General local cohomology modules in view of low points and high points
UDC 512.5 Let $R$ be a commutative Noetherian ring, let $\Phi $ be a system of ideals of $R,$ let $M$ be a finitely generated $R$-module, and let $t$ be a nonnegative integer.  We first show that a general local cohomology module $H_{\Phi}^{i}(M)$ is a finitely genera...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7008 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: | |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512576559906816 |
|---|---|
| author | Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. |
| author_facet | Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. |
| author_sort | Sadeghi, M. Y. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-06-13T15:56:15Z |
| description |
UDC 512.5
Let $R$ be a commutative Noetherian ring, let $\Phi $ be a system of ideals of $R,$ let $M$ be a finitely generated $R$-module, and let $t$ be a nonnegative integer.  We first show that a general local cohomology module $H_{\Phi}^{i}(M)$ is a finitely generated $R$-module for all $i<t$ if and only if $\mathrm{Ass}_{R} (H_{\Phi}^{i}(M))$ is a finite set and $H_{\Phi_{\mathfrak{p}}}^{i}(M_{\mathfrak{p}})$ is a finitely generated $R_{\mathfrak{p}}$-module for all $i<t$ and all $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(R)$. Then, as a consequence, we prove that if $(R,\mathfrak{m})$ is a complete local ring, $\Phi$ is countable, and $n\in \mathbb{N}_{0}$ is such that $\big(\mathrm{Ass}_{R} \big(H_{\Phi}^{h_{\Phi}^{n}(M)}(M)\big)\big)_{\geq n}$ is a finite set, then $f_{\Phi}^{n}(M)=h_{\Phi}^{n}(M)$. In addition, we show that the properties of vanishing and finiteness of general local cohomology modules are equivalent on high points over an arbitrary Noetherian (not necessary local) ring. For each covariant $R$-linear functor $T$ from $\mathrm{Mod}(R)$ into itself, which has  the global vanishing property on $\mathrm{Mod}(R)$ and for an arbitrary Serre subcategory $\mathcal{S}$ and $t\in \mathbb{N},$ we prove that  $\mathcal{R}^{i}T(R)\in \mathcal{S}$ for all $i\geq t$ if and only if $\mathcal{R}^{i}T(M)\in \mathcal{S}$ for any finitely generated  $R$-module $M$ and all $i\geq t$.  Then we obtain some results on general local cohomology modules. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i5.7008 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:30:59Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-7008 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:30:59Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-70082023-06-13T15:56:15Z General local cohomology modules in view of low points and high points General local cohomology modules in view of low points and high points Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. general local cohomology modules; local cohomology modules; Serre subcategory; associated primes; Faltings' Theorem; Local- global Principle. General Local Cohomology Modules in View of Low Points and High Points UDC 512.5 Let $R$ be a commutative Noetherian ring, let $\Phi $ be a system of ideals of $R,$ let $M$ be a finitely generated $R$-module, and let $t$ be a nonnegative integer.  We first show that a general local cohomology module $H_{\Phi}^{i}(M)$ is a finitely generated $R$-module for all $i<t$ if and only if $\mathrm{Ass}_{R} (H_{\Phi}^{i}(M))$ is a finite set and $H_{\Phi_{\mathfrak{p}}}^{i}(M_{\mathfrak{p}})$ is a finitely generated $R_{\mathfrak{p}}$-module for all $i<t$ and all $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(R)$. Then, as a consequence, we prove that if $(R,\mathfrak{m})$ is a complete local ring, $\Phi$ is countable, and $n\in \mathbb{N}_{0}$ is such that $\big(\mathrm{Ass}_{R} \big(H_{\Phi}^{h_{\Phi}^{n}(M)}(M)\big)\big)_{\geq n}$ is a finite set, then $f_{\Phi}^{n}(M)=h_{\Phi}^{n}(M)$. In addition, we show that the properties of vanishing and finiteness of general local cohomology modules are equivalent on high points over an arbitrary Noetherian (not necessary local) ring. For each covariant $R$-linear functor $T$ from $\mathrm{Mod}(R)$ into itself, which has  the global vanishing property on $\mathrm{Mod}(R)$ and for an arbitrary Serre subcategory $\mathcal{S}$ and $t\in \mathbb{N},$ we prove that  $\mathcal{R}^{i}T(R)\in \mathcal{S}$ for all $i\geq t$ if and only if $\mathcal{R}^{i}T(M)\in \mathcal{S}$ for any finitely generated  $R$-module $M$ and all $i\geq t$.  Then we obtain some results on general local cohomology modules. УДК 512.5 Загальні локальні когомологічні модулі з точки зору низьких і високих точок  Нехай $R$ —комутативне нетерове кільце, $\Phi $ — система ідеалів для $R,$ $M$ — скінченнопороджений $R$-модуль, а $t$ — невід’ємне ціле число. Спочатку показано, що загальний локальний когомологічний модуль $H_{\Phi}^{i}(M)$ є скінченно-породженим $R$-модулем для всіх $i<t$ тоді й лише тоді, коли $\mathrm{Ass}_{ R} (H_{\Phi}^{i}(M))$ є скінченною множиною, а $H_{\Phi_{\mathfrak{p}}}^{i}(M_{\mathfrak{p}})$ — скінченнопородженим $R_{\mathfrak{p}}$-модулем для всіх $i<t$ і всіх $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(R)$. Далі, як наслідок, доведено, що якщо $(R,\mathfrak{m})$ є повним локальним кільцем, $\Phi$ — зліченним, а $n\in \mathbb{N}_{0}$ — таким, що $\big(\mathrm{Ass}_{R} \big(H_{\Phi}^{h_{\Phi}^{n}(M)}(M)\big)\big)_{\geq n}$ є скінченною множиною, то $f_{\Phi}^{n}(M)=h_{\Phi}^{n}(M)$. Крім того, показано, що властивості спадання і скінченності загальних локальних когомологічних модулів еквівалентні у високих точках над довільним нетеровим (необов’язково локальним) кільцем. Для кожного коваріантного $R$-лінійного функтора $T$ з $\Mod(R)$ в  себе, який має глобальну властивість спадання на $\Mod(R),$ і для довільної підкатегорії Серра $\mathcal{S}$ і $t\in \mathbb{N}$ доведено, що $\mathcal{R}^{i}T(R)\in \mathcal{S}$ для всіх $i\geq t$ тоді й лише тоді, коли $\mathcal{R}^{i}T(M)\in \mathcal{S}$ для будь-якого скінченнопородженого $R$-модуля $M$ і всіх $i\geq t$. Отримано деякі результати щодо загальних локальних когомологічних модулів.  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-05-24 Article Article https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7008 10.37863/umzh.v75i5.7008 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 5 (2023); 698 - 711 Український математичний журнал; Том 75 № 5 (2023); 698 - 711 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7008/9775 Copyright (c) 2023 MirYousef Sadeghi, Khadijeh Ahmadi Amoli, Maryam Chaghamirza |
| spellingShingle | Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. Sadeghi, M. Y. Ahmadi Amoli, Kh. Chaghamirza, М. General local cohomology modules in view of low points and high points |
| title | General local cohomology modules in view of low points and high points |
| title_alt | General local cohomology modules in view of low points and high points |
| title_full | General local cohomology modules in view of low points and high points |
| title_fullStr | General local cohomology modules in view of low points and high points |
| title_full_unstemmed | General local cohomology modules in view of low points and high points |
| title_short | General local cohomology modules in view of low points and high points |
| title_sort | general local cohomology modules in view of low points and high points |
| topic_facet | general local cohomology modules local cohomology modules Serre subcategory associated primes Faltings Theorem Local- global Principle. General Local Cohomology Modules in View of Low Points and High Points |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7008 |
| work_keys_str_mv | AT sadeghimy generallocalcohomologymodulesinviewoflowpointsandhighpoints AT ahmadiamolikh generallocalcohomologymodulesinviewoflowpointsandhighpoints AT chaghamirzam generallocalcohomologymodulesinviewoflowpointsandhighpoints AT sadeghimy generallocalcohomologymodulesinviewoflowpointsandhighpoints AT ahmadiamolikh generallocalcohomologymodulesinviewoflowpointsandhighpoints AT chaghamirzam generallocalcohomologymodulesinviewoflowpointsandhighpoints |