Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics
UDC 517.9We prove that any two-dimensional algebra $\mathbb{B}_{\ast}$ of the second rank with unity over the field of complex numbers $\mathbb{C}$ contains basises $\{e_1,e_2\},$ for which the $\mathbb{B}_{\ast}$-valued ``analytic'' functions $\Phi(xe_1+ye_2),$ where $x$ and $y$ a...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6948 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512564497088512 |
|---|---|
| author | Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. |
| author_facet | Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. |
| author_sort | Gryshchuk , S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-27T15:39:11Z |
| description | UDC 517.9We prove that any two-dimensional algebra $\mathbb{B}_{\ast}$ of the second rank with unity over the field of complex numbers $\mathbb{C}$ contains basises $\{e_1,e_2\},$ for which the $\mathbb{B}_{\ast}$-valued ``analytic'' functions $\Phi(xe_1+ye_2),$ where $x$ and $y$ are real variables, satisfy a homogeneous PDE of the fourth order with complex coefficients such that its characteristic equation has just one multiple root and the other roots are simple.The set of all triples $(\mathbb{B}_{\ast}, \{e_1,e_2\}, \Phi)$ is described in the explicit form. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i1.6948 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i1.6948
УДК 517.5
С. В. Грищук (Iн-т математики НАН України, Київ)
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ
У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ ДРУГОГО РАНГУ
З ОДИНИЦЕЮ ТА УЗАГАЛЬНЕНЕ БIГАРМОНIЧНЕ РIВНЯННЯ
З ПОДВIЙНОЮ ХАРАКТЕРИСТИКОЮ*
We prove that any two-dimensional algebra \BbbB \ast of the second rank with unity over the field of complex numbers \BbbC contains
basises \{ e1, e2\} , for which the \BbbB \ast -valued “analytic” functions \Phi (xe1 + ye2), where x and y are real variables, satisfy a
homogeneous PDE of the fourth order with complex coefficients such that its characteristic equation has just one multiple
root and the other roots are simple. The set of all triples (\BbbB \ast , \{ e1, e2\} ,\Phi ) is described in the explicit form.
Доведено, що кожна комутативна й асоцiативна алгебра \BbbB \ast другого рангу з одиницею над полем комплексних чисел
мiстить такi базиси \{ e1, e2\} , що \BbbB \ast -значнi „аналiтичнi” функцiї \Phi (xe1+ye2) (x, y — дiйснi змiннi) задовольняють
однорiдне рiвняння з частинними похiдними четвертого порядку та комплексними коефiцiєнтами, характеристичне
рiвняння якого має один подвiйний корiнь, а решта коренiв є проcтими. Наведено повний опис множини трiйок
(\BbbB \ast , \{ e1, e2\} ,\Phi ) .
1. Формулювання задач. Розглянемо рiвняння
lu(x, y) :=
\biggl(
b1
\partial 4
\partial y4
+ b2
\partial 4
\partial x\partial y3
+ b3
\partial 4
\partial x2\partial y2
+ b4
\partial 4
\partial x3\partial y
+ b5
\partial 4
\partial x4
\biggr)
u(x, y) = 0, (1)
в якому комплекснi коефiцiєнти bk \in \BbbC , k = 1, 5, b1 \not = 0, такi, що характеристичне рiвняння
l (s) := b1s
4 + b2s
3 + b3s
2 + b4s+ b5 = 0, s \in \BbbC , (2)
має лише один подвiйний корiнь (будемо позначати його s := s\circ ), тобто множина розв’язкiв
рiвняння (2) має вигляд
\{ s\circ , s3, s4\} := \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, (3)
де s3 \not = s4, s\circ \not = sk, k = 3, 4.
Пiд розв’язком рiвняння (1) в областi D декартової площини xOy будемо розумiти дiй-
снозначну функцiю u, що має неперервнi частиннi похiднi до четвертого порядку включно та
задовольняє дане рiвняння в цiй областi.
Рiвняння (1) будемо називати узагальненим бiгармонiчним рiвнянням (мотивацiю даної назви
наведено в роботi [1]).
Зауважимо, з огляду на роботу [2], що не iснує невиродженої замiни змiнних, що зводить
рiвняння (1) до бiгармонiчного рiвняння.
Деякi випадки рiвняння вигляду (1) (правильно елiптичнi [3, с. 163]) розглянуто в монографiї
[3] (гл. 6, 7). Зокрема, дослiджено розв’язнiсть задач Дiрiхле для даних рiвнянь.
Нехай D := \{ (x, y) : x2 + y2 < 1\} \equiv K є вiдкритим кругом декартової площини xOy. У
роботi [4] наведено результати В. П. Бурського та Є. А. Буряченко щодо залежностi розв’язностi
* Частково пiдтримано грантом Мiнiстерства освiти i науки України (проєкт № 0121U100414).
c\bigcirc С. В. ГРИЩУК, 2022
14 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 15
однорiдної крайової задачi Дiрiхле для рiвняння (1) вiд кратностi k, 1 \leq k \leq 4, кореня рiвняння
(2) за умови, що решта коренiв рiвняння (2) є простими. Розглянемо детально цi результати при
k = 2. За умови, що всi коренi рiвняння (2) вiдмiннi вiд \pm i, знайдено критерiй нетривiальної
розв’язностi даної крайової задачi у просторi функцiй, що мають неперервнi похiднi до четвер-
того порядку включно в замиканнi K, а у випадку, коли кратний корiнь дорiвнює i, а простi
коренi вiдмiннi вiд ( - i), доведено, що однорiдна крайова задача Дiрiхле має лише тривiальний
розв’язок у зазначеному просторi функцiй.
Позначимо через \BbbB \ast асоцiативну, комутативну над полем комплексних чисел \BbbC алгебру
другого рангу з одиницею e. Нехай \{ e1, e2\} — базис \BbbB \ast такий, що задовольняє спiввiдношення
L(e1, e2) := b1(e2)
4 + b2e1(e2)
3 + b3(e1)
2(e2)
2 + b4(e1)
3e2 + b5(e1)
4 = 0. (4)
Сформулюємо задачу про вiдшукання всiх пар \BbbB \ast , \{ e1, e2\} (див. п. 2).
Дану задачу для бiгармонiчного рiвняння сформулював i розв’язав I. П. Мельниченко у
роботi [5]. Для окремого випадку рiвняння (1) (b1 = b5 = 1, b2 = b4 = 0, b3 > 2) дану задачу
було сформульовано й розв’язано у [6]; для b1 = 1 = b5 = 1, b2 = b4 = 0, - 2 < b3 < 2 знайдено
частинний розв’язок задачi у роботi [7], а для b1 = 1, b5 = p2, b2 = b4 = 0, b3 = p2 + 1, p > 0,
p \not = 1, — у роботi [8]; у випадку, коли всi чотири коренi рiвняння (2) є простими i ненульовими,
загальне розв’язання задачi наведено в роботi [1].
Введемо позначення \mu e1,e2 := \{ xe1 + ye2 : x, y \in \BbbR \} (лiнiйна оболонка векторiв e1 i e2 над
полем дiйсних чисел \BbbR ), D\zeta := \{ \zeta = xe1 + ye2 : (x, y) \in D\} \subset \mu e1,e2 , \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta для
(x, y) \in D.
Нехай базис \{ e1, e2\} задовольняє крiм умови (4) ще й таку умову:
\scrM \scrB ) кожен ненульовий елемент h \in \mu e1,e2 є оборотним (тобто iснує обернений елемент
h - 1 \in \BbbB \ast такий, що hh - 1 = e).
Для кожного шуканого базису \{ e1, e2\} , що задовольняє умови (4) i \scrM \scrB ) одночасно, роз-
глядаємо моногеннi в D\zeta функцiї, тобто функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB \ast вигляду
\Phi (\zeta ) = U1(x, y) e1 + U2(x, y) ie1 + U3(x, y) e2 + U4(x, y) ie2 \forall \zeta \in D\zeta , (5)
що мають класичну похiдну \Phi \prime (\zeta ) в кожнiй точцi \zeta з D\zeta :
\Phi \prime (\zeta ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0, h\in \mu e1,e2
\bigl(
\Phi (\zeta + h) - \Phi (\zeta )
\bigr)
h - 1 .
Кожну компоненту Uk : D - \rightarrow \BbbR з (5) будемо позначати також через \mathrm{U}k [\Phi ] , тобто \mathrm{U}k [\Phi (\zeta )] :=
:= Uk(x, y), k \in \{ 1, . . . , 4\} .
Якщо моногенна функцiя \Phi має неперервнi похiднi \Phi (k)(\zeta ) до k-го порядку включно, k \geq 4,
в областi D\zeta , то на пiдставi спiввiдношень L\Phi (\zeta ) = L(e1, e2)\Phi
(4)(\zeta ) \equiv 0 при кожному \zeta \in
\in D\zeta (якi одержують аналогiчно вiдповiдним спiввiдношенням [6] (п. 6) для окремого випадку
оператора L у рiвняннi (1)), а також рiвностi (5) одержуємо, що компоненти Uk, k = 1, 4,
задовольняють рiвняння (1) в областi D.
Сформулюємо задачу про опис усiх моногенних функцiй, компоненти яких \mathrm{U}k [\Phi ] = Uk,
k = 1, 4, є розв’язками рiвняння (1) (див. пп. 4, 5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
16 С. В. ГРИЩУК
Зауважимо, що гiперкомплекснi „аналiтичнi” функцiї \Phi (xe1 + ye2) зi значеннями у скiн-
ченновимiрних алгебрах над полем \BbbR дiйсних (розмiрностi чотири) або комплексних чисел
(розмiрностi два), компоненти яких задовольняють рiвняння вигляду (1), розглянуто, зокрема,
у роботах [9 – 15].
Незважаючи на значну кiлькiсть робiт, повний опис зазначених трiйок \BbbB \ast , \{ e1, e2\} , \Phi (або
аналогiчних до них, для iнших означень „моногенностi”) залишався досi невiдомим (базис
\{ e1, e2\} задовольняє умови (4) i \scrM \scrB ) одночасно). Це пов’язано, зокрема, з тим, що клас
рiвнянь (1) є досить широким. У роботi [1] знайдено повний опис трiйок (B\ast , \{ e1, e2\} ,\Phi ),
асоцiйованих з рiвнянням (1), у випадку, коли всi чотири коренi рiвняння (2) є простими i
ненульовими. Зокрема, встановлено, що \BbbB \ast = \BbbB 0.
Дану роботу присвячено знаходженню повного опису трiйок (B\ast , \{ e1, e2\} ,\Phi ), асоцiйованих
з рiвнянням (1), у випадку, коли один корiнь рiвняння (2) є подвiйним, а решта три — простими.
Крiм того, на вiдмiну вiд випадку простих коренiв буде показано, що \BbbB \ast = \BbbB 0 i \BbbB \ast = \BbbB .
2. Коефiцiєнти рiвняння (1) i коренi рiвняння (2). Встановимо зв’язок мiж коефiцiєнтами
рiвняння (1) i множиною (3). Застосовуючи основну теорему алгебри, приходимо до висновку,
що має мiсце тотожнiсть
s4 +
b2
b1
s3 +
b3
b1
s2 +
b4
b1
s+
b5
b1
= (s - s\circ )
2 (s - s3) (s - s4) \forall s \in \BbbC . (6)
З (6) одержуємо, що коефiцiєнти рiвняння (1) та елементи множини (3) задовольняють систему
чотирьох рiвнянь
s3 + s4 + 2s\circ = - b2
b1
,
2s\circ (s3 + s4) + s3s4 + (s\circ )
2 =
b3
b1
,
s\circ (s\circ (s3 + s4) + 2s3s4) = - b4
b1
,
(s\circ )
2s3s4 =
b5
b1
.
(7)
З останнього з цих рiвнянь випливає, наприклад, що у випадку, коли s\circ \in \BbbR , s3s4 \in \BbbR , то
b5
b1
\in \BbbR , а якщо додатково вважати, що s3s4s\circ \not = 0, то b5b1s3s4 > 0.
Розглянемо випадок s\circ = 0. Тодi з (7) маємо b4 = b5 = 0, b3 \not = 0, (b2)
2 \not = 4b1b3, а s3 i s4 —
коренi рiвняння b1S
2 + b2S + b3 = 0, S \in \BbbC . Отже, \mathrm{I}\mathrm{m} sk \not = 0, k = 3, 4.
3. Комутативнi й асоцiативнi алгебри другого рангу та їхнi базиси, асоцiйованi з рiв-
нянням (1). Як вiдомо [16], iснують (з точнiстю до iзоморфiзму) двi асоцiативнi, комутативнi
над полем комплексних чисел \BbbC алгебри другого рангу з одиницею e:
\BbbB := \{ c1e+ c2\rho : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \rho 2 = 0, (8)
\BbbB 0 := \{ c1e+ c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \omega 2 = e. (9)
Очевидно, що алгебра \BbbB 0 є напiвпростою (означення див., наприклад, у [17, c. 33]) i мiстить
базис з ортогональних iдемпотентiв \{ I1, I2\} , де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 17
I1 =
1
2
(e+ \omega ) , I2 =
1
2
(e - \omega ) , I1I2 = 0, (Ik)
2 = Ik, k = 1, 2,
а також
I1 + I2 = e, I1 - I2 = \omega .
Елемент w = c1I1 + c2I2 з \BbbB 0 є оборотним тодi й лише тодi, коли ck \not = 0, k = 1, 2. У випадку
виконання цiєї умови справджується рiвнiсть для оберненого елемента (див. [18, c. 38]):
w - 1 =
1
c1
I1 +
1
c2
I2. (10)
Оскiльки алгебра \BbbB мiстить ненульовий радикал \{ c\rho : c \in \BbbC \} (див. [10]), то алгебра \BbbB не
є напiвпростою. Елемент A = c1e + c2\rho з \BbbB є оборотним тодi й лише тодi, коли c1 \not = 0. У
випадку виконання цiєї умови справджується рiвнiсть [19]
A - 1 =
1
c1
e - c2
(c1)2
\rho . (11)
Введемо для кожного комплексного числа s позначення l\circ (s) := - (b2s
3+2b3s
2+3b4s+4b5).
Наступна теорема визначає опис усiх пар \BbbB \ast , \{ e1, e2\} , де базиси \{ e1, e2\} задовольняють
умову (4). Зокрема, встановлено, що за алгебру \BbbB \ast можна взяти будь-яку алгебру з (8) i (9).
Теорема 1. Усi пари базисних елементiв алгебри \BbbB , що задовольняють умову (4), можна
записати у виглядi
e1 = \alpha e+ \beta 1\rho , e2 = s\circ \alpha e+ \beta 2\rho , (12)
де комплексне число \alpha \not = 0 вибрано довiльним чином, а комплекснi числа \beta 1 i \beta 2 задовольняють
умови
\beta 2 \not = s\circ \beta 1, \beta 1l\circ (s\circ ) = 0. (13)
Всi пари базисних елементiв алгебри \BbbB 0, що задовольняють умову (4), мають вигляд
e1 = \alpha I1 + \beta I2, e2 = \widetilde s1\alpha I1 + \widetilde s2\beta I2, (14)
де \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, такi, що \widetilde s1 \not = \widetilde s2, комплекснi числа \alpha \not = 0, \beta \not = 0 вибираються довiльним
чином.
Доведення. Шукаємо пари базисних елементiв \{ e1, e2\} вигляду
ek = \alpha ke+ \beta k\rho \in \BbbB , k = 1, 2, (15)
де невiдомi комплекснi коефiцiєнти \alpha k, \beta k, k = 1, 2, задовольняють спiввiдношення
\Delta e1e2 := \alpha 1\beta 2 - \alpha 2\beta 1 \not = 0. (16)
Легко одержати рiвностi
(em)k = (\alpha m)k - 1 (\alpha me+ k\beta m\rho ) , k = 1, 4, m = 1, 2. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
18 С. В. ГРИЩУК
Пiдставляючи (15) у (4) i враховуючи при цьому (17), отримуємо
L(e1, e2) = b1\alpha
3
2 (\alpha 2e+ 4\beta 2\rho ) + b2 (\alpha 1e+ \beta 1\rho )\alpha
2
2 (\alpha 2e+ 3\beta 2\rho )+
+ b3\alpha 1\alpha 2 (\alpha 1e+ 2\beta 1\rho ) (\alpha 2e+ 2\beta 2\rho ) + b4\alpha
2
1 (\alpha 1e+ 3\beta 1\rho ) (\alpha 2e+ \beta 2\rho )+
+b5\alpha
3
1 (\alpha 1e+ 4\beta 1\rho ) = Ae e+A\rho \rho ,
де
Ae := b1\alpha
4
2 + b2\alpha
3
2\alpha 1 + b3\alpha
2
2\alpha
2
1 + b4\alpha 2\alpha
3
1 + b5\alpha
4
1,
A\rho := (b2\beta 1 + 4b1\beta 2)\alpha
3
2 + (3b2\beta 2 + 2b3\beta 1)\alpha 1\alpha
2
2 + (2b3\beta 2 + 3b4\beta 1)\alpha
2
1\alpha 2 + \alpha 3
1 (b4\beta 2 + 4b5\beta 1) .
Тому шуканi \alpha k, \beta k \in \BbbC , k = 1, 2, повиннi задовольняти систему
Ae = 0, A\rho = 0, \Delta e1e2 \not = 0. (18)
Розглянемо перше рiвняння системи (18). Беручи до уваги, що b1 \not = 0, одержуємо, що
\alpha 1 \not = 0 (iнакше \alpha 1 = \alpha 2 = 0, що суперечить третьому спiввiдношенню у (18)) i справджується
рiвнiсть
\alpha 2
\alpha 1
= s\ast \forall s\ast \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l. (19)
Виконуючи дiлення обох частин другого рiвняння системи (18) на \alpha 3
1 i використовуючи
(19), одержуємо
- l\circ (s\ast )\beta 1 + l \prime (s\ast )\beta 2 = 0, (20)
де l \prime (s\ast ) — значення похiдної многочлена l(s) з (2) при s = s\ast .
Можливi два випадки: s\ast = s\circ i s\ast = sk, k \in \{ 3, 4\} .
Розглянемо перший випадок. Тодi l \prime (s\circ ) = 0, оскiльки s = s\circ є подвiйним коренем рiвнян-
ня (2), а рiвнiсть (20) набирає вигляду
- l\circ (s\circ )\beta 1 = 0. (21)
Нехай l\circ (s\circ ) = 0. Тодi з (21) одержуємо, що \beta 1 може бути довiльним комплексним числом.
З’ясуємо, коли умова (16) виконується. Маємо \Delta e1e2 = \alpha 1 (\beta 2 - s\circ \beta 1) \not = 0. Оскiльки \alpha 1 \not = 0,
то це має мiсце лише якщо \beta 2 \not = s\circ \beta 1. Замiнюючи \alpha 1 на \alpha , приходимо до формул
e1 = \alpha e+ \beta 1\rho , e2 = s\circ \alpha e+ \beta 2\rho , (22)
де комплекснi числа \beta 1 i \alpha \not = 0 вибираються довiльним чином, а \beta 2 \in \BbbC задовольняє умову
\beta 2 \not = s\circ \beta 1.
Нехай l\circ (s\circ ) \not = 0. Тодi, як i ранiше, s\ast = s\circ . З (20) випливає, що \beta 1 = 0. Отже, серед
пар базисiв \{ e1, e2\} алгебри \BbbB вигляду e1 = \alpha 1 e, e2 := s\circ \alpha 1 e + \beta 2 \rho слiд вибрати тi, що
задовольняють умову (16). Тодi \Delta e1e2 = \alpha 1\beta 2 \not = 0 лише при \beta 2 \not = 0. Замiнюючи \alpha 1 на \alpha ,
приходимо до формул
e1 = \alpha e, e2 = s\circ \alpha e+ \beta 2\rho , (23)
де комплекснi числа \alpha \not = 0, \beta 2 \not = 0 вибираються довiльним чином.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 19
Перейдемо до випадку, коли s\ast є простим коренем рiвняння (2), тобто s\ast = sk, k \in \{ 3, 4\} .
Тодi l \prime (s\ast ) \not = 0, а рiвняння (20) еквiвалентне такому:
\beta 2 =
l\circ (s\ast )
l \prime (s\ast )
\beta 1. (24)
Iз знайдених пар \{ e1, e2\} потрiбно вибрати тi, якi є лiнiйно незалежними. Для цього необхiдно
перевiрити виконання третього спiввiдношення системи (18). Пiдставляючи (19) i (24) у (16),
отримуємо
\Delta e1e2 =
\biggl(
l\circ (s\ast )
l \prime (s\ast )
- s\ast
\biggr)
\alpha 1\beta 1 \not = 0. (25)
Якщо \beta 1 = 0, то умова (25) не виконується, тому \beta 1 \not = 0, отже, i \beta 2 \not = 0 на пiдставi (24).
Оскiльки за доведеним \alpha 1 \not = 0 i \beta 1 \not = 0, то \Delta e1e2 може дорiвнювати нулю лише за умови, що
l\circ (s\ast )
l \prime (s\ast )
- s\ast = 0. Перевiримо, чи це можливо. Пiсля безпосередньої пiдстановки маємо
l\circ (s\ast )
l \prime (s\ast )
- s\ast = - 4
l \prime (s\ast )
l (s\ast ) \equiv 0.
Тамин чином, приходимо до висновку, що шуканих базисiв у алгебрi \BbbB немає у випадку, коли
s\ast є простим коренем рiвняння (2).
Пiдсумовуючи знайденi базиси в усiх розглянутих випадках, отримуємо опис усiх пар
базисних елементiв алгебри \BbbB , що задовольняють умову (4). Отже, справедливим є подвiйне
твердження.
1. Нехай l\circ (s\circ ) = 0. Тодi всi пари базисних елементiв алгебри \BbbB , що задовольняють умо-
ву (4), мають вигляд (22), де комплекснi числа \beta 1 i \alpha \not = 0 вибираються довiльним чином, а
\beta 2 \in \BbbC задовольняє умову \beta 2 \not = s\circ \beta 1.
2. Нехай l\circ (s\circ ) \not = 0. Тодi всi пари базисних елементiв алгебри \BbbB , що задовольняють умо-
ву (4), мають вигляд (23), де комплекснi числа \alpha \not = 0, \beta 2 \not = 0 вибираються довiльним чином.
Враховуючи, що умови на \beta 1 i \beta 2 у випадках 1, 2 можна поєднати умовою (13), приходимо
до формул (12), якi визначають опис шуканих базисiв у алгебрi \BbbB .
Знайдемо необхiднi базиси в алгебрi \BbbB 0.
Легко показати, що елементи ek = \alpha k I1 + \beta k I2, k = 1, 2, задовольняють рiвностi
enk = \alpha n
k I1 + \beta n
k I2, n = 1, 4, k = 1, 2.
Позначимо (ek)
0 := 1, k = 1, 2, \lambda 0 := 1 при дiйсних значеннях \lambda . Тодi
L(e1, e2) =
5\sum
k=1
bk
\Bigl(
\alpha 5 - k
2 I1 + \beta 5 - k
2 I2
\Bigr) \Bigl(
\alpha k - 1
1 I1 + \beta k - 1
1 I2
\Bigr)
=
=
5\sum
k=1
bk
\Bigl(
\alpha 5 - k
2 \alpha k - 1
1 I1 + \beta 5 - k
2 \beta k - 1
1 I2
\Bigr)
.
Отже, шукана система для знаходження коефiцiєнтiв базисних елементiв ek = \alpha k I1 + \beta k I2,
k = 1, 2, має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
20 С. В. ГРИЩУК
Ae \equiv
5\sum
k=1
bk\alpha
5 - k
2 \alpha k - 1
1 = 0,
5\sum
k=1
bk\beta
5 - k
2 \beta k - 1
1 = 0, \Delta e1e2 \equiv \alpha 1\beta 2 - \alpha 2\beta 1 \not = 0. (26)
Як i у (18), встановлюємо, що \alpha 1 \not = 0. Аналогiчним чином, розглядаючи друге рiвняння
в (26) i спiввiдношення \Delta e1e2 \not = 0, переконуємося, що \beta 1 \not = 0. За допомогою елементарних
перетворень приходимо до висновку, що система (26) рiвносильна системi
l
\biggl(
\alpha 2
\alpha 1
\biggr)
= 0, l
\biggl(
\beta 2
\beta 1
\biggr)
= 0, \Delta e1e2 \not = 0. (27)
Розв’язки системи (27) мають вигляд
\alpha 2
\alpha 1
= \widetilde s1, \beta 2
\beta 1
= \widetilde s2 \forall \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, \widetilde s1 \not = \widetilde s2.
Позначимо \alpha 1 через \alpha , а \beta 1 через \beta .
Отже, всi базиси алгебри \BbbB 0, що задовольняють умову (4), мають вигляд (14).
Теорему доведено.
Зауваження 1. Умова l\circ (s\circ ) = 0 виконується, наприклад, у випадку
b1 = 1, b2 = - 2i, b3 = - 2, b4 = 2i, b5 = 1.
Тодi s\circ = i, s3 = - 1 i s4 = 1 з точнiстю до переставлення.
Умова l\circ (s\circ ) \not = 0 виконується, наприклад, у випадку
b1 = 1, b2 = - 1 - 4i, b3 = 4i - 5, b4 = 1 + 2i, b5 = 4 - 2i.
Тодi s\circ = i, s3 = 2i i s4 = 1 з точнiстю до переставлення.
4. Моногеннi функцiї в алгебрi \BbbB , асоцiйованi з рiвнянням (1). З урахуванням (11)
одержуємо, що базиси (12) задовольняють, крiм умови (4), умову \scrM \scrB ) тодi й лише тодi, коли
\mathrm{I}\mathrm{m} s\circ \not = 0. (28)
Отже, далi ми будемо вважати, що умова (28) виконується, а у вiдповiдних базисах (12),
описаних у теоремi 1, s\circ задовольняє додатково дану умову, крiм умови (13). Зауважимо, що
базиснi елементи з (12) мають оберненi e - 1
1 та e - 1
2 , зокрема e - 1
1 = 1
\alpha e - \beta 1
\alpha 2
\rho .
Таким чином, будемо розглядати в цьому пунктi моногеннi функцiї вигляду \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB .
Як i у випадку, коли замiсть оператора L розглядається бiгармонiчний оператор (див. [10,
20]), доводимо таку теорему.
Теорема 2. Функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є моногенною в областi D\zeta тодi й лише тодi, коли її
компоненти Uk : D - \rightarrow \BbbR , k = 1, 4, з розкладу (5) диференцiйовнi в областi D й виконується
аналог умов Кошi – Рiмана
\partial \Phi (\zeta )
\partial y
e1 -
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
e2 = 0 \forall \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 21
Введемо до розгляду комплексну змiнну й область її визначення:
z\circ := x+ s\circ y, Dz\circ := \{ z\circ = x+ s\circ y : (x, y) \in D\} .
Єдиному максимальному iдеалу I := \{ c\rho : c \in \BbbC \} алгебри \BbbB вiдповiдає лiнiйний неперерв-
ний функцiонал f : \BbbB - \rightarrow \BbbC , ядром якого є I, i при цьому f(e) = 1. Очевидно, що \alpha z\circ = f(\zeta )
для будь-якого \zeta \in D\zeta .
Зауважимо, що умова (28) еквiвалентна умовi
f (\mu e1,e2) = \BbbC . (29)
Враховуючи (12), для кожного комплексного t отримуємо формули
\zeta = xe1 + ye2 = \alpha z\circ e+ (\beta 1x+ \beta 2y) \rho , te - \zeta = (t - \alpha z\circ ) e - (\beta 1x+ \beta 2y) \rho . (30)
З урахуванням (11) одержуємо формулу для знаходження оберненого елемента до te - \zeta з (30):
(te - \zeta ) - 1 =
e
t - \alpha z\circ
+
\beta 1x+ \beta 2y
(t - \alpha z\circ )
2 \rho \forall t \in \BbbC .
Як i при доведеннi теореми 2.4 [21], приходимо до висновку, що моногенну функцiю \Phi :
D\zeta - \rightarrow \BbbB можна записати у виглядi
\Phi (\zeta ) =
1
2\pi i
\int
\gamma
(te - \zeta ) - 1 (A\Phi ) (t) dt+\Phi I(\zeta ) \forall \zeta \in D\zeta , (31)
де \gamma — довiльна жорданова спрямлювана крива в областi f
\bigl(
D\zeta
\bigr)
\subset \BbbC , що охоплює точку
f(\zeta ) = \alpha z\circ , \Phi I : D\zeta - \rightarrow \BbbB — моногенна функцiя в D\zeta , яка набуває значень в iдеалi I алгебри
\BbbB , A(z) := f
\bigl(
\Phi (\zeta )
\bigr)
, z = f(\zeta ).
Легко встановити, що функцiя F : Dz\circ - \rightarrow \BbbB , яка є диференцiйовною за змiнними x i y, є
голоморфною в областi Dz\circ тодi й лише тодi, коли виконується рiвнiсть (умова Кошi – Рiмана
у комплекснiй формi)
\partial F (z\circ )
\partial y
= s\circ
\partial F (z\circ )
\partial x
\forall z\circ \in Dz\circ . (32)
Як i при доведеннi теорем 1 i 2 [20], одержуємо, використовуючи теорему 2 i формули (31),
(32), зображення моногенної функцiї \Phi через двi голоморфнi функцiї комплексної змiнної z\circ в
областi Dz\circ .
Теорема 3. Функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB є моногенною в областi D\zeta тодi й лише тодi, коли
справджується рiвнiсть
\Phi (\zeta ) = F (z\circ ) e+
\biggl(
\beta 1x+ \beta 2y
\alpha
F \prime (z\circ ) + F0(z\circ )
\biggr)
\rho \forall \zeta \in D\zeta , (33)
де F i F0 — деякi голоморфнi функцiї комплексної змiнної z\circ в областi Dz\circ , F \prime — похiдна
функцiї F.
Зауваження 2. Частинний випадок теореми 3 при e1 = e випливає з роботи [13], де пiд
„моногеннiстю” функцiї \Phi розумiється диференцiйовнiсть за Гато та неперервнiсть в областi D\zeta
функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB , до того ж для побудови зображень даних функцiй суттєвою є умова (29).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
22 С. В. ГРИЩУК
Лема 1. Кожна моногенна функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB має неперервнi похiднi \Phi (n) довiльного
порядку n = 1, 2, . . . .
Доведення проводимо з використанням зображення (33), теореми 2 i рiвностi (32).
Кожну моногенну функцiю \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB можна записати у виглядi
\Phi (\zeta ) = \mathrm{U}e(x, y) e+\mathrm{U}ie(x, y) ie+\mathrm{U}\rho (x, y) \rho +\mathrm{U}i\rho (x, y) i\rho \forall \zeta \in D\zeta , (34)
де \mathrm{U}e : D - \rightarrow \BbbR , \mathrm{U}ie : D - \rightarrow \BbbR \mathrm{U}\rho : D - \rightarrow \BbbR , \mathrm{U}i\rho : D - \rightarrow \BbbR .
З леми 1 випливає, що кожна компонента \mathrm{U}e, \mathrm{U}ie, \mathrm{U}\rho , \mathrm{U}i\rho iз розкладу (34) задовольняє
рiвняння (1). Справдi, це випливає внаслiдок (34) та рiвностей L\Phi (\zeta ) = L(e1, e2)\Phi
(4)(\zeta ) \equiv 0
при всiх \zeta \in D\zeta .
З розкладу (33) одержуємо формули частинних розв’язкiв рiвняння (1) при всiх (x, y) \in D:
\mathrm{U}e(x, y) = \mathrm{R}\mathrm{e}F (z\circ ) , \mathrm{U}ie(x, y) = \mathrm{I}\mathrm{m}F (z\circ ) ,
\mathrm{U}\rho (x, y) =
\biggl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\biggl(
\beta 1
\alpha
\biggr)
x+\mathrm{R}\mathrm{e}
\biggl(
\beta 2
\alpha
\biggr)
y
\biggr)
\mathrm{R}\mathrm{e}F \prime (z\circ ) -
-
\biggl(
\mathrm{I}\mathrm{m}
\biggl(
\beta 1
\alpha
\biggr)
x+ \mathrm{I}\mathrm{m}
\biggl(
\beta 2
\alpha
\biggr)
y
\biggr)
\mathrm{I}\mathrm{m}F \prime (z\circ ) + \mathrm{R}\mathrm{e}F0 (z\circ ),
\mathrm{U}i\rho (x, y) =
\biggl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\biggl(
\beta 1
\alpha
\biggr)
x+\mathrm{R}\mathrm{e}
\biggl(
\beta 2
\alpha
\biggr)
y
\biggr)
\mathrm{I}\mathrm{m}F \prime (z\circ )+
+
\biggl(
\mathrm{I}\mathrm{m}
\biggl(
\beta 1
\alpha
\biggr)
x+ \mathrm{I}\mathrm{m}
\biggl(
\beta 2
\alpha
\biggr)
y
\biggr)
\mathrm{R}\mathrm{e}F \prime (z\circ ) + \mathrm{I}\mathrm{m}F0 (z\circ ).
5. Моногеннi функцiї в алгебрi \BbbB 0, асоцiйованi з рiвнянням (1). З урахуванням (10) та
умов \widetilde sk \not = 0, k = 1, 2, легко переконуємось, що базиси (14) задовольняють крiм умови (4)
умову \scrM \scrB ) тодi й лише тодi, коли пари \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, що визначають вiдповiдний базис,
задовольняють крiм умов теореми 1 умову
\mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk \not = 0, k = 1, 2. (35)
Отже, далi ми будемо вважати, що множина коренiв рiвняння (2) мiстить хоча б два рiзних
коренi \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, такi, що задовольняють умову (35), а у вiдповiдних базисах,
описаних у теоремi 1, пара \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, задовольняє дану умову.
Введемо до розгляду комплекснi змiннi й областi їх визначення:
zk := x+ \widetilde sky, Dzk := \{ zk \in \BbbC : xe1 + ye2 \in D\zeta \} , k = 1, 2.
Для моногенних функцiй \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 справджуються всi твердження пункту 3 роботи [1]
щодо вiдповiдних функцiй у випадку, коли характеристичне рiвняння (2) має простi ненульовi
коренi. Зокрема, має мiсце зображення моногенної функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 через двi голоморфнi
функцiї комплексної змiнної z1, z2 вiдповiдно:
\Phi (\zeta ) = F1 (z1) I1 + F2 (z2) I2 \forall \zeta \in D\zeta , (36)
де Fk — деяка голоморфна функцiя комплексної змiнної zk в областi Dzk вiдповiдно при
k = 1, 2.
Зауважимо, що всi результати роботи [1] до теореми 4 п. 4 включно переносяться i на
моногеннi функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 у випадку, коли характеристичне рiвняння (2) має простi
коренi, з яких один може бути нульовим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 23
Лiтература
1. С. В. Грищук, Mоногеннi функцiї зi значеннями у комутативних комплексних алгебрах другого рангу з одиницею
та узагальнене бiгармонiчне рiвняння з ненульовими простими характеристиками, Укр. мат. журн., 73, № 4,
474 – 487 (2021).
2. С. Г. Михлин, Плоская задача теории упругости, Тр. Сейсм. ин-та АН СССР, № 65 (1934), 83 c.
3. N. E. Tovmasyan, Non-regular differential equations and calculations of electromagnetic fields, World Sci. Publ.,
Singapore (1998).
4. Е. А. Буряченко, О размерности ядра задачи Дирихле для уравнений четвертого порядка, Дифференц. урав-
нения, 51, № 4, 472 – 480 (2015).
5. И. П. Мельниченко, Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга, Укр. мат. журн., 38, № 2, 252 – 254
(1986).
6. С. В. Грищук, Комутативнi комплекснi алгебри другого рангу з одиницею та деякi випадки плоскої ортотро-
пiї, I, Укр. мат. журн., 70, № 8, 1058 – 1071 (2018).
7. S. V. Gryshchuk, \BbbB 0 -valued monogenic functions and their applications to the theory of anisotropic plane media,
Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE-2018, Cambridge Sci. Publ., Cambridge (2020).
8. С. В. Грищук, Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї, Працi
Iн-ту прикл. математики i механiки НАН України, 32, 18 – 29 (2018).
9. P. W. Ketchum, Solution of partial differential equations by means of hypervariables, Amer. J. Math., 54, № 2,
253 – 264 (1932).
10. В. Ф. Ковалев, И. П. Мельниченко, Бигармонические функции на бигармонической плоскости, Докл. АН УССР.
Сер. А, № 8, 25 – 27 (1981).
11. R. Z. Yeh, Hyperholomorphic functions and higher order partial differential equations in the plane, Pacif. J. Math.,
142, № 2, 379 – 399 (1990).
12. В. С. Шпакiвський, Гiперкомплексний метод розв’язування лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними
похiдними, Працi Iн-ту прикл. математики i механiки НАН України, 32, 147 – 168 (2018).
13. V. S. Shpakivskyi, Monogenic functions in finite-dimensional commutative associative algebras, Зб. праць Iн-ту
математики НАН України, 12, № 3, 251 – 268 (2015).
14. С. А. Плакса, Р. П. Пухтаєвич, Конструктивний опис моногенних функцiй в скiнченновимiрнiй напiвпростiй
комутативнiй алгебрi, Доп. НАН України, № 1, 14 – 21 (2014).
15. S. A. Plaksa, R. P. Pukhtaievych, Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commutative algebra, An.
Ştiinţ. Univ. “Ovidius” Constanţa Ser. Mat., 22, № 1, 221 – 235 (2014).
16. E. Study, Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen,
Monatsh. Math., 1, № 1, 283 – 354 (1890).
17. Н. Г. Чеботарев, Введение в теорию алгебр, 3-е изд., Физико-математическое наследие: математика (алгебра),
Изд-во ЛКИ, Москва (2008).
18. W. E. Baylis (Ed.), Clifford (geometric) algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering,
Birkhäuser, Boston etc. (1996).
19. С. В. Грищук, С. А. Плакса, О логарифмичном вычете моногенных функций бигармонической переменной, Зб.
праць Iн-ту математики НАН України, 7, № 2, 227 – 234 (2010).
20. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической алгебре, Укр. мат. журн., 61, № 12,
1587 – 1596 (2009).
21. И. П. Мельниченко, С. А. Плакса, Коммутативные алгебры и пространственные потенциальные поля, Ин-т
математики НАН Украины, Киев (2008).
Одержано 09.10.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-6948 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:48Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/2d7e508f898867283c0c59186b372a6c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69482022-03-27T15:39:11Z Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics Моногенні функції зі значеннями у комутативних комплексних алгебрах другого рангу з одиницею та узагальнене бігармонічне рівняння з подвійною характеристикою Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. моногенні функції, комутативні алгебри, рівняння з частинними похідними та комалексними коефіцієнтами четвертого порядку однорідне UDC 517.9We prove that any two-dimensional algebra $\mathbb{B}_{\ast}$ of the second rank with unity over the field of complex numbers $\mathbb{C}$ contains basises $\{e_1,e_2\},$ for which the $\mathbb{B}_{\ast}$-valued ``analytic'' functions $\Phi(xe_1+ye_2),$ where $x$ and $y$ are real variables, satisfy a homogeneous PDE of the fourth order with complex coefficients such that its characteristic equation has just one multiple root and the other roots are simple.The set of all triples $(\mathbb{B}_{\ast}, \{e_1,e_2\}, \Phi)$ is described in the explicit form. &nbsp; &nbsp; УДК 517.9 Доведено, що кожна комутативна й асоціативна алгебра $\mathbb{B}_{\ast}$ другого рангу з одиницею над полем комплексних чисел містить такі базиси $\{e_1,e_2\},$ що $\mathbb{B}_{\ast}$-значні „аналітичні'' функції $\Phi(xe_1+ye_2)$ ($x,$ $y$ – дійсні змінні) задовольняють однорідне рівняння з частинними похідними четвертого порядку та комплексними коефіцієнтами, характеристичне рівняння якого має один подвійний корінь, а решта коренів є проcтими. Наведено повний опис множини трійок $\left(\mathbb{B}_{\ast}, \{e_1,e_2\}, \Phi\right).$ &nbsp; Доведено, що кожна комутативна і асоціативна алгебра $\mathbb{B}_{\ast}$ другого рангу з одиницею над полем комплексних чисел містить базиси $\{e_1,e_2\}$, такі, що $\mathbb{B}_{\ast}$-значні ``„аналiтичнi” функції $\Phi(xe_1+ye_2)$ ($x$, $y$ ~ дійсні змінні) задовольняють однорідне рівняння з частинними похідними четвертого порядку та комплексними коефіцієнтами, характеристичне рівняння якого має один подвійний корінь, а решта коренів є проcтими. Наведено повнийопис множини трійок широкого класу&nbsp; $\left(\mathbb{B}_{\ast}, \{e_1,e_2\}, \Phi\right)$. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-01-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6948 10.37863/umzh.v74i1.6948 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 1 (2022); 14 - 23 Український математичний журнал; Том 74 № 1 (2022); 14 - 23 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6948/9172 Copyright (c) 2022 Сергій Вікторович Грищук |
| spellingShingle | Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics |
| title | Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics |
| title_alt | Моногенні функції зі значеннями у комутативних комплексних алгебрах другого рангу з одиницею та узагальнене бігармонічне рівняння з подвійною характеристикою |
| title_full | Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics |
| title_fullStr | Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics |
| title_full_unstemmed | Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics |
| title_short | Monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics |
| title_sort | monogenic functions with values in commutative complex algebras of the second rank with unity and the generalized biharmonic equation with double characteristics |
| topic_facet | моногенні функції комутативні алгебри рівняння з частинними похідними та комалексними коефіцієнтами четвертого порядку однорідне |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6948 |
| work_keys_str_mv | AT gryshchuksv monogenicfunctionswithvaluesincommutativecomplexalgebrasofthesecondrankwithunityandthegeneralizedbiharmonicequationwithdoublecharacteristics AT griŝuksv monogenicfunctionswithvaluesincommutativecomplexalgebrasofthesecondrankwithunityandthegeneralizedbiharmonicequationwithdoublecharacteristics AT gryshchuksv monogennífunkcíízíznačennâmiukomutativnihkompleksnihalgebrahdrugogoranguzodiniceûtauzagalʹnenebígarmoníčnerívnânnâzpodvíjnoûharakteristikoû AT griŝuksv monogennífunkcíízíznačennâmiukomutativnihkompleksnihalgebrahdrugogoranguzodiniceûtauzagalʹnenebígarmoníčnerívnânnâzpodvíjnoûharakteristikoû |