On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions
UDC 519.653 For the problem of numerical differentiation for bivariate functions with finite smoothness, the exact orders of the minimum radius of Galerkin information are found, and also a variant of the truncation method is constructed, which is optimal in the sense of the indicated quantity.
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6906 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512559529984000 |
|---|---|
| author | Solodky , S. G. Stasyuk, S. A. Солодкий, С. Г. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Solodky , S. G. Stasyuk, S. A. Солодкий, С. Г. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Solodky , S. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:45:58Z |
| description | UDC 519.653
For the problem of numerical differentiation for bivariate functions with finite smoothness, the exact orders of the minimum radius of Galerkin information are found, and also a variant of the truncation method is constructed, which is optimal in the sense of the indicated quantity. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i2.6906 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i2.6906
УДК 519.653
С. Г. Солодкий, С. А. Стасюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ
ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ
For the problem of numerical differentiation for bivariate functions with mixed smoothness, we find the exact orders of the
minimal radius of Galerkin information and construct a truncation method, which is optimal in the sense of the indicated
quantity.
Для задачi чисельного диференцiювання функцiй двох змiнних iз мiшаною гладкiстю знайдено точнi порядки
мiнiмального радiуса гальоркiнської iнформацiї, а також побудовано варiант методу зрiзання, що є оптимальним у
сенсi цiєї величини.
1. Вступ. Постановка задачi. Нехай C = C(Q) — простiр неперервних на Q = [ - 1, 1]2
функцiй двох змiнних iз нормою \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(t,\tau )\in Q f(t, \tau ). Через \{ \varphi k(t)\} \infty k=0 позначимо ор-
тонормовану на [ - 1, 1] систему полiномiв Лежандра
\varphi k(t) =
\sqrt{}
k + 1/2 (2kk!) - 1 d
k
dtk
\bigl[
(t2 - 1)k
\bigr]
, k = 0, 1, 2, . . . .
Пiд L2 = L2(Q) розумiтимемо простiр сумовних з квадратом на Q функцiй f(t, \tau ) зi
скалярним добутком
\langle f, g\rangle =
1\int
- 1
1\int
- 1
f(t, \tau ) g(t, \tau ) d\tau dt
i стандартною нормою
\| f\| 22 =
\infty \sum
k,j=0
\bigm| \bigm| \langle f, \varphi k,j\rangle \bigm| \bigm| 2 <\infty ,
де
\langle f, \varphi k,j\rangle =
1\int
- 1
1\int
- 1
f(t, \tau )\varphi k(t)\varphi j(\tau ) d\tau dt, k, j = 0, 1, 2, . . . ,
— коефiцiєнти Фур’є – Лежандра функцiї f.
Нехай \BbbN 0 = \BbbN \cup \{ 0\} . Через \ell 2 позначимо простiр числових послiдовностей x = \{ xk,j\} (k,j)\in \BbbN 2
0
таких, що
\| x \| 2\ell 2 :=
\sum
(k,j)\in \BbbN 2
0
| xk,j | 2 <\infty .
Наведемо означення простору гладких функцiй
L\mu 2 := L\mu 2 (Q) :=
\left\{ f \in L2(Q) : \| f\| 2\mu =
\infty \sum
k,j=0
k2\mu 1j2\mu 2\langle f, \varphi k,j\rangle 2 <\infty
\right\} ,
де \mu = (\mu 1, \mu 2), \mu 1, \mu 2 > 0, k = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, k\} , k = 0, 1, 2, . . . .
c\bigcirc С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2 253
254 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
Зауважимо, що у подальшому ми будемо використовувати однаковi позначення як для про-
стору, так i для одиничної кулi L\mu 2 = L\mu 2 (Q) =
\bigl\{
f \in L\mu 2 : \| f\| 2\mu \leq 1
\bigr\}
з цього простору, яку
назвемо класом функцiй. Що саме мається на увазi пiд L\mu 2 : простiр чи клас, буде зрозумiло в
залежностi вiд контексту у кожному конкретному випадку. Зауважимо, що L\mu 2 узагальнює клас
функцiй двох змiнних, якi мають домiнуючу мiшану частинну похiдну.
Припустимо, що замiсть точних значень коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра \langle f, \varphi k,j\rangle доступни-
ми є лише деякi їх збурення. Бiльш строго, вважатимемо, що вiдомою є числова послiдовнiсть
f \delta =
\bigl\{
\langle f \delta , \varphi k,j\rangle
\bigr\}
(k,j)\in \BbbN 2
0
така, що
\infty \sum
k,j=0
\xi 2k,j \leq \delta 2, 0 < \delta < 1, (1.1)
де \xi k,j = \langle f - f \delta , \varphi k,j\rangle , k, j = 0, 1, 2, . . . .
Пiд першою частинною похiдною f (1,0) функцiї f \in L\mu 2 розумiтимемо ряд
f (1,0)(t, \tau ) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
j=0
\langle f, \varphi k,j\rangle \varphi \prime
k(t)\varphi j(\tau ). (1.2)
Розглянемо задачу чисельного диференцiювання функцiй з L\mu 2 , яка полягає у побудовi на-
ближень до (1.2), що є стiйкими до малих збурень вхiдних даних. Торкаючись iсторiї вивчення
методiв чисельного диференцiювання, слiд зазначити, що iнтенсивного розвитку цi дослiдження
набули у 60-х роках минулого столiття внаслiдок створення теорiї некоректних задач. Першою
роботою щодо диференцiювання функцiй, що була написана з точки зору теорiї некоректних
задач, є [2]. Станом на сьогоднiшнiй день багатьма дослiдниками було запропоновано та об-
ґрунтовано рiзнi методи чисельного диференцiювання функцiй однiєї змiнної (див., наприклад,
[1, 4 – 6, 13, 14, 20, 21]). Що стосується функцiй кiлькох (навiть двох) змiнних, то вказана задача
вивчена значно менше. Тут можна згадати, зокрема, роботи [7, 11, 17, 22].
Дослiдження даної роботи присвячено оптимiзацiї методiв чисельного диференцiювання
функцiй iз класiв L\mu 2 . Далi наведемо строгу постановку задачi, що буде вивчатися. У коорди-
натному просторi \BbbN \times \BbbN 0 вiзьмемо довiльну обмежену область \Omega . Пiд \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Omega ) розумiтимемо
кiлькiсть точок, що складають \Omega . Iнформацiйним вектором G
\bigl(
\Omega , f \delta
\bigr)
\in \BbbR N , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Omega ) = N,
будемо називати набiр значень збурених коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра
\bigl\{
\langle f \delta , \varphi k,j\rangle
\bigr\}
(k,j)\in \Omega .
Нехай X = L2(Q) або X = C(Q). Пiд алгоритмом чисельного диференцiювання розумiти-
мемо будь-яке вiдображення \psi (1,0) = \psi (1,0)(\Omega ), що зiставляє iнформацiйному вектору G
\bigl(
\Omega , f \delta
\bigr)
елемент \psi (1,0)
\bigl(
G
\bigl(
\Omega , f \delta
\bigr) \bigr)
\in X, який береться за наближення до першої частинної похiдної
функцiї f iз класу L\mu 2 . Сукупнiсть усiх алгоритмiв \psi (1,0)(\Omega ) : \BbbR N \rightarrow X, що використовують
один i той же iнформацiйний вектор G
\bigl(
\Omega , f \delta
\bigr)
, позначимо через \Psi (\Omega ).
Слiд зазначити, що вiд алгоритмiв з множини \Psi (\Omega ), взагалi кажучи, не вимагається нi
лiнiйностi, нi навiть стiйкостi. Єдина умова для алгоритмiв з \Psi (\Omega ) полягає у використаннi
вхiдної iнформацiї у виглядi збурених значень коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра з iндексами, що
належать до областi \Omega координатної площини. Таке загальне розумiння алгоритму пояснюється
прагненням до охоплення та порiвняння якомога бiльш широкого кола можливих способiв
чисельного диференцiювання.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 255
Похибка алгоритму \psi (1,0) на класi функцiй L\mu 2 визначається величиною
\varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 , \psi
(1,0)(\Omega ), X, \ell 2
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\mu
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\delta : (1.1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (1,0) - \psi (1,0)
\bigl(
G
\bigl(
\Omega , f \delta
\bigr) \bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
.
Мiнiмальним радiусом гальоркiнської iнформацiї для задачi чисельного диференцiювання
на класi L\mu 2 будемо називати величину
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , X, \ell 2
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Omega : card(\Omega )\leq N
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\psi (1,0)\in \Psi (\Omega )
\varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 , \psi
(1,0)(\Omega ), X, \ell 2
\bigr)
.
Величина R(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , X, \ell 2
\bigr)
визначає мiнiмальну похибку в метрицi простору X, яку мож-
на досягти при чисельному диференцiюваннi довiльної функцiї f \in L\mu 2 , використовуючи при
цьому не бiльше нiж N значень її коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра, якi є \delta -збуреними в метрицi
\ell 2. Зазначимо, що ранiше для iнших типiв некоректних задач мiнiмальний радiус гальоркiн-
ської iнформацiї вивчався в роботах [8, 12]. Слiд додати, що мiнiмальний радiус характеризує
iнформацiйну складнiсть розглядуваної задачi i традицiйно дослiджується в рамках IBC-теорiї
(Information Based Complexity Theory), основи якої закладено в монографiї [19].
Метою наших дослiджень є знаходження порядкових оцiнок величин R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
i
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
.
2. Стандартний варiант методу зрiзання. Оцiнка похибки в \bfitL 2 . Дослiдження в пунк-
тах 2 – 4 присвячено застосуванню методу зрiзання для чисельного диференцiювання функцiй
з L\mu 2 (Q). Суть цього методу полягає в замiнi ряду Фур’є (1.2) скiнченною сумою Фур’є, що
використовує збуренi данi \langle f \delta , \varphi k,j\rangle . Для забезпечення стiйкостi наближення та досягнення
необхiдного порядку точностi в методi зрiзання необхiдно вибрати належним чином параметр
дискретизацiї, який тут вiдiграє роль параметра регуляризацiї. В узгодженнi параметра дис-
кретизацiї з рiвнем збурення вхiдних даних i полягає процес регуляризацiї в методi зрiзання.
Простота реалiзацiї є основною перевагою цього методу. На сьогоднi iснує кiлька пiдходiв
щодо того, з якої областi координатного простору вибирати iндекси задiяних коефiцiєнтiв
Фур’є – Лежандра функцiй багатьох змiнних. В межах наших дослiджень будуть розглянутi
два найефективнiших та найпопулярнiших пiдходи до вибору цiєї областi: по-перше, стандарт-
ний варiант, коли область є прямокутником, а також модифiкований варiант, який полягає у
застосуваннi так званого гiперболiчного хреста (бiльш докладно про використання гiпербо-
лiчного хреста в теорiї наближень див. огляд [3], а при розв’язуваннi некоректних задач —
[8, 9, 12, 15, 16]).
Насамперед розглянемо стандартний пiдхiд, тобто стандартний варiант методу зрiзання:
\scrD n,mf
\delta (t, \tau ) =
n\sum
k=1
m\sum
j=0
\langle f \delta , \varphi k,j\rangle \varphi \prime
k(t)\varphi j(\tau ). (2.1)
Тут за область \Omega взято прямокутник \Box n,m = [1, n]\times [0,m]. Параметри n i m слiд вибирати в
(2.1) залежно вiд \delta i \mu так, щоб мiнiмiзувати похибку
f (1,0)(t, \tau ) - \scrD n,mf
\delta (t, \tau ) =
\bigl(
f (1,0)(t, \tau ) - \scrD n,mf(t, \tau )
\bigr)
+
\bigl(
\scrD n,mf(t, \tau ) - \scrD n,mf
\delta (t, \tau )
\bigr)
. (2.2)
Перший доданок у правiй частинi (2.2) запишемо у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
256 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
f (1,0)(t, \tau ) - \scrD n,mf(t, \tau ) = \Delta 1(t, \tau ) + \Delta 2(t, \tau ), (2.3)
де
\Delta 1(t, \tau ) =
\infty \sum
k=n+1
\infty \sum
j=0
\langle f, \varphi k,j\rangle \varphi \prime
k(t)\varphi j(\tau ), (2.4)
\Delta 2(t, \tau ) =
n\sum
k=1
\infty \sum
j=m+1
\langle f, \varphi k,j\rangle \varphi \prime
k(t)\varphi j(\tau ). (2.5)
У подальшому нам знадобиться формула (див. [10], лема 18)
\varphi \prime
k(t) =
\sqrt{}
k + 1/2
(k - qk - 1)/2\sum
i=0
\sqrt{}
2i+ qk + 1/2\varphi 2i+qk(t), k \in \BbbN , (2.6)
де qk = 1, якщо k парне, i qk = 0, якщо k непарне.
Виконуючи замiну змiнних l = 2i+ qk, з (2.6) одержуємо
\varphi \prime
k(t) =
\sqrt{}
k + 1/2
k - 1\sum
l=qk
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t) =
\sqrt{}
k + 1/2
k - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t), k \in \BbbN , (2.7)
де в агрегатi
\sum \ast k - 1
l=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t) пiдсумовування проводиться лише по таких l, що l + k
непарне.
Використовуючи (2.7) та змiнюючи порядок пiдсумовування
\infty \sum
k=n+1
k - 1\sum \ast
l=0
=
n\sum \ast
l=0
\infty \sum
k=n+1
+
\infty \sum \ast
l=n+1
\infty \sum
k=l+1
,
для (2.4) маємо
\Delta 1(t, \tau ) = 2
n\sum \ast
l=0
\infty \sum
j=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau )
\infty \sum
k=n+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle +
+2
\infty \sum \ast
l=n+1
\infty \sum
j=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau )
\infty \sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle , (2.8)
тобто
\Delta 1(t, \tau ) = 2
\infty \sum \ast
l=0
\infty \sum
j=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau ) alj , (2.9)
де alj =
\sum \infty
k=n+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle , якщо l \leq n, або alj =
\sum \infty
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle , якщо
l > n.
Лема 2.1. Нехай f \in L\mu 2 , \mu 1 > 2, \mu 2 > 0. Тодi\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,mf
\bigm\| \bigm\|
2
\leq c \| f\| \mu (n - \mu 1+2 +m - \mu 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 257
Доведення. Зважаючи на (2.9), маємо
\| \Delta 1\| 22 = 4
\infty \sum \ast
l=0
(l + 1/2)
\infty \sum
j=0
a2lj .
Спочатку розглянемо випадок l \leq n. Тодi для \mu 1 > 1 одержуємо
\infty \sum
j=0
a2lj =
\infty \sum
j=0
\Biggl( \infty \sum
k=n+1
\sqrt{}
k + 1/2
k\mu 1j\mu 2
k\mu 1j\mu 2
\langle f, \varphi k,j\rangle
\Biggr) 2
\leq
\leq
\infty \sum
k=n+1
k + 1/2
k2\mu 1
\infty \sum
j=0
\infty \sum
k=n+1
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2 \leq
\leq c \| f\| 2\mu
\infty \sum
k=n+1
1
k2\mu 1 - 1
\leq c \| f\| 2\mu n - 2\mu 1+2.
Нехай тепер l > n. Тодi для \mu 1 > 1 справджується
\infty \sum
j=0
a2lj =
\infty \sum
j=0
\Biggl( \infty \sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2
k\mu 1j\mu 2
k\mu 1j\mu 2
\langle f, \varphi k,j\rangle
\Biggr) 2
\leq
\leq
\infty \sum
k=l+1
k + 1/2
k2\mu 1
\infty \sum
j=0
\infty \sum
k=l+1
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2 \leq
\leq c \| f\| 2\mu
\infty \sum
k=l+1
1
k2\mu 1 - 1
\leq c \| f\| 2\mu (l + 1) - 2\mu 1+2.
Завдяки одержаним вище оцiнкам при \mu 1 > 2 знаходимо
\| \Delta 1\| 22 \leq c \| f\| 2\mu
\Biggl(
n - 2\mu 1+2
n\sum
l=0
(l + 1/2) +
\infty \sum
l=n+1
l + 1/2
(l + 1)2\mu 1 - 2
\Biggr)
\leq c \| f\| 2\mu n - 2\mu 1+4.
Таким чином,
\| \Delta 1\| 2 \leq c \| f\| \mu n - \mu 1+2. (2.10)
Перейдемо до оцiнки норми доданка \Delta 2(t, \tau ). З урахуванням (2.7) та змiни порядку пiдсу-
мовування
n\sum
k=1
k - 1\sum \ast
l=0
=
n - 1\sum \ast
l=0
n\sum
k=l+1
(2.11)
\Delta 2(t, \tau ) можна записати таким чином:
\Delta 2(t, \tau ) = 2
n - 1\sum \ast
l=0
\infty \sum
j=m+1
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau )
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle . (2.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
258 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
Запишемо рiвнiсть (2.12) у виглядi
\Delta 2(t, \tau ) = 2
n - 1\sum \ast
l=0
\infty \sum
j=m+1
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau )blj , (2.13)
де
blj =
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle .
Зважаючи на (2.13), маємо
\| \Delta 2\| 22 = 4
n - 1\sum \ast
l=0
(l + 1/2)
\infty \sum
j=m+1
b2lj .
Далi, для \mu 1 > 1, \mu 2 > 0 одержуємо
\infty \sum
j=m+1
b2lj =
\infty \sum
j=m+1
\Biggl(
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2
k\mu 1j\mu 2
k\mu 1j\mu 2
\langle f, \varphi k,j\rangle
\Biggr) 2
\leq
\leq
n\sum
k=l+1
k + 1/2
k2\mu 1
\infty \sum
j=m+1
\infty \sum
k=l+1
k2\mu 1j2\mu 2
j2\mu 2
| \langle f, \varphi k,j\rangle | 2 \leq c \| f\| 2\mu
(l + 1) - 2\mu 1+2
(m+ 1)2\mu 2
.
Тодi для \mu 1 > 2 маємо
\| \Delta 2\| 22 \leq c
\| f\| 2\mu
(m+ 1)2\mu 2
n - 1\sum
l=0
1
(l + 1)2\mu 1 - 3
\leq c \| f\| 2\mu m - 2\mu 2 ,
тобто \| \Delta 2\| 2 \leq c \| f\| \mu m - \mu 2 .
Таким чином,\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,mf
\bigm\| \bigm\|
2
\leq \| \Delta 1\| 2 + \| \Delta 2\| 2 \leq c \| f\| \mu (n - \mu 1+2 +m - \mu 2).
Лему 2.1 доведено.
З урахуванням (2.7) та змiни порядку пiдсумовування (2.11) другий доданок у правiй час-
тинi (2.2) запишемо у виглядi
\scrD n,mf(t, \tau ) - \scrD n,mf
\delta (t, \tau ) =
n\sum
k=1
m\sum
j=0
\xi kj \varphi
\prime
k(t)\varphi j(\tau ) =
= 2
n - 1\sum \ast
l=0
m\sum
j=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau )
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \xi kj . (2.14)
Лема 2.2. Нехай f \in L2. Тодi\bigm\| \bigm\| \scrD n,mf - \scrD n,mf
\delta
\bigm\| \bigm\|
2
\leq c \delta n2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 259
Доведення. Завдяки
\sum m
j=0
\Bigl( \sum n
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \xi kj
\Bigr) 2
\leq c \delta 2 n2 з (2.14) випливає, що
\bigm\| \bigm\| \scrD n,mf - \scrD n,mf
\delta
\bigm\| \bigm\|
2
= 2
\Biggl(
n - 1\sum \ast
l=0
(l + 1/2)
m\sum
j=0
\biggl( n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \xi kj
\biggr) 2
\Biggr) 1
2
\leq c \delta n2.
Лему 2.2 доведено.
Теорема 2.1. Нехай f \in L\mu 2 , \mu 1 > 2, \mu 2 > 0. Тодi при m \asymp \delta
- \mu 1 - 2
\mu 1\mu 2 , n \asymp \delta
- 1
\mu 1 маємо\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,mf
\delta
\bigm\| \bigm\|
2
\preceq \delta
\mu 1 - 2
\mu 1 .
Доведення. Згiдно з лемами 2.1, 2.2 справджується
\| f (1,0) - \scrD n,mf
\delta \| 2 \leq c
\bigl(
n - \mu 1+2 +m - \mu 2 + \delta n2). (2.15)
Врiвноважуючи всi доданки у правiй частинi (2.15), отримуємо спiввiдношення
n \asymp \delta
- 1
\mu 1 , m \asymp \delta
- \mu 1 - 2
\mu 1\mu 2 . (2.16)
Беручи до уваги (2.15) i (2.16), завершуємо доведення теореми 2.1.
Наслiдок 2.1. В дослiджуванiй задачi метод \scrD n,m (2.1) досягає точностi O
\bigl(
\delta
\mu 1 - 2
\mu 1
\bigr)
на
класi L\mu 2 , \mu 1 > 2, \mu 2 > 0, i потребує
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Box n,m) = n (m+ 1) = O
\Bigl(
\delta
- \mu 1+\mu 2 - 2
\mu 1\mu 2
\Bigr)
збурених коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра.
3. Модифiкований варiант методу зрiзання. Оцiнка похибки в \bfitL 2 . Другий варiант
методу зрiзання для вiдновлення f (1,0) означимо таким чином:
\scrD n,\gamma f
\delta (t, \tau ) =
\sum
kj\gamma \leq n
\langle f\delta , \varphi k,j\rangle \varphi \prime
k(t)\varphi j(\tau ), \gamma \geq 1. (3.1)
Тут за область \Omega взято гiперболiчний хрест
\Gamma n,\gamma =
\bigl\{
(k, j) : kj\gamma \leq n, 1 \leq k \leq n, 0 \leq j \leq n1/\gamma
\bigr\}
.
У цьому пунктi ми обмежимось розглядом спiввiдношень 2 < \mu 1 \leq \mu 2 + 1, 1 \leq \gamma \leq \mu 2
\mu 1 - 1
.
Параметри n i \gamma в (3.1) слiд вибирати залежно вiд \delta i \mu так, щоб мiнiмiзувати похибку
f (1,0)(t, \tau ) - \scrD n,\gamma f
\delta (t, \tau ) =
\bigl(
f (1,0)(t, \tau ) - \scrD n,\gamma f(t, \tau )
\bigr)
+
\bigl(
\scrD n,\gamma f(t, \tau ) - \scrD n,\gamma f
\delta (t, \tau )
\bigr)
. (3.2)
Запишемо перший доданок правої частини рiвностi (3.2) у виглядi
f (1,0)(t, \tau ) - \scrD n,\gamma f(t, \tau ) =
\infty \sum
k=n+1
\infty \sum
j=0
\langle f, \varphi k,j\rangle \varphi \prime
k(t)\varphi j(\tau )+
+
n\sum
k=1
\sum
j>(n/k)1/\gamma
\langle f, \varphi k,j\rangle \varphi \prime
k(t)\varphi j(\tau ) =: \Delta 1(t, \tau ) + \Delta \ast
2(t, \tau ). (3.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
260 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
Лема 3.1. Нехай f \in L\mu 2 , 2 < \mu 1 \leq \mu 2 + 1. Тодi\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\bigm\| \bigm\|
2
\leq c \| f\| \mu n - \mu 1+2.
Доведення. Оцiнку \| \Delta 1\| 2 при \mu 1 > 2 знайдено в (2.10). Перейдемо до оцiнювання \| \Delta \ast
2\| 2.
Враховуючи (2.7), (2.11) та змiнюючи порядок пiдсумовування, маємо
\Delta \ast
2(t, \tau ) = 2
n - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2
\sum
j>(n/k)1/\gamma
\varphi j(\tau ) \langle f, \varphi k,j\rangle =
= 2
n - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)
( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
\varphi j(\tau )
n\sum
k=nj - \gamma
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle +
+2
n - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)
\sum
j>( n
l+1
)1/\gamma
\varphi j(\tau )
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle . (3.4)
Тут i далi з метою скорочення викладок будемо вважати, що межi для iндексiв пiдсумовування,
як, наприклад,
\biggl(
n
l + 1
\biggr) 1/\gamma
або nj - \gamma в (3.4), є цiлими числами.
Рiвнiсть (3.4) можна записати у виглядi
\Delta \ast
2(t, \tau ) = 2
n - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)
\infty \sum
j=1
\varphi j(\tau )\widetilde blj , (3.5)
де \widetilde blj =\sum n
k=nj - \gamma
\sqrt{}
k +
1
2
\langle f, \varphi k,j\rangle , якщо j \leq
\biggl(
n
l + 1
\biggr) 1/\gamma
, i \widetilde blj =\sum n
k=l+1
\sqrt{}
k +
1
2
\langle f, \varphi k,j\rangle ,
якщо j >
\biggl(
n
l + 1
\biggr) 1/\gamma
.
З (3.5) безпосередньо випливає, що
\| \Delta \ast
2\| 22 = 4
n - 1\sum \ast
l=0
(l + 1/2)
\infty \sum
j=1
\widetilde blj2. (3.6)
Спочатку для \mu 1 > 1, 1 \leq \gamma \leq \mu 2
\mu 1 - 1
знаходимо
( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
\widetilde blj2 \leq ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
\Biggl( \infty \sum
k=nj - \gamma
\sqrt{}
k + 1/2
k\mu 1j\mu 2
k\mu 1j\mu 2
\langle f, \varphi k,j\rangle
\Biggr) 2
\leq
\leq
( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
1
j2\mu 2
\infty \sum
k=nj - \gamma
k + 1/2
k2\mu 1
\infty \sum
k=nj - \gamma
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2 \leq
\leq c
1
n2\mu 1 - 2
( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
\infty \sum
k=nj - \gamma
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2 \leq c \| f\| 2\mu n - 2\mu 1+2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 261
Продовжуючи, одержуємо
c\| f\| 2\mu n - 2\mu 1+2
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr)
\leq c \| f\| 2\mu n - 2\mu 1+4. (3.7)
Далi, для \mu 1 > 1, \mu 2 > 0 оцiнюємо
\infty \sum
j=( n
l+1
)1/\gamma +1
\widetilde blj2 = \infty \sum
j=( n
l+1
)1/\gamma +1
\Biggl(
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2
k\mu 1j\mu 2
k\mu 1j\mu 2
\langle f, \varphi k,j\rangle
\Biggr) 2
\leq
\leq c l - 2\mu 1+2
\infty \sum
j=( n
l+1
)1/\gamma +1
1
j2\mu 2
n\sum
k=l+1
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2 \leq
\leq c n - 2\mu 2/\gamma (l + 1)2\mu 2/\gamma
l2\mu 1 - 2
\infty \sum
j=( n
l+1
)1/\gamma +1
n\sum
k=l+1
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2 \leq
\leq c n - 2\mu 2/\gamma l - 2\mu 1+2\mu 2/\gamma +2 \| f\| 2\mu .
Завдяки умовi \mu 2 \geq (\mu 1 - 1)\gamma маємо
c\| f\| 2\mu n - 2\mu 2/\gamma
n - 1\sum
l=0
(l + 1/2) l - 2\mu 1+2\mu 2/\gamma +2 \leq c \| f\| 2\mu n - 2\mu 1+4. (3.8)
Беручи до уваги (3.6) – (3.8), робимо висновок, що
\| \Delta \ast
2\| 2 \leq c \| f\| \mu n - \mu 1+2.
Поєднуючи оцiнки для \| \Delta 1\| 2 i \| \Delta \ast
2\| 2, одержуємо твердження леми.
Лема 3.2. Нехай f \in L2. Тодi\bigm\| \bigm\| \scrD n,\gamma f - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
2
\leq c \delta n2.
Доведення. Насамперед виконаємо допомiжнi перетворення. Беручи до уваги (2.7) та змi-
нюючи порядок пiдсумовування, для другого доданка з правої частини (3.2) отримуємо
\scrD n,\gamma f(t, \tau ) - \scrD n,\gamma f
\delta (t, \tau ) = 2
n\sum
k=1
(n/k)1/\gamma \sum
j=0
\xi kj
\sqrt{}
k +
1
2
k - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l +
1
2
\varphi l(t)\varphi j(\tau ) =
= 2
n - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l + 1/2
(n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
\varphi l(t)\varphi j(\tau )
nj - \gamma \sum
k=l+1
\xi kj
\sqrt{}
k + 1/2, (3.9)
а тому
\bigm\| \bigm\| \scrD n,\gamma f - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\| 2
2
\leq 4
n - 1\sum
l=0
(l + 1/2)
(n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
\left( nj - \gamma \sum
k=l+1
(k + 1/2)
\right) \left( nj - \gamma \sum
k=l+1
\xi 2kj
\right) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
262 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
\leq cn2
n - 1\sum
l=0
l
(n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
1
j2\gamma
nj - \gamma \sum
k=l+1
\xi 2kj \leq cn4
(n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
nj - \gamma \sum
k=l+1
\xi 2kj \leq cn4\delta 2.
Лему 3.2 доведено.
Теорема 3.1. Нехай f \in L\mu 2 , 2 < \mu 1 \leq \mu 2 + 1. Тодi при n \asymp \delta
- 1
\mu 1 i 1 \leq \gamma \leq \mu 2
\mu 1 - 1
маємо
\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
2
\preceq \delta
\mu 1 - 2
\mu 1 .
Доведення. Беручи до уваги леми 3.1 i 3.2, одержуємо\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
2
\leq c
\bigl(
n - \mu 1+2 + n2\delta
\bigr)
. (3.10)
Врiвноважуючи доданки у правiй частинi (3.10) завдяки спiввiдношенню n \asymp \delta
- 1
\mu 1 , отримуємо
твердження теореми.
Наслiдок 3.1. У дослiджуванiй задачi метод зрiзання \scrD n,\gamma (3.1) досягає точностi
O
\bigl(
\delta
\mu 1 - 2
\mu 1
\bigr)
на класi L\mu 2 , 2 < \mu 1 \leq \mu 2 + 1, i потребує
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Gamma n,\gamma ) \asymp
\left\{
n \asymp \delta
- 1
\mu 1 , якщо 1 < \gamma \leq \mu 2
\mu 1 - 1
,
n \mathrm{l}\mathrm{n}n \asymp \delta
- 1
\mu 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
, якщо \gamma = 1,
збурених коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра.
Зауваження 3.1. Порiвняння наслiдкiв 2.1 i 3.1 дозволяє зробити висновок, що при 2 <
< \mu 1 \leq \mu 2 + 1 обидва розглянутi варiанти методу зрiзання гарантують однаковий порядок
точностi, але в термiнах кiлькостi використаних коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра перевага моди-
фiкованого варiанта (3.1) над стандартним (2.1) є очевидною.
4. Стандартний варiант методу зрiзання. Оцiнка похибки в \bfitC . Перейдемо до оцi-
нювання точностi обох варiантiв методу зрiзання в рiвномiрнiй метрицi. Знову почнемо зi
стандартного пiдходу (2.1).
Лема 4.1. Нехай f \in L\mu 2 , \mu 1 > 3, \mu 2 > 1. Тодi\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,m
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c \| f\| \mu
\bigl(
n - \mu 1+3 +m - \mu 2+1
\bigr)
.
Доведення. Взявши до уваги (2.3), перейдемо до оцiнювання доданкiв \Delta 1 (2.4) та \Delta 2 (2.5)
у метрицi простору C.
Згiдно з (2.8) маємо
\Delta 1(t, \tau ) = 2
n\sum \ast
l=0
\infty \sum
j=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau )
\infty \sum
k=n+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle +
+2
\infty \sum \ast
l=n+1
\infty \sum
j=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t)\varphi j(\tau )
\infty \sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 \langle f, \varphi k,j\rangle =:
=: \Delta 11(t, \tau ) + \Delta 12(t, \tau ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 263
Спочатку оцiнимо норму \Delta 11. При \mu 1 > 1, \mu 2 > 1 отримуємо
\| \Delta 11\| C \leq 2
n\sum
l=0
\infty \sum
j=0
(l + 1/2)
\sqrt{}
j + 1/2
\infty \sum
k=n+1
\sqrt{}
k + 1/2
k\mu 1j\mu 2
k\mu 1j\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | \leq
\leq 2 \| f\| \mu
n\sum
l=0
(l + 1/2)
\Biggl( \infty \sum
k=n+1
k + 1/2
k2\mu 1
\Biggr) 1
2
\Biggl( \infty \sum
j=0
j + 1/2
j2\mu 2
\Biggr) 1
2
\leq
\leq c n - \mu 1+1 \| f\| \mu
n\sum
l=0
(l + 1/2) \leq c n - \mu 1+3 \| f\| \mu .
Далi, при \mu 1 > 3, \mu 2 > 1 одержуємо
\| \Delta 12\| C \leq 2
\infty \sum
l=n+1
\biggl(
l +
1
2
\biggr) \Biggl( \infty \sum
j=0
\infty \sum
k=l+1
(j + 1/2)(k + 1/2)
k2\mu 1j2\mu 2
\Biggr) 1
2
\times
\times
\Biggl( \infty \sum
j=0
\infty \sum
k=l+1
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2
\Biggr) 1
2
\leq
\leq 2 \| f\| \mu
\infty \sum
l=n+1
(l + 1/2)
\Biggl( \infty \sum
k=l+1
k + 1/2
k2\mu 1
\Biggr) 1
2
\Biggl( \infty \sum
j=0
j + 1/2
j2\mu 2
\Biggr) 1
2
\leq
\leq c \| f\| \mu
\infty \sum
l=n+1
l - \mu 1+1(l + 1/2) \leq c n - \mu 1+3 \| f\| \mu .
Отже, при \mu 1 > 3, \mu 2 > 1 справджується
\| \Delta 1\| C \leq \| \Delta 11\| C + \| \Delta 12\| C \leq c \| f\| \mu n - \mu 1+3. (4.1)
Перейдемо до оцiнювання \| \Delta 2\| C . При \mu 1 > 3, \mu 2 > 1 з (2.12) випливає
\| \Delta 2\| C \leq 2
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr) \Biggl( \infty \sum
j=m+1
n\sum
k=l+1
(j + 1/2)(k + 1/2)
k2\mu 1j2\mu 2
\Biggr) 1
2
\times
\times
\Biggl( \infty \sum
j=m+1
n\sum
k=l+1
k2\mu 1j2\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | 2
\Biggr) 1
2
\leq
\leq 2 \| f\| \mu
n - 1\sum
l=0
(l + 1/2)
\Biggl(
n\sum
k=l+1
k + 1/2
k2\mu 1
\Biggr) 1
2
\Biggl( \infty \sum
j=m+1
j + 1/2
j2\mu 2
\Biggr) 1
2
\leq
\leq c \| f\| \mu m - \mu 2+1
n - 1\sum
l=0
l - \mu 1+2 \leq c \| f\| \mu m - \mu 2+1. (4.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
264 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
Таким чином, беручи до уваги (2.3), (4.1) та (4.2), маємо\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,mf
\bigm\| \bigm\|
C
\leq \| \Delta 1\| C + \| \Delta 2\| C \leq c \| f\| \mu
\bigl(
n - \mu 1+3 +m - \mu 2+1
\bigr)
.
Лему 4.1 доведено.
Лема 4.2. Нехай f \in L2. Тодi\bigm\| \bigm\| \scrD n,mf - \scrD n,mf
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c \delta mn3.
Доведення. Взявши до уваги (2.14), будемо мати
\bigm\| \bigm\| \scrD n,mf - \scrD n,mf
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\leq 2
n - 1\sum
l=0
m\sum
j=0
(l + 1/2)
\sqrt{}
j + 1/2
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 | \xi k,j | \leq
\leq 2
n - 1\sum
l=0
(l + 1/2)
\Biggl(
m\sum
j=0
n\sum
k=l+1
(j + 1/2) (k + 1/2)
\Biggr) 1
2
\Biggl(
m\sum
j=0
n\sum
k=l+1
| \xi k,j | 2
\Biggr) 1
2
\leq
\leq cmn \delta
n - 1\sum
l=0
(l + 1/2) \leq cmn3 \delta .
Лему 4.2 доведено.
Теорема 4.1. Нехай f \in L\mu 2 , \mu 1 > 3, \mu 2 > 1. Тодi при m \asymp \delta
- \mu 1 - 3
\mu 1\mu 2 - 3 , n \asymp \delta
- \mu 2 - 1
\mu 1\mu 2 - 3
справджується
\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,mf
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\preceq \delta
(\mu 1 - 3)(\mu 2 - 1)
\mu 1\mu 2 - 3 .
Доведення. Беручи до уваги леми 4.1 i 4.2, маємо\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,mf
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c
\bigl(
n - \mu 1+3 +m - \mu 2+1 +mn3 \delta
\bigr)
. (4.3)
Врiвноважуючи всi доданки у правiй частинi (4.3) за допомогою спiввiдношень n \asymp
\asymp \delta
- \mu 2 - 1
\mu 1\mu 2 - 3 , m \asymp \delta
- \mu 1 - 3
\mu 1\mu 2 - 3 , завершуємо доведення теореми.
Наслiдок 4.1. У дослiджуванiй задачi метод зрiзання \scrD n,m (2.1) досягає точностi
O
\Bigl(
\delta
(\mu 1 - 3)(\mu 2 - 1)
\mu 1\mu 2 - 3
\Bigr)
на класi L\mu 2 , \mu 1 > 3, \mu 2 > 1, i потребує
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Box n,m) = n (m+ 1) = O
\Bigl(
\delta
- \mu 2+\mu 1 - 4
\mu 1\mu 2 - 3
\Bigr)
збурених коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра.
Зауваження 4.1. Теореми 2.1 i 4.1 були анонсованi в роботi [18].
5. Модифiкований варiант методу зрiзання. Оцiнка похибки в \bfitC .
Лема 5.1. Нехай f \in L\mu 2 , 3 < \mu 1 \leq \mu 2, 1 \leq \gamma \leq \mu 2 - 1
\mu 1 - 1
. Тодi
\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c \| f\| \mu n - \mu 1+3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 265
Доведення. Записуючи рiзницю f (1,0)(t, \tau ) - \scrD n,\gamma f(t, \tau ) у виглядi (3.3), при \mu 1 > 3, \mu 2 > 1
згiдно з (4.1) маємо \| \Delta 1\| C \leq c \| f\| \mu n - \mu 1+3.
Тепер перейдемо до оцiнювання \| \Delta \ast
2\| C , врахувавши (3.4). Отже,
\| \Delta \ast
2\| C \leq 2
n - 1\sum
l=0
(l + 1/2)
( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
\sqrt{}
j + 1/2
n\sum
k=nj - \gamma
\sqrt{}
k + 1/2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | +
+2
n - 1\sum
l=0
(l + 1/2)
\sum
j>( n
l+1
)1/\gamma
\sqrt{}
j + 1/2
n\sum
k=l+1
\sqrt{}
k + 1/2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | \leq
\leq c
n - 1\sum
l=0
l
\left( ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
n\sum
k=nj - \gamma
+
\sum
j>( n
l+1
)1/\gamma
n\sum
k=l+1
\right) \surd
k j
k\mu 1 j\mu 2
k\mu 1 j\mu 2 | \langle f, \varphi k,j\rangle | \leq
\leq c \| f\| \mu
n - 1\sum
l=0
l
\left(
\left( ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
n\sum
k=nj - \gamma
+
\sum
j>( n
l+1
)1/\gamma
n\sum
k=l+1
\right) 1
k2\mu 1 - 1 j2\mu 2 - 1
\right)
1
2
\leq
\leq c \| f\| \mu
\left( n - 1\sum
l=0
l
\left( ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
n\sum
k=nj - \gamma
1
k2\mu 1 - 1 j2\mu 2 - 1
\right)
1
2
+
+
n - 1\sum
l=0
l
\left( \sum
j>( n
l+1
)1/\gamma
n\sum
k=l+1
1
k2\mu 1 - 1 j2\mu 2 - 1
\right)
1
2
\right) =:
=: c \| f\| \mu
\bigl(
S1 + S2
\bigr)
.
Оцiнимо кожен iз доданкiв S1 i S2.
У випадку 1 \leq \gamma <
\mu 2 - 1
\mu 1 - 1
знаходимо
S1 =
n - 1\sum
l=0
l
\left( ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
1
j2\mu 2 - 1
n\sum
k=nj - \gamma
1
k2\mu 1 - 1
\right)
1
2
\leq
\leq c n - \mu 1+1
n - 1\sum
l=0
l
\left( ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
1
j2\mu 2 - 1 - 2\gamma (\mu 1 - 1)
\right)
1
2
\leq c n - \mu 1+1
n - 1\sum
l=0
l \leq c n - \mu 1+3.
При \gamma =
\mu 2 - 1
\mu 1 - 1
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
266 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
S1 \leq c n - \mu 1+1
n - 1\sum
l=0
l
\left( ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
1
j2\mu 2 - 1 - 2\gamma (\mu 1 - 1)
\right)
1
2
=
= c n - \mu 1+1
n - 1\sum
l=0
l
\left( ( n
l+1)
1/\gamma \sum
j=1
1
j
\right)
1
2
\leq
\leq c n - \mu 1+1
n - 1\sum
l=0
l
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
n
l + 1
\biggr) 1
2
\leq c n - \mu 1+3.
Перейдемо до оцiнювання S2. Нехай 1 < \gamma \leq \mu 2 - 1
\mu 1 - 1
, тодi
S2 =
n - 1\sum
l=0
l
\left( \sum
j>( n
l+1
)1/\gamma
1
j2\mu 2 - 1
n\sum
k=l+1
1
k2\mu 1 - 1
\right)
1
2
\leq
\leq c
n - 1\sum
l=0
l
\Biggl( \biggl( \biggl(
n
l + 1
\biggr) 1/\gamma \biggr) 2 - 2\mu 2
l2 - 2\mu 1
\Biggr) 1
2
\leq
\leq c n
1 - \mu 2
\gamma
n - 1\sum
l=0
(l + 1)
2 - \mu 1+\mu 2 - 1
\gamma = c n - \mu 1+3.
Якщо \gamma = 1, то
S2 =
n - 1\sum
l=0
l
\left( \sum
j> n
l+1
1
j2\mu 2 - 1
n\sum
k=l+1
1
k2\mu 1 - 1
\right) 1
2
\leq
\leq c
n - 1\sum
l=0
l
\biggl( \biggl(
n
l + 1
\biggr) 2 - 2\mu 2
l2 - 2\mu 1
\biggr) 1
2
\leq
\leq c n1 - \mu 2
n - 1\sum
l=0
(l + 1)\mu 2 - \mu 1+1 = c n - \mu 1+3.
Отже, встановлено оцiнку\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c \| f\| \mu n - \mu 1+3.
Лема 5.2. Нехай f \in L2. Тодi\bigm\| \bigm\| \scrD n,\gamma f - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c \delta n3.
Доведення. Беручи до уваги (3.9), для \gamma > 1 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 267
\bigm\| \bigm\| \scrD n,\gamma f - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\leq 2
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr) (n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
nj - \gamma \sum
k=l+1
\sqrt{} \biggl(
k +
1
2
\biggr) \biggl(
j +
1
2
\biggr)
| \xi kj | \leq
\leq c
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr) \left( (n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
nj - \gamma \sum
k=l+1
\biggl(
k +
1
2
\biggr) \biggl(
j +
1
2
\biggr) \right)
1
2
\left( (n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
nj - \gamma \sum
k=l+1
| \xi kj | 2
\right)
1
2
\leq
\leq c n \delta
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr) \left( (n/(l+1))1/\gamma \sum
j=0
j - 2\gamma +1
\right)
1
2
\leq c n \delta
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr)
\leq c n3 \delta .
У випадку \gamma = 1 одержуємо
\bigm\| \bigm\| \scrD n,\gamma f - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c \delta
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr) \Biggl( n/(l+1)\sum
j=1
j
\bigl(
nj - 1
\bigr) 2\Biggr) 1
2
\leq
\leq c n \delta
n - 1\sum
l=0
\biggl(
l +
1
2
\biggr) \sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n}
n
l + 1
\leq c n3 \delta .
Теорема 5.1. Нехай f \in L\mu 2 , 3 < \mu 1 \leq \mu 2. Тодi при n \asymp \delta
- 1
\mu 1 i 1 \leq \gamma \leq \mu 2 - 1
\mu 1 - 1
справджу-
ється оцiнка \bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\preceq \delta
\mu 1 - 3
\mu 1 .
Доведення. Беручи до уваги одержанi в лемах 5.1 i 5.2 оцiнки, приходимо до висновку, що\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\delta
\bigm\| \bigm\|
C
\leq c
\bigl(
n - \mu 1+3 + n3 \delta
\bigr)
.
Врiвноважуючи доданки у правiй частинi попередньої нерiвностi, маємо n \asymp \delta
- 1
\mu 1 , а тому
\| f (1,0) - \scrD n,\gamma f
\delta \| C \preceq \delta
\mu 1 - 3
\mu 1 .
Теорему 5.1 доведено.
Наслiдок 5.1. У дослiджуванiй задачi метод зрiзання \scrD n,\gamma (3.1) досягає точностi
O
\Bigl(
\delta
\mu 1 - 3
\mu 1
\Bigr)
на класi L\mu 2 , 3 < \mu 1 \leq \mu 2, i потребує
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Gamma n,\gamma ) \asymp
\left\{
n \asymp \delta
- 1
\mu 1 , якщо 1 < \gamma \leq \mu 2 - 1
\mu 1 - 1
,
n \mathrm{l}\mathrm{n}n \asymp \delta
- 1
\mu 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
, якщо \gamma = 1,
збурених коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра.
Зауваження 5.1. Порiвняння наслiдкiв 4.1 i 5.1 дозволяє зробити висновок, що при 3 <
< \mu 1 \leq \mu 2 перевага модифiкованого варiанта методу зрiзання (3.1) над стандартним (2.1) є
очевидною як у термiнах кiлькостi використаних значень коефiцiєнтiв Фур’є – Лежандра, так i
в термiнах точностi наближень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
268 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
Зауваження 5.2. Теорему 3.1 для випадку 2 < \mu 1 < \mu 2 + 1, 1 < \gamma <
\mu 2
\mu 1 - 1
i теорему 5.1
для випадку 3 < \mu 1 < \mu 2, 1 < \gamma <
\mu 2 - 1
\mu 1 - 1
було анонсовано в роботi [18].
6. Мiнiмальний радiус гальоркiнської iнформацiї. Перейдемо до знаходження поряд-
кових оцiнок мiнiмального радiуса. Спочатку встановимо нижню оцiнку величини
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
. Зафiксуємо довiльно вибрану область \^\Omega координатної площини \BbbN \times \BbbN 0,
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\^\Omega ) \leq N, i побудуємо допомiжну функцiю
f1(t, \tau ) = \widetilde c\Biggl( \varphi 0(t)\varphi 0(\tau ) +N - \mu 1 - 1/2\varphi 1(\tau )
3N\sum
\prime
k=N+1
\varphi k(t)
\Biggr)
,
де сума
\sum
\prime 3N
k=N+1
береться по N будь-яких функцiях \varphi k(t) таких, що N + 1 \leq k \leq 3N i
(k, 1) /\in \^\Omega . Очевидно, щонайменше один такий набiр функцiй завжди знайдеться.
Оцiнимо норму f1 в метрицi простору L\mu 2 :
\| f1\| 2\mu = \widetilde c 2\Biggl( 1 +N - 2\mu 1 - 1
3N\sum
\prime
k=N+1
k2\mu 1
\Biggr)
\leq
\leq \widetilde c 2\Bigl( 1 + 32\mu 1 N - 2\mu 1 - 1N2\mu 1 N
\Bigr)
= \widetilde c 2\bigl( 1 + 32\mu 1
\bigr)
.
Звiдси випливає, що для виконання умови \| f1\| \mu \leq 1 достатньо взяти
\widetilde c = \bigl( 1 + 32\mu 1
\bigr) - 1/2
. (6.1)
Вiзьмемо ще одну функцiю з класу L\mu 2 :
f2(t, \tau ) = \widetilde c \varphi 0(t)\varphi 0(\tau ).
Знайдемо нижню оцiнку величини
\bigm\| \bigm\| f (1,0)1 - f
(1,0)
2
\bigm\| \bigm\|
C
. Для цього нам знадобляться формули
f
(1,0)
1 (t, \tau ) = \widetilde cN - \mu 1 - 1/2 \varphi 1(\tau )
3N\sum
\prime
k=N+1
2
\sqrt{}
k + 1/2 \times
\times
(k - qk - 1)/2\sum
i=0
\sqrt{}
2i+ qk + 1/2\varphi 2i+qk(t) =
= 2\widetilde cN - \mu 1 - 1/2 \varphi 1(\tau )
3N\sum
\prime
k=N+1
\sqrt{}
k + 1/2
k - 1\sum \ast
l=0
\sqrt{}
l + 1/2\varphi l(t),
f
(1,0)
2 (t, \tau ) \equiv 0.
Отже, маємо \bigm\| \bigm\| f (1,0)1 - f
(1,0)
2
\bigm\| \bigm\|
C
\geq | f (1,0)1 (1, 1)| =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 269
= 2\widetilde cN - \mu 1 - 1/2
\sqrt{}
3
2
3N\sum
\prime
k=N+1
\sqrt{}
k + 1/2
k - 1\sum \ast
l=0
(l + 1/2) \geq
\geq
\surd
6
4
\widetilde cN - \mu 1 - 1/2
3N\sum
\prime
k=N+1
(k - 1)5/2 \geq
\surd
6
4
\widetilde cN - \mu 1+3. (6.2)
Оскiльки виконується
\bigm\| \bigm\| f1 - f2
\bigm\| \bigm\| 2
\ell 2
= \widetilde c 2N - 2\mu 1 - 1
3N\sum
\prime
k=N+1
1 = \widetilde c 2N - 2\mu 1 ,
то у випадку N - \mu 1 \leq \delta /\widetilde c пiд \delta -збуреннями функцiй f1 i f2 можна розглядати
f \delta 1 (t, \tau ) = f2(t, \tau ), f \delta 2 (t, \tau ) = f1(t, \tau ).
Оцiнимо зверху норму рiзницi
\bigm\| \bigm\| f (1,0)1 - f
(1,0)
2
\bigm\| \bigm\|
C
. Враховуючи спiввiдношення G
\bigl(
\^\Omega , f
\delta
1
\bigr)
=
= G
\bigl(
\^\Omega , f
\delta
2
\bigr)
, для будь-якого \psi (1,0)(\^\Omega ) \in \Psi (\^\Omega ) знаходимо\bigm\| \bigm\| f (1,0)1 - f
(1,0)
2
\bigm\| \bigm\|
C
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (1,0)1 - \psi (1,0)
\bigl(
G
\bigl(
\^\Omega , f
\delta
1
\bigr) \bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
+
\bigm\| \bigm\| f (1,0)2 - \psi (1,0)(G
\bigl(
\^\Omega , f
\delta
2
\bigr)
)
\bigm\| \bigm\|
C
\leq
\leq 2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\mu
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\delta : (1.1)
\bigm\| \bigm\| f (1,0) - \psi (1,0)
\bigl(
G
\bigl(
\^\Omega , f
\delta \bigr) \bigr) \bigm\| \bigm\|
C
= 2 \varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 , \psi
(1,0)(\^\Omega ), C, \ell 2
\bigr)
,
тобто
\varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 , \psi
(1,0)(\^\Omega ), C, \ell 2
\bigr)
\geq cN - \mu 1+3,
де
c =
\surd
6
8
\widetilde c. (6.3)
З того факту, що область \^\Omega та алгоритм \psi (1,0)(\^\Omega ) \in \Psi (\^\Omega ) є довiльними, випливає, що
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
\geq cN - \mu 1+3.
Таким чином, доведено таке твердження.
Теорема 6.1. Нехай \mu 1 > 3, \mu 2 > 0, N \geq
\bigl(
\delta /\widetilde c\bigr) - 1/\mu 1 . Тодi
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
\geq cN - \mu 1+3,
де \widetilde c та c задано формулами (6.1) та (6.3) вiдповiдно.
Наступне твердження мiстить порядковi оцiнки мiнiмального радiуса в рiвномiрнiй метрицi.
Теорема 6.2. 1. Нехай 3 < \mu 1 < \mu 2. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 1 справджується
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
\asymp N - \mu 1+3 \asymp \delta
\mu 1 - 3
\mu 1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
270 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
Оптимальний порядок реалiзує метод \scrD n,\gamma (3.1) при 1 < \gamma <
\mu 2 - 1
\mu 1 - 1
, n \asymp \delta - 1/\mu 1 .
2. Нехай 3 < \mu 1 = \mu 2. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
справджується
N - \mu 1+3 \preceq R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
\preceq (N/ \mathrm{l}\mathrm{n}N) - \mu 1+3
або
\delta
\mu 1 - 3
\mu 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\biggr) - \mu 1+3
\preceq R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\preceq \delta
\mu 1 - 3
\mu 1 .
Верхню оцiнку реалiзує метод \scrD n,\gamma (3.1) при \gamma = 1, n \asymp \delta - 1/\mu 1 .
Доведення. Верхня оцiнка для R(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
випливає з теореми 5.1
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
\leq \varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 ,\scrD n,\gamma , C, \ell 2
\bigr)
\preceq \delta
\mu 1 - 3
\mu 1
з урахуванням вибору параметрiв n i \gamma .
Нижню оцiнку мiнiмального радiуса знайдено в теоремi 6.1.
Перейдемо до оцiнювання мiнiмального радiуса в iнтегральнiй метрицi.
Теорема 6.3. Нехай \mu 1 > 2, \mu 2 > 0, N \geq
\bigl(
\delta /\widetilde c \bigr) - 1/\mu 1 . Тодi
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\geq \widetilde c
2
N - \mu 1+2,
де \widetilde c задано формулою (6.1).
Доведення майже повнiстю збiгається з доведенням теореми 6.1, включаючи вигляд до-
помiжних функцiй f1, f
\delta
1 , f2, f
\delta
2 . Єдина вiдмiннiсть мiститься в оцiнцi знизу норми рiзницi
f
(1,0)
1 - f
(1,0)
2 , а саме, \bigm\| \bigm\| f (1,0)1 - f
(1,0)
2
\bigm\| \bigm\| 2
2
=
\bigm\| \bigm\| f (1,0)1
\bigm\| \bigm\| 2
2
\geq
\geq 4\widetilde c 2(N) - 2\mu 1 - 1
N\sum \ast
l=0
(l + 1/2)
\Biggl(
3N\sum
\prime
k=N+1
\sqrt{}
k + 1/2
\Biggr) 2
\geq
\geq 4\widetilde c 2(N) - 2\mu 1 - 1
N\sum \ast
l=0
(l + 1/2)N3 \geq \widetilde c 2(N) - 2\mu 1+4.
Звiдси при N \geq
\bigl(
\delta /\widetilde c\bigr) - 1/\mu 1 для довiльних \^\Omega i \psi (1,0)(\^\Omega ) \in \Psi (\^\Omega ) маємо
\varepsilon \delta (L
\mu
2 , \psi
(1,0)(\^\Omega ), L2, \ell 2) \geq
\widetilde c
2
N - \mu 1+2.
Теорему 6.3 доведено.
Наступне твердження мiстить порядковi оцiнки мiнiмального радiуса в iнтегральнiй мет-
рицi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 271
Теорема 6.4. 1. Нехай 2 < \mu 1 < \mu 2 + 1. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 1 справджується
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\asymp N - \mu 1+2 \asymp \delta
\mu 1 - 2
\mu 1 .
Оптимальний порядок реалiзує метод \scrD n,\gamma (3.1) при 1 < \gamma <
\mu 2
\mu 1 - 1
, n \asymp \delta - 1/\mu 1 .
2. Нехай 2 < \mu 1 = \mu 2 + 1. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
справджується
N - \mu 1+2 \preceq R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\preceq (N/ \mathrm{l}\mathrm{n}N) - \mu 1+2
або
\delta
\mu 1 - 2
\mu 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\biggr) - \mu 1+2
\preceq R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\preceq \delta
\mu 1 - 2
\mu 1 .
Верхню оцiнку реалiзує метод \scrD n,\gamma (3.1) при \gamma = 1, n \asymp \delta - 1/\mu 1 .
Доведення. Верхня оцiнка для R(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
випливає з теореми 3.1
R
(1,0)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\leq \varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 ,\scrD n,\gamma , L2, \ell 2
\bigr)
\preceq \delta
\mu 1 - 2
\mu 1
з урахуванням вибору параметрiв n i \gamma .
Нижню оцiнку мiнiмального радiуса знайдено в теоремi 6.3.
Насамкiнець розглянемо задачу оптимального вiдновлення похiдної f (0,1) у сенсi величини
R
(0,1)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , X, \ell 2
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Omega : card(\Omega )\leq N
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\psi (0,1)\in \Psi (\Omega )
\varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 , \psi
(0,1)(\Omega ), X, \ell 2
\bigr)
,
де
\varepsilon \delta
\bigl(
L\mu 2 , \psi
(0,1)(\Omega ), X, \ell 2
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\mu
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\delta : (1.1)
\bigm\| \bigm\| f (0,1) - \psi (0,1)
\bigl(
G
\bigl(
\Omega , f \delta
\bigr) \bigr) \bigm\| \bigm\|
X
— похибка алгоритму \psi (0,1) на класi функцiй L\mu 2 , а X = C або X = L2. Тут пiд першою
частинною похiдною f (0,1) функцiї f \in L\mu 2 розумiємо ряд
f (0,1)(t, \tau ) =
\infty \sum
k=0
\infty \sum
j=1
\langle f, \varphi k,j\rangle \varphi k(t)\varphi \prime
j(\tau ),
а пiд \psi (0,1) = \psi (0,1)(\Omega ) — будь-який алгоритм вiдновлення похiдної f (0,1), що використовує
iнформацiйний вектор G
\bigl(
\Omega , f \delta
\bigr)
.
Нехай
\scrD n,\gamma f
\delta (t, \tau ) =
\sum
k\gamma j\leq n
\langle f\delta , \varphi k,j\rangle \varphi k(t)\varphi \prime
j(\tau ), \gamma \geq 1, (6.4)
— модифiкований метод зрiзання для вiдновлення f (0,1), де в якостi \Omega взято гiперболiчний
хрест вигляду
\Gamma n,\gamma =
\bigl\{
(k, j) : k\gamma j \leq n, 0 \leq k \leq n1/\gamma , 1 \leq j \leq n
\bigr\}
.
Сформулюємо аналоги теорем 6.2 i 6.4 для похiдної f (0,1), не наводячи їхнiх доведень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
272 С. Г. СОЛОДКИЙ, С. А. СТАСЮК
Теорема 6.5. 1. Нехай 3 < \mu 2 < \mu 1. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 2 справджується
R
(0,1)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
\asymp N - \mu 2+3 \asymp \delta
\mu 2 - 3
\mu 2 .
Оптимальний порядок реалiзує метод \scrD n,\gamma (6.4) при 1 < \gamma <
\mu 1 - 1
\mu 2 - 1
, n \asymp \delta - 1/\mu 2 .
2. Нехай 3 < \mu 1 = \mu 2. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
справджується
N - \mu 2+3 \preceq R
(0,1)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , C, \ell 2
\bigr)
\preceq (N/ \mathrm{l}\mathrm{n}N) - \mu 2+3
або
\delta
\mu 2 - 3
\mu 2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\biggr) - \mu 2+3
\preceq R
(0,1)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\preceq \delta
\mu 2 - 3
\mu 1 .
Верхню оцiнку реалiзує метод \scrD n,\gamma (6.4) при \gamma = 1, n \asymp \delta - 1/\mu 2 .
Теорема 6.6. 1. Нехай 2 < \mu 2 < \mu 1 + 1. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 2 справджується
R
(0,1)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\asymp N - \mu 2+2 \asymp \delta
\mu 2 - 2
\mu 2 .
Оптимальний порядок реалiзує метод \scrD n,\gamma (6.4) при 1 < \gamma <
\mu 1
\mu 2 - 1
, n \asymp \delta - 1/\mu 2 .
2. Нехай 2 < \mu 2 = \mu 1 + 1. Тодi при N \asymp \delta - 1/\mu 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
справджується
N - \mu 2+2 \preceq R
(0,1)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\preceq (N/ \mathrm{l}\mathrm{n}N) - \mu 2+2
або
\delta
\mu 2 - 2
\mu 2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\biggr) - \mu 2+2
\preceq R
(0,1)
N,\delta
\bigl(
L\mu 2 , L2, \ell 2
\bigr)
\preceq \delta
\mu 2 - 2
\mu 2 .
Верхню оцiнку реалiзує метод \scrD n,\gamma (6.4) при \gamma = 1, n \asymp \delta - 1/\mu 2 .
Лiтература
1. S. Ahn, U. J. Choi, A. G. Ramm, A scheme for stable numerical differentiation, J. Comput. and Appl. Math., 186,
№ 2, 325 – 334 (2006).
2. Т. Ф. Долгополова, В. К. Иванов, О численном дифференцировании, Журн. вычислит. математики и мат.
физики, 6, № 3, 570 – 576 (1966).
3. D. Dũng, V. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math., CRM Barcelona,
Birkhäuser/Springer, Basel (2018).
4. C. W. Groetsch, Optimal order of accuracy in Vasin’s method for differentiation of noisy functions, J. Optim. Theory
and Appl., 74, № 2, 373 – 378 (1992).
5. M. Hanke, O. Scherzer, Inverse problems light: numerical differentiation, Amer. Math. Monthly, 108, № 6, 512 – 521
(2001).
6. S. Lu, V. Naumova, S. V. Pereverzev, Legendre polynomials as a recommended basis for numerical differentiation in
the presence of stochastic white noise, Inverse and Ill-posed Probl., 21, № 2, 193 – 216 (2013).
7. Z. Meng, Z. Zhaoa, D. Mei, Y. Zhou, Numerical differentiation for two-dimensional functions by a Fourier extension
method, Inverse Probl. Sci. and Eng., 28, № 1, 1 – 18 (2020).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ПРО ОПТИМIЗАЦIЮ МЕТОДIВ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ 273
8. S. G. Solodky, G. L. Myleiko, The minimal radius of Galerkin information for severely ill-posed problems, Inverse
and Ill-posed Probl., 22, № 5, 739 – 757 (2014).
9. Г. Л. Милейко, С. Г. Солодкий, Гiперболiчний хрест i складнiсть рiзних класiв лiнiйних некоректних задач,
Укр. мат. журн., 69, № 7, 951 – 963 (2017).
10. C. Müller, Foundations of the mathematical theory of electromagnetic waves, Springer-Verlag, Berlin etc. (1967).
11. G. Nakamura, S. Z. Wang, Y. B. Wang, Numerical differentiation for the second order derivatives of functions of two
variables, J. Comput. and Appl. Math., 212, № 2, 341 – 358 (2008).
12. S. V. Pereverzev, S. G. Solodky, The minimal radius of Galerkin information for the Fredholm problem of the first
kind, J. Complexity, 12, № 4, 401 – 415 (1996).
13. Z. Qian, C.-L. Fu, X.-T. Xiong, T. Wei, Fourier truncation method for high order numerical derivatives, Appl. Math.
and Comput., 181, № 2, 940 – 948 (2006).
14. А. Г. Рамм, О численном дифференцировании, Изв. вузов. Математика, № 11, 131 – 134 (1968).
15. S. G. Solodky, K. K. Sharipov, Summation of smooth functions of two variables with perturbed Fourier coefficients,
Inverse and Ill-posed Probl., 23, № 3, 287 – 297 (2015).
16. S. G. Solodky, S. A. Stasyuk, Estimates of efficiency for two methods of stable numerical summation of smooth
functions, J. Complexity, 56, Paper No. 101422 (2020); https://doi.org/10.1016/j.jco.2019.101422.
17. E. V. Semenova, S. G. Solodky, S. A. Stasyuk, Application of Fourier truncation method to numerical differentiation
for bivariate functions, Comput. Methods Appl. Math. (2022); https://doi.org/10.1515.cmam-2020-0138.
18. Є. В. Семенова, С. Г. Солодкий, С. А. Стасюк, Метод зрiзки в задачах чисельного пiдсумовування i диференцi-
ювання, Сучаснi проблеми математики та її застосувань, II, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 18, № 1,
644 – 672 (2021).
19. J. F. Traub, H. Wozniakowski, A general theory of optimal algorithms, Acad. Press, New York (1980).
20. В. В. Васин, Регуляризация задачи численного дифференцирования, Мат. зап. Урал. ун-та, 7, № 2, 29 – 33
(1969).
21. Z. Zhao, A truncated Legendre spectral method for solving numerical differentiation, Int. J. Comput. Math., 87,
3209 – 3217 (2010).
22. Z. Zhao, Z. Meng, L. Zhao, L. You, O. Xie, A stabilized algorithm for multi-dimensional numerical differentiation,
J. Algorithms and Comput. Technol., 10, № 2, 73 – 81 (2016).
Одержано 08.09.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6906 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:43Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/df/adee75012ccbfb7936d64666f94513df.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69062025-03-31T08:45:58Z On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions Про оптимізацію методів чисельного диференціювання функцій двох змінних Solodky , S. G. Stasyuk, S. A. Солодкий, С. Г. Стасюк, С. А. чисельне диференціювання метод зрізки гіперболічний хрест мінімальний радіус Гальоркінська інформація numerical differentiation truncation method hyperbolic cross minimal radius Galerkin information UDC 519.653 For the problem of numerical differentiation for bivariate functions with finite smoothness, the exact orders of the minimum radius of Galerkin information are found, and also a variant of the truncation method is constructed, which is optimal in the sense of the indicated quantity. УДК 519.653 Для задачi чисельного диференцiювання функцiй двох змiнних iз мiшаною гладкiстю знайдено точнi порядки мiнiмального радiуса гальоркiнської iнформацiї, а також побудовано варiант методу зрiзання, що є оптимальним у сенсi цiєї величини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-02-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6906 10.37863/umzh.v74i2.6906 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 2 (2022); 253 - 273 Український математичний журнал; Том 74 № 2 (2022); 253 - 273 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6906/9195 Copyright (c) 2022 С. А. Стасюк, С. Г. Солодкий |
| spellingShingle | Solodky , S. G. Stasyuk, S. A. Солодкий, С. Г. Стасюк, С. А. On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions |
| title | On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions |
| title_alt | Про оптимізацію методів чисельного диференціювання функцій двох змінних |
| title_full | On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions |
| title_fullStr | On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions |
| title_full_unstemmed | On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions |
| title_short | On optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions |
| title_sort | on optimization of numerical differentiation methods for bivariate functions |
| topic_facet | чисельне диференціювання метод зрізки гіперболічний хрест мінімальний радіус Гальоркінська інформація numerical differentiation truncation method hyperbolic cross minimal radius Galerkin information |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6906 |
| work_keys_str_mv | AT solodkysg onoptimizationofnumericaldifferentiationmethodsforbivariatefunctions AT stasyuksa onoptimizationofnumericaldifferentiationmethodsforbivariatefunctions AT solodkijsg onoptimizationofnumericaldifferentiationmethodsforbivariatefunctions AT stasûksa onoptimizationofnumericaldifferentiationmethodsforbivariatefunctions AT solodkysg prooptimízacíûmetodívčiselʹnogodiferencíûvannâfunkcíjdvohzmínnih AT stasyuksa prooptimízacíûmetodívčiselʹnogodiferencíûvannâfunkcíjdvohzmínnih AT solodkijsg prooptimízacíûmetodívčiselʹnogodiferencíûvannâfunkcíjdvohzmínnih AT stasûksa prooptimízacíûmetodívčiselʹnogodiferencíûvannâfunkcíjdvohzmínnih |