$K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II
UDC 517.5 The exact values of the Kolmogorov, Bernstein, and trigonometric $n$-widths of the classes defined by using the Hadamard compositions, generalized $K$-functionals, and majorants are obtained in the Hardy, Bergman, and Gvaradze Banach spaces. The exact values of the upper boundaries of the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6981 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512576399474688 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:12Z |
| description | UDC 517.5
The exact values of the Kolmogorov, Bernstein, and trigonometric $n$-widths of the classes defined by using the Hadamard compositions, generalized $K$-functionals, and majorants are obtained in the Hardy, Bergman, and Gvaradze Banach spaces. The exact values of the upper boundaries of the moduli of Fourier coefficients were also found in the indicated classes of functions. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i7.6981 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i7.6981
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Унiверситет iм. А. Нобеля, Днiпро),
М. Б. Вакарчук (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
\bfitK -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ
КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ У КРУЗI ФУНКЦIЙ. II
The exact values of the Kolmogorov, Bernstein, and trigonometric n-widths of the classes defined by using the Hadamard
compositions, generalized K -functionals, and majorants are obtained in the Hardy, Bergman, and Gvaradze Banach spaces.
The exact values of the upper boundaries of the moduli of Fourier coefficients were also found in the indicated classes of
functions.
У банахових просторах Гардi, Бергмана та Гварадзе аналiтичних в одиничному крузi функцiй отримано точнi значен-
ня колмогоровського, бернштейнiвського та тригонометричного n-поперечникiв класiв, означених за допомогою
композицiй Адамара, узагальнених K -функцiоналiв та мажорант. На зазначених класах функцiй також знайдено
точнi значення верхнiх меж модулiв коефiцiєнтiв Тейлора.
Ця стаття є продовженням роботи [1], тому в нiй продовжено нумерацiю пунктiв i формул у
кожному з них.
5. Точнi значення \bfitn -поперечникiв класiв аналiтичних в одиничному крузi функцiй,
визначених за допомогою \bfitK -функцiоналiв. 5.1. Нагадаємо, що пiд X(U), як i в [1], розу-
мiємо такi банаховi простори аналiтичних в одиничному крузi U функцiй: простори Гардi Hq,
1 \leq q \leq \infty , Бергмана H \prime
q, 1 \leq q \leq \infty , та Гварадзе \frakB (p, q, \lambda ), 0 < p < q \leq \infty , 1 \leq \lambda \leq \infty ,
min(q, \lambda ) \geq 1.
Нехай Ln \subset X(U), n \in \BbbN , — пiдпростiр розмiрностi n, а E(f, Ln, X), де X є просто-
ром X(U), — найкраще наближення функцiї f \in X(U) елементiв пiдпростору Ln у метрицi
простору X(U). Величина E(\frakM , Ln, X) буде характеризувати вiдхилення множини функцiй
\frakM \subset X(U) вiд пiдпростору Ln в X(U), тобто
E(\frakM , Ln, X) := sup\{ E(f, Ln, X) : f \in \frakM \} .
Для центрально-симетричної множини \frakM \subset X(U) величина
dn(\frakM , X) = inf\{ E(\frakM , Ln, X) : Ln \subset X(U)\} , n \in \BbbN , (5.1)
є колмогоровським n-поперечником \frakM у просторi X(U) i характеризує мiнiмальну похибку,
яку можна забезпечити, якщо наближати \frakM рiзними n-вимiрними пiдпросторами Ln з X(U).
Пiдпростiр L\ast
n, для якого
dn(\frakM , X) = E(\frakM , L\ast
n, X),
буде екстремальним для множини \frakM у просторi X(U). Нагадаємо, що n-поперечники dn(\frakM , X)
було введено А. М. Колмогоровим у 1936 роцi.
На початку 70-х рокiв минулого столiття В. М. Тихомиров увiв до розгляду бернштейнiв-
ський n-поперечник bn. Нехай \BbbS — одинична куля у просторi X(U). Тодi, з огляду на введенi
позначення, можемо записати
bn(\frakM , X) = sup\{ sup\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbS \cap Ln+1 \subset \frakM \} : Ln+1 \subset X(U)\} , n \in \BbbN . (5.2)
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7 921
922 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Якщо iснує пiдпростiр \widetilde Ln+1 \subset X(U), для якого
bn(\frakM , X) = sup\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbS \cap \widetilde Ln+1 \subset \frakM \} ,
то вiн буде екстремальним для бернштейнiвського n-поперечника.
Нехай \frakN n := \{
- \rightarrow
Mn = (m1, . . . ,mn) : mj \in \BbbZ +, j=1, n,m1 < m2 < . . . < mn\} . Символом
L(
- \rightarrow
Mn) позначимо n-вимiрний пiдпростiр полiномiв вигляду
L(
- \rightarrow
Mn) :=
\left\{ P - \rightarrow
Mn
(z) =
n\sum
j=1
ajz
mj : aj \in \BbbC , j = 1, n
\right\} .
У 1974 роцi Р. С. Iсмагiлов увiв до розгляду поняття тригонометричного n-поперечника dTn,
який у комплексному випадку можна записати таким чином [2]:
dTn(\frakM , X) = inf
\Bigl\{
E(\frakM , L(
- \rightarrow
Mn), X) :
- \rightarrow
Mn \subset \frakN n
\Bigr\}
, n \in \BbbN . (5.3)
Якщо iснує пiдпростiр L(
- \rightarrow
M\ast
n) \subset X(U), для якого
dTn(\frakM , X) = E(\frakM , L(
- \rightarrow
M\ast
n), X),
то вiн є екстремальним для множини \frakM у просторi X(U).
Мiж указаними n-поперечниками, коли \frakM є центрально-симетричною множиною, має мiс-
це така низка нерiвностей:
bn(\frakM , X) \leq dn(\frakM , X) \leq dTn(\frakM , X) \leq E(\frakM ,\scrP n - 1, X), (5.4)
де \scrP n - 1 :=
\Bigl\{
pn - 1(z) =
\sum n - 1
j=0
ajz
j : aj \in \BbbC , j = 0, n - 1
\Bigr\}
.
5.2. Неперервну функцiю \Omega , яка зростає на [0,\infty ) й така, що \Omega (0) = 0, будемо називати
мажорантою. Мажоранту \Omega ще називають k-мажорантою, k \in \BbbN [3] (гл. 1, § 2, пункт 3), якщо
функцiя \Omega (t)/tk не зростає на iнтервалi (0,\infty ), тобто
\Omega (t1)
tk1
\geq \Omega (t2)
tk2
, (5.5)
де 0 < t1 \leq t2 < \infty . Скрiзь далi вважаємо, що мажоранта \Omega є 1-мажорантою.
Розглянемо функцiї
B\ast
s (z) =
\sum
j\in \BbbZ +(j\geq s)
\beta \ast
j z
j , s \in \BbbZ +, i Bm(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq m)
\beta jz
j , m \in \BbbZ +,
коефiцiєнти Тейлора яких \{ \beta \ast
j \} j\in \BbbZ +(j\geq s) i \{ \beta j\} j\in \BbbN (j\geq m) вiдповiдно задовольняють вимоги за-
уваження 1 iз роботи [1]. За допомогою цих функцiй визначимо такi класи:
WX(\scrK Bm ,\Omega ) :=
\bigl\{
f \in X(U) : \scrK Bm(f, t)X \leq \Omega (t) \forall t \in (0, \pi ]
\bigr\}
,
де
\scrK Bm(f, t)X = inf
\bigl\{
\| f - g\| X + t\| D(Bm, g)\| X : g \in X(U,D(Bm)
\bigr\}
, t \geq 0, (5.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 923
X(U,D(Bm)) = \{ g \in A(U) : D(Bm, g) \in X(U)\} ,
де A(U) — множина аналiтичних у крузi U функцiй, D(Bm, g) — композицiя Адамара функцiй
Bm(z) i g(z) \in A(U). Формулою (5.6) визначається узагальнений K -функцiонал, уведений в
[1]. Далi будемо вважати, що
WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ) :=
\bigl\{
f \in X(U,D(B\ast
s )) : D(B\ast
s , f) \in WX(\scrK Bm ,\Omega )
\bigr\}
. (5.7)
Не зменшуючи загальностi, надамо певну конкретизацiю класiв (5.7) у випадку, коли
X(U) = Hq, 1 \leq q \leq \infty . Нагадаємо (див. [1]), що при m = 1 i
B1(z) = \widetilde Bl,arg
1 (z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)lzj , l \in \BbbN ,
для f \in Hq маємо
Kl,arg(f, t)q := \scrK \widetilde Bl,arg
1
(f, t)Hq = inf
\bigl\{
\| f - g\| q + t\| g(l)arg\| q : g \in H l,arg
q
\bigr\}
. (5.8)
Якщо ж m = l, l \in \BbbN , i
Bl(z) = \widehat Bl(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq l)
\alpha j,lz
j ,
де \alpha j,l =
\prod l - 1
\nu =0
(j - \nu ), то для f \in Hq з (5.6) одержимо [1]
\widetilde Kl(f, t)q := \scrK \widehat Bl
(f, t)Hq = inf
\bigl\{
\| f - g\| q + t\| g(l)\| q : g \in H l
q
\bigr\}
. (5.9)
Тут g
(l)
arg(z) =
\partial lg(\rho exp(it))
\partial tl
, а g(l)(z) =
dlg(z)
dzl
.
Використовуючи замiсть функцiй B\ast
s (z), s\in \BbbZ \ast , наприклад, функцiї [1]
B\ast
1(z) = \widetilde Br,arg
1 (z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)rzj , r \in \BbbN ,
або функцiї
B\ast
r (z) =
\widehat Br(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq r)
\alpha j,rz
j , r \in \BbbN ,
з (5.7) – (5.9) отримуємо такi класи:
W r,arg
l,arg Hq(\Omega ) := WHq(D( \widetilde Br,arg
1 );\scrK \widetilde Bl,arg
1
,\Omega ) =
=
\bigl\{
f \in Hr,arg
q : Kl,arg(f
(r)
arg, t)q \leq \Omega (t) \forall t \in (0, \pi ]
\bigr\}
, (5.10)
W r
l Hq(\Omega ) := WHq(D( \widehat Br);\scrK \widehat Bl
,\Omega ) =
\bigl\{
f \in Hr
q : \widetilde Kl(f
(r), t) \leq \Omega (t) \forall t \in (0, \pi ]
\bigr\}
, (5.11)
W r
l,argHq(\Omega ) := WHq(D( \widehat Br);\scrK \widetilde Bl,arg
1
,\Omega ) =
=
\bigl\{
f \in Hr
q : Kl,arg(f
(r), t) \leq \Omega (t) \forall t \in (0, \pi ]
\bigr\}
, (5.12)
W r,arg
l Hq(\Omega ) := WHq(D( \widetilde Br,arg
1 );\scrK \widehat Bl
,\Omega ) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
924 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
=
\bigl\{
f \in Hr,arg
q : \widetilde Kl(f
(r)
arg, t) \leq \Omega (t) \forall t \in (0, \pi ]
\bigr\}
. (5.13)
5.3. Теорема 2. Нехай s,m \in \BbbZ +, функцiї B\ast
s (Z) i Bm(z) задовольняють вимоги зауваження
1 та твердження 3 iз [1] i є припустимими у крузi U\rho , 0 < \rho \leq 1; X\rho (U) — будь-який
банаховий простiр: Гардi, Бергмана або Гварадзе у крузi U\rho . Тодi для довiльного натурального
числа n > max(s,m) мають мiсце рiвностi
\Pi n(WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ), X\rho ) = E(WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ),\scrP n - 1, X\rho ) =
\rho n
| \beta \ast
n|
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
, (5.14)
де X\rho — простiр X\rho (U), \Pi n(\frakM , X\rho ) — будь-який n-поперечник: бернштейнiвський, колмого-
ровський або тригонометричний центрально-симетричної множини \frakM \subset X\rho (U). При цьому
пiдпростiр алгебраїчних полiномiв \scrP n - 1 буде екстремальним для колмогоровського i тригоно-
метричного n-поперечникiв, а пiдпростiр \scrP n — для бернштейнiвського n-поперечника.
Доведення. З теореми 1 (див. [1]) та означення класу WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ) отримаємо
оцiнку зверху його найкращого наближення елементами пiдпростору \scrP n - 1, а саме,
E(WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ),\scrP n - 1, X\rho ) \leq
\rho n
| \beta \ast
n|
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
. (5.15)
Виходячи з (5.4), обчислимо оцiнку знизу бернштейнiвського n-поперечника дослiджува-
ного класу функцiй. Для цього скористаємось означенням поперечника (5.2) i в пiдпросторi
полiномiв \scrP n розглянемо кулю \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ) радiуса
\widetilde \varepsilon := \rho n
| \beta \ast
n|
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
, (5.16)
тобто \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ) := \widetilde \varepsilon \BbbS \cap \scrP n = \{ pn \in \scrP n : \| pn\| X\rho \leq \widetilde \varepsilon \} .
Покажемо, що множина \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ) належить класу WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ). Оскiльки для до-
вiльного полiнома pn(z) =
\sum n
j=0
ajz
j (n > max(s,m)) його композицiєю Адамара є функцiя
D(Bm, pn; z) =
\sum n
j=m
\beta jajz
j , то очевидно, що pn \in X(U,D(Bm)). Покладаючи у формулi
(5.6) для f = pn послiдовно g \equiv 0 i g = pn, одержуємо спiввiдношення
\scrK Bm(pn, t)X \leq min\{ \| pn\| X , t\| D(Bm, pn)\| X\} , t \geq 0. (5.17)
Використовуючи отриману в твердженнi 3 з [1] нерiвнiсть
\| D(Bm, pn)\| X \leq | \beta n| \| pn\| X , (5.18)
з (5.17) маємо
\scrK Bm(pn, t)X \leq \| pn\| X min(1, t| \beta n| ), t \geq 0. (5.19)
Нехай полiном pn(z) є довiльним елементом множини \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ). Розглянемо два випадки:
0 < | \beta n| \leq 1/\pi i 1/\pi < | \beta n| .
Оскiльки у першому випадку маємо \pi \leq 1/| \beta n| , то, використовуючи спiввiдношення (5.19),
формулу (5.18) для функцiї B\ast
s , нерiвнiсть [1] (твердження 2)
\| pn\| X \leq 1
\rho n
\| pn\| X\rho (5.20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 925
i формулу (5.16), для довiльного значення t \in (0, \pi ] отримуємо низку нерiвностей
\scrK Bm(D(B\ast
s , pn), t)X \leq t| \beta n| \| D(B\ast
s , pn)\| X \leq t| \beta n| | \beta \ast
n| \| pn\| X \leq
\leq t
\rho n
| \beta n| | \beta \ast
n| \| pn\| X\rho \leq t| \beta n| \Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
. (5.21)
Оскiльки функцiя \Omega є 1-мажорантою, то згiдно з (5.5) для неї виконується нерiвнiсть
\Omega (t1)
t1
\geq \Omega (t2)
t2
, (5.22)
де 0 < t1 \leq t2 < \infty . Покладаючи у (5.22) t1 = t, де 0 < t \leq \pi , i t2 = 1/| \beta n| , з (5.21) одержуємо
\scrK Bm(D(B\ast
s , pn), t)X \leq \Omega (t). (5.23)
У другому випадку маємо 0 < 1/| \beta n| < \pi . Щодо змiнної t \in (0, \pi ] розглянемо двi можливi
ситуацiї: 0 < t \leq 1/| \beta n| або 1/| \beta n| < t \leq \pi . Нехай має мiсце перша з них. Використовуючи
формули (5.19), (5.18), (5.20), (5.16) та (5.22), де t1 = t, а t2 = 1/| \beta n| , для довiльного елемента
pn \in \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ), як i у першому випадку, отримуємо нерiвнiсть (5.23).
Якщо ж має мiсце друга ситуацiя, то скористаємося формулами (5.19), (5.18), (5.20), (5.16)
та монотоннiстю функцiї \Omega . В результатi для довiльного полiнома pn \in \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ) маємо
\scrK Bm(D(B\ast
s , pn), t)X \leq \| D(B\ast
s , pn)\| X \leq | \beta \ast
n| \| pn\| X \leq | \beta \ast
n|
\rho n
\| pn\| X\rho \leq \Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
\leq \Omega (t).
Таким чином, показано правильнiсть включення \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ) \subset WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ). Вико-
ристовуючи означення бернштейнiвського n-поперечника (5.2) i формулу (5.16), отримуємо
оцiнку знизу
bn(WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ), X\rho ) \geq
\geq sup\{ \varepsilon : \varepsilon \BbbS \cap \scrP n \subset WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega )\} \geq \widetilde \varepsilon = \rho n
| \beta \ast
n|
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
. (5.24)
Рiвностi (5.14) одержимо зi спiввiдношень (5.4), (5.15) i (5.24), що i завершить доведення
теореми 2.
Не зменшуючи загальностi, конкретизуємо у введених нами позначеннях теорему 2 для
просторiв Гардi. Для цього скористаємося спiввiдношеннями (5.8) – (5.13), де l = m, i (5.14).
Наслiдок 2. Нехай r,m \in \BbbN i 0 < \rho \leq 1. Якщо
B\ast
1(z) :=
\widetilde Br,arg
1 (z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)rzj i B1(z) := \widetilde Bm,arg
1 (z) =
\sum
j\in \BbbN
(ij)mzj , (5.25)
то для будь-якого натурального числа n > 1 мають мiсце рiвностi
\Pi n(W
r,arg
m,argHq(\Omega );Hq,\rho ) = E(W r,arg
m,argHq(\Omega );\scrP n - 1;Hq,\rho ) =
\rho n
nr
\Omega
\biggl(
1
nm
\biggr)
.
Якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
926 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
B\ast
r (z) := \widehat Br(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq r)
\alpha j,rz
j i Bm(z) := \widehat Bm(z) =
\sum
j\in \BbbN (j\geq m)
\alpha j,mzj , (5.26)
то для довiльного натурального числа n > max(r,m) справджуються рiвностi
\Pi n(W
r
mHq(\Omega );Hq,\rho ) = E(W r
mHq(\Omega );\scrP n - 1;Hq,\rho ) =
\rho n
\alpha n,r
\Omega
\biggl(
1
\alpha n,m
\biggr)
.
Якщо
B\ast
r (z) := \widehat Br(z) i B1(z) := \widetilde Bm,arg
1 (z), (5.27)
то для будь-якого натурального числа n > r правильними є рiвностi
\Pi n(W
r
m,argHq(\Omega );Hq,\rho ) = E(W r
m,argHq(\Omega );\scrP n - 1;Hq,\rho ) =
\rho n
\alpha n,r
\Omega
\biggl(
1
nm
\biggr)
.
Якщо ж
B\ast
1(z) :=
\widetilde Br,arg
1 (z) i Bm(z) := \widehat Bm(z), (5.28)
то для довiльного натурального числа n > m справедливими є рiвностi
\Pi n(W
r,arg
m Hq(\Omega );Hq,\rho ) = E(W r,arg
m Hq(\Omega );\scrP n - 1;Hq,\rho ) =
\rho n
nr
\Omega
\biggl(
1
\alpha n,m
\biggr)
,
де \Pi n(\frakM ;Hq,\rho ) — будь-який iз n-поперечникiв центрально-симетричної множини \frakM \subset Hq,\rho ,
перерахованих у теоремi 2.
Зазначимо, що одним iз прикладiв мажоранти \Omega , для якої виконується умова (5.22), є
довiльний опуклий догори модуль неперервностi \omega , означений на множинi [0,\infty ) [4] (гл. 2,
§ 1). Iншi приклади мажорант, що задовольняють умову (5.22), наведено в роботах [5 – 7].
6. Точнi значення модулiв коефiцiєнтiв Тейлора на класах функцiй \bfitW \bfitX (\bfitD (\bfitB \ast
\bfits );
\bfscrK \bfitB \bfitm ,\bfOmega ), \bfits ,\bfitm ,\in \BbbZ + . Питання щодо знаходження точних верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є
на рiзних класах функцiй дiйсної змiнної дослiджувалися, наприклад, у роботах О. В. Єфiмова,
О. П. Тiмана, М. П. Корнєйчука, В. I. Бердишева, С. О. Теляковського, А. I. Степанця та iнших.
У випадку аналiтичних функцiй комплексної змiнної подiбнi задачi розглядалися, наприклад, у
роботах [2, 8, 9].
Нехай \frakM — центрально-симетрична множина у банаховому просторi X\rho (U), 0 < \rho \leq 1.
Введемо позначення
\scrL n(\frakM ) := sup\{ | cn(f)| : f \in \frakM \} , n \in \BbbN , (6.1)
де cn(f) (n \in \BbbN ) — коефiцiєнти Тейлора функцiї f.
Теорема 3. Нехай функцiї B\ast
s (z) i Bm(z), s,m \in \BbbZ +, задовольняють умови теореми 2 i
функцiя \Omega є мажорантою. Тодi для будь-якого натурального числа n > max(s,m) має мiсце
спiввiдношення
\scrL n(WX(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega )) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 927
=
1
| \beta \ast
n|
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
\left\{
1, якщо X\rho (U) = Hq,\rho , 1 \leq q \leq \infty ,\Bigl( nq
2
+ 1
\Bigr) 1/q
, якщо X\rho (U) = H \prime
q,\rho , 1 \leq q < \infty ,
B - 1/\lambda (n\lambda +1, \lambda (1/p - 1/q)), якщо X\rho (U) = \frakB \rho (p, q, \lambda ),
0 < p < q \leq \infty ,
1 \leq \lambda \leq \infty ,min(q, \lambda ) \geq 1,
(6.2)
де 0 < \rho \leq 1, B(a, b) =
\int 1
0
ta - 1(1 - t)b - 1dt (a, b > 0) — iнтеграл Ейлера першого роду.
Доведення. Для коефiцiєнтiв Тейлора cn(f), n \in \BbbN , довiльної функцiї f \in A(U) i будь-
якого алгебраїчного полiнома pn - 1 \in \scrP n - 1 маємо
cn(f) =
1
2\pi i
\int
| \xi | =r
f(\xi )\xi - (n+1)d\xi =
1
2\pi rn
2\pi \int
0
(f(reit) - pn - 1(re
it))e - intdt,
де 0 < r < 1. Використовуючи нерiвнiсть Гельдера, звiдси одержуємо
| cn(f)| \leq
1
2\pi rn
2\pi \int
0
| f(reit) - pn - 1(re
it)| dt \leq 1
rn
Mq(f - pn - 1; r), 1 \leq q \leq \infty .
Вважаючи r := \rho R, де 0 < \rho \leq 1, 0 < R < 1, маємо
Rn| cn(f)| \leq
1
\rho n
Mq(f - pn - 1; \rho R). (6.3)
Не зменшуючи загальностi, розглянемо випадок, коли X\rho (U) = \frakB \rho (p, q, \lambda ), де 0 < p < q \leq
\leq \infty , min(\lambda , q) \geq 1, \lambda \not = \infty . Виконаємо над обома частинами нерiвностi (6.3) послiдовно такi
дiї: пiднесемо їх до степеня \lambda , помножимо на величину (1 - R)\lambda (1/p - 1/q) - 1, зiнтегруємо по R в
межах вiд 0 до 1 i пiднесемо до степеня 1/\lambda . Використовуючи означення норми у банаховому
просторi Гварадзе (див. [1]), в результатi отримуємо оцiнку зверху
| cn(f)| \leq
E(f,\scrP n - 1,\frakB \rho (p, q, \lambda ))
\rho nB1/\lambda (n\lambda + 1, \lambda (1/p - 1/q))
, n \in \BbbN . (6.4)
З (5.14), (6.1) i (6.4) одержуємо нерiвнiсть
\scrL n(W\frakB (p,q,\lambda )(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega )) \leq
E(W\frakB (p,q,\lambda )(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega ),\scrP n - 1,\frakB \rho (p, q, \lambda ))
\rho nB1/\lambda (n\lambda + 1, \lambda (1/p - 1/q))
=
=
1
| \beta \ast
n| B1/\lambda (n\lambda + 1, \lambda (1/p - 1/q))
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
, n > max(s,m). (6.5)
Якщо \lambda = \infty , то, переходячи в (6.5) до границi при \lambda \rightarrow \infty , записуємо оцiнку зверху
\scrL n(W\frakB (p,q,\infty )(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega )) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
928 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
\leq 1
| \beta \ast
n| sup\{ Rn(1 - R)1/p - 1/q : 0 < R < 1\}
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
, n > max(s,m). (6.6)
Отримаємо оцiнку знизу дослiджуваної екстремальної характеристики. Для цього розгля-
немо функцiю
f1(z) :=
\rho n
| \beta \ast
n|
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
zn
\| zn\| \frakB \rho (p,q,\lambda )
. (6.7)
Оскiльки
\| f1\| \frakB \rho (p,q,\lambda ) =
\rho n
| \beta \ast
n|
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
= \widetilde \varepsilon , (6.8)
де величину \widetilde \varepsilon було введено при доведеннi теореми 5.1 (див. формулу (5.16)), то (6.8) означає, що
функцiя f1 належить кулi \sigma n+1(\widetilde \varepsilon ), яка, в свою чергу, є пiдмножиною класу W\frakB (p,q,\lambda )(D(B\ast
s );
\scrK Bm ,\Omega ). Зважаючи на те, що
\| zn\| \frakB \rho (p,q,\lambda ) = \rho nB1/\lambda (n\lambda + 1, \lambda (1/p - 1/q)),
з (6.1) та (6.7) для n > max(s,m) маємо
\scrL n(W\frakB (p,q,\lambda )(D(B\ast
s );\scrK Bm ,\Omega )) \geq | cn(f1)| =
1
| \beta \ast
n| B1/\lambda (n\lambda + 1;\lambda (1/p - 1/q))
\Omega
\biggl(
1
| \beta n|
\biggr)
, (6.9)
де 1 \leq \lambda \leq \infty . Спiввiдношення (6.2), де X\rho (U) = \frakB \rho (p, q, \lambda ), одержимо, використавши
формули (6.5), (6.6) i (6.9).
Теорему 3 доведено.
Як i для теорем 1 (див. [1]) i 2, наведемо конкретизацiю теореми 3 на прикладi просторiв
Гардi Hq, 1 \leq q \leq \infty .
Наслiдок 3. Нехай r,m \in \BbbN . Якщо функцiї B\ast
1(z) i B1(z) визначаються формулами (5.25),
то для довiльного натурального числа n > 1 має мiсце рiвнiсть
\scrL n(W
r,arg
m,argHq(\Omega )) =
1
nr
\Omega
\biggl(
1
nm
\biggr)
.
Якщо функцiї B\ast
r (z) i Bm(z) визначаються формулами (5.26), то для будь-якого натурального
числа n > max(r,m) правильним є спiввiдношення
\scrL n(W
r
mHq(\Omega )) =
1
\alpha n,r
\Omega
\biggl(
1
\alpha n,m
\biggr)
.
Якщо функцiї B\ast
r (z) i B1(z) визначаються формулами (5.27), то для довiльного натурального
числа n > r справджується рiвнiсть
\scrL n(W
r
m,argHq(\Omega )) =
1
\alpha n,r
\Omega
\biggl(
1
nm
\biggr)
.
Якщо ж функцiї B\ast
1(z) i Bm(z) визначаються формулами (5.28), то для будь-якого натураль-
ного числа n > m справедливою є рiвнiсть
\scrL n(W
r,arg
m Hq(\Omega )) =
1
nr
\Omega
\biggl(
1
\alpha n,m
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
K -ФУНКЦIОНАЛИ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНI ЗАДАЧI ТЕОРIЇ АПРОКСИМАЦIЇ КЛАСIВ . . . 929
Лiтература
1. С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, K -функцiонали та екстремальнi задачи теорiї апроксимацiї класiв аналiтич-
них у крузi функцiй. I, Укр. мат. журн., 74, № 4, 469 – 485 (2022).
2. S. B. Vakarchuk, On some extremal problems of approximation theory in the complex plane, Ukr. Math. J., 56, № 9,
1371 – 1390 (2004).
3. И. А. Шевчук, Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций, Наук. думка, Киев
(1992).
4. И. К. Даугавет, Введение в теорию приближения функций, Ленингр. гос. ун-т, Ленинград (1977).
5. S. B. Vakarchuk, K -functionals and exact values of n-widths of some classes in L2 , Math. Notes, 66, № 4, 404 – 408
(1999).
6. С. Б. Вакарчук, О точных значениях n-поперечников функциональных классов в банаховых пространствах
Hp , Доп. НАН України, 9, 7 – 10 (2000).
7. S. B. Vakarchuk, K -functionals and exact values of n-widths of certain classes in the spaces C(2\pi ) and L1(2\pi ),
Math. Notes, 71, № 4, 477 – 485 (2002).
8. S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozov, The widths of classes of analytic functions in a disc, Sb. Math., 201, № 8,
1091 – 1110 (2010).
9. M. Sh. Shabozov, Kh. M. Khuromonov, On the best approximation in the mean of functions of a complex variable
by Fourier series in the Bergman space, Russian Math., 64, № 2, 66 – 83 (2020).
Одержано 03.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-6981 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:59Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/68/ea031ac1c5ecd4651cfe84ddf2637e68.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69812022-10-24T09:23:12Z $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II $K$-функціонали та екстремальні задачі теорії апроксимації класів аналітичних у крузі функцій. II. Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. K-функціонал, мажоранта, поперечник, клас функцій, коефіцієнти Тейлора UDC 517.5 The exact values of the Kolmogorov, Bernstein, and trigonometric $n$-widths of the classes defined by using the Hadamard compositions, generalized $K$-functionals, and majorants are obtained in the Hardy, Bergman, and Gvaradze Banach spaces. The exact values of the upper boundaries of the moduli of Fourier coefficients were also found in the indicated classes of functions. В банаховых пространствах Харди, Бергмана и Гварадзе аналитических вединичном круге функций получены точные значения колмогоровского,бернштейновского и тригонометрического $n$-поперечников классов,определенных при помощи композиций Адамара, обобщенных$K$-функционалов и мажорант. На указанных классах функций такженайдены точные значения верхних граней коэффициентов Тейлора. УДК 517.5 У банахових просторах Гардi, Бергмана та Гварадзе аналiтичних в одиничному крузi функцiй отримано точнi значення колмогоровського, бернштейнiвського та тригонометричного $n$-поперечникiв класiв, означених за допомогою композицiй Адамара, узагальнених $K$-функцiоналiв та мажорант. На зазначених класах функцiй також знайдено точнi значення верхнiх меж модулiв коефiцiєнтiв Тейлора. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-08-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6981 10.37863/umzh.v74i7.6981 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 7 (2022); 921 - 929 Український математичний журнал; Том 74 № 7 (2022); 921 - 929 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6981/9275 Copyright (c) 2022 Сергій Борисович Вакарчук |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II |
| title | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II |
| title_alt | $K$-функціонали та екстремальні задачі теорії апроксимації класів аналітичних у крузі функцій. II. |
| title_full | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II |
| title_fullStr | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II |
| title_full_unstemmed | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II |
| title_short | $K$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. II |
| title_sort | $k$-functionals and extreme problems of the theory of approximation of the classes of analytic functions in a circle. ii |
| topic_facet | K-функціонал мажоранта поперечник клас функцій коефіцієнти Тейлора |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6981 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationoftheclassesofanalyticfunctionsinacircleii AT vakarchukmb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationoftheclassesofanalyticfunctionsinacircleii AT vakarčuksb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationoftheclassesofanalyticfunctionsinacircleii AT vakarčukmb kfunctionalsandextremeproblemsofthetheoryofapproximationoftheclassesofanalyticfunctionsinacircleii AT vakarchuksb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíjii AT vakarchukmb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíjii AT vakarčuksb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíjii AT vakarčukmb kfunkcíonalitaekstremalʹnízadačíteorííaproksimacííklasívanalítičnihukruzífunkcíjii |