Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings
UDC 512.64+512.55 In this article, we consider the equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and in its subrings of block triangular matrices $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ and block diagonal matrices $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$ where $R$ is a commutative principal ideal domain,...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6858 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512547105406976 |
|---|---|
| author | Dzhaliuk , N. S. Petrychkovych , V. M. Джалюк, Н. С. Петричкович, В. М. |
| author_facet | Dzhaliuk , N. S. Petrychkovych , V. M. Джалюк, Н. С. Петричкович, В. М. |
| author_sort | Dzhaliuk , N. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:08Z |
| description | UDC 512.64+512.55
In this article, we consider the equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and in its subrings of block triangular matrices $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ and block diagonal matrices $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$ where $R$ is a commutative principal ideal domain, and investigate the connections between these equivalences. Under the conditions that the block triangular matrices are block diagonalizable, i.e., equivalent to their main block diagonals, we establish that these matrices are equivalent in the ring $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ of block triangular matrices if and only if their main diagonals are equivalent in the subring $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$ of block diagonal matrices, i.e., the corresponding diagonal blocks of these matrices are equivalent. We also prove that if block triangular matrices $A$ and $B$ with the Smith normal forms $S(A) = S(B)$ are equivalent to the Smith normal forms in the subring $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$, then these matrices are equivalent in the subring $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i12.6858 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i12.6858
УДК 512.64+512.55
Н. С. Джалюк, В. М. Петричкович (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ МАТРИЦЬ У КIЛЬЦI \bfitM (\bfitn ,\bfitR )
I ЙОГО ПIДКIЛЬЦЯХ
In this article, we consider the equivalence of matrices in the ring M(n,R) and its subrings of block triangular matrices
MBT (n1, . . . , nk, R) and block diagonal matrices MBD(n1, . . . , nk, R), where R is a commutative principal ideal
domain, and investigate the connections between these equivalences. Under the conditions that the block triangular matrices
are block diagonalizable, i.e., equivalent to their main block diagonals, we establish that these matrices are equivalent in
the ring MBT (n1, . . . , nk, R) of block triangular matrices if and only if their main diagonals are equivalent in the
subring MBD(n1, . . . , nk, R) of block diagonal matrices, i.e., the corresponding diagonal blocks of these matrices are
equivalent. We also prove that if block triangular matrices A and B with the Smith normal forms S(A) = S(B) are
equivalent to the Smith normal forms in the subring MBT (n1, . . . , nk, R), then these matrices are equivalent in the subring
MBT (n1, . . . , nk, R).
Розглянуто еквiвалентнiсть матриць у кiльцi M(n,R) i його пiдкiльцях MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-трикутних i
MBD(n1, . . . , nk, R) блочно-дiагональних матриць, де R — комутативна область головних iдеалiв, та дослiджено
їхнi зв’язки. Встановлено, що якщо блочно-трикутнi матрицi блочно дiагоналiзовнi, тобто еквiвалентнi до своїх
головних блочних дiагоналей, то вони еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-трикутних матриць тодi
i тiльки тодi, коли їхнi головнi блочнi дiагоналi еквiвалентнi у пiдкiльцi MBD(n1, . . . , nk, R) блочно-дiагональних
матриць, тобто їхнi вiдповiднi дiагональнi блоки еквiвалентнi. Доведено також, що якщо блочно-трикутнi матри-
цi A i B з нормальними формами Смiта S(A) = S(B) еквiвалентнi до нормальних форм Смiта в пiдкiльцi
MBT (n1, . . . , nk, R), то цi блочно-трикутнi матрицi еквiвалентнi i в пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R).
Нехай R — комутативна область головних iдеалiв. Через M(n,R) i GL(n,R) позначаємо
кiльце (n\times n)-матриць i повну лiнiйну групу кiльця, тобто групу оборотних (n\times n)-матриць
над R, вiдповiдно. Через MT (n,R) позначатимемо пiдкiльце верхнiх трикутних матриць кiльця
M(n,R).
Далi, через MBT (n1, . . . , nk, R) позначатимемо пiдкiльце верхнiх блочно-трикутних мат-
риць кiльця M(n,R), тобто матриць вигляду
A =
\left[
A11 A12 . . . A1k
0 A22 . . . A2k
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
0 0 0 Akk
\right] ,
яку будемо позначати так: A = \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\} = [Aij ]
k
1, де Aij = 0, якщо i > j,
Aii \in M(ni, R), i = 1, . . . , k,
\sum k
i=1
ni = n. Блочну дiагональ матрицi A позначатимемо
D(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\} .
Через MBD(n1, . . . , nk, R) позначатимемо пiдкiльце блочно-дiагональних матриць кiльця
M(n,R), тобто матриць D = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ D11, . . . , Dkk\} , де Dii \in M(ni, R), i = 1, . . . , k. Зокрема,
блочна дiагональ D(A) матрицi A належить пiдкiльцю MBD(n1, . . . , nk, R).
Групи оборотних матриць у пiдкiльцях MBT (n1, . . . , nk, R) i MBD(n1, . . . , nk, R) позначає-
мо вiдповiдно GLBT (n1, . . . , nk, R) i GLBD(n1, . . . , nk, R), групу унiблочно-трикутних мат-
риць у кiльцi MBT (n1, . . . , nk, R), тобто оборотних верхнiх блочно-трикутних матриць, дiаго-
c\bigcirc Н. С. ДЖАЛЮК, В. М. ПЕТРИЧКОВИЧ, 2021
1612 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ МАТРИЦЬ У КIЛЬЦI M(n,R) I ЙОГО ПIДКIЛЬЦЯХ 1613
нальнi блоки яких є одиничними матрицями вiдповiдних порядкiв, позначатимемо
GLUBT (n1, . . . , nk, R).
Нагадаємо, що матрицi A i B називають еквiвалентними у кiльцi M(n,R), якщо iснують
оборотнi матрицi P,Q \in GL(n,R) такi, що PAQ = B. Якщо матрицi P,Q \in GLBT (n1, . . .
. . . , nk, R) або P,Q \in GLBD(n1, . . . , nk, R), то матрицi A i B називають еквiвалентними у
пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-трикутних або у пiдкiльцi MBD(n1, . . . , nk, R) блочно-
дiагональних матриць вiдповiдно.
Ми дослiджуємо еквiвалентнiсть у кiльцях матриць та їхнiх пiдкiльцях, зокрема блочно-
трикутних i блочно-дiагональних матриць. Еквiвалентнiсть блочно-трикутних i блочно-дiа-
гональних матриць використовується, зокрема, при встановленнi умов розв’язностi вiдомих
матричних рiвнянь типу Сильвестра, до яких приводить велика кiлькiсть задач (див. [1] i
наведену там бiблiографiю). Матричне рiвняння типу Сильвестра AX - Y B = C, де A,B,C \in
\in M(n,R) — вiдомi, а X,Y \in M(n,R) — невiдомi матрицi, має розв’язок тодi i тiльки тодi,
коли блочно-трикутна матриця \Biggl[
A C
0 B
\Biggr]
(1)
є еквiвалентною до блочно-дiагональної матрицi\Biggl[
A 0
0 B
\Biggr]
. (2)
У випадку, коли R = \BbbP — поле або R = \BbbP [\lambda ] — кiльце полiномiв над полем \BbbP , цей результат
встановив В. Рот [2]. Результат Рота поширено для матричних рiвнянь над кiльцями головних
iдеалiв [3], комутативними кiльцями [4] та iншими областями.
У статтi [1] на основi блочної дiагоналiзацiї, тобто еквiвалентностi матриць (1) i (2), на-
ведено умови розв’язностi систем рiзного типу матричних рiвнянь Сильвестра. Застосовуючи
спецiальну трикутну форму матриць над полiномiальними кiльцями вiдносно напiвскалярної
еквiвалентностi до розв’язування матричних полiномiальних рiвнянь Сильвестра, у [5] описа-
но його розв’язки, зокрема встановлено мiнiмальнi степенi цих розв’язкiв. Еквiвалентнiсть i
подiбнiсть матриць над рiзними областями застосовують у класифiкацiйних задачах лiнiйної
алгебри [6, 7].
Матрицi блочної будови також виникають i використовуються у рiзних роздiлах математики
i в прикладних напрямках. Зокрема, супровiднi матрицi матричних полiномiв застосовуються
в теорiї факторизацiї матричних полiномiв [8], при розв’язуваннi рiвняння типу Сильвестра
вiд двох змiнних над кiльцем полiномiв \BbbP [\lambda ]. Останнє за допомогою переходу вiд матричних
полiномiв до вiдповiдних супровiдних матриць зводиться до лiнiйного матричного рiвняння
типу Сильвестра вiд однiєї змiнної над полем \BbbP [9, 10], методи розв’язування якого вiдомi.
Такий же пiдхiд до розв’язування матричного полiномiального рiвняння Сильвестра пiзнiше
використано у [11]. Блочнi матрицi застосовуються також у теорiї стiйкостi [12].
Отже, рiзнi задачi потребують дослiдження матриць рiзноманiтної блочної структури.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1614 Н. С. ДЖАЛЮК, В. М. ПЕТРИЧКОВИЧ
У цiй статтi розглянуто еквiвалентнiсть матриць у кiльцi M(n,R) i його пiдкiльцях
MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-трикутних та MBD(n1, . . . , nk, R) блочно-дiагональних матриць.
Встановлено взаємозв’язки мiж цими еквiвалентностями.
Еквiвалентнi у кiльцi M(n,R) блочно-трикутнi матрицi можуть не бути еквiвалентними у
пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R), що випливає з такого прикладу.
Приклад 1. Нехай блочно-трикутнi матрицi
A =
\left[
3 0 0 2
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
\right] , B =
\left[
3 0 0 7
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
\right]
iз пiдкiльця MBT (2, 2,\BbbZ ) блочно-трикутних матриць, де \BbbZ — кiльце цiлих чисел. Блочно-
трикутнi матрицi A i B є еквiвалентними у кiльцi M(4,\BbbZ ), але не є еквiвалентними у пiдкiльцi
MBT (2, 2,\BbbZ ).
Очевидно, що коли блочно-трикутнi матрицi еквiвалентнi у пiдкiльцi блочно-трикутних
матриць MBT (n1, . . . , nk, R), то їхнi вiдповiднi дiагональнi блоки еквiвалентнi. Обернене твер-
дження є хибним.
Лема 1. Якщо блочно-трикутнi матрицi A i B \in MBT (n1, . . . , nk, R) еквiвалентнi у
пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-трикутних матриць, то їхнi блочнi дiагоналi D(A) =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\} i D(B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ B11, . . . , Bkk\} еквiвалентнi у пiдкiльцi MBD(n1, . . .
. . . , nk, R) блочно-дiагональних матриць, тобто їхнi вiдповiднi дiагональнi блоки Aii, Bii еквi-
валентнi: PiAiiQi = Bii, де Pi, Qi \in GL(ni, R) для всiх i = 1, . . . , k.
Теорема 1. Нехай блочно-трикутнi матрицi A,B \in MBT (n1, . . . , nk, R) блочно дiагоналi-
зовнi, тобто еквiвалентнi у кiльцi M(n,R) до блочних дiагоналей D(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\}
i D(B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ B11, . . . , Bkk\} вiдповiдно. Блочно-трикутнi матрицi A i B еквiвалентнi у пiд-
кiльцi MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-трикутних матриць тодi й лише тодi, коли D(A) i D(B)
еквiвалентнi у пiдкiльцi MBD(n1, . . . , nk, R) блочно-дiагональних матриць.
Доведення. Необхiднiсть випливає з леми 1.
Достатнiсть. Нехай матрицi D(A) i D(B) еквiвалентнi у пiдкiльцi блочно-дiагональних
матриць MBD(n1, . . . , nk, R), тобто
PD(A)Q = D(B), (3)
де P = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ P1, . . . , Pk\} , Q = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ Q1, . . . , Qk\} \in GLBD(n1, . . . , nk, R).
За умовою теореми блочно-трикутнi матрицi A i B еквiвалентнi до своїх дiагоналей D(A),
D(B). Перетворювальнi матрицi можна вибрати унiблочно-трикутними [2, 3], тобто iснують
унiблочно-трикутнi оборотнi матрицi UA, V A, UB, V B \in GLUBT (n1, . . . , nk, R) такi, що
UAAV A = D(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ A11, . . . , Akk\} , UBBV B = D(B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ B11, . . . , Bkk\} . Тодi з (3)
маємо PUAAV AQ = UBBV B або
\bigl(
UB
\bigr) - 1
PUAAV AQ
\bigl(
V B
\bigr) - 1
= B, де добутки матриць злiва
i справа вiд матрицi A є блочно-трикутними матрицями. Отже, блочно-трикутнi матрицi A i B
еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ МАТРИЦЬ У КIЛЬЦI M(n,R) I ЙОГО ПIДКIЛЬЦЯХ 1615
Зауважимо, що блочно-трикутна матриця другого порядку, тобто при k = 2, є блочно
дiагоналiзовною, якщо вiдповiдне лiнiйне матричне рiвняння Сильвестра розв’язне [2], а при
довiльному порядку k система лiнiйних матричних рiвнянь, яка мiстить i матричнi рiвняння
типу Сильвестра, є розв’язною [3].
Наслiдок 1. Нехай трикутнi матрицi A,B \in MT (n,R) еквiвалентнi у кiльцi M(n,R)
до дiагоналей D(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(a11, . . . , ann), D(B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b11, . . . , bnn) вiдповiдно. Трикутнi
матрицi A i B є трикутно еквiвалентними, тобто еквiвалентними у пiдкiльцi MT (n,R),
тодi й лише тодi, коли їхнi вiдповiднi дiагональнi елементи асоцiйованi.
Теорема 2. Нехай блочнi дiагоналi
D(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\} i D(B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ B11, . . . , Bkk\}
блочно-трикутних матриць A,B \in MBT (n1, . . . , nk, R) еквiвалентнi у пiдкiльцi
MBD(n1, . . . , nk, R)
блочно-дiагональних матриць. Якщо
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Aii, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Bi+j,i+j) = 1, i = 1, . . . , k - 1, j = 1, . . . , k - i, (4)
то блочно-трикутнi матрицi A i B еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-
трикутних матриць.
Доведення. Блочно-трикутнi матрицi A i B еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R),
якщо iснують блочно-трикутнi оборотнi матрицi X i Y \in GLBT (n1, . . . , nk, R) такi, що
Y - 1AX = B або AX = Y B, тобто\left[
A11 A12 . . . A1k
0 A22 . . . A2k
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
0 0 0 Akk
\right]
\left[
X11 X12 . . . X1k
0 X22 . . . X2k
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
0 0 0 Xkk
\right] =
=
\left[
Y11 Y12 . . . Y1k
0 Y22 . . . Y2k
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
0 0 0 Ykk
\right]
\left[
B11 B12 . . . B1k
0 B22 . . . B2k
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
0 0 0 Bkk
\right] .
Цю матричну рiвнiсть можна записати у виглядi системи лiнiйних матричних рiвнянь
j\sum
t=i
AitXtj =
j\sum
s=i
YisBsj , i \leq j, i, j = 1, . . . , k.
Розiб’ємо отриману систему матричних рiвнянь на двi частини:
AiiXii = YiiBii, i = 1, . . . , k, (5)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1616 Н. С. ДЖАЛЮК, В. М. ПЕТРИЧКОВИЧ
AiiXij - YijBjj =
j - 1\sum
s=i
YisBsj -
j\sum
t=i+1
AitXtj , i < j, i = 1, . . . , k - 1, j = 2, . . . , k. (6)
Матричнi рiвняння вигляду (5) мають розв’язки Xii = X
(0)
ii , Yii = Y
(0)
ii , причому X
(0)
ii ,
Y
(0)
ii — оборотнi матрицi, бо дiагоналi D(A) та D(B) еквiвалентнi у пiдкiльцi MBD(n1, . . .
. . . , nk, R) блочно-дiагональних матриць, тобто вiдповiднi дiагональнi блоки блочно-трикутних
матриць A i B еквiвалентнi.
Зважаючи на умову теореми та результати [2, 13], переконуємося, що кожне з матричних
рiвнянь вигляду (6) також має розв’язок.
Отже, блочно-трикутнi матрицi A i B еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R).
Теорему 2 доведено.
Зауважимо, що умову (4) можна сформулювати й у такому виглядi:
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Aii,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Ajj) = 1, i, j = 1, . . . , k, i \not = j,
або
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Bii, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Bjj) = 1, i, j = 1, . . . , k, i \not = j.
Нагадаємо, що кожна матриця A \in M(n,R) еквiвалентна у кiльцi M(n,R) до нормальної
форми Смiта S(A) = PAQ = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
\mu A
1 , . . . , \mu
A
n
\bigr)
, \mu A
i | \mu A
i+1, i = 1, 2, . . . , n - 1, де P,Q \in
\in GL(n,R), \mu A
i — iнварiантнi множники матрицi A.
Iз теореми 2 отримуємо такi наслiдки.
Наслiдок 2. Нехай блочнi дiагоналi
D(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\} i D(B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ B11, . . . , Bkk\}
блочно-трикутних матриць A,B \in MBT (n1, . . . , nk, R) еквiвалентнi у пiдкiльцi
MBD(n1, . . . , nk, R)
блочно-дiагональних матриць. Якщо останнi iнварiантнi множники дiагональних блокiв Aii
матрицi A i Bi+j,i+j матрицi B взаємно простi, тобто\Bigl(
\mu Aii
ni
, \mu
Bi+j,i+j
ni+j
\Bigr)
= 1, i = 1, . . . , k - 1, j = 1, . . . , k - i, (7)
то матрицi A i B еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R) блочно-трикутних матриць.
Умову (7) можна сформулювати i у такому виглядi:\Bigl(
\mu Aii
ni
, \mu
Ajj
nj
\Bigr)
= 1, i \not = j, i, j = 1, . . . , k,
або \Bigl(
\mu Bii
ni
, \mu
Bjj
nj
\Bigr)
= 1, i \not = j, i, j = 1, . . . , k.
Наслiдок 3. Нехай вiдповiднi дiагональнi елементи трикутних матриць A,B \in MT (n,R)
асоцiйованi й дiагональнi елементи хоча б однiєї з матриць A або B є попарно взаємно прос-
тими. Тодi трикутнi матрицi A i B є трикутно еквiвалентними, тобто еквiвалентними у
пiдкiльцi MT (n,R) трикутних матриць.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ МАТРИЦЬ У КIЛЬЦI M(n,R) I ЙОГО ПIДКIЛЬЦЯХ 1617
Наступнi результати пов’язують еквiвалентнiсть матриць у пiдкiльцi блочно-трикутних мат-
риць MBT (n1, . . . , nk, R) iз звiднiстю їх до нормальних форм Смiта у цьому пiдкiльцi.
Теорема 3. Нехай блочно-трикутнi матрицi A i B еквiвалентнi у кiльцi M(n,R), тобто
S(A) = S(B). Якщо матрицi A i B еквiвалентнi до нормальних форм Смiта у пiдкiльцi
MBT (n1, . . . , nk, R), тобто S(A) = PAAQA, S(B) = PBBQB, де PA, PB, QA, QB \in
\in GLBT (n1, . . . , nk, R), то матрицi A i B еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R), тобто
UAV = B, де U, V \in GLBT (n1, . . . , nk, R).
Доведення. Нехай блочно-трикутнi матрицi A i B еквiвалентнi у кiльцi M(n,R), тобто
мають тi самi нормальнi форми Смiта S(A) = S(B). З того, що A i S(A), B i S(B) еквiвалентнi
у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R), маємо PAAQA = S(A), PBBQB = S(B), де PA, QA, PB,
QB \in GLBT (n1, . . . , nk, R).
Отже,
\bigl(
PB
\bigr) - 1
PAAQA
\bigl(
QB
\bigr) - 1
= B або UAV = B, де U =
\bigl(
PB
\bigr) - 1
PA, V = QA
\bigl(
QB
\bigr) - 1 \in
\in GLBT (n1, . . . , nk, R), тобто матрицi A i B еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT (n1, . . . , nk, R).
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай блочно-трикутна матриця
A = \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\} \in MBT (n1, . . . , nk, R),
де без обмеження загальностi покладемо n1 \leq n2 \leq . . . \leq nk, i визначники дiагональних блокiв
блочно-трикутної матрицi A є попарно взаємно простими, тобто (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Aii,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Ajj) = 1 для
всiх i \not = j, i = 1, . . . , k. Тодi:
1) нормальна форма Смiта блочно-трикутної матрицi A має вигляд
S(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
En1 , . . . , Enk - 1
, (Enk - n1 \oplus S(A11))(Enk - n2 \oplus S(A22)) . . . S(Akk)
\bigr\}
, (8)
де Eni — одиничнi матрицi порядку ni, S(Aii) — нормальнi форми Смiта дiагональних блокiв
Aii, i = 1, . . . , k;
2) блочно-трикутна матриця A є унiблочно-трикутно еквiвалентною до блочної дiагоналi
D(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ A11, . . . , Akk\} , тобто A = UD(A)V, де
U =
\left[
En1 U12 U13 . . . U1k
0 En2 U23 . . . U2k
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
0 0 0 0 Enk
\right] , V =
\left[
En1 V12 V13 . . . V1k
0 En2 V23 . . . V2k
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
0 0 0 0 Enk
\right] ,
Uij = \beta (ij) \~AijA
adj
jj , Vij = \alpha (ij)Aadj
ii
\~Aij , \~Aij = Aij -
j - 1\sum
s=i+1
UisAssVsj
для всiх i < j, i = 1, . . . , k - 1, j = 2, . . . , k, \alpha (ij) i \beta (ij) знаходимо iз рiвностей \alpha (ij) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Aii +
+ \beta (ij) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Ajj = 1.
Доведення теореми отримуємо, використовуючи результати працi [13].
Наслiдок 4. Нехай дiагональнi елементи трикутної матрицi A = \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g} (a11, . . . , ann) є
попарно взаємно простими. Тодi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1618 Н. С. ДЖАЛЮК, В. М. ПЕТРИЧКОВИЧ
1) нормальна форма Смiта трикутної матрицi A має вигляд
S(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, . . . , 1, \varphi );
2) трикутна матриця A є унiтрикутно еквiвалентною до дiагональної матрицi D(A) =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(a11, . . . , ann), тобто A = UD(A)V, де U, V — унiтрикутнi матрицi.
Зауважимо, що у статтi [14] описано факторизацiї матриць у пiдкiльцях блочно-трикутних
i блочно-дiагональних матриць над областями скiнченнопороджених головних iдеалiв в за-
лежностi вiд факторизацiй їхнiх дiагональних блокiв. Вказано умови iснування та єдиностi з
точнiстю до асоцiйовностi факторизацiй матриць у цих пiдкiльцях i запропоновано метод їхньої
побудови. У [15] встановлено властивостi iнварiантних множникiв блочно-трикутних матриць
та їхнiх дiагональних блокiв, якi використано при дослiдженнi односторонньої еквiвалентностi
матриць й описi їх факторизацiй.
Лiтература
1. A. Dmytryshyn, B. Kågström, Coupled Sylvester-type matrix equations and block diagonalization, SIAM J. Matrix
Anal. and Appl., 36, № 2, 580 – 593 (2015).
2. W. E. Roth, The equations AX - Y B = C and AX - XB = C in matrices, Proc. Amer. Math. Soc., 3, 392 – 396
(1952).
3. R. B. Feinberg, Equivalence of partitioned matrices, J. Res. Natl. Bur. Stand., 80B, № 1, 89 – 97 (1976).
4. W. H. Gustafson, Roth’s theorem over commutative rings, Linear Algebra and Appl., 23, 245 – 251 (1979).
5. N. S. Dzhaliuk, V. M. Petrychkovych, Solutions of the matrix linear bilateral polynomial equation and their structure,
Algebra and Discrete Math., 27, № 2, 243 – 251 (2019).
6. В. М. Бондаренко, Зображення гельфандових графiв, Працi Iн-т математики НАН України, Київ (2005).
7. V. V. Sergeichuk, Canonical matrices and related questions, Працi Iн-ту математики НАН України, 57 (2006).
8. I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman, Matrix polynomials, Acad. Press, New York (1982).
9. V. M. Petrychkovich, Cell-triangular and cell-diagonal factorizations of cell-triangular and cell-diagonal polynomial
matrices, Math. Notes, 37, № 6, 431 – 435 (1985).
10. В. М. Петричкович, Узагальнена еквiвалентнiсть матриць i їх наборiв та факторизацiя матриць над кiль-
цями, Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв (2015).
11. S. Chen, Y. Tian, On solutions of generalized Sylvester equation in polynomial matrices, J. Franklin Inst., 351, № 12,
5376 – 5385 (2014).
12. F. Martins, E. Pereira, Block matrices and stability theory, Tatra Mt. Math. Publ., 38, 147 – 162 (2007).
13. M. Newman, The Smith normal form of a partitioned matrices, J. Res. Natl. Bur. Stand., 78B, № 1, 3 – 6 (1974).
14. V. Petrychkovych, N. Dzhaliuk, Factorizations in the rings of the block matrices, Bul. Acad. Ştiinţe Repub. Mold.
Mat., 85, № 3, 23 – 33 (2017).
15. V. Shchedryk, Arithmetic of matrices over rings, Akademperiodyka, Kyiv (2021).
Одержано 30.07.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6858 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:31Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3b/b34bec497a6838f8d92ba269f6d1623b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68582025-03-31T08:46:08Z Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings Еквiвалентнiсть матриць у кiльцi $M(n, R)$ та в його пiдкiльцях Dzhaliuk , N. S. Petrychkovych , V. M. Джалюк, Н. С. Петричкович, В. М. кiльце матриць, пiдкiльце блочно-трикутних матриць, пiдкiльце блочно-дiагональних матриць, еквiвалентнiсть, нормальна форма Смiта. ring of matrices, subring of block triangular matrices, subring of block diagonal matrices, еquivalence, the Smith normal form. UDC 512.64+512.55 In this article, we consider the equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and in its subrings of block triangular matrices $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$&nbsp;and block diagonal matrices $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$ where $R$ is a commutative principal ideal domain, and investigate the connections between these equivalences. Under the conditions that the block triangular matrices are block diagonalizable, i.e., equivalent to their main block diagonals, we establish that these matrices are equivalent in the ring $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ of block triangular matrices if and only if their main diagonals are equivalent in the subring $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$ of block diagonal matrices, i.e., the corresponding diagonal blocks of these matrices are equivalent. We also prove that if block triangular matrices $A$ and $B$ with the Smith normal forms $S(A) = S(B)$ are equivalent to the Smith normal forms in the subring $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$, then these matrices are equivalent in the subring $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$. Рассмотрена эквивалентность матриц в кольце M(n,R) и в его подкольцахMBT (n1, . . . , nk,R) блочно-треугольных и MBD&nbsp;(n1, . . . , nk,R) блочно-диагональныхматриц, где R коммутативная область главных идеалов, и исследованы их связи.Установлено, что когда блочно-треугольные матрицы блочно диагонализируемы, тоони эквивалентны в подкольце MBT (n1, . . . , nk,R) блочно-треугольных матриц тогдаи только тогда, когда их главные блочные диагонали эквивалентны в подкольцеMBD&nbsp;(n1, . . . , nk,R) блочно-диагональных матриц, т.е. их соответственные диагональ-ные блоки эквивалентны. Доказано также, что если блочно-треугольные матрицыA и B с нормальными формами Смита S(A) = S(B) эквивалентны к нормальнымформам Смита в подкольце MBT (n1, . . . , nk,R), то эти блочно-треугольные матрицыэквивалентны и в подкольце MBT (n1, . . . , nk,R). УДК 512.64+512.55 Розглянуто еквiвалентнiсть матриць у кiльцi $M(n, R)$ та в його пiдкiльцях $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ блочно-трикутних i $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$&nbsp;блочно-дiагональних матриць, де $R$ комутативна область головних iдеалiв, та дослiджено їхнi зв’язки.Встановлено, що коли блочно-трикутнi матрицi блочно дiагоналiзовнi, тобто еквiвалентнi до своїх головних блочних дiагоналей, то вони еквiвалентнi у пiдкiльцi $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ блочно-трикутних матриць тодi i тiльки тодi, коли їх головнi блочнi дiагоналi еквiвалентнi у пiдкiльцi $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$&nbsp;блочно-дiагональних матриць, тобто їхнi вiдповiднi дiагональнi блоки еквiвалентнi. Доведено також, що якщо блочно-трикутнi матрицi $A$ i $B$ з нормальними формами Смiта $S(A) = S(B)$ еквiвалентнi до нормальних форм Смiта в пiдкiльцi $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$, то цi блочно-трикутнi матрицi еквiвалентнi i в пiдкiльцi $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-12-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6858 10.37863/umzh.v73i12.6858 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 12 (2021); 1612 - 1618 Український математичний журнал; Том 73 № 12 (2021); 1612 - 1618 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6858/9158 Copyright (c) 2021 Наталія Джалюк, Василь Петричкович |
| spellingShingle | Dzhaliuk , N. S. Petrychkovych , V. M. Джалюк, Н. С. Петричкович, В. М. Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings |
| title | Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings |
| title_alt | Еквiвалентнiсть матриць у кiльцi $M(n, R)$ та в його пiдкiльцях |
| title_full | Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings |
| title_fullStr | Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings |
| title_full_unstemmed | Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings |
| title_short | Equivalence of matrices in the ring $M(n, R)$ and its subrings |
| title_sort | equivalence of matrices in the ring $m(n, r)$ and its subrings |
| topic_facet | кiльце матриць пiдкiльце блочно-трикутних матриць пiдкiльце блочно-дiагональних матриць еквiвалентнiсть нормальна форма Смiта. ring of matrices subring of block triangular matrices subring of block diagonal matrices еquivalence the Smith normal form. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6858 |
| work_keys_str_mv | AT dzhaliukns equivalenceofmatricesintheringmnranditssubrings AT petrychkovychvm equivalenceofmatricesintheringmnranditssubrings AT džalûkns equivalenceofmatricesintheringmnranditssubrings AT petričkovičvm equivalenceofmatricesintheringmnranditssubrings AT dzhaliukns ekvivalentnistʹmatricʹukilʹcimnrtavjogopidkilʹcâh AT petrychkovychvm ekvivalentnistʹmatricʹukilʹcimnrtavjogopidkilʹcâh AT džalûkns ekvivalentnistʹmatricʹukilʹcimnrtavjogopidkilʹcâh AT petričkovičvm ekvivalentnistʹmatricʹukilʹcimnrtavjogopidkilʹcâh |