On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations
UDC 512.813:517.957.6 We study a connection between the structural properties of two-dimensional nonconjugate subalgebras of the Lie algebra of the generalized Poincaré group P(1,4) and the results of symmetry reduction for the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation. Some results conc...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6996 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512581004820480 |
|---|---|
| author | Fedorchuk, V. M. Fedorchuk, V. I. Федорчук, В. М. Федорчук, В. I. |
| author_facet | Fedorchuk, V. M. Fedorchuk, V. I. Федорчук, В. М. Федорчук, В. I. |
| author_sort | Fedorchuk, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 512.813:517.957.6
We study a connection between the structural properties of two-dimensional nonconjugate subalgebras of the Lie algebra of the generalized Poincaré group P(1,4) and the results of symmetry reduction for the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation. Some results concerning of the reduction of the equation under investigation to the first-order PDEs are presented. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.6996 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.6996
УДК 512.813:517.957.6
В. М. Федорчук, В. I. Федорчук (Iн-т прикл. проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача
НАН України, Львiв)
ПРО РЕДУКЦIЮ (\bfone + \bfthree )-ВИМIРНОГО НЕОДНОРIДНОГО РIВНЯННЯ
МОНЖА – АМПЕРА ДО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
We study the relations between the structural properties of two-dimensional nonconjugate subalgebras of the Lie algebra of
the generalized Poincaré group P (1, 4) and the results of symmetry reduction for the (1+ 3)-dimensional inhomogeneous
Monge-Ampère equation. Some results concerning the reduction of the equation under investigation to the first-order PDEs
are presented.
Вивчається зв’язок мiж структурними властивостями неспряжених пiдалгебр розмiрностi 2 алгебри Лi узагальненої
групи Пуанкаре P (1,4) i результатами симетрiйної редукцiї (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа –
Ампера. Наведено деякi результати, що стосуються редукцiї дослiджуваного рiвняння до диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними (ДРЧП) першого порядку.
1. Вступ. Рiвняння Монжа – Ампера в просторах рiзних вимiрностей i рiзних типiв використо-
вувалися i використовуються при розв’язуваннi рiзних задач геометрiї, геометричного аналiзу,
теорiї струн, космологiї, геометричної оптики, одновимiрної газової динамiки, метеорологiї та
океанографiї тощо. Тут наведемо тiльки деякi роботи присвяченi дослiдженню цих рiвнянь
[1 – 15] (див. також цитовану там лiтературу).
Рiвняння Монжа – Ампера дослiджувалися рiзними методами. В пропонованiй роботi (1 +
+ 3)-вимiрне неоднорiдне рiвняння Монжа – Ампера вивчається класичним методом Лi – Ов-
сяннiкова [16 – 18] (див. також цитовану там лiтературу).
У 1984 р. A. M. Grundland (Грондленд), J. Harnad (Ханед), P. Winternitz (Вiнтернiц) [19]
звернули увагу на те, що при проведеннi симетрiйної редукцiї нелiнiйних релятивiстськи iн-
варiантних рiвнянь в окремих випадках редукованi рiвняння, отриманi за допомогою неспря-
жених (нееквiвалентних вiдносно внутнiшнiх автоморфiзмiв) пiдалгебр заданих рангiв алгебр
Лi груп симетрiї цих рiвнянь, були рiзних типiв. Вони також вивчали такого типу редукцiї.
Пiдтвердження iснування такого типу редукцiй можна знайти при проведеннi симетрiйних ре-
дукцiй деяких важливих для теоретичної i математичної фiзики диференцiальних рiвнянь (див.,
наприклад, [20 – 30] i цитовану там лiтературу).
В рамках класичного групового аналiзу (див., наприклад, [17, 18]) iнварiантнi розв’яз-
ки диференцiальних рiвнянь слiд класифiкувати за їхнiми рангами (рангами вiдповiдних їм
неспряжених пiдалгебр). При такому пiдходi не вдається пояснити отримання рiзних типiв ре-
дукованих рiвнянь (iнварiантних розв’язкiв) при використаннi неспряжених пiдалгебр заданих
рангiв алгебр Лi груп симетрiї цих рiвнянь.
У роботi [28] для класифiкацiї симетрiйних редукцiй (iнварiантних розв’язкiв) диферен-
цiальних рiвнянь авторами запропоновано використовувати структурнi властивостi низькоро-
змiрних неспряжених пiдалгебр того самого рангу алгебр Лi груп симетрiї рiвнянь, що дослi-
джуються.
Пропонована робота присвячена вивченню зв’язку мiж структурними властивостями не-
спряжених пiдалгебр розмiрностi 2 алгебри Лi групи Пуанкаре P (1,4) i результатами симе-
трiйної редукцiї (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера. Наведемо тiльки
c\bigcirc В. М. ФЕДОРЧУК, В. I. ФЕДОРЧУК, 2022
418 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО РЕДУКЦIЮ (1 + 3)-ВИМIРНОГО НЕОДНОРIДНОГО РIВНЯННЯ МОНЖА – АМПЕРА . . . 419
окремi результати, що стосуються редукцiї дослiджуваного рiвняння до ДРЧП першого поряд-
ку. З цiєю метою спочатку розглянемо деякi результати, що стосуються алгебри Лi групи P (1,4)
та її неспряжених пiдалгебр.
2. Алгебра Лi групи Пуанкаре \bfitP (\bfone ,\bffour ) та її неспряженi пiдалгебри. Група P (1,4) є
групою поворотiв i трансляцiй п’ятивимiрного простору Мiнковського M(1,4). Серед важливих
для теоретичної i математичної фiзики груп група P (1,4) посiдає особливе мiсце. Вона є
найменшою групою, яка мiстить як пiдгрупи групи симетрiї релятивiстської фiзики (група
Пуанкаре P (1,3)) та нерелятивiстської фiзики (розширена група Галiлея \widetilde G(1,3) [31]).
Алгебра Лi групи P (1,4) задається 15-ма базисними елементами M\mu \nu = - M\nu \mu , \mu , \nu =
= 0, 1, 2, 3, 4 i P\mu , \mu = 0, 1, 2, 3, 4, якi задовольняють комутацiйнi спiввiдношення\bigl[
P\mu , P\nu
\bigr]
= 0,
\bigl[
M\mu \nu , P\sigma
\bigr]
= g\nu \sigma P\mu - g\mu \sigma P\nu ,\bigl[
M\mu \nu ,M\rho \sigma
\bigr]
= g\mu \sigma M\nu \rho + g\nu \rho M\mu \sigma - g\mu \rho M\nu \sigma - g\nu \sigma M\mu \rho ,
де g00 = - g11 = - g22 = - g33 = - g44 = 1, g\mu \nu = 0, якщо \mu \not = \nu .
У цiй роботi розглядатимемо таке зображення [32] для алгебри Лi групи P (1,4):
P0 =
\partial
\partial x0
, P1 = - \partial
\partial x1
, P2 = - \partial
\partial x2
, P3 = - \partial
\partial x3
,
P4 = - \partial
\partial u
, M\mu \nu = x\mu P\nu - x\nu P\mu , x4 \equiv u.
Надалi використовуватимемо наступнi базиснi елементи:
G = M04, L1 = M23, L2 = - M13, L3 = M12,
Pa = Ma4 - M0a, Ca = Ma4 +M0a, a = 1, 2, 3,
X0 =
1
2
(P0 - P4), Xk = Pk k = 1, 2, 3, X4 =
1
2
(P0 + P4).
Неспряженi пiдалгебри алгебри Лi групи P (1,4) описанi в роботах [33 – 35].
Алгебра Лi розширеної групи Галiлея \widetilde G(1,3) генерується такими базисними елементами:
L1, L2, L3, P1, P2, P3, X0, X1, X2, X3, X4.
Класифiкацiя всiх низькорозмiрних (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L \leq 3) неспряжених пiдалгебр алгебри Лi групи
P (1,4) проведена в [36].
3. Про редукцiю (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера до ДРЧП
першого порядку. У цiй роботi розглядаємо (1 + 3)-вимiрне неоднорiдне рiвняння Монжа –
Ампера вигляду
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(u\mu \nu ) = \lambda (1 - u\nu u
\nu )3, \lambda \not = 0,
де u = u(x), x = (x0, x1, x2, x3) \in M(1,3), u\mu \nu \equiv \partial 2u
\partial x\mu \partial x\nu
, u\nu = g\nu \alpha u\alpha , u\alpha \equiv \partial u
\partial x\alpha
, g\mu \nu =
= (1, - 1, - 1, - 1)\delta \mu \nu , g
\mu \nu g\nu \sigma = \delta \mu \sigma , \mu , \nu , \alpha , \sigma = 0, 1, 2, 3.
Тут i надалi, M(1,3) — чотиривимiрний простiр Мiнковського, R(u) — дiйсна вiсь залежної
змiннoї u, \delta \mu \sigma — символ Кронекера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
420 В. М. ФЕДОРЧУК, В. I. ФЕДОРЧУК
У 1983 р. в працi Фущича i Сєрова [32] вивчено симетрiю i побудовано багатопараметричнi
сiм’ї точних розв’язкiв багатовимiрного рiвняння Монжа – Ампера. Iз цiєї роботи, зокрема,
випливає, що групою симетрiї дослiджуваного рiвняння є група Пуанкаре P (1,4).
Для проведення симетрiйної редукцiї i побудови класiв iнварiантних розв’язкiв цього рiв-
няння ми використали структурнi властивостi неспряжених пiдалгебр розмiрностi 2 алгебри Лi
групи P (1,4).
Внаслiдок проведення симетрiйної редукцiї рiвняння що вивчається, отримали такi типи
редукованих рiвнянь:
– ДРЧП першого порядку;
– ДРЧП другого порядку.
Нижче ми наведемо тiльки деякi отриманi нами результати, що стосуються редукцiй (1+3)-
вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера до ДРЧП першого порядку.
3.1. Алгебри Лi типу \bftwo \bfitA \bfone . У цiй роботi символом 2A1 позначаємо абелевi неспряженi
пiдалгебри розмiрностi 2 алгебри Лi групи Пуанкаре P (1,4).
1. \langle L3 + \lambda 1G, \lambda 1 > 0\rangle \oplus \langle X3\rangle :
Анзац (x21 + x22)
1/2 = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = (x20 - u2)1/2, \omega 2 = \mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u) + \lambda 1 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
.
Редуковане рiвняння
\bigl(
\omega 1\varphi
2\varphi 2
1 - \lambda 2
1\omega 1\varphi
2
2 + 2\varphi 2\varphi 1\varphi 2 - \omega 1\varphi
2
\bigr)
\omega 1 = 0.
Тут i надалi: \varphi i =
\partial \varphi
\partial \omega i
, i = 1, 2.
Розв’язок редукованого рiвняння \omega 1 = 0.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера x20 - u2 = 0.
2. \langle G\rangle \oplus \langle X1\rangle :
Анзац (x20 - u2)1/2 = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x2, \omega 2 = x3.
Редуковане рiвняння \varphi 2
1 + \varphi 2
2 - 1 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \varphi (\omega 1, \omega 2) = \varepsilon
\sqrt{}
1 - c21 \omega 1 + c1\omega 2 + c2, \varepsilon = \pm 1, де c1, c2 —
довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера (x20 - u2)1/2 =
= \varepsilon
\sqrt{}
1 - c21 x2 + c1x3 + c2.
3. \langle G+ \alpha X2, \alpha > 0\rangle \oplus \langle X1\rangle :
Анзац x3 = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = (x20 - u2)1/2, \omega 2 = x2 - \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u).
Редуковане рiвняння
\bigl[
2\alpha \varphi 1\varphi 2 - (\varphi 2
1 - \varphi 2
2 - 1)\omega 1
\bigr]
\omega 1 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = \alpha c1 \mathrm{l}\mathrm{n}(\omega 1) + c1\omega 2 -
\sqrt{}
\alpha 2c21 + (c21 + 1)\omega 2
1+
+\alpha c1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
2\alpha 2c21 + 2\alpha c1
\sqrt{}
\alpha 2c21 + (c21 + 1)\omega 2
1
\omega 1
\Biggr)
+ c2,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
x3 =
\alpha
2
c1 \mathrm{l}\mathrm{n}(x
2
0 - u2) + c1
\bigl(
x2 - \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u)
\bigr)
-
\sqrt{}
\alpha 2c21 + (c21 + 1)(x20 - u2) + c2+
+\alpha c1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
2\alpha 2c21 + 2\alpha c1
\sqrt{}
\alpha 2c21 + (c21 + 1)(x20 - u2)\sqrt{}
x20 - u2
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО РЕДУКЦIЮ (1 + 3)-ВИМIРНОГО НЕОДНОРIДНОГО РIВНЯННЯ МОНЖА – АМПЕРА . . . 421
4.
\biggl\langle
L3 +
1
2
(P3 + C3)
\biggr\rangle
\oplus \langle X0 +X4\rangle :
Анзац \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
- \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x3
u
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = (x21 + x22)
1/2, \omega 2 = (x23 + u2)1/2.
Редуковане рiвняння
\bigl[ \bigl(
\varphi 2
1 + \varphi 2
2
\bigr)
\omega 2
1\omega
2
2 + \omega 2
1 + \omega 2
2
\bigr]
\omega 2 = 0.
5.
\biggl\langle
L3 +
\lambda 1
2
(P3 + C3), 0 < \lambda 1 < 1
\biggr\rangle
\oplus \langle X0 +X4\rangle :
Анзац \lambda \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
- \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x3
u
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = (x21 + x22)
1/2, \omega 2 = (x23 + u2)1/2.
Редуковане рiвняння
\bigl[ \bigl(
\varphi 2
1 + \varphi 2
2
\bigr)
\omega 2
1\omega
2
2 + \omega 2
1 + \lambda 1\omega
2
2
\bigr]
\omega 2 = 0.
Зауважимо, що нижченаведенi результати отриманi при допомозi неспряжених пiдалгебр
типу 2A1 алгебри Лi розширеної групи Галiлея \widetilde G(1,3) \subset P (1,4).
6. \langle L3 - P3\rangle \oplus \langle X4\rangle :
Анзац \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
+
x3
x0 + u
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x0 + u, \omega 2 = x21 + x22.
Редуковане рiвняння
\bigl(
4\omega 2
1\omega
2
2\varphi
2
2 + \omega 2
1 + \omega 2
\bigr)
\omega 1 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = i\varepsilon \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
\omega 2
1 + \omega 2
\omega 1
\Biggr)
- i\varepsilon
\sqrt{}
\omega 2
1 + \omega 2
\omega 1
+ f(\omega 1), \varepsilon = \pm 1,
де f — довiльна гладка функцiя.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= f(x0 + u) - i\varepsilon
\sqrt{}
(x0 + u)2 + x21 + x22
x0 + u
+
+i\varepsilon \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
(x0 + u)2 + x21 + x22
x0 + u
\Biggr)
- x3
x0 + u
, \varepsilon = \pm 1.
7. \langle L3\rangle \oplus \langle X0 +X4\rangle :
Анзац u = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = (x21 + x22)
1/2, \omega 2 = x3.
Редуковане рiвняння \varphi 2
1 + \varphi 2
2 + 1 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = i\varepsilon
\sqrt{}
c21 + 1\omega 1 + c1\omega 2 + c2, \varepsilon = \pm 1,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
u = i\varepsilon
\sqrt{}
c21 + 1
\sqrt{}
x21 + x22 + c1x3 + c2, \varepsilon = \pm 1.
8. \langle L3 + \alpha (X0 +X4), \alpha > 0\rangle \oplus \langle X4\rangle :
Анзац x0 + u - \alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x3, \omega 2 = (x21 + x22)
1/2.
Редуковане рiвняння \omega 2
2\varphi
2
1 + \omega 2
2\varphi
2
2 + \alpha 2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = \varepsilon
\Biggl[
i\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
\alpha
\sqrt{}
c21\omega
2
2 + \alpha 2 + \alpha 2
\omega 2
\Biggr)
- i
\sqrt{}
c21\omega
2
2 + \alpha 2 + c1\omega 1 + c2
\Biggr]
, \varepsilon = \pm 1,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
422 В. М. ФЕДОРЧУК, В. I. ФЕДОРЧУК
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
u = \varepsilon
\Biggl[
i\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
\alpha
\sqrt{}
c21(x
2
1 + x22) + \alpha 2 + \alpha 2\sqrt{}
x21 + x22
\Biggr)
- i
\sqrt{}
c21(x
2
1 + x22) + \alpha 2 + c1x3 + c2
\Biggr]
+
+\alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
- x0.
9. \langle L3 + \alpha X3, \alpha > 0\rangle \oplus \langle X0 +X4\rangle :
Анзац x3 + \alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = u, \omega 2 = (x21 + x22)
1/2.
Редуковане рiвняння (\varphi 2
1 + \varphi 2
2 + 1)\omega 2
2 + \alpha 2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = \varepsilon
\Biggl[
i\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
\alpha
\sqrt{}
(c21 + 1)\omega 2
2 + \alpha 2 + \alpha 2
\omega 2
\Biggr)
- i
\sqrt{}
(c21 + 1)\omega 2
2 + \alpha 2 + c1\omega 1 + c2
\Biggr]
, \varepsilon = \pm 1,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
x3 = \varepsilon
\Biggl[
i\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
\alpha
\sqrt{}
(c21 + 1)(x21 + x22) + \alpha 2 + \alpha 2\sqrt{}
x21 + x22
\Biggr)
-
- i
\sqrt{}
(c21 + 1)(x21 + x22) + \alpha 2 + c1 u+ c2
\biggr]
- \alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
.
10. \langle L3 + 2X4\rangle \oplus \langle X3\rangle :
Анзац x0 - u+ 2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x2
x1
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x0 + u, \omega 2 = (x21 + x22)
1/2.
Редуковане рiвняння (\varphi 2
2 + 4\varphi 1)\omega
2
2 + 4 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = c1\omega 1 - 2i
\sqrt{}
c1\omega 2
2 + 1 + 2i \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl(
1\sqrt{}
c1\omega 2
2 + 1
\Biggr)
+ c2,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
x0 - u+ 2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x2
x1
= c1(x0 + u) - 2i
\sqrt{}
c1(x21 + x22) + 1+
+2i \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl(
1\sqrt{}
c1(x21 + x22) + 1
\Biggr)
+ c2.
11. \langle L3 - P3 + 2\alpha X0, \alpha \not = 0\rangle \oplus \langle X4\rangle :
Анзац x0 + u - 2\alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = (x21 + x22)
1/2, \omega 2 = (x0 + u)2 + 4\alpha x3.
Редуковане рiвняння (\varphi 2
1 + 16\alpha 2\varphi 2
2)\omega
2
1 + 4\alpha 2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = 2i\alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl(
1\sqrt{}
4c21\omega
2
1 + 1
\Biggr)
- 2i\alpha
\sqrt{}
4c21\omega
2
1 + 1 + c1\omega 2 + c2,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО РЕДУКЦIЮ (1 + 3)-ВИМIРНОГО НЕОДНОРIДНОГО РIВНЯННЯ МОНЖА – АМПЕРА . . . 423
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
x0 + u - 2\alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= - 2i\alpha
\sqrt{}
4c21(x
2
1 + x22) + 1+
+2i\alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl(
1\sqrt{}
4c21(x
2
1 + x22) + 1
\Biggr)
+ c1
\bigl(
(x0 + u)2 + 4\alpha x3
\bigr)
+ c2.
12. \langle P3\rangle \oplus \langle X1\rangle :
Анзац x20 - x23 - u2 = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x2, \omega 2 = x0 + u.
Редуковане рiвняння \varphi 2
1 + 4\omega 2\varphi 2 - 4\varphi = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \varphi (\omega 1, \omega 2) = (\omega 1 + c1)
2 - c2\omega 2, де c1, c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1+ 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера x20 - x23 - u2 = (x2 +
+ c1)
2 - c2(x0 + u).
13. \langle P3 - X2\rangle \oplus \langle X1\rangle :
Анзац x2 -
x3
x0 + u
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x0 + u, \omega 2 = (x20 - x23 - u2)1/2.
Редуковане рiвняння
\bigl(
2\omega 3
1\varphi 1\varphi 2 + \omega 2
1\omega 2\varphi
2
2 - \omega 2
1\omega 2 - \omega 2
\bigr)
\omega 1\omega 2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \omega 2 = 0.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера x20 - x23 - u2 = 0.
14. \langle P3 - 2X0\rangle \oplus \langle X4\rangle :
Анзац (x0 + u)2 + 4x3 = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x1, \omega 2 = x2.
Редуковане рiвняння \varphi 2
1 + \varphi 2
2 + 16 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \varphi (\omega 1, \omega 2) = i\varepsilon
\sqrt{}
c21 + 16\omega 1 + c1\omega 2 + c2, \varepsilon = \pm 1, де c1,
c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
(x0 + u)2 + 4x3 = i\varepsilon
\sqrt{}
c21 + 16x1 + c1x2 + c2.
15. \langle P3 - 2X0\rangle \oplus \langle X1\rangle :
Анзац
1
6
(x0 + u)3 + x3(x0 + u) + x0 - u = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x2, \omega 2 = (x0 + u)2 + 4x3.
Редуковане рiвняння \varphi 2
1 + 16\varphi 2
2 - \omega 2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \varphi (\omega 1, \omega 2) = \varepsilon c1\omega 1 -
\varepsilon
6
(\omega 2 - c21)
3/2 + c2, \varepsilon = \pm 1, де c1,
c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
1
6
(x0 + u)3 + x3(x0 + u) + x0 - u = \varepsilon c1x2 -
\varepsilon
6
\bigl(
(x0 + u)2 + 4x3 - c21
\bigr) 3/2
+ c2.
16. \langle L3\rangle \oplus \langle X4\rangle :
Анзац (x21 + x22)
1/2 = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x0 + u, \omega 2 = x3.
Редуковане рiвняння \varphi 2
2 + 1 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \varphi (\omega 1, \omega 2) = f(\omega 1) + i\varepsilon \omega 2, \varepsilon = \pm 1, де f — довiльна
гладка функцiя.
Розв’язок (1+3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера (x21+x22)
1/2 = f(x0+
+ u) + i\varepsilon x3, \varepsilon = \pm 1.
17. \langle L3 + \alpha X3, \alpha > 0\rangle \oplus \langle X4\rangle :
Анзац x3 + \alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x0 + u, \omega 2 = (x21 + x22)
1/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
424 В. М. ФЕДОРЧУК, В. I. ФЕДОРЧУК
Редуковане рiвняння \omega 2
2(\varphi
2
2 + 1) + \alpha 2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = f(\omega 1) + i\varepsilon
\sqrt{}
\omega 2
2 + \alpha 2 - i\varepsilon \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
\alpha
\sqrt{}
\omega 2
2 + \alpha 2 + \alpha 2
\omega 2
\Biggr)
+ c, \varepsilon = \pm 1,
де f — довiльна гладка функцiя; c — довiльна стала.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
x3 + \alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= f(x0 + u) + i\varepsilon
\sqrt{}
x21 + x22 + \alpha 2 - i\varepsilon \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
\alpha
\sqrt{}
x21 + x22 + \alpha 2 + \alpha 2\sqrt{}
x21 + x22
\Biggr)
+ c1.
18. \langle P3 - X1\rangle \oplus \langle X4\rangle :
Анзац x1 -
x3
x0 + u
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x2, \omega 2 = x0 + u.
Редуковане рiвняння
\bigl[
\omega 2
2(\varphi
2
1 + 1) + 1
\bigr]
\omega 2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \varphi (\omega 1, \omega 2) = f(\omega 2) + i\varepsilon
\omega 1
\omega 2
\sqrt{}
\omega 2
2 + 1, \varepsilon = \pm 1, де f —
довiльна гладка функцiя.
Розв’язок (1+3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера x1 -
x3
x0 + u
= f(x0+
+ u) + i\varepsilon
x2
x0 + u
\sqrt{}
(x0 + u)2 + 1.
3.2. Алгебри Лi типу \bfitA \bftwo . У цiй роботi символом A2 позначаємо розв’язнi неспряженi
пiдалгебри розмiрностi 2 алгебри Лi групи Пуанкаре P (1,4).
1.
\biggl\langle
- G - 1
\lambda 1
L3, X4, \lambda 1 > 0
\biggr\rangle
:
Анзац \mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u) + \lambda 1 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x3, \omega 2 = x21 + x22.
Редуковане рiвняння \omega 2\varphi
2
1 + 4\omega 2
2\varphi
2
2 + \lambda 2
1 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = c1\omega 1 - i\varepsilon
\sqrt{}
c21\omega 2 + \lambda 2
1 + i\varepsilon \lambda 1 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
c21\omega 2 + \lambda 2
1
\lambda 1
\Biggr)
+ c2, \varepsilon = \pm 1,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
\mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u) + \lambda 1 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= c1x3 - i\varepsilon
\sqrt{}
c21(x
2
1 + x22) + \lambda 2
1+
+i\varepsilon \lambda 1 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
c21(x
2
1 + x22) + \lambda 2
1
\lambda 1
\Biggr)
+ c2, \varepsilon = \pm 1.
2. \langle - G - \alpha X1, X4, \alpha > 0\rangle :
Анзац x1 - \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u) = \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x2, \omega 2 = x3.
Редуковане рiвняння \varphi 2
1 + \varphi 2
2 + 1 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння \varphi (\omega 1, \omega 2) = i\varepsilon
\sqrt{}
c21 + 1\omega 1+ c1\omega 2+ c2, \varepsilon = \pm 1, де c1, c2 —
довiльнi сталi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО РЕДУКЦIЮ (1 + 3)-ВИМIРНОГО НЕОДНОРIДНОГО РIВНЯННЯ МОНЖА – АМПЕРА . . . 425
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера x1 - \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u) =
= i\varepsilon
\sqrt{}
c21 + 1x2 + c1x3 + c2, \varepsilon = \pm 1.
3.
\biggl\langle
- 1
\lambda 1
(L3 + \lambda 1G+ \alpha X3), X4, \alpha > 0, \lambda 1 > 0
\biggr\rangle
:
Анзац \mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u) + \lambda 1 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= \varphi (\omega 1, \omega 2), \omega 1 = x21 + x22, \omega 2 = x3 + \alpha \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
.
Редуковане рiвняння 4\omega 2
1\varphi
2
1 + \omega 1\varphi
2
2 + (\alpha \varphi 2 - \lambda 1)
2 = 0.
Розв’язок редукованого рiвняння
\varphi (\omega 1, \omega 2) = c1\omega 2 - i\varepsilon
\sqrt{}
c21\omega 1 + (\alpha c1 - \lambda 1)2+
+i\varepsilon (\alpha c1 - \lambda 1) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
c21\omega 1 + (\alpha c1 - \lambda 1)2
\alpha c1 - \lambda 1
\Biggr)
+ c2, \varepsilon = \pm 1,
де c1, c2 — довiльнi сталi.
Розв’язок (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера
\mathrm{l}\mathrm{n}(x0 + u) + (\lambda 1 - c1\alpha ) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
x1
x2
= c1x3 - i\varepsilon
\sqrt{}
c21(x
2
1 + x22) + (\alpha c1 - \lambda 1)2+
+i\varepsilon (\alpha c1 - \lambda 1) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
c21(x
2
1 + x22) + (\alpha c1 - \lambda 1)2
\alpha c1 - \lambda 1
\Biggr)
+ c2, \varepsilon = \pm 1.
4. Висновки. Встановлено взаємозв’язок мiж структурними властивостями неспряжених
пiдалгебр розмiрностi 2 алгебри Лi узагальненої групи Пуанкаре P (1,4) i результатами симе-
трiйної редукцiї (1 + 3)-вимiрного неоднорiдного рiвняння Монжа – Ампера. Наведено деякi
результати, що стосуються редукцiї дослiджуваного рiвняння до ДРЧП першого порядку.
Класифiкацiю неспряжених пiдалгебр розмiрностi 2 алгебри Лi групи P (1,4) можна знайти
в [36]. Вони є наступних типiв: 2A1 , A2.
Редукцiї дослiджуваного рiвняння до ДРЧП першого порядку отримано для деяких неспря-
жених пiдалгебр типiв: 2A1 , A2.
Лiтература
1. S. Lie, Neue Integrationsmethods der Monge-Ampérschen Gleichung, Archiv for Math., 2, 1 – 9 (1877).
2. S. Lie, Zur Geometrie einer Monge’schen Gleichung, Berichte Sächs. Ges., 50, 1 – 2 (1898).
3. K. Jörgens, Über die Lösungen der Differentialgleichung rt - s2 = 1 (in German), Math. Ann., 127, 130 – 134
(1954).
4. E. Calabi, Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens, Michigan
Math. J., 5, 105 – 126 (1958).
5. А. В. Погорелов, Многомерная проблема Минковского, Наука, Москва (1975).
6. С. В. Хабиров, Применение контактных преобразований неоднородного уравнения Монжа – Ампера в одно-
мерной газовой динамике, Докл. АН СССР, 310, № 2, 333 – 336 (1990).
7. M. J. P. Cullen, R. J. Douglas, Applications of the Monge – Ampère equation and Monge transport problem to
meteorology and oceanography. Monge Ampère equation: applications to geometry and optimization (Deerfield
Beach, FL, 1997), Contemp. Math., 226, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 33 – 53 (1999).
8. C. Udrişte, N. Bîlă, Symmetry group of Ţiţeica surfaces PDE, Balkan J. Geom. Appl., 4, № 2, 123 – 140 (1999).
9. Yau Shing-Tung, Nadis Steve, String theory and the geometry of the universe’s hidden dimensions, Notices Amer.
Math. Soc., 58, № 8, 1067 – 1076 (2011).
10. F. Jiang, N. S. Trudinger, On the second boundary value problem for Monge – Ampère type equations and geometric
optics, Arch. Ration. Mech. Anal., 229, № 2, 547 – 567 (2018).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
426 В. М. ФЕДОРЧУК, В. I. ФЕДОРЧУК
11. A. Kushner, V. V. Lychagin, J. Slovák, Lectures on geometry of Monge – Ampère equations with Maple, Nonlinear
PDEs, their geometry, and applications, Tutor. Sch. Workshops Math. Sci., Birkhäuser Springer, Cham., 53 – 94 (2019).
12. Yau Shing-Tung, N. Steve, The shape of a life. One mathematician’s search for the universe’s hidden geometry, Yale
Univ. Press, New Haven, CT (2019).
13. E. Witten, Superstring perturbation theory via super Riemann surfaces: an overview, Pure Appl. Math. Q., 15, № 1,
517 – 607 (2019).
14. Q. Le, Nam, Global Hölder estimates for 2D linearized Monge – Ampère equations with right-hand side in divergence
form, J. Math. Anal. Appl., 485, № 2, 123865 (2020).
15. Ł. T. Stȩpień, On some exact solutions of heavenly equations in four dimensions, AIP Advances., 10, 065105 (2020);
doi: https://doi.org/10.1063/1.5144327.
16. S. Lie, Zur allgemeinen theorie der partiellen differentialgleichungen beliebiger Ordnung, Berichte Sächs. Ges.,
Leipzig, 47, 53 – 128 (1895).
17. Л. В. Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, Наука, Москва (1978).
18. P. J. Olver, Applications of Lie groups to differential equations, Springer-Verlag, New York (1986).
19. A. M. Grundland, J. Harnad, P. Winternitz, Symmetry reduction for nonlinear relativistically invariant equations,
J. Math. Phys., 25, № 4, 791 – 806 (1984); https://doi.org/10.1063/1.526224.
20. В. М. Федорчук, I. М. Федорчук, О. С. Лейбов, Редукцiя рiвнянь Борна – Iнфельда, Монжа – Ампера i ейконала
до лiнiйних рiвнянь, Доп. Акад. наук України, № 11, 24 – 26 (1991).
21. V. Fedorchuk, Symmetry reduction and exact solutions of the Euler – Lagrange – Born – Infeld, multidimensional
Monge – Ampère and Eikonal equations, J. Nonlinear Math. Phys., 2, № 3-4, 329 – 333 (1995); https://doi.org/10.2991/
jnmp.1995.2.3-4.13.
22. В. М. Федоpчук, Симетpiйна pедукцiя i деякi точнi pозв’язки нелiнiйного п’ятивимipного хвильового рiвняння,
Укp. мат. жуpн., 48, № 4, 573 – 577 (1996).
23. A. M. Grundland, A. J. Hariton, Supersymmetric formulation of polytropic gas dynamics and its invariant solutions,
J. Math. Phys., 52, 043501 (2011).
24. A. G. Nikitin, O. Kuriksha, Group analysis of equations of axion electrodynamics, Group Analysis of Differential
Equations and Integrable Systems, Department of Mathematics and Statistics, University of Cyprus, Nicosia, 152 – 163
(2011).
25. A. G. Nikitin, O. Kuriksha, Invariant solutions for equations of axion electrodynamics, Commun. Nonlinear Sci.
Numer. Simulat., 17, № 12, 4585 – 4601 (2012); https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2012.04.009.
26. V. Fedorchuk, V. Fedorchuk, On classification of symmetry reductions for the eikonal equation, Symmetry, 8, № 6,
Art. 51 (2016); https://doi.org/10.3390/sym8060051.
27. A. M. Grundland, A. Hariton, Algebraic aspects of the supersymmetric minimal surface equation, Symmetry, 9,
№ 12, 318 (2017); doi:10.3390/sym9120318.
28. V. Fedorchuk, V. Fedorchuk, On classification of symmetry reductions for partial differential equations, Некласичнi
задачi теорiї диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. праць, присвячений 80-рiччю Б. Й. Пташника, Iн-т прикл.
проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, Львiв, 241 – 255 (2017).
29. V. Fedorchuk, V. Fedorchuk, Classification of symmetry reductions for the eikonal equation, Pidstryhach Institute for
Applied Problems of Mechanics and Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv (2018).
30. В. М. Федорчук, В. I. Федорчук, Про класифiкацiю симетрiйних редукцiй (1+3)-вимiрного рiвняння Монжа –
Ампера, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 63, № 2, 7 – 16 (2020).
31. W. I. Fushchich, A. G. Nikitin, Reduction of the representations of the generalized Poincare algebra by the Galilei
algebra, J. Phys. A: Math. and Gen., 13, №7, 2319 – 2330 (1980).
32. В. И. Фущич, Н. И. Серов, Симметрия и некоторые точные решения многомерного уравнения Монжа –
Ампера, Докл. АН СССР, 273, № 3, 543 – 546 (1983).
33. В. М. Федорчук, Расщепляющиеся подалгебры алгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре P (1,4), Укр. мaт.
журн., 31, № 6, 717 – 722 (1979).
34. В. М. Федорчук, Нерасщепляющиеся подалгебры алгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре P (1,4), Укр. мaт.
журн., 33, № 5, 696 – 700 (1981).
35. W. I. Fushchich, A. F. Barannik, L. F. Barannik, V. M. Fedorchuk, Continuous subgroups of the Poincare group
P (1,4), J. Phys. A: Math. and Gen., 18, № 14, 2893 – 2899 (1985).
36. В. М. Федорчук, В. I. Федорчук, Про класифiкацiю низькорозмiрних неспряжених пiдалгебр алгебри Лi групи
Пуанкаре P (1,4), Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 3, № 2, 302 – 308 (2006).
Одержано 12.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6996 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:03Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fc/d0f0ea9774d2d9f3d011c83031cbaefc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69962025-03-31T08:44:52Z On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations Про редукцію (1+3)-вимірного неоднорідного рівняння Монжа-Ампера до диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку Fedorchuk, V. M. Fedorchuk, V. I. Федорчук, В. М. Федорчук, В. I. класифікація симетрійних редукцій неоднорідне рівняння Монжа-Ампера класифікація алгебр Лі неспряжені підалгебри алгебр Лі група Пуанкаре P(1,4) classification of symmetry reductions inhomogeneous Monge-Ampère equation classification of the Lie algebras nonconjugate subalgebras of the Lie algebras the Poincaré group P(1,4) UDC 512.813:517.957.6 We study a connection between the structural properties of two-dimensional nonconjugate subalgebras of the Lie algebra of the generalized Poincaré group P(1,4) and the results of symmetry reduction for the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation. Some results concerning of the reduction of the equation under investigation to the first-order PDEs are presented. УДК 512.813:517.957.6 Вивчається зв'язок між структурними властивостями двовимірних неспряжених підалгебр алгебри Лі узагальненої групи Пуанкаре P(1,4) і результатами симетрійної редукції (1+3)-вимірного неоднорідного рівняння Монжа-Ампера. Наведено деякі результати, що стосуються редукції досліджуваного рівняння до диференціальних рівнянь з частинними похідними (ДРЧП) першого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6996 10.37863/umzh.v74i3.6996 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 418-426 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 418-426 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6996/9209 Copyright (c) 2022 Василь Федорчук, Володимир Федорчук |
| spellingShingle | Fedorchuk, V. M. Fedorchuk, V. I. Федорчук, В. М. Федорчук, В. I. On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations |
| title | On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations |
| title_alt | Про редукцію (1+3)-вимірного неоднорідного рівняння Монжа-Ампера до диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку |
| title_full | On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations |
| title_fullStr | On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations |
| title_full_unstemmed | On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations |
| title_short | On reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge-Ampère equation to the first-order partial differential equations |
| title_sort | on reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous monge-ampère equation to the first-order partial differential equations |
| topic_facet | класифікація симетрійних редукцій неоднорідне рівняння Монжа-Ампера класифікація алгебр Лі неспряжені підалгебри алгебр Лі група Пуанкаре P(1,4) classification of symmetry reductions inhomogeneous Monge-Ampère equation classification of the Lie algebras nonconjugate subalgebras of the Lie algebras the Poincaré group P(1,4) |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6996 |
| work_keys_str_mv | AT fedorchukvm onreductionofthe13dimensionalinhomogeneousmongeampereequationtothefirstorderpartialdifferentialequations AT fedorchukvi onreductionofthe13dimensionalinhomogeneousmongeampereequationtothefirstorderpartialdifferentialequations AT fedorčukvm onreductionofthe13dimensionalinhomogeneousmongeampereequationtothefirstorderpartialdifferentialequations AT fedorčukvi onreductionofthe13dimensionalinhomogeneousmongeampereequationtothefirstorderpartialdifferentialequations AT fedorchukvm proredukcíû13vimírnogoneodnorídnogorívnânnâmonžaamperadodiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimiperšogoporâdku AT fedorchukvi proredukcíû13vimírnogoneodnorídnogorívnânnâmonžaamperadodiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimiperšogoporâdku AT fedorčukvm proredukcíû13vimírnogoneodnorídnogorívnânnâmonžaamperadodiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimiperšogoporâdku AT fedorčukvi proredukcíû13vimírnogoneodnorídnogorívnânnâmonžaamperadodiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimiperšogoporâdku |