Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions
UDC 517.9 We consider a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocal boundary conditions. By using the Riess biorthogonal basis, the problem is reduced to a sequence of one-dimensional problems with alternative representations of their solutions. C...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6829 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512544251183104 |
|---|---|
| author | Kapustyan, V. Pyshnograiev, I. Капустян, Володимир Пишнограєв, Іван |
| author_facet | Kapustyan, V. Pyshnograiev, I. Капустян, Володимир Пишнограєв, Іван |
| author_sort | Kapustyan, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:09Z |
| description | UDC 517.9
We consider a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocal boundary conditions. By using the Riess biorthogonal basis, the problem is reduced to a sequence of one-dimensional problems with alternative representations of their solutions. Conditions guaranteeing the existence and uniqueness of  solution to the analyzed problem are established. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i2.6829 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i2.6829
УДК 517.9
Володимир Капустян, Iван Пишнограєв1 (Нацiональний технiчний унiверситет України
„Київський полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського”)
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ
ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
З МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ КЕРУВАННЯМ
I НЕЛОКАЛЬНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
We consider a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocal boundary conditions. By using the
Riess biorthogonal basis, the problem is reduced to a sequence of one-dimensional problems with alternative representations
of their solutions. Conditions guaranteeing the existence and uniqueness of solution to the analyzed problem are established.
Розглядається параболо-гiперболiчне рiвняння з мультиплiкативним керуванням i нелокальними крайовими умова-
ми. З використанням бiортогонального базису Рiсса задачу зведено до послiдовностi одновимiрних задач з альтер-
нативними зображеннями їхнiх розв’язкiв. Виведено умови, якi гарантують iснування та єдинiсть цього розв’язку.
1. Вступ. Дослiдження математичних об’єктiв у виглядi спряження параболiчних та гiперболiч-
них рiвнянь розпочато в роботах I. М. Гельфанда [1]. О. А. Ладиженська та Л. Ступялiс [2] такi
крайовi задачi розглянули у багатовимiрному просторi. У статтi [3] було дослiджено питання
розв’язностi аналога задачi Бiцадзе – Самарського з дробовою похiдною у крайовiй умовi для
рiвняння параболо-гiперболiчного типу. Вперше параболо-гiперболiчне рiвняння саме з нело-
кальними крайовими умовами для випадку сталих коефiцiєнтiв було дослiджено у роботi [4] з
використанням базисiв Рiсса у бiортогональних системах. У [5] розглянуто рiвняння мiшаного
типу з нелокальними граничними умовами, порядок якого вироджується вздовж лiнiї змiни
типу. У статтi [6] результати було поширено на параболо-гiперболiчнi рiвняння з нелокальними
крайовими умовами i керуванням у правiй частини рiвняння. Виявилося, що розв’язок локаль-
но залежить вiд керування в момент перемикання рiвнянь. Для таких крайових задач у статтях
[7, 8] дослiджено деякi задачi оптимального керування зi спецiальними критерiями. Отримано
умови оптимальностi, побудовано та обґрунтовано наближенi оптимальнi керування. У статтi
[9] аналогiчнi результати отримано для параболо-гiперболiчних рiвнянь, що вироджуються.
Дослiдження аналогiчних задач в нових постановках триває. Так, у статтi [10] розглянуто
розв’язки крайової задачi для навантаженого iнтегро-диференцiального рiвняння третього по-
рядку з параболо-гiперболiчним оператором. У статтi [11] знайдено апрiорнi оцiнки розв’язкiв
задачi Трiкомi для рiвняння мiшаного типу другого порядку з оператором Геллерштедта в
областi гiперболiчностi, а в [12] розглянуто пряму та обернену задачi для модельного рiвняння
мiшаного параболо-гiперболiчного типу.
Параболо-гiперболiчне рiвняння з мультиплiкативним керуванням i нелокальними крайо-
вими умовами ранiше не дослiджувалось. Розглянемо його постановку детальнiше.
2. Постановка задачi. Формальне зображення розв’язку. Необхiдно знайти функцiю
y(x, t) \in C1( \=D) \cap C2(D - ) \cap C2,1(D+), що задовольняє в D рiвняння
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: pyshnograiev@gmail.com.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2 257
258 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
Ly(x, t) = 0, (1)
початковi
y(x, - \alpha ) = \varphi (x) (2)
та граничнi умови
y(0, t) = 0,
\partial y(0, t)
\partial x
=
\partial y(1, t)
\partial x
, - \alpha \leq t \leq T, (3)
де D =
\bigl\{
(x, t) : 0 < x < 1, - \alpha < t \leq T, \alpha , T > 0
\bigr\}
, D - =
\bigl\{
(x, t) : 0 < x < 1, - \alpha < t \leq
0
\bigr\}
, D+ =
\bigl\{
(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t \leq \} ,
Ly =
\left\{ yt - yxx + u(t)y, t > 0,
ytt - yxx + v(t)y, t < 0.
Керування u(t), v(t) задаємо неперервними функцiями, i на iнтервалi [ - \alpha , T ] будемо позначати
їх через \^u(t), тобто
\^u(t) =
\left\{ u(t), t \geq 0,
v(t), t < 0.
Крiм того, керування вважатимемо обмеженим
0 < \^u1 \leq \^u(t) \leq \^u2 \forall t \in [ - \alpha , T ], (4)
початковi умови \varphi (x) — заданими, а властивостi цiєї функцiї будуть уточненi нижче.
Розв’язок задачi (1) – (3) формально зображується формулою [6]
y(x, t) = X0(x)y0(t) +
\infty \sum
k=1
(X2k - 1(x)y2k - 1(t) +X2k(x)y2k(t)), (5)
де функцiї yi(t) задаються як розв’язки задачi Кошi
dy0(t)
dt
= - u(t)y0(t), t > 0,
d2y0(t)
dt2
= - v(t)y0(t), t < 0,
y0( - \alpha ) = \varphi 0;
(6)
dy2k - 1(t)
dt
+ \lambda 2ky2k - 1(t) = - u(t)y2k - 1(t), t > 0,
d2y2k - 1(t)
dt2
+ \lambda 2ky2k - 1(t) - v(t)y2k - 1(t), t < 0, (7)
y2k - 1( - \alpha ) = \varphi 2k - 1, \lambda k = 2k\pi ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 259
dy2k(t)
dt
+ \lambda 2ky2k(t) = - 2\lambda ky2k - 1(t) - u(t)y2k(t), t > 0,
d2y2k(t)
dt2
+ \lambda 2ky2k(t) = - 2\lambda ky2k - 1(t) - v(t)y2k(t), t < 0, (8)
y2k( - \alpha ) = \varphi 2k, k = 1, 2, . . . ,
до того ж yi(t) = (y(., t), Yi(.))L2(0,1) \in C1( - \alpha , T ).
