Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series
UDC 517.983 We obtain the general form of continuous linear mappings acting in the module of formal generalized functions over a commutative ring and commuting with the differentiation or shift operator. We also prove that a continuous linear mapping acting in the ring of formal power series over th...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6955 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512566656106496 |
|---|---|
| author | Hefter, S. L. Piven’ , O. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. |
| author_facet | Hefter, S. L. Piven’ , O. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. |
| author_sort | Hefter, S. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-15T07:54:30Z |
| description | UDC 517.983
We obtain the general form of continuous linear mappings acting in the module of formal generalized functions over a commutative ring and commuting with the differentiation or shift operator. We also prove that a continuous linear mapping acting in the ring of formal power series over the valuation ring of a complete non-Archimedian field and commuting with the differentiation is a differential operator of infinite order. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i6.6955 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i6.6955
УДК 517.983
С. Л. Гефтер*, О. Л. Пiвень (Харькiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна)
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ
В МОДУЛI ФОРМАЛЬНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ
ТА У КIЛЬЦI ФОРМАЛЬНИХ СТЕПЕНЕВИХ РЯДIВ
We obtain the general form of continuous linear mappings acting in the module of formal generalized functions over a
commutative ring and commuting with the differentiation or shift operator. We also prove that a continuous linear mapping
acting in the ring of formal power series over the valuation ring of a complete non-Archimedian field and commuting with
the differentiation is a differential operator of infinite order.
Одержано загальний вигляд неперервних лiнiйних вiдображень, що дiють у модулi формальних узагальнених функ-
цiй над комутативним кiльцем та комутують з оператором диференцiювання або зсуву. Доведено, що неперервне
лiнiйне вiдображення, яке дiє у кiльцi формальних степеневих рядiв над кiльцем нормування повного неархiме-
дового поля та комутує з оператором диференцiювання, є диференцiальним оператором нескiнченного порядку.
1. Вступ. Нехай K — довiльне комутативне кiльце з одиницею, K[x] i K
\bigl[
[x]
\bigr]
— кiльце полiно-
мiв та кiльце формальних степеневих рядiв iз коефiцiєнтами з K i K[x]\prime — модуль формальних
узагальнених функцiй (див. означення 1). У данiй статтi вивчаються диференцiальнi оператори
нескiнченного порядку вигляду
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
у модулi K[x]\prime i кiльцi K
\bigl[
[x]
\bigr]
(див. пункти 3,
4). Диференцiальнi оператори нескiнченного порядку вивчались з рiзних точок зору у багатьох
роботах. Наприклад, у книзi [1] (гл. 6, §1, п. 1) показано, що будь-який лiнiйний оператор у кiль-
цi полiномiв, що комутує iз зсувами, є диференцiальним оператором нескiнченного порядку.
Iсторичнi вiдомостi про диференцiальнi оператори нескiнченного порядку в рiзних просторах
цiлих та голоморфних функцiй можна знайти у [2, 3].
У пунктi 2 наведено основнi вiдомостi про формальнi узагальненi функцiї над комутативним
кiльцем (див. також [4]). У теоремах 3 i 4 з пункту 3 отримано деякий алгебраїчний аналог
класичних характеризацiй трансляцiйно-iнварiантних лiнiйних операторiв (див., наприклад, [1,
5 – 7]).
У пунктi 4 розглядається питання про диференцiальнi оператори нескiнченного порядку у
кiльцi R
\bigl[
[x]
\bigr]
формальних степеневих рядiв, де R — кiльце нормування повного неархiмедового
поля. Важливим прикладом є випадок, коли R = \BbbZ p — кiльце цiлих p-адичних чисел (див. [8],
гл. 1, §3). Як, зокрема, випливає з леми 4, диференцiальний оператор \scrF =
\sum \infty
n=0
bn
dn
dxn
нескiнченного порядку з цiлими коефiцiєнтами bn є коректно визначеним, як оператор з кiльця
\BbbZ
\bigl[
[x]
\bigr]
у кiльце \BbbZ p
\bigl[
[x]
\bigr]
(див. також [9], теорема 3.1). Проте цей оператор не завжди можна
застосувати до формальних степеневих рядiв з \BbbQ
\bigl[
[x]
\bigr]
. Наприклад, диференцiальний оператор
\scrF =
\sum \infty
n=0
dn
dxn
не визначено на формальному степеневому ряду ex =
\sum \infty
n=0
xn
n!
\in \BbbQ
\bigl[
[x]
\bigr]
.
Основним результатом пункту 4 є теорема 7 про загальний вигляд неперервного лiнiйного
* Пiдтримано Нацiональним фондом дослiджень України (проєкт 2020.02/0096).
c\bigcirc С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ, 2022
784 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 785
вiдображення у кiльцi R
\bigl[
[x]
\bigr]
, що комутує з оператором диференцiювання. Доведено, що цей
оператор є диференцiальним оператором нескiнченного порядку вигляду
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
.
2. Попереднi вiдомостi.
Означення 1. Формальною узагальненою функцiєю над кiльцем K будемо називати K -
лiнiйний функцiонал, визначений на кiльцi K[x], тобто гомоморфiзм з модуля K[x] у кiльце K.
Модуль формальних узагальнених функцiй над K будемо позначати через K[x]\prime . Таким
чином, T \in K[x]\prime тодi й лише тодi, коли T : K[x] \rightarrow K та T має властивiсть K -лiнiйностi:
T (ap+bq) = aT (p)+bT (q) для всiх p, q \in K[x] та a, b \in K. Якщо T \in K[x]\prime i p \in K[x], то для
значення T на p будемо використовувати позначення (T, p). Формальну узагальнену функцiю
T \in K[x]\prime будемо також записувати у виглядi T (x), розумiючи пiд x аргумент полiномiв
p(x) \in K[x], на якi дiє K -лiнiйне вiдображення T. У цьому випадку результат застосування
T до p будемо записувати у виглядi (T (x), p(x)). Якщо a \in K i T \in K[x]\prime , то множення
aT \in K[x]\prime визначається формулою
(aT, p) = a(T, p), p \in K[x].
Нехай p(x) =
\sum m
n=0
anx
n \in K[x]. Для будь-якого x \in K розглянемо полiном p(x + h) \in
\in K[h]:
p(x+ h) =
m\sum
n=0
pn(x)h
n,
де pn(x) \in K. Оскiльки у випадку поля нульової характеристики pn(x) =
p(n)(x)
n!
, будемо
вважати, що за означенням
p(n)(x)
n!
= pn(x), n = 0, . . . ,m, i для будь-якого комутативного
кiльця K. При n > m вважаємо, що
p(n)(x)
n!
= 0.
Означення 2. Похiдна T \prime формальної узагальненої функцiї T \in K[x]\prime визначається, як i в
класичному випадку, формулою
(T \prime , p) = - (T, p\prime ), p \in K[x].
Звiдси можна одержати такий вираз для похiдної n-го порядку:
(T (n), p) = ( - 1)n
\Bigl(
T, p(n)
\Bigr)
, p \in K[x].
