Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane
UDC 514.172 In the present work, we consider a class of generalized convex sets in the real plane known as weakly $1$-convex sets. For a set in the real Euclidean space $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ it is said that a point of the complement of this set to the whole space $\mathbb{R}^n$ is an $\boldsymbo...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6890 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512558961655808 |
|---|---|
| author | Osipchuk , Т. М. Осіпчук, Т. М. |
| author_facet | Osipchuk , Т. М. Осіпчук, Т. М. |
| author_sort | Osipchuk , Т. М. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:08Z |
| description | UDC 514.172
In the present work, we consider a class of generalized convex sets in the real plane known as weakly $1$-convex sets. For a set in the real Euclidean space $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ it is said that a point of the complement of this set to the whole space $\mathbb{R}^n$ is an $\boldsymbol m$-nonconvexity point of the set, $m=\overline{1,n-1},$ if any $m$-dimensional plane passing through this point intersects the set. An open set in the space $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ is called to be weakly $\boldsymbol m$-convex, $m=\overline{1,n-1},$ if its boundary contains no $m$-nonconvexity points of the set. Moreover, in the class of open, weakly $1$-convex sets in the plane, we distinguish a subclass of ones with a finite number of connected components and nonempty set of $1$-nonconvexity points. In this paper, we investigate mainly the properties of the set of $1$-nonconvexity points for the sets from this subclass. In particular, for any set in this subclass, we prove that the set of its $1$-nonconvexity points is open; any connected component of the set of its $1$-nonconvexity points is the interior of a convex polygon; for any convex polygon, there exists a set in this subclass such that its set of $1$-nonconvexity points coincides with the interior of the polygon. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i12.6890 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i12.6890
УДК 514.172
Т. М. Осiпчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК
\bfone -НЕОПУКЛОСТI СЛАБКО \bfone -ОПУКЛОЇ МНОЖИНИ НА ПЛОЩИНI
In the present work, we consider a class of generalized convex sets in the real plane known as weakly 1-convex sets. For
a set in the real Euclidean space \BbbR n, n \geq 2, it is said that a point of the complement of this set to the whole space \BbbR n
is an \bfitm -nonconvexity point of the set, m = 1, n - 1, if any m-dimensional plane passing through this point intersects
the set. An open set in the space \BbbR n, n \geq 2, is called to be weakly \bfitm -convex, m = 1, n - 1, if its boundary contains
no m-nonconvexity points of the set. Moreover, in the class of open, weakly 1-convex sets in the plane, we distinguish a
subclass of ones with a finite number of connected components and nonempty set of 1-nonconvexity points. In this paper,
we investigate mainly the properties of the set of 1-nonconvexity points for the sets from this subclass. In particular, for
any set in this subclass, we prove that the set of its 1-nonconvexity points is open; any connected component of the set of
its 1-nonconvexity points is the interior of a convex polygon; for any convex polygon, there exists a set in this subclass
such that its set of 1-nonconvexity points coincides with the interior of the polygon.
Розглянуто клас узагальнено опуклих множин на дiйснiй площинi, якi називаються слабко 1-опуклими. Точка
доповнення множини дiйсного евклiдового простору \BbbR n, n \geq 2, до всього простору \BbbR n називається точкою \bfitm -
неопуклостi множини, m = 1, n - 1, якщо довiльна m-вимiрна площина, яка проходить через цю точку, перетинає
задану множину. Вiдкрита множина iз простору \BbbR n, n \geq 2, називається слабко \bfitm -опуклою, m = 1, n - 1,
якщо межа множини не мiстить точок m-неопуклостi цiєї множини. При цьому iз класу вiдкритих слабко 1-
опуклих множин на площинi видiлено пiдклас множин зi скiнченним числом компонент зв’язностi i непорожньою
множиною точок 1-неопуклостi. У роботi дослiджуються переважно властивостi множини точок 1-неопуклостi
множини пiдкласу. Зокрема, доведено, що множина точок 1-неопуклостi множини пiдкласу є вiдкритою; довiльна
компонента зв’язностi множини точок 1-неопуклостi множини пiдкласу — внутрiшнiсть опуклого багатокутника;
для довiльного опуклого багатокутника iснує така множина пiдкласу, що її множина точок 1-неопуклостi збiгається
з внутрiшнiстю багатокутника.
1. Вступ. Як вiдомо, множина багатовимiрного дiйсного евклiдового простору \BbbR n називається
опуклою, якщо разом iз двома довiльними своїми точками вона мiстить увесь вiдрiзок, що їх
сполучає [3]. При цьому перетин довiльного числа опуклих множин знову є опуклою множи-
ною. Ця властивiсть опуклих множин дає можливiсть визначити мiнiмальну опуклу множину,
яка мiстить довiльну задану, таким чином.
Означення 1 [3]. Опуклий перетин усiх опуклих множин, якi мiстять задану множину
X \subset \BbbR n, називається опуклою оболонкою множини X i позначається
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}X =
\bigcap
K\supset X
K, де K — опуклi множини.
Розглянемо деякi iншi класи множин, якi мають ту властивiсть, що перетин довiльного
числа множин класу знову належить цьому класу.
Довiльний m-вимiрний афiнний пiдпростiр простору \BbbR n, 1 \leq m < n, називається \bfitm -
площиною [3].
Означення 2 [2]. Множина E \subset \BbbR n називається m-опуклою, 1 \leq m < n, якщо для
кожної точки x \in \BbbR n \setminus E iснує m-площина L така, що x \in L i L \cap E = \varnothing .
В роботi [2] дослiджено властивостi m-опуклих компактiв у просторi \BbbR n, пов’язанi з оцiн-
кою їхнiх груп когомологiй. Вивченню властивостей (n - 1)-опуклих множин у просторi \BbbR n
c\bigcirc Т. М. ОСIПЧУК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12 1657
1658 Т. М. ОСIПЧУК
присвячено роботу [12], а при деяких додаткових умовах — роботи [5, 6]. Зокрема, в робо-
тi [12] отримано топологiчну класифiкацiю (n - 1)-опуклих множин простору \BbbR n, n \geq 2, з
гладкою межею: довiльна (n - 1)-опукла множина у просторi \BbbR n з гладкою межею або є опук-
лою, або складається не бiльше нiж iз двох необмежених зв’язних компонент, або задається
декартовим добутком E1 \times \BbbR n - 1, де E1 \subset \BbbR .
Неважко показати, що перетин довiльного числа m-опуклих множин знову буде m-опуклою
множиною [14]. Тодi по аналогiї з опуклою оболонкою дається означення мiнiмальної m-
опуклої множини, що мiстить довiльну задану множину простору \BbbR n.
Означення 3 [14]. Перетин усiх m-опуклих множин при фiксованому m, якi мiстять
задану множину X \subset \BbbR n, називається \bfitm -опуклою оболонкою множини X i позначається
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}mX =
\bigcap
K\supset X
K, де K — m-опуклi множини.
Це поняття природно виникло при розв’язаннi задачi про тiнь, сформульованої в 1982 р.
Худайбергановим [16, 17]: знайти мiнiмальне число вiдкритих (замкнених) куль у просторi \BbbR n,
якi попарно не перетинаються, з центрами на сферi Sn - 1 (див. [4]), не мiстять центр сфери
i такi, що довiльна пряма, яка проходить через центр сфери, перетинає принаймнi одну з куль.
Ю. Б. Зелiнський [9] переформулював цю задачу в термiнах 1-опуклої оболонки таким
чином: яка мiнiмальна кiлькiсть вiдкритих (замкнених) куль у просторi \BbbR n, якi попарно не пе-
ретинаються, з центрами на сферi Sn - 1 та радiусами меншими за радiус сфери, забезпечить
належнiсть центра сфери 1-опуклiй оболонцi сiм’ї цих куль?
Цю задачу повнiстю розв’язано в [9].
Означення 4 [8, 15]. Вiдкрита множина E \subset \BbbR n називається слабко m-опуклою, 1 \leq
\leq m < n, якщо для кожної точки x \in \partial E iснує m-площина L така, що x \in L i L \cap E = \varnothing .
Будемо використовувати стандартнi позначення. Для множини G \subset \BbbR n нехай G — її зами-
кання, \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}G — її внутрiшнiсть, \partial G = G \setminus \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}G — її межа.
Означення 5 [1]. Кажуть, що множина A апроксимується ззовнi сiм’єю вiдкритих мно-
жин Ak, k = 1, 2, . . . , якщо Ak+1 мiститься в Ak й A = \cap kA
k.
Означення 6 [8, 15]. Замкнена множина iз простору \BbbR n називається слабко m-опуклою,
якщо вона апроксимується ззовнi сiм’єю вiдкритих слабко m-опуклих множин.
Геометричнi i топологiчнi властивостi слабко m-опуклих множин дослiджувались у роботi
[7]. Зокрема, в [7] встановлено: якщо E1 i E2 — вiдповiдно слабко k-опукла i слабко m-опукла
множини, k \leq m, то множина E1 \cap E2 є слабко k-опуклою. У роботi [8] дослiджувалися
властивостi класу узагальнено опуклих множин на грасманових багатовидах, тiсно пов’язанi з
властивостями так званих спряжених множин (див. означення 2 [8]). Цей клас мiстить m-опуклi
та слабко m-опуклi множини iз простору \BbbR n.
Максимальна зв’язна пiдмножина Ai, i = 1, 2, . . . , непорожньої множини A \subset \BbbR n назива-
ється компонентою зв’язностi (компонентою) множини A. При цьому A = \cup iAi.
Лема 1 [15]. Кожна компонента слабко (n - 1)-опуклої вiдкритої множини E \subset \BbbR n
опукла.
Нехай \bfC \bfn
\bfm i \bfW \bfC \bfn
\bfm — класи вiдповiдно m-опуклих i слабко m-опуклих множин у просторi
\BbbR n, n \geq 2. Очевидно, що будь-яка вiдкрита множина iз класу \bfC \bfn
\bfm є також множиною iз класу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК 1-НЕОПУКЛОСТI. . . 1659
EΔ
E
Gk Gk GΔ
G
Δ
а б
Рис. 1
\bfW \bfC \bfn
\bfm . Зворотне твердження є хибним. Виявилося, що клас \bfW \bfC \bfn
\bfm \setminus \bfC \bfn
\bfm , n \geq 2, вiдкритих
слабко m-опуклих i не m-опуклих множин є непорожнiм для кожного m = 1, 2, . . . , n - 1 [13].
При цьому вiдкритi множини iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfn - \bfone \setminus \bfC \bfn
\bfn - \bfone є незв’язними. В наступнiй теоремi
оцiнюється знизу число компонент зв’язностi множин iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfn - \bfone \setminus \bfC \bfn
\bfn - \bfone .
Теорема 1 [15]. Вiдкрита множина iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfn - \bfone \setminus \bfC \bfn
\bfn - \bfone складається не менше нiж
з трьох компонент зв’язностi.
На рис. 1, а зображено вiдкриту множину E iз класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone з трьома компонентами
зв’язностi, наведену в роботi [15].
Iншою є оцiнка числа компонент зв’язностi вiдкритих множин iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfm \setminus \bfC \bfn
\bfm , 1 \leq
\leq m < n - 1, n \geq 3.
Теорема 2 [13]. Iснують областi у просторi \BbbR n, n \geq 3, iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfm \setminus \bfC \bfn
\bfm , 1 \leq m <
< n - 1.
У роботi [13] також наведено приклади вiдкритої та замкненої множин iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfn - \bfone \setminus
\bfC \bfn
\bfn - \bfone з трьома i бiльше компонентами зв’язностi, а також доведено, що, як i у випадку вiдкритих
множин, компактнi множини iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfn - \bfone \setminus \bfC \bfn
\bfn - \bfone складаються не менше нiж з трьох
компонент зв’язностi. На рис. 1, б зображено замкнену множину G iз класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone з
трьома компонентами зв’язностi, наведену у роботi [13].
Означення 7 [13]. Точка x \in \BbbR n \setminus E називається точкою m-неопуклостi множини E \subset
\subset \BbbR n, 1 \leq m < n, якщо всi m-площини, якi мiстять x, перетинають множину E.
Означення 4 вочевидь еквiвалентне такому.
Означення 8. Вiдкрита множина iз простору \BbbR n, n \geq 2, називається слабко m-опуклою,
1 \leq m < n, якщо межа множини не мiстить точок m-неопуклостi цiєї множини.
Множину точок \bfitm -неопуклостi множини E \subset \BbbR n позначатимемо E\bigtriangleup
m , 1 \leq m < n. При
цьому нехай
E\bigtriangleup := E\bigtriangleup
1 , E \subset \BbbR 2.
На рис. 1 множини E\bigtriangleup , G\bigtriangleup вiдкритої та замкненої множин E,G \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone — це внутрiш-
нiсть та замикання вiдповiдних трикутникiв. При цьому у пiдпунктi 3.1 буде доведено, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1660 Т. М. ОСIПЧУК
m-опукла оболонка, m = 1, 2, . . . , n - 1, довiльної множини E \subset \BbbR n є об’єднанням самої
множини E та її множини точок m-неопуклостi E\bigtriangleup
m .
У цiй статтi продовжено дослiдження Ю. Б. Зелiнського i його учнiв, вивчаються властивостi
переважно вiдкритих множин E \subset \BbbR 2 iз класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone та їхнiх 1-опуклих оболонок \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}1E
через дослiдження топологiчних i геометричних властивостей множин E\bigtriangleup .
У пунктi 2 наведено вiдомi означення та твердження з теорiї опуклих множин i доведено
деякi допомiжнi твердження, необхiднi для встановлення основних результатiв.
У пiдпунктi 3.1 встановлено деякi простi властивостi множин \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}mE й E\bigtriangleup
m , E \subset \BbbR n,
1 \leq m < n. Зокрема, доведено, що для обмеженої i не m-опуклої множини E \subset \BbbR n множина
E\bigtriangleup
m є обмеженою, а m-опукла оболонка довiльної вiдкритої множини з класу \bfW \bfC \bfn
\bfm \setminus \bfC \bfn
\bfm ,
1 \leq m < n, незв’язна.
У пiдпунктi 3.2 дослiджено властивостi множин E\bigtriangleup для вiдкритих множин E \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone
зi скiнченним числом компонент зв’язностi. Зокрема, встановлено, що множина E\bigtriangleup є вiдкри-
тою; довiльна компонента зв’язностi множини E\bigtriangleup — внутрiшнiсть опуклого багатокутника;
для довiльного опуклого багатокутника P iснують вiдкрита множина E \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone така,
що E\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P, а також вiдкрита множина E\ast \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone така, що E\bigtriangleup
\ast \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i
(E\bigtriangleup
\ast )\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P.
2. Допомiжнi твердження. Тут i далi, якщо не буде зазначено iнше, точки простору \BbbR n
позначатимемо малими латинськими лiтерами з iндексами чи без них; вiдкритий вiдрiзок мiж
точками x, y \in \BbbR n позначатимемо xy, а вiдстань мiж ними — | x - y| ; пiд \varepsilon -околом точки x
розумiтимемо вiдкриту кулю з центром в x i радiусом \varepsilon та позначатимемо U(x, \varepsilon ); пряму, яка
проходить через точку x, позначатимемо \gamma (x); промiнь, який виходить iз точки простору, буде-
мо позначати малою грецькою лiтерою з нижнiм iндексом, що позначає дану точку, наприклад
\gamma x, \eta x, x \in \BbbR n.
Наведемо допомiжнi означення та твердження з теорiї опуклих множин, якi будуть викори-
станi при доведеннi теорем у пунктi 3.
Означення 9. Множину, яка є об’єднанням точок усiх прямих, що проходять через точ-
ку x \in \BbbR n i перетинають множину E \subset \BbbR n, називатимемо (двопорожнинним) опорним
конусом множини E щодо точки x i позначатимемо CxE. При цьому вважатимемо, що
x \not \in CxE, якщо E вiдкрита й x \in \BbbR n \setminus E, i x \in CxE — в iнших випадках.
Означення 10. Множину, яка є об’єднанням точок усiх променiв, що виходять з точки
x \in \BbbR n i перетинають множину E \subset \BbbR n, називатимемо (однопорожнинним) опорним
конусом множини \bfitE щодо точки x i позначатимемо SxE. При цьому вважатимемо, що
x \not \in SxE, якщо E вiдкрита й x \in \BbbR n \setminus E, i x \in SxE — в iнших випадках.
Лема 2. Нехай E \subset \BbbR 2 — вiдкрита, опукла множина i точка x \in \BbbR 2 \setminus E. Тодi SxE —
вiдкритий кут, не бiльший нiж \pi .
