A model structure on categories related to categories of complexes
UDC 512.58 We prove a Hinich-type theorem on the existence of a model structure on a category related by adjunction to the category of differential graded modules over a graded commutative ring.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/682 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507084792004608 |
|---|---|
| author | Lyubashenko, V. V. Любашенко, В. В. Любашенко, В. В. |
| author_facet | Lyubashenko, V. V. Любашенко, В. В. Любашенко, В. В. |
| author_sort | Lyubashenko, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-07T12:14:35Z |
| description | UDC 512.58
We prove a Hinich-type theorem on the existence of a model structure on a category related by adjunction to the category of differential graded modules over a graded commutative ring. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.58
В. В. Любашенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
МОДЕЛЬНА СТРУКТУРА НА КАТЕГОРIЯХ,
ПОВ’ЯЗАНИХ IЗ КАТЕГОРIЯМИ КОМПЛЕКСIВ
We prove a Hinich-type theorem on the existence of a model structure on a category related by adjunction to the category
of differential graded modules over a graded commutative ring.
Доведено теорему типу теореми Хiнiча про iснування модельної структури на категорiї, пов’язанiй спряженiстю з
категорiєю диференцiально-градуйованих модулiв над градуйованим комутативним кiльцем.
1. Вступ. Хiнiч [4] довiв теорему про iснування модельної структури на категорiї, пов’язанiй
спряженiстю з категорiєю комплексiв. У цiй статтi ми наведемо докладне доведення теореми
подiбного роду. Двi теореми вiдрiзняються щонайменше двома моментами. По-перше, Хiнiч
використовує \bfd \bfg -модулi над (комутативним) кiльцем, а ми розглядаємо диференцiальнi граду-
йованi модулi над градуйованим комутативним кiльцем \Bbbk . По-друге, у доведеннi Хiнiч вводить
певнi морфiзми, якi вiн називає елементарними тривiальними кофiбрацiями, i показує, що будь-
яка тривiальна кофiбрацiя є ретрактом злiченної композицiї елементарних. Ми ж показуємо, що
тривiальна кофiбрацiя — це ретракт елементарної тривiальної кофiбрацiї в нашому розумiннi.
Ми застосовуємо нашу теорему для доведення, що категорiї бi- чи полiмодулiв над несимет-
ричними операдами мають модельну структуру [5, 6]. Для модулiв над операдами модельну
структуру побудував Харпер [3] (теорема 1.7). Iз моменту виходу статтi Хiнiча [4] з’явилося
багато результатiв, в яких за даною (моноїдальною) модельною категорiєю будується модельна
структура для iншої категорiї, що пов’язана з першою категорiєю спряженням [1] (пункт 2.5),
на категорiї моноїдiв [9] (теорема 3.1) або на категорiї операд [8] (зауваження 2), [7] (тео-
рема 1.1). Зрозумiло, що при такому пiдходi потрiбно почати з модельної категорiї. Категорiя
диференцiальних (необмежених) градуйованих \Bbbk 0-модулiв має проективну модельну структуру
для комутативного кiльця \Bbbk 0 [2]. Той же результат для градуйованого комутативного кiльця \Bbbk
має бути виведений iз випадку комутативного кiльця \Bbbk 0 подiбно до [1]. Пiсля цього потрiбно
довести, що \bfd \bfg -\Bbbk -mod — це моноїдальна модельна категорiя, що вимагає детальної iнформа-
цiї про кофiбрацiї. Така iнформацiя надається, наприклад, доведенням теореми типу Хiнiча:
будь-яка кофiбрацiя — це ретракт злiченної композицiї елементарних кофiбрацiй (конкретного
вигляду). Таким чином, при будь-якому пiдходi технiчної роботи, мабуть, не уникнути. Ще однi-
єю причиною дотримуватися пiдходу Хiнiча є педагогiчна: вiн може бути пояснений студентам
детально, а також на прикладах.
Позначення та домовленостi. У цiй статтi слово „градуйований” означає „\BbbZ -градуйова-
ний”. Нехай \Bbbk — градуйоване комутативне кiльце (оснащене нульовим диференцiалом). Через
\bfg \bfr = \bfg \bfr \Bbbk = \bfg \bfr -\Bbbk -mod позначимо замкнену категорiю \BbbZ -градуйованих \Bbbk -модулiв iз \Bbbk -лiнiй-
ними гомоморфiзмами степеня 0. Таким чином, об’єкт \bfg \bfr є X = (Xm)m\in \BbbZ . Симетрiю в
моноїдальнiй категорiї градуйованих \Bbbk -модулiв обрано як c(x\otimes y) = ( - 1)mly\otimes x для x \in Xm,
y \in Y l.
Абелева категорiя \bfd \bfg = \bfd \bfg -\Bbbk -mod є замкненою категорiєю диференцiальних \BbbZ -градуйова-
них \Bbbk -модулiв iз ланцюговими \Bbbk -лiнiйними гомоморфiзмами. Мономорфiзми та епiморфiзми
c\bigcirc В. В. ЛЮБАШЕНКО, 2020
232 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МОДЕЛЬНА СТРУКТУРА НА КАТЕГОРIЯХ, ПОВ’ЯЗАНИХ IЗ КАТЕГОРIЯМИ КОМПЛЕКСIВ 233
\bfd \bfg є покомпонентними iн’єкцiями та сюр’єкцiями. Квазiiзоморфiзм M \rightarrow N \in \bfd \bfg — це ланцю-
говий \Bbbk -лiнiйний гомоморфiзм, що iндукує iзоморфiзм у гомологiях. Для a \in \BbbZ функтор зсуву
визначається як [a] : \bfd \bfg \rightarrow \bfd \bfg , M \mapsto \rightarrow M [a], M [a]z = M z+a. Функтор зсуву поширюється
покомпонентно на \bfd \bfg S для будь-якої множини S. Позначимо через \sigma a : M \rightarrow M [a] „тотожне
вiдображення” степеня \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} \sigma a = - a. Будемо записувати елементи M [a] як m\sigma a. Якщо f :
V \rightarrow X — однорiдне вiдображення певного степеня, то вiдображення f [a] : V [a] \rightarrow X[a] ви-
значається як f [a] = ( - 1)fa\sigma - af\sigma a. Зокрема, диференцiал d : M \rightarrow M степеня 1 в \bfd \bfg -модулi
M iндукує диференцiал d[a] = ( - 1)a\sigma - ad\sigma a : M [a] \rightarrow M [a] в M [a]. Iзоморфiзми степеня 0
\sigma - a \cdot (\sigma a \otimes 1) : (V \otimes W )[a] \rightarrow (V [a]) \otimes W, (v \otimes w)\sigma a \mapsto \rightarrow ( - 1)wav\sigma a \otimes w та \sigma - a \cdot (1 \otimes \sigma a) :
(V \otimes W )[a]\rightarrow V \otimes (W [a]), (v \otimes w)\sigma a \mapsto \rightarrow v \otimes w\sigma a, є природно градуйованими. Це означає, що
для довiльних однорiдних вiдображень f : V \rightarrow X, g : W \rightarrow Y комутують такi квадрати:
(V [a])\otimes W \leftarrow \sigma - a\cdot (\sigma a\otimes 1)
\sim
(V \otimes W )[a]
\sigma - a\cdot (1\otimes \sigma a)
\sim
\rightarrow V \otimes (W [a])
(X[a])\otimes Y
(f [a])\otimes g\downarrow
\leftarrow \sigma - a\cdot (\sigma a\otimes 1)
\sim
(X \otimes Y )[a]
(f\otimes g)[a]\downarrow
\sigma - a\cdot (1\otimes \sigma a)
\sim
\rightarrow X \otimes (Y [a])
f\otimes (g[a])\downarrow
.
Власне, другий iзоморфiзм є „бiльш природним”, нiж перший, не лише тому, що вiн не мiстить
знаку, а й тому, що краще вiдповiдає правiй системi позначень операторiв, прийнятiй у цiй
роботi. Далi ми завжди ототожнюємо (V \otimes W )[a] з V \otimes (W [a]) завдяки \sigma - a \cdot (1\otimes \sigma a).
Припустимо, що \alpha : M \rightarrow N \in \bfd \bfg . Позначимо через \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\alpha = (M [1]\oplus N, d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}) \in \mathrm{O}\mathrm{b}\bfd \bfg
градуйований \Bbbk -модуль з диференцiалом
d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} =
\Biggl(
dM [1] \sigma - 1\alpha
0 dN
\Biggr)
=
\Biggl(
- \sigma - 1dM\sigma \sigma - 1\alpha
0 dN
\Biggr)
.
Наступний результат узагальнює теорему Хiнiча [4] (пункт 2.2).
Теорема 1.1. Припустимо, що S — множина, категорiя \scrC є повною i коповною i F :
\bfd \bfg S \rightleftarrows \scrC : U — спряження. Припустимо, що U зберiгає фiльтруючi кограницi. Для будь-якого
x \in S розглянемо об’єкт \BbbK x з \bfd \bfg S , \BbbK x(x) = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(\mathrm{i}\mathrm{d}\Bbbk ), \BbbK x(y) = 0 для y \not = x. Припустимо, що
ланцюгове вiдображення U(\mathrm{i}\mathrm{n}2) : UA\rightarrow U(F (\BbbK x[p]) \sqcup A) — квазiiзоморфiзм для всiх об’єктiв
A з \scrC i всiх x \in S, p \in \BbbZ . Оснастимо \scrC класами слабких еквiвалентiв (вiдповiдно фiбрацiй),
що складаються з морфiзмiв f iз \scrC таких, що Uf — квазiiзоморфiзм (вiдповiдно епiморфiзм).
Тодi \scrC — модельна категорiя.
2. Доведення iснування модельної структури. Цей пункт присвячено доведенню теоре-
ми 1.1, умови якої ми зараз припускаємо. З доведення випливає теорема Хiнiча [4] (пункт 2.2)
iдеологiчно, але не в деталях. Конструкцiї, використанi у доведеннi, описують кофiбрацiї та
тривiальнi кофiбрацiї в \scrC .
Позначимо функтор U також як - \#, UX = X\# для X \in \mathrm{O}\mathrm{b} \scrC або X \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r} \scrC . Нехай \varepsilon :
FUA\rightarrow A — коодиниця спряження i \eta : M \rightarrow UFM — одиниця спряження. Бiєкцiя спряження
задається взаємно оберненими вiдображеннями
(l : FM \rightarrow A) \rightarrow lt =
\Bigl(
M
\eta - \rightarrow (FM)\#
l\# - \rightarrow A\#
\Bigr)
,
tx =
\Bigl(
FM
Fx - - \rightarrow F (A\#)
\varepsilon - \rightarrow A
\Bigr)
\leftarrow (x : M \rightarrow A\#).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
234 В. В. ЛЮБАШЕНКО
Означимо три класи морфiзмiв у \scrC :
\scrW = \{ f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r} \scrC | \forall x \in S f\#(x) — квазiiзоморфiзм\} ,
\scrR f = \{ f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r} \scrC | \forall x \in S \forall z \in \BbbZ f\#(x)z є сюр’єктивним\} ,
\scrL c = \bot \scrR tf складається з вiдображень f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r} \scrC з властивiстю лiвого пiдйому
щодо всiх морфiзмiв iз \scrR tf =\scrW \cap \scrR f .
Ми доведемо, що вони є слабкими еквiвалентностями, фiбрацiями та кофiбрацiями певної
модельної структури на \scrC .
Нехай M \in \mathrm{O}\mathrm{b}\bfd \bfg S , A \in \mathrm{O}\mathrm{b} \scrC , \alpha : M \rightarrow A\# \in \bfd \bfg S . Позначимо через C = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\alpha =
= (M [1] \oplus UA, d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}) \in \mathrm{O}\mathrm{b}\bfd \bfg S конус, взятий точково, тобто для будь-якого x \in S комплекс
C(x) = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}
\bigl(
\alpha (x) : M(x) \rightarrow (UA)(x)
\bigr)
— звичайний конус. Позначимо через \=\imath = \mathrm{i}\mathrm{n}2 : UA \rightarrow
\rightarrow C очевидне вкладення. Наслiдуючи Хiнiча [4] (пiдпункт 2.2.2), означимо об’єкт A\langle M,\alpha \rangle \in
\in \mathrm{O}\mathrm{b} \scrC як виштовхування
FU(A)
\varepsilon \rightarrow A
FC
F\=\imath
\downarrow
g \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle .
\=\jmath \downarrow
Введемо функтор hA,\alpha : \scrC \rightarrow \scrS \mathrm{e}\mathrm{t}:
hA,\alpha (B) =
\bigl\{
(f, t) \in \scrC (A,B)\times \bfd \bfg S(M,B\#) - 1 | (t)d \equiv tdB\# + dM t =
\bigl(
M
\alpha - \rightarrow A\# f\# - - \rightarrow B\#
\bigr) \bigr\}
.
Лема 2.1. Об’єкт D = A\langle M,\alpha \rangle i елемент (\=\jmath , \theta ) \in hA,\alpha (D) представляють функтор hA,\alpha ,
де
\theta =
\bigl(
M
\sigma - \rightarrow M [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1\rightarrow C
\eta - \rightarrow UFC
Ug - - \rightarrow UD
\bigr)
,
тобто природне по B перетворення \psi B : \scrC (D,B)\rightarrow hA,\alpha (B), 1D \mapsto \rightarrow (\=\jmath , \theta ), є бiєктивним.
Доведення. Межею вiдображення h =
\bigl(
M
\sigma - \rightarrow M [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1\rightarrow C
\bigr)
степеня - 1 є (h)d =
= hdC + dMh = \alpha \cdot \=\imath . Тому (\theta )d — композицiя вздовж нижнього шляху на дiаграмi
M
\alpha \rightarrow UA
\eta \rightarrow UFUA
U\varepsilon \rightarrow UA
= =
C
\=\imath
\downarrow
\eta \rightarrow UFC
UF\=\imath
\downarrow
Ug \rightarrow UD
U\=\jmath
\downarrow
,
що дорiвнює верхньому шляху, тобто \alpha \cdot U\=\jmath . Тому (\=\jmath , \theta ) \in hA,\alpha (D). За лемою Йонеди природне
перетворення \psi B переводить морфiзм k : D \rightarrow B з \scrC в
hA,\alpha (k)(\=\jmath , \theta ) =
\Bigl(
A
\=\jmath - \rightarrow D
k - \rightarrow B,M
h - \rightarrow C
\eta - \rightarrow (FC)\#
g\# - - \rightarrow D\# k\# - - \rightarrow B\#
\Bigr)
. (2.1)
Доведемо iн’єктивнiсть \psi B. Нехай k1, k2 : D \rightarrow B задовольняє спiввiдношення
(f1, t1) \equiv hA,\alpha (k1)(\=\jmath , \theta ) = hA,\alpha (k2)(\=\jmath , \theta ) \equiv (f2, t2).
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МОДЕЛЬНА СТРУКТУРА НА КАТЕГОРIЯХ, ПОВ’ЯЗАНИХ IЗ КАТЕГОРIЯМИ КОМПЛЕКСIВ 235
\bigl(
M [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1\rightarrow C
\eta - \rightarrow (FC)\#
g\# - - \rightarrow D\# k\#p - - \rightarrow B\#
\bigr)
= \sigma - 1tp
не залежить вiд p = 1, 2. На iншому доданку C\Bigl(
A\# \=\imath - \rightarrow C
\eta - \rightarrow (FC)\#
g\# - - \rightarrow D\# k\#p - - \rightarrow B\#
\Bigr)
=
\Bigl(
A\# \=\jmath \# - \rightarrow D\# k\#p - - \rightarrow B\#
\Bigr)
= f\#p
також не залежить вiд p = 1, 2. Тому
ltp =
\Bigl(
C
\eta - \rightarrow (FC)\#
g\# - - \rightarrow D\# k\#p - - \rightarrow B\#
\Bigr)
також не залежить вiд p = 1, 2. Їхнi спряженi lp =
\bigl(
FC
g - \rightarrow D
kp - \rightarrow B
\bigr)
так само не повиннi
залежати вiд p. За припущенням\bigl(
A
\=\jmath - \rightarrow D
k1 - \rightarrow B
\bigr)
= f1 = f2 =
\bigl(
A
\=\jmath - \rightarrow D
k2 - \rightarrow B
\bigr)
.
Властивiсть виштовхування для D допускає лише один морфiзм D \rightarrow B з такими властивос-
тями, отже, k1 = k2.
Доведемо сюр’єктивнiсть \psi B. По даному елементу (f : A \rightarrow B, t : M \rightarrow B\#) \in hA,\alpha (B)
ми будуємо вiдображення x : C \rightarrow B\# степеня 0
x =
\left( M [1]
\sigma - 1
- - \rightarrow M
t - \rightarrow B\#
A\# f\# - - \rightarrow B\#
\right) .
Легко перевiрити, що x — ланцюгове вiдображення, x \in \bfd \bfg S . Його спряження позначено так:
l = tx =
\Bigl(
FC
Fx - - \rightarrow F (B\#)
\varepsilon - \rightarrow B
\Bigr)
.
Оскiльки \=\imath \cdot x = f\# : A\# \rightarrow B\#, маємо
F\=\imath \cdot l =
\Bigl(
F (A\#)
F (f\#)\rightarrow F (B\#)
\varepsilon - \rightarrow B
\Bigr)
= \varepsilon \cdot f.
За визначенням виштовхування D iснує єдиний морфiзм k : D \rightarrow B \in \scrC такий, що f = \=\jmath \cdot k,
l = g \cdot k. Отже,
x = lt =
\Bigl(
C
\eta - \rightarrow (FC)\#
l\# - \rightarrow B\#
\Bigr)
,
t =
\Bigl(
M
\sigma - \rightarrow M [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1\rightarrow C
x - \rightarrow B\#
\Bigr)
=
\Bigl(
M
\sigma - \rightarrow M [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1\rightarrow C
\eta - \rightarrow (FC)\#
g\# - - \rightarrow D\# k\# - - \rightarrow B\#
\Bigr)
.
Тому \psi B(k) = (f, t) i \psi B є бiєктивним.
Лему 2.1 доведено.
Наслiдок 2.1. Вiдображення
\bigl(
M
\alpha - \rightarrow A\# \=\jmath \# - \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle \#
\bigr)
= (\theta )d гомотопне нулю. Якщо
dM = 0, то для будь-якого циклу m \in ZM цикл m\alpha \in ZA\# переводиться вiдображенням \=\jmath \#
до межi елемента m\theta \in A\langle M,\alpha \rangle \#.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
236 В. В. ЛЮБАШЕНКО
Таким чином, якщо F : \bfd \bfg S \rightarrow \scrC є функтором побудови вiльної \bfd \bfg -алгебри якогось типу,
вiдображення \=\jmath iнтерпретуються як „додавання змiнних для знищення циклiв”.
Наступне твердження є вiдомим.
Лема 2.2. Припустимо, що g : U \rightarrow V \in \sansC \Bbbk — сюр’єктивний квазiiзоморфiзм. Тодi для
будь-якої пари (u, v), u \in Un+1, v \in V n, такої , що ud = 0, ug = vd, iснує елемент w \in Un
такий, що wd = u, wg = v.
Доведення. З перетворення на нуль Hn+1(g)[u] = [gu] = 0 випливає перетворення на нуль
класу когомологiй [u] = 0. Iснує y \in Un такий, що yd = u. Позначимо c = yg \in V n, тодi
cd = ygd = ydg = ug = vd.
Отже, c - v є циклом, i iснує цикл z \in ZnU такий, що [zg] = [c - v]. Iснує e \in V n - 1 такий,
що zg = c - v + ed. Елемент e пiдiймається до x \in Un - 1 такого, що xg = e. Таким чином,
yg = c = zg - xgd+ v = (z - xd)g + v.
Тому w = y - z + xd задовольняє wg = v i wd = u.
Лему 2.2 доведено.
Ми говоримо, що M складається з вiльних \Bbbk -модулiв, якщо для будь-якого x \in S гра-
дуйований \Bbbk -модуль M(x) вiльний, тобто iзоморфний \oplus a\in \BbbZ P a\Bbbk [a] для деякої градуйованої
множини P i dM = 0.
Твердження 2.1. Нехай M складається з вiльних \Bbbk -модулiв, dM = 0, A \in \mathrm{O}\mathrm{b} \scrC i \alpha :
M \rightarrow A\# \in \bfd \bfg S . Тодi \=\jmath : A\rightarrow A\langle M,\alpha \rangle \in \scrL c.
Доведення. Нехай образ y\# морфiзму y : U \rightarrow V \in \scrC є епiморфiзмом i квазiiзоморфiзмом.
Нехай u : A\rightarrow U \in \scrC . Морфiзми v : A\langle M,\alpha \rangle \rightarrow V, якi роблять квадрат
A
u \rightarrow U
A\langle M,\alpha \rangle
\=\jmath \downarrow
v \rightarrow
w
\rightarrow
V
\wr y
\downarrow \downarrow
(2.2)
комутативним, перебувають у бiєкцiї з елементами
\bigl(
A
u - \rightarrow U
y - \rightarrow V,M
t - \rightarrow V \#
\bigr)
\in hA,\alpha (V ). Таким
чином,
(t)d = dM t+ tdV \# =
\Bigl(
M
\alpha - \rightarrow A\# u\# - - \rightarrow U\# y\# - - \rightarrow V \#
\Bigr)
.
Для деякої градуйованої множини P = (P a(s) | a \in \BbbZ , s \in S), P a(s) \in \scrS \mathrm{e}\mathrm{t}, маємо M =
= P\Bbbk =
\bigl(
\oplus a\in \BbbZ P a(s)\Bbbk [a]
\bigr)
s\in S . Позначимо обрану базу M через (ep)p\in P \bullet (\bullet ), \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} ep = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p.
Для довiльного p \in P a(s) позначимо n = a - 1. Маємо цикл ep\alpha u
\# \in Zn+1(U\#) i елемент
ept \in (V \#)n такий, що (ep\alpha u
\#)y\# = (ept)dV \# . Завдяки лемi 2.2 iснує елемент, позначений
(epr) \in (U\#)n, такий, що ep\alpha u\# = (epr)dU\# i ept = (epr)y
\#. Вибираючи такий epr для всiх
p \in P \bullet (\bullet ), отримуємо вiдображення r \in \bfd \bfg S(M,U\#) - 1 таке, що комутують трикутники
A\# u\# \rightarrow U\#
M
\alpha
\uparrow
(r)d
\rightarrow
,
U\#
M
t \rightarrow
r
\rightarrow
V \#
y\#\downarrow
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МОДЕЛЬНА СТРУКТУРА НА КАТЕГОРIЯХ, ПОВ’ЯЗАНИХ IЗ КАТЕГОРIЯМИ КОМПЛЕКСIВ 237
Таким чином, пара (u : A\rightarrow U, r : M \rightarrow U\#) \in hA,\alpha (U) визначає морфiзм w : A\langle M,\alpha \rangle \rightarrow U \in
\in \scrC за лемою 2.1. Завдяки (2.1) виконано рiвнiсть
u =
\bigl(
A
\=\jmath - \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle w - \rightarrow U
\bigr)
.
Природнiсть бiєкцiї \psi ,
hA,\alpha (U)
\psi U
\sim
\rightarrow \scrC (A\langle M,\alpha \rangle , U)
=
hA,\alpha (V )
hA,\alpha (U)\downarrow
\psi V
\sim
\rightarrow \scrC (A\langle M,\alpha \rangle , V )
\scrC (1,y)\downarrow
,
застосовується до пари (u, r) i дає
(u : A\rightarrow U, r : M \rightarrow U\#) \rightarrow w
=
(uy : A\rightarrow V, ry\# :M \rightarrow V \#) = (\=\jmath v, t)
( - \cdot y, - \cdot y\#)\downarrow
\rightarrow v = wy.
- \cdot y
\downarrow
Звiдси отримуємо ще одне рiвняння
v =
\bigl(
A\langle M,\alpha \rangle w - \rightarrow U
y - \rightarrow V
\bigr)
,
i w — шуканий дiагональний наповнювач для (2.2).
Твердження 2.1 доведено.
Якщо M складається з вiльних \Bbbk -модулiв, (i dM = 0), то \=\jmath : A\rightarrow A\langle M,\alpha \rangle — кофiбрацiя. Її
можна назвати елементарною стандартною кофiбрацiєю. Якщо
A\rightarrow A1 \rightarrow A2 \rightarrow . . .
— послiдовнiсть елементарних стандартних кофiбрацiй, B — кограниця цiєї дiаграми, то вi-
дображення „нескiнченної композицiї” A \rightarrow B є кофiбрацiєю, що називається стандартною
кофiбрацiєю [4] (пiдпункт 2.2.3).
Лема 2.3. Нехай \alpha \sim \alpha \prime : M \rightarrow A\#. Тодi є природна по B бiєкцiя hA,\alpha (B) \simeq hA,\alpha \prime (B).
Отже, виникає iзоморфiзм k зображуючих об’єктiв, що є останньою стрiлкою в рiвняннi, яке
виконано в \scrC :
\=\jmath \prime =
\Bigl(
A
\=\jmath - \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle k - \rightarrow
\sim
A\langle M,\alpha \prime \rangle
\Bigr)
.
Доведення. Нехай h \in \bfd \bfg S(M,A\#) - 1 — гомотопiя, \alpha - \alpha \prime = hd + dh : M \rightarrow A\#. Тодi
маємо визначенi вiдображення
hA,\alpha (B) =
\bigl\{
(f : A\rightarrow B, t : M \rightarrow B\#) | (t)d = \alpha f\#
\bigr\}
(f, t) (f, q + hf\#)
(f, t - hf\#)
\downarrow
(f, q)
\uparrow
hA,\alpha \prime (B) =
\bigl\{
(f : A\rightarrow B, q : M \rightarrow B\#) | (q)d = \alpha \prime f\#
\bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
238 В. В. ЛЮБАШЕНКО
оскiльки
(t - hf\#)d = \alpha f\# - (\alpha - \alpha \prime )f\# = \alpha \prime f\#,
(q + hf\#)d = \alpha \prime f\# + (\alpha - \alpha \prime )f\# = \alpha f\#.
Цi вiдображення взаємно оберненi та природнi по B.
Вiзьмемо B = A\langle M,\alpha \prime \rangle . Iснує комутативний квадрат бiєкцiй
\scrC (A\langle M,\alpha \prime \rangle , A\langle M,\alpha \prime \rangle ) \scrC (k,1)
\sim
\rightarrow \scrC (A\langle M,\alpha \rangle , A\langle M,\alpha \prime \rangle )
hA,\alpha \prime (A\langle M,\alpha \prime \rangle )
\psi \wr \downarrow
\sim \rightarrow hA,\alpha (A\langle M,\alpha \prime \rangle ),
\wr \psi \downarrow
що дає рiвняння
1B \rightarrow k
(\=\jmath \prime , t\prime )
\downarrow
\rightarrow (\=\jmath \prime , t\prime + h\=\jmath \prime \#) = (\=\jmath k, tk\#).
\downarrow
Зокрема, \=\jmath \prime = \=\jmath k.
Лему 2.3 доведено.
Зауваження 2.1. Розглянемо дiаграму \alpha \prime =
\bigl(
M \prime \beta - \rightarrow M \prime \prime \alpha \prime \prime
- \rightarrow A\#
\bigr)
в \bfd \bfg S . Цi морфiз-
ми приводять до природного перетворення hA,\alpha \prime \prime (B) \rightarrow hA,\alpha \prime (B), (f, t) \mapsto \rightarrow (f, \beta \cdot t), або
рiвнозначно \scrC (A\langle M \prime \prime , \alpha \prime \prime \rangle , B) \rightarrow \scrC (A\langle M \prime , \alpha \prime \rangle , B), що походить вiд єдиного морфiзму A\langle \beta \rangle :
A\langle M \prime , \beta \cdot \alpha \prime \prime \rangle \rightarrow A\langle M \prime \prime , \alpha \prime \prime \rangle \in \scrC . Це можна знайти з дiаграми
F (A\#)
\varepsilon \rightarrow A
F (C \prime )
F\=\imath \prime \downarrow
g\prime \rightarrow A\langle M \prime , \alpha \prime \rangle
\=\jmath \prime \downarrow
F (C \prime \prime )
g\prime \prime \rightarrow
F\=\imath \prime \prime
\leftarrow F\gamma \leftarrow
A\langle M \prime \prime , \alpha \prime \prime \rangle
\=\jmath \prime \prime
\rightarrow
A\langle \beta \rangle \rightarrow
,
(2.3)
де \gamma = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(\beta , 1) : C \prime \rightarrow C \prime \prime — морфiзм конусiв, iндукований \beta .
Справдi, покладемо B = A\langle M \prime \prime , \alpha \prime \prime \rangle . Одиничний морфiзм 1B вiдповiдає (\=\jmath \prime \prime , \theta \prime \prime ) \in hA,\alpha \prime \prime (B),
який переходить у (\=\jmath \prime \prime , \beta \cdot \theta \prime \prime ) \in hA,\alpha \prime (B). Останнiй елемент повинен збiгатися з (\=\jmath \prime \cdot A\langle \beta \rangle ,
\theta \prime \cdot A\langle \beta \rangle \#). Рiвняння \=\jmath \prime \prime = \=\jmath \prime \cdot A\langle \beta \rangle — це правий трикутник дiаграми (2.3). Рiвняння \beta \cdot \theta \prime \prime =
= \theta \prime \cdot A\langle \beta \rangle \# можна записати як зовнiшнiсть дiаграми
M \prime \sigma \rightarrow M \prime [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1 \rightarrow C \prime g\prime t \rightarrow D\prime \#
M \prime \prime
\beta \downarrow
\sigma \rightarrow M \prime \prime [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1 \rightarrow C \prime \prime
\gamma \downarrow
g\prime \prime t\rightarrow D\prime \prime \#
A\langle \beta \rangle \#\downarrow
.
Зi згаданого правого трикутника випливає комутативнiсть зовнiшностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МОДЕЛЬНА СТРУКТУРА НА КАТЕГОРIЯХ, ПОВ’ЯЗАНИХ IЗ КАТЕГОРIЯМИ КОМПЛЕКСIВ 239
A\# \=\imath \prime \rightarrow C \prime g\prime t \rightarrow D\prime \#
A\#
\=\imath \prime \prime \rightarrow C \prime \prime
\gamma \downarrow
g\prime \prime t\rightarrow D\prime \prime \#
A\langle \beta \rangle \#\downarrow
.
З цих фактiв випливає комутативнiсть правого квадрата, що еквiвалентно нижнiй трапецiї
в (2.3).
Зокрема, для 0 =
\bigl(
0
0 - \rightarrow M
\alpha - \rightarrow A\#
\bigr)
маємо \=\imath \prime = \mathrm{i}\mathrm{d} : A\# \rightarrow C \prime , \=\jmath \prime = \mathrm{i}\mathrm{d} : A \rightarrow A\langle 0, 0\rangle ,
\=\jmath \prime \prime = \=\jmath = A\langle 0\rangle : A = A\langle 0, 0\rangle \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle .
Зауваження 2.2. Для 0 : M \rightarrow A\# маємо A\langle M, 0\rangle \simeq F (M [1]) \sqcup A, i \=\jmath = \mathrm{i}\mathrm{n}2 є канонiчним
вкладенням. Справдi, C =M [1]\oplus A\# — пряма сума комплексiв, а A\langle M, 0\rangle знаходимо з дiаграми
F (A\#)
\varepsilon \rightarrow A
F (M [1] \sqcup A\#)
F (\mathrm{i}\mathrm{n}2)\downarrow
\sim \rightarrow F (M [1]) \sqcup F (A\#)
1\sqcup \varepsilon \rightarrow
\mathrm{i}\mathrm{n}2
\rightarrow
F (M [1]) \sqcup A = A\langle M, 0\rangle
\mathrm{i}\mathrm{n}2\downarrow
.
Приклад 2.1. Нехай N \in \mathrm{O}\mathrm{b}\bfd \bfg S . Вiзьмемо FN за A i \eta : N \rightarrow (FN)\# за \alpha . Ми ствер-
джуємо, що можемо взяти F (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N ) за (FN)\langle N, \eta \rangle . Справдi,
hFN,\eta (B) =
\bigl\{
(f : FN \rightarrow B, t : N \rightarrow B\#) | (t)d = \eta \cdot f\#
\bigr\}
=
\bigl\{
(f, t) | (t)d = f t
\bigr\}
=
=
\bigl\{
(f, t) | f = t((t)d)
\bigr\}
=
\bigl\{
t \in \bfd \bfg S(N,B\#) - 1
\bigr\}
\simeq \bfd \bfg S(N [1], B\#)0
(!)
\simeq
(!)
\simeq \bfd \bfg S
\bigl(
(N [1]\oplus N, d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N ), B
\#
\bigr)
= \bfd \bfg S(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N , B
\#) \simeq \scrC (F (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N ), B).
Бiєкцiю (!) залишаємо читачевi як вправу.
Твердження 2.2. Нехай N = P\Bbbk \in \bfd \bfg S складається з вiльних \Bbbk -модулiв, dN = 0 та
M = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N [ - 1] = (N \oplus N [ - 1], d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}). Тодi для будь-якого морфiзму \alpha : M \rightarrow UA \in \bfd \bfg S
морфiзм \=\jmath : A \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle — це стандартна кофiбрацiя, композицiя двох елементарних стан-
дартних кофiбрацiй.
Доведення. Комплекс M є стягуваним, отже, \alpha \sim 0 = \alpha \prime : M \rightarrow A\#. Застосовуючи ле-
му 2.3, знаходимо, що \=\jmath =
\bigl(
A
A\langle 0\rangle \rightarrow A\langle M, 0\rangle \sim - \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle
\bigr)
, тому достатньо довести твердження
для \alpha = 0.
Вкладення \mathrm{i}\mathrm{n}2 : N [ - 1]\rightarrow M iндукує дiаграму
A
\=\jmath \prime \rightarrow A\langle N [ - 1], 0\rangle === A\langle N [ - 1], 0\rangle \langle 0, 0\rangle
A\langle M, 0\rangle
A\langle \mathrm{i}\mathrm{n}2\rangle \downarrow
\sim \rightarrow
\=\jmath \prime \prime \rightarrow
A\langle N [ - 1], 0\rangle \langle N, \eta \rangle
A\langle N [ - 1],0\rangle \langle 0\rangle \downarrow
.
Комутативнiсть трикутника мiститься в дiаграмi (2.3). Комутативнiсть квадрата випливає iз
зауваження 2.2, яке дає A\langle N [ - 1], 0\rangle = FN \sqcup A, i з рiвняння
FN ======= (FN)\langle 0, 0\rangle
=
F (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )
F (\mathrm{i}\mathrm{n}2)\downarrow
== (FN)\langle N, \eta \rangle .
(FN)\langle 0\rangle \downarrow
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
240 В. В. ЛЮБАШЕНКО
Останнє рiвняння випливає з прикладу 2.1. Вiзьмемо в ньому B = F (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N ) i знайдемо
елемент hFN,\eta (F (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )), який переходить в 1B при послiдовностi бiєкцiй, розглянутих у
прикладi. Рухаючись назад, знаходимо елементи
1B \mapsto \rightarrow \langle \eta : \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N \rightarrow (F \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )
\#\rangle \mapsto \rightarrow
\Bigl\langle
N [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1\rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N
\eta - \rightarrow (F \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )
\#
\Bigr\rangle
\mapsto \rightarrow
\mapsto \rightarrow t =
\Bigl\langle
N
\sigma - \rightarrow N [1]
\mathrm{i}\mathrm{n}1\rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N
\eta - \rightarrow (F \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )
\#
\Bigr\rangle
\in \bfd \bfg S(N,B\#) - 1.
Виконуючи обчислення у доведеннi леми 2.1, отримуємо
(t) \cdot d =
\Bigl\langle
N
\mathrm{i}\mathrm{n}2\rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N
\eta - \rightarrow (F \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )
\#
\Bigr\rangle
=
\Bigl\langle
N
\eta - \rightarrow (FN)\#
(F \mathrm{i}\mathrm{n}2)\#\rightarrow (F \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )
\#
\Bigr\rangle
,
звiдки t приходить з пари (F (\mathrm{i}\mathrm{n}2), t) \in hFN,\eta (F (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N )). Таким чином, морфiзм \=\jmath \prime \prime : A \rightarrow
\rightarrow A\langle M, 0\rangle являє собою композицiю двох елементарних стандартних кофiбрацiй i сам є стан-
дартною кофiбрацiєю.
Твердження 2.2 доведено.
Твердження 2.3. Нехай r : A\rightarrow Y \in \scrC . Позначимо через
N = Z \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(r\#[ - 1] : A\#[ - 1]\rightarrow Y \#[ - 1]) =
=
\bigl\{
(u, y\sigma - 1) \in A\# \times Y \#[ - 1] | ud = 0, ur\# - ydY \# = 0
\bigr\}
диференцiально градуйований \Bbbk -пiдмодуль циклiв комплексу \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(r\#[ - 1]), dN = 0. Позначимо
через \mathrm{p}\mathrm{r}1 : N \rightarrow A\# \in \bfd \bfg S (вiдповiдно \mathrm{p}\mathrm{r}2 : N \rightarrow Y \#[ - 1] \in \bfg \bfr S ) вiдображення (u, y\sigma - 1) \mapsto \rightarrow
\mapsto \rightarrow u (вiдповiдно (u, y\sigma - 1) \mapsto \rightarrow y\sigma - 1). Позначимо D = A\langle N, \mathrm{p}\mathrm{r}1\rangle . Тодi\Bigl(
r : A\rightarrow Y, t = (N
\mathrm{p}\mathrm{r}2\rightarrow Y \#[ - 1] \sigma - \rightarrow Y \#)
\Bigr)
є елементом hA,\mathrm{p}\mathrm{r}1(Y ). Вiдповiдний морфiзм q : D \rightarrow Y задовольняє r =
\Bigl(
A
\=\jmath - \rightarrow A\langle N, \mathrm{p}\mathrm{r}1\rangle
q - \rightarrow
q - \rightarrow Y
\Bigr)
. Композицiя
\beta =
\Bigl\langle
N \lhook \rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(r\#[ - 1]) \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(\=\jmath \#[ - 1],1)\rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(q\#[ - 1])
\Bigr\rangle
, \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(\=\jmath \#[ - 1], 1) =
\Biggl(
\=\jmath \# 0
0 1
\Biggr)
,
гомотопна нулю, \beta = (\theta , 0) \cdot d = (\theta , 0) \cdot d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(q\#[ - 1]), таким чином, всi цикли \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(r\#[ - 1])
переводяться \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(\=\jmath \#[ - 1], 1Y \#[ - 1]) до меж в \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(q\#[ - 1]).
Доведення. Покажемо, що (r, t) \in hA,\mathrm{p}\mathrm{r}1(Y ). Справдi, дiаграма
N
\mathrm{p}\mathrm{r}2\rightarrow Y \#[ - 1] \sigma \rightarrow Y \#
A\#
\mathrm{p}\mathrm{r}1\downarrow
r\# \rightarrow Y \#
d
Y \#\downarrow
комутує, як показує обчислення,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МОДЕЛЬНА СТРУКТУРА НА КАТЕГОРIЯХ, ПОВ’ЯЗАНИХ IЗ КАТЕГОРIЯМИ КОМПЛЕКСIВ 241
(u, y\sigma - 1) \rightarrow y\sigma - 1 \rightarrow y
u
\downarrow
\rightarrow ur\# ======== ydY \# .
\downarrow
Вiдповiдний морфiзм q : D \rightarrow Y задовольняє (r, t) =
\Bigl(
\=\jmath \cdot q,N \theta - \rightarrow D\# q\# - - \rightarrow Y \#
\Bigr)
завдяки (2.1).
Можна легко перевiрити, що конуси пов’язанi ланцюговим вiдображенням
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(\=\jmath \#[ - 1], 1Y \#[ - 1]) =
\Biggl(
\=\jmath \# 0
0 1Y \#[ - 1]
\Biggr)
: \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}((\=\jmath \#q\#)[ - 1])\rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(q\#[ - 1]).
Композицiя \beta переводить (u, y\sigma - 1) \in N до (u\=\jmath \#, y\sigma - 1) \in \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(q\#[ - 1]). Оскiльки dN = 0,
вiдображення
(\theta , 0) \cdot d = (\theta , 0)
\Biggl(
dD\# q\#\sigma - 1
0 dY \#[ - 1]
\Biggr)
= (\mathrm{p}\mathrm{r}1 \cdot \=\jmath \#, \theta q\#\sigma - 1) = (\mathrm{p}\mathrm{r}1 \cdot \=\jmath \#, t\sigma - 1) = (\mathrm{p}\mathrm{r}1 \cdot \=\jmath \#,\mathrm{p}\mathrm{r}2)
переводить (u, y\sigma - 1) до того ж (u\=\jmath \#, y\sigma - 1), що й \beta .
Твердження 2.3 доведено.
Припустимо, що умови теореми 1.1 виконано.
Твердження 2.4. Нехай N = P\Bbbk \in \bfd \bfg S складається з вiльних \Bbbk -модулiв, dN = 0 та
M = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N [ - 1]. Тодi для всiх \alpha : M \rightarrow A\# \in \bfd \bfg S морфiзм \=\jmath : A\rightarrow A\langle M,\alpha \rangle належить \scrW .
Доведення. Комплекс M є стягуваним, отже, досить припустити, що \alpha = 0. Розглянемо
спрямовану множину скiнченних градуйованих пiдмножин Q \subset P (тобто множина
\bigsqcup x\in S
c\in \BbbZ Q
c(x)
є скiнченною). Маємо
M [1] = P\BbbK [1] =
x\in S\bigoplus
c\in \BbbZ
P c(x)\BbbK x[c+ 1] = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
Q\subset P
q\in Qc(x)\coprod
x\in S, c\in \BbbZ
\BbbK x[c+ 1],
\=\jmath \# = \mathrm{i}\mathrm{n}\#2 =
\bigl\langle
A\# \rightarrow (F (M [1])
\coprod
A)\#
\bigr\rangle
=
=
\Biggl\langle
A\# \rightarrow
\Biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
Q\subset P
\Biggl(
q\in Qc(x)\coprod
x\in S, c\in \BbbZ
F (\BbbK x[c+ 1])
\Biggr) \coprod
A
\Biggr) \#\Biggr\rangle
=
=
\Biggl\langle
A\# \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
Q\subset P
\Biggl( \Biggl(
q\in Qc(x)\coprod
x\in S, c\in \BbbZ
F (\BbbK x[c+ 1])
\Biggr) \coprod
A
\Biggr) \#\Biggr\rangle
.
Для будь-якого скiнченного Q вiдображення
\mathrm{i}\mathrm{n}\#2 : A\# \rightarrow
\Biggl( \Biggl(
q\in Qc(x)\coprod
x\in S, c\in \BbbZ
F (\BbbK x[c+ 1])
\Biggr) \coprod
A
\Biggr) \#
є квазiiзоморфiзмом як скiнченна композицiя квазiiзоморфiзмiв. Таким чином, його конус є
ациклiчним. Тому конус
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
242 В. В. ЛЮБАШЕНКО
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}
\Biggl\langle
\=\jmath \# : A\# \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
Q\subset P
\Biggl( \Biggl(
q\in Qc(x)\coprod
x\in S, c\in \BbbZ
F (\BbbK x[c+ 1])
\Biggr) \coprod \Biggr) \#\Biggr\rangle
\simeq
\simeq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
Q\subset P
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}
\Biggl\langle
A\# \rightarrow
\Biggl( \Biggl(
q\in Qc(x)\coprod
x\in S, c\in \BbbZ
F (\BbbK x[c+ 1])
\Biggr) \coprod
A
\Biggr) \#\Biggr\rangle
є ациклiчним i \=\jmath \# — квазiiзоморфiзм.
Твердження 2.4 доведено.
Пiдсумовуючи твердження 2.2 та 2.4, припустимо, що N \in \mathrm{O}\mathrm{b}\bfd \bfg S складається з вiльних
\Bbbk -модулiв, dN = 0 та M = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N [ - 1] = (N\oplus N [ - 1], d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}). Тодi для будь-якого морфiзму \alpha :
M \rightarrow UA \in \bfd \bfg S морфiзм \=\jmath : A \rightarrow A\langle M,\alpha \rangle — тривiальна кофiбрацiя в \scrC i стандартна кофi-
брацiя, композицiя двох елементарних стандартних кофiбрацiй. Вiн називається стандартною
тривiальною кофiбрацiєю.
Доведення теореми 1.1. (MC1) (Кo)повнота \scrC передбачається. Аксiоми (MC2) (три з двох
для \scrW ) та (MC3) (замкненiсть \scrL c, \scrW , \scrR f щодо ретракцiй) очевиднi. Клас \scrL c є \bot (\scrW \cap \scrR f ) за
визначенням.
(MC5) (ii) Функторiальна факторизацiя на тривiальну кофiбрацiю та фiбрацiю. Нехай f :
X \rightarrow Y \in \scrC . Позначимо N = Y \#\Bbbk , M [1] = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N [ - 1] = (N \oplus N [ - 1], d\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}) \simeq Y \#\BbbK [ - 1].
\Bbbk -Лiнiйне вiдображення N \rightarrow Y \#, ey \mapsto \rightarrow y, степеня 0 єдиним чином поширюється до по-
степеневої сюр’єкцiї \pi tY : M [1] \rightarrow Y \# \in \bfd \bfg S , що визначає морфiзм \pi Y : F (M [1]) \rightarrow Y \in \scrC .
Поєднуючи його з попереднiм, отримуємо морфiзм \pi Y \cup f : F (M [1])
\coprod
X \rightarrow Y \in \scrC . Оскiльки
\pi tY =
\Bigl\langle
M [1]
\eta - \rightarrow (F (M [1]))\#
\pi \#
Y - - \rightarrow Y \#
\Bigr\rangle
— це сюр’єкцiя, вiдображення
\pi \#Y =
\Bigl\langle
(F (M [1]))\#
\mathrm{i}\mathrm{n}\#1\rightarrow
\Bigl(
F (M [1])
\coprod
X
\Bigr) \# (\pi Y \cup f)\#\rightarrow Y \#
\Bigr\rangle
також є сюр’єкцiєю. Тому (\pi Y \cup f)\# — сюр’єкцiя i \pi Y \cup f \in \scrR f . Розклад
f =
\Bigl(
X
\=\jmath - \rightarrow X\langle M, 0\rangle = F (M [1])
\coprod
X
(\pi Y \cup f)\#\rightarrow Y
\Bigr)
на тривiальну кофiбрацiю i фiбрацiю функторiальний по f.
(MC5) (i) Функторiальна факторизацiя на кофiбрацiю та тривiальну фiбрацiю. Побуду-
ємо iндуктивно дiаграму в \scrC
X ==== D0
h0\rightarrow D1
h1\rightarrow D2
h2\rightarrow . . .
. . .
Y
q2\downarrow
q1
\rightarrow f=q0 \rightarrow
(2.4)
так, щоб всi hi були кофiбрацiями. Для даного qn з n \geq 0 позначимо
Nn = Z \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(q\#n [ - 1] : D\#
n [ - 1]\rightarrow Y \#[ - 1]) =
=
\Bigl\{
(u, y\sigma - 1) \in D\#
n \times Y \#[ - 1]
\bigm| \bigm| ud = 0, uq\#n - ydY \# = 0
\Bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МОДЕЛЬНА СТРУКТУРА НА КАТЕГОРIЯХ, ПОВ’ЯЗАНИХ IЗ КАТЕГОРIЯМИ КОМПЛЕКСIВ 243
як у твердженнi 2.3. Будучи пiдмножиною циклiв, Nn є градуйованим \Bbbk -пiдмодулем з dNn =
= 0. Розглядаючи Nn як градуйовану множину, введемо градуйований \Bbbk -модуль Mn = Nn\Bbbk ,
dMn = 0, з проекцiєю pn : Mn \triangleleft Nn \in \bfd \bfg S , ev \mapsto \rightarrow v для всiх v \in N \bullet
n(\bullet ). Позначимо
\alpha n =
\bigl(
Mn
pn - \rightarrow Nn
\mathrm{p}\mathrm{r}1\rightarrow D\#
n
\bigr)
\in \bfd \bfg S . Виберемо Dn+1 = Dn\langle Mn, \alpha n\rangle , тодi hn = Dn\langle 0\rangle :
Dn \rightarrow Dn+1 є кофiбрацiєю. З твердження 2.3 та зауваження 2.1 випливає, що (qn : Dn \rightarrow
\rightarrow Y, tn =
\bigl(
Mn
pn - \rightarrow Nn
\mathrm{p}\mathrm{r}2\rightarrow Y \#[ - 1] \sigma - \rightarrow Y \#
\bigr)
є елементом hDn,\alpha n(Y ). Морфiзм qn+1 : Dn+1 =
= Dn\langle Mn, \alpha n\rangle \rightarrow Y \in \scrC вiдповiдає парi (qn, tn) такiй, що qn =
\bigl(
Dn
hn - \rightarrow Dn+1
qn+1\rightarrow Y
\bigr)
в \scrC ,
що дає необхiдну дiаграму.
Доведемо що q\#2 : D\#
2 \rightarrow Y \# є сюр’єктивним у всiх степенях. Нехай y \in Y \#\bullet (\bullet ). Тодi
(0, yd\sigma - 1) \in N0, e(0,yd\sigma - 1) \in M0, e(0,yd\sigma - 1)\theta 0 \in D\#
1 . З рiвняння \theta 0q
\#
1 = t0 = p0 \cdot \mathrm{p}\mathrm{r}2 \cdot \sigma :
M0 \rightarrow Y \# випливає, що
e(0,yd\sigma - 1)\theta 0q
\#
1 - ydY \# = (0, yd\sigma - 1) \mathrm{p}\mathrm{r}2 \sigma - yd = 0.
Крiм того,
e(0,yd\sigma - 1)\theta 0dD\#
1
= e(0,yd\sigma - 1)(\theta )d = e(0,yd\sigma - 1)\alpha 0\=\imath 0\eta g
\#
0 = (0, yd\sigma - 1) \mathrm{p}\mathrm{r}1 \alpha 0\=\imath 0\eta g
\#
0 = 0.
Таким чином, (e(0,yd\sigma - 1)\theta 0, y\sigma
- 1) \in N1. Тому вiдображення \mathrm{p}\mathrm{r}2 \cdot \sigma : N1 \rightarrow Y \# є сюр’єктивним
у кожному степенi. Отже, вiдображення t1 =
\bigl(
M1
p1
\triangleleft N1
\mathrm{p}\mathrm{r}2\rightarrow Y \#[ - 1] \sigma - \rightarrow Y \#
\bigr)
також є
сюр’єктивним. Оскiльки t1 =
\Bigl(
M1
\theta 1 - \rightarrow D\#
2
q\#2 - - \rightarrow Y \#
\Bigr)
, з цього випливає, що q\#2 є сюр’єктивним
в кожному степенi. Отже, q\#n : D\#
n \rightarrow Y \# є сюр’єктивним для всiх n \geq 2 та iндуковане
вiдображення q\# : D\# \rightarrow Y \# є сюр’єктивним також, де
q = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\in \BbbN
qn : D = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\in \BbbN
Dn \rightarrow Y.
Дiаграма (2.4) також iндукує дiаграму конусiв
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\#0
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(h\#0 ,1)\rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\#1
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(h\#1 ,1)\rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\#2 \rightarrow \cdot \cdot \cdot \rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\# = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\in \BbbN
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\#n .
З твердження 2.3 випливає, що пiдмодуль циклiв Z \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\#n переводиться вiдображенням
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(h\#n , 1) до пiдмодуля меж B \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\#n+1. Таким чином, кограниця конусiв \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} q\# є аци-
клiчною. Тому q\# — квазiiзоморфiзм. Ми розклали морфiзм f \in \scrC в стандартну кофiбрацiю i
i тривiальну фiбрацiю q : f =
\bigl(
X
i - \rightarrow D
q - \rightarrow Y
\bigr)
.
(MC4) (ii). Доведемо, що стандартна тривiальна кофiбрацiя \=\jmath : X\rightarrow X\langle M, 0\rangle лежить в \bot \scrR f .
Тут M [1] = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e} 1N [ - 1] i N складається з вiльних \Bbbk -модулiв. Маємо X\langle M, 0\rangle = F (M [1])\sqcup X.
Квадрат
X
a \rightarrow A
X\langle M, 0\rangle
\=\jmath \downarrow
b \rightarrow
c
\rightarrow
B
g\downarrow \downarrow
комутує тодi i лише тодi, коли b = l \cup ag : F (M [1]) \sqcup X \rightarrow B. Спряження переводить l в lt :
M [1]\rightarrow B\# \in \bfd \bfg S . Iснує комутативна дiаграма в \scrS \mathrm{e}\mathrm{t}
\bfd \bfg S(M [1], A\#)
\sim \rightarrow \bfd \bfg S(N,A\#)0
\bfd \bfg S(M [1], B\#)
\bfd \bfg S(1,g\#)\downarrow
\sim \rightarrow \bfd \bfg S(N,B\#)0
\bfd \bfg S(1,g\#)\downarrow
.
(2.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
244 В. В. ЛЮБАШЕНКО
Припустимо, що g \in \scrR f , тобто g\# є сюр’єктивним у кожному степенi. Оскiльки N скла-
дається з вiльних \Bbbk -модулiв, вертикальнi вiдображення — це сюр’єкцiї. Таким чином, iснує
ланцюгове вiдображення r : M [1] \rightarrow A\# таке, що lt = r \cdot g\#. Використовуючи спряження,
знаходимо, що l =
\bigl(
F (M [1])
tr - \rightarrow A
g - \rightarrow B
\bigr)
. Тодi c = tr \cup a : F (M [1]) \sqcup X \rightarrow A є шуканим
дiагональним наповнювачем.
Позначимо через J клас усiх стандартних тривiальних кофiбрацiй. Тодi наведенi вище
мiркування, розвернутi у зворотний бiк, показують, що для g \in J\bot вертикальнi стрiлки в (2.5)
завжди сюр’єктивнi. Це означає, що g \in \scrR f . Отже, J\bot = \scrR f .
Розглянемо довiльний морфiзм f : X \rightarrow Y \in \scrC . Вiдповiдно до доведеного (MC5) (ii) iснує
розклад
X
\=\jmath \rightarrow Z = X\langle M, 0\rangle
Y
f
\downarrow
=========== Y
p\downarrow \downarrow
у стандартну тривiальну кофiбрацiю \=\jmath i p \in \scrR f . Якщо f \in \scrW \cap \scrL c, то p \in \scrW \cap \scrR f . За
визначенням \scrL c = \bot (\scrW \cap \scrR f ) iснує морфiзм w такий, що дiаграми
X
\=\jmath \rightarrow Z
Y
f
\downarrow
=========
w
\rightarrow
Y
p
\downarrow
\Leftarrow \Rightarrow
X =========X =========X
Y
f
\downarrow
w \rightarrow Z
\=\jmath
\downarrow
p \rightarrow Y
f
\downarrow
(2.6)
комутують i w \cdot p = 1Y , тобто f є ретрактом \=\jmath . Отже, (\scrW \cap \scrR f )\bot = J\bot = \scrR f .
Теорему 1.1 доведено.
Зауваження 2.3. В доведеннi показано, що будь-яка тривiальна кофiбрацiя f являє собою
ретракт стандартної тривiальної кофiбрацiї \=\jmath типу (2.6) (пор. з [4], зауваження 2.2.5). Аналогiчно
будь-яка кофiбрацiя f — це ретракт стандартної кофiбрацiї \=\jmath типу (2.6). Модельна структура
\scrC кофiбрантно породжується класами елементарних кофiбрацiй та стандартних тривiальних
кофiбрацiй.
Лiтература
1. C. Berger, I. Moerdijk, Axiomatic homotopy theory for operads, Comment. Math. Helv., 78, № 4, 805 – 831 (2003).
2. J. D. Christensen, M. Hovey, Quillen model structures for relative homological algebra, Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc., 133, № 2, 261 – 293 (2002).
3. J. E. Harper, Homotopy theory of modules over operads and non-\Sigma operads in monoidal model categories, J. Pure
and Appl. Algebra, 214, № 8, 1407 – 1434 (2010).
4. V. Hinich, Homological algebra of homotopy algebras, Commun. Algebra, 25, № 10, 3291 – 3323 (1997).
5. V. Lyubashenko, Homotopy unital A\infty -algebras, J. Algebra, 329, № 1, 190 – 212 (2011).
6. V. Lyubashenko, (Homotopy unital) A\infty -morphisms with several entries, Theory and Appl. Categ., 30, № 45 (46),
1501 – 1551 (1552 – 1623) (2015).
7. F. Muro, Homotopy theory of nonsymmetric operads, Algebr. Geom. Topol., 11, № 3, 1541 – 1599 (2011).
8. M. Spitzweck, Operads, algebras and modules in general model categories, jan 2001, arXiv: math/ 0101102.
9. S. Schwede, B. Shipley, Algebras and modules in monoidal model categories, Proc. London Math. Soc., 80, № 2,
491 – 511 (2000).
Одержано 28.01.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-682 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:41Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9c/4af53cec85ff063deffd3f131a850d9c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-6822020-04-07T12:14:35Z A model structure on categories related to categories of complexes Модельна структура на категоріях пов'язаних з категоріями комплексів Lyubashenko, V. V. Любашенко, В. В. Любашенко, В. В. модельна категорія диференціально-градуйований модуль градуйоване комутативне кільце model category differential graded module graded commutative ring UDC 512.58 We prove a Hinich-type theorem on the existence of a model structure on a category related by adjunction to the category of differential graded modules over a graded commutative ring. УДК 512.58 Доведено теорему типу теореми Хініча про існування модельної структури на категорії, пов’язаній спряженістю з категорією диференціально-градуйованих модулів над градуйованим комутативним кільцем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-02-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/682 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 2 (2020); 232-244 Український математичний журнал; Том 72 № 2 (2020); 232-244 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/682/1566 Copyright (c) 2020 Володимир Васильович Любашенко |
| spellingShingle | Lyubashenko, V. V. Любашенко, В. В. Любашенко, В. В. A model structure on categories related to categories of complexes |
| title | A model structure on categories related to categories of complexes |
| title_alt | Модельна структура на категоріях пов'язаних з категоріями комплексів |
| title_full | A model structure on categories related to categories of complexes |
| title_fullStr | A model structure on categories related to categories of complexes |
| title_full_unstemmed | A model structure on categories related to categories of complexes |
| title_short | A model structure on categories related to categories of complexes |
| title_sort | model structure on categories related to categories of complexes |
| topic_facet | модельна категорія диференціально-градуйований модуль градуйоване комутативне кільце model category differential graded module graded commutative ring |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/682 |
| work_keys_str_mv | AT lyubashenkovv amodelstructureoncategoriesrelatedtocategoriesofcomplexes AT lûbašenkovv amodelstructureoncategoriesrelatedtocategoriesofcomplexes AT lûbašenkovv amodelstructureoncategoriesrelatedtocategoriesofcomplexes AT lyubashenkovv modelʹnastrukturanakategoríâhpov039âzanihzkategoríâmikompleksív AT lûbašenkovv modelʹnastrukturanakategoríâhpov039âzanihzkategoríâmikompleksív AT lûbašenkovv modelʹnastrukturanakategoríâhpov039âzanihzkategoríâmikompleksív AT lyubashenkovv modelstructureoncategoriesrelatedtocategoriesofcomplexes AT lûbašenkovv modelstructureoncategoriesrelatedtocategoriesofcomplexes AT lûbašenkovv modelstructureoncategoriesrelatedtocategoriesofcomplexes |