Functional differential games with nonatomic difference operator
UDC 517.9 We study a differential game of approach in a system whose dynamics is describedby a linear functional differential equation. The coefficients of the equation are closed linear operators on Hilbert spaces. The operator multiplying the state derivative at the current time is generally non-i...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6895 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512556935806976 |
|---|---|
| author | Vlasenko, L. A. Rutkas, A. G. Chikrii, A. O. Власенко, Л. A. Руткас, А. Г. Чикрій, А. О. Руткас, Анатолий Чикрий, Аркадий |
| author_facet | Vlasenko, L. A. Rutkas, A. G. Chikrii, A. O. Власенко, Л. A. Руткас, А. Г. Чикрій, А. О. Руткас, Анатолий Чикрий, Аркадий |
| author_sort | Vlasenko, L. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:45:58Z |
| description | UDC 517.9
We study a differential game of approach in a system whose dynamics is describedby a linear functional differential equation. The coefficients of the equation are closed linear operators on Hilbert spaces. The operator multiplying the state derivative at the current time is generally non-invertible. The main assumption is a restriction imposed on the characteristic operator pencil of the equation on a ray of real the positive semi-axis. Solutions of the equation are represented with the help of a formula of variation of constants where the delay effect is taken into account by summing shift type operators. To obtain conditions for the approach of the system dynamic vector to a cylindrical terminal set, we use constraints on support functionals of two sets defined by the behavior of pursuer and evader.The paper contains an example to illustrate the differential game in a pseudoparabolic system described by a partial functional differential equation. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i2.6895 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i2.6895
УДК 517.9
Л. А. Власенко, А. Г. Руткас (Харкiв. нац. ун-т радiоелектронiки),
А. О. Чикрiй (Iн-т кiбернетики НАН України, Київ)
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ
З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ
We study a differential game of approach in a system, which is dynamically described by a linear functional differential
equation. The coefficients of the equation are closed linear operators on Hilbert spaces. The operator at the state derivative
dependent on the current time is generally non-invertible. The main assumption is a restriction imposed on the characteristic
operator pencil of the equation on a ray of the real positive semi-axis. Solutions of the equation are represented by a formula
of variation of constants where the delay effect is taken into account by summing shift-type operators. To obtain conditions
under which the dynamic vector of the system approaches a cylindrical terminal set, we use constraints on the support
functionals of two sets defined by the behavior of pursuer and evader. In this paper, we also present an example of the
differential game in a pseudoparabolic system described by a partial functional differential equation.
Вивчається диференцiальна гра переслiдування у системi, динамiка якої описується лiнiйним функцiонально-
диференцiальним рiвнянням. Коефiцiєнти рiвняння є замкненими лiнiйними операторами, що дiють у гiльбертових
просторах. Оператор при похiднiй стану у поточний час є, взагалi кажучи, необоротним. Основне припущення
полягає в обмеженнi на характеристичну операторну в’язку рiвняння на променi дiйсної додатної пiвосi. Розв’язки
рiвняння зображуються за допомогою формули варiацiї сталих, де ефект запiзнення враховується шляхом пiдсу-
мовування операторiв типу зсуву. Для отримання умов наближення динамiчного вектора системи до цилiндричної
термiнальної множини ми використовуємо обмеження на опорнi функцiонали двох множин, що визначаються
поведiнками переслiдувача i втiкача. Наведено приклад диференцiальної гри в псевдопараболiчнiй системi, що
описується функцiонально-диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними.
1. Вступ. Метою даної статтi є вивчення диференцiальної гри переслiдування в системi,
динамiка якої описується функцiонально-диференцiальним рiвнянням у нескiнченновимiрних
просторах. Зазначимо, що в монографiї [1] було введено термiн „диференцiальна гра”, в нова-
торськiй роботi [2] розвивається теорiя диференцiальних iгор у нескiнченновимiрних просторах
i розглянуто застосування цiєї теорiї до iгор з рiвняннями з частинними похiдними, а в мо-
нографiях [3, 4] наведено вiдповiдну бiблiографiю. Зокрема, у роботах [5 – 7] дослiджувались
диференцiальнi iгри переслiдування для систем, еволюцiя яких описується функцiонально-
диференцiальними рiвняннями з атомарним рiзницевим оператором у скiнченновимiрних прос-
торах. Математичнi моделi деяких фiзичних процесiв мiстять диференцiальнi рiвняння, не
розв’язанi вiдносно похiдної за часом. Диференцiальнi iгри для цих систем у скiнченновимiр-
них просторах називають дескрипторними iграми [8].
Ми дослiджуємо диференцiальну гру мiж переслiдувачем з керуванням u(t) i втiкачем з
керуванням v(t) у динамiчнiй системi з лiнiйним функцiонально-диференцiальним рiвнянням
у гiльбертових просторах
d
dt
[Ay(t)] +By(t) =
0\int
- h
d\eta (\tau )y(\tau + t) + f(t) +K1u(t) +K2v(t), t \in [0, T ], (1)
де \eta (\tau ) — мiра Стiльтьєса вигляду
c\bigcirc Л. А. ВЛАСЕНКО, А. Г. РУТКАС, А. О. ЧИКРIЙ, 2022
164 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ 165
\eta (\tau ) = -
n\sum
r=1
\chi ( - \infty , - hr](\tau )Br, (2)
0 < h1 < . . . < hn = h — запiзнення, \chi ( - \infty , - hr](\tau ) — характеристична функцiя пiвнескiнчен-
ного iнтервалу ( - \infty , - hr]. Доданок, що вiдповiдає запiзненню в (1), записується у виглядi
0\int
- h
d\eta (\tau )y(t+ \tau ) =
n\sum
r=1
Bry(t - hr).
Неявне рiвняння вигляду (1), що не розв’язне вiдносно похiдної, називають функцiонально-
диференцiальним рiвнянням типу Соболєва [9]. Рiвняння (1) можна записати у виглядi функ-
цiонально-диференцiального рiвняння нейтрального типу [10] (роздiл 2.7)
d
dt
Dyt = f0(t, yt),
де символ yt позначає функцiю yt(\tau ) = y(t+\tau ), \tau \in [ - h, 0], рiзницевий оператор D визначено
на функцiях \phi (\tau ) як D\phi = A\phi (0), f0(t, \phi ) — вiдображення вигляду
f0(t, \phi ) = - B\phi (0) +
0\int
- h
d\eta (\tau )\phi (\tau ) + f(t) +K1u(t) +K2v(t).
Якщо оператор A є виродженим чи необоротним, рiзницевий оператор D не є атомарним у
нулi (див. означення в [10], роздiл 2.5). Такi рiвняння зустрiчаються у математичних моделях
перехiдних процесiв у мiкрохвильових пристроях з лiнiями передачi [11].
Будемо використовувати такi позначення: Y, Z, U i V — дiйснi гiльбертовi простори;
\| \cdot \| i \langle \cdot , \cdot \rangle — норма i скалярний добуток (iндекс \| \cdot \| Y чи \langle \cdot , \cdot \rangle Y буде додано, щоб уникнути
двозначностi); \scrL (Y,Z) — простiр обмежених лiнiйних операторiв з Y в Z, \scrL (Y ) = \scrL (Y, Y );
L2(0, T ;Y ) — простiр Y -значних функцiй, що iнтегровнi за Бохнером з квадратом норми на
[0, T ]; W k
2 (0, T ;Y ) — простiр Соболєва функцiй з L2(0, T ;Y ), в яких узагальненi похiднi до
порядку k належать L2(0, T ;Y ); C
\bigl(
[0, T ], Z
\bigr)
— клас Z -значних функцiй, що неперервнi на
[0, T ]; \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A — ядро оператора A; \mathrm{I}\mathrm{m}A — образ оператора A; A\ast — оператор, спряжений до
оператора A; риска над множиною чи оператором позначає замикання множини чи оператора;
E та 0 — тотожний i нульовий оператори. Функцiї з W 1
2 (0, T ;Y ) вважаються неперервними на
[0, T ] (при необхiдностi можна змiнити їхнi значення на множинi нульової мiри).
Щодо рiвняння (1) ми припускаємо, що A та B — замкненi оператори, що дiють з Y у
Z з областями визначення DA та DB, D = DA \cap DB \not = \{ 0\} ; Br \in \scrL (Y,Z), K1 \in \scrL (U,Z),
K2 \in \scrL (V,Z); f(t) \in L2(0, T ;Z); керування u(t) та v(t) переслiдувача та втiкача — сильно ви-
мiрнi вектор-функцiї зi значеннями в областях керування U0 та V0, що є замкненими опуклими
обмеженими множинами у просторах U та V. Цi керування називають допустимими керу-
ваннями переслiдувача та втiкача. Позначимо через U1 i V1 множини допустимих керувань
переслiдувача та втiкача. Множини U1 i V1 задовольняють такi вкладення: U1 \subset L2(0, T ;U),
V1 \subset L2(0, T ;V ). Зауважимо, що опуклi обмеженi множини U1 та V1 слабко компактнi у
гiльбертових просторах L2(0, T ;U) та L2(0, T ;V ) (див. [12], роздiли 2.9, 2.10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
166 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. Г. РУТКАС, А. О. ЧИКРIЙ
Опишемо коротко будову статтi. У пунктi 2 наведено основнi припущення й одержано
формулу варiацiї сталих, щоб описати розв’язки рiвняння (1). У пунктi 3 ми вивчаємо дифе-
ренцiальну гру зближення у системi, динамiка якої описується рiвнянням (1). Вказано умови
досягнення термiнальної множини динамiчним вектором системи Ay(t). У пунктi 4 ми вико-
ристовуємо результати пункту 3, щоб дослiдити гру у конфлiктно керованiй системi, динамiка
якої описується функцiонально-диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними з неато-
марним рiзницевим оператором.
2. Розв’язнiсть початкової задачi. Початковi умови для рiвняння (1) задаються у виглядi
y(t) = y0(t), t \in [ - h, 0], (3)
(Ay)(+0) = z0, (4)
де y0(t) \in L2( - h, 0;Y ). Функцiя y(t) \in L2
\bigl(
[ - h, T ], Y
\bigr)
називається розв’язком задачi (1),
(3), (4) на [ - h, T ], якщо виконано такi умови: y(t) \in D для майже всiх t \in [0, T ], Ay(t) \in
\in W 1
2
\bigl(
[0, T ], Z
\bigr)
, By(t) \in L2
\bigl(
[0, T ], Z
\bigr)
, y(t) задовольняє рiвняння (1) майже для всiх t \in [0, T ]
та початкову умову (3) майже для всiх t \in [ - h, 0], виконується спiввiдношення (4).
Операторна в’язка \lambda A + B iстотно впливає на динамiку рiвняння (1). Щоб встановити
умови розв’язностi задачi (1), (3), (4), ми здiйснюємо прямi розклади прообразу D = DA \cap DB
та образу Z в’язки, вiдносно яких рiвняння розщеплюється на динамiчну та функцiональну
складовi. Основне припущення щодо в’язки \lambda A+B полягає в наступному: резольвента в’язки
R(\lambda ) = (\lambda A+B) - 1 \in \scrL (Z, Y ) iснує на променi \lambda > \omega \geq 0 i виконуються оцiнки\bigm\| \bigm\| (AR(\lambda ))m\bigm\| \bigm\| \leq M(\lambda - \omega ) - m, \lambda > \omega \geq 0, m = 1, 2, . . . . (5)
Обмеження (5) для m = 1 дозволяє використати ергодичнi теореми Хiллє [13] (глава VIII,
роздiл 4) для псевдорезольвенти AR(\lambda ) у гiльбертовому просторi Z i застосувати лему 1 [14].
Мають мiсце такi прямi розклади:
Z = Z1 \.+Z2, Z1 = \mathrm{I}\mathrm{m}AR(\lambda ) = AD, Z2 = B(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A \cap D),
D = DA \cap DB = D1 \.+D2, D1 = (\lambda A+B) - 1Z1, D2 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A \cap D,
де множина D1 не залежить вiд \lambda > \omega . Позначимо через P1, P2 i Q1, Q2 пари взаємно
додаткових проєкторiв у Y на D1, D2 i у Z на Z1, Z2 вiдповiдно; Q1, Q2 \in \scrL (Z). Оператор
G = A+BP2 = A+Q2B : D \rightarrow Y, DG = D, (6)
переводить Dj , у Zj j = 1, 2, i має обернений оператор G - 1, що визначений на AD \.+Z2 та
задовольняє властивостi
G - 1Q2 \in \scrL (Y,Z), BG - 1Q2 = Q2 \in \scrL (Z).
Оператор
W = - Q1BG
- 1 = - BG - 1Q1, DW = AD \.+Z2
має резольвенту
RW (\lambda ) = (W - \lambda E) - 1 = - AR(\lambda ) - 1
\lambda
Q2, \lambda > \omega .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ 167
З оцiнок (5) випливають оцiнки\bigm\| \bigm\| Rm
W (\lambda )
\bigm\| \bigm\| \leq M1(\lambda - \omega ) - m, \lambda > \omega , m = 1, 2, . . . .
З теореми про генератори [15] (глава 1, теорема 5.3) випливає, що оператор W є твiрним
оператором або генератором сильно неперервної пiвгрупи U(t), що задовольняє властивiсть\bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\| \leq M1e
\omega t, t \geq 0.
Далi ми припускаємо, що оператор G - 1, обернений до оператора G (6), є обмеженим у своїй
областi визначення AD \.+Z2. Одержимо формулу варiацiї сталих для початкової задачi (1), (3),
(4). Для цього введемо у розгляд обмеженi лiнiйнi оператори L iз L2(0, T ;Z) у L2( - h, T ;Y )
та F iз L2( - h, T ;Y ) у L2(0, T ;Z):
(Lz)(t) = \chi [0,T ](t)G - 1
\left[ t\int
0
U(t - s)Q1z(s)ds+Q2z(t)
\right] , (Fz)(t) =
0\int
- h
d\eta (\tau )z(\tau + t). (7)
Оператор зсуву F було введено в [16] (глава III, роздiл 18.1) при вивченнi задачi керування
для системи iз запiзненням. Доповнимо функцiю y0(t) нулем для значень аргументу t \in (0, T ].
Тодi y0(t) \in L2( - h, T ;Y ). Покладемо
w(t) = \chi [ - h,0](t)y0(t) + \chi [0,T ](t)G - 1U(t)z0, w(t) \in L2( - h, T ;Y ).
Теорема 1. Нехай резольвента в’язки R(\lambda ) = (\lambda A + B) - 1 \in \scrL (Z, Y ) iснує на променi
\lambda > \omega \geq 0, оцiнка (5) виконується, оператор G - 1, обернений до оператора G (6), є обмеженим
у своїй областi визначення. Також припустимо, що початкова функцiя y0(t) в (3), початковий
вектор z0 в (4), оператори Br, r = 1, . . . , n, в (2), функцiя f(t), керування u(t), v(t) та
оператори K1,K2 у правiй частинi рiвняння (1) задовольняють такi обмеження: y0(t) \in
\in L2( - h, 0;Y ), z0 \in AD, \mathrm{I}\mathrm{m}Q1Br \subset AD, Q1f(t) \in AD майже для всiх t \in [0, T ], f(t) \in
\in L2(0, T ;Z), u(t) \in L2(0, T ;U), v(t) \in L2(0, T ;V ), BG - 1Q1f(t) \in L2(0, T ;Z), \mathrm{I}\mathrm{m}Q1K1 \subset
\subset AD, \mathrm{I}\mathrm{m}Q1K2 \subset AD. Тодi початкова задача (1), (3), (4) має єдиний розв’язок y(t), який як
функцiя y \in L2( - h, T ;Y ) допускає зображення
y =
N - 1\sum
k=0
(LF )k
\bigl[
w + L(f +K1u+K2v)
\bigr]
+ (LF )Ny0, N = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ j \in N : T \leq jh1\} . (8)
Доведення. Покладемо
\varphi (t) =
0\int
- h
d\eta (\tau )y(\tau + t) + f(t) +K1u(t) +K2v(t) (9)
i запишемо рiвняння (1) у виглядi
d
dt
\bigl[
Ay(t)
\bigr]
+By(t) = \varphi (t). (10)
Застосовуючи проєктори Q1, Q2 до лiвої та правої частин рiвняння (10) i позначаючи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
168 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. Г. РУТКАС, А. О. ЧИКРIЙ
z(t) = Ay(t), \varphi 1(t) = Q1\varphi (t),
одержуємо еквiвалентну систему рiвнянь
z\prime (t) =Wz(t) + \varphi 1(t), Q2By(t) = Q2\varphi (t). (11)
Нехай
tj = jh1, j = 0, . . . , N - 1, tN - 1 < T, tN = T,
yj = w + L[f +K1u+K2v + Fyj - 1], yj \in L2( - h, T ;Y ), j = 1, . . . , N. (12)
Ми можемо визначити функцiю \varphi (t) (9) на [t0, t1] як \varphi (t) = (Fy0)(t) + f(t) + K1u(t) +
+ K2v(t) \in L2(t0, t1;Z). Очевидно, що \varphi 1(t) = Q1\varphi (t) \in L2(0, t1;Z) i \varphi 1(t) \in AD \subset DW .
Внаслiдок результатiв [15] (глава 4, теорема 2.9) на iнтервалi [0, t1] iснує єдиний розв’язок
z(t) \in W 1
2 (0, t1;Z) першого з рiвнянь (11), що задовольняє початкову умову z(0) = z0. Цей
розв’язок має вигляд
z(t) = U(t)z0 +
t\int
0
U(t - s)\varphi 1(s)ds.
Тодi функцiя
y(t) = P1y(t) + P2y(t) = G - 1
\bigl[
z(t) +Q2\varphi (t)
\bigr]
=
= G - 1
\Biggl[
U(t)z0 +
t\int
0
U(t - s)Q1\varphi (s)ds+Q2\varphi (t)
\Biggr]
(13)
є єдиним розв’язком задачi (10), (4) на [0, t1] таким, що y(t) \in L2(0, t1;Y ), Ay(t) \in W 1
2 (0, t1;Z)
i рiвняння (10) задовольняється майже для всiх t \in [0, t1]. Отже, iснує єдиний розв’язок задачi
(1), (3), (4) на iнтервалi [ - h, t1] i цей розв’язок збiгається з y1(t) (12) для t \in [ - h, t1]. При
N = 1 теорему доведено.
Якщо N > 1, то ми визначаємо функцiю \varphi (t) (9) на [0, t2]: \varphi (t) = (Fy1)(t)+f(t)+K1u(t)+
+K2v(t), \varphi (t) \in L2(t0, t2;Z). Функцiя y(t) (13) є єдиним розв’язком задачi (10), (4) на iнтервалi
[0, t2], а y2(t) (12), - h \leq t \leq t2, — єдиним розв’язком задачi (1), (3), (4) на [ - h, t2]. Якщо N = 2,
то теорему доведено. В противному разi, повторюючи цi мiркування для j = 3, . . . , N, ми
однозначно знаходимо розв’язок задачi (1), (3), (4) на [ - h, tj ] у виглядi yj(t) (12), - h \leq t \leq tj .
Iз спiввiдношень (12) випливає, що функцiя yN (t)
\bigl(
розв’язок задачi (1), (3), (4) на [ - h, T ]
\bigr)
допускає зображення у виглядi (8).
Теорему 1 доведено.
Iнший метод дослiдження рiвняння (1) можна запропонувати, якщо вивчати його у виглядi
операторного рiвняння
\scrS y = \varphi
з оператором \scrS i функцiєю \varphi вигляду
\scrS y =
d
dt
[Ay] +By -
0\int
- h
d\eta (\tau )y(\tau + t), \varphi = f +K1u+K2v.
Рiзнi умови розв’язностi операторних рiвнянь розглянуто в [17].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ 169
3. Функцiонально-диференцiальна гра. Сформулюємо iгрову задачу для неявної системи
iз запiзненням (1), (3), (4), припустивши, що умови теореми 1 виконано. Для допустимих
керувань u(t) i v(t) розглядаємо єдиний розв’язок y(t) = y(t;u, v) (8) задачi (1), (3), (4).
Скажемо, що гру у системi (1), (3), (4) можна завершити у момент часу \theta (0 < \theta \leq T ), якщо
для будь-якого допустимого керування втiкача v(t) завжди знайдеться вiдповiдне допустиме
керування переслiдувача u(t) таке, що \| \Pi Ay(\theta ;u, v)\| \leq d, де \Pi — ортогональний проєктор
у просторi Z i d — невiд’ємна стала. Термiнальна множина \scrM , на яку необхiдно перевести
динамiчний вектор Ay(t) у момент часу \theta , має цилiндричний вигляд
\scrM = (E - \Pi )Z \oplus \scrB d,
де \scrB d — d-окiл нуля у пiдпросторi \Pi Z. У цiй постановцi iгрової задачi ми накладаємо термi-
нальне обмеження не на стан y(t), як у [3, 18], а на функцiю Ay(t). Як зазначено в [19, 20], для
неявної системи динамiчний вектор задається не станом y(t), а функцiєю Ay(t), яка мiститься
в рiвняннi (1) пiд знаком похiдної i для якої формулюється початкова умова (4).
Покладемо
\Phi =
N - 1\sum
k=0
(FL)k, \xi =
N - 1\sum
k=0
(LF )k(w + Lf) + (LF )Ny0, \zeta = \Pi A\xi , (14)
де оператори L,F визначенi в (7). Використовуючи спiввiдношення (8), отримуємо зображення
динамiчного вектора Ay(t;u, v) системи (1), (3), (4):
Ay(t;u, v) =
t\int
0
U(t - s)Q1(\Phi K1u)(s)ds+
t\int
0
U(t - s)Q1(\Phi K2v)(s)ds+A\xi (t), t \in [0, T ]. (15)
Зауважимо, що Q1(\Phi K1u)(s) \subset AD i Q1(\Phi K2v)(s) \subset AD.
Для заданого числа \theta \in [0, T ] введемо обмеженi лiнiйнi оператори \Phi 1 = \Phi 1(\theta ) \in
\in \scrL (L2(0, T ;U), Z) i \Phi 2 = \Phi 2(\theta ) \in \scrL
\bigl(
L2(0, T ;V ), Z
\bigr)
:
\Phi 1(\theta )u = \Pi
\theta \int
0
U(\theta - s)Q1(\Phi K1u)(s)ds,
(16)
\Phi 2(\theta )v = \Pi
\theta \int
0
U(\theta - s)Q1(\Phi K2v)(s)ds.
Має мiсце спiввiдношення\bigl\langle
q,\Pi Ay(\theta ;u, v)
\bigr\rangle
=
\bigl\langle
q,\Phi 1(\theta )u
\bigr\rangle
+
\bigl\langle
q,\Phi 2(\theta )v
\bigr\rangle
+
\bigl\langle
q, \zeta (\theta )
\bigr\rangle
. (17)
Розглянемо опуклi замкненi обмеженi множини
\Omega U = \Phi 1U1 \subset Z, \Omega V = \Phi 2V1 \subset Z
та їхнi опорнi функцiонали
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
170 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. Г. РУТКАС, А. О. ЧИКРIЙ
\varphi U (q) = \varphi U (q, \theta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in U1
\bigl\langle
q,\Phi 1u
\bigr\rangle
, \varphi V (q) = \varphi V (q, \theta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in V1
\bigl\langle
q,\Phi 2v
\bigr\rangle
, q \in Z. (18)
Нехай
p(q, \theta ) = \varphi V (q, \theta ) - \varphi U ( - q, \theta ) +
\bigl\langle
q, \zeta (\theta )
\bigr\rangle
, q \in Z, \theta \in [0, T ]. (19)
Використовуючи рiвнiсть \varphi U ( - h) = - \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\in U1
\bigl\langle
h,\Phi 1u
\bigr\rangle
i спiввiдношення (17), одержуємо
p(q, \theta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in V1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in U1
\langle q,\Pi Ay(\theta ;u, v)\rangle = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in U1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in V1
\langle q,\Pi Ay(\theta ;u, v)\rangle , q \in Z.
Справедливим є таке твердження.
Твердження 1. Якщо виконуються умови теореми 1, то опорнi функцiонали \varphi U (q, \theta ),
\varphi V (q, \theta ) (18) та функцiя p(q, \theta ) (19) неперервнi за сукупнiстю змiнних (q, \theta ) \in Z \times [0, T ].
Доведення. Щоб довести неперервнiсть за сукупнiстю змiнних опорних функцiоналiв (18),
ми повиннi показати, що для довiльної послiдовностi
\bigl\{
(qm, \theta m)
\bigr\} \infty
m=1
\subset Z\times [0, T ], яка збiгається
до (q0, \theta 0) \in Z \times [0, T ], iснують такi границi:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\varphi U (qm, \theta m) = \varphi U (q0, \theta 0), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\varphi V (qm, \theta m) = \varphi V (q0, \theta 0). (20)
Iз слабкої компактностi U1, V1 випливає, що точна верхня межа в означеннях опорних функ-
цiоналiв (18) досягається. Отже, iснують вiдображення \psi U (q, \theta ) : Z \times [0, T ] \rightarrow U1 i \psi V (q, \theta ) :
Z \times [0, T ] \rightarrow V1 такi, що
\varphi U (q, \theta ) =
\bigl\langle
q,\Phi 1(\theta )\psi U (q, \theta )
\bigr\rangle
, \varphi V (q, \theta ) =
\bigl\langle
q,\Phi 2(\theta )\psi V (q, \theta )
\bigr\rangle
. (21)
Згiдно з означенням \varphi U в (18) та зображенням \varphi U в (21) одержуємо нерiвностi
am \.=
\bigl\langle
qm,\Phi 1(\theta m)\psi U (q0, \theta 0)
\bigr\rangle
-
\bigl\langle
q0,\Phi 1(\theta 0)\psi U (q0, \theta 0)
\bigr\rangle
\leq \varphi U (qm, \theta m) - \varphi U (q0, \theta 0) \leq
\leq bm \.=
\bigl\langle
qm,\Phi 1(\theta m)\psi U (qm, \theta m)
\bigr\rangle
-
\bigl\langle
q0,\Phi 1(\theta 0)\psi U (qm, \theta m)
\bigr\rangle
. (22)
Оскiльки \Phi 1(\theta ) (16) є сильно неперервною оператор-функцiєю за змiнною \theta \in [0, T ], то не-
важко бачити, що am \rightarrow 0 при m\rightarrow \infty . Значення bm обчислюються за формулою
bm =
\theta m\int
\theta 0
\bigl\langle
qm,\Pi U(\theta m - s)gm(s)
\bigr\rangle
ds+
\theta 0\int
0
\bigl\langle
qm - q0,\Pi U(\theta m - s)gm(s)
\bigr\rangle
ds+
+
\theta 0\int
0
\bigl\langle
[U\ast (\theta m - s) - U\ast (\theta 0 - s)]\Pi q0, gm(s)
\bigr\rangle
ds, gm(s) = (\Phi K1\psi U (qm, \theta m))(s),
де U\ast (t) — сильно неперервна пiвгрупа, що є спряженою до U(t) i має генератор W \ast [15]
(роздiл 1.10, наслiдок 10.6). Звiдси випливає, що bm \rightarrow 0 при m\rightarrow \infty . Отже, перша границя в
(20) випливає з нерiвностi (22).
Другу границю в (20) можна встановити аналогiчним чином. Тодi \varphi U (q, \theta ) i \varphi V (q, \theta ) (18)
є неперервними за сукупнiстю змiнних (q, \theta ) \in Z \times [0, T ].
На пiдставi означення \zeta (14) одержуємо \zeta (\theta ) \in C
\bigl(
[0, T ], Z
\bigr)
. Отже, p(q, \theta ) (19) є неперерв-
ною за сукупнiстю змiнних (q, \theta ) \in Z \times [0, T ].
Твердження доведено.
Тепер можна встановити умови для завершення гри у момент часу \theta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ 171
Теорема 2. Нехай виконуються такi припущення: резольвента в’язки R(\lambda ) = (\lambda A+B) - 1
iснує на променi \lambda > \omega \geq 0, задовольняється оцiнка (5), оператор G - 1, обернений до опе-
ратора G (6), є обмеженим у своїй областi визначення, y0(t) \in L2( - h, 0;Y ), z0 \in AD,
\mathrm{I}\mathrm{m}Q1Br \subset AD, r = 1, . . . , n, Q1f(t) \in AD майже для всiх t \in [0, T ], f(t) \in L2(0, T ;Z),
BG - 1Q1f(t) \in L2(0, T ;Z), \mathrm{I}\mathrm{m}Q1K1 \subset AD, \mathrm{I}\mathrm{m}Q1K2 \subset AD. Гру у системi (1), (3), (4)
можна завершити у момент часу \theta тодi й лише тодi, коли функцiя p(q, \theta ) (19) задовольняє
спiввiдношення
p(q, \theta ) \leq d, \forall q \in Z : \| q\| = 1. (23)
Доведення. Необхiднiсть. Припустимо супротивне: нехай \theta — час завершення гри, але
iснує вектор q з одиничною нормою \| q\| = 1 такий, що
p(q, \theta ) > d. (24)
Оскiльки V1 — слабко компактна множина у гiльбертовому просторi L2(0, T ;V ), то точна
верхня межа в означеннi \varphi V (q) (18) досягається i \varphi V (h) =
\bigl\langle
q,\Phi 2v0
\bigr\rangle
для v0 \in V1. Враховуючи
(17), (18) i (24), отримуємо
d <
\bigl\langle
q,\Phi 1u+\Phi 2v0 + \zeta (\theta )
\bigr\rangle
=
\bigl\langle
q,\Pi Ay(\theta ;u, v0)
\bigr\rangle
, \forall q \in Z : \| q\| = 1, \forall u \in U1.
Звiдси випливає, що iснує допустиме керування втiкача v0 \in V1 таке, що\bigm\| \bigm\| \Pi Ay(\theta ;u, v0)\bigm\| \bigm\| > d (25)
для кожного допустимого керування переслiдувача u \in U1. Це суперечить тому, що \theta — час
завершення гри. Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Припустимо супротивне: iснує допустиме керування втiкача v0 \in V1 таке,
що виконується нерiвнiсть (25) для будь-якого допустимого керування переслiдувача u \in U1.
Неперервний опуклий функцiонал \varphi (u) =
\bigm\| \bigm\| \Pi Ay(\theta ;u, v0)\bigm\| \bigm\| , що визначений у гiльбертовому
просторi L2(0, T ;U1), досягає мiнiмуму в опуклiй замкненiй обмеженiй множинi U1 (див. [21],
глава 1, теорема 1.8). Отже, iснує таке \varepsilon > 0, що \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}u\in U1 \varphi (u) > d + \varepsilon . Використовуючи
зображення (15) для t = \theta i v = v0, переконуємось, що у просторi Z опукла множина \Omega =
= \Omega U + \Phi 2v0 + \zeta (\theta ) i замкнена куля Sd+\varepsilon радiуса d + \varepsilon з центром у нулi не перетинаються.
З теореми вiддiльностi [12] (роздiл 2.6) робимо висновок, що iснує вектор q \in Z одиничної
норми, для якого \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in Sd+\varepsilon
\bigl\langle
q, z
\bigr\rangle
\leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\omega \in \Omega
\bigl\langle
q, \omega
\bigr\rangle
. Отже,
d < \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in U1
\bigl\langle
q,\Pi Ay(\theta ;u, v0)
\bigr\rangle
= - \varphi U ( - q) +
\bigl\langle
q,\Phi 2v0
\bigr\rangle
+
\bigl\langle
q, \zeta (\theta )
\bigr\rangle
\leq
\leq - \varphi U ( - q) + \varphi V (q) +
\bigl\langle
q, \zeta (\theta )
\bigr\rangle
= p(q, \theta ).
Звiдси випливає, що нерiвнiсть (23) не виконується, а це суперечить припущенню.
Теорему 2 доведено.
Визначимо найменший час T0 для завершення гри у системi (1), (3), (4). Покладемо
p0(\theta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| q\| =1
p(q, \theta ). (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
172 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. Г. РУТКАС, А. О. ЧИКРIЙ
Теорема 3. Нехай виконуються такi припущення: резольвента в’язки R(\lambda ) = (\lambda A+B) - 1
iснує на променi \lambda > \omega \geq 0, виконується оцiнка (5), оператор G - 1, обернений до операто-
ра G (6), є обмеженим у своїй областi визначення, y0(t) \in L2( - h, 0;Y ), \mathrm{I}\mathrm{m}Q1Br \subset AD,
r = 1, . . . , n, Q1f(t) \in AD майже для всiх t \in [0, T ], f(t) \in L2(0, T ;Z), BG
- 1Q1f(t) \in
\in L2(0, T ;Z), \mathrm{I}\mathrm{m}Q1K1 \subset AD, \mathrm{I}\mathrm{m}Q1K2 \subset AD, вектор z0 \in AD задовольняє спiввiдношення
\| \Pi z0\| > d (27)
й iснує таке \theta \ast \in (0, T ], що
p0(\theta \ast ) \leq d. (28)
Тодi гру у системi (1), (3), (4) можна завершити за мiнiмальний час
T0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\theta \in [0, T ] : p0(\theta ) \leq d
\bigr\}
> 0. (29)
Доведення. За теоремою 2 знаходимо множину \Theta моментiв часу завершення гри у систе-
мi (1), (3), (4):
\Theta = \{ \theta \in [0, T ] : p0(\theta ) \leq d\} .
З припущень (27) i (28) випливає, що 0 \not \in \Theta i \Theta \not = \varnothing .
За твердженням 1 функцiя p(q, \theta ) (19) неперервна за сукупнiстю змiнних. Звiдси випливає,
що множина \Theta є замкненою. Отже, T0 (29) — найменший час завершення гри у системi (1),
(3), (4).
Теорему 3 доведено.
4. Застосування до систем, що описуються функцiонально-диференцiальними рiвнян-
нями з частинними похiдними. Рiзнi фiзичнi задачi приводять до вивчення псевдопараболiч-
них диференцiальних рiвнянь, що не розв’язнi вiдносно старшої похiдної за часом [22, 23].
У цьому пунктi ми вивчаємо конфлiктно керовану псевдопараболiчну систему, що описується
функцiонально-диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними на [0, T ]\times [0, \pi ]:
\partial
\partial t
\biggl(
\partial 2y(t, x)
\partial x2
+ y(t, x)
\biggr)
- \partial 4y(t, x)
\partial x4
= B1y(t - h, x)) +K(u(t, x) + v(t, x)) (30)
з крайовими
y(t, 0) = y(t, \pi ) =
\partial 2y(t, 0)
\partial x2
=
\partial 2y(t, \pi )
\partial x2
= 0, t \in [0, T ], (31)
i початковими
y(t, x) = y0(t, x), (t, x) \in [ - h, 0]\times [0, \pi ],
\biggl(
\partial 2
\partial x2
+ 1
\biggr)
y(0, x) = z0(x), x \in [0, \pi ], (32)
умовами. У (30) i (32) ми припускаємо, що B1,K \in \scrL
\bigl(
L2(0, \pi )
\bigr)
, y0(t, x) \in L2([ - h, 0]\times [0, \pi ]),
z0(x) \in L2(0, \pi ). Допустимi керування переслiдувача u(t, x) \in L2
\bigl(
[0, T ] \times [0, \pi ]
\bigr)
i втiкача
v(t, x) \in L2
\bigl(
[0, T ] \times [0, \pi ]
\bigr)
задовольняють такi обмеження: u(t, \cdot ) \in U0 i v(t, \cdot ) \in V0, де U0
та V0 — замкненi кулi в L2(0, \pi ) з центром у нулi та радiусами \varrho 1 > 0 i \varrho 2 > 0. Введемо у
розгляд множини допустимих керувань U1, V1 \subset L2
\bigl(
[0, T ]\times [0, \pi ]
\bigr)
= L2
\bigl(
0, T ;L2(0, \pi )
\bigr)
(
.
= H).
Мета гри в системi (30) – (32) полягає у приведеннi динамiчного вектора
\partial 2y(t, x)
\partial x2
+ y(t, x) в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ 173
термiнальну множину \scrM \subset L2(0, \pi ) за час, що не перевищує T, у класi допустимих керувань
переслiдувача для довiльного допустимого керування втiкача. Виберемо термiнальну множину
\scrM = (E - \Pi )L2(0, \pi )\oplus \scrB d, де \Pi — ортогональний проєктор у просторi L2(0, \pi ), а \scrB d, — d-окiл
нуля у пiдпросторi \Pi L2(0, \pi ).
У просторi L2(0, \pi ) введемо оператори
Ag =
d2g(x)
dx2
+ g(x), DA =
\bigl\{
g(x) \in W 2
2 (0, \pi ), g(0) = g(\pi ) = 0
\bigr\}
,
Bg = - d
4g(x)
dx4
, DB =
\bigl\{
g(x) \in W 4
2 (0, \pi ), g(0) = g(\pi ) = g\prime \prime (0) = g\prime \prime (\pi ) = 0
\bigr\}
.
Мiшану задачу (30) – (32) iнтерпретуємо як абстрактну задачу (1), (3), (4) у просторi Y = Z =
= U = V = L2(0, \pi ) з f(t) = 0, K1 = K2 = K i
\int 0
- h
d\eta (\tau )y(t + \tau ) = B1y(t - h). Оператор
A є виродженим: \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x\} . Операторна в’язка \lambda A+ B визначена на D = DB i має
резольвенту
R(\lambda )g = (\lambda A+B) - 1g =
\infty \sum
m=1
gmem(x)
\lambda (1 - m2) - m4
, \lambda \not = \lambda m =
m4
1 - m2
, m = 2, 3, . . . ,
де gm — коефiцiєнти Фур’є функцiї g(x) \in L2(0, \pi ) у розвиненнi в ряд g(x) =
\sum \infty
m=1
gmem(x)
за ортонормованим базисом em(x) =
\sqrt{}
2/\pi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mx. Зауважимо, що в [24, 25] використано роз-
клади Фур’є за системами синусiв i косинусiв. Псевдорезольвента AR(\lambda ) задовольняє обме-
ження (5) зi сталими M = 1, \omega = 0.
Нехай \Pi m — ортогональнi проєктори у пiдпросторах \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mx\} . Позначимо \Pi 0 = E - \Pi 1.
Знаходимо
Z1 = (\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A)\bot , Z2 = D2 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A, D1 = DB \cap (\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A)\bot ,
P1 = Q1 = \Pi 0, P2 = Q2 = \Pi 1, G - 1g = - g1e1(x) +
\infty \sum
m=2
gmem(x)
1 - m2
, (33)
Wg =
\infty \sum
m=2
m4gmem(x)
1 - m2
, U(t)g = g1e1(x) +
\infty \sum
m=2
e\lambda mtgmem(x).
Бачимо, що G
- 1
= G - 1 \in \scrL (L2(0, \pi )). Розв’язок мiшаної задачi (30) – (32) розумiємо в
сенсi розв’язку абстрактної задачi (1), (3), (4). Припустимо, що z0(x) \in DA \cap (\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A)\bot i
\mathrm{I}\mathrm{m}B1 \cup \mathrm{I}\mathrm{m}K \subset DA. За теоремою 1 iснує єдиний розв’язок y(t, x) \in L2
\bigl(
[ - h, T ] \times [0, \pi ]
\bigr)
мiшаної задачi (30) – (32) такий, що y(t, \cdot ) \in W 1
2
\bigl(
0, T ;L2(0, \pi )
\bigr)
, y(t, x) \in DB майже для всiх
t \in [0, T ] i спiввiдношення (30) – (32) задовольняються майже для всiх t \in [0, T ], x \in [0, \pi ].
Розв’язок зображується у виглядi (8) за допомогою спiввiдношень (33).
Скористаємося тепер теоремами 2 i 3, щоб розв’язати iгрову задачу у системi (30) – (32).
Введемо оператор
(\Psi \theta z)(t, x) = \chi [0,\theta ](t)\Pi U(\theta - t)Q1(\Phi Kz)(t, x), \Psi \theta \in \scrL (H).
Тут \chi [0,\theta ](t) — характеристична функцiя сегмента [0, \theta ], \Phi \in \scrL (H) — оператор, що означений
в (14). Отже, ми маємо такi зображення для опорних функцiоналiв (18):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
174 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. Г. РУТКАС, А. О. ЧИКРIЙ
\varphi U (q, \theta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in U1
\langle q,\Psi \theta u\rangle H = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in U1
\langle \Psi \ast
\theta q, u\rangle H = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in U1
T\int
0
\langle \Psi \ast
\theta q, u\rangle Y dt,
\varphi V (q, \theta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in V1
\langle q,\Psi \theta v\rangle H = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in V1
\langle \Psi \ast
\theta q, v\rangle H = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in V1
T\int
0
\langle \Psi \ast
\theta q, v\rangle Y dt.
Точна верхня межа досягається при u = \varrho 1\Psi
\ast
\theta q\| \Psi \ast
\theta q\|
- 1
Y , v = \varrho 2\Psi
\ast
\theta q\| \Psi \ast
\theta q\|
- 1
Y , i ми одержуємо
зображення для функцiй (18), (19):
\varphi U (q, \theta ) = \varrho 1
T\int
0
\| (\Psi \ast
\theta q)(t, x)\| Y dt, \varphi V (q, \theta ) =
\varrho 2
\varrho 1
\varphi U (q, \theta ),
p(q, \theta ) = (\varrho 2 - \varrho 1)
T\int
0
\| \Psi \ast
\theta q\| Y dt+ \langle q, \zeta (\theta )\rangle Y .
Тут функцiя \zeta (t, x) \in H iз означення (14) зображується у виглядi
\zeta = \Pi A
N - 1\sum
k=0
(LF )kw, w(t, x) = \chi [0,T ](t)G
- 1U(t)z0(x) + \chi [ - h,0](t)y0(t, x). (34)
За теоремою 2 необхiднi та достатнi умови (23) для завершення гри у системi (30) – (32) в
момент часу \theta набирають вигляду
(\varrho 2 - \varrho 1)
T\int
0
\| \Psi \ast
\theta q\| Y dt+ \langle q, \zeta (\theta )\rangle Y \leq d, \forall q \in L2(0, \pi ) : \| q\| = 1. (35)
Для визначеностi покладемо K = B1 = \Pi 2, \Pi = E, y0(t, x) = 0, z0(x) = z02e2(x). У
цьому випадку, використовуючи зображення для операторiв L i F (7), одержуємо
(LFz)(t, x) = \chi [0,T ](t)
t\int
0
e\lambda 2(t - s)z2(s - h)ds
e2(x)
- 3
, w(t, x) = \chi [0,T ](t)
e\lambda 2tz02
- 3
e2(x),
(F \ast L\ast z)(t, x) = (L\ast F \ast z)(t, x) = \chi [0,T - h](t)
T\int
t+h
e\lambda 2(s - t - h)z2(s)ds
e2(x)
- 3
,
де z(t, x) =
\sum \infty
m=1
zm(t)em(x), z0(x) =
\sum \infty
m=1
z0mem(x).
Маємо
\Psi \ast
\theta z = \Pi 2\Phi
\ast [\chi [0,\theta ](t)U(\theta - t)z(t, x)], \Phi \ast =
N - 1\sum
k=0
(L\ast F \ast )k.
Це дозволяє знайти зображення
(\Psi \ast
\theta q)(t, x) = \alpha (t, \theta )q2e2(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ 175
\alpha (t, \theta ) =
N0 - 1\sum
k=0
\chi [0,\theta - kh](t)e
\lambda 2(\theta - t - kh) (\theta - t - kh)k
k! ( - 3)k
, N0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ j \in \bfN : \theta \leq jh\} .
Функцiя \zeta (t, x) (34) набирає вигляду
\zeta (t, x) = \beta (t)z02e2(x), \beta (t) =
N - 1\sum
k=0
\chi [kh,T ](t)e
\lambda 2(t - kh) (t - kh)k
k! ( - 3)k
.
Зрозумiло, що
\varphi U (q, \theta ) = \varrho 1| q2|
\theta \int
0
| \alpha (t, \theta )| dt, p(q, \theta ) = (\varrho 2 - \varrho 1)| q2|
\theta \int
0
| \alpha (t, \theta )| dt+ q2\beta (\theta )z02.
Нерiвнiсть (35) для завершення гри у момент часу \theta має вигляд
(\varrho 2 - \varrho 1)
\theta \int
0
| \alpha (t, \theta )| dt+ | z02\beta (\theta )| \leq d.
Знаходимо функцiю p0(\theta ) (26):
p0(\theta ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left\{ 0, (\varrho 2 - \varrho 1)
\theta \int
0
| \alpha (t, \theta )| dt+ | z02\beta (\theta )|
\right\} .
Умова (27) набирає вигляду | z02| > d. Якщо T \geq h i
\varrho 1 - \varrho 2 \geq
d\lambda 2 - | z02| \lambda 2e\lambda 2h
1 - e\lambda 2h
,
то умова (28) виконується для \theta \ast = h. За теоремою 3 гру у системi (30) – (32) можна завершити
за мiнiмальний час
T0 =
1
\lambda 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl[
\varrho 1 - \varrho 2 - d\lambda 2
\varrho 1 - \varrho 2 - | z02| \lambda 2
\biggr]
.
Застосовуючи метод розв’язуючих функцiй [3, 18], для довiльного допустимого керування
втiкача v(t, x) можна побудувати допустиме керування переслiдувача u(t, x), що дозволяє за-
вершити гру у системi (30) – (32). Наприклад, нехай мета гри полягає в переведеннi динамiчного
вектора Ay(t, x) в нуль. У цьому випадку
d = 0, \varrho 1 - \varrho 2 \geq
| z02| \lambda 2e\lambda 2h
e\lambda 2h - 1
, T0 =
1
\lambda 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl[
\varrho 1 - \varrho 2
\varrho 1 - \varrho 2 - | z02| \lambda 2
\biggr]
.
Оскiльки T0 \leq h, то за допомогою (8) одержуємо зображення динамiчного вектора Ay(t, x)
для (t, x) \in [0, T0]\times [0, \pi ]:
Ay(t, x) = A
\bigl[
w(t, x) + L(u+ v)(t, x)
\bigr]
= e\lambda 2t
\left\{ z02 +
t\int
0
e - \lambda 2s
\bigl[
u2(s) + v2(s)
\bigr]
ds
\right\} e2(x). (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
176 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. Г. РУТКАС, А. О. ЧИКРIЙ
Якщо v(t, x) — допустиме керування втiкача, то допустиме керування переслiдувача виберемо
у виглядi
u(t, x) =
\left\{ - \varrho 1sign z02e2(x), t \in [0, t\ast ),
- v(t, x), t \in [t\ast , T0],
(37)
де час t\ast задовольняє спiввiдношення
t\ast \int
0
e - \lambda 2s \varrho 1 - v2(s)signz02
| z02|
ds = 1. (38)
Покажемо, що при такому виборi керування переслiдувача гра буде завершена за мiнiмальний
час T0. Спочатку доведемо iснування числа t\ast \in (0, T0], що задовольняє спiввiдношення (38).
Оскiльки \delta 0(t) = e - \lambda 2t| z02| - 1(\varrho 1 - v2(t)signz02) \geq 0 для t \in [0, T0], то \delta (t) =
\int t
0
\delta 0(s)ds —
монотонно неспадна неперервна функцiя така, що \delta (0) = 0 i \delta (T0) \geq 1. Тодi iснує число
t\ast \in (0, T0], для якого \delta (t\ast ) = 1, що й потрiбно було довести. Тепер неважко бачити, що при
виборi керування у виглядi (37) динамiчний вектор (36) буде переведено в нуль при t = T0 :
Ay(T0, x) = e\lambda 2T0
\left\{ z02 +
t\ast \int
0
e - \lambda 2s[v2(s) - \varrho 1sign z02]ds
\right\} e2(x) = 0.
Лiтература
1. R. Isaacs, Differential games, John Wiley and Sons, New York etc. (1965).
2. A. Friedman, Differential games of pursuit in Banach spaces, Math. Anal. and Appl., 25, 93 – 113 (1969);
https://doi.org/10.1016/0022-247X(69)90215-7.
3. A. A. Chikrii, Conflict-controlled processes, Springer Sci. and Business Media, Dordrecht (2013);
http://doi.org/10.1007/978-94-017-1135-7.
4. J. Yong, Differential games: a concise introduction, World Sci. Publ., New Jersey etc. (2015);
https://doi.org/10.1142/9121.
5. Н. Н. Красовский, Ю. С. Осипов, Линейные дифференциально-разностные игры, Докл. АН СССР, 197, 777 –
780 (1971).
6. E. N. Chukwu, Capture in linear functional differential games of pursuit, J. Math. Anal. and Appl., 70, 326 – 336
(1979); https://doi.org/10.1016/0022-247X(79)90047-7.
7. А. А. Чикрий, Г. Ц. Чикрий, Групповое преследование в дифференциально-разностных играх, Дифференц.
уравнения, 20, 802 – 810 (1984).
8. P. V. Reddy, J. C. Engwerda, Feedback properties of descriptor systems using matrix projectors and
applications to descriptor differential games, SIAM J. Matrix Anal. and Appl., 34, 686 – 708 (2013);
https://doi.org/10.1137/100819321.
9. J. H. Lightbourne, S. M. Rankin, A partial functional differential equation of Sobolev type, J. Math. Anal. and Appl.,
93, 328 – 337 (1983); https://doi.org/10.1016/0022-247X(83)90178-6.
10. J. K. Hale, S. M. Verduyn Lunel, Introduction to functional differential equations, Springer-Verlag, New York (1993).
11. A. G. Rutkas, L. A. Vlasenko, Time-domain descriptor models for circuits with multiconductor transmission lines
and lumped elements, Proc. 5th IEEE Int. Conf. Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals (Sevastopol, Crimea),
102 – 104 (2010); https://doi.org/10.1109/UWBUSIS.2010.5609106.
12. E. Hille, R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Providence, Rhode Island (1957).
13. K. Yosida, Functional analysis, Springer-Verlag, Berlin etc. (1980).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IГРИ З НЕАТОМАРНИМ РIЗНИЦЕВИМ ОПЕРАТОРОМ 177
14. L. A. Vlasenko, A. G. Rutkas, Optimal control of undamped Sobolev-type retarded systems, Math. Notes, 102,
297 – 309 (2017); https://doi.org/10.1134/S0001434617090012.
15. A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New
York etc. (1983).
16. J. L. Lions, Optimal control of systems governed by partial differential equations, Springer-Verlag, New York etc.
(1971).
17. O. A. Boichuk, V. L. Makarov, V. A. Feruk, A criterion of solvability of resonant equations and construction of their
solutions, Ukr. Math. J., 71, № 11, 1510 – 1521 (2020); https://doi.org/10.1007/s11253-020-01728-7.
18. A. A. Chikrii, An analytical method in dynamic pursuit games, Proc. Steklov Inst. Math., 271, 69 – 85 (2010);
https://doi.org/10.1134/S0081543810040073.
19. L. A. Vlasenko, A. G. Rutkas, On a differential game in a system described by an implicit differential-operator
equation, Different. Equat., 51, 798 – 807 (2015); http://doi.org/10.1134/S0012266115060117.
20. L. A. Vlasenko, A. A. Chikrii, On a differential game in a system with distributed parameters, Proc. Steklov Inst.
Math., 292, Issue 1 Supplement, 276 – 285 (2016); https://doi.org/10.1134/S0081543816020243.
21. A. V. Balakrishnan, Introduction to optimization theory in a Hilbert space, Springer-Verlag, Berlin etc. (1971).
22. R. E. Showalter, T. W. Ting, Pseudoparabolic partial differential equations, SIAM J. Math. Anal., 1, 1 – 26 (1970);
https://doi.org/10.1137/0501001.
23. A. Rutkas, L. Vlasenko, Implicit operator differential equations and applications to electrodynamics, Math. Methods
Appl. Sci., 23, 1 – 15 (2000); https://doi.org/10.1002/(SICI)1099-1476(20000110)23:1<1::AID-MMA100>3.0.CO;2-5.
24. В. Л. Макаров, Н. В. Майко, Ваговi оцiнки точностi методу перетворення Келi для абстрактних крайових
задач у банаховому просторi, Доп. НАН України, № 5, 3 – 9 (2020); https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.05.003.
25. V. L. Makarov, N. V. Mayko, Weighted estimates of the Cayley transform method for boundary value problems in a
Banach space, Numer. Funct. Anal. and Optim., 42, 211 – 233 (2021); https://doi.org/10.1080/01630563.2020.1871010.
Одержано 26.08.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6895 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:40Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bf/4346f2d168cb960a620ba3775624d6bf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-68952025-03-31T08:45:58Z Functional differential games with nonatomic difference operator Функционально-дифференциальные игры с неатомарным разностным оператором Функціонально-диференціальні ігри з неатомарним різницевим оператором Vlasenko, L. A. Rutkas, A. G. Chikrii, A. O. Власенко, Л. A. Руткас, А. Г. Чикрій, А. О. Руткас, Анатолий Чикрий, Аркадий диференціальна гра функціонально-диференціальне рівняння запізнення гільбертів простір рівняння з частинними похідними differential game functional differential equation Hilbert space partial differential equation UDC 517.9 We study a differential game of approach in a system whose dynamics is describedby a linear functional differential equation. The coefficients of the equation are closed linear operators on Hilbert spaces. The operator multiplying the state derivative at the current time is generally non-invertible. The main assumption is a restriction imposed on the characteristic operator pencil of the equation on a ray of real the positive semi-axis. Solutions of the equation are represented with the help of a formula of variation of constants where the delay effect is taken into account by summing shift type operators. To obtain conditions for the approach of the system dynamic vector to a cylindrical terminal set, we use constraints on support functionals of two sets defined by the behavior of pursuer and evader.The paper contains an example to illustrate the differential game in a pseudoparabolic system described by a partial functional differential equation. Мы изучаем дифференциальную игру преследования в системе, динамика которой описывается линейным функционально-дифференциальным уравнением. Коэффициенты уравнения есть замкнутые линейные операторы, которые действуют в гильбертовых пространствах. Оператор при производной состояния в текущий момент времени является, вообще говоря, необратимым. Основное предположение состоит в ограничении на характеристический операторный пучок уравнения на луче вещественной положительной полуоси.Решения уравнения представляются с помощью формулы вариации постоянных, где эффект запаздывания учитывается путем суммирования операторов типа сдвига. Для получения условия приближения динамического вектора системы к цилиндрическому терминальному множеству мы используем ограничения на опорные функционалы двух множеств, которые определяются поведением преследователя и убегающего. Статья содержит пример, который иллюстрирует дифференциальную игру в псевдопараболической системе, которая описывается функционально-дифференциальным уравнением с частными производными. УДК 517.9Вивчається диференцiальна гра переслiдування у системi, динамiка якої описується лiнiйним функцiонально-диференцiальним рiвнянням. Коефiцiєнти рiвняння є замкненими лiнiйними операторами, що дiють у гiльбертових просторах. Оператор при похiднiй стану у поточний час є, взагалi кажучи, необоротним. Основне припущення полягає в обмеженнi на характеристичну операторну в’язку рiвняння на променi дiйсної додатної пiвосi. Розв’язки рiвняння зображуються за допомогою формули варiацiї сталих, де ефект запiзнення враховується шляхом пiдсумовування операторiв типу зсуву. Для отримання умов наближення динамiчного вектора системи до цилiндричної термiнальної множини ми використовуємо обмеження на опорнi функцiонали двох множин, що визначаються поведiнками переслiдувача i втiкача. Наведено приклад диференцiальної гри в псевдопараболiчнiй системi, що описується функцiонально-диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-02-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6895 10.37863/umzh.v74i2.6895 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 2 (2022); 164 - 177 Український математичний журнал; Том 74 № 2 (2022); 164 - 177 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6895/9189 Copyright (c) 2022 Лариса Власенко, Анатолій Руткас, Аркадій Чикрій |
| spellingShingle | Vlasenko, L. A. Rutkas, A. G. Chikrii, A. O. Власенко, Л. A. Руткас, А. Г. Чикрій, А. О. Руткас, Анатолий Чикрий, Аркадий Functional differential games with nonatomic difference operator |
| title | Functional differential games with nonatomic difference operator |
| title_alt | Функционально-дифференциальные игры с неатомарным разностным оператором Функціонально-диференціальні ігри з неатомарним різницевим оператором |
| title_full | Functional differential games with nonatomic difference operator |
| title_fullStr | Functional differential games with nonatomic difference operator |
| title_full_unstemmed | Functional differential games with nonatomic difference operator |
| title_short | Functional differential games with nonatomic difference operator |
| title_sort | functional differential games with nonatomic difference operator |
| topic_facet | диференціальна гра функціонально-диференціальне рівняння запізнення гільбертів простір рівняння з частинними похідними differential game functional differential equation Hilbert space partial differential equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6895 |
| work_keys_str_mv | AT vlasenkola functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT rutkasag functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT chikriiao functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT vlasenkola functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT rutkasag functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT čikríjao functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT rutkasanatolij functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT čikrijarkadij functionaldifferentialgameswithnonatomicdifferenceoperator AT vlasenkola funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT rutkasag funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT chikriiao funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT vlasenkola funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT rutkasag funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT čikríjao funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT rutkasanatolij funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT čikrijarkadij funkcionalʹnodifferencialʹnyeigrysneatomarnymraznostnymoperatorom AT vlasenkola funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom AT rutkasag funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom AT chikriiao funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom AT vlasenkola funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom AT rutkasag funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom AT čikríjao funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom AT rutkasanatolij funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom AT čikrijarkadij funkcíonalʹnodiferencíalʹníígrizneatomarnimríznicevimoperatorom |