A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process
UDC 512.55 Starting from some ideas given in [J. W. Bales, A tree for computing the Cayley–Dickson twist, Missouri J. Math. Sci., 21, No. 2, 83–93 (2009)], in this paper we present an algorithm for computing the elements of the basis in an algebra obtained by the Cayley–Dickson process....
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6949 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512565310783488 |
|---|---|
| author | Boboescu, R. Flaut, C. Бобоеску, Р. Флаут, К. |
| author_facet | Boboescu, R. Flaut, C. Бобоеску, Р. Флаут, К. |
| author_sort | Boboescu, R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-15T07:54:30Z |
| description | UDC 512.55
Starting from some ideas given in [J. W. Bales, A tree for computing the Cayley–Dickson twist, Missouri J. Math. Sci., 21, No. 2, 83–93 (2009)], in this paper we present an algorithm for computing the elements of the basis in an algebra obtained by the Cayley–Dickson process.  As a consequence of this result, we prove that an algebra obtained by the Cayley–Dickson process is a twisted group algebra for the group $G=\mathbb{Z}_{2}^{n},n=2^{t}$, $t\in \mathbb{N}$, over a field $K$ with ${\rm char} K\neq 2$.  We give some properties and applications of the quaternion nonassociative algebras.  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i6.6949 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i6.6949
УДК 512.55
Р. Бобоеску, К. Флаут (Унiверситет Овiдiя в Констанцi, Румунiя)
СТРУКТУРА СКРУЧЕНОЇ ГРУПОВОЇ АЛГЕБРИ ДЛЯ АЛГЕБРИ,
ОТРИМАНОЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПРОЦЕСУ КЕЛI – ДIКСОНА
Starting from some ideas given in [J. W. Bales, A tree for computing the Cayley – Dickson twist, Missouri J. Math. Sci., 21,
№ 2, 83 – 93 (2009)], in this paper we present an algorithm for computing the elements of the basis in an algebra obtained
by the Cayley – Dickson process. As a consequence of this result, we prove that an algebra obtained by the Cayley – Dickson
process is a twisted group algebra for the group G = \BbbZ n
2 , n = 2t , t \in \BbbN , over a field K with \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}K \not = 2. We give some
properties and applications of the quaternion nonassociative algebras.
Дотримуючись iдей Бейлiса [J. W. Bales, A tree for computing the Cayley – Dickson twist, Missouri J. Math. Sci.,
21, № 2, 83 – 93 (2009)], у цiй статтi запропоновано алгоритм обчислення елементiв базису алгебри, отриманої
за допомогою процесу Келi – Дiксона. Як наслiдок доведено, що алгебра, отримана за допомогою процесу Келi –
Дiксона, є скрученою груповою алгеброю для групи G = \BbbZ n
2 , n = 2t, t \in \BbbN над полем K з \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}K \not = 2. Наведено
властивостi i деякi застосування неасоцiативних алгебр кватернiонiв.
1. Вступ. Скрiзь у цiй статтi K позначає комутативне поле з \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}K \not = 2, а \scrE — алгебру над
полем K. Алгебра \scrE називається унiтарною, якщо в цiй алгебрi є одиничний елемент щодо
множення в алгебрi.
Множина
\scrN (\scrE ) =
\bigl\{
x \in \scrE /(x, a, b) = (a, x, b) = (a, b, x) = 0 для всiх a, b \in \scrE
\bigr\}
називається ядром алгебри \scrE , де (x, a, b) = (xa)b - x(ab).
Алгебра \scrE називається альтернативною, якщо x2y = x(xy) i xy2 = (xy)y при всiх x, y \in \scrE ,
i гнучкою, якщо x(yx) = (xy)x = xyx при всiх x, y \in \scrE , а також степенево асоцiативною,
якщо пiдалгебра \langle x\rangle з \scrE , породжена довiльним елементом x \in \scrE , є асоцiативною. Кожна
альтернативна алгебра є гнучкою i степенево асоцiативною. Унiтарна алгебра \scrE \not = K, для
кожного елемента x якої з \alpha x, \beta x \in K виконується спiввiдношення x2 + \alpha xx + \beta x = 0,
називається квадратичною алгеброю. Скiнченновимiрна алгебра \scrE є алгеброю з дiленням тодi
й лише тодi, коли \scrE не мiстить дiльникiв нуля (див. [5]).
Далi ми коротко опишемо процес Келi – Дiксона i властивостi алгебр, отриманих за допомо-
гою цього процесу (див. [5, 6]).
Розглянемо скiнченновимiрну унiтарну алгебру \scrE над полем K зi скалярною iнволюцiєю
: \scrE \rightarrow \scrE , a \rightarrow a,
яка є лiнiйним вiдображенням з властивостями
ab = ba, a = a
i
a+ a, aa \in K \cdot 1 для всiх a, b \in \scrE .
Елемент a називається спряженим до елемента a. Лiнiйна
c\bigcirc Р. БОБОЕСКУ, К. ФЛАУТ, 2022
752 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
СТРУКТУРА СКРУЧЕНОЇ ГРУПОВОЇ АЛГЕБРИ ДЛЯ АЛГЕБРИ, ОТРИМАНОЇ ЗА ДОПОМОГОЮ . . . 753
\bft : \scrE \rightarrow K, \bft (a) = a+ a
i квадратична
\bfn : \scrE \rightarrow K, \bfn (a) = aa
форми називаються вiдповiдно слiдом i нормою елемента a. Звiдси випливає, що алгебра \scrE зi
скалярною iнволюцiєю є квадратичною.
Розглянемо фiксований ненульовий елемент \gamma \in K. Розглянемо алгебраїчне множення на
векторному просторi
\scrE \oplus \scrE : (a1, a2)(b1, b2) =
\bigl(
a1b1 + \gamma b2a2, a2b1 + b2a1
\bigr)
. (1.1)
Отриману алгебраїчну структуру над \scrE \oplus \scrE позначимо через (\scrE , \gamma ) i назвемо алгеброю, отри-
маною з алгебри \scrE за допомогою процесу Келi – Дiксона. Очевидно, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\scrE , \gamma ) = 2 \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \scrE .
Нехай x \in (\scrE , \gamma ), x = (a1, a2). Вiдображення
: (\scrE , \gamma ) \rightarrow (\scrE , \gamma ), x \rightarrow \=x = (a1, - a2)
є скалярною iнволюцiєю алгебри (\scrE , \gamma ), що є продовженням iнволюцiї алгебри \scrE . Тодi
\bft (x) = \bft (a1)
i
\bfn (x) = \bfn (a1) - \gamma \bfn (a2)
є вiдповiдно слiдом i нормою елемента x \in (\scrE , \gamma ).
Якщо ми розглянемо \scrE = K i застосуємо цей процес t, t \geq 1 разiв, то отримаємо алгебру
над K :
\scrE t =
\Bigl( \gamma 1, . . . , \gamma t
K
\Bigr)
.
За iндукцiєю в цiй алгебрi множина
\bigl\{
1, f1, . . . , fn - 1
\bigr\}
при n = 2t утворює базис iз властивос-
тями
f2
i = \gamma i1, \gamma i \in K, \gamma i \not = 0, i \in \{ 1, 2, . . . , n - 1\} ,
i
fifj = - fjfi = \beta ijfk, \beta ij \in K, \beta ij \not = 0, i \not = j, i, j \in \{ 1, 2, . . . , n - 1\} ,
де \beta ij i fk визначаються однозначно через fi i fj (див. [6]).
При t = 2 отримуємо алгебру узагальнених кватернiонiв, а при t = 3 — алгебру узагальне-
них октонiонiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
754 Р. БОБОЕСКУ, К. ФЛАУТ
2. Структура скрученої групової алгебри для алгебри \bfscrE \bfitt . В роботi [1] запропоновано
скручене дерево для алгебри, отриманої за допомогою процесу Келi – Дiксона у дiйсному ви-
падку при \gamma i = - 1 для всiх i \in \{ 2, . . . , n\} . Як наслiдок для згаданого часткового випадку
запропоновано алгоритм для обчислення добутку двох елементiв базису. Цю ж iдею була вико-
ристано в роботi [2], в якiй побудовано лiво-\scrE t-гiперголоморфнi функцiї. Далi ми доведемо, що
алгебра \scrE t має структуру скрученої групової алгебри. Крiм того, буде запропоновано алгоритм
для обчислення добутку двох елементiв базису в загальному випадку алгебри \scrE t. Таким чином,
на цьому шляху обчислення стають легшими для алгебри високої розмiрностi \scrE t.
Означення 2.1 [4]. Нехай (G, \cdot ) — скiнченна група i K — поле. Скрученою груповою алгеб-
рою для групи G над полем K є алгебра над полем K з базисом \{ ag, g \in G\} таким, що
agah = f(g, h)ag\cdot h, де g, h \in G, f(g, h) \in K, f(g, h) \not = 0.
Зауваження 2.1. При \gamma 1 = . . . = \gamma t = - 1 i K = \BbbR в [1] описано, як базиснi вектори
перемножуються мiж собою в алгебрi \scrE t при \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \scrE t = 2t = n. В [1] використано двiйковий
розклад нижнiх iндексiв.
Нехай fp, fq — два вектори базису B i p, q — заданi двiйковим розкладом числа. Це означає,
що p, q належать \BbbZ n
2 i справджуються рiвностi fpfq = \alpha t(p, q)fp\otimes q = fpq, де:
i) p \otimes q — сума p i q в групi \BbbZ n
2 або точнiше „винятковий або” для двiйкового розкладу
чисел p i q;
ii) функцiя \alpha t : \BbbZ n
2 \times \BbbZ n
2 \rightarrow \{ - 1, 1\} \subset \BbbR називається скрученим вiдображенням.
Зауважимо, що елементи групи \BbbZ n
2 можна розглядати як цiлi числа вiд 0 до 2n - 1 з
множенням „винятковий або” для двiйкових розкладiв. Зрозумiло, що ця операцiя еквiвалентна
операцiї додавання в \BbbZ n
2 .
Твердження 2.1. Нехай \BbbN = \{ 0, 1, 2, . . .\} — множина натуральних чисел i p, q, r, s, t \in \BbbN .