Функцiї Xi(x) i Yi(x) належать базисам Рiсса W0 i R0 [4], якi мають вигляд
W0 =
\Bigl\{
Xj(x) : X2k - 1(x) = x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi kx),
X2k(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi kx), k = 1, . . . ; X0(x) = x
\Bigr\}
,
R0 =
\Bigl\{
Yj(x) : Y2k - 1(x) = 4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi kx),
Y2k(x) = 4(1 - x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi kx), k = 1, . . . ; Y0(x) = 2
\Bigr\}
.
Системи W0, R0 бiортогональнi й утворюють базиси Рiсса у просторi L2(0, 1), а для будь-
якої функцiї \phi (x) \in L2(0, 1) справедливою є оцiнка
r\| \phi \| 2L2
\leq
\infty \sum
k=0
\phi 2k \leq R\| \phi \| 2L2
,
де r = 3/4, R = 16, \phi k = (\phi , Yk)L2 .
У задачах (6) – (8) послiдовнiсть чисел \{ \varphi k\} взято iз зображення функцiї \varphi (x) за базисом
Рiсса W0.
Отримати iнтегральнi зображення розв’язкiв задач (6) – (8) при фiксованих керуваннях, як це
зроблено в роботах [6, 7] для випадку адитивного керування, тут неможливо. Тому припустимо,
що для гiперболiчного рiвняння функцiя v(t) є вiдомою. Тодi для задачi (6) отримаємо її
альтернативне зображення
y0(t) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\int t
0
u(\xi )d\xi
\biggr)
1 + \alpha u(0)
\left[ \varphi 0 +
0\int
- \alpha
(\tau + \alpha )v(\tau )y0(\tau )d\tau
\right] , t > 0,
(9)
y0(t) = - (t+ \alpha )u(0)
1 + \alpha u(0)
\left[ \varphi 0 + \alpha
0\int
- \alpha
v(\tau )y0(\tau )d\tau +
0\int
- \alpha
\tau v(\tau )y0(\tau )d\tau
\right]
+
0\int
- \alpha
v(\tau )y0(\tau )d\tau (t+ \alpha ) + \varphi 0 -
t\int
- \alpha
(t - \tau )v(\tau )y0(\tau )d\tau , t < 0.
Друге рiвняння системи (9) має єдиний розв’язок y0(t) \in C( - \alpha , 0). Справдi, його можна
розглядати як iнтегральне рiвняння Вольтерра другого роду, права частина якого є лiнiйною
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
260 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
функцiєю лiнiйних функцiоналiв вiд цього розв’язку. Тодi, використовуючи метод iтерованих
ядер [13], його розв’язок записуємо у виглядi
y0(t) = f0(t, y0) -
t\int
- \alpha
\Gamma 0(t, \tau )f0(\tau , y0)d\tau ,
де
f0(t, y0) =
1 - tu(0)
1 + \alpha u(0)
\varphi 0 +
t+ \alpha
1 + \alpha u(0)
C0(y0),
\Gamma 0(t, \tau ) =
\infty \sum
j=1
( - 1)j - 1\scrK 0,j(t, \tau ),
до того ж
C0(y0) =
0\int
- \alpha
(1 - \tau u(0))v(\tau )y0(\tau )d\tau ,
\scrK 0,j+1(t, \tau ) =
t\int
\tau
\scrK 0,1(t, s)\scrK 0,j(s, \tau )ds, \scrK 0,1(t, \tau ) = (t - \tau ) v(\tau ).
Число C0(y0) задається формулою
C0(y0) = \Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr) - 1
\varphi 0
\times
\left( 0\int
- \alpha
(1 - \tau u(0))v(\tau )d\tau -
0\int
- \alpha
0\int
\tau
\Gamma 0(t, \tau )(1 - \tau u(0))v(t)dtd\tau
\right) , (10)
де
\Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr)
= 1 + \alpha u(0) -
0\int
- \alpha
(\tau + \alpha )(1 - \tau u(0))v(\tau )d\tau
+
0\int
- \alpha
0\int
\tau
\Gamma 0(t, \tau )(\tau + \alpha )(1 - tu(0))v(t))dtd\tau .
Вираз для числа C0(y0) можна перетворити таким чином. Визначимо неперервнi функцiї z0,i(t),
i = 1, 2, як розв’язки рiвнянь Вольтерра вигляду
z0,1(t) +
t\int
- \alpha
\scrK 0,1(t, \tau )z0,1(\tau )d\tau = t+ \alpha ,
(11)
z0,2(t) +
t\int
- \alpha
\scrK 0,1(t, \tau )z0,2(\tau )d\tau = 1 - tu(0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 261
Тодi формула (10) набере вигляду
C0(y0) = C0(z0,1, z0,2) =
\varphi 0
\int 0
- \alpha
(1 - tu(0))v(t)z0,2(t)dt
\Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr) , (12)
де
\Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr)
= 1 + \alpha u(0) -
0\int
- \alpha
(1 - \tau u(0))v(\tau )z0,1(\tau )d\tau .
Знаменник формули (12) може перетворюватись на нуль при деяких значеннях керування \^u.
Справдi, розглянемо випадок, коли v = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0 \forall t \in [ - \alpha , 0). Тодi розв’язок першого
рiвняння з (11) буде мати вигляд
z0,1(t) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\surd
v(t+ \alpha )\surd
v
.
Щоб цей розв’язок перетворював на нуль знаменник формули (12), його параметри повиннi
додатково задовольняти умову
\surd
v \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\surd
v\alpha + u(0) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\surd
v\alpha = 0. (13)
Умова (13) не виконуватиметься, якщо для будь-яких цiлих додатних k i будь-яких v, u(0) \in
[\^u1, \^u2]
\psi +
\surd
v\alpha \not = k\pi , (14)
де
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\psi =
\sqrt{}
v
v + u2(0)
, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi =
u(0)\sqrt{}
v + u2(0)
.
Якщо керування v(t) не є сталим, то повиннi iснувати допустимi пари (u(0), v(t)), для яких
виконується нерiвнiсть
| \Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr)
| \geq \varrho 0, (15)
де \varrho 0 — достатньо мале додатне число.
При виконаннi умови (14) зазначена множина пар не порожня. Навiть бiльше, при фiксова-
них значеннях параметрiв \alpha , \^u1, \^u2 може виявитися, що або
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
u(0),v(.)\in [\^u1,\^u2]
\Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr)
= \Delta 0,\ast > 0,
або
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u(0),v(.)\in [\^u1,\^u2]
\Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr)
= \Delta \ast
0 < 0. (16)
Тодi можна покласти \varrho 0 = \^\varrho 0 : \^\varrho 0 = \Delta 0,\ast > 0 чи \^\varrho 0 = | \Delta \ast
0| , тому умова (15) стає зайвою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
262 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
Таким чином, для задачi (6) отримаємо таке остаточне еквiвалентне зображення:
y0(t) = \Phi 0,+(t, u(0), u, v, z0,1, z0,2)\varphi 0, t > 0,
y0(t) = -
t\int
- \alpha
\scrK 0,1(t, \tau )y0(\tau )d\tau +\Phi 0, - (t, u(0), v, z0,1, z0,2)\varphi 0, t < 0,
(17)
де
\Phi 0,+(t, . . .) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\int t
0
u(\xi )d\xi
\biggr)
(1 + \alpha u(0))2
\left[ 1 + \alpha u(0) +
0\int
- \alpha
(\tau + \alpha )v(\tau )z0,2(\tau )d\tau
+
\int 0
- \alpha
(\tau + \alpha )v(\tau )z0,1(\tau )d\tau
\int 0
- \alpha
(1 - \tau u(0))v(\tau )z0,2(\tau )d\tau
\Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\right] ,
\Phi 0, - (t, . . .) =
1
1 + \alpha u(0)
\left[ 1 - tu(0) + (t+ \alpha )
\int 0
- \alpha
(1 - \tau u(0))v(\tau )z0,2(\tau )d\tau
\Delta 0
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\right] ,
функцiї z0,1(t), z0,2(t) визначаються як єдинi розв’язки рiвнянь Вольтерра (11) при виконаннi
нерiвностi (15) чи умови (16).
Побудуємо альтернативне зображення задачi (7). Її загальний розв’язок за заданої функцiї
v(t) має вигляд
y2k - 1(t) = c2k - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\left( \lambda 2kt+ t\int
0
u(\tau )d\tau
\right) \right) , t > 0,
y2k - 1(t) = a2k - 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda kt) + b2k - 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda kt)
- 1
\lambda k
t\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda k(t - \tau ))v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau , t < 0.
Умови спряження i початковi умови приводять до системи рiвнянь для визначення сталих:
a2k - 1 - c2k - 1 = f2k - 1,1,\bigl(
\lambda 2k + u(0)
\bigr)
c2k - 1 + \lambda kb2k - 1 = f2k - 1,2, (18)
a2k - 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda k\alpha ) - b2k - 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda k\alpha ) = f2k - 1,3,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 263
f2k - 1,1 = - 1
\lambda k
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k\tau v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau ,
f2k - 1,2 =
0\int
- \alpha
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda k\tau v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau , f2k - 1,3 = \varphi 2k - 1.
З роботи [4] випливає, що для визначника системи (18)
\delta k(\alpha , u(0)) = \lambda k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda k\alpha +
\bigl(
\lambda 2k + u(0)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k\alpha
при рацiональних значеннях \alpha = p/q, (p, q) = 1 i досить великих значеннях k виконується
оцiнка \bigm| \bigm| \delta k(\alpha , u(0))\bigm| \bigm| \geq Ck2, (19)
де стала C = 4\pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \pi
2q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| не залежить вiд k.
Тодi
c2k - 1 =
- \lambda k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda k\alpha )f2k - 1,1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda k\alpha )f2k - 1,2 + \lambda kf2k - 1,3
\delta k(\alpha , u(0))
,
a2k - 1 =
\bigl(
\lambda 2k + u(0)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda k\alpha )f2k - 1,1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda k\alpha )f2k - 1,2 + \lambda kf2k - 1,3
\delta k(\alpha , u(0))
, (20)
b2k - 1 =
1
\delta k(\alpha , u(0))
\Bigl[ \bigl(
\lambda 2k + u(0)
\bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda k\alpha )f2k - 1,1
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda k\alpha )f2k - 1,2 -
\bigl(
\lambda 2k + u(0)
\bigr)
f2k - 1,3
\Bigr]
.
При цьому розв’язок задачi (7) набере вигляду
y2k - 1(t) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\biggl(
\lambda 2kt+
\int t
0
u(\tau )d\tau
\biggr) \biggr)
\delta k(\alpha , u(0))
\times
\left[ \lambda k\varphi 2k - 1 +
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau
\right] , t > 0,
y2k - 1(t) =
1
\delta k(\alpha , u(0))
\left[ \varphi 2k - 1\delta k( - t, u(0))
(21)
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t+ \alpha )
\lambda k
0\int
- \alpha
\delta k( - \tau , u(0))v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau
\right]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
264 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
- 1
\lambda k
t\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t - \tau )v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau , t < 0.
Як i у попередньому випадку, розв’язок (21) можна подати у виглядi
y2k - 1(t) = f2k - 1(t, y2k - 1) -
1
\lambda k
t\int
- \alpha
\Gamma 2k - 1(t, \tau )f2k - 1(\tau , y2k - 1)d\tau ,
де
f2k - 1(t, y2k - 1) =
\delta k( - t, u(0))
\delta k(\alpha , u(0))
\varphi 2k - 1 +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t+ \alpha )
\delta k(\alpha , u(0))\lambda k
C2k - 1(y2k - 1),
\Gamma 2k - 1(t, \tau ) =
\infty \sum
j=1
\biggl(
- 1
\lambda k
\biggr) j - 1
\scrK 2k - 1,j(t, \tau ),
до того ж
C2k - 1(y2k - 1) =
0\int
- \alpha
\delta k( - \tau , u(0))v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau ,
\scrK 2k - 1,j+1(t, \tau ) =
t\int
\tau
\scrK 2k - 1,1(t, s)\scrK 2k - 1,j(s, \tau )ds,
\scrK 2k - 1,1(t, \tau ) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t - \tau )v(\tau ).
Число C2k - 1(y2k - 1) задається формулою
C2k - 1(y2k - 1) =
\lambda k\varphi 2k - 1
\int 0
- \alpha
\delta k( - t, u(0))v(t)z2k - 1,2(t)dt
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr) ,
де
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
= \lambda k\delta k(\alpha , u(0)) -
0\int
- \alpha
\delta k( - t, u(0))v(t)z2k - 1,1(t)dt, (22)
а функцiї z2k - 1,1(t), z2k - 1,2(t) визначаються як єдинi неперервнi розв’язки iнтегральних рiв-
нянь Вольтерра другого роду
z2k - 1,1(t) +
1
\lambda k
t\int
- \alpha
\scrK 2k - 1,1(t, \tau )z2k - 1,1(\tau )d\tau = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t+ \alpha ), (23)
z2k - 1,2(t) +
1
\lambda k
t\int
- \alpha
\scrK 2k - 1,1(t, \tau )z2k - 1,2(\tau )d\tau = \delta k( - t, u(0)). (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 265
Таким чином, для задачi (7) отримуємо таке її остаточне еквiвалентне зображення:
y2k - 1(t) = \Phi 2k - 1
2k - 1,+(t, u(0), u, v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)\varphi 2k - 1, t > 0,
(25)
y2k - 1(t) = - 1
\lambda k
t\int
- \alpha
\scrK 2k - 1,1(t, \tau )y2k - 1(\tau )d\tau
+\Phi 2k - 1
2k - 1, - (t, u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)\varphi 2k - 1, t < 0,
де
\Phi 2k - 1
2k - 1,+(t, . . .) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\biggl(
\lambda 2kt+
\int t
0
u(\tau )d\tau
\biggr) \biggr)
\delta 2k(\alpha , u(0))
\times
\left[ \lambda k\delta k(\alpha , u(0)) +
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )v(\tau )z2k - 1,2(\tau )d\tau
+
\int 0
- \alpha
\delta k( - \tau , u(0))v(\tau )z2k - 1,2(\tau )d\tau
\int 0
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \xi )v(\xi )z2k - 1,1(\xi )d\xi
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\right] ,
\Phi 2k - 1
2k - 1, - (t, . . .) =
1
\delta k(\alpha , u(0))
\left[ \delta k( - t, u(0)) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t+ \alpha )
\times
\int 0
- \alpha
\delta k( - \tau , u(0))v(\tau )z2k - 1,2(\tau )d\tau
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\right] .
При досить великому k буде справедливою оцiнка\bigm| \bigm| \Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr) \bigm| \bigm| > C1k
3, (26)
де додатна змiнна C1 не залежить вiд k.
Справдi, з (22) i (19) маємо
\bigm| \bigm| \Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr) \bigm| \bigm| \geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda k\bigm| \bigm| \delta k(\alpha , u(0))\bigm| \bigm| -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0\int
- \alpha
\delta k( - t, u(0))v(t)z2k - 1,1(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \pi
2q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (2\pi )3k3(1 - \gamma k), 1 > \gamma k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
266 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
де
\gamma k =
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \pi
2q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (2\pi )3k3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0\int
- \alpha
\delta k( - t, u(0))v(t)z2k - 1,1(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Для \gamma k справедливою є оцiнка
\gamma k \leq \alpha \^u2
(2\pi )3k3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \pi
2q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigm| \bigm| \delta k( - t, u(0))\bigm| \bigm| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigm| \bigm| z2k - 1,1(t)
\bigm| \bigm| .
Для розв’язку рiвняння (23) справедливим є зображення
z2k - 1,1(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t+ \alpha ) - 1
\lambda k
t\int
- \alpha
\Gamma 2k - 1(t, \tau ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\tau + \alpha )d\tau . (27)
Для складових резольвенти \Gamma 2k - 1(t, \tau ), згiдно з [13], справджується оцiнка
\bigm| \bigm| \scrK 2k - 1,j+1(t, \tau )
\bigm| \bigm| \leq | t| j \^uj+1
2
j!
.
Тодi для самої резольвенти отримуємо нерiвнiсть\bigm| \bigm| \Gamma 2k - 1(t, \tau )
\bigm| \bigm| \leq \^u2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\alpha \^u2
\lambda k
. (28)
З (27) i (28) одержуємо\bigm| \bigm| z2k - 1,1(t)
\bigm| \bigm| \leq 1 +
\alpha \^u2
\lambda k
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\alpha \^u2
\lambda k
\leq 1 +
\alpha \^u2
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\alpha \^u2
2\pi
. (29)
Для функцiї
\bigm| \bigm| \delta k( - t, u(0))\bigm| \bigm| справедливою є оцiнка
\bigm| \bigm| \delta k( - t, u(0))\bigm| \bigm| \leq \sqrt{}
\lambda 2k +
\bigl(
\lambda 2k + u(0)
\bigr) 2 \leq (2k\pi )2
\sqrt{}
1
(2\pi )2
+
\biggl(
1 +
\^u2
(2\pi )2
\biggr) 2
.
Тодi для \gamma k маємо
\gamma k \leq \alpha \^u2
2\pi k| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi /2q|
\sqrt{}
1
(2\pi )2
+
\biggl(
1 +
\^u2
(2\pi )2
\biggr) 2\biggl(
1 +
\alpha \^u2
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\alpha \^u2
2\pi
\biggr)
.
Нехай k0 — найменше цiле додатне число, для якого виконуються нерiвностi
1 >
\alpha \^u2
2\pi k| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi /2q|
\sqrt{}
1
(2\pi )2
+
\biggl(
1 +
\^u2
(2\pi )2
\biggr) 2\biggl(
1 +
\alpha \^u2
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\alpha \^u2
2\pi
\biggr)
.
Тодi при k \geq k0 буде виконуватися нерiвнiсть (26).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 267
Для k < k0, як i у випадку k = 0, слiд знаходити найбiльше та найменше значення
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
) при обмеженнi (26). Нехай
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
u(0),v(.)\in [\^u1,\^u2]
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
= \Delta 2k - 1,\ast > 0
або
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u(0),v(.)\in [\^u1,\^u2]
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
= \Delta \ast
2k - 1 < 0, (30)
якщо \Delta 2k - 1,\ast < 0.
Тодi покладемо \^\varrho 2k - 1 = \Delta 2k - 1,\ast > 0 чи \^\varrho 2k - 1 = | \Delta \ast
2k - 1| i \varrho 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\^\varrho 0, \^\varrho 1, \^\varrho 3, . . . , \^\varrho 2k0 - 3
\bigr\}
.
При цьому початкову крайову задачу називатимемо регулярною за керуванням.
Якщо ж для деяких iндексiв j \in \^Sk0 з множини Sk0 = \{ 0, 1, 3, . . . , 2k0 - 3\} \Delta j,\ast < 0 i
\Delta \ast
j > 0, то покладемо \=\varrho 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i\in Sk0
\setminus \^Sk0
\{ \^\varrho i\} i вимагатимемо додатково виконання нерiвностей\bigm| \bigm| \Delta j
\bigl(
u(0), v
\bigr) \bigm| \bigm| \geq \varrho 0, j \in \^Sk0 ,
до того ж \=\varrho 0 \geq \varrho 0.
При цьому початкову задачу називатимемо регуляризованою за керуванням.
Побудуємо альтернативне зображення задачi (8). Її загальний розв’язок за заданої функцiї
v(t) має вигляд
y2k(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\left( \lambda 2kt+ t\int
0
u(\tau )d\tau
\right) \right) \left[ c2k - 2\lambda kt
\delta k(\alpha , u(0))
\times
\left( \lambda k\varphi 2k - 1 +
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )v(\tau )y2k - 1(\tau )d\tau
\right) \right] , t > 0,
(31)
y2k(t) = a2k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda kt) + b2k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda kt)
- 1
\lambda k
t\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda k(t - \tau ))(2\lambda ky2k - 1(\tau ) + v(\tau )y2k(\tau ))d\tau , t < 0.
Умови спряження та початковi умови приводять до системи рiвнянь для визначення сталих
a2k - c2k = f2k,1,\bigl(
\lambda 2k + u(0)
\bigr)
c2k + \lambda kb2k = f2k,2, (32)
a2k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda k\alpha ) - b2k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda k\alpha ) = f2k,3,
де
f2k,1 = - 1
\lambda k
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k\tau (2\lambda ky2k - 1(\tau ) + v(\tau )y2k(\tau ))d\tau ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
268 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
f2k,2 =
0\int
- \alpha
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda k\tau v(\tau )y2k(\tau )d\tau -
2\lambda 2k\varphi 2k - 1
\delta k(\alpha , u(0))
+ 2\lambda k
0\int
- \alpha
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda k\tau -
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )v(\tau )
\delta k(\alpha , u(0))
\biggr)
y2k - 1(\tau )d\tau ,
f2k,3 = \varphi 2k.
Розв’язок системи (32) задається формулами (20), в яких iндекс 2k - 1 потрiбно замiнити на 2k.
Тодi система рiвнянь (31) набере вигляду
y2k(t) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\biggl(
\lambda 2kt+
\int t
0
u(\tau )d\tau
\biggr) \biggr)
\delta k(\alpha , u(0))
\left[ 0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )v(\tau )y2k(\tau )d\tau
+ 2\lambda k
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )
\biggl(
1 - v(\tau )
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k\alpha
\delta k(\alpha , u(0))
+ t
\biggr) \biggr)
y2k - 1(\tau )d\tau
- 2\lambda 2k\varphi 2k - 1
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k\alpha
\delta k(\alpha , u(0))
+ t
\biggr)
+ \lambda k\varphi 2k
\right] , t > 0,
y2k(t) =
1
\delta k(\alpha , u(0))
\left[ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + t)
\left( 0\int
- \alpha
\delta k( - \tau , u(0))v(\tau )y2k(\tau )
\lambda k
d\tau
+ 2
0\int
- \alpha
\biggl(
\delta k( - \tau , u(0)) -
v(\tau )\lambda k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )
\delta k(\alpha , u(0))
\biggr)
y2k - 1(\tau )d\tau -
2\lambda 2k\varphi 2k - 1
\delta k(\alpha , u(0))
\right)
+ \varphi 2k\delta k( - t, u(0))
\right] - 1
\lambda k
t\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t - \tau )(2\lambda ky2k - 1(\tau ) + v(\tau )y2k(\tau ))d\tau , t < 0.
(33)
Як i у випадку непарних коефiцiєнтiв, розв’язок рiвняння (33) можемо подати у виглядi
y2k(t) = f2k(t, y2k) -
1
\lambda k
t\int
- \alpha
\Gamma 2k - 1(t, \tau )f2k(\tau , y2k)d\tau ,
де
f2k(t, y2k) =
1
\delta k(\alpha , u(0))
\biggl(
\^\Phi 2k - 1, - (t)\varphi 2k - 1 + \delta k( - t, u(0))\varphi 2k +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t+ \alpha )
\lambda k
C2k(y2k)
\biggr)
,
до того ж
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 269
\^\Phi 2k - 1, - (t) =
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + t)
\delta k(\alpha , u(0))
\left( 0\int
- \alpha
\biggl(
\delta k( - \tau , u(0)) -
v(\tau )\lambda k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )
\delta k(\alpha , u(0))
\biggr)
\times
\left( z2k - 1,2(\tau ) +
z2k - 1,1(\tau )
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr) 0\int
- \alpha
\delta k( - \xi , u(0))v(\xi )z2k - 1,2(\xi )d\xi
\right) d\tau - \lambda 2k
\right)
- 2
t\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(t - \tau )
\left( z2k - 1,2(\tau ) +
z2k - 1,1(\tau )
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\times
0\int
- \alpha
\delta k( - \xi , u(0))v(\xi )z2k - 1,2(\xi )d\xi
\right) d\tau ,
C2k(y2k - 1, y2k - 1) =
0\int
- \alpha
\delta k( - \tau , u(0))v(\tau )y2k(\tau )d\tau .
Число C2k(y2k) визначається формулою
C2k(y2k) =
\lambda k
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\left( 0\int
- \alpha
\delta k( - t, u(0))v(t)z2k(t)dt\varphi 2k - 1
+
0\int
- \alpha
\delta k( - t, u(0))v(t)z2k - 1,2(t)dt\varphi 2k
\right) ,
де функцiя z2k(t) визначається як розв’язок iнтегрального рiвняння Вольтерра другого роду
z2k(t) +
1
\lambda k
0\int
- \alpha
\scrK 2k - 1,1(t, \tau )z2k(\tau )d\tau = \^\Phi 2k - 1, - (t). (34)
Таким чином, для задачi (8) отримаємо таке її остаточне еквiвалентне зображення:
y2k(t) = \Phi 2k
2k - 1,+
\bigl(
t, u(0), u, v, z2k - 1,1, z2k - 1,2, z2k
\bigr)
\varphi 2k - 1
+\Phi 2k
2k,+
\bigl(
t, u(0), u, v, z2k - 1,1, z2k - 1,2
\bigr)
\varphi 2k, t > 0,
(35)
y2k(t) = - 1
\lambda k
t\int
- \alpha
\scrK 2k - 1,1(t, \tau )y2k(\tau )d\tau +\Phi 2k
2k - 1, -
\bigl(
t, u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2, z2k
\bigr)
\varphi 2k - 1
+\Phi 2k
2k, -
\bigl(
t, u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2
\bigr)
\varphi 2k, t < 0,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
270 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
\Phi 2k
2k - 1,+(t, . . .) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\biggl(
\lambda 2kt+
\int t
0
u(\tau )d\tau
\biggr) \biggr)
\delta k(\alpha , u(0))
\left[ 1
\delta k(\alpha , u(0))
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )v(\tau )
\times
\left( z2k(\tau ) + z2k - 1,1(\tau )
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr) 0\int
- \alpha
\delta k( - \xi , u(0))v(\xi )z2k(\xi )d\xi
\right) d\tau
+
2\lambda k
\delta k(\alpha , u(0))
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )
\biggl(
1 - v(\tau )
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k\alpha
\delta k(\alpha , u(0))
+ t
\biggr) \biggr)
\times
\left( z2k - 1,2(\tau ) +
z2k - 1,1(\tau )
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr) 0\int
- \alpha
\delta k( - \xi , u(0))v(\xi )z2k - 1,2(\xi )d\xi
\right) d\tau
- 2\lambda 2k
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k\alpha
\delta k(\alpha , u(0))
+ t
\biggr) \right] ,
\Phi 2k
2k,+(t, . . .) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\biggl(
\lambda 2kt+
\int t
0
u(\tau )d\tau
\biggr) \biggr)
\delta k(\alpha , u(0))
\left[ 1
\delta k(\alpha , u(0))
0\int
- \alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + \tau )v(\tau )
\times
\left( z2k - 1,2(\tau ) +
z2k - 1,1(\tau )
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr) 0\int
- \alpha
\delta k( - \xi , u(0))v(\xi )z2k - 1,2(\xi )d\xi
\right) d\tau + \lambda k
\right] ,
\Phi 2k
2k - 1, - (t, . . .) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + t)
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\delta k(\alpha , u(0))
0\int
- \alpha
\delta k( - \xi , u(0))v(\xi )z2k(\xi )d\xi +
\^\Phi 2k - 1, - (t)
\delta k(\alpha , u(0))
,
\Phi 2k
2k, - (t, . . .) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k(\alpha + t)
\Delta 2k - 1
\bigl(
u(0), v
\bigr)
\delta k(\alpha , u(0))
0\int
- \alpha
\delta k( - \xi , u(0))v(\xi )z2k - 1,2(\xi )d\xi +
\delta k( - t, u(0))
\delta k(\alpha , u(0))
.
3. Умови iснування єдиного розв’язку крайової задачi. Далi знайдемо умови на функцiї
\varphi (x) та \^u(t), якi забезпечують iснування єдиного розв’язку вихiдної задачi.
З (5) – (8) формальним диференцiюванням знаходимо
yt(x, t) = - X0(x)u(t)y0(t) -
\infty \sum
k=1
\Bigl(
X2k - 1(x)
\bigl(
\lambda 2k + u(t)
\bigr)
y2k - 1(t)
+X2k(x)
\bigl(
(\lambda 2k + u(t))y2k(t) + 2\lambda ky2k - 1(t)
\bigr) \Bigr)
, t > 0,
ytt(x, t) = - X0(x)v(t)y0(t) -
\infty \sum
k=1
X2k - 1(x)
\bigl(
\lambda 2k + v(t)
\bigr)
y2k - 1(t)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 271
+X2k(x)
\Bigl(
(\lambda 2k + v(t))y2k(t) + 2\lambda ky2k - 1(t)
\Bigr)
, t < 0, (36)
yxx(x, t) = -
\infty \sum
k=1
\Bigl( \bigl(
\lambda 2kX2k - 1(x)
+ 2\lambda kX2k(x)
\bigr)
y2k - 1(t) + \lambda 2kX2k(x)y2k(t)
\Bigr)
, t \in ( - \alpha , T ).
Для зображення (17) маємо нерiвностi
| y0(t)| \leq
\bigm| \bigm| \Phi 0,+(t, u(0), u, v, z0,1, z0,2)
\bigm| \bigm| | \varphi 0| , t > 0,
| y0(t)| \leq
\left( \bigm| \bigm| \Phi 0, - (t, u(0), v, z0,1, z0,2)
\bigm| \bigm| (37)
+
t\int
- \alpha
| \Gamma 0(t, \tau )|
\bigm| \bigm| \Phi 0, - (\tau , u(0), v, z0,1, z0,2)
\bigm| \bigm| d\tau
\right) | \varphi 0| , t < 0.
Оцiнки для розв’язкiв рiвнянь (11) мають вигляд
| z0,1(t)| \leq \alpha
\left( 1 + t\int
- \alpha
| \Gamma 0(t, \tau )| d\tau
\right) \leq \alpha
\bigl(
1 + \^u2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\alpha \^u2
\bigr)
= c0,1,
| z0,2(t)| \leq (1 + \alpha \^u2)
\bigl(
1 + \^u2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\alpha \^u2
\bigr)
= c0,2.
Тодi \bigm| \bigm| \Phi 0,+(t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq 1
(1 + \alpha \^u1)2
\biggl[
1 + \alpha \^u2 + \alpha 2\^u2c0,2 +
\alpha 3\^u22c0,1(1 + \alpha \^u2)c0,2
\varrho 0
\biggr]
= C0,+,
\bigm| \bigm| \Phi 0, - (t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq 1
1 + \alpha \^u1
\biggl[
1 + \alpha \^u2 + \alpha 2 (1 + \alpha \^u2)\^u2c0,2
\varrho 0
\biggr]
= \^C0, -
i нерiвностi (37) набирають вигляду
| y0(t)| \leq C| \varphi 0| , t > 0,
| y0(t)| \leq C| \varphi 0| , t < 0.
Для зображення (25) виконуються нерiвностi\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \Phi 2k - 1
2k - 1,+(t, u(0), u, v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)
\bigm| \bigm| \bigm| | \varphi 2k - 1| , t > 0,
(38)\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq
\left( \bigm| \bigm| \bigm| \Phi 2k - 1
2k - 1, - (t, u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)
\bigm| \bigm| \bigm|
+
1
\lambda k
t\int
- \alpha
\bigm| \bigm| \Gamma 2k - 1,1(t, \tau )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Phi 2k - 1
2k - 1, - (\tau , u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)
\bigm| \bigm| \bigm| d\tau
\right) | \varphi 2k - 1| , t < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
272 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
Далi будемо вважати, що k \geq k0. Тодi, згiдно з (28), (30), оцiнки для розв’язкiв рiвнянь (23) –
(26) матимуть вигляд \bigm| \bigm| z2k - 1,1(t)
\bigm| \bigm| \leq C, | z2k - 1,2(t)| \leq Ck2.
Тодi \bigm| \bigm| \Phi 2k - 1
2k - 1,+(t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq C
k4
(k3 + k2 + k) <
C
k
,
\bigm| \bigm| \Phi 2k - 1
2k - 1, - (t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq C
k2
(k2 + k) < C,
i нерiвностi (38) наберуть вигляду\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq C
| \varphi 2k - 1|
k
, t > 0,\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq C| \varphi 2k - 1| , t < 0.
Для зображення (35) виконуються нерiвностi
| y2k(t)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \Phi 2k
2k - 1,+(t, u(0), u, v, z2k - 1,1, z2k - 1,2, z2k)
\bigm| \bigm| \bigm| | \varphi 2k - 1|
+
\bigm| \bigm| \bigm| \Phi 2k
2k,+(t, u(0), u, v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)
\bigm| \bigm| \bigm| | \varphi 2k| , t > 0,
(39)
| y2k(t)| \leq
\left( \bigm| \bigm| \bigm| \Phi 2k
2k - 1, - (t, u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2, z2k)
\bigm| \bigm| \bigm| + 1
\lambda k
t\int
- \alpha
| \Gamma 2k - 1,1(t, \tau )|
\times | \Phi 2k
2k - 1, - (\tau , u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2, z2k)| d\tau
\right) | \varphi 2k - 1|
+
\left( | \Phi 2k
2k, - (t, u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)|
+
1
\lambda k
t\int
- \alpha
\bigm| \bigm| \Gamma 2k - 1,1(t, \tau )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Phi 2k
2k, - (\tau , u(0), v, z2k - 1,1, z2k - 1,2)
\bigm| \bigm| \bigm| d\tau
\right) | \varphi 2k| , t < 0.
Далi нам знадобиться оцiнка для розв’язкiв рiвняння (34). Вона має вигляд
| z2k(t)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \^\Phi 2k - 1, - (t)
\bigm| \bigm| \bigm| + 1
\lambda k
0\int
- \alpha
\bigm| \bigm| \Gamma 2k - 1,1(t, \tau )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \^\Phi 2k - 1, - (\tau )
\bigm| \bigm| \bigm| d\tau \leq Ck2,
оскiльки \bigm| \bigm| \^\Phi 2k - 1, - (t)
\bigm| \bigm| \leq C
\biggl[ \biggl(
1 +
1
k3
\biggr)
(k2 + k) + 1 + k2 + k
\biggr]
\leq Ck2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 273
Тодi \bigm| \bigm| \Phi 2k
2k - 1,+(t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq C
k2
\biggl[
1
k2
(k2 + k) +
1
k
\biggl(
1 +
1
k2
\biggr)
(k2 + k) + k2
\biggl(
1
k2
+ 1
\biggr) \biggr]
\leq C,
\bigm| \bigm| \Phi 2k
2k,+(t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq C
k2
\biggl[
1
k2
(k2 + k) + k
\biggr]
\leq C
k
,
\bigm| \bigm| \Phi 2k
2k - 1, - (t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq C
\biggl(
1
k
+ 1
\biggr)
\leq C,
\bigm| \bigm| \Phi 2k
2k, - (t, . . .)
\bigm| \bigm| \leq C
\biggl(
1
k
+ 1
\biggr)
\leq C.
На пiдставi отриманих вище оцiнок нерiвностi (39) наберуть вигляду
| y2k(t)| \leq C
\biggl(
| \varphi 2k - 1| +
| \varphi 2k|
k
\biggr)
, t > 0,
| y2k(t)| \leq C
\bigl(
| \varphi 2k - 1| + | \varphi 2k|
\bigr)
, t < 0.
Знайдемо рiвномiрну оцiнку ряду (5), врахувавши отриманi вище оцiнки його коефiцiєнтiв:
| y(x, t)| \leq | X0(x)| | y0(t)| +
\infty \sum
k=1
\Bigl(
| X2k - 1(x)|
\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| + | X2k(x)| | y2k(t)|
\Bigr)
=
k0 - 1\sum
i=0
| Xi(x)| | yi(t)| +
\infty \sum
i=k0
| Xi(x)| | yi(t)|
\leq C1 + C2
\infty \sum
i=k0
| \varphi i| \forall t \in [ - \alpha , T ],
де
k0 - 1\sum
i=0
| Xi(x)| | yi(t)| \leq C1.
Аналогiчно знаходимо оцiнки для рядiв (36):
| yt(x, t)| \leq | X0(x)| \^u2| y0(t)| +
\infty \sum
k=1
\Bigl(
| X2k - 1(x)| (\lambda 2k + \^u2)
\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm|
+ | X2k(x)|
\bigl(
(\lambda 2k + \^u2)| y2k(t)| + 2\lambda k
\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| )\Bigr)
\leq C1,+ + C2,+
\infty \sum
i=k0
\bigl(
i2| \varphi 2i - 1| + i| \varphi 2i|
\bigr)
, t > 0,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
274 ВОЛОДИМИР КАПУСТЯН, IВАН ПИШНОГРАЄВ
| X0(x)| \^u2| y0(t)| +
k0 - 1\sum
k=1
\Bigl(
| X2k - 1(x)|
\bigl(
\lambda 2k + \^u2
\bigr) \bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm|
+ | X2k(x)|
\Bigl(
(\lambda 2k + \^u2)| y2k(t)| + 2\lambda k
\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| \Bigr) \Bigr) C1,+;
| ytt(x, t)| \leq | X0(x)| \^u2| y0(t)| +
\infty \sum
k=1
| X2k - 1(x)|
\bigl(
\lambda 2k + \^u2
\bigr) \bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm|
+ | X2k(x)|
\Bigl(
(\lambda 2k + \^u2)| y2k(t)| + 2\lambda k
\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| \Bigr)
\leq C1, - + C2, -
\infty \sum
i=k0
i2
\bigl(
| \varphi 2i - 1| + | \varphi 2i|
\bigr)
, t < 0,
де
| X0(x)| \^u2| y0(t)| +
k0 - 1\sum
k=1
| X2k - 1(x)|
\bigl(
\lambda 2k + \^u2
\bigr) \bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm|
+ | X2k(x)|
\Bigl(
(\lambda 2k + \^u2)| y2k(t)| + 2\lambda k
\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| \Bigr) \leq C1, - ;
| yxx(x, t)| \leq
\infty \sum
k=1
\Bigl(
(\lambda 2k| X2k - 1(x)|
+ 2\lambda k| X2k(x)| )
\bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| + \lambda 2k| X2k(x)| | y2k(t)|
\Bigr)
\leq \^C1 + \^C2
\infty \sum
i=k0
i2
\bigl(
| \varphi 2i - 1| + | \varphi 2i|
\bigr)
, t \in ( - \alpha , T ),
де
k0 - 1\sum
k=1
\Bigl( \bigl(
\lambda 2k| X2k - 1(x)| + 2\lambda k| X2k(x)|
\bigr) \bigm| \bigm| y2k - 1(t)
\bigm| \bigm| + \lambda 2k| X2k(x)| | y2k(t)|
\Bigr)
\leq \^C1.
Таким чином, справедливою є така теорема.
Теорема. Нехай за досить великого k0 виконуються нерiвностi (19), (26), u(t) \in C[ - \alpha , 0),
v(t) \in C[0, T ], \^u1 \leq \^u(t) \leq \^u2 \forall t \in [ - \alpha , T ], а неперервно диференцiйовна функцiя \varphi (x)
задовольняє умови
\varphi (0) = 0,
d\varphi (0)
dx
=
d\varphi (1)
dx
,\sum
k
\lambda 2k(| \varphi 2k - 1| + | \varphi 2k| ) <\infty .
Тодi задача (1) – (4) має єдиний розв’язок i вiн визначається рядом (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
IСНУВАННЯ ТА ЄДИНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 275
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. И. М. Гельфанд, Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений, Успехи мат. наук, 14, № 3,
3 – 19 (1959).
2. O. A. Ladyzhenskaya, L. Stupyalis, Boundary value problems for equations of mixed type. Boundary value problems
of mathematical physics, Pt 7, Trudy Mat. Inst. Steklov, 101 – 136 (1971).
3. М. Х. Абрегов, З. Х. Гучаева, Аналог задачи Бицадзе – Самарского для уравнения смешанного гиперболо-
параболического типа, Современные наукоемкие технологии, № 11, 126 – 128 (2013).
4. K. B. Sabitov, Boundary value problem for a parabolic-hyperbolic equation with a nonlocal integral condition,
Different. Equat., 46, 1472 – 1481 (2010); https://doi.org/10.1134/S0012266110100113.
5. O. A. Repin, S. K. Kumykova, A nonlocal problem for a mixed-type equation whose order degenerates along the
line of change of type, Russ. Math., 57, 49 – 56 (2013); https://doi.org/10.3103/S1066369X13080069.
6. В. О. Капустян, I. О. Пишнограєв, Умови iснування i єдиностi розв’язку параболо-гiперболiчного рiвняння з
нелокальними крайовими умовами, Науковi вiстi НТУУ „КПI”. Теор. та прикл. пробл. математики, № 4, 72 – 76
(2012); https://nbuv.gov.ua/UJRN/NVKPI_2012_4_13.
7. V. O. Kapustyan, I. O. Pyshnograiev, Distributed control with the general quadratic criterion in a special norm
for systems described by parabolic-hyperbolic equations with nonlocal boundary conditions, Cybernet. and Systems
Anal., 51, № 3, 438 – 447 (2015); https://doi.org/10.1007/s10559-015-9735-8.
8. В. Е. Капустян, И. А. Пышнограев, Задача оптимального управления с полуопределенным критерием качества
для параболо-гиперболических уравнений с нелокальными точечными краевыми условиями, Укр. мат. журн., 67,
№ 8, 1068 – 1081 (2015); https://nbuv.gov.ua/UJRN/UMJ_2015_67_8_8.
9. В. Е. Капустян, И. А. Пышнограев, Оптимальное управление для вырождающегося параболо-гиперболического
уравнения с полуопределенным критерием качества, Вестник ДНУ им. О. Гончара, Сер. Моделирование, вып. 8,
№ 8, 93 – 105 (2016); https://dx.doi.org/10.15421/141606.
10. U. I. Baltaeva, Boundary-value problem for a loaded mixed-type equation with a characteristic line of type change,
J. Math. Sci., 272, 202 – 214 (2023); https://doi.org/10.1007/s10958-023-06410-4.
11. G. A. Balkizov, On a priori estimates of solutions of the tricomi problem for a certain mixed-type second-order
equation, J. Math. Sci., 260, 286 – 293 (2022); https://doi.org/10.1007/s10958-022-05692-4.
12. D. K. Durdiev, Determining the coefficient of a mixed parabolic-hyperbolic equation with noncharacteristic type
change line, Different. Equat., 58, 1618 – 1629 (2022); https://doi.org/10.1134/S00122661220120059.
13. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, Москва (1977).
Одержано 13.06.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6829 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:28Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/e6be0c09477ae4fc616d458b7c8f7b19.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68292024-06-19T00:35:09Z Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions Існування та єдиність розв'язку для параболо-гіперболічного рівняння з мультиплікативним керуванням і нелокальними крайовими умовами Kapustyan, V. Pyshnograiev, I. Капустян, Володимир Пишнограєв, Іван Parabolic-hyperbolic equation nonlocal boundary conditions biorthogonal basis multiplicative control Параболо-гіперболічне рівняння нелокальні крайові умови біортогональний базис мультиплікативне керування UDC 517.9 We consider a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocal boundary conditions.&nbsp;By using the Riess biorthogonal basis, the problem is reduced to a sequence of one-dimensional problems with alternative representations of their solutions.&nbsp;Conditions guaranteeing the existence and uniqueness of&nbsp; solution to the analyzed problem are established. УДК 517.9 Розглядається параболо-гіперболічне рівняння з мультиплікативним&nbsp;керуванням і нелокальними крайовими умовами. З використанням біортогонального базису Рісса задачу зведено до послідовності одновимірних задач з альтернативними зображеннями їхніх розв'язків. Виведено умови, які гарантують існування та єдиність цього розв'язку.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-02-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6829 10.3842/umzh.v76i2.6829 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 2 (2024); 257-275 Український математичний журнал; Том 76 № 2 (2024); 257-275 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6829/9728 Copyright (c) 2024 Іван Пишнограєв |
| spellingShingle | Kapustyan, V. Pyshnograiev, I. Капустян, Володимир Пишнограєв, Іван Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions |
| title | Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions |
| title_alt | Існування та єдиність розв'язку для параболо-гіперболічного рівняння з мультиплікативним керуванням і нелокальними крайовими умовами |
| title_full | Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions |
| title_fullStr | Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions |
| title_full_unstemmed | Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions |
| title_short | Existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions |
| title_sort | existence and uniqueness of solution to a parabolic-hyperbolic equation with multiplicative control and nonlocally boundary conditions |
| topic_facet | Parabolic-hyperbolic equation nonlocal boundary conditions biorthogonal basis multiplicative control Параболо-гіперболічне рівняння нелокальні крайові умови біортогональний базис мультиплікативне керування |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6829 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanv existenceanduniquenessofsolutiontoaparabolichyperbolicequationwithmultiplicativecontrolandnonlocallyboundaryconditions AT pyshnograievi existenceanduniquenessofsolutiontoaparabolichyperbolicequationwithmultiplicativecontrolandnonlocallyboundaryconditions AT kapustânvolodimir existenceanduniquenessofsolutiontoaparabolichyperbolicequationwithmultiplicativecontrolandnonlocallyboundaryconditions AT pišnograêvívan existenceanduniquenessofsolutiontoaparabolichyperbolicequationwithmultiplicativecontrolandnonlocallyboundaryconditions AT kapustyanv ísnuvannâtaêdinístʹrozv039âzkudlâparabologíperbolíčnogorívnânnâzmulʹtiplíkativnimkeruvannâmínelokalʹnimikrajovimiumovami AT pyshnograievi ísnuvannâtaêdinístʹrozv039âzkudlâparabologíperbolíčnogorívnânnâzmulʹtiplíkativnimkeruvannâmínelokalʹnimikrajovimiumovami AT kapustânvolodimir ísnuvannâtaêdinístʹrozv039âzkudlâparabologíperbolíčnogorívnânnâzmulʹtiplíkativnimkeruvannâmínelokalʹnimikrajovimiumovami AT pišnograêvívan ísnuvannâtaêdinístʹrozv039âzkudlâparabologíperbolíčnogorívnânnâzmulʹtiplíkativnimkeruvannâmínelokalʹnimikrajovimiumovami |