Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators
We construct classes of equations in a Hilbert space whose sets of solution are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators. It is shown that the unbounded solutions of these equations are unstable. The applications of the obtained results to nonlinear...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/687 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507086655324160 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-29T11:58:13Z |
| description | We construct classes of equations in a Hilbert space whose sets of solution are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators. It is shown that the unbounded solutions of these equations are unstable. The applications of the obtained results to nonlinear mechanics are presented.
  |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.5; 517.929; 517.929.21; 517.958:531-133
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ
ЯКИХ IНВАРIАНТНI ВIДНОСНО ГРУПИ, IЗОМОРФНОЇ
ОДНОПАРАМЕТРИЧНIЙ ГРУПI УНIТАРНИХ ОПЕРАТОРIВ
We construct classes of equations in a Hilbert space whose sets of solution are invariant with respect to a group isomorphic
to a one-parameter group of unitary operators. It is shown that the unbounded solutions of these equations are unstable.
The applications of the obtained results to nonlinear mechanics are presented.
Побудовано класи рiвнянь у гiльбертовому просторi, множини розв’язкiв яких iнварiантнi вiдносно групи, iзоморф-
ної однопараметричнiй групi унiтарних операторiв. Показано, що необмеженi розв’язки таких рiвнянь нестiйкi.
Наведено застосування отриманих результатiв до нелiнiйної механiки.
1. Основнi позначення й означення. Нехай \BbbN , \BbbR i \BbbR + — множини всiх натуральних, дiйсних
i невiд’ємних чисел вiдповiдно, H — гiльбертовий простiр iз нормою \| \cdot \| H , що визначається
рiвнiстю
\| x\| H =
\sqrt{}
(x, x),
де (x, y) — скалярний добуток x на y (x, y \in H) i L(H,H) — банахова алгебра лiнiйних
неперервних операторiв A : H \rightarrow H з одиничним оператором I та нормою
\| A\| L(H,H) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| H=1
\| Ax\| H .
Лiнiйний оператор V : H \rightarrow H називається унiтарним, якщо вiн вiдображає простiр H на
увесь простiр H i не змiнює величини скалярного добутку, тобто якщо
(V x, V y) = (x, y)
для всiх x, y \in H. Лiнiйний оператор V : H \rightarrow H називається самоспряженим, якщо вiн
збiгається зi спряженим до нього оператором V \ast , тобто
(V x, y) = (x, V y)
для всiх x, y \in H [1].
Зафiксуємо довiльний самоспряжений оператор A \in L(H,H). Розглянемо унiтарнi опера-
тори
U\varphi = ei\varphi A, \varphi \in \BbbR ,
що утворюють однопараметричну групу
ei\varphi 1Aei\varphi 2A = ei(\varphi 1+\varphi 2)A, \varphi 1, \varphi 2 \in \BbbR ,
твiрною якої є оператор iA. Цю групу будемо позначати через G1(H).
Розглянемо ще одну потрiбну для подальшого однопараметричну групу вiдображень.
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2020
86 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ ЯКИХ IНВАРIАНТНI . . . 87
Зафiксуємо довiльне m \in \BbbN i розглянемо гiльбертовий простiр Hm = H \times . . .\times H\underbrace{} \underbrace{}
m разiв
елемен-
тiв \bfx = (x1, . . . , xm) i \bfy = (y1, . . . , ym), де x1, . . . , xm, y1, . . . , ym \in H, зi скалярним добутком
(\bfx ,\bfy ) = (x1, y1) + . . .+ (xm, ym) i нормою
\| \bfx \| Hm =
\sqrt{}
\| x1\| 2H + . . .+ \| xm\| 2H .
Визначимо вiдображення Um,\varphi : Hm \rightarrow Hm, \varphi \in \BbbR , рiвностями
Um,\varphi (x1, . . . , xm) = (U\varphi x1, . . . , U\varphi xm), \varphi \in \BbbR .
Цi вiдображення, очевидно, є унiтарними i утворюють однопараметричну групу, яку позначимо
через Gm(H). Твiрною групи Gm(H) є оператор i\scrA : Hm \rightarrow Hm, що визначається спiввiдно-
шенням
\scrA (x1, . . . , xm) = (Ax1, . . . , Axm), (x1, . . . , xm) \in Hm.
Далi розглянемо довiльну непорожню множину \Omega m \subset Hm, для якої
Um,\varphi \Omega m = \Omega m (1)
для всiх \varphi \in \BbbR .
Позначимо через \frakP 0,\Omega m i \frakP 1,\Omega m множини неперервних вiдображень P0 : \Omega m \rightarrow \BbbR + i
P1 : \Omega m \rightarrow H вiдповiдно, для яких
P0Um,\varphi = P0
i
P1Um,\varphi = U\varphi P1
для всiх \varphi \in \BbbR . Зазначимо, що оператор U\varphi для кожного \varphi \in \BbbR має неперервний обернений
U - 1
\varphi i U - 1
\varphi = U - \varphi .
Аналогiчно позначимо через \frakF 0,k,\Omega m i \frakF 1,k,\Omega m , де k \in \BbbN \setminus \{ 1\} , множини неперервних
вiдображень F0 : \Omega k
m \rightarrow \BbbR + i F1 : \Omega k
m \rightarrow H вiдповiдно, де \Omega k
m = \Omega m \times . . .\times \Omega m\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
, для яких
F0 (Um,\varphi \bfx 1, . . . , Um,\varphi \bfx k) = F0 (\bfx 1, . . . ,\bfx k)
i
F1 (Um,\varphi \bfx 1, . . . , Um,\varphi \bfx k) = U\varphi F1 (\bfx 1, . . . ,\bfx k)
для всiх \varphi \in \BbbR i \bfx 1, . . . ,\bfx k \in \Omega m, де \bfx i = (xi,1, . . . , xi,m) i xi,1, . . . , xi,m \in H, i = 1, k.
Очевидно, що \frakF 0,1,\Omega m = \frakP 0,\Omega m i \frakF 1,1,\Omega m = \frakP 1,\Omega m .
Крiм елементiв просторiв Hm i H також будемо використовувати векторнi функцiї \bfx (t) =
= (x1(t), . . . , xm(t)) i x1(t), . . . , xm(t) зi значеннями в Hm i H вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
88 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
2. Основнi рiвняння i задача. Зафiксуємо довiльнi числа n \in \BbbN i t0 \in \BbbR .
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
dnxi(t)
dtn
= Pi(x1(t), . . . , xm(t)), t \geq t0, i = 1,m, (2)
де Pi : \Omega m \rightarrow H — неперервне вiдображення для кожного i = 1,m, систему рiвнянь iз запiз-
нювальним аргументом
dnxi(t)
dtn
= Fi
\bigl(
\bfx (t - \tau 1i(t)),\bfx (t - \tau 2i(t)), . . . ,\bfx (t - \tau mi(t))
\bigr)
,
\tau ji(t) = Pji(xj(t - \tau ji(t)), xi(t)),
t \geq t0, i = 1,m, j = 1,m, i \not = j,
(3)
де \tau ii(t) = 0 для всiх i = 1,m i Fi : \Omega k
m \rightarrow H, Pji : \Omega 2
1 \rightarrow \BbbR + — неперервнi вiдображення для
всiх i = 1,m, j = 1,m, i \not = j (тут \Omega 1 \not = \varnothing , \Omega 1 \subset H i U\varphi \Omega 1 = \Omega 1 для всiх \varphi \in \BbbR , тобто
виконується спiввiдношення (1) при m = 1), та рiзницеве рiвняння
\bfx (t) = F (\bfx (t - 1)), t \geq t0, (4)
де F : \Omega m \rightarrow Hm — неперервне вiдображення.
У системi рiвнянь (3) невiдомими є не лише векторнi функцiї x1(t), . . . , xm(t), як i в системi
рiвнянь (2), а i скалярнi функцiї \tau ji(t), i \not = j, що ускладнює дослiдження цiєї системи. Однак
при виконаннi певних вимог для вiдображень Fi, i = 1,m, i Pji, i = 1,m, j = 1,m, i \not = j,
можна знайти важливi властивостi розв’язкiв цiєї системи.
Зауваження 1. У випадку n > 1 правi частини систем (2) i (3) можуть залежати i вiд
похiдних функцiй x1(t), . . . , xm(t), i вiд похiдних функцiї X(s) в точках s = t - \tau ji(t), i = 1,m,
j = 1,m, до (n - 1) порядку включно. Цей випадок ми не розглядаємо через громiздкiсть
викладу матерiалу. Наявнiсть у системах цих похiдних не впливає на результати, що наведенi
у подальшому, та на їхнє обґрунтування.
Метою статтi є встановлення умов нестiйкостi та обмеженостi розв’язкiв рiвнянь (2) – (4).
3. Умови iнварiантностi множин розв’язкiв рiвнянь (2) – (4) вiдносно групи \~\bfitG \bfitm (\bfitH ).
Нехай C([t0,+\infty ), H) i C([t0,+\infty ), Hm) — множини неперервних на [t0,+\infty ) функцiй x(t) i
\bfx (t) = (x1(t), . . . , xm(t)) зi значеннями в H i Hm вiдповiдно, де x1, . . . , xm \in C([t0,+\infty ), H).
Позначимо через \~U\varphi i \~Um,\varphi вiдображення \~U\varphi : C([t0,+\infty ), H) \rightarrow C([t0,+\infty ), H) i \~Um,\varphi :
C([t0,+\infty ), Hm) \rightarrow C([t0,+\infty ), Hm), що визначаються спiввiдношеннями\bigl(
\~U\varphi x
\bigr)
(t) = U\varphi x(t), t \geq t0,
i \bigl(
\~Um,\varphi \bfx
\bigr)
(t) = (U\varphi x1(t), . . . , U\varphi xm(t)), t \geq t0.
Множини таких вiдображень утворюють однопараметричнi групи, якi будемо позначати через
\~G1(H) i \~Gm(H) вiдповiдно. Цi групи, очевидно, iзоморфнi групам G1(H) i Gm(H) вiдповiд-
но [2].
Позначимо через \scrE множину всiх розв’язкiв \bfx (t) = (x1(t), . . . , xm(t)) довiльної iз сис-
тем рiвнянь (2) i (3) або рiвняння (4). Будемо називати цю множину iнварiантною вiдносно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ ЯКИХ IНВАРIАНТНI . . . 89
вiдображення \~Um,\varphi , якщо розв’язками вiдповiдної системи або рiвняння також будуть функцiї
\~\bfx (t) =
\bigl(
\~Um,\varphi \bfx
\bigr)
(t) = (U\varphi x1(t), . . . , U\varphi xm(t)) i множина таких функцiй буде збiгатися з \scrE . Якщо
ця властивiсть виконується для кожного \varphi \in \BbbR , то множину \scrE будемо називати iнварiантною
вiдносно групи \~Gm(H).
Покажемо iнварiантнiсть \scrE вiдносно групи \~Gm(H).
Спочатку розглянемо систему рiвнянь (2). Позначимо через \scrE 1 множину всiх розв’язкiв цiєї
системи.
Справджується таке твердження.
Теорема 1. Нехай \scrE 1 \not = \varnothing i
Pi \in \frakP 1,\Omega m для всiх i = 1,m. (5)
Тодi множина розв’язкiв системи рiвнянь (2) iнварiантна вiдносно групи \~Gm(H).
Доведення. Позначимо через
ai = ai(t), i = 1,m, (6)
довiльний розв’язок системи (2). Завдяки (5)
U\varphi Pi = PiUm,\varphi для всiх i = 1,m i \varphi \in \BbbR .
Тому
dnU\varphi ai(t)
dtn
\equiv U\varphi
dnai(t)
dtn
\equiv U\varphi Pi(a1(t), . . . , am(t)) \equiv Pi(U\varphi a1(t), . . . , U\varphi am(t))
для всiх i = 1,m i \varphi \in \BbbR . Звiдси випливає, що i сукупнiсть функцiй
bi = U\varphi ai(t), i = 1,m, (7)
є розв’язком системи (2) для кожного \varphi \in \BbbR .
Отже, якщо (6) є розв’язком системи (2), то (7) також є розв’язком цiєї системи.
Звiдси та з довiльностi вибору розв’язку (6) системи (2) i вiдображення U\varphi \in G1(H) ви-
пливає твердження теореми.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 2. Однiєї неперервностi вiдображень Pi : \Omega m \rightarrow H, i = 1,m, недостатньо,
щоб \scrE 1 \not = \varnothing , оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H = \infty (див. [3]). Додатковi вимоги до Pi : \Omega m \rightarrow H, i = 1,m, що
гарантують iснування розв’язкiв дослiджуваної системи, можна знайти в [4].
Тепер розглянемо систему рiвнянь (3). Позначимо через \scrE 2 множину всiх розв’язкiв цiєї
системи.
Справджується таке твердження.
Теорема 2. Нехай \scrE 2 \not = \varnothing ,
Fi \in \frakF 1,k,\Omega m для всiх i = 1,m (8)
i
Pji \in \frakF 0,2,\Omega 1 для всiх i = 1,m, j = 1,m, i \not = j. (9)
Тодi множина розв’язкiв системи рiвнянь (3) iнварiантна вiдносно групи \~Gm(H).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
90 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Доведення. Позначимо через
ci = ci(t), i = 1,m, (10)
довiльний розв’язок системи (3), а через \bfc (t) функцiю (c1(t), . . . , cm(t)). Завдяки (8) i (9)
dnU\varphi ci(t)
dtn
\equiv U\varphi
dnci(t)
dtn
\equiv
\equiv U\varphi Fi (\bfc (t - \tau 1i(t)), \bfc (t - \tau 2i(t)), . . . , \bfc (t - \tau mi(t))) \equiv
\equiv Fi (Um,\varphi \bfc (t - \tau 1i(t)), Um,\varphi \bfc (t - \tau 2i(t)), . . . , Um,\varphi \bfc (t - \tau mi(t)))
i
\tau ji(t) \equiv Pji(cj(t - \tau ji(t)), ci(t)) \equiv Pji(U\varphi cj(t - \tau ji(t)), U\varphi ci(t))
для всiх i = 1,m, j = 1,m, i \not = j, i \varphi \in \BbbR . Тому для кожного \varphi \in \BbbR функцiї
di = U\varphi ci(t), i = 1,m, (11)
є розв’язком системи (3).
Отже, якщо (10) є розв’язком системи (3), то (11) також є розв’язком цiєї системи.
Звiдси та з довiльностi вибору розв’язку (10) системи (3) i вiдображення U\varphi \in G1(H)
випливає твердження теореми.
Теорему 2 доведено.
Перейдемо до розгляду рiзницевого рiвняння (4). Позначимо через \scrE 3 множину всiх розв’язкiв
цього рiвняння.
Справджується таке твердження.
Теорема 3. Нехай \scrE 3 \not = \varnothing i
FUm,\varphi = Um,\varphi F для всiх \varphi \in \BbbR . (12)
Тодi множина неперервних розв’язкiв рiвняння (4) iнварiантна вiдносно групи \~Gm(H).
Доведення. Позначимо через
\bfz (t) = (z1(t), . . . , zm(t)) (13)
довiльний неперервний розв’язок рiвняння (4). Завдяки (12)
Um,\varphi \bfz (t) \equiv Um,\varphi F (\bfz (t - 1)) \equiv F (Um,\varphi \bfz (t - 1))
для всiх \varphi \in \BbbR . Звiдси випливає, що функцiя
\^\bfz (t) = Um,\varphi \bfz (t) (14)
є розв’язком рiвняння (4) для кожного \varphi \in \BbbR .
Отже, якщо (13) є розв’язком рiвняння (4), то (14) також є розв’язком цього рiвняння.
Звiдси та з довiльностi вибору розв’язку (13) рiвняння (4) i вiдображення Um,\varphi випливає
твердження теореми.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ ЯКИХ IНВАРIАНТНI . . . 91
4. Умови нестiйкостi та обмеженостi розв’язкiв рiвнянь (2) – (4). Встановлена в п. 3
властивiсть iнварiантностi множин розв’язкiв рiвнянь (2) – (4) вiдносно групи \~Gm(H) дає змогу
отримати умови нестiйкостi та обмеженостi деяких розв’язкiв цих рiвнянь.
Основними в статтi є наступнi три твердження.
Теорема 4. Нехай виконано умови теореми 1 i самоспряжений оператор A \in L(H,H)
має неперервний обернений. Якщо розв’язок (6) системи (2) необмежений i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq t0, i=1,m, l=1,n - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dl\vec{}ai(t)dtl
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
< +\infty , (15)
то цей розв’язок є нестiйким.
Теорема 5. Нехай виконано умови теореми 2 i самоспряжений оператор A \in L(H,H)
має неперервний обернений. Якщо розв’язок (10) системи (3) необмежений i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq t0, i=1,m, l=1,n - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dl\vec{}ci(t)dtl
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
< +\infty , (16)
то цей розв’язок є нестiйким.
Теорема 6. Нехай виконано умови теореми 3 i самоспряжений оператор A \in L(H,H)
має неперервний обернений. Якщо неперервний розв’язок (13) рiвняння (4) необмежений, то
цей розв’язок є нестiйким.
При доведеннi цих теорем використовується така лема.
Лема. Нехай самоспряжений оператор A \in L(H,H) має неперервний обернений. Тодi
виконуються спiввiдношення
\| U\varphi x - x\| H = 2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\Bigr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
\leq 2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
| \varphi |
2
\| A\| L(H,H)
\biggr)
\| x\| H , \varphi \in \BbbR , x \in H, (17)
\| Um,\varphi \bfx - \bfx \| Hm \leq 2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
| \varphi |
2
\| A\| L(H,H)
\biggr)
\| \bfx \| Hm , \varphi \in \BbbR , \bfx \in Hm, (18)
i для всiх достатньо малих \varphi \not = 0 оператор \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A має неперервний обернений.
Доведення. Використаємо спiввiдношення
I - 1
2
\bigl(
ei\varphi A + e - i\varphi A
\bigr)
= I - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi A = 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\varphi
2
A,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(H,H)
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+\infty \sum
s=0
( - 1)s
(2s+ 1)!
\varphi 2s+1
22s+1
A2s+1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(H,H)
\leq
\leq
+\infty \sum
s=0
1
(2s+ 1)!
| \varphi | 2s+1
22s+1
\| A\| 2s+1
L(H,H) =
= \mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
| \varphi |
2
\| A\| L(H,H)
\biggr)
,
що випливають з теорiї функцiй лiнiйних обмежених операторiв (див., наприклад, [4], роздiл I,
§ 2). Iз цiєї теорiї з урахуванням самоспряженостi оператора A також випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
92 В. Ю. СЛЮСАРЧУК\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr) \ast
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
i \bigl(
ei\varphi A
\bigr) \ast
= e - i\varphi A.
Iз наведених спiввiдношень та унiтарностi оператора U\varphi = ei\varphi A отримуємо
\| U\varphi x - x\| 2H =
\bigm\| \bigm\| ei\varphi Ax - x
\bigm\| \bigm\| 2
H
=
\bigl(
ei\varphi Ax - x, ei\varphi Ax - x
\bigr)
=
=
\bigl(
ei\varphi Ax, ei\varphi Ax
\bigr)
-
\bigl(
ei\varphi Ax, x
\bigr)
-
\bigl(
x, ei\varphi Ax
\bigr)
+ (x, x) =
= (x, x) -
\bigl(
ei\varphi Ax, x
\bigr)
-
\bigl(
e - i\varphi Ax, x
\bigr)
+ (x, x) =
= 2(x, x) -
\bigl( \bigl(
ei\varphi A + e - i\varphi A
\bigr)
x, x
\bigr)
= 2(x, x) - 2 ((\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi A)x, x) =
= 2((I - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi A)x, x) = 4
\Bigl( \Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\varphi
2
A
\Bigr)
x, x
\Bigr)
=
= 4
\Bigl( \Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr)
x,
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr) \ast
x
\Bigr)
= 4
\Bigl( \Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr)
x,
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr)
x
\Bigr)
=
= 4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\Bigr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
\leq 4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
L(H,H)
\| x\| 2H \leq
\leq 4 \mathrm{s}\mathrm{h}2
\biggl(
| \varphi |
2
\| A\| L(H,H)
\biggr)
\| x\| 2H
для всiх \varphi \in \BbbR i x \in H. Звiдси випливає спiввiдношення (17).
Спiввiдношення (18) можна отримати, використавши (17). Справдi,
\| Um,\varphi \bfx - \bfx \| Hm = \| Um,\varphi (x1, . . . , xm) - (x1, . . . , xm)\| Hm =
= \| (U\varphi x1, . . . , U\varphi xm) - (x1, . . . , xm)\| Hm =
= \| (U\varphi x1 - x1, . . . , U\varphi xm - xm)\| Hm =
=
\sqrt{}
\| U\varphi x1 - x1\| 2H + . . .+ \| U\varphi xm - xm\| 2H =
=
\sqrt{} \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\Bigr)
x1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
+ . . .+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\Bigr)
xm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
\leq
\leq
\sqrt{}
4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
L(H,H)
\bigl(
\| x1\| 2H + . . .+ \| xm\| 2H
\bigr)
=
= 2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi
2
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(H,H)
\| \bfx \| Hm \leq
\leq 2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
| \varphi |
2
\| A\| L(H,H)
\biggr)
\| \bfx \| Hm
для всiх \varphi \in \BbbR i \bfx \in Hm.
Оскiльки за теоремою Данфорда (див. [4], роздiл I, § 2) для спектра \sigma
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr)
оператора
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ ЯКИХ IНВАРIАНТНI . . . 93
\sigma
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr)
=
\Bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
\lambda : \lambda \in \sigma (A)
\Bigr\}
(19)
i спектр \sigma (A) є компактною множиною, що не мiстить точки 0 (оскiльки оператор A має
неперервний обернений), то
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
\lambda \not = 0
для всiх \lambda \in \sigma (A) i достатньо малих \varphi \not = 0. Тому на пiдставi (19)
0 \not \in \sigma
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A
\Bigr)
для всiх достатньо малих \varphi \not = 0. Цього достатньо, щоб оператор \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi
2
A мав неперервний
обернений для всiх достатньо малих \varphi \not = 0.
Лему доведено.
Доведення теореми 4. Оскiльки розв’язок (6) системи (2) необмежений i виконується
спiввiдношення (15), то для векторної функцiї \bfa (t) = (a1(t), . . . , am(t)), що є розв’язком сис-
теми (2),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\| \bfa (t)\| Hm = +\infty . (20)
Зафiксуємо довiльне як завгодно мале число \varepsilon > 0. Завдяки лемi (див. (18)) i спiввiдношен-
ню (15) iснує число \varphi \varepsilon , для якого
0 < \varphi \varepsilon <
2
\| A\| L(H,H)
,
\| Um,\varphi \varepsilon \bfa (t0) - \bfa (t0)\| Hm +
n - 1\sum
l=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Um,\varphi \varepsilon
dl\bfa (t)
dtl
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=t0
- dl\bfa (t)
dtl
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=t0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Hm
< \varepsilon (21)
i оператор \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi \varepsilon
2
A має неперервний обернений.
Згiдно з теоремою 1 та її доведенням функцiя \bfb (t) = Um,\varphi \varepsilon \bfa (t) також є розв’язком систе-
ми (2). За лемою
\| \bfb (t) - \bfa (t)\| Hm = \| Um,\varphi \varepsilon \bfa (t) - \bfa (t)\| Hm =
=
\sqrt{}
\| U\varphi \varepsilon a1(t) - a1(t)\| 2H + . . .+ \| U\varphi \varepsilon am(t) - am(t)\| 2H =
=
\sqrt{} \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
a1(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
+ . . .+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
am(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
для всiх t \geq t0, а завдяки (20) та тому, що оператор \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi \varepsilon
2
A має неперервний обернений, для
деякого i0 \in \{ 1, . . . ,m\}
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
ai0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
= +\infty .
Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\sqrt{} \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
a1(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
+ . . .+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
am(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
= +\infty ,
тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
94 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\| Um,\varphi \varepsilon \bfa (t) - \bfa (t)\| Hm = +\infty . (22)
Отже, спiввiдношення (22) виконується, яким би малим у нерiвностi (21) не було число
\varepsilon > 0. Це означає нестiйкiсть розв’язку (6) системи (2).
Теорему 4 доведено.
Доведення теореми 5. Оскiльки розв’язок (10) системи (3) є необмеженим i виконується
спiввiдношення (16), то для векторної функцiї \bfc (t) = (c1(t), . . . , cm(t)), що є розв’язком систе-
ми (3),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\| \bfc (t)\| Hm = +\infty . (23)
Зафiксуємо довiльне як завгодно мале число \varepsilon > 0.
При обґрунтуваннi нестiйкостi розв’язку \bfc (t) системи рiвнянь (3) через наявнiсть у (3) вiд-
хилень \tau ji(t) аргументу потрiбно враховувати значення функцiї \bfc (t) та її похiдних
d\bfc (t)
dt
, . . .
. . . ,
dn - 1\bfc (t)
dtn - 1
на деякому початковому промiжку [t0 - \Delta , t0], довжина якого залежить вiд спiв-
вiдношень
\tau ji(t) = Pji(\vec{}rj(t - \tau ji(t)), \vec{}ri(t)), i = 1,m, j = 1,m, i \not = j,
що є складовими дослiджуваної системи.
Будемо вважати, що початковий промiжок [t0 - \Delta , t0] нам вiдомий i функцiя \bfc (t) є не-
перервно диференцiйовною на [t0 - \Delta , t0]. Завдяки такому припущенню, лемi (див. (18)) i
спiввiдношенню (16) iснує число \varphi \varepsilon , для якого
0 < \varphi \varepsilon <
2
\| A\| L(H,H)
,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [t0 - \Delta ,t0]
\| Um,\varphi \varepsilon \bfc (s) - \bfc (s)\| Hm +
+
n - 1\sum
l=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [t0 - \Delta ,t0]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Um,\varphi \varepsilon
dl\bfc (s)
dsl
- dl\bfc (s)
dsl
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Hm
< \varepsilon (24)
i оператор \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi \varepsilon
2
A має неперервний обернений.
Спiввiдношення (24) означає, що векторнi функцiї \bfc (t) i Um,\varphi \varepsilon \bfc (t) та їхнi похiднi до (n - 1)-
го порядку на початковому промiжку вiдрiзняються (за нормою) менше, нiж на \varepsilon .
Згiдно з теоремою 2 та її доведенням векторна функцiя \bfd (t) = Um,\varphi \varepsilon \bfc (t) також є розв’язком
системи (3). Завдяки лемi з урахуванням означення норми в Hm
\| \bfd (t) - \bfc (t)\| Hm = \| Um,\varphi \varepsilon \bfc (t) - \bfc (t)\| Hm =
=
\sqrt{}
\| U\varphi \varepsilon c1(t) - c1(t)\| 2H + . . .+ \| U\varphi \varepsilon cm(t) - cm(t)\| 2H =
=
\sqrt{} \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
c1(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
+ . . .+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
cm(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
,
а завдяки (23) i оборотностi оператора \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi \varepsilon
2
A
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ ЯКИХ IНВАРIАНТНI . . . 95
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
ci0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
= +\infty
для деякого i0 \in \{ 1, . . . ,m\} . Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\| Um,\varphi \varepsilon \bfc (t) - \bfc (t)\| Hm = +\infty . (25)
Таким чином, спiввiдношення (25) виконується, яким би малим у нерiвностi (24) не було
число \varepsilon > 0. Це означає нестiйкiсть розв’язку (9) системи (3).
Теорему 5 доведено.
Доведення теореми 6. Вважаємо, що неперервний на [t0 - 1,+\infty ) розв’язок (13) рiвнян-
ня (4) є необмеженим.
Зафiксуємо довiльне як завгодно мале число \varepsilon > 0. Завдяки лемi iснує число \varphi \varepsilon , для якого
0 < \varphi \varepsilon <
2
\| A\| L(H,H)
,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [t0 - 1,t0]
\| Um,\varphi \varepsilon \bfz (s) - \bfz (s)\| Hm < \varepsilon (26)
i оператор \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi \varepsilon
2
A має неперервний обернений.
Спiввiдношення (26) означає, що векторнi функцiї \bfz (t) i Um,\varphi \varepsilon \bfz (t) на початковому промiжку
[t0 - 1, t0] вiдрiзняються (за нормою) менше, нiж на \varepsilon .
Згiдно з теоремою 3 та її доведенням векторна функцiя \^\bfz (t) = Um,\varphi \varepsilon \bfz (t) також є розв’язком
рiвняння (4). Завдяки лемi з урахуванням означення норми в Hm
\| \^\bfz (t) - \bfz (t)\| Hm = \| Um,\varphi \varepsilon \bfz (t) - \bfz (t)\| Hm =
=
\sqrt{}
\| U\varphi \varepsilon z1(t) - z1(t)\| 2H + . . .+ \| U\varphi \varepsilon zm(t) - zm(t)\| 2H =
=
\sqrt{} \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
z1(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
+ . . .+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
zm(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
H
,
а завдяки (23) i оборотностi оператора \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi \varepsilon
2
A
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \varphi \varepsilon
2
A
\Bigr)
zi0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
= +\infty
для деякого i0 \in \{ 1, . . . ,m\} . Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\| Um,\varphi \varepsilon \bfz (t) - \bfz (t)\| Hm = +\infty . (27)
Таким чином, спiввiдношення (27) виконується, яким би малим у нерiвностi (26) не було
число \varepsilon > 0. Це означає нестiйкiсть розв’язку (13) рiвняння (4).
Теорему 6 доведено.
Iз теорем 4 – 6 випливають такi твердження.
Наслiдок 1. Нехай виконано умови теореми 1, самоспряжений оператор A \in L(H,H) має
неперервний обернений i розв’язок (6) системи (2) задовольняє спiввiдношення (15).
Якщо цей розв’язок стiйкий, то вiн є обмеженим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
96 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Наслiдок 2. Нехай виконано умови теореми 2, самоспряжений оператор A \in L(H,H) має
неперервний обернений i розв’язок (10) системи (3) задовольняє спiввiдношення (16).
Якщо цей розв’язок стiйкий, то вiн є обмеженим.
Наслiдок 3. Нехай виконано умови теореми 3 i самоспряжений оператор A \in L(H,H)
має неперервний обернений.
Якщо неперервний розв’язок (13) рiвняння (4) стiйкий, то вiн є обмеженим.
5. Приклад системи рiвнянь, до якої застосовнi результати iз пп. 3 i 4. Спочатку наве-
демо потрiбнi для подальшого позначення й означення.
Нехай \BbbR 2 = \BbbR \times \BbbR — простiр, елементами якого є вектори \vec{}r = (x1, x2) з координатами
x1, x2 \in \BbbR , з евклiдовою нормою
| \vec{}r| =
\sqrt{}
x21 + x22.
Позначимо через G1(\BbbR 2) мультиплiкативну групу всiх вiдображень T\varphi : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR 2, \varphi \in \BbbR ,
для кожного з яких
T\varphi \vec{}r = T\varphi (x1, x2) = (x1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi - x2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi , x1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi + x2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi ).
Ця група є аналогом групи G1(H). Вiдомо, що T\varphi (x1, x2) — результат повороту точки (вектора)
(x1, x2) на кут \varphi навколо центра обертання (0, 0) i вiдображення T\varphi визначається матрицею\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
\biggr)
[5]. Можна показати, використавши теорему Стоуна (див. [1], роздiл X, § 4),
що \biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
\biggr)
= e
\varphi
\Bigl(
0 - 1
1 0
\Bigr)
, \varphi \in \BbbR ,
i матриця A = - i
\biggl(
0 - 1
1 0
\biggr)
є твiрною групи G1(\BbbR 2).
Зафiксуємо довiльне число m \in \BbbN i розглянемо евклiдовий простiр Em = \BbbR 2 \times . . .\times \BbbR 2\underbrace{} \underbrace{}
m разiв
елементiв \vec{}\bfr = (\vec{}r1, . . . , \vec{}rm), де \vec{}r1, . . . , \vec{}rm \in \BbbR 2, з нормою \| \vec{}\bfr \| Em =
\sqrt{}
| \vec{}r1| 2 + . . .+ | \vec{}rm| 2.
Визначимо вiдображення Tm,\varphi : Em \rightarrow Em рiвнiстю
Tm,\varphi (\vec{}r1, . . . , \vec{}rm) = (T\varphi \vec{}r1, . . . , T\varphi \vec{}rm).
Очевидно, що вiдображення Tm,\varphi здiйснює поворот вектора (\vec{}r1, . . . , \vec{}rm) на кут \varphi i множина
Gm(\BbbR 2) = \{ Tm,\varphi : \varphi \in \BbbR \} є мультиплiкативною групою.
Нехай C([t0,+\infty ),\BbbR 2) i C([t0,+\infty ), Em) — векторнi простори визначених i неперервних на
[t0,+\infty ) функцiй зi значеннями в \BbbR 2 i Em вiдповiдно. Зазначимо, що елементи цих просторiв
можуть бути необмеженими на [t0,+\infty ).
Позначимо через \~T\varphi i \~Tm,\varphi вiдображення \~T\varphi : C([t0,+\infty ),\BbbR 2) \rightarrow C([t0,+\infty ),\BbbR 2) i \~Tm,\varphi :
C([t0,+\infty ), Em) \rightarrow C([t0,+\infty ), Em), що визначаються спiввiдношеннями\bigl(
\~T\varphi \vec{}r
\bigr)
(t) = T\varphi \vec{}r(t), t \geq t0 - 1,
i \bigl(
\~Tm,\varphi \vec{}\bfr
\bigr)
(t) = (T\varphi \vec{}r1(t), . . . , T\varphi \vec{}rm(t)), t \geq t0 - 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ ЯКИХ IНВАРIАНТНI . . . 97
де \vec{}\bfr (t) = (\vec{}r1(t), . . . , \vec{}rm(t)). Тут \vec{}r, \vec{}r1, . . . , \vec{}rm — елементи простору C([t0,+\infty ),\BbbR 2). Множини
таких вiдображень утворюють однопараметричнi групи, якi будемо позначати через \~G1(\BbbR 2) i
\~Gm(\BbbR 2) вiдповiдно. Цi групи, очевидно, iзоморфнi групам G1(\BbbR 2) i Gm(\BbbR 2) вiдповiдно.
Використовуючи розглянутi позначення та означення, наведемо застосування результатiв iз
пп. 3 i 4.
Приклад. Розглянемо матерiальнi точки M0,M1, . . . ,Mn з масами m0,m1, . . . ,mn, що ру-
хаються у площинi. Для вивчення руху цих точок використаємо прямокутну систему координат
xOy з початком координат у точцi O. Систему координат вважатимемо iнерцiальною. У ста-
ттях [6, 7] показано, що у випадку, коли швидкiсть гравiтацiї збiгається зi швидкiстю свiтла
(це узгоджується з теорiєю вiдносностi А. Ейнштейна, в якiй постулюється, що швидкiсть гра-
вiтацiї збiгається зi швидкiстю свiтла, та з дослiдженнями С. М. Копєйкiна й Е. Фомалонта
про фундаментальну межу швидкостi гравiтацiї [9]), рух точок M0, M1, . . . ,Mn описується
системою рiвнянь iз вiдхилювальним аргументом
d2\vec{}ri(t)
dt2
=
\sum
j\in \{ 0,1,...,n\} \setminus \{ i\}
Gmj
| \vec{}rj(t - \tau ji(t)) - \vec{}ri(t)| 3
(\vec{}rj(t - \tau ji(t)) - \vec{}ri(t)),
\tau ji(t) =
| \vec{}rj(t - \tau ji(t)) - \vec{}ri(t)|
c
,
i = 0, n, j = 0, n, i \not = j,
(28)
де
Gmimj
| \vec{}rj(t - \tau ji(t)) - \vec{}ri(t)| 3
(\vec{}rj(t - \tau ji(t)) - \vec{}ri(t))
— сила притягування точки Mi точкою Mj (на пiдставi закону всесвiтнього тяжiння з урахуван-
ням запiзнення \tau ji(t) гравiтацiї) [6, 7] i c — швидкiсть гравiтацiї.
Ця система у випадку c = +\infty (тодi \tau ji(t) \equiv 0, i = 0, n, j = 0, n, i \not = j ) має вигляд
d2\vec{}ri(t)
dt2
=
\sum
j\in \{ 0,1,...,n\} \setminus \{ i\}
Gmj
| \vec{}rj(t) - \vec{}ri(t)| 3
(\vec{}rj(t) - \vec{}ri(t)), i = 0, n. (29)
Система (29) є основним об’єктом дослiджень у класичнiй небеснiй механiцi [8].
Зазначимо, що у випадку n = 9 систему рiвнянь (28) можна використовувати для вивчення
руху планет Сонячної системи, якщо не враховувати дiю на них iнших складових цiєї системи
(астероїдiв, комет тощо) та Галактики [6].
Покажемо, що до системи (28) застосовнi теореми 2 i 5.
Використаємо множину
\v \Omega n+1 =
\Bigl\{
(\vec{}r0, . . . , \vec{}rn) \in En+1 : \vec{}ri \not = \vec{}rj , i = 0, n, j = 0, n, i \not = j
\Bigr\}
,
що, очевидно, задовольняє спiввiдношення (1) при m = n+ 1.
Розглянемо вiдображення P1,i : \v \Omega n+1 \rightarrow \BbbR 2, i = 0, n, що визначаються за допомогою
правих частин системи (28):
P1,i(\vec{}r0, . . . , \vec{}rn) =
\sum
j\in \{ 0,1,...,n\} \setminus \{ i\}
Gmj
| \vec{}rj - \vec{}ri| 3
(\vec{}rj - \vec{}ri), i = 0, n. (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
98 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Цi вiдображення є елементами множини \frakP 1,\v \Omega n+1
, оскiльки
T\varphi
\sum
j\in \{ 0,1,...,n\} \setminus \{ i\}
Gmj
| \vec{}rj - \vec{}ri| 3
(\vec{}rj - \vec{}ri) =
=
\sum
j\in \{ 0,1,...,n\} \setminus \{ i\}
Gmj
| T\varphi \vec{}rj - T\varphi \vec{}ri| 3
(T\varphi \vec{}rj - T\varphi \vec{}ri), i = 0, n,
для кожного вiдображення T\varphi \in G1(\BbbR 2) i суми\sum
j\in \{ 0,1,...,n\} \setminus \{ i\}
Gmj
| \vec{}rj - \vec{}ri| 3
(\vec{}rj - \vec{}ri), i = 0, n,
очевидно, є неперервними на \v \Omega n+1.
Також розглянемо вiдображення P0,ji : \v \Omega 2 \rightarrow \BbbR +, i = 0, n, j = 0, n, i \not = j, що вiдповiдають
правим частинам другого рiвняння системи (28) i визначаються рiвностями
P0,ji(\vec{}rj , \vec{}ri) =
| \vec{}rj - \vec{}ri|
c
, i = 0, n, j = 0, n, i \not = j.
Цi вiдображення є елементами множини \frakP 0,\v \Omega 2
, оскiльки вони неперервнi i
| T\varphi \vec{}rj - T\varphi \vec{}ri|
c
=
| \vec{}rj - \vec{}ri|
c
, i = 0, n, j = 0, n, i \not = j.
Тодi на пiдставi теореми 2 множина розв’язкiв системи (28) iнварiантна вiдносно групи
\~Gn+1(\BbbR 2). Тому до цiєї системи застосовна теорема 5. У статтi [7] показано, що у випадку
двох тiл (n = 1) система (28) може мати необмеженi розв’язки, якi є нестiйкими. Цi розв’язки
нестiйкi i за теоремою 5, якщо їхнi похiднi першого порядку обмеженi.
Аналогiчне твердження справджується для системи (28) i при довiльному n \in \BbbN (за теоре-
мою 5).
Теорема 7. Якщо система (28) має необмежений розв’язок, перша похiдна якого обмеже-
на, то вiн є нестiйким.
6. Зауваження та лiтературнi вказiвки. Задачу про iнварiантнiсть множин розв’язкiв
рiвнянь (2) – (4) вiдносно групи \~Gm(H) розглянуто вперше. Така задача, згiдно з п. 5, потрiбна
як для класичної, так i для некласичної (зi скiнченною швидкiстю гравiтацiї) небесної механiки
i є корисною, наприклад, для теорiї диференцiальних рiвнянь. Звiдси, зокрема, випливає, що
множини задач, до яких застосовнi наведенi в пп. 3 i 4 результати, не є порожнiми.
Запропонований у п. 4 метод доведення нестiйкостi необмежених розв’язкiв диференцi-
альних рiвнянь, рiзницевих рiвнянь та рiвнянь iз вiдхилювальним аргументом у гiльбертовому
просторi з використанням iнварiантностi множин розв’язкiв цих рiвнянь вiдносно групи \~Gm(H)
є новим.
Очевидно, що замiсть систем (2) – (4) можна розглядати складнiшi системи. Твердження з
пп. 3 i 4 та їхнє обґрунтування зберiгаються i для них.
Виконання спiввiдношень (15) i (16) в теоремах 4 i 5 є природним. Наприклад, у небеснiй
механiцi, що використовує в якостi математичної моделi руху n тiл систему (28) (див. [6, 7]),
швидкiсть руху тiл не може бути бiльшою за швидкiсть руху свiтла c.
Теорема 7 є узагальненням вiдповiдного твердження для двох тiл зi скiнченною швидкiстю
гравiтацiї (див. [7], п. 11).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
РIВНЯННЯ В ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI, МНОЖИНИ РОЗВ’ЯЗКIВ ЯКИХ IНВАРIАНТНI . . . 99
Лiтература
1. К. Морен, Методы гильбертова пространства, Мир, Москва (1965).
2. Л. С. Понтрягин, Непрерывные группы, Гостехиздат, Москва (1954).
3. А. Н. Годунов, О теореме Пеано в банаховых пространствах, Функцион. анализ и его прил., 9, вып. 1, 59 – 60
(1975).
4. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве, Наука, Москва (1970).
5. А. Д. Мышкис, Лекции по высшей математике, Наука, Москва (1969).
6. В. Ю. Слюсарчук, Математична модель Сонячної системи з урахуванням швидкостi гравiтацiї, Нелiнiйнi
коливання, 21, № 2, 238 – 261 (2018).
7. В. Ю. Слюсарчук, Некеплеровiсть та нестiйкiсть руху двох тiл, спричиненi скiнченнiстю швидкостi гравi-
тацiї, Нелiнiйнi коливання, 21, № 3, 397 – 419 (2018).
8. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. Н. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики,
УРСС, Москва (2002).
9. С. М. Копейкин, Э. Фомалонт, Фундаментальный предел скорости гравитации и его измерение, Земля и
Вселенная, 3 (2004).
Одержано 02.08.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-687 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:43Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/47/ca6ed231e2cf95265ad7c6d7610dc447.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-6872020-01-29T11:58:13Z Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators Уравнения в гильбертовом пространстве, множества решений которых инвариантны относительно группы, изоморфной однопараметрической группе унитарных рператоро Рівняння в гільбертовому просторі, множини розв'язків яких інваріантні відносно групи, ізоморфної однопараметричній групі унітарних операторів Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. гільбертовий простор групи унітарних операторів Hilbert space group of unitary operators We construct classes of equations in a Hilbert space whose sets of solution are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators. It is shown that the unbounded solutions of these equations are unstable. The applications of the obtained results to nonlinear mechanics are presented. &nbsp; Построены классы уравнений в гильбертовом пространстве, множества решений которых инвариантны относительно группы, изоморфной однопараметрической группе унитарных операторов. Показано, что неограниченные решения таких уравнений неустойчивы. Приведены приложения полученных результатов к нелинейной механике. Побудовано класи рівнянь у гільбертовому просторі, множини розв'язків яких інваріантні відносно групи, ізоморфної однопараметричній групі унітарних операторів. Показано, що необмежені розв'язки таких рівнянь нестійкі. Наведено застосування отриманих результатів до нелінійної механіки. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-01-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/687 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 1 (2020); 86-99 Український математичний журнал; Том 72 № 1 (2020); 86-99 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/687/1549 Copyright (c) 2020 Василь Юхимович Слюсарчук |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators |
| title | Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators |
| title_alt | Уравнения в гильбертовом пространстве, множества решений которых инвариантны относительно группы, изоморфной однопараметрической группе унитарных рператоро Рівняння в гільбертовому просторі, множини розв'язків яких інваріантні відносно групи, ізоморфної однопараметричній групі унітарних операторів |
| title_full | Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators |
| title_fullStr | Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators |
| title_full_unstemmed | Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators |
| title_short | Equations in a Hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators |
| title_sort | equations in a hilbert space whose solution sets are invariant with respect to a group isomorphic to a one-parameter group of unitary operators |
| topic_facet | гільбертовий простор групи унітарних операторів Hilbert space group of unitary operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/687 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu equationsinahilbertspacewhosesolutionsetsareinvariantwithrespecttoagroupisomorphictoaoneparametergroupofunitaryoperators AT slûsarčukvû equationsinahilbertspacewhosesolutionsetsareinvariantwithrespecttoagroupisomorphictoaoneparametergroupofunitaryoperators AT slûsarčukvû equationsinahilbertspacewhosesolutionsetsareinvariantwithrespecttoagroupisomorphictoaoneparametergroupofunitaryoperators AT slyusarchukvyu uravneniâvgilʹbertovomprostranstvemnožestvarešenijkotoryhinvariantnyotnositelʹnogruppyizomorfnojodnoparametričeskojgruppeunitarnyhrperatoro AT slûsarčukvû uravneniâvgilʹbertovomprostranstvemnožestvarešenijkotoryhinvariantnyotnositelʹnogruppyizomorfnojodnoparametričeskojgruppeunitarnyhrperatoro AT slûsarčukvû uravneniâvgilʹbertovomprostranstvemnožestvarešenijkotoryhinvariantnyotnositelʹnogruppyizomorfnojodnoparametričeskojgruppeunitarnyhrperatoro AT slyusarchukvyu rívnânnâvgílʹbertovomuprostorímnožinirozv039âzkívâkihínvaríantnívídnosnogrupiízomorfnoíodnoparametričníjgrupíunítarnihoperatorív AT slûsarčukvû rívnânnâvgílʹbertovomuprostorímnožinirozv039âzkívâkihínvaríantnívídnosnogrupiízomorfnoíodnoparametričníjgrupíunítarnihoperatorív AT slûsarčukvû rívnânnâvgílʹbertovomuprostorímnožinirozv039âzkívâkihínvaríantnívídnosnogrupiízomorfnoíodnoparametričníjgrupíunítarnihoperatorív |