Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions
UDC 517.51 We obtain the order estimates of $M$-dimensional Kolmogorov width for the Nikol’skii – Besov classes with dominating mixed derivative of periodic functions of many variables in the metric of the space of quasi-continuous functions (QC-space).
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6932 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512560880549888 |
|---|---|
| author | Romanyuk , A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Romanyuk , A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. |
| author_sort | Romanyuk , A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:45:58Z |
| description | UDC 517.51
We obtain the order estimates of $M$-dimensional Kolmogorov width for the Nikol’skii – Besov classes with dominating mixed derivative of periodic functions of many variables in the metric of the space of quasi-continuous functions (QC-space). |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i2.6932 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i2.6932
УДК 517.51
А. С. Романюк, С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
У ПРОСТОРI КВАЗIНЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ
We obtain the order estimates of M -dimensional Kolmogorov width for the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions
of many variables with dominating mixed derivative in the metric of the space of quasicontinuous functions (QC -space).
Отримано порядковi оцiнки M -вимiрних колмогоровських поперечникiв класiв Нiкольського – Бєсова перiодичних
функцiй багатьох змiнних з домiнуючою мiшаною похiдною у метрицi простору квазiнеперервних функцiй (QC -
простору).
1. Вступ. У роботi продовжено вивчення асимптотичних характеристик класiв Нiкольського –
Бєсова B\bfitr
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних з домiнуючою мiшаною похiдною [1 – 3].
Основну увагу зосереджено на знаходженнi оцiнок для M -вимiрних колмогоровських попереч-
никiв даних класiв у метрицi простору квазiнеперервних функцiй (QC -простору). Iнтерес до
вiдшукання порядкових оцiнок апроксимативних характеристик у метрицi QC -простору, який
за своїми властивостями близький до L\infty , зумовлений тим, що у деяких випадках вдається
одержати новi результати, якi досi не встановленi у рiвномiрнiй метрицi. Зокрема, для класiв
B\bfitr
p,\theta знайдено точну за порядком оцiнку для M -вимiрного колмогоровського поперечника у
випадку d \geq 2, 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta < \infty , r1 >
1
2
. У зв’язку з цим зауважимо, що поря-
док M -вимiрного колмогоровського поперечника класiв B\bfitr
p,\theta у просторi L\infty вiдомий лише у
двовимiрному випадку (d = 2) [1].
2. Означення класiв функцiй та апроксимативних характеристик. Нехай \BbbR d, d \geq 1, —
евклiдiв простiр з елементами \bfitx = (x1, . . . , xd) i (\bfitx ,\bfity ) = x1y1 + . . . + xdyd. Через Lp(\BbbT d),
\BbbT d =
\prod d
j=1
[0, 2\pi ), 1 \leq p \leq \infty , позначимо простiр функцiй f, якi є 2\pi -перiодичними за
кожною змiнною зi скiнченною нормою
\| f\| p := \| f\| Lp(\BbbT d) =
\left( (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
| f(\bfitx )| p d\bfitx
\right) 1/p
< \infty , 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty := \| f\| L\infty (\BbbT d) = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbT d
| f(\bfitx )| .
У подальших мiркуваннях будемо розглядати лише тi функцiї f \in Lp(\BbbT d), для яких вико-
нано умову
2\pi \int
0
f(\bfitx )dxj = 0, j = 1, d, майже скрiзь.
Множину таких функцiй будемо позначати L0
p(\BbbT d).
Для функцiї f \in L0
p(\BbbT d), 1 \leq p \leq \infty , розглянемо рiзницю першого порядку по j -й змiннiй
iз кроком h \in \BbbR :
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО, 2022
220 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 221
\Delta h,jf(\bfitx ) = f(x1, . . . , xj - 1, xj + h, xj+1, . . . , xd) - f(\bfitx )
i, вiдповiдно, l-го порядку, l \in \BbbN ,
\Delta l
h,jf(\bfitx ) =
l\underbrace{} \underbrace{}
\Delta h,j . . .\Delta h,j f(\bfitx ).
Далi, якщо \bfitk = (k1, . . . , kd), kj \in \BbbN , j = 1, d, то мiшана рiзниця порядку \bfitk з векторним
кроком \bfith = (h1, . . . , hd), hj \in \BbbR , j = 1, d, визначається рiвнiстю
\Delta \bfitk
\bfith f(\bfitx ) = \Delta k1
h1,1
\Delta k2
h2,2
. . .\Delta kd
hd,d
f(\bfitx ).
Нехай задано вектор \bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0 j = 1, d, i параметри 1 \leq p, \theta \leq \infty . Тодi
простори B\bfitr
p,\theta (\BbbT d) можна означити таким чином:
B\bfitr
p,\theta := B\bfitr
p,\theta (\BbbT d) =
\Bigl\{
f \in L0
p(\BbbT d) : \| f\| B\bfitr
p,\theta
< \infty
\Bigr\}
,
де норма задається рiвностями
\| f\| B\bfitr
p,\theta
=
\left( \int
\BbbT d
\| \Delta \bfitk
\bfith f\| \theta p
d\prod
j=1
dhj
h
1+rj\theta
j
\right) 1/\theta
,
якщо 1 \leq \theta < \infty , й
\| f\| H\bfitr
p
\equiv \| f\| B\bfitr
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfith
\| \Delta \bfitk
\bfith f\| p
d\prod
j=1
h
- rj
j .
