Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm
UDC 517.5 For any $q\geq p>0,$ $\alpha=(r+1/q)/(r+1/p),$ $f_p\in[0,\infty],$ $\beta\in[0,2\pi),$ we prove the sharp Remez type inequality $$\|x\|_q\leq\frac{\|\varphi_r+c\|_q}{\|\varphi_r+ c\|^{\alpha}_{L_p([0,2\pi]\setminus B_{y(\beta)})}}\|x\|^{\alpha}_{L_p([0,2\pi]\setminus B)}\|x^{(r)...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6836 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512544445169664 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Olexandrova, T. V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. Олександрова, Т. В. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Olexandrova, T. V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. Олександрова, Т. В. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:01Z |
| description | UDC 517.5
For any $q\geq p>0,$ $\alpha=(r+1/q)/(r+1/p),$ $f_p\in[0,\infty],$ $\beta\in[0,2\pi),$ we prove the sharp Remez type inequality $$\|x\|_q\leq\frac{\|\varphi_r+c\|_q}{\|\varphi_r+ c\|^{\alpha}_{L_p([0,2\pi]\setminus B_{y(\beta)})}}\|x\|^{\alpha}_{L_p([0,2\pi]\setminus B)}\|x^{(r)}\|^{1-\alpha}_\infty$$ for $2\pi$-periodic functions $x\in L_\infty^r$ that have zeros and satisfy the condition \begin{gather}\|x_+\|_p\,\|x_-\|^{-1}_p=f_p,\quad (1)\end{gather} where $\varphi_r$ is Euler's perfect spline of order $r;$ the number $c$ is chosen in such a way that the function $x=\varphi_r+c$ satisfies the condition (1); $B$ is an arbitrary measurable set such that $\mu B\leq\beta\left(\|\varphi_r+c\|_p\left\|x^{(r)}\right\|_\infty\|x\|^{-1}_p\right)^{-1/(r+1/p)},$ the set $B_{y(\beta)}$ is defined by $B_{y(\beta)}:=\{t\in[0,2\pi]\colon|\varphi_r(t)+c|>y(\beta)\},$ and moreover, $\mu B_{y(\beta)}=\beta.$
We also establish sharp Remez type inequalities of various metrics for trigonometric polynomials and for polynomial splines satisfying (1).
|
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.6836 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.6836
УДК 517.5
В. О. Кофанов, Т. В. Олександрова (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ
\bfitL \bfitq -НОРМУ ФУНКЦIЇ ЧЕРЕЗ ЇЇ \bfitL \bfitp -НОРМУ
For any q \geq p > 0, \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p), fp \in [0,\infty ], \beta \in [0, 2\pi ), we prove the sharp Remez type inequality
\| x\| q \leq \| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| \alpha Lp([0,2\pi ]\setminus By(\beta ))
\| x\| \alpha Lp([0,2\pi ]\setminus B)\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty
for 2\pi -periodic functions x \in Lr
\infty that have zeros and satisfy the condition
\| x+\| p \| x - \| - 1
p = fp, (1)
where \varphi r is Euler’s perfect spline of order r; the number c is chosen in such a way that the function x = \varphi r + c satisfies
the condition (1); B is an arbitrary measurable set such that \mu B \leq \beta
\Bigl(
\| \varphi r + c\| p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\| x\| - 1
p
\Bigr) - 1/(r+1/p)
, the set
By(\beta ) is defined by By(\beta ) := \{ t \in [0, 2\pi ] : | \varphi r(t) + c| > y(\beta )\} , and moreover, \mu By(\beta ) = \beta .
We also establish sharp Remez type inequalities of various metrics for trigonometric polynomials and for polynomial
splines satisfying (1).
Для довiльних q \geq p > 0, \alpha = (r+1/q)/(r+1/p), fp \in [0,\infty ], \beta \in [0, 2\pi ) доведено точну нерiвнiсть типу Ремеза
\| x\| q \leq \| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| \alpha Lp([0,2\pi ]\setminus By(\beta ))
\| x\| \alpha Lp([0,2\pi ]\setminus B)\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty
для 2\pi -перiодичних функцiй x \in Lr
\infty , що мають нулi i задовольняють умову
\| x+\| p \| x - \| - 1
p = fp, (1)
де \varphi r - iдеальний сплайн Ейлера порядку r, а число c вибрано так, що функцiя x = \varphi r+c задовольняє рiвнiсть (1),
B — довiльна вимiрна за Лебегом множина, така що \mu B \leq \beta
\Bigl(
\| \varphi r + c\| p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\| x\| - 1
p
\Bigr) - 1/(r+1/p)
, а множину
By(\beta ) означено рiвнiстю By(\beta ) := \{ t \in [0, 2\pi ] : | \varphi r(t) + c| > y(\beta )\} , причому \mu By(\beta ) = \beta .
Також отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для тригонометричних полiномiв i полiномiальних
сплайнiв, що задовольняють умову (1).
1. Вступ. Нехай G — вимiрна за Лебегом пiдмножина числової осi, а Lp(G) — простiр вимiрних
за Лебегом функцiй x : G\rightarrow \bfR , що мають скiнченну норму (квазiнорму)
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int
G
| x(t)| pdt
\biggr) 1/p
, якщо 0 < p <\infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in G
| x(t)| , якщо p = \infty .
Через Id позначимо коло, реалiзоване у виглядi вiдрiзка [0, d] з ототожненими кiнцями. Замiсть
\| x\| Lp(I2\pi ) для скорочення будемо писати \| x\| p.
Для r \in \bfN , G = \bfR або G = Id через Lr
\infty (G) позначимо простiр усiх функцiй x \in L\infty (G),
що мають локально абсолютно неперервнi похiднi до (r - 1)-го порядку i задовольняють умову
x(r) \in L\infty (G).
Символом \varphi r(t), r \in \bfN , позначимо зсув r-го 2\pi -перiодичного iнтеграла з нульовим серед-
нiм значенням на перiодi вiд функцiї \varphi 0(t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, який задовольняє умову \varphi r(0) = 0. Для
\lambda > 0 покладемо \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t).
В роботi [1] доведено таку теорему.
c\bigcirc В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5 635
636 В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА
Теорема А. Нехай r \in \bfN , q > p > 0. Для довiльної функцiї x \in Lr
\infty (I2\pi ), що має нулi,
виконується точна на класi Lr
\infty (I2\pi ) нерiвнiсть
\| x\| q \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c\in [0,Kr]
\| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| \alpha p
\| x\| \alpha p \| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (1.1)
де \alpha =
r + 1/q
r + 1/p
, Kr := \| \varphi r\| \infty — стала Фавара.
При доведеннi нерiвностi (1.1) в роботi [1] встановлено, що якшо для заданої функцiї
x \in Lr
\infty (I2\pi ), яка має нулi, число c \in [ - Kr,Kr] вибрати так, щоб виконувалась умова
\| x+\| p
\| x - \| p
=
\| (\varphi r + c)+\| p
\| (\varphi r + c) - \| p
,
то виконується нерiвнiсть
\| x\pm \| q \leq
\| (\varphi r + c)\pm \| q
\| (\varphi r + c)\pm \| \alpha p
\| x\pm \| \alpha p \| x(r)\| 1 - \alpha
\infty . (1.2)
Аналог нерiвностi (1.1), в якому Lq -норма перiодичної функцiї оцiнюється через її локальну
Lp-норму, отримано в роботi [2]. В роботi [3] одержано достатнi умови, за яких точна верхня
грань в нерiвностi (1.1) досягається для c = 0.
У данiй роботi нерiвностi (1.1), (1.2) узагальнено на класи функцiй iз заданою функцiєю
порiвняння, причому в цих узагальненнях мiститься „ефект Ремеза”. Наведемо необхiднi озна-
чення.
Функцiя f \in L1
\infty (\bfR ) називається функцiєю порiвняння для функцiї x \in L1
\infty (\bfR ), якщо iснує
таке c \in \bfR , що
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in \bfR
f(t) + c \leq x(t) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \bfR
f(t) + c, t \in \bfR ,
i з рiвностi x(\xi ) = f(\eta ) + c, де \xi , \eta \in \bfR , випливає нерiвнiсть | x\prime (\xi )| \leq | f \prime (\eta )| , якщо вказанi
похiднi iснують.
Непарну 2\omega -перiодичну функцiю \varphi \in L1
\infty (I2\omega ) назвемо S -функцiєю, якщо вона має такi
властивостi: \varphi парна щодо \omega /2, | \varphi | опукла догори на [0, \omega ] i строго монотонна на [0, \omega /2].
Для 2\omega -перiодичної S -функцiї \varphi через S\varphi (\omega ) позначимо клас функцiй x \in L1
\infty (Id), для
яких \varphi є функцiєю порiвняння. Зазначимо, що класи S\varphi (\omega ) розглядались у роботах [4, 5].
Прикладами класiв S\varphi (\omega ) є соболєвськi класи Lr
\infty (Id) з функцiєю порiвняння \varphi \lambda ,r, а також
обмеженi пiдмножини просторiв Tn (тригонометричних полiномiв порядку не вищого за n) з
функцiєю порiвняння \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt i Sn,r (2\pi -перiодичних сплайнiв порядку r дефекту 1 з вузлами в
точках k\pi /n, k \in \bfZ ) з функцiєю порiвняння \varphi n,r.
В теорiї наближення важливу роль вiдiграють нерiвностi типу Ремеза
\| T\| L\infty (I2\pi ) \leq C(n, \beta )\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.3)
на класi Tn, де B — довiльна вимiрна за Лебегом множина B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta .
Цю тематику започаткував Є. Ремез в роботi [6] в якiй вiн знайшов точну сталу C(n, \beta ) в
нерiвностi вигляду (1.3) для алгебраїчних многочленiв. В нерiвностi (1.3) для тригонометричних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ Lq -НОРМУ ФУНКЦIЇ . . . 637
полiномiв у низцi робiт отримано двостороннi оцiнки для точних сталих C(n, \beta ). Крiм того,
вiдома асимптотична поведiнка сталих C(n, \beta ) при \beta \rightarrow 2\pi [7] i \beta \rightarrow 0 [8]. Бiблiографiю робiт
з даної тематики можна знайти в [7 – 10]. В роботi [8] доведено нерiвнiсть
\| T\| L\infty (I2\pi ) \leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.4)
для довiльного полiнома T \in Tn, що має мiнiмальний перiод 2\pi /m, i будь-якої вимiрної за
Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , де \beta \in (0, 2\pi m/n). Рiвнiсть в (1.4) досягається для
полiнома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx+
1
2
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta /2).
Нещодавно було знайдено [11] точну сталу в нерiвностi (1.3) типу Ремеза для тригономет-
ричних полiномiв.
Результат роботи [8] було узагальнено в [12] на класи S\varphi (\omega ). Як наслiдок отримано аналог
нерiвностi (1.4) для полiномiальних сплайнiв i функцiй класiв Lr
\infty (I2\pi ). В роботах [13 – 17] до-
ведено деякi точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза i нерiвностi типу Колмогорова – Ремеза
на класах S\varphi (\omega ), зокрема, для диференцiйовних перiодичних функцiй, тригонометричних полi-
номiв i сплайнiв. Крiм того, в роботi [17] дослiджено взаємозв’язок точних сталих в нерiвностях
типу Колмогорова та Колмогорова – Ремеза. Взаємозв’язок точних сталих в нерiвностях типу
Колмогорова для перiодичних функцiй i функцiй на дiйснiй осi дослiджено в роботi [18].
У данiй роботi отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для функцiй x \in S\varphi (\omega )
iз заданим вiдношенням Lp-норм додатних i вiд’ємних частин (теорема 1). Як наслiдок доведе-
но такi нерiвностi для функцiй класiв Lr
\infty (I2\pi ), тригонометричних полiномiв i полiномiальних
сплайнiв iз заданим вiдношенням Lp-норм додатних i вiд’ємних частин (теореми 2 – 4). Наслi-
док з теореми 2 мiстить нерiвнiсть (1.1) з „ефектом Ремеза”.
2. Нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза на класах \bfitS \bfitvarphi (\bfitomega ).
Теорема 1. Нехай q, p > 0, q \geq p, \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega , \beta \in [0, 2\omega ). Якщо для
d-перiодичної функцiї x \in S\varphi (\omega ), яка має нулi, iснує c \in [ - \| \varphi \| \infty , \| \varphi \| \infty ], що задовольняє умову
\| x\pm \| Lp(Id) = \| (\varphi + c)\pm \| Lp(I2\omega ), (2.1)
то для довiльної вимiрної за Лебегом множини B \subset Id, \mu B \leq \beta , виконується нерiвнiсть
\| x\| Lq(Id) \leq
\| \varphi + c\| Lq(I2\omega )
\| \varphi + c\| Lp(I2\omega \setminus By(\beta ))
\| x\| Lp(Id\setminus B), (2.2)
де By := \{ t \in [0, 2\omega ] : | \varphi (t) + c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що \mu By(\beta ) = \beta .
Для будь-якого фiксованого c \in [ - \| \varphi \| \infty , \| \varphi \| \infty ] нерiвнiсть (2.2) є точною на класi функ-
цiй x \in S\varphi (\omega ), що мають нулi i задовольняють умову (2.1). Рiвнiсть в (2.2) досягається для
функцiї x(t) = \varphi (t) + c i множини B = By(\beta ).
Доведення теореми 1 наведемо у виглядi низки лем, якi будуть використанi також при
доведеннi подальших теорем.
Покладемо E0(x)\infty := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}a\in \bfR \| x - a\| \infty .
Лема 1. За умов теореми 1
\| x\pm \| \infty \leq \| (\varphi + c)\pm \| \infty (2.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
638 В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА
i
d \geq 2\omega . (2.4)
Доведення. Зафiксуємо функцiю x \in S\varphi (\omega ) i число c \in [ - \| \varphi \| \infty , \| \varphi \| \infty ], якi задовольняють
умови теореми 1. Припустимо, що для функцiї x нерiвнiсть (2.3) не виконується. Оскiльки
\varphi є функцiєю порiвняння для функцiї x, то E0(x)\infty \leq E0(\varphi )\infty . Тому зроблене припущення
означає, що не виконується точно одна з нерiвностей (2.3). Нехай, наприклад,
\| x+\| \infty \leq \| (\varphi + c)+\| \infty , \| x - \| \infty > \| (\varphi + c) - \| \infty .
Тодi знайдеться таке a > 0, що
\| (x+ a)+\| \infty \leq \| (\varphi + c)+\| \infty , \| (x+ a) - \| \infty = \| (\varphi + c) - \| \infty . (2.5)
Зрозумiло, що x+a \in S\varphi (\omega ). Через m позначимо точку мiнiмуму функцiї \varphi +c, i нехай t1(t2) —
найближчий злiва (справа) вiд m нуль цiєї функцiї. Внаслiдок другого спiввiдношення в (2.5)
iснує такий зсув x(\cdot + \tau ) функцiї x, що x(m+ \tau ) + a = \varphi (m) + c. Крiм того, оскiльки \varphi + c є
функцiєю порiвняння для функцiї x, то
x(t+ \tau ) + a \leq \varphi (t) + c < 0, t \in (t1, t2).
Звiдси, оскiльки a > 0, випливає оцiнка
\| x - \| Lp(Id) > \| (x+ a) - \| Lp(Id) \geq \| (\varphi + c) - \| Lp(I2\omega ),
яка суперечить умовi (2.1). Отже, нерiвнiсть (2.3) встановлено. Спiввiдношення (2.4) безпосе-
редньо випливає з (2.1) i (2.3) внаслiдок включення x \in S\varphi (\omega ).
Лему 1 доведено.
Для f \in L1[a, b] через r(f, t), t \in [0, b - a], позначимо перестановку функцiї | f | (див.,
наприклад, [19] § 1.3) i покладемо r(f, t) = 0 для t > b - a.
Лема 2. За умов теореми 1
\xi \int
0
rp(\=x\pm , t)dt \leq
\xi \int
0
rp( \=\varphi \pm , t)dt, \xi > 0, (2.6)
де \=x — звуження x на Id, а \=\varphi — звуження \varphi + c на I2\omega . Зокрема,
\| x\pm \| Lq(Id) \leq \| (\varphi + c)\pm \| Lq(I2\omega ). (2.7)
Доведення. Для доведення (2.6) зауважимо, що внаслiдок (2.3) для довiльного
y\pm \in [0, \| \=x\pm \| \infty ) iснують точки
t\pm i \in Id, i = 1, 2, . . . ,m, m \geq 2, y\pm j \in I2\omega , j = 1, 2,
для яких
y\pm = \=x\pm
\bigl(
t\pm i
\bigr)
= \=\varphi \pm
\Bigl(
y\pm j
\Bigr)
.
Оскiльки \varphi + c є функцiєю порiвняння для x, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ Lq -НОРМУ ФУНКЦIЇ . . . 639\bigm| \bigm| \=x\prime \pm (t\pm i )\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \=\varphi \prime
\pm (y
\pm
j )
\bigm| \bigm| \bigm| .
Покажемо, що якщо точки \theta \pm 1 \in [0, d] i \theta \pm 2 \in [0, 2\omega ] задовольняють умову
y\pm = r
\bigl(
\=x\pm , \theta
\pm
1
\bigr)
= r
\bigl(
\=\varphi \pm , \theta
\pm
2
\bigr)
,
то \bigm| \bigm| r\prime \bigl( \=x\pm , \theta \pm 1 \bigr) \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| r\prime \bigl( \=\varphi \pm , \theta
\pm
2
\bigr) \bigm| \bigm| .
Справдi, це безпосередньо випливає з теореми про похiдну перестановки (див., наприклад,
[19], твердження 1.3.2), згiдно з якою
\bigm| \bigm| r\prime \bigl( \=x\pm , \theta \pm 1 \bigr) \bigm| \bigm| =
\Biggl[
m\sum
i=1
\bigm| \bigm| \=x\prime \pm (ti)\bigm| \bigm| - 1
\Biggr] - 1
\leq
\left[ 2\sum
j=1
\bigm| \bigm| \bigm| \=\varphi \prime
\pm
\Bigl(
y\pm j
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| - 1
\right] - 1
=
\bigm| \bigm| r\prime \bigl( \=\varphi \pm , \theta
\pm
2
\bigr) \bigm| \bigm| .
Враховуючи також спiввiдношення
r (\=x\pm , 0) = \| \=x\pm \| \infty \leq \| \=\varphi \pm \| \infty = r ( \=\varphi \pm , 0) ,
що випливає з (2.3) i факту збереження перестановкою L\infty -норми, робимо висновок, що рiз-
ниця \Delta \pm (t) := r (\=x\pm , t) - r ( \=\varphi \pm , t) змiнює знак на [0,\infty ) не бiльше одного разу (з мiнуса
на плюс). Те ж саме виконується i для рiзницi \Delta \pm
p (t) := rp (\=x\pm , t) - rp ( \=\varphi \pm , t) . Покладемо
I\pm (\xi ) :=
\int \xi
0
\Delta \pm
p (t)dt. Тодi I\pm (0) = 0, i оскiльки перестановка зберiгає Lp-норму, внаслiдок
(2.1), (2.4) маємо
I(d) = \| \=x\pm \| Lp(Id)
- \| \=\varphi \pm \| Lp(I2\omega )
= 0.
Крiм того, I \prime \pm (\xi ) = \Delta \pm
p (\xi ) змiнює знак (з мiнуса на плюс) не бiльше одного разу.
Отже, I(\xi ) \leq 0, \xi > 0, що рiвносильно (2.6). З (2.6) внаслiдок теореми Гардi – Лiттлвуда –
Полiа (див., наприклад, [19], теорема 1.3.1) випливає нерiвнiсть (2.7).
Лему 2 доведено.
Лема 3. За умов теореми 1
\| x\| Lp(Id\setminus B) \geq \| \varphi + c\| Lp(I2\omega \setminus By(\beta )). (2.8)
Доведення. Нехай, як i ранiше, \=x — звуження x на Id, а \=\varphi — звуження \varphi + c на I2\omega . Для
довiльної вимiрної множини B \subset Id, \mu B \leq \beta , внаслiдок вiдомої властивостi
\int
B
| x(t)| p dt \leq
\beta \int
0
rp (\=x, t) dt, (2.9)
а оскiльки перестановка зберiгає Lp-норму, то
\| x\| pLp(Id\setminus B) =
\int
Id
| x(t)| pdt -
\int
B
| x(t)| pdt \geq
d\int
0
rp (\=x, t) dt -
\beta \int
0
rp (\=x, t) dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
640 В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА
Застосовуючи тепер (2.1) i нерiвнiсть
\xi \int
0
rp (\=x, t) dt \leq
\xi \int
0
rp ( \=\varphi , t) dt, \xi > 0,
що випливає з (2.6) згiдно з твердженням 1.3.6 з [19], отримуємо
\| x\| pLp(Id\setminus B) \geq
2\omega \int
0
rp ( \=\varphi , t) dt -
\beta \int
0
rp ( \=\varphi , t) dt =
2\omega \int
\beta
rp ( \=\varphi , t) dt =
\int
I2\omega \setminus By(\beta )
| \varphi (t)| p dt.
Звiдси випливає (2.8).
Лему 3 доведено.
Доведення теореми 1. Зафiксуємо d-перiодичну функцiю x \in S\varphi (\omega ), що має нулi, для якої
виконується умова (2.1) з деяким c \in [ - \| \varphi \| \infty , \| \varphi \| \infty ]. Для неї за лемами 2 i 3 мають мiсце
оцiнки (2.7), (2.8). З них безпосередньо випливає нерiвнiсть (2.2). Її точнiсть є очевидною.
Теорему 1 доведено.
3. Нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для функцiй \bfitx \in \bfitL \bfitr
\infty (\bfitI \bftwo \bfitpi ). Нагадаємо, що
cимволом \varphi r(t), r \in \bfN , позначено зсув r-го 2\pi -перiодичного iнтеграла з нульовим середнiм
значенням на перiодi вiд функцiї \varphi 0(t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, який задовольняє умову \varphi r(0) = 0. Зро-
зумiло, що сплайн \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t), \lambda > 0, є S -функцiєю з перiодом 2\pi /\lambda .
Для r \in \bfN , p > 0, fp \in [0,\infty ] розглянемо клас
fp L
r
\infty (I2\pi ) :=
\biggl\{
x \in Lr
\infty (I2\pi ) :
\| x+\| p
\| x - \| p
= fp
\biggr\}
.
Очевидно, для заданих p, fp iснує єдине c \in [ - Kr,Kr], для якого
\varphi r + c \in fp L
r
\infty (I2\pi ). (3.1)
Теорема 2. Нехай r \in \bfN , p, q > 0, q \geq p, fp \in [0,\infty ], \beta \in [0, 2\pi ). Тодi для довiльної
функцiї x \in fp L
r
\infty (I2\pi ), що має нулi, i будь-якої вимiрної множини B \subset I2\pi , для якої \mu B \leq \beta /\lambda ,
де \lambda вибрано так, що
\| x\| p = \| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\| Lp(I2\pi /\lambda )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
, (3.2)
а число c задовольняє умову (3.1), виконується нерiвнiсть
\| x\| q \leq
\| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| \alpha Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
, (3.3)
де \alpha =
r + 1/q
r + 1/p
, а By := \{ t \in I2\pi : | \varphi r(t) + c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що
\mu By(\beta ) = \beta .
Нерiвнiсть (3.3) є точною на класi всiх пар (x,B), що складаються з функцiї x \in
\in fp L
r
\infty (I2\pi ), яка має нулi, i вимiрної множини B \subset I2\pi , для якої \mu B \leq \beta /\lambda , де \lambda задовольняє
умову (3.2). Рiвнiсть у (3.3) досягається для пари (x,By(\beta )), де x(t) = \varphi r(t) + c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ Lq -НОРМУ ФУНКЦIЇ . . . 641
Доведення. Зафiксуємо функцiю x \in fp L
r
\infty (I2\pi ), що задовольняє умови теореми. Оскiльки
нерiвнiсть (3.3) однорiдна, можна вважати, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
= 1. (3.4)
Тодi з (3.1), (3.2) внаслiдок означення класу fp Lr
\infty (I2\pi ) випливає, що
\| x\pm \| p =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \varphi \lambda ,r + \lambda - rc
\bigr)
\pm
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(I2\pi /\lambda )
. (3.5)
Для функцiй x \in fp L
r
\infty (I2\pi ), що задовольняють цю умову, має мiсце нерiвнiсть (1.2)
\| x\pm \| q \leq
\| (\varphi r + c)\pm \| q
\| (\varphi r + c)\pm \| \alpha p
\| x\pm \| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
.
З цiєї нерiвностi та спiввiдношень (3.4), (3.5) внаслiдок очевидної рiвностi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \varphi \lambda ,r + \lambda - rc
\bigr)
\pm
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(I2\pi /\lambda )
= \lambda - (r+1/p)\| (\varphi r + c)\pm \| p, p > 0, (3.6)
випливає оцiнка
\| x\pm \| q \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \varphi \lambda ,r + \lambda - rc
\bigr)
\pm
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(I2\pi /\lambda )
. (3.7)
Зокрема, внаслiдок (3.4), (3.7) (при q = \infty ) для функцiї x виконано умови теореми порiвняння
Колмогорова [20]. За цiєю теоремою сплайн \varphi (t) = \varphi \lambda ,r(t) є функцiєю порiвняння для функцiї
x, тобто x \in S\varphi
\Bigl( \pi
\lambda
\Bigr)
. Отже, внаслiдок (3.5) для функцiї x виконуються всi умови теореми 1.
За цiєю теоремою для q \geq p i довiльної вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda має мiсце
нерiвнiсть
\| x\| q \leq
\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\| Lq(I2\pi /\lambda )
\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\|
Lp
\Bigl(
I2\pi /\lambda \setminus
By(\beta )
\lambda
\Bigr) \| x\| Lp(I2\pi \setminus B).
З останньої нерiвностi (при q = p) i умов (3.2), (3.4) випливає, що
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B) \geq
\bigm\| \bigm\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc
\bigm\| \bigm\|
Lp
\biggl(
I2\pi /\lambda \setminus
By(\beta )
\lambda
\biggr) .
Комбiнуючи отриману оцiнку знизу з нерiвнiстю (3.7), внаслiдок очевидного спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc
\bigm\| \bigm\|
Lp
\biggl(
I2\pi /\lambda \setminus
By(\beta )
\lambda
\biggr) = \lambda - (r+1/p)\| \varphi r + c\| Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
i означення \alpha =
r + 1/q
r + 1/p
маємо
\| x\| q
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\leq
\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\| Lq(I2\pi /\lambda )
\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\| \alpha
Lp
\biggl(
I2\pi /\lambda \setminus
By(\beta )
\lambda
\biggr) =
\| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| \alpha Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
.
З цiєї оцiнки внаслiдок (3.4) випливає (3.3). Точнiсть нерiвностi (3.3) є очевидною.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
642 В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА
Наслiдок 1. Нехай r \in \bfN , p, q > 0, q \geq p, \alpha =
r + 1/q
r + 1/p
, \beta \in [0, 2\pi ), а число \=c \in [0,Kr]
реалiзує верхню грань
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c\in [0,Kr]
\| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| \alpha Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
,
де Bc
y := \{ t \in I2\pi : | \varphi r(t) + c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що \mu Bc
y(\beta ) = \beta .
Тодi для будь-якої функцiї x \in Lr
\infty (I2\pi ), що має нулi, i довiльної вимiрної множини B \subset I2\pi ,
\mu B \leq \beta /\lambda , де \lambda вибрано так, що
\| x\| p =
\bigm\| \bigm\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc
\bigm\| \bigm\|
Lp(I2\pi /\lambda )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
, (3.8)
а c задовольняє умову
\| x+\| p \| x - \| - 1
p = \| (\varphi r + c)+\| p \| (\varphi r + c) - \| - 1
p ,
виконується нерiвнiсть
\| x\| q \leq
\| \varphi r + \=c\| q
\| \varphi r + \=c\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B\=c
y(\beta )
)
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
. (3.9)
Нерiвнiсть (3.9) є точною на класi всiх пар (x,B), що складаються з функцiї x \in Lr
\infty (I2\pi ),
яка має нулi, i вимiрної множини B \subset I2\pi , для якої \mu B \leq \beta /\lambda , де \lambda задовольняє умову (3.8).
Рiвнiсть у (3.9) досягається для пари
\Bigl(
x,B\=c
y(\beta )
\Bigr)
, де x(t) = \varphi r(t) + \=c.
Зауваження 1. 1. Для \beta = 0 теорему 2 i наслiдок 1 отримано в [1].
2. Для функцiй x \in Lr
\infty (I2\pi ), якi задовольняють умову \| x+\| p = \| x - \| p, стала c в нерiвностi
(3.3) дорiвнює нулю.
3. Для знакосталих функцiй x \in Lr
\infty (I2\pi ), що мають нулi, нерiвнiсть (3.3) перетворюється
в нерiвнiсть для найкращих одностороннiх наближень сталою
E\pm
0 (x)LsG) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
c\in \bfR
\bigl\{
\| x - c\| Ls(G) : \forall t \in G \pm (x(t) - c)\pm \geq 0
\bigr\}
, (3.10)
тобто норми \| x\| q i \| x\| Lp(I2\pi \setminus B) в нерiвностi (3.3) для таких функцiй слiд замiнити на E\pm
0 (x)q
i E\pm
0 (x)Lp(I2\pi \setminus B) вiдповiдно. При цьому сталу c в такiй нерiвностi потрiбно замiнити на сталу
Фавара Kr.
4. Нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для тригонометричних полiномiв. Нагадаємо,
що Tn — простiр тригонометричних полiномiв порядку не вищого за n. Для p > 0, fp \in [0,\infty ]
покладемо
fp Tn :=
\biggl\{
T \in Tn :
\| T+\| p
\| T - \| p
= fp
\biggr\}
.
Теорема 3. Нехай n,m \in \bfN , p, q > 0, q \geq p, fp \in [0,\infty ]. Якщо тригонометричний
полiном T \in fp Tn з мiнiмальним перiодом 2\pi /m має нулi, то для довiльної вимiрної множини
B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta , \beta \in [0, 2\pi ), виконується нерiвнiсть
\| T\| q \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p
- 1
q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| q
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B), (4.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ Lq -НОРМУ ФУНКЦIЇ . . . 643
де число c \in [ - 1, 1] задовольняє умову
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c \in fp Tn, (4.2)
а By := \{ t \in I2\pi : | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t+ c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що \mu By(\beta ) = \beta .
Нерiвнiсть (4.1) є точною у сенсi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(n,m)\in Nn,m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(T,B)\in Pm
n
\| T\| q
(n/m)1/p - 1/q\| T\| Lp(I2\pi \setminus B)
=
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| q
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
, (4.3)
де Nn,m — множина пар (n,m) натуральних чисел, таких що m \leq n, а Pm
n — множина пар
(T,B), що складаються з полiнома T \in fp Tn з мiнiмальним перiодом 2\pi /m, що має нулi, i
вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta .
Доведення. Зафiксуємо полiном T \in fp Tn, що задовольняє умови теореми 3. Покладемо
для скорочення \varphi (t) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt, \psi (t) := \varphi (t)+ c, t \in \bfR . Внаслiдок однорiдностi нерiвностi (4.1)
можна вважати, що
\| T\| Lp(I2\pi /m) = \| \psi \| Lp(I2\pi /n). (4.4)
Звiдси, враховуючи (4.2) i означення класу fp Tn, отримуємо рiвнiсть
\| T\pm \| Lp(I2\pi /m) = \| \psi \pm \| Lp(I2\pi /n). (4.5)
Покажемо, що
\| T\pm \| \infty \leq \| \psi \pm \| \infty . (4.6)
Справдi, припустимо супротивне. Тодi iснує таке \gamma \in (0, 1), що \| \gamma T\pm \| \infty \leq \| \psi \pm \| \infty , причому в
однiй iз цих нерiвностей має мiсце рiвнiсть. Нехай, наприклад,
\| \gamma T+\| \infty \leq \| \psi +\| \infty , \| \gamma T - \| \infty = \| \psi - \| \infty .
Тодi полiном \psi є функцiєю порiвняння для полiнома \gamma T (див. доведення теореми 8.1.1 в [21]).
Нехай m — точка мiнiмуму функцiї \psi , t1(t2) — найближчий злiва (справа) вiд m нуль цiєї
функцiї. Переходячи, якщо потрiбно, до зсуву полiнома \gamma T, можна вважати, що
\| \gamma T - \| \infty = - \gamma T (m).
Оскiльки \psi є функцiєю порiвняння для полiнома \gamma T, то
\gamma T (t) \leq \psi (t) < 0, t \in (t1, t2).
Звiдси випливає оцiнка
\| T - \| Lp(2\pi /m) > \| \gamma T - \| Lp(2\pi /m) \geq \| \psi - \| Lp(2\pi /n),
яка суперечить (4.5). Отже, нерiвнiсть (4.6) доведено.
З цiєї нерiвностi i доведення теореми 8.1.1 з [21] випливає, що \varphi (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt є функцiєю
порiвняння для полiнома T (t), тобто T \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. Тому внаслiдок (4.4) полiном T задовольняє
всi умови теореми 1, а отже, i умови лем 1 – 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
644 В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА
Встановимо нерiвнiсть
\| T\| q \leq
\Bigl( m
n
\Bigr) 1/q
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| q. (4.7)
Справдi, внаслiдок нерiвностi (2.7) маємо
\| T\| Lq(I2\pi /m) \leq \| \varphi + c\| Lq(I2\pi /n).
Звiдси безпосередньо випливає (4.7) внаслiдок 2\pi /m-перiодичностi полiнома T i 2\pi /n-перiодич-
ностi функцiї \varphi .
Доведемо тепер нерiвнiсть
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B) \geq
\Bigl( m
n
\Bigr) 1/p
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| Lp(I2\pi \setminus By(\beta )
) (4.8)
для довiльної вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta .
Нехай \=T — звуження полiнома T на I2\pi /m, а \=\varphi — звуження \varphi + c на I2\pi /n. Застосовуючи
нерiвнiсть (2.9) i враховуючи те, що перестановка зберiгає Lp-норму, одержуємо
\| T\| pLp(I2\pi \setminus B) =
2\pi \int
0
| T (t)| p dt -
\int
B
| T (t)| p dt \geq
2\pi \int
0
rp(T, t) dt -
m
n
\beta \int
0
rp(T, t) dt =
= m
\left[ 2\pi /m\int
0
rp( \=T , t) dt -
\beta /n\int
0
rp
\bigl(
\=T , t
\bigr)
dt
\right] .
Звiдси, застосовуючи (4.4) i нерiвнiсть
\xi \int
0
rp
\bigl(
\=T , t
\bigr)
dt \leq
\xi \int
0
rp ( \=\varphi , t) dt, \xi > 0,
що випливає з (2.6) згiдно з твердженням 1.3.6 з [19], отримуємо оцiнку знизу
\| T\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq m
\left[ 2\pi /n\int
0
rp ( \=\varphi , t) dt -
\beta /n\int
0
rp ( \=\varphi , t) dt
\right] = m
2\pi /n\int
\beta /n
rp ( \=\varphi , t) dt =
=
m
n
2\pi \int
\beta
rp(\varphi + c, t) dt =
m
n
\int
I2\pi \setminus By(n)
| \varphi (t) + c| p dt = m
n
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| p
Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
,
де By(n) := \{ t \in I2\pi : | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt + c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що \mu By(n) = \beta . З
отриманої оцiнки випливає (4.8). Комбiнуючи (4.7) i (4.8), одержуємо нерiвнiсть (4.1). Точнiсть
(4.1) у сенсi (4.3) є очевидною.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ Lq -НОРМУ ФУНКЦIЇ . . . 645
Наслiдок 2. Нехай n,m \in \bfN , q, p > 0, q \geq p, \beta \in [0, 2\pi ), а число \=c \in [0, 1] реалiзує верхню
грань
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c\in [0,1]
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| q
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
,
де Bc
y := \{ t \in I2\pi : | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t+ c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що \mu Bc
y(\beta ) = \beta .
Тодi для будь-якого тригонометричного полiнома T \in Tn з мiнiмальним перiодом 2\pi /m,
що має нулi, i довiльної вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta , виконується нерiвнiсть
\| T\| q \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p
- 1
q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + \=c\| q
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + \=c\| Lp(I2\pi \setminus B\=c
y(\beta )
)
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B). (4.9)
Нерiвнiсть (4.8) є точною у сенсi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(n,m)\in Nn,m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(T,B)\in Qm
n
\| T\| q
(n/m)1/p - 1/q\| T\| Lp(I2\pi \setminus B)
=
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + \=c\| q
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + \=c\| Lp(I2\pi \setminus B\=c
y(\beta )
)
,
де Nn,m — множина пар (n,m) натуральних чисел, таких що m \leq n, а Qm
n — множина пар
(T,B), що складаються з полiнома T \in Tn з мiнiмальним перiодом 2\pi /m, що має нулi, i
вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta .
Зауваження 2. 1. Для \beta = 0 i m = 1 теорему 3 i наслiдок 2 отримано в [1].
2. Для полiномiв T \in Tn, що задовольняють умову \| T+\| p = \| T - \| p, стала c в нерiвностi
(4.1) дорiвнює нулю.
3. Для знакосталих полiномiв T \in Tn, що мають нулi, нерiвнiсть (4.1) перетворюється в
нерiвнiсть для найкращих одностороннiх наближень сталою (див. (3.10)), тобто норми \| T\| q i
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B) в нерiвностi (4.1) для таких полiномiв потрiбно замiнити на E\pm
0 (T )q i
E\pm
0 (T )Lp(I2\pi \setminus B) вiдповiдно. При цьому стала c в такiй нерiвностi дорiвнює 1.
5. Нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для сплайнiв. Нагадаємо, що Sn,r — простiр
2\pi -перiодичних сплайнiв порядку r дефекту 1 з вузлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ . Для p > 0,
fp \in [0,\infty ] покладемо
fp Sn,r :=
\biggl\{
s \in Sn,r :
\| s+\| p
\| s - \| p
= fp
\biggr\}
.
Теорема 4. Нехай n,m \in \bfN , p, q > 0, q \geq p, fp \in [0,\infty ]. Якщо сплайн s \in fp Sn,r з
мiнiмальним перiодом 2\pi /m має нулi, то для довiльної вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta ,
\beta \in [0, 2\pi ), виконується нерiвнiсть
\| s\| q \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p
- 1
q \| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B), (5.1)
де c \in [ - Kr,Kr] задовольняє умову
\varphi n,r + n - rc \in fp Sn,r, (5.2)
а By := \{ t \in I2\pi : | \varphi r(t) + c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що \mu By(\beta ) = \beta .
Нерiвнiсть (5.1) є точною у сенсi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
646 В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(n,m)\in Nn,m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(s,B)\in Sm
n
\| s\| q
(n/m)1/p - 1/q\| s\| Lp(I2\pi \setminus B)
=
\| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
, (5.3)
де Nn,m — множина пар (n,m) натуральних чисел, таких що m \leq n, а Sm
n — множина пар
(s,B), що складаються зi сплайна s \in fp Sn,r з мiнiмальним перiодом 2\pi /m, що має нулi, i
вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta .
Доведення. Зафiксуємо сплайн s \in fp Sn,r, що задовольняє умови теореми 4. Покладемо
для скорочення \varphi (t) := \varphi n,r(t), \psi (t) := \varphi n,r(t) + n - rc, t \in \bfR . Оскiльки нерiвность (5.1)
однорiдна, можна вважати, що
\| s\| Lp(I2\pi /m) = \| \psi \| Lp(I2\pi /n). (5.4)
Тодi внаслiдок (5.2) й означення класу fp Sn,r має мiсце рiвнiсть
\| s\pm \| Lp(I2\pi /m) = \| \psi \pm \| Lp(I2\pi /n). (5.5)
Покажемо, що
\| s\pm \| \infty \leq \| \psi \pm \| \infty . (5.6)
Справдi, припустимо супротивне. Тодi iснує таке \gamma \in (0, 1), що \| \gamma s\pm \| \infty \leq \| \psi \pm \| \infty , причому в
однiй iз цих нерiвностей має мiсце рiвнiсть. Нехай, наприклад,
\| \gamma s+\| \infty \leq \| \psi +\| \infty , \| \gamma s - \| \infty = \| \psi - \| \infty .
Тодi E0(\gamma s)\infty \leq E0(\psi )\infty = \| \varphi n,r\| \infty i за нерiвнiстю Тихомирова [22]\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq E0(s)\infty
\| \varphi n,r\| \infty
,
де E0(x)\infty — найкраще рiвномiрне наближення функцiї x сталими, маємо оцiнку\bigm\| \bigm\| \bigm\| \gamma s(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq 1.
Таким чином, сплайн \gamma s задовольняє умови теореми порiвняння Колмогорова [20]. Згiдно
з цiєю теоремою сплайн \varphi є функцiєю порiвняння для сплайна \gamma s. Нехай m — точка мiнiмуму
функцiї \psi , t1(t2) — найближчий злiва (справа) вiд m нуль цiєї функцiї. Переходячи, якщо
потрiбно, до зсуву сплайна \gamma s, можна вважати, що
\| \gamma s - \| \infty = - \gamma s(m).
А оскiльки сплайн \psi є функцiєю порiвняння для сплайна \gamma s, то
\gamma s(t) \leq \psi (t) < 0, t \in (t1, t2).
Звiдси випливає оцiнка
\| s - \| Lp(2\pi /m) > \| \gamma s - \| Lp(2\pi /m) \geq \| \psi - \| Lp(2\pi /n),
яка суперечить (5.5). Отже, нерiвнiсть (5.6) доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ Lq -НОРМУ ФУНКЦIЇ . . . 647
З нерiвностi (5.6) маємо E0(s)\infty \leq E0(\psi )\infty = \| \varphi n,r\| \infty i, застосовуючи нерiвнiсть Тихоми-
рова, отримуємо \bigm\| \bigm\| \bigm\| s(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq E0(s)\infty
\| \varphi n,r\| \infty
\leq 1.
Отже, сплайн s задовольняє умови теореми порiвняння Колмогорова [20]. За цiєю теоремою
сплайн \varphi є функцiєю порiвняння для сплайна s. Таким чином, s \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
i внаслiдок (5.5)
сплайн s задовольняє умови теореми 1, а отже, i умови лем 1 – 3.
Доведемо нерiвнiсть
\| s\| q \leq n - r
\Bigl( m
n
\Bigr) 1/q
\| \varphi + c\| q. (5.7)
Справдi, за нерiвнiстю (2.7) маємо
\| s\| Lq(I2\pi /m) \leq
\bigm\| \bigm\| \varphi n,r + n - rc
\bigm\| \bigm\|
Lq(I2\pi /n)
.
Звiдси безпосередньо випливає (5.7) внаслiдок 2\pi /m-перiодичностi сплайна s i 2\pi /n-перiодич-
ностi сплайна \varphi n,r.
Доведемо тепер нерiвнiсть
\| s\| Lq(I2\pi \setminus B) \geq n - r
\Bigl( m
n
\Bigr) 1/p
\| \varphi r + c\| Lq(I2\pi \setminus By(\beta )
) (5.8)
для довiльної вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta , \beta \in [0, 2\pi ). Нехай \=s — звуження сплайна
s на I2\pi /m, а \=\psi — звуження сплайна \psi на I2\pi /n. Як i при доведеннi теореми 3, застосовуючи
нерiвнiсть (2.9) i враховуючи, що перестановка зберiгає Lp-норму, отримуємо
\| s\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq m
\left[ 2\pi /m\int
0
rp (\=s, t) dt -
\beta /n\int
0
rp (\=s, t) dt
\right] .
Застосовуючи далi (5.4) i нерiвнiсть
\xi \int
0
rp (\=s, t) dt \leq
\xi \int
0
rp
\bigl(
\=\psi , t
\bigr)
dt, \xi > 0,
що випливає з (2.6) внаслiдок твердження 1.3.6 з [19], як i при доведеннi теореми 3, одержуємо
оцiнку знизу
\| s\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq m
\left[ 2\pi /n\int
0
rp
\bigl(
\=\psi , t
\bigr)
dt -
\beta /n\int
0
rp
\bigl(
\=\psi , t
\bigr)
dt
\right] = m
2\pi /n\int
\beta /n
rp
\bigl(
\=\psi , t
\bigr)
dt =
=
m
n
2\pi \int
\beta
rp(\psi , t) dt =
m
n
n - rp
\int
I2\pi \setminus By(\beta )(n)
| \varphi r(nt) + c| p dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
648 В. О. КОФАНОВ, Т. В. ОЛЕКСАНДРОВА
= n - rpm
n
\| (\varphi r + c)\| pLp(I2\pi \setminus By(\beta ))
,
де By(\beta )(n) := \{ t \in I2\pi : | \varphi r(nt) + c| > y\} , а y = y(\beta ) вибрано так, що \mu By(\beta )(n) = \beta .
Отримана оцiнка знизу рiвносильна (5.8). З (5.7) i (5.8) безпосередньо випливає нерiвнiсть
(5.1). Точнiсть нерiвностi (5.1) у сенсi (5.3) є очевидною.
Теорему 4 доведено.
Наслiдок 3. Нехай n,m \in \bfN , q, p > 0, q \geq p, \beta \in [0, 2\pi ), а число \=c \in [0,Kr] реалiзує
верхню грань
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c\in [0,Kr]
\| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
,
де Bc
y := \{ t \in I2\pi : | \varphi r(t) + c| > y\} , причому y = y(\beta ) вибрано так, що \mu Bc
y(\beta ) = \beta .
Тодi для будь-якого сплайна s \in Sn,r з мiнiмальним перiодом 2\pi /m, що має нулi, i довiльної
вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta , виконується нерiвнiсть
\| s\| q \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p
- 1
q \| \varphi r + \=c\| q
\| \varphi r + \=c\|
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus B\=c
y(\beta )
\Bigr) \| s\| Lp(I2\pi \setminus B). (5.9)
Нерiвнiсть (5.9) є точною у сенсi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(n,m)\in Nn,m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(s,B)\in \Sigma m
n
\| s\| q
(n/m)1/p - 1/q\| s\| Lp(I2\pi \setminus B)
=
\| \varphi r + \=c\| q
\| \varphi r + \=c\| Lp(I2\pi \setminus By(\beta ))
,
де Nn,m — множина пар (n,m) натуральних чисел, таких що m \leq n, а \Sigma m
n — множина пар
(s,B), що складаються зi сплайна s \in Sn,r з мiнiмальним перiодом 2\pi /m, що має нулi, i
вимiрної множини B \subset I2\pi , \mu B \leq m
n
\beta .
Зауваження 3. 1. Для \beta = 0 i m = 1 теорему 4 i наслiдок 3 отримано в [1].
2. Для сплайнiв s \in Sn,r, якi задовольняють умову \| s+\| p = \| s - \| p, стала c в нерiвностi
(5.1) дорiвнює нулю.
3. Для знакосталих сплайнiв s \in Sn,r, що мають нулi, нерiвнiсть (5.1) перетворюється в
нерiвнiсть для найкращих одностороннiх наближень сталою (див. (3.10)), тобто норми \| s\| q i
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B) в нерiвностi (5.1) для таких сплайнiв потрiбно замiнити на E\pm
0 (s)q i E\pm
0 (s)Lp(I2\pi \setminus B)
вiдповiдно. При цьому стала c в такiй нерiвностi дорiвнює сталiй Фавара Kr.
Лiтература
1. V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Comparison of rearrangements and Kolmogorov – Nagy type inequali-
ties for periodic functions, Approximation Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov (B. Bojanov, Ed.), Darba,
Sofia (2002), p. 24 – 53.
2. В. А. Кофанов, О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси,
Укр. мат. журн., 61, № 6, 765 – 776 (2009).
3. В. А. Кофанов, Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций, Укр. мат. журн.,
67, № 2, 207 – 212 (2015).
4. B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J.
Anal. Math., 78, 263 – 280 (1999).
5. В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией
сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969 – 984 (2011).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ РЕМЕЗА, ЩО ОЦIНЮЮТЬ Lq -НОРМУ ФУНКЦIЇ . . . 649
6. E. Remes, Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef, Зап. Наук.-дослiд. iн-ту математики й
механiки та Харкiв. мат. т-ва, сер. 4, 13, вип. 1, 93 – 95 (1936).
7. M. I. Ganzburg, On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials, J. Approx. Theory, 164, 1233 – 1237
(2012).
8. E. Nursultanov, S. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Constr. Approx., 38, 101 – 132
(2013).
9. P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and polynomial inequalities, Springer, New York (1995).
10. M. I. Ganzburg, Polynomial inequalities on measurable sets and their applications, Consr. Approx., 17, 275 – 306
(2001).
11. S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality // https://www.researchgate.net/publication/327905401.
12. В. А. Кофанов, Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов
и сплайнов, Укр. мат. журн., 68, № 2, 227 – 240 (2016).
13. В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических
функций, полиномов и сплайнов, Укр. мат. журн., 69, № 2, 173 – 188 (2017).
14. А. Е. Гайдабура, В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с
заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 69, № 11, 1472 – 1485 (2017).
15. В. А. Кофанов, Точные неравенства типа Колмогорова – Ремеза для периодических функций малой гладкости,
Укр. мат. журн., 72, № 2, 483 – 493 (2020).
16. В. А. Кофанов, И. В. Попович, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза с несимметричными огра-
ничениями на функции, Укр. мат. журн., 72, № 7, 918 – 927 (2020).
17. В. О. Кофанов, Про взаємозв’язок точних нерiвностей типу Колмогорова та Колмогорова – Ремеза, Укр. мат.
журн., 73, № 4, 506 – 514 (2021).
18. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных
на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579 – 589 (2003).
19. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наук. думка,
Киев (1992).
20. А. Н. Колмогоров, О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале, Избр. труды. Математика, механика, Наука, Москва (1985), с. 252 – 263.
21. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения,
Наук. думка, Киев (2003).
22. В. М.Тихомиров, Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближе-
ний, Успехи мат. наук., 15, № 3, 81 – 120 (1960).
Одержано 12.07.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-6836 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:28Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/15/c058019de0369b7d99d576608d011915.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68362022-10-24T09:23:01Z Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm Точні нерівності типу Ремеза, що оцінюють $L_q$ -норму функції через її $L_p$ -норму Kofanov, V. A. Olexandrova, T. V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. Олександрова, Т. В. Нерівності типу Ремеза Ненерівності різних метриик Соболєвські класи Полиноми Сплайни Нерівності типу Ремеза Remez type inequalities Inequalities of various metrics Sobolev classes polynomials splines Remez type inequalities UDC 517.5 For any $q\geq p&gt;0,$ $\alpha=(r+1/q)/(r+1/p),$ $f_p\in[0,\infty],$ $\beta\in[0,2\pi),$ we prove the sharp Remez type inequality $$\|x\|_q\leq\frac{\|\varphi_r+c\|_q}{\|\varphi_r+ c\|^{\alpha}_{L_p([0,2\pi]\setminus B_{y(\beta)})}}\|x\|^{\alpha}_{L_p([0,2\pi]\setminus B)}\|x^{(r)}\|^{1-\alpha}_\infty$$ for $2\pi$-periodic functions $x\in L_\infty^r$ that have zeros and satisfy the condition \begin{gather}\|x_+\|_p\,\|x_-\|^{-1}_p=f_p,\quad (1)\end{gather} where $\varphi_r$ is Euler's perfect spline of order $r;$ the number $c$ is chosen in such a way that the function $x=\varphi_r+c$ satisfies the condition (1); $B$ is an arbitrary measurable set such that $\mu B\leq\beta\left(\|\varphi_r+c\|_p\left\|x^{(r)}\right\|_\infty\|x\|^{-1}_p\right)^{-1/(r+1/p)},$ the set $B_{y(\beta)}$ is defined by $B_{y(\beta)}:=\{t\in[0,2\pi]\colon|\varphi_r(t)+c|&gt;y(\beta)\},$ and moreover, $\mu B_{y(\beta)}=\beta.$ We also establish sharp Remez type inequalities of various metrics for trigonometric polynomials and for polynomial splines satisfying (1). УДК 517.5 Для довiльних $q\ge p &gt; 0$, $\alpha = (r+1/q)/(r+1/p)$, $f_p\in [0, \infty]$, $\beta \in [0, 2\pi)$, доведено точну нерiвнiсть типу Ремеза $$ \|x\|_q \le \frac{\|\varphi_r+c\|_q}{\|\varphi_r+c\|^{\alpha}_{L_p([0, 2\pi]\setminus B_{y(\beta)})}} \|x\|^{\alpha}_{L_p([0, 2\pi]\setminus B)} \|x^{(r)}\|^{1-\alpha}_\infty $$ для $2\pi$-перiодичних функцiй $x\in L_\infty^r$, що мають нулі, і задовольняють умову $$ \|x_+\|_p \cdot \|x_-\|^{-1}_p = f_p \,(1) $$ де $\varphi_r-$ ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$, а число $c$ обрано так, що функція $x=\varphi_r+c$ задовольняє рівність (1), $B-$довільна вимірна за Лебегом множина, така що $\mu B \le \beta \left( \|\varphi_r+c\|_p \cdot \|x^{(r)}\|_\infty \cdot \|x\|^{-1}_p \right)^{-1/(r+1/p)}$, а множина $B_{y(\beta)}$ означена рівністю $B_{y(\beta)}:= \{ t\in [0, 2\pi] : |\varphi_r(t)+c| &gt; y(\beta)\}$, причому $ \mu B_{y(\beta)} = \beta $. Також отримано точні нерівності різних метрик типу Ремеза для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів, що задовольняють умову (1). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6836 10.37863/umzh.v74i5.6836 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 635 - 649 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 635 - 649 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6836/9237 Copyright (c) 2022 Володимир Олександрович Кофанов |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Olexandrova, T. V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. Олександрова, Т. В. Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm |
| title | Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm |
| title_alt | Точні нерівності типу Ремеза, що оцінюють $L_q$ -норму функції через її $L_p$ -норму |
| title_full | Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm |
| title_fullStr | Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm |
| title_full_unstemmed | Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm |
| title_short | Sharp Remez type inequalities estimating the $L_q$ -norm of a function via its $L_p$ -norm |
| title_sort | sharp remez type inequalities estimating the $l_q$ -norm of a function via its $l_p$ -norm |
| topic_facet | Нерівності типу Ремеза Ненерівності різних метриик Соболєвські класи Полиноми Сплайни Нерівності типу Ремеза Remez type inequalities Inequalities of various metrics Sobolev classes polynomials splines Remez type inequalities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6836 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesestimatingthelqnormofafunctionviaitslpnorm AT olexandrovatv sharpremeztypeinequalitiesestimatingthelqnormofafunctionviaitslpnorm AT kofanovvladimiraleksandrovič sharpremeztypeinequalitiesestimatingthelqnormofafunctionviaitslpnorm AT kofanovvo sharpremeztypeinequalitiesestimatingthelqnormofafunctionviaitslpnorm AT oleksandrovatv sharpremeztypeinequalitiesestimatingthelqnormofafunctionviaitslpnorm AT kofanovva točnínerívnostítipuremezaŝoocínûûtʹlqnormufunkcííčerezíílpnormu AT olexandrovatv točnínerívnostítipuremezaŝoocínûûtʹlqnormufunkcííčerezíílpnormu AT kofanovvladimiraleksandrovič točnínerívnostítipuremezaŝoocínûûtʹlqnormufunkcííčerezíílpnormu AT kofanovvo točnínerívnostítipuremezaŝoocínûûtʹlqnormufunkcííčerezíílpnormu AT oleksandrovatv točnínerívnostítipuremezaŝoocínûûtʹlqnormufunkcííčerezíílpnormu |