$K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I
УДК 517.5 Based on the Hadamard composition in the Hardy, Bergman and Gvaradze Banach spaces of functions analytic in the unit circle, we consider a generalization of the $K$-functional. In solving some extreme problems of the theory of approximation in the complex plane, we obtain cert...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6980 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512575268061184 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | УДК 517.5
Based on the Hadamard composition in the Hardy, Bergman and Gvaradze Banach spaces of functions analytic in the unit circle, we consider a generalization of the $K$-functional. In solving some extreme problems of the theory of approximation in the complex plane, we obtain certain exact results in the case where the indicated $K$-functional is used as a  characteristic of smoothness.  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.6980 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.6980
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Унiверситет iм. А. Нобеля, Днiпро),
М. Б. Вакарчук (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
\bfitK -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI
ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ У КРУЗI ФУНКЦIЙ. I
Based on the Hadamard composition in the Hardy, Bergman and Gvaradze Banach spaces of functions analytic in the unit
circle, we consider a generalization of the K -functional. In solving some extreme problems of the theory of approximation
in the complex plane, we obtain certain exact results in the case where the indicated K -functional is used as a characteristic
of smoothness.
У банахових просторах Гардi, Бергмана та Гварадзе аналiтичних в одиничному крузi функцiй розглянуто узагаль-
нення K -функцiонала, яке базується на використаннi композицiї Адамара. При розв’язаннi деяких екстремальних
задач теорiї апроксимацiї у комплекснiй площинi отримано точнi результати, коли зазначений K -функцiонал вико-
ристовується як характеристика гладкостi функцiї.
1. Вступ. В теорiї апроксимацiї функцiй дiйсної змiнної часто використовується iдея замiни
довiльної функцiї f достатньо гладкою функцiєю g. Одна з найбiльш ефективних її реалiзацiй
заснована на методi K -функцiонала Петре в теорiї iнтерполяцiйних просторiв [1]. Зазначимо
також, що K -функцiонали знайшли застосування при розв’язаннi низки задач, в тому числi й
екстремальних, теорiї наближення функцiй як дiйсної, так i комплексної змiнних (див., напри-
клад, [2 – 14]).
Щодо остаточних результатiв, пов’язаних з обчисленням точних значень рiзних n-попереч-
никiв класiв аналiтичних у колi функцiй (див., наприклад, [15 – 31]), слiд зазначити, що найбiль-
ший, на нашу думку, iнтерес мають задачi, пов’язанi з дослiдженням класiв, якi визначаються
за допомогою рiзних характеристик гладкостi (модулiв неперервностi, модулiв гладкостi або їх
усереднень) та мажорант (див., наприклад, [16 – 18, 22 – 25, 28 – 31]). Для успiшного розв’язання
вказаних задач необхiдно на класи мажорант накладати певнi обмеження та доводити, що такi
класи не є порожнiми, а це потребує певних зусиль i в переважнiй бiльшостi випадкiв удається
визначити не бiльш як одну таку мажоранту (див., наприклад, [17, 18, 29]).
Однак для класiв, означених за допомогою K -функцiоналiв та мажорант, отримання оста-
точних результатiв при розв’язаннi екстремальних задач оптимiзацiйного змiсту приводить до
найбiльш простого обмеження на мажоранти, яке задовольняють вiдразу кiлька множин функ-
цiй [7]. У зв’язку з викладеним метою даної статтi є поширення результатiв роботи [7] на
банаховi простори Бергмана та Гварадзе, а також на класи аналiтичних в одиничному крузi
функцiй, якi визначаються за допомогою композицiй (добуткiв) Адамара.
1.1. Нехай U = \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} — одиничний круг i A(U) — клас аналiтичних в U
функцiй. Символом Hq, 1 \leq q \leq \infty , позначимо банахiв простiр Гардi, що складається з
функцiй f \in A(U), для яких норма є скiнченною, тобто
\| f\| q := \| f\| Hq = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ Mq(f ; \rho ) : \rho \rightarrow 1 - 0\} < \infty , 1 \leq q < \infty , (1.1)
де
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4 469
470 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Mq(f ; \rho ) :=
\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
| f(\rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\tau ))| qd\tau
\right\}
1/q
.
У випадку q = \infty маємо \| f\| \infty := \| f\| H\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ | f(z)| : z \in U\} < \infty .
Через H \prime
q, 1 \leq q \leq \infty , позначимо банахiв простiр Бергмана, який мiстить функцiї f \in A(U),
що мають скiнченну норму
\| f\| H\prime
q
:=
\left\{ 1
\pi
\int \int
U
| f(z)| qdxdy
\right\}
1/q
=
\left\{ 2
1\int
0
\rho M q
q (f ; \rho )d\rho
\right\}
1/q
< \infty , z = x+ iy, (1.2)
де 1 \leq q < \infty . Якщо q = \infty , то \| f\| H\prime
\infty = \| f\| \infty < \infty .
Ромберг, Дюрен та Шилдс [32] ввели простори \scrB p, 0 < p < 1, функцiй f \in A(U), для яких
\| f\| \scrB p =
1\int
0
2\pi \int
0
(1 - \rho )1/p - 2| f(\rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\tau ))| d\tau d\rho < \infty ,
та вивчали основнi властивостi їхнiх елементiв.
Природним узагальненням просторiв \scrB p, 0 < p < 1, стали введенi М. I. Гварадзе [33]
банаховi простори \frakB (p, q, \lambda ), де 0 < p < q \leq \infty , 1 \leq \lambda \leq \infty , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda , q) \geq 1, для елементiв f
яких норма визначається формулами
\| f\| p,q,\lambda := \| f\| \frakB (p,q,\lambda ) =
\left\{
1\int
0
(1 - \rho )\lambda (1/p - 1/q) - 1M\lambda
q (f ; \rho )d\rho
\right\}
1/\lambda
< \infty , 1 \leq \lambda < \infty ,
\| f\| p,q,\infty := \| f\| \frakB (p,q,\infty )
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
(1 - \rho )1/p - 1/qMq(f ; \rho ) : 0 < \rho < 1
\Bigr\}
< \infty , \lambda = \infty .
(1.3)
У порiвняннi з простором Гардi Hq простори Бергмана H \prime
q та Гварадзе \frakB (p, q, \lambda ) дозволя-
ють вивчати аналiтичнi функцiї з менш жорсткими обмеженнями на їхню поведiнку поблизу
межi круга U. Для пiдтвердження зазначеного скористаємось лемою, отриманою М. I. Гварадзе,
сформулювавши її у зручному для нас виглядi.
Лема А (див. [34], гл. 1, § 1, лема 1.3, [10]). Якщо
f\tau (z) =
\sum
k\in \BbbZ +
n\tau
kz
nk ,
де \tau > 0, nk \in \BbbN , k = 1, 2, . . . , i
1 < d \leq nk+1
nk
< \widetilde d < \infty ,
d i \widetilde d — сталi, якi не залежать вiд k, то при будь-якому 1 \leq q \leq \infty має мiсце оцiнка
c1(1 - \rho ) - \tau \leq Mq(f\tau ; \rho ) \leq c2(1 - \rho ) - \tau , 0 < \rho < 1. (1.4)
Тут c1 i c2 — сталi, що залежать вiд \tau , d, \widetilde d i не залежать вiд \rho .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 471
Формулу (1.4) можна записати у виглядi
Mq(f\tau ; \rho ) \asymp (1 - \rho ) - \tau , (1.5)
де символом \asymp позначено спiввiдношення слабкої еквiвалентностi. Очевидно, що функцiя f\tau
є аналiтичною у крузi U.
Нехай 1 \leq q < \infty i виконано умови леми А. Тодi, виходячи з формул (1.1) i (1.5), очевидно,
що функцiя f\tau не належить простору Гардi Hq, 1 \leq q \leq \infty , нi при якому \tau > 0.
Використовуючи формули (1.2) i (1.5), при 1 \leq q < \infty маємо
\| f\| qH\prime
q
\asymp
1\int
0
\rho (1 - \rho ) - \tau qd\rho = B(2, 1 - \tau q),
де
B(a; b) =
1\int
0
xa - 1(1 - x)b - 1dx, a > 0, b > 0,
— iнтеграл Ейлера першого роду. При 0 < \tau < 1/q iнтеграл B(2, 1 - \tau q) iснує, але при
1/q \leq \tau < \infty вiн є розбiжним. Це означає, що функцiя f\tau належить простору Бергмана лише
при \tau \in (0, 1/q) i не належить йому, якщо \tau \in [1/q,\infty ).
Вважаючи, що 0 < p < q < \infty , q \geq 1, 1 \leq \lambda < \infty , з формул (1.3), (1.5) отримуємо для
функцiї f\tau таке спiввiдношення:
\| f\tau \| \lambda p,q,\lambda =
1\int
0
(1 - \rho )\lambda (1/p - 1/q) - 1M\lambda
q (f\tau ; \rho )d\rho \asymp
1\int
0
(1 - \rho )\lambda (1/p - 1/q - \tau ) - 1d\rho . (1.6)
Iнтеграл у правiй частинi (1.6) iснує, якщо 0 < \tau < 1/p - 1/q, а це означає, що f\tau \in \frakB (p,q,\lambda ).
Якщо, зокрема, p = q/2, то для \tau отримаємо той же iнтервал (0, 1/q), що й у випадку про-
стору Бергмана H \prime
q. При 0 < p < q/2 зазначений вище iнтервал (0, 1/p - 1/q) змiни \tau вже
мiстить у собi iнтервал (0, 1/q). Якщо ж 1/p - 1/q \leq \tau < \infty , то у правiй частинi (1.6) отрима-
ємо розбiжний невласний iнтеграл, тобто в цьому випадку функцiя f\tau не належить простору
\frakB (p,q,\lambda ).
Далi пiд символом X(U) будемо розумiти будь-який iз вказаних вище банахових просторiв
— Гардi Hq, Бергмана H \prime
q або Гварадзе \frakB (p, q, \lambda ). Через X\rho := X(U\rho ), 0 < \rho \leq 1, U1 \equiv U,
позначатимемо банахiв простiр аналiтичних у крузi U\rho := \{ z \in \BbbC : | z| < \rho \} функцiй f, для
яких \| f(z)\| X\rho := \| f(\rho z)\| X < \infty .
1.2. Нехай m \in \BbbZ + i функцiя
Bm(z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq m)
\beta jz
j , (1.7)
де \beta j \not = 0 для всiх j = m,m+ 1, . . . , є аналiтичною в одиничному крузi U i такою, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ j
\sqrt{}
| \beta j | : j \rightarrow \infty \} = 1. (1.8)
Кожнiй функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
472 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
f(z) =
\sum
j\in \BbbZ +
cj(f)z
j , (1.9)
яка належить множинi A(U), де числа cj(f) = f (j)(0)/j!, j \in \BbbZ +, є її коефiцiєнтами Тейлора,
поставимо у вiдповiднiсть функцiю
D(Bm, f ; z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq m)
\beta jcj(f)z
j , (1.10)
яку називають композицiєю (або добутком) Адамара функцiй (1.7) i (1.9) (див., наприклад,
[35], гл. IV, § 22, пункт 3, [36]). Зазначимо, що композицiя Адамара є широким узагальненням
поняття iнтегродиференцiювання. Зокрема, якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \beta j : j \rightarrow \infty \} = \infty , (1.11)
то маємо узагальнення операцiї диференцiювання. З огляду на формули (1.8) зазначимо, що
радiуси збiжностi степеневих рядiв (1.9) i (1.10) збiгаються.
Зауваження 1. Скрiзь далi числова послiдовнiсть \{ \beta j\} j\in \BbbZ +
(j\geq m)
окрiм властивостей (1.8) i
(1.11) повинна задовольняти таку умову: послiдовнiсть \{ 1/| \beta j | \} j\in \BbbZ +
(j\geq m)
є монотонно спадною.
Тодi з (1.11) випливає, що при j \rightarrow \infty нуль є її граничною точкою.
Наведемо кiлька прикладiв композицiй Адамара. Нехай \alpha — додатне не цiле число i [\alpha ] —
його цiла частина. У формулi (1.7), де m = [\alpha ], вважаємо, що\Bigl\{ \widehat \beta j = \Gamma (j + 1)/\Gamma (j - \alpha + 1)
\Bigr\}
j\in \BbbZ +(j\geq [\alpha ])
,
де \Gamma (x), x > 0, є iнтегралом Ейлера другого роду. Тодi композицiєю Адамара функцiї
\widehat B[\alpha ](z) :=
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq [\alpha ])
\widehat \beta jzj (1.12)
i функцiї (1.9), що належить множинi A(U), буде дробова похiдна в сенсi Рiмана – Лiувiлля
f (\alpha )(z) [19], тобто
D( \widehat B[\alpha ], f ; z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq [\alpha ])
\Gamma (j + 1)
\Gamma (j - \alpha + 1)
cj(f)z
j = f (\alpha )(z). (1.13)
У випадку, коли \alpha = r, де r \in \BbbN , з (1.13) отримуємо
D( \widehat Br, f ; z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq r)
j!
(j - r)!
cj(f)z
j = zrf (r)(z). (1.14)
Нехай в (1.7) m = 1, \{ \widetilde \beta j = (ij)\alpha \} j\in \BbbN , де \alpha > 0. Тодi композицiєю Адамара функцiї
\widetilde B\alpha ,arg
1 (z) :=
\sum
j\in \BbbN
\widetilde \beta jzj (1.15)
i функцiї (1.9) буде похiдна Вейля порядку \alpha вiд f по аргументу t комплексної змiнної z =
= \rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it), тобто [35] (гл. IV, § 19, пункт 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 473
D( \widetilde B\alpha ,arg
1 , f ; z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)\alpha cj(f)z
j .
Якщо \alpha = r, де r \in \BbbN , то звiдси маємо
D( \widetilde Br,arg
1 , f ; z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)rcj(f)z
j =
\partial rf(\rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it))
\partial tr
. (1.16)
1.3. Нехай f — довiльний елемент простору Гардi Hq, 1 \leq q \leq \infty , i l \in \BbbN . Нагадаємо, що
функцiя
\omega l(f, t)q := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l\sum
j=0
( - 1)l - j
\biggl(
l
j
\biggr)
f(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(t+ jh)))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
: 0 \leq h \leq t
\right\} (1.17)
є модулем неперервностi l-го порядку для f \in Hq. При розв’язаннi проблеми Гардi – Лiттлвуда
для аналiтичних функцiй f \in Hq Е. О. Стороженко ввела спецiальний модуль неперервностi
l-го порядку
\widetilde \omega l(f, t)q := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| [\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it), \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(t+ h)), . . . , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(t+ lh))]f \times
\times
l\prod
j=1
(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(t+ jh)) - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
: 0 \leq h \leq t
\right\} , (1.18)
де [\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it), \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(t+h)), . . . , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(t+lh))]f — розподiлена рiзниця функцiї f, яка побудована по
точках \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(t+ jh)), j = 0, l. Зазначимо, що характеристику гладкостi (1.18) використовував
також Ю. В. Крякiн [3] для отримання аналогiв теорем Джексона у просторi Гардi Hq.