Також вважаємо, що для векторiв \bfitk = (k1, . . . , kd) i \bfitr = (r1, . . . , rd) виконано умову kj > rj ,
j = 1, d.
У такiй формi простори B\bfitr
p,\theta було означено в роботах В. М. Темлякова [4] i С. М. Нiколь-
ського та П. I. Лiзоркiна [5] вiдповiдно для H\bfitr
p i B\bfitr
p,\theta . Вони належать шкалi просторiв мiшаної
гладкостi, що введенi С. М. Нiкольським [6] i Т. I. Амановим [7]. Окрiм того, вони у певно-
му сенсi є аналогами вiдомих функцiональних просторiв Бєсова [8], а для випадку \theta = \infty —
Нiкольського [9].
Пiд класом B\bfitr
p,\theta будемо розумiти множину функцiй f \in L0
p(\BbbT d), для яких \| f\| B\bfitr
p,\theta
\leq 1, i
при цьому збережемо для класiв B\bfitr
p,\theta тi ж позначення, що i для просторiв B\bfitr
p,\theta .
При проведеннi подальших мiркувань нам буде зручно користуватися означенням норми
функцiй iз класiв B\bfitr
p,\theta в дещо iншiй формi, а саме, опосередковано через так зване декомпо-
зицiйне зображення елементiв цих просторiв. Уперше декомпозицiйне зображення функцiй iз
класiв Нiкольського – Бєсова та вiдповiдне йому нормування з’явилися у роботах В. М. Темля-
кова (див., наприклад, [4], гл. 2, п. 1) i С. М. Нiкольського та П. I. Лiзоркiна [5] i, як з’ясувалося
пiзнiше, вiдiграло ключову роль у дослiдженнях, пов’язаних iз апроксимацiєю класiв функцiй.
Для векторiв \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , \bfitk = (k1, . . . , kd), kj \in \BbbZ , j = 1, d, покладемо
\rho (\bfits ) =
\bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
i для f \in L0
p(\BbbT d) позначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
222 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
\delta \bfits (f) := \delta \bfits (f,\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ),
де \widehat f(\bfitk ) = \int
\BbbT d
f(\bfitt )e - i(\bfitk ,\bfitt )d\bfitt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Тодi класи B\bfitr
p,\theta , 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \bfitr = (r1, . . . , rd) rj > 0, j = 1, d, можна означити
таким чином [5]:
B\bfitr
p,\theta :=
\Bigl\{
f \in L0
p(\BbbT d) : \| f\| B\bfitr
p,\theta
\leq 1
\Bigr\}
,
де
\| f\| B\bfitr
p,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f)\| \theta p
\right) 1
\theta
при 1 \leq \theta < \infty i
\| f\| B\bfitr
p,\infty \equiv \| f\| H\bfitr
p
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\| \delta \bfits (f)\| p.
Тут i далi для додатних величин a i b будемо використовувати запис a \asymp b. Вiн означає, що
iснують додатнi сталi C1 i C2, якi не залежать вiд одного iстотного параметра у величинах a
i b таких, що C1a \leq b (пишемо a \ll b) i C2a \geq b (пишемо a \gg b). Всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . ,
якi зустрiчаються у роботi, можуть залежати лише вiд тих параметрiв, що входять в означення
класу, метрики, в якiй оцiнюється похибка наближення, та розмiрностi простору \BbbR d. У деяких
випадках цю залежнiсть будемо вказувати в явному виглядi.
Зазначимо, що видозмiнивши „блоки” \delta \bfits (f), наведене означення класiв B\bfitr
p,\theta можна поши-
рити i на крайнi значення p = 1 i p = \infty (див., наприклад, [5], зауваження 2.1).
Нехай Vl(t), t \in \BbbR , l \in \BbbN , позначає ядро Валле Пуссена вигляду
Vl(t) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2l - 1\sum
k=l+1
\biggl(
1 - k - l
l
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt,
де при l = 1 третiй доданок вважаємо рiвним нулевi. Поставимо у вiдповiднiсть кожному
вектору \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, полiном
A\bfits (\bfitx ) =
d\prod
j=1
\bigl(
V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)
\bigr)
i для f \in L0
p(\BbbT d), 1 \leq p \leq \infty , покладемо
A\bfits (f) := A\bfits (f,\bfitx ) = (f \ast A\bfits )(\bfitx ),
де \ast означає операцiю згортки. Тодi при 1 \leq p \leq \infty , \bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, класи
B\bfitr
p,\theta можна означити таким чином:
B\bfitr
p,\theta :=
\Bigl\{
f : \| f\| B\bfitr
p,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits (f)\| \theta p
\right) 1
\theta
\leq 1, 1 \leq \theta < \infty
\Bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 223
B\bfitr
p,\infty :=
\Bigl\{
f : \| f\| B\bfitr
p,\infty \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\| A\bfits (f)\| p \leq 1
\Bigr\}
.
Тепер означимо асимптотичну характеристику, яку будемо дослiджувати.
Нехай X — нормований простiр i \Phi — центрально-симетрична множина в X , LM —
пiдпростiр розмiрностi M простору X . Тодi величина
dM
\bigl(
\Phi ,X
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \Phi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in LM
\| f - u\| X
називається M -вимiрним колмогоровським поперечником множини \Phi у просторi X . Попе-
речник dM
\bigl(
\Phi ,X
\bigr)
увiв у 1936 р. А. М. Колмогоров [10], i вiн характеризує апроксимативнi
властивостi M -вимiрних пiдпросторiв. Задачi, якi пов’язанi з оцiнками колмогоровських попе-
речникiв рiзного роду функцiональних класiв, знаходяться в полi зору багатьох математикiв.
