On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends
UDC 517.5 We study mappings with branching that satisfy certain conditions of distortion for the modulus of paths families. Under the conditions that the domain of definition of mappings has a weakly flat boundary, the mapped domain is regular, and the majorant responsible for the distortion of modu...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6887 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512555521277952 |
|---|---|
| author | Ilkevych, N. S. Sevost’yanov , E. A. Ількевич, Наталія Севостьянов, Євген Олександрович Ількевич, Н. С. Севостьянов, Є. О. |
| author_facet | Ilkevych, N. S. Sevost’yanov , E. A. Ількевич, Наталія Севостьянов, Євген Олександрович Ількевич, Н. С. Севостьянов, Є. О. |
| author_sort | Ilkevych, N. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:09Z |
| description | UDC 517.5
We study mappings with branching that satisfy certain conditions of distortion for the modulus of paths families. Under the conditions that the domain of definition of mappings has a weakly flat boundary, the mapped domain is regular, and the majorant responsible for the distortion of modulus of the families of paths is integrable; it is proved that the families of all specified mappings with one normalization condition are equicontinuous in the closure of the given domain. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i6.6887 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i6.6887
УДК 517.5
Н. С. Iлькевич (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка),
Є. О. Севостьянов (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка; Iн-т прикл. математики i механiки НАН України,
Слов’янськ Донецької обл.)
ОДНОСТАЙНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ СIМЕЙ ВIДОБРАЖЕНЬ
З УМОВОЮ НОРМУВАННЯ В ТЕРМIНАХ ПРОСТИХ КIНЦIВ
We study mappings with branching that satisfy certain conditions of distortion for the modulus of paths families. Under
the conditions that the domain of definition of mappings has a weakly flat boundary, the mapped domain is regular, and the
majorant responsible for the distortion of modulus of the families of paths is integrable; it is proved that the families of all
specified mappings with one normalization condition are equicontinuous in the closure of the given domain.
Вивчаються вiдображення з розгалуженням, якi задовольняють деяку умову спотворення модуля сiмей кривих.
У випадку, коли область визначення вiдображень має слабко плоску межу, вiдображена область є регулярною,
а мажоранта, яка вiдповiдає за спотворення модуля сiмей кривих, — iнтегровною, доведено, що сiм’ї вказаних
вiдображень з однiєю умовою нормування є одностайно неперервними в замиканнi вихiдної областi.
1. Вступ. Дану роботу присвячено вiдображенням з обмеженим i скiнченним спотворенням, якi
активно вивчаються останнiм часом (див., наприклад, [9 – 23]). Зокрема, дослiдження пов’язанi
з проблематикою неперервного продовження вiдображень по простих кiнцях. Активне вивчен-
ня цього питання вiдображено у класичних роботах [1 – 7]. Також зауважимо, що сучасний
стан цих дослiджень, якi стосуються вiдображень з обмеженим i скiнченним спотворенням,
вiдображено, наприклад, у [8 – 15].
Нещодавно в наших спiльних роботах ми дослiдили випадки, в яких вiдображення з так
званою оберненою нерiвнiстю Полецького мають неперервне межове продовження, а їх сiм’ї є
одностайно неперервними як у внутрiшнiх, так i межових точках областi (див., наприклад, [24 –
27]). У цiй статтi ми розглянемо ще один важливий випадок, коли вiдображення можуть мати
розгалуження, а областi мають складну структуру, при цьому вiдображення фiксують принайм-
нi одну точку областi. Зауважимо, що клас вiдображень з оберненою нерiвнiстю Полецького
включає в себе вiдображення з обмеженим спотворенням i вiдображення зi скiнченним спотво-
ренням довжини (див., наприклад, [16], теорема 3.2, [21], теорема 6.7.II, i [18], теорема 8.5).
Нехай y0 \in \BbbR n, 0 < r1 < r2 < \infty i
A(y0, r1, r2) = \{ y \in \BbbR n : r1 < | y - y0| < r2\} . (1)
Для заданих множин E, F \subset \BbbR n i областi D \subset \BbbR n позначимо через \Gamma (E,F,D) сiм’ю
всiх кривих \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbR n таких, що \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F i \gamma (t) \in D при t \in [a, b].
Якщо f : D \rightarrow \BbbR n — задане вiдображення, y0 \in f(D) i 0 < r1 < r2 < d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}y\in f(D) | y -
- y0| , то через \Gamma f (y0, r1, r2) позначимо сiм’ю всiх кривих \gamma в областi D таких, що f(\gamma ) \in
\in \Gamma (S(y0, r1), S(y0, r2), A(y0, r1, r2)). Нехай Q : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна за Лебегом функцiя,
а M(\Gamma ) — модуль сiмей кривих \Gamma (див., наприклад, [22], розд. 6). Будемо говорити, що f
задовольняє обернену нерiвнiсть Полецького в точцi y0 \in f(D), якщо спiввiдношення
M(\Gamma f (y0, r1, r2)) \leq
\int
f(D)\cap A(y0,r1,r2)
Q(y) \eta n(| y - y0| ) dm(y) (2)
c\bigcirc Н. С. IЛЬКЕВИЧ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6 817
818 Н. С. IЛЬКЕВИЧ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
виконується для довiльної вимiрної за Лебегом функцiї \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такої, що
r2\int
r1
\eta (r) dr \geq 1. (3)
Зауважимо, що нерiвностi (2) є вiдомими в теорiї квазiрегулярних вiдображень i виконуються
для них при Q = N(f,D)K, де
N(y, f,D) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d} \{ x \in D : f(x) = y\} ,
N(f,D) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR n
N(y, f,D),
а K \geq 1 — деяка стала, яку можна обчислити як
K = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}KO(x, f), KO(x, f) =
\bigm\| \bigm\| f \prime (x)
\bigm\| \bigm\| n /| J(x, f)|
при J(x, f) \not = 0, KO(x, f) = 1 при f \prime (x) = 0 i KO(x, f) = \infty при f \prime (x) \not = 0, але
J(x, f) = 0 (див., наприклад, [16], теорема 3.2, або [21], теорема 6.7.II). Вiдображення f :
D \rightarrow \BbbR n називається дискретним, якщо прообраз
\bigl\{
f - 1(y)
\bigr\}
кожної точки y \in \BbbR n складається
з iзольованих точок, i вiдкритим, якщо образ будь-якої вiдкритої множини U \subset D є вiдкри-
тою множиною в \BbbR n. Вiдображення f областi D на D \prime називається замкненим, якщо f(E)
є замкненим в D \prime для будь-якої замкненої множини E \subset D (див., наприклад, [23], розд. 3).
Означення простого кiнця, яке використовується нижче, наведено в роботi [28] (див. також [11 –
12]). Тут i далi DP позначає поповнення областi D її простими кiнцями, а ED = DP \setminus D —
множина всiх простих кiнцiв у D. Говоримо, що обмежена область D в \BbbR n регулярна, якщо
D може бути квазiконформно вiдображена на область з локально квазiконформною межею,
замикання якої є компактом в \BbbR n, крiм того, кожен простий кiнець P \subset ED є регулярним.
Зауважимо, що замикання DP регулярної областi D є метризовним. При цьому, якщо g :
D0 \rightarrow D — квазiконформне вiдображення областi D0 з локально квазiконформною межею на
область D, для x, y \in DP покладемо
\rho (x, y) :=
\bigm| \bigm| g - 1(x) - g - 1(y)
\bigm| \bigm| , (4)
де для x \in ED елемент g - 1(x) розумiється як деяка (єдина) точка межi D0, коректно визначена
з огляду на теорему 4.1 [19].
Межа областi D називається слабко плоскою в точцi x0 \in \partial D, якщо для кожного P > 0 i для
будь-якого околу U точки x0 знайдеться окiл V \subset U цiєї ж точки такий, що M(\Gamma (E,F,D)) > P
для будь-яких континуумiв E,F \subset D, якi перетинають \partial U i \partial V. Межа областi D називається
слабко плоскою, якщо вiдповiдна властивiсть виконується в будь-якiй точцi межi D.
Сформулюємо тепер основний результат даної статтi. Для цього для областей D,D \prime \subset \BbbR n,
n \geq 2, точок a \in D, b \in D \prime i вимiрної за Лебегом функцiї Q : D \prime \rightarrow [0,\infty ] позначимо через
Sa,b,Q (D,D \prime ) сiм’ю всiх вiдкритих дискретних i замкнених вiдображень f областi D на D \prime ,
що задовольняють умову (2) для кожного y0 \in D \prime , до того ж f(a) = b.
Справджується таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ОДНОСТАЙНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ СIМЕЙ ВIДОБРАЖЕНЬ З УМОВОЮ НОРМУВАННЯ . . . 819
Теорема 1. Припустимо, що область D має слабко плоску межу, жодна iз зв’язних ком-
понент якої не вироджена. Якщо Q \in L1 (D \prime ) i область D \prime є регулярною, то будь-яке
f \in Sa,b,Q (D,D \prime ) неперервно продовжується до вiдображення f : D \rightarrow D \prime
P , до того ж
f(D) = D \prime
P i сiм’я Sa,b,Q
\bigl(
D,D \prime
\bigr)
, яка складається з усiх продовжених вiдображень f :
D \rightarrow D \prime
P , одностайно неперервна в D.
Зауваження 1. Теорему 1 можна застосувати для достатньо широкого спектра областей D \prime .
Зокрема, за теоремою Рiмана регулярною областю в \BbbR 2 є будь-яка однозв’язна область, межа
якої мiстить бiльше нiж одну точку. I навiть бiльше, кожна обмежена скiнченно зв’язна плоска
область є конформним образом областi, межа якої складається зi скiнченної кiлькостi кiл i
iзольованих точок (див., наприклад, [29], теорема V.6.2). Оскiльки для конформних вiдображень
iзольованi точки є усувними, то вихiдна область може вважатися регулярною i без вироджених
межових компонент.
2. Лема про континуум. Доведення основного результату ґрунтується на певних власти-
востях вiдображень зi збереженням дiаметра прообразу деякого континуума. Наступну лему за
деяких iнших припущень на вiдображення i областi, що розглядаються, було доведено в [24]
(лема 2, пункт 5), [25] (лема 4.1) i [26] (лема 4.1). Нехай h — хордальна вiдстань в \BbbR n (див.,
наприклад, означення 12.1 в [22]).
Лема 1. Нехай n \geq 2, D i D \prime — областi в \BbbR n, до того ж D має слабко плоску межу,
жодна компонента зв’язностi якої не вироджується в точку, а область D \prime є регулярною.
Нехай також A — невироджений континуум в D \prime i \delta > 0. Припустимо, що fm — послiдовнiсть
вiдкритих дискретних i замкнених вiдображень областi D на D \prime з такою властивiстю: для
кожного m = 1, 2, . . . знайдеться континуум Am \subset D, m = 1, 2, . . . , такий, що fm(Am) = A
i h(Am) \geq \delta > 0. Якщо кожне fm задовольняє спiввiдношення (2) для кожного y0 \in D \prime , до
того ж Q \in L1 (D \prime ) , то знайдеться таке \delta 1 > 0 , що
h(Am, \partial D) > \delta 1 > 0 \forall m \in \BbbN .
Доведення. Через компактнiсть простору \BbbR n межа областi D не порожня i є компактом,
так що вiдстань h(Am, \partial D) коректно визначено.
Доведення проведемо вiд супротивного. Припустимо, що висновок леми не є правильним.
Тодi для кожного k \in \BbbN знайдеться такий номер m = mk, що h(Amk
, \partial D) < 1/k. Можна
вважати, що послiдовнiсть mk зростає по k. Оскiльки Amk
— компакт, то знайдуться такi
xk \in Amk
i yk \in \partial D, що h(Amk
, \partial D) = h(xk, yk) < 1/k (див. рисунок).
Оскiльки \partial D — компактна множина, можемо вважати, що yk \rightarrow y0 \in \partial D при k \rightarrow \infty . Тодi
також xk \rightarrow y0 \in \partial D при k \rightarrow \infty .
Нехай K0 — компонента зв’язностi \partial D, яка мiстить точку y0. Очевидно, K0 — континуум
в \BbbR n. Оскiльки \partial D слабко плоска, за теоремою 1 в [31] вiдображення fmk
має неперервне
продовження fmk
: D \rightarrow D \prime
P . Нехай \rho — одна з метрик у (4) i g : D0 \rightarrow D \prime — квазiконформне
вiдображення деякої областi D0 з локально квазiконформною межею на D \prime , яке вiдповiдає
метрицi \rho у (4). Оскiльки fmk
неперервне на компактi D, вiдображення fmk
є рiвномiрно
неперервним у D щодо метрики \rho при кожному фiксованому k. Iншими словами, для кожного
\varepsilon > 0 знайдеться таке \delta k = \delta k(\varepsilon ) < 1/k, що
\rho
\bigl(
fmk
(x), fmk
(x0)
\bigr)
< \varepsilon \forall x, x0 \in D, h(x, x0) < \delta k, \delta k < 1/k, (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
820 Н. С. IЛЬКЕВИЧ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
де h — хордальна метрика в \BbbR n.
Виберемо \varepsilon > 0 так, щоб
\varepsilon <
1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
\partial D0, g
- 1(A)
\bigr)
, (6)
де \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,B) позначає евклiдову вiдстань мiж множинами A i B в \BbbR n. Позначимо Bh(x0, r) =
=
\bigl\{
x \in \BbbR n : h(x, x0) < r
\bigr\}
. Для фiксованого k \in \BbbN покладемо
Bk :=
\bigcup
x0\in K0
Bh(x0, \delta k), k \in \BbbN .
Оскiльки Bk — окiл континуума K0, за лемою 2.2 [32] знайдеться такий окiл Uk множини
K0, що Uk \subset Bk i Uk \cap D зв’язна. Можна вважати, що Uk вiдкрита, так що Uk \cap D є лiнiйно
зв’язною (див. [18], пропозицiя 13.1). Нехай h(K0) = m0. Тодi знайдуться такi z0, w0 \in K0,
що h(K0) = h(z0, w0) = m0. Отже, знайдуться послiдовностi yk \in Uk \cap D, zk \in Uk \cap D i
wk \in Uk \cap D такi, що zk \rightarrow z0, yk \rightarrow y0 i wk \rightarrow w0 при k \rightarrow \infty . Можна вважати, що
h(zk, wk) > m0/2 \forall k \in \BbbN . (7)
Оскiльки множина Uk \cap D лiнiйно зв’язна, можемо з’єднати точки zk, yk i wk, використавши
деяку криву \gamma k \in Uk \cap D. Як завжди, позначаємо через | \gamma k| носiй (образ) кривої \gamma k в областi
D. Тодi fmk
(| \gamma k| ) — компактна множина в D \prime . Якщо x \in | \gamma k| , то знайдеться таке x0 \in K0,
що x \in B(x0, \delta k). Зафiксуємо довiльне \omega \in A \subset D. Оскiльки x \in | \gamma k| , i навiть бiльше, x —
внутрiшня точка D, можемо використовувати запис fmk
(x) замiсть fmk
(x). Зi спiввiдношень
(5) i (6), а також за нерiвнiстю трикутника отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ОДНОСТАЙНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ СIМЕЙ ВIДОБРАЖЕНЬ З УМОВОЮ НОРМУВАННЯ . . . 821
\rho (fmk
(x), \omega ) \geq \rho
\bigl(
\omega , fmk
(x0)
\bigr)
- \rho
\bigl(
fmk
(x0), fmk
(x)
\bigr)
\geq
\geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
\partial D0, g
- 1(A)
\bigr)
- 1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
\partial D0, g
- 1(A)
\bigr)
=
=
1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
\partial D0, g
- 1(A)
\bigr)
> \varepsilon (8)
для достатньо великих k \in \BbbN , де
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
\partial D0, g
- 1(A)
\bigr)
:= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in \partial D0,y\in g - 1(A)
| x - y| .
Переходячи до iнфiмуму у (8) по всiх x \in | \gamma k| i \omega \in A, одержуємо
\rho (fmk
(| \gamma k| ), A) > \varepsilon , k = 1, 2, . . . . (9)
Тепер покажемо, що знайдеться таке \varepsilon 1 > 0, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fmk
(| \gamma k| ), A) > \varepsilon 1 \forall k = 1, 2, . . . , (10)
де \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,B), як завжди, позначає евклiдову вiдстань мiж множинами A,B \subset \BbbR n. Справдi,
нехай нерiвнiсть (10) не виконується. Тодi для чисел \varepsilon l = 1/l, l = 1, 2, . . . , знайдуться такi
елементи \xi l \in | \gamma kl | i \zeta l \in A, що
| fmkl
(\xi l) - \zeta l| < 1/l, l = 1, 2, . . . . (11)
Можна вважати, що послiдовнiсть kl, l = 1, 2, . . . , є зростаючою. Оскiльки A — компакт,
можемо також вважати, що послiдовнiсть \zeta l збiгається до \zeta 0 \in A при l \rightarrow \infty . За нерiвнiстю
трикутника на пiдставi (11) будемо мати
| fmkl
(\xi l) - \zeta 0| \rightarrow 0, l \rightarrow \infty . (12)
З iншого боку, нагадаємо, що \rho (fmk
(x), \omega ) =
\bigm| \bigm| g - 1(fmk
(x)) - g - 1(\omega )
\bigm| \bigm| , де g : D0 \rightarrow D \prime —
деяке квазiконформне вiдображення областi D0 на D \prime (див. (4)). Зокрема, вiдображення g - 1 є
неперервним у D \prime , отже, з огляду на нерiвнiсть трикутника i (12) отримаємо\bigm| \bigm| \bigm| g - 1(fmkl
(\xi l)) - g - 1(\zeta l)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| g - 1(fmkl
(\xi l)) - g - 1(\zeta 0)
\bigm| \bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| g - 1(\zeta 0) - g - 1(\zeta l)
\bigm| \bigm| \rightarrow 0, l \rightarrow \infty . (13)
Проте за означенням метрики \rho iз (13) випливає, що
\rho (fmkl
(| \gamma kl | ), A) \leq
\leq \rho (fmkl
(\xi l), \zeta l) =
\bigm| \bigm| \bigm| g - 1(fmkl
(\xi l)) - g - 1(\zeta l)
\bigm| \bigm| \bigm| \rightarrow 0, l \rightarrow \infty ,
а це суперечить (9). Отримана суперечнiсть свiдчить про справедливiсть спiввiдношення (10).
Покриємо множину A кулями B(x, \varepsilon 1/4), x \in A. Оскiльки A — компакт, можемо вважати,
що A \subset
\bigcup M0
i=1
B(xi, \varepsilon 1/4), xi \in A, i = 1, 2, . . . ,M0, 1 \leq M0 < \infty . За означенням, M0 залежить
лише вiд A, зокрема M0 не залежить вiд k. Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
822 Н. С. IЛЬКЕВИЧ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
\Gamma k := \Gamma (Amk
, | \gamma k| , D). (14)
Нехай \Gamma ki := \Gamma fmk
(xi, \varepsilon 1/4, \varepsilon 1/2), тобто \Gamma ki складається з усiх кривих \gamma : [0, 1] \rightarrow D таких,
що fmk
(\gamma (0)) \in S(xi, \varepsilon 1/4), fmk
(\gamma (1)) \in S(xi, \varepsilon 1/2) i \gamma (t) \in A(xi, \varepsilon 1/4, \varepsilon 1/2) при 0 < t < 1.