Доведення. Оскiльки множина E вiдкрита i зв’язна, то однопорожнинний опорний конус
SxE вочевидь також є вiдкритою i зв’язною множиною, а отже, SxE — вiдкритий кут. При-
пустимо, що його величина бiльша нiж \pi . Тодi iснує пряма \gamma (x) \subset SxE. Нехай \eta 1x i \eta 2x —
доповняльнi променi з початком у точцi x на прямiй \gamma (x). За означенням опорного конуса SxE
iснують точки x1 \in E \cap \eta 1x i x2 \in E \cap \eta 2x. Тодi множина E не опукла, оскiльки x \in x1x2 й
x \not \in E. Ми прийшли до суперечностi. Отже, наше припущення є хибним i величина кута SxE
не може бути бiльшою нiж \pi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК 1-НЕОПУКЛОСТI. . . 1661
y1
2
y1
y
γ(y1) γ(y2)
y2
y1
1
y2
2
y2
1
Sy1
2y2
2
2
Ey1y2
E′
E
Sy1
1y2
1
1
y1
γ(y1) ≡ γ(y2)
y2
Ey1y2
E′
а б
Рис. 2
Наслiдок 1. Нехай E \subset \BbbR 2 — вiдкрита, опукла множина й x \in \BbbR 2 \setminus E. Тодi опорний конус
CxE є об’єднанням двох вiдкритих вертикальних кутiв, величини яких не перевищують \pi .
Означення 11 [3]. Точка y \in \partial E називається вершиною вiдкритої множини E \subset \BbbR 2,
якщо її опорний конус SyE — це кут, величина якого менша нiж \pi . Точка y \in \partial E вiдкритої
множини E \subset \BbbR 2 називається гладкою, якщо її опорний конус SyE — це розгорнутий кут
(величина якого дорiвнює \pi ).
Будь-яка точка y \in \partial E опуклої множини E \subset \BbbR 2 є або гладкою, або вершиною множини E.
Лема 3 [3]. Будь-яка опукла множина E \subset \BbbR n має не бiльше нiж зчисленну множину
вершин.
Означення 12 [3]. Пряма \gamma називається опорною до множини E \subset \BbbR 2, якщо E повнiстю
мiститься в замкненiй пiвплощинi L, обмеженiй прямою \gamma , i не мiститься в жоднiй iншiй
замкненiй пiвплощинi, яка мiститься в L.
Лема 4. Пряма \gamma опорна до областi D \subset \BbbR 2, якщо \gamma \cap \partial D \not = \varnothing i \gamma \cap D = \varnothing .
Також кажуть, що \gamma є опорною до множини \bfitE в точцi y \in \gamma \cap \partial D.
Лема 5 [3]. Через кожну точку межi опуклої множини E \subset \BbbR 2 проходить принаймнi
одна пряма, опорна до E.
Лема 6 [3]. Якщо опукла множина E \subset \BbbR n має лише гладкi точки межi, то єдина опорна
до E пряма, яка проходить через кожну точку y \in \partial E, неперервно (в природнiй топологiї )
залежить вiд y.
Лема 7. Нехай E \subset \BbbR 2 — довiльна опукла множина i точки y1, y2 \in \partial E такi, що всi
точки замкненої частини межi \partial Ey1y2 \subset \partial E мiж y1, y2 гладкi. Тодi iснує опукла множина
E\prime \subset \BbbR 2 така, що всi точки її межi гладкi й \partial Ey1y2 \subset \partial E\prime .
Доведення. Проведемо єдинi опорнi прямi \gamma (y1), \gamma (y2) в точках y1, y2 \in \partial E.
Якщо прямi \gamma (y1), \gamma (y2) перетинаються в деякiй точцi y або паралельнi, то побудуємо кола
S1, S2 такi, що \gamma (yl), l = 1, 2, дотикаються до Sk, k = 1, 2, в деяких точках ykl , до того ж y1 \in
\in y11y
2
1, y2 \in y12y
2
2 i y \not \in y11y
2
1, y \not \in y12y
2
2 (див. рис. 2, а). Нехай дуги S1
y11y
1
2
, S2
y21y
2
2
вiдповiдно кiл
S1, S2 мiж точками y11, y
1
2 i y21, y
2
2 такi, що множина, обмежена кривою S1
y11y
1
2
\cup y11y
2
1 \cup S2
y21y
2
2
\cup
\cup y12y
2
2, є опуклою. При цьому всi її точки є гладкими. Розглянемо множину E1, обмежену
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1662 Т. М. ОСIПЧУК
E
EΔ
E
EΔ
а б
Рис. 3
кривою \partial Ey1y2\cup y11y21\cup S2
y21y
2
2
\cup y12y22, i множину E2, обмежену кривою S1
y11y
1
2
\cup y11y21\cup \partial Ey1y2\cup y12y22.
Одна з множин E1, E2 буде шуканою множиною E\prime .
Якщо прямi \gamma (y1), \gamma (y2) збiгаються, то множина, обмежена кривою \partial Ey1y2 \cup y1y2, буде
шуканою множиною E\prime (див. рис. 2, б).
Наслiдок 2. Нехай E \subset \BbbR 2 — довiльна опукла множина i точки y1, y2 \in \partial E такi, що всi
точки замкненої частини межi \partial Ey1y2 \subset \partial E мiж y1, y2 є гладкими. Тодi єдина опорна до E
пряма, яка проходить через кожну точку y \in \partial Ey1y2 , неперервно залежить вiд y.
Лема 8 [3]. Якщо множина E \subset \BbbR 2 опукла й y \in E, а x \in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}E, то xy \setminus \{ y\} \subset \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}E.
Наслiдок 3. Нехай E \subset \BbbR 2 — вiдкрита опукла множина i точки y1, y2 \in \partial E такi, що
пряма \gamma (y1, y2), яка проходить через цi точки, перетинає множину E. Тодi вiдкритий вiдрiзок
y1y2 \subset E.
Доведення. Нехай x \in \gamma (y1, y2) \cap E. Тодi за лемою 8 xy1 \setminus \{ y1\} \subset E й xy2 \setminus \{ y2\} \subset E, а
отже, (xy1 \setminus \{ y1\} ) \cup (xy2 \setminus \{ y2\} ) = y1y2 \subset E.
На площинi \BbbR 2 введемо полярну систему координат (r, \varphi ) та компактифiкуємо \BbbR 2 нескiн-
ченно вiддаленими точками (\infty , \varphi ), \varphi \in [0; 2\pi ]. Компактифiковану площину позначимо \BbbR 2.
Пiд ламаною a1, a2, . . . , ak, де a1, ak \in \BbbR 2, a2, . . . , ak - 1 \in \BbbR 2, k \geq 3, будемо розумiти обмеже-
ну або необмежену криву без самоперетинiв, яка складається з вiдрiзкiв a1a2, a2a3, . . . , ak - 1ak,
до того ж для довiльного l \in \{ 2, . . . , k - 1\} вiдрiзки al - 1al, alal+1 не лежать на однiй прямiй.
Якщо a1 \equiv ak, a1, ak \in \BbbR 2, то ламана називається замкненою.
Означення 13. Замкнену опуклу множину на площинi \BbbR 2 зi скiнченним числом вершин,
межа якої — замкнена або необмежена ламана, називатимемо опуклим багатокутником.
3. Властивостi множин точок \bfone -неопуклостi множин iз класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone . 3.1. Деякi
властивостi множин iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfm \setminus \bfC \bfn
\bfm , \bfitn \geq \bftwo , \bfone \leq \bfitm < \bfitn . Доведемо таке ключове
твердження.
Лема 9. Для довiльної множини E \subset \BbbR n
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}mE = E \cup E\bigtriangleup
m , m = 1, 2, . . . , n - 1. (1)
Доведення. Нехай x \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}mE. Тодi за означенням 3 точка x належить усiм m-опуклим
множинам, якi мiстять E. Оскiльки для довiльної точки y \in \BbbR 2 \setminus (E \cup E\bigtriangleup
m) iснує m-площина,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК 1-НЕОПУКЛОСТI. . . 1663
C1,2
C1,2
C2,3
C2,3
C1,3
C1,3
E1
E2
E3
y
λ1
λ2
E1
E2
E3
y
γ1
1(y) γ1
2(y)
γ3
2(y)
γ3
1(y) γ2
2(y)
γ2
1(y)x3
2
x3
1
x2
1
x2
2
x1
1 x1
2
а б
Рис. 4
яка проходить через y i не перетинає множину E, то ця ж m-площина не перетинає множину
E \cup E\bigtriangleup
m , а отже, E \cup E\bigtriangleup
m є m-опуклою. Тодi x \in E \cup E\bigtriangleup
m .
Нехай x \in E\cup E\bigtriangleup
m . Довiльна m-опукла множина K, яка мiстить E, мiстить також множину
E\bigtriangleup
m , оскiльки в протилежному випадку довiльна m-площина, яка проходить через y \in E\bigtriangleup
m \setminus K,
перетинає множину E, а отже, i множину K \supset E. Це суперечить тому, що множина K є
m-опуклою. Тодi x \in K \supset E \cup E\bigtriangleup
m , а отже, x належить перетину всiх m-опуклих множин K,
якi мiстять E, тобто x \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}mE.
Теорема 3. Нехай множина E \subset \BbbR n обмежена та не m-опукла, 1 \leq m < n. Тодi множина
E\bigtriangleup
m є обмеженою.
Доведення. Оскiльки множина E обмежена, то вона мiститься в деякiй кулi B \subset \BbbR n, яка
вочевидь є m-опуклою, 1 \leq m < n. Тодi згiдно з означенням 3 i формулою (1) B \supset \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}mE \supset
\supset E\bigtriangleup
m .
На рис. 3, а наведено необмежену, не 1-опуклу множину E \subset \BbbR 2, множина E\bigtriangleup якої також
необмежена.
Особливий iнтерес викликають множини iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfm \setminus \bfC \bfn
\bfm . Зокрема, m-опукла оболонка
вiдкритої множини E iз класу \bfW \bfC \bfn
\bfm \setminus \bfC \bfn
\bfm , 1 \leq m < n, незв’язна, на вiдмiну вiд опуклої
оболонки, яка вочевидь для довiльної множини E \subset \BbbR n є зв’язною. Справдi, оскiльки E \in
\in \bfW \bfC \bfn
\bfm i E вiдкрита, то E\bigtriangleup
m \subset \BbbR n \setminus E, звiдки безпосередньо випливає, що множина E \cup E\bigtriangleup
m
є незв’язною.
Далi розглядатимемо лише множину E\bigtriangleup точок 1-неопуклостi вiдкритої множини E \subset \BbbR 2.
3.2. Вiдкритi множини iз класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone . На рис. 3, б наведено не 1-опуклу, вiдкриту
множину E \subset \BbbR 2, множина E\bigtriangleup якої є замкненою. Iншим є результат для вiдкритих множин iз
класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone зi скiнченним числом компонент зв’язностi.
Теорема 4. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 належить до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i складається
зi скiнченного числа компонент. Тодi E\bigtriangleup є вiдкритою.
Доведення. Нехай y — довiльна точка множини E\bigtriangleup . Покажемо, що вона є внутрiшньою.
Оскiльки E слабко 1-опукла, то y \not \in \partial E. Тодi iснує таке число \varepsilon 1 > 0, що U(y, \varepsilon 1) \subset
\subset (\BbbR n \setminus E ).
Нехай Ei, i = 1, . . . , k, — компоненти множини E, а Ci,j = CyEi \cap CyEj , i, j = 1, . . . , k
(див. рис. 4, а). Оскiльки y — точка 1-неопуклостi множини E, то для кожного фiксованого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1664 Т. М. ОСIПЧУК
γ(z) γ(y)
x1
1
x3
2
x3
1
x1
2
x2
2
x2
1
E1
E3
E2
λ1
λ2
z
x′
y
U(y, ε)
Рис. 5
iндексу i \in \{ 1, . . . , k\} знайдуться iндекси j(i) \in \{ 1, . . . , k\} такi, що Ci,j(i) \not = \varnothing . Тодi Ci,j(i)
також є об’єднанням вертикальних кутiв. Оскiльки опорнi конуси CyEi, i = 1, . . . , k, вiдкритi,
зменшимо величини їхнiх кутiв так, щоб Ci,j(i) все ще залишалися непорожнiми. Зменшенi
конуси позначатимемо \widetilde CyEi, i = 1, . . . , k. Тодi \widetilde CyEi \subset CyEi. Оскiльки за лемою 1 компоненти
Ei, i = 1, . . . , k, опуклi, то за наслiдком 1 межа кожного конуса CyEi складається з однiєї або
двох прямих, якi перетинаються в точцi y. Тодi межа \widetilde CyEi складається з двох прямих, якi
перетинаються в точцi y. Позначимо їх \gamma 1i (y) i \gamma 2i (y) (див. рис. 4, б). При цьому \gamma 1i (y), \gamma
2
i (y) \subset
\subset CyEi, тому за означенням 9 \gamma 1i (y) \cap Ei \not = \varnothing , \gamma 2i (y) \cap Ei \not = \varnothing . Нехай
x1i \in \gamma 1i (y) \cap Ei, x2i \in \gamma 2i (y) \cap Ei, i = 1, . . . , k.
Побудуємо кривi \lambda i \subset Ei, i = 1, k, що з’єднують точки x1i , x
2
i . Тодi для довiльної прямої
\gamma (y), яка проходить через точку y, iснує iндекс i \in \{ 1, . . . , k\} такий, що \gamma (y) \cap \lambda i \not = \varnothing .
Розглянемо функцiю
dj(x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x0\in \partial Ej
| x - x0| , x \in Ej , j = 1, k.
Вона неперервна в областi Ej , j = 1, k. Тодi її звуження на компакт \lambda j , j = 1, k, досягає
мiнiмуму dj > 0 на цьому компактi, тобто
dj = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in \lambda j
dj(x), j = 1, k.
Оскiльки E має скiнченне число компонент, iснує
d = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
j=1,k
dj > 0.
Тодi для довiльної точки x \in \lambda j , j = 1, k, її окiл U(x, d) \subset E. Нехай \varepsilon = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \varepsilon 1, d\} .
Розглянемо окiл U(y, \varepsilon ). Нехай z \in U(y, \varepsilon ) i \gamma (z) — довiльна пряма, яка проходить через
точку z (див. рис. 5). Проведемо пряму \gamma (y), паралельну прямiй \gamma (z). Вона перетне деяку
криву \lambda q, q \in \{ 1, . . . , k\} , в деякiй точцi x\prime \in \gamma (y) \cap \lambda q. Оскiльки U(x\prime , \varepsilon ) \subseteq U(x\prime , d) \subset E i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК 1-НЕОПУКЛОСТI. . . 1665
\gamma (z) \cap U(x\prime , \varepsilon ) \not = \varnothing , то \gamma (z) \cap E \not = \varnothing . Точку z ми вибирали довiльно, тому це означає, що
всi точки околу U(y, \varepsilon ) є точками 1-неопуклостi множини E. Отже, y є внутрiшньою точкою
множини E\bigtriangleup .
Наслiдок 4. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 належить до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i склада-
ється зi скiнченного числа компонент. Тодi довiльна компонента зв’язностi множини E\bigtriangleup є
опуклою.
Доведення. Довiльна компонента зв’язностi множини E\bigtriangleup вочевидь є компонентою зв’яз-
ностi множини \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}1E. Оскiльки \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}1E вiдкрита i за означенням 3 1-опукла, то вона також
слабко 1-опукла. Тодi за лемою 1 усi компоненти \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}1E, а отже i компоненти E\bigtriangleup , є опуклими.
Наслiдок доведено.
Оскiльки за теоремою 4 точки \partial E\bigtriangleup не належать множинi E\bigtriangleup , то для кожної точки y \in \partial E\bigtriangleup
iснує пряма \gamma (y), яка не перетинає множину E. Крiм того, за лемою 3 внаслiдок опуклостi
компонент множини E\bigtriangleup для кожної компоненти множини E\bigtriangleup iснують точки межi цiєї компо-
ненти такi, що компонента має єдину опорну пряму в кожнiй такiй точцi. Тодi справджується
така лема.
Лема 10. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 зi скiнченним числом компонент належить
до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i \widetilde E\bigtriangleup — довiльна компонента зв’язностi множини E\bigtriangleup . Тодi: 1) якщо пряма
\gamma (y), y \in \partial \widetilde E\bigtriangleup , не перетинає множину E, то вона опорна до \widetilde E\bigtriangleup в точцi y; 2) якщо \gamma (y) —
єдина опорна пряма до компоненти \widetilde E\bigtriangleup в точцi y \in \partial \widetilde E\bigtriangleup , то \gamma (y) \cap E = \varnothing .
Доведення. 1. Оскiльки пряма \gamma (y) не перетинає множину E, вона не перетинає множину
E\bigtriangleup , а отже, не перетинає \widetilde E\bigtriangleup , яка за теоремою 4 є вiдкритою. Тодi за лемою 4 \gamma (y) опорна до
множини \widetilde E\bigtriangleup в точцi y.