Через 2p позначимо подвоєне число p, через (p) — двiйковий розклад числа p, а через (2p)(2q) i
pq — „винятковий або” для двiйкового розкладу чисел 2p i 2q i вiдповiдно p i q. Тодi справедливi
такi спiввiдношення:
i) (2p)(2q) = 2pq;
ii) (2p)(2q + 1) = 2pq + 1;
iii) (2p+ 1)(2q) = 2pq + 1;
iv) (2p+ 1)(2q + 1) = 2pq;
v) якщо p, q \leq 2t - 1, то p(2t + q) = 2t + pq;
vi) якщо p, r \leq 2t - 1, то (2t + r)p = 2t + rp;
vii) якщо r, s \leq 2t - 1, то pq = (2t + r)(2t + s) = rs.
Доведення проводиться безпосереднiми обчисленнями з урахуванням того, що (2p) є змi-
щенням на одну позицiю влiво щодо (p), де (p) позначає двiйковий розклад числа p.
Далi розглянемо алгебру \scrE t i довiльнi елементи \gamma 1, . . . , \gamma t \in K. Нехай B = \{ f0, f1, . . . , f2t - 1\} —
базис алгебри \scrE t. З його використанням базис алгебри \scrE t+1 записуємо у виглядi
f0 = 1 = (1, 0), f1 = (f1, 0), . . . , f2t - 1 = (f2t - 1, 0),
f2t = (0, 1), f2t+1 = (0, f1), f2t+2 = (0, f2), . . . ,
f2t+i = (0, fi), . . . , f2t+1 - 1 = (0, f2t - 1).
Ми доведемо, що \scrE t є скрученою груповою алгеброю для групи G = \BbbZ n
2 , n = 2t, t \in \BbbN ,
над полем K при \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}K \not = 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
СТРУКТУРА СКРУЧЕНОЇ ГРУПОВОЇ АЛГЕБРИ ДЛЯ АЛГЕБРИ, ОТРИМАНОЇ ЗА ДОПОМОГОЮ . . . 755
Приклад 2.1. При t = 1 маємо таку таблицю множення:
\cdot 1 f1
1 1 f1
f1 f1 \gamma 1
Зауважимо, що \alpha 1(0, 0) = 1, \alpha 1(0, 1) = \alpha 1(1, 0), \alpha 1(1, 1) = \gamma 1. Крiм того, fpfq = \alpha 1(p, q)\times
\times fp\otimes q = fpq. Справдi, оскiльки 1\otimes 0 = 0\otimes 1 = 1 i 0\otimes 0 = 0, то \scrE t є скрученою алгеброю.
Приклад 2.2. При t = 2 маємо таку таблицю множення:
\cdot 1 f1 f2 f3
1 1 f1 f2 f3
f1 f1 \gamma 1 f3 \gamma 1f2
f2 f2 - f3 \gamma 2 - \gamma 2f1
f3 f3 - \gamma 1f2 \gamma 2f1 - \gamma 1\gamma 2
Зауважимо, що \alpha 2(i, j) = - \alpha 2(j, i)при i, j \in \{ 1, 2, 3\} i \alpha 2(0, 0) = \alpha 2(0, i) = \alpha 2(i, 0) =
= 1 = \alpha 2(1, 2) при i \in \{ 1, 2, 3\} . Крiм того, \alpha 2(1, 1) = \alpha 2(1, 3) = \gamma 1, \alpha 2(2, 2) = \alpha 2(3, 2) =
= \gamma 2, \alpha 2(3, 3) = - \gamma 1\gamma 2.
Твердження 2.2. Для всiх t \in \BbbN визначимо скручене вiдображення \alpha t : \BbbZ n
2 \times \BbbZ n
2 \rightarrow K,
n = 2t, таке, що для двох векторiв fp, fq з базису B, де pq — зображення „винятковий або”
для iндексiв p i q, маємо fpfq = \alpha t(p, q)fpq. Для скрученого вiдображення \alpha t справедливi такi
спiввiдношення:
1) якщо p, q \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} , то \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, q);
2) якщо p \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} , q \in \{ 2t, 2t + 1, . . . , 2t+1 - 1\} , q = 2t + r, то \alpha t+1(p, q) =
= - \alpha t(p, r) при r \not = p, p \not = 0, r \not = 0; якщо r \not = p i r = 0, то \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, 0) = 1; якщо
r = p \not = 0, то \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, p); якщо p = r = 0, то \alpha t+1(p, q) = \alpha t+1(0, 2
t) = 1;
3) якщо p \in \{ 2t, 2t + 1, . . . , 2t+1 - 1\} , q \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} , p = 2t + r i r \not = q, q \not = 0,
то \alpha t+1(p, q) = - \alpha t(r, q); якщо r = q \not = 0, то \alpha t+1(p, q) = - \alpha t(r, r); якщо q = 0, то
\alpha t+1(p, q) = \alpha t+1(p, 0) = 1;
4) якщо p \in \{ 2t, 2t+1, . . . , 2t+1 - 1\} , q \in
\bigl\{
2t, 2t+1, . . . , 2t - 1
\bigr\}
при p = 2t+ r, q = 2t+ s i
r \not = s, r \not = 0, s \not = 0, то \alpha t+1(p, q) = \gamma t+1\alpha t(r, s); якщо r = s \not = 0, то \alpha t+1(p, p) = - \gamma t+1\alpha t(r, r);
якщо r = 0, s \not = 0, то \alpha t+1(p, q) = - \gamma t+1\alpha t(0, s) = - \gamma t+1; якщо s = 0, то \alpha t+1(p, q) =
= \gamma t+1\alpha t(r, 0) = \gamma t+1.
