Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders
UDC 517.957 We investigate a boundary problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders. For this problem, the existence, uniqueness, and absence of solutions is established.
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6968 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512571184906240 |
|---|---|
| author | Kharibegashvili, S. S. Midodashvili, B. G. Харiбегашвiлi, С. С. Мiдодашвiлi, Б. Г. Midodashvili, Bidzina |
| author_facet | Kharibegashvili, S. S. Midodashvili, B. G. Харiбегашвiлi, С. С. Мiдодашвiлi, Б. Г. Midodashvili, Bidzina |
| author_sort | Kharibegashvili, S. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-15T07:54:31Z |
| description | UDC 517.957
We investigate a boundary problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders. For this problem, the existence, uniqueness, and absence of solutions is established. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i6.6968 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i6.6968
УДК 517.957
С. С. Харiбегашвiлi (Грузин. техн. ун-т, Тбiлiсi),
Б. Г. Мiдодашвiлi (Тбiл. держ. ун-т iм. I. Джавахiшвiлi, Грузiя)
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ
НЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ
We investigate a boundary problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders. For
this problem, the existence, uniqueness, and absence of solutions is established.
Дослiджено крайову задачу для одного класу нелiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними
високого порядку. Вивчено питання iснування, єдиностi та вiдсутностi розв’язкiв цiєї задачi.
1. Постановка задачi. В евклiдовому просторi \BbbR n+1 змiнних x = (x1, . . . , xn) i t розглянемо
нелiнiйну систему диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними вигляду
Lf :=
\partial 4ku
\partial t4k
-
n\sum
i,j=1
\partial
\partial xj
\Bigl(
Aij
\partial u
\partial xi
\Bigr)
+ f(u) = F, (1.1)
де f = (f1, . . . , fN ), F = (F1, . . . , FN ) — заданi, а u = (u1, . . . , uN ), N \geq 2, — шукана вектор-
функцiї; Aij — заданi квадратнi матрицi порядку N, до того ж Aij = Aji, i, j = 1, . . . , n, n \geq 2,
k — натуральне число.
Для системи (1.1) розглянемо крайову задачу в такiй постановцi: в цилiндричнiй областi
DT := \Omega \times (0, T ), де \Omega — вiдкрита лiпшицева область \BbbR n, знайти розв’язок u = u(x, t)
системи (1.1) за крайовими умовами \biggl(
\partial u
\partial N
+Bu
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma
= 0, (1.2)
\partial iu
\partial ti
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial \Omega 0\cup \Omega T
= 0, i = 0, . . . , 2k - 1, (1.3)
де \Gamma := \partial \Omega \times (0, T ) — бiчна частина межi цилiндричної областi DT , \Omega 0 : x \in \Omega , t = 0 i \Omega T :
x \in \Omega , t = T — вiдповiдно нижня й верхня основи цього цилiндра, B : \Gamma \rightarrow \BbbR N\times N — задана
неперервна квадратна матриця порядку N ;
\partial u
\partial N
=
\sum N
i,j=1
Aij
\partial u
\partial xi
\nu j , до того ж у скалярному
випадку збiгається з похiдною в напрямку конормалi, \nu = (\nu 1, . . . , \nu n, \nu n+1) — одиничний
вектор зовнiшньої нормалi до \partial DT i \nu n+1| \Gamma = 0.
Зауважимо, що в скалярному випадку, тобто коли N = 1, у роботi [1] для рiвняння (1.1)
у цилiндричнiй областi DT розглянуто крайову задачу з умовами (1.3) й однорiдною умовою
Дiрiхле u| \Gamma = 0 замiсть (1.2). Вивченню початкових i мiшаних задач для напiвлiнiйних дифе-
ренцiальних рiвнянь з частинними похiдними високого порядку, що мають структуру, вiдмiнну
вiд (1.1), присвячено багато робiт (див., наприклад, [2 – 12] i наведену там бiблiографiю).
c\bigcirc С. С. ХАРIБЕГАШВIЛI, Б. Г. МIДОДАШВIЛI, 2022
856 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 857
Позначимо через C2,4k( \=DT ) простiр неперервних у \=DT вектор-функцiй u = (u1, . . . , uN ),
що мають неперервнi в \=DT частиннi похiднi
\partial u
\partial xi
,
\partial 2u
\partial xi\partial xj
,
\partial lu
\partial tl
, i, j = 1, . . . , n, l = 1, . . . , 4k.
Покладемо
C2,4k
0 ( \=DT ) :=
\Biggl\{
u \in C2,4k( \=DT ) :
\partial iu
\partial ti
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Omega 0\cup \Omega T
= 0, i = 0, . . . , 2k - 1
\Biggr\}
.
Введемо гiльбертiв простiр W 1,2k
0 (DT ), який одержано поповненням за нормою
\| u\| 2
W 1,2k
0 (DT )
=
\int
DT
\Biggl[
u2 +
2k\sum
i=1
\biggl(
\partial iu
\partial ti
\biggr) 2
+
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr]
dx dt (1.4)
класичного простору C2,4k
0 ( \=DT ), u
2 =
\sum N
i=1
u2i .
Зауваження 1.1. Iз (1.4) випливає, що u \in W 1
2 (DT ) i
\partial iu
\partial ti
\in L2(DT ), i = 1, . . . , 2k, якщо
u \in W 1,2k
0 (DT ). Тут W 1
2 (DT ) — вiдомий простiр Соболєва, що складається з елементiв L2(DT ),
якi мають узагальненi частиннi похiднi першого порядку з L2(DT ) [13, с. 56].
