Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity:
UDC 517.925For binomial essentially nonlinear nonautonomous differential equations of the third order with rapidly varying nonlinearity, we establish necessary and sufficient conditions of existence of rapidly varying solutions and their asymptotic representations for $t\uparrow\omega$ ($\omega\le +...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6821 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512538930708480 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Sharay , N. V. Євтухов, В. М. Шарай, Н. В. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Sharay , N. V. Євтухов, В. М. Шарай, Н. В. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-15T07:54:29Z |
| description | UDC 517.925For binomial essentially nonlinear nonautonomous differential equations of the third order with rapidly varying nonlinearity, we establish necessary and sufficient conditions of existence of rapidly varying solutions and their asymptotic representations for $t\uparrow\omega$ ($\omega\le +\infty$). |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i6.6821 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i6.6821
УДК 517.925
В. М. Євтухов, Н. В. Шарай (Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова)
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ
З ШВИДКО ЗМIННОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ
For binomial essentially nonlinear nonautonomous differential equations of the third order with rapidly varying nonlinearity,
we establish necessary and sufficient conditions of existence of rapidly varying solutions and their asymptotic representations
for t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ).
Для двочленних iстотно нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь третього порядку з швидко змiнною
нелiнiйнiстю встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi при t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ) зображення
швидко змiнних розв’язкiв.
1. Вступ. Будемо розглядати диференцiальне рiвняння
y\prime \prime \prime = \alpha 0p(t)\varphi (y), (1.1)
де \alpha 0 \in \{ - 1, 1\} , p : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервна функцiя, - \infty < a < \omega \leq +\infty , \varphi : \Delta Y0 - \rightarrow
- \rightarrow ]0,+\infty [ — двiчi неперервно диференцiйовна функцiя така, що
\varphi \prime (y) \not = 0 при y \in \Delta Y0 , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y) =
\Biggl\{
або 0,
або +\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y)\varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime 2(y)
= 1, (1.2)
Y0 дорiвнює або нулю, або \pm \infty , \Delta Y0 — деякий однобiчний окiл Y0.
З умови (1.2) безпосередньо випливає, що
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\sim \varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime (y)
при y \rightarrow Y0 (y \in \Delta Y0) i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
= \pm \infty . (1.3)
За цими умовами функцiя \varphi та її похiдна першого порядку є (див. монографiю [1, с. 91, 92],
гл. 3, § 3.4, леми 3.2, 3.3) швидко змiнними функцiями при y \rightarrow Y0.
Для диференцiальних рiвнянь другого порядку з правою частиною такою ж, як i в (1.1),
асимптотична поведiнка розв’язкiв дослiджувалась в [1 – 6].
У роботi [7] для диференцiального рiвняння (1.1) було дослiджено питання про iснування i
асимптотику так званих P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв при \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0; 1;
1
2
\biggr\}
.
Означення 1.1. Розв’язок y диференцiального рiвняння (1.1) називається P\omega (Y0, \lambda 0)-роз-
в’язком, де - \infty \leq \lambda 0 \leq +\infty , якщо вiн визначений на промiжку [t0, \omega [\subset [a, \omega [ i задовольняє
умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y(t) = Y0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y(k)(t) =
\Biggl\{
або 0,
або \pm \infty ,
k = 1, 2, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime \prime 2(t)
y\prime \prime \prime (t)y\prime (t)
= \lambda 0.
c\bigcirc В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ, 2022
800 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 801
Метою даної статтi є встановлення асимптотики P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв диференцiального
рiвняння (1.1) в особливому випадку, коли \lambda 0 = 1. Для кожного такого розв’язку згiдно з
апрiорними асимптотичними властивостями P\omega (Y0, 1)-розв’язкiв (див. [8], розд. 3, § 10) мають
мiсце спiввiдношення
y\prime (t)
y(t)
\sim y\prime \prime (t)
y\prime (t)
\sim y\prime \prime \prime (t)
y\prime \prime (t)
при t \uparrow \omega , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)y
\prime (t)
y(t)
= \pm \infty , (1.4)
де
\pi \omega (t) =
\Biggl\{
t, якщо \omega = +\infty ,
t - \omega , якщо \omega = +\infty .
Звiдси, зокрема, випливає, що P\omega (Y0, 1)-розв’язок рiвняння (1.1) та його похiдна першого
порядку є швидко змiнними функцiями при t \uparrow \omega .
2. Деякi допомiжнi тверджения. В монографiї [9, с. 174 – 180] (п. 3.10) достатньо детально
були дослiдженi функцiї з класу \Gamma .
Означення 2.1 [9, с.175]. Клас \Gamma складається з вимiрних неспадних i неперервних право-
руч функцiй f : [b,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [, для кожної з яких iснує вимiрна функцiя g : [b,+\infty [ - \rightarrow
- \rightarrow ]0,+\infty [, доповнювальна для функцiї f, така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +\infty
f (y + ug(y))
f(y)
= eu для будь-якого u \in \BbbR .
Припустимо тепер, що Y0 дорiвнює або нулю, або \pm \infty , \Delta Y0 — деякий однобiчний окiл
Y0, i розглянемо неперервну функцiю f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [. При цьому тут i скрiзь далi, не
обмежуючи загальностi, будемо вважати, що
\Delta Y0 = \Delta Y0(y0), де \Delta Y0(y0) =
\left\{ [y0, Y0[, якщо \Delta Y0 — лiвий окiл Y0,
]Y0, y0], якщо \Delta Y0 — правий окiл Y0,
(2.1)
де y0 \in \Delta Y0 таке, що | y0| < 1 при Y0 = 0 i y0 > 1 (y0 < - 1) при Y0 = +\infty (при Y0 = - \infty ).
Зазначимо, що якщо f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервна монотонна функцiя, яка задовольняє
умову
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
(b)
f(y) = Z0 \in \{ 0;+\infty \} , (2.2)
то неперервною i неспадною на деякому промiжку [b,+\infty [, а також прямуючою до +\infty при
y \rightarrow +\infty буде:
1) функцiя f0(y) =
1
f(y)
при Y0 = +\infty i Z0 = 0;
2) функцiя f0(y) = f( - y) при Y0 = - \infty i Z0 = +\infty ;
3) функцiя f0(y) = f
\biggl(
1
y
\biggr)
при Y0 = 0, \Delta Y0 =]0, y0] i Z0 = +\infty ;
4) функцiя f0(y) =
1
f
\biggl(
1
y
\biggr) при Y0 = 0, \Delta Y0 =]0, y0] i Z0 = 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
802 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
5) функцiя f0(y) = f
\biggl(
- 1
y
\biggr)
при Y0 = 0, \Delta Y0 = [y0, 0[ i Z0 = +\infty ;
6) функцiя f0(y) =
1
f
\biggl(
- 1
y
\biggr) при Y0 = 0, \Delta Y0 = [y0, 0[ i Z0 = 0;
7) функцiя f0(y) \equiv f(y) при Y0 = +\infty i Z0 = +\infty .
Означення 2.2. Класом \Gamma (Y0, Z0) будемо називати множину неперервних i монотонних
функцiй f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [, що задовольняють умову (2.2), для кожної з яких вiдповiдна до
неї неперервна i неспадна функцiя f0, яка визначена в пп. 1 – 7, належить класу \Gamma .
З використанням властивостей функцiй з класу \Gamma в роботi [8] встановлено такi твердження
для функцiй iз класу \Gamma (Y0, Z0).
Лема 2.1. Якщо f \in \Gamma (Y0, Z0), то iснує неперервна функцiя g : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} , яка
називається доповнювальною для f, така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y + ug(y))
f(y)
= eu для будь-якого u \in \BbbR ,
до того ж доповнювальна функцiя визначається однозначно з точнiстю до еквiвалентних при
y \rightarrow Y0 функцiй, в якостi однiєї з яких можна вибрати функцiю\int y
Y
f(x) dx
f(y)
, де Y =
\left\{
y0, якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = +\infty ,
Y0, якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = 0.
Лема 2.2. 1. Якщо f \in \Gamma (Y0, Z0), то вона є швидко змiнною при y \rightarrow Y0, а доповнювальна
для неї функцiя g задовольняє умову \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
g(y)
y
= 0. 2. Якщо f \in \Gamma (Y0, Z0) з доповню-
вальною функцiєю g, то для будь-якої неперервної функцiї u : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR , яка задовольняє
умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
u(y) = u0 \in \BbbR , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y + u(y)g(y)) = Z0,
має мiсце граничне спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f (y + u(y)g(y))
f(y)
= eu0 .
Лема 2.3. Якщо f \in \Gamma (Y0, Z0) з доповнювальною функцiєю g i є строго монотонною, то
обернена до неї функцiя f - 1 : \Delta Z0 - \rightarrow \Delta Y0 є повiльно змiнною при z \rightarrow Z0 i задовольняє
граничне спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow Z0
z\in \Delta Z0
f - 1(\lambda z) - f - 1(z)
g(f - 1(z))
= \mathrm{l}\mathrm{n}\lambda при кожному \lambda > 0,
до того ж для кожного \Lambda > 1 дане граничне спiввiдношення виконується рiвномiрно по
\lambda \in
\biggl[
1
\Lambda
,\Lambda
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 803
Лема 2.4. Якщо функцiя f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ є двiчi неперервно диференцiйовною i задо-
вольняє умови
f \prime (y) \not = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = Z0 \in \{ 0;+\infty \} , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f \prime \prime (y)f(y)
f \prime 2(y)
= 1,
то функцiї f i f \prime (y) належать класу \Gamma (Y0, Z0) з доповнювальною функцiєю g, яка визначається
однозначно з точнiстю до еквiвалентних при y \rightarrow Y0 функцiй, i в якостi однiєї з них можна
вибрати одну з функцiй \int y
Y
f(x) dx
f(y)
\sim f(y)
f \prime (y)
\sim f \prime (y)
f \prime \prime (y)
,
де Y визначено у лемi 2.1.
Як доповнення до цих лем наведемо також твердження, якi вiдносяться до теорiї повiль-
но, правильно i швидко змiнних функцiй (див., наприклад, монографiю [1, с. 117], додаток,
твердження 10).
Лема 2.5. Якщо f0 : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} — неперервно диференцiйовна функцiя i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
yf \prime
0(y)
f0(y)
= \sigma , (2.3)
то функцiя f0 при y \rightarrow Y0 є у випадках \sigma = 0, 0 < | \sigma | < +\infty i \sigma = +\pm \infty вiдповiдно повiльно
змiнною, правильно змiнною порядку \sigma i швидко змiнною.
З приводу повiльно, правильно i швидко змiнних функцiй, а також їхнiх властивостей див.
монографiї [1, 8, 9]. Зокрема, вiдомо, що для кожної знакосталої правильно змiнної при y \rightarrow Y0
функцiї f : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} порядку \sigma має мiсце зображення
f(y) = | y| \sigma L(t),
де L : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} — повiльно змiнна функцiя при y \rightarrow Y0, й iснує еквiвалентна до неї
при y \rightarrow Y0 неперервно диференцiйовна функцiя f0 (яку називають нормалiзованою правильно
змiнною функцiєю порядку \sigma ), для якої виконується умова (2.3).
Окрiм того, в подальшому буде потрiбно ще одне твердження про iснування зникаючих
розв’язкiв системи квазiлiнiйних диференцiальних рiвнянь
v\prime i = hi(t)
\Biggl[
fi(t) +
3\sum
k=1
cik(t)vk + Vi(t, v1, v2, v3)
\Biggr]
, i = 1, 2, 3, (2.4)
в якiй функцiї hi, fi : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR , i = 1, 2, 3, cik : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR , i, k = 1, 2, 3, неперервнi i такi,
що
hi(t) \not = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
fi(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
cik(t) = c0ik = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, i, k = 1, 2, 3,
а функцiї Vi неперервнi на множинi [t0, \omega [\times \BbbR b[, де \BbbR b = \{ y \in \BbbR : | y| \leq b, b > 0\} , i задоволь-
няють умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| v1| +| v2| +| v3| \rightarrow 0
Vi(t, v1, v2, v3)
| v1| + | v2| + | v3|
= 0, i = 1, 2, 3, рiвномiрно по t \in [t0, \omega [.
З теореми 2.2 работи [11] випливає таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
804 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
Лема 2.6. Якщо для деякої неперервної функцiї h0 : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} виконуються умови
hi(t) \sim h0(t) при t \uparrow \omega ,
\omega \int
t0
h0(t) dt = \pm \infty
i характеристичне рiвняння матрицi C0 = (c0ik)
3
i,k=1 не має коренiв з нульовою дiйсною
частиною, то система диференцiальних рiвнянь (2.4) має хоча б один розв’язок (vi)
3
i=1 :
[t1, \omega [ - \rightarrow \BbbR b, t1 \in [t0, \omega [, який прямує до нуля при t \uparrow \omega , до того ж iснує m (1 \leq m \leq 3)-
параметрична сiм’я таких розв’язкiв, якщо серед коренiв характеристичного рiвняння матрицi
C0 є m коренiв (з урахуванням кратних), дiйснi частини яких мають знак, протилежний знаку
функцiї h0(t).
3. Основнi результати. Введемо необхiднi для подальшого викладу допомiжнi позначення.
Будемо вважати, що область визначення функцiї \varphi у рiвняннi (1.1) визначена формулою (2.1).
Далi, покладемо
\mu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\varphi \prime (y), \nu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y0, \nu 1 =
\Biggl\{
1, якщо \Delta Y0 = [y0, Y0[,
- 1, якщо \Delta Y0 =]Y0, y0],
i введемо функцiї
J0(t) =
t\int
A0
p
1
3
0 (\tau ) d\tau , \Phi (y) =
y\int
B
ds
s
2
3\varphi
1
3 (s)
,
де p0 : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервна або неперервно диференцiйовна функцiя така, що p(t) \sim
\sim p0(t) при t \uparrow \omega ,
A0 =
\left\{
\omega , якщо
\int \omega
a
p
1
3
0 (\tau ) d\tau < +\infty ,
a, якщо
\int \omega
a
p
1
3
0 (\tau ) d\tau = +\infty ,
B =
\left\{
Y0, якщо
\int Y0
y0
ds
s
2
3\varphi
1
3 (s)
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
y0, якщо
\int Y0
y0
ds
s
2
3\varphi
1
3 (s)
= \pm \infty .
З огляду на означення 1.1 зазначимо, що числа \nu 0, \nu 1 i \alpha 0 визначають знаки кожного
P\omega (Y0, 1)-розв’язку, першої i третьої похiдних (вiдповiдно) в деякому лiвому околi \omega . При
цьому умови
\nu 0\nu 1 < 0, якщо Y0 = 0, i \nu 0\nu 1 > 0, якщо Y0 = \pm \infty ,
є необхiдними для iснування таких розв’язкiв. I навiть бiльше, внаслiдок (1.1), означення 1.1 i
(1.4) необхiдно також, щоб виконувались нерiвностi
\alpha 0\nu 1 > 0, \nu 0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y\prime \prime (t) > 0.
Тепер акцентуємо увагу на деяких властивостях функцiї \Phi . Вона зберiгає знак на промiжку
\Delta Y0 , прямує або до нуля, або до \pm \infty при y \rightarrow Y0 i є зростаючою на \Delta Y0 , оскiльки на цьому
промiжку \Phi \prime (y) = y -
2
3\varphi - 1
3 (y) > 0. Тому для неї iснує обернена функцiя \Phi - 1 : \Delta Z0 - \rightarrow \Delta Y0 ,
де на пiдставi другої з умов (1.2) i монотонного зростання \Phi - 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 805
Z0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\Phi (y) =
\Biggl\{
або 0,
або +\infty ,
\Delta Z0 =
\left\{ [z0, Z0[, якщо \Delta Y0 = [y0, Y0[,
]Z0, z0], якщо \Delta Y0 =]Y0, y0],
z0 = \Phi (y0).
(3.1)
Далi, зазначимо, що\Biggl(
\varphi
2
3 (y)
y
2
3\varphi \prime (y)
\Biggr) \prime
=
1
y
2
3\varphi
1
3 (y)
\biggl[
2
3
- 2
3
\varphi (y)
y\varphi \prime (y)
- \varphi \prime \prime (y)\varphi (y)
\varphi \prime 2(y)
\biggr]
.
Звiдси з урахуванням умов (1.2), (1.3) одержимо спiввiдношення\Biggl(
\varphi
2
3 (y)
y
2
3\varphi \prime (y)
\Biggr) \prime
=
1
y
2
3\varphi
1
3 (y)
\biggl[
- 1
3
+ o(1)
\biggr]
при y \rightarrow Y0.
Iнтегруючи це спiввiдношення на промiжку вiд y0 до y i враховуючи правило вибору межi
iнтегрування B у функцiї \Phi , приходимо до висновку, що
\Phi (y) = - 3\varphi
2
3 (y)
y
2
3\varphi \prime (y)
[1 + o(1)] при y \rightarrow Y0. (3.2)
Звiдси з урахуванням знака \varphi \prime також випливає, що
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Phi (y) = - \mu 0 при y \in \Delta Y0 . (3.3)
На пiдставi (3.2) i (1.3) маємо
\Phi \prime (y)
\Phi (y)
=
y -
2
3\varphi - 1
3 (y)
\Phi (y)
\sim - \varphi \prime (y)
3\varphi (y)
при y \rightarrow Y0,
\Phi \prime \prime (y)\Phi (y)
\Phi \prime 2(y)
= - 1
3
y -
1
3\varphi - 5
3\varphi \prime (y)
\biggl[
\varphi (y)
y\varphi \prime (y)
+ 1
\biggr]
\Phi (y)
| y| - 1\varphi - 1(y)
\sim 1 при y \rightarrow Y0.
Тому \Phi \in \Gamma Y0(Z0) i вiдповiдно до леми 2.1 в якостi доповнювальної для неї можна вибрати
одну з еквiвалентних функцiй
\Phi \prime (y)
\Phi \prime \prime (y)
\sim \Phi (y)
\Phi \prime (y)
\sim - 3\varphi (y)
\varphi \prime (y)
при y \rightarrow Y0.
Оскiльки
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow Z0
z
\bigl(
\varphi (\Phi - 1(z))
\bigr) \prime
\varphi (\Phi (z))
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow Z0
z(\varphi \prime (\Phi - 1(z)))| \Phi (z)|
2
3\varphi
1
3 (\Phi - 1(z))
\varphi (\Phi - 1(z))
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
\Phi (y)\varphi \prime (y)y
2
3
\varphi
2
3 (y)
= - 3,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
806 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
то згiдно з лемою 2.4 функцiя \varphi (\Phi - 1(z)) є правильно змiнною функцiєю порядку –3 при
z \rightarrow Z0, тобто для неї має мiсце зображення
\varphi (\Phi - 1(z)) = | z| - 3L(z),
де L : \Delta Z0 - \rightarrow ]0,+\infty [ — повiльно змiнна функцiя при z \rightarrow Z0.
Аналогiчно можна показати, що функцiя \varphi \prime (\Phi - 1(z)) також є правильно змiнною функцiєю
порядку –3 при z \rightarrow Z0. Окрiм вказаних вище позначень введемо також допомiжнi функцiї:
q(t) =
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \prime
\alpha 0J2(t)
, H(t) =
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))\varphi
\prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
,
J1(t) =
t\int
A1
p0(\tau )\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(\tau ))
\bigr)
d\tau , J2(t) =
t\int
A2
J1(\tau )d\tau ,
де
A1 =
\left\{
t1, якщо
\int \omega
t1
p0(\tau )\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(\tau ))
\bigr)
d\tau = +\infty ,
\omega , якщо
\int \omega
t1
p0(\tau )\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(\tau ))
\bigr)
d\tau < +\infty ,
t1 \in [a, \omega ],
A2 =
\left\{
t1, якщо
\int \omega
t1
J1(\tau )d\tau = +\infty ,
\omega , якщо
\int \omega
t1
J1(\tau )d\tau < +\infty .
Для рiвняння (1.1) справедливi такi твердження.
Теорема 3.1. Для iснування P\omega (Y0, 1)-розв’язкiв диференцiального рiвняння (1.1) необхiдно,
щоб виконувались нерiвностi
\alpha 0\nu 1 > 0, \alpha 0\mu 0J0(t) < 0 при t \in ]a, \omega [, (3.4)
\nu 0\alpha 0 < 0, якщо Y0 = 0, \nu 0\alpha 0 > 0, якщо Y0 = \pm \infty , (3.5)
i умови
\alpha 0J2(t)
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\sim J1(t)
J2(t)
\sim J \prime
1(t)
J1(t)
\sim
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \prime
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
при t \uparrow \omega , (3.6)
\alpha 0 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
J0(t) = Z0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \prime
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
= \pm \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)J
\prime
0(t)
J0(t)
= \pm \infty . (3.7)
I навiть бiльше, для кожного такого розв’язку мають мiсце при t \uparrow \omega асимптотичнi зобра-
ження
y(t) = \Phi - 1 (\alpha 0J0(t))
\biggl[
1 +
o(1)
H(t)
\biggr]
, (3.8)
y\prime (t) = \alpha 0J2(t)[1 + o(1)], y\prime \prime (t) = \alpha 0J1(t)[1 + o(1)]. (3.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 807
Теорема 3.2. Нехай p0 : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервно диференцiйовна функцiя i поряд з
(3.4) – (3.7) виконуються умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q\prime (t)H
1
3 (t)J2(t)
J \prime
2(t)
= 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\biggl(
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
3
= 0. (3.10)
Тодi диференцiальне рiвняння (1.1) мiстить при \alpha 0\mu 0 > 0 двопараметричну, а при \alpha 0\mu 0 <
< 0 однопараметричну сiм’ю P\omega (Y0, 1)-розв’язкiв, якi допускають при t \uparrow \omega асимптотичнi
зображення (3.8), до того ж таких, похiднi першого i другого порядку яких задовольняють
при t \uparrow \omega асимптотичнi спiввiдношення
y\prime (t) = \alpha 0J2(t)
\Bigl[
q(t) + o
\Bigl(
(H(t)) -
2
3
\Bigr) \Bigr]
, y\prime \prime (t) = \alpha 0J1(t)
\Bigl[
q(t) + o
\Bigl(
(H(t)) -
1
3
\Bigr) \Bigr]
. (3.11)
Зауваження 3.1. В асимптотичних спiввiдношеннях (3.6)
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \prime
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
= \alpha 0
\Biggl(
p0(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\Biggr) 1
3
. (3.12)
Тому з (3.6) випливає, що
J2(t) =
\Bigl(
p0(t)
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) 2
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \Bigr) 1
3
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
J1(t) = \alpha 0
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) 1
3
\bigl(
p0(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \bigr) 2
3 [1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Цi спiввiдношення дозволяють асимптотичнi спiввiдношення (3.10) записати без iнтегралiв.
Зауваження 3.2. В роботi [6] (див. доведення теореми 3.2) було показано, що при вико-
наннi умови iснування скiнченної або рiвної \pm \infty границi, яка стоїть у лiвiй частинi другого з
граничних спiввiдношень (3.10), цiєю границею може бути лише нуль.
Зауваження 3.3. У випадку iснування скiнченної або рiвної \pm \infty границi, яка стоїть у лiвiй
частинi першого з граничних спiввiдношень (3.10), ця границя дорiвнює нулю, якщо
Y0\int
y0
\biggl(
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) - 1
3 dy
y
= \pm \infty . (3.13)
Справдi, на пiдставi умов (3.6), (3.12), (3.2), (3.4) i з урахуванням того, що \varphi \prime \bigl( \Phi - 1(z)
\bigr)
—
правильно змiнна при z \rightarrow Z0 функцiя порядку –3, маємо
q\prime (t)H
1
3 (t)J2(t)
J \prime
2(t)
\sim q\prime (t)
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
(\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))\varphi
\prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\Biggr) 1
3
=
= \alpha 0q
\prime (t)
\biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
p0(t)\varphi (\alpha 0J0(t))
\biggr) 1
3
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))\varphi
\prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\Biggr) 1
3
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
808 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
=
\alpha 0q
\prime (t)
p
1
3
0
\biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\biggr) 2
3 \bigl(
\varphi \prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \bigr) 1
3 при t \uparrow \omega .
Якщо тепер припустити, що границя при t \uparrow \omega для виразу, який стоїть у лiвiй частинi, дорiвнює
вiдмiннiй вiд нуля сталiй, то вiдповiдно викладеному вище будемо мати
q\prime (t) = \alpha 0p
1
3
0 (t)
\biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\biggr) - 2
3 \bigl(
\varphi \prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \bigr) - 1
3 \xi (t),
де
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\xi (t) =
\Biggl\{
або \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 0,
або \pm \infty .
Якщо зiнтегрувати це спiввiдношення на промiжку вiд t0 до t i врахувати, що на пiдставi
першої з умов (3.7), другої з умов (3.4), умов (3.1), вигляду функцiї \Phi i умови (3.13)
\omega \int
t0
\alpha 0p
1
3
0 (t)
\biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\biggr) - 2
3 \bigl(
\varphi \prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \bigr) - 1
3 dt =
=
Z0\int
z(t0)
\biggl(
\Phi - 1(z)
\varphi (\Phi - 1(z))
\biggr) - 2
3 \bigl(
\varphi \prime \bigl( \Phi - 1(z)
\bigr) \bigr) - 1
3 dz =
Y0\int
y(t0)
\biggl(
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) - 1
3 dy
y
= \pm \infty ,
то одержимо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q(t) = \pm \infty .
Однак це неможливо, оскiльки згiдно з (3.6) q(t) - \rightarrow 1 при t \uparrow \omega . Таким чином, при умовi
iснування границi, яка мiститься злiва у першому з граничних спiввiдношень (3.10), i виконаннi
умов (3.13) цiєю границею може бути лише нуль.
Доведення теореми 3.1. Нехай y : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR — довiльний P\omega (Y0, 1)-розв’язок диференцi-
ального рiвняння (1.1). Тодi даний розв’язок i його похiднi першого, другого i третього порядкiв
зберiгають знаки на деякому промiжку [t1, \omega [\subset [t0, \omega [, до того ж для цих знакiв \nu 0, \nu 1, \nu 2, \nu 3
(вiдповiдно) у вiдповiдностi з (1.1), (1.4) маємо
\nu 3 = \alpha 0, \nu 1 = \alpha 0, \nu 2 = \nu 0,
i тому виконується перша з нерiвностей (3.4) i згiдно з (3.1) — умова (3.5). Окрiм того, для
цього розв’язку вiдповiдно до (1.4) має мiсце асимптотичне спiввiдношення
y\prime \prime \prime (t) =
y\prime \prime \prime (t)
y\prime \prime (t)
y\prime \prime (t)
y\prime (t)
y\prime (t)
y(t)
y(t) \sim
\biggl(
y\prime (t)
y(t)
\biggr) 3
y(t) при t \uparrow \omega .
На пiдставi цього спiввiдношення з (1.1) випливає, що\biggl(
y\prime (t)
y(t)
\biggr) 3
= \alpha 0p0(t)
\varphi (y(t))
y(t)
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
i тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 809
y\prime (t)
y(t)
= \alpha 0p
1
3
0 (t)
\biggl(
\varphi (y(t))
y(t)
\biggr) 1
3
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega , (3.14)
або
y\prime (t)
y
2
3
(t)\varphi
1
3 (y(t))
= \alpha 0p
1
3
0 (t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Iнтегруючи це спiввiдношення на промiжку вiд t1 до t, одержуємо
y(t)\int
y(t1)
ds
s
2
3\varphi
1
3 (s)
= \alpha 0
t\int
t1
p
1
3
0 (\tau )[1 + o(1)] d\tau при t \uparrow \omega .
Оскiльки згiдно з означенням P\omega (Y0, 1)-розв’язку y(t) - \rightarrow Y0 при t \uparrow \omega , то звiдси випливає,
що невласнi iнтеграли
Y0\int
y(t1)
ds
s
2
3\varphi
1
3 (s)
i
\omega \int
t1
p
1
3
0 (\tau ) d\tau
збiгаються або розбiгаються одночасно. З огляду на цей факт i правило вибору меж iнтегрування
A0 i B у введених на початку даного пункту функцiях J0 i \Phi встановленi вище спiввiдношення
можна записати у виглядi
\Phi (y(t)) = \alpha 0J0(t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega . (3.15)
Звiдси з урахуванням умов (3.1), (3.3) випливає, що виконується друга з нерiвностей (3.4) i
перша з умов (3.7). Крiм того, з (3.14) i (3.15) маємо
y\prime (t)
y
2
3 (t)\varphi
1
3 (y(t))\Phi (y(t))
=
p
1
3
0 (t)
J0(t)
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
i тому згiдно з (3.2)
\pi \omega (t)y
\prime (t)
y(t)
y(t)\varphi \prime (y(t))
\varphi (y(t))
= - 3\pi \omega (t)J
\prime
0(t)
J0(t)
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Звiдси з урахуванням другого з граничних спiввiдношень (1.3), (1.4) випливає справедливiсть
третьої з умов (3.7).
З (3.15) отримуємо, що
y(t) = \Phi - 1 (\alpha 0J0(t)[1 + o(1)]) при t \uparrow \omega . (3.16)
Оскiльки виконується перша з умов (3.7), функцiя \Phi - 1(z) є повiльно змiнною, а \varphi
\bigl(
\Phi - 1(z)
\bigr)
—
правильно змiнною порядку –3 при z \rightarrow Z0, то вiдповiдно до теореми про рiвномiрну збiжнiсть
для повiльно змiнних функцiй (див., наприклад, [1, с. 3])
\Phi - 1 (\alpha 0J0(t)[1 + o(1)]) \sim \Phi - 1(\alpha 0J0(t)) при t \uparrow \omega ,
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)[1 + o(1)])
\bigr)
\sim \varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
при t \uparrow \omega .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
810 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
На пiдставi цих асимптотичних спiввiдношень i (3.13) з (3.14) i (1.1) випливає, що
y\prime (t)
y(t)
\sim \alpha 0
\Biggl(
p0(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\Biggr) 1
3
=
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \prime
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
при t \uparrow \omega
i
y\prime \prime \prime (t) = \alpha 0p0(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
В результатi iнтегрування останнього спiввiдношення на промiжку вiд t2 до t, де t2 \in [t1, \omega [
вибрано так, щоб \alpha 0J0(t) \in \Delta Z0 при t \in [t2, \omega [, з урахуванням означення P\omega (Y0, 1)-розв’язку
одержимо спiввiдношення вигляду
y\prime \prime (t) = \alpha 0J1(t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
а також спiввiдношення
y\prime (t) = \alpha 0J2(t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
тобто мають мiсце зображення (3.9). Звiдси i з (3.14) на пiдставi (1.4), (3.13) випливає, що
мають мiсце асимптотичнi спiввiдношення (3.6) i виконується друга з умов (3.7).
Справедливiсть асимптотичного зображення (3.8) безпосередньо випливає з (3.16) i леми
2.3, якщо врахувати, що \Phi \in \Gamma (Y0, Z0) з доповнюючою функцiєю g(y) = - 3\varphi (y)
\varphi \prime (y)
.
Теорему 3.1 доведено.
Доведення теореми 3.2. Припустимо, що p0 : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервно диференцi-
йовна функцiя i поряд з (3.4) – (3.7) виконуються умови (3.2). Покажемо, що у цьому випадку
диференцiальне рiвняння (1.1) має хоча б один розв’язок, який допускає при t \uparrow \omega асимптотичнi
зображення (3.8), (3.11), i з’ясуємо питання про кiлькiсть таких розв’язкiв.
Оскiльки p(t) \sim p0(t) при t \uparrow \omega , то має мiсце зображення p(t) = p0(t)[1 + r(t)], де r :
[a, \omega [ - \rightarrow ] - 1,+\infty [ — неперервна функцiя така, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega r(t) = 0. Враховуючи це зображення,
диференцiальне рiвняння (1.1) за допомогою замiн
y(t) = \Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
y1(t),
y\prime (t) = \alpha 0J2(t)[1 + y2(t)], y\prime \prime (t) = \alpha 0J1(t)[1 + y3(t)]
(3.17)
зводимо до системи диференцiальних рiвнянь
y\prime 1 = E(t) [1 - q(t) + q(t)h(t)y1 + y2] ,
y\prime 2 =
J1(t)
J2(t)
[y3 - y2] , (3.18)
y\prime 3 =
J \prime
1(t)
J1(t)
[ - 1 - y3 +G(t, y1)[1 + r(t)]] ,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 811
E(t) =
\alpha 0J2(t)\varphi
\prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
, h(t) =
\biggl(
\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\biggr) 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
,
G(t, y1) =
\varphi
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
y1
\Biggr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J1(t)))
.
Вибравши, з урахуванням другої з умов (3.4), першої з умов (3.7), умови (3.1) i останньої з
умов (1.3), число t1 \in [a, \omega [ так, щоб
\alpha 0J0(t) \in \Delta Z0 при t \in [t1, \omega [, (3.19)
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
y1 \in \Delta Y0 при t \in [t1, \omega [ i | y1| \leq
1
3
, (3.20)
розглянемо дану систему рiвнянь на множинi
[t1, \omega [\times \BbbR 3
1
3
, де \BbbR 3
1
3
=
\biggl\{
(y1, y2, y3) : | yi| \leq
1
3
, i = 1, 2, 3
\biggr\}
.
При цьому зауважимо, що згiдно з першою з умов (3.7), (3.19), (3.1) i другою з умов (1.3)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) = Y0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
H(t) = \pm \infty . (3.21)
На множинi [t1, \omega [\times \BbbR 3
1
3
правi частини системи рiвнянь (3.18) неперервнi i функцiя G має
неперервнi частиннi похiднi до другого порядку включно за змiнною y1.
Розкладаючи при фiксованому t \in [t1, \omega [ функцiю G за формулою Маклорена iз залишковим
членом у формi Лагранжа до членiв другого порядку, отримуємо
G(t, y1) = 1 + y1 +R(t, y1), (3.22)
де
R(t, y1) =
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\xi 1
\Biggr)
\varphi \prime 2 (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
y21,
| \xi 1| < | y1| .
На пiдставi (3.20) i (3.21) з останньої з умов (1.3) випливає, що
\varphi \prime \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\xi 1
\Biggr)
=
=
\varphi \prime 2
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\xi 1
\Biggr)
\varphi
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
\xi 1
\Biggr) [1 + r1(t, y1)],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
812 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
де
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
r1(t, y1) = 0 рiвномiрно по y1 \in
\biggl[
- 1
3
,
1
3
\biggr]
.
Вiдповiдно до леми 2.4 функцiї \varphi , \varphi \prime належать \Gamma Y0(Z0) iз доповнювальною функцiєю g(y) =
=
- 3\varphi (y)
\varphi \prime (y)
. Тому за лемами 2.1 i 2.2 останнє асимптотичне спiввiдношення можна записати у
виглядi
\varphi \prime \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha )J0(t))
\xi 1
\Biggr)
=
\varphi \prime 2 \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
e -
\xi
3 [1 + r2(t, y1)],
де
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
r2(t, y1) = 0 рiвномiрно по y1 \in
\biggl[
- 1
3
,
1
3
\biggr]
.
Звiдси випливає, що
R(t, y1) = e -
\xi
3 [1 + r2(t, y1)]y
2
1,
де | \xi | < | y1| i r2 задовольняє умову (3.20).
Згiдно з цим зображенням для кожного \varepsilon > 0 iснують t0 \in [t1, \omega [ i 0 < \delta \leq 1
3
такi, що
| R(t, y1)| \leq (1 + \varepsilon )| y1| 2 при t \in [t0, \omega [, | y1| \leq \delta . (3.23)
В подальшому будемо вважати, що число \varepsilon > 0 вибрано якимось чином.
Врахувавши (3.22) запишемо систему рiвнянь (3.18) у виглядi
y\prime 1 = E(t) [ - 1 + q(t) + q(t)h(t)y1 + y2] ,
y\prime 2 =
J1(t)
J2(t)
[y3 - y2] ,
y\prime 3 =
J \prime
1(t)
J1(t)
[r(t) + y1(1 + r(t)) - y3 +R(t, y1)(1 + r(t))]
i дослiдимо її на множинi
[t0, \omega [\times \BbbR 3
\delta , де \BbbR 3
\delta = \{ (y1, y2, y3) : | y1| \leq \delta , | y2| \leq \delta | y3| \leq \delta \} .
Спочатку дану систему за допомогою перетворення
y1(t) = z1(t), y2(t) = q(t) - 1 + z2(t), y3(t) = q(t) - 1 + z3(t) (3.24)
зведемо до системи диференцiальних рiвнянь вигляду
z\prime 1 = E(t) [q(t)h(t)z1 + z2] ,
z\prime 2 =
J1(t)
J2(t)
\biggl[
- q\prime (t)
J2(t)
J1(t)
+ z3 - z2
\biggr]
, (3.25)
z\prime 3 =
J \prime
1(t)
J1(t)
\biggl[
- q\prime (t)
J1(t)
J \prime
1(t)
+ r(t) + 1 - q(t) + (1 + r(t))y1 - z3 +R(t, z1)(1 + r(t))
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 813
У цiй системi рiвнянь множники, якi стоять у правої частинi перед квадратними дужками в
другому i третьому рiвняннях, згiдно з умовами (3.6) еквiвалентнi при t \uparrow \omega , а для вiдношення
множникiв, якi стоять в першому i другому рiвняннях, на пiдставi (3.6) i другої з умов (3.21)
маємо
E(t)J2(t)
J \prime
2(t)
=
\alpha 0J2(t)
\Phi (\alpha 0J0(t))
J2(t)
J \prime
2(t)
H(t) \sim H(t) - \rightarrow \pm \infty при t \uparrow \omega .
Щоб асимптотично „зрiвняти” цi коефiцiєнти, застосуємо до системи (3.25) додаткове пе-
ретворення
z1(t) = v1(t), z2(t) = H - 2
3 (t)v2(t), z3(t) = H - 1
3 (t)v3(t). (3.26)
В результатi одержимо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
v\prime i(t) = hi(t)
\Biggl[
fi(t) +
3\sum
k=1
cik(t)vk + Vi(t, v1, v2, v3)
\Biggr]
, i = 1, 2, 3, (3.27)
де
h1(t) =
\alpha 0J2(t)H
1
3 (t)
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
, h2(t) =
J \prime
2(t)H
1
3 (t)
J2(t)
, h3(t) =
J \prime
1(t)H
1
3 (t)
J1(t)
,
f1(t) \equiv 0, f2(t) = - q\prime (t)J2(t)H
1
3 (t)
J \prime
2(t)
, f3(t) = - q\prime (t)J1(t)
J \prime
1(t)
+ r(t) + 1 - q(t),
c11(t) = q(t)h(t)H
2
3 (t), c12(t) \equiv 1, c13(t) \equiv 0,
c21(t) \equiv 0, c22(t) =
2
3
H \prime (t)J2(t)
H
4
3 (t)J \prime
2(t)
- H - 1
3 (t),
c23(t) \equiv 1, c31(t) = 1 + r(t), c32(t) \equiv 0, c33(t) =
1
3
H \prime (t)J1(t)
H
4
3 (t)J \prime
1(t)
- H - 1
3 (t),
Vi(t, v1, v2, v3) \equiv 0, i = 1, 2, V3(t, v1, v2, v3) = R(t, v1)[1 + r(t)].
Тут згiдно з умовами (3.6), (3.12) i (3.21)
hi(t) \sim
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \prime
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
H
1
3 (t), i = 1, 2, 3, при t \uparrow \omega ,
\omega \int
t0
h0(t) dt = \pm \infty , \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}h0(t) = \alpha 0\mu 0.
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega r(t) = 0, виконується перша з умов (3.10) i вiдповiдно до (3.6) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega q(t) = 1
i
J \prime
2(t)
J2(t)
\sim J \prime
1(t)
J1(t)
при t \uparrow \omega , то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
fi(t) = 0, i = 1, 2, 3.
Далi, враховуючи, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
814 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
H \prime (t)
H
4
3 (t)
=
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr) \prime
\Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\Bigl[
H - 1
3 (t) + h(t)H
2
3 (t)
\Bigr]
i виконується друга з умов (3.10), iз використанням (3.6) одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
H \prime (t)J2(t)
H
4
3 (t)J \prime
2(t)
= 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
H \prime (t)J1(t)
H
4
3 (t)J \prime
1(t)
= 0.
Тому граничною при t \uparrow \omega для матрицi коефiцiєнтiв C(cik(t))
3
i,k=1 системи (3.27) є матриця
C0 =
\left( 0 1 0
0 0 1
1 0 0
\right) .
Характеристичним рiвнянням цiєї матрицi є рiвняння
\rho 3 - 1 = 0.
Воно має один корiнь, рiвний одиницi, i два комплексно-спряжених коренi з вiд’ємною дiйсною
частиною.
Нарештi, зазначимо, що згiдно з оцiнкою (3.23)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
v1\rightarrow 0
V (t, v1)
v1
= 0 рiвномiрно по t \in [t0, \omega [.
Таким чином, показано, що для системи диференцiальних рiвнянь (3.27) виконано всi умови
леми 2.6. Вiдповiдно до цiєї леми система (3.27) при \alpha 0\mu 0 > 0 має двопараметричну, а при
\alpha 0\mu 0 < 0 — однопараметричну сiм’ю зникаючих при t \uparrow \omega розв’язкiв, якi задано на деякому
промiжку [t\ast , \omega [, t\ast \in [t0, \omega [. Кожному такому розв’язку на пiдставi замiн (3.17), (3.24) i (3.26)
вiдповiдає розв’язок y : [t\ast , \omega [ - \rightarrow \Delta Y0 , t\ast \in [a, \omega [, диференцiального рiвняння (1.1), який
допускає при t \uparrow \omega асимптотичнi зображення (3.8), (3.11). При цьому неважко переконатись у
тому, що кожне з них є P\omega (Y0, 1)-розв’язком.
Теорему 3.2 доведено.
Без припущень щодо неперервної диференцiйовностi функцiї p0 : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ можна
встановити такий результат.
Теорема 3.3. Нехай p0 : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервна функцiя i поряд iз (3.4) – (3.7) вико-
нуються умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
[1 - q(t)]H
2
3 (t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\biggl(
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
3
= 0. (3.28)
Тодi диференцiальне рiвняння (1.1) при \alpha 0\mu 0 > 0 має двопараметричну, а при \alpha 0\mu 0 < 0
— однопараметричнy сiм’ю P\omega (Y0, 1)-розв’язкiв, якi допускають при t \uparrow \omega асимптотичне
зображення (3.8), i
y\prime (t) = \alpha 0J2(t)
\Biggl[
1 +
o(1)
H
2
3 (t)
\Biggr]
, y\prime \prime (t) = \alpha 0J1(t)
\Biggl[
1 +
o(1)
H
1
3 (t)
\Biggr]
. (3.29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
АСИМПТОТИКА ШВИДКО ЗМIННИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 815
Доведення. На вiдмiну вiд доведення теореми 3.2, тут рiвняння (1.1) за допомогою замiн
(3.17) i перетворення
y1(t) = v1(t), y2(t) = H - 2
3 (t)v2(t), y3(t) = H - 1
3 (t)v3(t) (3.30)
(без додаткового перетворення (3.24)) зводимо до системи диференцiальних рiвнянь (3.27), в
якiй функцiї hi, Vi, i = 1, 2, 3, cik, i, k = 1, 2, 3, тi ж самi, що i в доведеннi теореми 3.2, а
функцiї fi, i = 1, 2, 3, мають вигляд
f1(t) = (1 - q(t))H
2
3 (t), f2(t) \equiv 0, f3(t) = r(t).
Оскiльки тут з урахуванням першої з умов (3.28)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
fi(t) = 0, i = 1, 2, 3,
то, як i при доведеннi теореми 3.2, встановлюємо, що одержана система диференцiальних
рiвнянь вигляду (3.27) при \alpha 0\mu 0 > 0 має двопараметричну, а при \alpha 0\mu 0 < 0 — однопарамет-
ричну сiм’ю зникаючих при t \uparrow \omega розв’язкiв, визначених на деякому промiжку [t\ast , \omega [, де
t\ast \in [t0, \omega [. Кожному такому розв’язку системи (3.27) на пiдставi замiн (3.17) i (3.30) вiдповiдає
розв’язок y : [t\ast , \omega [ - \rightarrow \Delta Y0 , t\ast \in [a, \omega [, диференцiального рiвняння (1.1), який задовольняє при
t \uparrow \omega асимптотичнi спiввiдношення (3.8), (3.29). Неважко також перевiрити, що кожен iз них є
P\omega (Y0, 1)-розв’язком.
Теорему 3.3 доведено.
Зауваження 3.4. У випадку, коли замiсть першої з умов (3.28) виконується умова
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\uparrow \omega
| 1 - q(t)| H
2
3 (t) > 0, (3.31)
система диференцiальних рiвнянь (3.27) не має зникаючих при t \uparrow \omega розв’язкiв, а тому дифе-
ренцiальне рiвняння (1.1) не має P\omega (Y0, 1)-розв’язкiв, якi допускать при t \uparrow \omega асимптотичнi
зображення (3.8), (3.29). Справдi, якщо система (3.27) має зникаючий при t \uparrow \omega розв’язок, то
для цього розв’язку з першого рiвняння системи одержуємо, що
v\prime 1(t) =
\alpha 0J2(t)\varphi
\prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0J0(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0J0(t)))
(1 - q(t))H
2
3 (t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Тут iнтеграл на промiжку вiд t0 до \omega вiд правої частини розбiгається до \pm \infty . Тому, якщо
зiнтегрувати одержане спiввiдношення на промiжку вiд t0 до t, одержимо
v1(t) - \rightarrow \pm \infty при t \uparrow \omega ,
що суперечить збiжностi v1(t) до нуля при t \uparrow \omega .
Отже, у випадку виконання умов (3.31) залишається вiдкритим питання про iснування
P\omega (Y0, 1)-розв’язкiв диференцiального рiвняння (1.1), якi задовольняють при t \uparrow \omega асимптотич-
нi зображення (3.8), (3.9).
Зауваження 3.5. У монографiї [14, с. 273 – 289] (розд. III) наведено умови iснування кне-
зеровських i швидко зростаючих розв’язкiв рiвнянь типу (1.1). Згiдно з результатами даної
роботи P+\infty (0, 1)-розв’язки є кнезеровськими, а P+\infty (+\infty , 1)-розв’язки — швидко зростаю-
чими. Питання про те, чи збiгаються для рiвняння (1.1) множини P+\infty (0, 1)- i кнезеровських
розв’язкiв, а також P+\infty (+\infty , 1)- i швидко зростаючих розв’язкiв, залишається вiдкритим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
816 В. М. ЄВТУХОВ, Н. В. ШАРАЙ
Лiтература
1. V. Marić, Regular variation and differential equations, Lect. Notes Math., 1726, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg
(2000).
2. В. М. Евтухов, В. М. Харьков, Асимптотические представления решений существенно нелинейных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка, Дифференц. уравнения, 43, № 9, 1311 – 1323 (2007).
3. В. М. Евтухов, А. Г. Черникова, Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью, Нелiнiйнi коливання,
20, № 3, 346 – 360 (2017).
4. А. Г. Черникова, Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений второго порядка с
быстро меняющейся нелинейностью, Дослiдження в математицi i механiцi, 22, № 2 (30), 55 – 70 (2017).
5. В. М. Евтухов, А. Г. Черникова, Об асимптотике решений обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с быстро меняющимися нелинейностями, Укр. мат. журн., 71, № 1, 73 – 91 (2019).
6. А. Г. Черникова, Асимптотичнi зображення розв’язкiв диференцiальних рiвнянь з швидко змiнними нелiнiйнос-
тями, Дис. ... канд. фiз.-мат. наук, Одеса (2019).
7. V. M. Evtukhov, N. V. Sharay, Asymptotic behaviour of solutions of third order differential equation with rapidly
varying nonlinearities, Mem. Different. Equat. and Math. Phys., 77, 1 – 15 (2019).
8. В. М. Евтухов, Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений, Диc. ... д-ра физ.-мат. наук, Киев (1997).
9. N. H. Bingham, C. M. Goldi, J. L. Teugels, Regular variation, Encyclopedia Math. and Appl., Cambridge Univ.
Press, Cambridge (1987).
10. Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Наука, Москва (1985).
11. В. М. Евтухов, А. М. Самойленко, Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений, Укр. мат. журн., 62, № 1, 52 – 80 (2010).
12. В. М. Евтухов, А. М. Самойленко, Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями, Дифференц. уравнения, 47, № 5,
628 – 650 (2011).
13. В. М. Евтухов, В. Н. Шинкаренко, Асимптотические представления двучленных неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью, Дифференц. уравнения, 5, № 3,
308 – 322 (2008).
14. I. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, Наука, Москва (1990).
Одержано 05.07.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6821 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:23Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/53/d88051e4eed46c5253e39b6791c2f253.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68212022-07-15T07:54:29Z Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: Асимптотическое поведение быстро меняющихся решений дифференциальных уравнений третьего порядка с быстро меняющимися нелинейностями: Асимптотическое поведение быстро меняющихся решений Асимптотика швидко змінних розв'язків диференціальних рівнянь третього порядку з швидко змінною нелінійністю: Evtukhov, V. M. Sharay , N. V. Євтухов, В. М. Шарай, Н. В. істотно нелінійні диференціальні рівняння, швидко змінні нелінійності, швидко змінні розв'язки, асимптотичні зображення essentially nonlinear differential equations rapidly varying nonlinearities rapidly varying solutions asymptotic representations. UDC 517.925For binomial essentially nonlinear nonautonomous differential equations of the third order with rapidly varying nonlinearity, we establish necessary and sufficient conditions of existence of rapidly varying solutions and their asymptotic representations for $t\uparrow\omega$ ($\omega\le +\infty$). Устанавливаются необходимые и достаточные условия существования, а также&nbsp; асимптотические представления быстро меняющихся решений&nbsp; двучленных неавтономных дифференциальных уравнений третьего порядка с правильно меняющимися нелинейностями УДК 517.925 Для двочленних iстотно нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь третього порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi при $t\uparrow\omega$ ($\omega\le +\infty$) зображення швидко змiнних розв’язкiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-07-07 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6821 10.37863/umzh.v74i6.6821 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 6 (2022); 800 - 816 Український математичний журнал; Том 74 № 6 (2022); 800 - 816 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6821/9252 Copyright (c) 2022 Вячеслав Евтухов |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Sharay , N. V. Євтухов, В. М. Шарай, Н. В. Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: |
| title | Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: |
| title_alt | Асимптотическое поведение быстро меняющихся решений дифференциальных уравнений третьего порядка с быстро меняющимися нелинейностями: Асимптотическое поведение быстро меняющихся решений Асимптотика швидко змінних розв'язків диференціальних рівнянь третього порядку з швидко змінною нелінійністю: |
| title_full | Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: |
| title_short | Asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: |
| title_sort | asymptotic behavior of solutions of third-order differential equations with rapidly varying nonlinearity: |
| topic_facet | істотно нелінійні диференціальні рівняння швидко змінні нелінійності швидко змінні розв'язки асимптотичні зображення essentially nonlinear differential equations rapidly varying nonlinearities rapidly varying solutions asymptotic representations. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6821 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticbehaviorofsolutionsofthirdorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearity AT sharaynv asymptoticbehaviorofsolutionsofthirdorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearity AT êvtuhovvm asymptoticbehaviorofsolutionsofthirdorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearity AT šarajnv asymptoticbehaviorofsolutionsofthirdorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearity AT evtukhovvm asimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenijdifferencialʹnyhuravnenijtretʹegoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmiasimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenij AT sharaynv asimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenijdifferencialʹnyhuravnenijtretʹegoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmiasimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenij AT êvtuhovvm asimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenijdifferencialʹnyhuravnenijtretʹegoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmiasimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenij AT šarajnv asimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenijdifferencialʹnyhuravnenijtretʹegoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmiasimptotičeskoepovedeniebystromenâûŝihsârešenij AT evtukhovvm asimptotikašvidkozmínnihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹtretʹogoporâdkuzšvidkozmínnoûnelíníjnístû AT sharaynv asimptotikašvidkozmínnihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹtretʹogoporâdkuzšvidkozmínnoûnelíníjnístû AT êvtuhovvm asimptotikašvidkozmínnihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹtretʹogoporâdkuzšvidkozmínnoûnelíníjnístû AT šarajnv asimptotikašvidkozmínnihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹtretʹogoporâdkuzšvidkozmínnoûnelíníjnístû |