On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series
UDC 517.587 It turns out that the partial sums $g_n(z)=\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^n\dfrac{(a_1)_k\ldots(a_p)_k}{(b_1)_k\ldots(b_q)_k}\,\dfrac{z^k}{k!}$ of the generalized hypergeometric series ${}_p F_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)$ with parameters $a_j, b_l\in\mathbb{C}\backslash\{0,-1,-2...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6989 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512577911521280 |
|---|---|
| author | Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк , С. М. |
| author_facet | Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк , С. М. |
| author_sort | Zagorodnyuk, S. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-27T15:39:11Z |
| description | UDC 517.587
It turns out that the partial sums $g_n(z)=\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^n\dfrac{(a_1)_k\ldots(a_p)_k}{(b_1)_k\ldots(b_q)_k}\,\dfrac{z^k}{k!}$ of the generalized hypergeometric series ${}_p F_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)$ with parameters $a_j, b_l\in\mathbb{C}\backslash\{0,-1,-2,\ldots\}$ are Sobolev orthogonal polynomials.The corresponding monic polynomials $G_n(z)$ are $R_I$-type polynomials, and therefore, they are related to biorthogonal rational functions.The polynomials $g_n$ satisfy a differential equation (in $z$) and a recurrence relation (in $n$).In this paper, we study the integral representations for $g_n$ and their basic properties.It is shown that partial sums of arbitrary power series with non-zero coefficients are also related to biorthogonal rational functions.For polynomials $g_n(z),$ we obtain a relation to Jacobi-type pencils and their associated polynomials. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i1.6989 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i1.6989
УДК 517.587
С. М. Загороднюк (Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна)
ПРО ОРТОГОНАЛЬНIСТЬ ЧАСТКОВИХ СУМ
УЗАГАЛЬНЕНИХ ГIПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ РЯДIВ
It turns out that the partial sums gn(z) =
\sum n
k=0
(a1)k . . . (ap)k
(b1)k . . . (bq)k
zk
k!
of the generalized hypergeometric series pFq(a1, . . .
. . . , ap; b1, . . . , bq; z) with parameters aj , bl \in \BbbC \setminus \{ 0, - 1, - 2, . . .\} are Sobolev orthogonal polynomials. The correspon-
ding monic polynomials Gn(z) are RI -type polynomials, and therefore, they are related to biorthogonal rational functions.
The polynomials gn satisfy a differential equation (in z) and a recurrence relation (in n). In this paper, we study the
integral representations for gn and their basic properties. It is shown that partial sums of arbitrary power series with
non-zero coefficients are also related to biorthogonal rational functions. For polynomials gn(z), we obtain a relation to
Jacobi-type pencils and their associated polynomials.
Виявилося, що частковi суми gn(z) =
\sum n
k=0
(a1)k . . . (ap)k
(b1)k . . . (bq)k
zk
k!
узагальненого гiпергеометричного ряду
pFq(a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z) з параметрами aj , bl \in \BbbC \setminus \{ 0, - 1, - 2, . . .\} є соболєвськими ортогональними много-
членами. Вiдповiднi полiноми з одиничним старшим коефiцiєнтом Gn(z) є полiномами RI -типу, а отже, пов’язанi
з бiортогональними рацiональними функцiями. Полiноми gn задовольняють диференцiальне рiвняння (щодо z) та
рекурентне спiввiдношення (щодо n). У статтi вивчаються iнтегральнi зображення для gn та деякi їхнi властивос-
тi. Частковi суми будь-якого степеневого ряду з ненульовими коефiцiєнтами також пов’язанi з бiортогональними
рацiональними функцiями. Встановлено зв’язок полiномiв gn(z) зi жмутками якобiєвого типу та асоцiйованими з
ними полiномами.
1. Вступ. Теорiя ортогональних полiномiв для випадкiв дiйсної осi та одиничного кола розви-
валась у багатьох роботах (див., наприклад, [5, 10, 11, 13]). Як одне iз можливих узагальнень,
теорiя соболєвських ортогональних многочленiв зараз iнтенсивно вивчається багатьма матема-
тиками (див. огляд [7]). Важливими елементами класичних систем многочленiв \{ pn(z)\} \infty n=0 є
рекурентне спiввiдношення i диференцiальнi рiвняння для pn(z). Отже, природним є пошук
таких властивостей для соболєвських ортогональних многочленiв. У цiй статтi ми наведемо
великий клас соболєвських ортогональних многочленiв на одиничному колi gn(z), що мають
обидвi цi властивостi. Крiм того, полiноми gn(z) вiдповiдають задачi 1, наведенiй нижче. Мно-
гочлени gn(z) пов’язанi з бiортогональними рацiональними функцiями i жмутками якобiєвого
типу. В [16] було сформульовано таку задачу.
Задача 1. Описати всi соболєвськi ортогональнi многочлени на одиничному колi \{ yn(z)\} \infty n=0,
що мають двi властивостi:
(a) полiноми yn(z) задовольняють диференцiальне рiвняння
Ryn(z) = \lambda nSyn(z), n = 0, 1, 2, . . . , (1)
де R, S — лiнiйнi диференцiальнi оператори скiнченного порядку, полiномiальнi коефiцiєнти
яких не залежать вiд n; \lambda n \in \BbbC ;
(b) многочлени yn(z) задовольняють рiзницеве рiвняння
L\vec{}y(z) = zM\vec{}y(z), \vec{}y(z) = (y0(z), y1(z), . . .)
T , (2)
де L, M — напiвнескiнченнi комплекснi смуговi (тобто такi, що мають скiнченну кiлькiсть
ненульових дiагоналей) матрицi.
c\bigcirc С. М. ЗАГОРОДНЮК, 2022
36 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО ОРТОГОНАЛЬНIСТЬ ЧАСТКОВИХ СУМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ГIПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ РЯДIВ 37
Зауважимо, що ми включаємо ортогональнi полiноми на одиничному колi до класу соболєв-
ських ортогональних многочленiв на одиничному колi (з похiдними порядку 0). Спiввiдношен-
ня (1) означає, що yn(z) є власними функцiями операторного полiнома R - \lambda S, а спiввiдношен-
ня (2) — що вектори з yn(z) є власними функцiями операторного полiнома L - zM. Задача 1
є узагальненням класичних задач для ортогональних многочленiв, де S та M одиничнi (див.,
наприклад, [3, 4] та наведену там бiблiографiю). Властивостi (1), (2) близькi до бiспектраль-
них задач. Подiбнi задачi для бiортогональних рацiональних функцiй i вiдповiдних полiномiв
вивчалися в [12].
Нехай p, q — деякi фiксованi невiд’ємнi цiлi числа. Позначимо
gn(z) = gn(z; a1, . . . , ap; b1, . . . , bq) =
n\sum
k=0
(a1)k . . . (ap)k
(b1)k . . . (bq)k
zk
k!
, n = 0, 1, 2, . . . , (3)
де aj , bl \in \BbbC \setminus \{ 0, - 1, - 2, . . .\} . Таким чином, gn(z) є n-ю частковою сумою узагальненого
гiпергеометричного ряду pFq(a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z) i \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} gn = n. Як зазвичай, p = 0 (q = 0)
означає, що (aj)k (вiдповiдно (bl)k) немає. Через Gn(z) ми позначаємо полiноми з одиничним
старшим коефiцiєнтом:
Gn(z) =
n!(b1)n . . . (bq)n
(a1)n . . . (ap)n
gn(z), n \in \BbbZ +. (4)
Нагадаємо, що неперервний дрiб RI -типу є асоцiйованим iз системою полiномiв з одиничним
старшим коефiцiєнтом \{ Pn(z)\} \infty n=0, що породжуються спiввiдношенням [6, с. 5]
Pn(z) = (z - \bfc n)Pn - 1(z) - \lambda n(z - \bfa n)Pn - 2(z), n = 1, 2, . . . , (5)
де P - 1(z) := 0, P0(z) := 1 i
\lambda n+1 \not = 0, Pn(\bfa n) \not = 0.
Многочлени \{ Pn(z)\} \infty n=0 пов’язанi з бiортогональними рацiональними функцiями [6] (теоре-
ма 2.1). Випадок \bfa n = 0, n \geq 2, вiдповiдає загальним T -дробам [2]. Виявляється, що саме
цей випадок має мiсце для полiномiв \{ Gn(z)\} \infty n=0. З iншого боку, нам знадобиться наступне
означення з [14].
Означення 1. Набiр \Theta = (J3, J5, \alpha , \beta ), де \alpha > 0, \beta \in \BbbR , J3 — якобiєва матриця, а
J5 — напiвнескiнченна дiйсна симетрична п’ятидiагональна матриця з додатними числами на
другiй пiддiагоналi, називається жмутком (матриць) якобiєвого типу.
Матрицi J3 i J5 мають вигляд
J3 =
\left(
b0 a0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
a0 b1 a1 0 0 \cdot \cdot \cdot
0 a1 b2 a2 0 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
. . .
\right) , ak > 0, bk \in \BbbR , k \in \BbbZ +,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
38 С. М. ЗАГОРОДНЮК
J5 =
\left(
\alpha 0 \beta 0 \gamma 0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
\beta 0 \alpha 1 \beta 1 \gamma 1 0 0 \cdot \cdot \cdot
\gamma 0 \beta 1 \alpha 2 \beta 2 \gamma 2 0 \cdot \cdot \cdot
0 \gamma 1 \beta 2 \alpha 3 \beta 3 \gamma 3 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right)
, \alpha n, \beta n \in \BbbR , \gamma n > 0, n \in \BbbZ +.
Зi жмутком якобiєвого типу \Theta пов’язують таку систему многочленiв \{ pn(\lambda )\} \infty n=0, що
p0(\lambda ) = 1, p1(\lambda ) = \alpha \lambda + \beta
i
(J5 - \lambda J3)\vec{}p(\lambda ) = 0, (6)
де \vec{}p(\lambda ) = (p0(\lambda ), p1(\lambda ), p2(\lambda ), . . .)
T , iндекс T означає транспонування. Полiноми \{ pn(\lambda )\} \infty n=0
називаються асоцiйованими зi жмутком якобiєвого типу \Theta . Спiввiдношення (6) можна записати
у скалярнiй формi
\gamma n - 2pn - 2(\lambda ) + (\beta n - 1 - \lambda an - 1)pn - 1(\lambda )+
+(\alpha n - \lambda bn)pn(\lambda ) + (\beta n - \lambda an)pn+1(\lambda ) + \gamma npn+2(\lambda ) = 0, n \in \BbbZ +,
де p - 2(\lambda ) = p - 1(\lambda ) = 0, \gamma - 2 = \gamma - 1 = a - 1 = \beta - 1 = 0.
У випадку додатних параметрiв aj , bl многочлени \{ gn(z)\} \infty n=0 пов’язанi з деякими жмут-
ками якобiєвого типу та асоцiйованими з ними полiномами \{ pn(\lambda )\} \infty n=0. Цей зв’язок нагадує
зв’язок мiж ортогональними полiномами на одиничному колi та ортогональними многочленами
на [ - 1, 1].
У пунктi 2 анонсованi вище рекурентне спiввiдношення та диференцiальне рiвняння для
gn(z), соболєвськi спiввiдношення ортогональностi для gn(z) будуть наведенi в теоремi 1.
Зазначимо, що випадок p = q = 0 приводить до експоненти. Вiдповiднi частковi суми з’явились
у [16] у випадку \rho = 1.
Звичайно, многочлени gn(z) мають гарне коефiцiєнтне зображення. Також становить iнте-
рес отримання компактних iнтегральних зображень для gn(z), що веде до зв’язку з iншими
вiдомими полiномами та спецiальними функцiями. Ми наведемо два iнтегральних зображення
для gn(z) в теоремi 2. Розташування нулiв полiномiв gn(z) також визначаються цiєю теоремою.
Далi ми обговорюємо частковi суми довiльного степеневого ряду з ненульовими коефiцiєнта-
ми. Як виявилося, вони також мають вiдношення до бiортогональних рацiональних функцiй.
Насамкiнець ми пов’язуємо полiноми gn(z) з деякими жмутками якобiєвого типу та асоцiйо-
ваними з ними многочленами.
Як звичайно, ми позначаємо через \BbbR , \BbbC , \BbbN , \BbbZ i \BbbZ + множини дiйсних, комплексних, на-
туральних, цiлих чисел та невiд’ємних цiлих чисел вiдповiдно. Для k, l \in \BbbZ позначаємо
\BbbZ k,l := \{ j \in \BbbZ : k \leq j \leq l\} . Нехай \BbbT := \{ z \in \BbbC : | z| = 1\} , \BbbD := \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} ,
\BbbD e := \{ z \in \BbbC : | z| > 1\} . Через \frakB (\BbbT ) ми позначаємо множину всiх борелевських пiдмножин у
\BbbT , через \BbbP — множину всiх полiномiв iз комплексними коефiцiєнтами. Для комплексного числа
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО ОРТОГОНАЛЬНIСТЬ ЧАСТКОВИХ СУМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ГIПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ РЯДIВ 39
c позначаємо (c)0 = 1, (c)k = c(c+ 1) . . . (c+ k - 1), k \in \BbbN (зсунутий факторiал або символ
Похгаммера). Узагальнена гiпергеометрична функцiя позначається так:
pFq(a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z) =
\infty \sum
k=0
(a1)k . . . (ap)k
(b1)k . . . (bq)k
zk
k!
,
де p, q \in \BbbZ +, aj , bl \in \BbbC .
2. Частковi суми гiпергеометричних рядiв i рiзнi види ортогональностi. Позначимо
через \mu 0 нормалiзовану (ймовiрнiсну) мiру довжини дуги на \BbbT , що може бути ототожнена з
мiрою Лебега на [0, 2\pi ). Використовуючи iдеї з [15], можемо сформулювати таку теорему.
Теорема 1. Нехай p, q \in \BbbZ + — деякi фiксованi числа й a1, . . . , ap, b1, . . . , bq — деякi пара-
метри з \BbbC \setminus \{ 0, - 1, - 2, . . .\} (випадок p = 0 (q = 0) означає, що aj (вiдповiдно bl) немає). Тодi
справджуються такi твердження:
1. Полiноми gn(z) з (3) задовольняють рекурентне спiввiдношення
(n+ 1)(b1 + n) . . . (bq + n)
(a1 + n) . . . (ap + n)
(gn+1(z) - gn(z)) =
= z(gn(z) - gn - 1(z)), n \in \BbbZ +, g - 1(z) := 0. (7)
2. Многочлени Gn(z) з (4) задовольняють рекурентне спiввiдношення
Gn(z) = (z + \delta n)Gn - 1(z) - \delta n - 1zGn - 2(z), n = 1, 2, . . . ,
де G - 1(z) := 0, \delta 0 := 0 i
\delta k :=
k(b1 + k - 1) . . . (bq + k - 1)
(a1 + k - 1) . . . (ap + k - 1)
, k \in \BbbN .
Отже, Gn(z) пов’язанi iз загальними T -дробами та бiортогональними рацiональними функ-
цiями.
3. Полiноми gn(z) задовольняють диференцiальне рiвняння
\theta Rgn(z) - nRgn(z) = 0, n \in \BbbZ +, (8)
де
R =
d
dz
q\prod
j=1
(\theta + bj - 1) -
p\prod
j=1
(aj + \theta ), \theta := z
d
dz
. (9)
4. Многочлени gn(z) є соболєвськими ортогональними многочленами на одиничному колi:
\int
\BbbT
\Bigl(
gn(z), g
\prime
n(z), . . . , g
(\rho )
n (z)
\Bigr)
M
\left(
gm(z)
g\prime m(z)
...
g
(\rho )
m (z)
\right) d\mu 0 = \delta n,m, n,m \in \BbbZ +,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
40 С. М. ЗАГОРОДНЮК
M = (c0(z), c1(z), . . . , c\rho (z))
T
\Bigl(
c0(z), c1(z), . . . , c\rho (z)
\Bigr)
,
а cj(z) \in \BbbP — коефiцiєнти диференцiального оператора
- n!(b1)n . . . (bq)n
(a1)n+1 . . . (ap)n+1
R =
\rho \sum
l=0
cl(z)
dl
dzl
(10)
з \rho = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(p, q + 1).
Випадок p = 0 (q = 0) означає, що всi (aj)k, (aj+k) (вiдповiдно (bl)k, (bl+k)) у попереднiх
формулах замiнюються на 1. Те саме вiдбувається з добутками
\prod p
j=1
i
\prod q
j=1
.
Доведення. 1. Зауважимо, що
gn(z) - gn - 1(z) =
(a1)n . . . (ap)n
(b1)n . . . (bq)n
zn
n!
, n \in \BbbZ +,
де g - 1 = 0. Використовуючи це спiввiдношення з
zn+1 = zzn, n \in \BbbZ +, (11)
отримуємо рекурентне спiввiдношення (7).
Друге твердження безпосередньо випливає з першого.
3. Застосуємо вiдому iдею виведення диференцiального рiвняння для pFq [9]:
\theta
q\prod
j=1
(\theta + bj - 1)gn(z) =
n\sum
k=0
(a1)k . . . (ap)k
(b1)k . . . (bq)k
1
k!
k
q\prod
j=1
(k + bj - 1)zk =
= z
n\sum
k=1
(a1)k . . . (ap)k
(b1)k - 1 . . . (bq)k - 1
zk - 1
(k - 1)!
= z
n - 1\sum
l=0
(a1)l+1 . . . (ap)l+1
(b1)l . . . (bq)l
zl
l!
=
= z
n - 1\sum
l=0
(a1)l . . . (ap)l
(b1)l . . . (bq)l
1
l!
p\prod
j=1
(aj + l)zl = z
p\prod
j=1
(aj + \theta )
n - 1\sum
l=0
(a1)l . . . (ap)l
(b1)l . . . (bq)l
zl
l!
=
= z
p\prod
j=1
(aj + \theta )
\biggl(
gn(z) -
(a1)n . . . (ap)n
(b1)n . . . (bq)n
zn
n!
\biggr)
, n \in \BbbZ +.
Тодi
- n!(b1)n . . . (bq)n
(a1)n+1 . . . (ap)n+1
Rgn(z) = zn, n \in \BbbZ +, (12)
де R визначено в (9). Тут ми припустили, що p, q належать \BbbN , iншi випадки подiбнi та
приводять до цiєї ж формули. Використовуючи
\theta zn = nzn, n \in \BbbZ +,
i спiввiдношення (12), одержуємо диференцiальне рiвняння (8).
Четверте твердження випливає зi спiввiдношень ортонормованостi для
\bigl\{
zn
\bigr\} \infty
n=0
i спiввiд-
ношень (12), (10).
Iнтегральнi зображення для полiномiв gn(z) i деякi їхнi основнi властивостi наведено в
наступнiй теоремi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО ОРТОГОНАЛЬНIСТЬ ЧАСТКОВИХ СУМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ГIПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ РЯДIВ 41
Теорема 2. В умовах теореми 1 справджуються такi твердження:
1. Якщо p \leq q, то полiноми gn мають iнтегральне зображення
gn
\bigl(
ei\tau
\bigr)
=
1
2\pi
2\pi \int
0
\Biggl(
1 - ei(n+1)(\tau - t)
1 - ei(\tau - t)
\Biggr)
\times
\times pFq
\bigl(
a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; e
it
\bigr)
dt, \tau \in [0, 2\pi ), n \in \BbbZ +. (13)
Зокрема, якщо p = q = 1, b1 > a1 > 0, то многочлени gn мають таке зображення:
gn
\bigl(
ei\tau
\bigr)
=
\Gamma (b)
2\pi \Gamma (a)\Gamma (b - a)
2\pi \int
0
1\int
0
\Biggl(
1 - ei(n+1)(\tau - t)
1 - ei(\tau - t)
\Biggr)
\times
\times e(cos t+i sin t)uua - 1(1 - u)b - a - 1 du dt, \tau \in [0, 2\pi ), n \in \BbbZ +, (14)
де a := a1, b := b1 для простоти позначень.
2. Многочлени gn мають iнтегральне зображення
gn(x) = - (n+ 1)xn+1
x\int
- \infty
t - n - 2\times
\times p+1Fq+1( - n, a1, . . . , ap; - n - 1, b1, . . . , bq; t)dt, x < 0, n \in \BbbZ +. (15)
Зауважимо, що p+1Fq+1( - n, a1, . . . , ap; - n - 1, b1, . . . , bq; t) — полiном степеня n. Зокрема,
якщо p = 1, q = 0, то gn(x) виражається через круговi полiноми Якобi (див. [5, с. 229]).
3. Многочлени gn мають простi коренi. Якщо p \leq q i
0 < aj \leq bj , j \in \BbbZ 1,p, (16)
bk \geq 1, k \in \BbbZ p+1,q, (17)
то всi коренi gn розташованi в \BbbD e\setminus (1,\infty ).
Доведення. 1. Якщо p \leq q, то функцiя g(z) := pFq(a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z) аналiтична на
всiй комплекснiй площинi. Зокрема, ми можемо записати
g
\bigl(
ei\tau
\bigr)
=
\infty \sum
k=0
\xi ke
ik\tau = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
gn
\bigl(
ei\tau
\bigr)
, \tau \in [0, 2\pi ), (18)
де
\xi k :=
(a1)k . . . (ap)k
(b1)k . . . (bq)k
1
k!
.
Перевiримо, що
1
2\pi
2\pi \int
0
g
\bigl(
ei\tau
\bigr)
e - ij\tau d\tau = \xi j , j \in \BbbZ +. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
42 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Зауважимо, що
\bigm| \bigm| gn \bigl( ei\tau \bigr) e - ij\tau
\bigm| \bigm| \leq n\sum
k=0
| \xi k| \leq
\infty \sum
k=0
| \xi k| =: C < \infty . (20)
Використовуючи (18), (20) i теорему Лебега про домiновану збiжнiсть, отримуємо
1
2\pi
2\pi \int
0
gn
\bigl(
ei\tau
\bigr)
e - ij\tau d\tau \rightarrow n\rightarrow \infty
1
2\pi
2\pi \int
0
g
\bigl(
ei\tau
\bigr)
e - ij\tau d\tau . (21)
Лiва частина (21) дорiвнює \xi j , якщо n \geq j. Отже, спiввiдношення (19) виконано. Далi ми
записуємо
gn
\bigl(
ei\tau
\bigr)
=
n\sum
k=0
\xi ke
ik\tau =
1
2\pi
2\pi \int
0
g
\bigl(
eit
\bigr) \Biggl( n\sum
k=0
eik(\tau - t)
\Biggr)
dt, \tau \in [0, 2\pi ). (22)
Зазначимо, що спiввiдношення
dn = dn(u) :=
n\sum
k=0
uk =
1 - un+1
1 - u
, n \in \BbbZ +, (23)
виконано для всiх комплексних u (не лише для u \in \BbbD ). Це випливає, наприклад, з рекурентного
спiввiдношення dn+1 - udn = 1 з d0 = 1. За допомогою (22) i (23) ми отримуємо спiввiдно-
шення (13). Щоб одержати (14), достатньо застосувати основне iнтегральне зображення для
виродженої гiпергеометричної функцiї.
2. Формулу (15) можна перевiрити безпосередньо, iнтегруючи полiном пiд знаком iнтеграла
i виконуючи деякi алгебраїчнi спрощення.
3. Простота нулiв gn випливає з рекурентного спiввiдношення (7) (зауважимо, що gn(0) =
= 1).
Нехай p \leq q i виконано умови (16), (17). Оскiльки коефiцiєнти gn є додатними, вiн має
додатнi значення на (0,+\infty ). Умови (16), (17) забезпечують те, що коефiцiєнти gn формують
монотонну послiдовнiсть. Ми можемо застосувати теорему Eneström – Kakeya [8, с. 136]. В
результатi одержимо, що нулi gn розташованi в \BbbD e.
Теорему 2 доведено.
Наведемо можливi узагальнення. Розглянемо степеневий ряд
f(z) =
\infty \sum
k=0
dkz
k, dk \in \BbbC \setminus \{ 0\} .
Позначимо
fn(z) =
n\sum
k=0
dkz
k, n \in \BbbZ +, (24)
Fn(z) =
1
dn
fn(z), n \in \BbbZ +. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО ОРТОГОНАЛЬНIСТЬ ЧАСТКОВИХ СУМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ГIПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ РЯДIВ 43
Тодi
1
dn
(fn(z) - fn - 1(z)) = zn, n \in \BbbZ +, (26)
де f - 1 := 0. З (11), (26) отримуємо рекурентне спiввiдношення для fn. Для полiномiв з
одиничним старшим коефiцiєнтом Fn воно набирає вигляду
Fn(z) =
\biggl(
z +
dn - 1
dn
\biggr)
Fn - 1(z) -
dn - 2
dn - 1
zFn - 2(z), n = 1, 2, . . . ,
де F - 1(z) := 0, d - 1 := 1. Отже, полiноми Fn(z) пов’язанi з бiортогональними рацiональними
функцiями. Було б важливим отримати iнтегральне зображення для вiдповiдного функцiонала зi
спiввiдношень бiортогональностi. Щоб отримати деякi рiвняння для fn(z) щодо z (наприклад,
диференцiальнi, рiзницевi, q-рiзницевi), можливо варто розглянути степеневi ряди f(z), що
вiдповiдають базовiй гiпергеометричнiй функцiї, елiптичнiй гiпергеометричнiй функцiї тощо.
Припустимо, що всi коефiцiєнти dk додатнi. Тодi записуємо
\mathrm{R}\mathrm{e} fn
\bigl(
ei\tau
\bigr)
=
n\sum
k=0
dkTk(x),
\mathrm{I}\mathrm{m} fn+1
\bigl(
ei\tau
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \tau
n+1\sum
k=1
dkUk - 1(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \tau
n\sum
j=0
dj+1Uj(x),
x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau , \tau \in (0, \pi ), n \in \BbbZ +,
де Tk(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(k \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x) i Uk(x) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}((k + 1) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)\surd
1 - x2
— полiноми Чебишова першого i
другого роду. Отже, системи полiномiв
\bigl\{
\mathrm{R}\mathrm{e} fn
\bigl(
ei arccosx
\bigr) \bigr\} \infty
n=0
,
\biggl\{
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x
\mathrm{I}\mathrm{m} fn+1
\bigl(
ei arccosx
\bigr) \biggr\} \infty
n=0
є модифiкованими ядерними полiномами (див. [17]). Вони асоцiйованi зi жмутками якобiєвого
типу i мають спецiальнi спiввiдношення ортогональностi.
Зауваження*. Нехай \{ Pn(z)\} \infty n=0 — будь-яка система многочленiв, що задовольняє спiввiд-
ношення (5). Зазначимо, що у роботi [18] вивчалося таке питання: коли похiднi\biggl\{
1
n+ 1
P \prime
n+1(z)
\biggr\} \infty
n=1
задовольняють те ж спiввiдношення з можливо iншими параметрами \bfa n, \bfc n? Якщо похiднi
мають цю властивiсть, то у [18, с. 125] говорилося, що система \{ Pn(z)\} \infty n=0 належить до класу
Хана. Зрозумiло, що полiноми \{ Fn(z)\} \infty n=0, визначенi формулою (25), належать до класу Хана.
Справдi, полiноми \biggl\{
1
n+ 1
F \prime
n+1(z)
\biggr\} \infty
n=1
* Вiдображено важливi зауваження рецензента, який вказав автору на роботу [18].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
44 С. М. ЗАГОРОДНЮК
є нормованими частковими сумами формального ряду
\sum \infty
k=0
dk+1(k + 1)zk. Позначимо через
\sigma = \sigma F лiнiйний функцiонал на комплексних лоранiвських полiномах, по вiдношенню до
якого є бiортогональними полiноми \{ Fn(z)\} \infty n=0, а через sk = sF ;k його степеневi моменти
(sk = \sigma (zk), k \in \BbbZ ). У статтi [18] розрiзнялися два важливих випадки для функцiонала
бiортогональностi: коли \sigma є 2-регулярним (див. точне означення у [18, с. 125]) i протилеж-
ний (2-iррегулярний). Зазначимо, що для \sigma F виконано 0 = s2 = s3 = . . . . Отже, \sigma F є
2-iррегулярним. Цей випадок вивчався у п. 13 статтi [18], зокрема i випадок 0 = s2 = s3 = . . . .
У твердженнi 13.2 й у двох наступних пунктах у [18] вказано простi умови на вiдповiднi
рекурентнi коефiцiєнти. Зрозумiло, що цi умови виконано й у випадку \sigma F .
Лiтература
1. L. C. Andrews, Special functions of mathematics for engineers, Oxford Univ. Press, Oxford (1998).
2. E. Hendriksen, H. van Rossum, Orthogonal Laurent polynomials, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., 48, № 1,
17 – 36 (1986).
3. E. Horozov, d-Orthogonal analogs of classical orthogonal polynomials, SIGMA Symmetry Integrability and Geom.
Methods and Appl., 14, Article 063 (2018), 27 p.
4. E. Horozov, Vector orthogonal polynomials with Bochner’s property, Constr. Approx., 48, № 2, 201 – 234 (2018).
5. M. E. H. Ismail, Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Encyclopedia Math. and Appl., 98,
Cambridge Univ. Press, Cambridge (2005).
6. M. E. H. Ismail, D. R. Masson, Generalized orthogonality and continued fractions, J. Approx. Theory, 83, № 1,
1 – 40 (1995).
7. F. Marcellán, Yuan Xu, On Sobolev orthogonal polynomials, Expo. Math., 33, № 3, 308 – 352 (2015).
8. M. Marden, Geometry of polynomials, second ed., Math. Surveys and Monogr., № 3, Amer. Math. Soc., Providence,
R.I. (1966).
9. E. D. Rainville, Special functions, first ed., Chelsea Publ. Co., Bronx, N.Y. (1971).
10. B. Simon, Orthogonal polynomials on the unit circle. Pt 1. Classical theory, Colloq. Publ., 54, Amer. Math. Soc.,
Providence, R.I. (2005).
11. B. Simon, Orthogonal polynomials on the unit circle. Pt 2. Spectral theory, Colloq. Publ., 54, Amer. Math. Soc.,
Providence, R.I. (2005).
12. V. Spiridonov, A. Zhedanov, Classical biorthogonal rational functions on elliptic grids, C. R. Math. Acad. Sci. Soc.
R. Can., 22, № 2, 70 – 76 (2000).
13. G. Szegö, Orthogonal polynomials, fourth ed., Colloq. Publ., 23, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1975).
14. С. М. Загороднюк, Ортогональные многочлены, ассоциированные с некоторыми пучками якобиевого типа,
Укр. мат. журн., 68, № 9, 1180 – 1190 (2016).
15. S. M. Zagorodnyuk, On some classical type Sobolev orthogonal polynomials, J. Approx. Theory, 250, Article 105337
(2020), 14 p.
16. S. M. Zagorodnyuk, On a family of hypergeometric Sobolev orthogonal polynomials on the unit circle, Constr. Math.
Anal., 3, № 2, 84 – 75 (2020).
17. С. М. Загороднюк, Про ряди за ортогональними многочленами та системи многочленiв класичного типу,
Укр. мат. журн., 73, № 6, 799 – 810 (2021).
18. A. Zhedanov, The ”classical” Laurent biorthogonal polynomials, J. Comput. and Appl. Math., 98, № 1, 121 – 147
(1998).
Одержано 06.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-6989 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:00Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c2/81b8b4d18ee3e64c3ea62899fe3d05c2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69892022-03-27T15:39:11Z On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series Про ортогональність часткових сум узагальнених гіпергеометричних рядів Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк , С. М. Sobolev orthogonal polynomials, generalized hypergeometric function, biorthogonal rational functions, differential equation, recurrence relation UDC 517.587 It turns out that the partial sums $g_n(z)=\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^n\dfrac{(a_1)_k\ldots(a_p)_k}{(b_1)_k\ldots(b_q)_k}\,\dfrac{z^k}{k!}$ of the generalized hypergeometric series ${}_p F_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)$ with parameters $a_j, b_l\in\mathbb{C}\backslash\{0,-1,-2,\ldots\}$ are Sobolev orthogonal polynomials.The corresponding monic polynomials $G_n(z)$ are $R_I$-type polynomials, and therefore, they are related to biorthogonal rational functions.The polynomials $g_n$ satisfy a differential equation (in $z$) and a recurrence relation (in $n$).In this paper, we study the integral representations for $g_n$ and their basic properties.It is shown that partial sums of arbitrary power series with non-zero coefficients are also related to biorthogonal rational functions.For polynomials $g_n(z),$ we obtain a relation to Jacobi-type pencils and their associated polynomials. &nbsp; УДК 517.587 Виявилося, що часткові суми$g_n(z)=\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^n\dfrac{(a_1)_k\ldots(a_p)_k}{(b_1)_k\ldots(b_q)_k}\,\dfrac{z^k}{k!}$ узагальненого гіпергеометричного ряду ${}_p F_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)$ з параметрами$a_j,b_l\in\mathbb{C}\backslash\{0,-1,-2,\ldots\}$ є соболєвськими ортогональними многочленами.Відповідні поліноми з одиничним старшим коефіцієнтом $G_n(z)$ є поліномами $R_I$-типу, а отже, пов'язані з біортогональними раціональними функціями.Поліноми $g_n$ задовольняють диференціальне рівняння (щодо $z$) та рекурентне співвідношення (щодо $n$).У статті вивчаються інтегральні зображення для $g_n$ та деякі їхні властивості.Часткові суми будь-якого степеневого ряду з ненульовими коефіцієнтами також пов'язані з біортогональними раціональними функціями.Встановлено зв'язок поліномів $g_n(z)$ зі жмутками якобієвого типу та асоційованими з ними поліномами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-01-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6989 10.37863/umzh.v74i1.6989 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 1 (2022); 36 - 44 Український математичний журнал; Том 74 № 1 (2022); 36 - 44 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6989/9174 Copyright (c) 2022 Sergey Zagorodnyuk |
| spellingShingle | Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк , С. М. On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series |
| title | On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series |
| title_alt | Про ортогональність часткових сум узагальнених гіпергеометричних рядів |
| title_full | On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series |
| title_fullStr | On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series |
| title_full_unstemmed | On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series |
| title_short | On the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series |
| title_sort | on the orthogonality of partial sums of the generalized hypergeometric series |
| topic_facet | Sobolev orthogonal polynomials generalized hypergeometric function biorthogonal rational functions differential equation recurrence relation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6989 |
| work_keys_str_mv | AT zagorodnyuksm ontheorthogonalityofpartialsumsofthegeneralizedhypergeometricseries AT zagorodnûksm ontheorthogonalityofpartialsumsofthegeneralizedhypergeometricseries AT zagorodnyuksm proortogonalʹnístʹčastkovihsumuzagalʹnenihgípergeometričnihrâdív AT zagorodnûksm proortogonalʹnístʹčastkovihsumuzagalʹnenihgípergeometričnihrâdív |