Покажемо, що
\Gamma k >
M0\bigcup
i=1
\Gamma ki. (15)
Справдi, нехай \widetilde \gamma \in \Gamma k, тобто \widetilde \gamma : [0, 1] \rightarrow D, \widetilde \gamma (0) \in Amk
, \widetilde \gamma (1) \in | \gamma k| i \widetilde \gamma (t) \in D при
0 \leq t \leq 1. Тодi \gamma \ast := fmk
(\widetilde \gamma ) \in \Gamma (A, fmk
(| \gamma k| ), D \prime ) . Оскiльки кулi B(xi, \varepsilon 1/4), 1 \leq i \leq M0,
утворюють покриття компакта A, знайдеться таке i \in \BbbN , що \gamma \ast (0) \in B(xi, \varepsilon 1/4) i \gamma \ast (1) \in
\in fmk
(| \gamma k| ). За спiввiдношенням (10) | \gamma \ast | \cap B(xi, \varepsilon 1/4) \not = \varnothing \not = | \gamma \ast | \cap (D \prime \setminus B(xi, \varepsilon 1/4)) .
Отже, за теоремою 1.I.5.46 [33] знайдеться таке 0 < t1 < 1, що \gamma \ast (t1) \in S(xi, \varepsilon 1/4). Можна
вважати, що \gamma \ast (t) \not \in B(xi, \varepsilon 1/4) при t > t1. Покладемо \gamma 1 := \gamma \ast | [t1,1]. З (10) випливає, що
| \gamma 1| \cap B(xi, \varepsilon 1/2) \not = \varnothing \not = | \gamma 1| \cap (D \prime \setminus B(xi, \varepsilon 1/2)) . Отже, за теоремою 1.I.5.46 [33] знайдеться
таке t1 < t2 < 1, що \gamma \ast (t2) \in S(xi, \varepsilon 1/2). Можна вважати, що \gamma \ast (t) \in B(xi, \varepsilon 1/2) при всiх
t < t2. Вважаючи \gamma 2 := \gamma \ast | [t1,t2], зауважимо, що крива \gamma 2 є пiдкривою \gamma \ast , яка належить
\Gamma (S(xi, \varepsilon 1/4), S(xi, \varepsilon 1/2), A(xi, \varepsilon 1/4, \varepsilon 1/2)) .
Остаточно, \widetilde \gamma має таку пiдкриву \widetilde \gamma 2 := \widetilde \gamma | [t1,t2], що fmk
\circ \widetilde \gamma 2 = \gamma 2, до того ж
\gamma 2 \in \Gamma (S(xi, \varepsilon 1/4), S(xi, \varepsilon 1/2), A(xi, \varepsilon 1/4, \varepsilon 1/2)) .
Отже, спiввiдношення (15) встановлено.
Покладемо
\eta (t) =
\left\{ 4/\varepsilon 1, t \in [\varepsilon 1/4, \varepsilon 1/2],
0, t \not \in [\varepsilon 1/4, \varepsilon 1/2].
Зауважимо, що \eta задовольняє спiввiдношення (3) при r1 = \varepsilon 1/4 i r2 = \varepsilon 1/2. Оскiльки вiдобра-
ження fmk
задовольняє спiввiдношення (2), то, припускаючи тут y0 = xi, отримуємо
M(\Gamma fmk
(xi, \varepsilon 1/4, \varepsilon 1/2)) \leq
\biggl(
4
\varepsilon 1
\biggr) n
\| Q\| 1 < c < \infty , (16)
де c — деяка додатна стала i \| Q\| 1 — L1-норма функцiї Q в D \prime . З (15) i (16), враховуючи
напiвадитивнiсть модуля сiмей кривих, одержуємо
M(\Gamma k) \leq
4nM0
\varepsilon n1
\int
D \prime
Q(y) dm(y) \leq cM0 < \infty . (17)
З iншого боку, оскiльки за умовою область D має слабко плоску межу, з огляду на умову
(7) отримуємо, що M(\Gamma k) \rightarrow \infty при k \rightarrow \infty , а це суперечить (17). Отримана суперечнiсть
доводить лему.
3. Доведення теореми 1. Проведемо доведення вiд супротивного. Припустимо, що
Sa,b,Q
\bigl(
D,D \prime
\bigr)
не є одностайно неперервною в деякiй точцi x0 \in \partial D. Тодi знайдуться точ-
ки xm \in D i вiдображення fm \in Sa,b,Q
\bigl(
D,D \prime
\bigr)
, m = 1, 2, . . . , такi, що xm \rightarrow x0 при m \rightarrow \infty
i до того ж при деякому \varepsilon 0 > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ОДНОСТАЙНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ СIМЕЙ ВIДОБРАЖЕНЬ З УМОВОЮ НОРМУВАННЯ . . . 823
h(fm(xm), fm(x0)) \geq \varepsilon 0, m = 1, 2, . . . . (18)
Виберемо довiльним чином точку y0 \in D \prime , y0 \not = b, i з’єднаємо її з точкою b деякою кривою
в D \prime , яку ми позначимо \alpha . Покладемо A := | \alpha | . Нехай Am — повне пiдняття кривої \alpha
при вiдображеннi fm з початком у точцi a (воно iснує за лемою 3.7 [23]). Зауважимо, що
h(Am, \partial D) > 0 за замкненiстю вiдображення fm (бо, зокрема, вiдкритi дискретнi i замкненi
вiдображення є такими, прообраз компакта при яких є компактом (див. [23], теорема 3.3(4)).
Тепер можливi такi випадки: або h(Am) \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty , або h(Amk
) \geq \delta 0 > 0 при k \rightarrow \infty
для деякої зростаючої послiдовностi номерiв mk i деякого \delta 0 > 0.
У першому з цих випадкiв, очевидно, h(Am, \partial D) \geq \delta > 0 при деякому \delta > 0. Тодi сiм’я
вiдображень \{ fm\} \infty m=1 одностайно неперервна в точцi x0 за теоремою 2 [31], що суперечить
умовi (18).
У другому випадку, якщо h(Amk
) \geq \delta 0 > 0 при k \rightarrow \infty , також h (Amk
, \partial D) \geq \delta 1 > 0 при
деякому \delta 1 > 0 за лемою 1. Знову ж таки, за теоремою 2 [31] сiм’я \{ fmk
\} \infty k=1 є одностайно
неперервною в точцi x0, а це суперечить умовi (18).
Отже, в обох з двох можливих випадкiв ми прийшли до суперечностi з (18), i це вказує на
хибнiсть припущення про вiдсутнiсть одностайної неперервностi сiм’ї Sa,b,Q (D,D \prime ) в D.
Теорему доведено.
Приклад 1. Розглянемо сiм’ю вiдображень fn(z) = zn, n = 1, 2, . . . , z \in \BbbB 2 = \{ z \in \BbbC :
| z| < 1\} . Зауважимо, що fn є вiдображеннями з обмеженим спотворенням як гладкi вiдображен-
ня, дилатацiя KO(x, f) яких дорiвнює одиницi (див. коментарi пiсля спiввiдношень (2), (3)).
Отже, fn задовольняє нерiвнiсть (2) при Q(z) = N
\bigl(
fn,\BbbB 2
\bigr)
= n, де, як завжди, N — функцiя
кратностi, визначена спiввiдношеннями
N
\bigl(
y, f,\BbbB 2
\bigr)
= \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}
\bigl\{
z \in \BbbB 2 : f(z) = y
\bigr\}
, N
\bigl(
f,\BbbB 2
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbC
N
\bigl(
y, f,\BbbB 2
\bigr)
(див., наприклад, [16], теорема 3.2, або [21], теорема 6.7.II). Всi вiдображення fn є дискрет-
ними, що перевiряється безпосередньо, крiм того, зберiгають межу одиничного круга i тому
є замкненими (див., наприклад, [23], теорема 3.3). Вiдображення fn також фiксують точку 0,
тому вони задовольняють всi умови теореми 1, але водночас у нерiвностi (2) немає спiльної
iнтегровної функцiї Q, яка б забезпечувала всю сiм’ю вiдображень fn, n = 1, 2, . . . . Внаслiдок
цього сiм’я вiдображень fn не є одностайно неперервною на межi одиничного круга, що
перевiряється шляхом безпосереднiх обчислень.
Приклад 2. Аналогiчний приклад можна побудувати у просторi. Нехай x \in \BbbB n, x =
= (r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi , r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi , x3, x4, . . . , xn), де, як завжди, x1 = r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi , x2 = r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi , 0 \leq \varphi < 2\pi ,
0 \leq r < \infty . Для натурального m \in \BbbN покладемо fm(x) = (r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}m\varphi , r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}m\varphi , x3, x4, . . . , xn).
Шляхом безпосереднiх обчислень можна переконатися, що KO(x, fm) = mn - 1 (див., наприк-
лад, [20], приклад 3, п. 4.3.I). Зауважимо, що fm є вiдображеннями з обмеженим спотворенням
як гладкi вiдображення в \BbbR n \setminus \BbbR n - 2, де \BbbR n - 2 = \{ x \in \BbbR n : xn - 1 = xn = 0\} , дилатацiя яких до-
рiвнює mn - 1. Отже, fm задовольняє нерiвнiсть (2) при Q = N (fm,\BbbB n) mn - 1 = mn в областi
\BbbB n (див., наприклад, [16], теорема 3.2, або [21], теорема 6.7.II). Всi вiдображення fm є дис-
кретними, що перевiряється безпосередньо, крiм того, зберiгають межу одиничної кулi i тому
замкненi (див., наприклад, [23], теорема 3.3). Вiдображення fm також фiксують точку 0, але
не мають спiльної мажоранти Q в (2). Неважко переконатися, що сiм’я вiдображень \{ fm\} \infty m=1
не є одностайно неперервною на одиничнiй сферi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
824 Н. С. IЛЬКЕВИЧ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Лiтература
1. C. Caratheodory, Über die Begrenzung einfach zusammenhangender Gebiete, Math. Ann., 73, 323 – 370 (1913).
2. Б. П. Куфарев, Метризация пространства всех простых концов областей семейства \frakB , Мат. заметки, 6, № 5,
607 – 618 (1969).
3. Г. Д. Суворов, Семейства плоских топологических отображений, Изд-во СО АН СССР, Новосибирск (1965).
4. Г. Д. Суворов, Метрическая теория простых концов и граничные свойства плоских отображений с ограни-
ченными интегралами Дирихле, Наук. думка, Киев (1981).
5. Г. Д. Суворов, Обобщенный принцип длины и площади в теории отображений, Наук. думка, Киев (1985).
6. В. И. Кругликов, Простые концы пространственных областей с переменными границами, Докл. АН СССР,
297, № 5, 1047 – 1050 (1987).
7. В. М. Миклюков, Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических
поверхностях, Укр. мат. вiсн., 1, № 3, 349 – 372 (2004).
8. E. Afanas’eva, V. Ryazanov, R. Salimov, E. Sevost’yanov, On boundary extension of Sobolev classes with critical
exponent by prime ends, Lobachevskii J. Math., 41, № 11, 2091 – 2102 (2020).
9. V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, E. Yakubov, The Beltrami equations and prime ends, Укр. мат. вiсн., 12, № 1, 27 – 66
(2015).
10. D. Kovtonyuk, I. Petkov, V. Ryazanov, On the boundary behavior of mappings with nite distortion in the plane,
Lobachevskii J. Math., 38, № 2, 290 – 306 (2017).
11. Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, К теории простых концов для пространственных областей, Укр. мат. журн.,
67, № 4, 467 – 479 (2015).
12. D. A. Kovtonyuk, V. I. Ryazanov, Prime ends and Orlicz – Sobolev classes, St. Petersburg Math. J., 27, № 5, 765 – 788
(2016).
13. V. Ryazanov, S. Volkov, Prime ends in the Sobolev mapping theory on Riemann surfaces, Mat. Stud., 48, № 1, 24 – 36
(2017).
14. V. Ryazanov, S. Volkov, Prime ends in the mapping theory on the Riemann surfaces, J. Math. Sci., 227, № 1, 81 – 97
(2017).
15. V. Ryazanov, S. Volkov, Mappings with nite length distortion and prime ends on Riemann surfaces, J. Math. Sci.,
248, № 2, 190 – 202 (2020).
16. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Definitions for quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 448, 1 – 40
(1969).
17. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On Q-homeomorphisms, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 30, № 1,
49 – 69 (2005).
18. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Sci. + Business Media,
LLC, New York (2009).
19. R. Näkki, Prime ends and quasiconformal mappings, J. Anal. Math., 35, 13 – 40 (1979).
20. Yu. G. Reshetnyak, Space mappings with bounded distortion, Transl. Math. Monogr., 73 (1989).
21. S. Rickman, Quasiregular mappings, Springer-Verlag, Berlin (1993).
22. J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., 229, Springer-Verlag, Berlin
etc. (1971).
23. M. Vuorinen, Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space, Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math. Diss., 11, 1 – 44 (1976).
24. Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов, О сходимости отображений в метрических пространствах с прямыми и
обратными модульными условиями, Укр. мат. журн., 70, № 7, 952 – 967 (2018).
25. Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов, О локальном поведении одного класса обратных отображений, Укр. мат.
вестн., 15, № 3, 399 – 417 (2018).
26. E. A. Sevost’yanov, S. A. Skvortsov, On mappings whose inverse satisfy the Poletsky inequality, Ann. Acad. Sci.
Fenn. Math., 45, 259 – 277 (2020).
27. Є. О. Севостьянов, С. О. Скворцов, О. П. Довгопятий, Про негомеоморфнi вiдображення з оберненою нерiв-
нiстю Полецького, Укр. мат. вiсн., 17, № 3, 414 – 436 (2020).
28. Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов, О граничном поведении открытых дискретных отображений на римановых
многообразиях. II, Мат. сб., 211, № 4, 63 – 111 (2020).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ОДНОСТАЙНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ СIМЕЙ ВIДОБРАЖЕНЬ З УМОВОЮ НОРМУВАННЯ . . . 825
29. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Физматгиз, Москва (1966).
30. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Topological and metric properties of quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A1, 488, 1 – 31 (1971).
31. Є. О. Севостьянов, Межове продовження вiдображень з оберненою нерiвнiстю Полецького по простих кiнцях,
Укр. мат. журн., 73, № 7, 951 – 963 (2021).
32. J. Herron, P. Koskela, Quasiextremal distance domains and conformal mappings onto circle domains, Complex Var.
Theory and Appl., 15, 167 – 179 (1990).
33. К. Куратовский, Топология, т. 2, Мир, Москва (1969).
Одержано 22.08.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6887 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:39Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d9/20ef62788ffb6099dabc239f7dc158d9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68872022-10-24T09:23:09Z On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends Одностайна неперервність сімей відображень з умовою нормування в термінах простих кінців Ilkevych, N. S. Sevost’yanov , E. A. Ількевич, Наталія Севостьянов, Євген Олександрович Ількевич, Н. С. Севостьянов, Є. О. відображення з обмеженим і скінченним спотворенням прості кінці локальна і межова поведінка відображень mappings with finite and bounded distortion prime ends local and boundary behavior of mappings UDC 517.5 We study mappings with branching that satisfy certain conditions of distortion for the modulus of paths families. Under the conditions that the domain of definition of mappings has a weakly flat boundary, the mapped domain is regular, and the majorant responsible for the distortion of modulus of the families of paths is integrable; it is proved that the families of all specified mappings with one normalization condition are equicontinuous in the closure of the given domain. Вивчаються відображення з розгалуженням, які задовольняють деяку умову спотворення модуля сімей кривих. У ситуації, коли область визначення відображень має слабко плоску межу, відображена область є регулярною, а мажоранта, яка відповідає за спотворення модуля сімей кривих, є інтегровною, доведено, що сім'ї вказаних відображень з одною умовою нормування є одностайно неперервними в замиканні вихідної області. УДК 517.5Вивчаються вiдображення з розгалуженням, якi задовольняють деяку умову спотворення модуля сiмей кривих. У випадку, коли область визначення вiдображень має слабко плоску межу, вiдображена область є регулярною, а мажоранта, яка вiдповiдає за спотворення модуля сiмей кривих, — iнтегровною, доведено, що сiм’ї вказаних вiдображень з однiєю умовою нормування є одностайно неперервними в замиканнi вихiдної областi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-07-07 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6887 10.37863/umzh.v74i6.6887 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 6 (2022); 817 - 825 Український математичний журнал; Том 74 № 6 (2022); 817 - 825 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6887/9253 Copyright (c) 2022 Євген Олександрович Севостьянов, Наталія Ількевич |
| spellingShingle | Ilkevych, N. S. Sevost’yanov , E. A. Ількевич, Наталія Севостьянов, Євген Олександрович Ількевич, Н. С. Севостьянов, Є. О. On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends |
| title | On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends |
| title_alt | Одностайна неперервність сімей відображень з умовою нормування в термінах простих кінців |
| title_full | On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends |
| title_fullStr | On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends |
| title_full_unstemmed | On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends |
| title_short | On equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends |
| title_sort | on equicontinuity of families of mappings with one normalization condition by the prime ends |
| topic_facet | відображення з обмеженим і скінченним спотворенням прості кінці локальна і межова поведінка відображень mappings with finite and bounded distortion prime ends local and boundary behavior of mappings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6887 |
| work_keys_str_mv | AT ilkevychns onequicontinuityoffamiliesofmappingswithonenormalizationconditionbytheprimeends AT sevostyanovea onequicontinuityoffamiliesofmappingswithonenormalizationconditionbytheprimeends AT ílʹkevičnatalíâ onequicontinuityoffamiliesofmappingswithonenormalizationconditionbytheprimeends AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič onequicontinuityoffamiliesofmappingswithonenormalizationconditionbytheprimeends AT ílʹkevičns onequicontinuityoffamiliesofmappingswithonenormalizationconditionbytheprimeends AT sevostʹânovêo onequicontinuityoffamiliesofmappingswithonenormalizationconditionbytheprimeends AT ilkevychns odnostajnaneperervnístʹsímejvídobraženʹzumovoûnormuvannâvtermínahprostihkíncív AT sevostyanovea odnostajnaneperervnístʹsímejvídobraženʹzumovoûnormuvannâvtermínahprostihkíncív AT ílʹkevičnatalíâ odnostajnaneperervnístʹsímejvídobraženʹzumovoûnormuvannâvtermínahprostihkíncív AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič odnostajnaneperervnístʹsímejvídobraženʹzumovoûnormuvannâvtermínahprostihkíncív AT ílʹkevičns odnostajnaneperervnístʹsímejvídobraženʹzumovoûnormuvannâvtermínahprostihkíncív AT sevostʹânovêo odnostajnaneperervnístʹsímejvídobraženʹzumovoûnormuvannâvtermínahprostihkíncív |