On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series
UDC 517.518.45 It is shown that every at most countable set $F$ in an $n$-dimensional unit cube $[0,1]^n$ is a set of divergence of the $n$-fold Fourier–Haar series of a certain limited dimensional function, i.e., there exists a bounded dimensional function defined on $[0,1]^n$ whose $n$-fold Fourie...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6886 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512554971824128 |
|---|---|
| author | Bitsadze, K. R. Біцадзе, К. Р. Біцадзе, K. R. |
| author_facet | Bitsadze, K. R. Біцадзе, К. Р. Біцадзе, K. R. |
| author_sort | Bitsadze, K. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-23T14:02:47Z |
| description | UDC 517.518.45
It is shown that every at most countable set $F$ in an $n$-dimensional unit cube $[0,1]^n$ is a set of divergence of the $n$-fold Fourier–Haar series of a certain limited dimensional function, i.e., there exists a bounded dimensional function defined on $[0,1]^n$ whose $n$-fold Fourier–Haar series converges in Pringsheim's sense on $[0,1]^n\backslash F$ and diverges on the cubes on $F.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i12.6886 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i12.6886
УДК 517.518.45
К. Р. Бiцадзе1 (Тбiл. держ. ун-т iм. I. Джавахiшвiлi, Грузiя)
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА
It is shown that every at most countable set F in an n-dimensional unit cube [0, 1]n is a set of divergence of the n-fold
Fourier – Haar series of a certain limited dimensional function, i.e., there exists a bounded dimensional function defined on
[0, 1]n whose n-fold Fourier – Haar series converges in Pringsheim’s sense on [0, 1]n\setminus F and diverges on the cubes on F.
Встановлено, що кожна не бiльш нiж злiченна множина F iз n-вимiрного одиничного куба [0, 1]n є множиною
розбiжностi n-кратного ряду Фур’є – Хаара деякої обмеженої вимiрної функцiї, а саме, iснує обмежена вимiрна
функцiя, задана на [0, 1]n, n-кратний ряд Фур’є – Хаара якої збiгається за Прiнгсхеймом на [0, 1]n \setminus F i розбiгається
по кубах на F.
1. Вступ. Система Хаара на вiдрiзку [0, 1] визначається таким чином (див. [1], гл. 1, § 5 або
[2], гл. 3, § 1):
\chi 1(t) = \chi (0)
0
(t) \equiv 1,
\chi p(t) = \chi (k)
m
(t) =
\left\{
\surd
2m, t \in
\biggl(
2k - 2
2m+1
,
2k - 1
2m+1
\biggr)
,
-
\surd
2m, t \in
\biggl(
2k - 1
2m+1
,
2k
2m+1
\biggr)
,
0, t \not \in
\biggl[
k - 1
2m
,
k
2m
\biggr]
,
де p \geq 2, p = 2m + k, 1 \leq k \leq 2m, m = 0, 1, 2, . . . . У внутрiшнiх точках розриву функцiя
Хаара визначається як середнє правої i лiвої границь, а на кiнцях вiдрiзка [0, 1] — як границi
всерединi iнтервалу.
Ряд Фур’є – Хаара функцiї f \in L[0, 1] має вигляд
f(t) \sim
\infty \sum
p=1
ap(f)\chi p(t) \equiv a1(f) +
\infty \sum
m=0
2m\sum
k=1
a(k)m (f)\chi (k)
m
(t), t \in [0, 1], (1)
де \chi p , p = 1, 2, . . . , — функцiї Хаара, a1(f) =
\int 1
0
f(t) dt i ap(f) = a
(k)
m (f) =
\int 1
0
f(t)\chi (k)
m
(t) dt,
p \geq 2, p = 2m + k, 1 \leq k \leq 2m, m = 0, 1, 2, . . . , — коефiцiєнти Фур’є – Хаара функцiї f.
А. Хаар [3] довiв, що для кожної неперервної на [0, 1] функцiї ряд (1) рiвномiрно збiгається
на [0, 1] до цiєї функцiї. Вiн також встановив, що для кожної iнтегровної за Лебегом функцiї
ряд (1) збiгається майже скрiзь на [0, 1] до цiєї функцiї.
В. I. Прохоренко [4] довiв, що для будь-якої множини нульової мiри iснує функцiя з класу\bigcap
p\geq 1
Lp, ряд Фур’є – Хаара якої розбiгається на цiй множинi.
В. М. Бугадзе [5] довiв, що для будь-якої множини нульової мiри iснує обмежена вимiрна
функцiя, ряд Фур’є – Хаара якої розбiгається на цiй множинi.
1e-mail: kakha - bitsadze@yahoo.com.
c\bigcirc К. Р. БIЦАДЗЕ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12 1625
1626 К. Р. БIЦАДЗЕ
М. О. Лунiна [6] встановила такий факт. Нехай \varphi — довiльна, не спадна на [0,\infty ) парна
функцiя з \varphi (0) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty \varphi (x) = \varphi (\infty ) = +\infty . Тодi для будь-якої множини E типу \widetilde G\delta з
нульовою мiрою iснує функцiя з класу L\cap \varphi (L), ряд Фур’є – Хаара якої необмежено розбiгається
на E i збiгається на [0, 1] \setminus E. В роботi Г. А. Карагулян [7] аналогiчнi результати отримано у
бiльш загальнiй постановцi.
В. I. Прохоренко [4] довiв, що для будь-якої злiченної множини F iз вiдрiзка [0, 1] iснує
обмежена вимiрна функцiя, ряд Фур’є – Хаара якої розбiгається на F i збiгається на [0, 1] \setminus F,
тобто кожна злiченна множина з вiдрiзка [0, 1] є множиною розбiжностi ряду Фур’є – Хаара
деякої обмеженої вимiрної функцiї.
В роботi Г. А. Карагулян [8] повнiстю охарактеризовано множини розбiжностi одновимiрних
рядiв Фур’є – Хаара для обмежених функцiй.
Позначимо через N множину натуральних чисел. Далi ми припускаємо, що n \in N i n \geq 2.
n-Кратний ряд Фур’є – Хаара функцiї f \in L[0, 1]n має вигляд
f(t1, . . . , tn) \sim
\infty \sum
p1,...,pn=1
ap1,...,pn(f)\chi p1
(t1) . . . \chi pn
(tn), (2)
(t1, . . . , tn) \in [0, 1]n,
де \{ \chi p1
. . . \chi pn
\} \infty p1,...,pn=1 — n-кратна система Хаара й
ap1,...,pn(f) =
\int
[0,1]n
f(t1, . . . , tn)\chi p1
(t1) . . . \chi pn
(tn) dt1 . . . dtn, p1, . . . , pn = 1, 2, . . . ,
— коефiцiєнти Фур’є – Хаара функцiї f.