Тому
(T (n), p) = 0, T \in K[x]\prime , p \in K[x], n > \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p.
За допомогою рiвностi\biggl(
1
n!
dn
dxn
T, p
\biggr)
=
\Biggl(
T (n)
n!
, p
\Biggr)
= ( - 1)n
\Biggl(
T,
p(n)
n!
\Biggr)
, p \in K[x],
для будь-яких T \in K[x]\prime i n \in \BbbN коректно визначено формальнi узагальненi функцiї
T (n)
n!
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
786 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
Приклад 1. Формальна узагальнена \delta -функцiя визначається формулою
(\delta , p) = p(0), p \in K[x].
Знайдемо похiдну n-го порядку формальної узагальненої \delta -функцiї:
(\delta (n), p) = ( - 1)n(\delta , p(n)) = ( - 1)np(n)(0), n \in \BbbN .
Приклад 2. Нехай K = \BbbR i f : \BbbR \rightarrow \BbbR — така iнтегровна за Лебегом функцiя, що
\infty \int
- \infty
| xkf(x)| dx < +\infty , k = 0, 1, 2, . . . .
Тодi f породжує регулярну формальну узагальнену функцiю [10]
(f, p) =
\infty \int
- \infty
p(x)f(x)dx, p \in \BbbR [x].
Зауважимо, що в цьому випадку, на вiдмiну вiд класичної теорiї, всi формальнi узагальненi
функцiї є регулярними [4].
Наступна лема встановлює зв’язок мiж комутативнiстю K -лiнiйного вiдображення G :
K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime з оператором диференцiювання
d
dx
i комутативнiстю цього вiдображення з
операторами
1
n!
dn
dxn
, n \in \BbbN .
Лема 1. Нехай кiльце K є \BbbZ -модулем без скруту [11] (гл. VII, § 2) i G : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime —
K -лiнiйне вiдображення, що комутує з оператором диференцiювання
d
dx
. Тодi при кожному
n \in \BbbN вiдображення G комутує з оператором
1
n!
dn
dxn
.
Доведення. Оскiльки вiдображення G комутує з оператором диференцiювання
d
dx
, то
G(T (n)) = (G(T ))(n) для будь-якої формальної узагальненої функцiї T \in K[x]\prime . З iншого
боку, T (n) = n!
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
. Тому
G(T (n)) = n!G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
, (G(T ))(n) = n!
\Biggl(
(G(T ))(n)
n!
\Biggr)
.
Отже, для будь-якої формальної узагальненої функцiї T \in K[x]\prime i полiнома p \in K[x] маємо
n!
\Biggl(
G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
-
\Biggl(
(G(T ))(n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
= 0.
Оскiльки кiльце K є \BbbZ -модулем без скруту, то\Biggl(
G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
-
\Biggl(
(G(T ))(n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 787
тобто G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
=
(G(T ))(n)
n!
.
Лему доведено.
Наступний приклад показує, що без додаткової умови на кiльце K твердження леми стає
хибним навiть у випадку, коли K — поле.
Приклад 3. Нехай K = \BbbZ /2\BbbZ . Кiльце K є полем характеристики 2, тобто 2x = 0, x \in K.
Тому це поле не є \BbbZ -модулем без скруту. Розглянемо K -лiнiйне вiдображення G : K[x]\prime \rightarrow
\rightarrow K[x]\prime , що дiє за правилом
(G(T ), 1) = (T, x2), (G(T ), x) = (T, x3), (G(T ), xk) = 0, k = 2, 3, . . . ,
для будь-якої формальної узагальненої функцiї T \in K[x]\prime . Безпосередньо перевiряється, що
вiдображення G комутує з оператором диференцiювання. Проте\biggl(
(G(T ))\prime \prime
2
, 1
\biggr)
= 0,
\biggl(
G
\biggl(
T \prime \prime
2
\biggr)
, 1
\biggr)
=
\biggl(
T \prime \prime
2
, x2
\biggr)
= (T, 1) для всiх T \in K[x]\prime .
Звiдси випливає, що вiдображення G не комутує з оператором
1
2
d2
dx2
.
Розглянемо тепер питання про збiжнiсть у модулi K[x]\prime . Будемо розглядати на кiльцi K
дискретну топологiю, а на модулi формальних узагальнених функцiй K[x]\prime — топологiю по-
точкової збiжностi. Збiжнiсть послiдовностi \{ Tn\} \infty n=0 до T в K[x]\prime означає, що для кожного
полiнома p \in K[x] iснує такий номер n0 \in \BbbN , що
(Tn, p) = (T, p), n = n0, n0 + 1, n0 + 2, . . . .
Ряд
\sum \infty
n=0
Tn збiгається в K[x]\prime , якщо збiгається в K[x]\prime послiдовнiсть його частинних
сум
\sum N
n=0
Tn.
З означення збiжностi в модулi K[x]\prime одержуємо таке твердження [12].
Теорема 1. Нехай \{ an\} \infty n=0 — послiдовнiсть елементiв з K i T \in K[x]\prime . Тодi ряд\sum \infty
n=0
an
T (n)
n!
збiгається в K[x]\prime i\Biggl( \infty \sum
n=0
an
T (n)
n!
\Biggr) \prime
=
\infty \sum
n=0
an
T (n+1)
n!
.
Наступне твердження показує можливiсть розвинення довiльної формальної узагальненої
функцiї в ряд за системою
\Biggl\{
\delta (n)
n!
\Biggr\} \infty
n=0
.
Лема 2. Нехай T \in K[x]\prime . Тодi
T =
\infty \sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
\delta (n)
n!
. (1)
Доведення. За теоремою 1 ряд у правiй частинi рiвностi (1) збiгається в K[x]\prime i\Biggl( \infty \sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
\delta (n)
n!
, xk
\Biggr)
= ( - 1)k(T, xk)
\Biggl(
\delta (k)
k!
, xk
\Biggr)
= (T, xk), k = 0, 1, 2, . . . .
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
788 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
Зауваження 1. Рiвнiсть (1) пов’язана з властивостями операторiв у кiльцi K[x], що ко-
мутують зi зсувами [1] (гл. 6, §1, п. 1), оскiльки будь-яка формальна узагальнена функцiя T
породжує трансляцiйно-iнварiантний оператор в K[x] (див. зауваження 3).
Наступна теорема встановлює загальний вигляд K -лiнiйного неперервного вiдображення з
K[x]\prime в себе.
Теорема 2. Нехай G : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime — неперервне K -лiнiйне вiдображення. Тодi для будь-
якого полiнома p \in K[x] iснує єдиний полiном q \in K[x] такий, що\bigl(
G(T ), p
\bigr)
= (T, q) \forall T \in K[x]\prime . (2)
Вiдображення G\ast : K[x] \rightarrow K[x], яке дiє за правилом G\ast p = q, є K -лiнiйним.
Доведення. За теоремою 1 ряд
\sum \infty
n=0
\delta (n)
n!
збiгається в K[x]\prime . Оскiльки G — неперервне
вiдображення, то ряд
\sum \infty
n=0
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
також є збiжним, i для будь-якого полiнома p \in K[x]
ряд
\sum \infty
n=0
\Biggl(
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
є збiжним у дискретнiй топологiї кiльця K. Тому iснує таке число
n0 = n0(p) \in \BbbN , що \Biggl(
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
= 0, n > n0. (3)
За лемою 2 будь-яка формальна узагальнена функцiя T \in K[x]\prime допускає зображення (1).
Звiдси, враховуючи рiвнiсть (3), одержуємо
\bigl(
G(T ), p
\bigr)
=
n0\sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
\Biggl(
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
. (4)
Тепер покладемо
q(x) =
n0\sum
n=0
( - 1)n
\Biggl(
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
xn \in K[x].
Використовуючи рiвнiсть (4), отримуємо
(T, q) =
n0\sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
\Biggl(
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
=
\bigl(
G(T ), p
\bigr)
.
Звiдси випливає рiвнiсть (2). Полiном, що задовольняє рiвнiсть (2), визначається єдиним чином,
а вiдображення G\ast : K[x] \rightarrow K[x], що дiє за правилом
G\ast p(x) = q(x) =
n0\sum
n=0
( - 1)n
\Biggl(
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
xn
є K -лiнiйним.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 789
З теореми 2 випливає, що
\bigl(
G(T ), p
\bigr)
= (T,G\ast p) для всiх T \in K[x]\prime i p \in K[x].
Розглянемо тепер диференцiальний оператор нескiнченного порядку
\scrF =
\infty \sum
n=0
an
1
n!
dn
dxn
, (5)
де an \in K. Цей оператор дiє на формальну узагальнену функцiю T \in K[x]\prime за правилом: якщо
p \in K[x] i m = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p, то
(\scrF (T ), p) =
\Biggl( \infty \sum
n=0
an
T (n)
n!
, p
\Biggr)
=
m\sum
n=0
( - 1)nan
\Biggl(
T,
p(n)
n!
\Biggr)
=
m\sum
n=0
an
\Biggl(
T (n)
n!
, p
\Biggr)
.
Таким чином, оператор \scrF : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime коректно визначено, тобто вiн є застосовним до
модуля K[x]\prime . Для будь-якого полiнома p степеня не вищого за m є справедливою рiвнiсть
(\scrF (T ), p) =
\Biggl(
m\sum
n=0
an
T (n)
n!
, p
\Biggr)
. (6)
Неважко бачити, що будь-якi два диференцiальних оператори \scrF , \scrG нескiнченного порядку
комутують, тобто \scrF \scrG = \scrG \scrF . Наступна лема встановлює властивiсть неперервностi диферен-
цiального оператора \scrF .
Лема 3. Диференцiальний оператор \scrF : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime є неперервним K -лiнiйним вiдобра-
женням.
Доведення. Нехай послiдовнiсть формальних узагальнених функцiй \{ Tk\} \infty k=0 збiгається до
T в K[x]\prime . Тодi iснує таке k0 = k0(p) \in \BbbN , що виконується рiвнiсть (Tk, p) = (T, p) при
всiх k \geq k0(p). Нехай m = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p и s(p) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
k0(p), k0(p
\prime ), . . . , k0(p
(m))
\bigr\}
. Тодi на пiдставi
рiвностi (6) одержуємо
(\scrF (Tk), p) =
\Biggl(
m\sum
n=0
an
T
(n)
k
n!
, p
\Biggr)
=
m\sum
n=0
( - 1)nan
\Biggl(
Tk,
p(n)
n!
\Biggr)
=
m\sum
n=0
( - 1)nan
\Biggl(
T,
p(n)
n!
\Biggr)
=
=
\Biggl(
m\sum
n=0
an
T (n)
n!
, p
\Biggr)
= (\scrF (T ), p), k \geq s(p),
тобто послiдовнiсть
\bigl\{
\scrF (Tk)
\bigr\} \infty
k=0
збiгається до \scrF (T ).
Лему доведено.
Введемо тепер поняття зсуву для формальної узагальненої функцiї [4, 10]. Для будь-яких
h \in K i p \in K[x] визначимо полiном p(x+ h) \in K[x] за допомоги формули Тейлора:
p(x+ h) =
m\sum
n=0
p(n)(x)
n!
hn, (7)
де m = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p. Тепер для T (x) \in K[x]\prime визначимо формальну узагальнену функцiю T (x + h)
формулою \bigl(
T (x+ h), p
\bigr)
=
\bigl(
T, p(x - h)
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
790 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
Це означення узгоджується з означенням зсуву в класичнiй теорiї узагальнених функцiй. Оче-
видно, що операцiї зсуву та диференцiювання комутують:\bigl(
T (x+ h)
\bigr) \prime
= T \prime (x+ h).
Оскiльки на пiдставi формули (7)
p(x - h) =
m\sum
n=0
( - h)n
p(n)(x)
n!
,
то
(T (x+ h), p) =
\Biggl(
T,
m\sum
n=0
( - h)n
p(n)(x)
n!
\Biggr)
=
m\sum
n=0
( - h)n
\Biggl(
T,
p(n)(x)
n!
\Biggr)
=
=
m\sum
n=0
hn
\Biggl(
T (n)
n!
, p
\Biggr)
=
\infty \sum
n=0
hn
\Biggl(
T (n)
n!
, p
\Biggr)
,
тобто зсув породжує диференцiальний оператор нескiнченного порядку:
\tau h =
\infty \sum
n=0
hn
1
n!
dn
dxn
. (8)
За лемою 3 оператор \tau h : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime є неперервним. Цей оператор будемо називати опера-
тором зсуву на h.
Зауваження 2. Диференцiальний оператор
\infty \sum
n=0
bn
dn
dxn
, bn \in K, (9)
є диференцiальним оператором нескiнченного порядку вигляду (5): якщо an = n!bn, то an \in K
i
\infty \sum
n=0
bn
dn
dxn
=
\infty \sum
n=0
an
n!
dn
dxn
.
Проте не завжди диференцiальний оператор нескiнченного порядку (5) можна зобразити у
виглядi (9). Справдi, нехай K = \BbbZ i \scrF = \tau 1 — оператор зсуву на 1. Припустимо, що iснують
коефiцiєнти bn \in \BbbZ , n = 0, 1, 2, . . . , такi, що для будь-якої формальної узагальненої функцiї
T \in \BbbZ [x]\prime є справедливим зображення
\infty \sum
n=0
T (n)
n!
=
\infty \sum
n=0
bnT
(n). (10)
Тодi у полi \BbbQ справджуються рiвностi bn =
1
n!
, n = 0, 1, 2, . . . . Зокрема, b2 =
1
2
/\in \BbbZ . Таким
чином, зображення (10) не є можливим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 791
Означення 3. Якщо p \in K[x] i T \in K[x]\prime — формальна узагальнена функцiя, то природним
чином визначається їх згортка T \ast p:
(T \ast p)(x) =
\bigl(
T (y), p(x - y)
\bigr)
=
m\sum
k=0
( - 1)k(T, yk)
p(k)(x)
k!
, (11)
де m = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p. Таким чином, T \ast p є полiномом з коефiцiєнтами з K, тобто T \ast p \in K[x].
Приклад 4. За формулою (11) маємо \delta \ast p = p.
Зауваження 3. Згiдно з означенням 3 кожна формальна узагальнена функцiя T породжує
лiнiйний оператор у кiльцi K[x], а саме, оператор згортки з T. Цей оператор згортки комутує iз
зсувами i є диференцiальним оператором нескiнченного порядку (див. [1], гл. 6, §1, п. 1). Якщо
тепер в рiвнiсть (11) пiдставити замiсть полiнома p(x) полiном p( - x), то при x = 0 отримаємо
рiвнiсть (1).
Означення 4. Нехай T1, T2 \in K[x]\prime , тобто T1, T2 — формальнi узагальненi функцiї. Ви-
значимо їх згортку [13] (гл. 1, § 7). Якщо p \in K[x] i p(x) =
\sum m
n=0
p(n)(0)
n!
xn, то
(T1 \ast T2, p) =
\bigl(
T1 \otimes T2, p(x+ y)
\bigr)
=
m\sum
n=0
\Biggl(
T1(x),
p(n)(x)
n!
\Biggr)
(T2(y), y
n)
(див. також [4, 10]).
Зауважимо, що T1 \ast T2 \in K[x]\prime , до того ж T1 \ast T2 = T2 \ast T1.
Приклад 5. Обчислимо згортку \delta \ast T для T \in K[x]\prime . Нехай p \in K[x] i \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p = m. Тодi
(\delta \ast T, p) =
m\sum
n=0
\Biggl(
\delta ,
p(n)(x)
n!
\Biggr)
(T, yn) =
m\sum
n=0
p(n)(0)
n!
(T, yn) = (T, p).
Таким чином, \delta \ast T = T.
Зауваження 4. Якщо T1 \ast T2 = 0 для всiх T2 \in K[x]\prime , то T1 = 0. Справдi, достатньо
покласти T2 = \delta , i тодi T1 = T1 \ast \delta = 0.
3. Диференцiальнi оператори нескiнченного порядку у модулi формальних узагальне-
них функцiй. Наступна теорема дає загальний опис неперервного K -лiнiйного вiдображення
G : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime , що комутує з оператором диференцiювання або зсуву.
Теорема 3. Нехай K — нескiнченна область цiлiсностi, що є \BbbZ -модулем без скруту, та G :
K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime — неперервне K -лiнiйне вiдображення. Тодi такi умови є еквiвалентними:
1) вiдображення G комутує з будь-яким оператором зсуву \tau h, h \in K;
2) вiдображення G комутує з оператором диференцiювання
d
dx
;
3) iснує єдина формальна узагальнена функцiя S така, що G(T ) = S \ast T для будь-якого
T \in K[x]\prime , до того ж S = G(\delta );
4) вiдображення G являє собою диференцiальний оператор нескiнченного порядку вигляду\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
, де an \in K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
792 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
Доведення. 1) \Rightarrow 2). Нехай p \in K[x] — довiльний полiном, m = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} p i s = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} G\ast p.
Нагадаємо, що \tau h : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime — диференцiальний оператор нескiнченного порядку, що має
вигляд (8). З неперервностi вiдображень \tau h i G отримуємо
(G(\tau h(T )), p) =
\infty \sum
n=0
hn
\Biggl(
G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
=
\infty \sum
n=0
hn
\Biggl(
T (n)
n!
, G\ast p
\Biggr)
=
=
s\sum
n=0
hn
\Biggl(
T (n)
n!
, G\ast p
\Biggr)
=
s\sum
n=0
hn
\Biggl(
G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
i
(\tau h(G(T )), p) =
m\sum
n=0
hn
\Biggl(
(G(T ))(n)
n!
, p
\Biggr)
.
Звiдси з урахуванням комутативностi вiдображень G i \tau h одержуємо рiвнiсть
s\sum
n=0
\Biggl(
G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
hn =
m\sum
n=0
\Biggl(
(G(T ))(n)
n!
, p
\Biggr)
hn, h \in K.
Оскiльки K — нескiнченна область цiлiсностi, то, прирiвнюючи коефiцiєнти цих полiномiв при
h, одержуємо рiвнiсть K -лiнiйних вiдображень G
d
dx
=
d
dx
G.
2) \Rightarrow 3). Нехай T \in K[x]\prime — довiльна формальна узагальнена функцiя, а p \in K[x] —
полiном степеня m. Застосуємо до обох частин рiвностi (1) вiдображення G. З урахуванням
леми 1, неперервностi вiдображення G i його комутативностi з оператором диференцiювання
маємо
\bigl(
G(T ), p
\bigr)
=
\infty \sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
\Biggl(
G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
, p
\Biggr)
=
\infty \sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
\Biggl(
(G(\delta ))(n)
n!
, p
\Biggr)
=
=
m\sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
\Biggl(
(G(\delta ))(n)
n!
, p
\Biggr)
=
m\sum
n=0
(T, xn)
\Biggl(
G(\delta ),
p(n)
n!
\Biggr)
=
\bigl(
G(\delta ) \ast T, p
\bigr)
.
Таким чином, G(T ) = G(\delta ) \ast T. Єдинiсть формальної узагальненої функцiї S випливає iз
зауваження 4.
3) \Rightarrow 4). Припустимо, що iснує формальна узагальнена функцiя S \in K[x]\prime така, що G(T ) =
= S \ast T для будь-якого T \in K[x]\prime . Тодi G(T ) = T \ast S i для будь-якого полiнома p \in K[x]
степеня m отримуємо
(T \ast S, p) =
m\sum
n=0
\Biggl(
T (x),
p(n)(x)
n!
\Biggr)
(S(y), yn) =
\infty \sum
n=0
\Biggl(
T (x),
p(n)(x)
n!
\Biggr)
(S(y), yn) =
=
\infty \sum
n=0
( - 1)n(S(y), yn)
\Biggl(
T (n)(x)
n!
, p(x)
\Biggr)
.
Звiдси одержуємо необхiдне зображення для G:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 793
G =
\infty \sum
n=0
( - 1)n(S, yn)
1
n!
dn
dxn
.
4) \Rightarrow 1). Очевидно, оскiльки диференцiальнi оператори нескiнченного порядку \tau h i G
комутують.
Теорему доведено.
Зауваження 5. Iз зауваження 2 випливає, що твердження 4 теореми 3 не можна замiнити
твердженням: вiдображення G являє собою диференцiальний оператор вигляду (9).
Зауваження 6. Вiдображення G з прикладу 3 комутує з оператором диференцiювання
d
dx
,
але не комутує з оператором
1
2
d2
dx2
. Неважко перевiрити, що воно є неперервним. Тому таке
вiдображення не може бути диференцiальним оператором нескiнченного порядку вигляду (5).
Цей приклад показує, що обмеження на кiльце K в умовi теореми 3 є суттевими: кiльце \BbbZ /2\BbbZ
не є \BbbZ -модулем без скруту.
Приклад 6. Нехай виконано умови теореми 3, f \in K[x]\prime — формальна узагальнена функцiя
i \scrF =
\sum \infty
n=0
an
dn
dxn
— диференцiальний оператор нескiнченного порядку, де an \in K. При-
пустимо, що a0 є оборотним елементом кiльця K. Розглянемо в модулi K[x]\prime диференцiальне
рiвняння
\scrF u = f. (12)
Маємо таке зображення оператора \scrF :
\scrF = a0I +
\infty \sum
n=1
an
dn
dxn
= a0
\biggl(
I - d
dx
\scrG
\biggr)
, (13)
де I — тотожне вiдображення, а \scrG = -
\sum \infty
n=1
a - 1
0 an
dn - 1
dxn - 1
. Для будь-якої формальної уза-
гальненої функцiї f \in K[x]\prime i полiнома p \in K[x] степеня m маємо
\biggl( \sum \infty
n=0
\scrG nd
nf
dxn
, p
\biggr)
=
=
\sum m
n=0
( - 1)n(\scrG nf, p(n)). Тому ряд
\sum \infty
n=0
\scrG n dn
dxn
f(x) збiгається для будь-якої формальної
узагальненої функцiї f \in K[x]\prime , оператор I - d
dx
\scrG : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime є бiєктивним, а його обер-
нений має вигляд \biggl(
I - d
dx
\scrG
\biggr) - 1
=
\infty \sum
n=0
\scrG n dn
dxn
.
З (13) випливає оборотнiсть оператора \scrF , до того ж \scrF - 1 = a - 1
0
\sum \infty
n=0
\scrG n dn
dxn
, i диферен-
цiальне рiвняння (12) має єдиний розв’язок u = \scrF - 1(f). Оскiльки оператор \scrF - 1 комутує
з оператором диференцiювання
d
dx
, то за теоремою 3 \scrF - 1 є оператором вигляду згортки:
\scrF - 1(f) = \scrF - 1(\delta ) \ast f. Таким чином, єдиний розв’язок рiвняння (12) має вигляд u = \scrE \ast f, де
формальну узагальнену функцiю \scrE = \scrF - 1(\delta ) природно назвати фундаментальним розв’язком
рiвняння (12).
Будемо розглядати на K[x] дискретну топологiю. Наступна теорема дає загальний опис
неперервного K -лiнiйного вiдображення G з модуля формальних узагальних функцiй K[x]\prime у
кiльце полiномiв K[x], що комутує з оператором диференцiювання або зсуву.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
794 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
Теорема 4. Нехай K — нескiнченна область цiлiсностi, що є \BbbZ -модулем без скруту, а G :
K[x]\prime \rightarrow K[x] — неперервне K -лiнiйне вiдображення. Тодi такi умови є еквiвалентними:
1) вiдображення G комутує з будь-яким оператором зсуву, тобто
G(\tau h(T )) = (G(T ))(x+ h), h \in K, T \in K[x]\prime ; (14)
2) вiдображення G комутує з оператором диференцiювання
d
dx
;
3) iснує єдиний полiном p \in K[x] такий, що G(T ) = T \ast p для будь-якого T \in K[x]\prime , до
того ж p = G(\delta ).
Доведення. 1) \Rightarrow 2). Нехай T \in K[x]\prime . За формулою Тейлора
(G(T ))(x+ h) =
m\sum
n=0
hn
(G(T ))(n)
n!
, (15)
де m = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} G(T ). За теоремою 1
T (n)
n!
\rightarrow 0 в топологiї K[x]\prime . Оскiльки G — неперервне
вiдображення, то G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
\rightarrow 0 в дискретнiй топологiї кiльця K[x]. Тому iснує такий номер
m0 \in \BbbN , що G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
= 0 при всiх n > m0. Нагадаємо, що \tau h : K[x]\prime \rightarrow K[x]\prime є диферен-
цiальним оператором нескiнченного порядку, що має вигляд (8). Тому, застосовуючи до цiєї
рiвностi неперервне вiдображення G, одержуємо
G(\tau h(T )) =
\infty \sum
n=0
hnG
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
=
m0\sum
n=0
hnG
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
. (16)
Тепер з рiвностей (14) – (16) отримуємо рiвнiсть
m0\sum
n=0
G
\Biggl(
T (n)
n!
\Biggr)
hn =
m\sum
n=0
(G(T ))(n)
n!
hn, h \in K. (17)
Оскiльки K — область цiлiсностi, то K[x] також є областю цiлiсностi. З рiвностi (17) випливає,
що два полiноми з K[x][h] збiгаються на нескiнченнiй множинi K \subset K[x]. Отже, вони мають
рiвнi коефiцiєнти. Зокрема, збiгаються коефiцiєнти при h, тобто G(T \prime ) = (G(T ))\prime . Це означає
рiвнiсть K -лiнiйних вiдображень G
d
dx
i
d
dx
G.
2) \Rightarrow 3). Нехай T \in K[x]\prime — довiльна формальна узагальнена функцiя. Застосуємо до обох
частин рiвностi (1) вiдображення G. З урахуванням леми 1, неперервностi вiдображення G i
його комутативностi з оператором диференцiювання маємо
G(T ) =
\infty \sum
n=0
( - 1)n(T, xn)G
\Biggl(
\delta (n)
n!
\Biggr)
=
\infty \sum
n=0
( - 1)n(T, xn)
(G(\delta ))(n)
n!
= T \ast G(\delta ).
Таким чином, G(T ) = T \ast G(\delta ). Єдинiсть полiнома p випливає з рiвностi \delta \ast q = q для всiх
q \in K[x].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 795
3) \Rightarrow 1). Оскiльки iснує полiном p \in K[x] степеня m такий, що G(T ) = T \ast p для будь-якого
T \in K[x]\prime , то при всiх h \in K отримуємо
(G(T ))(x+ h) =
m\sum
k=0
( - 1)k(T, yk)
p(k)(x+ h)
k!
=
m\sum
k=0
( - 1)k(T, yk)
m - k\sum
n=0
(n+ k)!
n!k!
p(n+k)(x)
(n+ k)!
hn =
=
m\sum
k=0
( - 1)k(T, yk)
m - k\sum
n=0
Ck
n+k
p(n+k)(x)
(n+ k)!
hn =
m\sum
k=0
( - 1)k(T, yk)
m\sum
n=k
Ck
n
p(n)(x)
n!
hn - k =
=
m\sum
n=0
n\sum
k=0
hn - kCk
n( - 1)k(T, yk)
p(n)(x)
n!
=
m\sum
n=0
n\sum
k=0
hkCk
n( - 1)n - k(T, yn - k)
p(n)(x)
n!
=
=
m\sum
n=0
n\sum
k=0
( - 1)nhk
\Biggl(
T (k)
k!
, yn
\Biggr)
p(n)(x)
n!
=
m\sum
n=0
( - 1)n(\tau h(T ), y
n)
p(n)(x)
n!
= \tau h(T ) \ast p = G(\tau h(T )).
Звiдси випливає формула (14).
Теорему доведено.
4. Диференцiальнi оператори у модулi формальних степеневих рядiв над кiльцем нор-
мування неархiмедового поля. В цьому пунктi розглядаються диференцiальнi оператори не-
скiнченного порядку у кiльцi формальних степеневих рядiв. Спочатку розглянемо випадок,
коли коефiцiєнти рядiв належать довiльному дискретному комутативному кiльцю K. В цьому
випадку на кiльцi формальних степеневих рядiв K
\bigl[
[x]
\bigr]
будемо розглядати топологiю Крул-
ля (див. [14], гл. 1, § 3, п. 4), тобто топологiю покоефiцiєнтної стабiлiзацiї. Так само, як i в
пунктi 2, можна показати, що в кiльцi K
\bigl[
[x]
\bigr]
є коректно визначений оператор
1
n!
dn
dxn
, n \in \BbbN .
Диференцiальний оператор нескiнченного порядку (5), де an \in K, можна було б визначити
таким чином: якщо g \in K
\bigl[
[x]
\bigr]
, то
(\scrF g)(x) =
\infty \sum
n=0
an
1
n!
g(n)(x), (18)
де збiжнiсть ряду у правiй частинi розумiється в топологiї Крулля. Варто зазначити, що у
випадку такого визначення диференцiальний оператор (5) є застосовним у кiльцi K
\bigl[
[x]
\bigr]
тодi й
лише тодi, коли вiн є оператором скiнченного порядку.
Теорема 5. Нехай оператор \scrF =
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
є коректно визначеним K -лiнiйним
вiдображенням з K
\bigl[
[x]
\bigr]
у K
\bigl[
[x]
\bigr]
. Тодi iснує такий номер n0 \in \BbbN , що an = 0 при всiх n \geq n0.
Доведення. Нехай g(x) =
\sum \infty
k=0
xk. Тодi
dn
dxn
g(x)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= n!, n = 0, 1, 2, . . . . Оскiльки
ряд (18) збiгається у топологiї Крулля, то ряд (\scrF g)(0) =
\sum \infty
n=0
an збiгається у дискретнiй
топологiї кiльця K. Тому an = 0, починаючи з деякого номера n = n0.
Теорему доведено.
Нехай тепер S — поле нульової характеристики з неархiмедовим нормуванням | \cdot | [15]
(п. 1.2) i R = \{ s \in S : | s| \leq 1\} — кiльце нормування поля S [16] (гл. XII, § 4). Припустимо, що
поле S є повним щодо нормування | \cdot | . В подальшому будемо розглядати на R топологiю, що
породжується нормуванням | \cdot | . Зауважимо, що R є замкненим пiдкiльцем в S. Будемо також
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
796 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
розглядати на кiльцi R
\bigl[
[x]
\bigr]
топологiю покоефiцiєнтної збiжностi [14] (гл. 1, § 0, п. 4). Якщо
g \in R
\bigl[
[x]
\bigr]
i \scrF =
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
, an \in R, то пiд результатом дiї оператора \scrF на ряд g будемо
розумiти суму ряду (18) за умови його збiжностi у топологiї покоефiцiєнтної збiжностi.
Наступна лема дає умови коректної визначеностi диференцiального оператора \scrF (18), як
оператора у кiльцi R
\bigl[
[x]
\bigr]
, а також його зображення у зручному для нас виглядi.
Лема 4. Нехай an \in R, n = 0, 1, 2, . . . , i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty an = 0 в топологiї кiльця R. То-
дi диференцiальний оператор \scrF =
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
визначено на всьому кiльцi R
\bigl[
[x]
\bigr]
i
\scrF
\bigl(
R
\bigl[
[x]
\bigr] \bigr)
\subset R
\bigl[
[x]
\bigr]
. При цьому
(\scrF u)(x) =
\infty \sum
j=0
\left( \infty \sum
k=j
ak - jukC
j
k
\right) xj , де u(x) =
\infty \sum
k=0
ukx
k \in R
\bigl[
[x]
\bigr]
. (19)
Навпаки, нехай лiнiйне вiдображення \scrF : R
\bigl[
[x]
\bigr]
\rightarrow R
\bigl[
[x]
\bigr]
допускає зображення (19) для деякої
послiдовностi \{ an\} \infty n=0 елементiв кiльця R такої , що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty an = 0 в топологiї R. Тодi
\scrF =
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
.
Доведення. Нехай u(x) =
\sum \infty
k=0
ukx
k \in R
\bigl[
[x]
\bigr]
, an \in R, n = 0, 1, 2, . . . , i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty an = 0.
Тодi для будь-якого j = 0, 1, 2, . . . ряд
\sum \infty
k=j
Cj
kak - juk збiгається в топологiї R. Тому ряд\sum \infty
j=0
\Bigl( \sum \infty
k=j
ak - jC
j
kuk
\Bigr)
xj є коректно визначеним елементом кiльця R
\bigl[
[x]
\bigr]
. Оскiльки
1
j!
dj
dxj
u(x) =
\infty \sum
k=j
Cj
kukx
k - j , j = 0, 1, 2, . . . ,
i Cj
k = Ck - j
k , то ряд
\sum \infty
j=0
1
j!
dj
dxj
u(x) збiгається у топологiї покоефiцiєнтної збiжностi i
\infty \sum
j=0
1
j!
dj
dxj
u(x) =
\infty \sum
j=0
\left( \infty \sum
k=j
ak - jC
j
kuk
\right) xj .
Тому оператор \scrF визначено на всьому R
\bigl[
[x]
\bigr]
, \scrF : R
\bigl[
[x]
\bigr]
\rightarrow R
\bigl[
[x]
\bigr]
i є правильним зображен-
ня (19). Навпаки, нехай лiнiйне вiдображення \scrF : R
\bigl[
[x]
\bigr]
\rightarrow R
\bigl[
[x]
\bigr]
допускає зображення (19)
для деякої послiдовностi \{ an\} \infty n=0 елементiв кiльця R такої, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty an = 0 в топологiї
R. Для послiдовностi \{ an\} \infty n=0 розглянемо диференцiальний оператор \scrF 1 =
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
.
Як вже було доведено, \scrF 1 є коректно визначеним диференцiальним оператором нескiнченного
порядку, i для \scrF 1 є правильним зображення (19), тобто \scrF 1 = \scrF .
Лему доведено.
Наступна теорема встановлює неперервнiсть диференцiального оператора \scrF вигляду (5).
Теорема 6. В умовах леми 4 диференцiальний оператор \scrF =
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
є неперерв-
ним вiдображенням з R
\bigl[
[x]
\bigr]
у R
\bigl[
[x]
\bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 797
Доведення. Нехай послiдовнiсть uk(x) =
\sum \infty
i=0
u
(k)
i xi елементiв з R
\bigl[
[x]
\bigr]
збiгається в
топологiї покоефiцiєнтної збiжностi кiльця R
\bigl[
[x]
\bigr]
до 0 при k \rightarrow \infty , тобто
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
u
(k)
i = 0, i = 0, 1, 2, . . . , (20)
в топологiї кiльця R. З урахуванням зображення (19) потрiбно довести, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\infty \sum
i=j
u
(k)
i Cj
i ai - j = 0, j = 0, 1, 2, . . . , (21)
в топологiї R. Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}i\rightarrow \infty ai = 0, то для будь-якого \varepsilon > 0 iснує такий номер m\varepsilon \in \BbbN , що
| ai| < \varepsilon для всiх i > m\varepsilon . Тодi | ai - j | < \varepsilon для всiх j = 0, 1, 2, . . . й i > m\varepsilon + j. Звiдси на пiдставi
неархiмедовостi норми | \cdot | i нерiвностi | s| \leq 1, s \in R, маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
i=j
u
(k)
i Cj
i ai - j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i=j,j+1,...
\bigm| \bigm| u(k)i Cj
i ai - j
\bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i=j,j+1,...
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
| u(k)i | , | ai - j |
\bigr\}
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| u(k)j | , | u(k)j+1| , . . . , | u
(k)
j+m\varepsilon
| , \varepsilon
\bigr\}
, j = 0, 1, 2, . . . .
Оскiльки за рiвностями (20) iснує таке число k0(\varepsilon ) \in \BbbN , що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| u(k)j | , | u(k)j+1| , . . . , | u
(k)
j+m\varepsilon
|
\bigr\}
< \varepsilon
для будь-якого k \geq k0(\varepsilon ), то \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
i=j
u
(k)
i Cj
i ai - j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \varepsilon .
Звiдси випливають граничнi рiвностi (21).
Теорему доведено.
Наступна теорема показує, що будь-яке неперервне лiнiйне вiдображення \scrF : R
\bigl[
[x]
\bigr]
\rightarrow
\rightarrow R
\bigl[
[x]
\bigr]
, що комутує з оператором диференцiювання, є диференцiальним оператором вигля-
ду (5).
Теорема 7. Нехай \scrF : R
\bigl[
[x]
\bigr]
\rightarrow R
\bigl[
[x]
\bigr]
— довiльне неперервне лiнiйне вiдображення, що
комутує з оператором диференцiювання
d
dx
. Тодi iснує послiдовнiсть \{ an\} \infty n=0 елементiв кiльця
R така, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty an = 0 в топологiї R i \scrF =
\infty \sum
n=0
an
1
n!
dn
dxn
.
Доведення. Позначимо vk(x) = \scrF (xk), k = 0, 1, 2, . . . . Тодi vk(x) \in R
\bigl[
[x]
\bigr]
. Оскiльки \scrF
комутує з оператором диференцiювання, то
v\prime k(x) = \scrF ((xk)\prime ) = k\scrF (xk - 1) = kvk - 1(x), k = 1, 2, . . . , (22)
i v\prime 0(x) = \scrF (0) = 0. Тому vk(x) — полiном степеня не вищого за k, тобто vk(x) =
\sum k
j=0
v
(k)
j xj ,
v
(k)
j \in R. Пiдставляючи vk(x) у рiвняння (22), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
798 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
k - 1\sum
j=0
(j + 1)v
(k)
j+1x
j = k
k - 1\sum
j=0
v
(k - 1)
j xj , k \in \BbbN .
Тому, прирiвнюючи коефiцiєнти при степенях x, отримуємо спiввiдношення
(j + 1)v
(k)
j+1 = kv
(k - 1)
j , k \in \BbbN , j = 0, . . . , k - 1.
Оскiльки S — поле нульової характеристики, то
v
(k)
j =
k
j
v
(k)
j - 1 =
k(k - 1) . . . (k - j + 1)
j!
v
(k - j)
0 = Cj
kv
(k - j)
0 , k \in \BbbN , j = 1, . . . , k,
до того ж Cj
kv
(k - j)
0 \in R. Таким чином, vk(x) =
\sum k
j=0
Cj
kv
(k - j)
0 xj . Тепер доведемо, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty v
(k)
0 = 0. Справдi, xk \rightarrow 0, k \rightarrow \infty , у топологiї R
\bigl[
[x]
\bigr]
, тому й \scrF (xk) = vk(x) \rightarrow 0,
k \rightarrow \infty . Звiдси випливає, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty v
(k)
0 = 0. Таким чином,
\scrF
\Biggl( \infty \sum
k=0
ukx
k
\Biggr)
=
\infty \sum
j=0
\left( \infty \sum
k=j
ak - jC
j
kuk
\right) xj ,
де ak = v
(k)
0 \in R i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty ak = 0. За лемою 4 \scrF =
\sum \infty
n=0
an
1
n!
dn
dxn
.
Теорему доведено.
Приклад 7. Нехай p — просте число i R = \BbbZ p. Розглянемо диференцiальний оператор
\scrF =
\sum \infty
n=0
pn
n!
dn
dxn
. Тодi за лемою 4 для будь-якого формального степеневого ряду u(x) =
=
\sum \infty
k=0
ukx
k \in \BbbZ
\bigl[
[x]
\bigr]
маємо (\scrF u)(x) \in \BbbZ p
\bigl[
[x]
\bigr]
, оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty pn = 0 в \BbbZ p. Зазначимо, що
оператор \scrF можна зобразити у виглядi ep
d
dx , а ряд (\scrF u)(x) можна розглядати як зсув ряду u(x)
на p: u(x+p) = (\scrF u)(x). При цьому, якщо u(x) =
\sum \infty
k=0
xk, то (\scrF u)(0) =
\sum \infty
n=0
pn =
1
1 - p
в \BbbZ p i (\scrF u)(0) /\in \BbbZ при p \not = 2. Таким чином, \scrF u /\in \BbbZ
\bigl[
[x]
\bigr]
, якщо p \not = 2.
Зауважимо, що можна визначити зсуви формального степеневого ряду u(x) \in \BbbZ
\bigl[
[x]
\bigr]
i на
будь-яке складене натуральне число m, що дiлиться на простi числа p1, . . . , pj . Цi зсуви будуть
належати кiльцям \BbbZ p1
\bigl[
[x]
\bigr]
, . . . ,\BbbZ pj
\bigl[
[x]
\bigr]
. Водночас, якщо u(x) =
\sum \infty
k=0
xk, то u(x + 1) =
=
\sum \infty
k=0
(x+ 1)k не є коректно визначеним елементом кiльця \BbbZ p
\bigl[
[x]
\bigr]
для будь-якого простого
числа p.
Покажемо, що так само, як i в пунктi 2 (див. зауваження 2), ми не можемо гарантувати, що
вiдображення \scrF з твердження теореми 7 буде мати вигляд (9), де bn \in R.
Приклад 8. Нехай R = \BbbZ 2. Розглянемо диференцiальний оператор \scrF =
\sum \infty
n=2
an
n!
dn
dxn
, де
an = 2n - 2, n = 2, 3, . . . . Припустимо, що цей оператор допускає зображення (9) з деякими
коефiцiєнтами bn \in \BbbZ 2. Тодi має мiсце рiвнiсть
\infty \sum
n=2
2n - 2
n!
dn
dxn
=
\infty \sum
n=0
bn
dn
dxn
.
Отже, у полi \BbbQ 2 2-адичних чисел справджуються рiвностi bn =
2n - 2
n!
, n = 2, 3, . . . . Зокрема,
b2 =
1
2
/\in \BbbZ 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ В МОДУЛI . . . 799
Лiтература
1. Н. Бурбаки, Элементы математики. Функции действительного переменного. Элементарная теория, Наука,
Москва (1965).
2. Ю. Ф. Коробейник, Операторы сдвига на числовых семействах, Изд-во Рост. ун-та, Ростов-на-Дону (1983).
3. В. В. Городецький, Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь нескiнченного порядку, Рута, Чернiвцi (2005).
4. S. L. Gefter, A. L. Piven’, Implicit linear differential-difference equations in the module of formal generalized
functions over a commutative ring, J. Math. Sci., 255, № 4, 409 – 422 (2021).
5. G. Godefroy, J. H. Shapiro, Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds, J. Funct. Anal., 98, № 2,
229 – 269 (1991).
6. А. С. Кривошеев, В. В. Напалков, Комплексный анализ и операции свертки, Успехи мат. наук, 47, № 6, 3 – 58
(1992).
7. L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, Paris (1998).
8. З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, Москва (1985).
9. S. L. Gefter, Differential operators of infinite order in the space of formal Laurent series and in the ring of power
series with integer coefficients, J. Math. Sci., 239, № 3, 282 – 291 (2019).
10. S. L. Gefter, T. E. Stulova, Fundamental solution of the simplest implicit linear differential equation in a vector
space, J. Math. Sci., 207, № 2, 166 – 175 (2015).
11. Н. Бурбаки, Алгебра. Модули, кольца, формы, Наука, Москва (1966).
12. S. L. Gefter, A. L. Piven’, Linear partial differential equations in module of formal generalized functions over
commutative ring, J. Math. Sci., 257, № 5, 579 – 596 (2021).
13. M. Morimoto, An introductions to Sato’s hyperfunctions, AMS Providence, Rhode Island (1993).
14. Г. Грауэрт, Р. Реммерт, Аналитические локальные алгебры, Наука, Москва (1988).
15. C. Perez-Garcia, W. H. Schikhof, Locally convex spaces over non-Archimedian valued fields, Cambridge Univ. Press
(2010).
16. S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, New York (2002).
Одержано 18.10.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6955 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:50Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ff/4b8608e1ba165598321921742177f1ff.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69552022-07-15T07:54:30Z Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series Диференціальні оператори нескінченного порядку в модулі формальних узагальнених функцій та у кільці формальних степеневих рядів Hefter, S. L. Piven’ , O. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. формальна узагальнена функція, диференціальний оператор нескінченного порядку, формальний степеневий ряд, неархімедово поле, кільце нормування UDC 517.983 We obtain the general form of continuous linear mappings acting in the module of formal generalized functions over a commutative ring and commuting with the differentiation or shift operator. We also prove that a continuous linear mapping acting in the ring of formal power series over the valuation ring of a complete non-Archimedian field and commuting with the differentiation is a differential operator of infinite order. Получен общий вид непрерывных линейных отображений, действующих в модуле формальных обощенных функций над коммутативным кольцом и коммутирующих с оператором дифференцирования или сдвига. Доказано, что непрерывное линейное отображение, действующее в кольце формальных степенных рядов над кольцом нормирования неархимедова поля и коммутирующее с оператором дифференцирования, является дифференциальным оператором бесконечного порядка. УДК 517.983Одержано загальний вигляд неперервних лiнiйних вiдображень, що дiють у модулi формальних узагальнених функцiй над комутативним кiльцем та комутують з оператором диференцiювання або зсуву. Доведено, що неперервне лiнiйне вiдображення, яке дiє у кiльцi формальних степеневих рядiв над кiльцем нормування повного неархiмедового поля та комутує з оператором диференцiювання, є диференцiальним оператором нескiнченного порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-07-07 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6955 10.37863/umzh.v74i6.6955 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 6 (2022); 784 - 799 Український математичний журнал; Том 74 № 6 (2022); 784 - 799 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6955/9251 Copyright (c) 2022 Олексій Півень, Сергій Гефтер |
| spellingShingle | Hefter, S. L. Piven’ , O. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series |
| title | Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series |
| title_alt | Диференціальні оператори нескінченного порядку в модулі формальних узагальнених функцій та у кільці формальних степеневих рядів |
| title_full | Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series |
| title_fullStr | Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series |
| title_full_unstemmed | Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series |
| title_short | Infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series |
| title_sort | infinite order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series |
| topic_facet | формальна узагальнена функція диференціальний оператор нескінченного порядку формальний степеневий ряд неархімедово поле кільце нормування |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6955 |
| work_keys_str_mv | AT heftersl infiniteorderdifferentialoperatorsinthemoduleofformalgeneralizedfunctionsandinaringofformalpowerseries AT pivenol infiniteorderdifferentialoperatorsinthemoduleofformalgeneralizedfunctionsandinaringofformalpowerseries AT geftersl infiniteorderdifferentialoperatorsinthemoduleofformalgeneralizedfunctionsandinaringofformalpowerseries AT pívenʹol infiniteorderdifferentialoperatorsinthemoduleofformalgeneralizedfunctionsandinaringofformalpowerseries AT heftersl diferencíalʹníoperatorineskínčennogoporâdkuvmodulíformalʹnihuzagalʹnenihfunkcíjtaukílʹcíformalʹnihstepenevihrâdív AT pivenol diferencíalʹníoperatorineskínčennogoporâdkuvmodulíformalʹnihuzagalʹnenihfunkcíjtaukílʹcíformalʹnihstepenevihrâdív AT geftersl diferencíalʹníoperatorineskínčennogoporâdkuvmodulíformalʹnihuzagalʹnenihfunkcíjtaukílʹcíformalʹnihstepenevihrâdív AT pívenʹol diferencíalʹníoperatorineskínčennogoporâdkuvmodulíformalʹnihuzagalʹnenihfunkcíjtaukílʹcíformalʹnihstepenevihrâdív |