On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity
UDC 517.912 With the help of nonlocal equivalence transformations, the system of chemotaxis equations is associated with a system of convection-diffusion equations. The Lie symmetry of the obtained system is used to construct nonlocal ansatzes and to reduce and find exact solutions of the system of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6997 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512582067027968 |
|---|---|
| author | Serov, M. I. Podoshvelev, Yu. G. Сєров, М. I. Подошвелев, Ю. Г. |
| author_facet | Serov, M. I. Podoshvelev, Yu. G. Сєров, М. I. Подошвелев, Ю. Г. |
| author_sort | Serov, M. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.912
With the help of nonlocal equivalence transformations, the system of chemotaxis equations is associated with a system of convection-diffusion equations. The Lie symmetry of the obtained system is used to construct nonlocal ansatzes and to reduce and find exact solutions of the system of chemotaxis equations. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.6997 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.6997
УДК 517.912
М. I. Сєров, Ю. Г. Подошвелев (Полтав. нац. пед. ун-т iм. В. Г. Короленка)
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ
З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ
With the help of nonlocal equivalence transformations, the system of chemotaxis equations is associated with a system of
convection-diffusion equations. The Lie symmetry of the obtained system is used to construct nonlocal ansatzes and to
reduce and find exact solutions of the system of chemotaxis equations.
За допомогою нелокальних перетворень еквiвалентностi систему рiвнянь хемотаксису пов’язано з деякою системою
рiвнянь конвекцiї-дифузiї. Лiївську симетрiю отриманої системи використано для побудови нелокальних анзацiв,
редукцiї та знаходження точних розв’язкiв системи рiвнянь хемотаксису.
Рiзноманiтнi процеси фiзики, хiмiї, бiологiї та багатьох iнших наук описуються системою не-
лiнiйних рiвнянь дифузiї – конвекцiї – реакцiї
Ut = (D(U)Ux)x +K(U)Ux +R(U), (1)
де U =
\biggl(
u1
u2
\biggr)
\in R2, ua = ua(t, x), D(U), K(U) та R(U) — коефiцiєнти дифузiї, конвекцiї та
реакцiї вiдповiдно, а саме:
D(U) =
\biggl(
d11 d12
d21 d22
\biggr)
, K(U) =
\biggl(
k11 k12
k21 k22
\biggr)
, R(U) =
\biggl(
r1
r2
\biggr)
,
kab = kab(u1, u2), dab = dab(u1, u2), ra = ra(u1, u2), a, b = 1, 2.
Дослiдженню симетрiйних властивостей та знаходженню точних розв’язкiв системи (1)
присвячено ряд публiкацiй багатьох науковцiв. При вiдсутностi конвекцiї та сталiй матрицi
дифузiї вичерпний аналiз симетрiйних властивостей системи (1) проведений у роботах [8 – 11,
21 – 27]. Конформна iнварiантнiсть системи (1) при K(U) = R(U) = 0 дослiджено в роботах
[15, 35]. Повний опис нелiнiйностей, при яких система (1) iнварiантна вiдносно узагальненої
алгебри Галiлея, здiйснений у роботах [29, 36]. Дослiдженню умовних симетрiй системи (1)
присвячено ряд робiт (див. [12] та цитовану там лiтературу). Iдеї знаходження нелокальних
симетрiй диференцiальних рiвнянь запропонованi та розробленi в роботах [2 – 7, 13, 19].
У роботi [17] Дж. Кiнг навiв нелокальнi перетворення еквiвалентностi, якi скалярне рiвнян-
ня дифузiї
ut = (d(u)ux)x, (2)
де u = u(t, x), коефiцiєнт дифузiї d(u) — довiльна гладка функцiя, зводять до рiвняння того ж
класу
\partial z
\partial x0
=
\partial
\partial x1
\biggl( \widetilde d(z) \partial z
\partial x1
\biggr)
.
Данi перетворення є суперпозицiєю трьох перетворень
c\bigcirc М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3 373
374 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
t = t, x = x, u =
\partial v
\partial x
; (3)
t = x0, x = w, v = x1; (4)
x0 = x0, x1 = x1,
\partial w
\partial x1
= z, (5)
де v = v(t, x), w = w(x0, x1), z = z(x0, x1) — новi невiдомi функцiї. Внаслiдок перетво-
рень (3) – (5) функцiї d(u) та \widetilde d(z) пов’язанi мiж собою наступним спiввiдношенням
\widetilde d(z) = 1
z2
d
\biggl(
1
z
\biggr)
.
Перетворення (3)–(5) були використанi в роботi [39] для розв’язування наступних трьох задач:
побудова нелокальних формул розмноження розв’язкiв рiвняння (2); знаходження нелокальних
формул суперпозицiї розв’язкiв цього рiвняння; одержання нелокальних анзацiв, якi редукують
рiвняння (2) до звичайних диференцiальних рiвнянь.
Результати Кiнга узагальнено В. Тичинiним у роботi [31] на випадок скалярного рiвняння
конвекцiї-дифузiї
ut = ((d(u)ux) + g(u))x.
У [37] результати робiт [17, 39] були узагальненi на випадок системи рiвнянь дифузiї
Ut = (D(U)Ux)x, (6)
де показано, що iснує два рiзних нелокальних перетворення еквiвалентностi системи рiвнянь (6)
t = t, x = x, ua =
\partial va
\partial x
;
P1 : t = x0, x = w1, v1 = x1, v2 = w2;
x0 = x0, x1 = x1,
\partial wa
\partial x1
= za
(7)
та
t = t, x = x, ua =
\partial va
\partial x
;
P2 : t = x0, x = w2, v1 = w1, v2 = x1;
x0 = x0, x1 = x1,
\partial wa
\partial x1
= za,
(8)
якi систему рiвнянь (6) зводять до системи того ж класу вигляду
\partial Z
\partial x0
=
\partial
\partial x1
\biggl( \widetilde D(Z)
\partial Z
\partial x1
\biggr)
.
При цьому елементи матрицi дифузiї D(U) та \widetilde D(Z) пов’язанi мiж собою наступними спiввiд-
ношеннями \widetilde d11 = \bigl(
z1
\bigr) - 2 \bigl(
d11 + z2d12
\bigr)
, \widetilde d12 = -
\bigl(
z1
\bigr) - 1
d12,
\widetilde d21 = \bigl(
z1
\bigr) - 3 \bigl[
z2
\bigl(
d11 + z2d12
\bigr)
-
\bigl(
d21 + z2d22
\bigr) \bigr]
,
\widetilde d22 = \bigl(
z1
\bigr) - 2 \bigl(
d22 - z2d12
\bigr)
,
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ 375
де \widetilde dab = \widetilde dab(z), dab = dab
\biggl(
1
z1
,
z2
z1
\biggr)
для перетворення P1 та
\widetilde d11 = \bigl(
z2
\bigr) - 2 \bigl(
d11 - z1d21
\bigr)
,
\widetilde d12 = \bigl(
z2
\bigr) - 3 \bigl[ - \bigl(
z1d11 + d12
\bigr)
+ z1
\bigl(
z1d21 + d22
\bigr) \bigr]
,
\widetilde d21 = -
\bigl(
z2
\bigr) - 1
d21, \widetilde d22 = \bigl(
z2
\bigr) - 2 \bigl(
z1d21 + d22
\bigr)
,
(10)
де \widetilde dab = \widetilde dab(z), dab = dab
\biggl(
z1
z2
,
1
z2
\biggr)
для перетворення P2.
У роботi [38] перетворення (7), (8) використанi для лiнеаризацiї системи рiвнянь дифузiї (6).
За вiдсутностi реактивного доданка (R(u) = 0), систему (1) за умови
\partial k11
\partial u2
=
\partial k12
\partial u1
,
\partial k21
\partial u2
=
\partial k22
\partial u1
, (11)
можна звести до системи
Ut = (D(U)Ux +G(U))x, (12)
де елементи матрицi
G(U) =
\biggl(
g1(U)
g2(U)
\biggr)
певним чином виражаються через елементи матрицi K(U).
Узагальнюючи результати робiт [17, 31, 37] на випадок системи рiвнянь конвекцiї-дифузiї,
в [30] одержано наступнi твердження.
Теорема 1. Перетворення P1 є нелокальними перетвореннями еквiвалентностi системи
рiвнянь конвекцiї-дифузiї (12), тобто зводять її до системи того ж класу
\partial Z
\partial x0
=
\partial
\partial x1
\biggl[ \widetilde D(Z)
\partial Z
\partial x1
+ \widetilde G(Z)\biggr] , (13)
причому коефiцiєнти дифузiї D(U) та \widetilde D(Z) пов’язанi мiж собою формулами (9), а коефiцiєн-
ти конвекцiї G(U) та \widetilde G(Z) — наступними спiввiдношеннями
\widetilde g1 = - z1g1, \widetilde g2 = - z2g1 + g2,
де \widetilde ga = \widetilde ga(Z), ga = ga
\biggl(
1
z1
,
z2
z1
\biggr)
.
Теорема 2. Перетворення P2 є нелокальними перетвореннями еквiвалентностi системи
рiвнянь (12), тобто зводять її до системи того ж класу вигляду (13), причому коефiцiєнти
дифузiї D(U) та \widetilde D(Z) пов’язанi мiж собою формулами (10), а коефiцiєнти конвекцiї G(U)
та \widetilde G(Z) — наступними спiввiдношеннями
\widetilde g1 = g1 - z1g2, \widetilde g2 = - z2g2,
де \widetilde ga = \widetilde ga(z), ga = ga
\biggl(
z1
z2
,
1
z2
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
376 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
У сучасних бiофiзичних дослiдженнях процеси симетричного розповсюдження бактерiаль-
них популяцiйних хвиль, коли кiльця хемотаксису зберiгають рiзко окреслену форму й руха-
ються зi швидкiстю, яка залежить вiд рухливостi бактерiй та їх хемотаксичних властивостей,
добре описуються математичними моделями, якi заснованi на рiвняннях Келлера – Зегеля [16]
St = DSSxx + k1g (S) b,
bt = - V (b\chi (S)Sx)x +Dbbxx + k2g (S) b,
(14)
де S(t, x) — концентрацiя субстрату-атрактанту, який споживається бактерiями, b(t, x) — щiль-
нiсть бактерiй, g (S) — питома швидкiсть росту бактерiй, \chi (S) — функцiя хемотаксичної вiд-
повiдi, DS та Db — коефiцiєнти дифузiї субстрату й бактерiй вiдповiдно, V, k1, k2 — сталi,
t, x — часова та просторова змiннi. Моделлю Келлера – Зегеля та її деякими модифiкацiями
описуються також формування i поширення хемотаксичних кiлець Адлера (див. [1]) та рiзнi
процеси структуроутворення в бактерiальних колонiях при їх взаємодiї [32].
Кооперативна поведiнка найпростiших мiкроорганiзмiв описується також системою вигля-
ду (12) iз реактивним доданком (див., наприклад, [20]). Розглянемо систему (14) за вiдсутностi
реактивної складової та наявностi конвективної взаємодiї бактерiй та субстрату-атрактанту
Ut =
\biggl[ \biggl(
\lambda 1 0
f(u1)u2 \lambda 2
\biggr)
Ux +
\biggl(
g1(U)
g2(U)
\biggr) \biggr]
x
, (15)
де довiльнi гладкi функцiї своїх аргументiв f(u1), g1(u1, u2), g2(u1, u2) — коефiцiєнти дифу-
зивної та конвективної взаємодiї, \lambda 1, \lambda 2 — довiльнi сталi.
Оскiльки процеси хемотаксису задовольняють принцип вiдносностi Галiлея, тобто протi-
кають однаково в рiзних iнерцiйних системах, що рухаються з постiйною швидкiстю по вiд-
ношенню одна до одної, то природно вимагати, щоб i математична модель (15) задовольняла
тому ж принципу вiдносностi, тобто була iнварiантна вiдносно групи перетворень Галiлея. У
роботi [29] описанi всi можливi системи рiвнянь реакцiї-конвекцiї-дифузiї, iнварiантнi вiдносно
алгебри Галiлея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень. У данiй
роботi, зокрема показано, що система рiвнянь
Ut =
\biggl[ \biggl(
\lambda 1 0
2u2
u1 \lambda 2
\biggr)
Ux + \mu
\biggl(
0
1
\biggr)
(u2)2
\biggr]
x
, (16)
де \mu — const (не втрачаючи загальностi, можна покласти \lambda 1 = 1, \lambda 2 = \lambda ) iнварiантна вiдносно
узагальненої алгебри Галiлея AG2(1, 1) iз базовими генераторами
\partial t, \partial x, D = 2t\partial t + x\partial x +Q - u2\partial u2 , G = t\partial x + xQ,
Q = - 1
2
u1\partial u1 , \Pi = t2\partial t + tx\partial x +
\biggl(
1
2
x2 + t
\biggr)
Q - tu2\partial u2
при \mu \not = 0 та алгебри \bigl\langle
AG2(1, 1), u
2\partial u2
\bigr\rangle
при \mu = 0.
Оскiльки система рiвнянь (16) задовольняє принцип вiдносностi Галiлея, є частинним ви-
падком системи (15), а коефiцiєнти її конвективних доданкiв задовольняють умови (11), то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ 377
поставимо задачу застосування перетворень P1 та P2 до знаходження нелокальних анзацiв,
редукцiї системи рiвнянь (16) до систем звичайних диференцiальних рiвнянь та знаходження
точних розв’язкiв системи (16).
1. Образи системи рiвнянь хемотаксису (16) та їхнi лiївськi симетрiї. Перш за все
зауважимо, що при \mu \not = 0 система рiвнянь (16) замiною
t\rightarrow t
\mu 2
, x\rightarrow x
\mu
, U \rightarrow U
зводиться до вигляду (16) при \mu = 1. Тому надалi будемо вважати, що \mu \in \{ 0, 1\} .
За допомогою перетворень P1 система (16) зводиться до вигляду
\partial Z
\partial x0
=
\partial
\partial x1
\left[ 1
(z1)2
\left( 1 0
- (\lambda + 1)
z2
z1
\lambda
\right) \partial Z
\partial x1
+ \mu
\biggl(
0
1
\biggr) \biggl(
z2
z1
\biggr) 2
\right] . (17)
Теорема 3. Максимальною в розумiннi С. Лi алгеброю iнварiантностi системи рiвнянь (17)
є алгебра з базовими генераторами
1) при \mu = 1
Abas =
\biggl\langle
\partial 0 =
\partial
\partial x0
, \partial 1 =
\partial
\partial x1
,
D1 = 2x0\partial 0 + x1\partial 1 - z2\partial z2 , D2 = x1\partial 1 - z1\partial z1 - z2\partial z2
\biggr\rangle
; (18)
2) при \mu = 0
Abas, z2\partial z2 . (19)
На основi перетворень P2 система рiвнянь (16) набуде вигляду
\partial Z
\partial x0
=
\partial
\partial x1
\left[ 1
(z2)2
\left( - 1 (\lambda + 1)
z1
z2
- 2
z2
z1
\lambda + 2
\right) \partial Z
\partial x1
- \mu
(z2)2
Z
\right] . (20)
Теорема 4. Максимальна в розумiннi С. Лi алгебра iнварiантностi системи рiвнянь (20) в
залежностi вiд значень коефiцiєнтiв \lambda та \mu задається наступними базовими генераторами
1) \lambda \not = 1, \mu = 1 :
Abas, Q = e -
x1
\lambda
\bigl(
\lambda \partial 1 + z1\partial z1 + z2\partial z2
\bigr)
, (21)
де
Abas =
\biggl\langle
\partial 0 =
\partial
\partial x0
, \partial 1 =
\partial
\partial x1
, D = 2x0\partial 0 + z2\partial z2 , z
1\partial z1
\biggr\rangle
;
2) \lambda = 1, \mu = 1 :
Abas, Q1 = ex1
\bigl(
\partial 1 - 2z1\partial z1 - z2\partial z2
\bigr)
,
Q2 = e - x1
\bigl(
\partial 1 + z1\partial z1 + z2\partial z2
\bigr)
;
(22)
3) \lambda = 1, \mu = 0 :
Abas, D1 = x1\partial 1 - z2\partial z2 , K = x21\partial 1 - 3x1z
1\partial z1 - 2x1z
2\partial z2 ; (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
378 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
4) \lambda \not = 1, \mu = 0 :
Abas, D2 = x1\partial 1 - z1\partial z1 - z2\partial z2 . (24)
Теореми 3, 4 доводяться стандартним методом С. Лi (див., наприклад, [14, 18, 33, 34]).
Застосуємо лiївськi симетрiї образiв (17), (20) та перетворення P1, P2 для знаходження
нелокальних анзацiв, якi редукують систему рiвнянь (16) до систем звичайних диференцiальних
рiвнянь.
Зауважимо, що перетворення P1 та P2 мають деяку специфiку по вiдношенню до лiївських
симетрiй образiв системи (16). Ця специфiка полягає в тому, що оператори алгебри iнварiан-
тностi образiв, коефiцiєнти яких лiнiйним чином залежать вiд змiнної x1, пiд дiєю перетворень,
обернених до (7) або (8), переходять в лiївськi оператори алгебри iнварiантностi системи рiв-
нянь (16). У зв’язку з цим ми виключимо з розгляду алгебри операторiв iнварiантностi першого
образу (18), (19), алгебру iнварiантностi другого образу (24) та деякi пiдалгебри алгебр (21),
(22), (23), якi не мiстять операторiв Q, Q1, Q2 та K.
2. Лiївськi анзаци другого образу. Застосувавши методи знаходження нееквiвалентних
лiївських анзацiв (див., наприклад, [14, 33]) алгебр (21) – (23), приходимо до наступних резуль-
татiв.
I. \lambda \not = 1, \mu = 1. Нееквiвалентнi одновимiрнi пiдалгебри алгебри (21), якi приводять до
нелокальних анзацiв системи (16) мають вигляд
X1 = c2D + c3z
1\partial z1 +Q =
= 2c2x0\partial 0 + \lambda e -
x1
\lambda \partial 1 +
\Bigl(
e -
x1
\lambda + c3
\Bigr)
z1\partial z1 +
\Bigl(
e -
x1
\lambda + c2
\Bigr)
z2\partial z2 , (25)
X2=c0\partial 0 + c3z
1\partial z1 +Q = c0\partial 0 + \lambda e -
x1
\lambda \partial 1 +
\Bigl(
e -
x1
\lambda +c3
\Bigr)
z1\partial z1 + e -
x1
\lambda z2\partial z2 . (26)
Оператори X1, X2 породжують наступнi лiївськi анзаци для системи рiвнянь (20):
z1 = xm0 e
x1
\lambda \varphi 1(\omega ), z2 = x
1
2
0 e
x1
\lambda \varphi 2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + e
x1
\lambda , p = - 1
2c2
, m =
c3
2c2
, (27)
z1 = emx0+
x1
\lambda \varphi 1(\omega ), z2 = e
x1
\lambda \varphi 2(\omega ), \omega = px0 + e
x1
\lambda , p = - 1
c0
, m =
c3
c0
, (28)
де \varphi 1 = \varphi 1(\omega ), \varphi 2 = \varphi 2(\omega ) — довiльнi гладкi функцiї.
II. \lambda = \mu = 1. Нееквiвалентнi одновимiрнi пiдалгебри алгебри (22), якi приводять до
нелокальних анзацiв системи (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ 379
X3 = 2c2x0\partial 0 + e - x1\partial 1 +
\bigl(
e - x1 + c3
\bigr)
z1\partial z1 +
\bigl(
e - x1 + c2
\bigr)
z2\partial z2 ,
X4 = c0\partial 0 + e - x1\partial 1 +
\bigl(
e - x1 + c3
\bigr)
z1\partial z1 + e - x1z2\partial z2 ,
X5 = 2x0\partial 0 +
\bigl(
c4e
x1 + c5e
- x1
\bigr)
\partial 1 +
\bigl(
- 2c4e
x1 + c5e
- x1 + c3
\bigr)
z1\partial z1 +
+
\bigl(
- c4ex1 + c5e
- x1 + 1
\bigr)
z2\partial z2 ,
X6 = \partial 0 +
\bigl(
c4e
x1 + c5e
- x1
\bigr)
\partial 1 +
\bigl(
- 2c4e
x1 + c5e
- x1 + c3
\bigr)
z1\partial z1 +
+
\bigl(
- c4ex1 + c5e
- x1
\bigr)
z2\partial z2 ,
X7 = 2c2x0\partial 0 + (ex1+ c1) \partial 1 +
\bigl(
- 2e - x1+ c3
\bigr)
z1\partial z1 + ( - ex1+ c2) z
2\partial z2 ,
X8 = c0\partial 0 + (ex1 + c1) \partial 1 + ( - 2ex1 + c3) z
1\partial z1 - ex1z2\partial z2 .
(29)
Оператори X3, . . . , X8 породжують наступнi лiївськi анзаци для системи рiвнянь (20):
z1 = xm0 e
x1\varphi 1(\omega ), z2 = x
1
2
0 e
x1\varphi 2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + ex1 ,
\biggl(
p = - 1
2c2
, m =
c3
2c2
\biggr)
;
z1 = emx0+x1\varphi 1(\omega ), z2 = ex1\varphi 2(\omega ), \omega = px0 + ex1 ,
\biggl(
p = - 1
c2
, m =
c2
c0
\biggr)
;
z1 = xk0e
x1
\bigl(
m2e2x1 + 1
\bigr) - 3
2 \varphi 1(\omega ), z2 = x
1
2
0 e
x1
\bigl(
m2e2x1 + 1
\bigr) - 1
\varphi 2(\omega ),
\omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n} - 1 (mex1) ,
\biggl(
p = - 1
2
\surd
c4c5, m =
\sqrt{}
c4
c5
, k =
1
2
c3, c4c5 > 0
\biggr)
;
z1 = ekx0+x1
\bigl(
m2e2x1 + 1
\bigr) - 3
2 \varphi 1(\omega ), z2 = ex1
\bigl(
m2e2x1 + 1
\bigr) - 1
\varphi 2(\omega ),
\omega = px0 + \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n} - 1 (mex1) ,
\biggl(
p = -
\surd
c4c5, m =
\sqrt{}
c4
c5
, k = c3
\biggr)
;
z1 = xm0 e
- 2x1\varphi 1(\omega ), z2 = x
p+ 1
2
0 e - x1\varphi 2(\omega ), \omega = xp0
\bigl(
1 + ke - x1
\bigr)
,\biggl(
k = c1, p =
c1
2c2
, m =
2c1 + c3
2c2
\biggr)
;
z1 = emx0 - 2x1\varphi 1(\omega ), z2 = epx0 - x1\varphi 2(\omega ), \omega = epx0
\bigl(
1 + ke - x1
\bigr)
,\biggl(
k = c1, m =
2c1 + c3
c0
, p =
c1
c0
\biggr)
.
(30)
III. \lambda = 1, \mu = 0. Нееквiвалентнi одновимiрнi пiдалгебри алгебри (22), якi приводять до
нелокальних анзацiв системи (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
380 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
X9 = 2c2x0\partial 0 + x21\partial 1 + ( - 3x1 + c3)z
1\partial z1 + ( - 2x1 + c2)z
2\partial z2 ,
X10 = 2c2x0\partial 0 + (x21 - 1)\partial 1 + ( - 3x1 + c3)z
1\partial z1 + ( - 2x1 + c2)z
2\partial z2 ,
X11 = 2c2x0\partial 0 + (x21 + 1)\partial 1 + ( - 3x1 + c3)z
1\partial z1 + ( - 2x1 + c2)z
2\partial z2 ,
X12 = c0\partial 0 + x21\partial 1 + ( - 3x1 + c3)z
1\partial z1 - 2x1z
2\partial z2 ,
X13 = c0\partial 0 + (x21 - 1)\partial 1 + ( - 3x1 + c3)z
1\partial z1 - 2x1z
2\partial z2 ,
X14 = c0\partial 0 + (x21 + 1)\partial 1 + ( - 3x1 + c3)z
1\partial z1 - 2x1z
2\partial z2 .
(31)
Оператори X9, . . . , X14 породжують наступнi лiївськi анзаци для системи рiвнянь (20):
z1 = xm0 x
- 3
1 \varphi 1(\omega ), z2 = x
1
2
0 x
- 2
1 \varphi 2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + x - 1
1 ;
z1 = xm0
\bigl(
x21 - 1
\bigr) - 3
2 \varphi 1(\omega ), z2 = x
1
2
0
\bigl(
x21 - 1
\bigr) - 1
\varphi 2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} - 1 x1;
z1 = xm0
\bigl(
x21 + 1
\bigr) - 3
2 \varphi 1(\omega ), z2 = x
1
2
0
\bigl(
x21 + 1
\bigr) - 1
\varphi 2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n} - 1 x1;
z1 = emx0x - 3
1 \varphi 1(\omega ), z2 = x - 2
1 \varphi 2(\omega ), \omega = px0 + x - 1
1 ;
z1 = emx0
\bigl(
x21 - 1
\bigr) - 3
2 \varphi 1(\omega ), z2 =
\bigl(
x21 - 1
\bigr) - 3
2 \varphi 2(\omega ), \omega = px0 + \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h} - 1 x1;
z1 = emx0
\bigl(
x21 + 1
\bigr) - 3
2 \varphi 1(\omega ), z2 =
\bigl(
x21 + 1
\bigr) - 1
\varphi 2(\omega ), \omega = px0 + \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n} - 1 x1.
(32)
У перших трьох анзацах (32) p =
1
2c2
, m =
c3
2c2
, а в останнiх трьох p =
1
c0
, m =
c3
c0
.
3. Нелокальнi анзаци системи рiвнянь хемотаксису. Подiявши перетворенням, оберне-
ним до P2 на лiївськi анзаци системи рiвнянь (20), якi задаються формулами (27), (28), (30), (32),
одержимо нелокальнi анзаци для системи (16). Перехiд вiд лiївських анзацiв до нелокальних
наведемо на прикладi анзацу (27).
Подiємо на анзац (27) третiм перетворенням (8). У результатi одержимо
\partial w1
\partial x1
= xm0 e
x1
\lambda \varphi 1(\omega ),
\partial w2
\partial x1
= x
1
2
0 e
x1
\lambda \varphi 2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + e
x1
\lambda . (33)
Провiвши iнтегрування за змiнною x1 в формулах (33), будемо мати
w1 = xm0 \lambda \Phi
1(\omega ), w2 = x
1
2
0 \lambda \Phi
2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n}x0 + e
x1
\lambda , (34)
де \Phi 1(\omega ) та \Phi 2(\omega ) — первiснi для функцiй \varphi 1(\omega ) та \varphi 2(\omega ) вiдповiдно.
Застосувавши до (34) друге перетворення (8), одержимо
v1 = tm\lambda \Phi 1(\omega ), x = t
1
2\lambda \Phi 2(\omega ), \omega = p \mathrm{l}\mathrm{n} t+ e
v2
\lambda , (35)
Помiнявши мiсцями iнварiантнi змiннi \lambda \Phi 2 та \omega , формули (35) перепишемо наступним чином
v1 = tm\lambda \Phi 1(\omega ), v2 = \lambda \mathrm{l}\mathrm{n}(\lambda \Phi 2 - p \mathrm{l}\mathrm{n} t), \omega = t -
1
2x. (36)
Подiявши першим перетворенням (8) на формули (36), отримаємо
u1 = tm\lambda \varphi 1(\omega )t -
1
2 , u2 = \lambda
\lambda \.\Phi 2(\omega )t -
1
2
\lambda \Phi 2(\omega ) - p \mathrm{l}\mathrm{n} t
, \omega = t -
1
2x. (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ 381
Якщо в формулах (37) ввести наступнi позначення
\lambda \varphi 1(\omega ) = \psi 1(\omega ), \lambda \Phi 2(\omega ) = \psi 2(\omega ), m - 1
2
= k,
де \psi 1 = \psi 1(\omega ), \psi 2 = \psi 2(\omega ) — довiльнi гладкi функцiї, k — довiльна стала, то остаточно
отримуємо нелокальний анзац для системи рiвнянь (16)
u1 = tk\psi 1(\omega ), u2 = \lambda t -
1
2
\.\psi 2(\omega )
\psi 2(\omega ) - p \mathrm{l}\mathrm{n} t
, \omega = t -
1
2x. (38)
Провiвши аналогiчнi мiркування щодо анзацiв (28), (30), (32), отримаємо нелокальнi анзаци
для системи (16). Анзац (28) переходить в анзац
u1 = emt\psi 1(\omega ), u2 = \lambda
\.\psi 2(\omega )
\psi 2(\omega ) - pt
, \omega = x. (39)
Анзаци (38) i (39) можливi у випадку I. \lambda \not = 1, \mu = 1. У випадку II. \lambda = \mu = 1 лiївськi анзаци
(30) пiд дiєю перетворення, оберненого до P2 переходять у наступнi нелокальнi анзаци для
системи рiвнянь (16)
u1 = tk\psi 1(\omega ), u2 = t -
1
2
\.\psi 2(\omega )
\psi 2(\omega ) - p \mathrm{l}\mathrm{n} t
, \omega = t -
1
2x;
u1 = emt\psi 1(\omega ), u2 =
\.\psi 2(\omega )
\psi 2(\omega ) - pt
, \omega = x;
u1 = tn\psi 1(\omega ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha , u2 = 2t -
1
2
\.\psi 2(\omega )
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha
, \omega = t -
1
2x, \alpha = \psi 2(\omega ) - p \mathrm{l}\mathrm{n} t;
u1 = ekt\psi 1(\omega ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha , u2 = 2
\.\psi 2(\omega )
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha
, \omega = x, \alpha = \psi 2(\omega ) - pt;
u1 = tq(\psi 2(\omega ) - tp)\psi 1(\omega ), u2 = - t -
1
2
\.\psi 2(\omega )
\psi 2(\omega ) - tp
, \omega = t -
1
2x;
u1 = eqt(\psi 2(\omega ) - ept)\psi 1(\omega ), u2 = -
\.\psi 2(\omega )
\psi 2(\omega ) + ept
, \omega = x,
(40)
де p, q, k, m, n — довiльнi сталi.
Зауважимо, що першi два анзаци (40) є частинними випадками анзацiв (38), (39) при \lambda = 1.
Лiївськi анзаци (32) у випадку III. \lambda = 1, \mu = 0 пiд дiєю перетворення, оберненого до P2
переходять у наступнi нелокальнi анзаци для системи (16):
u1 = tk\alpha \psi 1(\omega ), u2 = - t -
1
2\alpha - 2 \.\psi 2(\omega ), \omega = t -
1
2x;
u1 = tk\psi 1(\omega ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha , u2 = t -
1
2
\.\psi 2(\omega )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}2 \alpha
, \omega = t -
1
2x;
u1 = tk\psi 1(\omega )cos\alpha , u2 = t -
1
2
\.\psi 2(\omega )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha
, \omega = t -
1
2x;
(41)
u1 = emt\beta \psi 1(\omega ), u2 = - \beta - 2 \.\psi 2(\omega ), \omega = x;
u1 = emt\psi 1(\omega ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\beta , u2 =
\.\psi 2(\omega )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}2 \beta
, \omega = x;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
382 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
u1 = emt\psi 1(\omega ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta , u2 =
\.\psi 2(\omega )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \beta
, \omega = x,
де \alpha = \psi 2(\omega ) - p \mathrm{l}\mathrm{n} t, \beta = \psi 2(\omega ) - pt.
4. Нелокальнi оператори iнварiантностi системи рiвнянь хемотаксису. Наявнiсть нело-
кальних анзацiв для системи рiвнянь (16) означає наявнiсть нелокальних операторiв iнварiан-
тностi даної системи. Тому природно поставити задачу знаходження таких операторiв. Дану
задачу можна розв’язати, подiявши на лiївськi оператори X1, . . . , X14 другого образу систе-
ми (16) оберненим перетворенням P2. Проiлюструємо це на прикладi оператора X1.
Подiємо оператором X1 на розв’язок системи рiвнянь (20) вигляду
z1 - f1(x0, x1) = 0,
z2 - f2(x0, x1) = 0.
У результатi отримаємо наступну систему диференцiальних рiвнянь
2c2x0
\partial z1
\partial x0
+ \lambda e -
x1
\lambda
\partial z1
\partial x1
-
\Bigl(
e -
x1
\lambda + c3
\Bigr)
z1 = 0,
2c2x0
\partial z2
\partial x0
+ \lambda e -
x1
\lambda
\partial z2
\partial x1
-
\Bigl(
e -
x1
\lambda + c2
\Bigr)
z2 = 0.
(42)
Застосуємо до системи (42) третє перетворення (8). Тодi
2c2x0
\partial 2w1
\partial x0\partial x1
+ \lambda e -
x1
\lambda
\partial 2w1
\partial x21
-
\Bigl(
e -
x1
\lambda + c3
\Bigr) \partial w1
\partial x1
= 0,
2c2x0
\partial 2w2
\partial x0\partial x1
+ \lambda e -
x1
\lambda
\partial 2w2
\partial x21
-
\Bigl(
e -
x1
\lambda + c2
\Bigr) \partial w2
\partial x1
= 0.
(43)
Проiнтегрувавши рiвняння (43) за змiнною x1, одержимо
2c2x0
\partial w1
\partial x0
+ \lambda e -
x1
\lambda
\partial w1
\partial x1
- c3w
1 = 0,
2c2x0
\partial w2
\partial x0
+ \lambda e -
x1
\lambda
\partial w2
\partial x1
- c2w
2 = 0.
(44)
Застосувавши до системи рiвнянь (44) друге перетворення (8), приходимо до наступних рiвнянь
2c2t
\partial v1
\partial t
+ c2x
\partial v1
\partial x
- c3v
1 = 0,
2c2t
\partial v2
\partial t
+ c2x
\partial v2
\partial x
- \lambda e -
v2
\lambda = 0.
(45)
Продиференцiювавши рiвняння системи (45) за змiнною x та використавши перше перетворе-
ння (8) отримаємо
2c2t
\partial u1
\partial t
+ c2x
\partial u1
\partial x
+ (c2 - c3)u
1 = 0,
2c2t
\partial u2
\partial t
+ c2x
\partial u2
\partial x
+
\biggl(
c2 + e -
v2
\lambda
\biggr)
u2 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ 383
Врахувавши, що c2 = - 1
2p
, c3 = - m
p
(див. (27)), знаходимо
2t
\partial u1
\partial t
+ x
\partial u1
\partial x
- (2m - 1)u1 = 0,
2t
\partial u2
\partial t
+ x
\partial u2
\partial x
-
\biggl(
2pe -
v2
\lambda - 1
\biggr)
u2 = 0.
(46)
Iз системи (46) отримуємо, що нелокальний оператор який вiдповiдає лiївському оператору
(25) i породжує анзац (38), має вигляд
Q1 = 2t\partial t + x\partial x + (2m - 1)u1\partial u1 +
\biggl(
2pe -
v2
\lambda - 1
\biggr)
u2\partial u2 , (47)
де v2 =
\int
u2dx. Аналогiчно отримуються iншi нелокальнi оператори, якi вiдповiдають лiїв-
ським операторам (26), (29), (31) i породжують анзаци (39), (40) та (41). Наведемо їх остаточний
вигляд
Q2 = \partial t +mu1\partial u1 + pe -
v2
\lambda u2\partial u2 ,
Q3 = 2t\partial t + x\partial x + (2m - 1)u1\partial u1 +
\biggl(
2pe -
v2
\lambda - 1
\biggr)
u2\partial u2 ,
Q4 = \partial t +mu1\partial u1 + pe - v2u2\partial u2 ,
Q5 = 2t\partial t + x\partial x +
\Bigl(
2mpev
2
+ 2k - 1
\Bigr)
u1\partial u1 -
\biggl(
2mpev
2 - 2p
m
e - v2 + 1
\biggr)
u2\partial u2 ,
Q6 = \partial t +
\Bigl(
mpev
2
+ k
\Bigr)
u1\partial u1 -
\Bigl(
mpev
2 - p
m
e - v2
\Bigr)
u2\partial u2 ,
Q7 = 2t\partial t + x\partial x -
\biggl(
2p
k
ev
2
+ 4p - 2m+ 1
\biggr)
u1\partial u1 +
\biggl(
2p
k
ev
2 - 1
\biggr)
u2\partial u2 , (48)
Q8 = \partial t -
\Bigl( p
k
ev
2
+ 2p - m
\Bigr)
u1\partial u1 +
p
k
ev
2
u2\partial u2 ,
Q9 = 2t\partial t + x\partial x -
\bigl(
2pv2 + 1 - 2m
\bigr)
u1\partial u1 +
\bigl(
4pv2 - 1
\bigr)
u2\partial u2 ,
Q10 = Q9,
Q11 = Q9,
Q12 = \partial t -
\bigl(
pv2 - m
\bigr)
u1\partial u1 + 2pv2u2\partial u2 ,
Q13 = Q12,
Q14 = Q12.
Проаналiзувавши вигляд операторiв (47), (), приходимо до висновку, що вони є оператора-
ми потенцiйних симетрiй системи (16). У напрямку дослiдження потенцiйних симетрiй варто
зазначити роботу [28].
5. Редукованi системи звичайних диференцiальних рiвнянь для системи рiвнянь хемо-
таксису. Пiдставивши знайденi нелокальнi анзаци в систему рiвнянь (16), пiсля дещо громiзд-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
384 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
ких перетворень одержуємо наступнi редукованi системи звичайних диференцiальних рiвнянь
для визначення функцiй \psi 1(\omega ), \psi 2(\omega ).
I. \lambda \not = 1, \mu = 1.
\"\psi 1 +
1
2
\omega \.\psi 1 - k\psi 1 = 0,
\lambda \"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 +
1
2
\omega \.\psi 2 + p = 0;
(49)
\"\psi 1 - m\psi 1 = 0,
\lambda \"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 + p = 0;
(50)
II. \lambda = \mu = 1.
\"\psi 1 +
1
2
\omega \.\psi 1 - k\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 +
1
2
\omega \.\psi 2 + p = 0;
(51)
\"\psi 1 - m\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 + p = 0;
(52)
\"\psi 1 +
1
2
\omega \.\psi 1 -
\biggl( \Bigl(
\.\psi 2
\Bigr) 2
+ n
\biggr)
\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 +
1
2
\omega \.\psi 2 + p = 0;
(53)
\"\psi 1 -
\biggl( \Bigl(
\.\psi 2
\Bigr) 2
+ k
\biggr)
\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 + p = 0;
(54)
\"\psi 1 +
1
2
\omega \.\psi 1 - (p+ q)\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 +
1
2
\omega \.\psi 2 + p\psi 2 = 0;
(55)
\"\psi 1 - (p+ q)\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 + p\psi 2 = 0.
(56)
III. \lambda = 1, \mu = 0. Першi три анзаци (41) редукують систему рiвнянь (16) до системи
\"\psi 1 +
1
2
\omega \.\psi 1 -
\biggl(
r
\Bigl(
\.\psi 2
\Bigr) 2
+ k
\biggr)
\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 +
1
2
\omega \.\psi 2 + p = 0,
(57)
де r = - 1, 0, 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ 385
Останнi три анзаци (41) редукують систему рiвнянь (16) до системи вигляду
\"\psi 1 +
1
2
\omega \.\psi 1 -
\biggl(
r
\Bigl(
\.\psi 2
\Bigr) 2
+ k
\biggr)
\psi 1 = 0,
\"\psi 2 + 2
\.\psi 1
\psi 1
\.\psi 2 +
1
2
\omega \.\psi 2 + p = 0.
(58)
6. Точнi розв’язки системи рiвнянь хемотаксису. Якщо розв’язати редукованi системи
звичайних диференцiальних рiвнянь (49) – (58) та використати вiдповiднi анзаци, то в результатi
отримаємо точнi розв’язки системи рiвнянь (16). Наведемо деякi з них:
1. \lambda \not = 1, \mu = 1.
u1 = c1t
- 1
2 e
\int x\surd
t
0 A - 1(\tau )e
\tau 2
4 - \tau
2 d\tau ,
u2 = \lambda t -
1
2
c2e
x2
4t A - 2
\lambda
\Bigl(
t -
1
2x
\Bigr)
c2
\int x\surd
t
0
e
\tau 2
4\lambda A - 2
\lambda (\tau )d\tau + c3 - p \mathrm{l}\mathrm{n} t
;
(59)
u1 = e - t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x,
u2 = \lambda
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} -
2
\lambda x
\biggl( \int
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2
\lambda xdx+ c1
\biggr)
\int
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} -
2
\lambda x
\biggl( \int
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2
\lambda xdx+ c1
\biggr)
dx+ \lambda t
.
(60)
2. \lambda = \mu = 1.
u1 = e - t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x,
u2 =
2 (x+ c1) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2x
(x+ c1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2x+ 4t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 x
;
(61)
u1 = e - s2t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} sx - e - l2t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} lx,
u2 =
s \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} sx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} lx - l \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} lx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} sx
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} lx
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} sx+ e - s2t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} lx
\bigr) . (62)
3. \lambda = 1, \mu = 0.
u1 = e - t ((x+ c1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+ 2t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x) ,
u2 =
2 (x+ c1) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2x
((x+ c1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+ 2t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)2
.
(63)
У розв’язках, наведених вище, c1, c2, c3, s, l — довiльнi сталi,
A = A(\tau ) =
\tau \int
0
e
\sigma 2
4 d\sigma .
Отриманi розв’язки (59) – (63) системи рiвнянь (16) можна вiзуалiзувати за допомогою гра-
фiкiв при наперед заданих значеннях сталих c1, c2, c3, s, l. Проiлюструємо вище сказане для
розв’язку (63) вибравши c1 = 0, див. рис. 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
386 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
Рис. 1. Графiк функцiї u1 розв’язку (63) при t \in [ - 2, 2], x \in [ - 2, 2].
Рис. 2. Графiк функцiї u2 розв’язку (63) при t \in [ - 2, 2], x \in [ - 2, 2].
Зауважимо, що отриманi розв’язки при t \rightarrow \infty обмеженi. Це дає пiдстави припустити, що
вони можуть мати застосування при описi конкретних практичних задач.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
ПРО НЕЛОКАЛЬНI СИМЕТРIЇ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ХЕМОТАКСИСУ З ДЕРIВАТИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ 387
Висновки. У данiй роботi за допомогою нелокальних перетворень еквiвалентностi встанов-
лений зв’язок мiж трьома системами, двi з яких постачають для системи рiвнянь хемотаксису
нелокальнi оператори iнварiантностi. Це дало можливiсть побудувати нелокальнi анзаци, якi
редукують систему рiвнянь хемотаксису до системи звичайних диференцiальних рiвнянь. У
результатi знаходження розв’язкiв редукованих систем побудованi точнi розв’язки системи рiв-
нянь хемотаксису, якi неможливо знайти в рамках класичного пiдходу Софуса Лi.
Лiтература
1. J. Adler, Chemotaxis bacteria, Sciense, 153, 708 – 716 (1996).
2. I. S. Akhatov, R. K. Gazizov, N. K. Ibragimov, Nonlocal symmetries. Heuristic approach, J. Sov. Math., 55, № 1,
1401 – 1450 (1991), https://doi.org/10.1007/BF01097533.
3. G. Bluman, S. Kumei, Symmetry-based algorithms to relate partial differential equations. I. Local symmetries,
European J. Appl. Math., 1, 189 – 216 (1990).
4. G. Bluman, S. Kumei, Symmetry-based algorithms to relate partial differential equations. II. Linearization by nonlocal
symmetries, European J. Appl. Math., 1, 217 – 223 (1990).
5. G. W. Bluman, J. D. Cole, The general sismilarity solution of the heat equation, J. Math. Mech., 18, 1025 – 1042
(1968/69).
6. G. W. Bluman, G. J. Reid, S. Kumei, New classes of symmetries for partial differential equations, J. Math. Phys., 29,
№ 4, 806 – 811 (1998); https://doi.org/10.1063/1.527974.
7. G. W. Bluman, A. F. Cheviakov, S. C. Anco, Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations,
Applied Mathematical Sciences, vol. 168, Springer, New York (2010).
8. R. M. Cherniha, J. R. King, Lie symmetries of non-linear multidimensional reaction-diffusion systems: I, J. Phys. A,
33, 267 – 282 (2000).
9. R. M. Cherniha, J. R. King, Lie symmetries of non-linear multidimensional reaction- diffusion systems: I. Addendum,
J. Phys. A, 33, 7839 – 7841 (2000).
10. R. M. Cherniha, J. R. King, Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II, J. Phys. A,
36, 405 – 425 (2003).
11. R. M. Cherniha, J. R. King, Nonlinear reaction-diffusion systems with variable diffusivities: Lie symmetries, ansatze
and exact solutions, J. Math. Anal. Appl., 308, 11 – 35 (2005).
12. R. Cherniha, M. Serov, O. Pliukhin, Nonlinear Reaction-Diffusion-Convection Equations: Lie and Conditional
Symmetry, Exact Solutions and Their Applications. Chapman and Hall/CRC Monographs and Research Notes in
Mathematics, CRC Press, Boca Raton, Florida (2018); https://doi.org/10.1201/9781315154848.
13. A. F. Cheviakov, Symbolic computation of equivalence transformations and parameter reduction for nonlinear
physical models, Comput. Phys. Commun., 220, 56 – 73 (2017).
14. W. I. Fushchych, W. M. Shtelen, M. I. Serov, Symmetry Analysis and Exact Solutions of Equations of Nonlinear
Mathematical Physics, Mathematics and Its Applications, 246, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrcht (1993).
15. V. L. Katkov, The group classification of solutions of the Hopf equations, Zh. Prikl. Mekh. Tekhn. Fiz., 6, 105 – 106
(1965).
16. E. F. Keller, L. A. Segel, Model for chemotaxis, J. Theor. Biol., 30, 225 – 234 (1971).
17. J. R. King, Some non-local transformations between nonlinear diffusion equations, J. Phys. A: Math. Gen., 23,
5441 – 5464 (1990); https://stacks.iop.org/0305-4470/23/i=23/a=019.
18. S. Lie, Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse lineare partiellen Differentialgleichungen,
Arch. Math., 6, № 3, 328 – 368 (1881); https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90123-7 (in German).
19. I. Lisle, Equivalence Transformations for Classes of Differential Equations, Ph.D. thesis, Doctoral dissertation,
University of British Columbia (1992).
20. V. Nanjundiah, Chemotaxis, signal relaying and aggregation morphology, J. Theor. Biol., 42, № 1, 63 – 105 (1973).
21. A. G. Nikitin, Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion
matrix. I. Generalized Ginzburg – Landau equations, J. Math. Anal. Appl., 324, 615 – 628 (2006).
22. A. G. Nikitin, Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion
matrix. II. Generalized Turing systems, J. Math. Anal. Appl., 332, 666 – 690 (2007).
23. A. G. Nikitin, Group classification of systems of nonlinear reaction-diffusion equations, Ukr. Math. Bull., 2, 153 – 204
(2005).
24. A. G. Nikitin, Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion
matrix. I. Generalized Ginzburg – Landau equations, J. Math. Anal. Appl., 324, 615 – 628 (2006).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
388 М. I. СЄРОВ, Ю. Г. ПОДОШВЕЛЕВ
25. A. G. Nikitin, Group classification of systems of nonlinear reaction-diffusion equations with triangular diffusion
matrix, Ukr. Math. J., 59, 439 – 458 (2007).
26. A. G. Nikitin, R. J. Wiltshire, Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations, A. M. Samoilenko
(Ed.), Symmetries in Nonlinear Mathematical Physics, Proc, of the Third Int. Conf., Kiev, July 12 – 18 (1999), Inst.
Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine (2000), pp. 47 – 59.
27. A. G. Nikitin, R. J. Wiltshire, System of reaction-diffusion equations and their symmetry properties, J. Math. Phys.,
42, 1666 – 1688 (2001).
28. R. O. Popovych, O. O. Vaneeva, N. M. Ivanova, Potential nonclassical symmetries and solutions of fast diffusion
equation, Phys. Lett. A, 362, 166 – 173 (2007); arXiv: math-ph/0506067.
29. M. I. Serov, T. O. Karpaliuk, O. G. Pliukhin, I. V. Rassokha, Systems of reaction-convection-diffusion equati-
ons invariant under Galilean algebras, J. Math. Anal. Appl., 422, № 1, 185 – 211 (2015); https://doi.org/10.1016/
j.jmaa.2014.08.018.
30. M. I. Serov, Yu. V. Prystavka, Nonlokal anzätze, reduction and some exact solution for the system of the van der
Waals equations, I., Math. Anal. Appl., 481, 98 – 117, 123442 (2020).
31. V. Tychynin, New nonlocal symmetries of diffusion-convection equations and their connection with generalized
hodograph transformation, Symmetry, 7, № 4, 1751 – 1767 (2015); https://doi.org/10.3390/sym7041751.
32. Г. Р. Иваницкий, А. Б. Медвинский, М. А. Цыганов, От беспорядка к упорядочености — на примере движения
микроорганизмов, Успехи физ. наук, 161, № 4, 13 – 71 (1991).
33. Л. В. Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., Москва
(1978).
34. П. Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Мир, Москва (1989).
35. М. I. Сєров, Н. В. Iчанська, Лiївська та умовна симетрiї нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь, монографiя; Полтав.
нац. техн. ун-т iм. Ю. Кондратюка, ПолтНТУ, Полтава (2010).
36. М. I. Сєров, Т. О. Карпалюк, Принцип вiдносностi Галiлея для еволюцiйних рiвнянь, Наукова думка, Київ
(2020).
37. М. I. Сєров, О. М. Омелян, Симетрiйнi властивостi системи нелiнiйних рiвнянь хемотаксису, монографiя;
Полтав. нац. техн. ун-т iм. Ю. Кондратюка, Полтава (2011).
38. М. I. Сєров, О. М. Омелян, Р. М. Чернiга, Лiнеаризацiя систем нелiнiйних рiвнянь дифузiї за допомогою
нелокальних перетворень, Доп. НАН України, № 10, 39 – 45 (2004).
39. В. I. Фущич, М. I. Сєров, Т. К. Амеров, Нелокальнi анзаци нелiнiйного одновимiрного рiвняння теплопровiд-
ностi, ДАН України, 26 – 30 (1992).
Одержано 12.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6997 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:04Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3b/56ec1a0d6a2da9071b58973a989e583b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-69972025-03-31T08:44:52Z On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity О нелокальных симметриях системы уравнений хемотаксиса с деривативной нелинейностью Про нелокальні симетрії системи рівнянь хемотаксису з дерівативною нелінійністю Serov, M. I. Podoshvelev, Yu. G. Сєров, М. I. Подошвелев, Ю. Г. анзац редукція симетрія оператор інваріантність розв'язок хемотаксис система дифузія-реакція-конвекція ansatz reduction symmetry operator transformation invariance system chemotaxis diffusion-reaction-convection UDC 517.912 With the help of nonlocal equivalence transformations, the system of chemotaxis equations is associated with a system of convection-diffusion equations. The Lie symmetry of the obtained system is used to construct nonlocal ansatzes and to reduce and find exact solutions of the system of chemotaxis equations. С помощью нелокальных преобразований эквивалентности система уравнений хемотаксиса связана с некоторой системой уравнений конвекции диффузии. Лиевская симметрия полученной системы используется для построения нелокальных анзацев, редукции и нахождения точных решений системы уравнений хемотаксиса. УДК 517.912 За допомогою нелокальних перетворень еквівалентності систему рівнянь хемотаксису пов'язано з деякою системою рівнянь конвекції-дифузії. Ліївську симетрію отриманої системи використано для побудови нелокальних анзаців, редукції та знаходження точних розв'язків системи рівнянь хемотаксису.     Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6997 10.37863/umzh.v74i3.6997 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 373-388 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 373-388 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6997/9206 Copyright (c) 2022 Юрій Подошвелев, Микола Сєров |
| spellingShingle | Serov, M. I. Podoshvelev, Yu. G. Сєров, М. I. Подошвелев, Ю. Г. On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity |
| title | On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity |
| title_alt | О нелокальных симметриях системы уравнений хемотаксиса с деривативной нелинейностью Про нелокальні симетрії системи рівнянь хемотаксису з дерівативною нелінійністю |
| title_full | On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity |
| title_fullStr | On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity |
| title_full_unstemmed | On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity |
| title_short | On nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity |
| title_sort | on nonlocal symmetries of a system of chemotaxis equations with derivative nonlinearity |
| topic_facet | анзац редукція симетрія оператор інваріантність розв'язок хемотаксис система дифузія-реакція-конвекція ansatz reduction symmetry operator transformation invariance system chemotaxis diffusion-reaction-convection |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6997 |
| work_keys_str_mv | AT serovmi onnonlocalsymmetriesofasystemofchemotaxisequationswithderivativenonlinearity AT podoshvelevyug onnonlocalsymmetriesofasystemofchemotaxisequationswithderivativenonlinearity AT sêrovmi onnonlocalsymmetriesofasystemofchemotaxisequationswithderivativenonlinearity AT podošvelevûg onnonlocalsymmetriesofasystemofchemotaxisequationswithderivativenonlinearity AT serovmi onelokalʹnyhsimmetriâhsistemyuravnenijhemotaksisasderivativnojnelinejnostʹû AT podoshvelevyug onelokalʹnyhsimmetriâhsistemyuravnenijhemotaksisasderivativnojnelinejnostʹû AT sêrovmi onelokalʹnyhsimmetriâhsistemyuravnenijhemotaksisasderivativnojnelinejnostʹû AT podošvelevûg onelokalʹnyhsimmetriâhsistemyuravnenijhemotaksisasderivativnojnelinejnostʹû AT serovmi pronelokalʹnísimetríísistemirívnânʹhemotaksisuzderívativnoûnelíníjnístû AT podoshvelevyug pronelokalʹnísimetríísistemirívnânʹhemotaksisuzderívativnoûnelíníjnístû AT sêrovmi pronelokalʹnísimetríísistemirívnânʹhemotaksisuzderívativnoûnelíníjnístû AT podošvelevûg pronelokalʹnísimetríísistemirívnânʹhemotaksisuzderívativnoûnelíníjnístû |