Прямокутнi частковi суми ряду (2) визначаються рiвнiстю
Sk1,...,kn(f ;x1, . . . , xn) =
k1,...,kn\sum
p1,...,pn=1
ap1,...,pn(f)\chi p1
(x1) . . . \chi pn
(xn), (3)
(x1, . . . , xn) \in [0, 1]n, k1, . . . , kn \in N.
Ряд (2) називається \lambda -збiжним, де \lambda \geq 1 — деяке дiйсне число, якщо iснує границя прямо-
кутних часткових сум (3) за iндексами (k1, . . . , kn), для яких
1
\lambda
\leq ki
kj
\leq \lambda , i, j = 1, 2, . . . , n.
1-Збiжнiсть зазвичай називають збiжнiстю за кубами, а збiжнiсть без обмежень на вiдно-
шення iндексiв — збiжнiстю за Прiнгсхеймом.
О. П. Дзагнiдзе [9] довiв, що двократний ряд Фур’є – Хаара функцiї f \in L[0, 1]2 може
розбiгатися майже скрiзь, але обов’язково майже скрiзь \lambda -збiгається (\lambda > 1) до цiєї функцiї.
Крiм того, двократний ряд Фур’є – Хаара функцiї f \in L \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}+ L[0, 1]2 збiгається майже скрiзь
до цiєї функцiї. У зв’язку з цими результатами див. також роботу Т. Ш. Зерекiдзе [10].
Автор [11] встановив, що для будь-якої множини нульової мiри з n-вимiрного куба [0, 1]n
iснує обмежена вимiрна функцiя, задана на [0, 1]n, n-кратний ряд Фур’є – Хаара якої \lambda = 1-
розбiгається на цiй множинi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА 1627
В роботах Р. Д. Гецадзе [12] i Г. Г. Онiанi [13, 14] досягнуто подальшого прогресу щодо
майже скрiзь збiжностi i розбiжностi кратних рядiв Фур’є – Хаара в сенсi Прiнгсхейма.
Далi ми покажемо, що справджується аналог теореми Прохоренка (про розбiжнiсть на
злiченних множинах) для кратного ряду Фур’є – Хаара функцiї багатьох змiнних. Основний
результат цiєї роботи було анонсовано в [15].
Через \BbbZ позначимо множину цiлих чисел, а через \BbbZ 0 — множину невiд’ємних цiлих чисел.
Iнтервали \Delta
(m)
k \equiv [(k - 1) \cdot 2 - m, k \cdot 2 - m], де k = 1, 2, . . . , 2m, m = 0, 1, . . . , називаються
двiйковими iнтервалами. Число m називається рангом iнтервалу \Delta
(m)
k , функцiї \chi (k)
m
i коефiцi-
єнта a
(k)
m (f). Числа вигляду k \cdot 2 - m, де k \in \BbbZ i m \in \BbbZ 0, називаються двiйково-рацiональними
числами. Всi iншi дiйснi числа називаються двiйково-iррацiональними числами.
Для точки x \in [0, 1] через \Delta (m)
[x] позначимо двiйковий iнтервал рангу m, що мiстить точку x.
У випадку, коли x — двiйково-рацiональне число, вiн може мiститись у двох сусiднiх двiйкових
iнтервалах рангу m, якi позначаємо через \Delta
(m)
[x],1 i \Delta
(m)
[x],2. Якщо x мiститься лише в одному
двiйковому iнтервалi рангу m, то будемо вважати, що \Delta
(m)
[x],1 \equiv \Delta
(m)
[x],2 \equiv \Delta
(m)
[x] .
Мiру Лебега деякої вимiрної за Лебегом множини A будемо позначати через | A| .
Фундаментальною властивiстю системи Хаара є те, що прямокутнi частковi суми рядiв
Фур’є – Хаара виражаються через iнтегральнi середнi за двiйковими iнтервалами. Зокрема,
справджуються такi твердження (див. [1], гл. 1, § 6 або [2], гл. 3, § 1).
1. Нехай (x1, . . . , xn) \in [0, 1]n i m1, . . . ,mn \in \BbbZ 0. Тодi
S2m1 ,...,2mn (f ;x1, . . . , xn) =
1
| B|
\int
B
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn, (4)
де
B =
n\prod
i=1
\Bigl(
\Delta
(mi)
[xi],1
\cup \Delta
(mi)
[xi],2
\Bigr)
.
2. Нехай m1, . . . ,mn \in \BbbZ 0 i 1 \leq ki \leq 2mi - 1, i = 1, 2, . . . , n, а точка (x1, . . . , xn) \in [0, 1]n
така, що xi \not = ki \cdot 2 - mi , i = 1, 2, . . . , n. Тодi
S2m1+k1,...,2mn+kn(f ;x1, . . . , xn)=
1
| B|
\int
B
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn, (5)
де
B =
n\prod
i=1
\Bigl(
\Delta
(\theta i)
[xi],1
\cup \Delta
(\theta i)
[xi],2
\Bigr)
,
\Delta
(\theta i)
[xi],j
=
\left\{
\Delta
(mi+1)
[xi],j
, xi \in
\biggl[
0,
ki
2mi
\biggr)
,
\Delta
(mi)
[xi],j
, xi \in
\biggl(
ki
2mi
, 1
\biggr]
,
\theta i = \theta (mi, xi), j = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1628 К. Р. БIЦАДЗЕ
3. Нехай m1, . . . ,mn \in \BbbZ 0 i 1 \leq ki \leq 2mi - 1, i = 1, 2, . . . , n, а точка (x1, . . . , xn) \in [0, 1]n
така, що для деякого числа q \in N, 1 \leq q \leq n, маємо
xi\mathrm{v} = ki\mathrm{v} \cdot 2 - mi\mathrm{v} , i\mathrm{v} = 1, 2, . . . , n, \mathrm{v} = 1, 2, . . . , q, i1 < . . . < iq,
i
xi \not = ki \cdot 2 - mi , i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, 2, . . . , q.
Тодi
S2m1+k1,...,2mn+kn(f ;x1, . . . , xn) =
=
1\sum
u1,...,uq=0
1
2q| Bu1,...,uq |
\int
Bu1,...,uq
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn, (6)
де
Bu1,...,uq =
q\prod
\mathrm{v}=1
\Delta
(mi\mathrm{v}+u\mathrm{v})
2ki\mathrm{v}
n\prod
i=1
i \not =i\mathrm{v}, \mathrm{v}=1,...,q
\Bigl(
\Delta
(\theta i)
[xi],1
\cup \Delta
(\theta i)
[xi],2
\Bigr)
,
\Delta
(\theta i)
[xi],j
=
\left\{
\Delta
(mi+1)
[xi],j
, xi \in
\biggl[
0,
ki
2mi
\biggr)
,
\Delta
(mi)
[xi],j
, xi \in
\biggl(
ki
2mi
, 1
\biggr]
,
\theta i = \theta (mi, xi), j = 1, 2.
Розглянемо двiйковi iнтервали
\Delta
(m)
ki
=
\biggl[
ki - 1
2m
,
ki
2m
\biggr]
, 1 \leq ki \leq 2m - 1, i = 1, 2, . . . , n, m \in \BbbZ 0.
Кожен iз них можна записати у виглядi
\Delta
(m)
ki
=
2s\bigcup
u
(s)
i =1
\Delta
(m+s)
2s(ki - 1)+u
(s)
i
, s = 0, 1, . . . , i = 1, 2, . . . , n.
Позначимо
\Gamma
(m,s)
k,u (s) =
n\prod
i=1
\Delta
(m+s)
2s(ki - 1)+u
(s)
i
, (7)
k = (k1, . . . , kn), u (s) = (u
(s)
1 , . . . , u(s)n ),
u
(s)
i = 1, . . . , 2s, i = 1, 2, . . . , n, s = 0, 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА 1629
2. Розбiжнiсть в окремих точках. Справджується таке твердження.
Лема 1. Для будь-якої точки x0 з n-вимiрного одиничного куба [0, 1]n iснує обмежена
вимiрна функцiя fx0
, задана на [0, 1]n, 0 \leq fx0
(t) \leq 1, t \in [0, 1]n, n-кратний ряд Фур’є –
Хаара якої збiгається за Прiнгсхеймом на множинi [0, 1]n \setminus \{ x0\} i \lambda = 1-розбiгається в точцi
x0 . При цьому:
1) iснують послiдовностi натуральних чисел hs \uparrow \infty i ls \uparrow \infty , hs > ls, hs = hs(x0),
ls = ls(x0), такi, що\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (fx0
, x0) - S2ls ...2ls (fx0
, x0)
\bigm| \bigm| > 2 - 4n, s = 0, 1, 2, . . . ; (8)
2) справедливою є оцiнка
0 \leq Sk1,...,kn(fx0
, x) \leq 1, k1, . . . , kn = 1, 2, . . . , x \in [0, 1]n; (9)
3) для довiльної точки x \in [0, 1]n, x \not = x0 , iснує таке число n0 \in N, n0 = n0(x0), що
Sk1...kn(fx0
, x) = S2n0 ...2n0 (fx0
, x), k1 . . . kn = 2n0 + 1, 2n0 + 2, . . . . (10)
Доведення. Нехай x0 = (x1, x2, . . . , xn) \in [0, 1]n. Можливим є один iз таких випадкiв:
I. xi, i = 1, 2, . . . , n, двiйково-рацiональне;
II. xi\mathrm{v} двiйково-iррацiональне,
i\mathrm{v} = 1, 2, . . . , n, \mathrm{v} = 1, 2, . . . , q, i1 < . . . < iq, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N ;
xi двiйково-рацiональне,
i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, 2, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N ;
III. xi, i = 1, 2, . . . , n, двiйково-iррацiональне.
Розглянемо окремо кожен iз цих випадкiв.
I. У цьому випадку маємо три пiдвипадки:
\mathrm{I}1. xi \not = 1, i = 1, 2, . . . , n;
\mathrm{I}2. xi\nu = 1, i\nu = 1, 2, . . . , n, \nu = 1, 2, . . . , p, i1 < i2 < . . . < ip, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N ;
xi \not = 1, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\nu , \nu = 1, 2, . . . , p, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N ;
\mathrm{I}3. xi = 1, i = 1, 2, . . . , n.
Розглянемо випадок \mathrm{I}1. Для деякого \omega \in N кожне xi, i = 1, 2, . . . , n, можна записати у
виглядi xi =
\mu i - 1
2\omega
, де 1 \leq \mu i \leq 2\omega , i = 1, 2, . . . , n.
Нехай \mu = (\mu 1, . . . , \mu n) i u = (2, . . . , 2).
Визначимо функцiю fx0
таким чином:
fx0
(t) =
\left\{
1, t = (t1, . . . , tn) \in \Gamma \equiv
\bigcup \infty
s=1
\Gamma
(\omega ,2s)
\mu ,u ,
0, t \in [0, 1]n \setminus \Gamma .
(11)
Нехай hs = \omega + 2s+ 1, ls = \omega + 2s, s = 0, 1, 2, . . . , i u0 = (1, . . . , 1). Тодi маємо (див. (4),
(7) i (11)) \bigm| \bigm| S2hs ...2hs (fx0
, x0) - S2ls ...2ls (fx0
, x0)
\bigm| \bigm| \geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1630 К. Р. БIЦАДЗЕ
\geq 1
2n| \Gamma (\omega ,2s+1)
\mu ,u0
|
\int
\Gamma
(\omega ,2s+1)
\mu ,u0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn -
- 1
2n| \Gamma (\omega ,2s)
\mu ,u0
|
\int
\Gamma
(\omega ,2s)
\mu ,u0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn =
= (2n - 1) \cdot 2(\omega +2s - 1)n
\int
\Gamma
(\omega ,2s+1)
\mu ,u0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn >
> 2(\omega +2s - 1)n
\int
\Gamma
(\omega ,2s+2)
\mu ,u
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn > 2 - 4n, s = 0, 1, 2, . . . . (12)
Отже (див. (12)), виконується нерiвнiсть (8).
За визначенням (11) 0 \leq fx0
(t) \leq 1, t \in [0, 1]n. Тому на пiдставi рiвностей (4) – (6) справ-
джується оцiнка (9).
Для будь-якої точки x \in [0, 1]n, x \not = x0 , iснує таке число n0 \in N, n0 = n0(x0), що функцiя
fx0
буде сталою на кожному n-вимiрному кубi, який мiстить точку x i добуток двiйкових
iнтервалiв рангу n0 (див. (11)). Тому на пiдставi рiвностей (4) – (6) справджується (10).
Таким чином, у випадку \mathrm{I}1 лему доведено.
В усiх випадках, розглянутих нижче, (9) i (10) доводяться аналогiчно випадку \mathrm{I}1.
Розглянемо випадок \mathrm{I}2. Для деякого \omega \in N кожне xi, i = 1, 2, . . . , n, можна записати у
виглядi
xi\nu =
2\omega
2\omega
\equiv \mu i\nu
2\omega
,
де i\nu = 1, 2, . . . , n, \nu = 1, 2, . . . , p, i1 < . . . < ip, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N, i
xi =
\mu i - 1
2\omega
,
де 1 \leq \mu i \leq 2\omega , i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\nu , \nu = 1, 2, . . . , p, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N.
Нехай \mu = (\mu 1, . . . , \mu n) i u (s) = (u
(s)
1 , . . . , u
(s)
n ), s = 0, 1, 2, . . . , де
u
(s)
i = 2, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\nu , \nu = 1, 2, . . . , p, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N,
u
(s)
i\nu
= 2s - 1, i\nu = 1, 2, . . . , n, \nu = 1, 2, . . . , p, i1 < . . . < ip, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N.
Визначимо функцiю fx0
таким чином:
fx0
(t) =
\left\{
1, t = (t1, . . . , tn) \in \Gamma \equiv
\bigcup \infty
s=1
\Gamma
(\omega ,2s)
\mu ,u 2s ,
0, t \in [0, 1]n \setminus \Gamma .
(13)
Нехай hs = \omega + 2s+ 1, ls = \omega + 2s, s = 0, 1, 2 . . . , i u (s)
0 = (u
(s)
1,0, . . . , u
(s)
n,0), s = 0, 1, 2, . . . ,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА 1631
u
(s)
i,0 = 1, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\nu , \nu = 1, 2, . . . , p, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N,
u
(s)
i\nu ,0
= 2s, i\nu = 1, 2, . . . , n, \nu = 1, 2, . . . , p, i1 < . . . < ip, 1 \leq p \leq n - 1, p \in N.
З огляду на (4), (7) i (13) маємо\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (fx0
, x0) - S2ls ...2ls (fx0
, x0)
\bigm| \bigm| \geq
\geq 1
2n - p| \Gamma (\omega ,2s+1)
\mu ,u
(2s+1)
0
|
\int
\Gamma
(\omega ,2s+1)
\mu ,u
(2s+1)
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn -
- 1
2n - p| \Gamma (\omega ,2s)
\mu ,u
(2s)
0
|
\int
\Gamma
(\omega ,2s)
\mu ,u
(2s)
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn =
= (2n - 1) \cdot 2(\omega +2s - 1)n+p
\int
\Gamma
(\omega ,2s+1)
\mu ,u
(2s+1)
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn >
> 2(\omega +2s - 1)n
\int
\Gamma
(\omega ,2s+2)
\mu ,u (2s+2)
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn>2 - 4n, s=0, 1, 2, . . . . (14)
Отже (див. (14)), виконується нерiвнiсть (8), i у випадку \mathrm{I}2 лему доведено.
Розглянемо випадок \mathrm{I}3. Нехай \mu = (1, . . . , 1) i u (s) = (u
(s)
1 , . . . , u
(s)
n ), s = 0, 1, 2, . . . , де
u
(s)
i = 2s - 1, i = 1, 2, . . . , n.
Визначимо функцiю fx0
таким чином:
fx0
(t) =
\left\{
1, t = (t1, . . . , tn) \in \Gamma \equiv
\bigcup \infty
s=1
\Gamma
(0,2s)
\mu ,u 2s ,
0, t \in [0, 1]n \setminus \Gamma .
(15)
Нехай hs = 2s + 1, ls = 2s, s = 0, 1, 2, . . . , i u
(s)
0 = (u
(s)
1,0, . . . , u
(s)
n,0), s = 0, 1, 2, . . . , де
u
(s)
i,0 = 2s, i = 1, 2, . . . , n.
З огляду на (4), (7) i (15) маємо\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (fx0
, x0) - S2ls ...2ls (fx0
, x0)
\bigm| \bigm| \geq
\geq 1
| \Gamma (0,2s+1)
\mu ,u
(2s+1)
0
|
\int
\Gamma
(0,2s+1)
\mu ,u
(2s+1)
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn -
- 1
| \Gamma (0,2s)
\mu ,u
(2s)
0
|
\int
\Gamma
(0,2s)
\mu ,u
(2s)
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1632 К. Р. БIЦАДЗЕ
= (2n - 1) \cdot 22ns
\int
\Gamma
(0,2s+1)
\mu ,u
(2s+1)
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn >
> 22ns
\int
\Gamma
(0,2s+2)
\mu ,u (2s+2)
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn > 2 - 4n, s = 0, 1, 2, . . . . (16)
Iз (16) випливає, що виконується нерiвнiсть (8).
Таким чином, у випадку \mathrm{I}3, а отже i у випадку \bfI , лему доведено.
Розглянемо випадок II. Запишемо xi1 у виглядi xi1 =
\sum \infty
\theta =1
b\theta
2\theta
, де b\theta = 0 або 1, \theta =
= 1, 2, . . . . Нехай послiдовнiсть \{ \theta j\} \infty j=1 задовольняє умови
\theta j+1 > \theta j + 1, b\theta j = 0, b\theta j+1 = 1, j = 1, 2, . . . . (17)
Введемо позначення \Bigl[
\alpha
(\mathrm{v})
j \beta
(\mathrm{v})
j
\Bigr]
\equiv \Delta
(\theta 2j - 1)
[xi\mathrm{v} ]
= \Delta
(\theta 2j - 1)
\alpha
(\mathrm{v})
j \cdot 2\theta 2j - 1+1
, (18)
\mathrm{v} = 1, 2, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N, j = 1, 2, . . . .
Має мiсце один iз таких пiдвипадкiв:
\mathrm{I}\mathrm{I}1. xi \not = 1, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, 2, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N ;
\mathrm{I}\mathrm{I}2. xi\prime \nu = 1, i\prime \nu = 1, 2, . . . , n, i\prime \nu \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N, \nu = 1, 2, . . . , p,
i\prime 1 < . . . < i\prime p, 1 \leq p \leq n - q - 1, p \in N ;
xi \not = 1, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, 2, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N, i \not = i\prime \nu , \nu = 1, 2, . . . , p,
1 \leq p \leq n - q - 1, p \in N ;
\mathrm{I}\mathrm{I}3. xi = 1, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, 2, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N.
Зазначимо, що випадки \mathrm{I}\mathrm{I}2 можливi лише тодi, коли n > 2 i 1 \leq q \leq n - 2.
Розглянемо кожен iз них.
\mathrm{I}\mathrm{I}1. Нехай для будь-якого i = 1, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
xi =
\mu i - 1
2\omega
,
де 1 \leq \mu i \leq 2\omega , \omega \in N.
Припустимо, що j0 \in N — таке число, що xi + 2 - \theta 2j0+1 < 1 i \theta 2j0 - 1 > \omega для будь-якого
i = 1, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N.
Для будь-якого числа j \geq j0, j \in N, кожне xi, i = 1, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq
\leq q \leq n - 1, q \in N, можна записати у виглядi
xi =
\mu
(i)
j - 1
2\theta 2j - 1
, 1 \leq \mu
(i)
j \leq 2\theta 2j - 1, j = j0, j0 + 1, . . . .
Нехай
\eta (j) = (\eta
(j)
1 , \eta
(j)
2 , . . . , \eta (j)n ), j = j0, j0 + 1, . . . ,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА 1633
\eta
(j)
i = \mu
(i)
j , i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
\eta
(j)
i\mathrm{v}
= \alpha
(\mathrm{v})
j \cdot 2\theta 2j - 1 + 1, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
i
u (j) = (u
(j)
1 , u
(j)
2 , . . . , u(j)n ), j = j0, j0 + 1, . . . ,
де
u
(j)
i = 2, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
u
(j)
i\mathrm{v}
=
\left\{
2, xi\mathrm{v} \in
\Biggl(
\alpha
(\mathrm{v})
j ,
\alpha
(\mathrm{v})
j + \beta
(\mathrm{v})
j
2
\Biggr)
,
1, xi\mathrm{v} \in
\Biggl(
\alpha
(\mathrm{v})
j + \beta
(\mathrm{v})
j
2
, \beta
(\mathrm{v})
j
\Biggr)
,
\mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N.
Визначимо функцiю fx0
таким чином:
fx0
(t) =
\left\{ 1, t = (t1, . . . , tn) \in \Gamma \equiv
\bigcup \infty
j=j0
\Gamma
(\theta 4j - 1,1)
\eta (2j),u (2j ,
0, t \in [0, 1]n \setminus \Gamma .
(19)
Нехай
hj = \theta 4(j0+j) - 1 i lj = \theta 4(j0+j) - 2 - 1, j = 0, 1, 2, . . . ,
u
(j)
0 = (1, . . . , 1), j = j0, j0 + 1, . . . .
Тодi маємо (див. (4), (7), (17) i (19))\bigm| \bigm| S
2hj ...2hj
(fx0
, x0) - S
2lj ...2lj
(fx0
, x0)
\bigm| \bigm| \geq
\geq 2 - n+q
| \Gamma (\theta 4(j0+j) - 1,0)
\eta (2(j0+j)),u
(2(j0+j))
0
|
\int
\Gamma
(\theta 4(j0+j) - 1,0)
\eta (2(j0+j)),u
(2(j0+j))
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn -
- 2 - n+q
| \Gamma (\theta 4(j0+j) - 2 - 1,0)
\eta (2(j0+j) - 1),u
(2(j0+j) - 1)
0
|
\int
\Gamma
(\theta 4(j0+j) - 2 - 1,0)
\eta (2(j0+j) - 1),u
(2(j0+j) - 1)
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn >
> 2 - 2n+q(2n\theta 4(j0+j) - 2n\theta 4(j0+j) - 2)
\int
\Gamma
(\theta 4(j0+j) - 1,1)
\eta (2(j0+j)),u
(2(j0+j))
0
f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn =
= 2 - 2n+q(2n\theta 4(j0+j) - 2n\theta 4(j0+j) - 2) \cdot 2 - n\theta 4(j0+j) > 2 - 4n, j = 0, 1, 2, . . . . (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1634 К. Р. БIЦАДЗЕ
Нерiвнiсть (20) означає, що справджується оцiнка (8), а отже, у випадку \mathrm{I}\mathrm{I}1 лему доведено.
Розглянемо випадок \mathrm{I}\mathrm{I}2. Нехай для будь-якого числа i = 1, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q,
1 \leq q \leq n - 1, q \in N, i \not = i\prime \nu , \nu = 1, 2, . . . , p, 1 \leq p \leq n - q - 1, p \in N,
xi =
\mu i - 1
2\omega
, 1 \leq \mu i \leq 2\omega , \omega \in N.
Припустимо, що j0 \in N — таке число, що xi + 2 - \theta 2j0+1 < 1 i \theta 2j0 - 1 > \omega для будь-якого
i = 1, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N, i \not = i\prime \nu , \nu = 1, 2, . . . , p, 1 \leq p \leq n - q - 1,
p \in N.
Для будь-якого числа j \geq j0, j \in N, кожне xi, i = 1, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq
\leq q \leq n - 1, q \in N, можна записати у виглядi
xi =
\mu
(i)
j - 1
2\theta 2j - 1
, 1 \leq \mu
(i)
j \leq 2\theta 2j - 1, i \not = i\prime \nu , \nu = 1, 2, . . . , p, 1 \leq p \leq n - q - 1, p \in N,
i
x\prime i\nu =
2\theta 2j - 1
2\theta 2j - 1
\equiv
\mu
(i\prime \nu )
j
2\theta 2j - 1
, \nu = 1, . . . , p, 1 \leq p \leq n - q - 1, p \in N.
Нехай
\eta (j) = (\eta
(j)
1 , \eta
(j)
2 , . . . , \eta (j)n ), j = j0, j0 + 1, . . . ,
де
\eta
(j)
i = \mu
(i)
j , i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
\eta
(j)
i\mathrm{v}
= \alpha
(\mathrm{v})
j \cdot 2\theta 2j - 1 + 1, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
i
u (j) = (u
(j)
1 , u
(j)
2 , . . . , u(j)n ), j = j0, j0 + 1, . . . ,
де
u
(j)
i = 2, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
i \not = i\prime \nu , \nu = 1, . . . , p, 1 \leq p \leq n - q - 1, p \in N,
u
(j)
i\prime \nu
= 1, \nu = 1, . . . , p, 1 \leq p \leq n - q - 1, p \in N,
u
(j)
i\mathrm{v}
=
\left\{
2, xi\mathrm{v} \in
\Biggl(
\alpha
(\mathrm{v})
j ,
\alpha
(\mathrm{v})
j + \beta
(\mathrm{v})
j
2
\Biggr)
,
1, xi\mathrm{v} \in
\Biggl(
\alpha
(\mathrm{v})
j + \beta
(\mathrm{v})
j
2
, \beta
(\mathrm{v})
j
\Biggr)
,
\mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N.
Визначимо функцiю fx0
таким чином:
fx0
(t) =
\left\{
1, t = (t1, . . . , tn) \in \Gamma \equiv
\bigcup \infty
j=j0
\Gamma
(\theta 4j - 1,1)
\eta (2j),u 2j ,
0, t \in [0, 1]n \setminus \Gamma .
(21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА 1635
Нехай
hj = \theta 4(j0+j) - 1 i lj = \theta 4(j0+j) - 2 - 1, j = 0, 1, 2, . . . ,
u
(j)
0 = (1, . . . , 1), j = j0, j0 + 1, . . . .
На пiдставi (4), (7) i (21), як i у випадку \mathrm{I}\mathrm{I}1, отримуємо\bigm| \bigm| S
2hj ...2hj
(fx0
, x0) - S
2lj ...2lj
(fx0
, x0)
\bigm| \bigm| > 2 - 4n, j = 0, 1, 2, . . . . (22)
Нерiвнiсть (22) означає, що справджується оцiнка (8), а отже, у випадку \mathrm{I}\mathrm{I}2 лему доведено.
Розглянемо випадок \mathrm{I}\mathrm{I}3. Нехай
\eta (j) = (\eta
(j)
1 , \eta
(j)
2 , . . . , \eta (j)n ), j = 1, 2, . . . ,
де
\eta
(j)
i = 2\theta 2j - 1, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
\eta
(j)
i\mathrm{v}
= \alpha
(\mathrm{v})
j \cdot 2\theta 2j - 1 + 1, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
i
u (j) = (u
(j)
1 , u
(j)
2 , . . . , u(j)n ), j = 1, 2, . . . ,
де
u
(j)
i = 1, i = 1, 2, . . . , n, i \not = i\mathrm{v}, \mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N,
u
(j)
i\mathrm{v}
=
\left\{
2, xi\mathrm{v} \in
\Biggl(
\alpha
(\mathrm{v})
j ,
\alpha
(\mathrm{v})
j + \beta
(\mathrm{v})
j
2
\Biggr)
,
1, xi\mathrm{v} \in
\Biggl(
\alpha
(\mathrm{v})
j + \beta
(\mathrm{v})
j
2
, \beta
(\mathrm{v})
j
\Biggr)
,
\mathrm{v} = 1, . . . , q, 1 \leq q \leq n - 1, q \in N.
Визначимо функцiю fx0
таким чином:
fx0
(t) =
\left\{
1, t = (t1, . . . , tn) \in \Gamma \equiv
\bigcup \infty
j=1
\Gamma
(\theta 4j - 1,1)
\eta (2j),u 2j ,
0, t \in [0, 1]n \setminus \Gamma .
(23)
Нехай
hj = \theta 4(j+1) - 1 i lj = \theta 4(j+1) - 2 - 1, j = 0, 1, 2, . . . ,
u
(j)
0 = (1, . . . , 1), j = 0, 1, 2, . . . .
Тодi, як i у випадку \mathrm{I}\mathrm{I}1, отримуємо (див. (4), (7) i (23))\bigm| \bigm| S
2hj ...2hj
(fx0
, x0) - S
2lj ...2lj
(fx0
, x0)
\bigm| \bigm| \geq 2 - 4n, j = 0, 1, 2, . . . , (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1636 К. Р. БIЦАДЗЕ
а це означає справедливiсть оцiнки (8). Таким чином, у випадку \mathrm{I}\mathrm{I}3, а отже i у випадку II, лему
доведено.
Розглянемо випадок III. Запишемо x1 у виглядi
x1 =
\infty \sum
\theta =1
b\theta \cdot 2 - \theta , де b\theta = 0 або 1, \theta = 1, 2, . . . .
Будемо вважати, що послiдовнiсть \{ \theta j\} \infty j=1 задовольняє умови
\theta j+1 > \theta j + 1, b\theta j = 0, b\theta j+1 = 1, j = 1, 2, . . . . (25)
Введемо позначення\Bigl[
\alpha
(i)
j , \beta
(i)
j
\Bigr]
\equiv \Delta
(\theta 2j - 1)
[xi]
= \Delta
(\theta 2j - 1)
\alpha
(i)
j \cdot 2\theta 2j - 1+1
, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . . (26)
Нехай
\eta (j) = (\eta
(j)
1 , \eta
(j)
2 , . . . , \eta (j)n ), j = 1, 2, . . . ,
де
\eta
(j)
i = \alpha
(i)
j \cdot 2\theta 2j - 1 + 1, i = 1, 2, . . . , n,
i
u (j) = (u
(j)
1 , u
(j)
2 , . . . , u(j)n ), j = 1, 2, . . . ,
де
u
(j)
i =
\left\{
2, xi \in
\Biggl(
\alpha
(i)
j ,
\alpha
(i)
j + \beta
(i)
j
2
\Biggr)
,
1, xi \in
\Biggl(
\alpha
(i)
j + \beta
(i)
j
2
, \beta
(i)
j
\Biggr)
,
i = 1, 2, . . . , n.
Визначимо функцiю fx0
таким чином:
fx0
(t) =
\left\{
1, t = (t1, . . . , tn) \in \Gamma \equiv
\bigcup \infty
j=1
\Gamma
(\theta 4j - 1,1)
\eta (2j),u 2j ,
0, t \in [0, 1]n \setminus \Gamma .
(27)
Нехай
hj = \theta 4(j+1) - 1 i lj = \theta 4(j+1) - 2 - 1, j = 0, 1, 2 . . . ,
u
(j)
0 = (1, . . . , 1), j = 0, 1, 2, . . . .
З огляду на (4), (7) i (27), як i у випадку \mathrm{I}\mathrm{I}1, отримуємо\bigm| \bigm| S
2hj ...2hj
(fx0
, x0) - S
2lj ...2lj
(fx0
, x0)
\bigm| \bigm| \geq 2 - 4n, j = 0, 1, 2, . . . . (28)
Це означає справедливiсть оцiнки (8), а отже, у випадку III лему доведено.
Таким чином, лему повнiстю доведено (див. (12), (14), (16), (20), (22), (24), (28)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА 1637
3. Основний результат.
