New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord
UDC 519.62 In this paper, we propose and justify three-point difference schemes of higher order of accuracy on a non-uniform grid for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second order with a derivative on the right-hand side and boundary conditions of the first kind. We constr...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6935 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512565000404992 |
|---|---|
| author | Kutniv, M. V. Krol , М. Кутнів, М. В. Круль, М. M. |
| author_facet | Kutniv, M. V. Krol , М. Кутнів, М. В. Круль, М. M. |
| author_sort | Kutniv, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:45:58Z |
| description | UDC 519.62
In this paper, we propose and justify three-point difference schemes of higher order of accuracy on a non-uniform grid for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second order with a derivative on the right-hand side and boundary conditions of the first kind. We construct a new approximation of the derivative of the solution to the boundary value problem at grid nodes, prove the existence and uniqueness of the solution, and establish the order of accuracy of the difference schemes. Additionally, an iterative Newton-type method for determining the solution of these schemes is developed and an algorithm for the automatic selection of grid points, which guarantees the achievement of the specified accuracy, is suggested. We also present numerical solutions of some examples, which confirm the efficiency and reliability of our algorithm. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i2.6935 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i2.6935
УДК 519.62
М. В. Кутнiв (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв; Жешув. технол. ун-т, Польща),
М. Круль (Жешув. технол. ун-т, Польща)
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ
РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ ЗВИЧАЙНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
In this paper, we propose and justify three-point difference schemes of higher order of accuracy on a non-uniform grid
for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second order with a derivative on the right-hand side and
boundary conditions of the first kind. We construct a new approximation of the derivative of the solution to the boundary
value problem at grid nodes, prove the existence and uniqueness of the solution, and establish the order of accuracy of
the difference schemes. Additionally, an iterative Newton-type method for determining the solution of these schemes is
developed and an algorithm for the automatic selection of grid points, which guarantees the achievement of the specified
accuracy, is suggested. We also present numerical examples, which confirm the efficiency and reliability of our algorithm.
Побудовано та обґрунтовано триточковi рiзницевi схеми високого порядку точностi на нерiвномiрнiй сiтцi для
систем нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку з похiдною у правiй частинi i крайовими
умовами першого роду. Побудовано нову апроксимацiю похiдної розв’язку крайової задачi у вузлах сiтки. Доведено
iснування та єдинiсть розв’язку, встановлено порядок точностi рiзницевих схем. Розроблено iтерацiйний метод
типу Ньютона знаходження розв’язку цих схем. Запропоновано алгоритм автоматичного вибору точок сiтки, який
гарантує досягнення заданої точностi. Наведено числовi приклади, якi пiдтверджують ефективнiсть i надiйнiсть
розробленого алгоритму.
1. Вступ. Рiзницеву схему називатимемо точною, якщо її розв’язок збiгається з проєкцiєю
точного розв’язку крайової задачi на сiтку. Пiдхiд до побудови точних триточкових рiзницевих
схем (ТТРС) на рiвномiрнiй сiтцi та їх алгоритмiчної реалiзацiї, яка приводить до триточкових
рiзницевих схем (ТРС) довiльного порядку точностi, для нелiнiйних крайових задач вигляду
d
dx
\biggl[
k(x)
du
dx
\biggr]
= - f (x, u) , x \in (0, 1), u(0) = \mu 1, u(1) = \mu 2
було запропоновано в [1 – 3]. Цi результати узагальнено i розвинено в [4] для випадку нерiв-
номiрної сiтки, а також у [5 – 7] для нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь (ЗДР) з
похiдною у правiй частинi i крайовими умовами третього роду. У [8 – 10] результати, отриманi
для скалярних нелiнiйних ЗДР, було узагальнено для систем нелiнiйних ЗДР другого порядку.
У цiй статтi розроблено нову ефективну алгоритмiчну реалiзацiю ТТРС на нерiвномiрнiй
сiтцi через усiченi ТРС для систем нелiнiйних ЗДР
d2u
dx2
= f
\biggl(
x, u,
du
dx
\biggr)
, x \in (0, 1), (1)
f(x, u, \xi ) : [0, 1] \rightarrow \BbbR s, u, \xi : [0, 1] \rightarrow \BbbR s,
з крайовими умовами
u(0) = \mu 1, u(1) = \mu 2, (2)
c\bigcirc М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ, 2022
204 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 205
де \BbbR s — простiр s-вимiрних векторiв. Для знаходження правої частини ТРС в кожному вузлi
xj , j = 1, 2, . . . , N - 1, сiтки необхiдно розв’язати двi допомiжнi задачi Кошi для систем не-
лiнiйних ЗДР другого порядку (1) на iнтервалах [xj - 1, xj ] (вперед) i [xj , xj+1] (назад). Задачi
Кошi потрiбно розв’язувати лише за один крок за допомогою будь-якого однокрокового мето-
ду порядку точностi \=m = 2[(m + 1)/2] (m — задане додатне число, [\cdot ] означає цiлу частину
числа). В результатi отримано реалiзацiю ТТРС через триточковi рiзницевi схеми рангу \=m, для
яких доведено, що вони мають порядок точностi \=m. Зауважимо, що застосування однокрокових
методiв розв’язування задач Кошi для систем другого порядку (1) дозволяє зменшити об’єм об-
числень та потребує меншої комп’ютерної пам’ятi у порiвняннi з застосуванням однокрокових
методiв для систем першого порядку подвiйної розмiрностi (див., наприклад, [11, с. 283, 284]).
Побудовано нову апроксимацiю похiдної du/dx у вузлах сiтки, порядок точностi якої такий же,
як i розв’язку, тобто \=m. Для знаходження розв’язку рiзницевих схем використовуються iтера-
цiйнi методи. Розроблено ефективний алгоритм чисельного розв’язання крайових задач (1), (2),
який автоматично генерує сiтку для заданої допустимої точностi. Наведено кiлька числових
прикладiв, якi пiдтверджують ефективнiсть запропонованих алгоритмiв.
2. Iснування та єдинiсть розв’язку. Достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку задачi
(1), (2) дає така теорема.
Теорема 1. Якщо f(x, u, \xi ) = [fi(x, u, \xi )]
s
i=1 задовольняє умови
fiu\xi (x) \equiv fi (x, u, \xi ) \in Q0[0, 1] \forall u, \xi \in \BbbR s,
fix (u, \xi ) \equiv fi (x, u, \xi ) \in C(\BbbR 2s) \forall x \in [0, 1],
(3)
| fi (x, u, \xi ) - f0i(x)| \leq Ci
s\sum
p=1
| up| [gi(x) + | \xi i| 2] \forall x \in [0, 1], u, \xi \in \BbbR s, (4)
(f (x, u, \xi ) - f (x, v, \eta ), u - v) \leq c
\Bigl(
\| u - v\| 2 + \| \xi - \eta \| 2
\Bigr)
\forall x \in [0, 1], u, v, \xi , \eta \in \BbbR s, 0 \leq c <
\pi 2
\pi 2 + 1
,
(5)
то задача (1), (2) має єдиний розв’язок u(x) = \{ ui(x)\} si=1. Крiм того, ui(x),
dui
dx
\in C[0, 1],
i = 1, 2, . . . , s.