Нехай функцiя \varphi є елементом множини A(U), l \in \BbbN i \varphi (l)
arg(z) :=
\partial l\varphi (\rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it))
\partial tl
. У просто-
рах Гардi Hq, 1 \leq q \leq \infty , окрiм модулiв неперервностi l-го порядку (1.17), (1.18) розглядались
i K -функцiонали таких видiв [3]:
Kl,arg(f, t)q := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\| f - \varphi \| q + t\| \varphi (l)
arg\| q : \varphi (l)
arg \in Hq
\Bigr\}
, (1.19)
\widetilde Kl(f, t)q := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\| f - \varphi \| q + t\| \varphi (l)\| q : \varphi (l) \in Hq
\Bigr\}
, (1.20)
де t \geq 0. При цьому, як зазначено в [7], для будь-яких значень l \in \BbbN i 0 \leq t \leq \pi у сенсi слабкої
еквiвалентностi мають мiсце такi спiввiдношення:
Kl,arg(f, t)q \asymp \omega l(f, t)q, \widetilde Kl(f, t)q \asymp \widetilde \omega l(f, t)q, (1.21)
де f \in Hq — довiльнa функцiя. Цi спiввiдношення стали певним пiдґрунтям для використання
K -функцiоналiв (1.19), (1.20) для визначення нових класiв функцiй i розв’язання на них низки
екстремальних задач теорiї апроксимацiї у комплекснiй площинi [7].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
474 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
2. Узагальнення \bfitK -функцiонала в комплекснiй площинi. Перш нiж перейти до уза-
гальнення K -функцiоналiв (1.19), (1.20), сформулюємо необхiдне для подальшого викладу
означення та доведемо одне твердження.
Означення (див., наприклад, [19, 20]). Функцiя Bm(z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq m)
\beta jz
j , де m \in \BbbZ +,
\beta j \not = 0 для всiх j = m,m+ 1, . . . , називається припустимою у крузi U\rho , 0 < \rho \leq 1, якщо для
будь-яких r \in (0, \rho ), 0 \leq t < 2\pi , n > m, n \in \BbbN , виконується нерiвнiсть
\Xi n(Bm; r, t) :=
1
2
+ \mathrm{R}\mathrm{e}
\left( \beta n
\sum
j\in \BbbN
rj
\beta n+j
eijt
\right) \geq 0. (2.1)
Наприклад, функцiї (1.12) i (1.15) є припустимими у крузi U [19].
Твердження 1. Нехай X(U) — один iз розглянутих ранiше банахових просторiв аналi-
тичних у колi U функцiй, функцiя Bm(z), m \in \BbbZ +, задовольняє вимоги зауваження 1 i є
припустимою в U. Тодi якщо для довiльної функцiї f \in A(U) її композицiя Адамара D(Bm, f)
належить простору X(U), то i сама функцiя f є його елементом.
Доведення. Нехай f(z) =
\sum
j\in \BbbZ +
cj(f)z
j — довiльна функцiя з множини A(U). Розглянемо
для неї при n > m, n \in \BbbN , алгебраїчний многочлен
V\Lambda (Bm),n - 1(f, z) :=
n - 1\sum
j=0
\lambda j,n - 1(Bm)cj(f)z
j , (2.2)
де у випадку m \in \BbbN його коефiцiєнти
\lambda j,n - 1(Bm) =
\left\{
1, якщо j = 0, . . . ,m - 1,
1 - \beta j\beta n
\beta n\beta 2n - j
, якщо j = m, . . . , n - 1,
а у випадку m = 0
\lambda j,n - 1(B0) = 1 - \beta j\beta n
\beta n\beta 2n - j
, j = 0, n - 1.
Скористаємось спiввiдношенням, наведеним у роботi [20], яке з урахуванням введених нами
позначень набирає вигляду
f(rz) = V\Lambda (Bm),n - 1(f, rz) +
1
\pi \beta ni
\int
| \xi | =r
D
\biggl(
Bm, f ;
rz
\xi
\biggr)
\xi n\Xi n(Bm; r, t)
d\xi
\xi
, (2.3)
де 0 < r < 1, z \in U, m \in \BbbZ +, n \in \BbbN , n > m. Зазначимо, що рiвнiсть (2.3) перевiряється без-
посередньо шляхом почленного iнтегрування з використанням формул (1.10), (2.2). Вважаючи
в (2.3) z = Rei\theta , де 0 < R < 1, 0 \leq \theta < 2\pi i n = m+ 1, записуємо
f(rRei\theta ) = V\Lambda (Bm),m(f, rRei\theta ) +
rm+1
\pi \beta m+1
2\pi \int
0
D(Bm, f ;Rei(\theta - t))ei(m+1)t\Xi m+1(Bm; r, t)dt. (2.4)
Оскiльки функцiя Bm є припустимою, то з (2.4) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 475
| f(rRei\theta )| \leq | V\Lambda (Bm),m(f, rRei\theta )| +
+
rm+1
\pi | \beta m+1|
2\pi \int
0
| D(Bm, f ;Rei(\theta - t))| \Xi m+1(Bm; r, t)dt. (2.5)
Над обома частинами спiввiдношення (2.5) послiдовно виконаємо такi операцiї: пiднесемо
їх до степеня q, 1 \leq q < \infty , i в правiй частинi використаємо нерiвнiсть (a+b)q \leq 2q - 1(aq+bq),
a, b > 0; зiнтегруємо по змiннiй \theta в межах вiд 0 до 2\pi ; помножимо на 1/(2\pi ); пiднесемо
до степеня 1/q i в правiй частинi використаємо нерiвнiсть (a + b)1/q \leq a1/q + b1/q, a, b > 0.
Застосуємо до другого доданка у правiй частинi одержаної таким чином нерiвностi узагальнену
нерiвнiсть Мiнковського. В результатi одержимо спiввiдношення
Mq(f ; rR) \leq 21 - 1/q
\Biggl\{
Mq(V\Lambda (Bm),m(f); rR) +
r(m+1)
| \beta m+1|
Mq(D(Bm, f);R)
\Biggr\}
.
Переходячи в обох частинах цiєї нерiвностi до границi при r \rightarrow 1 - 0, одержуємо
Mq(f ;R) \leq 21 - 1/q
\biggl\{
Mq(V\Lambda (Bm),m(f);R) +
1
| \beta m+1|
Mq(D(Bm, f);R)
\biggr\}
.
У випадку, коли q = \infty , з (2.5) отримуємо
M\infty (f ;R) \leq
\biggl\{
M\infty (V\Lambda (Bm),m(f);R) +
1
| \beta m+1|
M\infty (D(Bm, f);R)
\biggr\}
.
Поєднуючи двi останнi нерiвностi, для будь-якого 1 \leq q \leq \infty записуємо
Mq(f ;R) \leq 2
\biggl\{
Mq(V\Lambda (Bm),m(f);R) +
1
| \beta m+1|
Mq(D(Bm, f);R)
\biggr\}
. (2.6)
Не обмежуючи загальностi, вважаємо, що X(U) є банаховим простором Гварадзе
\frakB (p, q, \lambda ). Нехай 1 \leq \lambda < \infty . Використовуючи означення норми (1.3) у просторi \frakB (p, q, \lambda ),
над обома частинами спiввiдношення (2.6) послiдовно виконаємо такi операцiї: пiднесемо їх
до степеня \lambda , помножимо на величину (1 - R)\lambda (1/p - 1/q) - 1, зiнтегруємо по змiннiй R в межах
вiд 0 до 1 i пiднесемо до степеня 1/\lambda . В результатi отримаємо нерiвнiсть
\| f\| p,q,\lambda \leq 22 - 1/\lambda
\biggl\{
\| V\Lambda (Bm),m(f)\| p,q,\lambda +
1
| \beta m+1|
\| D(Bm, f)\| p,q,\lambda
\biggr\}
. (2.7)
Враховуючи, що норма полiнома (2.2) у просторi Гварадзе є скiнченним числом i функцiя
D(Bm, f) належить \frakB (p, q, \lambda ), з (2.7) маємо \| f\| p,q,\lambda < \infty , тобто f \in \frakB (p, q, \lambda ).
Нехай \lambda = \infty . Помноживши обидвi частини (2.6) на величину (1 - R)1/p - 1/q, обчисливши
точну верхню межу по 0 < R < 1 та використавши означення норми у просторi \frakB (p, q,\infty ),
одержимо нерiвнiсть (2.7), де \lambda = \infty . З цього випливає, що f \in \frakB (p, q,\infty ).
Твердження 1 доведено.
Спираючись на iнформацiю, викладену у пунктах 1.1 i 1.2, розглянемо певне узагальнення
K -функцiонала. Вважаючи, що X(U) є одним iз розглянутих вище банахових просторiв ана-
лiтичних у крузi U функцiй, покладаємо X(U,D(Bm)) := \{ g \in A(U) : D(Bm, g) \in X(U)\} ,
m \in \BbbZ +. Тодi для f \in X(U) величину
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
476 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
\scrK Bm(f, t)X := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - g\| X + t\| D(Bm, g)\| X : g \in X(U,D(Bm))\} , t \geq 0, (2.8)
будемо називати узагальненим K -функцiоналом.
Нехай X(U) \equiv Hq, 1 \leq q \leq \infty . Виходячи з формули (1.15), де \alpha = l, l \in \BbbN , i вважаючи,
що m = 1 i B1(z) \equiv \widetilde Bl,arg
1 (z), з (2.8) отримуємо K -функцiонал (1.19). Якщо ж використаємо
формулу (1.14), де r = l, l \in \BbbN , i вважатимемо, що m = l i Bl(z) \equiv \widehat Bl(z), то з (2.8) одержимо
K -функцiонал (1.20).
3. Деякi допомiжнi твердження. Наведемо кiлька означень та фактiв, необхiдних для
доведення наступних тверджень.
Теорема А (див. [37], гл. V, пункт 1). Якщо \alpha j \rightarrow 0 при j \rightarrow \infty i послiдовнiсть \alpha 0, \alpha 1, . . .
. . . , \alpha j , . . . опукла, то ряд \alpha 0/2 +
\sum
j\in \BbbN
\alpha j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jt є збiжним скрiзь, за винятком, можливо,
точки t = 0, до деякої невiд’ємної iнтегровної функцiї \varphi (t) i є її рядом Фур’є.
Нагадаємо, що послiдовнiсть \{ \alpha j\} j\in \BbbZ + є опуклою, якщо \Delta 2\alpha j \geq 0 для всiх j \in \BbbZ +, де
\Delta \alpha j := \alpha j - \alpha j+1, \Delta
2\alpha j := \Delta \alpha j - \Delta \alpha j+1. З геометричної точки зору це рiвносильно тому, що
ламана з вершинами в точках (j, \alpha j), j \in \BbbZ +, є опуклою.
Зазначимо [37] (гл. III, пункт 4), що коли функцiя \alpha (t), 0 \leq t < \infty , є опуклою, то числова
послiдовнiсть \{ \alpha j = \alpha (j)\} j\in \BbbZ + також буде опуклою.
Позначимо символом \scrP n, n \in \BbbZ +, пiдпростiр алгебраїчних полiномiв степеня n, тобто
\scrP n :=
\Bigl\{
pn(z) =
\sum n
j=0
ajz
j : aj \in \BbbC , j = 0, n
\Bigr\}
.
3.1. Твердження 2. Нехай X(U) — будь-який банахiв простiр аналiтичних у крузi U функ-
цiй: Гардi, Бергмана або Гварадзе i 0 < \rho \leq 1. Тодi для довiльного полiнома pn \in \scrP n викону-
ється нерiвнiсть
\| pn\| X \leq 1
\rho n
\| pn\| X\rho . (3.1)
Доведення. У випадку \rho = 1 спiввiдношення (3.1) є очевидним. Тому нехай 0 < \rho < 1.
Для довiльного полiнома pn \in \scrP n запишемо рiвнiсть, яка перевiряється безпосередньо:
pn(z) =
1
\pi \rho n
2\pi \int
0
pn(ze
- it\rho )eint\eta \rho (t)dt, (3.2)
де z = Rei\theta , 0 \leq R \leq 1, 0 \leq \theta < 2\pi , \eta \rho (t) := 1/2 +
\sum
j\in \BbbN
\rho j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jt. Оскiльки функцiя \rho t, де
\rho = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, 0 < \rho < 1, 0 \leq t < \infty , є опуклою, то числова послiдовнiсть \{ \rho j\} j\in \BbbZ + також буде
опуклою. Тодi, згiдно з теоремою А, функцiя \eta \rho (t) буде невiд’ємною й iнтегровною на вiдрiзку
[0, 2\pi ].
Нехай 1 \leq q < \infty . Вважаючи z = Rei\theta , де 0 \leq R \leq 1, 0 \leq \theta < 2\pi , i використовуючи (3.2)
та узагальнену нерiвнiсть Мiнковського, записуємо\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
| pn(Rei\theta )| qd\theta
\right\}
1/q
\leq
\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
\left( 1
\pi \rho n
2\pi \int
0
| pn(R\rho ei(\theta - t))| \eta \rho (t)dt
\right) q
d\theta
\right\}
1/q
\leq
\leq 1
\pi \rho n
2\pi \int
0
\eta \rho (t)
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
| pn(R\rho ei(\theta - t))| qd\theta
\right) 1/q
dt =
1
\rho n
Mq(pn;R\rho ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 477
тобто
Mq(pn;R) \leq 1
\rho n
Mq(pn;R\rho ). (3.3)
Якщо q = \infty , то нерiвнiсть (3.3) отримаємо, використавши формули (3.2) i
M\infty (pn;R) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | pn(Rei\theta )| : 0 \leq \theta < 2\pi \} .
Не зменшуючи загальностi, розглянемо випадок, коли X(U) = H \prime
q, 1 \leq q \leq \infty . При q = \infty
нерiвнiсть (3.1) випливає з (3.3) при R \rightarrow 1 - 0, оскiльки H \prime
\infty = H\infty . Якщо 1 \leq q < \infty , то
послiдовно виконуємо над обома частинами спiввiдношення (3.3) такi операцiї: пiдносимо їх
до степеня q, множимо на 2R, iнтегруємо по змiннiй R в межах вiд 0 до 1 i пiдносимо до
степеня 1/q. Пiсля виконання зазначених дiй одержимо нерiвнiсть
\| pn\| H\prime
q
\leq 1
\rho n
\| pn\| H\prime
q,\rho
.
Твердження 2 доведено.
3.2. Наступний результат можна розглядати як певне узагальнення нерiвностi С. М. Нiколь-
ського для алгебраїчних полiномiв у комплекснiй площинi.
Твердження 3. Нехай X(U) — будь-який банахiв простiр, зазначений у попередньому
твердженнi; pn \in \scrP n, n \in \BbbN , — довiльний полiном; коефiцiєнти Тейлора припустимої функ-
цiї Bm(z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq m)
\beta jz
j , m \in \BbbZ +, для будь-яких натуральних чисел n > m i значень
0 \leq t < 2\pi задовольняють умову
1
2
+ \mathrm{R}\mathrm{e}
\left( 1
\beta n
n - 1\sum
j=m
\beta je
i(n - j)t
\right) \geq 0. (3.4)
Тодi
\| D(Bm, pn)\| X \leq | \beta n| \| pn\| X . (3.5)
Доведення. Нехай pn =
\sum n
j=0
ajz
j — довiльним полiном iз пiдпростору \scrP n i n > m.
Тодi його композицiєю Адамара є функцiя D(Bm, pn; z) =
\sum n
j=m
\beta jajz
j . Нехай z = Rei\theta , де
0 \leq R \leq 1, 0 \leq \theta < 2\pi . Шляхом безпосередньої перевiрки можна переконатись у правильностi
рiвностi
D(Bm, pn;Rei\theta ) =
\beta n
\pi
2\pi \int
0
pn(Rei(\theta - t))e - int
\left[ 1
2
+ \mathrm{R}\mathrm{e}
\left( 1
\beta n
n - 1\sum
j=m
\beta je
i(n - j)t
\right) \right] dt,
з якої маємо
| D(Bm, pn;Rei\theta )| \leq | \beta n|
\pi
2\pi \int
0
| pn(Rei(\theta - t))|
\left[ 1
2
+ \mathrm{R}\mathrm{e}
\left( 1
\beta n
n - 1\sum
j=m
\beta je
i(n - j)t
\right) \right] dt. (3.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
478 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Як i в попереднiх твердженнях, над обома частинами спiввiдношення (3.6) послiдовно викона-
ємо такi дiї: пiднесемо до степеня q, 1 \leq q < \infty ; зiнтегруємо по змiннiй \theta в межах вiд 0 до 2\pi ;
помножимо на 1/(2\pi ); пiднесемо до степеня 1/q; застосуємо, з урахуванням (3.4), до iнтеграла
у правiй частинi одержаної таким чином нерiвностi узагальнену нерiвнiсть Мiнковського. В
результатi отримаємо спiввiдношення
Mq(D(Bm, pn);R) \leq | \beta n| Mq(pn;R). (3.7)
У випадку q = \infty спiввiдношення (3.7) одержуємо завдяки формулам (3.4) i (3.6), спрямовуючи
R до 1 злiва.
Не зменшуючи загальностi, вважаємо, що X(U) = Hq, 1 \leq q \leq \infty . Використовуючи
нерiвнiсть (3.7) i означення норми у просторi Гардi, отримуємо нерiвнiсть (3.5) у виглядi
\| D(Bm, pn)\| q \leq | \beta n| \| pn\| q,
що i завершує доведення твердження 3.
3.3. Наведемо кiлька прикладiв конкретизацiї останього твердження.
3.3.1. Нехай маємо функцiю вигляду (1.12), де \alpha = r, r \in \BbbN , тобто
\widehat Br(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq r)
j!zj
(j - r)!
.
У даному випадку коефiцiєнти Тейлора функцiї \widehat Br мають вигляд \widehat \beta j =
\prod r - 1
\nu =0
(j - \nu ), де
j \in \BbbN , j \geq r. Неважко переконатися в тому, що функцiя \widehat fr - 1(t) :=
\Bigl\{ \prod r - 1
\nu =0
(t - \nu ), якщо
t \geq r - 1; 0, якщо t < r - 1
\Bigr\}
буде опуклою. Звiдси випливає, що числова послiдовнiсть
\{ \widehat \beta j = \widehat fr - 1(j)\} j\in \BbbN (j\geq r) теж буде опуклою, причому \widehat \beta j \rightarrow \infty при j \rightarrow \infty .
Розглянемо, виходячи з (3.4), при n > r, n \in \BbbN , функцiю
\widehat \xi n(t) := 1
2
+ \mathrm{R}\mathrm{e}
\left( 1\widehat \beta n
n - 1\sum
j=r
\widehat \beta jei(n - j)t
\right) =
1\widehat \beta n
\left( \widehat \beta n
2
+
n - r\sum
j=1
\widehat \beta n - j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jt
\right) . (3.8)
Вираз у дужках у правiй частинi формули (3.8) запишемо у виглядi
\widehat b0
2
+
\sum
j\in \BbbN
\widehat bj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jt,
де \widehat bj := \{ \widehat \beta n - j , якщо j = 0, n - r; 0, якщо j = n - r + 1, n - r + 2, . . .\} . З вищенаведеного
випливає, що числова послiдовнiсть \{ \widehat bj\} j\in \BbbZ + є опуклою. Оскiльки вона є незростаючою i
такою, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \widehat bj : j \rightarrow \infty \} = 0, то, згiдно з теоремою А, функцiя \widehat \xi n(t) буде невiд’ємною на
вiдрiзку [0, 2\pi ] для будь-якого натурального числа n > r. Тодi з формул (1.14), (3.5) одержуємо
[38]
\| zrp(r)n (z)\| X \leq \alpha n,r\| pn\| X ,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 479
\alpha j,r :=
r - 1\prod
\nu =0
(j - \nu ), j \in \BbbN , j \geq r. (3.9)
Якщо, зокрема, X(U) = Hq, 1 \leq q \leq \infty , то звiдси отримуємо
\| p(r)n \| q \leq \alpha n,r\| pn\| q.
3.3.2. Розглянемо далi, виходячи з (1.15), функцiю \widetilde Br,arg
1 (z) =
\sum
j\in \BbbN
\widetilde \beta jzj , для якої \{ \widetilde \beta j =
= (ij)r\} j\in \BbbN , r \in \BbbN . Оскiльки функцiя \widetilde f0(t) := \{ tr, якщо t \geq 0; 0, якщо t < 0\} є опуклою, то це
означає, що числова послiдовнiсть \{ | \widetilde \beta j | = \widetilde f0(j)\} j\in \BbbN теж буде опуклою i такою, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ | \widetilde \beta j | :
j \rightarrow \infty \} = \infty . Розглянемо у вiдповiдностi з (3.4) функцiю
\widetilde \xi n(t) := 1
2
+ \mathrm{R}\mathrm{e}
\left( 1\widetilde \beta n
n - 1\sum
j=1
\widetilde \beta jei(n - j)t
\right) =
1
n
\left( n
2
+
n - 1\sum
j=1
(n - j) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jt
\right) , (3.10)
де n > 1, n \in \BbbN . Вираз у дужках у правiй частинi (3.10) запишемо у виглядi
\widetilde b0
2
+
\sum
j\in \BbbN
\widetilde bj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jt,
де \widetilde bj := \{ n - j, якщо j = 0, n - 1; 0, якщо j = n, n + 1, . . .\} . З наведеного ранiше випливає,
що числова послiдовнiсть \{ \widetilde bj\} j\in \BbbZ + є опуклою i такою, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \widetilde bj : j \rightarrow \infty \} = 0. Тодi, згiдно
з теоремою А, функцiя \widetilde \xi n(t) \geq 0 на вiдрiзку 0 \leq t \leq 2\pi для довiльного натурального числа
n > 1. Використовуючи твердження 3 i спiввiдношення (1.16), записуємо [38]
\| (pn)(r)arg\| X \leq nr \| pn\| X ,
де
(pn(z))
(r)
arg :=
\partial rpn(\rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it))
\partial tr
.
4. Найкращi полiномiальнi наближення аналiтичних функцiй у банахових просторах
\bfitX (\bfitU \bfitrho ), \bfzero < \bfitrho \leq \bfone .
4.1. Нехай X(U) — один iз розглянутих ранiше банахових просторiв, а Ln — пiдпростiр ви-
мiрностi n, n \in \BbbN , який належить X(U). Через E(f, Ln, X) позначимо найкраще наближення
функцiї f \in X(U) елементами пiдпростору Ln у метрицi простору X(U), тобто
E(f, Ln, X) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - g\| X : g \in Ln\} . (4.1)
Нагадаємо, зокрема, що функцiонал (4.1) є однорiдним, тобто
E(\lambda f, Ln, X) = | \lambda | E(f, Ln, X), \lambda \in \BbbC . (4.2)
Вiдомо [2] (гл. 6, § 1, твердження 1.1), що K -функцiонал є, зокрема, неперервною зро-
стаючою напiвадитивною функцiєю. Перш нiж використовувати його в якостi оцiнки зверху
величини найкращого полiномiального наближення (4.1), потрiбно переконатись у тому, що при
t, яке прямує до нуля справа, узагальнений K -функцiонал (2.8) буде мати своєю граничною
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
480 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
точкою нуль. Наприклад, у випадку X(U) = Hq, 1 \leq q \leq \infty , для конкретних K -функцiоналiв
(1.19), (1.20), якi є частковими випадками узагальненого K -функцiонала (2.8), це випливає зi
спiввiдношень (1.21).
Нехай у (2.8) функцiя Bm(z), m \in \BbbZ +, задовольняє вимоги зауваження 1 i умови тверджен-
ня 3. Покладемо \scrP :=
\bigcup
n\in \BbbN
\scrP n - 1. Оскiльки довiльний полiном p \in \scrP є елементом множини
X(U,D(Bm)), то для f \in X(U) з (2.8) маємо
\scrK Bm(f, t)X \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - p\| X + t\| D(Bm, p)\| X : p \in \scrP \} .
У випадку розгляду в банаховому просторi X(U) модуля неперервностi вигляду
\omega (f, t)X := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f(\xi z1) - f(\xi z2)\| X : | z1 - z2| \leq t, z1, z2 \in U\}
в роботi [20] було отримано нерiвнiсть
E(f,\scrP n - 1, X) \leq e
e - 1
\omega
\biggl(
f,
1
n
\biggr)
X
.
Використовуючи твердження 3, для узагальненого K -функцiонала записуємо
\scrK Bm(f, t)X \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - p\| X + t| \beta | \| p\| X : p \in \scrP \} .
Оскiльки будь-який скiнченновимiрний пiдпростiр лiнiйного нормованого простору є мно-
жиною iснування елемента найкращого наближення pn - 1(f) для f \in X(U) [39] (гл. 1, § 1.3),
маємо
E(f,\scrP n - 1, X) = \| f - pn - 1(f)\| X , n \in \BbbN .
Нехай \varepsilon > 0 — довiльне мале число. Для нього знайдеться таке натуральне число n0 =
= n0(\varepsilon ), n0 > m, для якого
\| f - pn0 - 1(f)\| X \leq e
e - 1
\omega
\biggl(
f,
1
n0
\biggr)
X
<
\varepsilon
2
.
Тодi для всiх значень 0 < t < \delta , де \delta := \varepsilon /(2| \beta n0 - 1| \| pn0 - 1(f)\| ), одержуємо
\scrK Bm(f, t)X \leq \| f - pn0 - 1(f)\| X + t | \beta n0 - 1| \| pn0 - 1(f)\| X < \varepsilon ,
а це означає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \scrK Bm(f, t)X : t \rightarrow 0+\} = 0.
Таким чином, узагальнений K -функцiонал (2.8) подiбно до модуля неперервностi може
використовуватись як певна характеристика функцiї при оцiнюваннi зверху величини її найкра-
щого полiномiального наближення (4.1). Зазначимо, що в певному сенсi аналогiчний випадок
розглянуто i в роботi Г. В. Радзiєвського [5].
4.2. Теорема 1. Нехай s,m \in \BbbZ + i задано функцiї
B\ast
s (z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq s)
\beta \ast
j z
j , \beta \ast
j \not = 0 \forall j \geq s,
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 481
Bm(z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq m)
\beta jz
j ; \beta j \not = 0 \forall j \geq m,
якi задовольняють сформульованi у зауваженнi 1 вимоги, є припустимими у колi U\rho , 0 <
< \rho \leq 1, а Bm(z) задовольняє умови твердження 3. Тодi для довiльного натурального числа
n > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(s,m) має мiсце рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
| \beta \ast
n| E(f,\scrP n - 1, X\rho )
\rho n\scrK Bm(D(B\ast
s , f); 1/| \beta n| )
: f \in X(U,D(B\ast
s ))
\biggr\}
= 1. (4.3)
Доведення. Iз твердження 1 випливає, що функцiя f \in X(U,D(B\ast
s )) належить банаховому
простору X(U), а отже i простору X(U\rho ), а узагальнений K -функцiонал композицiї Адамара
D(B\ast
s , f) згiдно з (2.8) має вигляд
\scrK Bm(D(B\ast
s , f); t)X = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| D(B\ast
s , f) - g\| X+
+t\| D(Bm, g)\| X : g \in X(U,D(Bm))\} , t \geq 0. (4.4)
Iз твердження 1 також випливає належнiсть функцiї g до простору X(U).
Нам знадобляться такi результати, якi випливають з роботи [20] i будуть сформульованi з
використанням уведених нами позначень:
для довiльних n > s, n \in \BbbN , s \in \BbbZ +, f \in X(U,D(B\ast
s )) виконується нерiвнiсть
E(f,\scrP n - 1, X\rho ) \leq
\rho n
| \beta \ast
n|
E(D(B\ast
s , f),\scrP n - 1, X); (4.5)
для довiльної функцiї g \in X(U,D(Bm)) при n > m, n \in \BbbN ,m \in \BbbZ +, виконується нерiвнiсть
\| g - V\Lambda (Bm),n - 1(g)\| X \leq 1
| \beta n|
\| D(Bm, g)\| X , (4.6)
де алгебраїчний полiном V\Lambda (Bm),n - 1(g) визначається формулою (2.2).
Використовуючи формулу (4.1), записуємо
E(D(B\ast
s , f),\scrP n - 1, X) \leq \| D(B\ast
s , f) - V\Lambda (Bm),n - 1(g)\| X \leq
\leq \| D(B\ast
s , f) - g\| X + \| g - V\Lambda (Bm),n - 1(g)\| X . (4.7)
Якщо натуральне число n є бiльшим, нiж \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(s,m), то з (4.5) – (4.7) отримуємо
E(f,\scrP n - 1, X\rho ) \leq
\rho n
| \beta \ast
n|
\biggl\{
\| D(B\ast
s , f) - g\| X +
1
| \beta n|
\| D(Bm, g)\| X
\biggr\}
. (4.8)
Оскiльки лiва частина нерiвностi (4.8) не залежить вiд функцiї g, то, обчислюючи точну нижню
межу по g \in X(U,D(Bm)) вiд її правої частини i використовуючи формули (4.4), маємо
E(f,\scrP n - 1, X\rho ) \leq
\rho n
| \beta \ast
n|
\scrK
\biggl(
D(B\ast
s , f);
1
| \beta n|
\biggr)
X
або
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
| \beta \ast
n| E(f,\scrP n - 1, X\rho )
\rho n\scrK Bm(D(B\ast
s , f), 1/| \beta n| )X
: f \in X(U,D(B\ast
s ))
\biggr\}
\leq 1. (4.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
482 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Отримаємо оцiнку знизу екстремальної характеристики, розташованої в лiвiй частинi не-
рiвностi (4.9). Для цього розглянемо функцiю \mu (z) := zn/\beta \ast
n. Оскiльки її композицiя Ада-
мара D(B\ast
s , \mu ; z) = zn, то D(Bm, D(B\ast
s , \mu ); z) = \beta nz
n, тобто D(B\ast
s , \mu ) належить множинi
X(U,D(Bm)).
Одержимо оцiнку зверху узагальненого K -функцiонала
\scrK Bm(D(B\ast
s , \mu ); t)X =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| D(B\ast
s , \mu ) - g\| X + t\| D(Bm, g)\| X : g \in X(U,D(Bm))\} , t \geq 0, (4.10)
вважаючи у (4.10) спочатку g \equiv 0, а потiм g \equiv D(B\ast
s , \mu ):
\scrK Bm(D(B\ast
s , \mu ); t)X \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \| D(B\ast
s , \mu )\| X , t\| D(Bm, D(B\ast
s , \mu ))\| X\} =
= \| zn\| X \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, t| \beta n| \} \leq \| zn\| X . (4.11)
Спираючись на теорему Хана – Банаха та критерiй елемента найкращого наближення в
комплексному сепарабельному банаховому просторi, встановлений В. М. Нiкольським [40], у
роботi [20] було показано, що коли n0, n1, n2, . . . , nk — невiд’ємнi цiлi числа, для яких nj \not = ns
при j \not = s, j, s = 0, k, то
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| zn0 -
k\sum
j=1
cjz
nj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X\rho
: cj \in \BbbC , j = 1, k
\right\} = \| zn0\| X\rho , 0 < \rho \leq 1.
Використовуючи дане спiввiдношення i (4.1), (4.2), записуємо
E(\mu ,\scrP n - 1, X\rho ) =
1
| \beta \ast
n|
E(zn,\scrP n - 1, X\rho ) =
1
| \beta \ast
n|
\| zn\| X\rho =
\rho n
| \beta \ast
n|
\| zn\| X . (4.12)
За допомогою формул (4.11), (4.12) отримуємо таку оцiнку знизу:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
| \beta \ast
n| E(f,\scrP n - 1, X\rho )
\rho n\scrK Bm(D(B\ast
s , f); 1/| \beta n| )X
: f \in X(U,D(B\ast
s ))
\biggr\}
\geq
\geq | \beta \ast
n| E(\mu ,\scrP n - 1, X\rho )
\rho n\scrK Bm(D(B\ast
s , \mu ), 1/| \beta n| )X
\geq 1. (4.13)
Рiвнiсть (4.3) одержуємо зi спiввiдношень (4.9), (4.13).
Теорему 1 доведено.
Не зменшуючи загальностi, наведемо конкретизацiю теореми 1 для простору Гардi Hq,
1 \leq q \leq \infty . Використавши твердження 1, введемо у розгляд такi класи функцiй:
H l
q := \{ f \in A(U) : f (l) \in Hq\} та H l,arg
q := \{ f \in A(U) : f (l)
arg \in Hq\} , l \in \BbbN .
Тодi згiдно з (1.19), (1.20), (2.8) i (1.15), (1.12), де \alpha = l, для f \in Hq маємо
Kl,arg(f, t)q = \scrK \widetilde Bl,arg
1
(f, t)q, \widetilde Kl(f, t)q = \scrK \widehat Bl
(f, t)q, t \geq 0.
Тут \scrK Bm(f, t)q := \scrK Bm(f, t)Hq .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 483
Наслiдок 1. Нехай r, l \in \BbbN , 0 < \rho \leq 1, 1 \leq q \leq \infty . Якщо
B\ast
1(z) =
\widetilde Br,arg
1 (z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)rzj i B1(z) = \widetilde Bl,arg
1 (z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)lzj ,
то для будь-якого натурального числа n > 1 має мiсце рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
nrE(f,\scrP n - 1, Hq,\rho )
\rho nKl,arg(f
(r)
arg, n - l)q
: f \in Hr,arg
q
\Biggr\}
= 1.
Якщо
B\ast
1(z) =
\widetilde Br,arg
1 (z) i Bl(z) = \widehat Bl(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq l)
\alpha j,lz
j ,
де числа \alpha j,l визначаються формулою (3.9), то для довiльного натурального числа n > l
виконується рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
nrE(f,\scrP n - 1, Hq,\rho )
\rho n \widetilde Kl(f
(r)
arg, 1/\alpha n,l)q
: f \in Hr,arg
q
\Biggr\}
= 1.
Нехай
B\ast
r (z) = \widehat Br(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq r)
\alpha j,rz
j i B1(z) = \widetilde Bl,arg
1 (z).
Тодi для довiльного натурального числа n > r маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
\alpha n,rE(f,\scrP n - 1, Hq,\rho )
\rho nKl,arg(f (r), n - l)q
: f \in Hr
q
\biggr\}
= 1.
Якщо
B\ast
r (z) =
\widehat Br(z) i Bl(z) = \widehat Bl(z),
то для будь-якого натурального числа n > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(r, l) виконується рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
\alpha n,rE(f,\scrP n - 1, Hq,\rho )
\rho n \widetilde Kl(f (r), 1/\alpha n,l)q
: f \in Hr
q
\Biggr\}
= 1.
Лiтература
1. И. Берг, Й. Лефстрем, Интерполяционные пространства, Мир, Москва (1980).
2. R. A. DeVore, G. G. Lorentz, Constructive approximation, Springer-Verlag, New York (1993).
3. Ю. В. Крякин, Приближение функций на единичной окружности в пространствах Lp и Hp , Автореф. дис. ...
канд. физ.-мат. наук, Одесса (1985).
4. P. Oswald, On some approximation properties of real Hardy space (0 < p \leq 1), J. Approx. Theory, 40, № 1, 45 – 65
(1984).
5. G. V. Radzievskii, On the best approximations and rate of convergence of decompositions in the root vectors of an
operator, Ukr. Math. J., 49, № 6, 844 – 864 (1997).
6. S. B. Vakarchuk, K -functionals and exact values of n-widths of some classes in L2 , Math. Notes, 66, № 4, 404 – 408
(1999).
7. С. Б. Вакарчук, О точных значениях n-поперечников функциональных классов в банаховых пространствах
Hp , Доп. НАН України, № 9, 7 – 10 (2000).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
484 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
8. S. B. Vakarchuk, K -functionals and exact values of n-widths of certain classes in the spaces C(2\pi ) and L1(2\pi ),
Math. Notes, 71, № 4, 477 – 485 (2002).
9. S. B. Vakarchuk, K -functionals and n-widths of classes of periodic functions of two variables, East J. Approx., 8,
№ 2, 161 – 182 (2002).
10. S. B. Vakarchuk, A. V. Shvachko, On the best approximation in the mean by algebraic polynomials with weight and
the exact values of widths for the classes of functions, Ukr. Math. J., 65, № 12, 1774 – 1792 (2014).
11. S. B. Vakarchuk, Mean approximation of functions on the real axis by algebraic polynomials with Chebyshev – Hermite
weight and widths of function classes, Math. Notes, 95, № 5, 599 – 614 (2014).
12. S. B. Vakarchuk, Meansquare approximation of function classes, given on the all real axis R by the entere functions
of exponential type, Intern. J. Adv. Res. Math., 6, 1 – 12 (2016).
13. М. Саидусайнов, K -функционалы и точные значения n-поперечников в пространстве Бергмана, Урал. мат.
журн., 3, № 2, 74 – 81 (2017).
14. M. Sh. Shabozov, O. A. Dzhurakhonov, Upper bounds for approximation of some classes of bivariate functions by
triangular Fourier – Hermite sums in the space L2,\rho (\BbbR 2), Anal. Math., 45, № 4, 823 – 840 (2019).
15. В. М. Тихомиров, Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближе-
ний, Успехи мат. наук, 15, № 3, 81 – 120 (1960).
16. Л. В. Тайков, О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций, Мат. заметки,
1, № 2, 155 – 162 (1967).
17. Л. В. Тайков, Поперечники некоторых классов аналитических функций, Мат. заметки, 22, № 2, 285 – 295 (1977).
18. Н. Айнуллоев, Л. В. Тайков, Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единич-
ном круге функций, Мат. заметки, 40, № 3, 341 – 351 (1986).
19. М. З. Двейрин, Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге, Теория
приближения функций, Тр. Междунар. конф. по теории приближений, Наука, Москва (1977), с. 129 – 132.
20. М. З. Двейрин, И. В. Чебаненко, О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических
функций, Теория отображений и приближение функций, Сб. научн. тр. Ин-та прикл. математики и механики
АН УССР, Наук. думка, Киев (1983), с. 62 – 73.
21. Ю. А. Фарков, Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре \BbbC n , Успехи мат. наук, 45, № 5, 197 – 198 (1990).
22. S. B. Vakarchuk, On the best linear approximation methods and the widths of certain classes of analytic functions,
Math. Notes, 65, № 2, 153 – 158 (1999).
23. S. B. Vakarchuk, Exact values of widths of classes of analytic functions on the disk and best linear approximation
methods, Math. Notes, 72, № 5, 615 – 619 (2003).
24. S. B. Vakarchuk, On some extremal problems of approximation theory in the complex plane, Ukr. Math. J., 56, № 9,
1371 – 1390 (2004).
25. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Best linear approximation methods for functions of Taikov classes in the Hardy
spaces Hq,\rho , q \geq 1, 0 < \rho \leq 1, Math. Notes, 85, № 3, 322 – 327 (2009).
26. V. V. Savchuk, Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials,
Ukr. Math. J., 58, № 12, 1904 – 1915 (2006).
27. V. V. Savchuk, Best linear methods of approximation and optimal orthonormal systems of the Hardy space, Ukr.
Math. J., 60, № 5, 730 – 743 (2008).
28. S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozov, The widths of classes of analytic functions in a disc, Sb. Math., 201, № 8,
1091 – 1110 (2010).
29. М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова, О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций,
Изв. Тул. гос. ун-та. Естествен. науки, № 3, 48 – 59 (2012).
30. M. Sh. Shabozov, G. A.Yusupov, Best approximation methods and widths for some classes of functions in Hq,\rho ,
1 \leq q < \infty , 0 < \rho \leq 1, Sib. Math. J., 57, № 2, 369 – 376 (2016).
31. S. B. Vakarchuk, Estimates of the values of n-widths of classes of analytic functions in the weight spaces H2,\gamma (D),
Math. Notes, 108, № 6, 775 – 790 (2020).
32. P. L. Duren, B. W. Romberg, F. L. Shields, Linear functionals in Hp spaces with 0 < p < 1, J. reine und angew.
Math., 238, 4 – 60 (1969).
33. М. И. Гварадзе, Об одном классе пространств аналитических функций, Мат. заметки, 21, № 2, 141 – 150
(1977).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 485
34. М. И. Гварадзе, Об одном классе пространств аналитических функций, Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Тбилиси
(1975).
35. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и их приложения,
Наука и техника, Минск (1987).
36. J. T. Scheik, Polynomial approximation of functions analytic in a disk, Proc. Amer. Math. Soc., 17, № 6, 1238 – 1243
(1966).
37. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. 1, Мир, Москва (1965).
38. S. B. Vakarchuk, Diameters of certain classes of functions analytic in the unit disc. I, Ukr. Math. J., 42, № 7, 769 – 778
(1990).
39. Н. П. Корнейчук, Экстремальные задачи теории приближения, Наука, Москва (1976).
40. В. Н. Никольский, Распространение теоремы А. Н. Колмогорова на банаховы пространства функций, Иссле-
дования по современным проблемам конструктивной теории функций, Физматгиз, Москва (1961), с. 335 – 337.
Одержано 03.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-6980 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:58Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b9/65409385bec5164d0af49ecc0e27d7b9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69802022-07-06T16:22:31Z $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I $K$ -функціонали та екстремальні задачі теорії апроксимації класів аналітичних у крузі функцій. I Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. модуль неперервності, K-функціонал, композиція Адамара, найкращі поліноміальні наближення УДК 517.5 Based on the Hadamard composition in the Hardy, Bergman and Gvaradze Banach spaces of functions analytic in the unit circle, we consider a generalization of the $K$-functional.&nbsp;In solving some extreme problems of the theory of approximation in the complex plane, we obtain certain exact results in the case where the indicated $K$-functional is used as a&nbsp; characteristic of smoothness.&nbsp; УДК 517.5 У банахових просторах Гардi, Бергмана та Гварадзе аналiтичних в одиничному крузi функцiй розглянуто узагальнення $K$-функцiонала, яке базується на використаннi композицiї Адамара. При розв’язаннi деяких екстремальних задач теорiї апроксимацiї у комплекснiй площинi отримано точнi результати, коли зазначений $K$-функцiонал використовується як характеристика гладкостi функцiї. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-31 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6980 10.37863/umzh.v74i4.6980 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 469 - 485 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 469 - 485 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6980/9225 Copyright (c) 2022 Сергій Борисович Вакарчук, Михайло Вакарчук |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I |
| title | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I |
| title_alt | $K$ -функціонали та екстремальні задачі теорії апроксимації класів аналітичних у крузі функцій. I |
| title_full | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I |
| title_fullStr | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I |
| title_full_unstemmed | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I |
| title_short | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. I |
| title_sort | $k$-functionals and extreme problems of the theory of approximation for classes of analytic functions in the circle. i |
| topic_facet | модуль неперервності K-функціонал композиція Адамара найкращі поліноміальні наближення |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6980 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationforclassesofanalyticfunctionsinthecirclei AT vakarchukmb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationforclassesofanalyticfunctionsinthecirclei AT vakarčuksb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationforclassesofanalyticfunctionsinthecirclei AT vakarčukmb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationforclassesofanalyticfunctionsinthecirclei AT vakarchuksb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíji AT vakarchukmb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíji AT vakarčuksb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíji AT vakarčukmb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíji |