On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$
UDC 517.5 We establish conditions imposed on the coefficients of a power series, under which the series under consideration is the Taylor series of a function belonging to the class $H_1$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7012 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512584133771264 |
|---|---|
| author | Bovsunovska , V. V. Zaderey, P. V. Бовсуновська, В. В. Задерей, П. В. Задерей, Петр |
| author_facet | Bovsunovska , V. V. Zaderey, P. V. Бовсуновська, В. В. Задерей, П. В. Задерей, Петр |
| author_sort | Bovsunovska , V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-12T11:02:00Z |
| description | UDC 517.5
We establish conditions imposed on the coefficients of a power series, under which the series under consideration is the Taylor series of a function belonging to the class $H_1$. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.7012 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.7012
УДК 517.5
В. В. Бовсуновська, П. В. Задерей (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ПРО ТЕЙЛОРIВСЬКI КОЕФIЦIЄНТИ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ \bfitH \bfone
We establish conditions imposed on the coefficients of a power series, under which the series under consideration is the
Taylor series of a function belonging to the class H1.
Встановлено умови на коефiцiєнти степеневого ряду, при виконаннi яких данi ряди є рядами Тейлора функцiї з
класу H1.
Регулярна в одиничному крузi D = \{ z : | z| < 1, z \in D\} функцiя f(z) належить класу Hp, p \geq
\geq 1, якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 1
1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| f \bigl(
reit
\bigr) \bigm| \bigm| p dt < \infty .
Однiєю з основних задач теорiї аналiтичних функцiй є встановлення умов на коефiцiєнти ck
степеневого ряду
\infty \sum
k=0
ckz
k, (1)
при виконаннi яких даний степеневий ряд є рядом Тейлора функцiї f (z) з класу Hp.
Вiдомим є твердження [1, с. 156]: для того щоб функцiя f(z) =
\sum \infty
k=0
ckz
k належала класу
H2, необхiдно i достатньо, щоб ряд
\infty \sum
k=0
| ck| 2
збiгався.
Виникає питання: чи можна встановити подiбнi твердження для класiв Hp при p \not = 2? На
жаль, на це питання вiдповiдь є негативною.
У цiй статтi ми встановимо умови на коефiцiєнти ck = ak - ibk степеневого ряду (1), при
виконаннi яких даний ряд буде рядом Тейлора деякої функцiї f (z) з класу H1.
Покладемо
\Delta 2ck - 1 = ck - 1 - 2ck + ck+1.
Теорема 1. Якщо для послiдовностi чисел ck = ak - ibk, k = 1, 2, . . . , c0 =
a0
2
, викону-
ються умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
ck = 0, (2)
c\bigcirc В. В. БОВСУНОВСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5 725
726 В. В. БОВСУНОВСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
\infty \sum
k=1
k
\bigm| \bigm| \Delta 2ck - 1
\bigm| \bigm| < \infty , (3)
то ряд (1) буде рядом Тейлора деякої функцiї f(\cdot ) \in H1 тодi й лише тодi, коли
\infty \sum
k=1
| ck|
k
< \infty . (4)
Доведення. Якщо f (\cdot ) \in H1, то згiдно з теоремою 8.7 [2, с. 454]
\infty \sum
k=1
| ck|
k
\leq A
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| f \bigl(
eit
\bigr) \bigm| \bigm| dt < \infty , A \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
тобто ряд (4) є збiжним.
Нехай виконуються умови (2) – (4). Покажемо, що функцiя f(z) =
\sum \infty
k=0
ckz
k належить
класу Гардi H1, тобто f (z) є регулярною в крузi D i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq r<1
1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| f \bigl(
reit
\bigr) \bigm| \bigm| dt < \infty .
Оскiльки ck \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , то функцiя f(z) =
\sum \infty
k=0
ckz
k є регулярною в крузi D.
Покладаючи z = reit, маємо
f
\bigl(
reit
\bigr)
=
\infty \sum
k=0
(ak - ibk) r
keikt =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt) r
k +
+ i
\infty \sum
k=1
( - bk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ ak \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt) r
k = u (r, t) + iv (r, t) . (5)
З умови (3) випливає, що
\infty \sum
k=1
k
\bigm| \bigm| \Delta 2ak - 1
\bigm| \bigm| < \infty i
\infty \sum
k=1
k
\bigm| \bigm| \Delta 2bk - 1
\bigm| \bigm| < \infty ,
а з (4) — що
\infty \sum
k=1
| ak|
k
< \infty i
\infty \sum
k=1
| bk|
k
< \infty .
В 1923 р. А. М. Колмогоров [3] встановив, що якщо
ak \rightarrow 0 i
\infty \sum
k=1
k
\bigm| \bigm| \Delta 2ak - 1
\bigm| \bigm| < \infty ,
то ряд
a0
2
+
\sum \infty
k=1
ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx є рядом Фур’є сумовної функцiї.
В 1964 р. С. О. Теляковський [4] довiв, що при виконаннi умов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПРО ТЕЙЛОРIВСЬКI КОЕФIЦIЄНТИ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ H1 727
bk \rightarrow 0 i
\infty \sum
k=1
k
\bigm| \bigm| \Delta 2bk - 1
\bigm| \bigm| < \infty
ряд
\sum \infty
k=1
bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx буде рядом Фур’є сумовної функцiї тодi й лише тодi, коли
\infty \sum
k=1
| bk|
k
< \infty .
Тому, згiдно з результатами А. М. Колмогорова [3] i С. О. Теляковського [4], ряди
a0
2
+
\infty \sum
k=1
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt),
\infty \sum
k=1
( - bk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ ak \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt)
є рядами Фур’є сумовних спряжених функцiй, якi позначимо через \mu (t) i \widetilde \mu (t) вiдповiдно.
Таким чином, враховуючи (5) i той факт, що в цьому випадку (див. [2, с. 161]) можна
записати
u (r, t) =
1
\pi
2\pi \int
0
\mu (\tau )Pr (t - \tau ) d\tau ,
v (r, t) =
1
\pi
2\pi \int
0
\widetilde \mu (\tau )Pr (t - \tau ) d\tau ,
де
Pr (t) =
1
2
+
\infty \sum
k=1
rk\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt =
1 - r2
2(1 - 2r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t+ r2)
— ядро Пуассона, отримуємо
f
\bigl(
reit
\bigr)
=
1
\pi
2\pi \int
0
(\mu (\tau ) + i\widetilde \mu (\tau ))Pr (t - \tau ) d\tau .
Звiдси випливає, що
1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| f \bigl(
reit
\bigr) \bigm| \bigm| dt \leq 1
2\pi
2\pi \int
0
(| \mu (\tau ) | + | \widetilde \mu (\tau ) | )
\left( 1
\pi
2\pi \int
0
Pr (t - \tau ) dt
\right) d\tau =
=
1
2\pi
2\pi \int
0
(| \mu (\tau ) | + | \widetilde \mu (\tau ) | ) d\tau < \infty ,
а отже, f(z) належить класу H1.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
728 В. В. БОВСУНОВСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
Лiтература
1. И. И. Привалов, Граничные свойства аналитических функций, Гостехиздат, Москва, Ленинград (1950).
2. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, в 2-х т., т. 1, Мир, Москва (1965).
3. A. Kolmogoroff, Sur Lórdre de grandeur des coéfficients de la séria de Fourier – Lebesque, Bull. Acad. Polon., Ser.
A, 83 – 86 (1923).
4. С.А. Теляковский, Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами,
Мат. сб., 63 (105), № 3, 426 – 444 (1964).
Одержано 26.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7012 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:06Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4d/ae679c398be8ef0994df197655ec174d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70122022-07-12T11:02:00Z On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$ Про Тейлоровские коеффициенты функций с класса H_1 Про тейлорівські коефіцієнти функцій класів $H_1$ Bovsunovska , V. V. Zaderey, P. V. Бовсуновська, В. В. Задерей, П. В. Задерей, Петр коефіцієнти ряду Тейлора, сумовна функція coefficients UDC 517.5 We establish conditions imposed on the coefficients of a power series, under which the series under consideration is the Taylor series of a function belonging to the class $H_1$. Устанавливаются условия для коэффициентов степенного ряда, при использовании которых данный ряд является рядом Тейлора функции из класса H1. УДК 517.5Встановлено умови на коефiцiєнти степеневого ряду, при виконаннi яких данi ряди є рядами Тейлора функцiї з класу $H_1$. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7012 10.37863/umzh.v74i5.7012 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 725 - 728 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 725 - 728 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7012/9244 Copyright (c) 2022 Валерія Бовсуовська, Петро Задерей |
| spellingShingle | Bovsunovska , V. V. Zaderey, P. V. Бовсуновська, В. В. Задерей, П. В. Задерей, Петр On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$ |
| title | On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$ |
| title_alt | Про Тейлоровские коеффициенты функций с класса H_1 Про тейлорівські коефіцієнти функцій класів $H_1$ |
| title_full | On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$ |
| title_fullStr | On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$ |
| title_full_unstemmed | On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$ |
| title_short | On Taylor coefficients of functions of classes $H_1$ |
| title_sort | on taylor coefficients of functions of classes $h_1$ |
| topic_facet | коефіцієнти ряду Тейлора, сумовна функція coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7012 |
| work_keys_str_mv | AT bovsunovskavv ontaylorcoefficientsoffunctionsofclassesh1 AT zadereypv ontaylorcoefficientsoffunctionsofclassesh1 AT bovsunovsʹkavv ontaylorcoefficientsoffunctionsofclassesh1 AT zaderejpv ontaylorcoefficientsoffunctionsofclassesh1 AT zaderejpetr ontaylorcoefficientsoffunctionsofclassesh1 AT bovsunovskavv protejlorovskiekoefficientyfunkcijsklassah1 AT zadereypv protejlorovskiekoefficientyfunkcijsklassah1 AT bovsunovsʹkavv protejlorovskiekoefficientyfunkcijsklassah1 AT zaderejpv protejlorovskiekoefficientyfunkcijsklassah1 AT zaderejpetr protejlorovskiekoefficientyfunkcijsklassah1 AT bovsunovskavv protejlorívsʹkíkoefícíêntifunkcíjklasívh1 AT zadereypv protejlorívsʹkíkoefícíêntifunkcíjklasívh1 AT bovsunovsʹkavv protejlorívsʹkíkoefícíêntifunkcíjklasívh1 AT zaderejpv protejlorívsʹkíkoefícíêntifunkcíjklasívh1 AT zaderejpetr protejlorívsʹkíkoefícíêntifunkcíjklasívh1 |