Дослiдженню M -вимiрних колмогоровських поперечникiв класiв Нiкольського – Бєсова у про-
сторах X присвячено, зокрема, роботи [1 – 3, 11 – 19]. Iз дослiдженням рiзних апроксимативних
характеристик, серед яких i колмогоровськi поперечники, класiв Нiкольського, Нiкольського –
Бєсова та Соболєва перiодичних функцiй можна ознайомитися у монографiях [4, 20 – 22], де
наведено детальну бiблiографiю.
Означимо простiр, у метрицi якого будемо знаходити оцiнки для M -вимiрних колмогоров-
ських поперечникiв.
Для функцiї f \in L1(\BbbT ) з рядом Фур’є
f \sim
\infty \sum
s=0
\delta s(f, x),
\delta 0(f, x) =
1
2\pi
2\pi \int
0
f(x)dx, \delta s(f, x) =
\sum
2s - 1\leq | k| <2s
\widehat f(k)eikx, s = 1, 2, . . . ,
покладемо
\| f\| QC \equiv
1\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=0
rs(t)\delta s(f, x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
dt, (1)
де
\bigl\{
rs(t)
\bigr\} \infty
s=0
— система Радемахера (див. [23], гл. 2, § 1). Тодi простором квазiнеперервних
функцiй (позначення QC ) будемо називати замикання множини тригонометричних полiномiв
за нормою (1).
Зазначимо, що простiр квазiнеперервних функцiй QC введено у роботi [24] (див. також
[25]). Для зручностi нагадаємо деякi його властивостi.
Якщо f \in L1(\BbbT ) i
F (x, t) =
\infty \sum
s=0
rs(t)\delta s(f, x),
то
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t
\| F (\cdot , t)\| \infty \leq \| f\| QC \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
\| F (\cdot , t)\| \infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
224 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
\| f\| QC \geq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1\int
0
| F (x, t)dt|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\gg
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl( \infty \sum
s=0
| \delta s(f, x)| 2
\Biggr) 1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
,
\| f\| QC \leq
\infty \sum
s=0
\| \delta s(f)\| \infty .
Простiр квазiнеперервних функцiй у багатовимiрному випадку (d \geq 2) означимо таким
чином:
\| f\| QC \equiv
\bigm\| \bigm\| \| f(\cdot ,\bfitx 1)\| QC
\bigm\| \bigm\|
\infty , (2)
де для \bfitx = (x1, . . . , xd) \in \BbbT d покладаємо \bfitx 1 = (x2, . . . , xd) \in \BbbT d - 1, тобто в (2) беремо
QC -норму за змiнною x1 i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}-норму за рештою змiнних.
З дослiдженнями питань, пов’язаних iз використанням QC -норми, можна ознайомитися у
роботах [26, 27]. Зазначимо, що у даних роботах доведено, що C - та QC -норми є нееквiвалент-
ними у просторi тригонометричних полiномiв.
Якщо \frakM — деяка скiнченна множина, то через | \frakM | будемо позначати кiлькiсть її елементiв.
3. Основнi результати. У подальших мiркуваннях будемо вважати, що вектор \bfitr , який
входить в означення класiв B\bfitr
p,\theta , має вигляд \bfitr = (r1, . . . , r1) \in \BbbR d
+.
Теорема 1. Нехай d \geq 2, 2 \leq p \leq \infty , r1 >
1
2
. Тодi при 2 \leq \theta < \infty справджується оцiнка
dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
\asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\bigr) r1+ 1
2
- 1
\theta
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M, (3)
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
Зауважимо, що тут i далi пiд записом \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} a, a > 0, будемо розумiти \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 a.
Доведення. Для встановлення оцiнки (3) розглянемо спочатку випадок p = 2.
Для n \in \BbbN , n \geq d, \bfits = (s1, . . . , sd), si \in \BbbN , i = 1, d, \bfone = (1, . . . , 1) покладемо
Qn =
\bigcup
(\bfits ,1)\leq n
\rho (\bfits ),\Delta Qn = Qn\setminus Qn - 1
i розглянемо множину вигляду
\frakN j =
\bigl\{
\bfits = (s1, . . . , sd) : (\bfits ,\bfone ) = j
\bigr\}
.
Для кiлькостi елементiв множини
\Delta Qj =
\bigcup
\bfits \in \frakN j
\rho (\bfits )
будемо мати оцiнку
| \Delta Qj | =
\sum
(\bfits ,1)=j
2(\bfits ,1) = 2j
\sum
(\bfits ,1)=j
1 \asymp 2jjd - 1.
Далi пiдберемо число l \in \BbbN у вiдповiдностi зi спiввiдношенням 2lld - 1 \asymp M i покладемо
Mj =
\Biggl\{
2jjd - 1, d \leq j \leq l,\bigl[
2l(r1+
1
2)ld - 12 - j(r1 - 1
2)
\bigr]
+ 1, l < j < \alpha l,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 225
де
\alpha =
r1 +
1
2
r1 -
1
2
.
Тут i далi [a] позначає цiлу частину числа a.
Переконаємося, що
\sum \infty
d\leq j<\alpha l
Mj \ll M при r1 >
1
2
. Маємо
\infty \sum
d\leq j<\alpha l
Mj \ll
l\sum
j=d
2jjd - 1 +
\sum
l<j<\alpha l
2l(r1+
1
2)ld - 12 - j(r1 - 1
2) + \alpha l \ll
\ll 2lld - 1 + 2l(r1+
1
2)ld - 1
\sum
l<j<\alpha l
2 - j(r1 - 1
2) + \alpha l \ll
\ll 2lld - 1 + 2l(r1+
1
2)ld - 12 - l(r1 - 1
2) + \alpha l =
= 2lld - 1 + 2lld - 1 + \alpha l \asymp 2lld - 1 \asymp M.
Для подальшого викладу нам знадобиться допомiжне твердження.
Лема А [4, c. 11]. Справедливою є оцiнка\sum
(\bfits ,1)\geq n
2 - \beta (\bfits ,1) \asymp 2 - \beta nnd - 1, \beta > 0. (4)
Отже, нехай f \in B\bfitr
2,\theta i \theta \in (2,\infty ). Тодi, використовуючи спочатку нерiвнiсть Гельдера з
показником
\theta
2
, а потiм спiввiдношення (4), маємо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
=
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
\| \delta \bfits (f)\| 22
\right) 1
2
\leq
\leq
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f)\| \theta 2
\right) 1
\theta
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
2 - 2(\bfits ,\bfitr ) \theta
\theta - 2
\right) 1
2
- 1
\theta
\leq
\ll \| f\| B\bfitr
2,\theta
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
2 - 2(\bfits ,\bfitr ) \theta
\theta - 2
\right) 1
2
- 1
\theta
\ll 2 - jr1j(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ). (5)
Тепер нехай f \in B\bfitr
2,2. Тодi можемо записати
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
=
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
\| \delta \bfits (f)\| 22
\right) 1
2
=
= 2 - jr1
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
22(\bfits ,\bfitr )\| \delta \bfits (f)\| 22
\right) 1
2
\ll 2 - jr1\| f\| B\bfitr
2,2
\leq 2 - jr1 . (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
226 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Таким чином, для f \in B\bfitr
2,\theta , 2 \leq \theta < \infty , враховуючи (5) i (6), отримуємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
\ll 2 - jr1j(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ). (7)
Пiдмножину тригонометричних полiномiв вигляду
\tau (f) =
\sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f),
для яких виконується (7), позначимо B\bfitr
2,\theta (j).
Далi нам знадобиться ще одне допомiжне твердження, яке випливає безпосередньо з озна-
чення колмогоровського поперечника.
Лема Б. Нехай X — банахiв простiр, W,W1, . . . ,Wl, . . . — пiдмножини X i Nl \in \BbbZ +.
Тодi якщо \sum
l
Nl \leq N i W \subset
\bigcup
l
Wl,
то
dN
\bigl(
W,X
\bigr)
\leq
\sum
l
dNl
(Wl,X ). (8)
Таким чином, використовуючи лему Б, записуємо
dM
\bigl(
B\bfitr
2,\theta , QC
\bigr)
\ll
\sum
d\leq j<\alpha l
dMj
\bigl(
B\bfitr
2,\theta (j), QC
\bigr)
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B\bfitr
2,\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,1)\geq \alpha l
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
QC
= I1 + I2. (9)
Оцiнимо спочатку доданок I2, скориставшись вiдомим твердженням.
Для будь-якої множини \Lambda \subset \BbbZ d через \scrT (\Lambda ) будемо позначати множину тригонометричних
полiномiв t вигляду
t(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \Lambda
c\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ), \bfitx \in \BbbT d.
У випадку, коли множина \Lambda симетрична вiдносно початку координат (\Lambda = - \Lambda ), покладемо
\scrT r(\Lambda ) =
\bigl\{
t \in \scrT (\Lambda ) : c\bfitk = c - \bfitk ,\bfitk \in \Lambda
\bigr\}
.
Теорема А ([4], гл. 1, теорема 2.1). Нехай f \in \scrT (Qn). Тодi при 1 \leq p < \infty виконується
порядкова нерiвнiсть
\| f\| \infty \ll 2
n
p n
(d - 1)
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
\| f\| p. (10)
Зауважимо, що нерiвнiсть (10) залишається правильною i у випадку, коли f \in \scrT (\Delta Qn).
Згiдно з означенням та властивостями QC -норми, оцiнками (7) i (10) при p = 2, для
будь-якої f \in B\bfitr
2,\theta маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
QC
\ll 2
j
2 j(d - 1)(1 - 1
2)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 227
\ll 2
j
2 j
d - 1
2 2 - jr1j(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) = 2 - j(r1 - 1
2)j(d - 1)(1 - 1
\theta ). (11)
Отже, враховуючи (11) i значення \alpha , для величини I2 можемо записати
I2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B\bfitr
2,\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,1)\geq \alpha l
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
QC
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B\bfitr
2,\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
j=[\alpha l]+1
\sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
QC
\ll
\ll \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B\bfitr
2,\theta
\infty \sum
j=[\alpha l]+1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
QC
\ll
\infty \sum
j=[\alpha l]+1
2 - j(r1 - 1
2)j(d - 1)(1 - 1
\theta ) \ll
\ll 2 - \alpha l(r1 - 1
2)(\alpha l)(d - 1)(1 - 1
\theta ) \ll 2 - l(r1+ 1
2)l(d - 1)(1 - 1
\theta ). (12)
Для оцiнки доданка I1 скористаємося допомiжним твердженням.
Нехай \scrT (\Delta Qn)2 позначає одиничну L2-кулю у просторi полiномiв \scrT (\Delta Qn).
Лема В [25]. Має мiсце оцiнка
dM
\bigl(
\scrT (\Delta Qn)2, QC
\bigr)
\ll n
1
2 (| \Delta Qn| /M)
1
2 . (13)
Попередньо зауважимо, що у вiдповiдностi з означенням чисел Mj виконується рiвнiсть
dMj
\bigl(
B\bfitr
2,\theta (j), QC
\bigr)
= 0, d \leq j \leq l.
Тому, використовуючи оцiнку (13) i враховуючи вибiр чисел Mj , маємо
I1 =
\sum
d\leq j<\alpha l
dMj
\bigl(
B\bfitr
2,\theta (j), QC
\bigr)
=
\sum
l<j<\alpha l
dMj
\bigl(
B\bfitr
2,\theta (j), QC
\bigr)
\ll
\ll
[\alpha l]+1\sum
j=l+1
j
1
2M
- 1
2
j 2
j
2 j
d - 1
2 2 - jr1j(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) \ll
\ll 2 -
l
2(r1+
1
2)l -
d - 1
2
[\alpha l]+1\sum
j=l+1
j
1
2 2
j
2 j
d - 1
2 2
j
2(r1 -
1
2)2 - jr1j(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) =
= 2 -
l
2(r1+
1
2) l -
d - 1
2
[\alpha l]+1\sum
j=l+1
2 -
j
2(r1 -
1
2) j(d - 1)(1 - 1
\theta ) j
1
2 \ll
\ll 2 - lr1 l(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )l
1
2 . (14)
Далi, пiдставляючи (12) i (14) в (9) i враховуючи, що M \asymp 2lld - 1, отримуємо
dM
\bigl(
B\bfitr
2,\theta , QC
\bigr)
\ll 2 - lr1 l(d - 1)
\bigl(
1
2
- 1
\theta
\bigr)
l
1
2 \asymp
\asymp M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\bigr) r1+ 1
2
- 1
\theta
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M. (15)
У випадку 2 < p \leq \infty оцiнка зверху для поперечника dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
є наслiдком оцiнки
(15) згiдно з вкладенням B\bfitr
p,\theta \subset B\bfitr
2,\theta , а саме,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
228 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
\ll dM
\bigl(
B\bfitr
2,\theta , QC
\bigr)
\ll
\ll M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\bigr) r1+ 1
2
- 1
\theta
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M. (16)
Оцiнку зверху в теоремi 1 встановлено.
Для доведення в (3) оцiнки знизу будемо використовувати iснуючий зв’язок мiж оцiнка-
ми для колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел класiв B\bfitr
p,\theta . Наведемо необхiднi
позначення i сформулюємо допомiжнi твердження.
Нехай X — банахiв простiр i BX (\bfity , r) =
\bigl\{
x \in X : \| \bfitx - \bfity \| \leq r
\bigr\}
— куля радiуса r з
центром у точцi \bfity .
Для компактної множини A \subset X i \varepsilon > 0 позначимо
N\varepsilon (A,X ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left\{ n : \exists \bfity 1, . . . ,\bfity n \in X : A \subseteq
n\bigcup
j=1
BX (\bfity j , \varepsilon )
\right\} .
Тодi величина
H\varepsilon (A,X ) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N\varepsilon (A,X )
називається \varepsilon -ентропiєю множини A щодо банахового простору X [28].
З \varepsilon -ентропiєю множини A тiсно пов’язане поняття її ентропiйних чисел \varepsilon k(A,X ) (див.,
наприклад, [29]):
\varepsilon k(A,X ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \varepsilon : \exists \bfity 1, . . . ,\bfity 2k \in X : A \subseteq
2k\bigcup
j=1
BX (\bfity j , \varepsilon )
\right\} .
Дослiдження \varepsilon -ентропiї i близьких до неї асимптотичних характеристик (\varepsilon -ємностi, ен-
тропiйних чисел i т. п.) мають багату iсторiю. Ентропiйнi числа для класiв функцiй однiєї та
багатьох змiнних Соболєва W \bfitr
p,\bfitalpha , Нiкольського H\bfitr
p , Нiкольського – Бєсова B\bfitr
p,\theta та їхнiх ана-
логiв дослiджувалися, зокрема, у роботах [1, 25, 30 – 37]. З детальною бiблiографiєю можна
ознайомитись у монографiях [20, 38, 39].
Сформулюємо допомiжне твердження (див., наприклад, [25]), яке є наслiдком однiєї нерiв-
ностi Карла (див. [40]).
Лема Г. Нехай A — компакт у сепарабельному банаховому просторi X . Припустимо, що
для пари чисел (a, b), a > 0, b \in \BbbR , або a = 0, b < 0 виконуються спiввiдношення
dm
\bigl(
A,X
\bigr)
\ll m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b,
\varepsilon m
\bigl(
A,X
\bigr)
\gg m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
Тодi
\varepsilon m
\bigl(
A,X
\bigr)
\asymp dm
\bigl(
A,X
\bigr)
\asymp m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
З огляду на лему Г для доведення оцiнки знизу в теоремi 1 нам достатньо отримати вiд-
повiдну оцiнку для ентропiйних чисел \varepsilon M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
. У зв’язку з цим зазначимо, що у роботi
[41] встановлено, зокрема, таке твердження.
Теорема Б. Нехай 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta < \infty , r1 >
1
2
. Тодi при d \geq 2 справджується оцiнка
\varepsilon M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
\gg M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1+
1
2
- 1
\theta
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M. (17)
Для зручностi наведемо доведення оцiнки (17).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 229
Покажемо спочатку, що виконується спiввiдношення
\varepsilon M
\bigl(
B\bfitr
\infty ,\theta , QC
\bigr)
\gg M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1+
1
2
- 1
\theta
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M. (18)
Нехай N\varepsilon (F,X ) — мiнiмальна кiлькiсть замкнених куль радiуса \varepsilon > 0 простору X , не-
обхiдних для компактного покриття множини F, а M\varepsilon (F,X ) — максимальна кiлькiсть таких
точок xi \in F, що \| xi - xj\| X > \varepsilon , i \not = j. Тодi виконуються нерiвностi (див., наприклад, [28])
N\varepsilon (F,X ) \leq M\varepsilon (F,X ) \leq N \varepsilon
2
(F,X ). (19)
Далi для парних n i d \geq 2 позначимо
Y d
n =
\Bigl\{
\bfits : \bfits = (2l1, . . . , 2ld), l1 + . . .+ ld =
n
2
, \bfitl \in \BbbN d
\Bigr\}
,
Dn =
\bigcup
\bfits \in Y d
n
\rho (\bfits )
i \scrT r(Dn) — простiр дiйсних тригонометричних полiномiв t \in \scrT (Dn). При цьому зауважимо,
що для кiлькостi елементiв множин Dn справджується спiввiдношення | Dn| \asymp 2nnd - 1.
У [25] (див. також [34]) для кожного n побудовано набiр функцiй \{ fn
i \}
An
i=1, f
n
i \in \scrT r(Dn),
якi мають такi властивостi:
\| \delta \bfits (fn
i )\| \infty \leq 1, \bfits \in Y d
n ,
\| fn
i - fn
j \| QC \geq C(d)n
d
2 , i \not = j, (20)
An \geq 2
| Dn|
2 .
Покажемо, що кожна функцiя з множини
Fn =
\Bigl\{
C(\theta , d)2 - nr1n - d - 1
\theta fn
i
\Bigr\} An
i=1
з деякою сталою C(\theta , d) належить класу B\bfitr
\infty ,\theta , 1 \leq \theta < \infty .
Маємо
\| fn
i \| B\bfitr
\infty ,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in Dn
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits (f
n
i )\| \theta \infty
\right) 1
\theta
=
=
\left( \sum
\bfits \in Dn
2(\bfits ,\bfitr )\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f
n
i )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \theta
\infty
\right) 1
\theta
\leq
\leq
\left( \sum
\bfits \in Dn
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits \| \theta 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f
n
i )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \theta
\infty
\right) 1
\theta
\ll
\ll
\left( \sum
\bfits \in Dn
2(\bfits ,\bfitr )\theta
\left( \sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| \delta \bfits \prime (fn
i )\| \infty
\right) \theta
\right)
1
\theta
\ll 2nr1n
d - 1
\theta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
230 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Отже, Fn \subset B\bfitr
\infty ,\theta .
Тепер, беручи до уваги (19) i використовуючи другу властивiсть для функцiй iз (20), можемо
записати
\varepsilon M
\bigl(
B\bfitr
\infty ,\theta , QC
\bigr)
\gg \varepsilon M
\bigl(
Fn, QC
\bigr)
\gg
\gg 2 - nr1n - d - 1
\theta n
d
2 = 2 - nr1n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )n
1
2 \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1+
1
2
- 1
\theta
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M.
Оцiнку (18) встановлено.
Оскiльки для 1 \leq p < \infty має мiсце вкладення B\bfitr
\infty ,\theta \subset B\bfitr
p,\theta , то, використовуючи оцiнку
(18), зокрема, i для 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta < \infty , r1 >
1
2
, маємо
\varepsilon M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
\gg \varepsilon M
\bigl(
B\bfitr
\infty ,\theta , QC
\bigr)
\gg M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1+
1
2
- 1
\theta
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M. (21)
Зiставляючи оцiнку (21) з (16) i застосовуючи лему Г, одержуємо твердження теореми.
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що у теоремi 1 залишився не розглянутим, зокрема, випадок 1 \leq \theta < 2. У
наступному твердженнi для цих значень параметра \theta встановимо оцiнку зверху для величин
dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
, 2 \leq p \leq \infty , r1 >
1
2
.
Теорема 2. Нехай 2 \leq p \leq \infty , r1 >
1
2
. Тодi при 1 \leq \theta < 2 i d \geq 2 справджується оцiнка
dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
\ll M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\bigr) r1\sqrt{} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M. (22)
Доведення. Оцiнку (22) встановимо за схемою, яку було використовано при доведеннi
оцiнки зверху в теоремi 1. При цьому будемо використовувати всi позначення з теореми 1 i
акцентуватимемо увагу на вiдмiнностях, а саме, нам необхiдно у спiввiдношеннi (9) оцiнити
доданки I1 та I2 у випадку 1 \leq \theta < 2.
Нехай p = 2 i f \in B\bfitr
2,\theta , де 1 \leq \theta < 2. Тодi, використовуючи нерiвнiсть\Biggl( \infty \sum
k=1
| ak| v2
\Biggr) 1
v2
\leq
\Biggl( \infty \sum
k=1
| ak| v1
\Biggr) 1
v1
, 0 < v1 \leq v2 < \infty
(див. [42, с. 43]), записуємо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\bfits \in \frakN j
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
=
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
\| \delta \bfits (f)\| 22
\right) 1
2
\leq
\leq 2 - jr1
\left( \sum
\bfits \in \frakN j
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f)\| \theta 2
\right) 1
\theta
\ll 2 - jr1\| f\| B\bfitr
2,\theta
\leq 2 - jr1 . (23)
Далi з урахуванням спiввiдношення (23) маємо
I2 \ll 2 - l(r1+ 1
2)l
d - 1
2 (24)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 231
I1 \ll 2 - lr1 l
1
2 . (25)
Пiдставляючи (24) i (25) у (9), отримуємо
dM
\bigl(
B\bfitr
2,\theta , QC
\bigr)
\ll M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\bigr) r1\sqrt{} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M
i для 2 < p \leq \infty згiдно з вкладенням B\bfitr
p,\theta \subset B\bfitr
2,\theta маємо
dM
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , QC
\bigr)
\ll dM
\bigl(
B\bfitr
2,\theta , QC
\bigr)
\ll M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\bigr) r1\sqrt{} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M.
Теорему 2 доведено.
Насамкiнець зазначимо, що встановлена в теоремi 1 точна за порядком оцiнка M -вимiрного
колмогоровського поперечника класiв Нiкольського – Бєсова B\bfitr
p,\theta у просторi QC доповнює
вiдповiднi результати для класiв Соболєва W \bfitr
p,\bfitalpha та Нiкольського H\bfitr
p , 1 < p \leq \infty , встановленi
Б. С. Кашиним i В. М. Темляковим [25].
Крiм того, у двовимiрному випадку встановлена в теоремi 1 оцiнка M -вимiрного колмого-
ровського поперечника класiв Нiкольського – Бєсова B\bfitr
p,\theta збiгається за порядком з вiдповiдною
оцiнкою у просторi L\infty , яку, як зазначено вище, отримано в роботi [1].
Лiтература
1. A. S. Romanyuk, Entropy numbers and widths for the Nikol’skii – Besov classes of functions of many variables in the
space L\infty , Anal. Math., 45, № 1, 133 – 151 (2019).
2. А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных,
Укр. мат. журн., 68, № 10, 1403 – 1417 (2016).
3. А. С. Романюк, Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольського – Бесова
периодических функций многих переменных, Укр. мат. журн., 67, № 11, 1540 – 1556 (2015).
4. В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178,
1 – 112 (1986).
5. П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187, 143 – 161 (1989).
6. С. М. Никольский, Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию
Гельдера, Сиб. мат. журн., 4, № 6, 1342 – 1364 (1963).
7. Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)\ast
p,\theta B
(0 \leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n), Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77, 5 – 34 (1965).
8. О. В. Бесов, Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения
и продолжения, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 60, 42 – 81 (1961).
9. С. М. Никольский, Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифферен-
цируемых функций многих переменных, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 38, 244 – 278 (1951).
10. A. Kolmogoroff, Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse, Ann. Math., 37,
107 – 111 (1936).
11. Э. М. Галеев, Поперечники классов Бесова Br
p,\theta (\BbbT d), Мат. заметки, 69, № 5, 656 – 665 (2001).
12. А. С. Романюк, К вопросу об оценках колмогоровских поперечников классов Br
p,\theta в пространстве Lq , Укр.
мат. журн., 53, № 7, 996 – 1001 (2001).
13. А. С. Романюк, Колмогоровские поперечники классов Бесова Br
p,\theta в метрике пространства L\infty , Укр. мат.
вiсн., 2, № 2, 201 – 218 (2005).
14. А. С. Романюк, Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Br
p,\theta периодических
функций многих переменных, Мат. сб., 197, № 1, 71 – 96 (2006).
15. А. С. Романюк, Колмогоровськi поперечники i бiлiнiйнi наближення класiв перiодичних функцiй однiєї та
багатьох змiнних, Укр. мат. журн., 70, № 2, 224 – 235 (2018).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
232 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
16. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних
у просторi B\infty ,1 , Укр. мат. журн., 71, № 2, 271 – 282 (2019).
17. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Оцiнки деяких апроксимацiйних характеристик класiв перiодичних функцiй
однiєї та багатьох змiнних, Укр. мат. журн., 71, № 8, 1102 – 1115 (2019).
18. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики i властивостi операторiв найкращого набли-
ження класiв функцiй з просторiв Соболєва та Нiкольського – Бєсова, Укр. мат. вiсн., 17, № 3, 372 – 395 (2020).
19. А. С. Романюк, С. Я. Янченко, Оцiнки апроксимацiйних характеристик i властивостi операторiв найкращого
наближення класiв перiодичних функцiй у просторi B1,1 , Укр. мат. журн., 73, № 8, 1102 – 1119 (2021).
20. D. Dũng, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math., CRM Barselona,
Birkhäuser (2018).
21. А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных,
Працi Iн-ту математики НАН України, 93 (2012).
22. V. N. Temlyakov, Approximation of periodic function, Nova Sci. Publ., Inc., New York (1993).
23. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, Наука, Москва (1984).
24. Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, Об одной норме и связанных с ней приложениях, Мат. заметки, 64, № 4, 637 – 640
(1998).
25. Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих
переменных, Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа, АФЦ, Москва (1999), с. 69 – 99.
26. А. О. Радомский, О неэквивалентности C - и QC -норм в пространстве тригонометрических полиномов,
Мат. сб., 207, № 12, 1729 – 1742 (2016).
27. А. О. Радомский, Некоторые тригонометрические полиномы с экстремально малой равномерной нормой и
их приложения, Изв. РАН. Сер. мат., 84, № 2, 166 – 196 (2020).
28. А. Н. Колмогоров, В. M. Тихомиров, \varepsilon -Энтропия и \varepsilon -емкость множеств в функциональных пространствах,
Успехи мат. наук, 14, № 2, 3 – 86 (1959).
29. K. Höllig, Diameters of classes of smooth functions, Quant. Approxim., Acad. Press, New York (1980), p. 163 – 176.
30. E. S. Belinskii, Approximation of functions of several variables by trigonometric polinomials with given number of
harmonics, and estimates of \epsilon -entropy, Anal. Math., 15, 67 – 74 (1989).
31. E. S. Belinskii, Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed
derivative, J. Approx. Theory, 93, 114 – 127 (1998).
32. Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве
L1 , Мат. заметки, 56, № 5, 57 – 86 (1994).
33. В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной про-
изводной или разностью, Труды Мат. ин-та АН СССР, 189, 138 – 168 (1989).
34. V. N. Temlyakov, An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the entropy numbers,
J. Complexity, 11, 293 – 307 (1995).
35. V. N. Temlyakov, An inequality for the entropy numbers and its application, J. Approx. Theory, 173, 110 – 121 (2013).
36. V. N. Temlyakov, On the entropy numbers of the mixed smoothness function classes, J. Approx. Theory, 217, 26 – 56
(2017).
37. К. В. Пожарська, Оцiнки ентропiйних чисел класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй
метрицi, Укр. мат. журн., 70, № 9, 1249 – 1263 (2019).
38. V. N. Temlyakov, Multivariate approximation, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2018).
39. R. M. Trigub, E. S. Belinsky, Fourier analysis and approximation of functions, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht
(2004).
40. G. Pisier, The volume of convex bodies and Banach space geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1989).
41. A. S. Romanyuk, S. Ya. Yanchenko, Estimates for the entropy numbers of the Nikol’skii – Besov classes of functions
with mixed smoothness in the space of quasi-continuous functions, Math. Nachr. (accepted); mana.202100202.
42. Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиa, Неравенства, Изд-во иностр. лит., Москва (1948).
Одержано 29.09.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6932 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:44Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/4816a206cd21acd8f2d6c2b186db6439.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69322025-03-31T08:45:58Z Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions Колмогоровські поперечники класів Нікольського – Бєсова періодичних функцій багатьох змінних у просторі квазінеперервних функцій Romanyuk , A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. класи Нікольського-Бєсова Колмогоровський поперечник простір квазiнеперервних функцiй Nikol'skii-Besov classes Kolmogorov widths space of quasi-continuous functions UDC 517.51 We obtain the order estimates of $M$-dimensional Kolmogorov width for the Nikol’skii – Besov classes with dominating mixed derivative of periodic functions of many variables in the metric of the space of quasi-continuous functions (QC-space). УДК 517.51Отримано порядковi оцiнки $M$-вимiрних колмогоровських поперечникiв класiв Нiкольського – Бєсова з домiнуючою мiшаною похiдною перiодичних функцiй багатьох змiнних у метрицi простору квазiнеперервних функцiй (QC-простору). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-02-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6932 10.37863/umzh.v74i2.6932 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 2 (2022); 220 - 232 Український математичний журнал; Том 74 № 2 (2022); 220 - 232 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6932/9193 Copyright (c) 2022 Сергій Янченко, Анатолій Романюк |
| spellingShingle | Romanyuk , A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions |
| title | Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions |
| title_alt | Колмогоровські поперечники класів Нікольського – Бєсова періодичних функцій багатьох змінних у просторі квазінеперервних функцій |
| title_full | Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions |
| title_fullStr | Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions |
| title_short | Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions |
| title_sort | kolmogorov widths of the nikol’skii – besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions |
| topic_facet | класи Нікольського-Бєсова Колмогоровський поперечник простір квазiнеперервних функцiй Nikol'skii-Besov classes Kolmogorov widths space of quasi-continuous functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6932 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas kolmogorovwidthsofthenikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespaceofquasicontinuousfunctions AT yanchenkosya kolmogorovwidthsofthenikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespaceofquasicontinuousfunctions AT romanûkas kolmogorovwidthsofthenikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespaceofquasicontinuousfunctions AT ânčenkosâ kolmogorovwidthsofthenikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespaceofquasicontinuousfunctions AT romanyukas kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríkvazíneperervnihfunkcíj AT yanchenkosya kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríkvazíneperervnihfunkcíj AT romanûkas kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríkvazíneperervnihfunkcíj AT ânčenkosâ kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríkvazíneperervnihfunkcíj |