Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space
UDC 519.62, 519.63 We propose and analyze an exponentially convergent numerical method for solving a differential equation with a right-hand fractional Riemann-Liouville derivative and an unbounded operator coefficient in Banach space. We apply the representation of the solution by the Danford-Cauch...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6984 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512577096777728 |
|---|---|
| author | Vasylyk, V. B. Gavrilyuk, I. P. Makarov , V. L. Vasylyk, Vitaliy Василик, В. Б. Гаврилюк, I. П. Макаров , В. Л. |
| author_facet | Vasylyk, V. B. Gavrilyuk, I. P. Makarov , V. L. Vasylyk, Vitaliy Василик, В. Б. Гаврилюк, I. П. Макаров , В. Л. |
| author_sort | Vasylyk, V. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:45:58Z |
| description | UDC 519.62, 519.63
We propose and analyze an exponentially convergent numerical method for solving a differential equation with a right-hand fractional Riemann-Liouville derivative and an unbounded operator coefficient in Banach space. We apply the representation of the solution by the Danford-Cauchy integral on the hyperbola, which covers the spectrum of the operator coefficient with the subsequent application of an exponentially convergent quadrature. To do this, the parameters of the hyperbola are chosen so that the integration function has an analytical extension in the strip around the real axis and then apply the Sinc-quadrature. We show the exponential accuracy of the method and show numerical example that confirms the obtained a priori estimate. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i2.6984 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i2.6984
УДК 519.62, 519.63
В. Б. Василик* (Iн-т математики НАН України, Київ),
I. П. Гаврилюк (Унiверситет дуальної освiти Гера-Айзенах, Нiмеччина),
В. Л. Макаров** (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД НАБЛИЖЕННЯ
ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ I НЕОБМЕЖЕНИМ
ОПЕРАТОРНИМ КОЕФIЦIЄНТОМ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
We propose and analyze an exponentially convergent numerical method for solving a differential equation with a right-hand
fractional Riemann – Liouville derivative and unbounded operator coefficient in Banach space. We use the representation of
the solution by the Danford – Cauchy integral on a hyperbola, which covers the spectrum of the operator coefficient, with
subsequent application of an exponentially convergent quadrature. To this end, we choose the parameters of the hyperbola
in such a way that the integration function has an analytic extension in a strip containing the real axis, and then apply
the Sinc-quadrature. We prove the exponential accuracy of the method and present a numerical example that confirms the
obtained a priori estimate.
Запропоновано та проаналiзовано експоненцiально збiжний наближений метод розв’язування диференцiального
рiвняння з правосторонньою дробовою похiдною Рiмана – Лiувiлля i необмеженим операторним коефiцiєнтом у
банаховому просторi. Застосовано зображення розв’язку за допомогою iнтеграла Данфорда – Кошi по гiперболi,
що охоплює спектр операторного коефiцiєнта, з подальшим застосуванням експоненцiально збiжної квадратурної
формули. Для цього вибрано параметри гiперболи таким чином, щоб пiдiнтегральна функцiя мала аналiтичне
продовження в смугу навколо дiйсної осi, а потiм застосовано Sinc-квадратуру. Показано експоненцiальну точнiсть
методу i наведено числовi розрахунки тестового прикладу, що пiдтверджують апрiорну оцiнку.
1. Вступ. За останнi роки значно збiльшився iнтерес до диференцiальних рiвнянь з дро-
бовими похiдними. Це пов’язано з тим, що дробовий аналiз знайшов широке застосування
в моделюваннi багатьох природних i соцiальних явищ, про що свiдчить величезна кiлькiсть
публiкацiй i конференцiй. Найчастiше такi задачi виникають при моделюваннi явищ лiнiйної
в’язкопружностi. Також ефективним є використання дробових похiдних у моделях аномальної
дифузiї, теорiї керування, електродинамiки, нелiнiйної гiдроакустики тощо.
Дифузiя — один iз найважливiших механiзмiв переносу, що зустрiчаються в природi. Класич-
на дифузiйна модель \partial tu - Au = f, яка використовує похiдну першого порядку \partial tu за часом
та оператор Лапласа Au = - \Delta u в просторi, базується на припущеннi, що рух частинок є бро-
унiвським. Одна з характерних рис броунiвського руху — це лiнiйне зростання середньоквад-
ратичного перемiщення частинок з часом t. Велика кiлькiсть експериментальних дослiджень
за останнi кiлька десятилiть вказує на те, що припущення про броунiвський рух не може бути
достатнiм для точного опису деяких фiзичних процесiв, а середнє змiщення в квадратi може
зростати або сублiнiйно, або суперлiнiйно з часом t, що вiдомо в лiтературi як субдифузiя та
супердифузiя вiдповiдно (див., наприклад, [1]). Цi експериментальнi дослiдження охоплюють
надзвичайно широкий i рiзноманiтний спектр i мають важливе практичне застосування в технi-
*Пiдтримано Нацiональним фондом дослiджень України (проєкт № 2020.02-0089).
**Роботу виконано в рамках цiльової програми наукових дослiджень НАН України „Математичне моделюван-
ня у мiждисциплiнарних дослiдженнях процесiв i систем на основi iнтелектуальних суперкомп’ютерних, грiд- i
хмарних технологiй” (проєкт № 10.2021.ММ).
c\bigcirc В. Б. ВАСИЛИК, I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2 151
152 В. Б. ВАСИЛИК, I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
цi, фiзицi, бiологiї та фiнансах, включаючи перемiщення електронiв у копiювальному апаратi,
термiчну дифузiю у фрактальних областях, перенесення бiлка в клiтиннiй мембранi тощо.
Вихiдне рiвняння пов’язує дробову похiдну невiдомої функцiї в часi з просторовим опе-
ратором A. Вхiднi данi задачi та вихiднi (розв’язки) поєднанi за допомогою так званого роз-
в’язуючого оператора E1+\alpha
\bigl(
- At1+\alpha
\bigr)
, який вiдображає вхiднi данi у вихiднi. Зв’язок мiж
дробовою похiдною та дробовими степенями операторiв вивчався, наприклад, у [2]. В [3] було
запропоновано алгоритмiчне зображення дробових степенiв додатного оператора A.
У цiй роботi ми розглядаємо диференцiальне рiвняння з дробовою похiдною Рiмана –
Лiувiлля на пiвiнтервалi та необмеженим операторним коефiцiєнтом.
Велику кiлькiсть робiт присвячено рiзним методам дискретизацiї для таких математичних
моделей (див., наприклад, [4]). Недолiк деяких дискретизацiй (див., наприклад, [4]) полягає в
тому, що сталi в оцiнках точностi експоненцiально залежать вiд t. Експоненцiальна збiжнiсть
наближень до операторнозначних функцiй та диференцiальнi рiвняння з необмеженими опе-
раторними коефiцiєнтами вiдiграють вирiшальну роль при отриманнi алгоритмiв оптимальної
або майже оптимальної складностi [5, 6].
Ця робота продовжує цикл робiт з експоненцiально збiжних наближених методiв розв’язу-
вання диференцiальних рiвнянь з необмеженими операторними коефiцiєнтами. Зазначимо, що
такi методи були розробленi також для задач з необмеженими операторними коефiцiєнтами та
рiзного роду нелокальними умовами (див., наприклад, [7 – 10]). Ми пропонуємо та обґрунтову-
ємо зображення розв’язку рiвняння теплопровiдностi з дробовою похiдною та з абстрактним
операторним коефiцiєнтом A.
2. Операторнозначнi функцiї як оператори розв’язку диференцiальних задач. Розгля-
немо задачу
- tD
\alpha +1
\infty u(t) +Au(t) = 0, t \in (0,\infty ), \alpha \in ( - 1, 1),
u(0) = u0,
(2.1)
де tD
1+\alpha
\infty — (правостороння) похiдна Рiмана – Лiувiлля, що визначається таким чином:
tD
\nu
\infty f(t) =
\left\{
1
\Gamma ( - \nu )
\int \infty
t
(s - t) - \nu - 1f(s) ds, \nu < 0,
1
\Gamma (1 - \{ \nu \} )
\biggl(
- d
dt
\biggr) [\nu ]+1 \int \infty
t
f(s)
(s - t)\{ \nu \}
ds, \nu \geq 0,
(2.2)
A — сильно додатний оператор iз скрiзь щiльною областю визначення D(A) у банаховому
просторi X. Його спектр лежить у секторi \Sigma (A),
\Sigma (A) =
\Bigl\{
z = \rho 0 + rei\theta : r \in [0,\infty ), 0 < | \theta | \leq \varphi <
\pi
2
, \rho 0 > 0
\Bigr\}
,
i на його границi \Gamma \Sigma та поза нею є справедливою оцiнка\bigm\| \bigm\| (zI - A) - 1
\bigm\| \bigm\| \leq M
1 + | z|
(2.3)
з деякою додатною сталою M. В [11] показано, що при виконаннi припущення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ . . . 153
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \infty
\bigl[
(s - t)\alpha +1
sD
\alpha
\infty u(s)
\bigr]
= 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \infty
\bigl[
(s - t)\alpha sD
\alpha - 1
\infty u(s)
\bigr]
= 0
(2.4)
розв’язок має вигляд
u(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- A1/(1+\alpha )t
\Bigr)
u(0), (2.5)
тобто розв’язуючий оператор задається як
S(t, A) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- A1/(1+\alpha )t
\Bigr)
.
Цю формулу отримано шляхом застосування оператора (2.2) до рiвняння (2.1) з урахуванням
(2.4). Як наслiдок отримуємо рiвняння
- u(t) +A tD
- (\alpha +1)
\infty u(t) = 0, t \in (0,\infty ), \alpha \in ( - 1, 1),
що збiгається з iнтегральним рiвнянням Гардi – Тiтчмарша [12] (iз замiною \alpha на \alpha + 1). Таким
чином, його розв’язок має вигляд (2.5).
Побудуємо розв’язок задачi (2.1), використавши iнтеграл Данфорда – Кошi. Як показано в
[11] (див. також [5]), його можна записати так:
u(t) =
1
2\pi i
\int
\Gamma
e - tz1/(1+\alpha )
\biggl[
(zI - A) - 1 - 1
z
I
\biggr]
u(0)dz, (2.6)
де \Gamma — гладка крива, що охоплює спектр.
Будемо називати гiперболу
\Gamma 0 = \{ z(s) = a0(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} s - 1) + \rho 0 - ib0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} s : s \in ( - \infty ,\infty ), b0 = a0 \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\varphi , a0 : \rho 0 - a0 > 0\}
спектральною гiперболою. Вона обходить злiва спектр \Sigma (A), а її асимптоти при s\rightarrow \pm \infty утво-
рюють з дiйсною вiссю кут \varphi . Для побудови експоненцiально збiжного наближеного методу
потрiбно вибрати контур iнтегрування так, щоб вiн охоплював \Gamma 0, обходячи його злiва, i при
цьому iснував iнтеграл (2.6) [5]. Будемо шукати такий контур у виглядi гiперболи
\Gamma I = \{ z(s) = aI(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} s - 1) + q - ibI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} s : s \in ( - \infty ,\infty )\} ,
i називатимемо її iнтегральною гiперболою.
Вибравши за контур iнтегрування \Gamma I , з (2.6) отримаємо розв’язок задачi (2.1) у виглядi
u(t) =
1
2\pi i
\infty \int
- \infty
FA(t, \xi )u(0) d\xi , (2.7)
де
FA(t, \xi ) = e - z(\xi )1/(1+\alpha )t (aI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi - ibI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi )
\biggl[
(z(\xi )I - A) - 1 - 1
z(\xi )I
\biggr]
,
z(\xi ) = aI(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi - 1) + q - ibI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi .
За теоремою 2.2 з [5] коефiцiєнти iнтегральної гiперболи потрiбно вибрати таким чином,
щоб виконувалися двi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
154 В. Б. ВАСИЛИК, I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
1) операторнозначна функцiя FA(t, \xi ) належить Hp(Dd) для всiх t \geq 0 (див. також [13]),
Dd = \{ z \in \BbbC : - \infty < \Re z <\infty , | \Im z| < d\} ,
\| \scrF \| \bfH p(Dd) :=
\left\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\epsilon \rightarrow 0
\Biggl( \int
\partial Dd(\epsilon )
\| \scrF (z)\| p| dz|
\Biggr) 1/p
, якщо 1 \leq p <\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\epsilon \rightarrow 0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in Dd(\epsilon )
\| \scrF (z)\| , якщо p = \infty ,
Dd(\epsilon ) визначено для 0 < \epsilon < 1 як
Dd(\epsilon ) = \{ z \in \BbbC : | \Re z| < 1/\epsilon , | \Im z| < d(1 - \epsilon )\} ;
2) iснують такi додатнi сталi c, \delta , що справджується оцiнка
\| FA(t, \xi )\| \leq ce - \delta | \xi | , \xi \in ( - \infty ,\infty ), t \geq 0.
Дослiдимо спочатку виконання першої умови. Для цього побудуємо параметричну сiм’ю
кривих
\Gamma I(\nu ) = z(s+ i\nu ), \nu \in
\biggl[
- d1
2
,
d1
2
\biggr]
.
Тодi
z(s+ i\nu ) = a(\nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} s - aI + q - ib(\nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} s,
де
a(\nu ) = aI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \nu + bI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \nu =
\sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu ),
b(\nu ) = bI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \nu - aI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \nu =
\sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu ),
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi ) =
bI\sqrt{}
a2I + b2I
.
Коефiцiєнти aI , bI виберемо так, щоб крива \Gamma I(\nu ) при \nu = - d1
2
була прямою, паралельною
уявнiй осi, а при \nu =
d1
2
збiгалась зi спектральною гiперболою. Такi вимоги приводять до
очевидних рiвностей
a
\biggl(
- d1
2
\biggr)
= 0,
a
\biggl(
d1
2
\biggr)
= a0,
b
\biggl(
d1
2
\biggr)
= b0,
тобто
aI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
d1
2
- bI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
d1
2
= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ . . . 155
- aI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
d1
2
+ bI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
d1
2
= b0,
aI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
d1
2
+ bI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
d1
2
= a0.
Звiдси отримуємо
aI = a0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
d1
2
- b0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
d1
2
,
bI = a0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
d1
2
+ b0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
d1
2
,
2aI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
d1
2
= a0.
З першого i третього рiвнянь та визначення спектральної гiперболи маємо
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} d1 = \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\varphi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} d1.
Таким чином, одержуємо
d1 =
\pi
2
- \varphi ,
aI = a0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
,
bI = a0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
,
a(\nu ) = a0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
- \nu
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
,
b(\nu ) = a0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
- \nu
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
.
Далi потрiбно визначити параметр q. Для цього сформулюємо двi умови:
1) крива \Gamma (\nu ), \nu \in
\biggl[
- d1
2
,
d1
2
\biggr]
, повинна бути у правiй пiвплощинi i FA(t, \xi ) \in Hp(Dd)
\forall t \geq 0;
2) крива \Gamma (\nu ) не повинна потрапляти в спектральну область.
Цi умови приводять до системи
q - aI > 0,
q - aI < \rho 0.
Звiдси отримуємо
aI < q < \rho 0 + aI
або
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
156 В. Б. ВАСИЛИК, I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
a0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
< q < a0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
+ \rho 0.
Виберемо
a0 =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) ,
q =
\rho 0
2
+ 1.
Тодi, очевидно, будуть виконуватись вказанi умови.
Таким чином, ми довели таку лему.
Лема 2.1. Нехай параметри кривих \Gamma 0 i \Gamma I визначаються як
a0 =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) , b0 =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) ,
aI = 1, bI = \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
,
d1 =
\pi
2
- \varphi , q =
\rho 0
2
+ 1.
Тодi сiм’я \Gamma I(\nu ) для \nu \in
\biggl[
- d1
2
,
d1
2
\biggr]
буде знаходитись у правiй пiвплощинi i не перетинатиме
спектральну гiперболу \Gamma \Sigma .
Враховуючи, що \sqrt{}
a2I + b2I =
\sqrt{}
1 + \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
=
1\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| ,
одержуємо
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi ) =
1\sqrt{}
a2I + b2I
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
4
- \varphi
2
\Bigr)
,
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi ) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
.
Далi дослiдимо умову належностi FA(t, \xi ) до Hp(Dd) для всiх t \geq 0 i експоненцiального
спадання на \pm \infty . Для z
1
1+\alpha (\xi ) маємо
[z(\xi + i\nu )]
1
1+\alpha = [r(\xi , \nu )]
1
1+\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
i
\theta (\psi + \nu , \xi )
1 + \alpha
\biggr\}
,
де
r(\xi , \nu ) = | z(s+ i\nu )| ,
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta (\psi + \nu , \xi ) =
a(\nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi +
\rho 0
2
r(\xi , \nu )
=
\sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi +
\rho 0
2
r(\xi , \nu )
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ . . . 157
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta (\psi + \nu , \xi ) =
-
\sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi
r(\xi , \nu )
.
Тодi для того, щоб \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\Bigl\{ - z 1
1+\alpha (\xi )t
\Bigr\} \bigm| \bigm| \bigm| \rightarrow 0, \xi \rightarrow \pm \infty ,
потрiбно вимагати, щоб
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\theta (\psi + \nu , \xi )
1 + \alpha
> 0.
Звiдси з урахуванням нерiвностi 1 + \alpha > 0 отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \theta (\psi + \nu , \xi )
1 + \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \pi
2
,
| \theta (\psi + \nu , \xi )| < \pi
2
(1 + \alpha ). (2.8)
Розглянемо випадок - 1 < \alpha \leq 0. З нерiвностi (2.8) одержуємо
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta (\psi + \nu , \xi )| < \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
2
(1 + \alpha ) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi \alpha
2
.
Отже, маємо умову \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
-
\sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi
r(\xi , \nu )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi \alpha
2
.
Оцiнимо лiву частину останньої нерiвностi. Оскiльки
\psi =
\pi
4
- \varphi
2
, \nu \in
\biggl[
- d1
2
,
d1
2
\biggr]
=
\Bigl[
- \pi
4
+
\varphi
2
,
\pi
4
- \varphi
2
\Bigr]
,
то
\psi + \nu \in
\Bigl[
0,
\pi
2
- \varphi
\Bigr]
.
Таким чином, \sqrt{}
a2I + b2I | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi |
r(\xi , \nu )
=
=
\sqrt{}
a2I + b2I | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi | \biggl[ \Bigl( \sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi +
\rho 0
2
\Bigr) 2
+
\Bigl( \sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi
\Bigr) 2\biggr] 0,5 =
=
| \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi | \left[ \left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu ) +
\rho 0
2
\sqrt{}
a2I + b2I \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi
\right) 2
+ (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu ) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi )2
\right] 0,5 \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
158 В. Б. ВАСИЛИК, I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
\leq | \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi | \bigl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(\psi + \nu ) + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\psi + \nu ) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi
\bigr] 0,5 .
Функцiя f(y) =
y\sqrt{}
a2 + b2y2
при y \in [0,\infty ) є монотонно зростаючою, як i \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} y. Тому
| \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi | \bigl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(\psi + \nu ) + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\psi + \nu ) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi
\bigr] 0,5 \leq 1\bigl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(\psi + \nu ) + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\psi + \nu )
\bigr] 0,5 = 1.
Отже, \sqrt{}
a2I + b2I | \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi |
r(\xi , \nu )
\leq | \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu )| .
Таким чином, при виконаннi умови
| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu )| < \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi \alpha
2
(2.9)
буде виконуватись умова (2.8). Тодi з (2.9) для - 1 < \alpha \leq 0 маємо
\psi + \nu > - \pi \alpha
2
,
що приводить до умови
\varphi < (1 + \alpha )
\pi
2
. (2.10)
Далi розглянемо випадок 0 \leq \alpha < 1. Маємо
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta (\psi + \nu , \xi ) =
1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi +
\rho 0
2
r(\xi , \nu )
> 0,
оскiльки
\psi + \nu \in
\Bigl[
0,
\pi
2
- \varphi
\Bigr]
\Rightarrow \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu ) \geq 0,
0 <
\pi
4
+
\varphi
2
<
\pi
2
\Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
> 0.
Тому
| \theta (\psi + \nu , \xi )| < \pi
2
<
\pi
2
(1 + \alpha ).
Знайдемо \| FA(t, w)u(0)\| у смузi w = \xi + i\nu \in D1. Згiдно з теоремою 2.4 з [5] при m = 0
маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl[ (z(\xi )I - A) - 1 - I
z(\xi )
\biggr]
u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 1
| z(w)|
(1 +M)K
(1 + | z(w)| )\gamma
\| A\gamma u(0)\| , u(0) \in D (A\gamma ) , (2.11)
де невiд’ємна стала K залежить вiд \alpha .
Далi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ . . . 159
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\prime (w)z(w)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a(\nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi - ib(\nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi
a(\nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi +
\rho 0
2
- ib(\nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\left[ a2(\nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi + b2(\nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}2 \xi \Bigl(
a(\nu ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi +
\rho 0
2
\Bigr) 2
+ b2(\nu ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi
\right]
0,5
=
\left[ a2(\nu ) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi + b2(\nu )\biggl(
a(\nu ) +
\rho 0
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi
\biggr) 2
+ b2(\nu ) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi
\right]
0,5
\leq
\leq
\biggl[
a2(\nu ) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi + b2(\nu )
a2(\nu ) + b2(\nu ) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi
\biggr] 0,5
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a(\nu )b(\nu )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ 1, \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\psi + \nu )\} .
Оскiльки \psi + \nu \in
\Bigl[
0,
\pi
2
- \varphi
\Bigr]
\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\psi + \nu ) <\infty , то\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\prime (w)z(w)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
1, \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
2
- \varphi
\Bigr) \Bigr\}
= c1 <\infty , (2.12)
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\Bigl\{ - z 1
1+\alpha (\xi + i\nu )t
\Bigr\} \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\biggl\{ - [r(\xi , \nu )]
1
1+\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
i
\theta (\psi + \nu , \xi )
1 + \alpha
\biggr\}
t
\biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- [r(\xi , \nu )]
1
1+\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\theta (\psi + \nu , \xi )
1 + \alpha
t
\biggr\}
\leq 1
при виконаннi умови (2.10) для - 1 < \alpha \leq 0 i для \varphi <
\pi
2
при 0 < \alpha < 1.
Далi, якщо \nu \in
\biggl(
- d1
2
,
d1
2
\biggr]
, то
1
(1 + | z(w)| )\gamma
\leq 1\left[ \left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi +
\rho 0
2
\right) 2
+
\left( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi
\right) 2\right] 0,5\gamma =
=
1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\gamma \xi
\left[ \left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) +
\rho 0
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi
\right) 2
+
\left( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi
\right) 2\right] 0,5\gamma \leq
\leq 1
C1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
\gamma \xi
\leq C2e
- \gamma | \xi | ,
де
C1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\xi ,\nu
\left[ \left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi + \nu )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) +
\rho 0
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi
\right) 2
+
\left( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi + \nu )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi
\right) 2\right] 0,5\gamma
> 0.
Для \nu = - d1
2
маємо
a(\nu ) = 0, b(\nu ) =
1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
160 В. Б. ВАСИЛИК, I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
Тодi
1
(1 + | z(w)| )\gamma
=
1\left( 1 +
\left[ \rho 20
4
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}2 \xi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\right] 0,5\right) \gamma \leq 1\left( 1 +
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi |
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\right) \gamma =
=
1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\gamma \xi
\left( 1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi
+
| \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi |
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\right) \gamma \leq
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\gamma
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\gamma \xi
\leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\gamma
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
e - \gamma | \xi | .
Тут ми використали те, що функцiя
f(\xi ) =
1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \xi
+
| \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} \xi |
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \pi
4
+
\varphi
2
\Bigr)
досягає свого мiнiмуму при \xi = \pm \infty . Таким чином,
1
(1 + | z(w)| )\gamma
\leq Ce - \gamma | \xi | \forall \nu \in
\biggl[
- d1
2
,
d1
2
\biggr]
. (2.13)
Враховуючи оцiнки (2.11) – (2.13), отримуємо
\| FA(t, w)\| \leq (1 +M)KC \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
2
- \varphi
\Bigr)
\| A\gamma u(0)\| e - \gamma | \xi | ,
w \in D1 =
\biggl\{
\xi + i\nu : \xi \in ( - \infty ,\infty ), \nu \in
\biggl[
- d1
2
,
d1
2
\biggr] \biggr\}
.
(2.14)
Отже, ми довели таку теорему.
Теорема 2.1. Нехай A — сильно додатний оператор iз скрiзь щiльною областю визначення
D(A) у банаховому просторi X, зi спектром у секторi \Sigma (A) й оцiнкою для резольвенти (2.3),
а спектральний кут \varphi задовольняє додатково обмеження (2.10), якщо \alpha \in ( - 1, 0). Крiм того,
нехай виконуються умови леми 2.1 i u(0) \in D (A\gamma ) . Тодi функцiя FA(t, \xi ) має аналiтичне
продовження в смугу D1 i для неї виконується оцiнка (2.14).
З теореми 2.1 випливає, що для FA(t, \xi ) справедливою є оцiнка
\| FA(t, w)\| \bfH 1(Dd) \leq
2C(\varphi , \gamma )
\gamma
\| A\gamma u(0)\| ,
C(\varphi , \gamma ) = (1 +M)KC \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
\Bigl( \pi
2
- \varphi
\Bigr)
.
Для наближення iнтеграла (2.7) використаємо Sinc-квадратурну формулу (див. [5, 13])
u(t) \approx uh,N (t) =
h
2\pi i
N\sum
k= - N
FA(t, kh) (2.15)
з похибкою \eta N (FA, h), що оцiнюється як
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ . . . 161
\| \eta N (FA, h)\| = \| u(t) - uh,N (t)\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| uh(t) - h
2\pi i
\infty \sum
k= - \infty
FA(t, kh)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| h
2\pi i
\sum
| k| >N
FA(t, kh)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Для першого доданка використаємо оцiнку [5]\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| u(t) - h
2\pi i
\infty \sum
k= - \infty
FA(t, kh)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 1
2\pi
e - \pi d1/h
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (\pi d1/h)
\| FA(t, w)\| \bfH 1(Dd1
).
Для другого доданка з оцiнки (2.14) отримуємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| h
2\pi i
\sum
| k| >N
FA(t, kh)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq C(\varphi , \gamma )h \| A\gamma u(0)\|
2\pi
\infty \sum
k=N+1
e - \gamma kh \leq
\leq C(\varphi , \gamma )h \| A\gamma u(0)\|
2\pi
e - \gamma Nh
\infty \sum
k=1
e - \gamma kh =
C(\varphi , \gamma )h \| A\gamma u(0)\|
2\pi
e - \gamma Nh
e\gamma h - 1
=
=
C(\varphi , \gamma )h \| A\gamma u(0)\|
2\pi
e - \gamma Nh
\gamma he\theta \gamma h
=
C(\varphi , \gamma ) \| A\gamma u(0)\|
2\pi \gamma e\theta \gamma h
e - \gamma Nh, \theta \in (0, 1).
Тут ми використали теорему Лагранжа про прирiст функцiї. Отже, остаточно маємо
\| \eta N (FA, h)\| \leq C1(\varphi , \gamma ) \| A\gamma u(0)\|
\Biggl\{
e - \pi d1/h
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (\pi d1/h)
+ e - \gamma Nh
\Biggr\}
,
де C1(\varphi , \gamma ) > 0 не залежить вiд h, N i t. Зрiвнюючи обидвi експоненти, маємо
2\pi d1
h
= \gamma Nh,
або пiсля перетворення
h =
\sqrt{}
2\pi d1
\gamma N
. (2.16)
При такому виборi кроку h похибка квадратурної формули буде задовольняти оцiнку
\| \eta N (FA, h)\| \leq C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\sqrt{}
\pi d1\gamma
2
N
\Biggr)
\| A\gamma u(0)\| , (2.17)
де стала C1 > 0 не залежить вiд t i N.
Таким чином, ми довели таку теорему.
Теорема 2.2. Нехай виконано умови теореми 2.1. Тодi для наближення розв’язку задачi
(2.1) за допомогою (2.15) виконується оцiнка точностi (2.17), якщо крок h вибрано за форму-
лою (2.16).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
162 В. Б. ВАСИЛИК, I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
3. Числовi розрахунки. Для iлюстрацiї розробленого наближеного методу розглянемо
задачу (2.1) з \alpha =
1
2
i оператором A вигляду
A = - \partial 2
\partial x2
, D(A) =
\bigl\{
v(x) \in W1
2(0, 1) : v(0) = v(1) = 0
\bigr\}
,
де W1
2(0, 1) — стандартний простiр Соболєва. За початкову умову вiзьмемо
u0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi x).
Безпосередньою перевiркою легко переконатись, що точним розв’язком є
u(x, t) = e - \pi 4t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi x).
Похибку обчислення наближеного розв’язку задачi (2.1) за допомогою формули (2.15) для
t =
1
\pi 2
, x =
1
2
наведено в таблицi.
N \varepsilon N
4 0, 00225
8 0, 00017
16 7, 48280 \cdot 10 - 6
32 3, 72857 \cdot 10 - 7
64 2, 29011 \cdot 10 - 9
128 1, 28593 \cdot 10 - 12
256 1, 03171 \cdot 10 - 17
512 2, 94399 \cdot 10 - 23
1024 1, 25671 \cdot 10 - 30
Iз результатiв обчислень видно, що похибка зменшується згiдно з апрiорною оцiнкою (2.17).
Лiтература
1. B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou, An analysis of the L1 scheme for the subdiffusion equation with nonsmooth data, IMA
J. Numer. Anal., 36, № 1, 197 – 221 (2016).
2. A. Ashyralyev, A note on fractional derivatives and fractional powers of operators, J. Math. Anal. and Appl., 357,
№ 1, 232 – 236 (2009).
3. I. P. Gavrilyuk, An algorithmic representation of fractional powers of positive operators, Numer. Funct. Anal. and
Optim., 17, № 3 – 4, 293 – 305 (1996).
4. William McLean, Vidar Thomée, Numerical solution via Laplace transforms of a fractional order evolution equation,
J. Integral Equat. and Appl., 22, № 1, 57 – 94 (2010).
5. I. Gavrilyuk, V. Makarov, V. Vasylyk, Exponentially convergent algorithms for abstract differential equations, Front.
Math., Birkhäuser/Springer, Basel AG, Basel (2011).
6. I. P. Gavrilyuk, W. Hackbusch, B. N. Khoromskij, Hierarchical tensor-product approximation to the inverse and
related operators for high-dimensional elliptic problems, Computing, 74, № 2, 131 – 157 (2005).
7. I. P. Gavrilyuk, V. L. Makarov, D. O. Sytnyk, V. B. Vasylyk, Exponentially convergent method for the m-point
nonlocal problem for a first order differential equation in Banach space, Numer. Funct. Anal. and Optim., 31, № 1 – 3,
1 – 21 (2010).
8. В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння першого порядку
в банаховому просторi з iнтегральною нелокальною умовою, Укр. мат. журн., 66, № 8, 1029 – 1040 (2015).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ . . . 163
9. В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Д. О. Ситник, Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiв-
няння першого порядку в банаховому просторi з необмеженим оператором у нелокальнiй умовi, Працi Iн-ту
математики НАН України, 12, № 5, 32 – 45 (2015).
10. D. Sytnyk, Parallel numerical method for nonlocal-in-time Schrödinger equation, J. Coupled Systems and Multiscale
Dynamics, № 2 – 4, 204 – 211 (2017).
11. В. Л. Макаров, I. П. Гаврилюк, В. Б. Василик, Експоненцiально збiжний метод для розв’язування абстрактного
iнтегро-диференцiального рiвняння з дробовим iнтегралом Хардi – Тiтчмарша, Доп. НАН України, № 1, 3 – 8
(2021).
12. G. H. Hardy, E.C. Titchmarsh, An integral equation, Proc. Cambridge Phil. Soc., 28, № 2, 165 – 173 (1932).
13. F. Stenger, Numerical methods based on sinc and analytic functions, Springer Ser. Comput. Math., vol. 20, Springer-
Verlag, New York (1993).
Одержано 04.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6984 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:00Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1e/1389249d7d2bfe6ee8a80e1b3e8f4e1e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69842025-03-31T08:45:58Z Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space Експоненціально збіжний метод наближення для рівняння з дробовою похідною і необмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі Vasylyk, V. B. Gavrilyuk, I. P. Makarov , V. L. Vasylyk, Vitaliy Василик, В. Б. Гаврилюк, I. П. Макаров , В. Л. абстрактне рівняння з дробовою похідною в часі, необмежений операторний коефіцієнт, інтеграл Данфорда-Коші, експоненціальна точність UDC 519.62, 519.63 We propose and analyze an exponentially convergent numerical method for solving a differential equation with a right-hand fractional Riemann-Liouville derivative and an unbounded operator coefficient in Banach space. We apply the representation of the solution by the Danford-Cauchy integral on the hyperbola, which covers the spectrum of the operator coefficient with the subsequent application of an exponentially convergent quadrature. To do this, the parameters of the hyperbola are chosen so that the integration function has an analytical extension in the strip around the real axis and then apply the Sinc-quadrature. We show the exponential accuracy of the method and show numerical example that confirms the obtained a priori estimate. УДК 519.62, 519.63Запропоновано та проаналiзовано експоненцiально збiжний наближений метод розв’язування диференцiального рiвняння з правосторонньою дробовою похiдною Рiмана – Лiувiлля i необмеженим операторним коефiцiєнтом у банаховому просторi. Застосовано зображення розв’язку за допомогою iнтеграла Данфорда – Кошi по гiперболi, що охоплює спектр операторного коефiцiєнта, з подальшим застосуванням експоненцiально збiжної квадратурної формули. Для цього вибрано параметри гiперболи таким чином, щоб пiдiнтегральна функцiя мала аналiтичне продовження в смугу навколо дiйсної осi, а потiм застосовано Sinc-квадратуру. Показано експоненцiальну точнiсть методу i наведено числовi розрахунки тестового прикладу, що пiдтверджують апрiорну оцiнку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-02-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6984 10.37863/umzh.v74i2.6984 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 2 (2022); 151 - 163 Український математичний журнал; Том 74 № 2 (2022); 151 - 163 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6984/9188 Copyright (c) 2022 Віталій Богданович Василик |
| spellingShingle | Vasylyk, V. B. Gavrilyuk, I. P. Makarov , V. L. Vasylyk, Vitaliy Василик, В. Б. Гаврилюк, I. П. Макаров , В. Л. Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space |
| title | Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space |
| title_alt | Експоненціально збіжний метод наближення для рівняння з дробовою похідною і необмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі |
| title_full | Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space |
| title_fullStr | Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space |
| title_full_unstemmed | Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space |
| title_short | Exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in Banach space |
| title_sort | exponentially convergent method for a differential equation with fractional derivative and unbounded operator coefficient in banach space |
| topic_facet | абстрактне рівняння з дробовою похідною в часі необмежений операторний коефіцієнт інтеграл Данфорда-Коші експоненціальна точність |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6984 |
| work_keys_str_mv | AT vasylykvb exponentiallyconvergentmethodforadifferentialequationwithfractionalderivativeandunboundedoperatorcoefficientinbanachspace AT gavrilyukip exponentiallyconvergentmethodforadifferentialequationwithfractionalderivativeandunboundedoperatorcoefficientinbanachspace AT makarovvl exponentiallyconvergentmethodforadifferentialequationwithfractionalderivativeandunboundedoperatorcoefficientinbanachspace AT vasylykvitaliy exponentiallyconvergentmethodforadifferentialequationwithfractionalderivativeandunboundedoperatorcoefficientinbanachspace AT vasilikvb exponentiallyconvergentmethodforadifferentialequationwithfractionalderivativeandunboundedoperatorcoefficientinbanachspace AT gavrilûkip exponentiallyconvergentmethodforadifferentialequationwithfractionalderivativeandunboundedoperatorcoefficientinbanachspace AT makarovvl exponentiallyconvergentmethodforadifferentialequationwithfractionalderivativeandunboundedoperatorcoefficientinbanachspace AT vasylykvb eksponencíalʹnozbížnijmetodnabližennâdlârívnânnâzdrobovoûpohídnoûíneobmeženimoperatornimkoefícíêntomvbanahovomuprostorí AT gavrilyukip eksponencíalʹnozbížnijmetodnabližennâdlârívnânnâzdrobovoûpohídnoûíneobmeženimoperatornimkoefícíêntomvbanahovomuprostorí AT makarovvl eksponencíalʹnozbížnijmetodnabližennâdlârívnânnâzdrobovoûpohídnoûíneobmeženimoperatornimkoefícíêntomvbanahovomuprostorí AT vasylykvitaliy eksponencíalʹnozbížnijmetodnabližennâdlârívnânnâzdrobovoûpohídnoûíneobmeženimoperatornimkoefícíêntomvbanahovomuprostorí AT vasilikvb eksponencíalʹnozbížnijmetodnabližennâdlârívnânnâzdrobovoûpohídnoûíneobmeženimoperatornimkoefícíêntomvbanahovomuprostorí AT gavrilûkip eksponencíalʹnozbížnijmetodnabližennâdlârívnânnâzdrobovoûpohídnoûíneobmeženimoperatornimkoefícíêntomvbanahovomuprostorí AT makarovvl eksponencíalʹnozbížnijmetodnabližennâdlârívnânnâzdrobovoûpohídnoûíneobmeženimoperatornimkoefícíêntomvbanahovomuprostorí |