2. Оскiльки за теоремою 4 компонента \widetilde E\bigtriangleup є вiдкритою, то \gamma (y) \cap \widetilde E\bigtriangleup = \varnothing . При цьому за
умовою \gamma (y) — єдина пряма, яка проходить через точку y i не перетинає \widetilde E\bigtriangleup , а отже, єдина,
яка може не перетинати E. З того, що \widetilde E\bigtriangleup є вiдкритою, також випливає, що в точцi y iснує
пряма, яка не перетинає множину E. Тому \gamma (y) \cap E = \varnothing .
Теорема 5. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 зi скiнченним числом компонент належить
до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i \widetilde E\bigtriangleup — довiльна компонента зв’язностi множини E\bigtriangleup . Нехай зв’язна
пiдмножина \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast \subseteq \partial \widetilde E\bigtriangleup така, що всi точки \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast є гладкими. Тодi \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast \not = \partial \widetilde E\bigtriangleup i
\partial \widetilde E\bigtriangleup \ast — це вiдрiзок або промiнь.
Доведення. Насамперед зауважимо, що пiдмножина \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast не може бути прямою, оскiльки
в протилежному випадку прямi, якi проходять через точки \widetilde E\bigtriangleup паралельно прямiй \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast ,
мiстяться в \widetilde E\bigtriangleup i не перетинають множину E, що суперечить означенню 7.
Доведемо теорему вiд супротивного. Припустимо, що або компонента \widetilde E\bigtriangleup така, що всi точки
\partial \widetilde E\bigtriangleup гладкi, або iснують точки y0, y1 \in \partial \widetilde E\bigtriangleup такi, що частина межi мiж ними \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast \subset \partial \widetilde E\bigtriangleup
не є анi вiдрiзком, анi променем. Тодi iснують точки y2, y3 \in \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast , y2 \not = y3, такi, що частина
\partial \widetilde E\bigtriangleup \ast мiж точками y2, y3, яку позначатимемо \partial \widetilde E\bigtriangleup
y2y3 , не мiстить вiдрiзкiв, оскiльки в iншому
випадку \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast — це або пряма, або вiдрiзок, або промiнь, що суперечить доведеному вище i
нашому припущенню, або ламана, що суперечить тому, що всi точки \partial \widetilde E\bigtriangleup \ast є гладкими.
Нехай \gamma (y) — єдина опорна пряма до множини \widetilde E\bigtriangleup в кожнiй точцi y \in \partial \widetilde E\bigtriangleup
y2y3 . Тодi за
лемою 10 \gamma (y), y \in \partial \widetilde E\bigtriangleup
y2y3 , не перетинає множину E. Оскiльки за наслiдком 2 пряма \gamma (y)
неперервно залежить вiд точки y \in \partial \widetilde E\bigtriangleup
y2y3 , то, без обмеження загальностi, вважаємо точки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1666 Т. М. ОСIПЧУК
γ(y2)
γ(y2, y3)
γ(y3)
y1
y0
y2
y3
x
E
Рис. 6
y2, y3 достатньо близькими для того, щоб прямi \gamma (y2), \gamma (y3) перетиналися в деякiй точцi x.
Тодi прямi \gamma (y2), \gamma (y3) є межею конуса Cx
\widetilde E\bigtriangleup . Оскiльки пряма \gamma (y) неперервно залежить вiд
точки y \in \partial \widetilde E\bigtriangleup
y2y3 i при цьому \gamma (y) не перетинає множину E, то E \cap (\BbbR 2 \setminus Cx
\widetilde E\bigtriangleup ) = \varnothing .
Через точки y2, y3 проведемо пряму \gamma (y2, y3) (див. рис. 6). Тодi \gamma (y2, y3) = \gamma y2 \cup y2y3\cup \gamma y3 ,
де \gamma y2 , \gamma y3 \subset \gamma (y2, y3) — замкненi променi з початком вiдповiдно в точках y2, y3 i такi, що
\gamma y2 \cap \gamma y3 = \varnothing . При цьому \gamma y2 , \gamma y3 \subset (\BbbR 2 \setminus Cx
\widetilde E\bigtriangleup ). Крiм того, оскiльки за наслiдком 4 множина\widetilde E\bigtriangleup є опуклою, то за наслiдком 3 вiдкритий вiдрiзок y2y3\subset \widetilde E\bigtriangleup \subset \BbbR 2\setminus E. Тому \gamma (y2, y3)\cap E=\varnothing .
З iншого боку, \gamma (y2, y3) \cap E \not = \varnothing , оскiльки \gamma (y2, y3) проходить через точки множини \widetilde E\bigtriangleup .
Отже, ми прийшли до суперечностi i наше припущення є хибним. Тодi обмежена частина
\partial \widetilde E\bigtriangleup , всi точки якої гладкi, є вiдрiзком, а необмежена — променем.
Наслiдок 5. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 зi скiнченним числом компонент належить
до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i \widetilde E\bigtriangleup — довiльна компонента зв’язностi множини E\bigtriangleup . Тодi: 1) \partial \widetilde E\bigtriangleup
мiстить принаймнi одну вершину \widetilde E\bigtriangleup ; 2) частина межi множини \widetilde E\bigtriangleup мiж двома її довiльними
сусiднiми вершинами — це вiдрiзок; 3) необмежена частина межi множини \widetilde E\bigtriangleup з однiєю
вершиною — це промiнь.
Лема 11. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 зi скiнченним числом компонент зв’язностi
належить до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i a \in \partial \widetilde E\bigtriangleup — вершина компоненти зв’язностi \widetilde E\bigtriangleup множини
E\bigtriangleup . Тодi множина \BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup мiстить принаймнi одну компоненту зв’язностi множини E.
Доведення. За наслiдком 5 \partial \widetilde E\bigtriangleup — це ламана. Розглянемо прямi \gamma \prime (a), \gamma \prime \prime (a), якi мiстять
сусiднi сторони ламаної \partial \widetilde E\bigtriangleup зi спiльною вершиною a. Нехай b\prime \in \gamma \prime (a), b\prime \prime \in \gamma \prime \prime (a) — деякi
точки цих двох сторiн, вiдмiннi вiд вершин. Тодi прямi \gamma \prime (a), \gamma \prime \prime (a) — єдинi опорнi прямi
множини \widetilde E\bigtriangleup вiдповiдно в точках b\prime , b\prime \prime , якi за лемою 10 не перетинають множину E. Прямi
\gamma \prime (a), \gamma \prime \prime (a) також є межею множини Ca
\widetilde E\bigtriangleup (див. рис. 7, а).
Проведемо пряму \gamma (b\prime , b\prime \prime ), через точки b\prime , b\prime \prime . Тодi \gamma (b\prime , b\prime \prime ) = \gamma b\prime \cup b\prime b\prime \prime \cup \gamma b\prime \prime , де b\prime b\prime \prime —
вiдкритий вiдрiзок, який за наслiдком 3 мiститься в \widetilde E\bigtriangleup \subset \BbbR 2 \setminus E, i \gamma b\prime , \gamma b\prime \prime — замкненi променi
на прямiй \gamma (b\prime , b\prime \prime ) з початком вiдповiдно в точках b\prime , b\prime \prime такi, що \gamma b\prime \cap \gamma b\prime \prime = \varnothing , а отже такi,
що \gamma b\prime , \gamma b\prime \prime \subset
\Bigl(
\BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup
\Bigr)
. Оскiльки \gamma (b\prime , b\prime \prime ) проходить через точки множини \widetilde E\bigtriangleup , то за
означенням множини E\bigtriangleup \gamma (b\prime , b\prime \prime ) \cap E \not = \varnothing . Таким чином,
\Bigl(
\BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup
\Bigr)
\cap E \not = \varnothing . Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК 1-НЕОПУКЛОСТI. . . 1667
E
γ(b′, b″)
b′ b″a
ECa
E
ECaj
aj–1
aj–2
aj+1
ajC2
aj C1
aj
а б
Рис. 7
\partial
\Bigl(
\BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup
\Bigr)
= \gamma \prime (a) \cup \gamma \prime \prime (a), то \partial
\Bigl(
\BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup
\Bigr)
\cap E = \varnothing . Отже, множина \BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup
мiстить принаймнi одну компоненту зв’язностi множини E.
Зауваження 1. Лема 11, зокрема, показує, що умова єдиностi опорної прямої у твердженнi 2
леми 10 є суттєвою. Справдi, всi прямi \gamma (a) \subset \BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup є опорними до \widetilde E\bigtriangleup в точцi a. Тодi,
оскiльки E вiдкрита, безлiч прямих \gamma (a) \subset \BbbR 2 \setminus Ca
\widetilde E\bigtriangleup перетинають множину E.
Теорема 6. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 зi скiнченним числом компонент s на-
лежить до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone . Тодi довiльна компонента множини E\bigtriangleup має скiнченне число
вершин p, до того ж p \leq 2s.
Доведення. Нехай \widetilde E\bigtriangleup — деяка довiльна компонента зв’язностi множини E\bigtriangleup . За лемою 3 та
умовою 1 наслiдку 5 p є скiнченним або зчисленним. Занумеруємо вершини \widetilde E\bigtriangleup щодо обходу
межi множини \widetilde E\bigtriangleup проти годинникової стрiлки та позначимо їх a1, a2, . . . , ap. Розглянемо
множину \BbbR 2 \setminus Caj
\widetilde E\bigtriangleup , j = 1, 2, . . . , p, яка є об’єднанням двох замкнених вертикальних кутiв.
Кут, який знаходиться справа вiд точки aj вiдносно вибраного обходу, позначимо C1
aj , а той,
що знаходиться злiва, — C2
aj . Тодi \BbbR 2 \setminus Caj
\widetilde E\bigtriangleup = C1
aj \cup C2
aj , j = 1, 2, . . . , p (див. рис. 7, б).
Покажемо, що жоднi два вiдкритi кути iз сiм’ї кутiв \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
aj , j = 1, p, не перетинаються.
Розглянемо кут C1
a1 (див. рис. 8, a). Його межа подiляє площину на двi зв’язнi компоненти:
\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a1 i \BbbR 2 \setminus C1
a1 , при цьому \widetilde E\bigtriangleup \subset \BbbR 2 \setminus C1
a1 . Розглянемо далi кут C1
a2 . Одна його сторона
належить сторонi кута C1
a1 , а друга мiстить вiдрiзок a2a3 \subset \partial \widetilde E\bigtriangleup , отже, \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a2 \subset \BbbR 2 \setminus C1
a1 .
Тодi \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a1 \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a2 = \varnothing .
Далi розглянемо множину C1
a1a2 := C1
a1 \cup C1
a2 . Її межа \partial C1
a1a2 подiляє площину на двi
компоненти: \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a1a2 та \BbbR 2\setminus C1
a1a2 , при цьому \widetilde E\bigtriangleup \subset \BbbR 2\setminus C1
a1a2 . Розглянемо далi кут C1
a3 . Одна
його сторона належить \partial C2
a1a2 , а друга мiстить вiдрiзок a3a4 \subset \partial \widetilde E\bigtriangleup , отже, \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a3 \subset \BbbR 2\setminus C1
a1a2 .
Тодi \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a1a2 \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a3 = \varnothing .
Провiвши аналогiчнi мiркування для решти кутiв C1
aj , j = 3, p, отримаємо
\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a1a2...ak - 1
\cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
ak
= \varnothing , k = 2, . . . , p, (2)
де
C1
a1a2...ak - 1
:=
k - 1\bigcup
j=1
C1
aj .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1668 Т. М. ОСIПЧУК
a1
a2
a3
a4
a5
a6
E
Ca2
1Ca1
1 Ca3
1
Ca4
1
Ca5
1
Ca6
1
a1
a2
a3
a4
a5
a6
E
Ca2
1
Ca3
1
Ca6
2
Ca5
2
E
а б
Рис. 8
Звiдси випливає, що
\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
ai \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
aj = \varnothing , i, j = 1, p, i \not = j.
Справдi, якщо припустити, що iснують iндекси l, q \in \{ 1, . . . , p\} , де без обмеження загальностi
l < q, такi, що \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
al
\cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
aq \not = \varnothing , то \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
al
\subset \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a1a2...aq - 1
й \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
a1a2...aq - 1
\cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
aq \not = \varnothing ,
що суперечить умовi (2).
Тодi жоднi два вiдкритi кути iз сiм’ї кутiв \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C2
aj , j = 1, p, не перетинаються, як вертикальнi
до вiдповiдних кутiв \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}C1
aj , j = 1, p. Але мiж собою цi сiм’ї можуть перетинатися. При
цьому вочевидь нiякi три i бiльше кутiв \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}Ck
aj , k = 1, 2, j = 1, 2, . . . , p, не перетинаються
одночасно. Тобто кожна компонента Ei, k = 1, s, може одночасно мiститися не бiльше нiж у
двох множинах \BbbR 2 \setminus Caj
\widetilde E\bigtriangleup , j = 1, p (див. рис. 8, б).
Оскiльки за лемою 11 кожна множина \BbbR 2 \setminus Caj
\widetilde E\bigtriangleup , j = 1, p, мiстить деяку компоненту
множини E, iснує вiдображення (не обов’язково однозначне) всiєї множини вершин A :=
:= \{ a1, a2, . . . , ap\} у множину компонент \{ E1, E2, . . . , Es\} . При цьому, за доведеним вище,
кожна компонента Ei, k = 1, s, одночасно вiдповiдає не бiльше нiж двом вершинам з A. Тому
p \leq 2s. Оскiльки за умовою теореми число компонент s множини E скiнченне, то p також є
скiнченним.
Теорема 7. Нехай обмежена вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 зi скiнченним числом компонент
належать до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone . Тодi кожна компонента зв’язностi \widetilde E\bigtriangleup множини E\bigtriangleup —
внутрiшнiсть опуклого багатокутника.
Доведення. За теоремою 4, наслiдком 4 i теоремою 6 \widetilde E\bigtriangleup вiдкрита, опукла i має скiнченне
число вершин. За наслiдком 5 \partial \widetilde E\bigtriangleup — ламана. Тодi за означенням 13 множина \widetilde E\bigtriangleup \cup \partial \widetilde E\bigtriangleup —
опуклий багатокутник. Очевидно, що \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(\widetilde E\bigtriangleup \cup \partial \widetilde E\bigtriangleup ) =\widetilde E\bigtriangleup .
Покажемо, що справедливим є й обернене твердження.
Твердження 1. Для довiльного опуклого багатокутника P iснує вiдкрита множина E з
класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone така, що E\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P.
Спочатку доведемо кiлька допомiжних тверджень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК 1-НЕОПУКЛОСТI. . . 1669
Лема 12. Нехай вiдкрита множина E \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone i \{ \gamma 1, \gamma 2, . . . , \gamma s\} — скiнченна множина
довiльних прямих. Тодi E \setminus
\bigcup
j
\gamma j \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone .
Доведення. Без обмеження загальностi вважаємо, що E \cap \gamma j \not = \varnothing , j = 1, s. Нехай x \in
\partial
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
. Тодi x \in \partial E або x \in
\bigcup
j
\gamma j . Якщо x \in \partial E, то iснує пряма \gamma (x), яка не перетинає
множину E, а отже, не перетинає множину
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
\subset E. Якщо x \in
\bigcup
j
\gamma j , то x \in \gamma q, q \in
\{ 1, . . . , s\} . Тодi пряма, яка не перетинає
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
, — це \gamma q. Отже, множина E \setminus
\bigcup
j
\gamma j \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone .
Лема 13. Нехай вiдкрита множина E \not \in \bfC \bftwo
\bfone i \{ \gamma 1, \gamma 2, . . . , \gamma s\} — скiнченна множина до-
вiльних прямих. Тодi \Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr) \bigtriangleup
= E\bigtriangleup \setminus
\bigcup
j
\gamma j .
Доведення. Якщо E\bigtriangleup \subset
\bigcup
j
\gamma j , то, з одного боку, E\bigtriangleup \setminus
\bigcup
j
\gamma j = \varnothing , а з iншого —
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr) \bigtriangleup
\subset \BbbR 2 \setminus
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
= (\BbbR 2 \setminus E) \cup
\Bigl( \bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
.
Через кожну точку x \in (\BbbR 2 \setminus E) \setminus
\bigcup
j
\gamma j проходить пряма, яка не перетинає множину E, а отже,
не перетинає множину E \setminus
\bigcup
j
\gamma j \subset E. Якщо x \in
\bigcup
j
\gamma j , то x \in \gamma q для деякого q \in \{ 1, 2, . . . , s\} i
\gamma q \cap
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
= \varnothing , тобто E \setminus
\bigcup
j
\gamma j \in \bfC \bftwo
\bfone i
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr) \bigtriangleup
= E\bigtriangleup \setminus
\bigcup
j
\gamma j = \varnothing .
Нехай x \in E\bigtriangleup \setminus
\bigcup
j
\gamma j \not = \varnothing . Оскiльки x \in E\bigtriangleup , то довiльна пряма \gamma (x) перетинає E. Оскiльки
x \not \in
\bigcup
j
\gamma j , то пряма \gamma (x) не збiгається з жодною з прямих \gamma j , j = 1, s. Тодi для кожного j = 1, s
або \gamma (x) \cap \gamma j = \varnothing , або прямi \gamma (x), \gamma j перетинаються в однiй точцi. Оскiльки E вiдкрита, то
множина \gamma (x) \cap E також є вiдкритою щодо своєї афiнної оболонки. Тодi множина
(\gamma (x) \cap E) \setminus
\bigcup
j
(\gamma (x) \cap \gamma j) = (\gamma (x) \cap E) \setminus
\Bigl(
\gamma (x) \cap
\bigcup
j
(\gamma j)
\Bigr)
= \gamma (x) \cap
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
вiдкрита щодо своєї афiнної оболонки, а отже, непорожня, тобто x \in
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr) \bigtriangleup
.
Нехай x \in
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr) \bigtriangleup
. Тодi довiльна пряма \gamma (x) перетинає множину E \setminus
\bigcup
j
\gamma j . Оскiльки
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j \subset E, то \gamma (x)\cap E \not = \varnothing . Отже, x \in E\bigtriangleup . При цьому x \not \in
\bigcup
j
\gamma j , оскiльки в протилежному
випадку iснує таке q \in \{ 1, . . . , s\} , що x \in \gamma q i \gamma q \cap
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr)
= \varnothing , що суперечить вибору
точки x. Отже, x \in E\bigtriangleup \setminus
\bigcup
j
\gamma j .
Наслiдок 6. Нехай вiдкрита множина E \subset \BbbR 2 належить до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i складаєть-
ся зi скiнченного числа компонент, а \{ \gamma 1, \gamma 2, . . . , \gamma s\} — скiнченна множина довiльних прямих.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1670 Т. М. ОСIПЧУК
γ1
γ2 γ3
γ4
γ5
P
D
γ1
γ2
γ3P
D
а б
Рис. 9
Тодi E \setminus
\bigcup
j
\gamma j \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone , до того ж
\Bigl(
E \setminus
\bigcup
j
\gamma j
\Bigr) \bigtriangleup
= E\bigtriangleup \setminus
\bigcup
j
\gamma j . (3)
Доведення. За лемою 12 E\setminus
\bigcup
j
\gamma j \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone . Оскiльки множина E вiдкрита, то за теоремою 4
E\bigtriangleup також є вiдкритою. Тодi множина E\bigtriangleup \setminus
\bigcup
j
\gamma j також вiдкрита, а отже непорожня, i за лемою 13
виконується умова (3), тобто E \setminus
\bigcup
j
\gamma j \not \in \bfC \bftwo
\bfone .
Теорема 8. Нехай задано множину E := (D \setminus \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P ) \setminus
s\bigcup
k=1
\gamma k \subset \BbbR 2, де P — опуклий
багатокутник; \gamma k, k = 1, s, — прямi, якi мiстять сторони P ; D — довiльна вiдкрита опукла
множина, яка мiстить P. Тодi E \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i E\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P.
Доведення. Межа множини E складається з точок \partial D, через якi за лемою 5 проходять
прямi, що не перетинають D, а отже не перетинають множину E, та вiдрiзкiв, що мiстяться на
прямих, якi за побудовою не перетинають E. Тому множина E слабко 1-опукла (див. рис. 9, a
(з обмеженим багатокутником P ) та б (з необмеженим багатокутником)).
Розглянемо множину D \setminus P. Вона вiдкрита i не 1-опукла, до того ж
(D \setminus P )\bigtriangleup = P. (4)
Тодi (D \setminus P ) \setminus
s\bigcup
k=1
\gamma k = E i за лемою 13, враховуючи (4), маємо
E\bigtriangleup = (D \setminus P )\bigtriangleup \setminus
s\bigcup
k=1
\gamma k = P \setminus
s\bigcup
k=1
\gamma k = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P.
Тепер справедливiсть твердження 1 безпосередньо випливає з теореми 8.
Лема 14. Нехай множина E \not \in \bfC \bftwo
\bfone i P 0 \subseteq E\bigtriangleup . Тодi
\Bigl(
E \cup P 0
\Bigr) \bigtriangleup
= E\bigtriangleup \setminus P 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ТОПОЛОГIЧНI ТА ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МНОЖИНИ ТОЧОК 1-НЕОПУКЛОСТI. . . 1671
P
P0
D
Рис. 10
Доведення. Якщо P 0 = E\bigtriangleup , що рiвносильно E\bigtriangleup \setminus P 0 = \varnothing , то E \cup P 0 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}1E, а отже,\Bigl(
E \cup P 0
\Bigr) \bigtriangleup
= \varnothing .
Нехай тепер P 0 \subsetneq E\bigtriangleup i x \in E\bigtriangleup \setminus P 0. Оскiльки x \in E\bigtriangleup , то довiльна пряма \gamma (x) перетинає
множину E, а отже перетинає множину E \cup P 0, тобто x \in
\Bigl(
E \cup P 0
\Bigr) \bigtriangleup
. Нехай x \in
\Bigl(
E \cup P 0
\Bigr) \bigtriangleup
.
Тодi довiльна пряма \gamma (x) перетинає E або P 0. Але якщо \gamma (x) \cap P 0 \not = \varnothing , то \gamma (x) \cap E \not = \varnothing ,
оскiльки P 0 \subsetneq E\bigtriangleup . Тодi x \in E\bigtriangleup i за означенням 7 x \not \in P 0. Отже, x \in E\bigtriangleup \setminus P 0.
Теорема 9. Для довiльного опуклого багатокутника P 0 iснує вiдкрита множина E\ast з
класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone така, що E\bigtriangleup
\ast також належать до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i (E\bigtriangleup
\ast )\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0.
Доведення. Нехай P — довiльний опуклий багатокутник, такий, що P 0 \subset \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P, i D —
довiльна вiдкрита опукла множина, яка мiстить P (див. рис. 10). Побудуємо прямi \gamma 0k , k = 1, p,
якi мiстять сторони P 0, i прямi \gamma k, k = 1, s, якi мiстять сторони P. Тодi за теоремою 8 множини
E0 := (\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P \setminus \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0) \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k , E := (D \setminus \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P ) \setminus
s\bigcup
k=1
\gamma k (5)
належать до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i
(E0)\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0, E\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P. (6)
За лемою 14 i внаслiдок (6) маємо
(E \cup \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0)\bigtriangleup = E\bigtriangleup \setminus \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0 = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P \setminus \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0. (7)
Тепер розглянемо множину E\ast := (E \cup \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0) \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k . За лемою 13, враховуючи (7) i (5),
отримуємо
E\bigtriangleup
\ast = (E \cup \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0)\bigtriangleup \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k =
\bigl(
\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P \setminus \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0
\bigr)
\setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k = E0 \not = \varnothing .
Отже, E\ast \not \in \bfC \bftwo
\bfone i, враховуючи (6), одержуємо (E\bigtriangleup
\ast )\bigtriangleup = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1672 Т. М. ОСIПЧУК
Покажемо, що E\ast \in \bfW \bfC \bftwo
\bfone . Спочатку зазначимо, що
E\ast = (E \cup \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0) \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k =
\Biggl(
E \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k
\Biggr)
\cup \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0
i \partial E\ast = \partial
\biggl(
E \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k
\biggr)
\cup \partial (\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0).
За наслiдком 6 вiдкрита множина E\setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k належить до класу \bfW \bfC \bftwo
\bfone \setminus \bfC \bftwo
\bfone i
\biggl(
E \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k
\biggr) \bigtriangleup
=
= E\bigtriangleup \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k . Оскiльки \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0 \subset E\bigtriangleup \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k , то пряма \gamma (x), яка проходить через точку
x \in \partial
\biggl(
E \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k
\biggr)
i не перетинає множину E \setminus
p\bigcup
k=1
\gamma 0k , не перетинає також \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0, а отже i
множину E\ast . Якщо x \in \partial (\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}P 0), то iснує q \in \{ 1, . . . , p\} таке, що x \in \gamma 0q i \gamma 0q \cap E\ast = \varnothing .
Отже, для довiльної точки x \in \partial E\ast iснує пряма \gamma (x), яка не перетинає множину E\ast .
Лiтература
1. Л. А. Айзенберг, О разложении голоморфных функций многих комплексных переменных на простейшие дроби,
Сиб. мат. журн., 8, № 5, 1124 – 1142 (1967).
2. Ю. Б. Зелинский, Многозначные отображения в анализе, Наук. думка, Киев (1993).
3. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Наука, Москва (1985).
4. Б. А. Розенфельд, Многомерные пространства, Наука, Москва (1966).
5. А. И. Герасин, Об (n - 1)-выпуклых множествах, Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии,
Ин-т математики АН УССР, Киев (1988), с. 8 – 14.
6. А. И. Герасин, Обозримость (n - 1)-выпуклых множеств, Комплексный анализ, алгебра и топология, Ин-т
математики АН УССР, Киев (1990), с. 20 – 28.
7. Х. К. Дакхiл, Ю. Б. Зелiнський, Б. А. Клiщук, Про слабко m-опуклi множини, Доп. НАН України, № 4, 3 – 6
(2017).
8. Ю. Б. Зелинский, И. В. Момот, О (n,m)-выпуклых множествах, Укр. мат. журн., 53, № 3, 422 – 427 (2001).
9. Ю. Б. Зелинский, И. Ю. Выговская, М. В. Стефанчук, Обобщенно выпуклые множества и задача о тени, Укр.
мат. журн., 67, № 12, 1658 – 1666 (2015).
10. Ю. Б. Зелинский, Обобщенно выпуклые оболочки множеств и задача о тени, Укр. мат. вiсн., 12, № 2, 278 – 289
(2015).
11. Ю. Б. Зелiнський, Варiацiї до задачi про „тiнь”, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 14, № 1, 163 – 170
(2017).
12. В. Л. Мельник, Топологiчна класифiкацiя (n - 1)-опуклих множин, Укр. мат. журн., 50, № 9, 1236 – 1243 (1998).
13. Т. М. Осiпчук, Топологiчнi властивостi слабко m-опуклих множин, Працi Iн-ту прикл. математики i механiки
НАН України, 34, 75 – 84 (2020).
14. М. В. Стефанчук, Узагальнено опуклi множини та їх застосування, Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук, Київ (2016).
15. Х. К. Дакхiл, Задачi про тiнь та вiдображення постiйної кратностi, Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук, Київ (2017).
16. Г. Худайберганов, Об одной задаче Грауэрта, Докл. АН УзССР, № 3, 7 – 8 (1975).
17. Г. Худайберганов, Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров, Деп. в ВИНИТИ,
№ 1772-85 Деп.
Одержано 25.08.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6890 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:42Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bf/6048ee52db8e5fa27fe1fbade45521bf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68902025-03-31T08:46:08Z Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane Топологические и геометрические свойства множества 1-невыпуклости слабо 1-выпуклого множества на плоскости Топологiчнi та геометричнi властивостi множини точок 1-неопуклостi слабко 1-опуклої множини на площинi Osipchuk , Т. М. Осіпчук, Т. М. опукла множина, m-опукла множина, слабко m-опукла множина, множина точок m-неопуклостi, евклiдiв простiр convex set, m-convex set, weakly m-convex set, set of m-nonconvexity points, Euclidean space UDC 514.172 In the present work, we consider a class of generalized convex sets in the real plane known as weakly $1$-convex sets. For a set in the real Euclidean space $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ it is said that a point of the complement of this set to the whole space $\mathbb{R}^n$ is an $\boldsymbol m$-nonconvexity point of the set, $m=\overline{1,n-1},$ if any $m$-dimensional plane passing through this point intersects the set. An open set in the space $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ is called to be weakly $\boldsymbol m$-convex, $m=\overline{1,n-1},$ if its boundary contains no $m$-nonconvexity points of the set. Moreover, in the class of open, weakly $1$-convex sets in the plane, we distinguish a subclass of ones with a finite number of connected components and nonempty set of $1$-nonconvexity points. In this paper, we investigate mainly the properties of the set of $1$-nonconvexity points for the sets from this subclass. In particular, for any set in this subclass, we prove that the set of its $1$-nonconvexity points is open; any connected component of the set of its $1$-nonconvexity points is the interior of a convex polygon; for any convex polygon, there exists a set in this subclass such that its set of $1$-nonconvexity points coincides with the interior of the polygon. В работе рассматривается класс обобщенно выпуклых множеств действительной плоскости, которые называются слабо 1-выпуклыми. Точка&nbsp; дополнения множества действительного n-мерного евклидова пространства, n&gt;1, ко всему пространству называется точкой m-неопуклости множества, m = 1,2, ..., n-1, если произвольная m-мерная плоскость, проходящая через эту точку, пересекает заданное множество. Открытое множество пространства называется слабо m-выпуклым, m = 1,2, ..., n-1, если предел множества не содержит точек m-невыпуклости этого множества. При этом из класса открытых слабо 1-выпуклых множеств на плоскости выделяется подкласс множеств с конечным числом компонент связности и непустым множеством точек 1-невыпуклости. В работе исследуются преимущественно свойства множества точек 1-невыпуклости множества подкласса. В частности доказывается, что множество точек 1-невыпуклости множества подкласса открыто; произвольная компонента связности множества точек 1-невыпуклости множества подкласса - внутренность выпуклого многоугольника; для произвольного выпуклого многоугольника существует множество подкласса, такое, что множество его точек 1-невыпуклости совпадает с внутренностью многоугольника.&nbsp; УДК 514.172 Розглянуто клас узагальнено опуклих множин на дійсній площині, які називаються слабко $1$-опуклими. Точка доповнення множини дійсного евклідового простору $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ до всього простору $\mathbb{R}^n$ називається точкою $\boldsymbol m$-неопуклості множини, $m=\overline{1,n-1},$ якщо довільна $m$-вимірна площина, яка проходить через цю точку, перетинає задану множину. Відкрита множина із простору $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ називається слабко $\boldsymbol m$-опуклою, $m=\overline{1,n-1},$ якщо межа множини не містить точок $m$-неопуклості цієї множини. При цьому із класу відкритих слабко $1$-опуклих множин на площині виділено підклас множин зі скінченним числом компонент зв'язності і непорожньою множиною точок $1$-неопуклості. У роботі досліджуються переважно властивості множини точок $1$-неопуклості множини підкласу. Зокрема, доведено, що множина точок $1$-неопуклості множини підкласу є відкритою; довільна компонента зв'язності множини точок $1$-неопуклості множини підкласу – внутрішність опуклого багатокутника; для довільного опуклого багатокутника існує така множина підкласу, що її множина точок $1$-неопуклості збігається з внутрішністю багатокутника. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-12-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6890 10.37863/umzh.v73i12.6890 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 12 (2021); 1657 - 1672 Український математичний журнал; Том 73 № 12 (2021); 1657 - 1672 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6890/9162 Copyright (c) 2021 Тетяна Осіпчук |
| spellingShingle | Osipchuk , Т. М. Осіпчук, Т. М. Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane |
| title | Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane |
| title_alt | Топологические и геометрические свойства множества 1-невыпуклости слабо 1-выпуклого множества на плоскости Топологiчнi та геометричнi властивостi множини точок 1-неопуклостi слабко 1-опуклої множини на площинi |
| title_full | Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane |
| title_fullStr | Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane |
| title_full_unstemmed | Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane |
| title_short | Topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane |
| title_sort | topological and geometric properties of the set of 1-nonconvexity points of a weakly 1-convex set in the plane |
| topic_facet | опукла множина m-опукла множина слабко m-опукла множина множина точок m-неопуклостi евклiдiв простiр convex set m-convex set weakly m-convex set set of m-nonconvexity points Euclidean space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6890 |
| work_keys_str_mv | AT osipchuktm topologicalandgeometricpropertiesofthesetof1nonconvexitypointsofaweakly1convexsetintheplane AT osípčuktm topologicalandgeometricpropertiesofthesetof1nonconvexitypointsofaweakly1convexsetintheplane AT osipchuktm topologičeskieigeometričeskiesvojstvamnožestva1nevypuklostislabo1vypuklogomnožestvanaploskosti AT osípčuktm topologičeskieigeometričeskiesvojstvamnožestva1nevypuklostislabo1vypuklogomnožestvanaploskosti AT osipchuktm topologičnitageometričnivlastivostimnožinitočok1neopuklostislabko1opukloímnožininaploŝini AT osípčuktm topologičnitageometričnivlastivostimnožinitočok1neopuklostislabko1opukloímnožininaploŝini |