Далi на нелiнiйну вектор-функцiю f = (f1, . . . , fN ) iз (1.1) накладемо такi вимоги:
f \in C
\bigl(
\BbbR N
\bigr)
, | f(u)| \leq M1 +M2| u| \alpha , u \in \BbbR N , (1.5)
де | \cdot | — норма у просторi \BbbR N , Mi = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \geq 0, i = 1, 2, i
0 \leq \alpha = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} <
n+ 1
n - 1
. (1.6)
Зауваження 1.2. Оператор вкладення i : W 1
2 (dt) \rightarrow Lq(DT ) є лiнiйним i неперервним ком-
пактним оператором у випадку 1 < q <
2(n+ 1)
n - 1
, n > 1 [13, с. 81]. Водночас оператор Немиць-
кого K : Lq(DT ) \rightarrow L2(DT ), що дiє за формулою Ku = f(u), де u = (u1, . . . , uN ) \in Lq(DT )
i вектор-функцiя f = (f1, . . . , fN ) задовольняє умову (1.5), є неперервним i обмеженим при
q \geq 2\alpha [14, с. 66, 67]. Тому якщо \alpha <
n+ 1
n - 1
, то iснує таке число q , що 1 < q <
2(n+ 1)
n - 1
i
q \geq 2\alpha . Отже, в цьому випадку оператор
K0 = KI : W 1
2 (DT ) \rightarrow L2(DT ) (1.7)
є неперервним i компактним. Тому з того, що u \in W 1
2 (DT ), випливає, що f(u) \in L2(DT ), i
якщо um \rightarrow u в просторi W 1
2 (DT ), то f(um) \rightarrow f(u) в L2(DT ).
Тут i далi належнiсть вектор-функцiї v = (v1, . . . , vN ) деякому простору X означає, що
кожна компонента vi, 1 \leq i \leq N, цього вектора належить простору X.
Зауваження 1.3. Нехай Aij = Aij(x) \in C1(\Omega ), i, j = 1, . . . , n, i u \in C2,4k
0 ( \=DT ) — розв’язок
задачi (1.1) – (1.3). Множачи обидвi частини системи (1.1) скалярно на довiльну вектор-функцiю
\varphi \in C2,4k
0 ( \=DT ) й iнтегруючи отриману рiвнiсть частинами по областi DT , отримуємо\int
DT
\left[ \partial 2ku
\partial t2k
\partial 2k\varphi
\partial t2k
+
n\sum
i,j=1
Aij
\partial u
\partial xi
\partial \varphi
\partial xj
\right] dx dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
858 С. С. ХАРIБЕГАШВIЛI, Б. Г. МIДОДАШВIЛI
+
\int
\Gamma
Bu \cdot \varphi d\Gamma +
\int
DT
f(u) \cdot \varphi dx dt =
=
\int
DT
F \cdot \varphi dx dt \forall \varphi \in C2,4k
0 ( \=DT ), (1.8)
де символом \eta \cdot \xi позначено скалярний добуток N -вимiрних векторiв, тобто
\sum N
i=1
\eta i \cdot \xi i.
Ми вiзьмемо рiвнiсть (1.8) за основу визначення слабкого узагальненого розв’язку зада-
чi (1.1) – (1.3).
Означення 1.1. Нехай вектор-функцiя f задовольняє умови (1.5), (1.6) i F \in L2(DT ).
Вектор-функцiя u \in W 1,2k
0 (DT ) називається слабким узагальненим розв’язком задачi (1.1) –
(1.3), якщо iнтегральна рiвнiсть (1.8) справджується для будь-якої вектор-функцiї \varphi \in
\in W 1,2k
0 (DT ), тобто
\int
DT
\left[ \partial 2ku
\partial t2k
\partial 2k\varphi
\partial t2k
+
n\sum
i,j=1
Aij
\partial u
\partial xi
\partial \varphi
\partial xj
\right] dx dt+
+
\int
\Gamma
Bu \cdot \varphi d\Gamma +
\int
DT
f(u) \cdot \varphi dx dt =
=
\int
DT
F \cdot \varphi dx dt \forall \varphi \in W 1,2k
0 (DT ). (1.9)
Зазначимо, що згiдно iз зауваженням 1.2 iнтеграл
\int
DT
f(u)\cdot \varphi dx dt в рiвностi (1.9) визначено
коректно, оскiльки з належностi u \in W 1,2k
0 (DT ) випливає, що f(u) \in L2(DT ) i, отже, f(u)\cdot \varphi \in
\in L1(DT ).
Неважко перевiрити, що якщо розв’язок u задачi (1.1) – (1.3) в сенсi визначення 1.1 належить
класу C2,4k
0 (DT ), то вiн також буде класичним розв’язком цiєї задачi.
2. Розв’язнiсть задачi (1.1) – (1.3). Далi припустимо, що оператор
n\sum
i,j=1
\partial
\partial xj
\biggl(
Aij
\partial
\partial xi
\biggr)
(2.1)
є сильно елiптичним [15, с. 96], тобто
n\sum
i,j=1
Aij(x)\xi i\xi j \geq c0
n\sum
i=1
| \xi i| 2 \forall x \in \Omega i \xi 1, . . . , \xi n \in \BbbR N , (2.2)
де c0 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Зауважимо, що в скалярному випадку при виконаннi умови (2.2) оператор iз (2.1) є зви-
чайним рiвномiрно елiптичним оператором i в цьому випадку лiнiйна частина оператора Lf iз
(1.1), тобто L0 при кожному фiксованому x \in \Omega , є семiелiптичним [16, с. 142].
Якщо разом iз умовою (2.2) виконано умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 859
B(x)\eta \cdot \eta \geq 0 \forall x \in \Gamma , \eta \in \BbbR N , (2.3)
то у просторi C2,4k
0 ( \=DT ) поряд зi скалярним добутком
(u, v)0 =
\int
DT
\Biggl[
u \cdot v +
n\sum
i=1
\partial iu
\partial ti
\partial iv
\partial ti
+
n\sum
i=1
\partial u
\partial xi
\partial v
\partial xi
\Biggr]
dx dt (2.4)
з нормою \| \cdot \| 0 = \| \cdot \|
W 1,2k
0 (DT )
, визначеною правою частиною рiвностi (1.4), можна ввести
такий скалярний добуток:
(u, v)1 =
\int
DT
\left[ \partial 2ku
\partial t2k
\partial 2kv
\partial t2k
+
n\sum
i,j=1
Aij
\partial u
\partial xi
\partial v
\partial xj
\right] dx dt+ \int
\Gamma
Bu \cdot vd\Gamma (2.5)
з нормою
\| u\| 21 =
\int
DT
\left[ \biggl( \partial 2ku
\partial t2k
\biggr) 2
+
n\sum
i,j=1
Aij
\partial u
\partial xi
\partial u
\partial xj
\right] dx dt+ \int
\Gamma
Bu \cdot ud\Gamma , (2.6)
де u, v \in C2,4k
0 ( \=DT ).
Лема 2.1. При виконаннi умов (2.2), (2.3) виконуються нерiвностi
c1\| u\| 0 \leq \| u\| 1 \leq c2\| u\| 0 \forall u \in C2,4k
0 ( \=DT ) (2.7)
з додатними сталими c1 i c2, не залежними вiд u.
Доведення. Якщо u \in C2,4k
0 ( \=DT ), то u(x, 0) = 0, x \in \Omega , i, отже,
u(x, t) =
t\int
0
\partial u(x, \tau )
\partial t
d\tau , (x, t) \in DT ,
звiдки стандартними мiркуваннями отримуємо [13, с. 69]\int
DT
u2 dx dt \leq T
\int
DT
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
dx dt. (2.8)
Тепер оцiнимо норми
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial iu
\partial ti
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(DT )
, i = 1, . . . , 2k - 1, через норму
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 2ku
\partial t2k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(DT )
. Оскiльки
u \in C2,4k
0 ( \=DT ) задовольняє рiвностi (1.3), то, як легко бачити,
\partial iu(\cdot , t)
\partial ti
=
1
(2k - i - 1)!
t\int
0
(t - \tau )2k - i - 1\partial
2ku(\cdot , \tau )
\partial t2k
d\tau , i = 1, . . . , 2k - 1. (2.9)
Iз (2.9), використовуючи нерiвнiсть Кошi, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
860 С. С. ХАРIБЕГАШВIЛI, Б. Г. МIДОДАШВIЛI
\biggl(
\partial iu(\cdot , t)
\partial ti
\biggr) 2
\leq 1
((2k - i - 1)!)2
t\int
0
(t - \tau )2(2k - i - 1)d\tau
t\int
0
\biggl(
\partial 2ku(\cdot , t)
\partial t2k
\biggr) 2
d\tau =
=
t4k - 2i - 1
((2k - i - 1)!)2 (4k - 2i - 1)
t\int
0
\biggl(
\partial 2ku(\cdot , t)
\partial t2k
\biggr) 2
d\tau \leq
\leq T 4k - 2i - 1
T\int
0
\biggl(
\partial 2ku(\cdot , \tau )
\partial t2k
\biggr) 2
d\tau ,
звiдки випливає, що
T\int
0
\biggl(
\partial iu(\cdot , t)
\partial ti
\biggr) 2
d\tau \leq T 4k - 2i
T\int
0
\biggl(
\partial 2ku(\cdot , \tau )
\partial t2k
\biggr) 2
d\tau , i = 1, . . . , 2k - 1. (2.10)
Оскiльки Aij = Aij(x) \in C(\Omega ), i, j = 1, . . . , n, то елементи цих матриць обмеженi в \Omega i, отже,
n\sum
i,j=1
Aij(x)\xi i \cdot \xi j \leq \~c0
n\sum
i=1
| \xi i| 2 \forall x \in \Omega i \xi 1, . . . , \xi n \in \BbbR N (2.11)
з додатною сталою \~c0, не залежною вiд x \in \Omega i \xi 1, . . . , \xi n \in \BbbR N .
Iз (2.2) i (2.11) випливає, що для довiльного u \in C2,4k
0 ( \=DT )
c0
\int
DT
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
dxdt \leq
\int
DT
n\sum
i,j=1
Aij
\partial u
\partial xi
\partial u
\partial xj
dxdt \leq
\leq \~c0
\int
DT
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
dxdt. (2.12)
Згiдно з (2.3) i теоремою вкладення для слiду v| \Gamma вектор-функцiї v \in W 1
2 (DT ) маємо [13, с. 72]
0 \leq
\int
\Gamma
B(x)v \cdot vd\Gamma \leq \~c3
\int
DT
\Biggl[
v2 +
\biggl(
\partial v
\partial t
\biggr) 2
+
n\sum
i=1
\biggl(
\partial v
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr]
dx dt (2.13)
з додатною сталою \~c3, не залежною вiд v.
Зрештою, з (1.4), (2.4), (2.6), (2.8), (2.12), (2.13) легко випливає (2.7).
Лему 2.1 доведено.
Зауваження 2.1. Згiдно з лемою 2.1, якщо поповнити простiр C2,2k
0 ( \=DT ) за нормою (2.5),
то, зважаючи на (2.4), одержуємо той самий гiльбертiв простiр W 1,2k
0 (DT ) з еквiвалентними
скалярними добутками (2.4), (2.5).
Розглянемо умову
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| u| \rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u \cdot f(u)
u2
\geq 0. (2.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 861
Лема 2.2. Нехай F \in L2(DT ) i виконано умови (1.5), (1.6), (2.2), (2.3) i (2.14). Тодi для будь-
якого слабкого узагальненого розв’язку u \in W 1,2k
0 (DT ) задачi (1.1) – (1.3) має мiсце апрiорна
оцiнка
\| u\| 0 = \| u\|
W 1,2k
0 (DT )
\leq c3\| F\| L2(DT ) + c4 (2.15)
зi сталими c3 > 0 i c4 \geq 0, не залежними вiд u i F.
Доведення. Оскiльки f \in C
\bigl(
\BbbR N
\bigr)
, то з (2.14) випливає, що для будь-якого \varepsilon > 0 iснує таке
число M\varepsilon \geq 0, що
u \cdot f(u) \geq - M\varepsilon - \varepsilon u2 \forall u \in \BbbR N . (2.16)
Вважаючи, що \varphi = u \in W 1,2k
0 (DT ) в рiвностi (1.9), i беручи до уваги (2.16), (2.6), для
будь-якого \varepsilon > 0 маємо
\| u\| 21 = -
\int
DT
u \cdot f(u) dx dt+
\int
DT
F \cdot u dx dt \leq
\leq M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + \varepsilon
\int
DT
u2 dx dt+
\int
DT
\biggl(
1
4\varepsilon
F 2 + \varepsilon u2
\biggr)
dx dt =
=
1
4\varepsilon
\| F\| 2L2(DT ) +M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + 2\varepsilon \| u\| 2L2(DT ) \leq
\leq 1
4\varepsilon
\| F\| 2L2(DT ) +M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + 2\varepsilon \| u\| 20. (2.17)
Згiдно з (2.7) iз (2.17) випливає, що
c21\| u\| 20 \leq \| u\| 21 \leq 1
4\varepsilon
\| F\| 2L2(DT ) +M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + 2\varepsilon \| u\| 20,
звiдки при \varepsilon =
1
4
c21 одержуємо
\| u\| 20 \leq 2c - 4
1 \| F\| 2L2(DT ) + 2c - 2
1 M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT .
Iз останньої нерiвностi випливає (2.15), де c23 = 2c - 4
1 i c24 = 2c - 2
1 M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT при \varepsilon =
1
4
c21.
Лему 2.2 доведено.
Зауваження 2.2. До того, як розглянути питання про розв’язнiсть задачi (1.1) – (1.3) у не-
лiнiйному випадку, розглянемо вiдповiдну (1.1) – (1.3) лiнiйну задачу, тобто коли f = 0. У
цьому випадку для F \in L2(DT ) аналогiчним чином вводимо означення слабкого узагальнено-
го розв’язку u \in W 1,2k
0 (DT ) цiєї задачi, для якого має мiсце iнтегральна рiвнiсть
(u, \varphi )1 =
\int
DT
\left[ \partial 2ku
\partial t2k
\partial 2k\varphi
\partial t2k
+
n\sum
i,j=1
Aij
\partial u
\partial xi
\partial \varphi
\partial xj
\right] dx dt+
+
\int
\Gamma
Bu \cdot \varphi d\Gamma =
\int
DT
F \cdot \varphi dx dt \forall \varphi \in W 1,2k
0 (DT ). (2.18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
862 С. С. ХАРIБЕГАШВIЛI, Б. Г. МIДОДАШВIЛI
З урахуванням (1.4), (2.4) i (2.7) отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
DT
F \cdot \varphi dx dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| F\| L2(DT )\| \varphi \| L2(DT ) \leq
\leq \| F\| L2(DT )\| \varphi \| 0 \leq c - 1
1 \| F\| L2(DT )\| \varphi \| 1. (2.19)
Згiдно iз зауваженням 2.1, (2.18) i (2.19) iз теореми Рiсса випливає iснування єдиної вектор-
функцiї u \in W 1,2k
0 (DT ), яка задовольняє рiвнiсть (2.18) для будь-якої \varphi \in W 1,2k
0 (DT ) i для
норми якої справедливою є оцiнка
\| u\| 1 \leq c - 1
1 \| F\| L2(DT ). (2.20)
Завдяки (2.7) iз (2.20) маємо
\| u\| 0 = \| u\|
W 1,2k
0 (DT )
\leq c - 2
1 \| F\| L2(DT ). (2.21)
Таким чином, вводячи позначення u = L - 1
0 F, переконуємося, що лiнiйнiй задачi, що вiдповiдає
(1.1) – (1.3), тобто при f = 0, вiдповiдає лiнiйний обмежений оператор
L - 1
0 : L2(DT ) \rightarrow W 1,2k
0 (DT ),
для норми якого згiдно з (2.21) має мiсце оцiнка
\| L - 1
0 \|
L2(DT )\rightarrow W 1,2k
0 (DT )
\leq c - 2
1 . (2.22)
Беручи до уваги означення 1.1 i зауваження 2.2, записуємо iнтегральну тотожнiсть (1.9),
еквiвалентну задачi (1.1) – (1.3), у виглядi функцiонального рiвняння
u = L - 1
0 [ - f(u) + F ] (2.23)
у гiльбертовому просторi W 1,2k
0 (DT ).
Зауваження 2.3. Оскiльки згiдно з (1.4) i зауваженням 1.1 простiр W 1,2k
0 (DT ) неперервно
вкладений у простiр W 1
2 (DT ), з огляду на (1.7) i зауваження 1.2 при виконаннi умов (1.5), (1.6)
оператор
K1 = KII1 : W 1,2k
0 (DT ) \rightarrow L2(DT ),
де I1 : W 1,2k
0 (DT ) \rightarrow W 1
2 (DT ) — оператор вкладення, також є неперервним i компактним.
Запишемо рiвняння (2.23) у виглядi
u = Au := L - 1
0 (K1u+ F ). (2.24)
Беручи до уваги (2.23) i зауваження 2.3, робимо висновок, що оператор A : W 1,2k
0 (DT ) \rightarrow
\rightarrow W 1,2k
0 (DT ) з (2.24) є неперервним i компактним. Водночас, враховуючи схему доведення
апрiорної оцiнки (2.15), в якiй c23 = 2c - 4
1 i c24 = 2c - 2
1 M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT , \varepsilon =
1
4
c21, легко бачити, що
для будь-якого значення параметра \tau \in [0, 1] i будь-якого розв’язку u \in W 1,2k
0 (DT ) рiвняння
u = \tau Au справедлива та сама апрiорна оцiнка (2.15) з тими ж сталими c3 > 0 i C4 \geq 0, не
залежними вiд u, F i \tau . Тому згiдно з теоремою Лере – Шаудера про нерухому точку [16, с. 375]
рiвняння (2.24), а отже i задача (1.1) – (1.3), має хоча б один слабкий узагальнений розв’язок u
в просторi W 1,2k
0 (DT ). Таким чином, справджується така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 863
Теорема 2.1. Нехай виконано умови (1.5), (1.6), (2.2), (2.3) i (2.14). Тодi для будь-якого
F \in L2(DT ) задача (1.1) – (1.3) має хоча б один слабкий узагальнений розв’язок u в просторi
W 1,2k
0 (DT ).
3. Єдинiсть розв’язку задачi (1.1) – (1.3). Розглянемо умову монотонностi оператора Не-
мицького
K(u) = f(u) : \BbbR N \rightarrow \BbbR N ,
тобто
(K(u) - K(v))(u - v) \geq 0 \forall u, v \in \BbbR N . (3.1)
Зауваження 3.1. Легко перевiрити, що умову (3.1) буде виконано, якщо f = (f1, . . . , fN ) \in
\in C1
\bigl(
\BbbR N
\bigr)
i матриця
\biggl(
\partial fi
\partial uj
\biggr) n
i,j=1
є невiд’ємно визначеною, тобто
N\sum
i,j=1
\partial fi
\partial uj
(u)\xi i\xi j \geq 0 \forall \xi = (\xi 1, . . . , \xi N ), u = (u1, . . . , uN ) \in \BbbR N .
Теорема 3.1. Нехай вектор-функцiя f задовольняє умови (1.5), (1.6), а вiдповiдний опера-
тор Немицького K(u) = f(u) : \BbbR N \rightarrow \BbbR n є монотонним. Нехай також виконано умови (2.2) i
(2.3). Тодi для будь-якої вектор-функцiї f \in L2(DT ) задача (1.1) – (1.3) не може мати бiльше
одного слабкого узагальненого розв’язку в просторi W 1,2k
0 (DT ).
Доведення. Нехай f \in L2(DT ) i u1, u2 — два слабкi узагальненi розв’язки задачi (1.1) – (1.3)
у просторi W 1,2k
0 (DT ), тобто згiдно з (1.9) мають мiсце рiвностi
\int
DT
\left[ \partial 2kui
\partial t2k
\partial 2k\varphi
\partial t2k
+
n\sum
i,j=1
Aij
\partial ui
\partial xi
\partial \varphi
\partial xj
\right] dx dt+
+
\int
\Gamma
Bui \cdot \varphi d\Gamma +
\int
DT
f(ui) \cdot \varphi dx dt =
=
\int
DT
F \cdot \varphi dx dt \forall \varphi \in W 1,2k
0 (DT ), i = 1, 2. (3.2)
Iз (3.2) для рiзницi v = u2 - u1 маємо
\int
DT
\left[ \partial 2kv
\partial t2k
\partial 2k\varphi
\partial t2k
+
n\sum
i,j=1
Aij
\partial v
\partial xi
\partial \varphi
\partial xj
\right] dx dt+ \int
\Gamma
Bv \cdot \varphi d\Gamma =
= -
\int
DT
(f(u2) - f(u1)) \cdot \varphi dx dt \forall \varphi \in W 1,2k
0 (DT ). (3.3)
Покладаючи \varphi = v \in W 1,2k
0 (DT ) в рiвностi (3.3), згiдно з (2.6) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
864 С. С. ХАРIБЕГАШВIЛI, Б. Г. МIДОДАШВIЛI
\| v\| 1 = -
\int
DT
(f(u2) - f(u1)) (u2 - u1) dx dt. (3.4)
Оскiльки оператор Немицького K(u) = f(u) : \BbbR N \rightarrow \BbbR n за умовою теореми задовольняє
нерiвнiсть (3.1), то з (3.4) з урахуванням (2.7) одержуємо
c1\| v\| 0 \leq \| v\| 1 \leq 0,
звiдки знаходимо, що v = 0, тобто u2 = u1.
Теорему 3.1 доведено.
З теорем 2.1 i 3.1 випливає така теорема.
Теорема 3.2. Нехай виконано умови (1.5), (1.6), (2.2), (2.3), (2.14) i (3.1). Тодi для будь-
якого F \in L2(DT ) задача (1.1) – (1.3) має єдиний слабкий узагальнений розв’язок u в просторi
W 1,2k
0 (DT ).
4. Випадки вiдсутностi розв’язку задачi (1.1) – (1.3). Далi розглянемо окремий випадок
системи (1.1), коли вона розщеплена в головнiй частинi, тобто Aij = aijIN , де IN — одинична
матриця порядку N, а aij = aij(x) — такi скалярнi функцiї, що оператор
\sum n
i,j=1
\partial
\partial xj
\biggl(
aij
\partial
\partial xi
\biggr)
є елiптичним. Припустимо також, що в крайовiй умови (1.2) B = bIN , де b — невiд’ємне число.
Розглянемо таку умову, накладену на вектор-функцiю f : iснують числа l1, . . . , lN ,\sum N
i=1
| li| \not = 0, такi, що
N\sum
i=1
lifi(u) \leq -
\bigm| \bigm| \bigm| N\sum
i=1
liui
\bigm| \bigm| \bigm| \beta \forall u \in \BbbR N , 1 < \beta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} <
n+ 1
n - 1
. (4.1)
Для простоти викладу розглянемо випадок, коли \Omega : | x| < 1.
Теорема 4.1. Нехай вектор-функцiя f задовольняє умови (1.5), (1.6) i (4.1), F 0 =
= (F 0
1 , . . . , F
0
N ) \in L2(DT ), G =
\sum N
i=1
liF
0
i \geq 0 i \| G\| L2(DT ) \not = 0. Тодi iснує таке число
\mu 0 = \mu 0(G, \beta ) > 0, що для \mu > \mu 0 задача (1.1) – (1.3) не може мати слабкого узагальненого
розв’язку в просторi W 1,2k
0 (DT ) для F = \mu F0.
Доведення. Припустимо, що умови теореми виконано i слабкий узагальнений розв’язок
u \in W 1,2k
0 (DT ) задачi (1.1) – (1.3) iснує для будь-якого фiксованого \mu > 0. Припустимо також,
що \varphi = (l1\varphi 0, . . . , lN\varphi 0) у рiвностi (1.9), де \varphi 0 — скалярна функцiя, що задовольняє умови
\varphi 0 \in C2,4k
0 ( \=DT ), \varphi 0
\bigm| \bigm|
\Gamma
= 0,
\partial \varphi 0
\partial xi
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma
= 0, i = 1, . . . , n, \varphi 0
\bigm| \bigm|
DT
> 0. (4.2)
Простiр C2,4k
0 ( \=DT ) \subset W 1,2k
0 (DT ) було введено у вступi. Тут за функцiю \varphi 0 можна взяти
функцiю \varphi 0(x, t) =
\bigl[
(1 - | x| 2)t(T - t)
\bigr] 2k
.
Вважаючи v =
\sum N
i=1
liui, беручи до уваги розщепленiсть системи (1.1) у головнiй частинi
i B = BIN , з (1.9) отримуємо
\int
DT
\left[ \partial 2kv
\partial t2k
\partial 2k\varphi 0
\partial t2k
+
n\sum
i,j=1
aij(x)
\partial v
\partial xi
\partial \varphi 0
\partial xj
\right] dx dt+ \int
\Gamma
bv\varphi 0d\Gamma =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 865
=
\int
DT
\Biggl(
-
N\sum
i=1
lifi(u)
\Biggr)
\varphi 0 dx dt+ \mu
\int
DT
G\varphi 0 dx dt. (4.3)
Iз (4.3) згiдно з (4.2) i тим, що V \in W 1,2k
0 (DT ), в результатi iнтегрування частинами маємо
\int
DT
\Biggl(
-
N\sum
i=1
lifi(u)
\Biggr)
\varphi 0 dx dt+ \mu
\int
DT
G\varphi 0 dx dt =
=
\int
DT
v
\Biggl[
\partial 2k\varphi 0
\partial t2k
-
n\sum
i,j=1
\partial
\partial xj
\biggl(
aij(x)
\partial \varphi 0
\partial xi
\biggr) \Biggr]
dx dt =
\int
DT
vL0\varphi 0 dx dt, (4.4)
де L0 — скалярний оператор, що вiдповiдає оператору з (1.1) при f = 0.
Iз (4.1) i (4.4) випливає, що\int
DT
| v| \beta \varphi 0 dx dt \leq
\int
DT
vL0 \varphi 0 dx dt - \mu
\int
DT
G\varphi 0 dx dt. (4.5)
Далi ми скористаємося методом пробних функцiй [18, с. 10 – 12]. Якщо в нерiвностi Юнга
з параметром \varepsilon > 0
ab \leq \varepsilon
\beta
a\beta +
1
\beta \prime \varepsilon \beta \prime - 1
b\beta
\prime
, a, b \geq 0, \beta \prime =
\beta
\beta - 1
,
покладемо a = | u| \varphi 1/\beta
0 , b = | L0\varphi 0|
\Big/
\varphi
1/\beta
0 , то, взявши до уваги, що \beta \prime /\beta = \beta \prime - 1, матимемо
| vL0\varphi 0| = | v| \varphi 1/\beta
0
| L0\varphi 0|
\varphi
1/\beta
0
\leq \varepsilon
\beta
| v| \beta \varphi 0 +
1
\beta \prime \varepsilon \beta \prime - 1
| L0\varphi 0| \beta
\prime
\varphi \beta \prime - 1
0
. (4.6)
Iз (4.5), (4.6) випливає, що\biggl(
1 - \varepsilon
\beta
\biggr) \int
DT
| v| \beta \varphi 0 dx dt =
1
\beta \prime \varepsilon \beta \prime - 1
\int
DT
| L0\varphi 0| \beta
\prime
\varphi \beta \prime - 1
0
dx dt - \mu
\int
DT
G\varphi 0 dx dt,
звiдки при \varepsilon < \beta одержуємо\int
DT
| v| \beta \varphi 0 dx dt \leq
\beta
(\beta - \varepsilon )\beta \prime \varepsilon \beta \prime - 1
\int
DT
| L0\varphi 0| \beta
\prime
\varphi \beta \prime - 1
0
dx dt - \beta \mu
\beta - \varepsilon
\int
DT
G\varphi 0 dx dt. (4.7)
Враховуючи рiвностi \beta \prime =
\beta
\beta - 1
, \beta =
\beta \prime
\beta \prime - 1
, а також \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}0<\varepsilon <\beta
\beta
(\beta - \varepsilon )\beta \prime \varepsilon \beta \prime - 1
= 1, який
досягається при \varepsilon = 1, iз (4.7) знаходимо\int
DT
| v| \beta \varphi 0 dx dt \leq
\int
DT
| L0\varphi 0| \beta
\prime
\varphi \beta \prime - 1
0
dx dt - \beta \prime \mu
\int
DT
G\varphi 0 dx dt. (4.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
866 С. С. ХАРIБЕГАШВIЛI, Б. Г. МIДОДАШВIЛI
Неважко показати iснування такої пробної функцiї \varphi 0 , щоб поряд з (4.2)
\kappa 0 =
\int
DT
| L0\varphi 0| \beta
\prime
\varphi \beta \prime - 1
0
dx dt < \infty . (4.9)
Справдi, легко перевiрити, що функцiя
\varphi 0(x, t) =
\bigl[
(1 - | x| 2)t(T - t)
\bigr] m
для достатньо великого додатного m задовольняє умову (4.9).
Оскiльки за умовою теореми G \in L2(DT ), \| G\| L2(DT ) \not = 0, G \geq 0, i \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT < +\infty , то,
беручи до уваги, що \varphi 0 | DT
> 0, одержуємо
0 < \kappa 1 =
\int
DT
G\varphi 0 dx dt < +\infty . (4.10)
Позначимо через g(\mu ) праву частину нерiвностi (4.8), яка є лiнiйною функцiєю щодо \mu .
Тодi згiдно з (4.9), (4.10) отримаємо
g(\mu ) < 0 при \mu > \mu 0 i g(\mu ) > 0 при \mu < \mu 0, (4.11)
де
g(\mu ) = \kappa 0 - \beta \prime \mu \kappa 1, \mu 0 =
\kappa 0
\beta \prime \kappa 1
> 0.
Згiдно з (4.11) при \mu > \mu 0 права частина нерiвностi (4.8) є вiд’ємною, тодi як лiва частина
цiєї нерiвностi невiд’ємна. Отримана суперечнiсть доводить теорему.
Зазначимо, що при виконаннi умови (4.1) умову (2.14) буде порушено. Справдi, в цьому
випадку достатньо взяти u = \lambda (l1, . . . , lN ) при \lambda \rightarrow +\infty .
Зауваження 4.1. В теоремi 4.1 для простоти припустили, що \Omega : | x| < 1. Проте ця теорема
залишається справедливою в бiльш загальному випадку, коли \Omega є достатньо гладкою областю.
Це припущення обумовлено конструкцiєю пробної функцiї \varphi 0, що задовольняє умову (4.9)
згiдно з формулою
\varphi 0(x, t) = [(1 - | x| 2)t(T - t)]m (4.12)
для достатньо великого додатного m. Якщо межу областi \Omega задано рiвнянням \partial \Omega : \omega (x) = 0,
де \nabla x\omega | \partial \Omega \not = 0, \omega | \Omega > 0, \nabla x =
\biggl(
\partial
\partial x1
, . . . ,
\partial
\partial xn
\biggr)
i \omega \in C2(\BbbR n), то пробну функцiю, задану
рiвнянням (4.12), потрiбно замiнити на
\varphi 0(x, t) =
\bigl[
\omega (x)t(T - t)
\bigr] m
,
де m — достатньо велике додатне число. В цьому випадку теорема 4.1 теж залишається справед-
ливою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 867
Зауваження 4.2. При доведеннi теореми 4.1 умову (4.1) можна замiнити бiльш загальною
умовою
N\sum
i=1
lifi(u) \leq - d0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
N\sum
i=1
liui
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\beta
\forall u \in \BbbR N , 1 < \beta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} <
n+ 1
n - 1
, (4.13)
де d0 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. Справдi, випадок (4.13) зводиться до випадку (4.1), якщо вiд li перейти до
\~li згiдно з формулою li = \lambda \~li, де \lambda = d
1
1 - \beta
0 . В результатi отримаємо (4.1), в якому замiсть li
буде записано \~li. Тепер наведемо один клас вектор-функцiй f, якi задовольняють умову (4.13):
fi(u1, . . . , uN ) =
N\sum
j=1
aij | uj | \beta ij + bi, i = 1, . . . , N, (4.14)
де сталi числа aij , \beta ij i bi задовольняють нерiвностi
aij > 0, 1 < \beta ij <
n+ 1
n - 1
,
N\sum
i=1
bi > 0, i, j = 1, . . . , N. (4.15)
У цьому випадку в (4.13) потрiбно покласти l1 = . . . = lN = - 1. Справдi, згiдно з (4.15)
виберемо сталi числа \alpha 0 i \beta так, щоб
0 < a0 \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i,j
aij ,
N\sum
i=1
bi - a0N
2 \geq 0, 1 < \beta < \beta ij , i, j = 1, . . . , N. (4.16)
Легко перевiрити, що | s| \beta ij \geq | s| \beta - 1 \forall s \in ( - \infty ,\infty ). Використовуючи вiдому нерiвнiсть [19,
с. 302]
N\sum
i=1
| yi| \beta > N1 - \beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
N\sum
i=1
yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\beta
\forall y = (y1, . . . , yN ) \in \BbbR N , \beta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 1,
згiдно з (4.14) i (4.15) маємо
N\sum
i=1
fi(u1, . . . , uN ) \geq a0
N\sum
i,j=1
| uj | \beta ij +
N\sum
i=1
bi \geq a0
N\sum
i,j=1
(| uj | \beta - 1) +
N\sum
i=1
bi \geq
\geq a0N
N\sum
j=1
| uj | \beta - a0N
2 +
N\sum
i=1
bi \geq a0N
2 - \beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
N\sum
j=1
uj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\beta
+
+
N\sum
i=1
bi - a0N
2 \geq a0N
2 - \beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
N\sum
j=1
uj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\beta
. (4.17)
Згiдно з (4.17) робимо висновок, що при виконаннi умов (4.14), (4.15) виконується нерiвнiсть
(4.13), у якiй l1 = . . . = lN = - 1 i d0 = a0N
2 - \beta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
868 С. С. ХАРIБЕГАШВIЛI, Б. Г. МIДОДАШВIЛI
Лiтература
1. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, A boundary value problem for higher-order semilinear partial differential
equations, Complex Var. and Elliptic Equat., 64, № 5, 766 – 776 (2019).
2. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, On the existence, uniqueness and nonexistence of solutions of one boundary
value problem for a semilinear hyperbolic equation, Ukr. Mat. Zh., 71, № 8, 1123 – 1182 (2019).
3. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, Solvability of characteristic boundary-value problems for nonlinear equations
with iterated wave operator in the principal part, Electron. J. Different. Equat., № 72, 1 – 12 (2008).
4. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, On one boundary value problem for a nonlinear equation with iterated wave
operator in the principal part, Georgian Math. J., 15, № 3, 541 – 554 (2008).
5. S. Kharibegashvili, Boundary value problems for some classes of nonlinear wave equations, Mem. Different. Equat.
Math. Phys., 46, 1 – 114 (2009); DOI: 10.1186/1687-1847-2013-220.
6. C. Xiangying, Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear evolution equation of fourth order, Appl.
Math. J. Chinese Univ. Ser. B., 16, № 3, 251 – 258 (2001).
7. C. J. Budd, V. A. Galaktionov, J. F. Williams, Self-similar blow-up in higher-order semilinear parabolic equations,
SIAM J. Appl. Math., 64, № 5, 1775 – 1809 (2004).
8. A. B. Aliev, B. H. Lichaei, Existence and nonexistence of global solutions of the Cauchy problem for higher order
semilinear pseudohyperbolic equations, J. Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl., 72, № 7-8, 3275 – 3288 (2010).
9. Y. Z. Wang, Y. X. Wang, Existence and nonexistence of global solutions for a class of nonlinear wave equations of
higher order, J. Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl., 72, № 12, 4500 – 4507 (2010).
10. V. A. Galactionov, E. L. Mitidieri, S. I. Pohozhaev, Blow-up for higher-order parabolic, hyperbolic, dispersion and
Schrodinger equations, Chapman & Hall/CRC Monogr. and Research Notes Math. (2014).
11. T. Ma, J. Gu, L. Li, Asymptotic behaviour of solutions to a class of fourth-order nonlinear evolution equations with
dispersive and dissipative terms, J. Inequal. and Appl., 5, Article 318, 1 – 7 (2016).
12. G. Lin, Y. Gao, Y. Sun, On local existence and blow-up solutions for nonlinear wave equations of higher-order
Kirchhoff type with strong dissipation, Internat. J. Modern Nonlinear Theory and Appl., 6, № 1, 11 – 25 (2017).
13. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, Москва (1973).
14. Ф. Куфнер, С. Фучик, Нелинейные дифференциальные уравнения, Наука, Москва (1988).
15. W. McLean, Strongly elliptic systems and boundary integral equations, Cambridge Univ. Press (2000).
16. Л. Хермандер, Линейные дифференциальные операторы с частными производными, Мир, Москва (1965).
17. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, Москва (1993).
18. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств
в частных производных, Тр. Мат. ин-та РАН, 234 (2001).
19. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, Москва (1969).
Одержано 26.10.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6968 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:54Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5c/917555e0e05e08ae270c034016076d5c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69682022-07-15T07:54:31Z Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders Краевая задача для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка Крайова задача для одного класу нелінійних систем диференціальних рівнянь із частинними похідними високого порядку Kharibegashvili, S. S. Midodashvili, B. G. Харiбегашвiлi, С. С. Мiдодашвiлi, Б. Г. Midodashvili, Bidzina . 1 UDC 517.957 We investigate a boundary problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders. For this problem, the existence, uniqueness, and absence of solutions is established. В работе изучена краевая задача для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка. Исследованы вопросы существования, единственности и отсутствия решений этой задачи. УДК 517.957Дослiджено крайову задачу для одного класу нелiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними високого порядку. Вивчено питання iснування, єдиностi та вiдсутностi розв’язкiв цiєї задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-07-08 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6968 10.37863/umzh.v74i6.6968 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 6 (2022); 856 - 868 Український математичний журнал; Том 74 № 6 (2022); 856 - 868 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6968/9272 Copyright (c) 2022 Bidzina Midodashvili |
| spellingShingle | Kharibegashvili, S. S. Midodashvili, B. G. Харiбегашвiлi, С. С. Мiдодашвiлi, Б. Г. Midodashvili, Bidzina Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders |
| title | Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders |
| title_alt | Краевая задача для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка Крайова задача для одного класу нелінійних систем диференціальних рівнянь із частинними похідними високого порядку |
| title_full | Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders |
| title_fullStr | Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders |
| title_short | Boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders |
| title_sort | boundary-value problem for a class of nonlinear systems of partial differential equations of higher orders |
| topic_facet | . 1 |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6968 |
| work_keys_str_mv | AT kharibegashviliss boundaryvalueproblemforaclassofnonlinearsystemsofpartialdifferentialequationsofhigherorders AT midodashvilibg boundaryvalueproblemforaclassofnonlinearsystemsofpartialdifferentialequationsofhigherorders AT haribegašviliss boundaryvalueproblemforaclassofnonlinearsystemsofpartialdifferentialequationsofhigherorders AT midodašvilibg boundaryvalueproblemforaclassofnonlinearsystemsofpartialdifferentialequationsofhigherorders AT midodashvilibidzina boundaryvalueproblemforaclassofnonlinearsystemsofpartialdifferentialequationsofhigherorders AT kharibegashviliss kraevaâzadačadlâodnogoklassanelinejnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenijsčastnymiproizvodnymivysokogoporâdka AT midodashvilibg kraevaâzadačadlâodnogoklassanelinejnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenijsčastnymiproizvodnymivysokogoporâdka AT haribegašviliss kraevaâzadačadlâodnogoklassanelinejnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenijsčastnymiproizvodnymivysokogoporâdka AT midodašvilibg kraevaâzadačadlâodnogoklassanelinejnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenijsčastnymiproizvodnymivysokogoporâdka AT midodashvilibidzina kraevaâzadačadlâodnogoklassanelinejnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenijsčastnymiproizvodnymivysokogoporâdka AT kharibegashviliss krajovazadačadlâodnogoklasunelíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivisokogoporâdku AT midodashvilibg krajovazadačadlâodnogoklasunelíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivisokogoporâdku AT haribegašviliss krajovazadačadlâodnogoklasunelíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivisokogoporâdku AT midodašvilibg krajovazadačadlâodnogoklasunelíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivisokogoporâdku AT midodashvilibidzina krajovazadačadlâodnogoklasunelíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivisokogoporâdku |