Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties
UDC 517.937, 519.21 We consider a pseudodifferential equation involving the Riesz operator of fractional differentiation, which is a natural generalization of the well-known equation of fractal diffusion. Its fundamental solution to the Cauchy problem is the density of probability distribution of lo...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6879 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512554934075392 |
|---|---|
| author | Litovchenko , V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. |
| author_facet | Litovchenko , V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. |
| author_sort | Litovchenko , V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-27T15:39:11Z |
| description | UDC 517.937, 519.21
We consider a pseudodifferential equation involving the Riesz operator of fractional differentiation, which is a natural generalization of the well-known equation of fractal diffusion. Its fundamental solution to the Cauchy problem is the density of probability distribution of local interaction forces for moving objects in the corresponding Riesz gravitational field. For this equation, we establish the correct solvability of the Cauchy problem in the class of unbounded, discontinuous initial functions with an integrable singularity. In addition, the form of the classical solution of this problem is found and its smoothness properties and behavior at infinity are investigated. Moreover, under certain conditions on the fluctuation coefficient, we obtain an analogue of the maximum principle and use it to prove the uniqueness of the solution to the Cauchy problem. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i1.6879 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i1.6879
УДК 517.937, 519.21
В. А. Лiтовченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ
ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ РIССА ТА ЇХНI ВЛАСТИВОСТI
We consider a pseudodifferential equation involving the Riesz operator of fractional differentiation, which is a natural
generalization of the well-known equation of fractal diffusion. Its fundamental solution to the Cauchy problem is the
density of probability distribution of local interaction forces for moving objects in the corresponding Riesz gravitational
field. For this equation, we establish the correct solvability of the Cauchy problem in the class of unbounded, discontinuous
initial functions with an integrable singularity. In addition, the form of the classical solution of this problem is found and
its smoothness properties and behavior at infinity are investigated. Moreover, under certain conditions on the fluctuation
coefficient, we obtain an analogue of the maximum principle and use it to prove the uniqueness of the solution to the
Cauchy problem.
Розглядається псевдодиференцiальне рiвняння з оператором Рiсса дробового диференцiювання, яке природно уза-
гальнює вiдоме рiвняння фрактальної дифузiї. Його фундаментальний розв’язок задачi Кошi є щiльнiстю розподiлу
ймовiрностей для сили локальної взаємодiї рухомих об’єктiв у вiдповiдному гравiтацiйному полi Рiсса. Для цього
рiвняння встановлено коректну розв’язнiсть задачi Кошi в класi необмежених, розривних з iнтегровною особливiс-
тю початкових функцiй. При цьому знайдено форму класичного розв’язку цiєї задачi та дослiджено властивостi
його гладкостi й поведiнку на нескiнченностi. Також, за певних умов на коефiцiєнт флуктуацiї, встановлено аналог
принципу максимуму, за допомогою якого обґрунтовано єдинiсть розв’язку задачi Кошi.
1. Вступ. У системi рухомих об’єктiв з масами mj виникає гравiтацiйне поле локального
впливу на розглядуваний об’єкт Z0, спричинене його близьким оточенням Zj . Найпростiший
приклад таких систем — зорянi галактики, в яких об’єктами Zj є зiрки. Оскiльки це оточен-
ня непередбачувано змiнюється, то сила F локального впливу на об’єкт Z0 є випадковою
величиною.
Нехай взаємодiя мiж масами системи пiдпорядкована потенцiалу М. Рiсса [1], тобто гравi-
тацiйний вплив мiж її двома довiльними об’єктами мас M i m описується законом
F = G
Mm
| r| \beta
r0, \beta > 0, (1)
де G — вiдповiдна гравiтацiйна стала, r — вектор вiдстанi мiж цими об’єктами, a r0 := r/| r| —
орт вектора r \in \BbbR 3 . Тут \BbbR n — евклiдiв простiр розмiрностi n зi скалярним добутком (\cdot , \cdot ) i
нормою | r| = (r, r)1/2 ; \BbbR := \BbbR 1 . При \beta = 2 рiвнiсть (1) характеризує вiдомий гравiтацiйний
закон Ньютона.
Припустимо, що розглядуваний об’єкт Z0 знаходиться в початку координат системи. Тодi
нестацiонарний розподiл W\beta (F ; t) ймовiрностей для сили F (t), яка дiє на одиницю маси
об’єкта Z0 у момент часу t внаслiдок гравiтацiї близького оточення, визначається рiвнiстю [2]
W\beta (F ; t) = \BbbF - 1
\Bigl[
e - a\beta (t)| \xi | 3/\beta
\Bigr]
(F ; t), \beta > 3/2, (2)
де \BbbF — оператор перетворення Фур’є, а a\beta (\cdot ) — коефiцiєнт локальної флуктуацiї поля.
Зазначимо, що кожен розподiл W\beta (\cdot ; t), \beta > 3/2, при фiксованому t \in (0;T ] вiдноситься
до класу розподiлiв П. Левi
\scrL \alpha
\lambda (\cdot ) = \BbbF - 1
\bigl[
e - \lambda | \xi | \alpha \bigr] (\cdot ), \alpha \in (0; 2], (3)
симетричних стiйких випадкових процесiв [3, 4]. Зокрема, при \beta = 2 W\beta — вiдомий розподiл
Хольцмарка [5, 6].
c\bigcirc В. А. ЛIТОВЧЕНКО, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1 61
62 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Очевидно, що W\beta = \scrL \alpha
\lambda при \alpha = 3/\beta i \lambda = a\beta (t), t \in (0;T ]. Ця рiвнiсть характеризує
загальну природу симетричних стiйких випадкових процесiв Левi. Кожен такий процес \scrL \alpha
\lambda при
\alpha \in (0; 2) можна розглядати як процес локального впливу рухомих об’єктiв у вiдповiдному
гравiтацiйному полi М. Рiсса.
За певних умов на коефiцiєнт локальної флуктуацiї a\beta (\cdot ) розподiл W\beta на множинi (0;T ]\times \BbbR 3
є фундаментальним розв’язком задачi Кошi для псевдодиференцiального рiвняння (ПДР) [2, 7]
\partial tu(x; t) + a\prime \beta (t)A\nu u(x; t) = 0, t \in (0;T ], x \in \BbbR n. (4)
Тут n = 3, \nu := 3/\beta , a\prime \beta (t) :=
da\beta (t)
dt
, A\nu — оператор Рiсса дробового диференцiювання
порядку \nu [8], тобто A\nu = ( - \Delta )\nu /2, де \Delta — оператор Лапласа.
З огляду на цей факт рiвняння (4) природно назвати ПДР локальних флуктуацiй гравiтацiй-
них полiв Рiсса, спричинених рухомими об’єктами.
У простiшому випадку a\prime \beta (t) \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} рiвняння (4) вiдоме як „рiвняння фрактальної дифузiї”
[9] або „рiвняння iзотропної супердифузiї” [10, c. 251]. Це рiвняння є джерелом багатьох
випадкових процесiв [11]. Загалом вiдомо, що дробовий лапласiан A\nu є нескiнченно малим
генератором процесiв Левi (див., наприклад, [12, 13]).
У сучаснiй лiтературi наведено багато прикладiв застосувань розподiлiв Левi в астрономiї,
ядернiй фiзицi, економiцi, соцiологiї, в промисловiй та вiйськовiй галузях тощо [14 – 17]. Важли-
вий приклад для мотивацiї дослiдження рiвняння фрактальної дифузiї наведено в монографiї
[18, с. 7]. Там запропоновано ймовiрнiсну модель випадкового блукання частинки X стрибками
в довжину — „полiт Левi” i показано, що ймовiрнiсть u(x; t) перебування частинки X в момент
часу t у просторовiй точцi x є розв’язком рiвняння (4) при a\prime \beta (t) \equiv 1. Процеси такого типу в
природi спостерiгаються досить часто (див. бiологiчнi спостереження в [19, 20] та математичнi
дискусiї в [21, 22]).
Домовимось далi фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (4) позначати G\nu (x; t):
G\nu (x; t) := \BbbF - 1
\Bigl[
e - | \xi | \nu
\int t
0 da\beta (\tau )
\Bigr]
(x; t), t \in (0;T ], x \in \BbbR n. (5)
Дослiдження функцiї G\nu для рiвняння (4) при a\prime \beta (t) \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} розпочато у 80-х роках минуло-
го столiття у працях [23 – 25], в яких запропоновано один метод, що ґрунтується на перетвореннi
Фур’є. Завдяки цьому методу одержано такi оцiнки:
| \partial k
xG\nu (x; t)| \leq c1t(t
1/\nu + | x| ) - (n+| k| +[\nu ]), k \in \BbbZ n
+, t \in (0;T ], x \in \BbbR n, (6)
де [\cdot ] — цiла частина числа, a \BbbZ n
+ — множина всiх n-вимiрних мультиiндексiв. Проте цей
метод накладає обмеження на порядок \nu ПДР: \nu > 1. Оцiнки (6) дозволили в [24] встановити
коректну розв’язнiсть вiдповiдної задачi Кошi в класi обмежених гельдерових функцiй.
Точну асимптотичну поведiнку функцiї Грiна G\nu (\cdot ; t) в околi нескiнченно вiддалених точок
було встановлено в [26]:
G\nu (\cdot ; t) \sim | \cdot | - n - \nu , t > 0. (7)
Також цю асимптотику в дещо iнший спосiб було одержано в [27]. Зазначимо, що задовго до
появи публiкацiї [26] асимптотику (7) для ПДР (4) при a\beta (t) = t i \nu \in (0; 1] було описано в
роботi [28].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ. . . 63
Новий пiдхiд до дослiдження властивостей функцiї G\nu (\cdot ; t) застосував А. Н. Кочубей у [29,
30]. Для рiвнянь загальної структури з додатним головним символом псевдодиференцiювання
вiн уперше одержав оцiнки (6), в яких [\nu ] замiнено на \nu , у випадку, коли n > 1 i \nu \geq 1;
методом параметрикса побудував фундаментальний розв’язок задачi Кошi для ПДР зi змiнними
символами псевдодиференцiювання i встановив розв’язнiсть задачi Кошi у класi обмежених
неперервних початкових функцiй. Для окремого класу ПДР порядку \nu \in [1; 2] дослiдив питання
iснування невiд’ємних розв’язкiв, сформулював аналог принципу максимуму, за допомогою
якого обґрунтував єдинiсть розв’язку задачi Кошi та встановив важливi зв’язки з марковськими
випадковими процесами.
Задачу Кошi для параболiчних ПДР порядку \nu > 0 з однорiдними негладкими стали-
ми символами й узагальненими початковими даними розглянуто у [31, 32]. Тут дослiдження
проводилось у спецiальних просторах \Phi \nu , \Phi
\prime
\nu основних i узагальнених функцiй, породжених
властивостями функцiї G\nu (\cdot ; t). У [32] встановлено коректну розв’язнiсть цiєї задачi у випадку,
коли початковий функцiонал f \in \Phi \prime
\nu є згортувачем у вiдповiдному просторi \Phi \nu , i дослiджено
властивостi її розв’язкiв.
Для побудови конструкцiї фундаментального розв’язку оператора L типу Левi зi змiнним
символом порядку \nu \in (0; 1) у [33 – 35] запропоновано параметрикс у дещо iншiй формi, нiж
у [30]. Тут також встановлено градiєнтнi оцiнки цього розв’язку, якi важливi при дослiдженнi
вiдповiдних марковських процесiв.
Зазначимо, що клас згортувачiв у просторi \Phi \nu не охоплює всi обмеженi неперервнi на \BbbR n
функцiї, тому поширення результатiв iз [30] про розв’язнiсть задачi Кошi для ПДР зi сталими
символами псевдодиференцiювання на проблемний випадок \nu \in (0; 1) досi залишається не
завершеним. Крiм цього, важливою також є задача розширення класу граничних значень на
початковiй гiперплощинi класичних розв’язкiв ПДР (4) при \nu \in (0; 2). Вирiшенню цих проблем
присвячено дану роботу.
Опишемо коротко структуру статтi. У пунктi 2 наведено необхiдну iнформацiю про власти-
востi функцiї G\nu та форми зображення оператора A\nu , що дозволяють розширити його на ширшi
класи функцiй. Задачу Кошi для ПДР (4) порядку \nu \in (0; 2) у класi розривних необмежених
початкових функцiй з iнтегровною особливiстю розв’язано в пунктi 3. Тут встановлено iснуван-
ня класичного розв’язку цiєї задачi, знайдено його форму та дослiджено властивостi гладкостi
й поведiнку на нескiнченностi. У пунктi 4 встановлено принцип екстремуму (аналог принци-
пу максимуму), з’ясовано питання єдиностi розв’язку цiєї задачi Кошi та деякi властивостi її
розв’язкiв, при цьому введено поняття точки перевалу iнтенсивностi коефiцiєнта флуктуацiї
a\beta (\cdot ) та промiжку його стабiльної iнтенсивностi й доведено, що на таких промiжках ця задача
може мати не бiльше одного розв’язку. У пунктi 5 наведено приклад задачi Кошi з початковою
функцiєю, що є ядром Рiсса дробового порядку, який дозволяє зробити певний висновок про
природний змiст задачi Кошi для ПДР (4).
2. Попереднi вiдомостi. Нехай \BbbN — множина всiх натуральних чисел, \BbbC l(Q) — клас усiх
неперервно диференцiйовних до порядку l функцiй на множинi Q, \BbbS — простiр Л. Шварца
швидко спадних функцiй з класу \BbbC \infty (\BbbR n) [36], а \Pi Q :=
\bigl\{
(x; t) : x \in \BbbR n, t \in Q
\bigr\}
.
Позначимо через \BbbH l,\alpha
loc(\BbbR
n) сукупнiсть усiх функцiй f \in \BbbC l(\BbbR n), обмежених на множинi
\BbbR n разом зi своїми похiдними, таких що старша похiдна \partial lf(\cdot ) є локально гельдеровою на \BbbR n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
64 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
функцiєю порядку \alpha \in (0; 1], тобто такою, що для кожної компактної множини \BbbK \subset \BbbR n iснує
така додатна стала c, що для всiх \{ x, y\} \subset \BbbK виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \partial lf(x) - \partial lf(y)
\bigm| \bigm| \leq c| x - y| \alpha .
Далi вважатимемо, що коефiцiєнт a\beta (\cdot ) локальної флуктуацiї гравiтацiйного поля є непе-
рервно диференцiйовною функцiєю на вiдрiзку [0;T ], такою що
\^a\beta (t) := a\beta (t) - a\beta (0) > 0 \forall t \in (0;T ]. (8)
За таких умов безпосередньо з [32] випливає, що для всiх \nu > 0 функцiя G\nu (x; t) на множинi
\Pi (0;T ] є диференцiйовною по t i нескiнченно диференцiйовною за змiнною x, причому для її
похiдних виконуються такi оцiнки:
\bigm| \bigm| \partial k
xG\nu (x; t)
\bigm| \bigm| \leq c1\^a\beta (t)
\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | x|
\Bigr) - n - | k| - \nu
, (9)
\bigm| \bigm| \partial t\partial k
xG\nu (x; t)
\bigm| \bigm| \leq c2| a\prime \beta (t)|
\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | x|
\Bigr) - n - | k| - \nu
(10)
iз додатними сталими c1 i c2 .
Як вже було зазначено, оператором Рiсса дробового диференцiювання називають дробовий
степiнь оператора Лапласа, взятого зi знаком „мiнус”: A\nu = ( - \bigtriangleup )\nu /2 . На елементах простору
\BbbS цей оператор визначається рiвнiстю
( - \bigtriangleup )\nu /2f = \BbbF - 1
\bigl[
| \xi | \nu \BbbF [f ]
\bigr]
. (11)
Однак класична форма дробового диференцiювання (11) є малопридатною для розширення
оператора A\nu на ширшi класи функцiй. Якщо врахувати вiдому формулу перетворення Фур’є
згортки
\BbbF [f \ast \varphi ] = \BbbF [f ] \cdot \BbbF [\varphi ]
i покласти \widetilde \| \cdot \| \nu = \BbbF - 1[| \xi | \nu ](\cdot ),
то рiвнiсть (11) можна формалiзувати до бiльш зручної для розширення форми:
( - \bigtriangleup )\nu /2f = \widetilde \| \cdot \| \nu \ast f. (12)
Реалiзацiя цiєї схеми стала можливою завдяки появi теорiї розподiлiв Шварца [37]. Саме тлу-
мачачи оператор \BbbF - 1 у сенсi узагальнених функцiй, можна явно знайти \widetilde \| \cdot \| \nu [8]:
\widetilde \| \cdot \| \nu =
(2\pi )n
\gamma n(\nu )
\left\{
| \cdot | - \nu - n, \nu + n+ 2k \not = 0, \nu \not = 2k,
| \cdot | - \nu - n \mathrm{l}\mathrm{n} | \cdot | - 1, \nu + n+ 2k = 0,
( - \bigtriangleup )\nu /2\delta (\cdot ), \nu = 2k,
де \delta (\cdot ) — дельта-функцiя Дiрака, а \gamma n(\nu ) — спецiальний нормуючий множник. При \mathrm{R}\mathrm{e}\nu < 0
функцiя \widetilde \| \cdot \| \nu є локально сумовною. Згортку з цiєю функцiєю називають потенцiалом Рiсса [8]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ. . . 65
I\nu f(x) =
\int
\BbbR n
\widetilde \| x - y\|
\nu
f(y)dy, (13)
а функцiю \widetilde \| \cdot \| \nu — ядром Рiсса. Вперше потенцiал з ядром | \cdot | - \nu - n, \mathrm{R}\mathrm{e}\nu < 0, з’явився в
дисертацiйнiй роботi О. Фростмана [38], виконанiй пiд керiвництвом M. Рiсса. Широке вико-
ристання оператора I\nu починається з праць M. Рiсса [1, 39]. Потенцiали Рiсса у просторах
Lp(\BbbR n) сумовних за Лебегом функцiй дослiджували С. Соболєв [40], G. Thorin [41] та iн.
У випадку \mathrm{R}\mathrm{e}\nu > 0 iнтеграл (13) має порядок особливостi в точцi x бiльший за розмiрнiсть
простору \BbbR n . Такий iнтеграл завжди розбiгається, тому реалiзацiя згортки (12) у виглядi (13)
потребує коректного означення. Змiст iнтегралу (13) можна надати шляхом його регуляризацiї,
наприклад вiднiманням вiдрiзка ряду Тейлора функцiї f або взяттям скiнченної рiзницi f :
( - \bigtriangleup )\nu /2f(x) =
1
dn,l(\nu )
\int
\BbbR n
(\bigtriangleup l
yf)(x)
| y| n+\nu
dy, l > \nu . (14)
Тут
(\bigtriangleup l
yf)(x) =
l\sum
k=0
( - 1)kl!
k!(l - k)!
f(x - ky)
— скiнченна рiзниця функцiї f у точцi x порядку l з кроком y, a dn,l(\nu ) — спецiальний
нормуючий множник, який вибирається так, щоб ( - \bigtriangleup )\nu /2 не залежав вiд l. Так визначений
оператор ( - \bigtriangleup )\nu /2, \mathrm{R}\mathrm{e}\nu > 0, у класичнiй лiтературi прийнято називати оператором Рiсса
дробового диференцiювання порядку \nu , який ми позначаємо символом A\nu .
У рамках просторiв Лебега Lp(\BbbR n) гiперсингулярний iнтеграл (14) породжує обернений
оператор до потенцiалу Рiсса I\nu . Реалiзацiя дробового диференцiювання Рiсса ( - \bigtriangleup )\nu /2 у
виглядi гiперсингулярного iнтеграла при 0 < \nu < 2 вперше з’явилась у працi I. Стейна [42].
Загальний випадок 0 < \nu розглядали П. Лiзоркiн [43] i С. Самко [44]. У [44] також проводилось
дослiдження нормуючих множникiв dn,l(\nu ) як функцiй параметра \nu , з’ясовувалась збiжнiсть
гiперсингулярних iнтегралiв (14) на диференцiйовних функцiях i можливiсть зниження порядку
l скiнченних рiзниць.
Наведемо зображення оператора A\nu у формi, бiльш зручнiй для наших дослiджень. Для
\nu \in (0; 2) на елементах f простору \BbbS означимо оператор \^A\nu рiвностями
( \^A\nu f)(x) = c(\nu )
\int
\BbbR n
f(x) - f(x+ y) + [\nu ]
\bigl(
y, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(x)
\bigr)
| y| n+\nu
dy, \nu \not = 1, (15)
i
( \^A1f)(x) = c(1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\int
| y| >\varepsilon
f(x) - f(x+ y)
| y| n+1
dy (16)
з деяким ваговим спiвмножником c(\nu ). Стандартним способом [8], тобто дiєю оператора пе-
ретворення Фур’є \BbbF на правi частини рiвностей (15) i (16), переконуємось у правильностi
рiвностi
\^A\nu f = A\nu f (\forall f \in \BbbS )
при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
66 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
c(\nu ) =
\left\{
2\nu \Gamma (1 + \nu /2)\Gamma ((n+ \nu )/2)
\pi n/2\Gamma (\nu /2)\Gamma (1 - \nu /2)
, 0 < \nu < 1,
\Gamma ((n+ 1)/2)
\pi (n+1)/2
, \nu = 1,
\nu \Gamma ((3 - \nu )/2)\Gamma ((n+ \nu )/2)
\pi (n+1)/2\Gamma (2 - \nu )
, 1 < \nu < 2
(17)
(тут \Gamma (\cdot ) — гамма-функцiя Ейлера).
Зазначимо, що iнтеграл з рiвностi (15) збiгається абсолютно, наприклад, для функцiй iз
класу \BbbH [\nu ],\alpha
loc (\BbbR n), \alpha > \{ \nu \} (тут \{ \cdot \} — дробова частина числа). Тому формула (15) дозволяє
застосовувати оператор A\nu до функцiй iз ширших класiв, нiж простiр \BbbS . При \nu = 1 рiвнiсть (16)
також сприяє розширенню оператора A\nu , проте тут збiжнiсть може бути лише умовною.
Означення 1. Сукупнiсть усiх визначених на \BbbR n функцiй f, для яких має змiст права
частина зображення (15) або (16) iз c(\nu ), що визначається рiвнiстю (17), позначимо через
\scrD (A\nu ) i назвемо областю визначення вiдповiдного оператора A\nu .
Очевидно, що стала функцiя f(x) \equiv C належить до множини \scrD (A\nu ) при кожному \nu \in
\in (0; 2), при цьому A\nu f = 0.
Вiдомостi про розширення операторa Рiсса дробового диференцiювання на ширшi класи
функцiй, а також оцiнки (9), (10) нам знадобляться при розв’язуваннi задачi Кошi для ПДР (4)
з необмеженими початковими даними та дослiдженнi властивостей розв’язкiв цiєї задачi.
3. Задача Кошi. Нехай функцiя f(\cdot ) неперервна на множинi \BbbR n \setminus \{ x0\} i така, що
| f(x)| \leq c
| x - x0| \gamma
, 0 \leq \gamma < n. (18)
Для ПДР (4) розглянемо задачу Кошi з початковою умовою
u(\cdot ; t)
\bigm| \bigm|
t=0
= f(\cdot ). (19)
Означення 2. Розв’язком задачi Кошi (4), (19) на множинi \Pi (0;T ] назвемо функцiю u(x; t),
яка на цiй множинi диференцiйовна за змiнною t i u(\cdot ; t) \in \scrD (A\nu ), t \in (0;T ]. При цьому
функцiя u на \Pi (0;T ] задовольняє рiвняння (4) у звичайному розумiннi, а початкову умову (19) у
сенсi поточкової границi
u(x; t) \rightarrow
t\rightarrow +0
f(x), x \in \BbbR n \setminus \{ x0\} . (20)
Правильним є таке допомiжне твердження.
Лема 1. Нехай a\beta (\cdot ) \in \BbbC 1
\bigl(
[0;T ]
\bigr)
i виконується умова (8). Тодi функцiя
u(x; t) = (f \ast G\nu )(x; t), (x; t) \in \Pi (0;T ], (21)
є:
1) на \BbbR n нескiнченно диференцiйовною за змiнною x при фiксованому t \in (0;T ] i обмеже-
ною разом з усiма своїми похiдними;
2) на (0;T ] диференцiйовною по t при фiксованому x \in \BbbR n .
При цьому виконуються рiвностi
\partial k
xu(x; t) = (f \ast \partial k
xG\nu )(x; t), \partial tu(x; t) = (f \ast \partial tG\nu )(x; t), (x; t) \in \Pi (0;T ], (22)
i при \gamma \not = 0 справджується граничне спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| x| \rightarrow +\infty
u(x; t) = 0 \forall t \in (0;T ]. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ. . . 67
Доведення. Зазначимо, що
(f \ast G\nu )(x; t) =
\int
\BbbR n
f(y)G\nu (x - y; t)dy, (x; t) \in \Pi (0;T ].
Враховуючи оцiнки (9) i (18), одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR n
f(y)\partial k
xG\nu (x - y; t)dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\int
| y - x0| <1
\bigm| \bigm| f(y)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k
x - yG\nu (x - y; t)
\bigm| \bigm| dy + \int
| y - x0| \geq 1
| f(y)| | \partial k
x - yG\nu (x - y; t)| dy \leq
\leq ck\bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) n+| k|
\int
| y - x0| <1
dy
| y - x0| \gamma
+
\int
\BbbR n
ck\^a\beta (t)dy\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | x - y|
\Bigr) n+| k| +\nu
=
=
\~ck\bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) n+| k| +
\int
\BbbR n
ck
\bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) - | k| /\nu
dz\bigl(
1 + | z|
\bigr) n+| k| +\nu
\equiv
\equiv \~ck\bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) n+| k| +
\~bk\bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) | k| /\nu \forall k \in \BbbZ n
+ \forall (x; t) \in \Pi (0;T ]
(тут додатнi величини \~ck i \~bk залежать лише вiд k).
Цi оцiнки забезпечують виконання рiвностi
\partial k
x(f \ast G\nu )(x; t) = (f \ast \partial k
xG\nu )(x; t), (x; t) \in \Pi (0;T ],
для кожного k \in \BbbZ n
+, тобто нескiнченну диференцiйовнiсть функцiї u(x; t) за змiнною x на
множинi \Pi (0;T ] та обмеженiсть похiдних \partial k
xu.
Аналогiчним способом переконуємось у диференцiйовностi функцiї u за змiнною t та
виконаннi другої рiвностi з (22).
Перейдемо до встановлення граничного спiввiдношення (23). Cкористаємось оцiнкою\bigm| \bigm| u(x; t)\bigm| \bigm| \leq \int
| y - x0| <1
\bigm| \bigm| f(y)G\nu (x - y; t)
\bigm| \bigm| dy + \int
| y - x0| \geq 1
\bigm| \bigm| f(y)G\nu (x - y; t)
\bigm| \bigm| dy \equiv Z1(x; t) + Z2(x; t).
Оскiльки при | y - x0| < 1 справджується спiввiдношення
| x - y| =
\bigm| \bigm| x - x0 - (y - x0)
\bigm| \bigm| \geq | x - x0| - 1,
то, враховуючи оцiнки (9), (18), для всiх t \in (0;T ] i | x| > | x0| знаходимо
Z1(x; t) \leq
\int
| y - x0| <1
c\^a\beta (t)dy
| y - x0| \gamma | x - y| n+\nu
\leq
c\^a\beta (t)\bigl(
| x - x0| - 1
\bigr) n+\nu
\int
| y - x0| <1
dy
| y - x0| \gamma
\rightarrow
| x| \rightarrow +\infty
0.
Покажемо тепер, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
68 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| x| \rightarrow +\infty
Z2(x; t) = 0 \forall t \in (0;T ]. (24)
Для | y - x0| \geq 1 маємо
1
| y - x0| \gamma
=
| y - x0 + x0| \gamma
| y - x0| \gamma
1
| y| \gamma
\leq 2\gamma (| y - x0| \gamma + | x0| \gamma )
| y - x0| \gamma
1
| y| \gamma
\leq c\gamma
| y| \gamma
,
де c\gamma := 2\gamma (1 + | x0| \gamma ). Звiдси знаходимо, що
Z2(x; t) \leq
\int
| y - x0| \geq 1
cc\gamma
| y| \gamma
G\nu (x - y; t)dy \leq
\int
\BbbR n
cc\gamma
| y| \gamma
G\nu (x - y; t)dy =
= cc\gamma
\left( \int
2| y| \geq | x|
G\nu (x - y; t)
| y| \gamma
dy +
\int
2| y| <| x|
G\nu (x - y; t)
| y| \gamma
dy
\right) \forall (x; t) \in \Pi (0;T ].
Використовуючи тепер формулу\int
\BbbR n
G\nu (x; t)dx = 1, t \in (0;T ], (25)
отримуємо \int
2| y| \geq | x|
G\nu (x - y; t)
| y| \gamma
dy \leq 2\gamma
| x| \gamma
\int
\BbbR n
G\nu (z; t)dz \equiv 2\gamma
| x| \gamma
\rightarrow
| x| \rightarrow +\infty
0.
Далi, при 2| y| < | x| виконується нерiвнiсть
| x - y| \geq
\bigm| \bigm| | x| - | y|
\bigm| \bigm| = | x|
\bigm| \bigm| 1 - | y| /| x|
\bigm| \bigm| \geq | x| /2.
Тодi згiдно з оцiнкою (9)\int
2| y| <| x|
G\nu (x - y; t)
| y| \gamma
dy \leq
\int
2| y| <| x|
c1\^a\beta (t)dy
| y| \gamma | x - y| \nu /2
\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | x - y|
\Bigr) n+\nu /2
\leq
\leq c1
\surd
2\nu
| x| \nu /2
\int
2| y| <| x|
\^a\beta (t)dy
| y| \gamma
\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | x - y|
\Bigr) n+\nu /2
\leq
\leq c1
\surd
2\nu
| x| \nu /2
\left( \int
2| y| <1
\bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/2 - n/\nu
dy
| y| \gamma
+
\int
1\leq 2| y| <| x|
2\gamma \^a\beta (t)dy\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | x - y|
\Bigr) n+\nu /2
\right) \leq
\leq c1
\surd
2\nu
| x| \nu /2
\left( \int
2| y| <1
\bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/2 - n/\nu
dy
| y| \gamma
+
\int
\BbbR n
2\gamma
\sqrt{}
\^a\beta (t)dz
(1 + | z| 2)n+1/\nu
\right) \rightarrow
| x| \rightarrow +\infty
0 \forall t \in (0;T ].
Таким чином, виконання граничного спiввiдношення (24) обґрунтовано.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ. . . 69
Теорема 1. Якщо для коефiцiєнта a\beta (\cdot ) виконується умова (8) i a\beta (\cdot ) \in \BbbC 1
\bigl(
[0;T ]
\bigr)
, то
розв’язок задачi Кошi (4), (19) визначається формулою (21).
Доведення. Безпосередньо з леми 1 та оцiнок (9) фундаментального розв’язку G\nu випли-
вають належнiсть функцiї u(\cdot ; t) з (21) до областi \scrD (A\nu ) при кожному \nu \in (0; 2) i фiксованому
t \in (0;T ], а також виконання рiвностi
A\nu u(x; t) = (f \ast A\nu G\nu )(x; t), (x; t) \in \Pi (0;T ]. (26)
Функцiя G\nu — розв’язок рiвняння (4), тому з рiвностi (26) i формули (22) знаходимо
A\nu u(x; t) = - (f \ast \partial tG\nu )(x; t) = - \partial tu(x; t), (x; t) \in \Pi (0;T ].
Отже, на множинi \Pi (0;T ] класичний розв’язок ПДР (4) визначається рiвнiстю (21).
Покажемо тепер, що цей розв’язок задовольняє початкову умову (19) у сенсi спiввiдношен-
ня (20).
Зафiксуємо довiльно точку x з множини \BbbR n \setminus \{ x0\} i позначимо r := | x - x0| . Згiдно з
формулою (25) маємо\bigm| \bigm| (f \ast G\nu )(x; t) - f(x)
\bigm| \bigm| \leq \int
\BbbR n
| G\nu (\xi ; t)|
\bigm| \bigm| f(x - \xi ) - f(x)
\bigm| \bigm| d\xi \equiv \frakI (x; t).
Оскiльки f — неперервна функцiя на \BbbR n \setminus \{ x0\} , то для кожного \varepsilon > 0 iснує таке t0 \in (0; r),
що t
1
2(n+\nu )
0 < \varepsilon i | f(x - \xi ) - f(x)| < \varepsilon , якщо | \xi | < t
1
2(n+\nu )
0 . Тодi
\frakI (x; t) < \varepsilon
\int
| \xi | <t
1
2(n+\nu )
0
\bigm| \bigm| G\nu (\xi ; t)
\bigm| \bigm| d\xi + \int
| \xi | \geq t
1
2(n+\nu )
0
\bigm| \bigm| G\nu (\xi ; t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(x - \xi ) - f(x)
\bigm| \bigm| d\xi \leq
\leq \varepsilon
\int
\BbbR n
c1\^a\beta (t)d\xi \Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | \xi |
\Bigr) n+\nu +
\int
| \xi | \geq t
1
2(n+\nu )
0
\bigm| \bigm| G\nu (\xi ; t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(x - \xi ) - f(x)
\bigm| \bigm| d\xi \leq
\leq c1\varepsilon
\int
\BbbR n
dz
(1 + | z| )n+\nu
+ \frakI 0(x; t) + \frakI 1(x; t),
де
\frakI 0(x; t) := | f(x)|
\int
| \xi | \geq t
1
2(n+\nu )
0
| G\nu (\xi ; t)| d\xi , \frakI 1(x; t) :=
\int
| \xi | \geq t
1
2(n+\nu )
0
| G\nu (\xi ; t)| | f(x - \xi )| d\xi ,
а c1 — стала з оцiнки (9).
Далi, з огляду на оцiнки (9) i (18) для t \in (0;T ] отримуємо
\frakI 0(x; t) \leq c0r
- \gamma \^a\beta (t)
\int
| \xi | \geq t
1
2(n+\nu )
0
| \xi | - n - \nu d\xi \equiv \nu \~c1\^a\beta (t)
+\infty \int
t
1
2(n+\nu )
0
\rho - 1 - \nu d\rho = \~c1\^a\beta (t)t
- \nu
2(n+\nu )
0 . (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
70 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Для оцiнки iнтеграла \frakI 1 скористаємось зображенням
\frakI 1(x; t) =
\int
2r\geq | \xi | \geq t
1
2(n+\nu )
0
| G\nu (\xi ; t)| | f(x - \xi )| d\xi +
\int
| \xi | \geq 2r
| G\nu (\xi ; t)| | f(x - \xi )| d\xi \equiv \frakI 11(x; t)+\frakI 12(x; t).
Знову враховуючи (9) i (18), для t \in (0;T ] одержуємо
\frakI 11(x; t) \leq c
\int
2r\geq | x - z| \geq t
1
2(n+\nu )
0
\^a\beta (t)\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | x - z|
\Bigr) n+\nu
dz
| x0 - z| \gamma
\leq
\leq c\^a\beta (t)t
- n+\nu
2(n+\nu )
0
\int
2r\geq | x - z|
dz
| x0 - z| \gamma
\leq c\^a\beta (t)t
- 1
2
0
\int
3r\geq | \xi |
| \xi | - \gamma d\xi \equiv c2\^a\beta (t)t
- 1
2
0 , (28)
\frakI 12(x; t) \leq c
\int
| \xi | \geq 2r
\^a\beta (t)\Bigl( \bigl(
\^a\beta (t)
\bigr) 1/\nu
+ | \xi |
\Bigr) n+\nu
d\xi
| x - x0 - \xi | \gamma
\leq c\^a\beta (t)
\int
| \xi | \geq 2r
d\xi
| \xi | n+\nu
\bigm| \bigm| | \xi | - r
\bigm| \bigm| \gamma \leq
\leq
c\^a\beta (t)
r\gamma
\int
| \xi | \geq 2r
| \xi | - n - \nu d\xi \equiv c3\^a\beta (t). (29)
Зазначимо, що функцiя \^a\beta (\cdot ) на множинi (0;T ] додатнa, при цьому a\beta (\cdot ) \in \BbbC 1
\bigl(
[0;T ]
\bigr)
, тому,
згiдно з теоремою Лагранжа про скiнченнi прирости,
\exists \delta > 0 \forall t \in [0;T ] : \^a\beta (t) \equiv a\beta (t) - a\beta (0) \leq \delta t.
Звiдси та з нерiвностей (27) – (29) випливає, що для всiх t \leq t0 виконується оцiнка
\frakI 0(x; t) + \frakI 1(x; t) \leq \delta
\biggl(
\~c1t
2n+\nu
2(n+\nu )
0 + c2t
1
2
0 + c3t0
\biggr)
< \delta
\Bigl(
\~c1\varepsilon
2n+\nu + c2\varepsilon
n+\nu + c3\varepsilon
2(n+\nu )
\Bigr)
.
Отже,
\forall x \in \BbbR n\setminus \{ x0\} \exists c > 0 \forall \varepsilon > 0 \exists t0 < \varepsilon 2(n+\nu ) \forall t \leq t0 : \frakI (x; t) < c(\varepsilon + \varepsilon n+\nu + \varepsilon 2n+\nu + \varepsilon 2(n+\nu )),
тобто справджується граничне спiввiдношення (20).
Теорему доведено.
У наступному пунктi з’ясуємо достатнi умови єдиностi розв’язку задачi Кошi (4), (19).
4. Принцип екстремуму та його наслiдки. Ранiше ми припускали, що на множинi [0;T ]
коефiцiєнт локальної флуктуацiї a\beta (\cdot ) є неперервно диференцiйовною функцiєю, такою що
виконується умова (8):
a\beta (t) > a\beta (0) \forall t \in (0;T ].
При виконаннi цiєї умови функцiя a\beta (\cdot ) повинна зростати якщо не на всьому промiжку (0;T ],
то хоча б на деякiй його частинi (0; t0), t0 < T . При цьому на [t0;T ] функцiя a\beta (\cdot ) може бути
незростаючою. У цьому випадку маємо
a\prime \beta (t0) = 0; a\prime \beta (t) > 0, t \in (0; t0); a\prime \beta (t) \leq 0, t \in [t0;T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ. . . 71
Таку точку t0 будемо називати точкою перевалу iнтенсивностi коефiцiєнта локальної флуктуа-
цiї a\beta (\cdot ) на промiжку (0;T ]. Множину [t1; t2] \subset [0;T ], на якiй a\beta (\cdot ) не спадає, тобто
a\prime \beta (t) \geq 0, t \in [t1; t2],
назвемо промiжком стабiльної iнтенсивностi коефiцiєнта a\beta (\cdot ). Говоритимемо, що множина
[t1; t2] — промiжок згасання iнтенсивностi коефiцiєнта a\beta (\cdot ), якщо
a\prime \beta (t) \leq 0, t \in [t1; t2].
Очевидно, що якщо t0 — перша точка перевалу iнтенсивностi a\beta (\cdot ), то вiдрiзок [0; t0] є
промiжком стабiльної iнтенсивностi цього коефiцiєнта.
Правильним є таке твердження.
Теорема 2. Нехай [t1; t2] \subset [0;T ], a u — розв’язок ПДР (4), такий що u(\cdot ; t) \in \BbbH [\nu ],\alpha
loc (\BbbR n),
\alpha > \{ \nu \} , при t \in [t1; t2]. Тодi якщо [t1; t2] — промiжок стабiльної iнтенсивностi коефiцi-
єнта a\beta (\cdot ) i для u виконується граничне спiввiдношення (23) на (t1; t2], то цей розв’язок на
множинi \Pi [t1;t2] зберiгає знак, який вiн має в точцi t1 . Якщо ж [t1; t2] — промiжок згасання
iнтенсивностi коефiцiєнта a\beta (\cdot ) i для u на [t1; t2) виконується (23), то розв’язок u на \Pi [t1;t2]
зберiгає знак, який вiн має в точцi t2 . При цьому якщо u(x; t1) = 0, x \in \BbbR n, у випадку,
коли [t1; t2] — промiжок стабiльної iнтенсивностi, або u(x; t2) = 0, x \in \BbbR n, якщо [t1; t2] —
промiжок згасання iнтенсивностi, то u(x; t) \equiv 0 на \Pi [t1;t2] .
Доведення. Будемо використовувати позначення
Lw(x; t) := \partial tw(x; t) + a\prime \beta (t)A\nu w(x; t).
Розглянемо спoчатку випадок промiжку [t1; t2] стабiльної iнтенсивностi коефiцiєнта a\beta (\cdot ).
Нехай u(x; t1) \geq 0, x \in \BbbR n, i
\lambda = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x;t)\in \Pi [t1;t2]
u(x; t).
Скористаємось методом вiд протилежного. Припустимо, що \lambda < 0. Розглянемо допомiжну
функцiю
v+(x; t) = u(x; t) + (t - t1)\chi +, (x; t) \in \Pi (0;T ],
де \chi + — фiксоване число, таке що 0 < \chi + < - \lambda /T .
Очевидно, що на множинi \Pi (0;T ] функцiя v+ диференцiйовна за змiнною t i v+(\cdot ; t) \in
\in \scrD (A\nu ), а також v+(\cdot ; t) \in \BbbH [\nu ],\alpha
loc (\BbbR n) при t \in [t1; t2], до того ж
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x;t)\in \Pi [t1;t2]
v+(x; t) < 0.
Крiм цього,
v+(x; t1) = u(x; t1) \geq 0, x \in \BbbR n,
i
v+(x; t) \rightarrow
| x| \rightarrow \infty
(t - t1)\chi + > 0, t \in (t1; t2]
(тут враховано виконання для u спiввiдношення (23)). З викладеного робимо висновок, що
функцiя v+ на множинi \Pi [t1;t2] має вiд’ємний глобальний мiнiмум у деякiй точцi (x\ast ; t\ast ),
t1 < t\ast \leq t2 . Тодi обов’язково виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
72 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
v+(x\ast ; t\ast ) - v+(x\ast + y; t\ast ) \leq 0 \forall y \in \BbbR n.
При цьому, згiдно з необхiдними умовами екстремуму гладкої функцiї, справджуються спiввiд-
ношення
\partial tv+(x\ast ; t\ast ) = 0, t\ast < t2; \partial tv+(x\ast ; t\ast ) \leq 0, t\ast = t2,
i
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}xv+(x\ast ; t\ast ) \equiv
\bigl(
\partial x1v+(x\ast ; t\ast ); . . . ; \partial xnv+(x\ast ; t\ast )
\bigr)
= \vec{}0, \nu \geq 1.
У зв’язку з цим \int
\BbbR n
v+(x\ast ; t\ast ) - v+(x\ast + y; t\ast ) + [\nu ]
\bigl(
y, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}xv+(x\ast ; t\ast )
\bigr)
| y| n+\nu
dy \leq 0
i \int
| y| >\varepsilon
v+(x\ast ; t\ast ) - v+(x\ast + y; t\ast )
| y| n+1
dy \leq 0 \forall \varepsilon > 0.
Тодi згiдно iз зображеннями (15), (16)
A\nu v+(x\ast ; t\ast ) \leq 0 \forall \nu \in (0; 2).
Тут при \nu = 1 ми припускаємо, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0 в зображеннi (16) зберiгає знак в нерiвностях.
Звiдси знаходимо
Lv+(x\ast ; t\ast ) = \partial tv+(x\ast ; t\ast ) + a\prime \beta (t\ast )A\nu v+(x\ast ; t\ast ) = a\prime \beta (t\ast )A\nu v+(x\ast ; t\ast ) \leq 0.
З iншого боку, для всiх (x; t) \in \Pi (0;T ] мaємо
Lv+(x; t) = L
\bigl(
u(x; t) + (t - t1)\chi +
\bigr)
= Lu(x; t) + L((t - t1)\chi +) =
= L
\bigl(
(t - t1)\chi +
\bigr)
= \chi + + (t - t1)a
\prime
\beta (t)A\nu \chi + = \chi + > 0.
Прийшли до суперечностi.
Отже, припущення, що \lambda < 0, є хибним. Тому \lambda \geq 0 i
u(x; t) \geq \lambda \geq 0, (x; t) \in \Pi [t1;t2],
при цьому якщо u(x; t1) = 0, x \in \BbbR n, то i \lambda = 0, тобто
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x;t)\in \Pi [t1;t2]
u(x; t) = 0. (30)
У випадку u(x; t1) \leq 0, x \in \BbbR n, дiємо аналогiчно. Припускаємо, що
\mu = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x;t)\in \Pi [t1;t2]
u(x; t) > 0
i розглядаємо функцiю
v - (x; t) = u(x; t) - (t - t1)\chi - , (x; t) \in \Pi (0;T ]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ. . . 73
(тут \chi - — фiксоване число, таке що 0 < \chi - < \mu /T ). Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x;t)\in \Pi [t1;t2]
v - (x; t) > 0.
На множинi \Pi (0;T ] функцiя v - також є диференцiйовною за змiнною t i v - (\cdot ; t) \in \scrD (A\nu ),
причому v - (\cdot ; t) \in \BbbH [\nu ],\alpha
loc (\BbbR n) при t \in [t1; t2]. Крiм цього,
v - (x; t1) = u(x; t1) \leq 0, x \in \BbbR n,
i
v - (x; t) \rightarrow
| x| \rightarrow \infty
(t1 - t)\chi - < 0, t \in (t1; t2],
тому v - має додатний глобальний максимум на \Pi [t1;t2] в деякiй точцi (x\ast ; t\ast ) \in \Pi (t1;t2] . При
цьому
\partial tv - (x\ast ; t\ast ) = 0, t\ast < t2; \partial tv - (x\ast ; t\ast ) \geq 0, t\ast = t2,
i
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}xv - (x\ast ; t\ast ) \equiv
\bigl(
\partial x1v - (x\ast ; t\ast ); . . . ; \partial xnv - (x\ast ; t\ast )
\bigr)
= \vec{}0, \nu \geq 1,
а також
v - (x\ast ; t\ast ) - v - (x\ast + y; t\ast ) \geq 0 \forall y \in \BbbR n.
Тодi
A\nu v - (x\ast ; t\ast ) \geq 0 \forall \nu \in (0; 2).
Звiдси знаходимо
Lv - (x\ast ; t\ast ) = \partial tv - (x\ast ; t\ast ) + a\prime \beta (t\ast )A\nu v - (x\ast ; t\ast ) = a\prime \beta (t\ast )A\nu v - (x\ast ; t\ast ) \geq 0.
З iншого боку, мaємо
Lv - (x; t) = L
\bigl(
u(x; t) - (t - t1)\chi -
\bigr)
= Lu(x; t) - L((t - t1)\chi - ) =
= - L((t - t1)\chi - ) = - (\chi - + (t - t1)a
\prime
\beta (t)A\nu \chi - ) = - \chi - < 0
для всiх (x; t) \in \Pi (0;T ] .
Отримана суперечнiсть доводить, що \mu \leq 0. У розглядуваному випадку це означає виконан-
ня спiввiдношення
u(x; t) \leq \mu \leq 0, (x; t) \in \Pi [t1;t2].
При цьому якщо u(x; t1) = 0, x \in \BbbR n, то \mu = 0, тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x;t)\in \Pi [t1;t2]
u(x; t) = 0.
Остання рiвнiсть у поєднаннi з (30) забезпечують виконання тотожностi
u(x; t) \equiv 0 \forall (x; t) \in \Pi [t1;t2]
для u(x; t1) = 0, x \in \BbbR n .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
74 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
У випадку промiжку [t1; t2] згасання iнтенсивностi коефiцiєнта a\beta (\cdot ) мiркування проводять-
ся аналогiчно за допомогою вiдповiдних функцiй
v\pm (x; t) = u(x; t)\pm (t2 - t)\chi \pm , (x; t) \in \Pi (0;T ].
Теорему доведено.
Внаслiдок лiнiйностi оператора L ПДР (4) для розв’язкiв цього рiвняння, якi мають гранич-
ну поведiнку (23) i щодо просторової змiнної є елементами з класу \BbbH [\nu ],\alpha
loc (\BbbR n), \alpha > \{ \nu \} , з
теореми 2 безпосередньо випливає таке твердження.
Наслiдок 1. На промiжку [t1; t2] стабiльної iнтенсивностi коефiцiєнта a\beta (\cdot ):
1) у точцi t1 розгалуження розв’язкiв вiдповiдного ПДР (4) є неможливим, тобто на мно-
жинi \Pi [t1;t2] не iснує двох рiзних розв’язкiв u1 i u2 цього рiвняння, таких що
u1(x; t1) = u2(x; t1), x \in \BbbR n;
2) якщо розв’язки u1 i u2 рiвняння (4) на гiперплощинi t = t1 мають рiзнi значення, тобто
u1(x; t1) < u2(x; t1), x \in \BbbR n,
то
u1(x; t) < u2(x; t), (x; t) \in \Pi [t1;t2];
3) задача Кошi для рiвняння (4) у класi \BbbH [\nu ],\alpha
loc (\BbbR n), \alpha > \{ \nu \} , може мати не бiльше одного
розв’язку, що прямує до нуля при | x| \rightarrow \infty .
Звiдси, враховуючи лему 1 i теорему 1, отримуємо таке твердження.
Теорема 3. Нехай T0 = T, якщо коефiцiєнт a\beta (\cdot ) на iнтервалi (0;T ) не має точки пере-
валу iнтенсивностi, iнакше T0 = t0, де t0 — перша точка перевалу iнтенсивностi a\beta (\cdot ). Тодi
на множинi \Pi (0;T0] задача Кошi (4), (19) у класi \BbbH [\nu ],\alpha
loc (\BbbR n), \alpha > \{ \nu \} , має єдиний розв’язок. Вiн
визначається формулою (21) i на \BbbR n \setminus \{ x0\} зберiгає знак початкової функцiї f .
5. Приклад. Нехай
k\alpha (\cdot ) =
1
\gamma n(\alpha )
| \cdot | \alpha - n
— ядро Рiсса порядку \alpha з ваговим коефiцiєнтом
\gamma n(\alpha ) = 2\alpha \pi n/2\Gamma
\Bigl( \alpha
2
\Bigr) \bigg/
\Gamma
\biggl(
n - \alpha
2
\biggr)
,
тобто
k\alpha (\cdot ) \equiv \widetilde \| \cdot \| - \alpha
.
Розглянемо випадок, коли початкова функцiя f(\cdot ) — ядро k\alpha (\cdot ):
f(\cdot ) = k\alpha (\cdot ), 0 < \alpha < n. (31)
На достатньо „хороших” функцiях \varphi (\cdot ) оператор ( - \Delta ) - \alpha /2 дробового iнтегрування Рiсса
порядку \alpha є потенцiалом Рiсса [8, c. 357]
(I\alpha x\varphi )(x) =
1
\gamma n(\alpha )
\int
\BbbR n
\varphi (y)dy
| x - y| n - \alpha
\equiv ( - \Delta ) - \alpha /2\varphi (x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ. . . 75
для якого, очевидно, правильним є зображення
(I\alpha x\varphi )(x) =
\int
\BbbR n
k\alpha (x - y)\varphi (y)dy \equiv (k\alpha \ast \varphi )(x).
Скористаємося тут цим фактом.
При зазначеному \alpha для функцiї f(\cdot ) виконується умова (18) iз x0 = 0, тому, згiдно з
теоремою 3, єдиним розв’язком вiдповiдної задачi Кошi (4), (19) на множинi \Pi (0;T0] є функцiя
u(x; t) = (k\alpha \ast G\nu )(x; t) \equiv ( - \Delta ) - \alpha /2G\nu (x; t), (32)
яка разом з усiма своїми похiдними є обмеженою, додатною i прямує до нуля при | x| \rightarrow +\infty .
Оскiльки при a\beta (0) = 0 фундaментальний розв’язок G\nu задачi Кошi для рiвняння (4)
є щiльнiстю W\beta розподiлу ймовiрностей для сили F локальної взаємодiї рухомих об’єктiв
системи, з рiвностi (32) випливає такий природний змiст задачi Кошi (4), (19): у випадку, коли
для коефiцiєнта локальної флуктуацiї виконується умова a\beta (0) = 0, задача Кошi (4), (19) з
початковою функцiєю (31) є математичною моделлю перетворення оператором ( - \Delta ) - \alpha /2
випадкового процесу локальної взaємодiї рухомих об’єктiв у вiдповiдному гравiтацiйному полi
Рiсса.
Лiтература
1. M. Riesz, Potentiels de divers ordres et leurs fonctions de Green, C. R. Congr. Intern. Math. Oslo, 2, 62 – 63 (1936).
2. В. A. Лiтовченко, Флуктуацiї Хольцмарка нестацiонарних гравiтацiйних полiв, Укр. мат. журн., 73, № 1, 69 – 76
(2021); DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i1.6113.
3. P. Lévy, Calcul des probabilities, Gauthier-Villars, Paris (1925).
4. В. М. Золотарeв, Одномерные устойчивые распределения, Наука, Москва (1983).
5. J. Holtsmark, Über die Verbreiterung von Spektrallinier, Ann. Phys., 58, 577 – 630 (1919).
6. S. Chandrasekhar, Stochastic problems in physics and astronomy, Rev. Modern Phys., 15, № 1, 1 – 89 (1943).
7. V. A. Litovchenko, Pseudodifferential equation of fluctuations of nonstationary gravitational fields, J. Math., 2021,
Article ID 6629780 (2021), 8 p.; https://doi.org/10.1155/2021/6629780.
8. С. Г. Самко, А. А. Килбас, O. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения, Наука и техника, Минск (1987).
9. Oliver Ibe, Markov processes for stochastic modeling, 2nd ed., Elsevier (2013); https://doi.org/10.1016/C2012-0-
06106-6.
10. В. В. Учайкин, Метод дробных производных, Aртишок, Ульяновск (2008).
11. N. Jacob, Pseudo differential operators and Markov processes, in 3 vols., Imperial College Press, London (2001,
2002, 2005).
12. J. Bertoin, Lévy processes, Cambridge Tracts in Math., vol. 121, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1996).
13. D. Applebaum, Lévy processes and stochastic calculus, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2009); https://doi.org/
10.1017/CBO9780511809781.
14. Т. А. Агекян, Теория вероятностей для астрономов и физиков, Наука, Москва (1974).
15. I. I. Sobel’man, An introduction to the theory of atomic spectra, Int. Ser. Natur. Phil., vol. 40 (1972); https://doi.org/
10.1016/C2013-0-02394-8.
16. M. Kaц, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, Москва (1965).
17. А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков, В. Б. Уваров, Квантово-статистические модели высокотемпературной
плазмы и методы расчета росселандовых пробегов и уравнений состояния, Физматлит, Москва (2000).
18. C. Bucur, E. Valdinoci, Non-local diffusion and applications, Lec. Notes Unione Mat. Ital., 20 (2016); DOI: 10.1007/
978-3-319-28739-3.
19. A. Reynolds, Liberating Lévy walk research from the shackles of optimal foraging, Phys. Life Rev., 14, 59 – 83
(2015).
20. G. M. Viswanathan, V. Afanasyev, S. V. Buldyrev, S. Havlin, M. G. E. da Luz, E. P. Raposo, H. E. Stanley, Lévy
flights in random searches, Phys. A, 282, № 1-2, 1 – 12 (2000); https://doi.org/10.1016/S0378-4371(00)00071-6.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
76 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
21. A. Friedman, PDE problems arising in mathematical biology, Netw. Heterog. Media, 7, № 4, 691 – 703 (2012); DOI:
10.3934/nhm.2012.7.691.
22. E. Montefusco, B. Pellacci, G. Verzini, Fractional diffusion with Neumann boundary conditions: the logistic equation,
Discrete and Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 18, № 8, 2175 – 2202 (2013); DOI: 10.3934/dcdsb.2013.18.2175.
23. С. Д. Эйдельман, Я. М. Дринь, Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для
параболических псевдодифференциальных уравнений, Приближенные методы математического анализа, 60 – 69
(1974).
24. Я. М. Дрiнь, Вивчення одного класу параболiчних псевдодиференцiальних операторiв у просторах гельдерових
функцiй, Доп. АН УРСР. Сер. А, № 1, 19 – 21 (1974).
25. С. Д. Эйдельман, Я. М. Дринь, Построение и исследование классических фундаментальных решений задачи
Коши равномерно параболических псевдодифференциальных уравнений, Мат. исслед., вып. 63, 60 – 69 (1981).
26. М. В. Федорюк, Асимптотика функции Грина псевдодифференциального параболического уравнения, Диффе-
ренц. уравнения, 14, № 7, 1296 – 1301 (1978).
27. W. R. Schneider, Stable distributions: Fox function representation and generalization, Lect. Notes Phys., 262,
497 – 511 (1986).
28. R. M. Blumenthal, R. K. Getoor, Some theorems on stable processes, Trans. Amer. Math. Soc., 95, 263 – 273 (1960).
29. А. Н. Кочубей, Параболические псевдодифференциальные уравнения, гиперсингулярные интегралы и марков-
ские процессы, Изв. АН СССР. Сер. мат., 52, № 5, 909 – 934 (1988).
30. S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, A. N. Kochubei, Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type, Birkhäuser, Basel (2004).
31. В. А. Лiтовченко, Задача Кошi з оператором Рiсса дробового диференцiювання, Укр. мат. журн., 57, № 12,
1653 – 1667 (2005).
32. В. А. Литовченко, Задача Коши для одного класса параболических псевдодифференциальных систем с неглад-
кими символами, Сиб. мат. журн, 49, № 2, 375 – 394 (2008); https://doi.org/10.1007/s11202-008-0030-z.
33. V. Knopova, A. Kulik, Parametrix construction of the transition probability density of the solution to an SDE driven
by \alpha -stable noise, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 54, № 1, 100 – 140 (2018); DOI: 10.1214/16-AIHP796.
34. V. P. Knopova, A. N. Kochubei, A. M. Kulik, Parametrix methods for equations with fractional Laplacians,
vol. 2, Fractional differential equations, De Gruyter, Berlin, Boston (2019), p. 267 – 298; https://doi.org/10.1515/
9783110571660-013.
35. Wei Liu, Renming Song, Longjie Xie, Gradient estimates for the fundamental solution of Levy type operator, Adv.
Nonlinear Anal., 9, № 1, 1453 – 1462 (2020); https://doi.org/10.1515/anona-2020-0062.
36. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функций, Физматгиз, Москва (1958).
37. L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, Paris (1951).
38. O. Frostman, Potentiel d’equilibre et capacit\'e des ensembles avec quelques applications a la théorie des fonctions,
Medd. Lunds Univ. Mat. Sémin., 3, 1 – 118 (1935).
39. M. Riesz, Integrales de Riemann – Liouville et potentiels, Acta Litt. Acad. Sci. Szeged, 9, 1 – 42 (1938).
40. С. Л. Соболев, Об одной теореме функционального анализа, Maт. сб., 4, № 3, 471 – 497 (1938).
41. G. Thorin, Convexiti theorems, Comm. Semin. Math. Univ. Lund. Uppsala, 9, 1 – 57 (1948).
42. E. Stein, The characterisation of functions arising as potentials, Bull. Amer. Math. Soc., 67, № 1, 102 – 104 (1961).
43. П. И. Лизоркин, Описание пространств Lr
p(\BbbR n) в терминах разностных сингулярных интегралов, Maт. сб.,
81, № 1, 79 – 91 (1970).
44. С. Г. Самко, О пространствах риссовых потенциалов, Изв. AН СССР. Сер. мат., 40, № 5, 1143 – 1172 (1976).
Одержано 18.08.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-6879 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:38Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0b/d12536003aef4e193a8bfe0880d2f60b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68792022-03-27T15:39:11Z Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties Классические решения уравнения локальных флуктуаций гравитационных полей Рисса и их свойства Класичні розв’язки рівняння локальних флуктуацій гравітаційних полів Ріса та їх властивості Litovchenko , V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. гравітаційне поле, потенціал Рісса, симетричні стійкі випадкові процеси Леві, псевдодиференціальне рівняння, задача Коші gravitational field, Riesz potential, Holtzmark distribution, symmetric stable random Levy processes, pseudodifferential equation, fundamental solution, Cauchy problem UDC 517.937, 519.21 We consider a pseudodifferential equation involving the Riesz operator of fractional differentiation, which is a natural generalization of the well-known equation of fractal diffusion. Its fundamental solution to the Cauchy problem is the density of probability distribution of local interaction forces for moving objects in the corresponding Riesz gravitational field. For this equation, we establish the correct solvability of the Cauchy problem in the class of unbounded, discontinuous initial functions with an integrable singularity. In addition, the form of the classical solution of this problem is found and its smoothness properties and behavior at infinity are investigated. Moreover, under certain conditions on the fluctuation coefficient, we obtain an analogue of the maximum principle and use it to prove the uniqueness of the solution to the&nbsp;Cauchy problem. Рассмотрено псевдодифференциальное уравнение с оператором Рисса дробного дифференцирования, которое естественным образом обобщает известное уравнение фрактальной диффузии. Его фундаментальное решение задачи Коши является плотностью распределения вероятностей для силы локального взаимодействия движущихся объектов в соответствующем гравитационном поле Рисса.Для этого уравнения установлено корректную разрешимость задачи Коши в классе неограниченных, разрывных с интегрируемой особенностью начальных функций. При этом, найдено форму классического решения этой задачи, исследованы свойства его гладкости и поведения на бесконечности. Также, при некоторых условиях на коэффициент флуктуации, установлен аналог принципа максимума, с помощью которого обоснована единственность решения задачи Коши. УДК 517.937, 519.21Розглядається псевдодиференцiйне рiвняння з оператором Рiса дробового диференцiювання, яке природно узагальнює вiдоме рiвняння фрактальної дифузiї. Його фундаментальний розв’язок задачi Кошi є щiльнiстю розподiлу ймовiрностей для сили локальної взаємодiї рухомих об’єктiв у вiдповiдному гравiтацiйному полi Рiса. Для цього рiвняння встановлено коректну розв’язнiсть задачi Кошi в класi необмежених, розривних з iнтегровною особливiстю початкових функцiй. При цьому знайдено форму класичного розв’язку цiєї задачi та дослiджено властивостi його гладкостi й поведiнку на нескiнченностi. Також, за певних умов на коефiцiєнт флуктуацiї, встановлено аналог принципу максимуму, за допомогою якого обґрунтовано єдинiсть розв’язку задачi Кошi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-01-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6879 10.37863/umzh.v74i1.6879 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 1 (2022); 61 - 76 Український математичний журнал; Том 74 № 1 (2022); 61 - 76 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6879/9177 Copyright (c) 2022 Владислав Антонович Літовченко |
| spellingShingle | Litovchenko , V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties |
| title | Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties |
| title_alt | Классические решения уравнения локальных флуктуаций гравитационных полей Рисса и их свойства Класичні розв’язки рівняння локальних флуктуацій гравітаційних полів Ріса та їх властивості |
| title_full | Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties |
| title_fullStr | Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties |
| title_full_unstemmed | Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties |
| title_short | Classic solutions to the equation of local fluctuations of the Riesz gravitational fields and their properties |
| title_sort | classic solutions to the equation of local fluctuations of the riesz gravitational fields and their properties |
| topic_facet | гравітаційне поле потенціал Рісса симетричні стійкі випадкові процеси Леві псевдодиференціальне рівняння задача Коші gravitational field Riesz potential Holtzmark distribution symmetric stable random Levy processes pseudodifferential equation fundamental solution Cauchy problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6879 |
| work_keys_str_mv | AT litovchenkova classicsolutionstotheequationoflocalfluctuationsoftherieszgravitationalfieldsandtheirproperties AT lítovčenkovladislavantonovič classicsolutionstotheequationoflocalfluctuationsoftherieszgravitationalfieldsandtheirproperties AT lítovčenkova classicsolutionstotheequationoflocalfluctuationsoftherieszgravitationalfieldsandtheirproperties AT litovchenkova klassičeskierešeniâuravneniâlokalʹnyhfluktuacijgravitacionnyhpolejrissaiihsvojstva AT lítovčenkovladislavantonovič klassičeskierešeniâuravneniâlokalʹnyhfluktuacijgravitacionnyhpolejrissaiihsvojstva AT lítovčenkova klassičeskierešeniâuravneniâlokalʹnyhfluktuacijgravitacionnyhpolejrissaiihsvojstva AT litovchenkova klasičnírozvâzkirívnânnâlokalʹnihfluktuacíjgravítacíjnihpolívrísataíhvlastivostí AT lítovčenkovladislavantonovič klasičnírozvâzkirívnânnâlokalʹnihfluktuacíjgravítacíjnihpolívrísataíhvlastivostí AT lítovčenkova klasičnírozvâzkirívnânnâlokalʹnihfluktuacíjgravítacíjnihpolívrísataíhvlastivostí |