Тут (u, v) — скалярний добуток в \BbbR s, \| u\| = (u, u)1/2 — норма вектора в \BbbR s, Q0[0, 1] —
клас кусково-неперервних функцiй iз скiнченною кiлькiстю точок розриву першого роду, Ci(t)
— невiд’ємна, неперервна функцiя, f0i(x) \in L2(0, 1), gi(x) \in L1(0, 1) i c — стала.
Доведення можна знайти в [10].
3. Алгоритмiчна реалiзацiя точних триточкових рiзницевих схем. На iнтервалi (0, 1)
введемо нерiвномiрну сiтку
\^\omega h = \{ xj \in (0, 1), j = 1, 2, . . . , N - 1, hj = xj - xj - 1 > 0, h1 + h2 + . . .+ hN = 1\}
так, щоб точки розриву функцiї f (x, u, \xi ) збiгалися з вузлами сiтки \^\omega h. Множину всiх точок
розриву позначимо через \rho i припустимо, що N таке, що \rho \subseteq \^\omega h.
ТТРС для задачi (1), (2) має вигляд (див. [7, 10])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
206 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
u\=x\^x,j = \varphi (xj , u), j = 1, 2, . . . , N - 1, u0 = \mu 1, uN = \mu 2, (6)
де
uj = u(xj), u\=x,j =
uj - uj - 1
hj
, u\^x,j =
uj+1 - uj
\hbar j
,
\hbar j =
hj + hj+1
2
, ux,j =
uj+1 - uj
hj+1
, u\=x\^x,j =
ux,j - u\=x,j
\hbar j
,
\varphi (xj , u) =
1
\hbar jhj
xj\int
xj - 1
(\xi - xj - 1)f
\biggl(
\xi , u(\xi ),
du
d\xi
\biggr)
d\xi +
+
1
\hbar jhj+1
xj+1\int
xj
(xj+1 - \xi )f
\biggl(
\xi , u(\xi ),
du
d\xi
\biggr)
d\xi .
Значення першої похiдної у вузлах сiтки xj+( - 1)\alpha , j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N +1 - \alpha , \alpha = 1, 2,
можна обчислити за формулами
du
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
= u\=x,j - 1+\alpha +
( - 1)\alpha +1
hj - 1+\alpha
xj\int
xj+( - 1)\alpha
(\xi - xj)f
\biggl(
\xi , u(\xi ),
du
d\xi
\biggr)
d\xi . (7)
Насамперед врахуємо, що
xj\int
xj+( - 1)\alpha
(\xi - xj+( - 1)\alpha )f
\biggl(
\xi , u(\xi ),
du
d\xi
\biggr)
d\xi =
= ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha l
j
\alpha (xj , u) - wj
\alpha (xj , u), (8)
xj\int
xj+( - 1)\alpha
(\xi - xj)f
\biggl(
\xi , u(\xi ),
du
d\xi
\biggr)
d\xi = - wj
\alpha (xj , u), (9)
де wj
\alpha (x, u) \in \BbbR s, j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2, — розв’язки задач Кошi
d2wj
\alpha (x, u)
dx2
= f
\bigl(
x, Y j
\alpha (x, u), Z
j
\alpha (x, u)
\bigr)
, xj - 2+\alpha < x < xj - 1+\alpha ,
wj
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u) = 0,
dwj
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u)
dx
= 0.
(10)
При цьому справджуються рiвностi (див. [7, с. 87])
u(x) = Y j
\alpha (x, u) = uj+( - 1)\alpha + (x - xj+( - 1)\alpha )
du
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
+ wj
\alpha (x, u),
Zj
\alpha (x, u) =
dY j
\alpha (x, u)
dx
=
du
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
+ lj\alpha (x, u), xj - 2+\alpha \leq x \leq xj - 1+\alpha ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 207
де lj\alpha (x, u) =
dwj
\alpha (x, u)
dx
.
Використовуючи (8), (9), праву частину ТТРС (6) та похiдну (7) можна записати у виглядi
\varphi (xj , u) =
1
\hbar j
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\biggl[
lj\alpha (xj , u) +
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
wj
\alpha (xj , u)
\biggr]
, (11)
du
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
= u\=x,j - 1+\alpha +
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
wj
\alpha (xj , u). (12)
Зауважимо, що на вiдмiну вiд [7, 10] значення похiдних (12), якi входять у праву частину
системи ЗДР (10), для кожного j = 1, 2, . . . , N - 1 i \alpha = 1, 2 залежать вiд значень розв’язку
u(x) лише в трьох вузлах сiтки: xj - 1, xj i xj+1. Крiм того, формули (12) визначають вiдповiдну
похiдну неявно.
Отже, для побудови ТТРС (6), (11), (12) необхiдно для будь-якого xj \in \^\omega h розв’язати двi
задачi Кошi (10) з гладкими правими частинами: одну (\alpha = 1) вперед на вiдрiзку [xj - 1, xj ]
i одну (\alpha = 2) назад на вiдрiзку [xj , xj+1] . Будемо розв’язувати їх чисельно за допомогою
однокрокових методiв для ЗДР другого порядку:
w( \=m)j
\alpha (xj , u) = ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha \Phi 1
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , 0, 0, ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
\bigr)
, (13)
l( \=m)j
\alpha (xj , u) = ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha \Phi 2
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , 0, 0, ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
\bigr)
, (14)
де \Phi 1 (x, u, u
\prime , h) i \Phi 2 (x, u, u
\prime , h) — функцiї приросту, u\prime =
du
dx
, w
( \=m)j
\alpha (xj , u), l
( \=m)j
\alpha (xj , u) апрок-
симують вiдповiдно wj
\alpha (xj , u), l
j
\alpha (xj , u) з порядком точностi \=m.
У випадку, коли використовується метод рядiв Тейлора, маємо
\Phi 1(xj+( - 1)\alpha , 0, 0, ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ) =
=
( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
2
f(xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha )+
+
\=m\sum
p=3
[( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ]
p - 1
p!
dpwj
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u)
dxp
,
\Phi 2(xj+( - 1)\alpha , 0, 0, ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ) = f
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha
\Bigr)
+
+
\=m\sum
p=2
[( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ]
p - 1
p!
dp+1wj
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u)
dxp+1
.
У випадку методiв Рунге – Кутта для ЗДР другого порядку отримуємо
\Phi 1(xj+( - 1)\alpha , 0, 0, ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ) = ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
\bigl(
\=b1g1 +\=b2g2 + . . .+\=bs - 1gs - 1
\bigr)
,
\Phi 2(xj+( - 1)\alpha , 0, 0, ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ) = b1g1 + b2g2 + . . .+ bsgs,
де
g1 = f
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha
\Bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
208 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
gi = f
\Biggl(
xj+( - 1)\alpha + ci( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha , uj+( - 1)\alpha + ci( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha u
\prime
j+( - 1)\alpha +
+h2j - 1+\alpha
i - 1\sum
p=1
\=aipgp, u
\prime
j+( - 1)\alpha + ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
i - 1\sum
p=1
aipgp
\Biggr)
, i = 2, 3, . . . , s,
\=aip =
i - 1\sum
k=p+1
aikakp, p = 1, 2, . . . , i - 2, i = 3, 4, . . . , s,
\=ai,i - 1 = 0, i = 2, 3, . . . , s, \=bi =
s\sum
k=i+1
bkaki, i = 1, 2, . . . , s - 1,
ci, aik, bk — дiйснi коефiцiєнти.
Якщо права частина диференцiального рiвняння f(x, u, \xi ) достатньо гладка, то iснують
розвинення
wj
\alpha (xj , u) = w( \=m)j
\alpha (xj , u) + [( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ]
\=m+1\psi j
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u) +O(h \=m+2
j - 1+\alpha ), (15)
lj\alpha (xj , u) = l( \=m)j
\alpha (xj , u) + [( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ]
\=m+1 \~\psi j
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u) +O(h \=m+2
j - 1+\alpha ). (16)
Лема 1. Нехай
fi(x, u, \xi ) \in
N\bigcup
j=1
Cm
\bigl(
[xj - 1, xj ]\times \BbbR 2
\bigr)
i для однокрокових чисельних методiв (13), (14) справджуються розвинення (15), (16). Тодi
wj
\alpha (xj , u) = w( \=m)j
\alpha (xj , u) +
+ ( - 1)\alpha +1h \=m+1
j - 1+\alpha \psi
j - 1+\alpha
1 (xj+( - 1)\alpha , u) +O(h \=m+2
j - 1+\alpha ), (17)
lj\alpha (xj , u) = l( \=m)j
\alpha (xj , u) +
+ ( - 1)\alpha +1h \=m+1
j - 1+\alpha
\~\psi j - 1+\alpha
1 (xj+( - 1)\alpha , u) +O(h \=m+2
j - 1+\alpha ), (18)
j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2.
Доведення. Нехай у формулах (13), (14) для \alpha = 1 iндекс j замiнено на j + 1. Тодi
приєднаним методом до цього методу є (13), (14) з \alpha = 2. Застосовуючи теорему 8.4 (див.
[11, c. 220]), отримуємо \psi j
2 = ( - 1)\=n\psi j+1
1 . З рiвнянь (15), (16) i з того, що \=m — парне число,
випливає твердження леми.
Якщо в ТТРС (6), (11) точнi розв’язки задач Кошi (10) замiнити чисельними w
( \=m)j
\alpha (xj , u),
l
( \=m)j
\alpha (xj , u), то отримаємо вiдповiдну усiчену ТРС рангу \=m:
y
( \=m)
\=x\^x,j = \varphi ( \=m)(xj , y
( \=m)), j = 1, 2, . . . , N - 1, y
( \=m)
0 = \mu 1, y
( \=m)
N = \mu 2, (19)
де y( \=m)
j \approx uj ,
\varphi ( \=m)(xj , u) =
1
\hbar j
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\biggl[
l( \=m)j
\alpha (xj , u) +
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w( \=m)j
\alpha (xj , u)
\biggr]
. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 209
Наближення першої похiдної у вузлах сiтки обчислюється за формулами
dy( \=m)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
= y
( \=m)
\=x,j - 1+\alpha +
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m)),
j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2.
(21)
Наступне твердження встановлює точнiсть наближення правої частини рiзницевої схеми
(19).
Лема 2. Нехай виконуються припущення леми 1. Тодi справджується спiввiдношення
\varphi ( \=m)(xj , u) - \varphi (xj , u) = -
\biggl[
h \=m
j
\Bigl(
\psi j
1(x, u)
\Bigr)
x=xj+0
\biggr]
\^x
+
+ O
\Biggl(
h \=m+1
j + h \=m+1
j+1
\hbar j
\Biggr)
, j = 1, 2, . . . , N - 1. (22)
Доведення. Зауважимо, що
\varphi ( \=m)(xj , u) - \varphi (xj , u) = \hbar - 1
j
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\biggl\{
l( \=m)j
\alpha (xj , u) - lj\alpha (xj , u) +
+
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
\Bigl[
w( \=m)j
\alpha (xj , u) - wj
\alpha (xj , u)
\Bigr] \biggr\}
. (23)
З леми 1 маємо
l( \=m)j
\alpha (xj , u) - lj\alpha (xj , u) +
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
\Bigl[
w( \=m)j
\alpha (xj , u) - wj
\alpha (xj , u)
\Bigr]
=
= h \=m
j - 1+\alpha \psi
j - 1+\alpha
1 (xj+( - 1)\alpha , u) - ( - 1)\alpha +1h \=m+1
j - 1+\alpha
\~\psi j - 1+\alpha
1 (xj+( - 1)\alpha , u) +
+ O(h \=m+2
j - 1+\alpha ) = h \=m
j - 1+\alpha \psi
j - 1+\alpha
1 (xj+( - 1)\alpha , u) +O(h \=m+1
j - 1+\alpha ). (24)
Тодi рiвностi (23), (24) приводять до спiввiдношення
\varphi ( \=m)(xj , u) - \varphi (xj , u) = - 1
\hbar j
\Bigl[
h \=m
j+1\psi
j+1
1 (xj+1, u) - h \=m
j \psi
j
1(xj - 1, u)
\Bigr]
+
+ O
\Biggl(
h \=m+1
j + h \=m+1
j+1
\hbar j
\Biggr)
. (25)
Оскiльки
\psi j
1(xj - 1, u) = \psi j
1(xj , u) +O(hj),
то з (25) випливає, що виконується спiввiдношення (22).
У просторi сiткових функцiй H(\^\omega h) визначимо скалярнi добутки
(u, v)\^\omega h
=
\sum
\xi \in \^\omega h
\hbar (\xi )(u(\xi ), v(\xi )), (u, v)\^\omega +
h
=
\sum
\xi \in \^\omega +
h
h(\xi )(u(\xi ), v(\xi )), \^\omega +
h = \^\omega h \cup xN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
210 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
(u, v)\^\=\omega h
=
\sum
\xi \in \^\=\omega h
\hbar (\xi )(u(\xi ), v(\xi )), \^\=\omega h = \^\omega +
h \cup x0, \hbar 0 = 0, 5h1, \hbar N = 0, 5hN ,
i норми
\| u\| 0,2,\^\omega h
= (u, u)
1/2
\^\omega h
, \| u\| 0,2,\^\omega +
h
= (u, u)
1/2
\^\omega +
h
,
\| u\| 0,2,\^\=\omega h
= (u, u)
1/2
\^\=\omega h
, \| u\| 1,2,\^\omega h
=
\Bigl(
\| u\| 20,2,\^\omega h
+ \| u\=x\| 20,2,\^\omega +
h
\Bigr) 1/2
.
Тепер ми можемо довести таку теорему.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 i леми 1. Тодi iснує таке h0 > 0, що
для всiх \{ hj\} Nj=1 таких, що | h| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq N hj \leq h0, ТРС (19), (20) має єдиний розв’язок,
точнiсть якого характеризується оцiнкою
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
=
\left[ \bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
0,2,\^\omega h
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dy( \=m)
dx
- du
dx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
0,2,\^\=\omega h
\right] 1/2
\leq M | h| \=m ,
де
dy( \=m)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
обчислюється за формулою (21) i M — стала, незалежна вiд | h| .
Доведення. Розглянемо оператор
A
( \=m)
h (xj , u) = - u\=x\^x,j + \varphi ( \=m)(xj , u), j = 1, 2, . . . , N - 1, (26)
який визначено у просторi H(\^\omega h).
Використовуючи формулу пiдсумовування за частинами (див. [13, с. 233]) i спiввiдношення
(22), отримуємо \Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v), u - v
\Bigr)
\^\omega h
= \| u\=x - v\=x\| 20,2,\^\omega +
h
+
+
\Bigl(
\varphi ( \=m)(x, u) - \varphi ( \=m)(x, v), u - v
\Bigr)
\^\omega h
= (Ah(x, u) - Ah(x, v), u - v)\^\omega h
+O
\bigl(
| h| \=m
\bigr)
.
Оскiльки (див. доведення теореми 2 [10])
(\varphi (x, u) - \varphi (x, v), u - v)\^\omega h
\geq
1\int
0
\biggl\{
d
d\eta
[\^u(\eta ) - \^v(\eta ) - u(\eta ) + v(\eta )]
\biggr\} 2
d\eta ,
\^u(\eta ) = u(xj)
\eta - xj - 1
hj
+ u(xj - 1)
xj - \eta
hj
, xj - 1 \leq \eta \leq xj ,
то на пiдставi (22) iснує h0 > 0 таке, що для всiх \{ hj\} Nj=1 таких, що | h| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq N hj \leq h0,
справджується оцiнка \Bigl(
\varphi ( \=m)(x, u) - \varphi ( \=m)(x, v), u - v
\Bigr)
\^\=\omega h
\geq 0.
Тодi з нерiвностi (див. [13, c. 241])
8 \| u\| 20,2,\^\omega h
\leq \| u\=x\| 20,2,\^\omega +
h
(27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 211
випливає, що\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v), u - v
\Bigr)
\^\omega h
\geq \| u\=x - v\=x\| 20,2,\^\omega +
h
\geq 8 \| u - v\| 20,2,\^\omega h
. (28)
Таким чином, оператор A( \=m)
h (x, u) є строго монотонним i для | h| \leq h0 ТРС (19) має єдиний
розв’язок [14, с. 461] y( \=m)(x), x \in \^\omega h.
Похибка z(x) = y( \=m)(x) - u(x), x \in \^\omega h, рiзницевої схеми (19) є розв’язком задачi
z\=x\^x(x) + \varphi ( \=m)(x, u) - \varphi ( \=m)(x, y( \=m)) = \varphi ( \=m)(x, u) - \varphi (x, u), x \in \^\omega h,
z(0) = z(1) = 0.
(29)
Застосовуючи (26), (29), отримуємо\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, y( \=m)), z
\Bigr)
\^\omega h
=
\Bigl(
\varphi ( \=m)(x, u) - \varphi (x, u), z
\Bigr)
\^\omega h
, (30)
що разом з (28) дає оцiнку\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, y( \=m)), z
\Bigr)
\^\omega h
\geq \| z\=x\| 20,2,\^\omega +
h
. (31)
Використовуючи формули пiдсумовування за частинами i нерiвностi Кошi – Буняковського,
з (22) одержуємо оцiнку правої частини (30):\Bigl(
\varphi ( \=m)(x, u) - \varphi (x, u), z
\Bigr)
\^\omega h
=
\Bigl(
h \=m\psi j
1, z\=x
\Bigr)
\^\omega +
h
\leq M | h| \=m \| z\=x\| 0,2,\^\omega +
h
. (32)
Оцiнки (31), (32) дають \| z\=x\| 0,2,\^\omega +
h
\leq M | h| \=m . Далi внаслiдок еквiвалентностi норм \| z\| 1,2,\^\omega h
,
\| z\=x\| 0,2,\^\omega +
h
отримуємо
\| z\| 1,2,\^\omega h
\leq M | h| \=m . (33)
Згiдно з (33), (17) маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
dz
dx
\biggr]
x=xj+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \| z\=x\| 0,2,\^\omega +
h
+
1
hj - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| w( \=m)j
\alpha (xj , u) - wj
\alpha (xj , u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
1
hj - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m)) - w( \=m)j
\alpha (xj , u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq M | h| \=m +
1
hj - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial u
w( \=m)j
\alpha (xj , u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u=\~u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| z\| 0,2,\^\omega h
+
+
1
hj - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial u\prime
w( \=m)j
\alpha (xj , u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u\prime =\~u\prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
dz
dx
\biggr]
x=xj+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2,
де \~u = \theta 1y
( \=m) + (1 - \theta 1)u, 0 < \theta 1 < 1, \~u\prime = \theta 2
dy( \=m)
dx
+ (1 - \theta 2)u
\prime , 0 < \theta 2 < 1. Звiдси при
| h| \leq h0 одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
212 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dzdx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,2,\^\=\omega h
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=2 - \alpha ,3 - \alpha ,...,N+1 - \alpha
\alpha =1,2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
dz
dx
\biggr]
x=xj+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq M | h| \=m .
Отже, враховуючи (33), маємо \| z\| \ast 1,2,\^\=\omega h
\leq M | h| \=m .
Оскiльки величини w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m)
j ), l
( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m)
j ) залежать вiд y( \=m)
j , j = 1, 2, . . . , N - 1, i
dy( \=m)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
, j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N +1 - \alpha , \alpha = 1, 2, то (19), (21) є системою нелiнiйних
рiвнянь щодо цих невiдомих. Для розв’язування цiєї системи застосуємо iтерацiйнi методи.
Теорема 3. Нехай виконуються припущення теореми 2. Тодi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi ( \=m)(x, u) - \varphi ( \=m)(x, v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \~L \| u - v\|
й iснує таке h0 > 0, що для всiх \{ hj\} Nj=1 таких, що | h| \leq h0, виконується нерiвнiсть\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v), u - v
\Bigr)
\^\omega h
\geq \| u\=x - v\=x\| 20,2,\^\omega +
h
,
а iтерацiйний метод
Bh
y( \=m,n) - y( \=m,n - 1)
\tau
+A
( \=m)
h (x, y( \=m,n - 1)) = 0, x \in \^\omega h,
y( \=m,n)(0) = \mu 1, y( \=m,n)(1) = \mu 2,
dy( \=m,n)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
= y
( \=m,n)
\=x,j - 1+\alpha + ( - 1)\alpha
w
( \=m)j
\alpha
\bigl(
xj , y
( \=m,n - 1)
\bigr)
hj - 1+\alpha
,
j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2, n = 1, 2, . . . ,
(34)
y( \=m,0)(x) = (1 - x)\mu 1 + x\mu 2,
dy( \=m,0)(x)
dx
= \mu 2 - \mu 1, x \in \^\omega h,
Bhy = - y\=x\^x, A
( \=m)
h (x, y) = Bhy + \varphi ( \=m)(x, y),
з \tau = \tau 0 =
\Bigl(
1 + \~L/8
\Bigr) - 2
збiгається з оцiнкою похибки\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\omega h
\leq M(| h| \=m + qn), q =
\surd
1 - \tau 0, (35)
де стала M не залежить вiд | h| ,m, n.
Доведення. З теорема 2 випливає, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - y( \=m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
\leq
\leq M | h| \=m +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - y( \=m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
. (36)
Оскiльки fi(x, u, \xi ) \in
\bigcup N
j=1
C \=m([xj - 1, xj ]\times \BbbR 2), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 213\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi ( \=m)(x, u) - \varphi ( \=m)(x, v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \~L \| u - v\| .
Введемо простiр сiткових функцiй HBh
, який складається з елементiв H(\^\omega h), зi скаляр-
ним добутком (Bhu, v)\^\omega h
i нормою \| u\| Bh
= (Bhu, u)
1/2
\^\omega h
. Використовуючи нерiвнiсть Кошi –
Буняковського, отримуємо оцiнку\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v), w
\Bigr)
\^\omega h
\leq \| u - v\|
B
( \=m)
h
\| w\| Bh
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi ( \=m)(x, u) - \varphi ( \=m)(x, v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,2,\^\omega h
\| w\| 0,2,\^\omega h
\leq \| u - v\| Bh
\| w\| Bh
+
+\~L \| u - v\| 0,2,\^\omega h
\| w\| 0,2,\^\omega h
\leq \| u - v\| Bh
\| w\| Bh
+
+
\~L
8
\| u\=x - v\=x\| 0,2,\^\omega +
h
\| w\=x\| 0,2,\^\omega +
h
=
\Biggl(
1 +
\~L
8
\Biggr)
\| u - v\| Bh
\| w\| Bh
.
Покладемо тут w = (Bh)
- 1
\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v)
\Bigr)
, тодi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (Bh)
- 1
\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Bh
\leq
\Biggl(
1 +
\~L
8
\Biggr)
\| u - v\| Bh
. (37)
З (29), (37) випливає, що\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v), (Bh)
- 1
\Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v)
\Bigr) \Bigr)
\^\omega h
\leq
\leq
\Biggl(
1 +
\~L
8
\Biggr) 2
\| u - v\| 2Bh
\leq
\Biggl(
1 +
\~L
8
\Biggr) 2 \Bigl(
A
( \=m)
h (x, u) - A
( \=m)
h (x, v), u - v
\Bigr)
\^\omega h
.
Використовуючи теорему 1 з [13, с. 502], робимо висновок, що метод (34) є збiжним у
просторi HBh
, який еквiвалентний простору
\circ
H(\^\omega h), i для похибки маємо оцiнку\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - y( \=m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,2,\^\omega h
\leq M1q
n.
Крiм того, \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl[
dy( \=m,n)
dx
\Biggr]
x=xj+( - 1)\alpha
-
\Biggl[
dy( \=m)
dx
\Biggr]
x=xj+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n)
\=x,j - 1+\alpha - y
( \=m)
\=x,j - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
1
hj - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m,n)) - w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n)
\=x - y
( \=m)
\=x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,2,\^\omega +
h
+
1
hj - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial u
w( \=m)j
\alpha (xj , u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u=\~y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - y( \=m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,2,\^\omega h
+
+
1
hj - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial u\prime
w( \=m)j
\alpha (xj , u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u\prime =\~y\prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl[
dy( \=m,n)
dx
\Biggr]
x=xj+( - 1)\alpha
-
\Biggl[
dy( \=m)
dx
\Biggr]
x=xj+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
214 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2,
де \~y = \theta 1y
( \=m,n) + (1 - \theta 1)y
( \=m), 0 < \theta 1 < 1, \~y\prime = \theta 2
dy( \=m,n)
dx
+ (1 - \theta 2)
dy( \=m)
dx
, 0 < \theta 2 < 1. Отже,
при | h| \leq h0 \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dy( \=m,n)
dx
- dy( \=m)
dx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,2,\^\=\omega h
\leq M
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - y( \=m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,2,\^\omega h
,
звiдки отримуємо \bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m,n) - y( \=m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
\leq Mqn. (38)
Нерiвностi (36), (38) дють оцiнку (35).
З практичної точки зору для знаходження розв’язку рiзницевої схеми (19), (21) доцiльнiше
використати iтерацiйний метод Ньютона. Для того щоб зменшити вплив похибок заокруглень,
будемо використовувати меншi величини
z
( \=m)
\alpha ,j =
dy( \=m)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
- y
( \=m)
\=x,j - 1+\alpha = O(hj - 1+\alpha ).
Тодi рiвняння (21) наберуть вигляду
z
( \=m)
\alpha ,j =
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m)). (39)
Нехай y( \=m,n - 1)
j , j = 1, 2, . . . , N - 1, z
( \=m,n - 1)
\alpha ,j , j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N +1 - \alpha , \alpha = 1, 2, буде
(n - 1)-м наближенням до розв’язку системи (19), (39). Лiнеаризуємо правi частини рiвнянь
(19), (39) в околi цього наближення:
\varphi ( \=m)(xj , y
( \=m)) \approx \varphi ( \=m)(xj , y
( \=m,n - 1)) +
+
1
\hbar j
2\sum
\alpha =1
\biggl[
hj - 1+\alpha
2
\Bigl(
fu,j+( - 1)\alpha
\Bigl(
y
( \=m)
j+( - 1)\alpha - y
( \=m,n - 1)
j+( - 1)\alpha
\Bigr)
+
+f\xi ,j+( - 1)\alpha
\Bigl(
y
( \=m)
\=x,j - 1+\alpha - y
( \=m,n - 1)
\=x,j - 1+\alpha + z
( \=m)
\alpha ,j - z
( \=m,n - 1)
\alpha ,j
\Bigr) \Bigr)
+O
\bigl(
h2j - 1+\alpha
\bigr) \Bigr]
,
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m)) \approx ( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m,n - 1)) +
+ ( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
2
\Bigl[
fu,j+( - 1)\alpha
\Bigl(
y
( \=m)
j+( - 1)\alpha - y
( \=m,n - 1)
j+( - 1)\alpha
\Bigr)
+
+ f\xi ,j+( - 1)\alpha
\Bigl(
y
( \=m)
\=x,j - 1+\alpha - y
( \=m,n - 1)
\=x,j - 1+\alpha + z
( \=m)
\alpha ,j - z
( \=m,n - 1)
\alpha ,j
\Bigr) \Bigr]
+O
\bigl(
h2j - 1+\alpha
\bigr)
,
де
fu,j+( - 1)\alpha =
\partial f
\left( xj+( - 1)\alpha , y
( \=m,n - 1)
j+( - 1)\alpha ,
dy( \=m,n - 1)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
\right)
\partial u
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 215
f\xi ,j+( - 1)\alpha =
\partial f
\left( xj+( - 1)\alpha , y
( \=m,n - 1)
j+( - 1)\alpha ,
dy( \=m,n - 1)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
\right)
\partial \xi
.
Якщо величини z
( \=m,n)
\alpha ,j вилучити з отриманої для (19) iтерацiйної схеми, то спрощений
iтерацiйний метод Ньютона буде мати вигляд
\nabla y( \=m,n)
\=x\^x,j - 1
\hbar j
2\sum
\alpha =1
\biggl[
hj - 1+\alpha
2
P - 1
j+( - 1)\alpha
\Bigl(
fu,j+( - 1)\alpha \nabla y
( \=m,n)
j+( - 1)\alpha + f\xi ,j+( - 1)\alpha \nabla y
( \=m,n)
\=x,j - 1+\alpha
\Bigr) \biggr]
=
= r
(n - 1)
j +
1
\hbar j
2\sum
\alpha =1
\biggl[
hj - 1+\alpha
2
P - 1
j+( - 1)\alpha f\xi ,j+( - 1)\alpha \delta
(n - 1)
\alpha ,j
\biggr]
, j = 1, 2, . . . , N - 1, (40)
\nabla y( \=m,n)
0 = 0, \nabla y( \=m,n)
N = 0, y
( \=m,n)
j = y
( \=m,n - 1)
j +\nabla y( \=m,n)
j , n = 1, 2, . . . ,
\nabla z( \=m,n)
\alpha ,j = P - 1
j+( - 1)\alpha
\biggl[
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
2
\Bigl(
fu,j+( - 1)\alpha \nabla y
( \=m,n)
j+( - 1)\alpha + f\xi ,j+( - 1)\alpha \nabla y
( \=m,n)
\=x,j - 1+\alpha
\Bigr)
+
+\delta
(n - 1)
\alpha ,j
\Bigr]
, z
( \=m,n)
\alpha ,j = z
( \=m,n - 1)
\alpha ,j +\nabla z( \=m,n)
\alpha ,j , n = 1, 2, . . . , (41)
dy( \=m,n)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
= y
( \=m,n)
\=x,j - 1+\alpha + z
( \=m,n)
\alpha ,j , j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2,
де
Pj+( - 1)\alpha = I + ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
2
f\xi ,j+( - 1)\alpha , I — одинична матриця,
r
(n)
j = \varphi ( \=m)
\Bigl(
xj , y
( \=m,n)
\Bigr)
- y
( \=m,n)
\=x\^x,j , \delta
(n)
\alpha ,j =
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m,n)) - z
( \=m,n)
\alpha ,j ,
y( \=m,0)(xj) = (1 - xj)\mu 1 + xj\mu 2, j = 1, 2, . . . , N - 1,
z
( \=m,0)
\alpha ,j = w( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m,0)), j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2.
Зауважимо, що матриця системи лiнiйних рiвнянь (40) є блочною тридiагональною.
4. Алгоритм апостерiорної оцiнки похибки та вибору вузлiв сiтки. Для того щоб по-
будувати алгоритм, який автоматично генерує сiтку, так щоб забезпечити задану точнiсть на-
ближеного розв’язку, можна використовувати рiзнi стратегiї. Часто використовують класичну
стратегiю h - h/2 (екстраполяцiю Рiчардсона). Основним недолiком цiєї стратегiї є те, що сiтка
для рiзницевої схеми (19), (21) може бути лише рiвномiрною або квазiрiвномiрною.
Розглянемо пiдхiд до автоматичного вибору точок сiтки, який ґрунтується на такiй простiй
iдеї. На пiдставi теореми 2 рiзницева схема (19), (21) має порядок точностi \=m, який є парним
цiлим числом. Щоб отримати рiзницевi схеми порядкiв \=m i \=m+2, слiд розв’язати задачi Кошi
(10) за один крок однокроковими методами (13), (14) вiдповiдних порядкiв. Bикористаємо
вкладенi методи Рунге – Кутта порядкiв \=m i \=m + 2. Тодi апостерiорна оцiнка похибки для
рiзницевої схеми (19), (21) задається формулою
\bigm\| \bigm\| y( \=m) - y( \=m+2)
\bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
, оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
216 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m) - y( \=m+2)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
+O
\bigl(
| h| \=m+1
\bigr)
.
Спiввiдношення (17), (18) i теорема 2 гарантують, що похибка наближеного розв’язку кра-
йової задачi (1) знаходиться в межах заданої допустимої точностi \varepsilon за умови, що для кожного
j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha i \alpha = 1, 2 розв’язки задач Кошi (10) на кожному з iнтервалiв
[xj - 2+\alpha , xj - 1+\alpha ] обчисленi з точнiстю \varepsilon . Розв’язуючи задачi Кошi (10) з точнiстю \varepsilon за допомо-
гою вкладених методiв Рунге – Кутта, ми можемо побудувати нерiвномiрну сiтку \^\=\omega h. (Детальний
опис алгоритму автоматичного вибору розмiру кроку за допомогою вкладених методiв Рунге –
Кутта див., наприклад, в [11, с. 167].) Таким чином, за умови, що
\bigm\| \bigm\| y( \=m) - y( \=m+2)
\bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\^\=\omega h
< \varepsilon ,
ми обчислимо наближений розв’язок задачi (1) за допомогою рiзницевої схеми (19), (21) з
точнiстю \varepsilon .
Опишемо алгоритм розв’язування крайової задачi з заданою точнiстю \varepsilon за допомогою
триточкових рiзницевих схем порядку точностi \=m+ 2 i \=m.
1. Задати \varepsilon .
2. Задати n := 0. Визначити початкове наближення, наприклад,
y( \=m+2,0)(xj) = (1 - xj)\mu 1 + xj\mu 2, j = 1, 2, . . . , N - 1,
dy( \=m+2,0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
= y
( \=m+2,0)
\=x,j - 1+\alpha , j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2.
3. Чисельно розв’язати задачi Кошi (10) з заданою точнiстю \varepsilon за допомогою вкладених
методiв Рунге – Кутта порядкiв точностi \=m i \=m+ 2 та вибрати сiтку \^\=\omega h.
4. Обчислити \varphi ( \=m+2)(xj , y
( \=m+2,n)) згiдно з (20) для всiх j = 1, 2, . . . , N - 1 i
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w
( \=m+2)j
\alpha (xj , y
( \=m+2,n)) для j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2.
5. Задати z( \=m+2,n)
\alpha ,j :=
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w
( \=m+2)j
\alpha (xj , y
( \=m+2,n)), j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N+1 - \alpha , \alpha = 1, 2.
6. Задати n := n+ 1.
7. Знайти y( \=m+2,n)
j , j = 1, 2, . . . , N - 1, розв’язуючи систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
(40) з блочною тридiагональною матрицею.
8. Обчислити z( \=m+2,n)
\alpha ,j ,
dy( \=m+2,n)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
, j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2, за
допомогою формул (41).
9. Якщо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m+2,n) - y( \=m+2,n - 1)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl( \bigm| \bigm| y( \=m+2,n)
\bigm| \bigm| , 1\bigr)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\ast
1,2,\^\=\omega h
> 0, 5\varepsilon , то перейти на крок 5, iнакше y
( \=m+2)
j =
= y
( \=m+2,n)
j , j = 0, 1, . . . , N,
dy( \=m+2)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
=
dy( \=m+2,n)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
, j = 2 - \alpha , 3 -
- \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2.
10. Обчислити \varphi ( \=m)(xj , y
( \=m,n)) згiдно з (20) для всiх j = 1, 2, . . . , N - 1 та
( - 1)\alpha
hj - 1+\alpha
w
( \=m)j
\alpha (xj , y
( \=m,n)) для j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha \alpha = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 217
11. Знайти розв’язок системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (40) y( \=m)
j \equiv y
( \=m,n)
j , j = 1, 2, . . .
. . . , N - 1 i обчислити
dy( \=m)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
=
dy( \=m,n)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
, j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N +1 - \alpha ,
\alpha = 1, 2, за допомогою (41).
12. Якщо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y( \=m+2) - y( \=m)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl( \bigm| \bigm| y( \=m+2)
\bigm| \bigm| , 1\bigr)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\ast
1,2,\^\=\omega h
> \varepsilon , то n := 0; знайти нове початкове наближення, iн-
терполюючи значення y( \=m+2)
i , i = 1, 2, . . . , N - 1,
dy( \=m+2)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xi+( - 1)\alpha
, i = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N+
+ 1 - \alpha , \alpha = 1, 2, за формулами
y
( \=m+2,0)
j =
1
xi - xi - 1
\Bigl[
y
( \=m+2)
i (xj - xi - 1) + y
( \=m+2)
i - 1 (xi - xj)
\Bigr]
, xj \in (xi - 1, xi) ,
dy( \=m+2,0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
=
1
xi - xi - 1
\Biggl[
dy( \=m+2)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xi
(xj+( - 1)\alpha - xi - 1) +
+
dy( \=m+2)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xi - 1
(xi - xj+( - 1)\alpha )
\right] , xj+( - 1)\alpha \in (xi - 1, xi) ,
перейти на крок 3.
13. Кiнець.
5. Числовi приклади.
Приклад 1. Розглянемо крайову задачу
d2u
dx2
=
\biggl(
du
dx
\biggr) 2
, x \in (0, 1), u(0) = 1, u(1) = 0, (42)
з вiдомим точним розв’язком u(x) = - \mathrm{l}\mathrm{n}(x+e - 1(1 - x)). Для чисельного розв’язування задачi
(42) на рiвномiрнiй сiтцi \=\omega h = \{ xj = jh, j = 0, 1, . . . , N, h = 1/N\} застосовувалася ТРС (19),
(21) шостого порядку точностi (m = \=m = 6). Задачi Кошi (10) розв’язувалися за допомогою
явного методу Рунге – Кутта шостого порядку точностi (див. таблицю 6.1 [11, с. 202]). Для
знаходження розв’язку рiзницевої схеми (19) використовувався iтерацiйний метод Ньютона
(40), (41) з Pj+( - 1)\alpha = I. Система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь з тридiагональною матрицею
(40) вiдносно невiдомих \nabla y(6,n)(x), x \in \^\=\omega h розв’язувалася методом виключення Гаусса.
Для досягнення заданої точностi EPS використовувався алгоритм h - h/2 оцiнки апосте-
рiорної точностi. Результати чисельного розв’язування задачi наведено в табл. 1. Порiвняння з
похибкою
Er =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(6) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,2,\=\omega h
показує, що точностi досягнуто. Для порiвняння ця задача розв’язувалася ТРС шостого порядку
точностi (див. [5, 7]) за допомогою стратегiї h - h/2. Числовi результати наведено в табл. 2
(див. [7, с. 119]).
Слiд зазначити, що чисельний розв’язок, отриманий за допомогою схеми (19), (21), є бiльш
точним i вимагає менших обчислювальних затрат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
218 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
Таблиця 1
EPS N Er
10 - 4 8 0.4461\cdot 10 - 6
10 - 6 16 0.3977\cdot 10 - 9
10 - 8 64 0.1804\cdot 10 - 9
Таблиця 2
EPS N Er
10 - 4 128 0.4899\cdot 10 - 5
10 - 6 1024 0.8035\cdot 10 - 7
10 - 8 8192 0.1047\cdot 10 - 8
Таблиця 3
EPS N NFUN Er
10 - 4 256 53760 0.1858\cdot 10 - 7
10 - 6 256 68096 0.8991\cdot 10 - 10
10 - 8 512 139776 0.2088\cdot 10 - 11
Таблиця 4
EPS N NFUN Er
10 - 4 27 5292 0.9138\cdot 10 - 5
10 - 6 82 13776 0.2203\cdot 10 - 8
10 - 8 258 43358 0.13914\cdot 10 - 11
Приклад 2. Розглянемо крайову задачу (див. [15])
\varepsilon
d2u
dx2
+
\biggl(
du
dx
\biggr) 2
= 1, x \in (0, 1),
u(0) = 1 + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}( - 0, 745/\varepsilon ), u(1) = 1 + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(0, 255/\varepsilon )
(43)
з точним розв’язком u(x) = 1 + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}((x - 0, 745)/\varepsilon ). В табл. 3 для \varepsilon = 10 - 1 наведено
похибку (Er) рiзницевої схеми (19), (21) шостого порядку точностi (m = \=m = 6) i кiлькiсть
обчислень правих частин диференцiального рiвняння (NFUN ) для заданої точностi EPS,
використовуючи стратегiю h - h/2. В табл. 4 наведено результати, отриманi за допомогою
алгоритму, запропонованого в цiй статтi, використовуючи вкладенi методи Рунге – Кутта (див.
[16]). На пiдставi порiвняння результатiв табл. 3 i 4 ми можемо зробити висновок, що за-
пропонований алгоритм вимагає меншої кiлькостi обчислень правих частин диференцiального
рiвняння у порiвняннi зi стратегiєю h - h/2.
Лiтература
1. V. L. Makarov, A. A. Samarskii, Exact three-point difference schemes for second-order nonlinear ordinary differential
equations and their implementation, Soviet Math. Dokl., 41, № 3, 495 – 500 (1991).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
НОВА АЛГОРИТМIЧНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ . . . 219
2. M. V. Kutniv, V. L. Makarov, A. A. Samarskii, Accurate three-point difference schemes for second-order nonlinear
ordinary differential equations and their implementation, Comput. Math. and Math. Phys., 39, № 1, 45 – 60 (1999).
3. M. V. Kutniv, Accurate three-point difference schemes for second-order monotone ordinary differential equations
and their implementation, Comput. Math. and Math. Phys., 40, № 3, 368 – 382 (2000).
4. M. V. Kutniv, Modified three-point difference schemes of high-accuracy order for second order nonlinear ordinary
differential equations, Comput. Methods Appl. Math., 3, № 2, 287 – 312 (2003).
5. L. B. Gnativ, M. V. Kutniv, A. I. Chukhrai, Generalized three-point difference schemes of high order of accuracy for
nonlinear ordinary differential equations of second order, J. Math. Sci., 167, № 1, 62 – 75 (2010).
6. M. Krol, M. V. Kutniv, Three-point difference schemes of high-order accuracy for second-order nonlinear differential
equations with boundary conditions of the third kind, J. Comput. and Appl. Math., № 2(116), 43 – 62 (2014).
7. I. P. Gavrilyuk, M. Hermann, V. L. Makarov, M. V. Kutniv, Exact and truncated difference schemes for boundary
value ODEs, Springer AG, Basel (2011).
8. M. V. Kutniv, Three-point difference schemes of high accuracy order for systems of nonlinear ordinary differential
equations of the second order, Comput. Math. and Math. Phys., 41, № 6, 860 – 873 (2001).
9. M. V. Kutniv, High-order accurate three-point difference schemes for systems of second-order ordinary differential
equations with a monotone operator, Comput. Math. and Math. Phys., 42, № 5, 724 – 738 (2002).
10. L. B. Gnativ, M. V. Kutniv, V. L. Makarov, Generalized three-point difference schemes of high-order accuracy for
systems of second order nonlinear ordinary differential equations, Different. Equat., 45, № 7, 998 – 1019 (2009).
11. E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems, Springer-Verlag,
Berlin etc. (1987).
12. L. B. Gnativ, M. Krol, M. V. Kutniv, Exact three-point difference schemes for second order nonlinear differential
equations with boundary conditions of the third kind, J. Numer. Appl. Math., № 3(109), 34 – 52 (2012).
13. A. A. Samarskii, E. S. Nikolaev, Numerical methods for grid equations, vol. 2, Iterative methods, Birkhäuser, Basel
etc. (1989).
14. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, Москва (1980).
15. J. R. Cash, F. Mazzia, Hybrid mesh selection algorithms based on conditioning for two-point boundary value problems,
J. Numer. Anal., Industrial and Appl. Math., 1, № 6, 81 – 90 (2006).
16. Ch. Tsitouras, S. N. Papakostas, Cheap error estimation for Runge – Kutta methods, SIAM J. Sci. Comput., 20, № 6,
2067 – 2088 (1999).
Одержано 30.09.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6935 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:48Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/be/2dc778b4fddbb47374aef1ad9414d7be.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69352025-03-31T08:45:58Z New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord Новая алгоритмическая реализация точных трехточечных разностных схем для систем нелинейных ОДУ второго порядка Нова алгоритмічна реалізація точних триточкових різницевих схем для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку Kutniv, M. V. Krol , М. Кутнів, М. В. Круль, М. M. нелінійні звичайні диференціальні рівняння, точна триточкова різницева схема, триточкові різницеві схеми високої точності, ітераційний метод nonlinear ordinary differential equations, exact three-point difference scheme, three-point difference scheme of high-order accuracy, iterative method UDC 519.62 In this paper, we propose and justify three-point difference schemes of higher order of accuracy on a non-uniform grid for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second order with a derivative on the right-hand side and boundary conditions of the first kind. We construct a new approximation of the derivative of the solution to the boundary value problem at grid nodes, prove the existence and uniqueness of the solution, and establish the order of accuracy of the difference schemes. Additionally, an iterative Newton-type method for determining the solution of these schemes is developed and an algorithm for the automatic selection of grid points, which guarantees the achievement of the specified accuracy, is suggested. We also present numerical solutions of some examples, which confirm the efficiency and reliability of our algorithm. Построено и обосновано трехточечные разностные схемы высокого порядка точностина неравномерной сетке для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравненийвторого порядка с производной в правой части и краевыми условиями первого рода.Построена новая аппроксимацию производной решения краевой задачи в узлах сетки.Доказано существование и единственность решения, установлен порядок точности разностных схем.Разработан итерационный метод типа Ньютона определения решения этих схем.Предложен алгоритм автоматического выбора точек сетки, который гарантирует достижениезаданной точности. Приведены результаты численного решения примеров, подтверждающихэффективность и надежность нашего алгоритма. УДК 519.62Побудовано та обґрунтовано триточковi рiзницевi схеми високого порядку точностi на нерiвномiрнiй сiтцi для систем нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку з похiдною у правiй частинi i крайовими умовами першого роду. Побудовано нову апроксимацiю похiдної розв’язку крайової задачi у вузлах сiтки. Доведено iснування та єдинiсть розв’язку, встановлено порядок точностi рiзницевих схем. Розроблено iтерацiйний метод типу Ньютона знаходження розв’язку цих схем. Запропоновано алгоритм автоматичного вибору точок сiтки, який гарантує досягнення заданої точностi. Наведено чисельнi розв’язування прикладiв, якi пiдтверджують ефективнiсть i надiйнiсть розробленого алгоритму. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-02-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6935 10.37863/umzh.v74i2.6935 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 2 (2022); 204 - 219 Український математичний журнал; Том 74 № 2 (2022); 204 - 219 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6935/9192 Copyright (c) 2022 Мирослав Володимирович Кутнів |
| spellingShingle | Kutniv, M. V. Krol , М. Кутнів, М. В. Круль, М. M. New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord |
| title | New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord |
| title_alt | Новая алгоритмическая реализация точных трехточечных разностных схем для систем нелинейных ОДУ второго порядка Нова алгоритмічна реалізація точних триточкових різницевих схем для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку |
| title_full | New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord |
| title_fullStr | New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord |
| title_full_unstemmed | New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord |
| title_short | New algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord |
| title_sort | new algorithmic implementation of exact three-point difference schemes for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second ord |
| topic_facet | нелінійні звичайні диференціальні рівняння точна триточкова різницева схема триточкові різницеві схеми високої точності ітераційний метод nonlinear ordinary differential equations exact three-point difference scheme three-point difference scheme of high-order accuracy iterative method |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6935 |
| work_keys_str_mv | AT kutnivmv newalgorithmicimplementationofexactthreepointdifferenceschemesforsystemsofnonlinearordinarydifferentialequationsofthesecondord AT krolm newalgorithmicimplementationofexactthreepointdifferenceschemesforsystemsofnonlinearordinarydifferentialequationsofthesecondord AT kutnívmv newalgorithmicimplementationofexactthreepointdifferenceschemesforsystemsofnonlinearordinarydifferentialequationsofthesecondord AT krulʹm newalgorithmicimplementationofexactthreepointdifferenceschemesforsystemsofnonlinearordinarydifferentialequationsofthesecondord AT m newalgorithmicimplementationofexactthreepointdifferenceschemesforsystemsofnonlinearordinarydifferentialequationsofthesecondord AT kutnivmv novaâalgoritmičeskaârealizaciâtočnyhtrehtočečnyhraznostnyhshemdlâsistemnelinejnyhoduvtorogoporâdka AT krolm novaâalgoritmičeskaârealizaciâtočnyhtrehtočečnyhraznostnyhshemdlâsistemnelinejnyhoduvtorogoporâdka AT kutnívmv novaâalgoritmičeskaârealizaciâtočnyhtrehtočečnyhraznostnyhshemdlâsistemnelinejnyhoduvtorogoporâdka AT krulʹm novaâalgoritmičeskaârealizaciâtočnyhtrehtočečnyhraznostnyhshemdlâsistemnelinejnyhoduvtorogoporâdka AT m novaâalgoritmičeskaârealizaciâtočnyhtrehtočečnyhraznostnyhshemdlâsistemnelinejnyhoduvtorogoporâdka AT kutnivmv novaalgoritmíčnarealízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemnelíníjnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT krolm novaalgoritmíčnarealízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemnelíníjnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT kutnívmv novaalgoritmíčnarealízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemnelíníjnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT krulʹm novaalgoritmíčnarealízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemnelíníjnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT m novaalgoritmíčnarealízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemnelíníjnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku |