\bigr)
випливає з теореми А згiдно з нерiвнiстю \| \cdot \| B1,1 \gg
\gg \| \cdot \| 1.
Теорему 1 доведено.
Як наслiдок одержаного результату i вiдомих оцiнок величин dBM
\bigl(
W r1
p,\alpha , L1
\bigr)
[14] сформу-
люємо вiдповiдне теоремi 1 твердження для класiв W r1
p,\alpha .
Теорема 2. Нехай d = 1, 1 < p \leq \infty , r1 > 0. Тодi при \alpha \in \BbbR справджуються спiввiдно-
шення
d\bot M
\bigl(
W r1
p,\alpha , B1,1
\bigr)
\asymp dBM
\bigl(
W r1
p,\alpha , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1109
Доведення. Оцiнки зверху в (14) для обох величин випливають з теореми 1 при \theta = \infty
згiдно з вкладенням W r1
p,\alpha \subset Hr1
p . Вiдповiдна оцiнка знизу для величини dBM
\bigl(
W r1
p,\alpha , B1,1
\bigr)
,
1 < p \leq \infty , є наслiдком оцiнки [14]
dBM
\bigl(
W r1
p,\alpha , L1
\bigr)
\asymp M - r1
i спiввiдношення (1).
Теорему 2 доведено.
У теоремах 1, 2 залишився не розглянутим випадок p = 1, для якого вдалося встановити
тiльки порядки величин dBM
\bigl(
Br1
1,\theta , B1,1
\bigr)
i dBM
\bigl(
W r1
1,\alpha , B1,1
\bigr)
.
Справедливим є таке твердження.
Теорема 3. Нехай d = 1, r1 > 0, 1 \leq \theta \leq \infty . Тодi
dBM
\bigl(
Br1
1,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (15)
Доведення. Як i при доведеннi теореми 1, оцiнку зверху достатньо одержати для класiв
Hr1
1 . Розглянемо наближення функцiй f \in Hr1
1 тригонометричними полiномами вигляду
\widetilde tn(f) = n - 1\sum
s=1
As(f),
де число n \in \BbbN пов’язане з M спiввiдношенням 2n \leq M \leq 2n+1. Вище було зазначено, що
оператор G, який ставить у вiдповiднiсть функцiї f полiном такого вигляду, належить LM (1)2.
Отже, згiдно з означенням норми у просторi B1,1 можемо записати
\| f - \widetilde tn(f)\| B1,1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=n
As(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B1,1
=
\sum
s\in \BbbN
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
\infty \sum
s\prime =n
As\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq
\infty \sum
s=n - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
s+1\sum
s\prime =s - 1
As\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\infty \sum
s=n - 1
\| As\| 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
As\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\ll
\ll
\infty \sum
s=n - 1
s+1\sum
s\prime =s - 1
\bigm\| \bigm\| As\prime (f)
\bigm\| \bigm\|
1
\ll
\infty \sum
s=n - 2
\bigm\| \bigm\| As(f)
\bigm\| \bigm\|
1
\ll
\infty \sum
s=n - 2
2 - sr1 \ll 2 - nr1 .
Враховуючи спiввiдношення мiж числами M i n, одержуємо
dBM
\bigl(
Br1
1,\theta , B1,1
\bigr)
\ll M - r1 .
Оцiнка знизу в (15) випливає з теореми Б згiдно зi спiввiдношенням (1).
Теорему 3 доведено.
Аналогiчне твердження є справедливим i для класiв W r1
1,\alpha .
Теорема 4. Нехай d = 1, r1 > 0. Тодi при \alpha \in \BbbR
dBM
\bigl(
W r1
1,\alpha , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1110 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Доведення. Оцiнка зверху в (16) випливає з теореми 3 при \theta = \infty згiдно з вкладенням
W r1
1,\alpha \subset Hr1
1 . Вiдповiдна оцiнка знизу є наслiдком теореми Ж та спiввiдношення (1).
Теорему 4 доведено.
Прокоментуємо одержанi результати.
Насамперед зазначимо, що розглянутi апроксимацiйнi характеристики класiв Br1
p,\theta , 1 \leq
\leq \theta < \infty , Hr1
p i W r1
p,\alpha у просторi B1,1 однаковi за порядком. Бiльше того, цi характеристики
мають такi ж порядки й у просторi L1. Крiм того, в усiх розглянутих випадках одержанi оцiнки
не залежать вiд параметрiв p i \theta .
6. Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних.
У цьому пунктi встановимо точнi за порядком оцiнки розглянутих вище апроксимацiйних
характеристик, але вже у багатовимiрному випадку (d \geq 2).
Справедливим є таке твердження.
Теорема 5. Нехай d \geq 2, 1 < p \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty . Тодi при r1 > 0 виконуються
спiввiдношення
d\bot M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp dBM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (17)
Доведення. Як зазначено при доведеннi теореми 1, оцiнку зверху достатньо встановити
для ортопоперечника d\bot M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
, 1 < p < \infty , а знизу — для величини dBM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
,
1 < p \leq \infty .
Отже, нехай числа M i n \in \BbbN пов’язанi спiввiдношенням M \asymp 2nn\nu - 1. Розглянемо для
f \in B\bfitr
p,\theta , 1 < p < \infty , наближаючий полiном
S
Q\bfitgamma \prime
n
(f,\bfitx ) =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )<n
\delta \bfits (f,\bfitx ),
який називають схiдчасто-гiперболiчною сумою Фур’є функцiї f. Тодi, покладаючи \bfitgamma \prime (d) =
= \gamma \prime 1 + . . .+ \gamma \prime d, згiдно з означенням норми у просторi B1,1 можемо записати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )<n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B1,1
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B1,1
=
=
\sum
\bfits \in \BbbN d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
(\bfits \prime ,\bfitgamma \prime )\geq n
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\sum
\bfits \in \BbbN d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
(\bfits \prime ,\bfitgamma \prime )\geq n
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - \bfitgamma \prime (d)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - \bfitgamma \prime (d)
\| A\bfits \| 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1111
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - \bfitgamma \prime (d)
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| \delta \bfits \prime (f)\| p \leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
\| \delta \bfits (f)\| p = J2. (18)
Для подальшої оцiнки величини J2 розглянемо три випадки.
Нехай 1 < \theta < \infty . Тодi, застосовуючи до J2 нерiвнiсть Гельдера з показником \theta , можемо
записати
J2 \leq
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f)\| \theta p
\right) 1
\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2 - (\bfits ,\bfitr )\theta \prime
\right) 1
\theta \prime
\ll
\ll \| f\| B\bfitr
p,\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2 - (\bfits ,\bfitr )\theta \prime
\right) 1
\theta \prime
\ll
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2 - (\bfits ,\bfitgamma )r1\theta \prime
\right) 1
\theta \prime
.
Далi, використовуючи лему А, отримуємо
J2 \ll 2 - nr1n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta
i з огляду на (18) приходимо до шуканої оцiнки.
Нехай \theta = 1. Тодi величина J2 оцiнюється таким чином:
J2 =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2(\bfits ,\bfitr )\| \delta \bfits (f)\| p2 - (\bfits ,\bfitgamma )r1 \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2 - (\bfits ,\bfitgamma \prime )r1\| f\| B\bfitr
p,1
\ll 2 - nr1 \asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 . (19)
Iз (18), (19) випливає шукана оцiнка зверху при \theta = 1.
Якщо ж \theta = \infty , то враховуючи, що для f \in B\bfitr
p,\infty справджується спiввiдношення \| \delta \bfits (f)\| p \ll
\ll 2 - (\bfits ,\bfitr ), \bfits \in \BbbN d, з огляду на лему А маємо
J2 \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2 - (\bfits ,\bfitr ) =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\bfitgamma \prime (d)
2 - (\bfits ,\bfitgamma )r1 \ll
\ll 2 - nr1n\nu - 1 \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1. (20)
Поєднуючи (18) i (20), приходимо до шуканої оцiнки.
Отже, оцiнку зверху для ортопоперечника d\bot M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
при 1 \leq \theta \leq \infty i 1 < p < \infty
доведено.
Якщо ж p = \infty , то оцiнка зверху величини d\bot M
\bigl(
B\bfitr
\infty ,\theta , B1,1
\bigr)
, згiдно з вкладенням B\bfitr
\infty ,\theta \subset
\subset B\bfitr
p,\theta , 1 < p < \infty , є наслiдком щойно одержаної оцiнки.
Що стосується оцiнки знизу величини dBM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
, то вона є наслiдком теореми В,
оскiльки
dBM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
\geq dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+1 - 1
\theta .
Теорему 5 доведено.
Наступне твердження мiстить аналогiчнi теоремi 5 результати для класiв W \bfitr
p,\bfitalpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1112 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Теорема 6. Нехай d \geq 2, 1 < p \leq \infty , r1 > 0. Тодi при \bfitalpha \in \BbbR d справджуються спiввiдно-
шення
d\bot M
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\asymp dBM
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+ 1
2 . (21)
Доведення. Оцiнки знизу в (21) є наслiдком теореми Д, оскiльки
dBM
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\geq dM
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
.
Вiдповiдну оцiнку зверху для ортопоперечника d\bot M
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
одержимо, скориставшись тео-
ремою 5.
Нехай p \in (1, 2]. Тодi, беручи до уваги, що W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,2, згiдно з (17) при \theta = 2 записуємо
d\bot M
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\ll d\bot M
\bigl(
B\bfitr
p,2, B1,1
\bigr)
\asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+ 1
2 . (22)
Якщо ж p \in (2,\infty ), то, використовуючи (22), маємо
d\bot M
\bigl(
W \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\ll d\bot M
\bigl(
W \bfitr
2,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\ll M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+ 1
2 .
Теорему 6 доведено.
На завершення цього пункту встановимо порядки величин dBM
\bigl(
B\bfitr
1,\theta , B1,1
\bigr)
i dBM
\bigl(
W \bfitr
1,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
.
Теорема 7. Нехай r1 > 0, 1 \leq \theta \leq \infty . Тодi при d \geq 2
dBM
\bigl(
B\bfitr
1,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+1 - 1
\theta . (23)
Доведення. Для встановлення оцiнки зверху пiдберемо число n \in \BbbN зi спiввiдношення
M \asymp 2nn\nu - 1 i розглянемо для функцiї f \in B\bfitr
1,\theta наближаючий полiном вигляду
tn(f) =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )<n
A\bfits (f).
Як зазначалося вище, оператор G, який ставить у вiдповiднiсть функцiї f полiном такого
вигляду, належить LM (1)2. Тому, використовуючи оцiнку [1]
\| f - tn(f)\| B1,1 \ll 2 - nr1n(\nu - 1)(1 - 1
\theta ),
де число n \in \BbbN задовольняє умову M \asymp 2nn\nu - 1, можемо записати
dBM
\bigl(
B\bfitr
1,\theta , B1,1
\bigr)
\ll M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+1 - 1
\theta .
Оцiнка знизу в (23) є наслiдком теореми Б.
Теорему 7 доведено.
Аналог теореми 7 для класiв W \bfitr
1,\bfitalpha має такий вигляд.
Теорема 8. Нехай r1 > 0. Тодi при d \geq 2 i \bfitalpha \in \BbbR d
dBM
\bigl(
W \bfitr
1,\bfitalpha , B1,1) \asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+1
. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1113
Доведення. Оцiнка зверху в (24) випливає з теореми 7 при \theta = \infty , оскiльки W \bfitr
1,\bfitalpha \subset H\bfitr
1 .
Вiдповiдна оцiнка знизу є наслiдком теореми Ж.
Теорему 8 доведено.
Прокоментуємо теореми 5 – 8. У багатовимiрному випадку (d \geq 2), на вiдмiну вiд однови-
мiрного, одержанi оцiнки розглянутих апроксимацiйних характеристик класiв B\bfitr
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty ,
у просторi B1,1 залежать вiд параметра \theta . Крiм цього, в результатi проведених дослiджень ве-
личин dBM
\bigl(
W \bfitr
1,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
i dBM
\bigl(
H\bfitr
1 , B1,1
\bigr)
виявлено, що для них справджується спiввiдношення
dBM
\bigl(
W \bfitr
1,\bfitalpha , B1,1
\bigr)
\asymp dBM
\bigl(
H\bfitr
1 , B1,1
\bigr)
.
З iншого боку, при 1 \leq \theta < \infty
dBM
\bigl(
B\bfitr
1,\theta , B1,1
\bigr)
\asymp dBM
\bigl(
F \bfitr
1 , B1,1
\bigr) \bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) - 1
\theta ,
де F \bfitr
1 = W \bfitr
1,\bfitalpha або F \bfitr
1 = H\bfitr
1 .
Варто зазначити, що на всiх трьох класах B\bfitr
1,\theta , W
\bfitr
1,\bfitalpha i H\bfitr
1 згаданi апроксимативнi харак-
теристики у просторах L1 i B1,1 мають однаковi порядки. Що стосується цих характеристик,
а також ортопоперечникiв класiв B\bfitr
p,\theta , W \bfitr
p,\bfitalpha i H\bfitr
p , 1 < p \leq \infty , у просторi B1,1, то вони
вiдрiзняються за порядком вiд вiдповiдних апроксимацiйних характеристик у просторi L1 (див.
теореми А, 5, 6, а також теореми 4.1, 4.1\prime [14]).
7. Властивiсть операторiв найкращого наближення класiв \bfitB \bfitr
\bfone ,\bfittheta у просторi \bfitB \bfone ,\bfone . На-
самперед наведемо деякi зауваження стосовно питання, яке дослiджується у цiй частинi роботи.
Повертаючись до теореми Г, у якiй, зокрема, при d \geq 2 i \bfitr = (r1, . . . , r1) \in \BbbR d
+ одержано
оцiнку
EQn
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B1,1
\asymp 2 - nr1n(d - 1)(1 - 1
\theta ), 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0, (25)
зазначимо, що вона реалiзується за допомогою наближення класiв B\bfitr
1,\theta у просторi B1,1 лiнiйним
методом. Бiльш конкретно, в якостi такого лiнiйного методу використовувалась послiдовнiсть
лiнiйних операторiв
\bigl\{
\BbbV Qn
\bigr\} \infty
n=1
, якi спiвставляють функцiї f \in B\bfitr
1,\theta полiном вигляду
\BbbV Qnf = VQn(f) :=
\sum
(\bfits ,1)\leq n
A\bfits (f) = f \ast VQn ,
де
VQn(\bfitx ) =
\sum
(\bfits ,1)\leq n
A\bfits (\bfitx ).
Проте послiдовнiсть цих операторiв має один суттєвий недолiк, який полягає в тому, що норма
оператора \BbbV Qn , як оператора iз L1 в L1, дорiвнює \| VQn\| 1, i як показано в [7] (див. наслiдок з
теореми 1.2.1), справджується оцiнка
\| VQn\| 1 \gg nd - 1.
Iншими словами, послiдовнiсть лiнiйних операторiв
\bigl\{
\BbbV Qn
\bigr\} \infty
n=1
, яка реалiзує порядок величин
EQn
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B1,1
при d \geq 2, виявилася необмеженою. У зв’язку з цiєю обставиною природно
виникає питання про iснування обмеженої послiдовностi операторiв \BbbL Qn : L1 \rightarrow T (Qn), яка б
найкращим чином наближала класи B\bfitr
1,\theta у просторi B1,1. Вiдповiдь на це питання дається у
наступному твердженнi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1114 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Теорема 9. Нехай на L0
1(\pi d), d \geq 2, визначено послiдовнiсть обмежених лiнiйних опера-
торiв \BbbL Qn , якi спiвставляють кожнiй функцiї з L0
1(\pi d) тригонометричний полiном з множини
T (Qn) таким чином, що для функцiй f \in B\bfitr
1,\theta , \bfitr = (r1, . . . , r1) \in \BbbR d
+, 1 \leq \theta \leq \infty , виконується
спiввiдношення
\| f - \BbbL Qnf\| B1,1 \ll EQn
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B1,1
.
Тодi для норми оператора \BbbL Qn i будь-якого \varepsilon > 0 справджується оцiнка
\| \BbbL Qn\| \gg n(d - 1)(1 - \varepsilon ).
Доведення. Схема доведення аналогiчна тiй, що використовувалась у роботi [30] при дос-
лiдженнi подiбного питання, пов’язаного з наближенням класiв B\bfitr
1,\theta у просторi L1.
Отже, нехай \bfittau = (\tau 1, . . . , \tau d), \tau j \in \BbbR , j = 1, d, i \BbbI \bfittau — оператор зсуву аргументу функцiї f
на вектор \bfittau , тобто \BbbI \bfittau f(\bfitx ) = f(\bfitx + \bfittau ). Наслiдуючи Ю. Марцинкевича [31], будемо розглядати
обмежений лiнiйний оператор \BbbT Qn , який дiє на функцiю f згiдно з формулою
\BbbT Qnf(\bfitx ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
(\BbbI - \bfittau \BbbL Qn\BbbI \bfittau f)(\bfitx )d\bfittau .
Тодi, внаслiдок iнварiантностi норми вiдносно зсуву аргументу мiж нормами операторiв \BbbT Qn i
\BbbL Qn , виконується спiввiдношення
\| \BbbT Qn\| \leq \| \BbbL Qn\| . (26)
Крiм того, легко переконатися, що
\BbbT Qne
i(\bfitk ,\bfitx ) =
\left\{ cn,\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ), \bfitk \in Qn,
0, \bfitk \in Qn,
i тому оператор \BbbT Qn дiє на функцiю f, як оператор згортки, тобто
\BbbT Qnf(\bfitx ) = f(\bfitx ) \ast
\sum
\bfitk \in Qn
cn,\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ). (27)
Далi, нехай f \in B\bfitr
1,\theta . Тодi \BbbI \bfittau f \in B\bfitr
1,\theta i згiдно з умовою теореми маємо
\| \BbbI \bfittau f - \BbbL Qn(\BbbI \bfittau f)\| B1,1 \ll EQn
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B1,1
. (28)
Нехай \BbbI позначає одиничний оператор. Тодi, використовуючи (28), записуємо
\bigm\| \bigm\| f - \BbbT Qnf
\bigm\| \bigm\|
B1,1
= (2\pi ) - d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
\pi d
\BbbI - \bfittau (\BbbI - \BbbL Qn)(\BbbI \bfittau f)d\bfittau
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B1,1
\leq
\leq (2\pi ) - d
\int
\pi d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \BbbI - \bfittau
\bigl(
\BbbI \bfittau f - \BbbL Qn(\BbbI \bfittau f)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B1,1
d\bfittau =
= (2\pi ) - d
\int
\pi d
\bigm\| \bigm\| \BbbI \bfittau f - \BbbL Qn(\BbbI \bfittau f)
\bigm\| \bigm\|
B1,1
d\bfittau \ll EQn
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B1,1
. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1115
Таким чином, зi спiввiдношень (26) i (29) випливає, що доведення достатньо провести для
послiдовностi операторiв, якi дiють згiдно з формулою (27).
Отже, нехай f \in B\bfitr
1,\theta i
\BbbL Qnf(\bfitx ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfitx - \bfity )LQn(\bfity )d\bfity ,
де
LQn(\bfity ) =
\sum
\bfitk \in Qn
cn,\bfitk e
i(\bfitk ,\bfity ).
Тодi для норми оператора \BbbL Qn справджується спiввiдношення
\| \BbbL Qn\| = \| LQn\| 1. (30)
Для проведення подальших мiркувань нам знадобиться допомiжне твердження.
Лема 1. Для будь-якого \delta > 0 iснує така стала C(\delta ) > 0, що для всiх n виконується
нерiвнiсть \sum
\bfitk \in Qn
| cn,\bfitk | \geq C(\delta )| Qn| n - (d - 1)\delta .
Доведення. Нехай задано число n \in \BbbN . Розглянемо функцiю
\upsilon n(\bfitx ) = C5(2\pi )
- d
\int
\pi d
d\prod
j=1
V2n(xj - yj)F\bfitr (\bfity ,\bfitalpha )d\bfity ,
яка з деякою сталою C5 > 0 належить класу W \bfitr
1,\bfitalpha , а отже i класу H\bfitr
1 , оскiльки W \bfitr
1,\bfitalpha \subset
\subset H\bfitr
1 . Таким чином, згiдно з означенням норми у просторi H\bfitr
1 для кожного вектора \bfits \in \BbbN d
виконується нерiвнiсть
\| A\bfits (\upsilon n)\| 1 \ll 2 - (\bfits ,\bfitr ).
Покладемо Sn =
\bigl\{
\bfits \in \BbbN d : (\bfits , 1) \leq n
\bigr\}
, \Delta Sn,d = Sn+3d - Sn - d i розглянемо функцiю
gn(\bfitx ) = C6n
- d - 1
\theta
\sum
\bfits \in \Delta Sn,d
A\bfits (\upsilon n,\bfitx ), C6 > 0,
яка, як показано в [30], з вiдповiдною сталою C6 > 0 належить класу B\bfitr
1,\theta .
Далi розглянемо наближення функцiї gn у просторi B1,1 полiномами вигляду
VQn+d
(gn) := VQn+d
(gn,\bfitx ) =
\sum
(\bfits ,1)\leq n+d
A\bfits (gn,\bfitx ).
Повторивши мiркування, якi було використано при доведеннi теореми 7 [1], отримаємо
\| gn - VQn+d
(gn)\| B1,1 \ll 2 - nr1n(d - 1)(1 - 1
\theta ). (31)
Оскiльки для полiномiв VQn+d
(gn) при всiх \bfitk \in Qn справджується рiвнiсть
\widehat gn(\bfitk ) = \widehat VQn+d
(gn(\bfitk )),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1116 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
то
\BbbL Qngn = \BbbL QnVQn+d
(gn).
Окрiм цього, згiдно з умовою теореми маємо
\| gn - \BbbL Qngn\| B1,1 \ll EQn
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B1,1
. (32)
Легко переконатися, що iз (31), (32) випливає оцiнка
\| VQn+d
(gn) - \BbbL Qngn\| 1 \ll 2 - nr1n(d - 1)(1 - 1
\theta ).
Справдi, беручи до уваги нерiвнiсть \| \cdot \| 1 \ll \| \cdot \| B1,1 i використовуючи теорему Г та
спiввiдношення (31), (32), маємо
\| VQn+d
(gn) - \BbbL Qngn\| 1 \ll \| VQn+d
(gn) - \BbbL Qngn\| B1,1 \leq
\leq \| gn - \BbbL Qngn\| B1,1 + \| gn - VQn+d
(gn)\| B1,1 \ll
\ll EQn
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B1,1
+ 2 - nr1n(d - 1)(1 - 1
\theta ) \asymp 2 - nr1n(d - 1)(1 - 1
\theta ).
Далi, повторюючи мiркування, якi було використано при доведеннi леми 3.3 [30], одержуємо
оцiнку \sum
\bfitk \in Qn
| cn,\bfitk | \geq C(\delta )| Qn| n - (d - 1)\delta .
Лему 1 доведено.
Для завершення доведення теореми скористаємося рiвнiстю (30), лемами 1 i Б при \eta = \delta .
В результатi отримаємо
\| \BbbL Qn\| = \| LQn\| 1 \gg n - \delta 2 - n
\sum
\bfitk \in Qn
| cn,\bfitk | \gg
\gg n - \delta 2 - n2nnd - 1n - (d - 1)\delta = n(d - 1)(1 - d\delta
d - 1).
Поклавши \varepsilon =
d\delta
d - 1
, прийдемо до шуканої оцiнки.
Теорему 9 доведено.
Таким чином, з одержаного результату робимо висновок, що у багатовимiрному випадку
(d \geq 2) послiдовнiсть норм лiнiйних операторiв, якi наближають класи B\bfitr
1,\theta у просторi B1,1 за
порядком найкращих наближень, є необмеженою.
Далi розглянемо одновимiрний випадок i переконаємося, що тут ситуацiя є iншою.
Нехай T (2n) — множина тригонометричних полiномiв вигляду
T (2n) =
\Bigl\{
t : t(x) =
2n - 1\sum
k= - 2n - 1
cke
ikx
\Bigr\}
i
En
\bigl(
f
\bigr)
B1,1
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in T (2n)
\| f - t\| B1,1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1117
— найкраще наближення функцiї f полiномами iз множини T (2n) у просторi B1,1. Для класу
Br1
1,\theta покладемо
En
\bigl(
Br1
1,\theta
\bigr)
B1,1
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Br1
1,\theta
En
\bigl(
f
\bigr)
B1,1
.
Справедливим є таке твердження.
Теорема 10. Нехай d = 1, 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi
En
\bigl(
Br1
1,\theta
\bigr)
B1,1
\asymp 2 - nr1 . (33)
Доведення. Оцiнка зверху реалiзується за наближення полiномами вигляду
\widetilde tn(f) = n - 1\sum
s=1
As(f)
i встановлена при доведеннi теореми 3.
Для доведення в (33) оцiнки знизу розглянемо функцiю
f1(x) = 2 - nr1ei2
n+1x,
яка, як легко бачити, належить класу Br1
1,\theta , 1 \leq \theta \leq \infty .
Нехай
t\ast n(x) =
2n - 1\sum
k= - 2n - 1
c\ast ke
ikx
— полiном найкращого наближення функцiї f1 у просторi B1,1. Тодi, з одного боку,\Bigl( \bigl(
f1(x) - t\ast n(x)
\bigr)
, ei2
n+1x
\Bigr)
=
\bigl(
f1(x), e
i2n+1x
\bigr)
= 2 - nr1 , (34)
а з iншого — \Bigl( \bigl(
f1(x) - t\ast n(x)
\bigr)
, ei2
n+1x
\Bigr)
\leq \| f1 - t\ast n\| 1\| ei2
n+1x\| \infty \ll
\ll \| f1 - t\ast n\| B1,1 = En
\bigl(
f1
\bigr)
B1,1
. (35)
Отже, поєднуючи (34) i (35), приходимо до оцiнок
En
\bigl(
Br1
1,\theta
\bigr)
B1,1
\geq En
\bigl(
f1
\bigr)
B1,1
\gg 2 - nr1 .
Теорему 10 доведено.
У зв’язку з теоремою 10 зазначимо, що норми операторiв \BbbA n, якi дiють згiдно з формулою
\BbbA nf = \widetilde tn(f) = n - 1\sum
s=1
As(f),
є обмеженими, оскiльки
\| An\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n - 1\sum
s=1
As
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq \| V20\| 1 + \| V2n - 1\| 1 \leq C7, C7 > 0.
Насамкiнець зауважимо, що аналогiчнi властивостi операторiв найкращого наближення кла-
сiв B\bfitr
\infty ,\theta у просторi B\infty ,1 тригонометричними полiномами з „номерами” гармонiк зi схiдчастих
гiперболiчних хрестiв встановлено у роботi [32].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1118 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Лiтература
1. А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных,
Укр. мат. журн., 68, № 10, 1403 – 1417 (2016).
2. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська, Поперечники класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних у
просторi B1,1 , Укр. мат. вiсн., 15, № 1, 43 – 57 (2018).
3. D. Dung, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math., Birkhäuser, CRM
Barselona (2019).
4. А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменних,
Працi Iн-ту математики НАН України, 93 (2012).
5. П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187, 143 – 161 (1989).
6. Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)\ast
p,\theta B
(0 \leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n), Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77, 5 – 34 (1965).
7. В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178,
1 – 112 (1986).
8. V. N. Temlyakov, Approximation of periodic function, Nova Sci. Publ., Inc., New York (1993).
9. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних
у просторi B\infty ,1 , Укр. мат. журн., 71, № 2, 271 – 282 (2019).
10. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Оцiнки деяких апроксимацiйних характеристик класiв перiодичних функцiй
однiєї та багатьох змiнних, Укр. мат. журн., 71, № 8, 1102 – 1115 (2019).
11. В. Н. Темляков, Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных, Докл. АН СССР, 267, № 2,
314 – 317 (1982).
12. Динь Зунг, Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полиномами, Мат. сб.,
131(173), № 2, 251 – 271 (1986).
13. Э. М. Галеев, Порядки ортопроекционных поперечников классов периодических функций одной и нескольких
переменных, Мат. заметки, 43, № 2, 197 – 211 (1988).
14. В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной про-
изводной или разностью, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189, 138 – 168 (1989).
15. Э. М. Галеев, Приближение классов периодических функций нескольких переменных ядерными операторами,
Мат. заметки, 47, № 3, 32 – 41 (1990).
16. А. В. Андрианов, В. Н. Темляков, О двух методах распространения свойств систем функций от одной
переменной на их тензорное произведение, Тр. Мат. ин-та РАН, 219, 32 – 43 (1997).
17. А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Br
p,\theta периодических функций многих
переменных в пространстве Lq. I, Укр. мат. журн., 53, № 9, 1224 – 1231 (2001).
18. А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Br
p,\theta периодических функций многих
переменных в пространстве Lq. II, Укр. мат. журн., 53, № 10, 1402 – 1408 (2001).
19. С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативнi характеристики класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох
змiнних, Укр. мат. журн., 58, № 5, 692 – 704 (2006).
20. А. С. Романюк, Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных,
Мат. сб., 199, № 2, 93 – 114 (2008).
21. Н. Н. Пустовойтов, Ортопоперечники классов многомерных периодических функций, мажоранта смешанных
модулей непрерывности которых содержит как степенные, так и логарифмические множители, Anal. Math.,
34, № 3, 187 – 224 (2008).
22. Г. А. Акишев, Об ортопоперечниках классов Никольского и Бесова в пространствах Лоренца, Изв. вузов.
Математика, № 2, 25 – 33 (2009).
23. Д. Б. Базарханов, Оценки поперечников Фурье классов типа Никольского – Бесова и Лизоркина – Трибеля пери-
одических функций многих переменных, Мат. заметки, 87, № 2, 305 – 308 (2010).
24. А. С. Романюк, Поперечники и наилучшее приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих перемен-
ных, Anal. Math., 37, 181 – 213 (2011).
25. Д. Б. Базарханов, Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих
переменных. II, Anal. Math., 38, № 4, 249 – 289 (2012).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ОЦIНКИ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК I ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ НАЙКРАЩОГО . . . 1119
26. K. A. Bekmaganbetov, Je. Toleugazy, Order of the orthoprojection widths of the anisotropic Nikol’skii – Besov classes
in the anisotropic Lorentz space, Eurasian Math. J., 7, № 3, 8 – 16 (2016).
27. Ш. А. Балгимбаева, Т. И. Смирнов, Оценки поперечников Фурье классов периодических функций с заданной
мажорантой смешанного модуля гладкости, Сиб. мат. журн., 59, № 2, 277 – 292 (2018).
28. O. V. Fedunyk-Yaremchuk, S. B. Hembars’ka, Estimates of approximative characteristics of the classes B\Omega
p,\theta of
periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity in the space Lq , Carpathian
Math. Publ., 11, № 2, 281 – 295 (2019).
29. A. Kolmogoroff, Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse, Ann. Math., 37,
107 – 110 (1936).
30. А. С. Романюк, Приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных линейными методами
и наилучшие приближения, Мат. сб., 195, № 2, 91 – 116 (2004).
31. J. Marcinkiewicz, Quelgues remargues sur l’interpolation, Acta Math. (Szeged), 8, № 2 – 3, 127 – 130 (1937).
32. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики i властивостi операторiв найкращого
наближення класiв функцiй з просторiв Соболєва та Нiкольського – Бєсова, Укр. мат. вiсн, 17, № 3, 372 – 395
(2020).
Одержано 25.05.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-6755 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:00Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cf/47dbacacf0f19779908f90f9768a45cf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-67552025-03-31T08:47:35Z Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$ Оцiнки апроксимацiйних характеристик i властивостi операторiв найкращого наближення класiв перiодичних функцiй у просторi $B_{1,1}$ Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. класи Нікольського-Бєсова класи Соболєва ортопоперечник найкраще наближення Nikol'skii-Besov classes Sobolev classes orthoprojection widths best approximation UDC 517.51 We obtain the exact-order estimates for orthoprojection widths and similar approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and Nikol'skii–Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and several variables in the norm of the space $B_{1,1}$. In addition, we establish that the sequence of norms of linear operators that realize the orders of the best approximation of the classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}$ in space $B_{1,1}$ using trigonometric polynomials with ``numbers'' of harmonics from step hyperbolic crosses is unbounded in the multidimensional case. &nbsp; УДК 517.51 Отримано точні за порядком оцінки ортопоперечників і близьких до них апроксимаційних характеристик класів Соболєва $W^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ та класів Нікольського–Бєсова $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ періодичних функцій однієї та багатьох змінних у просторі $B_{1,1}.$ Крім того, встановлено, що у багатовимірному випадку послідовність норм лінійних операторів, які реалізують порядкові значення найкращого наближення класів $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}$ у просторі $B_{1,1}$ за допомогою тригонометричних поліномів з ,,номерами'' гармонік зі східчастих гіперболічних хрестів, є необмеженою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6755 10.37863/umzh.v73i8.6755 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 8 (2021); 1102 - 1119 Український математичний журнал; Том 73 № 8 (2021); 1102 - 1119 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6755/9097 Copyright (c) 2021 Сергій Янченко |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$ |
| title | Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$ |
| title_alt | Оцiнки апроксимацiйних характеристик i властивостi операторiв найкращого наближення класiв перiодичних функцiй у просторi $B_{1,1}$ |
| title_full | Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$ |
| title_fullStr | Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$ |
| title_full_unstemmed | Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$ |
| title_short | Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$ |
| title_sort | estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $b_{1,1}$ |
| topic_facet | класи Нікольського-Бєсова класи Соболєва ортопоперечник найкраще наближення Nikol'skii-Besov classes Sobolev classes orthoprojection widths best approximation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6755 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas estimatesofapproximationcharacteristicsandpropertiesofoperatorsofthebestapproximationfortheclassesofperiodicfunctionsinthespaceb11 AT yanchenkosya estimatesofapproximationcharacteristicsandpropertiesofoperatorsofthebestapproximationfortheclassesofperiodicfunctionsinthespaceb11 AT romanûkas estimatesofapproximationcharacteristicsandpropertiesofoperatorsofthebestapproximationfortheclassesofperiodicfunctionsinthespaceb11 AT ânčenkosâ estimatesofapproximationcharacteristicsandpropertiesofoperatorsofthebestapproximationfortheclassesofperiodicfunctionsinthespaceb11 AT romanyukas ocinkiaproksimacijnihharakteristikivlastivostioperatorivnajkraŝogonabližennâklasivperiodičnihfunkcijuprostorib11 AT yanchenkosya ocinkiaproksimacijnihharakteristikivlastivostioperatorivnajkraŝogonabližennâklasivperiodičnihfunkcijuprostorib11 AT romanûkas ocinkiaproksimacijnihharakteristikivlastivostioperatorivnajkraŝogonabližennâklasivperiodičnihfunkcijuprostorib11 AT ânčenkosâ ocinkiaproksimacijnihharakteristikivlastivostioperatorivnajkraŝogonabližennâklasivperiodičnihfunkcijuprostorib11 |