Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries
UDC 517.9: 519.46 The concept of nonlocal transformation with additional variables is offered, developed and applied to search additional symmetry of nonlinear partial differential equations. Possible schemes of relation of differential equations by means of prolonged nonlocal transformations of thi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6995 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512579773792256 |
|---|---|
| author | Tychynin, V. A. Тичинін, В. А. |
| author_facet | Tychynin, V. A. Тичинін, В. А. |
| author_sort | Tychynin, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.9: 519.46
The concept of nonlocal transformation with additional variables is offered, developed and applied to search additional symmetry of nonlinear partial differential equations. Possible schemes of relation of differential equations by means of prolonged nonlocal transformations of this type are considered, several examples are given. The method is used for constructing algorithms and formulas generating new solutions from known solutions that use additional symmetry. These formulas are applied to finding of exact solutions for some nonlinear equations. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.6995 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.6995
УДК 517.9: 519.46
В. А. Тичинiн (Приднiпров. держ. академiя будiвництва та архiтектури, Днiпро)
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ.
ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ
The concept of nonlocal transformation with additional variables is offered, developed and applied to search additional
symmetry of nonlinear partial differential equations. Possible schemes of relation of differential equations by means of
prolonged nonlocal transformations of this type are considered, several examples are given. The method is used for
constructing algorithms and formulas generating new solutions from known solutions that use additional symmetry. These
formulas are applied to finding of exact solutions for some nonlinear equations.
Запропоновано концепцiю нелокального перетворення з додатковими змiнними, яку розроблено i застосовано для
пошуку додаткових симетрiй нелiнiйних диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних. Розглянуто можливi схеми
зв’язку диференцiальних рiвнянь за допомогою продовжених нелокальних перетворень цього типу, наведено кiлька
прикладiв. Метод застосовано для побудови алгоритмiв i формул розмноження розв’язкiв з вiдомих, якi використо-
вують додатковi симетрiї. Цi формули використано для знаходження точних розв’язкiв деяких нелiнiйних рiвнянь.
1. Вступ. Побудова широких класiв точних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
у частинних похiдних, широко представлених в рiзноманiтних застосуваннях, має особливе
значення в наш час. Для розв’язку цiєї проблеми розроблений широкий спектр ефективних
методiв. Основу значної їхньої частини складає фундаментальна iдея симетрiї диференцiаль-
них рiвнянь. Як наслiдок, бiльшiсть iз них належить або тiсно пов’язана з методом теорiї груп
Лi [1 – 3]. На цей момент подiбнi методи одержали численнi кориснi узагальнення у тому чи-
слi в трудах видатного українського математика Вiльгельма Iллiча Фущича, засновника школи
симетрiйного аналiзу рiвнянь нелiнiйної математичної фiзики, i його учнiв. Найбiльш важливi
з них зосередженi на дослiдженнi умовних (некласичних), слабких симетрiй [4 – 6] i нело-
кальних (узагальнених) симетрiй диференцiальних рiвнянь [7 – 16]. Опис найбiльш важливих
результатiв у зазначенiй областi може бути знайдене, наприклад, в [10, 13 – 15]. Незважаючи на
вражаючi результати застосування класичних методiв теорiї груп, слiд вiдзначити, що iнфор-
мацiя, отримана цими методами i їх узагальненнями у великiй кiлькостi важливих випадкiв,
виявляється недостатньою або досить бiдною. Тому розвиток iнших пiдходiв, що забезпечують
пошук нових симетрiй i методiв розв’язання цих рiвнянь залишається надзвичайно важливим
i актуальним.
Два важливi джерела створення нових методiв вимагають спецiального обговорення. Перша
iдея дуже стара й пов’язана iз залученням додаткових змiнних, зокрема, коли точковi перетво-
рення використовувалися для iнтегрування диференцiальних рiвнянь. Як приклад, наведемо
пiдстановку Бернуллi y(x) = u(x)v(x), що дозволяє будувати загальний розв’язок y(x) лi-
нiйного неоднорiдного рiвняння першого порядку у формi добутку часткового розв’язку u(x)
певного однорiдного рiвняння i загального розв’язку v(x) допомiжного рiвняння, яке допускає
вiдокремлення змiнних. У випадку знаходження загального розв’язку лiнiйного неоднорiдного
ЗДР вищого порядку цей пiдхiд набуває форму методу Лагранжа варiацiї довiльних сталих. Так,
застосовуючи цей метод до лiнiйного неоднорiдного ЗДР другого порядку, ми маємо шукати
частковий розв’язок неоднорiдного рiвняння у виглядi y(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x), де
y1(x), y2(x) — частковi розв’язки вiдповiдного однорiдного рiвняння. У цьому випадку функ-
c\bigcirc В. А. ТИЧИНIН, 2022
400 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 401
цiї C1(x), C2(x) дiють як додатковi залежнi змiннi. Розгляд прикладiв подiбного роду можна
продовжити [17, 18].
Iдея використання рiзноманiтних диференцiальних перетворень стала ще одним джерелом
створення нових методiв дослiдження й iнтегрування нелiнiйних диференцiальних рiвнянь.
Як наслiдок, була розроблена теорiя узагальнених симетрiй ДР, або, iнакше кажучи, теорiя
груп перетворень Лi – Беклунда [19], тобто неперервних груп перетворень, що включають по-
хiднi залежних змiнних. Виникненню цiєї теорiї передував тривалий перiод дослiджень так
званих перетворень Беклунда, заснованих нa нелокальнiй вiдповiдностi двох даних рiвнянь.
Цi перетворення знайшли широке застосування й вiдомi як метод перетворень Беклунда (ПБ).
Певно, Бiянкi, Рiбокур, Дарбу були першими, хто розглянув окремi випадки застосування та-
ких перетворень до геометричних дослiджень. Пiзнiше цей метод був вивчений бiльш глибоко
й узагальнений Беклундом i iншими [8]. Науково-дослiдна дiяльнiсть у цьому напрямку про-
тягом останнiх десятилiть привела до виникнення iстотних узагальнень цього методу, який
одержав подальший розвиток i застосування в дослiдженнi рiзноманiтних математичних моде-
лей. Поновлення iнтересу до цього методу в 70-тi роки минулого столiття привело до активного
розвитку теорiї iнтегровностi нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. Показавши себе потужним
iнструментом дослiдження нелiнiйних ДРЧП, вiн широко використовується у наш час.
Згiдно iз класичним означенням [8, 17], ПБ допускає iнтерпретацiю як перетворення, у
якому крiм незалежних i залежних змiнних беруть участь також похiднi залежних змiнних.
„ . . . але кожне з них має сенс, i добре визначене, тiльки для спецiального набору диференцi-
альних рiвнянь у частинних похiдних i їх зображень, зв’язаних цим перетворенням” [8]. Так,
ПБ, що зв’язує поверхневi елементи \sigma 1 = (x1, x2, u, u1, u2) i \sigma 2 = (y1, y2, v, v1, v2) може бути
визначене як система чотирьох рiвнянь \Lambda k(\sigma 1;\sigma 2) = 0, k = 1 . . . , 4, розв’язуючи якi вiдносно
u1, u2 i x1, x2, одержують явнi розв’язки
ui = Hi(y1, y2, v, v1, v2;u), i = 1, 2, (1)
xj = hj(y1, y2, v, v1, v2;u), j = 1, 2. (2)
Нижнi iндекси праворуч вiд функцiй позначають диференцiювання по вiдповiдним аргументам.
У випадку двох незалежних змiнних ми також будемо використовувати спецiальне позначення:
x1 = x, x2 = t i, як наслiдок, ut = \partial u/\partial t = \partial tu, ux = \partial u/\partial x = \partial xu. Подiбним чином
координати y = (y1, . . . , yn) представляють iнший простiр незалежних змiнних, в якому у
випадку двох незалежних змiнних ми користуємося позначеннями y1 = y, y2 = s.
Умову iнтегровностi для похiдних першого порядку (1)
\partial x2H1 = \partial x1H2. (3)
можна iнтерпретувати як умову нульової кривини для вiдповiдної зв’язностi [8]. Якщо тотож-
нiсть (3) на розв’язках рiвняння для v породжує спiввiдношення
\partial x2H1 - \partial x1H2
\bigm| \bigm| \bigm|
F1(y1,y2,v(k))
\equiv 0,
де
F1(y1, y2, v(k)) = 0,
i обернення цiєї процедури тягне рiвняння для u
F0(x1, x2, u(k)) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
402 В. А. ТИЧИНIН
говорять, що перетворення Беклунда встановлює вiдповiднiсть мiж даними рiвняннями, де
кожна з функцiй u i v повинна задовольняти вiдповiдне диференцiальне рiвняння. Тут символ
u(r) позначає множину похiдних функцiї u вiд порядку нуль до порядку r \leq k.
Для наступного огляду основних подальших результатiв, отриманих в данiй областi, слiд
вiдзначити важливу властивiсть ПБ. Припустимо, що диференцiальне рiвняння в частинних
похiдних вiд двох незалежних змiнних
F0(x, t, u(k)) = 0 (4)
допускає принаймнi один закон збереження
Dt\phi
t(x, t, u(r)) +Dx\phi
x(x, t, u(r)) = 0. (5)
Тут ми вважаємо x1 = y1 = x, x2 = y2 = t i \partial uH1 = \partial uH2 = 0. Тому H1 = \phi t(x, t, u(r)), H2 =
= - \phi x(x, t, u(r)). Спецiальнi позначення Dt i Dx використанi для повних похiдних по змiнних
t i x, а \phi t i \phi x є збереженою щiльнiстю й течiєю, вiдповiдно. Для зображення рiвняння (4) у
формi закону збереження мусить бути введено потенцiальну функцiю v [9], яка визначається
допомiжною системою
vx = \phi t(x, t, u(r)), vt = - \phi x(x, t, u(r)). (6)
Виключенням вихiдної залежної змiнної u iз системи (6) часто вдається одержати рiвняння
F1(x, t, v(k)) = 0 (7)
вiдносно тiльки потенцiальної змiнної v.
Варто нагадати, що поняття потенцiальної симетрiї диференцiальних рiвнянь було введено
Блуменом i iн. [3, 9]. Дослiдження системи (6) методами класичного групового аналiзу, як
правило, приводить до додаткової iнформацiї про властивостi симетрiї вихiдного рiвняння (4).
Потенцiальна симетрiя (4) це така точкова симетрiя потенцiальної системи (6), яка не має
проекцiї на точкову симетрiю рiвняння (4).
Наступний принциповий крок був зроблений Уолквистом i Естабруком. Вони об’єднали
схему перетворення Беклунда й теорiю потенцiалiв за допомогою залучення нових допомiжних
залежних змiнних, що дозволило їм побудувати метод псевдопотенцiалiв, вiдомий також як
метод продовження структур [20 – 25].
У випадку двох незалежних змiнних x1 = x, x2 = t вони припустили iснування iнших
потенцiалiв vJ, що утворюють псевдопотенцiал V =
\bigl(
vI, vII, . . . , vM
\bigr)
, таким чином, що система
vJx = \phi J
t (x, t, u(r), V ), vJt = - \phi J
x(x, t, u(r), V ), \mathrm{J} = (\mathrm{I}, \mathrm{I}\mathrm{I}, . . . ,\mathrm{M}), (8)
замiняє (6) [25]. Тому допомiжнi змiннi
\bigl(
vII, vIII, . . . , vM
\bigr)
можна розумiти як додатковi залежнi
змiннi, уведенi в структуру ПБ, що дiють у просторi двох незалежних змiнних (x, t).
Велика рiзноманiтнiсть методiв на основi потенцiального зображення ДР була розвинена
останнiм часом. Серед них ми вiдзначимо деякi результати, в яких використовують впроваджен-
ня наступних потенцiальних змiнних шляхом застосування певного методу iтерацiї потенцiалу,
тобто коли попереднiй потенцiал вiдомий. Такi результати були отриманi Ахатовим, Газiзовим
i Iбрагiмовим [26] i використовувалися пiзнiше в статтi Кiнга [27], де було побудовано дерево
нелокально зв’язаних ДРЧП та отримано їхнi точнi розв’язки. Подiбна процедура мультипо-
тенцiалiзацiї дозволила Ейлеру побудувати iтерацiйнi формули точних розв’язкiв для рiвняння
Кричевера – Новiкова й iнших рiвнянь в [28]. Метод побудови дерева нелокально зв’язаних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 403
систем ДРЧП виходячи з даної системи ДРЧП були узагальненi в серiї публiкацiй Блумена,
Чевякова й Iванової [29 – 32].
У роботi [33] Попович i Iванова запровадили поняття еквiвалентностi законiв збережен-
ня вiдносно груп симетрiї Лi для фiксованих систем диференцiальних рiвнянь, а також для
класiв таких систем вiдносно груп еквiвалентностi або наборiв допустимих перетворень. У
припущеннi залежностi векторiв, що зберiгаються, вiд декiлькох потенцiалiв, ними узагальне-
ний метод iтерацiї, запропонований Блуменом i Доран-Ву [29], для знаходження нелокальних
(потенцiальних) законiв збереження.
Зазначимо, що геометрична теорiя нелокальних симетрiй ДР була розроблена Виноградовим
i Красiльщиком [34] з використанням формалiзму пучкiв розшарувань джетiв для функцiй, що
є розв’язками даного рiвняння.
З iншого боку, на цей момент отриманий ряд цiкавих результатiв для нелiнiйних рiвнянь,
зв’язаних мiж собою нелокальним перетворенням змiнних. Скiнченнi нелокальнi перетворення
ефективно використовуються для дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь протягом
тривалого часу, (див., наприклад, роботи [12 – 14, 28, 35, 36], присвяченi рiзним застосуванням
цих перетворень). Метод нелокальних перетворень є ефективним для знаходження нелокаль-
них симетрiй ДРЧП [11, 37 – 41]. На основi цього методу побудовано формули розмноження
й формули нелокальної нелiнiйної суперпозицiї розв’язкiв низки важливих для застосувань
нелiнiйних ДРЧП. Одне з безпосереднiх i очевидних узагальнень методу нелокальних перетво-
рень припускає наступний зв’язок рiвняння F1 новим нелокальним перетворенням \scrT 1 з новим
рiвнянням F2, потiм F2 за допомогою \scrT 2 з F3, i так далi. . . , i використання властивостей цих
допомiжних рiвнянь для одержання iнформацiї про нелокальнi симетрiї й розв’язки вихiдного
рiвняння [12 – 14]. На початку наступного роздiлу ми опишемо основнi положення цього методу.
Метою даної роботи є подальше узагальнення й розвиток методу нелокальних перетворень
змiнних, що дозволяє суттєво розширити можливостi вiдшукання нових нелокальних симе-
трiй та iнтегрування нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. У данiй роботi ми використовуємо
класичний метод теорiї груп Лi [1 – 3] i метод нелокальних перетворень змiнних [11 – 13, 41].
Стаття органiзована в такий спосiб. У наступному пунктi ми коротко наводимо деякi по-
ложення методу нелокальних перетворень. У п. 3 сформульоване поняття нелокальних пере-
творень iз додатковими змiнними. За допомогою цього поняття отриманi основнi формули їх
продовження й розглянуто рiзнi способи зв’язку диференцiальних рiвнянь за допомогою та-
ких перетворень. У п. 4 наведено приклади нелокальних перетворень з додатковими змiнними.
На основi сформульованого вище поняття побудовано новi алгоритми й одержано формули
розмноження розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь (п. 5).
2. Основнi положення метода нелокальних перетворень. Систематичне використання
методу нелокальних перетворень для дослiдження широких сiмейств важливих для застосувань
нелiнiйних диференцiальних рiвнянь [11, 12, 39, 41], показало можливiсть ефективної реалiзацiї
процедур їх iнтегрування в межах цього методу, дозволило знаходити й розмножувати їхнi точнi
розв’язки, будувати нелокальнi симетрiї. Тут ми нагадаємо термiнологiю й основнi поняття
методу нелокальних перетворень.
Припустимо, що таке перетворення може бути записано у формi
\scrT : xi = hi(y, v(k)), uK = HK(y, v(k)),
i = 1, . . . , n, K = 1, . . . ,m,
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
404 В. А. ТИЧИНIН
i вiдображає дане вихiдне рiвняння
F0(x, u(n)) = 0 (10)
у рiвняння \Phi (y, v(q)) = 0 порядку q = n+ k, яке допускає факторизацiю до iншого, цiльового,
рiвняння
F1(y, v(s)) = 0 (11)
за допомогою операторної рiвностi
\Phi (y, v(q)) = \lambda F1(y, v(s)). (12)
Отже, зв’язок мiж цими рiвняннями поряд з отриманими вище виразами допускає зображення
\scrT F0(x, u(n))
\bigm| \bigm|
DF1
\equiv 0. (13)
Тут \lambda є диференцiальним оператором порядку n+k - s, i ми говоримо, що рiвняння F0(x, u(n)) =
= 0 i F1(y, v(s)) = 0 зв’язанi нелокальним перетворенням \scrT . Цей зв’язок дозволяє будувати
алгоритми знаходження розв’язкiв (10), по вiдомих розв’язках (11). Якщо цiльове рiвняння (11),
збiгається з вихiдним рiвнянням (10), тодi \scrT стає нелокальним перетворенням iнварiантностi
рiвняння (10) i ми можемо безпосередньо використовувати його для побудови формул розмно-
ження розв’язкiв. Якщо (11) лiнiйне, тодi можна побудувати формули нелiнiйної нелокальної
суперпозицiї розв’язкiв рiвняння (10). Такi формули забезпечують можливiсть побудови нового
розв’язку рiвняння (10) iз двох вiдомих його розв’язкiв i допускають iнтерпретацiю як авто-
перетворення Беклунда (AБП) з додатковою змiнною. Крiм того, використовуючи нелокальне
перетворення, можна зв’язати дане вихiдне рiвняння з цiльовим рiвнянням, яке допускає до-
датковi симетрiї Лi. Це може бути використане для пошуку нелокальних симетрiй вихiдного
рiвняння й побудови його нових розв’язкiв. Методи перетворень Беклунда й нелокальних пере-
творень принципово вiдрiзняються навiть при встановленнi вiдповiдностi мiж тими ж самими
рiвняннями. Але обговорення основних вiдмiнностей мiж цими двома пiдходами виходить за
межи даної роботи.
3. Нелокальнi перетворення з додатковими змiнними. Нижче запропоновано констру-
кцiю нелокального перетворення, яка мiстить додатковi змiннi. Спочатку введемо необхiднi
позначення. Дану систему ДРЧП запишемо, використовуючи нижнi iндекси для позначення
частинних похiдних
F0
A(x, u(k)) = 0, x = \{ xi\} , i = 1, . . . , n,
A = 1 . . .M, u = \{ uK(x)\} , K = 1, . . . , N.
(14)
Для спрощення запису будемо використовувати також позначення\bigl\{
F0
A(x, u(k))
\bigr\}
= F0(x, u(k)).
Припустимо, що нелокальне перетворення задане в такий спосiб:
\scrT \bigstar : xi = hi
\bigl(
y, v(k); z
(G), w(q)
(G)
\bigr)
, uK = HK
\bigl(
y, v(k); z
(G), w(q)
(G)
\bigr)
,
z(G),j = \varphi j(y, v(k)), G = 1, . . . ,m.
(15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 405
Тут, на вiдмiну вiд нелокального перетворення \scrT (9), функцiї в правих частинах рiвнянь зале-
жать вiд нових залежних змiнних w(q)
(G)(z(G)), що залежать вiд власних (нових) незалежних
змiнних z(G), зовнiшнiх стосовно (y, v). Крiм того, в (15) присутнi вирази, якi визначають цi
новi незалежнi змiннi.
Диференцiальне продовження скiнченого нелокального перетворення \scrT \bigstar дозволяє одер-
жати вiдповiднi вирази для перших похiдних, i потiм, застосовуючи процедуру продовження
неодноразово, можна знаходити вiдповiднi вирази для похiдних другого i наступних порядкiв.
Так, для знаходження перших похiдних ми розглядаємо n рiвнянь, отриманих iз (34) диферен-
цiюванням по xj
DiH
K
\bigl(
y, v(k); z
(G), w(q)
(G)
\bigr)
= ujDih
j
\bigl(
y, v(k); z
(G), w(q)
(G)
\bigr)
. (16)
Позначивши \widetilde Di та \widetilde DG повнi похiднi за змiнними y i z, вiдповiдно,
\widetilde Di = \partial i + \partial iv(p)\partial v(p) + . . . , \widetilde DQ = \partial z(Q) + \partial z(Q)w(q)
(T )\partial w(q)
(T ) + . . .
i скориставшись угодою про пiдсумовування по iндексах, що повторюються, лiву частину
рiвняння (16) можна записати у формi
DiH
K = \widetilde DiH
K +Diz
(G) \widetilde DQH
K .
Розв’язуючи систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (16) вiдносно uj , ми одержуємо формули
перетворення для всiх перших похiдних
uj = Hj
K
\bigl(
y, v(k+1); z
(G), w(q+1)
(G)
\bigr)
,
тобто, одержуємо перше продовження (15). В результатi рекурсивного застосування цiєї проце-
дури послiдовним продовженням додаємо новi похiднi до попереднiх, тобто, генеруємо пiсля
r крокiв r + 1 — похiднi
u(r) j = HK
(r) j
\bigl(
y, v(k+r+1); z
(G), w(q+r+1)
(G)
\bigr)
.
Очевидно, що нелокальне перетворення \scrT \bigstar (15), будучи застосованим до даного рiвнян-
ня (14), вiдображає його в рiвняння бiльш високого порядку
\Omega
\bigl(
y, v(n+k); z
(G), w(q+k)
(G)
\bigr)
= 0,
яке може допускати факторизацiю до набору рiвнянь рiзних типiв:
F1(y, v(s)) = 0, (17)
FJ
\bigl(
z(J), w(q+k)
(J)
\bigr)
= 0, J = 2, . . . ,m. (18)
Тут, згiдно з нашим позначенням, (18) слiд розумiти як систему рiвнянь
FB
J
\bigl(
z(J), w(q+k)
(J)
\bigr)
= 0,
або, в бiльш загальному випадку, як набiр рiвнянь виду
\Phi C
\bigl(
y, v(n+k); z
(G), w(q+k)
(G)
\bigr)
= 0, C = m, . . . , c. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
406 В. А. ТИЧИНIН
Тут ми припускаємо, що всi w(q+k)
(G) залежать вiд повного набору незалежних змiнних y, z(G).
Iнакше кажучи, що факторизацiя допускає зображення операторним виразом
\Omega
\bigl(
y, v(n+k); z
(G), w(q+k)
(G)
\bigr)
= \lambda 1F1(y, v(s))+
+\lambda JFJ
\bigl(
z(J), w(q+k)
(J)
\bigr)
+ \lambda C\Phi C
\bigl(
y, v(n+k); z
(G), w(q+k)
(G)
\bigr)
. (20)
В наведених вище виразах ми користуємося угодою про пiдсумовування по iндексах, що по-
вторюються, а
\lambda Q
\bigl(
y, v(n+k); z
(G), w(q+k)
(G)
\bigr)
— диференцiальнi оператори вiдповiдного порядку.
У цьому випадку ми говоримо, що рiвняння F0(x, u(n)) = 0 та F1(y, v(s)) = 0 примушенi
бути зв’язаними нелокальним перетворенням \scrT \bigstar , яке залежить вiд додаткових змiнних, i, як
наслiдок, виконується тотожнiсть
\scrT \bigstar F0(x, u(n))
\bigm| \bigm| \bigm|
DF1, DFJ , D\Phi C , D\scrT \bigstar
\equiv 0.
Як i ранiше, D(F ) позначає набiр рiвнянь, що складається з даного рiвняння F i його не-
обхiдних диференцiальних продовжень. Вертикальна риса в тотожностi означає перехiд у
результатi застосування нелокального перетворення до (14) на многовид, обумовленим рiв-
няннями (17), (18) та (19) i їх необхiдними диференцiальними продовженнями. Спрощення
отриманого вище (переходом на многовид) результату зникає тотожно. Без другого й третього
доданкiв правої частини (20) нелокальний зв’язок мiж рiвняннями F0 i F1 ми вважаємо не-
можливим. Отже, цi доданки примушують цi рiвняння бути зв’язаними, тому цей випадок ми
можемо назвати „примусовим нелокальним зв’язком”.
Обравши \lambda J = \lambda C = 0 в (20), ми одержуємо „звичайне” нелокальне перетворення \scrT ,
описане у п. 2. У тому випадку, коли \lambda C = 0, дане рiвняння (14) допускає вiдображення в
рiвняння (17) за допомогою розширення нелокального перетворення набором нових залежних
змiнних w(q)
(G)(z(G)), кожна з яких залежить вiд вiдповiдного набору власних додаткових
незалежних змiнних z(G). Кожна залежна змiнна визначається власним ДРЧП вигляду (18).
Припустимо, що \lambda J = 0. Тодi рiвняння (14) може бути зв’язане з рiвнянням (17) нелокальним
перетворенням, з новими залежними змiнними w(q)
(G)(z(G)), якi залежать вiд повного набору
всiх незалежних змiнних y, z(G). Якщо можливо знайти розв’язок системи (17), (19), тодi
вiдповiдний розв’язок даного рiвняння (14) може бути знайдений. Зокрема, система (19) може
виявитися лiнiйною, де змiннi множники є деякими функцiями вiд y i v(q).
Помiтимо, що поняття приєднаного розв’язку, яке ми запровадили у роботi [42], застосовне
до узагальнених нелокальних перетворень (15), (20). Нехай, наприклад,
F1(y, v(s)) = W1(y), FJ
\bigl(
z(J), w(q+k)
(J)
\bigr)
= WJ
\bigl(
z(J)
\bigr)
,
\Phi C
\bigl(
y, v(n+k); z
(G), w(q+k)
(G)
\bigr)
= WC
\bigl(
y, z(G)
\bigr)
,
(21)
де W1(y), WJ
\bigl(
z(J)
\bigr)
та WC
\bigl(
y, z(G)
\bigr)
довiльнi збурювання (нев’язки) вiдповiдних рiвнянь. Тодi
умова \Omega
\bigl(
y, v(n+k); z
(G), w(q+k)
(G)
\bigr)
= 0 тягне рiвняння
\lambda 1W1(y) + \lambda JWJ
\bigl(
z(J)
\bigr)
+ \lambda CWC
\bigl(
y, z(G)
\bigr)
= 0. (22)
Якщо це рiвняння може бути розв’язане вiдносно W1, WJ , WC , тодi з’являється можливiсть
побудувати розв’язки, приєднанi до розв’язкiв рiвняння (14).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 407
Зауваження. Розглянемо, як порушення законiв збереження (поява струмiв, що не зберiгаю-
ться, або ненульова кривина певної зв’язностi, пов’язаної з цiльовими рiвняннями), приводить
до появи розв’язкiв, приєднаних до розв’язку вихiдного рiвняння. Нас, переважно, цiкавить
роль, яку вiдiграють закони збереження в рамках методу нелокальних перетворень, у тому
числi й з додатковими змiнними.
Нехай данi рiвняння (10) i (11), зв’язанi нелокальним перетворенням \scrT , i кожне з них
допускає вiдповiдний струм, що зберiгається. Тодi рiвняння (12) тягне вiдповiдний операторний
вираз для збережених струмiв
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}J(u)(x, u(n)) = \lambda (y, v(s)) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}J(v)(y, v(s)). (23)
У двовимiрному випадку це означає
Dtf
t(x, t, u(r)) +Dxf
x(x, t, u(r)) =
= \lambda (y, \~t, v(s))
\Bigl(
D\~tg
\~t(y, \~t, v(k)) +Dyg
y(y, \~t, v(k))
\Bigr)
,
де f t, fx i g\~t, gy є збереженою щiльнiстю й потоком для кожного рiвняння вiдповiдно. Це
породжує нелокальний зв’язок мiж потенцiйними функцiями, якi можуть бути отриманi для ко-
жного закону збереження, так само як це було зроблено для системи (6). Розв’язок, приєднаний
до розв’язкiв рiвняння (10), випливає з нерiвностi
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}J(v)(y, v(s)) \not = 0
зi спецiальним вибором правої частини в цiльовому рiвняннi. Отже, принцип найменшої дiї
для рiвняння (11) допускає вiдповiдне вiдхилення, обумовлене введенням у модель зовнiшнього
заряду, що перетворює рiвняння (11) в неоднорiдне. Iнакше кажучи, розв’язок, приєднаний до
розв’язкiв рiвняння F0, може бути породжений розв’язком збуреного рiвняння F1, яке можемо
вважати зануреним в спецiальне зовнiшнє поле, створене вiдповiдною щiльнiстю заряду.
4. Приклади нелокальних перетворень з додатковими змiнними. Нижче розглянемо
приклади нелокального (в т. ч. примусового) зв’язку нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у
частинних похiдних за допомогою нелокального перетворення з додатковими змiнними.
Приклад 4.1. Розглянемо нелiнiйне телеграфне рiвняння [43]
utt - \partial x( - u - 1 + u - 2ux) = 0, (24)
яке допускає зображення у виглядi потенцiальної системи
vx - ut = 0,
vt - u - 2ux + u - 1 = 0.
(25)
Водночас iнша потенцiальна система
vx - ut = 0,
vt - u - 2ux + u - 1 - 1 = 0.
(26)
вiдповiдає тому ж рiвнянню. У роботi [44] було знайдене точкове перетворення змiнних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
408 В. А. ТИЧИНIН
x = r + \mathrm{l}\mathrm{n} p(r, s), t = s+ q(r, s), u(x, t) = p(r, s), v(x, t) = q(r, s), (27)
яке перетворює останню потенцiальну систему у систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь
qr - ps = 0,
qs - pr - p+ 1 = 0,
(28)
де r, s i p(r, s), q(r, s) — новi незалежнi i залежнi змiннi, вiдповiдно. Далi ми використовуємо
деякi результати, отриманi в [45].
Оберненим для (27) є перетворення
r = x - \mathrm{l}\mathrm{n}u(x, t), s = t - v(x, t), p(r, s) = u(x, t), q(r, s) = v(x, t). (29)
Система (28) допускає нескiнчену алгебру iнварiантностi
X1 = \partial r + a(r, s)\partial p + (b(r, s) + s)\partial q, X2 = \partial s + a(r, s)\partial p + (b(r, s) + s)\partial q,
X3 = a(r, s)\partial p + (b(r, s) + s+ 1)\partial q, X4 = (p+ a(r, s))\partial p + (b(r, s) + 2s+ q)\partial q, (30)
X5 = s\partial r + r\partial s +
\biggl(
- 1
2
q - 1
2
ps+ a(r, s)
\biggr)
\partial p +
\biggl(
b(r, s) + s - 1
2
(p+ r + sq +
1
2
s2)
\biggr)
\partial q,
де (a(r, s), b(r, s)) — довiльний розв’язок системи (28). Зазначимо, що лише оператор X5 цiєї
алгебри визначає потенцiальну симетрiю рiвняння
pss - prr - pr = 0. (31)
У просторi незалежних змiнних r i s та залежних змiнних p(r, s), q(r, s) скористаємось рiвнi-
стю qr = ps i замiнимо в формулах перетворення (29) змiнну q(r, s) на iнтеграл
\int
ps(r, s) dr.
Тепер перетворення зв’язує змiннi x, t, u(x, t) зi змiнними r, s, p(r, s),
\int
ps(r, s)dr в такий
спосiб:
x = r + \mathrm{l}\mathrm{n} p, t = s+
\int
ps(r, s)dr, u(x, t) = p, (32)
перетворившись на iнтегро-диференцiальне.
Побудуємо формулу розмноження розв’язкiв рiвняння (24), виходячи з довiльного операто-
ра, що визначає його потенцiальну симетрiю. Для оператора X1 алгебри (30) легко будується
перетворення вiдповiдної групи Лi
r = R+ \varepsilon , s = S, p(r, s) = a(R+ \varepsilon , S)\varepsilon + P (R,S),
q(r, s) = b(R+ \varepsilon , S)\varepsilon + S\varepsilon +Q(R,S).
(33)
Для обох комплектiв змiнних (x, t, u, v), (X,T, U, V ) виконаємо перетворення (29), отримуємо
x = \mathrm{l}\mathrm{n} | a(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T - V )\varepsilon + U | +X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon ,
t = b(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T - V )\varepsilon + \varepsilon (T - V ) + T ,
u(x, t) = a(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T - V )\varepsilon + U,
v(x, t) = b(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T - V )\varepsilon + \varepsilon (T - V ) + V .
(34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 409
Легко перевiряється, що це перетворення вiдображає систему (25) в себе. Виключивши iз
цього перетворення змiнну v(x, t) i замiнивши V (X,T ) на iнтеграл
\int
UT dX, приходимо до
iнтегро-диференцiального перетворення
x = \mathrm{l}\mathrm{n} | a(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T -
\int
UT dX)\varepsilon + U | +X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon ,
t = b(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T -
\int
UT dX)\varepsilon + \varepsilon (T -
\int
UT dX) + T ,
u(x, t) = a(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T -
\int
UT dX)\varepsilon + U.
(35)
Тут функцiї a(\alpha , \beta ), b(\alpha , \beta ) вiдiграють роль додаткових залежних змiнних, на якi накладаються
умови (28)
b\alpha - a\beta = 0,
b\beta - a\alpha - a+ 1 = 0.
(36)
Тут \alpha = X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , \beta = T -
\int
UT dX. Отримане перетворення переводить дослiджуване
рiвняння в iнтегро-диференцiальний вираз, що обертається в нуль на многовидi, заданому
рiвнянням i його iнтегро-диференцiальними наслiдками.
Наведемо приклад застосування побудованого нелокального перетворення з додатковими
змiнними. Виконаємо перетворення (29) часткового розв’язку лiнiйної системи
a(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T -
\int
UT dX) = c1e
2(ln | U| - X+T -
\int
UT dX)
3 eX - ln | U | ,
(37)
b(X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon , T -
\int
UT dX) =
= - 1 - T +
\int
UT dX + 2c1e
2(ln | U| - X+T -
\int
UT dX)
3 eX - ln | U |
i пiдставимо його в (35). У результатi приходимо до перетворення
x = \mathrm{l}\mathrm{n} | c1e
2(ln | U| - X+T -
\int
UT dX)
3 eX - ln | U | | \varepsilon + U +X - \mathrm{l}\mathrm{n} | U | + \varepsilon ,
t =
\biggl(
- 1 - T +
\int
UT dX + 2c1e
2(ln | U| - X+T -
\int
UT dX)
3 eX - ln | U |
\biggr)
\varepsilon +
+\varepsilon (T -
\int
UT dX) + T, (38)
u(x, t) =
\biggl(
c1e
2(ln | U| - X+T -
\int
UT dX)
3 eX - ln | U |
\biggr)
\varepsilon + U.
Пiддавши перетворенню (38) вихiдний розв’язок рiвняння (24)
uI(x, t) = t,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
410 В. А. ТИЧИНIН
розв’яжемо результат вiдносно iнтегрального члена. Диференцiюванням обох частин отриманої
рiвностi по x одержимо диференцiальне рiвняння, розв’язуючи яке, знаходимо нелокальний ан-
зац для (24). Поклавши у цьому анзацi довiльну функцiю рiвною нулю, приходимо до розв’язку
u(x, t) =
1
18
\biggl( \Bigl(
9(t+ \varepsilon ) +
\surd
3
\sqrt{}
1 + 27ex(t+ \varepsilon )2e - x/2
\Bigr) 2/3
e4x/3 - 31/3ex
\biggr) 3
e - 4x
9(t+ \varepsilon ) +
\surd
3
\sqrt{}
1 + 27ex(t+ \varepsilon )2e - x/2
.
Приклад 4.2. У кiлькох останнiх публiкацiях ми неодноразово звертали увагу на те, що
побудованi в них формули розмноження розв’язкiв можна сприймати як певнi нелокальнi пере-
творення iз додатковими змiнними. Так, в роботi [46] було виведено таку формулу для рiвняння
Кортевега – де Фрiза (КдФ). При певних обмеженнях з її використанням був знайдений алго-
ритм i побудовано ланцюжки точних розв’язкiв. Рiвняння KдФ широко вiдомо як рiвняння, що
описує значну кiлькiсть нелiнiйних природних явищ
ut + 6uux + uxxx = 0. (39)
Припустимо, що iснує другий екземпляр цього рiвняння
vt + 6vvx + vxxx = 0. (40)
У цитованiй вище роботi „новий” розв’язок рiвняння (39) запропоновано шукати у формi
u(x, t) = - v(x, t) - 2 z(x, t)2. (41)
Пiдставимо таку форму розв’язку в (39) i перейдемо в отриманому виразi на многовид розв’язкiв
рiвняння (40). У виразi, що залишився, скористаємось вiдомим нелокальним перетворенням
v(x, t) = zx(x, t) - z(x, t)2, (42)
що зв’язує рiвняння (40) з модифiкованим рiвнянням, i знайдемо це рiвняння
zt - 6z2zx + zxxx = 0. (43)
Отже, перетворення (41) сумiсно з (42) є нелокальним перетворенням iз додатковою змiнною
z(x, t), пiдпорядкованою рiвнянню (43). Легко також перевiрити, що результат пiдстановки (42)
у рiвняння (40) пiсля переходу на многовид розв’язкiв рiвняння (43) дорiвнює нулевi. Водночас
пiдставивши (42) в (41), знаходимо пiдстановку
u(x, t) = - zx(x, t) - z(x, t)2, (44)
яка зв’язує рiвняння (39) з (43).
Зауважимо, що, обговорюючи нелокальну iнварiантнiсть рiвняння КдФ, автори фактично
кажуть про АПБ модифiкованого рiвняння КдФ, яке в даному випадку є промiжним рiвнян-
ням (для оригiнального рiвняння КдФ). Правильне безпосереднє АПБ для (39), наскiльки нам
вiдомо, не розглядалося.
Покажемо, що iснує нелокальне перетворення
ux = - (u - v)
\sqrt{}
- 2(u+ v) - vx, (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 411
яке зв’язує (39) з iншою його копiєю (40) за один крок.
У першу чергу вiдзначимо, що модифiковане рiвняння Кортевега – де Фрiза (МКдФ)
wK
t + 3wK
x
2
+ wK
xxx = 0, \mathrm{K} = \mathrm{I}, \mathrm{I}\mathrm{I}, (46)
допускає вiдоме АПБ [25]
\partial x
\biggl(
wI + wII
2
\biggr)
= -
\biggl(
wI - wII
2
\biggr) 2
, (47)
\partial t
\biggl(
wI - wII
2
\biggr)
= - 6
\biggl(
wI + wII
2
\biggr)
\partial x
\biggl(
wI - wII
2
\biggr)
- \partial xxx
\biggl(
wI - wII
2
\biggr)
\partial !. (48)
Тут похiднi
\partial xw
I = u, \partial xw
II = v (49)
забезпечують зв’язок (46) з (39) та (40), вiдповiдно.
Iнша форма рiвняння (47) може бути виведена, якщо переписати його в термiнах змiнних
u i v
u+ v = - 1
2
\biggl( \int
(u - v)dx
\biggr) 2
. (50)
Розв’язуючи це рiвняння вiдносно iнтегрального члена, i диференцiюючи результат по x, при-
ходимо до (45).
Повернемось до доведення зробленого вище твердження. Розв’яжемо (39) вiдносно u i
потiм продиференцiюємо результат по x. Отримуємо
ux +
1
6
uxt + uxxxx
ux
- 1
6
uxx
ut + uxxx
ux2
= 0. (51)
Пiдставивши ut = - 6uux - uxxx у третiй доданок (51), знаходимо
ux +
1
6
uxt + uxxxx
ux
+
uuxx
ux
= 0. (52)
Тепер ми можемо застосувати нелокальне перетворення (45), до (52). Використовуючи в отри-
маному результатi рiвняння (40) i його диференцiальнi наслiдки, а потiм рiвнiсть (45) з її
диференцiальними продовженнями, приходимо до виразу, який пiсля спрощення зникає то-
тожно.
Друге спiввiдношення для АПБ рiвняння Кдф одержуємо, записавши рiвняння (48) у змiн-
них u i v у вiдповiдностi до (49). У результатi одержуємо рiвняння, що зв’язують розв’язки
рiвняння Кдф
ux + vx = \pm (u - v)
\sqrt{}
- 2(u+ v), (53)
ut - vt = 4(2v - u)vx \pm 2(v2 - uv + vxx)
\sqrt{}
- 2(u+ v) + 2vxxx. (54)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
412 В. А. ТИЧИНIН
Теорема 1. Iснує два авто-Беклунд перетворення для рiвняння Кортевега – де Фрiза, по-
будованих на основi нелокального перетворення типу (45). Кожне з них складається iз двох
рiвнянь
ux = \pm (u - v)
\sqrt{}
- 2(u+ v) - vx, (55)
ut = \mp
\Bigl(
2
\sqrt{}
- 2(u+ v)
\Bigr) \bigl(
uv - v2 - vxx
\bigr)
+ 2(2u - v)vx - vxxx, (56)
якi зв’язують рiвняння (39) з диференцiальним продовженням рiвняння (40) за допомогою
диференцiального оператора\Bigl( \sqrt{}
- 2(u+ v)\partial x \mp (3v + u)
\Bigr)
(vt + 6vvx + vxxx) . (57)
Приклад 4.3. Припустимо, що рiвняння Бюргерса
eu : ut + u ux - uxx = 0 (58)
допускає зведення деяким нелокальним перетворенням з однiєю додатковою залежною змiнною
до лiнiйного рiвняння теплопровiдностi
ev : vt - vxx = 0 (59)
у присутностi допомiжного лiнiйного рiвняння, яке залежить вiд додаткової функцiї z(x, t)
ez : zt - vx
2 - zxx = 0. (60)
Будемо шукати це нелокальне перетворення у формi
u(x, t) = H(v(x, t), vx(x, t), z(x, t), zx(x, t)). (61)
Пiдставляючи (61) у рiвняння (58), одержуємо вираз, який залежить вiд похiдних третього
порядку. Переходячи тут на многовид, визначений рiвняннями (59), (60) i їх диференцiальними
продовженнями по x та спрощуючи результат, одержуємо певний диференцiальний вираз. Цей
вираз визначає функцiю H(v, p, z, q), p = vx, q = zx i, розщеплюючи його по похiдних
vxx(x, t), vxxx(x, t), zxx(x, t), zxxx(x, t),
знаходимо наступну систему диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних
p HHv + (qH + p2)Hz - 2 p qHvz - q2Hzz - p2Hvv = 0,
- 2 q Hzp +HHp + 2 pHq - 2 pHvp = 0, (62)
- 2 pHvq +HHq - 2 q Hzq = 0, Hpp = Hqq = Hpq = 0.
Розв’язки системи (62), можуть бути легко знайдено. Перший розв’язок отримуємо для випадку,
коли Hz = 0. Вiн є вiдомим перетворенням Хопфа – Коула
u = - 2 vx
v - 2 c
. (63)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 413
Iнший розв’язок виявляється таким:
u = - ( - 4 v + 8 c1)vx - 4 zx
2 z + v2 - 4 c1v - 4 c2
. (64)
Безпосереднє пiдставлення знайденого вище u у рiвняння (58) тягне диференцiальний вираз,
який тотожно обертається в нуль на многовидах розв’язкiв рiвнянь (60), (59). Тобто, вiдбува-
ється його факторизацiя
\scrT (64)eu = (K1\partial x+K3)ez + (K2\partial x+K4)ev,
K1 = 2z + v2 - 4c1v - 4c2,
K2 = v3 - 6c1v
2 + 2vz + (8c1
2 - 4c2)v - c1z + 8c1c2,
K3 = (4c1 - 2v)vx - 2zx,
K4 = ( - v2 + 4c1v - 2z - 8c1
2 - 4c2)vx + ( - 2v + 4c1)zx.
(65)
Iснування цього нелокального зв’язку може використовуватися для побудови нових формул
розмноження розв’язкiв рiвняння (58).
У наступному роздiлi ми розглядаємо механiзм розмноження розв’язкiв вихiдного рiвняння
з вiдомих його розв’язкiв з використанням нелокальних перетворень з додатковими змiнними.
5. Примусовi симетрiї та розмноження розв’язкiв. Застосування нелокальних перетво-
рень iз додатковими змiнними викликає необхiднiсть розробки нових алгоритмiв побудови
розв’язкiв диференцiального рiвняння з вiдомих його розв’язкiв (формул розмноження). У цьо-
му роздiлi ми продемонструємо ефективнiсть вiдповiдних алгоритмiв.
Покажемо спочатку, як одержати (точнi) розв’язки рiвняння (58) безпосередньо з форму-
ли (64), залучивши довiльний розв’язок v(x, t) = \phi (x, t) лiнiйного рiвняння теплопровiдностi.
Обравши такий розв’язок, ми пiдставляємо його похiднi в рiвняння (60). Розв’язавши це рiв-
няння щодо z(x, t) i пiдставивши отриманий результат в (64), ми знаходимо шуканий розв’язок.
Очевидно, що основна складнiсть пов’язана з iнтегруванням рiвняння
zt - \phi x(x, t)
2 - zxx = 0. (66)
Наведемо декiлька побудованих таким чином розв’язкiв рiвняння (58).
1. v = x2 + 2t, \rightarrow z = c4G1e
k t - c1 + c2x
4 + c3x
3c2
\rightarrow
\rightarrow u = -
4
\Bigl(
2c2x
3 + 12c2x(t - k1) + 3
\surd
kc2c4e
k tG2
\Bigr)
6c2c4ek tG1 + c2x4 + 12c2(x2 + t)(t - k1) - 2c3x - 12k1c2t - 12k2c2 - 2c1
.
Тут нами позначено G1 = c5e
\surd
kx + c6e
-
\surd
kx i G2 = c5e
\surd
k x - c6e
-
\surd
kx. Всi ci, k, kj є
довiльними сталими.
2. v = k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega ) ea t, \rightarrow
\rightarrow z = c4c6e
c1t -
\surd
c1x + c4c5e
c1t+
\surd
c1x - k2
2
e2at+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
414 В. А. ТИЧИНIН
+
1
2c3
\Bigl(
c1k
2e2at\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(
\surd
2\omega ) + c2k
2e2at \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(
\surd
2\omega ) + c3k
2e2at\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\omega )
\Bigr)
.
Нами використанi позначення \omega =
\surd
- a x+ b, \rightarrow u =
A
B
,
A = 4c3
\Bigl(
2kk1e
at
\surd
- a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega ) + c4c6
\surd
c1e
c1t -
\surd
c1 x - c4c5
\surd
c1 e
c1t+
\surd
c1 x
\Bigr)
+
+4k2 e2at
\surd
- a
\Bigl(
c1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(
\surd
2\omega ) - c2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(
\surd
2\omega )
\Bigr)
,
B = 2c3c4c6e
c1t -
\surd
c1x + 2c3c4c5e
c1t+
\surd
c1x - 4kk1c3e
at \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega )+
+k2e2at
\Bigl(
c2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(
\surd
2\omega ) + c1\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(
\surd
2\omega )
\Bigr)
- 4k2c3.
3. v = x, \rightarrow z = - c1
2
x2 + t(1 - c1) \rightarrow
\rightarrow u =
4(x(1 - c1) - 2k1)
- (x2 + 2t)(1 - c1) + 4(k1x+ k2)
.
Для побудови аналiтичної формули розмноження розв’язкiв рiвняння (58), почнемо з фор-
мули (64), записавши її у виглядi
uII = - ( - 4 v + 8 c1) vx - 4 zx
2 z + v2 - 4 c1v - 4 c2
, (67)
та пiдставимо в неї iнший розв’язок цього рiвняння, поклавши в (67) vx = - 1
2
uIIv. Знаходимо
шукану формулу розмноження розв’язкiв
uI = - ( - 2 v + 4 c1)u
II v - 4 zx
2 z + v2 - 4 c1v - 4 c2
. (68)
Розв’язавши цей вираз вiдносно uII, отримуємо
uII =
1
2
(2 z + v2 - 4 c1v - 4 c2)u
I v + 4 zx
v(v - 2 c1)
. (69)
Тепер можливо побудувати новий розв’язок uII рiвняння (58) з вiдомого розв’язку uI, вибира-
ючи для цiєї формули довiльний вiдомий розв’язок рiвняння лiнiйної теплопровiдностi v(x, t).
Вiдповiдна допомiжна функцiя z(x, t) може бути знайдена розв’язанням ДРЧП
g(x, t) = - ( - 4\phi (x, t) + 8 c1)\phi x(x, t) - 4 zx
2 z + \phi (x, t)2 - 4 c1\phi (x, t) - 4 c2
, (70)
де uI = g(x, t) є вiдомим розв’язком (58) а v(x, t) = \phi (x, t) — довiльний розв’язок рiвняння (59).
Розв’язавши це диференцiальне рiвняння вiдносно z(x, t), знаходимо вираз, що мiстить довiль-
ну функцiю, яка залежить вiд t. Ця функцiя може бути уточнена за допомогою рiвняння (60).
Пiдставляючи отриманi компоненти в (69), ми знаходимо шуканий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 415
Теорема 2. Формула розмноження розв’язкiв рiвняння (58) має вигляд
uII =
1
2
(2 - \tau + v2 - 4 c1v - 4 c2)u
I v + 4 \tau x
v(v - 2 c1)
, (71)
де uI = g(x, t) — вiдомий розв’язок рiвняння (58), а v(x, t) = \phi (x, t) є довiльним розв’язком
рiвняння лiнiйної теплопровiдностi vt(x, t) - vxx(x, t) = 0. Функцiональний параметр \tau (x, t)
побудовано в такий спосiб: якщо дано вiдомий розв’язок uI = g(x, t) рiвняння (58), iнтегруємо
наступне диференцiальне рiвняння в частинних похiдних
g(x, t) = - ( - 4\phi (x, t) + 8 c1)\phi x(x, t) - 4 \tau x
2 \tau + \phi (x, t)2 - 4 c1\phi (x, t) - 4 c2
(72)
вiдносно функцiї \tau (x, t), яка мiстить довiльну функцiю вiд t. Останню уточнюємо за допомо-
гою рiвняння
\tau t - \phi x(x, t)
2 - \tau xx = 0. (73)
Наведемо кiлька прикладiв застосування отриманої формули. З метою скорочення вiдповiднi
рiвняння для додаткової функцiї z та їх розв’язки нами опущенi.
1. uI =
x
t
, v = x2 + 2t \rightarrow uII = - 2
x
.
2. uI = - 2
x
, v = x \rightarrow uII = - 4x
x2 + 2t
.
3. uI =
x
t
, v = 2
\surd
t e -
x2
4t +
\surd
\pi x \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}
\Biggl(
1
2
\sqrt{}
t/x2
\Biggr)
\rightarrow
\rightarrow uII = -
2
\surd
\pi \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}
\Biggl(
1
2
\sqrt{}
t/x2
\Biggr)
2
\surd
t e -
x2
4 t +
\surd
\pi x \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}
\Biggl(
1
2
\sqrt{}
t/x2
\Biggr) .
Таким чином, ми можемо дiйти висновку, що запропонована додаткова нелокальна симетрiя
дозволяє здiйснювати розмноження в бiльш широкi сiмейства точних розв’язкiв нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь.
6. Заключення. Нехай вихiдне рiвняння не має очiкуваної симетрiї (iнварiантностi або
лiнеаризацiї) вiдносно обраного нелокального перетворення змiнних. Тодi впровадження до-
даткових змiнних в таке нелокальне перетворення вже може забезпечити появу цiєї симетрiї
за наявностi додаткових рiвнянь для додаткових змiнних. Тобто, вони примушують дане рiв-
няння до реалiзацiї цих симетрiй у вiдповiдностi до операторної рiвностi (20). Оскiльки ми
користуємося нелокальним вiдображенням вихiдного рiвняння на дане пiд дiєю сили, визна-
ченої додатковими функцiями, (якi є розв’язками рiвнянь для додаткових змiнних), вiдповiднi
нелокальнi симетрiї ми називаємо примусовими симетрiями, або forced symmetry. Розглянутi
в роботi приклади демонструють, що запропонована додаткова нелокальна симетрiя дозволяє
здiйснити розмноження в бiльш широкi сiмейства точних розв’язкiв нелiнiйних диференцiаль-
них рiвнянь. Усi знайденi розв’язки можуть бути природно розмноженi в багатопараметричнi
сiмейства розв’язкiв засобами перетворень симетрiї Лi, або будь-якими iншими формулами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
416 В. А. ТИЧИНIН
розмноження розв’язкiв. Деякi з них можуть бути отриманi в явнiй формi, у той час як iншi
можуть мати параметричне зображення з функцiональними параметрами, поданими в неяв-
нiй формi. Демонструючи отриманi вище приклади, ми не затверджуємо, що додали набори
з нових точних розв’язкiв розглянутих рiвнянь. Ми прагнули продемонструвати ефективнiсть
запропонованих алгоритмiв i ступiнь їх складностi.
Лiтература
1. L. V. Ovsiannikov, Group analysis of differential equations, Acad. Press, New York (1982).
2. P. J. Olver, Applications of Lie groups to differential equations, Springer-Verlag, New York (1993).
3. G. W. Bluman, S. Kumei, Symmetries and differential equations, Appl. Math. Sci., 81, New York, Springer-Verlag
(1989).
4. G. W. Bluman, J. J. Cole, The general similarity solution of the heat equation, J. Math. Mech., № 18, 1025 – 1042
(1968/69).
5. W. I. Fushchich, N. I. Serov, The conditional symmetry and reduction of the nonlinear heat equation (Russian), Docl.
Acad. Nauk Ukrain. Ser. A, № 7, 24 – 27 (1990).
6. P. J. Olver, P. Rosenau, The construction of special solutions to partial differential equations, Phys. Lett. A, 114,
№ 3, 107 – 112 (1986).
7. В. И. Фущич, А. Г. Никитин, Симметрия уравнений Максвелла, Наук. думка, Киев (1983).
8. C. Rogers, W. F. Shadwick, Bäcklund transformations and their applications, Acad. Press, New York-London (1982).
9. G. W. Bluman, G. J. Reid, S. Kumei, New classes of symmetries for partial differential equations, J. Math. Phys., 29,
№ 4, 806 – 811 (1988).
10. I. M. Anderson, N. Kamran, P. J. Olver, Internal, external, and generalized symmetries, Adv. Math., 100, № 1,
53 – 100 (1993).
11. W. I. Fuschych, V. A. Tychynin, Preprint No 82.33, Akad. Nauk Ukr. SSR, Inst. Math., Kiev (1982).
12. V. A. Tychynin, Non-local symmetry and generating solutions for Harry – Dym-type equations, J. Phys. A: Math.
Gen., 27, № 13, 4549 – 4556 (1994).
13. V. A. Tychynin, O. V. Petrova, O. M. Tertyshnyk, Symmetries and generation of solutions for partial differential
equations, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl., 3, Paper 019, 0702033, 14 p. (2007).
14. V. A. Tychynin, O. V. Petrova, Nonlocal symmetries and formulae for generation of solutions for a class of
diffusion–convection equations, J. Math. Anal. Appl., 382, № 1, 20 – 33 (2011).
15. E. G. Reyes, Nonlocal symmetries and the Kaup – Kupershmidt equation, J. Math. Phys., 46, № 7, 073507, 19 p.
(2005).
16. F. Galas, New nonlocal symmetries with pseudopotentials, J. Phys. A: Math. Gen., 25, № 15, L981–L986 (1992).
17. A. R. Forsyth, Theory of differential equations, Vol. 5, 6, Dover Publication, N.Y. (1959).
18. W. F. Ames, Nonlinear partial differential equations in engineering. Vol. 1, Acad. Press, New York (1965).
19. N. H. Ibragimov, R. L. Anderson, Lie – Bäcklund tangent transformations, J. Math. Anal. Appl., 59, № 1, 145 – 162
(1977).
20. H. D. Wahlquist, F. B. Estabrook, Bäcklund transformation for solution of the Korteweg – de Vries equation, Phys.
Rev. Lett., 31, № 23, 1386 – 1389 (1973).
21. H. D. Wahlquist, F. B. Estabrook, Prolongation structures of nonlinear evolution equations, J. Math. Phys., 16, № 1,
1 – 7 (1975).
22. F. B. Estabrook, Moving frames and prolongation algebras, J. Math. Phys., 23, № 11, 2071 – 2076 (1982).
23. F. Pirani, D. Robinson, W. F. Shadwick, Jet bundle formulation of Backlund transformations to nonlinear evolution
equations, D. Reidel Publ. Co, Dordrecht (1979).
24. R. Hermann, The pseudopotentials of Estabrook and Wahlquist, the geometry of solutions and the theory of connecti-
ons, Phys. Rev. Lett., № 36, 835 – 836 (1976).
25. M. J. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the inverse scattering transform, SIAM, Philadelphia (1981).
26. I. Sh. Akhatov, R. K. Gazizov, N. H. Ibragimov, Nonlocal symmetries, A heuristic approach (Russian), Translated in
J. Soviet Math., 55, № 1, 3 – 83 (1991); Itogi Nauki i Tekhniki. Current Problems in Mathematics. Newest Results
(Russian), Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, № 34, 3 – 84 (1989).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
НЕЛОКАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДОДАТКОВИМИ ЗМIННИМИ. ПРИМУСОВI СИМЕТРIЇ 417
27. J. R. King, Some non-local transformations between nonlinear diffusion equations, J. Phys. A: Math. Gen., № 23,
5441 – 5464 (1990).
28. N. Euler, Multipotentialisations and iterating-solution formulae: the Krichever – Novikov equation, J. Nonlinear Math.
Phys., 16, suppl. 1, 93 – 106 (2009).
29. G. W. Bluman, P. Doran-Wu, The use of factors to discover potential systems or linearizations, Acta Appl. Math.,
№ 41, 21 – 43 (1995).
30. G. W. Bluman, Nonlocal extensions of similarity methods, J. Nonlinear Math. Phys., 15, suppl. 1, 1 – 24 (2008).
31. G. W. Bluman, A. F. Cheviakov, Nonlocally related systems, linearization and nonlocal symmetries for the nonlinear
wave equation, J. Math. Anal. Appl., № 333, 93 – 111 (2007).
32. G. W. Bluman, A. F. Cheviakov, N. M. Ivanova, Framework for nonlocally related partial differential equation
systems and nonlocal symmetries: extension, simplification, and examples, J. Math. Phys., № 47, 113505, 1 – 23
(2006).
33. R. O. Popovych, N. M. Ivanova, Hierarchy of conservation laws of diffusion-convection equations, J. Math. Phys.,
№ 46, 043502, 1 – 22 (2005); DOI: 10.1063/1.1865813.
34. I. S. Krasil’shchik, A. M. Vinogradov, Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries,
conservation laws and Bäcklund transformations, Acta Appl. Math., 15, 161 – 209 (1989).
35. N. M. Ivanova, R. O. Popovych, C. Sophocleous, O. O. Vaneeva, Conservation laws and hierarchies of potential
symmetries for certain diffusion equations. Physica A, № 388, 343 – 356 (2008).
36. A. Clarkson, A. S. Fokas, M. J. Ablowitz, Hodograph transformations of linearizable partial differential equations,
SIAM J. Appl. Math., № 49, 1188 – 1209 (1989).
37. W. I. Fuschych, V. A. Tychynin, Exact solutions and superposition principle for nonlinear wave equation, Docl.
Acad. Nauk Ukr. Ser. A, № 5, 32 – 36 (1990).
38. V. A. Tychynin, New nonlocal symmetries of diffusion-convection equations and their connection with generalized
hodograph transformation, Symmetry, 7, № 4, 1751 – 1767 (2015); DOI:10.3390/sym7041751.
39. W. Rzeszut, V. Vladimirov, O. M. Tertyshnyk, V. A. Tychynin, Linearizability and nonlocal superposition for
nonlinear transport equation with memory, Rep. Math. Phys., 72, № 2, 235 – 252 (2013).
40. V. A. Tychynin, On construction of new exact solutions for nonlinear equations via known particular solutions
(Russian), Symmetry and solutions of equations of mathematical physics (Russian), vi, Akad. Nauk Ukrain. SSR,
Inst. Math., Kiev, 86 – 89 (1989).
41. V. A. Tychynin, Non-local symmetries and solutions for some classes of nonlinear equations of mathematical physics,
Thesis. IM NASU/V. A. Tychynin (1994).
42. V. A. Tychynin, Adjoint solutions and superposition principle for linearizable Krichever – Novikov equation,
Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics, Collection of Works of Institute of Mathematics,
Kyiv, vol. 16, № 1, 181 – 192 (2019).
43. A. Jeffrey, Applied partial differential equations. An introduction, Acad. Press, New York (2003).
44. G. W. Bluman, P. Doran-Wu, The use of factors to discover potential systems or linearisations, Acta Appl. Math.,
№ 41, 21 – 43 (1995).
45. В. А. Тичинiн, О. Н. Тертышник, Нелокальное размножение решений одного нелинейного телеграфного
уравнения, Збiрник праць Другого Всеукраїнського наукового семiнару „Українська школа групового аналiзу
диференцiальних рiвнянь: здобутки i перспективи”, 19-20.10, 129 – 140 (2012).
46. В. И. Фущич, В. А. Тычинин, Н. И. Серов, Формула размножения решений уравнений Кортевега – де Фриза,
Укр. мат. журн., 44, № 5, 716 – 719 (1992).
Одержано 10.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6995 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:02Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/df/88d7d2700d45c3c550de7cd202ca54df.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69952025-03-31T08:44:52Z Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries Нелокальные преобразования с дополнительными переменными. Принудительные симметрии Нелокальні перетворення з додатковими змінними. Примусові симетрії Tychynin, V. A. Тичинін, В. А. класичні симетрії Лі нелокальні перетворення нелокальні симетрії додаткові змінні принцип нелінійної суперпозиції формули розмноження розв’язків перетворення Беклунда classical Lie symmetries nonlocal transformations nonlocal symmetries, additional variables formulae generating solutions nonlinear superposition principle UDC 517.9: 519.46 The concept of nonlocal transformation with additional variables is offered, developed and applied to search additional symmetry of nonlinear partial differential equations. Possible schemes of relation of differential equations by means of prolonged nonlocal transformations of this type are considered, several examples are given. The method is used for constructing algorithms and formulas generating new solutions from known solutions that use additional symmetry. These formulas are applied to finding of exact solutions for some nonlinear equations. Предложена концепция нелокального преобразования с дополнительнымипеременными, которая разработана и применена для поискадополнительных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений вчастных производ\-ных. Рассмотрены возможные схемы связидифференциальных уравнений с помощью продолженных нелокальныхпреобразований этого типа, приведено несколько примеров. Методиспользован для построения алгоритмов и формул размножения решенийиз известных, которые учитывают дополни\-тельные симметрии. Этиформулы применены для нахождения точных решений некоторых нелинейныхуравнений. УДК 517.9: 519.46Запропоновано концепцiю нелокального перетворення з додатковими змiнними, яку розроблено i застосовано для пошуку додаткових симетрiй нелiнiйних диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних. Розглянуто можливi схеми зв’язку диференцiальних рiвнянь за допомогою продовжених нелокальних перетворень цього типу, наведено кiлька прикладiв. Метод застосовано для побудови алгоритмiв i формул розмноження розв’язкiв з вiдомих, якi використовують додатковi симетрiї. Ці формули використано для знаходження точних розв'язків деяких нелінійних рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6995 10.37863/umzh.v74i3.6995 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 400-417 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 400-417 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6995/9213 Copyright (c) 2022 Валентин Тичинін |
| spellingShingle | Tychynin, V. A. Тичинін, В. А. Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries |
| title | Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries |
| title_alt | Нелокальные преобразования с дополнительными переменными. Принудительные симметрии Нелокальні перетворення з додатковими змінними. Примусові симетрії |
| title_full | Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries |
| title_fullStr | Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries |
| title_full_unstemmed | Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries |
| title_short | Nonlocal transformations with additional variables. Forced symmetries |
| title_sort | nonlocal transformations with additional variables. forced symmetries |
| topic_facet | класичні симетрії Лі нелокальні перетворення нелокальні симетрії додаткові змінні принцип нелінійної суперпозиції формули розмноження розв’язків перетворення Беклунда classical Lie symmetries nonlocal transformations nonlocal symmetries additional variables formulae generating solutions nonlinear superposition principle |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6995 |
| work_keys_str_mv | AT tychyninva nonlocaltransformationswithadditionalvariablesforcedsymmetries AT tičinínva nonlocaltransformationswithadditionalvariablesforcedsymmetries AT tychyninva nelokalʹnyepreobrazovaniâsdopolnitelʹnymiperemennymiprinuditelʹnyesimmetrii AT tičinínva nelokalʹnyepreobrazovaniâsdopolnitelʹnymiperemennymiprinuditelʹnyesimmetrii AT tychyninva nelokalʹníperetvorennâzdodatkovimizmínnimiprimusovísimetríí AT tičinínva nelokalʹníperetvorennâzdodatkovimizmínnimiprimusovísimetríí |