Доведення. Використаємо iндукцiю по t. Припустимо, що твердження справедливi при t,
i доведемо їх при t+ 1.
Випадок 1: p, q \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} . У цьому випадку fpfq = (fp, 0)(fq, 0) = (fpfq, 0) =
=
\bigl(
\alpha t(p, q)fpq, 0
\bigr)
= \alpha t(p, q)(fpq, 0) = \alpha t(p, q)fpq. Тому \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, q).
Випадок 2: p \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} , q \in \{ 2t, 2t+1, . . . , 2t+1 - 1\} . Тут q = 2t+r. Припускаючи,
що r \not = p, p \not = 0, r \not = 0, маємо fpfq = fpf2t+r = (fp, 0)(0, fr) = (0, frfp) = - (0, fpfr) =
= - (0, \alpha t(p, r)fpr) = - \alpha t(p, r)(0, fpr) = - \alpha t(p, r)fpq. Тодi \alpha t+1(p, q) = - \alpha t(p, r).
Якщо r \not = p i r = 0, то fpfq = fpf2t = (fp, 0)(0, f0) = (0, f0fp) = \alpha t(p, 0)(0, fp) =
= \alpha t(p, 0)f2t+p. Тому \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, 0).
Якщо r = p \not = 0, то fpfq = fpf2t+p = (fp, 0)(0, fp) = (0, fpfp) = \alpha t(p, p)(0, 1) = \alpha t(p, p)f2t .
Тому \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, p).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
756 Р. БОБОЕСКУ, К. ФЛАУТ
Якщо r \not = p i r = 0, то fpfq = fpf2t = (fp, 0)(0, f0) = (0, f0fp) = \alpha t(p, 0)(0, fp) =
= \alpha t(p, 0)f2t+p. Тодi \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, 0).
Якщо r = p \not = 0, то fpfq = fpf2t+p = (fp, 0)(0, fp) = (0, fpfp) = \alpha t(p, p)(0, 1) = \alpha t(p, p)f2t .
Тому \alpha t+1(p, q) = \alpha t(p, p).
Випадок 3: p \in \{ 2t, 2t + 1, . . . , 2t+1 - 1\} , q \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} . Тут p = 2t + r.
Якщо r \not = q, то fpfq = f2t+rfq = (0, fr)(fq, 0) = (0, frfq) = - (0, frfq) = - (0, \alpha t(r, q)frq) =
= - \alpha t(r, q)fpq. Тодi \alpha t+1(p, q) = - \alpha t(r, q).
Якщо r = q, то fpfq = f2t+rfr = (0, fr)(fr, 0) = (0, frfr) = - \alpha t(r, r)(0, 1) = - \gamma rf2t .
Отже, \alpha t+1(p, q) = - \alpha t(r, r).
Випадок 4: p \in \{ 2t, 2t + 1, . . . , 2t+1 - 1\} , q \in \{ 2t, 2t + 1, . . . , 2t+1 - 1\} при p = 2t + r i
q = 2t + s.
Якщо r \not = s, r \not = 0, s \not = 0, то fpfq = f2t+rf2t+s = (0, fr)(0, fs) = (\gamma t+1fsfr, 0) =
= \gamma t+1(frfs, 0) = \gamma t+1\alpha t(r, s)frs. Тому \alpha t+1(p, q) = \gamma t+1\alpha t(r, s).
Якщо r = s \not = 0, то fpfq = f2t+rf2t+r = (0, fr)(0, fr) = (\gamma t+1frfr, 0) = - \gamma t+1(frfr, 0) =
= - \gamma t+1\alpha t(r, r)f0. Тодi \alpha t+1(p, p) = - \gamma t+1\alpha t(r, r).
Якщо r = 0, то fpfq = f2tf2t+s = (0, f0)(0, fs) = (\gamma t+1fsf0, 0) = - \gamma t+1\alpha t(0, s)(fs, 0) =
= - \gamma t+1\alpha t(0, s)fs. Тому \alpha t+1(p, q) = - \gamma t+1\alpha t(0, s).
Якщо s = 0, то fpfq = f2t+rf2t = (0, fr)(0, f0) = (\gamma t+1f0fr, 0) = \gamma t+1\alpha t(r, 0)frs. Таким
чином, \alpha t+1(p, q) = \gamma t+1\alpha t(r, 0).
Якщо r = s = 0, \alpha t+1(p, p) = \alpha t+1(2
t, 2t), то fpfq = f2tf2t = (0, f0)(0, f0) = (\gamma t+1f0f0, 0) =
= \gamma t+1\alpha t(0, 0) = \gamma t+1.
Твердження 2.3. Для всiх t \in \BbbN визначимо вiдображення знака \theta t : \BbbZ n
2 \times \BbbZ n
2 \rightarrow \{ - 1, 1\} ,
n = 2t, таке, що для двох векторiв fp, fq з базису B добутку fpfq вiдповiдає знак \theta t(p, q). Для
вiдображення знака \theta t справедливi такi спiввiдношення:
1) якщо p, q \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} , то \theta t+1(p, q) = \theta t(p, q);
2) якщо p \in \{ 0, 1, . . . , 2t - 1\} , q \in \{ 2t, 2t + 1, . . . , 2t+1 - 1\} , q = 2t + r, то \theta t+1(p, q) =
= - \theta t(p, r) при r \not = p, p \not = 0, r \not = 0; якщо r \not = p i r = 0, то \theta t+1(p, q) = \theta t(p, 0) = +1; якщо
r = p \not = 0, то \theta t+1(p, q) = \theta t(p, p);
3) якщо p \in \{ 2t, 2t + 1, . . . , 2t+1 - 1\} , q \in \{ 0, 1, . . . , 2t+1 - 1\} , p = 2t + r i r \not = q, то
\theta t+1(p, q) = - \theta t(r, q); якщо r = q, то \theta t+1(p, q) = - \theta t(r, r);
4) якщо p \in \{ 2t, 2t+1, . . . , 2t+1 - 1\} , q \in \{ 2t, 2t+1, . . . , 2t+1 - 1\} при p = 2t+r, q = 2t+s
i r \not = s, r \not = 0, s \not = 0, то \theta t+1(p, q) = \theta t(r, s); якщо r = s \not = 0, то \theta t+1(p, p) = - \theta t(r, r); якщо
r = 0, s \not = 0, то \theta t+1(p, q) = - \theta t(0, s) = - 1; якщо s = 0, то \theta t+1(p, q) = \theta t(r, 0) = +1.
Доведення. Твердження випливає з твердження 2.2, якщо покласти \gamma 1 = \gamma 2 = . . . = \gamma t+1 =
= 1.
Теорема 2.1. Алгебра \scrE t є скрученою груповою алгеброю для групи G = \BbbZ n
2 , n = 2t, t \in \BbbN ,
над полем K.
Доведення. Твердження теореми випливає з тверджень 2.2 i 2.3.
Зауваження 2.2. 1. Нехай при позначеннях iз наведених вище тверджень (p) = itit - 1 . . . i1
i (q) = jtjt - 1 . . . j1 — двiйковi розклади iндексiв при векторах fp, fq з базису B. Коефiцiєнти
\alpha t(p, q) мають знак, який визначається з твердження 2.3, i дорiвнюють добутку елементiв
iз множини \{ 1, \gamma 1, \gamma 2, . . . , \gamma t\} . З формули множення (1.1) випливає, що елемент \gamma m, m \in
\in \{ 1, 2, . . . , t\} , з’являється в алгебрi \scrE t на m-му кроцi i є коєфiцiєнтом при добутку fpfq =
= \alpha t(p, q)fpq тодi й лише тодi, коли im = jm = 1. Справдi, якщо im = jm = 1, то множення на
m-му кроцi процесу Келi – Дiксона має вигляд (a1, a2)(b1, b2) = (a1b1 + \gamma mb2a2, a2b1 + b2a1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
СТРУКТУРА СКРУЧЕНОЇ ГРУПОВОЇ АЛГЕБРИ ДЛЯ АЛГЕБРИ, ОТРИМАНОЇ ЗА ДОПОМОГОЮ . . . 757
Тобто fpfq = f2m+rf2m+s = (0, fr)(0, fs) = (\gamma mfsfr, 0) = (\gamma mfrfs, 0) = \gamma m\alpha m - 1(r, s)frs при
r, s \leq 2t - 1, r, s \in \BbbN .
2. Маємо \theta 1(i, j) = +1 при i, j \in \{ 0, 1\} .
Алгоритм. Нехай B = \{ f0, f1, . . . , f2t - 1\} — базис алгебри \scrE t. Обчислимо fpfq, p, q \in
\in \{ 0, 1, 2, . . . , 2t - 1\} ,
Нехай (p) = itit - 1 . . . i1 i (q) = jtjt - 1 . . . j1 — двiйковi розклади iндексiв p i q, а k1, k2, . . . , kz
позначають такi iндекси, що ik1 = jk1 = 1, . . . , ikz = jkz = 1. Тому fpfq = \theta t(p, q)\gamma k1\gamma k2 . . .
. . . \gamma kzfpq, де знак \theta t(p, q) визначається твердженням 2.2.
Приклад 2.3. i) Розглянемо алгебру узагальнених октонiонiв з таблицею множення
\cdot 1 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
1 1 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
f1 f1 \gamma 1 f3 \gamma 1f2 f5 \gamma 1f4 - f7 - \gamma 1f6
f2 f2 - f3 \gamma 2 - \gamma 2f1 f6 f7 \gamma 2f4 \gamma 2f5
f3 f3 -\gamma 1f2 \gamma 2f1 - \gamma 1\beta f7 \gamma 1f6 - \gamma 2f5 - \gamma 1\gamma 2f4
f4 f4 - f5 - f6 - f7 \gamma 3 - \gamma 3f1 - \gamma 3f2 - \gamma 3f3
f5 f5 -\gamma 1f4 - f7 -\gamma 1f6 \gamma 3f1 -\gamma 1\gamma 3 \gamma 3f3 \gamma 1\gamma 3f2
f6 f6 f7 - \gamma 2f4 \gamma 2f5 \gamma 3f2 - \gamma 3f3 -\gamma 2\gamma 3 - \gamma 2\gamma 3f1
f7 f7 \gamma 1f6 - \gamma 2f5 \gamma 1\gamma 2f4 \gamma 3f3 - \gamma 1\gamma 3f2 \gamma 2\gamma 3f1 \gamma 1\gamma 2\gamma 3
1. Обчислимо f3f5. Двiйковi розклади iндексiв 3 i 5 мають вигляд (3) = 011, (5) = 101.
Tаким чином, i1 = j1 = 1 \rightarrow \gamma 1 i (3)(5) = 110 \rightarrow 6. Для знака \theta 3(3, 5) маємо \theta 3(3, 5) =
= - \theta 2(3, 1) = +\theta 1(1, 1) = +1. Отже, f3f5 = \gamma 1f6.
2. Обчислимо f6f7. Двiйковi розклади iндексiв 6 i 7 мають вигляд (6) = 110, (7) = 111.
Tаким чином, i2 = j2 = 1 \rightarrow \gamma 2, i3 = j3 = 1 \rightarrow \gamma 3 i (6)(7) = 001 \rightarrow 1. Для знака \theta 3(6, 7)
маємо \theta 3(6, 7) = \theta 2(2, 3) = - \theta 1(0, 1) = - 1. Отже, f6f7 = - \gamma 2\gamma 3f1.
3. Обчислимо f6f2. Двiйковi розклади iндексiв 6 i 2 мають вигляд (6) = 110, (2) = 010.
Tаким чином, i2 = j2 = 1 \rightarrow \gamma 2 i (6)(2) = 100 \rightarrow 4. Для знака \theta 3(6, 2) маємо \theta 3(6, 2) =
= - \theta 2(2, 2) = - \theta 1(1, 1) = - 1. Отже, f6f2 = - \gamma 2f4.
ii) Розглянемо алгебру узагальнених седенiонiв з таблицею множення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
758 Р. БОБОЕСКУ, К. ФЛАУТ
1. Обчислимо f4f12. Двiйковi розклади iндексiв 4 i 12 мають вигляд (4) = 0100, (12) =
= 1100. Tаким чином, i3 = j3 = 1 \rightarrow \gamma 3 i (4)(7) = 1000 \rightarrow 8. Для знака маємо \theta 4(4, 12) =
= \theta 3(4, 4) = \theta 2(0, 0) = +1. Отже, f4f12 = \gamma 3f8.
2. Обчислимо f10f3. Двiйковi розклади iндексiв 10 i 3 мають вигляд (10) = 1010, (3) =
= 0011. Tаким чином, i2 = j2 = 1 \rightarrow \gamma 2 i (10)(3) = 1001 \rightarrow 9. Для знака маємо \theta 4(10, 3) =
= - \theta 3(2, 3) = - \theta 2(2, 3) = +\theta 1(0, 1) = +1. Отже, f10f3 = \gamma 2f9.
3. Обчислимо f9f14. Двiйковi розклади iндексiв 9 i 14 мають вигляд (9) = 1001, (14) =
= 1110. Tаким чином, i4 = j4 = 1 \rightarrow \gamma 4 i (9)(14) = 0111 \rightarrow 7. Для знака маємо \theta 4(9, 14) =
= \theta 3(1, 6) = - \theta 2(1, 2) = - \theta 1(1, 1) = - 1. Отже, f9f14 = - \gamma 4f7.
3. Деякi зауваження щодо алгебр неасоцiативних кватернiонiв. Нехай далi K — довiль-
не поле з \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}K \not = 2. Алгебра неасоцiативних кватернiонiв є 4-вимiрною K -алгеброю A з
одиницею, ядро якої дорiвнює сепарабельному квадратично розширеному полю E з K. Такi
алгебри є алгебрами з дiленням, не є квадратичними та степенево асоцiативними. Також вони
не є степенево асоцiативними третього порядку (див. [3, 7]).
Нехай K \subset E — сепарабельне квадратичне розширення поля з iнволюцiєю \sigma : E \rightarrow E,
\sigma (x) = x, тобто автоморфiзм з фiксованим K. Розглянемо \gamma \in E - K. На векторному просторi
\bfH = E \oplus E визначимо таке множення:
(a1, a2)(b1, b2) =
\bigl(
a1b1 + \gamma (b2a2), a2b1 + b2a1
\bigr)
. (L)
Тому \bfH = E\oplus E стає алгеброю неасоцiативних кватернiонiв над K з (1, 0) в якостi одиничного
елемента (див. [3]). Ядром цiєї алгебри є E.
Зауваження 3.1. Покладемо \alpha \in K. Нехай E = K(
\surd
\alpha ) i \gamma \in E - K. Тодi n(x) =
= x\sigma (x) = xx, x \in E. Якщо x \in \bfH таке, що xx2 \not = x2x, то \bfH не є (третього порядку)
степенево асоцiативною i, вiдповiдно, \bfH є неасоцiативною i не гнучкою алгеброю.
Зауваження 3.2. Замiсть E розглянемо довiльну унiтарну алгебру A над полем K з iнво-
люцiєю \sigma : A \rightarrow A. Нехай оборотний елемент \gamma \in A такий, що \sigma (\gamma ) \not = \gamma . Тодi на просторi з
векторною структурою \scrA = A\oplus A отримаємо алгебраїчну структуру з правилами множення
(a1, a2)(b1, b2) =
\bigl(
a1b1 + \gamma (b2a2), a2b1 + b2a1
\bigr)
, (L)
(a1, a2)(b1, b2) =
\bigl(
a1b1 + b2(\gamma a2), a2b1 + b2a1
\bigr)
, (M)
(a1, a2)(b1, b2) =
\bigl(
a1b1 + (b2a2)\gamma , a2b1 + b2a1
\bigr)
, (R)
в залежностi вiд того, де розташовано елемент \gamma у процесi подвоєння.
Таким чином, ми можемо продовжити процес подвоєння, отримуючи алгебри з розмiрнiстю,
що дорiвнює подвiйнiй розмiрностi A. Такi алгебри позначимо через \scrA L, \scrA M , \scrA R залежно
вiд вибору множення. Цi алгебри не iзоморфнi, неасоцiативнi, з дiленням i не гнучкi (див. [3]).
Твердження 3.1. При позначеннях, уведених у зауваженнi 3.1, нехай \bfH — алгебра неасо-
цiативних кватернiонiв з базисом \{ 1, f1, f2, f3\} й iнволюцiєю \sigma такою, що fix = \sigma (x)fi,
i \in \{ 2, 3\} , \gamma \in E - K при \sigma (\gamma ) \not = \gamma , та таблицею множення
\cdot 1 f1 f2 f3
1 1 f1 f2 f3
f1 f1 \alpha f3 \alpha f2
f2 f2 - f3 \gamma - \gamma f1
f3 f3 - \alpha f2 \gamma f1 - \alpha \gamma
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
СТРУКТУРА СКРУЧЕНОЇ ГРУПОВОЇ АЛГЕБРИ ДЛЯ АЛГЕБРИ, ОТРИМАНОЇ ЗА ДОПОМОГОЮ . . . 759
Тодi справедливi такi спiввiдношення:
i) f2
i fi \not = fif
2
i для всiх i \in \{ 2, 3\} ;
ii) елементи базису задовольняють правила гнучкостi
fi(fkfi) = (fifk)fi для всiх i, k \in \{ 1, 2, 3\} , i \not = k. (F)
Доведення. i) Маємо f2
2 f2 = \gamma f2 i f2f
2
2 = f2\gamma = \sigma (\gamma )f2. У такий же спосiб отримуємо
f2
3 f3 = - \alpha \gamma f3 i f3f2
3 = - f3\alpha \gamma = - \alpha \sigma (\gamma )f3.
ii) Оскiльки \gamma належить ядру \bfH , то
f1(f2f1) = f1( - f3) = - \alpha f2 i (f1f2)f1 = f3f1 = - \alpha f2,
f2(f1f2) = f2f3 = - \gamma f1 i (f2f1)f2 = - f3f2 = - \gamma f1,
f1(f3f1) = f1( - \alpha f2) = - \alpha f3 i (f1f3)f1 = \alpha f2f1 = - \alpha f3,
f3(f1f3) = f3(\alpha f2) = \alpha f3f2 = \alpha \gamma f1 i (f3f1)f3 = - \alpha f2f3 = \alpha \gamma f1,
f2(f3f2) = f2(\gamma f1) = \gamma f2f1 = - \gamma f1f2 i (f2f3)f2 = ( - \gamma f1)f2,
f3(f2f3) = - \gamma f3f1 i (f3f2)f3 = (\gamma f1)f3 = \gamma f1f3 = - \gamma f3f1.
Приклад 3.1. Для \BbbQ \subset \BbbQ (
\surd
2) розглянемо на A = \BbbQ
\bigl( \surd
2
\bigr)
\oplus \BbbQ (
\surd
2) таблицю множення,
задану у твердженнi 3.1. Тодi i2 = 2, j2 =
\surd
2, k2 = - 2
\surd
2, тобто A над \BbbQ є алгеброю
неасоцiативних кватернiонiв з дiленням i базисом \{ 1, i, j, k\} . Таким чином, отримуємо таку
таблицю множення:
\cdot 1 i j k
1 1 i j k
i i 2 k 2j
j j - k
\surd
2 - i
\surd
2
k k - 2j i
\surd
2 - 2
\surd
2
Тут
k = ij = (i, 0)(0, 1) = (0, i),
ik = (i, 0)(0, i) = (0, i2) = (0, 2) = 2j,
jk = (0, 1)(0, i) = ( - i
\surd
2, 0) = - i
\surd
2,
k2 = (0, i)(0, i) = (
\surd
2i2, 0) = - 2
\surd
2.
Зауважимо, що jj2 \not = j2j. Справдi, оскiльки jx = \sigma (x)j при всiх x \in \BbbQ (
\surd
2), то jj2 =
= j
\surd
2 = -
\surd
2j i j2j =
\surd
2j, тобто вони не рiвнi. Обчислимо i
\bigl( \surd
2i
\bigr)
= - i(i
\surd
2) = i(jk) i
(i
\surd
2)i = - (jk) i = i(jk). Отже, ми визначили алгебру A =
\Biggl(
2,
\surd
2
\BbbQ
\Biggr)
. Таким чином, A =
=
\Biggl(
2,
\surd
2
\BbbQ
\Biggr)
є алгеброю неасоцiативних кватернiонiв з дiленням.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
760 Р. БОБОЕСКУ, К. ФЛАУТ
Висновки. В цiй роботi ми довели, що алгебра, отримана за допомогою процесу Келi –
Дiксона, є скрученою груповою алгеброю для групи G = \BbbZ n
2 , n = 2t, t \in \BbbN , над полем K з
\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}K \not = 2. Крiм того, запропоновано алгоритм, що дозволяє легше знайти добуток двох еле-
ментiв базису. Таким чином, обчислення стають легшими при збiльшеннi розмiрностi алгебри
\scrE t. В останньому пунктi запропоновано деякi властивостi i застосування алгебри неасоцiатив-
них кватернiонiв. Оскiльки алгебра неасоцiативних кватернiонiв застосовується недостатньо,
ми вважаємо, що їх вивчення може надати можливiсть отримати новi хорошi результати.
Лiтература
1. J. W. Bales, A tree for computing the Cayley – Dickson twist, Missouri J. Math. Sci., 21, № 2, 83 – 93 (2009).
2. C. Flaut, V. Shpakivskyi, Holomorphic functions in generalized Cayley – Dickson algebras, Adv. Appl. Clifford
Algebras, 25, № 1, 95 – 112 (2015).
3. S. Pumplün, How to obtain division algebras from a generalized Cayley – Dickson doubling process, J. Algebra, 402,
406 – 434 (2014).
4. W. F. Reynolds, Twisted group algebras over arbitrary fields, Illinois J. Math., 3, 91 – 103 (1971).
5. R. D. Schafer, An introduction to nonassociative algebras, Acad. Press, New York (1966).
6. R. D. Schafer, On the algebras formed by the Cayley – Dickson process, Amer. J. Math., 76, 435 – 446 (1954).
7. W. C. Waterhouse, Nonassociative quaternion algebras, Algebras, Groups and Geometries, 4, 365 – 378 (1987).
Одержано 09.10.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6949 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:48Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/ccff9bf670172a861a7c3390223133d7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69492022-07-15T07:54:30Z A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process Структура скрученої групової алгебри для алгебри, отриманої за допомогою процесу Келі – Діксона Boboescu, R. Flaut, C. Бобоеску, Р. Флаут, К. Cayley-Dickson algebras; twisted group algebras; nonassociative quaternion algebras Cayley-Dickson algebras; twisted group algebras; nonassociative quaternion algebras; UDC 512.55 Starting from some ideas given in [J. W. Bales, A tree for computing the Cayley–Dickson twist, Missouri J. Math. Sci., 21, No. 2, 83–93 (2009)], in this paper we present an algorithm for computing the elements of the basis in an algebra obtained by the Cayley–Dickson process.  As a consequence of this result, we prove that an algebra obtained by the Cayley–Dickson process is a twisted group algebra for the group $G=\mathbb{Z}_{2}^{n},n=2^{t}$, $t\in \mathbb{N}$, over a field $K$ with ${\rm char} K\neq 2$.  We give some properties and applications of the quaternion nonassociative algebras.  УДК 512.55Дотримуючись iдей Бейлiса [J. W. Bales,  A tree for computing the Cayley-Dickson twist, Missouri J. Math. Sci., 21, No. 2, 83-93 (2009)], у цiй статтi запропоновано алгоритм обчислення елементiв базису алгебри, отриманої за допомогою процесу Келi – Дiксона. Як наслiдок доведено, що алгебра, отримана за допомогою процесу Келi – Дiксона, є скрученою груповою алгеброю для групи $G = \mathbb{Z}_{2}^{n}, n = 2^{t}$, $t \in \mathbb{N}$ над полем $K$ з  $K \neq 2$. Наведено властивостi i деякi застосування неасоцiативних алгебр кватернiонiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-07-07 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6949 10.37863/umzh.v74i6.6949 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 6 (2022); 752 - 760 Український математичний журнал; Том 74 № 6 (2022); 752 - 760 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6949/9248 Copyright (c) 2022 CRISTINA FLAUT |
| spellingShingle | Boboescu, R. Flaut, C. Бобоеску, Р. Флаут, К. A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process |
| title | A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process |
| title_alt | Структура скрученої групової алгебри для алгебри, отриманої за допомогою процесу Келі – Діксона |
| title_full | A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process |
| title_fullStr | A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process |
| title_full_unstemmed | A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process |
| title_short | A twisted group algebra structure for an algebra obtained by the Cayley – Dickson process |
| title_sort | twisted group algebra structure for an algebra obtained by the cayley – dickson process |
| topic_facet | Cayley-Dickson algebras twisted group algebras nonassociative quaternion algebras Cayley-Dickson algebras twisted group algebras nonassociative quaternion algebras; |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6949 |
| work_keys_str_mv | AT boboescur atwistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess AT flautc atwistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess AT boboeskur atwistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess AT flautk atwistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess AT boboescur strukturaskručenoígrupovoíalgebridlâalgebriotrimanoízadopomogoûprocesukelídíksona AT flautc strukturaskručenoígrupovoíalgebridlâalgebriotrimanoízadopomogoûprocesukelídíksona AT boboeskur strukturaskručenoígrupovoíalgebridlâalgebriotrimanoízadopomogoûprocesukelídíksona AT flautk strukturaskručenoígrupovoíalgebridlâalgebriotrimanoízadopomogoûprocesukelídíksona AT boboescur twistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess AT flautc twistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess AT boboeskur twistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess AT flautk twistedgroupalgebrastructureforanalgebraobtainedbythecayleydicksonprocess |