Теорема 1. Для будь-якої не бiльш нiж злiченної множини F iз n-вимiрного одиничного
куба [0, 1]n iснує обмежена вимiрна функцiя, задана на [0, 1]n, n-кратний ряд Фур’є – Хаара
якої збiгається за Прiнгсхеймом на множинi [0, 1]n \setminus F i \lambda = 1-розбiгається на F.
Доведення. Нехай F = \{ x\nu : x\nu \in [0, 1]n, \nu = 1, 2, . . .\} . За лемою 1 для будь-якої точки x\nu ,
\nu = 1, 2, . . . , можна побудувати функцiю f\nu (t), t \in [0, 1]n, що задовольняє умови 1 – 3 леми 1.
Розглянемо функцiю
f(t) =
\infty \sum
\nu =1
2 - 10\nu nf\nu (t), t \in [0, 1]n. (29)
Зрозумiло, що функцiя f(t) обмежена. Крiм того, за теоремою Левi (див. [16], гл. 5, § 5) маємо
(див. (3) – (6), (29))
Sk1...kn(f, t) =
\infty \sum
\nu =1
2 - 10\nu nSk1...kn(f\nu , t), t \in [0, 1]n. (30)
Нехай x \in [0, 1]n, x \not = x\nu , \nu = 1, 2, . . . . Покажемо, що послiдовнiсть \{ Sk1...kn(f, x)\} \infty k1...kn=1
збiгається.
Нехай \varepsilon > 0 — довiльне число. Для довiльних чисел k1, k2, . . . , kn \in N i j1, j2, . . . , jn \in N
отримуємо (див. (30)) \bigm| \bigm| Sk1...kn(f, x) - Sj1...jn(f, x)
\bigm| \bigm| \leq
\leq
\infty \sum
\nu =1
2 - 10\nu n
\bigm| \bigm| Sk1...kn(f\nu , x) - Sj1...jn(f\nu , x)
\bigm| \bigm| =
=
c\sum
\nu =1
2 - 10\nu n
\bigm| \bigm| Sk1...kn(f\nu , x) - Sj1...jn(f\nu , x)
\bigm| \bigm| +
+
\infty \sum
\nu =c+1
2 - 10\nu n
\bigm| \bigm| Sk1...kn(f\nu , x) - Sj1...jn(f\nu , x)
\bigm| \bigm| , (31)
де c — деяке натуральное число.
Припустимо, що c >
1
10n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}4\varepsilon
- 1
2 . Тодi згiдно з оцiнкою (9) маємо
\infty \sum
\nu =c+1
2 - 10\nu n
\bigm| \bigm| Sk1...kn(f\nu , x) - Sj1...jn(f\nu , x)
\bigm| \bigm| <
<
\infty \sum
\nu =c+1
2 - 10\nu n+1 =
2 - 10nc+1
210n - 1
<
\varepsilon
2
. (32)
За лемою 1 знайдеться таке число m0 \in N, що для довiльних чисел k1, k2, . . . , kn, j1, j2, . . .
. . . , jn > m0, ki, ji \in N, ki > ji, i = 1, 2, . . . , n, виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| Sk1...kn(f\nu , x) - Sj1...jn(f\nu , x)
\bigm| \bigm| < \varepsilon
2
, \nu = 1, 2, . . . , c. (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1638 К. Р. БIЦАДЗЕ
Оскiльки
\sum c
\nu =1
2 - 10\nu n < 1, то (див. (33))
c\sum
\nu =1
2 - 10\nu n
\bigm| \bigm| Sk1...kn(f\nu , x) - Sj1...jn(f\nu , x)
\bigm| \bigm| < \varepsilon
2
. (34)
Таким чином, знайдеться таке число m0 \in N, що для довiльних чисел k1, k2, . . . , kn,
j1, j2, . . . , jn > m0, ki, ji \in N, ki > ji, i = 1, 2, . . . , n, виконується нерiвнiсть (див. (31), (32) i
(34)) \bigm| \bigm| Sk1...kn(f, x) - Sj1...jn(f, x)
\bigm| \bigm| < \varepsilon .
Це означає збiжнiсть за Прiнгсхеймом на множинi [0, 1]n \setminus F n-кратного ряду Фур’є – Хаара
функцiї f.
Покажемо, що послiдовнiсть \{ Sk1...kn(f)\} \infty k1,...,kn=1 розбiгається в кожнiй точцi множини F.
Виберемо довiльну точку xk, k = 1, 2, . . . , множини F. За лемою 1 (див. (8)) iснують
послiдовностi натуральних чисел hs \uparrow \infty i ls \uparrow \infty , hs > ls, hs = hs(xk), ls = ls(xk), такi, що\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (fk, xk) - S2ls ...2ls (fk, xk)
\bigm| \bigm| > 2 - 4n, s = 0, 1, 2, . . . . (35)
Розглянемо рiзницю часткових сум (див. (30))\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (f, xk) - S2ls ...2ls (f, xk)
\bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \infty \sum
\nu =1
2 - 10\nu n(S2hs ...2hs (f\nu , xk) - S2ls ...2ls (f\nu , xk))
\bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| k\sum
\nu =1
2 - 10\nu n(S2hs ...2hs (f\nu , xk) - S2ls ...2ls (f\nu , xk)) +
+
\infty \sum
\nu =k+1
2 - 10\nu n(S2hs ...2hs (f\nu , xk) - S2ls ...2ls (f\nu , xk))
\bigm| \bigm| \bigm| \geq
\geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 - 10kn
\bigm| \bigm| \bigm| S2hs ...2hs (fk, xk) - S2ls ...2ls (fk, xk) +
+
k - 1\sum
\nu =1
2 - 10\nu n(S2hs ...2hs (f\nu , xk) - S2ls ...2ls (f\nu , xk))
\bigm| \bigm| \bigm| -
-
\infty \sum
\nu =k+1
2 - 10\nu n
\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (f\nu , xk) - S2ls ...2ls (f\nu , xk)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (36)
s = 0, 1, 2, . . . .
За лемою 1 (див. (10)) знайдеться таке число \theta \in N, що для будь-якого числа s = \theta , \theta + 1,
\theta + 2, . . . маємо
k - 1\sum
\nu =1
2 - 10\nu n(S2hs ...2hs (f\nu , xk) - S2ls ...2ls (f\nu , xk)) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ПРО МНОЖИНИ РОЗБIЖНОСТI КРАТНИХ РЯДIВ ФУР’Є – ХААРА 1639
тому (див. (9), (35), (36)) \bigm| \bigm| S2hs ...2hs (f, xk) - S2ls ...2ls (f, xk)
\bigm| \bigm| \geq
\geq
\bigm| \bigm| \bigm| 2 - 10kn
\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (fk, xk) - S2ls ...2ls (fk, xk)
\bigm| \bigm| -
-
\infty \sum
\nu =k+1
2 - 10\nu n
\bigm| \bigm| S2hs ...2hs (f\nu , xk) - S2ls ...2ls (f\nu , xk)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| >
> 2 - 4n - 10kn -
\infty \sum
\nu =k+1
2 - 10\nu n+1 > 2 - 15kn, s = \theta , \theta + 1, \theta + 2, . . . .
Це означає \lambda = 1-розбiжнiсть n-кратного ряду Фур’є – Хаара функцiї f у кожнiй точцi множи-
ни F.
Теорему доведено.
Лiтература
1. Г. Алексич, Проблемы сходимости ортогональных рядов, Изд-во иностр. лит., Москва (1963).
2. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, Москва (1984).
3. A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 69, № 3, 331 – 371 (1910).
4. В. И. Прохоренко, О расходящихся рядах Фурье по системе Хаара, Изв. вузов. Математика, 1, 62 – 68 (1971).
5. В. М. Бугадзе, О расходимости рядов Фурье – Хаара ограниченных функций на множествах меры нуль, Мат.
заметки, 51, № 5, 20 – 25 (1992).
6. М. А. Лунина, О множестве точек неограниченной расходимости рядов по системе Хаара, Вестн. Моск.
ун-та, Сер. 1, 4, 13 – 20 (1976).
7. G. A. Karagulyan, Divergence of general operators on sets of measure zero, Colloq. Math., 121, № 1, 113 – 119
(2010).
8. G. A. Karagulyan, On a characterization of the sets of divergence points of sequences of operators with the localization
property, Mat. Sb., 202, № 1, 11 – 36 (2011).
9. О. П. Дзагнидзе, Представление измеримых функций двух переменных двойными рядами, Сообщ. АН ГССР,
34, 277 – 282 (1964).
10. T. Sh. Zerekidze, Convergence of multiple Fourier – Haar series and strong differentiability of integrals, Trudy
Tbiliss. Mat. Inst. Razmadze Akad. Nauk Gruzin. SSR, 76, 80 – 99 (1985).
11. K. Bitsadze, On divergence of multiple Fourier – Walsh and Fourier – Haar series of bounded function of several
variables on set of measure zero, Proc. A. Razmadze Math. Inst., 161, 25 – 45 (2013).
12. R. D. Getsadze, On divergence of the general terms of the double Fourier – Haar series, Arch. Math. (Basel), 86,
№ 4, 331 – 339 (2006).
13. G. G. Oniani, On the divergence of multiple Fourier – Haar series, Anal. Math., 38, № 3, 227 – 247 (2012).
14. G. G. Oniani, On the convergence of multiple Haar series, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 78, № 1, 99 – 116 (2014).
15. K. Bitsadze, On set of divergence of multiple Fourier – Haar series, Bull. Georgian Acad. Sci., 162, № 3, 421 – 422
(2000).
16. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, Москва (1989).
Одержано 22.08.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6886 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:38Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/da9870a6c2c4ccf796f875049cee20b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68862023-01-23T14:02:47Z On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series Про множини розбіжності кратних рядів Фур'є–Хаара Про множини розбіжності кратних рядів Фур'є–Хаара Bitsadze, K. R. Біцадзе, К. Р. Біцадзе, K. R. Ряд Фур'є–Хаара Fourier–Haar UDC 517.518.45 It is shown that every at most countable set $F$ in an $n$-dimensional unit cube $[0,1]^n$ is a set of divergence of the $n$-fold Fourier–Haar series of a certain limited dimensional function, i.e., there exists a bounded dimensional function defined on $[0,1]^n$ whose $n$-fold Fourier–Haar series converges in Pringsheim's sense on $[0,1]^n\backslash F$ and diverges on the cubes on $F.$ УДК 517.518.45 Встановлено, що кожна не більш ніж зліченна множина $F$ із $n$-вимірного одиничного куба $[0,1]^n$ є множиною розбіжності $n$-кратного ряду Фур'є–Хаара деякої обмеженої вимірної&nbsp; функції, а саме, існує обмежена вимірна функція, задана на $[0,1]^n,$ $n$-кратний ряд Фур'є–Хаара якої збігається&nbsp; за Прінгсхеймом на $[0,1]^n\setminus F$ і розбігається по кубах на $F.$ УДК 517.518.45 Встановлено, що кожна не більш ніж зліченна множина $F$ із $n$-вимірного одиничного куба $[0,1]^n$ є множиною розбіжності $n$-кратного ряду Фур'є–Хаара деякої обмеженої вимірної&nbsp; функції, а саме, існує обмежена вимірна функція, задана на $[0,1]^n,$ $n$-кратний ряд Фур'є–Хаара якої збігається&nbsp; за Прінгсхеймом на $[0,1]^n\setminus F$ і розбігається по кубах на $F.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-01-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6886 10.37863/umzh.v74i12.6886 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 12 (2022); 1625 - 1639 Український математичний журнал; Том 74 № 12 (2022); 1625 - 1639 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6886/9340 Copyright (c) 2023 Kakha Bitsadze |
| spellingShingle | Bitsadze, K. R. Біцадзе, К. Р. Біцадзе, K. R. On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series |
| title | On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series |
| title_alt | Про множини розбіжності кратних рядів Фур'є–Хаара Про множини розбіжності кратних рядів Фур'є–Хаара |
| title_full | On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series |
| title_fullStr | On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series |
| title_full_unstemmed | On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series |
| title_short | On the sets of divergence of multiple Fourier–Haar series |
| title_sort | on the sets of divergence of multiple fourier–haar series |
| topic_facet | Ряд Фур'є–Хаара Fourier–Haar |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6886 |
| work_keys_str_mv | AT bitsadzekr onthesetsofdivergenceofmultiplefourierhaarseries AT bícadzekr onthesetsofdivergenceofmultiplefourierhaarseries AT bícadzekr onthesetsofdivergenceofmultiplefourierhaarseries AT bitsadzekr promnožinirozbížnostíkratnihrâdívfur039êhaara AT bícadzekr promnožinirozbížnostíkratnihrâdívfur039êhaara AT bícadzekr promnožinirozbížnostíkratnihrâdívfur039êhaara |